Sinc

במתמטיקה, sinc (קיצור של sine cardinal), שמסומנת , היא פונקציה המוגדרת בדרך כלל כך:

בעיבוד אותות דיגיטלי ותורת האינפורמציה, נעשה לרוב שימוש בפונקציית ה-sinc המנורמלת, המוגדרת כך:

בשני המקרים, ערך הפונקציה בנקודת אי-הרציפות הסליקה  נקבע כערך הגבול שאליו שואפת הפונקציה, כלומר, ל-1. ראו עוד בנושא: הגבול של sin(x)/x.

 תכונות 
לפונקציית ה-sinc המנורמלת יש תכונות שהופכות אותה לאידיאליות ביחס לאינטרפולציות ופונקציות בעלות רוחב פס מוגבל (Bandlimited functions):
  ו־ עבור  and ו־ (כלומר k מספר שלם שונה מאפס); כלומר, זו פונקציית אינטרפולציה.
 הפונקציות  יוצרות בסיס אורתונורמלי עבור פונקציות בעלות רוחב פס מוגבל במרחב הפונקציות  עם תדירות זוויתית מקסימלית  (כלומר התדירות המקסימלית היא ).

תכונות נוספות של פונקציית ה-sinc:
 נקודות הקיצון של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת  מתאימות לנקודות החיתוך של הפונקציה עם פונקציית הקוסינוס. כלומר  לכל נקודה בה הנגזרת של  היא 0.
 פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת היא פונקציית בסל כדורית מסדר 0 מהסוג הראשון, . פונקציית ה-sinc המנורמלת מקיימת .
 האפסים של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת הם כפולות (שונות מאפס) של פאי (). האפסים של פונקציית ה-sinc המנורמלת  הם מספרים שלמים השונים מאפס.
 התמרת פורייה הרציפה של פונקציית ה-sinc המנורמלת  הוא .
,
 כאשר פונקציית המלבן היא 1 עבור ארגומנט בין 1/2 ל־1/2- ואפס אחרת.
 אינטגרל פורייה לעיל, כולל את המקרה הפרטי:
,
 שהוא אינטגרל לא-אמיתי. זהו אינו אינטגרל לבג מכיוון שמתקיים:



 כאשר  היא פונקציית גמא.

 כאשר  הוא אינטגרל סינוס (sine integral).
 לפי נוסחת אוילר:


 הקשר לפונקציית דלתא של דיראק 
אף על פי שהיא אינה התפלגות, פונקציית ה-sinc המנורמלת יכולה לשמש לייצוג פונקציית דלתא של דיראק  כך:

זה אינו גבול רגיל, משום שאגף שמאל לא מתכנס. עם זאת, מתקיים:

לכל פונקציה חלקה  עם תומך קומפקטי.

בביטוי לעיל, כש-a שואף לאפס, מספר התנודות עבור אורך יחידה של פונקציית ה-sinc שואף לאינסוף. אף על פי כן, הביטוי תמיד מתנודד בתוך מעטפת של , ללא תלות בערך של a, והוא שואף לאפס עבור כל ערך של x השונה מאפס. דבר זה מסבך את התמונה הלא-פורמלית של  כשווה לאפס עבור כל x למעט הנקודה x=0, וממחיש את הבעיה שבהתייחסות לפונקציית הדלתא כפונקציה ולא כהתפלגות. פתרון דומה נמצא בתופעת גיבס.

 ראו גם 
 הגבול של sin(x)/x
 אנטי אליאסינג 
 מסנן sinc 
 נוסחת האינטרפולציה של ויטאקר-שאנון

 קישורים חיצוניים 

 sinc באתר MathWorld


קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות
קטגוריה:עיבוד אותות