הלמה של נקאימה

במתמטיקה, הלמה של נקאימה היא למה טכנית חשובה באלגברה ובגאומטריה אלגברית, המתייחסת למודולים נוצרים סופית מעל חוג .

לפי הלמה,  לכל מודול נוצר סופית ושונה מאפס, , כאשר אם  הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג, השווה, על-פי ההגדרה, לחיתוך כל האידיאלים השמאליים המקסימליים של . הטענה חשובה במיוחד כאשר  חוג מקומי (אז J הוא האידיאל המקסימלי שלו), אבל יש לה שימושים רבים אחרים.

מן הלמה נובע, למשל, שכאשר  נוצר סופית,  לכל תת-מודול ; כלומר, המכפלה  קטנה כל-כך, עד שלא ניתן להגיע ממנה ל- על ידי הוספת תת-מודול, אלא אם הוא שווה ל- כולו.

בשפה של אלומות קוהרנטיות ניתן לנסח את הלמה כך: 
תהי  אלומה קוהרנטית. אז הנבט ב-, המסומן ב, הוא 0 אם ורק אם קיימת סביבה  של  כך ש-.

בגרסתה הכללית הלמה קובעת כי לכל מודול נוצר סופית  מעל חוג  ולכל אידיאל  ב-, אם  אז קיים  שעבורו . כלומר, ניתן למצוא איבר מיוחד  כך שלכל  מתקיים .

הוכחה

נניח כי  הוא -מודול נוצר סופית השונה מ-. מהלמה של צורן (שהיא ישימה רק מפני ש- נוצר סופית) נובע כי קיים תת-מודול  מקסימלי (כלומר,  אינו מוכל באף תת-מודול אמיתי של ). מכך נובע כי  הוא מודול פשוט, כלומר הוא אינו מכיל תת-מודולים לא-טריוויאליים, ולכן קיים אידיאל שמאלי מקסימלי  ב- כך ש-. אבל , ולכן . מכאן ש-.

לקריאה נוספת
Atiyah, M.F. and Macdonald, I.G (1969). Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading, MA.

נקאימה
נקאימה