פעולת חבורה

אחד הרעיונות היסודיים בתורת החבורות הוא הפעולה של חבורה על קבוצה. היכולת של חבורות לפעול על מבנים מתמטיים שונים היא הסיבה העיקרית לכך שתורת החבורות שימושית כל-כך בענפים שונים במתמטיקה. גם בתורת החבורות עצמה, פעולה של חבורה על קבוצות בעלות מבנה מוגדר מראש היא כלי מרכזי בחקר המבנה של חבורות, סופיות וגם אינסופיות.

אומרים שחבורה נתונה  פועלת על קבוצה , אם אפשר לפרש כל איבר של החבורה כאילו הוא מהווה פונקציה מן הקבוצה אל עצמה, באופן כזה שכפל האיברים בחבורה מתאים להרכבה של פונקציות, ואיבר היחידה של החבורה פועל 'באופן טריוויאלי' (כלומר מעביר כל איבר של  לעצמו).

הגדרה
כפי שהוצג במבוא, חבורה פועלת על קבוצה אם כל איבר שלה מתפרש כפונקציה מן הקבוצה אל עצמה. מכיוון שכל איבר של חבורה הוא הפיך, גם הפונקציות המתאימות הן הפיכות, כלומר חד-חד-ערכיות ועל.

לחבורה של כל הפונקציות ההפיכות מקבוצה  אל עצמה קוראים 'החבורה הסימטרית של ', ומסמנים ב-. זוהי הכללה של המקרה הסופי, בו מקובל לדבר על החבורה הסימטרית שסימונה . אם כך, אפשר להבין פעולה של חבורה  על קבוצה  גם כהומומורפיזם של  לתוך החבורה הסימטרית של . כשההעתקה הזו חד-חד-ערכית רק איבר היחידה של  פועל באופן טריוויאלי על , והפעולה נקראת נאמנה.

להלן הגדרה שקולה, מפורטת יותר. פעולה של החבורה  על הקבוצה  היא פונקציה  המקיימת:
 (אסוציאטיביות)
 (האיבר הנייטרלי פועל בצורה הטריוויאלית)

לשם הקיצור, לרוב מסמנים את הפעולה ב- או ב- במקום ב-.

פעולה שמאלית
פעולה של חבורה  על קבוצה , שנסמן , נקראת פעולה שמאלית אם היא מקיימת:

פעולה ימנית
פעולה של חבורה  על קבוצה , שנסמן , נקראת פעולה ימנית אם היא מקיימת:

תכונות

דוגמאות
אפשר להבחין בין כמה סוגים של פעולות חשובות. ראשית, חבורה יכולה לפעול על קבוצה חסרת מבנה (בדרך כלל סופית), או על חבורה אחרת. לדוגמה, החבורה הסימטרית  פועלת על קבוצת המספרים . כל חבורה  פועלת על עצמה, על ידי כפל משמאל: . פעולה זו נקראת הפעולה הרגולרית. באופן כללי יותר, אם  תת-חבורה (שאינה בהכרח נורמלית),  פועלת על אוסף המחלקות , שוב על ידי כפל משמאל: . לפעולה זו יש יישום מיידי במשפט קיילי והעידון שלו. פעולה חשובה אחרת היא ההצמדה:  פועלת על עצמה לפי . באופן כללי יותר,  פועלת על ידי הצמדה על כל חבורת מנה : .

פעולה מסוג קצת אחר היא הפעולה של חבורה על קבוצה בעלת מבנה, כמו מרחב וקטורי או מרחב טופולוגי. כאן דורשים כמעט תמיד שהחבורה תכבד את המבנה הקיים: איברי החבורה אינם יכולים להיות סתם פונקציות, אלא למשל פונקציות ליניאריות (במקרה הראשון) או רציפות (במקרה השני). במקרה הראשון ההצגה אינה סתם הומומורפיזם של החבורה אל החבורה הסימטרית של כל הווקטורים במרחב (חבורה זו הורסת לחלוטין את המבנה החיבורי, ולכן אין לה שום חשיבות), אלא אל החבורה של כל ההעתקות הליניאריות ההפיכות , שהיא חבורת המטריצות ההפיכות  (כאשר  הוא ממד המרחב מעל שדה ). החבורה פועלת על הווקטורים על ידי כפל מטריצות רגיל. הפעולות השונות של חבורה על מרחבים וקטוריים (בדרך כלל מממד סופי) הם האובייקט היסודי בתורת ההצגות של חבורות, שממנה צמחו רוב המשפטים החשובים בתורת החבורות בשליש האמצעי של המאה ה-20. פעולות על מרחבים טופולוגיים הם נקודת הפתיחה של הטופולוגיה האלגברית.

