מד כושר

מד כושר הוא שיטה מקובלת לדירוג של שחקני שחמט, המבוססת על מודל סטטיסטי פשוט ויציב ומנוהלת על ידי התאחדות השחמט העולמית (פיד"ה). לפי שיטה זו, לכל שחמטאי פעיל יש דירוג מספרי, המעודכן באופן קבוע לפי הניצחונות וההפסדים שלו במשחקים תחרותיים, באופן הלוקח בחשבון גם את רמתם של היריבים שמולם שיחק: ניצחון נגד שחקן חזק מקנה יותר נקודות מניצחון נגד שחקן חלש ממנו.

ציון מד הכושר אמור לשקף את יכולתו של השחמטאי בדרך של חיזוי התוצאות שלו, ולענות על השאלה כיצד צפוי להסתיים דו-קרב בין שני שחקנים, אף אם מעולם לא שיחקו זה כנגד זה. הסולם הוא לוגריתמי – שחקנים בעלי ציוני מד כושר  ו-  אמורים (בתוחלת) לחלק ביניהם את הנקודות במשחק ביחס של  ל- כלומר:

הסיכוי של השחקן בעל מד כושר  לנצח הוא:

והסיכוי של השחקן בעל מד כושר  לנצח הוא:

לדוגמה, דו-קרב בן 11 משחקים בין שני שחקנים, שהפרש מד הכושר שלהם 400 נקודות, אמור (בתוחלת) להסתיים בתוצאה 10:1 (ההסתברות p של השחקן החזק לנצח היא 0.91~ או 10 ל-11 וההסתברות של השחקן החלש לנצח היא 0.09~ או 1 ל-11), ואילו הפרש של 32 נקודות אמור (שוב, בתוחלת) להסתיים בתוצאה של 6:5 (ההסתברות p של השחקן החזק לנצח היא 0.545~ או 6 ל-11 וההסתברות של השחקן החלש לנצח היא 0.455~ או 5 ל-11).

את השיטה פיתח הפיזיקאי והשחמטאי  בשנות ה-50 של המאה ה-20, וב-1970 היא אומצה על ידי פיד"ה, לאחר שינויים והתאמות. השיטה משמשת לדירוג שחקנים וקבוצות גם בכמה ענפי ספורט אחרים.

 היסטוריה ותיאור המודל 
הצורך בדירוג השחמטאים הרואים עצמם מועמדים לתואר הוכר מאז שהוחל בקיום תחרויות על הזכות להתמודד בדו-קרב עם אלוף העולם בשחמט. מאז ראשית המאה ה-20, הדירוג נקבע על-פי הישגי השחקנים בתחרויות, בדרך של צבירת ניקוד על ניצחונות. הקביעה כמה נקודות יש להעניק לכל הישג היא שרירותית, וארגוני השחמט השונים השתמשו בשיטות שונות. בפדרציית השחמט של ארצות הברית (USCF) הייתה מקובלת "שיטת Harkness", המבוססת על אותו עיקרון.

בשנות ה-50 של המאה ה-20 פיתח הפיזיקאי והשחמטאי , בשיתוף עם ה-USCF, שיטה סטטיסטית עקבית לדירוג השחקנים. העבודה התבססה על רעיונות שהציגו הסטטיסטיקאים ראלף בראדלי ומ. טרי ב-1952.

השיטה מבוססת על ההנחה שלכל שחקן יש "כושר אמיתי", שאינו ידוע ואינו ניתן למדידה ישירה; הכושר האמיתי עשוי להשתנות עם הזמן, אך הוא אינו משתנה במהירות. אם הניצחון במשחק היה נקבע באופן ישיר על ידי הכושר האמיתי של שני היריבים, אפשר היה למדוד את ציוני הכושר האמיתי בקלות. בפועל, מניח המודל של אלו, מגריל השחקן מעין "כושר רגעי" בכל משחק, והשחקן בעל הכושר הרגעי הגבוה יותר – מנצח. הכושר הרגעי תלוי בכושר האמיתי, אך הוא עשוי להיות נמוך או גבוה ממנו. מד הכושר מתעדכן באופן שוטף על-פי הישגי השחמטאי, הנקבעים על-פי ציוני מד הכושר הרגעיים שלו במשחקים השונים. אלו, בתורם, נקבעים על ידי מד הכושר האמיתי, גם אם בזה לא ניתן לצפות באופן ישיר. על ידי עדכון מד הכושר באופן מתאים (כפי שיוסבר בהמשך), אמורים הניצחונות וההפסדים להצטבר באופן כזה שמד הכושר יהיה אומד חסר הטיה של ציון הכושר האמיתי.

