קבוע בולצמן

קבוע בולצמן הוא קבוע פיזיקלי מתחום התרמודינמיקה הממיר יחידות של טמפרטורה ליחידות של אנרגיה. הקבוע נקרא על שמו של לודוויג בולצמן.

קבוע בולצמן נתון על ידי:


קבוע בולצמן משחק תפקיד מרכזי במספר רב של נוסחאות במכניקה סטטיסטית, תרמודינמיקה ותחומים נוספים. כיום, בהתאם להגדרות המודרניות של מערכת היחידות SI, ערכו המספרי של קבוע בולצמן מוגדר במדויק (ביחידות של ) והוא משמש להגדרת היחידה קלווין.
הקבוע כקשר בין אנרגיה תרמית וטמפרטורה
מנקודת מבט של מכניקה סטטיסטית האנרגיה התרמית של מערכת תרמודינמית הנמצאת במנוחה (ברמה המאקרוסקופית) היא האנרגיה הקינטית הכוללת של החלקיקים המיקרוסקופיים במערכת. לדוגמה האנרגיה התרמית של גז הכלוא במכל ונמצא בשיווי משקל תרמודינמי, תהיה האנרגיה הקינטית הכוללת של כל המולקולות מהן מורכב הגז. מנקודת מבט זו, הטמפרטורה המוחלטת של המערכת היא גודל הנתון ביחס ישר לאנרגיה התרמית הממוצעת לדרגת חופש מיקרוסקופית של המערכת. לדוגמה, עבור גז אידיאלי, גז המורכב ממספר רב של חלקיקים נקודתיים, מספר דרגות החופש המיקרוסקופיות של נפח גז תלת-ממדי המכיל  חלקיקים הוא  (דרגת חופש אחת עבור כל חלקיק וכל ממד). אולם, עבור גז מורכב יותר, בו החלקיקים הם מולקולות שיכולות להסתובב סביב עצמן אז מספר דרגות החופש גבוה יותר וכולל גם 2 או 3 כיווני סיבוב לכל מולקולה (בהתאם לצורת המולקולה).

קבוע בולצמן מגדיר את מקדם הפרופורציה בין הטמפרטורה לבין אנרגיה התרמית הממוצעת לדרגת חופש מיקרוסקופית. באופן מפורש:
כאשר:
  היא האנרגיה התרמית.
  הוא מספר דרגות החופש.
  הוא קבוע בולצמן
  היא הטמפרטורה
נוסחה זו נכונה במערכות עם מספר רב של חלקיקים (אחרת אין משמעות למושג הטמפרטורה) ובהזנחת תופעות קוונטיות.

למשל, גז אידיאלי המורכב מחלקיקים נקודתיים מקיים:כאשר  מספר החלקיקים.

הקבוע במשוואת המצב של גז אידיאלי

קבוע בולצמן מופיע במשוואת המצב של גז אידיאלי. ניתן להגדיר גז אידיאלי בתור גז המקיים את המשוואה הבא:

כאשר:
  הוא הלחץ
  הוא הנפח
  הוא מספר החלקיקים
  הוא קבוע בולצמן.
משוואה זאת מכונה משוואת המצב של גז אידיאלי.
אומנם גזים במצאות לא מקיימים משוואה זאת, אך בדרך כלל משוואה זאת מתקיימת בקירוב טוב מאוד עבור גזים בטווח גדול של מצבים.

לצרכים מסוימים נהוג לכתוב משוואה זאת במונחים של מספר המולים במקום מספר החלקיקים. כך היא מקבלת את הצורה הבאה:

כאשר:
  הוא מספר המולים (נכתב בדרך כלל ביחידות של מול או קילומול)
  הוא קבוע הגזים.

הקשר בין קבוע בולצמן לבין קבוע הגזים הוא:

כאשר  מספר אבוגדרו.
הערה: בשונה מהקשר בין טמפרטורה ואנרגיה, במשוואת המצב של גז אידיאלי אין חשיבות למספר דרגות החופש אלא רק למספר החלקיקים. משוואה זאת נכונה גם לגזים אידיאליים המורכבים ממולקולות שלא ניתן למדל על ידי חלקיקים נקודתיים (למשל גז מימן), בהתאם לחוק אבוגדרו.

הקבוע כקשר בין הסתברות, טמפרטורה ואנרגיה
קבוע בולצמן מופיע גם בהתפלגויות רבות של מכניקה סטטיסטית. למשל בהתפלגות בולצמן – בהינתן מערכת שמצומדת לאמבט חום בטמפרטורה קבועה T, ניתן לבטא את ההסתברות להימצא באנרגיה מסוימת E בעזרת ניתוח המערכת כצבר קנוני, וזאת בהתאם לפונקציית חלוקה קנונית. במערכת זו, ההסתברות להיות ברמת אנרגיה  נתונה על ידי:

כאשר Z היא פונקציית החלוקה של המערכת.

הקבוע מופיע כמקדם למעריך של האקספוננט גם בהתפלגויות נוספות, כמו התפלגות מקסוול-בולצמן, התפלגות בוז-איינשטיין והתפלגות פרמי-דיראק.

תפקיד הקבוע בקרינת גוף שחור

תפקיד הקבוע בחקר מוליכים למחצה

במוליכים למחצה נעשה שימוש בקבוע בעל יחידות מידה של מתח חשמלי הנקרא המתח התרמי ומוגדר:

כאשר q מטען האלקטרון.

קישורים חיצוניים



הערות שוליים

בולצמן
קטגוריה:תרמודינמיקה