גודל חסר ממד

באנליזת סדרי גודל, גודל חסר ממד הוא גודל ללא יחידות פיזיקליות - מספר טהור.
מספרים חסרי ממד נמצאים בשימוש רחב במתמטיקה, פיזיקה, הנדסה, כלכלה וכו' ואף בחיי היום יום - מספרים ידועים רבים כמו e, פאי, ויחס הזהב הם חסרי ממד בניגוד לגדלים ממדיים רגילים הנמדדים באורך, זמן, מסה וכדומה.
מספרים חסרי ממד לרוב מוגדרים כמנה או יחס של מספרים ממדיים שממדיהם מבטלים אחד את השנים בעת החלוקה. זהו המקרה לדוגמה במעוות הנדסי, שמוגדר כשינוי באורך חלקי אורך כולל התחלתי, היות שלשני הגדלים יחידות של אורך התוצאה היא מספר חסר ממד.

לגדלים שאנחנו יודעים למדוד בעולם סביבנו תמיד יש ממדים ויחידות. לדוגמה, אנחנו יכולים למדוד בסרגל את אורכו של קיר. התשובה (לדוגמה 4 מטרים) תהיה ביחידות מסוימות, על פי היחידות אליו מחולק הסרגל שלנו (במקרה זה, מטר). אנו יכולים לשנות את היחידות של התשובה בעזרת קשרים שונים בין יחידות (נניח 1 מטר = 100 סנטימטר, או 1 מטר = 3.281 רגל) אבל איננו יכולים לשנות את הממד של התשובה (היא תמיד תהיה אורך).

על אף שלמספרים חסרי ממד אין ממד פיזי, עדיין יכולות להיות להם יחידות חסרות ממד, ולעיתים שימושי להשתמש באותן יחידות במונה ובמכנה (ק"ג/ק"ג או מול/מול). המספר יכול להינתן גם כיחס בין שתי יחידות שונות בעלות אותו ממד (לדוגמה שנת אור חלקי מטר - שניהם בעלי יחידות של אורך). זהו גם המקרה בחישוב שיפוע בגרפים או בעת המרת יחידות. סימונים שכאלה לא מעידים על קיום ממד פיזי וקיימים אך ורק לצורך נוחות. דוגמאות מוכרות לסימונים אלו הם % (= 0.01), ‰ (= 0.001), חלקים למיליון (= 10−6) חלקים למיליארד (= 10−9) חלקים לטריליון (= 10−12) ויחידות זווית (מעלות, רדיאנים וגראדים לדוגמה).

היחס של שני מספרים בעלי ממדים זהים יוצר מספר חסר ממד, לדוגמה: אם גוף א' מפעיל כח בסדר גודל של F על גוף ב' וגוף ב' מפעיל כח בסדר גודל של f על גוף א' אזי היחס F/f תמיד יהיה שווה ל-1, ללא כל תלות ביחידות בהן נמדדו הגדלים F או f. זוהי אבן היסוד של מספרים חסרי ממד הנובעת מההנחה כי חוקי הפיזיקה אינם כבולים למערכת היחידות בה נעשה שימוש על מנת להגיע ליחס הנ"ל. במקרה הזה אם היחס F/f אינו תמיד שווה ל-1, אלא משתנה על פי מערכת היחידות בה בחרנו להביע אותו אזי החוק השלישי של ניוטון מתקיים או לא מתקיים על פי בחירת מערכת היחידות, דבר שעומד בסתירה לאקסיומות עליהן מבוססת הפיזיקה המודרנית.
הנחה זו, שחוקי הפיזיקה אינם תלויים במערכת יחידות ספציפית היא הבסיס מאחורי משפט פאי של בקינגהאם.

משפט פאי של בקינגהאם

לפי משפט פאי של בקינגהאם (באנגלית: Buckingham π-Theorem), כל חוק פיזיקלי ניתן לביטוי על ידי זהות המורכבת אך ורק ממספרים חסרי ממד, במכפלות או מנות של המשתנים הקשורים לחוק.

