מספר p-אדי

בתורת המספרים וענפים שונים במתמטיקה, מספר p-אדי הוא פיתוח פורמלי לפי בסיס ראשוני , שהוא סופי בצד החזקות השליליות , ועשוי להיות אינסופי בצד החזקות החיוביות. במובן זה, המספרים ה-p-אדיים הפוכים לשברים העשרוניים הרגילים, שהם סופיים מצד החזקות החיוביות, ועשויים להמשיך לאינסוף בצד החזקות השליליות. אוסף המספרים ה-p-אדיים תלוי במספר , וכך קיימים מספרים 2-אדיים, 3-אדיים, 5-אדיים, וכן הלאה.

תכונות
במספר p-אדי, שצורתו הכללית

עשויים המקדמים  להיות מספרים שלמים כלשהם. אולם, כל מספר p-אדי ניתן להציג גם באופן כזה שהמקדמים יהיו בטווח , והצגה זו היא יחידה. על כן מקובל להניח שתנאי זה מתקיים עבור המקדמים.

מבין מספרים ה-p-אדיים, השלמים ה-p-אדיים הם הביטויים , שבהם אין חזקות שליליות של .

מרחק בין שני מספרים
בין מספרים ה-p-אדיים  מגדירים מרחק לפי חזקת  הגדולה ביותר המחלקת את ההפרש – ככל שהחזקה גדולה יותר, המספרים קרובים יותר.

באופן פורמלי, אם  אזי , כאשר . כמו כן מגדירים . המטריקה היא .

תחת הגדרה זו, כל מספר p-אדי מהווה טור מתכנס, משום שהגורמים  הולכים ונעשים קטנים יותר. בין המספרים ה-p-אדיים, הסדרה  שואפת לאפס, בעוד שבמספרים הממשיים דווקא הסדרה ההפוכה  היא השואפת לאפס. היפוך תפקידים זה בין המספרים הממשיים למספרים ה-p-אדיים הוא המאפשר לחקור את המספרים הרציונליים דרך התבוננות במספרים הממשיים ובמספרים ה-p-אדיים בעת ובעונה אחת.

הצגת מספר שלילי
לפי ההגדרה, המקדמים  בהצגה כטור חזקות הם חיוביים, ולכאורה אי אפשר להציג מספרים שליליים בתור מספרים p-אדיים. אך ההפך הוא הנכון.

לדוגמה: יהי  ונתבונן במספר

נחבר לו את המספר 1, ונקבל

שכן  ולכן מקבלים 0 בעמודה הראשונה ומוסיפים 1 בתור נשא (carry) לעמודה השנייה, אך גם שם  ולכן גם שם מקבלים 0 ומוסיפים 1 לעמודה הבאה, וכך הלאה. בסופו של דבר מקבלים:

ולכן 

במקרה הכללי מתקיים כי . אפשר להוכיח זאת כמו בדוגמה של  אך יש הוכחה אלגנטית יותר המשתמשת בנוסחה לסכום של טור הנדסי אינסופי (שהרי טור בחזקות הולכות וגדלות של  מתכנס במטריקה ה-p-אדית). כאן  ולכן

כעת, כל מספר שלילי  ניתן להציג כמכפלה של ההצגה ה-p-אדית של  בהצגה ה-p-אדית של .

הצגת מספר רציונלי
כל מספר רציונלי ניתן להציג באופן יחיד בתור מספר p-אדי, שהוא לעולם מחזורי (ולהפך: מספר p-אדי הוא רציונלי אם ורק אם ההצגה שלו מחזורית). לדוגמה, בשדה המספרים ה-5-אדיים, 

אכן, חזקות של המספר 5 שואפות לאפס (ולא לאינסוף), ולכן הטור  מתכנס, וסכומו על פי הנוסחה הידועה לסיכום טורים הנדסיים . לכן הסכום לעיל מתכנס ל- .

השבר המצומצם  הוא שלם p-אדי, אם ורק אם  אינו מחלק את המכנה . למספרים שלמים רבים יש שורש p-אדי. למשל,

(ביטוי זה אינו מחזורי). כאשר , ו- הוא מספר שלם זר ל- ללא גורמים ריבועיים שלמים, יש ל- שורש p-אדי אם ורק אם  הוא שארית ריבועית מודולו . בין המספרים ה-p-אדיים לא ניתן להגדיר יחס סדר, מאחר שלמספר השלילי  תמיד יש שורש p-אדי.

