פונקציית אוילר

פונקציית אוילר (על שם המתמטיקאי השווייצרי לאונרד אוילר) היא דוגמה חשובה לפונקציה אריתמטית.

מקובל לסמנה באות היוונית  (פי), והיא מוגדרת באופן הבא:  שווה למספר המספרים הטבעיים הקטנים מ- וזרים לו.
למשל, , ואילו  (1 הוא המספר הטבעי היחיד שזר לעצמו). כלומר, זהו גודלה של חבורת אוילר  המתאימה ל-. 

הפונקציה מוכרת ושימושית בעיקר בזכות משפט אוילר, שלפיו הסדר של כל איבר בחבורת אוילר מסדר  מחלק את .

חישוב הפונקציה
אם  מספר ראשוני, אזי כל המספרים הקטנים מ- זרים לו, ולכן . באופן כללי יותר, המספרים שאינם זרים ל- הם כל אלה המתחלקים ב-, שמספרם , ולכן . ממשפט השאריות הסיני נובע שפונקציית אוילר כפלית, כלומר  עבור  זרים.
מכיוון שכך, אפשר לחשב את ערכיה על-פי הנוסחה

כאשר  הם הגורמים הראשוניים השונים של . לדוגמה . נראה זאת. נכתוב  ונקבל ממה שאנו כבר יודעים עבור חישוב פונקציית אוילר לחזקה של ראשוני כי:

תכונות הפונקציה
פונקציית אוילר מקיימת את הזהות , אותה אפשר להסביר באמצעות חישוב הסדרים של איברים בחבורה הציקלית . 
נוכל להסתכל על הזהות הזו כקונבולוציה  כאשר  פונקציית הזהות. לכן, מנוסחת ההיפוך של מביוס נובע כי

כאשר  פונקציית מביוס.

נוכל לתת הוכחה נוספת, המבוססת על הנוסחה  לחישוב הפונקציה שהראינו. הרי אם  הגורמים הראשוניים השונים המחלקים את , נוכל להבחין כי

שהרי לכל מחלק , אם הוא לא מכפלת ראשוניים שונים אז  מהגדרת פונקציית מביוס.
לכל ,  מספר זוגי. ניתן לראות זאת מתכונת הכפליות. אם  בעבור , אז . אחרת ל- יש מחלק  ראשוני אי-זוגי, כלומר הוא מהצורה , ולכן: , ו- זוגי.
הערך הממוצע של הפונקציה הוא . הגבול התחתון של היחס  הוא , כאשר  הוא קבוע אוילר-מסקרוני.
ניתן לכתוב את טור דיריכלה של פונקציית אוילר באופן הבא:

כאשר  פונקציית זטא של רימן.

בתורת גלואה, פונקציית אוילר מופיעה כממד של ההרחבה הציקלוטומית  של שדה המספרים הרציונליים על ידי שורש היחידה מסדר  (הסיבה לכך היא שהפולינום הציקלוטומי הוא אי פריק).

מקורות
Hardy and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, פרק 18.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
אוילר
קטגוריה:לאונרד אוילר
קטגוריה:חשבון מודולרי