פונקציה הומוגנית

במתמטיקה, פונקציה הומוגנית מסדר  היא פונקציה אשר בעת שהארגומנטים בה מוכפלים במספר קבוע , ערך הפונקציה מוכפל ב־.

הגדרה מפורטת
תהי  פונקציה בין שני מרחבים וקטורים מעל לשדה , ויהי  מספר שלם.
אזי  תיקרא הומוגנית מסדר  אם  לכל  ולכל .

כאשר המרחבים הווקטוריים הם מעל המספרים הממשיים מגדירים פונקציה הומוגנית חיובית מסדר  כאשר הדרישה  צריכה להתקיים רק עבור  חיובי, ו- יכול להיות כל מספר מרוכב. 

כמו כן, במקרה שבו  הוא שדה הממשיים או המרוכבים, מגדירים פונקציה הומוגנית בהחלט מסדר  אם מתקיים  לכל .

דוגמאות
העתקות ליניאריות
כל העתקה ליניארית  היא פונקציה הומוגנית מסדר 1 שכן על פי הגדרת הליניאריות:  לכל  ולכל .

פולינומים הומוגניים
כל מונום (חד-איבר) ב- משתנים מגדיר פונקציה הומוגנית . לדוגמה, שטח של ריבוע  הוא מונום הומוגני  מסדר שני, כי אם מכפילים את אורך הצלע בקבוע, מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה שנייה עם השטח הרגיל, כלומר .

סכום של מונומים הומוגניים מאותו סדר מהווה פולינום הומוגני. לדוגמה:  הוא פולינום הומוגני מסדר 5.

פונקציות רציונליות
הפונקציה הרציונלית הנוצרת מחלוקה של שני פולינומים הומוגניים, היא פונקציה הומוגנית למעט בנקודות בהן הפונקציה במכנה מתאפסת.

כלומר אם  פולינום הומוגני מסדר  ו- פולינום הומוגני מסדר , אזי  היא פונקציה הומוגנית מסדר  בכל הנקודות חוץ מבשורשים של .

פונקציות רציונליות הומוגניות מסדר 0, כגון , מוגדרות היטב על הנקודות של המישור הפרויקטיבי.

פונקציה תת-ליניארית ונורמה-למחצה
כל פונקציה תת-ליניארית היא בהחלט הומוגנית חיובית מסדר 1, זאת על פי הגדרתה. לעומת זאת, כל נורמה-למחצה (ובפרט כל נורמה) היא הומוגנית בהחלט מסדר 1.

פונקציות הומגניות חלקיות
לעיתים הפונקציה היא הומוגנית מסדרים שונים עבור הפרמטרים השונים, כך למשל אנרגיה קינטית  היא פונקציה הומוגנית מסדר שני עבור המהירות, כי אם מכפילים את המהירות בקבוע מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה השנייה עם האנרגיה הקינטית המקורית , לעומת זאת עבור המסה זוהי פונקציה הומוגנית מסדר ראשון מכיוון שמתקיים .

במקרים אחרים הפונקציה היא הומוגנית רק עבור חלק מהפרמטרים, למשל עבור התפרקות רדיואקטיבית מספר האטומים שנותרו בחומר לאחר פרק זמן  נתון על ידי , ובעוד שמתקיים , קרי  היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון עבור , היא אינה הומוגנית במשתנים האחרים.

משפט אוילר לפונקציות הומוגניות
תהי  פונקציה חלקה אזי  הומוגנית חיובית מסדר  אם ורק אם:

הוכחה
: תהי  פונקציה חלקה והומוגנית חיובית מסדר . אזי . נגזור את שני האגפים לפי  ונקבל

מכיוון שהומוגניות היא תכונה שמתקיימת לכל , נציב  ונקבל .

: תהי  פונקציה חלקה המקיימת  לכל .

נבחר  כלשהו ונגדיר . כעת:

נציב  ונקבל

לכן  היא פונקציה קבועה.

נשים לב כי , לכן לכל  מתקיים . כלומר 

תוצאה
עבור פונקציה  גזירה והומוגנית חיובית מסדר  נקבל כי  היא הומוגנית מסדר . כלומר:

תוצאה זו מתקבלת מגזירת משפט אוילר לפי . שכן על פי משפט אוילר:

נגזור לפי  ונקבל

ולכן

הפעלת הצד השני של משפט אוילר תיתן את התוצאה.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

הומוגנית