מטריצות גאמה של דיראק

מטריצות גאמה של דיראק הן אוסף של 4 מטריצות  (בתוספת מטריצה חמישית המייצגת את הכיראליות) בגודל 4 על 4 המשמשות להצגת משוואת דיראק

כאשר  ויש סכימה על אינדקסים כפולים (הסכם הסכימה של איינשטיין).

 הגדרות 
 הצגת דיראק 

בהצגה הסטנדרטית של דיראק מוגדרות המטריצות באופן הבא:

כאשר  הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות


 הצגת וייל 

בהצגה הכיראלית של וייל מוגדרות המטריצות באופן הבא:


כאשר  הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות


בהצגה זו קל לבטא את ההטלה הכיראלית של ספינורי וייל השמאלי והימני:
 :

 הצגת מיורנה 

פחות נפוצה היא ההצגה של מיורנה בה המטריצות הן דמיוניות. הצגה זו נתונה על ידי

 תכונות 
 זהויות בסיסיות 

 מטריצות גאמה מקיימות את אלגברת קליפורד:

 כאשר סוגריים מסולסלים מסמנים אנטי-קומוטטור ו- היא מטריקת מינקובסקי . 
 בפרט, מטריצות שונות הן אנטי-מתחלפות, כלומר: לכל  מתקיים 
 מכאן נובע ש:

  כאשר k=1,2,3.
 ביחס ללקיחת צמוד הרמיטי:

  כאשר k=1,2,3.

 מטריצת הכיראליות  מקיימת:


 , כלומר:  
 מטריצת הכיראליות הזו היא פסאודו-סקלר.

 זהויות סכימה 

{| class="wikitable" align=""
! style="background:#ffdead;" | Num !! style="background:#ffdead;" | Identity
|-
| 1 || 
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 
|-
| 4 || 
|}

 זהויות עקבה 

{| class="wikitable" align=""
! style="background:#ffdead;" | Num !! style="background:#ffdead;" | Identity
|-
| 1 || העקבה של כל מכפלה אי-זוגית של מטריצות  היא אפס.
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 
|-
| 4 || 
|-
| 5 || 
|}

כאשר יש להיעזר בתכונות העקבה:
 ליניאריות: 
 ציקליות: 

 יוצרים של חבורת לורנץ 

אפשר לבטא את היוצרים של חבורת לורנץ (חבורת טרנספורמציות לורנץ) בהצגה הכיראלית על ידי

ואז ההאצות (boost) נתונות על ידי

והסיבובים נתונים על ידי


 לקריאה נוספת 

 Peskin & Schroeder, Introduction to Quantum Field Theory, עמודים 40-41 ועמוד 50

קישורים חיצוניים


קטגוריה:מכניקת הקוונטים
גאמה