אי-תלות אלגברית

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה קומוטטיבית, תת-קבוצה  של אלגברה  נקראת בלתי-תלויה אלגברית מעל שדה הבסיס , אם לא קיים פולינום לא-טריוויאלי עם מקדמים מ- שמתאפס על ידי תת-קבוצה סופית של איברי .
במילים אחרות,  היא בלתי-תלויה אלגברית אם לכל  ולכל פולינום  שאיננו פולינום האפס, מתקיים .

בפרט, קבוצה בת איבר אחד  היא בלתי-תלויה אלגברית מעל  אם ורק אם  הוא טרנסצנדנטי מעל . באופן כללי יותר, כל איבריה של קבוצה בלתי-תלויה אלגברית הם איברים טרנסצנדנטיים מעל , אך זהו בוודאי לא תנאי מספיק לכך.

לדוגמה, התת-קבוצה  של שדה המספרים הממשיים איננה בלתי-תלויה אלגברית מעל שדה המספרים הרציונליים, מכיוון שעבור הפולינום עם המקדמים הרציונליים

מתקיים .

המספר הגדול ביותר של איברים בלתי-תלויים אלגברית נקרא דרגת הטרנסצנדנטיות של  מעל .

השאלה האם הקבוצה  היא תלויה אלגברית מעל  היא בעיה פתוחה במתמטיקה. ב-1996 הוכיח יורי נסטרנקו כי הקבוצה  היא בלתי תלויה אלגברית מעל .

משפט לינדמן-ויירשטראס

לעיתים קרובות ניתן להשתמש במשפט לינדמן-ויירשטראס (על שמם של פרדיננד לינדמן וקארל ויירשטראס) כדי להוכיח כי קבוצה מסוימת היא בלתי-תלויה אלגברית מעל .

לינדמן הוכיח ב-1882 כי  הוא מספר טרנסצנדנטי לכל מספר אלגברי .

ויירשטראס הוכיח ב-1885 את הגרסה הכללית יותר של המשפט, הטוענת כי אם  הם מספרים אלגבריים בלתי-תלויים ליניארית מעל  אזי המספרים  הם בלתי-תלויים אלגברית מעל .

ראו גם
משפט הנורמליזציה של נתר

קישורים חיצוניים

קטגוריה:אלגברה
קטגוריה:תורת השדות
קטגוריה:בעיות פתוחות באלגברה