השערת גולדבך החלשה

הגרסה החלשה של השערת גולדבך (נקראת גם השערת גולדבך האי־זוגית, השערת גולדבך המשולשת, בעיית שלושת הראשוניים והשערת גולדבך החלשה) היא משפט בתורת המספרים, שלפיו כל מספר אי־זוגי שגדול מ־5 הוא סכום של שלושה מספרים ראשוניים. ההשערה הופיעה בהתכתבות בין כריסטיאן גולדבך ללאונרד אוילר ב־1742, יחד עם השערת גולדבך הרגילה. ההתקדמות המהותית הראשונה לעבר הוכחת ההשערה נעשתה ב־1922 על ידי הארדי וליטלווד. ב־1937 הוכיח איוואן וינוגרדוב כי ההשערה מתקיימת עבור מספרים שגדולים מקבוע מסוים . לאחר מכן מתמטיקאים רבים שיפרו את החסמים על הקבוע, עד שלבסוף ב־2013 הצליח הראלד הלפגוט לסגור את הפער בין החסם התאורטי לגבולות הבדיקה החישובית, ולהוכיח בכך את ההשערה.

השערת גולדבך החלשה נקראת כך כי קל להסיק אותה מהשערת גולדבך, שאומרת שכל מספר זוגי שגדול מ־2 הוא סכום של שני ראשוניים. למעשה השערת גולדבך שקולה לטענה שכל מספר טבעי שגדול מ־5 הוא סכום של 3 ראשוניים. מהשערת גולדבך החלשה נובע שכל מספר טבעי שגדול מ־7 הוא סכום של 4 ראשוניים.
דוגמאות
להלן נספר דוגמאות להצגה של מספר אי-זוגי כסכום של 3 ראשוניים.
+מספר אי-זוגיהצגתו כסכום של 3 ראשונייםמספר היצוגים השונים72+2+3192+2+5, 3+3+32112+2+7, 3+3+52133+3+7, 3+5+52152+2+11, 3+5+7, 5+5+53172+2+13, 3+3+11, 3+7+7, 5+5+74193+3+13, 3+5+11, 5+7+73212+2+17, 3+5+13, 3+7+11, 5+5+11, 7+7+75232+2+19, 3+3+17, 3+7+13, 5+5+13, 5+7+115253+3+19, 3+5+17, 3+11+11, 5+7+13, 7+7+115272+2+23, 3+5+19, 3+7+17, 3+11+13, 5+5+17, 5+11+11, 7+7+137293+3+23, 3+7+19, 3+13+13, 5+5+19, 5+7+17, 5+11+13, 7+11+117313+5+23, 3+11+17, 5+7+19, 5+13+13, 7+7+17, 7+11+13610033+3+997, 3+17+983, , 3+491+509, 5+7+991, , 5+499+499,, 313+317+373, 313+331+359 ,313+337+353 ,317+337+3491087
קל לראות שאם אחד המספרים בהצגה של  כסכום של 3 ראשוניים הוא 2 אז גם מספר נוסף הוא 2. במקרה כזה  הוא ראשוני ועוד 4 מה שנהיה נדיר למדי למספרים גדולים.
מאידך, מהטבלה רואים שבדרך כלל יש הצגה כסכום של שלושה ראשוניים שאחד מהם הוא 3. ואכן אם השערת גולדבך הרגילה נכונה אז זה המצב תמיד (הכול מ־7).

כמו כן, רואים מהטבלה, שכמגמה כללית, מספר הייצוגים גדל כשהמספר גדל, אך יש מקרים שבהם הוא קטן. אכן כבר ההוכחה של וינוגרדוב מראה שמספר הייצוגים האלו שואף לאינסוף כש־ שואף לאינסוף. אולם, אין די בעובדה זו כדי להוכיח את ההשערה במלואה, כי גם אם מספר הייצוגים שואף לאינסוף זה לא אומר שאין מספר סופי של מקרים שבהם מספר הייצוגים הוא .

