משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות

משפט המיון של החבורות הפשוטות הסופיות הוא משפט מתמטי הקובע כי כל חבורה פשוטה סופית נמצאת באחת מ-4 הקטגוריות המתוארות למטה. עריכת רשימה מלאה של כל החבורות הפשוטות הסופיות עד כדי איזומורפיזם. החבורות הפשוטות הן אבני בניין של החבורות סופיות, בצורה שדומה לאיך שמספרים ראשוניים הם אבני הבניין של כל המספרים הטבעיים. משפט ז'ורדן-הלדר מספק דרך יותר ברורה להסביר איך החבורות הפשוטות הן אבני בניין.

המשפט ידוע בכך שהוא לקח זמן רב מאוד להוכחה. העבודה על הוכחת המשפט נמשכה כמה עשרות שנים, השתתפו בה כמאה מתמטיקאים, והיא משתרעת על-פני 500 מאמרים בכתבי עת מקצועיים, הכוללים כ-15,000 עמודים. משפט המיון הוא משפט מרכזי בתורת החבורות הסופיות, והוא מהווה אחד ההשגים הגדולים ביותר של המתמטיקה במאה העשרים.

ההוכחה נעזרת בכלים שפותחו בתורת החבורות מאז לידתה, אולם הצעד הראשון בהוכחה נחשב הפרסום של משפט פייט-תומפסון ב-1963, הקובע שאין חבורות פשוטות לא-אבליות סופיות מסדר אי-זוגי. הוכחת המשפט, כ-250 עמודים עמוסים בתורת ההצגות, הדגימה לראשונה את נחיצותן של הוכחות מורכבות בתחום המיון, ואת יעילותם של הכלים הקלאסיים בטיפול בבעיות כאלה.

במתמטיקה, שבה העבודה נעשית לרוב על ידי יחידים או בצוותים קטנים, משפט המיון הוא דוגמה ייחודית ל"מדע גדול", מבנה פעולה שכיח במדעים הניסויים, שבו משתפים פעולה מדענים רבים להשגת מטרה משותפת. בשנות השבעים רוכז המאמץ על ידי דניאל גורנשטיין, שהציע חלוקת עבודה ומינה חוקרים לעבוד על חלקים מסוימים במשפט. גורנשטיין הכריז בפומבי על סיום ההוכחה ב-1983, אף על פי שבפועל נותרו באותה עת כמה פערים (המשמעותי שביניהם, מיון החבורות מטיפוס quasithin, נסגר רק ב-2004
).
פערים אלה, ואף מורכבותה יוצאת הדופן של ההוכחה גרמה לכך שרבים, ובהם ז'אן-פייר סר, פקפקו בשלמותו של המשפט. חוסר שביעות הרצון הוליד את פרויקט "הדור השני" שמטרתו לכתוב את ההוכחה מחדש, בסדרה של 11 ספרים. בתוכנית זו מבקשים לנצל יתרונות שלא עמדו לרשות מפתחי ההוכחה המקורית, כגון הניסוח המדויק של התוצאה שאותה מבקשים להוכיח.

באמצעות משפט המיון, אפשר לאשר תכונות של חבורות פשוטות על ידי בדיקה של כל המקרים. לדוגמה, הבדיקה מראה שכל חבורה פשוטה סופית נוצרת על ידי שני איברים, למרות שלא ידועה דרך ישירה להוכיח טענה זו. 

 המיון 

משפט המיון קובע שכל חבורה סופית שאין לה תת חבורות נורמליות שייכת לאחת מבין ארבע הקבוצות הבאות, שמהן שלוש הראשונות אינסופיות:
 החבורות הציקליות מסדר ראשוני.
 חבורות של תמורות זוגיות מסדר 5 ומעלה.
 חבורות פשוטות מטיפוס לי. חבורות אלה כוללות את "החבורות הקלאסיות", שהן חבורות מטריצות, את חמשת הטיפוסים המיוחדים של חבורות לי, ואת ה"עיוותים" של כל אלה.
 רשימה ידועה של 26 חבורות ספורדיות.

