אי-שוויון ברנולי

אי-שוויון ברנולי הוא האי-שוויון  לכל מספר שלם  ולכל מספר ממשי . יסודי ושימושי באנליזה מתמטית. בעזרתו אפשר להראות שהסדרה  עולה בזמן שהסדרה  יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי , כגבולן המשותף. הוא קרוי על שמו של המתמטיקאי יאקוב ברנולי.

תחולה
האי-שוויון נכון לכל  ממשי, ובלבד ש- (את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר  טבעי זוגי האי-שוויון נכון לכל , וכאשר  אי-זוגי הוא נכון לכל  (ואף מעט משמאל לנקודה 2-).

הוכחה
עבור  אפשר להוכיח על פי נוסחת הבינום של ניוטון:

את המקרה הכללי (כלומר ) ניתן להוכיח באינדוקציה:

עבור  מתקיים: .
נניח את נכונות האי-שוויון עבור , ונוכיח את נכונותו עבור . כלומר נניח כי  ונוכיח כי . נשים לב כי  ולכן . מכיוון שכפל של אי-שוויון בגורם חיובי לא משנה את כיוונו, מתקיים: , ומכאן . הביטוי  חיובי ולכן מתקיים: .

הכללה
לכל חזקה ממשית  ניתן להכליל את האי-שוויון כך שלכל  ולכל 

ולכל 

כאמור, את ההכללה אפשר להוכיח בעזרת הנגזרת.

קישורים חיצוניים

ברנולי