אלגברה אוניברסלית

אלגברה אוניברסלית (לעיתים מכונה אלגברה כללית) היא תחום במתמטיקה העוסק בחקר הרעיונות המשותפים לכל המבנים האלגבריים. מבנה אלגברי (או בפשטות אלגברה) מורכבת מקבוצה A בצירוף פעולות מסוימות החלות על העצמים ב- A. פעולה נולארית (0-ארית) מיוצגת על ידי עצם ב- A (קבוע) אותו מכנים בדרך-כלל באמצעות אות קטנה, למשל a. פעולה אונרית (1-ארית) היא פונקציה מ- A ל- A, לרוב מיוצגת באמצעות סימן המושם לפני הארגומנט, למשל x~. פעולה בינארית (2-ארית) בדרך-כלל מיוצגת על ידי סימן המושם בין הארגומנטים, כמו למשל x * y. פעולות מסדר גודל גבוה יותר, או מסדר גודל לא מוגדר מסומנות באמצעות סימני פונקציה ולאחריהם הארגומנטים בסוגריים, כמו למשל (f(x,y,z או (f(x1,...,xn.

לאחר שהוגדרו הפעולות, ניתן לעצב את טבעה של האלגברה ביתר פירוט על ידי הוספת אקסיומות, אשר באלגברה האוניברסלית בדרך-כלל מנוסחות באמצעות חוקי משוואה. דוגמה לכך היא אקסיומת האסוציאטיביות עבור פעולה בינארית אשר ניתנת על ידי המשוואה x * (y * z) = (x * y) * z. הכוונה היא שהאקסיומה תקפה לכל העצמים x, y ו- z של הקבוצה A.

ניתן להגדיר את האלגברה האוניברסלית כענף מיוחד של תורת המודלים, ענף בו עוסקים במבנים אשר להם פעולות בלבד (בתוספת יחס השוויון) ושפת הניתוח שלו כוללת רק משוואות. מצד שני, המבנים הם כאלה שניתן להגדירם בכל קטגוריה אשר לה מכפלות סופיות.

קישורים חיצוניים



קטגוריה:אלגברה