טריגונומטריה ספירית

טריגנומטריה ספֵירִית היא ענף של הגאומטריה הספירית הדן במצולעים (בעיקר משולשים) המצויים על מעטפת כדורית.
הטריגונומטריה הספירית עוסקת ביחסים שבין הזוויות השונות המגדירות מצולע:
 הזוויות שבין צלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות A,B,C או ).
 הזוויות שבין מרכז הכדור לצלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות ).
(הערה: מהנוסחה לחישוב היקף מעגל מתקבל כי :  ).

ניתן לפתח את התורה על בסיס הטריגנומטריה האוקלידית ובהנחה כי נתון רדיוס הכדור (למשל, רדיוס כדור הארץ הוא כ-6400 ק"מ).

משפטים
שמאל|250px
המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים  מקבילים בטריגונומטריה הספירית:

משפט פיתגורס
משפט פיתגורס בגאומטריה האוקלידית קובע שאם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם  ו-, ואורך היתר הוא , אז .
בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא:
.

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט פיתגורס, מפתחים את הפונקציה  לטור מקלורן:   
כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט פיתגורס בגאומטריה הכדורית" מקבלים:
.
לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם , מקבלים כאשר רדיוס הכדור  את משפט פיתגורס בגרסתו האוקלידית: .

הוכחת המשפט:

את הנקודות O,A,B,C נמקם במערכת קואורדינטות קרטזיות באופן הבא:
הנקודה O תהא ראשית הצירים; גזרת העיגול BOC תהא על המישור XY; הישר BO יהא על ציר ה-X.
במערכת זו שעורי הנקודות A,B,C הן:
  ,
, 
.

את הזווית בין הווקטורים OA,OB ניתן להביע באמצעות מכפלה פנימית באופן הבא:
.

הצבת השוויונות:  במשוואה האחרונה מניבה את המשפט: 
.

הערה: ניתן לקבל את המשפט כמקרה פרטי של משפט הקוסינוסים (ראו בהמשך) על ידי הצבה .

משפט הסינוסים
משפט הסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן  והזוויות שמולן הן  בהתאמה,  מתקיים: .

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הסינוסים באופן הבא: .

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הסינוסים, מפתחים את הפונקציה   
לטור מקלורן: .

כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט הסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים כאשר רדיוס הכדור   : .

לאחר הכפלה ב-R מתקבל משפט הסינוסים בגרסתו האוקלידית:.

הוכחת המשפט:

האנך מהנקודה A לגזרת העיגול BOC חותך אותה בנקודה D.
האנכים מהנקודה D לקטעים OB,OC חותכים את הקטעים בנקודות E,F בהתאמה.

אזי ,  וגם , .

במשולש AED מתקיים:  
ובמשולש AFD מתקיים: 
ולכן .

במשולש AOE מתקיים:  
ובמשולש AOF מתקיים:  .

לאחר הצבת משוואות אלו במשוואה הקודמת מקבלים:
,
כלומר:.

משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן  והזוויות שמולן הן  בהתאמה,  מתקיים: 

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הקוסינוסים באופן הבא:
.

(עבור זוויות המשולש מתקיים משפט אנלוגי: ).

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הקוסינוסים, מפתחים את הפונקציות  לטור מקלורן:  , .

כאשר מציבים את הפיתוחים הנ"ל ב"משפט הקוסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים:
.

לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם , מקבלים כאשר רדיוס הכדור  את משפט הקוסינוסים בגרסתו האוקלידית: .

זהויות

 מכפלת סינוס וקוסינוס   מכפלת סינוס וקוטנגנס  משפט הטנגסים  נוסחאות נייפייר   נוסחאות דלאמבר  חצי זווית (סימון: ).  חצי צלע (סימון:  ). 

קישורים חיצוניים




קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:טריגונומטריה
קטגוריה:גאומטריה לא אוקלידית
קטגוריה:משולש