המשפט היסודי של האלגברה

המשפט היסודי של האלגברה קובע שלכל פולינום לא קבוע עם מקדמים מרוכבים יש לפחות שורש מרוכב אחד. זה כולל כמובן פולינומים עם מקדמים ממשיים שכן כל מספר ממשי הוא גם מספר מרוכב. ניסוח שקול של משפט זה הוא ששדה המספרים המרוכבים הוא שדה סגור אלגברית. שימוש חשוב של משפט זה, שהוא למעשה ניסוח שקול שלו, אומר כי כל פולינום מעל המרוכבים ניתן לכתוב כמכפלה של גורמים ליניאריים.

למרות שמו של המשפט, הוא אינו משפט באלגברה. זאת מכיוון שהגדרת המספרים המרוכבים דורשת את תכונת השלמות של שדה המספרים הממשיים. בהתאם אין לו הוכחה שמשתמשת אך ורק באלגברה. ההוכחות המודרניות הקצרות ביותר למשפט משתמשות באנליזה מרוכבת. אולם ישנן הוכחות שאופיין אלגברי במהותו, והשימוש באנליזה בהן הוא מינימלי. למשל שימוש במשפט ערך הביניים על מנת להוכיח שלכל פולינום עם מקדמים ממשיים ממעלה אי זוגית יש שורש.

מן המשפט נובע שכל פולינום לא קבוע מעל המרוכבים מקבל כל ערך מרוכב (כלומר הוא מעתיק את המישור המרוכב על עצמו). זאת מכיוון שהטענה שלמשוואה  יש פתרון שקולה לטענה שלפולינום  יש שורש.

נסוחים שקולים
מהמשפט הקטן של בזו קל להראות שהמשפט היסודי של האלגברה שקול לטענות הבאות:

 כל פולינום עם מקדמים מרוכבים מתפרק לגורמים ליניאריים.
 כל פולינום בלתי פריק עם מקדמים מרוכבים הוא ליניארי.
 לפולנום עם מקדמים מרוכבים ממעלה  יש בדיוק  שורשים אם כוללים ריבוי. זאת אומרת אם סופרים כל שורש מספר פעמים כמו הריבוי שלו.
מסקנות לגבי פולינומים ממשיים
מסקנה חשובה של המשפט היא מיון פולינומים אי-פריקים מעל הממשיים. יהי פולינום

בעל מקדמים ממשיים ונאמר שהוא אי-פריק מעל הממשיים. נפרק אותו לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים:

אפשר לראות די בקלות כי עבור שורש מרוכב של , גם הצמוד של מספר זה הוא שורש מרוכב של .

לכן ניתן לכתוב מחדש  כאשר  שורש לא ממשי (בהנחה שיש כזה, אם אין אזי  בבירור ליניארי כי הוא אי-פריק) ועכשיו, ניתן להסתכל על  כמכפלה של  פולינום ממשי (אם נפתח סוגריים, נראה כי כל המקדמים ממשיים) ופולינום מרוכב אחר. הפולינום המרוכב הזה הוא גם ממשי, כי הוא מכפלה של ביטויים מצורה דומה. לכן, בהנחה שהפולינום הנוסף הזה הוא לא הפולינום הקבוע 1, קיבלנו סתירה לאי-פריקות  מעל הממשיים. סך הכול קיבלנו את המשפט הבא:
כל פולינום אי פריק מעל הממשיים הוא ליניארי או ריבועי.
הוכחות למשפט היסודי
במרוצת השנים הופיעו למשפט הוכחות רבות. חלקן שונות באופן מהותי אלו מאלו וחלקן מהוות הצגות שונות של אותם רעיונות. באופן כוללני ניתן לחלק את ההוכחות ל-3 סוגים:
 הוכחות אנליטיות, המתבססות בעיקר על ניתוח הפולנום בסביבה של נקודה.
 הוכחות טופולוגיות, המתבססות בעיקר על ניתוח הפולנום עבור מספרים גדולים.
 הוכחות אלגבריות, המשתמשת במעט מאוד מידע שמקורו באנליזה - בדרך כלל בעובדה שלכל פולינום ממשי ממעלה אי זוגית יש שורש. עובדה זו נובעת בקלות ממשפט ערך הביניים.

בכל אחד מהסוגים האלה יש הוכחות יותר אלמנטריות ופחות אלמנטריות, אך הרעיונת שבהם בדרך כלל דומים. לעומת זאת הרעיונות של הוכחות מהסוגים השונים נבדלים באופן מהותי.
הוכחות אנליטיות
שמאל|ממוזער|312px|גרף של  עבור פולינום  קל לראות שאם  גדול אז  גדול. מכאן קל להסיק, באמצאות משפט ויירשטראס כי לפונקציה  יש מינימום במישור המרוכב.