לדוגמה לחץ ונפח קשורים אחד לשני בעזרת חוק בויל שם הם ביחס הפוך. אם היחס בין המספרים משתנה כתלות במערכת היחידות, המשוואה איננה זהות ומשפט פאי אינו מתקיים.
עוד תוצאה של המשפט היא שאת התלות בין n משתנים בעלי k ממדים בלתי תלויים ניתן לבטא בעזרת p=n-k מספרים חסרי ממד.

לדוגמה:
צריכת הכוח של בוחש חשמלי בעל צורה נתונה היא פונקציה של הדחיסות והצמיגות של הנוזל שאותו צריך לערבב, הגודל של הבוחש המבוטא (למשל) בעזרת הקוטר שלו והמהירות בה נרצה לערבב.
כלומר n=5 כאשר המשתנים הם כוח, דחיסות, צמיגות, גודל הבוחש והמהירות.
k=3 הממדים בהם ניתן לבטא את כל המשתנים הללו הם: אורך (L) [במטרים], זמן (T) [בשניות] ומסה (M) [בקילוגרמים]. על פי המשפט:
n=5 המשתנים בעלי k=3 הממדים הבלתי תלויים יכולים ליצור p = (n-k) = 5-3 = 2 מספרים חסרי ממד בלתי תלויים. מספרים אלו הם במקרה זה: מספר ריינולדס (גודל חסר ממד המתאר את משטר הזרימה בזורמים) ומספר ניוטון או מספר כוח (המתאר את הבוחש כתלות בדחיסות הנוזל).

קבועים פיזיקליים חסרי ממד
קבועים פיזיקליים יסודיים כמו מהירות האור בריק, קבוע הכבידה האוניברסלי, קבוע פלאנק וקבוע בולצמן יכולים להיות מנורמלים ל-1 אם נבחר יחידות מתאימות של זמן, אורך, מסה, מטען וטמפרטורה.
אולם לא כל הקבועים הפיזיקליים יכולים להיות מנורמלים בצורה זו, הערכים של הקבועים הבאים לדוגמה הם ללא יחידות כלל והתקבלו בצורה ניסויית:
 α ≈ 1/137.036 קבוע המבנה העדין, הוא קבוע הצימוד עבור אינטראקציות אלקטרומגנטיות.
1836 ≈ β או μ הוא יחס המשקל בין פרוטון לאלקטרון, יחס זה מבטא את מסת המנוחה של פרוטון מחולקת בזו של האלקטרון, יחס דומה ניתן למצוא עבור כל חלקיק יסודי.
 αs קבוע הצימוד עבור הכוח הגרעיני החזק.
 αG ≈ 1.75×10−45, הוא קבוע הצימוד הגרוויטציוני.

רשימה של מספרים חסרי ממד

כל המספרים הטהורים הם מספרים חסרי ממד, מספרים מסוימים בעלי משמעות מיוחדת מובאים כאן:

 שם סימון מקובל הגדרה תחום רלוונטי מספר אבה  V   אופטיקה: פיזור או נפיצה של קרניים בחומרים שונים מקדם פעילות     כימיה: היחס של מולקולות או אטומים פעילים אלבדו     קלימטולוגיה, אסטרונומיה: מידת ההחזריות של גוף - היחס בין כמות הקרינה המוחזרת מגוף לבין כמות הקרינה שפגעה בו מספר ארכימדס Ar   מכניקת הזורמים: תנועה של זורם כתוצאה מהפרשים בצפיפות החומר משוואת אריניוס      כימיה: היחס בין אנרגיית שפעול לאנרגיה תרמית משקל אטומי  M   כימיה: מסת האטום חלקי יחידת מסה אטומית, כאשר פחמן-12 הוא בדיוק 12 יחידות מסה אטומית מספר אטווד A     מכניקת הזורמים: היווצרות אי יציבויות בתערובת זורמים כתוצאה מהבדלים בצפיפות מספר בגנולד Ba  מכניקת הזורמים, גאולוגיה: יחס בין מאמץ התנגשות גרעינים אל מול מאמץ ויסקוזי בזרימה של חומר מגורען כמו חול או דגנים מספר בז'ן(מכניקת הזורמים) Be    מכניקת הזורמים: נפילת לחץ (חסרת ממד) לאורך ערוץ מספר בז'ן(תרמודינמיקה) Be    תרמודינמיקה: היחס בין מעבר חום בצורה בלתי הפיכה לסך כל חוסר ההפיכות במערכת כתוצאה ממעבר חום וחיכוך זורמים מספר בינגהם Bm  מכניקת הזורמים, ראולוגיה: היחס בין מאמץ כניעה לבין מאמץ ויסקוזי מספר ביו Bi  מעבר חום: הסעה משטחית אל מול הולכה נפחית בגוף מוצק מספר בלייק Bl or B   גאולוגיה, מכניקת הזורמים, חומרים נקבוביים: כוחות אינרציה ביחס לכוחות צמיגות במעבר בתווך נקבובי מספר בונדשטיין Bo or Bd     כימיה: פילוג זמן ההתנגדות, דומה למספר פקלה במעבר מסה צירי מספר בונד Bo  גאולוגיה, מכניקת הזורמים, חומרים נקבוביים: כוחות ציפה אל מול כוחות קפילריים, דומה למספר אוטווס מספר ברינקמן Br  מעבר חום, מכניקת הזורמים: הולכה מקיר אל זורם צמיג מספר ברוונול-כץ NBK    מכניקת הזורמים: שילוב של מספר קפילרי ומספר בונד מספר קפילרי Ca    חומרים נקבוביים, מכניקת הזורמים: כוחות צמיגות אל מול מתח פנים מספר צ'נדרסקר Q   אסטרופיזיקה, מגנטו-הידרודינמיקה: היחס בין כח לורנץ לצמיגות בהסעה מגנטית מקדם חיכוך קינטי    מכניקה: חיכוך בתנועה של גופים קשיחים מקדם חיכוך סטטי     מכניקה: חיכוך בין גופים קשיחים במנוחה מקדם התמד     סטטיסטיקה: יחס השונות של מודל סטטיסטי מסוים מקדם שונות     סטטיסטיקה: יחס סטיית תקן לציפייה קורלציה (מִתאם)  ρ or r   או  כאשר  בצורה דומה עבור   סטטיסטיקה: מדידה של תלות ליניארית מספר קורנט-פרדריך-לוי C or 𝜈     מתמטיקה: פתרונות נומריים של משוואות דיפרנציאליות חלקיות היפרבוליות מספר דמקולר Da  כימיה: זמן תגובה אל מול זמן התנגדות יחס ריסון   מכניקה: מידת הריסון במערכת מקדם החיכוך של דרסי Cf or fD   מכניקת הזורמים: אחוז הלחץ האובד כתוצאה מחיכוך בדפנות הצינור, פי 4 ממקדם החיכוך של פנינג מספר דרסי Da  חומרים נקבוביים: היחס בין הספיקה לבין שטח החתך מספר דין D    זרימה טורבולנטית: היווצרות מערבולות בחתכים בעלי עקמומיות מספר דבורה  De    ראולוגיה: זורמים ויסקואלסטיים דציבל  dB    אקוסטיקה, אלקטרוניקה, תורת הבקרה: יחס בין שתי עוצמות או שני הספקים של גל מקדם גרר  cd    