טנזור

טנזור (באנגלית: Tensor) הוא יישות גאומטרית ומתמטית, המהווה הכללה של מושגי הסקלר והווקטור, ומשמשת למיפוי יחסים ליניאריים בין גדלים במרחב. בעוד שגדלים פיזיקליים פשוטים ניתנים לאפיון מלא על ידי ערך מספרי יחיד (סקלר, הנחשב לטנזור מדרגה 0), ואחרים דורשים אפיון של גודל וכיוון (וקטור, הנחשב לטנזור מדרגה 1), הטנזור מספק מסגרת לתיאור גדלים בעלי תלות כיוונית מורכבת יותר. באופן פורמלי, ניתן להגדיר טנזור כמבנה אלגברי המקיים תכונות של מולטי-ליניאריות; כלומר, זהו אובייקט המקבל כקלט מספר וקטורים ומחזיר סקלר (או טנזור אחר), באופן התלוי ליניארית בכל אחד מהווקטורים בנפרד.

תכונה יסודית של הטנזור היא עצמאותו ביחס למערכת צירים הנבחרת. הטנזור מיוצג במערכת קואורדינטות מסוימת על ידי מערך של רכיבים מספריים (הניתן לרוב לרישום כמטריצה רב-ממדית), אולם משמעותו הפיזיקלית או הגאומטרית נותרת קבועה גם כאשר מחליפים את מערכת הצירים. המשמעות היא שכאשר מסובבים או משנים את הבסיס של המרחב, רכיבי הטנזור משתנים על פי חוקי טרנספורמציה מוגדרים היטב, המבטיחים שהקשר שהוא מתאר בין הגדלים השונים יישאר תקף ואובייקטיבי. פיתוח זה, שהוביל לביסוס "החשבון הטנזורי" על ידי המתמטיקאים גרגוריו ריצ'י-קורבסטרו וטוליו לוי-צ'יוויטה בסביבות שנת 1900, הפך לכלי הכרחי בפיזיקה מודרנית.

ביישומים פיזיקליים, נהוג לחקור מצבים שבהם הטנזור משתנה ממיקום למיקום בתוך האובייקט או המרחב, מבנה הנקרא שדה טנזורי. דוגמה בולטת לכך היא טנזור המאמצים במכניקת הרצף: הכוח הפועל בנקודה מסוימת בתוך חומר תלוי בכיוון המישור שדרכו הוא נמדד, ולכן נדרש טנזור מדרגה 2 (המוצג כמטריצה של 3X3) כדי למפות את הקשר הליניארי בין וקטור הכיוון לבין וקטור הכוח הנוצר. דוגמאות נוספות קיימות באלקטרומגנטיות, שם המקדם הדיאלקטרי בחומרים מסוימים (כגון גבישים) אינו מספר קבוע אלא טנזור, המתאר כיצד השדה החשמלי משפיע על הקיטוב בכיוונים שונים. בתורת היחסות הכללית, שדות טנזוריים משמשים לתיאור עקמומיות המרחב-זמן ותוכנו האנרגטי.

 היסטוריה 
הבסיס המתמטי לאנליזה הטנזורית נוצר מתוך עבודתו של קרל פרידריך גאוס בגאומטריה דיפרנציאלית, והושפע מתאוריות אלגבריות שהתפתחו באמצע המאה ה-19.

המונח "טנזור" עצמו נטבע ב-1846 על ידי המתמטיקאי ויליאם רואן המילטון, From p. 498: "And if we agree to call the square root (taken with a suitable sign) of this scalar product of two conjugate polynomes, P and KP, the common TENSOR of each, ... " אך המילטון השתמש בו לתיאור גודל שונה (כיום "נורמה", הקשור לערך מוחלט במערכות אלגבריות מסוימות). השימוש המודרני במונח הופיע לראשונה ב-1898 בעבודתו של הפיזיקאי וולדמר פויגט. פויגט חקר את הפיזיקה של גבישים וביקש לתאר את הלחצים (Stress) והמעוותים בתוך חומר שאינו קשיח לחלוטין. הוא הבין כי וקטור רגיל אינו מספיק לתיאור כוחות התלויים בכיוונים שונים בו-זמנית, והשתמש לשם כך במונח טנזור.