כדי לפשט את המודל שלו, אלו אינו מנסה לחזות את הסיכוי לניצחון או לתיקו, אלא מודד רק את הנקודות הנצברות במשחק. מנקודת מבט זו, תיקו נחשב כחצי ניצחון וחצי הפסד, ורק מספר הניצחונות (המביא בחשבון מחצית נקודה לכל תוצאת תיקו) קובע.

בעבודתו המקורית, הציע אלו שהכושר הרגעי מתפלג התפלגות נורמלית, שהערך הממוצע שלה שווה לכושר האמיתי, וסטיית התקן מכוילת באופן כזה שהפרש של 200 נקודות יביא לחלוקה צפויה של הנקודות במשחק ביחס של 3:1. ה-USCF אימץ את המודל ב-1960, ובחר את הערך 1500 כציון הממוצע של שחקן רשום במועדון.

אם הכושר הרגעי מתפלג נורמלית, אז ההפרש בין שני ציוני כושר רגעי (של שני שחקנים יריבים) אמור גם הוא להיות בעל התפלגות נורמלית. מדידות שנעשו לאורך זמן, הראו שהנחה זו אינה תואמת את המציאות. מסיבה זו, ובעקבות ניתוח תאורטי, תוקנה ההנחה לכך שהציון הרגעי מתפלג לפי התפלגות הערך הקיצוני (שהיא ההתפלגות של הערך המקסימלי של משתנים מקריים רבים). פירושה של הנחה זו הוא שבדרך-כלל ציון הכושר הרגעי נמוך במעט מציון הכושר האמיתי, אך מפעם לפעם הוא גבוה ממנו במידה משמעותית. מכאן נובע, מתמטית, שההפרש בין הציונים הרגעיים מתפלג לוגיסטית – דבר המקנה לשחקנים חלשים סיכוי גבוה יותר מזה שנותן להם המודל הקודם (משום שהזנבות של ההתפלגות הלוגיסטית דועכים כמו , ולא כמו בהתפלגות נורמלית שקצב הדעיכה שלה, , מהיר בהרבה).

ב-1970 אימץ פיד"ה את השיטה המתוקנת. אלו עצמו כתב על השיטה ואופניה השונים את הספר 'דירוג שחקני שחמט, עבר ועתיד', שפורסם ב-1978.

 קביעת מד כושר ודירוג בישראל 
כללי קביעת מד הכושר והדירוג שהוגדרו באיגוד הישראלי לשחמט ואשר היו בתוקף עד 30 בספטמבר 2015, עודכנו החל מ 1 באוקטובר 2015:

 אתחול מד הכושר 
מקובל לאתחל את הדירוג ההתחלתי של שחקן בוגר שאינו מדורג לפי רמת ביצועיו כנגד שחקנים מדורגים אחרים.
באיגוד הישראלי לשחמט הדירוג המינימלי הוא 1200, ואחרי ששחקן עוקף את ה-1300 הוא אינו יכול לרדת מתחת לזה.

שחקנים המצטרפים לאיגוד השחמט הישראלי בפעם הראשונה מקבלים מד כושר ישראלי התחלתי לפי שלושת הסיווגים הבאים:

(א) שחקן שהוא בעל מד כושר פיד"ה בקצב מלא (אם יש) או בקצב מהיר יקבל מד כושר ישראלי התחלתי בהתאם לנוסחת ההמרה ממד כושר פיד"ה (F) למד כושר ישראלי (I).

I = F * 0.875 + 325 עבור F < 2600,

I = F עבור F >= 2600

כלומר כאשר מד כושר פיד"ה הוא לפחות 2600, יהיה מד הכושר הישראלי זהה למד כושר פיד"ה אחרת ייקבע לפי נוסחת ההמרה, לדוגמה אם מד כושר פיד"ה הוא 2000, יהיה מד הכושר ההתחלתי בישראל 1750+325=2075.

(ב) שחקן שאין לו מד כושר פיד"ה וגילו פחות מ-14 שנים בעת הרישום לאיגוד או בתאריך תחילת התחרות הראשונה שלו, מקבל מד כושר התחלתי לפי הפירוט הבא:

(ב1) עד גיל 9 כולל: 1200.