חלק מההוכחות האנליטיות מתבססות על אנליזה מרוכבת, אולם הרעיון הבסיסי הוא אלמנטרי, והאנליזה המרוכבת רק מאפשרת להציג את ההוכחות באופן כללי וקונספטואלי יותר.
הוכחה אנליטית אלמנטרית
יהי  פולינום.

למה: לפונקציה  יש מינימום במישור המרוכב.

הוכחה:
יהיה  כך שלכול  המקיים  מיתקיים . לפי משפט ויירשטראס לפונקציה  יש מינימום בעיגול . לפי ההנחה על  מינימום זה חייב להיות גם מינימום גלובלי של הפונקציה .

בה"כ (על ידי הזזה של  לפי הצורך), נניח כי ל-  יש מנימום מקומי ב-0. נניח בשלילה ש . בה"כ (על ידי חלוקה ב-), נניח גם ש-. נקבל .
קל לראות כי עבור  מספיק קטן, מתקיים.
נבחר  כך ש-. כעת עבור  ממשי חיובי קטן מספיק נקבל  בסתירה לכך של-  יש מנימום מקומי ב-0.

הוכחה באמצעות משפט ליוביל
נניח  פולינום לא קבוע ללא שורשים מרוכבים, המקיים . אם נתבונן בפונקציה , הגבול שלה באינסוף הוא 0, ומהיותה פונקציה שלמה (כהרכבה של פונקציות שלמות כאשר ל- אין אפסים) בפרט היא גם חסומה. ממשפט ליוביל נקבל שהפונקציה  קבועה, וזאת בסתירה להנחה המקורית שהפולינום  לא קבוע. כלומר לפולינום לא קבוע מעל המרוכבים יש לפחות שורש מרוכב אחד.

הוכחה באמצעות עקרון המינימום
עקרון המינימום הוא מסקנה מעקרון המקסימום:
 תהי  פונקציה הולומורפית לא קבועה, כאשר  קבוצה פתוחה וקשירה. אזי קיים ל- מינימום מקומי ב- אם ורק אם .
הוכחת עקרון המינימום היא בדרך בשלילה, תוך התבוננות בפונקציה  המקבלת מקסימום מקומי ב- – בסתירה לעקרון המקסימום.

פולינום  הוא פונקציה כזו. מהלמה למעלה, קיים  כלשהו עבורו  ולכן, מעקרון המינימום נובע ש: .

הוכחות אלגבריות
ההוכחות האלגבריות מוכיחות גרסה של הטענה:
משפט
לכל הרחבת שדות  כך ש:
 לכל פולינום ממעלה אי זוגית ב- יש שורש.
 לכל איבר ב- יש שורש ריבועי.
 סגור אלגברית.

כיום ניתן להציג הוכחה קצרה למשפט זה המתבססת על תורת גלאוה ומשפטי סילו. אולם ישנן הוכחות אלגבריות אלמנטריות יותר.

משפט זה גורר את המשפט היסודי של האלגברה כיוון שההרחבה  מקיימת את התנאים למעלה: תנאי 1 מתקיים לפי משפט ערך הביניים ותנאי 2 מתקיים ממשפט דה מואבר.

הוכחה באמצעות תורת גלואה ומשפט סילו
הוכחה זו מבוססת על משפט ערך הביניים, ממנו ניתן להסיק כי לכל פולינום ממעלה אי-זוגית מעליו יש שורש (ממשי). מכאן שפולינום אי-פריק ממעלה אי-זוגית מוכרח להיות ליניארי.

נניח בשלילה שקיימת הרחבה ממימד סופי . מכיוון שגם  ממימד סופי, קיימת הרחבה נורמלית ממימד סופי המכילה אותה. מכיוון שכל הרחבה נורמלית מעל שדה ממאפיין אפס היא ספרבילית, נובע כי  היא הרחבת גלואה.