הפיתוח המתמטי השיטתי של התחום נעשה על ידי גרגוריו ריצ'י-קורבסטרו בסוף המאה ה-19, תחת השם "חשבון דיפרנציאלי אבסולוטי". בשנת 1900 פרסם ריצ'י יחד עם תלמידו טוליו לוי-צ'יוויטה ספר יסוד שהנגיש את התחום לקהילה המדעית. בשיטתם, הבחינו השניים בין שני סוגי רכיבים של וקטורים וטנזורים, בהתאם לאופן שבו הם משתנים במעבר בין מערכות צירים: רכיבים קונטרה-ווריאנטיים (המתנהגים כמו וקטור מהירות – משתנים "הפוך" לשינוי בקנה המידה של הצירים) ורכיבים קו-ווריאנטיים (המתנהגים כמו נגזרת כיוונית או גרדיאנט, משתנים "ביחס ישר" לשינוי בצירים). אבחנה זו היא בסיסית בהבנת גדלים פיזיקליים במערכות עקומות.

במאה ה-20 זכה התחום לשם הכולל "אנליזה טנזורית". חשיבותו המעשית התבררה עם פרסום תורת היחסות הכללית על ידי אלברט איינשטיין ב-1915, תורה המנוסחת כולה בשפה זו. איינשטיין למד את החשבון הטנזורי בעזרת המתמטיקאי מרסל גרוסמן, כדי שיוכל לתאר את עקמומיות המרחב-זמן. בעקבות הפרסום, ניהל לוי-צ'יוויטה התכתבות מדעית עם איינשטיין (1915–1917) ותיקן מספר אי-דיוקים בשימוש שעשה איינשטיין בטנזורים. איינשטיין העריך מאוד את הכלים המתמטיים הללו וכתב ללוי-צ'יוויטה:

בהמשך המאה התרחב השימוש בטנזורים לתחומים נוספים. בפיזיקה הם משמשים במכניקת הרצף לתיאור תכונות חומר. במתמטיקה, מושגים בגאומטריה דיפרנציאלית (כמו הטנזור המטרי וטנזור העקמומיות של רימן) הם טנזורים. כמו כן, תחום התבניות הדיפרנציאליות, שפותח בעיקר על ידי אלי קרטן, שולב באופן טבעי עם החשבון הטנזורי. החל משנות ה-20 של המאה ה-20, הפכו הטנזורים לכלי בסיסי גם בטופולוגיה אלגברית ובאלגברה מופשטת, שם עברו הכללות נוספות (כגון הגדרת מכפלה טנזורית מעל חוגים ומבנים בתורת הקטגוריות).

 הגדרה 
שמאל|ממוזער|300x300 פיקסלים|השוואה בין חמשת הסדרים הראשונים של טנזורים: מסקלר (סדר 0) ועד טנזור מסדר 4.
אף על פי שקיימות גישות שונות להגדרת הטנזור, הנראות במבט ראשון שונות זו מזו, כולן מתארות למעשה את אותו אובייקט גאומטרי, אך ברמות הפשטה שונות ובשפות מתמטיות שונות.

 כמערכים רב-ממדיים 
אחת הדרכים האינטואיטיביות ביותר לתפוס טנזור היא כייצוג של מערך רב-ממדי של מספרים. ניתן לחשוב על כך כהכללה:

 סקלר הוא מספר בודד (מערך בממד 0).
 וקטור במרחב -ממדי מיוצג על ידי שורה או עמודה של  מספרים (מערך חד-ממדי), בהינתן מערכת צירים (בסיס) מסוימת.
 באופן דומה, טנזור מיוצג על ידי מערך רב-ממדי של מספרים. למשל, אופרטור ליניארי (כמו טרנספורמציה שמסובבת או מותחת מרחב) מיוצג על ידי מערך דו-ממדי (מטריצה ריבועית ).

המספרים המרכיבים את המערך נקראים רכיבי הטנזור. נהוג לסמן אותם באמצעות אינדקסים המציינים את מיקומם במערך. האינדקסים נכתבים ככתב תחתון או ככתב עליון לצד האות המייצגת את הטנזור. לדוגמה, רכיביו של טנזור  מסדר 2 יכולים להיכתב כ-, כאשר  ו- הם אינדקסים הרצים מ-1 ועד  (ממד המרחב).

הבחירה האם לכתוב את האינדקס למעלה () או למטה () אינה שרירותית; היא מעידה על האופן שבו הטנזור מגיב לשינוי במערכת הצירים (כפי שיפורט בהמשך).