 החבורות הספורדיות 

עשרים ושש החבורות הספורדיות הן אלו שלא מופיעות באופן טבעי במשפחות הגדולות של חבורות פשוטות סופיות. חמש הראשונות מבין אלה הן חבורות מתיו, שהתגלו בשנות השישים של המאה ה-19, ואילו 21 האחרות התגלו בין השנים 1965 ו-1975. במקרים רבים, ה"גילוי" קדם ל"בניה": ראשית התברר שהנחות מסוימות הן חזקות עד-כדי כך שאם אפשר למלא את כולן, יש רק חבורה אחת המתאימה להן, ורק אז הוכיחו שחבורה כזו אכן קיימת.

להלן רשימת החבורות, הקרויות בדרך-כלל על-שם האדם שגילה אותן:
 חמש חבורות מתיו, 
 חבורות ינקו, 
 חבורות קונוויי הקשורות לסריג ליץ' מממד 24;
 חבורות פישר 
 חבורת היגמן-סימס 
 חבורת מקללין 
 חבורת הלד 
 חבורת רודווליס 
 חבורת סוזוקי 
 חבורת או'נאן 
 חבורת הראדה-נורטון 
 חבורת ליונס 
 חבורת תומפסון 
 המפלצת הקטנה
 חבורת פישר-גרייס, הקרויה גם המפלצת

"המפלצת", בת כ-איברים, היא הגדולה מבין החבורות הספורדיות, ו-20 מהן נמצאות בתוכה כתת-חבורות; שש יוצאות הדופן הן .

 אסטרטגיית המיון 
האסטרטגיה הכללית
הרעיון הבסיסי באסטרטגיית המיון הוא ללמוד את החבורה הפשוטה הקטנה ביותר שאיננה ברשימה - בניסיון להוכיח, בסופו של דבר, שחבורה כזו אינה קיימת.

במילים אחרות, מוכיחים למעשה את המשפט הבא:

קל להראות שמשפט זה גורר את משפט המיון.
תפקידם של מרכזים
ניתוח כל  תתי המנות של חבורה אינו מעשי. לכן מצמצמים את תשומת הלב לחלק מתתי-המנות. בחלק גדול מההוכחה די להתמקד בתתי-מנות שהם גורמי סדרת ההרכב של מרכזים.

כך שבמקרים רבים מוכיחים את המשפט הבא:

מנקודת מבט זו, השלב הראשון בהוכחה הוא מיון החבורות הפשוטות שהמרכז של כל איבר לא טריוויאלי בהן הוא אבלי. חבורות כאלה נקראות חבורות CA. חבורות אלו מויונו על ידי בראואר, סוזוקי וואל בשנת 1958.
האסטרטגיה של בראואר
גם חקר כל המרכזים של איברים בחבורה אינו פרקטי בדרך כלל, ולכן ב-1955 בראואר הציע להתרכז במרכזים של אינוולוציות (לא טריוויאליות) - זאת אומרת איברים מסדר 2 בחבורה. הבעיה הראשונה שגישה זו מציבה היא שלא ברור שאיברים כאלה קיימים.

קיומן של אינוולוציות (בחבורות פשוטות לא ציקליות) מובטח על ידי המשפט הבא ששוער על ידי ויליאם ברנסייד ב-1911:

קל להסיק ממשפט זה (באמצעות משפט קושי) שלכל חבורה פשוטה לא ציקלית יש אינוולוציה לא טריוויאלית. לכן, כדי להוכיח את משפט המיון, די להוכיח את המשפט הבא:

התקווה של בראואר להוכיח משפט זה מבוססת על המשפט הבא

בדיעבד, נובע ממשפט המיון, שמספר סופי זה הוא לכל היותר 3.
ניתן לחשוב על האסטרטגיה של בראואר בתור האלגוריתם הבא:
רצים על כל הקבוצות הסופיות (עם ריבוי) של חבורות פשוטות המופיעות במיון. זה החלק היחיד באלגוריתם שאינו סופי.
עבור כל קבוצה כזאת, עוברים על כל החבורות שגורמי סדרת ההרכב שלהן זו הקבוצה הנתונה. זה מעבר סופי, שניתן לבצע אלגוריתמית אבל עלול להיות מאוד מורכב.
 עבור כל חבורה  כזאת, רצים על כל החבורות  הפשוטות  כך ש- היא מרכז של אינוולוציה ב-. לפי משפט בראואר-פאולר מעבר זה הוא סופי.
 עבור כל חבורה  מוודאים ש- היא אחת החבורות המופיעות במיון.

אלגוריתם זה אינו פרקטי כשלעצמו, אך הוא מהווה את ההשראה להוכחת משפט המיון.

