פונקציית גמא

פונקציית גמא היא פונקציה מרוכבת מֵרוֹמורפית, המרחיבה את מושג ה"עצרת" לכל המישור המרוכב: לכל מספר טבעי , הפונקציה מקבלת את הערך .

הפונקציה הוגדרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר באמצע המאה ה-18, אך הסימון של הפונקציה באות  נכנס לשימוש בעקבות עבודתו של לז'נדר. גאוס הציע גרסה מעט שונה של פונקציית גמא, , לה הוא קרא "פונקציית פאי", אלא שהסימון של לז'נדר הועדף בצרפת, ובעקבות זאת גם בשאר העולם.

הפונקציה מוגדרת במחצית הימנית של המישור המרוכב באמצעות האינטגרל .

לפונקציית גמא קטבים (פשוטים) בנקודות  בלבד, ואין לה שורשים. הפונקציה מקיימת את המשוואה הפונקציונלית , המסבירה את הקשר לפונקציית העצרת, ועוד זהויות פונקציונליות רבות אחרות.

 הגדרה 
פונקציית גמא מוגדרת על ידי האינטגרל הבא:

וזאת לכל  שהחלק הממשי שלו, , הוא חיובי. פונקציה זו מתלכדת עם הפונקציה המוגדרת באמצעות הגבול
, המוגדר היטב לכל . משום כך, הפונקציה השנייה מהווה המשכה אנליטית של האינטגרל לפונקציה מרומורפית.

 תכונות 

 הקשר לפונקציית עצרת 
שמאל|250px|ממוזער|גרף של פונקציית גמא על הישר הממשי

ניתן להראות שעבור מספרים טבעיים, פונקציית גמא שווה (בהזזת 1) לפונקציית העצרת.

אם  הוא חיובי ושלם, אזי , כי על ידי ביצוע אינטגרציה  בחלקים, אפשר להראות כי , ומאחר ש- נקבל כי 
לכל מספר טבעי .

 זהויות אחרות 
זהות חשובה אחת לפונקציית גמא היא נוסחת השיקוף: .

מכאן נובע כי
, ולכן .

זהות חשובה אחרת היא נוסחת הכפל של גאוס:

ממוזער|שמאל|240px|גרף של הערך המוחלט של פונקציית גמא במישור המרוכב.  באיור זה ניתן לראות בבירור את הקטבים של הפונקציה

לפונקציית גמא יש קוטב ב  לכל  טבעי. בנקודה זאת נתון גם ש:



המכפלה האינסופית הבאה, כפי שהראה ויירשטראס, נכונה לכל  מרוכב, אשר אינו שלם אי-חיובי:



כאשר  הוא "קבוע אוילר-מסקרוני".

משפט בוהר-מולרופ

משפט בוהר-מולרופ הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא על פי המשוואה הפונקציונלית שהיא מקיימת. המשפט קרוי של-שמם של המתמטיקאים הדנים הארלד בוהר ויוהאן מולרופ שהוכיחו אותו.

 משפט: פונקציית גמא הממשית, המוגדרת לכל  על ידי , היא הפונקציה היחידה  בקרן  המקיימת:


  היא פונקציה לוג-קמורה

אחת ההוכחות לנוסחת סטרלינג משתמשת במשפט זה. במסגרת ההוכחה בונים פונקציה המקיימת את שלושת התנאים במשפט בוהר-מולרפ, ולכן פונקציה זו היא בהכרח פונקציית גמא.

 אומדן 

טקסט=השוואה בין גאמא לאומדן סטרילינג|ממוזער|השוואה בין גמא מוזז (קו כחול) לעצרת (נקודות כחולות) ואומדן סטרלינג (קו סגול)
ניתן לאמוד את הערכים הממשיים והמרוכבים של פונקציית גמא בעזרת אומדן לנקזוס או אומדן סטרלינג:

אומדן זה מדויק בכך שהיחס בין האומדן לערך האמיתי שואף ל-1 כש  שואף לאינסוף.

ראו גם
 פונקציית בטא
 פונקציית גמא הלא שלמה
 משפט בוהר-מולרופ

קישורים חיצוניים

 פונקציית גמא באתר Wolfram mathworld

 מחשבון לפונקציית גמא



גמא, פונקציית
קטגוריה:לאונרד אוילר