סך כל האינדקסים הנדרשים כדי לזהות רכיב ספציפי בטנזור נקרא הסדר (Order) או הדרגה (Rank) של הטנזור. לדוגמה, מטריצה היא טנזור מסדר 2 כי נדרשים שני אינדקסים (שורה ועמודה) כדי למצוא איבר ספציפי. (הערה: המונח "דרגה" משמש לעיתים בהקשרים אחרים באלגברה ליניארית של מטריצות, אך בהקשר הטנזורי הכוונה היא למספר האינדקסים).

 חוקי טרנספורמציה (שינוי בסיס) 
הנקודה החשובה ביותר בהגדרת הטנזור היא התנהגותו בעת שינוי מערכת צירים. ממש כפי שאורך של שולחן אינו משתנה אם מודדים אותו בסנטימטרים או באינצ'ים, כך האובייקט הגאומטרי (הטנזור) נשאר קבוע. אולם, המספרים המייצגים אותו (הרכיבים) משתנים בהתאם לבחירת הבסיס. כל סוג של טנזור מצויד ב"חוק טרנספורמציה" המגדיר במדויק כיצד רכיביו משתנים.

כדי להבין זאת, נהוג להבחין בין שתי דרכים בהן רכיבים יכולים להשתנות:

 קונטרה-וריאנטיות (Contravariant): תכונה אופיינית לווקטורים רגילים (כמו וקטור העתק או מהירות). כאשר מקטינים את יחידות המידה של מערכת הצירים (למשל במעבר ממטרים לסנטימטרים, כלומר הכפלת הבסיס ב-0.01), הערכים המספריים של הווקטור יגדלו (יוכפלו ב-100) כדי לפצות על כך ולשמור על הגודל הפיזיקלי זהה. השינוי הוא "הפוך" (קונטרה) לשינוי בבסיס. רכיבים אלו מסומנים באינדקס עליון ().
 קו-וריאנטיות (Covariant): תכונה אופיינית לנגזרות כיווניות או "קו-וקטורים" (כמו גרדיאנט). במקרה זה, הרכיבים משתנים "ביחד" (קו) עם הבסיס. רכיבים אלו מסומנים באינדקס תחתון ().

באופן פורמלי, אם נסמן את המטריצה המעבירה ממערכת צירים ישנה לחדשה ב-, ואת המטריצה ההופכית לה ב-, אזי:

 רכיבי וקטור קונטרה-ווריאנטי  במערכת החדשה יתקבלו על ידי כפל ב-:

 רכיבי וקטור קו-ווריאנטי  במערכת החדשה יתקבלו על ידי כפל ב-:


הערה לגבי כתיב: בפיזיקה ובמתמטיקה נהוג להשתמש בהסכם הסכימה של איינשטיין. לפי הסכם זה, כאשר אינדקס מופיע באותו ביטוי פעם אחת למעלה ופעם אחת למטה, משמיטים את סימן הסכום () ומבינים שיש לסכום על כל הערכים האפשריים של האינדקס.

טנזור כללי יותר, מסדר גובה  (כלומר בעל  אינדקסים עליונים ו- אינדקסים תחתונים), ישתנה לפי שילוב של החוקים הנ"ל: כל אינדקס עליון "ידרוש" כפל במטריצה ההופכית, וכל אינדקס תחתון "ידרוש" כפל במטריצת המעבר הרגילה. הגדרה זו, הדורשת שהמערך יציית לחוקי הטרנספורמציה הללו, היא ההגדרה ההיסטורית שמקורה בעבודותיו של ריצ'י.

 כהעתקות מולטי-ליניאריות 
גישה מודרנית, הנפוצה בגאומטריה דיפרנציאלית (לרוב ביחס למרחבים משיקים ליריעה), מגדירה טנזורים ללא תלות ישירה בבחירת בסיס, אלא כאופרטורים (פונקציות).

כדי להבין זאת, יש להכיר את מושג מרחב דואלי (). אם  הוא מרחב של וקטורים, המרחב הדואלי הוא אוסף כל הפונקציות הליניאריות שמקבלות וקטור ומחזירות סקלר.

לפי גישה זו, טנזור אינו סתם "אוסף מספרים", אלא העתקה מולטי-ליניארית: פונקציה המקבלת כקלט מספר וקטורים (מ-) ומספר קו-וקטורים (מ-), ופולטת סקלר (מספר).