קשר להשערות אחרות
השערת גולדבך החלשה נובעת מהשערת גולדבך הרגילה, האומרת שכל מספר זוגי שגדול מ־2 הוא סכום של שני ראשוניים. ואומנם אם  מספר אי־זוגי שגדול מ־5 אז  הוא מספר זוגי שגדול מ־2 ולכן אם השערת גולדבך תקפה אז  עבור  ו־ ראשוניים ומכאן ש־.

באופן דומה קל להראות שהשערת גולדבך החלשה גוררת שכל מספר זוגי שגדול מ־6 הוא סכום של ארבעה ראשוניים (שהרי  וכל מספר זוגי שגדול יותר אפשר להציג בצורה  כאשר  אי־זוגי שגדול מ־5).

הן הגרסה החלשה והן הגרסה החזקה של השערת גולדבך קשורות לקבוע שנירלמן, שהוא המספר  הקטן ביותר כך שכל מספר טבעי שגדול מ־1 הוא סכום של לא יותר מ־ ראשוניים. הקבוע נקרא על שם לב שנירלמן, שהוכיח (באמצעות צפיפות שנירלמן) שקיים קבוע כזה.
לאחר הוכחתו של שנירלמן, מתמטיקאים רבים שיפרו את הקבוע. השערת גולדבך החלשה גוררת שקבוע שנירלמן לא עולה על 4. עד הוכחתו של הלפגוט החסם הטוב ביותר על קבוע שנירלמן היה 6 . השערת גולדבך עצמה גוררת שקבוע שנירלמן שווה ל־3. ברור שקבוע שנירלמן לא יכול להיות קטן מ־3.

ישנה גרסה מעט חזקה יותר של השערת גולדבך החלשה, הטוענת כי כל מספר אי־זוגי שגדול מ־7 הוא סכום של שלושה מספרים ראשוניים אי־זוגיים. הוכחתו של הלפגוט תקפה גם עבור גרסה זו.

היסטוריה

200px|ממוזער|ימין|המכתב ששלח גולדבך לאוילר שעל בסיסו נוסחה ההשערה בשנת 1742
200px|ממוזער|ימין|לאונרד אוילר

150px|ממוזער|שמאל|איוואן וינוגרדוב, הוכיח ב־1937 שההשערה תקפה למספרים גדולים מספיק ללא הנחות נוספות
200px|ממוזער|שמאל|הראלד הלפגוט, השלים בשנת 2013 את הוכחת ההשערה
ניסוח ההשערה
מקור הטענה במכתב ששלח כריסטיאן גולדבך ללאונרד אוילר ב־1742, ובו הועלתה האפשרות שניתן לכתוב כל מספר שלם כסכום של שלושה מספרים ראשוניים (לרבות, במשתמע, המספר 1, שבדרך כלל אינו נחשב ראשוני). במכתב התשובה ציטט אוילר השערה אחרת של גולדבך, שעל־פי ניסוחה המקובל היום, ניתן להציג כל מספר זוגי כסכום של שני מספרים ראשוניים אי־זוגיים. הגרסה החלשה נובעת מהשערת גולדבך, משום שאפשר לכתוב כל מספר אי־זוגי כסכום של הראשוני 3 ועוד מספר זוגי.

הבעיה תוארה על ידי אדמונד לנדאו ב־1912 כ"בלתי ניתנת להשגה".
ב־1925 נשא לנדאו בירושלים הרצאה תמציתית בנושא זה לרגל פתיחת מכון איינשטיין למתמטיקה באוניברסיטה העברית.

הוכחת ההשערה למספרים גדולים בהינתן השערת רימן המוכללת
ב־1922 הוכיחו הארדי וליטלווד שאם מניחים את השערת רימן המוכללת, אפשר להציג כל מספר אי־זוגי גדול מספיק כסכום של שלושה ראשוניים. ההוכחה של הארדי וליטלווד לא נתנה חסם מפורש למספר שממנו ההשערה נכונה. עם זאת ניתוח מאוחר יותר של הוכחתם מניב את החסם .

