משפט התיכון

שמאל|350px|ממוזער|השטח הירוק ועוד השטח הכחול שווה לשטח האדום

בגאומטריית המישור, משפט התיכון (ידוע גם כמשפט אפולוניוס) קובע שסכום ריבועי שתי צלעות במשולש, שווה לסכום מחצית ריבוע הצלע השלישית, ופעמיים ריבוע התיכון לה.

כלומר, אם במשולש ABC הנקודה D היא אמצע BC, מתקיים: 

משפט התיכון הוא מקרה פרטי של משפט סטיוארט הקובע: אם במשולש ABC הנקודה D נמצאת על BC ומחלקת אותו ביחס n:m (כלומר mBD = nDC), מתקיים: 

במקרה של משפט התיכון, הנקודה D מחלקת את BC ביחס של 1:1.

הוכחה 

נסמן את היטל AB על BC ב-p (אם  אז p<0)

במשולש ABC, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: 

נעביר אגפים, ונקבל: 

במשולש ABD, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: 

נציב , ונקבל: 

נעביר אגפים ונכפיל ב-2, ונקבל: 

על פי כלל המעבר, נקבל: 

לאחר העברת אגפים, נקבל: 

 הוכחה גאומטרית 

נסמן . כמו כן נסמן 

אם , המשולש שווה-שוקיים והתוצאה מתקבלת מידית מהפעלת משפט פיתגורס.

אחרת, , נחשב את שטח המשולש  לפי נוסחת הרון:

נחשב את שטח המשולש  ונקבל באותו אופן את התוצאה הבאה:

התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח, כלומר . נשווה ביניהם ונמצא את 

נכפיל פי 4 ונעלה את שני האגפים בריבוע: 

נסדר את המשוואה:

נצמצם ב- (זו פעולה חוקית מכיוון שהנחנו כי ) ונקבל את התוצאה:  

תיכון, ה
קטגוריה:משולש