סימון מתמטי

במתמטיקה ובלוגיקה נהוג לסמן עצמים, יחסים ואף מילות קישור בסימנים מיוחדים, על־מנת לקצר ולחסוך אי־הבנות בכתיבה ובקריאה. בערך זה מובאת רשימה של סימונים שכיחים.

קריאתם של ביטויים מתמטיים נעשית משמאל לימין, גם כאשר הם משולבים בטקסט עברי.

 שימוש באותיות 

יש כמה מערכות מספרים וקבועים מספריים שקיבלו סימן קבוע משלהם (ראו להלן).

מלבד אלה, נהוגה היררכיה של סוגי אותיות, הנמצאת בהתאמת־מה לגודלו של האובייקט המסומן. לדוגמה, מרחב וקטורי יסומן באות לטינית גדולה כגון , בעוד שאבריו יסומנו באותיות קטנות , ומשפחה של מרחבים תסומן באות מעוטרת כגון . אלו אינם כללים מחייבים, ויש להם יוצאי דופן רבים. לדוגמה, טופולוגיה מקובל לסמן באות היוונית טאו, בעוד שאת הקבוצות הפתוחות השייכות לטופולוגיה מסמנים באותיות לטיניות גדולות, למשל .

לרוב האותיות בהן נעשה שימוש מגיעות מהאלפבית הלטיני או מהאלפבית היווני. לעיתים נדירות יותר נעשה שימוש גם במערכות כתב אחרות. למשל באלפבית העברי נעשה שימוש לציון עוצמות.

 סימונים אריתמטיים בסיסיים 

 סימון שם דוגמה הערות  פלוס / חיבור   מינוס / חיסור   או  כפל בדרך כלל, אפשר להשתמש בסימון  ובסימון  להביע את אותה הפעולה. אך כאשר מדובר בווקטורים, לשני הסימונים יש כוונות שונות. הביטוי  הוא מכפלה סקלרית, אבל  הוא מכפלה וקטורית. בנוסף עדיף להשתמש בסימון  כאשר יש פרמטרים או נעלמים כדי למנוע בלבול עם המשתנה . , , או חילוקסוגרייםהסוגריים קובעים את סדר הפעולות: הפעולות בתוך הסוגריים מופעלות לפני הפעולות מחוצה להם. הסוגריים מסמנים גם n־יות סדורות, שבהם חשיבות לסדר (בניגוד לקבוצות), לדוגמה: . הסימון  מסמן גם קטע פתוח.  חזקה  שורש ריבועי   שורש מסדר n   ערך מוחלט (או עוצמה או דטרמיננטה)  הערך המוחלט של מספר ממשי או מרוכב הוא המרחק שלו מאפס. הסימון משמש גם לדטרמיננטה של מטריצה או לעוצמה של קבוצה.פלוס מינוסשני שימושים עיקריים: 1. לציון שכל אחד משני הסימנים (פלוס או מינוס) אפשרי, כגון "פתרונות המשוואה  הם ". מקובל שאם התו מופיע פעמיים באותו ביטוי, הוא מתייחס לאותו סימן: ; כדי לתאר סימנים הפוכים, משתמשים בתו ההפוך , כגון .

2. לציון טווח (כגון בסטטיסטיקה, , היינו בין  ל־)

יחסים

 סימון שם משמעות דוגמה דוגמה במילים הערות  שווה הביטויים בשני צדי הסימון שווים זה לזה   שווה ל־  גדול מ־ הביטוי בצד שמאל גדול מהביטוי בצד ימין   גדול מ־ קיים סימון הפוך:   גדול מ־ או שווה ל־ הביטוי בצד שמאל גדול או שווה לביטוי בצד ימין   גדול מ־ או שווה ל־ קיים סימון הפוך:  הרבה יותר גדול מ־ הביטוי בצד שמאל הרבה יותר גדול (כך שהביטויים לא באותו סדר גודל) מהביטוי בצד ימין   הרבה יותר גדול מ־ קיים סימון הפוך:   דומה ל־, שקול ל־ סימון כללי ליחסי שקילות רבים   דומה ל־  שווה בקירוב ל־ הביטויים שווים בערכם המקורב זה לזה   שווה בקירוב ל־ לעיתים משמש במקום  לסימון שקילות אינו היחס אליו הסימן מצטרף אינו מתקיים   אינו שווה ל־ מצטרף כשלילה למגוון סימונים שוניםיחס ישרהביטוי בצד שמאל נמצא ביחס ישיר לביטוי בצד ימין.  נמצא ביחס ישר ל־ נפוץ גם בפיזיקהאיזומורפיותהאובייקטים משני צידי הסימן איזומורפיים זה לזה.  איזומורפי ל־ יחס זה משמש בעיקר בין מבנים אלגבריים