הוכחת ההשערה למספרים גדולים ללא תנאים
איוואן וינוגרדוב הצליח להסיר את הנחת השערת רימן המוכללת ב־1937. התוצאה הזו נקראת לעיתים משפט וינוגרדוב. ההוכחה של וינוגרדוב לא נתנה חסם לערך שאחריו ההשערה נכונה. תלמידו של וינוגרדוב, קונסטנטין בורוזדקין (Borozdkin), הצליח לתת כזה חסם ב־1939. החסם עמד על .

שיפור החסם על המספר ממנו ההשערה נכונה
ב־1956 שיפר בורוזדקין את הערך ל־.

החסם שופר ל־  ושוב ל־ . לאחר מכן שופר החסם ל־ . אולם הפער בין מספר זה לבין המספר הגדול ביותר שנבדק עד כה נותר גדול.

הוכחת ההשערה בהינתן השערת רימן המוכללת
ב־1997 הצליחו דשוילארס, אפינגר, רילה וזינובייב לסגור את הפער אם מניחים את השערת רימן המוכללת: זינובייב הוריד את החסם ל־ (בהנחת השערת רימן). לאחר מכן דשוילארס ורילה בדקו בעזרת מחשב את השערת גולדבך הרגילה עד  וארבעתם הסיקו מהבדיקה הזאת (שוב בהנחת השערת רימן) את נכונות השערת גולדבך החלשה עד . בשנת 1998 חזר Yannick Saouter על הסקת נכונות השערת גולדבך החלשה עד  ללא שימוש בהשערת רימן.

הוכחת ההשערה
בשנים 2012 ו־2013 הוכיח הראלד הלפגוט את השערת גולדבך החלשה בשלושה מאמרים. ההוכחה התבססה בין היתר על חישוב שביצע יחד עם פלאט באותו הזמן.

שני המאמרים הראשונים הוקדשו לשיפור החסמים הנחוצים להוכחה. מאמרים אלו לא התבססו על השערת רימן. שיפור החסמים התאפשר בין היתר בזכות בדיקה ממוחשבת של השערת רימן המוכללת (עבור מספר סופי של פונקציות זטא) עד לגובה מסוים במישור המרוכב.

בשנת 2013 בדקו הלפגוט ופלאט את תקפותה של השערת גולדבך החלשה עד .
הם השתמשו בשיטה דומה לשיטתו של Saouter לבדיקה של השערת גולדבך החלשה עד . במאמר האחרון הוכיח הלפגוט את ההשערה למספרים שגדולים מ־ (בגרסה של המאמר מ־2014 החסם שופר ל־) ללא הנחת השערת רימן המוכללת, ובכך סגר את ההשערה באופן מלא. בנספח למאמר זה מתאר הלפגוט שיטה נוספת לבדיקת ההשערה עד . שיטה זו התבססה על מאמר חישובי אחר של פלאט שנכתב באותו הזמן.

טבלה עם תוצאות היסטוריות 
להלן טבלה המסכמת את התוצאות המיטביות הנוגעות לבעיה במהלך השנים. הטבלה מבוססת על סקירה היסטורית בספרו של הלפגוט. ייתכנו תוצאת היסטוריות שלא מופיעות בה.

מקרא

 התוצאות המודגשות בכל שורה הן אלה שהוכחו בשנה המתאימה. היתר הועתקו לצורך השוואה.




שנה קבוע  ממנו הוכחה ההשערה בכלים אנליטיים  קבוע  עד אליו נבדקה ההשערה על ידי חישוב ועל ידי הערכות עלֹ התפלגות הראשוניים קבוע  עד אליו נבדקה השערת גולדבך הרגילה  חסם מלעיל על קבוע שנירלמן185518961922;;1926; ; 1933;;; 1937; ;1939; ;;; 1940;; ; ; 1952;; ; ; 1956;; ; ; 1964;; ; ; 1965;; ; ; 1969;; ; ; 1972;; ; 1975;; ; 1976;; ; ; 1977;; ; ,; 1983;; ; ; 1989; ; ; 1993;
;; ; 1995;
;; ; 1996; ; ; ; 1997; ; ; 1998; ; ; 2001; ; ; 2002;; ; 2003; ;; 2012; ; ; 2013; ; סוף 2013; ; 

