אידיאל פרימרי

באלגברה מופשטת, אידיאל פרימרי (או אידיאל קמאי) של חוג קומוטטיבי הוא אידיאל, המקיים את התכונה הבאה: אם המכפלה  שייכת לאידיאל, אז או ש- שייך לאידיאל, או שחזקה כלשהי של  שייכת לאידיאל. אידיאל הוא ראשוני אם במקרה כזה אחד מבין  או  שייך לאידיאל, ולכן כל אידיאל ראשוני הוא פרימרי. 

כל חזקה של אידיאל מקסימלי היא פרימרית. בחוג דדקינד גם ההפך נכון: כל אידיאל פרימרי שאינו אפס הוא חזקה של אידיאל מקסימלי. לדוגמה, בחוג השלמים האידיאלים הפרימריים הם האידיאלים מהצורה  עבור  ראשוני.

אידיאל  של חוג קומוטטיבי  הוא פרימרי, אם בחוג המנה  כל מחלק אפס הוא נילפוטנטי.

 תכונות 
 כל אידיאל ראשוני הוא אידיאל פרימרי.

הוכחה. זה נובע ישירות מההגדרה הבאה של ראשוניות - אם לכל  או  או  אז  ראשוני.

 הרדיקל של אידיאל פרימרי הוא ראשוני.

הוכחה. נניח , לכן . מתוך הפרימריות של  יוצא ש: או  או  עבור  כלשהו. עכשיו, אם  אז  ואם  אז . לכן הרדיקל ראשוני כפי שרצינו.

 אידיאל הוא ראשוני אם ורק אם הוא רדיקלי ופרימרי.
 אידיאל שהרדיקל שלו מקסימלי הוא פרימרי.

משפט לסקר-נתר קובע שבחוג קומוטטיבי נתרי, כל אידיאל שווה לחיתוך של מספר סופי של אידיאלים פרימריים. הצגה זו היא כלי בסיסי בגאומטריה אלגברית. אם האידיאלים המשתתפים בחיתוך הם קו-מקסימליים (כמו שקורה למשל בחוג דדקינד), משפט השאריות הסיני מציג את חוג המנה כמכפלה ישרה של חוגים פרימריים.

 פרימריות חזקה 
אידיאל  הוא פרימרי בחזקה (strongly primary) אם קיים  כך שהרדיקל  מקיים . כל אידיאל פרימרי נוצר סופית הוא פרימרי בחזקה. 

 מקורות 
 The Concise Handbook of Algebra, Chapter C.1, R. Gilmer.

 ראו גם 
 משפט לסקר-נתר

קישורים חיצוניים


קטגוריה:אלגברה