חבורות מקומיות
למרות האמור מעלה, הוכחת משפט המיון לא מתבססת על מרכזים של אינוולוציות בלבד ואף לא על מרכזים באופן כללי, אלא על מחלקה רחבה יותר של תת-חבורות הנקראות חבורות מקומיות.

בהתאם, משפט המיון נובע מהמשפט הבא:

תפקידה של חבורת פיטינג המוכללת
ניתוח סדרת ההרכב של חבורה נתונה הוא משימה קשה בדרך כלל. השאלה ההפוכה: מה הם כל החבורות בעלות גורמי סדרת הרכב נתונים קשה עוד יותר.
תת-חבורת פיטינג המוכללת מאפשרת גרסה מקלה של שאלות אלו שעדיין מספקת מידע רב על החבורה.
תת-חבורת פיטינג המוכללת של חבורה סופית  היא תת-חבורה קנונית של   המתקבלת ממכפלה של 2 תתי-חבורות:
תת-חבורת פיטינג - זוהי תת-החבורה הנורמלית הנילפוטנטית המקסימלית ב- .
השכבה -זוהי תת-החבורה הנורמלית הפשוטה למחצה המקסימלית ב- .

החשיבות של תת-חבורת פיטינג המוכללת נובעת מהמשפט הבא:

מכאן, קל להסיק שניתן לשכן את  מודולו המֶרְכָּז שלה בחבורת האוטומורפיזמים של חבורת פיטינג המוכללת שלה. כך שאפשר לומר שניתן לתאר את  על ידי חבורת פיטינג המוכללת שלה. 

נשים לב שחבורת פיטינג המוכללת של   היא הרחבה מרכזית חוזרת של השכבה של   וזו היא חבורה פשוטה למחצה. קל למדי לתאר חבורות פשוטות למחצה בהינתן גורמי סדרת ההכב שלהן: לשם כך יש לחשב את  של גורמים אלו (זו משימה פשוטה יחסית עבור כל החבורות הפשוטות המופעות במיון), וכך לקבל את הכיסויים האונברסליים של הגורמים. לאחר מכן יש להכפיל את כל הגורמים ולקבל חבורה . חבורות פשוטות למחצה עם גורמי סדרת ההרכב הנתונים הן מנות של  לפי תתי-חבורות מרכזיות שלה.

לכן, במקרים רבים מחליפים את סדרות ההרכב באסטרטגיות המתוארות למעלה, בסדרות ההרכב של חבורת פיטינג המוכללות של החבורות הנדונות. עד כדי גורמים ציקליים, אלו הן סדרות ההרכב של השכבה של החבורות הנדונות.

בהתאם, ניתן להסיק את משפט המיון מהמשפט הבא:

כמו כן, משפט בנדר, מאפשר לעדן את האסטרטגיה של בראואר באופן הבא:
רצים על כל הקבוצות הסופיות  (עם ריבוי) של חבורות פשוטות המופיעות במיון. זה החלק היחיד באלגוריתם שאינו סופי.
עבור כל קבוצה כזאת, עוברים על כל החבורות הפשוטות למחצה שהמנות הפשוטות שלהן הן החבורות הלא אבליות ב-. זה מעבר סופי, שניתן לבצע בקלות יחסית, שכן הוא דורש רק ידע של כופלי שור של החבורות הלא אבליות ב-.
 עבור כל חבורה  כזאת, רצים על כל ההרחבות המרכזיות החוזרות שלה על ידי החבורות האבליות  ב - .
 עבור כל חבורה  כזאת, רצים על כל החבורות  כך ש- היא חבורת פיטינג המוכללת של . לפי משפט בנדר, מעבר זה הוא סופי.
 עבור כל חבורה  כזאת, רצים על כל החבורות  הפשוטות  כך ש- היא מרכז של אינוולוציה ב-. לפי משפט בראואר-פאולר מעבר זה הוא סופי.
 עבור כל חבורה  מוודאים ש- היא אחת החבורות המופיעות במיון.

גם אלגוריתם זה אינו פרקטי, אך הוא מקרב טוב יותר את הוכחת משפט המיון.
בדיעבד, הקבוצות  שעבורן הריצה לא ריקה הן בדרך כלל קטנות למדי.

