מטריצה משולשית

שמאל|ממוזער|250px|מטריצה משולשית תחתונה
מטריצה משולשית היא מטריצה ריבועית שכל האיברים שמתחת לאלכסון הראשי או מעליו שווים לאפס. כלומר, האיברים היחידים במטריצה שאינם שווים בהכרח לאפס מופיעים או במשולש שמעל האלכסון הראשי או במשולש שמתחתיו. אם האפסים במשולש שמתחת לאלכסון הראשי המטריצה תיקרא מטריצה משולשית עליונה. באופן דומה, אם האפסים במשולש שמעל לאלכסון הראשי, המטריצה תיקרא מטריצה משולשית תחתונה. מטריצה שהיא גם משולשית עליונה וגם משולשית תחתונה נקראת מטריצה אלכסונית.  

כל מטריצה משולשית תחתונה היא מטריצה משוחלפת של מטריצה משולשית עליונה מתאימה ולהפך. לכן ניתן להמיר כמעט כל תכונה של המטריצות המשולשיות עליונות לתכונה מתאימה של המשולשיות תחתונות.  

החישובים העוסקים במטריצות משולשיות הם נוחים יחסית. למשל, הדטרמיננטה של מטריצה משולשית היא מכפלת איברי האלכסון שלה. מכפלה של שתי מטריצות משולשיות עליונות היא מטריצה משולשית עליונה, ואיברי האלכסון שלה הם מכפלת איברי האלכסון של שתי המטריצות. מטריצה משולשית עליונה היא הפיכה אם ורק אם כל איברי האלכסון שלה שונים מ-0. תכונה זו נותנת מאפיין פשוט לנילפוטנטיות של מטריצה משולשית מעל חוג קומוטטיבי - המטריצה נילפוטנטית אם ורק אם כל איברי האלכסון שלה הם איברים נילפוטנטיים. בפרט, כאשר עוסקים במטריצות מעל שדה המטריצה נילפוטנטית אם ורק אם כל איברי האלכסון הם אפסים.

מטריצה שהיא גם משולשית עליונה וגם משולשית תחתונה היא מטריצה אלכסונית ולהפך. ומכך פועלים עליה כל תכונות המטריצה האלכסונית.

ראו גם
פירוק LU

קישורים חיצוניים


קטגוריה:מטריצות