מספרי לוקאס

במתמטיקה, מספרי לוקאס הם סדרה של מספרים טבעיים הקרויה על שמו של המתמטיקאי הצרפתי אדוארד לוקאס (1842-1891). הגדרתה דומה לזו של סדרת פיבונאצ'י: כל איבר בסדרה הוא סכום שני קודמיו. היא נבדלת מסדרת פיבונאצ'י בתנאי ההתחלה: האיבר האפס והאיבר הראשון הם 2 ו-1 בהתאמה. זהו מקרה פרטי של סדרת לוקאס.

תחילת הסדרה היא:
...2,1,3,4,7,11,18,29,47,76

ההגדרה הרקורסיבית של הסדרה היא:

מאפיינים
כמו כל סדרה בה כל איבר מוגדר באופן רקורסיבי כצירוף ליניארי של האיברים הקודמים, ניתן לבטא את סדרת לוקאס בנוסחה סגורה על ידי סכום של שתי סדרות הנדסיות (כאשר  הוא יחס הזהב):

מכיוון שהרכיב השני בסכום שואף ל-0 כש-n שואף לאינסוף, ניתן גם לחשב את מספרי לוקאס (מלבד השניים הראשונים) באמצעות עיגול חזקות של יחס הזהב:

כל איבר בסדרה שווה לסכום שני מספרי פיבונאצ'י המופיעים משני צדדיו של האיבר המקביל לו בסדרת פיבונאצ'י:


לדוגמה, האיבר הרביעי בסדרה הוא 7 השווה לסכום של 2 ו-5, האיברים השלישי והחמישי בסדרת פיבונאצ'י.

ראו גם
 סדרת פיבונאצ'י
 סדרת פֶּל

קישורים חיצוניים



לוקאס
קטגוריה:סדרת פיבונאצ'י