מרחב מנה (אלגברה ליניארית)

באלגברה ליניארית, מרחב מנה של מרחב וקטורי  המתקבל מתת-מרחב , הוא מרחב וקטורי המתקבל כתוצאה מ"דחיסת"  ל-0. המרחב המתקבל בצורה זו מסומן . הגדרה זו יצר פאול הלמוס בשנת 1947 בספרו "Finite dimensional vector spaces".

הגדרה

יהא  מרחב וקטורי מעל שדה , ויהי  תת-מרחב שלו. נגדיר יחס שקילות על ידי  עבור כל . ניתן להוכיח כי אכן מדובר ביחס שקילות.

מסמנים את מחלקת השקילות של וקטור  להיות , ומתבוננים בקבוצת מחלקות השקילות הללו המסומנת ב-.

ניתן להוכיח כי אם  ו- אז בהכרח גם . כמו כן, אם  ו- אז גם . בזכות שתי תכונות אלו ניתן להגדיר באופן טבעי על  מבנה של מרחב וקטורי מעל , על ידי פעולת חיבור  וכפל בסקלר . פעולות אלו אינן תלויות בבחירת הנציג של מחלקות השקילות ולכן מוגדרות היטב.

המרחב הווקטורי  עם פעולות אלו נקרא מרחב המנה של  על .

לממד של המרחב הווקטורי  קוראים הקו-ממד של  ב- ומסמנים אותו ב-. ניתן להראות כי אם  מרחב וקטורי מממד סופי, אז .

דוגמאות למרחב מנה

 עבור המרחב הווקטורי  ותת-המרחב  (הישר העובר בראשית בשיפוע 1), מרחב המנה שיתקבל  הוא אוסף כל הישרים בשיפוע 1 ב-, ומרחב זה איזומורפי למרחב .
 באופן כללי יותר, אם נתבונן במרחב הווקטורי  ובתת מרחב שלו  לאיזה  המשוכן בו באופן טבעי, אז נקבל כי מרחב המנה  איזומורפי באופן טבעי למרחב .
 באופן עוד יותר כללי, אם , אז מרחב המנה  איזומורפי באופן טבעי למרחב .

 יהי  מרחב מידה. נקבע  כלשהו, ויהי  אוסף הפונקציות המדידות מהצורה  או , המקיימות . מאי-שוויון מינקובסקי נובע כי  מקיימת את אי-שוויון המשולש, ולכן היא נורמה-למחצה של . כדי להפוך את  לנורמה, התכונה החסרה היא כי . כדי לתקן זאת, ניתן להתבונן בתת-המרחב  (נשים לב כי מרחב זה אינו תלוי ב-), ונקבל כי על המרחב , מתקבלת על ידי  נורמה טבעית.

קישורים חיצוניים


 הערות שוליים 

קטגוריה:אלגברה ליניארית