פונקציה מציינת

במתמטיקה, פונקציה מציינת, הנקראת גם פונקציה אופיינית או לעיתים גם אינדיקטור, היא פונקציה המוגדרת בקבוצה  ומציינת שייכות לתת קבוצה  של . הפונקציה המציינת  מוגדרת באופן הבא:

הפונקציה המציינת מסומנת לעיתים גם כ-, או כ-, או כ־ באמצעות סוגרי אייברסון. במקרה הפרטי של הפונקציה עבור  ו-, הפונקציה נקראת פונקציית היחידה.

תכונות בסיסיות
אם  ו- תת-קבוצות של  אזי:
 תכונת החיתוך: 
 תכונת האיחוד:  (עקרון ההכלה וההפרדה)
 תכונת המשלים: 

מסקנות:
 תכונת ההפרש הסימטרי: 
או לחלופין: 

רציפות
במרחב טופולוגי, הפונקציה המציינת  רציפה בכל הנקודות הפנימיות של  ושל המשלים של , ואינה רציפה בכל הנקודות על שפת . בכל נקודות הרציפות של  הפונקציה גם גזירה, ונגזרתה היא אפס.

 מדידות 
משפט: תהי  תת-קבוצה אז זו מדידה אם ורק אם היא -מדידה

הוכחה: נשים לב כי  וכי . לכן אם  מדידה קל לראות כי  פונקציה מדידה. מצד שני, אם פונקציה מדידה, מתקיים  ולכן  מדידה, כנדרש 

הקשר לקבוצת החזקה
קבוצת הפונקציות המציינות, , היא איזומורפית לקבוצת החזקה .
האיזומורפיזם בין הקבוצות מובהק ואף מוטמע בסימון של הפונקציה המציינת. ניתן להבין את הקשר באופן הבא: , כלומר איבר שייך לתת-קבוצה אם ורק אם הפונקציה המציינת המתאימה לקבוצה מקבלת 1 עבור האיבר. מכאן נובע ש- (ראו עוצמה).

תכולה וקשר לאינטגרל 
עבור  קבוצה המוכלת בקטע , נגדיר את התכולה הפנימית של  להיות האינטגרל התחתון של הפונקציה המציינת של  בקטע  ואותו הדבר עבור תכולה חיצונית של  על בסיס אינטגרל עליון. אם התכולה הפנימית והתכולה החיצונית של קבוצה הן שוות, אז הן נקראות פשוט התכולה של . ניתן לראות כי לכל קבוצה בת מניה יש תכולה אפס (זאת אומרת שהתכולה שלה היא אפס), או בצורה כללית יותר, לקבוצה יש תכולה אפס אם"ם קיימת קבוצה סופית של קטעים סגורים כך שאיחודם מכיל את הקבוצה אך סכום האורכים הוא קטן כרצוננו. משפט חשוב בנושא החשבון האינטגרלי הוא שאם לפונקציה חסומה יש קבוצת אי רציפויות שלה היא בעלת תכולה אפס, אז היא אינטגרבילית.

הגדרת אינטגרל לבג ובכלליות כל תאורית תורת המידה נבנת על ידי קירוב של פונקציות אינטגרביליות לבג באמצעות סכומים סופיים חלקיים של פונקציות אינדיקטורים ומידות של גודל הקבוצות (משפט חשוב בתורת המידה הוא כי כל פונקציה מדידה ניתן להצגה כגבול סכומים של פוקנציות אינדיקטורים ומכפלה שלהם במספרים).

 הגדרה 
בהינתן קבוצה שרירותית , פונקציית האינדיקטור של תת-קבוצה  של  היא הפונקציה  המוגדרת על ידי 

סוגריי אייברסון מהווים סימון שקול  או  בו ניתן להשתמש במקום 

הפונקציה  מסומנת לעיתים בתור , ,   או אפילו רק  
 סימון וטרמינולוגיה 
הסימון  משמש גם לציון הפונקציה האופיינית באנליזת פונקציות קמורות, המוגדרת כאילו משתמשים בהופכי של ההגדרה הסטנדרטית של פונקציית האינדיקטור.

מושג קשור בסטטיסטיקה הוא של משתנה מציין. (אין להתבלבל בין מושג זה לבין "משתנה דמה", המכונה גם משתנה קשור).