המונח "מולטי-ליניארית" משמעו שהתוצאה תלויה באופן ליניארי בכל אחד מהקלטים בנפרד (לדוגמה: הכפלת אחד הווקטורים הנכנסים ב-2 תגרום להכפלת התוצאה ב-2).

לדוגמה, טנזור מטיפוס  מוגדר כהעתקה:



כאשר מציבים בהעתקה זו את וקטורי הבסיס של המרחב, הפלט המתקבל הוא אותם המספרים המוכרים מהגישה הקלאסית כ"רכיבי הטנזור". יתרונה של גישה זו הוא שהיא מגדירה את הטנזור כאובייקט העומד בפני עצמו, ללא תלות במערכת הקואורדינטות שנבחרה.

 באמצעות מכפלות טנזוריות 
עבור יישומים מתמטיים מופשטים יותר, נהוג להגדיר טנזורים באמצעות מכפלה טנזורית (). זוהי פעולה המאפשרת "להדביק" מרחבים וקטוריים זה לזה וליצור מרחב חדש וגדול יותר.

לפי הגדרה זו, טנזור מטיפוס  הוא איבר במרחב המכפלה:



אוסף המכפלות של וקטורי הבסיס (למשל ) מהווה בסיס למרחב החדש, והמקדמים של הטנזור בבסיס זה הם, שוב, אותם "רכיבים" מוכרים. גישה זו שקולה מתמטית לגישת ההעתקות המולטי-ליניאריות (במרחבים בעלי ממד סופי), ומספקת דרך אלגברית ריגורוזית לבניית טנזורים.

 שדות טנזוריים 
ביישומים רבים בפיזיקה (כגון בתורת היחסות או במכניקת זורמים), הטנזור אינו קבוע במרחב, אלא משתנה מנקודה לנקודה. לדוגמה, המאמץ בתוך גשר משתנה בהתאם למיקום. אובייקט כזה נקרא שדה טנזורי. במקרה זה, רכיבי הטנזור אינם מספרים קבועים, אלא פונקציות של המיקום (). חוקי הטרנספורמציה הופכים להיות תלויים בנגזרות החלקיות של שינוי הקואורדינטות (היעקוביאן), שכן שינוי מערכת הצירים עשוי להשתנות מנקודה לנקודה במרחב עקום.

 הגדרה פורמלית 

יהי V מרחב וקטורי, ויהי *V המרחב הדואלי לו. אזי טנזור מדרגה m על k (מסומן גם כ"טנזור מדרגה  ") הוא העתקה מולטי-ליניארית שמקבלת m פונקציונלים (קו-וקטורים) ו-k וקטורים, ומתאימה להם מספר ממשי באופן יחיד. כלומר, זוהי פונקציה  שהיא ליניארית בכל אחד מהארגומנטים שלה.

קבוצת הטנזורים  מהווה מרחב ליניארי ביחס לחיבור טנזורים וכפל בסקלר

אפשר להגדיר פעולות נוספות בין טנזורים, כגון מכפלה טנזורית, "כיווץ" (לקיחת עקבה על זוג אינדקסים עליון ותחתון) ונגזרת קו-וריאנטית שיוצרות טנזור חדש (בדרגה שונה בדרך כלל) מטנזור נתון.

הרבה פעמים נוח להציג את הטנזור כמערך רב-ממדי של רכיבים המתארים את הטנזור. אנו נראה שהצגה כזו שקולה להגדרתו כהעתקה מולטי-ליניארית. מאחר שרכיבי הטנזור תלויים בבסיס בו מייצגים את המרחב, עלינו לקבוע בסיס כלשהו למרחב הווקטורי ולמרחב הדואלי לו.

יהי  בסיס למרחב הווקטורי V ויהי  בסיס למרחב הדואלי, כך שמתקיים  (כאשר  היא הדלתא של קרונקר). אזי כל טנזור ניתן להציג כמערך רב-ממדי של רכיבים באמצעות הגדרת פעולתו על כל אחד מאיברי הבסיס. הצורה הכללית לעשות זאת תובהר מהדוגמה הבאה:
 טנזור מדרגה 0 על 1, כלומר: , יוצג לפי רכיבים כ-

 כאשר השתמשנו בליניאריות של T והגדרנו את רכיבי הטנזור T – . טנזור כזה הוא בעצם פונקציונל על וקטור, או וקטור קו-וריאנטי. טנזור כזה נקרא גם "חד-תבנית" או "one-form".
 טנזור מדרגה 1 על 0, כלומר: , יוצג לפי רכיבים כ-