כדוגמה נוספת, חבורה יכולה לפעול על קבוצת הקודקודים של גוף מישורי או מרחבי, תחת האילוץ שהגוף יתפוס בסיום הפעולה את אותו המקום שתפס לפניה. לדוגמה, חבורה הפועלת על קודקודיו של מצולע משוכלל בעל  קודקודים היא תת-חבורה של החבורה הסימטרית , שאיבריה שומרים על יחסי השכנות של קודקודי המצולע. הפעולות המותרות הן סיבוב או שיקוף המצולע. חבורה זו נקראת החבורה הדיהדרלית מסדר .

מסלולים ומייצבים
ממוזער|בחינת הסימטריות המרחביות של הגוף באיור, שמורכב מ-5 ארבעונים בעלי מרכז משותף, מדגימה את משפט המסלול והמייצב. חבורת הסיבובים של הגוף היא החבורה העשרימונית I מסדר 60, בעוד המייצב של ארבעון נתון - חבורת הסיבובים שלו T – הוא תת-חבורה מסדר 12 שלה, כך שמרחב המסלולים (מסדר 5 = 60/12) מזוהה באופן טבעי עם 5 הארבעונים שמרכיבים את הגוף - הקוסט gT תואם לארבעון שאליו האיבר g שולח את הארבעון ההתחלתי.
פעולת החבורה על  מחלקת את הקבוצה למחלקות שקילות הנקראות מסלולים: המסלול של נקודה , המסומן  או  כולל את כל הנקודות שניתן להגיע אליהן מ- בעזרת אברי . כלומר כל הנקודות . אם הקבוצה מורכבת כולה ממסלול יחיד (כלומר, אפשר להגיע מכל נקודה לכל נקודה אחרת), אז הפעולה היא טרנזיטיבית. 

המייצב של נקודה  הוא אוסף כל האיברים ב- השומרים על  במקומו:  (לעיתים מסמנים גם ).

המייצב של כל נקודה הוא תמיד תת-חבורה של , וגודל המסלול של  תלוי בגודלו של המייצב: כאשר החבורה סופית מתקיים . כמו כן, אם  נמצא במסלול של  אז המייצב של  צמוד למייצב של : 
. בפרט, אם הפעולה טרנזיטיבית אז כל המייצבים צמודים זה לזה.
הלמה של ברנסייד קושרת את האינדקסים של מייצבים בחבורה למספר המסלולים.

קבוצת כל המסלולים של  תחת פעולת החבורה  נכתבת  (ולעיתים נדירות יותר ), ונקראת מרחב המנה של הפעולה. בהקשרים גאומטריים היא מכונה לעיתים מרחב המסלולים, ואילו בהקשרים אלגבריים היא מכונה לעיתים מרחב הקו־אינווריאנטים, ומסומנת , בניגוד לאינווריאנטים (הנקודות הקבועות), המסומנים  (הקו־אינווריאנטים הם מרחב מנה, בעוד שהאינווריאנטים הם תת־קבוצה. המונח והסימון של קו־אינווריאנטים נפוצים במיוחד בהומולוגיה של חבורות ובקוהומולוגיה של חבורות, שבהן נהוג להשתמש באותו סגנון של סימון עליון/תחתון).

 נקודות קבועות ותתי־חבורות מייצבות 
בהינתן  ב־ ו־ ב־ כך ש־, נאמר ש־ היא נקודה קבועה של , או ש־ מקבעת את . לכל  ב־, תת־החבורה המייצבת של  ביחס ל־ (נקראת גם חבורת האיזוטרופיה או החבורה הקטנה) היא קבוצת כל האיברים ב־ שמקבעים את :

זוהי תת־חבורה של , אך לרוב אינה נורמלית. הפעולה של  על  היא חופשית אם ורק אם כל תתי־החבורות המייצבות הן טריוויאליות. הגרעין  של ההומומורפיזם אל חבורת התמורות  ניתן על ידי חיתוך תתי־החבורות המייצבות  לכל  ב־. אם  טריוויאלי, נאמר שהפעולה היא נאמנה (או אפקטיבית).

יהיו  ו־ שני איברים ב־, ויהי  איבר חבורה כך ש־
. אז תתי־החבורות המייצבות  ו־ קשורות על ידי:
.

הוכחה: לפי ההגדרה,  אם ורק אם . החלת  על שני אגפי השוויון נותנת , כלומר .

הכללה הפוכה מתקבלת באופן דומה על ידי לקיחת  ו־.

האמור לעיל אומר שתתי־החבורות המייצבות של איברים באותו מסלול הן צמודות זו לזו. לכן, לכל מסלול ניתן לשייך מחלקת צמידות של תת־חבורה של  (כלומר, קבוצת כל הצמודים של תת־החבורה). נסמן את מחלקת הצמידות של  ב־. אז המסלול  הוא מסוג  אם תת־החבורה המייצבת  של איבר כלשהו (או כלשהו) ב־ שייכת ל־. סוג מסלול מקסימלי נקרא לעיתים סוג מסלול עיקרי.

 ראו גם 
פעולה טרנזיטיבית 
הלמה של ברנסייד

 קישורים חיצוניים 

הערות שוליים

קטגוריה:אלגברה
קטגוריה:תורת החבורות