משפט השאריות הסיני

משפט השאריות הסיני הוא שמם של מספר משפטים בתורת המספרים ובתורת החוגים, הקשורים זה לזה. בצורתו הבסיסית והמקורית המשפט עוסק במערכת של משוואות מודולריות ומבטיח קיום של פתרון למערכת תחת תנאים מסוימים.

מקורו של המשפט בספר מהמאה ה-3 של המתמטיקאי הסיני סן-צו, ומכאן שמו. המשפט פורסם פעם נוספת ב על ידי מתמטיקאי סיני נוסף, צ'ין ג'יו-האו.

המשפט עבור משוואות מודולריות
יהיו  מספרים טבעיים זרים בזוגות (כלומר המחלק המשותף המקסימלי של כל שניים מהם הוא 1).
יהיו  מספרים שלמים כאשר . אזי למערכת המשוואות

קיים פתרון יחיד מודולו .

בניסוח אחר, מופשט יותר, המשפט קובע שהחוג  איזומורפי למכפלה הישרה של החוגים .

הוכחה
רעיון ההוכחה הוא למצוא בסיס בו מודולו  הם 1 ומודולו  (כאשר ) הם 0. תוצאות אלה בונות בסיס למרחב הפתרונות, והפתרון המבוקש הוא צירוף ליניארי של איברי בסיס עם המקדמים החופשיים במשוואות המודולריות.

נגדיר  ואז מתקיים כי  זרים (מאחר ש- זר לכל גורם במכפלה ). לכן לקונגרואנציה הליניארית  קיים פתרון יחיד .

בנינו בסיס למערכת המשוואות. נסכם בעזרת הדלתא של קרונקר: 


לסיום, יהי  פתרון אחר. אזי לכל  מתקיים כי  ומאחר שכל ה- זרים נובע שגם , ומכאן ששני הפתרונות שקולים מודולו .

בכך הסתיימה ההוכחה, שמציגה גם אלגוריתם מהיר לפתרון מערכת קונגרואנציות. 

דוגמה
נפתור את מערכת המשוואות הבאה:

נוודא שזהו אכן פתרון:

מסקנה: האיזומורפיזם בין החוגים
מסקנה של המשפט היא כי .

יהי , אפשר לשכן אותו ב- על ידי

ובכיוון ההפוך, יהי . לפי משפט השאריות הסיני קיים  כך שמתקיים , ולכן נתאים

כאשר x הוא זה שמתקבל ממשפט השאריות הסיני והוא יחיד עד כדי מודולו .

שתי ההתאמות הללו הן הומומורפיזמים הופכיים אחד של השני ולכן מגדירות איזומורפיזם בין שני החוגים.

גרסה כללית
יהי  חוג עם יחידה (לאו דווקא קומוטטיבי). נניח כי האידיאלים  זרים בזוגות (או "מקסימליים הדדית"), כלומר  לכל . אז חוג המנה  איזומורפי, לפי ההטלה הטבעית, לסכום הישר של החוגים . בפרט, אם  קומוטטיבי והאידיאלים  כולם אידיאלים מקסימליים ושונים זה מזה, אז  הוא מכפלה ישרה של שדות.

קישורים חיצוניים
משפט השאריות הסיני באתר howMath 

שאריות הסיני
קטגוריה:תורת החוגים
שאריות הסיני
קטגוריה:חשבון מודולרי