(ב2) גיל 10 עד גיל 11: 1250.

(ב3) גיל 12 עד גיל 13: 1300.

(ג) שאר השחקנים המצטרפים לאיגוד מסווגים כשחקנים ממתינים ויקבלו מד כושר 0 באופן זמני.

שחקנים ממתינים יקבלו מד כושר התחלתי לפי רמת הביצועים שלהם לאחר שהשתתפו ב-5 משחקים לפחות נגד שחקנים בעלי מד כושר. מינימום מד הכושר ההתחלתי יהיה 1300.

רמת הביצועים נקבעת לפי מד הכושר הממוצע של היריבים ומספר הניצחונות וההפסדים באופן הבא: R = R(a) + 400 * (W-L) / N

כאשר: R- מד-הכושר החדש, R(a)- מד-הכושר הממוצע של היריבים

W- מספר הניצחונות, L- מספר ההפסדים, N- מספר המשחקים

 נוסחת עדכון מד הכושר 
מד-הכושר של שחקן רגיל (שאינו שחקן ממתין) תלוי בתוצאות משחקיו בתחרויות שנכללו בעדכון מד-הכושר ומחושב על פי מד הכושר של השחקן לפני העדכון, על פי הפרש מד הכושר בינו לבין יריביו ועל פי מקדם מהירות K, בהתאם לנוסחה הבאה:

[R(n) = R(o) + å[(2P-1 + D/400)K + B

כאשר: R(n)- מד-הכושר של השחקן לאחר העדכון. R(o)- מד-הכושר של השחקן לפני העדכון.

å- רץ על כל המשחקים הנכללים בעדכון הנוכחי.

K- מקדם המהירות תלוי בסוג התחרות שבמסגרתה נערך המשחק ( זמן המחשבה המוקצבת לשחקן לכל המשחק) ובמד-הכושר הנוכחי של השחקן, לפי הטבלה הבאה:

מקדם K של שחקנים שסווגו כממתינים והחלו ממד-כושר 0 יוכפל ב-1.5, וזאת עד לתחרות בה שיחקו את המשחק ה-15 שלהם.
מד-כושר 1300-1549מד-כושר 1550-1749מד-כושר 1750-2199מד-כושר 2200 ומעלהסוג התחרות/מד-כושר נוכחי14141210שעתיים לפחות1110861:00-1:59 שעות875325-59 דקות

P- תוצאת המשחק (1, 0.5, 0)

D- ההפרש D=R(y)-R(o), כאשר R(y) הוא מד-הכושר של היריב ו-R(o) מד הכושר של השחקן, שניהם לפני העדכון; אבל אם הערך המוחלט של D עולה על 375, הערך חסום ב-375 (או מינוס 375), אלא אם הערך המוחלט עולה על 750, ואז הערך נקבע ל-400 (או מינוס 400).

B- בונוס למשחק התלוי ב־R(o) ובסוג התחרות ומחושב לפי הכללים הבאים:

B=0 אם R(o) גדול או שווה מ-2300.

אחרת: B=(2300-R(o))/2000 בתחרות בה זמן המחשבה המוקצב לשחקן הוא שעה ויותר.

B=(2300-R(o))/4000 בתחרות בה זמן המחשבה המוקצב לשחקן הוא עד שעה.

לאחר ששחקן מדורג מגיע למד כושר שהוא מעל 1300 הוא אינו יכול לרדת מתחת לזה גם אם עדכון מד הכושר בעקבות משחקים נוספים ששיחק מביא לתוצאה נמוכה יותר.

 תארים ודרגות 
האיגוד הישראלי לשחמט מעניק תארים ודרגות לשחמטאים שהשיגו מד-כושר כדלקמן:
 1300 - דרגה שביעית;
 1410 - דרגה שישית;
 1520 - דרגה חמישית;
 1630 - דרגה רביעית;
 1740 - דרגה שלישית;
 1850 - דרגה שניה;
 1960 - דרגה ראשונה;
 2070 - מועמד לאמן;
 2180 - מועמד בכיר לאמן;
 2290 - אמן;
 2400 - אמן בכיר
שחקן יהיה זכאי לדרגה מסוימת אם בעקבות חישוב מד-כושר התחלתי או עדכון מד-כושר השיג מד-כושר השווה או עולה על הנדרש לאותה דרגה. שחקן ימשיך להיות זכאי לאותה דרגה, גם אם עקב חישוב תחרויות שנסתיימו מאוחר יותר לא השיג את מד-הכושר הנדרש. התארים והדרגות הנם בתוקף לכל החיים.

