משפט דה מואבר

משפט דה-מואבר, הקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר, קובע שלכל מספר ממשי  ולכל מספר שלם  מתקיים:

כאשר  מייצג את הרכיב הממשי במספר המרוכב , ו־ מייצג את הרכיב המדומה במספר זה.

חשיבותו של משפט דה-מואבר היא בכך שהוא מקשר בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה. באופן פרקטי, המשפט מאפשר להשתמש בקשר זה כדי להעלות מספרים מרוכבים בחזקה או למצוא שורש שלהם. לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת גדלים טריגונומטריים  ו- כפולינומים ב- ו-, בהתאמה. כך לדוגמה, . ראו פולינומי צ'בישב.

את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח באינדוקציה. מן הזהות , השקולה לזהויות הטריגונומטריות  ו-.

אברהם דה-מואבר היה חבר טוב של אייזק ניוטון, בשנת 1698 הוא כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, משפט דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי .

 הוצאת שורש מרוכב 
ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר n של מספר מרוכב כלשהו. אם  הוא מספר מרוכב שונה מאפס, ניתן לייצג אותו באופן יחיד בצורה ,  ו- .

המספר  (עם ), הוא שורש מסדר n של z אם , כלומר, לפי נוסחת דה-מואבר, . זה קורה בדיוק כאשר :

כיוון שלכל מספר חיובי קיים שורש חיובי יחיד מסדר n וכיוון שהפונקציות הטריגונומטריות מחזוריות, עם מחזור (רדיאנים):

כאשר , ואלו בדיוק n השורשים של z.

 ראו גם 
 נוסחת אוילר
 שורשי יחידה
 פולינומי צ'בישב

 קישורים חיצוניים 
 משפט דה-מואבר לזהויות הטריגונומטריות


קטגוריה:משפטים באנליזה מרוכבת
קטגוריה:משפטים באלגברה