גרפים
הגרפים הבאים מסכמים את התוצאות שבטבלה:
700px|ממוזער|מרכז|ההיסטוריה של הוכחת ההשערה ללא הנחת השערת רימן
700px|ממוזער|מרכז|ההיסטוריה של הוכחת ההשערה בהנחת השערת רימן המוכללת

רעיון ההוכחה
סקירה זו של הרעיונות בהוכחה מבוססת על המבוא בספר שכתב הלפגוט לאחר  שהוכיח את ההשערה.

ההוכחה של הלפגוט, כמו גם כמעט כל ההוכחות החלקיות הקודמות, מבוססת על השיטה הבאה: בוחרים  על הטבעיים  ומנסים להעריך את הסכום 
כאשר  ו־ ראשוניים. כדי להראות ש  הוא סכום של 3 ראשוניים די להראות ש . שיטת ההערכה מבוססת על טור פורייה. התוצאה המתקבלת היא מהצורה  כאשר  היא פונקציה מפורשת כלשהי ו־ הוא איבר השגיאה החסום על ידי פונקציה מפורשת . מכאן שהשערת גולדבך נכונה כאשר . מוכיחים שזה קורה עבור  אי־זוגי כאשר  קבוע מסוים ואז בודקים את ההשערה עד .

החלק העמוק והמרכזי בהוכחה הוא ההערכה של  בעוד שבדיקת ההשערה עד  היא משימה חישובית ביסודה. עם זאת שני החלקים דרשו הן רעיונות מתמטיים והן חישוב מסיבי בעזרת מחשב.

שיטות להוכחת ההשערה למספרים גדולים
ההוכחה של הרדי וליטלווד

השיטה להערכת  נקראת שיטת המעגל של הארדי וליטלווד. היא מבוססת על הערכת טור החזקות  על מעגל היחידה במישור המרוכב. קל לראות ש  כאשר  לכן די להעריך את  על מעגל היחידה. למעשה עובדים עם גרסאות של הפונקציה  שבהן הסכום הוא לא רק על ראשוניים אלא עלֹ מחלקה רחבה יותר של מספרים, למשל חֲזקות של ראשוניים. הערכה של גרסאות אלה יוביל להערכת מספר הדרכים (המשוקלל) שבהן ניתן להציג מספר כסכום של 3 מספרים מהמחלקה המתאימה. אז נותר להוכיח שהתרומה של המספרים שאינם ראשוניים זניחה.

ההוכחה המקורית של הארדי וליטלווד התבססה על ניתוח של הערך של  בשורשי יחידה. ניתוח זה מצריך ידע על התפלגות ראשוניים בסדרות חשבוניות. השערת רימן המוכללת נותנת ידע כזה. למעשה יש צורך בהשערת רימן הקאלסית ובהשערת רימן המוכללת עבור פונקציות זטא של דדקינד עבור הרחבות ציקלוטומיות של . לפי משפט הקירוב של דיריכלה ניתן לכסות את מעגל היחידה בקשתות שמרכזיהן הם שורשי יחידה ורדיוסיהן הם כאחד חלקי סדר השורש בריבוע. בהתבסס עלֹ זה הצליחו הארדי וליטלווד להרחיב את ההערכה של  לכל מעגל היחידה.

ההוכחה של וינוגרדוב
250px|ממוזער|שמאל|תחומים שבהם הוכח שפונקציית זטא של רימן לא מתאפסת. בהוכחתו של וינוגרדוב ובהוכחות שבאו אחריה החליפו תוצאות אודות תחומים כאלה את השערת רימן המוכללת.

הרעיון בהוכחה של וינוגרדוב היה לחלק את ההערכה לשני חלקים:
 הערכת  סביב שורשי יחידה ממעלה נמוכה. קשתות אלה נקראות "הקשתות גדולות" ואיחודן מסומן בדרך כלל ב .
 הערכת  בשאר הנקודות. קבוצת נקודות אלו נקראת "הקשתות הקטנות" ומסומנת בדרך כלל ב־.