 לוגיקה פורמלית 

משפטים מורכבים לעיתים מחלקים, אשר גוררים לוגית זה את זה. למשל המשפט "בכל מחשב יש מעבד", גורר שאם קיים מחשב, אזי קיים מעבד. הוא אינו גורר שקיים מחשב, או שאם יש מעבד, הוא בהכרח נמצא בתוך מחשב. המשפט "כל מעבד נמצא במחשב" אינו נובע מהמשפט הנ"ל. כמו כן, ישנם משפטים השקולים זה לזה, למשל "כל העטים כחולים, ורק הם כחולים", ו־"אם משהו הוא כחול, אזי הוא עט, ואם משהו הוא עט, אזי הוא כחול". בקיצור, אפשר לומר ש"x הוא עט אם ורק אם הוא כחול". סימני הלוגיקה הפורמלית מאפשרים להצרין את הקשרים הללו.

על הסימונים האלה אמר המתמטיקאי פול הלמוש "... הסימבוליזם של הלוגיקה הפורמלית חיוני לדיון בלוגיקה של המתמטיקה, אבל בתור אמצעי להעברת רעיונות מאדם לאדם הוא הופך לקוד מסורבל. הכותב נאלץ לקודד בו את המחשבות שלו (אני מסרב להאמין שאדם כלשהו חושב במונחי  או ), והקורא נאלץ לפענח אותו. בשני הכיוונים מדובר בבזבוז זמן. פסוקים פורמליים הם משהו שמכונות יכולות לכתוב, ומעטים מלבד מכונות יכולים לקרוא".

 סימון שם משמעות דוגמה דוגמה במילים הערות  שלילה היפוך ערך אמת  אם  אמיתי אז  שקרי ולהפך מקובלים גם הסימונים  ו־ גורר ש־ הביטוי / ההסק הלוגי מצד שמאל גורר את זה שמצד ימין   גורר ש־  אם ורק אם / שקילות הביטויים גוררים זה את זה   אם ורק אם־ או הביטוי הוא אמת אם אחד מהאיברים מצידי הסימן הוא אמת, אחרת שקר  הביטוי הוא אמת אם  נכון או  נכון וגם הביטוי הוא אמת אם שני האיברים מצידי הסימן הוא אמת, אחרת שקר  הביטוי הוא אמת אם  נכון וגם  נכון  לכל לכל איבר המקיים [...]  לכל a הגדול מ־10, a גדול מ־9  קיים קיים איבר המקיים [...]  קיים a הקטן מ־3.  קיים יחיד קיים איבר יחיד המקיים [...]  קיים מספר טבעי יחיד  בין 7 ל־9.  מוגדר בתור / שקול ל־ / שווה תמיד ל־ הביטוי בצד שמאל מוגדר כביטוי בצד ימין  הסימון משמש למספר דברים שונים במתמטיקה, למשל בחשבון מודולרי.  מוגדר בתור הביטוי בצד שמאל מוגדר כביטוי בצד ימין   מוגדר בתור  מקור הסימון הוא פעולת ההשמה בשפות תכנות (מדעי המחשב)

 גאומטריה 

 סימון שם דוגמה הסבר במילים AB ישר/קטע AB הקטע הישר שקודקודיו הם הנקודות A ו־B (הישר העובר בין A ל־B)  זווית  במשולש ABC הזווית  היא הזווית שנוצרת בקודקוד A בין הישרים AB ל־AC  אורתוגונליות/ניצבות/מאונכות  הישר AB מאונך ל־BD  ישרים מקבילים  הישר AB מקביל ל־CD  משולש  המשולש ABC שצלעותיו הן AB, BC ו־CA  זווית במעלות קשת  במעגל יש 360 מעלות

 תורת המספרים האלמנטרית 

 סימון שם משמעות דוגמה  מחלק a מחלק של b  אבל   מחלק משותף מקסימלי המספר הטבעי הגדול ביותר המחלק שני מספרים נתונים   שקילות מודולרית המספרים שקולים מודולו n, כלומר, נותנים אותה שארית בחלוקה ל־n.  #p פרימוריאל כפל כל המספרים הראשוניים הראשונים עד p זה בזה. 5#=2*3*5  סימן לז'נדר / סימן יעקובי הסימן הוא 0 אם a מחלק את p ללא שארית,  אם a הוא שארית ריבועית מודולו p ו־() אם a אינו שארית ריבועית מודולו p. 