תהי  חבורת גלואה של ההרחבה . תהי  חבורת 2-סילו של . האינדקס  של  ב- הוא אי זוגי. לכן הממד של שדה השבת  מעל  הוא אי-זוגי, אבל אז הפולינום המינימלי של כל איבר הוא ליניארי, כלומר . מהמשפט היסודי של תורת גלואה נובע כי , כלומר  היא חבורת-2, כלומר הסדר שלה הוא חזקה של 2. לכן קיימת לה תת-חבורה מאינדקס 2. שוב מהמשפט היסודי של תורת גלואה נובע שקיימת הרחבת ביניים  כך ש-. אבל כל פולינום ממעלה 2 מעל  מתפרק לגורמים ליניאריים לפי הנוסחה לפתרון משוואה ממעלה שנייה והוצאת שורש לפי משפט דה מואבר. מכאן  והממד של  מעל הממשיים הוא 2, כלומר .

הוכחות טופולוגיות
שמאל|ממוזער|350px|אנימציה המדגימה הוכחה טופולוגית של המשפט היסודי של האלגברה: באנימציה רואים ערכים של פולינום על מעגלים ברדיוס משתנה. מתחילים ממעגל ברדיוס גדול (סביב), בו הפולינום מקיף את ה-0 מספר פעמים. בסופו של דבר מגיעים למעגל ברדיוס 0 בו הפולינום לא מקיף את ה-0 כלל. מכאן שבדרך הפולינום חייב לעבור דרך ה-0.

ההוכחות הטופולוגיות מתבססות על האבחנה שכאשר  עובר על מעגל ברדיוס גדול סביב ה-, הפונקציה  קרובה יחסית לפונקציה . לכן היא "עושה  סיבובים סביב ה-". מספר סיבבים זה מחייב קיומם של אפסים בעיגול המתאים.

כדי להפוך טיעון זה להוכחה יש להגדיר באופן רגורוזי את המושג "מספר הסיבובים" ולקשרו לאפסים של הפונקציה. ניתן לעשות זאת על ידי שימוש בטופולוגיה אלגברית או על ידי שימוש באנליזה מרוכבת.

הוכחה באמצעות טופולוגיה אלגברית
הוכחה זו מסתמכת על החבורה היסודית של מעגל היחידה, שכידוע מקיימת . נשתמש בסימון  למסילה  שמקיפה את המעגל  פעמים (כשהסימן של  הוא הכיוון). אנו יודעים כי כל מסילה כזו נמצאת במחלקת שקילות אחרת בחבורה היסודית של מעגל היחידה.

יהי  פולינום מדרגה . נוכל להניח ללא הגבלת הכלליות כי הפולינום מתוקן ונוכל לרשום . נניח כעת כי לפולינום אין שורשים, ונוכיח כי .

לכל  נגדיר מסילה . קל להבחין כי זו מסילה על מעגל היחידה () עם נקודות קצה .

עבור , מתקיים , ולכן .

בנוסף, ברור כי לכל  המסילות  הן הומוטופיות (בעזרת ההומוטופיה ), ומכאן .

נקבע . כעת לכל  כאשר  מתקיים:

כלומר .

מכאן שלכל  לפולינום  אין שורשים המקיימים .

לכל  נגדיר .
עבור  מקבלים  ולכן , פירוש הדבר .
עבור  מקבלים  ולכן .
 כמקודם, מתקיים שהמסילות  הומוטופית  (בעזרת ההומוטופיה ).

לסיכום, , ולכן , ומהחישוב עבור החבורה היסודית של המעגל, הנ"ל מתקיים אם ורק אם .
הוכחה באמצעות משפט רושה
קל לראות, שעבור מעגל מספיק גדול (סביב 0), האיבר המוביל של הפולנום  גדול יותר (על פי ערכו המוחלט) מכל יתרת הפולנום . לכן, לפי משפט רושה מספר האפסים (כולל ריבוי) של איבר זה בתוך העיגול המתאים שווה למספר האפסים של . מספר זה הוא .

היסטוריה

העינין בפתרונות של משוואות פולינומיות הופיע כבר בעת העתיקה. כאשר פותחו המספרים המרוכבים, בתקופת הרנסאנס, נוצרה המסגרת בה יש לכל פולינום שורש. ההבנה שזה המצב התגבשה במאה ה-17. במהלך במאה ה-18 החלו להופיע הוכחות למשפט. הוכחות אלה לא היו מלאות. בחלקן היה חוסר מהותי ואילו את חלקן קל להשלים היום בהתבסס על כלים או שפה שלא פותחו אז. המשפט הוכח באופן מלא על ידי ארגן בתחילת המאה ה-19. מאז מתמטיקאים רבים השלימו את ההוכחות הקודמות, והבהירו את הפערים בהן. כמו כן, נמצאו הוכחות חדשות רבות.
ניסוח המשפט
פטר רות, בספרו Arithmetica Philosophica (שיצא לאור בשנת 1608 בנירנברג על ידי יוהאן לנצנברגר),Rare books כתב כי למשוואה פולינומית ממעלה n (עם מקדמים ממשיים) עשויות להיות n פתרונות. אלבר ז'יראר, בספרו L'invention nouvelle en l'Algèbre (שיצא לאור בשנת 1629), טען שלמשוואה פולינומית ממעלה n יש n פתרונות, אך לא ציין שעליהם להיות מספרים ממשיים. יתרה מזאת, הוא הוסיף שטענתו נכונה "אלא אם כן המשוואה חסרה", כאשר "חסרה" פירושו שלפחות אחד מהמקדמים שווה ל־0. עם זאת, כאשר הוא מסביר בפירוט למה הוא מתכוון, ברור שהוא האמין שטענתו נכונה תמיד; למשל, הוא הראה שלמשוואה  אף על פי שהיא חסרה, יש ארבעה פתרונות (עם ספירת ריבוי): 1 (פעמיים),  ו־