תפקידה של תורת הקרקטרים
בשלהי המאה ה-19 הגדיר פרובניוס את המושג קרקטר  של חבורה סופית . אלו הן פונקציות מסוימות על החבורה הסופית עם ערכים בשדה המרוכבים. מנקודת מבט מודרנית אלו הם הקרקטרים של  הצגות בלתי פריקות של . עם זאת, מושג ההצגה הופיע בשלב מאוחר יותר ממושג הקרקטר.

במהלך המאה ה-20, פיתח בראואר אנלוג של תורת הקרקטרים עבור הצגות במרחבים מעל הסגור אלגברי של שדה סופי. תורה זו נקראת תורת הקרקטרים המודולרית.

הן לתורת הקרקטרים והן לגרסתה המודולרית יש תפקיד מכריע ברבות מטענות הביניים בהוכחת משפט המיון.

האסטרטגיה בפועל
אסטרטגיית המיון מבוססת על כל הרעיונות המתוארים מעלה ועוד רבים אחרים.

לצורך ההוכחה, מחלקים את החבורות לשתי מחלקות, בעלות "טיפוס זוגי" ו"טיפוס אי-זוגי", וממיינים כל מחלקה בפני עצמה. המקרה האי-זוגי קל יותר (והוא תופס רק 3 כרכים בהוכחת הדור השני), משום שבו אפשר למיין את החבורות על-פי גרסה מתאימה של "דרגת לי", המוגדרת עבור חבורות אלגבריות באמצעות טורוסים, שהם מכפלת עותקים של החבורה הכפלית של שדה הבסיס. במקרה הזוגי, עלולים הטורוסים שלא לספק שום מידע (החבורה הכפלית של השדה מסדר 2 היא טריוויאלית). במקום "דרגת לי" המוגדרת עבור חבורות אלגבריות, משתמשים בפרמטר , השווה לדרגה המקסימלית של תת-חבורה אלמנטרית אבלית מאקספוננט ראשוני של נורמליזטור של חבורת 2-סילו של G. 

חבורות שבהן הפרמטר קטן או שווה ל-2 נקראות "דקות למחצה". המיון של חבורות דקות למחצה הוכרז (על ידי Geoff Mason), אבל לא פורסם בזמן הוכחת הדור הראשון. מיכאל אשבכר, אחד החוקרים המובילים בפרויקט, מצא פער בהוכחה זו, השלים אותו (בעזרת סטיב סמית') בהוכחה שאורכה כ- 1200 עמודים, ופרסם אותה בראשית שנות האלפיים. 

הוכחת הדור השני מבוססת על חלוקה שונה במעט למקרים "זוגי" ו"אי-זוגי" מזו שהייתה מקובלת בדור הראשון. מתנהל גם פרויקט נוסף של שכתוב ההוכחה המקורית, תוך שמירה על אותה חלוקה למקרים.

היסטוריה

התוכנית של גורנשטיין
בשנת 1972 הכריז גורנשטיין על תוכנית להשלמת סיווג החבורות הפשוטות הסופיות, שהורכבה מ־16 צעדים:
 חבורות מדרגת־2 נמוכה. עבודה זו נעשתה למעשה בידי גורנשטיין והראדה, שסיווגו את החבורות שדרגת ה־2 הסקשונלית שלהן לכל היותר 4. רוב המקרים של דרגת־2 לכל היותר 2 כבר נפתרו כשגורנשטיין הכריז על התוכנית.
 פשטות למחצה של ה-2- שכבה של מרכז של אינוולוציה בחבורה פשוטה.
 צורה סטנדרטית במאפיין אי־זוגי
 סיווג חבורות מטיפוס אי־זוגי. הבעיה היא להראות שאם לחבורה יש מרכז של אינוולוציה ב"צורה סטנדרטית", אז היא חבורה מטיפוס לי במאפיין אי־זוגי. בעיה זו נפתרה באמצעות משפט האינוולוציה הקלאסית של אשבכר.
 צורה קוואזי־סטנדרטית
 אינוולוציות מרכזיות
 סיווג חבורות האלטרציות
 סיווג חלק מהחבורות הספורדיות
 חבורות דקות; החבורות דקות סופיות הפשוטות, אלו שדרגת ה־p־הלוקלית־2 שלהן לכל היותר 1 עבור מספרים ראשוניים אי־זוגיים p, סווגו בידי אשבכר ב־1978.
 חבורות עם תת־חבורה p־משוכנת־חזק עבור p אי־זוגי
 הוכחת משפט ה-signalizer functor. בוצע על ידי מקברייד ב־1982.
 מיון חבורות מטיפוס מאפיין p. אלו הן החבורות עם תת־חבורה 2-לוקלית שהיא p־משוכנת־חזק, עבור p אי־זוגי. טופל על-ידי אשבכר.
 מיון חבורות כמעט־דקות. חבורה כמעט־דקה היא חבורה שתת־החבורות הלוקליות־2 שלהן מדרגת־p לכל היותר 2 לכל p אי־זוגי. הושלם על-ידי אשבכר וסמית ב־2004.
 חבורות מדרגת־3 לוקלית ודרגה נמוכה 2. בעיה זו נפתרה למעשה על ידי משפט שלוש האפשרויות של אשבכר עבור חבורות עם e(G)=3. 
 מרכזי איברי־3 בצורת סטנדרטית. בעיה זו נפתרה למעשה על ידי משפט שלוש האפשרויות.
 סיווג החבורות הפשוטות מטיפוס מאפיין 2. בעיה זו נפתרה באמצעות משפט גילמן–גרייס.

