אי-שוויון המשולש

במתמטיקה, אי-שוויון המשולש הוא אי-שוויון מהצורה , כאשר  היא פונקציית מרחק. אי-השוויון מתאר את העובדה הגאומטרית שהקו הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות; בפרט, אורכה של צלע במשולש אינו עולה על סכום אורכי הצלעות האחרות. אי-שוויון המשולש נחשב לתכונה יסודית של כל שיטה למדידת מרחק, ומשום כך מניחים, כאקסיומה, שהוא מתקיים בכל מרחב מטרי או נורמי. הגרסה החזקה  נקראת אי-שוויון המשולש למטריקות לא ארכימדיות.

 אי-שוויון המשולש בין מספרים ממשיים 
ניתן לראות את אי-שוויון המשולש במספרים הממשיים כמקרה פרטי של אי-השוויון על הישר הממשי. כיוון שהמרחק בין שתי נקודות על הישר נמדד באמצעות הערך המוחלט, אי-השוויון במקרה זה שקול ל-, לכל . 

כשבוחרים c=0, b=y ו-a=x+y, מתקבלת הצורה החלופית . צורה זו אפשר להוכיח בעזרת חיבור שני האי-שוויונים  ו-, או בדיקה של האפשרויות השונות לסימנים של x ושל y.

גרסה נוספת של אי-שוויון המשולש היא: .

 הוכחה פורמלית 
לצורך הוכחת אי השוויון נשתמש בתכונות  ו-. אם  אז . אחרת,  ומכאן  ולכן . 

דרך נוספת היא להשתמש בשוויון , ואז .

הוכחה של :

לפי אי שוויון המשולש  ולכן 

וגם  ולכן    

ולכן לפי ש  וגם  אז    

 המקרה המרוכב 
אי-שוויון המשולש ב הוא הטענה , המתייחסת למספרים מרוכבים. ניתן להוכיח את נכונותו שם בכמה דרכים: גאומטרית, הוא שקול לתכונות היסוד של משולש; אלגברית, אפשר לקבל אותו על ידי העברת אגפים מתאימה והעלאה בריבוע; וניתן להסיק אותו מאי-השוויון הממשי באמצעות משפט פיתגורס.

 אי-שוויון המשולש במרחבים מופשטים 
אי-שוויון המשולש מבטא את העובדה שלא ניתן לקצר את הדרך מ-A ל-C על ידי מעבר בנקודה B. זוהי תכונה יסודית כל-כך של מושג ה"מרחק", עד שהיא מהווה אחת מהאקסיומות המגדירות מטריקה ומרחב מטרי. מאותה סיבה, מניחים את האקסיומה  בהגדרה של נורמה ומרחב נורמי. 

ראו גם
אי-שוויון המשולש האינטגרלי

קישורים חיצוניים




קטגוריה:משפטים באנליזה
קטגוריה:מרחבים מטריים
קטגוריה:אי-שוויונות
קטגוריה:משולש