 קומבינטוריקה 

 סימון שם משמעות דוגמה דוגמה במילים הערות  עצרת  הוא מכפלת כל המספרים הטבעיים מ־1 עד n.  מספר התמורות של n עצמים שונים. מקובל להגדיר .  מקדם בינומי מספר תת־הקבוצות בגודל k של קבוצה בגודל n . במקרה הכללי: . מסומן גם כ־.

 תורת הקבוצות 
בניית קבוצות

באופן כללי, קבוצות מסומנות בסוגריים מסולסלים, כאשר איברי הקבוצה מנויים בין הסוגריים. כך ניתן גם להגדיר את הקבוצה, באופן חד משמעי: תחילה נסמן את האיברים, ואחר כך את התנאי שהם מקיימים, כאשר קיימת הפרדה ביניהם. למשל, קבוצת כל המספרים הממשיים הקטנים מ־2 אך הגדולים מ־1 תסומן:

או:

או:
.

 סימונים מקובלים 

 סימון שם הסבר דוגמה דוגמה במילים הערות  נמצא ב־ / שייך ל־ הביטוי בצד שמאל נמצא כאיבר בקבוצה שבצד ימין   שייך ל־  מוכל ב־ הקבוצה בצדו השמאלי של הסימן מוכלת בקבוצה שבצדו הימני של הסימן   מוכל ב־ אפשר גם כך: הקבוצה בצד הימני מוכלת בקבוצה שבצד השמאלי:   מוכל או שווה ל־ הקבוצה בצדו השמאלי של הסימן מוכלת בקבוצה בצדו הימני של הסימן או שווה לה   מוכל ב־ או שווה ל־ אפשר גם כך: הקבוצה בצד הימני מוכלת בקבוצה בצד השמאלי, או שווה לה:   איחוד איחוד של שתי קבוצות  ו־ הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים של שתי הקבוצות  איחוד של  ו־  חיתוך חיתוך של שתי קבוצות  ו־ הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ב־ ששייכים גם ל־  חיתוך של  ו־  או  או  איחוד זר איחוד של שתי קבוצות  ו־ זרות   איחוד זר עם  מסמנים זאת כך כאשר   או  הפרש קבוצות האיברים שנמצאים בקבוצה אחת אך לא באחרת  A פחות B   הפרש סימטרי הפרש סימטרי של שתי קבוצות הוא קבוצת כל האיברים השייכים בדיוק לאחת משתי הקבוצות   × מכפלה קרטזית קבוצת כל הזוגות הסדורים שהאיבר הראשון בהם הוא של A והשני של B    פונקציה מ־A ל־B פונקציה שהתחום שלה הוא הקבוצה A והטווח שלה הוא הקבוצה B   היא פונקציה מהממשיים לממשיים  כלל התאמה תיאור כלל התאמה ואיזה איבר בטווח מתאים לאיבר במקור  פונקציה המתאימה ל־ את ריבועו  מופיע בדרך כלל מתחת לביטוי מהצורה  (ראו לעיל) ומושלם על ידו  פונקציה בתחשיב למדא תיאור פונקציה באמצעות סימון למדא  פונקציה המתאימה ל־ את ריבועו  סימון זה נמצא בשימוש בעיקר בלוגיקה מתמטית, שפות פורמליות ומדעי המחשב או  עוצמההעוצמה של קבוצה  (או מספר האיברים בה)  אָלֶף אֶפֶס עוצמת המספרים הטבעיים – האינסוף הקטן ביותר, כמשמעותו של מושג זה בתורת הקבוצות   או  אלף – עוצמת הרצף עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים ושל קבוצת הנקודות על קו ישר או על קטע 