 כאשר השתמשנו בליניאריות של S והגדרנו את רכיבי הטנזור S – . טנזור כזה הוא בעצם פונקציונל על פונקציונל, כלומר וקטור קונטרה-וריאנטי (זאת כי ).
 טנזור מדרגה 1 על 1, כלומר: , יוצג לפי רכיבים כ-

 כאשר השתמשנו בליניאריות של R והגדרנו את רכיבי הטנזור R – . מאחר שלטנזור זה יש שני אינדקסים, ניתן להציג את רכיביו כמטריצה שאליה נוח להתייחס כאל העתקה ליניארית המקבלת וקטור v ומחזירה וקטור אחר u הנתון על ידי  (שכן u מקבל פונקציונל ומחזיר לו מספר ממשי). ברכיבים:  .

באופן כללי, טנזור שמקבל כארגומנטים m פונקציונלים ו-k וקטורים יהיה בעל m אינדקסים עליונים ו-k אינדקסים תחתונים. כל אינדקס עליון מתנהג כמו וקטור קונטרה-וריאנטי וכל אינדקס תחתון מתנהג כמו וקטור קו-וריאנטי.

עוד על התמרות של רכיבי טנזור, ראו בהתמרת קואורדינטות ורכיבי טנזור.

 טנזורים במערכות צירים משתנות 
שמאל|ממוזער|300x300 פיקסלים|המרחב המשיק (המישור האדום) בנקודה על פני כדור. הווקטורים והטנזורים מוגדרים בתוך המרחב המשיק הזה, והבסיס שלהם נגזר מהקואורדינטות המקומיות.
בעוד שבאלגברה ליניארית בסיסית נהוג לעסוק במרחבים "שטוחים" עם מערכת צירים קבועה (כמו רשת קרטזית ישרה), בפיזיקה מתקדמת נדרש לעיתים קרובות לתאר גדלים במרחבים עקומים (כמו פני כדור הארץ, או המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית). במרחבים אלו, מערכת הצירים עשויה להשתנות מנקודה לנקודה.

כדי להגדיר טנזור בסביבה כזו, משתמשים במושג המרחב המשיק: עבור כל נקודה במרחב העקום, ניתן לדמיין "מרחב שטוח" קטן מאוד המשיק לה (כמו דף נייר המונח על כדור). הווקטורים והטנזורים מוגדרים בתוך המרחב המשיק הזה.

 הקשר לנגזרות חלקיות 
כאשר עוברים ממערכת קואורדינטות אחת () למערכת קואורדינטות אחרת () במרחב כזה, הקשר בין המערכות אינו ליניארי פשוט, אלא תלוי במיקום. לכן, את תפקידה של "מטריצת המעבר" ( שהוזכרה בפרק ההגדרות) תופסת מטריצה של נגזרות חלקיות, הנקראת מטריצת היעקוביאן.

ההיגיון נובע מכלל השרשרת בחשבון הדיפרנציאלי: אם יודעים כיצד גודל משתנה לפי , ויודעים כיצד  תלוי ב-, אפשר לחשב את השינוי לפי  באמצעות נגזרות. לכן, וקטורי הבסיס במרחב המשיק מוגדרים לרוב באמצעות הנגזרות החלקיות של הקואורדינטות: .

 נוסחאות מעשיות להתמרה 
באופן מעשי, כדי להמיר את רכיביו של טנזור ממערכת קואורדינטות  למערכת , משתמשים בכללים הבאים (לפי הסכם הסכימה של איינשטיין):

 עבור וקטור קונטרה-ווריאנטי (אינדקס עליון):

המרה זו משתמשת בנגזרת של הקואורדינטות החדשות לפי הישנות (כלומר, כמה המערכת "זזה").



 עבור וקטור קו-ווריאנטי (אינדקס תחתון):

המרה זו משתמשת בנגזרת ההפוכה (של הקואורדינטות הישנות לפי החדשות), בדומה לגזירה של פונקציה מורכבת.



 עבור טנזור מסדר גבוה:

ניתן להכליל את הכלל לכל מספר של אינדקסים. כל אינדקס עליון מוכפל בנגזרת "הישירה", וכל אינדקס תחתון מוכפל בנגזרת "ההפוכה". לדוגמה, עבור טנזור מטיפוס (1,2) (אינדקס אחד עליון ושניים תחתונים), נוסחת המעבר תהיה:

נוסחאות אלו הן "כלי העבודה" המרכזיים של פיזיקאים העוסקים בתורת היחסות ובאנליזה על יריעות.

