משפט צ'בה

שמאל|ממוזער|מקרה 2: שתיים מהחלוקות חיצוניות
משפט צ'בה הוא משפט יסודי בגאומטריה האוקלידית, הנותן תנאי לכך ששלושה קטעים היוצאים מקודקודי משולש ייפגשו בנקודה משותפת. 
היינו: במשולש ABC, אם בוחרים נקודות F,D,E על הצלעות AB,BC,CA (או המשכיהן) בהתאמה, אז הקטעים AD, BE ו-CF נפגשים בנקודה אם ורק אם מכפלת יחסי החלוקה  שווה ל-1. לצורך זה יחס החלוקה מחושב עם סימן; המשפט נכון גם לגבי חלוקה חיצונית, כאשר היחס שלילי. 

ניסוח נוסף של המשפט מספק תנאי שקול המכונה "משפט צ'בה הזוויתי": . ניתן להוכיח שהניסוחים שקולים בעזרת שימוש במשפט הסינוסים.

המשפט נקרא על שמו של המתמטיקאי האיטלקי ג'ובאני צ'בה  שחי במאות ה-17 וה-18, ופרסם הוכחה למשפט בשנת 1678. בשנת 1985 התגלתה עבודתו מהמאה ה-11 של יוסוף  אל-מוא'תמן איבן הוד , מלך סרגוסה, ובה הוכחה למשפט זה.

משפטים ידועים על נקודות מיוחדות של משולש הם מסקנות ממשפט צ'בה:

 העובדה ששלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה היא מקרה פרטי, שבו כל היחסים שווים לאחד.
 העובדה ששלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה נובעת ממשפט צ'בה באמצעות משפט חוצה הזווית (חוצה זווית מחלק את הצלע שמול הזווית ביחס ששווה ליחס בין שוקי הזווית).
 העובדה ששלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה נובעת ממשפט צ'בה שכן היחס שבו מחלק הגובה את הצלע אליה הוא מורד שווה ליחס הטנגנסים של הזוויות האחרות במשולש.

שלשה של נקודות F,D,E כמתואר במשפט נקראת שלשת צ'בה. לדוגמה, אמצעי הצלעות מהווים שלשת צ'בה (זהו המשפט על מפגש התיכונים בנקודה). גם נקודות ההשקה של המעגל החסום מהוות שלשת צ'בה (מפגש הקטעים האלה נקרא נקודת גרגון  של המשולש).

הוכחה
יש למשפט כמה וכמה הוכחות גאומטריות, אבל ההוכחה בשיטות של גאומטריה אנליטית היא כנראה הפשוטה מכולן. מכיוון שהנקודות A,B,C אינן על קו ישר אחד, כל נקודה במישור, ובפרט O (ראו ציור) היא ממוצע משוקלל שלהן, כלומר, קיימים משקלים , שסכומם 1, כך שמתקיים: .

מכיוון שהנקודה D נמצאת על ישר אחד עם O ו-A, ועל ישר אחר עם B ו-C, מתקיים: . לכן , ובאופן דומה, , ו-. כלומר, טענת המשפט היא ש- , והטענה הזו טריוויאלית.

ראו גם
 צ'ביאן
 משפט מנלאוס

קישורים חיצוניים

 הוכחה אינטראקטיבית למשפט צ'בה
 הוכחות והכללות למשפט צ'בה
 משפט צ'בה - ניסוח טריגונומטרי



הערות שוליים

צ'בה
קטגוריה:משולש