 קבוצות ומבנים נפוצים 

 סימון שם הגדרה  הקבוצה הריקה   המספרים הטבעיים  או  (שתי האפשרויות מקובלות ותלויות בהקשר)  המספרים השלמים   המספרים הרציונלים   המספרים הממשיים  קטע במספרים הממשיים ; סימונים כמו  או  מציינים שאחת מנקודות הקצה (או שתיהן, בהתאמה) כלולה (או כלולות) בקטע  המספרים המרוכבים  כאשר  שדה כללי  השדה הסופי מסדר q השדה היחיד עד כדי איזומורפיזם הכולל q איברים (כש־q הוא חזקה של ראשוני)  שדה המספרים ה־p־אדיים ההשלמה המטרית של  ביחס לערך מוחלט p־אדי

 טופולוגיה 

 סימון שם הסבר דוגמה  פנים של קבוצה קבוצת כל הנקודות שנמצאות בתוך קבוצה ולא על שפתה   סגור של קבוצה קבוצת הנקודות שנמצאות בקבוצה או על השפה שלה   שפה של קבוצה קבוצת הנקודות שאינן בפנים ואינן בחוץ של קבוצה   החבורה היסודית החבורה היסודית של מרחב טופולוגי  בנקודה  

 אנליזה מתמטית 
 סימון שם הסבר דוגמה  איבר בסדרה  כל איבר בסדרה מיוצג על ידי שם הסדרה ומספר האינדקס שלו בסדרה   סדרה אינסופית סדרה בת מניה של איברים   פונקציה הפעלת הפונקציה  על המשתנה    או  ערך הפונקציה ערך הפונקציה בנקודה שבה    גבול גבול של f (לרוב פונקציה או סדרה) כאשר המשתנה לפיו מחושב הגבול שואף ל־a   או  נגזרת סימון לנגזרת לפי המשתנה x.   או  נגזרת שנייה סימון לנגזרת השנייה של פונקציה.   או  נגזרת מסדר n סימון לנגזרת מסדר גבוה יותר מהנגזרת השנייה. d מסולסלת (∂), סימון לנגזרת חלקיתהנגזרת החלקית של הפונקציה  יחסית ל־ אבל לא ל־  נגזרת חלקית לפי המשתנה x נגזרת חלקית של הפונקציה f כאשר שאר משתניה קבועים, המיוצגת ומטופלת כאופרטור ליניארי על מרחב הפונקציות הגזירות   אינטגרל סימון לאינטגרל. אינטגרל מסילתיאינטגרל קווי על מסלול סגור  אינסוף (במשמעותו בחשבון אינפיניטסימלי) משמש לשם הצגת שאיפה לאינסוף של משתנים, סדרות ופונקציות  או נבלה או "דל" וקטור דיפרנציאלי הגרדיאנט של פונקציה סקלרית : 
הדיברגנץ של פונקציה וקטורית : 
הרוטור של פונקציה וקטורית : 
הלפלסיאן של פונקציה סקלרית  : קונבולוציההקונבולוציה של הפונקציה  עם הפונקציה   או התמרת פורייההתמרת פורייה של הפונקציה  מתחום המשתנה  לתחום המשתנה התמרת לפלסהתמרת לפלס של הפונקציה  מתחום המשתנה  לתחום המשתנה  פונקציית תקרה (ערך שלם עליון) המספר השלם הכי קטן אשר גדול או שווה למספר הנוכחי פונקציית רצפה (ערך שלם תחתון) המספר השלם הכי גדול אשר קטן או שווה למספר הנוכחי (לעיתים נרשם כסוגריים מרובעים: )

 אלגברה 

להלן סימונים הנהוגים באלגברה ליניארית ותחומים אחרים באלגברה מופשטת:

 סימון שם הסבר דוגמה  וקטור (אלגברה) שתי הצורות מקובלות, לעיתים נהוג אף לסמן וקטור באות דגושה.   וקטור יחידה וקטור בעל נורמה 1   סכום ישר פעולה הבונה מבנה אלגברי מתוך מבנים נתונים.   המרחב הווקטורי שאיבריו הם ה־n־יות הסדורות מעל שדה    מטריצה משוחלפת שחלוף מטריצות הופך את השורות לעמודות (שיקוף סביב האלכסון). מקובלים גם הסימונים  ו־. מטריצה ריבועית היא מטריצה סימטרית אם ורק אם .  מכפלה פנימית של הווקטור a בווקטור b ראו מרחב מכפלה פנימית  נורמה הכללה של מושג ה"אורך" עבור וקטור, להרחבה ראו נורמה   או  מטריצה דטרמיננטה של מטריצה פונקציה המקבלת מטריצה ומחזירה סקלר בשדה מעליה היא מוגדרת  אינדקס של תת־חבורה B בחבורה A, או ממד של השדה A מעל תת־השדה B  כאשר  חבורות.
  כאשר  שדות.  חבורת מנה, חוג מנה, או הרחבת שדות.  חוג הפולינומים מעל חוג R חוג הפולינומים במשתנה x כך שמקדמי הפולינומים הם מ־R  = חוג הפולינומים עם מקדמים רציונליים  קומוטטור בתורת החבורות: בחוגים או אלגברות:    מכפלה טנזורית  מכפלה טנזורית של K ב־E מעל F  שיכון (מונומורפיזם) העתקה חד־חד־ערכית  אפימורפיזם העתקה שהיא על   (ולעיתים גם ) חבורת האיברים ההפיכים בחוג R חבורת האיברים  כך שקיים  כך ש־  ו־

הסתברות
 סימון שם הסבר דוגמה הסתברות מאורע מקריהסתברות המאורע E ,  (לפעמים בקיצור )הסתברות משתנה מקריהסתברות המאורע שהמשתנה X מקבל את הערך x.  הסתברות מותנית הסתברות המאורע A בהינתן שהמאורע B קרה   או  או  או  תוחלת התוחלת (ממוצע משוקלל) של משתנה מקרי X .שונות השונות של משתנה מקרי (מסמלת עד כמה מפוזרים הערכים סביב התוחלת שלהם)  סטיית תקן שורש השונות של משתנה מקרי דרך התפלגותכיצד מפולג משתנה מסוים  – המשתנה X מפולג אחיד (Uniform) בין 0 ל־1. – המשתנה Y מפולג בינומית (Binomial) עם הפרמטרים n,p.  – המשתנה Z מפולג נורמלית עם תוחלת  ושונות .  – המשתנה R הוא משתנה ברנולי עם פרמטר p.  – המשתנה Q מפולג פואסונית עם פרמטר .

 סימונים חשובים נוספים 

סימונים חשובים נוספים:

 סימון שם הסבר דוגמה  אינדקס האיבר במקום ה־i בסדרה כלשהי   סכום סכום האיברים בעלי האינדקסים a עד n  (סכום סדרה הנדסית) מכפלה מכפלת האיברים בעלי האינדקסים a עד n  הקבוע המתמטי פאי היחס בין היקף לקוטר המעגל  הקבוע המתמטי e בסיס הלוגריתם הטבעי היחידה המדומה (קיצור באנגלית של המלה imaginary) יחס הזהבשני גדלים a ו־b מקיימים את יחס הזהב אם היחס בין סכום הגדלים לבין הגדול מביניהם () שווה ליחס שבין הגדול מביניהם לקטן מביניהם.  או החלק הממשי של מספר מרוכב 5 הוא החלק הממשי של המספר המרוכב ‎ או החלק המדומה של מספר מרוכב () הוא החלק המדומה של המספר המרוכב ‎ הרכבת פונקציות  

דוגמה

סדרת המספרים הממשיים  מתכנסת לגבול  אם ורק אם
 לכל  גדול מ־0, קיים  טבעי, כך שלכל  הגדול מ־ מתקיים: הערך המוחלט של  קטן מ־.
בסימונים, אפשר לכתוב: .

ראו גם
התפתחות הסימונים האריתמטיים
קדימות אופרטורים

קישורים חיצוניים

 Mathematical operators and symbols in Unicode – ערך בוויקיפדיה האנגלית, המכיל רשימה אדירה של קודי יוניקוד של אופרטורים, סמלים מתמטיים ודומיהם
  Sequences 2: Notation – סרטון הסבר של MathTV על סימונים מתמטיים של סדרות 

 Douglas Weaver with the assistance of Anthony D. Smith, The History of Mathematical Symbols
 Earliest Uses of Various Mathematical Symbols 

הערות שוליים

*