כאמור, ממשפט היסודי של האלגברה נובע שכל פולינום לא קבוע עם מקדמים ממשיים ניתן לכתוב כמכפלה של פולינומים עם מקדמים ממשיים שמעלותיהם הן 1 או 2. עם זאת, בשנת 1702 לייבניץ טען בטעות שאי אפשר לכתוב פולינום מהצורה  (עבור  ממשי ושונה מ־0) באופן זה. מאוחר יותר, ניקולאוס ברנולי טען טענה דומה לגבי הפולינום , אך קיבל מכתב מאוילר בשנת 1742ראו את הסעיף Le rôle d'Euler במאמרו של C. Gilain Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral. שבו הוכח שפולינום זה שווה ל־

כאשר 
אוילר גם הצביע על כך ש־

הוכחת המשפט
הניסיון הראשון להוכיח את המשפט נעשה על ידי ד'אלמבר בשנת 1746, אך הוכחתו לא הייתה שלמה. בין היתר היא הניחה במובלע משפט (המוכר כיום כמשפט פיזו), שלא הוכח אלא יותר ממאה שנה מאוחר יותר, וגם זאת באמצעות המשפט היסודי של האלגברה. ניסיונות נוספים נעשו על ידי אוילר (1749), דה פונסנקס (1759), לגראנז' (1772), ולפלס (1795). ארבעת הניסיונות האחרונים הניחו במובלע את קיומם של פתרונות, וכל שנותר להוכיח היה שצורתם היא a + bi עבור מספרים ממשיים a ו־b. במונחים מודרניים, אוילר, דה פונסנקס, לגראנז' ולפלס הניחו את קיומו של שדה פיצול של הפולינום p(z).

בסוף המאה ה־18 פורסמו שתי הוכחות חדשות שלא הניחו את קיומם של שורשים, אך אף אחת מהן לא הייתה שלמה. אחת מהן, של ג'יימס ווד והייתה אלגברית בעיקרה, פורסמה בשנת 1798 ונדחתה לחלוטין. בהוכחתו של ווד היה פער אלגברי.לגבי הוכחתו של ווד, ראו את המאמר A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra מאת Frank Smithies. ההוכחה השנייה פורסמה על ידי גאוס בשנת 1799 והייתה גאומטרית בעיקרה, אך היה בה פער טופולוגי שמולא רק על ידי אלכסנדר אוסטרובסקי בשנת 1920, כפי שנדון אצל Smale (1981). Smale כותב "...I wish to point out what an immense gap Gauss's proof contained. It is a subtle point even today that a real algebraic plane curve cannot enter a disk without leaving. In fact, even though Gauss redid this proof 50 years later, the gap remained. It was not until 1920 that Gauss's proof was completed. In the reference Gauss, A. Ostrowski has a paper which does this and gives an excellent discussion of the problem as well..."

ההוכחה המלאה הראשונה פורסמה על ידי ארגן, בשנת 1806 (ונערכה ב־1813);
כאן גם, לראשונה, הוצג המשפט היסודי של האלגברה עבור פולינומים עם מקדמים מרוכבים ולא רק ממשיים. גאוס סיפק שתי הוכחות נוספות בשנת 1816 וגרסה בלתי שלמה נוספת של הוכחתו המקורית בשנת 1849.

ספר הלימוד הראשון שכלל הוכחה של המשפט היה Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique (1821) מאת קושי. הוא כלל את הוכחתו של ארגן, מבלי לתת לו קרדיט.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

קטגוריה:משפטים באנליזה מרוכבת
קטגוריה:פולינומים
קטגוריה:הוכחות
יסודי של האלגברה