וינוגרדוב מצא דרך אחרת להתמודד עם הקשתות הקטנות, המבוססת על . כיוון שמספר הקשתות הגדולות סופי, נדרשת הערכה פחות מדויקת עבורן.
לכן ניתן להחליף את השערת רימן המוכללת במשפטים אודות אי־התאפסות של פונקציות זטא (של רימן ושל דדקינד) באזורים מסוימים במישור המרוכב.

ההוכחה המקורית של וינוגרדוב הסתמכה על תופעת דורינג–הילברון , לפיה קיום של אפס המהווה דוגמה נגדית להשערת רימן המוכללת מבטיח אי־התאפסות של פונקציות זטה מסוימות בתחומים מסוימים. כך שאפשר לחלק את ההוכחה לשני מקרים:
אם השערת רימן המוכללת נכונה, משתמשים בהוכחה של הארדי וליטלווד.
אם השערת רימן המוכללת איננה נכונה, משתמשים באפס  המהווה דוגמה נגדית להשערת רימן המוכללת כדי לקבל תחומי אי־התאפסות של פונקציות זטה שבהם משתמשים כדי לחסום את התרומה של הקשתות הגדולות.

החיסרון בשיטה זו הוא שאין דרך לדעת איפה נמצא  ולכן תחומי האי־התאפסות אינם מפורשים.
זו הסיבה שהוכחה זו אינה נותנת חסם על המקום שממנו השערת גולדבך החלשה מתקיימת.

הוכחות מאוחרות יותר
בהוכחות מאוחרות יותר הוחלף השימוש בתופעת דורינג–הילברון במשפטים אחרים הנותנים תחומים מפורשים של אי־התאפסות, ולכן הן נותנות חסמים מפורשים (אם כי גבוהים מאוד).

אחד החידושים בהוכחה של הלפגוט הוא שבהוכחתו הוא משתמש, בנוסף לאֲזורי האי־התאפסות שהשתמשו בהם בהכחות הקודמות גם בעובדה שלפונקציית זטא אין אפסים לא טריוויאליים מחוץ לישר הקריטי בעלי ערך מדומה קטן (בערכו המוחלט) מקבוע מסוים (סדר גודל של ; עבור כ־ פונקציות זטא שונות). בדיקה של אי־התאפסות זו התבצעה בשנת 2011 על ידי פלאט בעזרת מחשב. בהתבסס על כך הצליח הלפגוט לשפר את החסמים על הקשתות גדולות. כמו כן הלפגוט שיפר את החסמים על הקשתות הקטנות.

שיטות לבדיקת ההשערה למספרים קטנים
המספרים שעד אֲליהם צריך לבדוק את השערת גולדבך הם גדולים למדי ( בהוכחה של הלפגוט). לא ניתן לעבור על כמות כזאת של מספרים במחשב מודרני בהשקעה סבירה. קשה עוד יותר לבצע חישוב לא טריוויאלי כלשהו בשבילם. לכן אסטרטגיית הבדיקה צריכה להיות מתוחכמת יותר:

בשלב הראשון מבצעים בדיקה של השערת גולדבך הרגילה עד למספר גדול יחסית . בדיקה זאת מתבצעת על ידי גרסאות של נפת ארטוסתנס. השיא הנוכחי הושג ב־2013 על ידי אוליברה, סילבה הרצוג ופראד ועומד על .

כדי להסיק את השערת גולדבך החלשה עד קבוע  די להראות שההפרש המקסימלי בין שני ראשוניים עוקבים עד  קטן מ . מכאן יש שתי גישות:
 אם מניחים את השערת רימן קל יחסית לקבל תוצאה כזאת עבור  מסדר גודל קרוב ל־. בשביל  ו־ מסוימים די לבדוק את השערת רימן עד לגובה מסוים במישור המרוכב. עבור  ו־ בהוכחה של הלפגוט, הגובה שעד אליו צריך לבדוק את השערת רימן הוא כ־. ניתן לבצע זאת באמצעות מחשב וזאת הייתה אחת הדרכים שבהן השתמש הלפגוט בהוכחתו.