ציר הזמן של ההוכחה
חלק ניכר מהפריטים בטבלה שלהלן נלקחו מתוך . התאריך המופיע הוא לרוב תאריך הפרסום של ההוכחה המלאה של התוצאה, לעיתים חלפו כמה שנים לאחר ההוכחה או ההכרזה הראשונה עליה, ולכן חלק מן הפריטים מופיעים בסדר "שגוי".

השורות בהן מופיעות התפתחויות חשובות מודגש ברקע צהוב.
+תאריךהתפתחות1832גלואה מגדיר את המושג תת-חבורה נורמלית ומוצא את החבורות הפשוטות An (n ≥ 5) ואת PSL2(Fp) (p ≥ 5)1854קיילי מגדיר חבורות אבסטרקטיות1861מתיו מתאר את שתי חבורות מתיו הראשונות M11, M12, החבורות הפשוטות הספורדיות הראשונות, ומכריז על קיומה של M24.1870ז'ורדן מונה כמה חבורות פשוטות: חבורת האלטרציות והחבורות הליניאריות הפרויקטיביות המיוחדות, ומדגיש את חשיבות החבורות הפשוטות.1872סילו מוכיח את משפטי סילו1873מתיו מציג שלוש חבורות מתיו נוספות M22, M23, M24.1889הלדר מוכיח את הגרסה המודרנית של משפט ז'ורדן הלדר, ובכך מדגיש את החשיבות במויון החבורות הפשוטות.1892הלדר מוכיח שהסדר של כל חבורה פשוטה סופית לא־אבלית חייב להיות מכפלה של לפחות ארבעה ראשוניים (לא בהכרח שונים), ומבקש לסווג את החבורות הפשוטות הסופיות.1893קול מסווג את החבורות הפשוטות עד סדר 6601896פרובניוס וברנסייד מתחילים בחקר תורת הקרקטרים של חבורות סופיות1899ברנסייד מסווג את החבורות הפשוטות שהמְרַכֵּז של כל אינוולוציה בהן הוא חבורת 2 אבלית אלמנטרית לא־טריוויאלית1901פרובניוס מוכיח שלחבורת פרובניוס יש גרעין פרובניוס, ולכן בפרט איננה חבורה פשוטה1901דיקסון מגדיר חבורות קלאסיות מעל שדות סופיים שרירותיים, וחבורות יוצאות דופן מטיפוס G2 מעל שדות במאפיין אי־זוגי1901דיקסון מציג את החבורות הפשוטות הסופיות היוצאות דופן מטיפוס E61911ברנסייד משער שכל חבורה פשוטה סופית לא־אבלית היא מסדר זוגי1928הול מוכיח את קיומן של תת־חבורות הול בחבורות פתירות1933הול מתחיל את מחקרו בחבורות p1935בראואר מתחיל את חקר תורת ההצגות המודולרית1936זסנהאוס מסווג חבורות תמורה סופיות שהן 3־טרנזיטיביות באופן הדוק1938פיטינג מציג את חבורת פיטינג ומוכיח את משפט פיטינג, שלפיו עבור חבורות פתירות חבורת פיטינג מכילה את מֵרָכּזה1954בראואר מסווג חבורות פשוטות שבהן המְרַכֵּז של אינוולוציה הוא GL2(Fq)1955משפט בראואר–פאולר מראה שמספר החבורות הפשוטות הסופיות עם מְרַכֵּז  נתון של אינוולוציה הוא סופי, ומציע אסטרטגיית סיווג באמצעות מרכזי אינוולוציות1955שבאלי מציג את חבורות שבאלי, ובפרט חבורות פשוטות יוצאות דופן מטיפוס F4, E7, ו־E81956משפט הול–היגמן מתאר את האפשרויות עבור פולינום מינימלי של איבר מסדר חזקה של ראשוני בהצגה של חבורה p־פתירה1957סוזוקי מראה שכל חבורת CA סופית פשוטה מסדר אי־זוגי היא חבורה ציקלית1958משפט בראואר–סוזוקי–ואל מאפיין