פעולה טרנזיטיבית

בתורת החבורות, פעולה טרנזיטיבית היא סוג מיוחד של פעולה של חבורה על קבוצה. נניח שהחבורה  פועלת על הקבוצה . אם לכל שתי נקודות  קיים איבר  המעביר את  ל-, אז הפעולה היא פעולה טרנזיטיבית. 

במקרים רבים לקבוצה  יש מבנה נוסף (כגון אם  הוא גרף או מרחב מטרי). מן העובדה שקיימת חבורה  הפועלת על  באופן טרנזיטיבי (ושומרת על המבנה), כשלעצמה, נובע שכל הנקודות של  דומות זו לזו; במקרה כזה אומרים ש- מרחב הומוגני (אם  הוא גרף, הוא נקרא גרף טרנזיטיבי). 

פעולה טרנזיטיבית מתוארת באופן מלא על ידי המייצב של נקודה, שהוא תת-החבורה . כל המייצבים צמודים זה לזה, והקבוצה  איזומורפית (כקבוצה עם פעולה של ) למרחב הקוסטים . המייצב הוא תת-חבורה מקסימלית אם ורק אם הפעולה פרימיטיבית.

 טרנזיטיביות מסדר גבוה 

כאשר החבורה  פועלת על קבוצה , היא פועלת מניה וביה גם על המכפלה הקרטזית של  עם עצמה, ובאופן כללי יותר על כל חזקה של . הפעולה מוגדרת לפי , כלומר פעולה על כל רכיב בנפרד. גם אם מוציאים מהחזקה  את האלכסון המוכלל ומשאירים רק את הקבוצה  של הווקטורים באורך  שכל רכיביהם שונים זה מזה, קבוצה זו עדיין מצוידת בפעולה של , המכלילה את פעולתה על הרכיבים. 

אם  פועלת באופן טרנזיטיבי על , אז הפעולה שלה על  היא פעולה -טרנזיטיבית. ניסוח אחר:  פועלת -טרנזיטיבית על , אם לכל  שונים זה מזה, ולכל  שונים זה מזה, קיים איבר של החבורה המעביר . אם יש בחבורה איבר יחיד  כנ"ל, אז הפעולה היא -טרנזיטיבית חדה. כמובן שפעולה 3-טרנזיטיבית היא תכונה חזקה יותר מפעולה 2-טרנזיטיבית, וכן הלאה. (פעולה 2-טרנזיטיבית היא תמיד פרימיטיבית).

לדוגמה, הפעולה של החבורה הסימטרית  על הקבוצה  היא פעולה n-טרנזיטיבית (חדה), בעוד שהפעולה של חבורת התמורות הזוגיות  על אותה קבוצה היא ()-טרנזיטיבית (חדה). כאשר , הפעולה של  היא -טרנזיטיבית אבל אינה חדה.

 פעולה על קבוצה אינסופית 

פעולה על קבוצה אינסופית נקראת טרנזיטיבית במידה רבה (highly transitive) אם היא -טרנזיטיבית לכל , ואוליגומורפית אם לכל  יש מספר סופי של מסלולים של קבוצות בגודל .

 מיון של פעולות טרנזיטיביות 

מיון של כל הפעולות הטרנזיטיביות הוא משימה חסרת תוחלת, משום שכמוהו כמיון כל הזוגות , שהרי  פועלת טרנזיטיבית על מרחב המנה , וכל פעולה טרנזיטיבית היא כזו (כאשר  נקבע עד כדי הצמדה). עם זאת, המיון של פעולות טרנזיטיביות המקיימות תנאים חזקים יותר הוא בעיה חשובה שהולידה תוצאות רבות בתורת החבורות.

 פעולה טרנזיטיבית מדרגה ראשונית 

יש ארבעה סוגים של פעולות טרנזיטיביות על קבוצה מסדר ראשוני. (1) החבורה הסימטרית וחבורת התמורות הזוגיות. (2) תת-חבורות של חבורת ההעתקות האפיניות  המכילות את החבורה החיבורית של השדה. (3) תת-חבורות של החבורה הליניארית המוכללת  המכילות את 
 במקרים שבהם הסדר  של המרחב הפרויקטיבי עליו פועלת החבורה הוא מספר ראשוני. (4) שלושה מקרים ספורדיים:  בהצגה (לא סטנדרטית) מדרגה 11, וחבורות מתיו  ו-.

 2-טרנזיטיביות 

המיון הראשון של חבורות 2-טרנזיטיביות ניתן על ידי ברנסייד. כל חבורה סופית G הפועלת 2-טרנזיטיבית היא או כמעט פשוטה (כלומר  כאשר  פשוטה לא אבלית), או מטיפוס אפיני (כלומר מוכלת בחבורה האפינית של הפעולות על מרחב וקטורי סופי, ומכילה את ההזזות באברי המרחב עצמו). רשימה מלאה של החבורות (ה-2-טרנזיטיביות) מהסוג הראשון אפשר למצוא ב-Praeger-Soicher, 1997. 

את הסוג השני מתאר [Liebeck 1987: The affine permutation groups of rank three, Proc. London Math. Soc. (3) 54 (1987), 477-516] על סמך תוצאות מ[Aschbacher 1984: On the maximal subgroups of the finite classical groups, Invent. Math. 76 (1984), 469-514] (ראו 
).

 טרנזיטיביות מסדר גבוה 

מתברר שפעולה נאמנה בעלת סדר טרנזיטיביות גבוה היא תופעה נדירה למדי בין החבורות הסופיות. ב-1873 הוכיח Jordan שהחבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי חד הן  וחבורת מתיו ; שהחבורות היחידות הפועלות באופן 5-טרנזיטיבי חד הן  וחבורת מתיו , ושהחבורות היחידות הפועלות באופן -טרנזיטיבי חד, עבור , הן . 

ב-1936 הראה Zassenhaus שהחבורות היחידות הפועלות באופן 3-טרנזיטיבי חד הן  (לכל חזקת-ראשוני ), ו- (לכל חזקת-ראשוני שהיא ריבוע אי-זוגי);  היא תת-חבורה של  המכילה את .

כתוצאה ממיון החבורות הפשוטות הסופיות, ידוע היום שפרט לחבורות  ו-, החבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי הן ארבע מבין חמש חבורות מתיו (היינו:  ו- הן 4-טרנזיטיביות, ו- ו- הן 5-טרנזיטיביות)
.

 ראו גם 

 חבורת תמורות
 פעולה פרימיטיבית

 הערות שוליים 

קטגוריה:תורת החבורות

en:Transitive action