חשיבותם של המספרים ה-p-אדיים היא בכך שניתן להגדיר ביניהם פעולות של חיבור וכפל המחקות את אלה של המספרים הרציונליים. הרחבה זו של הפעולות אפשרית מכיוון שהביטוי ה-p-אדי נמשך לאינסוף רק בכיוון אחד. על ביטויים מאותו סוג הנמשכים לאינסוף לשני הכיוונים לא ניתן להגדיר פעולת כפל סבירה, והם חסרי ערך מתמטי.

הגישה האלגברית
ניתן להגדיר מספר p-אדי כסדרה הבאה:

כך שלכל  מתקיים  (כלומר: כל איבר או רכיב בסדרה שייך לחוג הסופי של השלמים מודולו ). כמו כן, על רכיביה להתאים אחד לשני באופן הבא:
הם מקיימים  
או באופן שקול, המעבר מ- ל- נעשה על ידי .
נסתכל בקבוצת כל הסדרות הנ"ל, קבוצה זו נקראת גבול הפוך או גבול פרויקטיבי. עבור  ראשוני נתון, הגבול ההפוך הוא קבוצת המספרים ה-p-אדיים . אפשר להפוך קבוצה זו לחוג על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל. זה נעשה באופן הבא:
חיבור: 
כפל: 
למעשה, מחברים וכופלים מספרים p-אדיים על ידי חיבור וכפל איבר-איבר (לפי רכיבים: ). 
זהו חוג עם אפס  ויחידה . יתרה מזו, זהו גם תחום שלמות ולכן ניתן לבנות את שדה השברים על ידי לוקליזציה. שדה זה נקרא "שדה המספרים ה-p-אדיים" ומסומן .

גישה זו שימושית באלגברה מופשטת ובתורת המספרים, למשל בחישוב פתרון של משוואה פולינומית מעל חוג ה-p-אדיים באמצעות הלמה של הנזל.

מעבר בין ההצגה כטור חזקות להצגה כגבול הפוך
נתון p ראשוני, ונרשום שלם p-אדי כטור חזקות וכסדרה של גבול הפוך:

כדי לעבור מטור חזקות לסדרה יש לקחת סכומים חלקיים באופן הבא:

בכיוון השני, אפשר להשתמש בחישוב רקורסיבי באופן הבא:

או בנוסחה מפורשת: 

כאשר div הוא חילוק שלם, כלומר לקיחת החלק השלם וזריקת השארית (למשל ).

שדה המספרים וחוג השלמים ה-p-אדיים
קבוצת המספרים ה-p-אדיים מרכיבה שדה, הנקרא שדה המספרים ה-p-אדיים. אוסף השלמים ה-p-אדיים, שמסמנים ב-, מהווה חוג מקומי בשם חוג השלמים ה-p-אדיים, המתייחס אל שדה המספרים ה-p-אדיים באותו יחס שיש בין חוג המספרים השלמים לשדה המספרים הרציונליים. לשדה המספרים ה-p-אדיים ולחוג השלמים המתאים לו יש תפקיד מרכזי בחקר האריתמטיקה של המספרים הרציונליים והמספרים השלמים. למשל, כדי להוכיח כי למשוואה דיופנטית אין פתרונות שלמים, די להוכיח כי אין לה פתרונות p-אדיים; בגלל המבנה האריתמטי הייחודי של המספרים ה-p-אדיים, זוהי לעיתים קרובות משימה קלה בהרבה.

כחבורה חיבורית, חוג השלמים ה-p-אדיים הוא גבול פרויקטיבי של החבורות הציקליות מסדר . אוסף ההעתקות הרציפות מ- למעגל היחידה המרוכב הוא החבורה החליקה .

ראו גם
שדה המספרים ה-p-אדיים

קישורים חיצוניים

אנדרו בייקר, הרצאות בקורס על מבוא למספרים p-אדים, אוניברסיטת גלאזגו, סקוטלנד, 2011

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:תורת המספרים
קטגוריה:שיטות ספירה