למונח " פונקציה אופיינית " יש משמעות נוספת בתורת ההסתברות הקלאסית . מסיבה זו, מתמטיקאים העוסקים בהסתברות משתמשים באופן כמעט גורף במונח פונקציית אינדיקטור עבור הפונקציה המוגדרת כאן, בעוד שמתמטיקאים בתחומים אחרים נוטים להרבות בשימוש במונח פונקציה אופיינית כדי לתאר את הפונקציה המציינת שייכות לקבוצה.

בלוגיקה עמומה ובלוגיקה מרובת ערכים מודרנית, פרדיקטים הם הפונקציות האופייניות להתפלגות הסתברות. כלומר, הערך האמיתי/שקרי המחמיר של הפרדיקט מוחלף בכמות המתפרשת כמידת האמת.
 תכונות בסיסיות 
האינדיקטור או הפונקציה האופיינית של תת-קבוצה  של קבוצה  כלשהי ממפה איברים של  לטווח 

מיפוי זה הוא על רק כאשר  הוא תת-קבוצה ממש לא ריקה של . אם  אָזי  לפי טיעון דומה, אם  אָזי 

אִם  ו  הן שתי תת-קבוצות של  אָזי 

ופונקציית האינדיקטור של המשלים של  כְּלוֹמַר  הוא: 

באופן כללי יותר, נניח  הוא אוסף של תת-קבוצות של . עבור כל 

הוא מכפלה של אפסים ושל אחדים. למכפלה זו ערך  בדיוק באותם  שלא שייכים לאף אחת מהקבוצות ,אחרת ערכו 0. כלומר

הרחבת המכפלה באגף השמאלי,

כאשר  הוא העוצמה של . זוהי צורה אחת של עקרון ההכלה וההפרדה .

כפי שהוצע בדוגמה הקודמת, פונקציית האינדיקטור היא אמצעי סימון שימושי בקומבינטוריקה. הסימון משמש גם במקומות אחרים, למשל בתורת ההסתברות : אם  הוא מרחב הסתברות עם מדד הסתברות  ו-  היא קבוצה מדידה, אז  הופך למשתנה מקרי שהתוחלת שלו שווה להסתברות של  :

זהות זו משמשת בהוכחה פשוטה של אי-שוויון מרקוב .

במקרים רבים, כמו בתורת הסדר, ניתן להגדיר את ההופכי של פונקציית האינדיקטור. פונקציה זו נקראת בדרך כלל פונקציית מוביוס מוכללת, כהכללה של הפונקציה ההופכית לפונקציית האינדיקטור בתורת המספרים האלמנטרית, שהיא פונקציית מוביוס. (ראה פסקה להלן על השימוש בפונקציה ההופכית בתורת הרקורסיה הקלאסית.)
 ממוצע, שונות ושונות משותפת 
בהינתן מרחב הסתברות  עם תת-קבוצה , המשתנה המציין  מוגדר על ידי  אִם  . אחרת .

 ממוצע: 


 שונות: 


 שונות משותפת: 

 פונקציה אופיינית בתורת הרקורסיה,  
קורט גדל תיאר את פונקציית הייצוג במאמרו משנת 1934 "על טענות בלתי ניתנות להכרעה של מערכות מתמטיות פורמליות" (הסמל "  " מציין היפוך לוגי, כלומר "לא"): 

קלין מציע את אותה הגדרה בהקשר של פונקציות פרימיטיבות רקורסיביות, שכן פונקציה  של פרידקט  מקבלת ערכים של  אם הפרדיקט נכון ו-  אם הפרדיקט לא נכון.

לדוגמה, מכיוון שמכפלת הפונקציות האופייניות  בכל פעם שאחת מהפונקציות שווה , היא ממלאת את תפקיד הפונקציה הלוגית "או": אם  אוֹ  או ... או  אזי המכפלה שלהם היא . מה שנראה לקורא המודרני כהיפוך לוגי של הפונקציה המייצגת, כלומר הפונקציה המייצגת היא  כאשר הפונקציה  "נכונה או מתקיימת", משחק תפקיד שימושי בהגדרת הפונקציות הלוגיות "או", "ו", ו"מכאן נובע" לפי קליין, את אופרטורי מיו החסומים והלא-חסומים ואת פונקציית CASE.
 פונקציה אופיינית בתורת הרקורסיה, פונקציית הייצוג של גודל וקליין 
קורט גדל תיאר את פונקציית הייצוג במאמרו משנת 1934 "על טענות בלתי ניתנות להכרעה של מערכות מתמטיות פורמליות" (הסמל "  " מציין היפוך לוגי, כלומר "לא"): 

קלין מציע את אותה הגדרה בהקשר של פונקציות פרימיטיבות רקורסיביות, שכן פונקציה  של פרידקט  מקבלת ערכים של  אם הפרדיקט נכון ו-  אם הפרדיקט לא נכון.

