מספר מדומה

מספר מדומה (לעיתים מכונה בטעות "מספר דמיוני") הוא מספר שריבועו הוא מספר ממשי שלילי או אפס. כל מספר מדומה אפשר להציג כמכפלה של מספר ממשי עם "היחידה המדומה" (שהיא אחד משני השורשים,  ו- של מינוס אחת: ). לדוגמה , כאשר  הוא מספר ממשי, ו- הוא היחידה המדומה. לפי הגדרה זו 0 הוא גם מספר ממשי וגם מספר מדומה.

כיוון שהריבוע של כל מספר ממשי הוא חיובי או אפס, למינוס אחת (שהוא מספר שלילי) אין שורש ממשי. על ידי 'המצאה' של מספר שאינו ממשי, , ושילובו עם שדה המספרים הממשיים, מתקבל שדה גדול יותר, הנקרא "שדה המספרים המרוכבים". מספר מרוכב בנוי מחלק ממשי וחלק מדומה בצורה  כאשר  מספרים ממשיים. 

שדה המספרים המרוכבים סגור להוצאת שורש בכלל, ולהוצאת שורש ריבועי בפרט.

היסטוריה
כיוון שלמספר שלילי אין שורש ריבועי בשדה המספרים הממשיים, מתמטיקאים התייחסו אל משוואה כגון  כאל משוואה שאין לה פתרון. הצורך בהתייחסות שונה לשורש של מספר שלילי התעורר כאשר ג'ירולמו קרדאנו גילה, בתחילת המאה ה-16, שהדרך לפתרון משוואה ממעלה שלישית, גם כאשר פתרון זה הוא מספר ממשי, מובילה אותו לנוסחה שבה מופיעים שורשים של מספרים שליליים.

בעקבות קרדאנו הוגדרו המספרים המרוכבים במפורש, בשנת 1572, על ידי רפאל בומבלי (Rafael Bombelli). באותה עת נחשבו מספרים כאלה לעזרי חישוב שאינם מייצגים גודל אמיתי. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, וביניהם רנה דקארט. דקארט הוא שטבע את הכינוי הלגלגני מעט "מספר מדומה" בשנת 1637, הוא התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". קרל פרידריך גאוס העדיף לקרוא למספרים המדומים "מספרים צִדיים" (lateral) משום שהם שוכנים בניצב לציר המספרים הממשיים. הוא אמר "הסיבה שנושא המספרים הדמיוניים הוא אפוף ערפל מסתורי היא בעיקר בגלל השם הלא מוצלח שניתן להם. אילו למשל היחידות  
, 
, 
 היו נקראות 'ישרה, הפוכה וצדית' במקום 'חיובית, שלילית ודמיונית', הערפול הזה היה נעלם."

את האות  (בעקבות המילה imaginary), שהפכה לסימון המקובל במתמטיקה עבור היחידה המדומה, בחר אוילר בשנת 1777; בהנדסת חשמל נהוג לסמן מספר זה באות , כדי לא להחליף בינו לבין זרם חשמלי, המיוצג גם הוא באות .

אוילר, באחת מעבודותיו החשובות הצליח לשלב בין לוגריתמים לבין תורת המספרים המרוכבים. הוא הגדיר את הפונקציה המעריכית עבור מספרים מרוכבים, וגילה את הקשר בינה לבין פונקציות טריגונומטריות, המובא בנוסחה הבאה: לכל מספר ממשי , נוסחת אוילר קובעת כי: .

מקרה פרטי של נוסחה זו נקרא זהות אוילר, הקושרת חמישה קבועים מתמטיים בסיסיים מעולמות שונים: . לזהות זו קרא לימים הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן "הזהות הפלאית ביותר במתמטיקה".

הקשר בין מספרים מרוכבים לטריגונומטריה הפך את המספרים המרוכבים לשימושיים במדע ובטכנולוגיה, שכן ניתן לייצג תופעות גליות או מחזוריות בעזרת הפרדה לרכיב אופקי (מספר ממשי) ורכיב אנכי (מספר מדומה).

 מאפיינים אלגבריים 
קבוצת המספרים המדומים, כלומר קבוצת כל המספרים מהצורה  כאשר  הוא מספר ממשי, סגורה תחת חיבור:  (כחבורה חיבורית, הקבוצה איזומורפית לקבוצת הממשיים), אך אינה סגורה תחת כפל, משום שמכפלת שני מספרים מדומים היא מספר ממשי.

פעולת ההעלאה של היחידה המרוכבת i בחזקת מספר מדומה היא תמיד ממשית: .

ראו גם
 המספר i

לקריאה נוספת
 Paul Nahin, An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of -1 (Princeton University Press, 1998).

קישורים חיצוניים

  – סדרת סרטונים, הסוקרת בצורה ידידותית את התפתחותם של המספרים המרוכבים (והמספרים בכלל) לאורך ההיסטוריה, חוקרת האם הם מספרים "אמיתיים" ובוחנת מקצת מהמשמעויות וההשלכות שלהם על עולם המדע

 , 1 בנובמבר 2021


הערות שוליים

קטגוריה:אנליזה מרוכבת
קטגוריה:מספרים