 קביעת מד כושר בין-לאומי על ידי פיד"ה 

להלן כללי קביעת מד הכושר שהוגדרו על ידי פיד"ה, בתוקף החל מ 1 במרץ 2024: כללים אלו חלים על מד הכושר הסטנדרטי וכוללים שינויים יחסית לכללים הקודמים שהיו בתוקף החל מינואר 2022, כללים אחרים נקבעו למד כושר למשחקים מהירים ולמשחקי בזק.

 אתחול מד הכושר 
מד הכושר של שחקן שאינו מדורג יחושב לפי רמת ביצועיו לאחר שישתתף בלפחות 5 משחקים כנגד שחקנים מדורגים בתקופה של עד 26 חודש. מד הכושר לא יפחת מ-1400. במקרה שלאחר עדכון, מד הכושר יירד מ-1400 השחקן ייחשב שוב כלא מדורג.

מד הכושר הראשוני Ru לשחקן שאינו מדורג ייקבע באופן הבא: Ru = Ra + dp כאשר Ra הוא מד הכושר הממוצע של יריביו כאשר מוסיפים להם שני יריבים היפותטיים שלהם מד כושר 1800. dp הוא הפרש מד הכושר המחושב לפי התוצאה p שצבר השחקן כאשר התוצאה נגד שני היריבים ההיפותטיים נחשבת לתיקו.

מד הכושר הראשוני שייקבע מוגבל למקסימום של 2200.

לדוגמה: אם השחקן הלא מדורג ביצע 6 משחקים כנגד יריבים שדירוגם הוא 1500,1450, 1550, 1650, 1700, 1750 אזי מד הכושר הממוצע של יריביו יחושב להיות:

Ra=(1450+1500+1550+1650+1700+1750+1800+1800)/8=1650

ואם מתוך 6 המשחקים ששיחק ניצח ב-2 משחקים והפסיד ב-4 משחקים, התוצאה שלו היא 3 נקודות מתוך 8 (שתי תוצאות התיקו ההיפותטיות נלקחות בחשבון) או 0.375 שמתורגמת ל dp = -91 ולכן מד הכושר הראשוני שיחושב לשחקן הוא Ru=1650-91=1559. טבלת התרגום מתוצאת המשחקים היחסית p להפרש מד הכושר dp מוגדרת בכללי קביעת מד הכושר על ידי פיד"ה ומתבססת בקירוב על הנוסחא המוסברת בפתיח.

 נוסחת עדכון מד הכושר 
מד-הכושר של שחקן מדורג תלוי בתוצאות משחקיו בתחרויות שנכללו בעדכון מד-הכושר ומחושב על פי מד הכושר של השחקן לפני העדכון, על פי הפרש מד הכושר בינו לבין יריביו ועל פי מקדם מהירות K, בהתאם לנוסחה הבאה:

[R(n) = R(o) + å[(P - PD)K

כאשר: R(n)- מד-הכושר של השחקן לאחר העדכון. R(o)- מד-הכושר של השחקן לפני העדכון.

הפרש מד הכושר בין השחקן לבין יריבו במשחק מסוים נכלל בנוסחה באמצעות ההפרש P-PD, תוצאת המשחק בפועל (P) יחסית לסיכוי לנצח (PD) שהוא פונקציה של הפרש מד הכושר.

P- תוצאת המשחק (1, 0.5, 0)

PD- הסיכוי של השחקן לנצח את יריבו יחושב לפי ההפרש D=R(y)-R(o), כאשר R(y) הוא מד-הכושר של היריב ו-R(o) מד הכושר של השחקן, שניהם לפני העדכון; אבל אם הערך המוחלט של D עולה על 400, הערך חסום ב-400 (או מינוס 400). לדוגמה אם מד הכושר של השחקן זהה ליריב, PD=0.5, אם מד הכושר של היריב גבוה ב 400 ממד הכושר של השחקן, PD=~0.08. הכל לפי טבלה המפורטת בכללי קביעת מד הכושר על ידי פיד"ה המתבססת בקירוב על הנוסחא המוסברת בפתיח.

