היפרבולה

ממוזער|250px|מציאת מרכז של היפרבולה
במתמטיקה, הִיפֶּרְבּוֹלָה היא צורה גאומטרית המהווה חתך חרוט, המורכבת משתי עקומות נפרדות הקרויות זרועות ההיפרבולה.

ההיפרבולה ניתנת להגדרה כמקום הגאומטרי של הנקודות שמקיימות שהערך המוחלט של ההפרש בין המרחקים שבין כל אחת מהן לשתי נקודות קבועות (נקודות המוקד) הוא קבוע.

ההיפרבולה ניתנת לייצוג על פני מישור קרטזי כעקום, באמצעות המשוואה האלגברית הבאה:

כאשר .

ניתן להגדיר היפרבולה גם כמקום הגאומטרי של הנקודות שהיחס בין מרחקן מנקודה קבועה – אחד ממוקדי ההיפרבולה – למרחקן מישר נתון – אחד משני מדריכי (directrix) ההיפרבולה – הוא קבוע גדול מ-1, הנקרא אקסצנטריות ההיפרבולה.

אמצע הקטע שבין שני המוקדים נקרא מרכז ההיפרבולה. להיפרבולה שתי אסימפטוטות שנחתכות במרכזה. תהליך למציאת מרכז היפרבולה מתואר באנימציה.

היפרבולה שציריה מאונכים זה לזה נקראת היפרבולה שוות שוקיים (או ישרה). היפרבולה שמרכזה בראשית הצירים נקראת היפרבולה קנונית.

היפרבולואיד הוא גוף תלת-ממדי הנוצר מסיבוב של היפרבולה סביב אחד מציריה.

משוואות המתארות היפרבולה
מערכת קואורדינטות קרטזית
מרכז ההיפרבולה: 

בשתי משוואות אלה,  הוא הציר הראשי ו- הוא הציר המשני, אולם ייתכן ש- יהיה גדול מ-.במקרה הפרטי של היפרבולה קנונית (כלומר, שהמרכז נמצא בראשית הצירים – ), מתקבלת הנוסחה:

ניתן להבחין בדמיון הרב בין נוסחה זו לנוסחתה של אליפסה קנונית ().

האקסצנטריות נקבעת על פי המשוואה:
.

מוקדי ההיפרבולה הקנונית נמצאים בנקודות  ו־. ניתן לכתוב את המוקדים גם כפונקציה של האקסצנטריות, :  ו־.

היפרבולה בה צירי הקואורדינטות זהים לצירי ההיפרבולה:

משוואות האסימפטוטות הן:

מערכת קואורדינטות קוטבית

הצגה פרמטרית (לענף הימני)

 תכונות אנליטיות של ההיפרבולה 
 השטח תחת ההיפרבולה 
האינטגרל של ההיפרבולה "הפשוטה" מהצורה:  הוא:

.

ניתן להגיע לתוצאה זאת באמצעות טכניקה אלגנטית של שינוי מערכת קואורדינטות מ- למערכת קואורדינטות  המסובבת בזווית  ביחס למערכת הצירים  ומקיימת. טרנספורמציית קואורדינטות זאת מתאפשרת אודות לעובדה שהפונקציה  היא למעשה היפרבולה, מה שמסביר את הופעת הלוגריתם בתוצאת האינטגרציה של השטח תחת ההיפרבולה (האינטגרל של  הוא ). האיבר הנוסף בתוצאה נובע מכך שהשטח תחת ההיפרבולה מורכב גם ממשולש ישר-זווית "שאריתי" שניצביו  ו-.

ראו גם
 זווית היפרבולית
 פונקציה היפרבולית
 מסלול היפרבולי
 מבנה היפרבולי

קישורים חיצוניים

 היפרבולה, באתר mathworld




קטגוריה:חתכי חרוט
קטגוריה:עקומות
קטגוריה:היפרבולה