אווירודינמיקה, הידרודינמיקה: התנגדות לתנועת זורם מספר דוקין Du   היחס בין ההולכה החשמלית של פני השטח לבין ההולכה הנפחית של הגוף מספר אקהרט Ec    מעבר חום בהסעה: מאפיין דסיפציה של אנרגיה או היחס בין אנרגיה קינטית ואנטלפיה מספר אקמן Ek    גאופיזיקה: כוחות צמיגות ביחס לכוחות קוריוליס גמישות(כלכלה)  E    כלכלה: התגובה של היצע או ביקוש לשינוי מחירים אנטרופיה (פיזיקה)     פיזיקה, תורת האינפורמציה מספר אוטווס Eo    מכניקת הזורמים: צורה של בועות או טיפות מספר אריקסון Er    הידרודינמיקה: התנהגות זרימה של גביש נוזלי, כוחות צמיגות אל מול כוחות אלסטיות מספר אוילר Eu    הידרודינמיקה: כוחות לחץ מול כוחות אינרציה בזורם מספר אוילר  e    מתמטיקה: בסיס הלוגריתם הטבעי מקדם טמפרטורה עודפת    מעבר חום, הידרודינמיקה מקדם החיכוך של פנינג f   מכניקת הזורמים: אחוז הלחץ האובד כתוצאה מחיכוך בדפנות הצינור קבועי פייגנבאום  ,    תורת הכאוס קבוע המבנה הדק    פיזיקה: קבוע המבנה העדין (נקרא גם קבוע המבנה הדק) הוא קבוע הצימוד עבור אינטראקציות אלקטרומגנטיות מספר f  f    אופטיקה, צילום: היחס בין אורך המוקד לקוטר המיפתח מספר פורייה  Fo    מעבר חום: יחס פיזור לאגירת חום מספר פרנזל F    אופטיקה: עקיפה דרך חריץ מספר פראוד  Fr    מכניקת הזורמים: יחס בין כוחות גרוויטציה לכוחות אינרציה הגבר –   אלקטרוניקה: היחס בין האות הנקלט לאות הנפלט מספר גלילאי Ga    מכניקת הזורמים: כוחות כבידה אל מול כוחות צמיגות יחס הזהב      מתמטיקה, אסתטיקה מספר גורטלר G    הידרודינמיקה: שכבת גבול לאורך קיר מספר גרץ Gz    מכניקת הזורמים: זרימה למינרית דרך תעלה מספר גרסהוף Gr    מעבר חום: יחס בין כוחות ציפה לכוחות צמיגות קבוע הצימוד הגרוויטציוני     פיזיקה: משיכה בין שני גופים בעלי מסה, אנלוגי לקבוע המבנה העדין מספר הטה Ha    הנדסה כימית: שינויים בספיחה כתוצאה מריאקציות כימיות מספר האגן Hg    מעבר חום: יחס בין ציפה לכוחות צמיגות בהסעה מאולצת גרדיאנט הידראולי i    מכניקת הזורמים, מי תהום: מתאר אובדן לחץ לאורך מרחק מספר איריבארן Ir    מתאר את זווית השבירה של גל ים בשיפוע מספר ג'ייקוב Ja  כימיה: היחס בין חום לאנתלפיה הנספגת בעת מעבר פאזה נוזל-גז מספר קרלוביץ Ka    בעירה תחת זרימה טורבולנטית מספר קולגן-קרפנטר KC     הידרודינמיקה: היחס בין כח הגרר לכח האינרציה לחפצים כבדים בזרימה תונדת מספר קנודסן  Kn    יחס מהלך חופשי ממוצע לאורך האופייני של הבעיהמספר קוטטליידזה  Ku    מספר לפלס La    הידרודינמיקה מספר לוויס Le   יחס בין דיפוסיביות תרמית לדיפוסיביות מסית מקדם עילוי  CL    אווירודינמיקה: כח עילוי המתקבל מפרופיל כנף בזווית התקפה נתונה פרמטר לוקהרט-מרטינלי     מספרי לאב  h, k, l   גאופיזיקה: מוצקות של כדור הארץ ושאר פלנטות מספר לונדקוויסט  S    פיזיקה של פלזמה מספר מאך  M or Ma   יחס בין מהירות הגוף בתווך למהירות הקול או ההפרעה באותו תווך מספר ריינולדס מגנטי  Rm    יחס בין אדווקציה מגנטית לפעפוע מגנטי מקדם החספוס של מננינג   n   מקדם המתאר זרימה בתעלה כתוצאה מכח