å- רץ על כל המשחקים הנכללים בעדכון הנוכחי.

K- מקדם ההתפתחות נקבע באופן הבא:

K=40 עבור שחקן חדש ברשימת הדירוג עד שישלים אירועים בהם שיחק לפחות 30 משחקים או עבור שחקנים צעירים עד לסוף השנה בה הגיע השחקן לגיל 18 וכל עוד מד הכושר של השחקן נמוך מ-2300.

K=20 כל עוד מד הכושר של השחקן הוא נמוך מ-2200.

K=10 מרגע שהשחקן הגיע למד כושר של 2400 (גם אם מד הכושר שלו מאוחר יותר נמוך מ-2400).

K יוגבל למספר שלם הנמוך מהחלוקה של 700 במספר המשחקים הנכללים בעדכון הנוכחי. לדוגמה אם נכללים 35 משחקים בעדכון, K יוגבל ל 20 ואם נכללים 36 משחקים, יוגבל K ל 19.

 תארים ודרגות בין-לאומיים 

 פרטים טכניים ושיקולים תאורטיים 
 משמעות הציון 
כאמור לעיל, ההפרש בין ציוני הכושר הרגעיים של שני מתחרים, שציון הכושר האמיתי שלהם  ו- , מתפלג לוגיסטית, סביב ההפרש . מן הנוסחאות המתארות את ההתפלגות הלוגיסטית אפשר לחשב שכל נקודה אמורה להיות מחולקת בין שני הצדדים ביחס של .

על-פי ה-USCF, לאמן אמור להיות דירוג של 2200–2400, ואמן בינלאומי, דירוג 2400 ומעלה. הפרש של 200 נקודות פירושו שדו-קרב בן 8 משחקים אמור להסתיים בתוצאה החריגה 6:2. בדרך כלל הפער בין מתמודדים בתחרויות אינו מגיע לרמה כזו.

 אופן העדכון 
לאחר תחרות, מעדכנים את מד הכושר של כל משתתף. העדכון תלוי בעיקר ב"מקדם המהירות" K: מקדם גבוה מאפשר לעדכן את הדירוג במהירות, ומקדם נמוך שומר יותר על יציבותו. K הוא גבוה יותר לשחקנים חלשים ופחות מנוסים ונמוך יותר לאמנים ולשחקנים חזקים. K הוא גבוה יותר במשחקים שבהם זמן המחשבה המוקצבת לשחקן גבוה יותר ונמוך יותר במשחקים שבהם זמן המחשבה המוקצבת לשחקן קטן יותר. המקדם K משמש להכפלת תוצאת המשחק (1 ,0 ,1- עבור ניצחון, תיקו, הפסד בהתאמה) וגם להכפלת ההפרש שבין מד הכושר של השחקן ושל יריבו (מחולק ב 400).

כיוון שהניקוד הצפוי לשחקן A המתמודד נגד שחקן B מנוגד לזה הצפוי לשחקן B המתמודד נגד A (סכום הנקודות הוא 0 למעט מרכיב הבונוס B שמקבלים שני המתמודדים), אפשר לראות במודל העדכון מעין העברה של נקודות מן המפסיד למנצח בכל משחק.

ניצחון מול יריב חזק יותר יביא לתוספת ניקוד גבוהה יותר מאשר ניצחון מול יריב חלש יותר. תיקו מביא לתוספת ניקוד מול יריב חזק יותר ויכול להביא להפחתת ניקוד כשהיריב חלש יותר. הפסד מול יריב חלש יותר יביא להפחתת ניקוד גבוהה יותר מאשר הפסד מול יריב חזק יותר.

 סטיית התקן 
 הניח שלכל השחקנים אותה סטיית תקן, כלומר, שפיזור הציונים הרגעיים סביב לציון האמיתי, אינו תלוי בשחקן. הנחה זו מפשטת את הניתוח המתמטי ואת החישובים, אך היא אינה הכרחית (משום שכח החישוב הדרוש לעדכון סטיות תקן אישיות נמצא בהישג יד), וגם אינה נכונה (ידוע שיש שחקנים הנוטים יותר להתעלות או לשגות באופן קיצוני ביחס לרמתם הממוצעת, ויש כאלו הנוטים להיות יציבים יותר). עם זאת, שילוב של סטיות תקן שונות במודל יביא לכך ששחקן המפסיד במשחק מול שחקן בעל אותו מד כושר, יאבד נקודות במספר השונה ממספר הנקודות שיריבו יזכה בהן. המומחים חוששים שבמקרה כזה, תתעורר תחושה של חוסר-צדק או אפליה מכוונת, ומעדיפים בשל כך להיצמד למודל הפשוט והפחות מדויק.