לדוגמה, מכיוון שמכפלת הפונקציות האופייניות  בכל פעם שאחת מהפונקציות שווה , היא ממלאת את תפקיד הפונקציה הלוגית "או": אם  אוֹ  או ... או  אזי המכפלה שלהם היא . מה שנראה לקורא המודרני כהיפוך לוגי של פונקציית הייצוג, כלומר פונקציית הייצוג היא  כאשר הפונקציה  "נכונה או מתקיימת", משחק תפקיד שימושי בהגדרת הפונקציות הלוגיות "או", "ו", ו"מכאן נובע" לפי קליין, את אופרטורי מיו החסומים והלא-חסומים ואת פונקציית CASE.
 פונקציה אופיינית בתורת הרקורסיה, פונקציית הייצוג של גודל וקלין 
קורט גדל תיאר את פונקציית הייצוג במאמרו משנת 1934 "על טענות בלתי ניתנות להכרעה של מערכות מתמטיות פורמליות" (הסמל "  " מציין היפוך לוגי, כלומר "לא"): 

לכל קשר או מחלקה R תותאם פונקציית ייצוג כדלהלן:

Φ(x1,...xn)=0 אם R(x1,...xn) ו-

Φ(x1,...xn)=1 אם R(x1,...xn)

קלין מציע את אותה הגדרה בהקשר של פונקציות פרימיטיבות רקורסיביות, שכן פונקציה  של פרידקט  מקבלת ערכים של  אם הפרדיקט נכון ו-  אם הפרדיקט לא נכון.

לדוגמה, מכיוון שמכפלת הפונקציות האופייניות  בכל פעם שאחת מהפונקציות שווה , היא ממלאת את תפקיד הפונקציה הלוגית "או": אם  אוֹ  או ... או  אזי המכפלה שלהם היא . מה שנראה לקורא המודרני כהיפוך לוגי של פונקציית הייצוג, כלומר פונקציית הייצוג היא  כאשר הפונקציה  "נכונה או מתקיימת", משחק תפקיד שימושי בהגדרת הפונקציות הלוגיות "או", "ו", ו"מכאן נובע" לפי קל2ין, את אופרטורי מיו החסומים והלא-חסומים ואת פונקציית CASE.
 פונקציה אופיינית בתורת הקבוצות העמומה 
במתמטיקה קלאסית, פונקציות אופייניות של קבוצות מקבלות ערכים של  (איברים) או  (לא-איברים). בתורת הקבוצות העמומה, פונקציות אופייניות מוכללות כך שיקבלו ערך באינטרוול היחידה הממשי [0,1], או באופן כללי יותר, באלגברה או מבנה (בדרך כלל נדרש להיות לפחות קבוצה סדורה חלקית או סריג ). פונקציות אופייניות מוכללות כאלו נקראות בדרך כלל פונקציות שייכות, וה"קבוצות" המתאימות נקראות קבוצות עמומות. קבוצות עמומות ממדלים את השינוי ההדרגתי במידת השייכות הנראיתבפרדיקטים רבים בעולם האמיתי כמו "גבוה", "חם" וכו'.
 פונקציה חלקה 
באופן כללי, פונקציית האינדיקטור של קבוצה אינה חלקה; היא רציפה אם ורק אם התומך שלה היא רכיב קשיר. בגאומטריה אלגברית של שדות סופיים, לעומת זאת, מכל יריעה אלגברית אפינית ניתן לקבל פונקציית אינדיקטור רציפה (זריצקי).  בהינתן קבוצה סופית של פונקציות , יהי אוסף הנקודות x בהן כל הפונקציות f_a(x) מתאפסות (vanishing locus). 

במקרה זה, הפונקציה  משמשת כפונקציית אינדיקטור עבור . אִם , אזי . אחרת, עבור  כלשהי, מתקיים , ומזה נובע  . על כן, .
 ראו גם 
 מידה (מתמטיקה)
 תורת הקבוצות
 תורת המידה
 אלגברה בוליאנית

ביאורים

 הערות שוליים 

קטגוריה:תורת הקבוצות
קטגוריה:לוגיקה מתמטית
קטגוריה:תורת המידה
מציינת, פונקציה
מציינת