הכבידה מספר מרנגוני Mg    מכניקת הזורמים: כוחות מתח פנים תרמי לעומת כוחות צמיגות מספר מורטון Mo    הידרודינמיקה: משפיע על צורה של טיפה או בועת זורם מספר נואסט Nu   מעבר חום: יחס בין מעבר חום בהסעה למעבר חום בהולכה מספר אונסורג'  Oh   משפיע על אטומיזציה של זורמים מספר פקלה Pe מעבר חום: בעיות של אדווקציה-דיפוזיה, סה"כ מעבר התנע למעבר חום מולקולרי פאי      מתמטיקה: היחס בין היקף מעגל לקוטרו יחס פואסון       אלסטיות: מקדם פואסון מתאר את המעוות הרוחבי כתוצאה מהמעוות האורכי נקבוביות      גאולוגיה, חומרים נקבוביים מקדם הספק  P/S    אלקטרוניקה מספר כוח  Np    אלקטרוניקה: נקרא גם מספר ניוטון, מתאר צריכת אנרגיה על ידי בוחשים או יחס כוחות ההתנגדות לכוחות האינרציה מספר פרנדטל Pr היחס בין הדיפוסיביות הקינטית לדיפוסיביות התרמית מספר פרטר   β   הנדסת ריאקטורים כימיים מקדם לחץ CP     אווירודינמיקה, הידרודינמיקה: הלחץ המורגש בנק' כלשהי בפרופיל כנף מקדם Q  Q   פיזיקה, הנדסה: מידת השיכוך של אוסילטור או מתנד, אנרגיה אגורה מול אנרגיה שאבדה רדיאן  rad   מתמטיקה: מדידה של זווית מישורית 1 רדיאן=180 מעלות חלקי π מספר ריילי  Ra    מעבר חום: כוחות ציפה מול כוחות צמיגות בהסעה טבעית מקדם שבירה  n    אלקטרומגנטיות, אופטיקה: מהירות האור בריק חלקי מהירות האור בתווך מסוים צפיפות יחסית RD    הידרומטרים: יחס הדחיסות של חומר מסוים יחסית לחומר בוחן אחר (לרוב מים) מספר ריינולדס  Re    מכניקת הזורמים: יחס כוחות האינרציה למול כוחות הצמיגות מספר ריצ'רדסון Ri    מכניקת הזורמים: עוסק בהשפעת הציפה על יציבות הזרימה קשיות רוקוול  –   סולם בו נמדדת רמת הקשיות של חומר מסוים התנגדות לגלגול  Crr  רכב: יחס הכח הדרוש לתנועה של גלגל על משטח ישר מספר רושקו Ro    הידרודינמיקה, מערבולות מספר רוסבי  Ro    גאופיזיקה: יחס בין כוח האינרציה לכח קוריוליס מספר רוז P or Z    משקעים: יחס בין מהירות נפילה לתנועה למעלה של חלקיקים מספר שמידט Sc     מעבר מסה מקדם צורה H    שכבת גבול: יחס בין עובי ההזזה לעובי המומנטום מספר שרווד Sh   הסעה מאולצת מספר זומרפלד  S    סיכה הידרודינמית מספר סטנטון  St    מעבר חום, מכניקת הזורמים: עוסק בהסעה מאולצת מספר סטפן Ste  מעבר פאזות בחומר מספר סטוקס Stk or Sk  מתאר התנהגות חלקיקים בתוך זורם, מוגדר כזמן האופייני של החלקיק חלקי הזמן האופייני של הזורם מעוות    הנדסת חומרים, אלסטיות: הזזה בין חלקיקים בגוף קשיח יחסית לאורך התחלתי מספר סטרוהאל  St or Sr   מכניקת הזורמים: עוסק בזרימות תמידיות תונדות מספר סטיוארט  N    מגנטו-הידרודינמיקה, יחס בין כוחות אלקטרומגנטיים לכוחות אינרציה מספר טיילור Ta  מכניקת הזורמים: כוחות אינרציה כתוצאה מסיבוב של זורם מול כוחות צמיגות פרמטר ואליס  j*  זרימה מולטי פאזית מספר ובר  We  זרימה מולטי פאזית מספר ויסנברג  Wi  זרימות ויסקואלסטיות, יחס הגזירה כפול זמן הרגיעה מספר וורמסלי   ביומכניקה של זורמים, זרימות רציפות ופועמות

 ראו גם 
 אנליזה ממדית
 סקלר
 ערך מוחלט

קטגוריה:גדלים פיזיקליים
*