 בעיות ידועות 
 שרירותיות – בחירת גודלו של הקבוע K שרירותית. הקבוע שומר על מד הכושר מקפיצות פתאומיות, אך בולם שינוי במקרה שמד הכושר משתנה במהירות לאורך זמן קצר (כתוצאה מלימוד אינטנסיבי, לדוגמה). קשה להצדיק את הערך 16 שנבחר בשיטת פיד"ה.
 אי-התאמה לנתונים – מדידות של אלפי משחקים מראות ששחקנים "חלשים" מצליחים יותר מכפי שהם אמורים להצליח לפי המודל. פירושו של דבר שישנה הערכת יתר של ההפרש בין ציוני הכושר.
 זליגת נקודות – שחקן מן השורה מקבל דירוג התחלתי של לפחות 1200-1300 כשהוא נכנס לדירוג, ופורש כשרמתו גבוהה יותר. בין הכניסה לפרישה, השחקנים מעבירים נקודות ביניהם, ולכן ההפרש בין נתוני הפרישה לנתוני הפתיחה אמור לגרום לדחיקת הדירוג הממוצע כלפי מטה.
 אינפלציה – הניסיונות לתקן את זליגת הנקודות (למשל, בדרך של בונוסים המוענקים למשתתפים בתחרויות חזקות, ואינם נלקחים משחקנים אחרים), גורמים לעליה בדירוג מד-הכושר הממוצע לאורך הזמן.
 מדידה יחסית או מוחלטת – יש הטוענים כי עליית מד הכושר הממוצע מוצדקת, לאור התפתחות המומחיות של שחקני השחמט מבחינה תאורטית, בידע הפתיחות והסיומים, וכדומה. השאלה היא האם מד הכושר אמור לשקף כושר מוחלט, ולאפשר השוואה בין שחקן בן המאה ה-21 לשחקן מראשית המאה ה-20, או להשוות את השחקן לבני תקופתו.
 קושי בהשוואות היסטוריות – עקרונית, אפשר לחשב את מד הכושר אחורנית, גם לתקופות בהן טרם הונהג, מתוך השוואת נתונים היסטוריים של המשחקים הידועים לנו. מד הכושר אמור לסייע לענות על השאלה מי אמור היה לנצח בדו-קרב תאורטי בין בובי פישר וחוסה קפבלנקה, וכדומה. בפועל, מרחק השנים בין המדידות מקשה על ההשוואה, גם בשל בעיית האינפלציה שהוזכרה לעיל.

ישראלים בצמרת השחמט
בזכות העלייה מברית המועצות לשעבר בשנות ה-90 הפכה ישראל למעצמת שחמט, וכיום מתגוררים בה רבי אמנים ידועי שם. יחד עם זאת, נכון לאפריל 2025, בוריס גלפנד (עם מד כושר של פיד"ה 2652) ומקסים רודשטיין (עם מד כושר של פיד"ה 2647) הם הישראלים היחידים הנמצאים בין מאה השחמטאים הטובים בעולם. בוריס גלפנד, אף התמודד בדו-קרב על אליפות העולם בשחמט 2012.

המדורגים ראשונים בעולם

מד הכושר המרבי שנמדד אי פעם היה של מגנוס קרלסן במאי 2014, ועמד על 2882. בכך הוא שיפר את שיאו לאחר שבדצמבר 2012 שבר את שיאו הקודם של גארי קספרוב בן 13 השנים.

גרף מד כושר של עשרת המדורגים הראשונים בעולם

המדורגים ראשונים בישראל

ראו גם
 מד כושר לנבחרות כדורגל

קישורים חיצוניים
 טבלת 100 הראשונים במד הכושר הבינלאומי, באתר פיד"ה 
 מאמר ודוגמה לאופן חישוב מד הכושר, באתר gobase 
 מחשבוני מד כושר, באתר פיד"ה 

 הערות שוליים 

קטגוריה:תארים ודרגות בשחמט
קטגוריה:דירוג בנושא ספורט