 אם מניחים השערות חזקות בנוגע לפערים בין שני ראשוניים עוקבים אז ניתן להסתפק בערכים קטנים יותר של  כדי להבטיח את תקפות ההשערה עד קבוע שגדול בהרבה מ־. לדוגמה השערה מרחיקת לכת של Firoozbakht גוררת שאם השערת גולדבך נכונה עד  אז השערת גולדבך החלשה נכונה עד . לכן כבר ב־1989 הערך שעד אליו נבדקה השערת גולדבך היה מספיק (בהנחת השערת Firoozbakht) כדי להבטיח את נכונותה של השערת גולדבך החלשה עד לערך ממנו הוכחה.
 גישה נוספת היא למצוא באופן מפורש סדרה של ראשוניים שההפרש בין שני איברים עוקבים שלה קטן מ־. בשביל זה ניתן להגריל מספרים בסדרי הגודל המבוקשים ולבדוק את ראשוניותם.

לפי משפט המספרים הראשוניים סביר להניח שמספר המספרים שצריך להגריל גדול רק פי  ממספר הראשוניים שצריך למצוא, כלומר בסך־הכול .

אמנם מאז 2002 ניתן, במבחן AKS לראשוניות, לבדוק את ראשוניותו של מספר בזמן פולינומי במספר הספרות, אך עדיין מדובר באלגוריתם איטי למדי ולא פרקטי במקרה זה. אולם ניתן להגריל מספרים מסוג מסוים שקל יותר לבדוק את ראשוניותם. הסוג שנבחר על ידי הלפגוט ופלאט הם מספרי פרות . מספר פרות הוא מספר מהסוג  כאשר . בזכות  קל מאוד לבדוק את הראשוניות של מספר כזה.

אמינות החישובים
ההוכחה התבססה בין היתר על חישוב מסיבי בעזרת מחשב. כך שבנוסף לשאלות רגילות הנוגעות לאמינות הטיעונים והתוכנה הנבחנות בכלים הרגילים של ביקורת עמיתים וקבלה על ידי הקהילה, עלתה גם שאלת אמינות החישוב עצמו ורגישותו לטעויות חומרה. הסבירות שמחשב יטעה בחישוב נמוכה מאוד אך לא אפסית. לכן כשמבצעים כמות גדולה כל כך של חישובים טעויות כאלה קורות.

הלפגוט נדרש לשאלה זאת, ולכן בחר להסתמך על חישובים שהתבצעו פעמיים, ובמקרה (הנדיר) שהניבו תוצאות שונות נבדקו פעם שלישית. כמו כן הוא העדיף חישוב שהתבצע על ידי מחשב-על מאשר על ידי חישוב מבוזר במחשבים רגילים. הוא מצא שבעוד שבמחשבים רגילים היו מספר מקרים של תוצאת שלא התאימו זו לזו, ההתאמה במחשבי העל הייתה מושלמת.

באופן כללי, סיבה מרכזית לטעויות חומרה היא הקרינה קוסמית. קל יותר להגן על מחשב על אחד מקרינה קוסמית מאשר על מספר רב של מחשבים רגילים. כמו כן, ככל שכל טרנזיסטור קטן יותר ומהיר יותר (כמו במחשבי-על) הסבירות לטעות בחישוב בודד נמוכה יותר.

תיאור סכמתי של ההוכחה

לקריאה נוספת
 The ternary Goldbach problem – ספר שכתב הלפגוט, המתאר את פתרונה של הבעיה וההיסטוריה שלה.
מקורות
ספרים




מאמרים


































מקורות רשת




הערות שוליים

קטגוריה:מספרים ראשוניים
קטגוריה:משפטים בתורת המספרים
קטגוריה:הוכחה באמצעות מחשב
גולדבך