את החבורות הליניאריות הפרויקטיביות המיוחדות מדרגה 1, ומסווג את חבורות ה־CA הפשוטות1959שטיינברג מציג את חבורות שטיינברג, ומגדיר חבורות פשוטות סופיות חדשות מטיפוסים 3D4 ו־2E6 (האחרונה נמצאה גם על ידי טיץ בערך באותו הזמן)1959משפט בראואר–סוזוקי על חבורות עם תת־חבורות 2- סילו  קווטרניוניות מוכללות מראה בפרט שאף אחת מהן אינה פשוטה1960וולתר פייט, מרשל הול וג'ון תומפסון מראים שכל חבורת CN סופית פשוטה מסדר אי-זוגי היא ציקלית1960סוזוקי מציג את חבורות סוזוקי מטיפוס 2B21961רי מציג את חבורות רי מטיפוסים 2F4 ו־2G21963פייט ותומפסון מוכיחים את משפט הסדר האי־זוגי1964טיץ מציג זוגות BN לחבורות מטיפוס לי ומוצא את חבורת טיץ - האחרונה מבין החבורות הפשוטות מטיפוס לי1965משפט גורנשטיין–וולטר מסווג חבורות עם תת־חבורת סילו 2 דיהדרלית1966גלוברמן מוכיח את משפט Z*1966יאנקו מציג את חבורת יאנקו J1, החבורה הספורדית הראשונה שהתגלתה זה כמאה שנה1968גלוברמן מוכיח את משפט ZJ1968היגמן וסימס מציגים את חבורת היגמן–סימס1968קונוויי מציג את חבורות קונוויי1969משפט וולטר מסווג חבורות עם תת־חבורות סילו 2 אבליות1969הצגת חבורת סוזוקי הספורדית, חבורת יאנקו J2, חבורת יאנקו J3, חבורת מקלפלין, וחבורת הלד1969גורנשטיין מגדיר signalizer functor על בסיס רעיונותיו של תומפסון1970מקוויליאמס מראה שחבורות־2 ללא תת־חבורה אבלית נורמלית מדרגה 3 הן בעלות מדרגת־2 סקשונלית לכל היותר 4. (החבורות הפשוטות עם תת־חבורות סילו המקיימות תנאי זה סווגו מאוחר יותר על ידי גורנשטיין והראדה.)1970בנדר מציג את חבורת פיטינג המוכללת ומוכיח שחבורת פיטינג המוכללת מכילה את מֵרָכּזה1971פישר מציג את שלוש חבורות פישר1971תומפסון מסווג זוגות ריבועיים1971בנדר מסווג חבורות עם תת־חבורה משוכנת חזק1972גורנשטיין מציע תוכנית לסיווג החבורות הפשוטות הסופיות המורכבת מ־16 צעדים; הסיווג הסופי עוקב אחרי התוכנית באופן הדוק למדי1972ליונס מציג את חבורת ליונס1973רודבליס מציג את חבורת רודבליס1973פישר מגלה את חבורת המפלצת הקטנה (לא פורסם), שבעזרתה, יחד עם גרייס הוא מגלה את חבורת המפלצת, שממנה נובעים גם חבורת תומפסון וחבורת הראדה–נורטון (שנמצאה גם בדרך שונה על ידי הראדה)1974תומפסון מסווג חבורות N, חבורות שכל תת־חבורה לוקלית בהן פתירה1974משפט גורנשטיין–הראדה מסווג את החבורות הפשוטות מדרגה 2-סקשונלית לכל היותר 4, ומחלק את יתר החבורות הפשוטות הסופיות לטיפוס רכיב ולטיפוס מאפיין 21974טיץ מראה שחבורות עם זוג BN מדרגה לפחות 3 הן חבורות מטיפוס לי1974אשבכר מסווג חבורות עם ליבה 2־יוצרת נאותה1975גורנשטיין וולטר מוכיחים את משפט איזון L1976גלוברמן מוכיח את משפט signalizer functor הפתיר1976אשבכר מוכיח את משפט הרכיב, שמראה בקירוב