חיתוך (מתמטיקה)

בתורת הקבוצות ובענפים אחרים במתמטיקה, החיתוך של שתי קבוצות  ו- הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ב- ששייכים גם ל- (או באופן שקול, כל האיברים ב- ששייכים גם ל-), ורק אותם. החיתוך של  ו- נכתב בדרך כלל כך: .

שמאל|ממוזער|250px|דיאגרמת ון של החיתוך של A ו-B

מבחינה פורמלית:
 ( הוא איבר ב-) אם ורק אם  וגם . 

 חיתוך כלשהו 

בדומה לאיחוד ולפעולות אחרות בתורת הקבוצות, אפשר להגדיר את החיתוך של משפחה כלשהי של קבוצות. נניח כי  היא משפחה של קבוצות (כלומר, קבוצה של קבוצות שכל אחת מזוהה על ידי אינדקס  השייך לקבוצת אינדקסים ), אז החיתוך שלהן יסומן , והגדרתו היא ש- אם ורק אם לכל  מתקיים .

אם קבוצת האינדקסים  ריקה, אומרים שהחיתוך הוא חיתוך ריק, השווה כביכול לקבוצה האוניברסלית שכל דבר הוא איבר שלה. על-מנת להבטיח שהחיתוך יהיה קבוצה, מגדירים את החיתוך של משפחת קבוצות בתוך מרחב נתון , ואז החיתוך של משפחה ריקה שווה, כעניין שבהגדרה, למרחב  כולו.

דוגמאות
אם  אז 
 אם  ( הוא קבוצה חלקית של ) אז .
 אם  (קבוצה ריקה) אז לכל  מתקיים . (זהו מקרה פרטי של המקרה הקודם).
 אם  אז .
בדוגמאות הבאות נשתמש גם בפעולת האיחוד:
 בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות , אז הקבוצה  היא קבוצת כל האיברים שמופיעים בכל הקבוצות החל מאינדקס  כלשהו.
 בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות , אז הקבוצה  היא קבוצת כל האיברים שמופיעים במספר אינסופי של קבוצות.
(שתי הקבוצות הללו מכונות בהתאמה הגבול התחתון והגבול העליון של סדרת הקבוצות , ומסומנות  ו-).

קישורים חיצוניים



קטגוריה:תורת הקבוצות
קטגוריה:פעולות בינאריות