 פיתוח מתמטי של חוקי הטרנספורמציה 
תת-פרק זה מציג את הפיתוח האלגברי המלא של הנוסחאות שהוצגו לעיל. הקריאה בו דורשת העמקה והבנה של כללי סכימה ונגזרות, אך היא אינה הכרחית להבנת הרעיון הכללי.

נצא מנקודת הנחה שהווקטור  הוא גודל אינווריאנטי (אובייקט גאומטרי קבוע). המשמעות היא שהביטוי המתמטי שלו שווה בשתי מערכות הקואורדינטות: הסכום של הרכיבים כפול וקטורי הבסיס במערכת הישנה (), חייב להיות שווה לסכום במערכת החדשה ().



נשתמש בכלל השרשרת כדי לבטא את וקטורי הבסיס של המערכת החדשה () בעזרת וקטורי הבסיס של המערכת הישנה:



כעת נציב את הביטוי שקיבלנו בחזרה למשוואת הווקטור המקורית:



נסדר את הסכום באגף ימין כך שנוכל להשוות את המקדמים של וקטורי הבסיס  בשני הצדדים. מאחר שווקטורי הבסיס הם בלתי-תלויים ליניארית, המקדמים שלהם חייבים להיות שווים זה לזה:



קיבלנו ביטוי לרכיבים הישנים כתלות בחדשים. כדי לקבל את נוסחת הטרנספורמציה ההפוכה (המחפשת את ), נכפיל את שני האגפים בנגזרת ההפוכה ונשתמש בתכונות הדלתא של קרונקר (או פשוט נבצע את אותו תהליך בכיוון ההפוך), ונקבל את הנוסחה הסופית לווקטור קונטרה-ווריאנטי:



 דוגמאות 
טנזורים משמשים בפיזיקה ובהנדסה לתיאור גדלים שאינם ניתנים לייצוג מלא על ידי סקלר (מספר) או וקטור (חץ) בלבד. דרך נוחה לסווג אותם היא לפי מספר ה"כניסות" (הארגומנטים) שהם מקבלים וסוג הפלט שהם מחזירים.

 המכפלה הסקלרית 
הדוגמה הבסיסית ביותר לפעולה טנזורית היא מכפלה סקלרית. ניתן לחשוב על המכפלה הסקלרית כעל פונקציה שמקבלת שני וקטורים () ומחזירה סקלר (מספר). מבחינה טנזורית, זהו טנזור מדרגה 2 (ליתר דיוק, טנזור מטריקה), המתאר את הגאומטריה של המרחב (מרחקים וזוויות).

זוהי דוגמה לטנזור מטיפוס , כלומר כזה המקבל שני וקטורים כקלט.
 טנזור המאמצים (Cauchy Stress Tensor) 
ממוזער|שמאל|250px|רכיבי טנזור המאמצים על גבי אלמנט קטן של חומר. האינדקס הראשון מציין את כיוון המישור (הנורמל), והשני את כיוון הכוח.
דוגמה פיזיקלית הממחישה את ההכרח בשימוש בטנזור היא תיאור כוחות בתוך חומר מוצק או נוזל (כמו קורת בטון או מים בצינור). כדי לתאר את הכוח הפועל בנקודה מסוימת בתוך החומר, לא מספיק להשתמש בווקטור בודד, משום שהכוח תלוי בכיוון החיתוך של החומר באותה נקודה. למשל, הלחץ הפועל על משטח אופקי עשוי להיות שונה מהלחץ הפועל על משטח אנכי באותה נקודה בדיוק.

האובייקט המתאר מצב זה נקרא טנזור המאמצים (). הוא מתפקד כפונקציה ליניארית המקבלת כקלט וקטור כיוון (הנורמל למשטח, ) ומחזירה את וקטור הכוח () הפועל על המשטח הזה:

או בכתיב רכיבים (כפל מטריצה בווקטור):

מסיבה זו, טנזור המאמצים הוא טנזור מדרגה 2 (מיוצג על ידי מטריצה ).