שחבורות מטיפוס אי־זוגי המקיימות תנאים מסוימים מכילות רכיב בצורה סטנדרטית. חבורות עם רכיב בצורה סטנדרטית סווגו באוסף רחב של מאמרים1976אונן מציג את חבורת אונן1976ינקו מציג את חבורת ינקו J4, החבורה הספורדית האחרונה שהתגלתה, ובכך למעשה משלים את הבניה של כל החבורות הפשוטות הסופיות1977אשבכר מאפיין את חבורות מטיפוס לי במאפיין אי־זוגי במשפט האינוולוציות הקלאסי. לאחר משפט זה, אשר במובן מסוים מתמודד עם "רוב" החבורות הפשוטות, התגבשה התחושה שסיום הסיווג מתקרב1978אשבכר מסווג את החבורות הדקות, שהן בעיקר חבורות מדרגה 1 מטיפוס לי מעל שדות במאפיין זוגי1981בומביירי משתמש בתורת אלימינציה להשלמת עבודתו של תומפסון באפיון חבורות רי, אחד השלבים הקשים ביותר בסיווג1982מקברייד מוכיח את משפט signalizer functor לכל החבורות הסופיות1983משפט גילמן–גרייס מסווג חבורות מטיפוס מאפיין 2 מדרגה לפחות 4 עם רכיבים סטנדרטיים, אחד משלושת המקרים במשפט שלוש האפשרויות1983אשבכר מוכיח שאף חבורה סופית אינה מקיימת את הנחות המקרה הייחודי, אחד משלושת המקרים במשפט שלוש האפשרויות1983גורנשטיין וליונס מוכיחים את משפט שלוש האפשרויות עבור חבורות מטיפוס מאפיין 2 מדרגה לפחות 4, בעוד אשבכר מטפל במדרגה 3. הדבר מחלק את החבורות לשלושה תת־מקרים: המקרה הייחודי, חבורות מטיפוס GF(2), וחבורות עם רכיב סטנדרטי1983גורנשטיין מכריז שהסיווג הושלם. ההכרזה לא לחלוטין מצדקת שכן ההוכחה במקרה החבורות הכמעט־דקות עדיין לא הושלמה1985קונווי, קרטיס, נורטון, פרקר, וילסון ות'קראי מפרסמים את אטלס החבורות הסופיות עם מידע בסיסי על 93 חבורות פשוטות סופיות1994גורנשטיין, ליונס וסולומון מתחילים בפרסום הסיווג המחודש2004אשבכר וסמית מפרסמים את עבודתם על חבורות כמעט־דקות (שברובן הן חבורות מטיפוס לי מדרגה לכל היותר 2 מעל שדות במאפיין זוגי), ומשלימים את הפער האחרון שנותר ידוע בסיווג2008הראדה וסולומון משלימים פער קטן בסיווג על ידי תיאור חבורות עם רכיב סטנדרטי שהן כיסוי של חבורת מתיו M22, מקרה שדולג בטעות עקב טעות בחישוב כופל שור של M222012גונטייה ועמיתיו מכריזים על גרסה מבוקרת־מחשב של משפט פייט–תומפסון באמצעות מסייע ההוכחות Rocq (אז: Coq).

 מקורות 
 Bull. American Math. Soc. 43(1), 115–121: review on "The classification of quasithin groups I,II", R. Solomon.
  – article won Levi L. Conant prize for exposition

לקריאה נוספת
 מרכוס דו סוטוי, סימטריה, מסע אל מרחבי התבניות של הטבע, מאנגלית: אוריאל גבעון, ספרי עליית הגג, ידיעות ספרים, 2010

קישורים חיצוניים


פוסט של טרי טאו על המשפט.

 הערות שוליים 

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:משפטי מיון
מיון לחבורות פשוטות
קטגוריה:תוכניות מתמטיות