אי-שוויון צ'בישב

בתורת ההסתברות, אי-שוויון צֶ'בּישב (גם: צ'בישוֹב) הוא אי-שוויון המאפשר להעריך את ההתפלגות של משתנים מקריים על ידי התוחלת שלהם. אי-השוויון קרוי על שמו של ממציאו, המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב.

אי-שוויון צ'בישב קובע כי אם השונות והתוחלת של משתנה מקרי  קיימות, אז
לכל  מתקיים:

אי-שוויון צ'בישב מאפשר להעריך את ההסתברות לכך שמשתנה מקרי כלשהו יסטה במידה זו או אחרת מהתוחלת שלו, באופן מדויק יותר מאי-שוויון מרקוב, ונותן משמעות נוספת למושג השונות. בפרט נובע ממנו שכאשר השונות קטנה, ההסתברות לסטיות גדולות מהתוחלת קטנה גם היא. בעזרת אי-שוויון צ'בישב אפשר להוכיח את החוק החלש של המספרים הגדולים למקרה הפרטי שבו לסדרת המשתנים המקריים יש שונות סופית. אי-שוויון צ'רנוף נותן גרסה חזקה יותר עבור משתני ברנולי.

בגרסה כללית יותר, אי-שוויון צ'בישב קובע כי . אי-שוויון קאנטלי הוא גרסה חד צדדית של אי-שוויון צ'בישב.

 הוכחת אי-שוויון צ'בישב 
על פי הגדרת התוחלת:
.
עבור אינטגרציה רק על קבוצת הנקודות במרחב ההסתברות עבורן  יתקבל גודל הקטן יותר או שווה לזה שהתחלנו ממנו:

חלוקת שני האגפים ב־ מביאה לצורה הכללית של אי-שוויון צ'בישב:

ניתן גם להוכיח את אי-שוויון צ'בישב ישירות מאי-שוויון מרקוב.

קישורים חיצוניים




צ'בישב