חבורת אוטומורפיזמים

בתורת החבורות, חבורת האוטומורפיזמים של חבורה , שסימונה המקובל , היא אוסף כל האוטומורפיזמים של החבורה לעצמה, כלומר, אוסף הפונקציות ההפיכות , המקיימות את התנאי  (מאקסיומה זו נובע גם כי , כאשר  הוא איבר היחידה של ).

תהי  חבורה עם פעולת ההצמדה . אז   היא אוטומורפיזם פנימי. חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים הוא תת-חבורה נורמלית של , שאותה מסמנים  . הפונקציה  המעתיקה את האיבר  לאוטומורפיזם ההצמדה  היא הומומורפיזם, שתמונתו היא , והגרעין שלו הוא המרכז  של . ממשפט האיזומורפיזם הראשון נקבל כי .

אם G בעלת מרכז טריוויאלי, אז יש שיכון . אם השיכון הזה הוא על, החבורה שלמה. כאשר G בעלת מרכז טריוויאלי, גם חבורת האוטומורפיזמים בעלת מרכז טריוויאלי. עובדה זו מגדירה את "מגדל חבורות האוטומורפיזמים" . לפי משפט של Wielandt, המגדל הזה סופי לכל חבורה סופית (בעלת מרכז טריוויאלי).

אוטומורפיזם שאינו פנימי נקרא "חיצוני". תוך שיבוש קל של הטרמינולוגיה, חבורת המנה  נקראת חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים של . לחבורה אבלית אין אוטומורפיזם פנימי לא טריוויאלי, אולם בחבורות בעלות מרכז טריויאלי, מאתגר לבנות אוטומורפיזמים חיצוניים, ולרוב חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים של החבורה קטנה ביחס אליה. חבורה בעלת מרכז טריוויאלי ללא אוטומורפיזמים חיצוניים נקראת חבורה שלמה.

דוגמאות
חבורת האוטומורפיזמים של חבורת השלמים החיבורית  היא  כאשר  הוא אוטומורפיזם הזהות ו- הוא האוטומורפיזם השולח כל  ל-. מאחר שזו חבורה אבלית,  היא חבורה טריוויאלית.
חבורת האוטומורפיזמים של החבורה הציקלית מסדר , שסימונה , היא חבורת אוילר מסדר  וסימונה .
עבור  ראשוני, חבורת האוטומורפיזמים של המכפלה הישרה  היא חבורת המטריצות .

ראו גם
אוטומורפיזם

קטגוריה:תורת החבורות

en:Automorphism#Automorphism group