קוואזי-איזומטריה

בטופולוגיה של מרחבים מטריים, קוואזי-איזומטריה היא פונקציה  ממרחב מטרי  למשנהו , השומרת על המבנה המטרי באופן רופף, במובן הבא:
 קיימים קבועים  כך שלכל  מתקיים  ו-; ובנוסף לזה,
 לכל  קיימת נקודה  כך ש- .
משמעות התנאי הראשון היא שלפונקציה מותר לשנות את המרחק בין נקודות, אבל במידה מתונה בלבד; בפרט, אם המרחק בין נקודות גדל לאינסוף, כך גם המרחק בין התמונות שלהן. התנאי השני מכריח את הפונקציה לכסות חלק משמעותי מן המרחב השני: כל נקודה ב- נמצאת במרחק  לכל היותר מנקודה שהגיעה מ-.

מרחבים שיש ביניהם קוואזי-איזומטריה הם מרחבים קוואזי-איזומטריים. זהו יחס שקילות: הרכבה של קוואזי-איזומטריות היא קוואזי-איזומטריה, ולכל קוואזי-איזומטריה מ- ל- יש קוואזי-איזומטריה בכיוון ההפוך, מ- ל-. מרחבים איזומטריים הם בפרט קוואזי-איזומטריים.

קוואזי-איזומטריה מודדת את המבנה של המרחב בקנה מידה גדול בלבד. למשל, כל מרחב קוואזי-איזומטרי למרחב המתקבל כשמוציאים ממנו כדור (גדול ככל שיהיה). בפרט, כל המרחבים החסומים קוואזי-איזומטריים זה לזה.

 קוואזי-איזומטריה של חבורות 

לכל חבורה, ובפרט כאלה שהן אינסופיות אבל נוצרות סופית, אפשר להתאים את גרף קיילי שלה ביחס לקבוצת יוצרים (סופית) נתונה; גרף כזה אפשר להפוך באופן טבעי למרחב גאודזי. שינוי של קבוצת היוצרים משנה את הגרף, אבל כל הגרפים המתקבלים באופן כזה עבור חבורה נתונה הם קוואזי-איזומטריים זה לזה. לכן אפשר לומר שחבורות הן קוואזי-איזומטריות אם גרפי קיילי שלהן קוואזי-איזומטריים. למשל, חבורות בעלות מידה משותפת הן קוואזי-איזומטריות זו לזו. אומנם, גם חבורות שאינן בעלות מידה משותפת יכולות להיות קוואזי-איזומטריות, ובכל זאת, מבנה הגרף – עד כדי קוואזי-איזומטריה – מלמד רבות על החבורה. אם  ו- נוצרות סופית וקוואזי-איזומטריות, ואם  היא סופית, בעלת הצגה סופית, דמוי-אבלית, דמוי-נילפוטנטית, דמוי-חופשית, אמנבילית או היפרבולית, אז  מקיימת את אותה תכונה.
מאידך, יש דוגמאות לחבורה פתירה נוצרת סופית, וחבורה שאינה דמוי-פתירה, שהן קוואזי-איזומטריות. גם תכונת T של קשדן אינה נשמרת תחת קוואזי-איזומטריה של החבורות.

הקשר בין חבורות והמרחבים שעליהן הן פועלות מושג בדרך הבאה. יהי X מרחב מטרי גאודזי נאות (=הכדורים הסגורים הם קומפקטיים). תהי G חבורה נוצרת סופית, הפועלת על X באופן קו-קומפקטי (=המנה X/G קומפקטית) ובלתי רציף (=לכל קבוצה קומפקטית K קיים איבר g ב-G כך ש-gK זר ל-K). אז X קוואזי-איזומטרי לגרף קיילי של G. מרחב כזה נקרא מודל גאומטרי של G. 

 ראו גם 
 איזומטריה
 גרף קיילי

 הערות שוליים 

קטגוריה:מרחבים מטריים
קטגוריה:תורת החבורות
קטגוריה:תורת החבורות הגאומטרית