 טבלת מיון טנזורים נפוצים 
הטבלה הבאה מציגה טנזורים נפוצים בפיזיקה ובמתמטיקה, ממוינים לפי הטיפוס שלהם , כאשר  הוא מספר האינדקסים העליונים (קונטרה-ווריאנטיים) ו- הוא מספר האינדקסים התחתונים (קו-ווריאנטיים). סכום המספרים  הוא הסדר הכולל של הטנזור.

+ טנזורים נפוצים לפי סדר וטיפוס סדר כולל טיפוס  שם גאומטרי/אלגברי דוגמאות פיזיקליות 0  סקלר מסה, טמפרטורה, מטען חשמלי. 1  וקטור (קונטרה-ווריאנטי) העתק, מהירות, כוח.  קו-וקטור (או 1-תבנית) גרדיאנט של פונקציה (כמו פוטנציאל), מומנט דיפול. 2  תבנית ביליניארית מכפלה סקלרית, הטנזור המטרי (בגאומטריה), טנזור התמד (במכניקה).  אופרטור ליניארי טרנספורמציה ליניארית (מיוצגת כמטריצה), הדלתא של קרונקר.  בי-וקטור טנזור המאמצים (לעיתים מסווג גם כ-1,1), טנזור השדה האלקטרומגנטי (ביחסות פרטית). 3  3-תבנית דטרמיננטה (כפעולה על 3 וקטורים), הסימון של לוי-צ'יוויטה. 4  טנזור עקמומיות טנזור העקמומיות של רימן (המתאר את כוח הכבידה בתורת היחסות הכללית).

גדלים מסוימים, כמו מכפלה וקטורית, נראים כווקטורים אך אינם טנזורים "אמיתיים" (אלא פסאודו-וקטורים), שכן הם משנים סימן באופן שונה תחת שיקוף של מערכת הצירים.
 תכונות 
כאמור, טנזור מוגדר ביחס לבסיס של המרחב הווקטורי בו הוא פועל. בהינתן בסיס כזה (למשל, מערכת צירים קרטזית ), ניתן לייצג את הטנזור כמערך רב-ממדי של ערכים מספריים (רכיבים).

תכונתו המגדירה של הטנזור אינה הערכים המספריים עצמם (שכן אלו משתנים כאשר מחליפים בסיס), אלא חוק הטרנספורמציה שלהם: האופן המדויק שבו הערכים משתנים כתגובה לשינוי בבסיס.

חוקיות זו מבטיחה כי גדלים פיזיקליים מסוימים, המכונים אינווריאנטים, יישארו קבועים ללא תלות במערכת הצירים שנבחרה. לא כל מערך מספרים הוא טנזור; מערך שרכיביו אינם משתנים לפי הכללים המתאימים בעת שינוי בסיס אינו מייצג טנזור תקני. (לדוגמה, הסימון של לוי-צ'יוויטה  אינו טנזור רגיל אלא "פסאודו-טנזור", משום שהוא משנה סימן תחת שיקוף של מערכת הצירים, בניגוד לטנזור רגיל).

 טיפוס וסדר 
מכיוון שרכיבים של וקטורים (קונטרה-ווריאנטיים) ושל קו-וקטורים (קו-ווריאנטיים) משתנים בצורות הפוכות בעת החלפת בסיס, נהוג לסווג טנזורים לפי מספר האינדקסים מכל סוג. מספר האינדקסים הקונטרה-ווריאנטיים (מסומן ב-, אינדקסים עליונים) ומספר האינדקסים הקו-ווריאנטיים (מסומן ב-, אינדקסים תחתונים) מגדירים את הטיפוס (Type) של הטנזור, המסומן כזוג . זוג זה מכתיב את חוק הטרנספורמציה המדויק של הטנזור.

הסכום של שני המספרים הללו, , נקרא הסדר (Order) או הדרגה (Rank) של הטנזור:
 טנזור מסדר 0 הוא סקלר (מספר בודד). אין לו אינדקסים כלל.
 טנזור מסדר 1 הוא וקטור (מערך חד-ממדי). יש לו אינדקס אחד.
 טנזור מסדר 2 הוא לרוב אופרטור ליניארי או תבנית ביליניארית (מיוצג כמטריצה). יש לו שני אינדקסים.

באופן כללי, הסדר מציין את מספר האינדקסים הדרושים כדי לאתר רכיב ספציפי במערך, או את הממד של המערך הרב-ממדי המייצג את הטנזור.

ניתן לחשב את הסדר גם לפי הפעולה שהטנזור מבצע: הסדר הוא סכום סדרי הקלטים (הארגומנטים) שהטנזור מקבל, ועוד סדר הפלט שהוא מחזיר.

