פונקציית החלוקה (תורת המספרים)

__ללא_תוכן_עניינים__
שמאל|ממוזער|350 פיקסלים|דיאגרמות יאנג של החלוקות השונות של המספרים 1 עד 8. כל הדיאגרמות באותו הצבע הן כל החלוקות האפשריות של מספר.
בקומבינטוריקה ובתורת המספרים, חלוקה של מספר טבעי היא הצגה שלו כסכום של חלקים, כמו . שתי חלוקות שההבדל היחיד ביניהן הוא סדר הרכיבים, נחשבות לאותה החלוקה. החלוקות מופיעות בתחומים שונים בקומבינטוריקה, כגון פולינומים סימטריים ותורת ההצגות של החבורה הסימטרית.

מספר החלוקות השונות של  נקרא פונקציית החלוקה של , ומקובל לסמנו . לדוגמה:

עבור הערכים  פונקציית החלוקה מקבלת את הערכים . ערכי הפונקציה גדלים במהירות, לדוגמה:

ג. ה. הארדי ורמנוג'אן הוכיחו ב-1917
את הנוסחה האסימפטוטית . לצורך כך הם השתמשו בתאוריה של תבניות מודולריות, שהם היו ממייסדיה, כשהמציאו את "שיטת המעגל" לצורך הערכת המקדמים של פונקציית תטא המתאימה לפונקציית החלוקה

בין התכונות המפתיעות של פונקציות החלוקה אפשר למנות את הקונגרואנציות שגילה רמנוג'אן: לכל  מתקיים כי  מתחלק ב-5. באופן דומה  מתחלק ב-7, ו- מתחלק ב-11. תוצאות אלה קשורות במספרים מצולעים. מאוחר יותר התגלה גם שהמספרים  מתחלקים ב-13. בשנת 2000 הוכיח קן אונו שזהויות כאלו קיימות לכל מספר ראשוני ומספר שנים לאחר מכן תוצאה זו הורחבה לכל מספר שלם שזר ל-6.

פונקציה יוצרת
את פונקציית החלוקה חקר לראשונה לאונהרד אוילר, שמצא עבור הפונקציה היוצרת שלה פירוק למכפלה אינסופית , צעד שבמידת מה נחשב לראשיתה של תורת המספרים האנליטית. 

הפירוק פשוט להוכחה באמצעות הנוסחה לסיכום טור הנדסי:

מספר הפעמים שהאיבר  יתקבל בפתיחת המכפלה באגף ימין הוא בדיוק  מכיוון ש-i קובע באופן יחיד את מספר הפעמים שהמספר  מופיע בחלוקה נתונה.

מאותו הטעם, באופן כללי הפונקציה היוצרת של מספר החלוקות בהן מופיעים רק מספרים מקבוצה  הוא .

באמצעות מניפולציה על הפונקציה היוצרת, נובעת ממשפט המספרים המחומשים נוסחת הנסיגה:

כאשר  הוא המספר המחומש המוכלל ה--י. זהו סכום סופי, מכיוון ש- (סכום ריק) ולכל  מתקיים .

ראו גם
משפט החלוקה של אוילר
מספרי בל – ספירת חלוקות בהן זהות האיברים בכל חלק חשובה

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:תורת המספרים
קטגוריה:תורת המספרים האדיטיבית
קטגוריה:קומבינטוריקה
קטגוריה:לאונרד אוילר
קטגוריה:פונקציות אריתמטיות
קטגוריה:סריניוואסה רמנוג'אן

ca:Partició