לדוגמה:
 מכפלה סקלרית מקבלת שני וקטורים (כל אחד מסדר 1) ומחזירה סקלר (סדר 0). לכן הסדר הכולל הוא .
 טנזור המאמצים מקבל וקטור נורמל (סדר 1) ומחזיר וקטור כוח (סדר 1). לכן הסדר הוא .
 הסימון  (במרחב תלת-ממדי) ממפה שני וקטורים לווקטור שלישי (מכפלה וקטורית), ולכן סדרו הוא .

 אלגברה של טנזורים 
אוסף כל הטנזורים המוגדרים מעל מרחב וקטורי מסוים יוצר מבנה מתמטי הנקרא אלגברה טנזורית. מסגרת זו מאפשרת לבצע פעולות בין טנזורים, כגון חיבור, כפל בסקלר ומכפלה טנזורית. אף על פי שפעולות פשוטות על טנזורים מסדר 2 ניתנות לביצוע באמצעות כללי כפל מטריצות (תוך שימוש בווקטורים שורה ועמודה), האלגברה הטנזורית מספקת כללים כלליים יותר (כגון מכפלה טנזורית וכיווץ טנזורי) התקפים לטנזורים מכל סדר ומכל טיפוס.

דרגת הטנזור והמרת טנזורים
 שם דרגה סימול אינדקסיאלי כלל טרנספורמציה סקלר 0 A  וקטור 1 Ai  מטריצה 2 Aij  טנזור מדרגה 3 3 Aijk 

הערות לטבלה:
 המטריצה R מייצגת טרנספורמציה כלשהי, הנמצאת בחבורת הטרנספורמציות המותרות על הטנזורים.
 את כלל הטרנספורמציה יש לפרש בהתאם להסכם הסכימה של איינשטיין.
 את כלל הטרנספורמציה של אינדקס בעלי אינדקס תחתון אפשר לפתח באמצעות כלל הורדת האינדקסים , כאשר g היא המטריקה של המרחב מעליו מוגדרים הטנזורים. עבור מטריקה אוקלידית, אין הבדל בין אינדקסים תחתונים ועליונים.

סימונים
 הסכם הסכימה של איינשטיין
 סימוני איינשטיין
 סימוני וויגט
 סימון אינדקסי מופשט
 טנזור מטרי (מטריקה)

מונחי יסוד
 וקטורים קוואריאנטיים וקונטרוואריאנטיים
 וקטור קונטרה-ואריאנטי
 הורדה והעלאה של אינדקסים
 מכפלה טנזורית
 שדה טנזורי

יישומים
 נגזרת טנזורית ובפרט נגזרת קו-ואריאנטית
 מטריקה
 גאומטריה רימאנית
 עקמומיות
 טנזור העקמומיות של רימן וטנזור הפיתול
 יישומי חשבון טנזורי בהנדסה
 יישומי חשבון טנזורי בפיזיקה
 תורת היחסות הכללית

 לקריאה נוספת 
Tensors, Differential Forms, and Variational Principles (1989) David Lovelock, Hanno Rund
Tensor Analysis on Manifolds (1981) Richard L Bishop, Samuel I. Goldberg
Introduction to Tensor Calculus, Relativity and Cosmology (2003) D. F. Lawden
Tensor Analysis (2003) L.P. Lebedev, Michael J. Cloud

 קישורים חיצוניים 



 תוכנות טנזורים 
 GRTensorII היא חבילת תוכנה ל-Maple V (גרסאות 3 עד 9) המשמשת לחישובים באזור של גאומטריה דיפרנציאלית כללית. קיימת גם גרסה חלקית (GRTensorM) ל-Mathematica.
 MathTensor היא מערכת לאלגברת טנזורים שנכתבה עבור Mathematica.
  maxima היא תוכנה חופשית (GPL) שמאפשרת לבצע אלגברה טנזורית.
 Ricci מערכת חופשית ל-Mathematica מגרסאות 2 ואילך שמבצעת אנליזת טנזורים בסיסית.
 TensorFlow היא ספריית קוד פתוח ללמידת מכונה, המפותחת על ידי חברת גוגל לבנייה ואימון רשתות עצביות.
 הערות שוליים 

*
קטגוריה:אנליזה וקטורית
קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית
קטגוריה:מושגים בפיזיקה