נורמה (אנליזה)

באנליזה מתמטית, נורמה היא פונקציה ממשית המוגדרת על מרחב וקטורי, ומתאימה לכל וקטור ערך ממשי, באופן שמתמלאים מספר תנאים. תנאים אלו מבוססים על התכונות היסודיות של האורך המוכר במרחב האוקלידי. מרחב וקטורי שמוגדרת עליו נורמה נקרא מרחב נורמי. בדומה למטריקה, שהיא הכללה חופשית ורחבה של מושג המרחק, הנורמה מודדת מרחקים יחסיים, ואפשר לראות בה מטריקה שאינה מושפעת מהזזות.

 הגדרה 
האורך במרחב האוקלידי מקיים את הדרישות הטבעיות הבאות:
 אורך הוא תמיד חיובי, חוץ מאורכו של וקטור האפס, שהוא אפס.
 מתיחה של הווקטור בסקלר מכפילה גם את האורך בערכו המוחלט של אותו סקלר.
 מתקיים אי שוויון המשולש.

בשל תכונות אלה, מגדירים נורמה כפונקציה ממרחב וקטורי  מעל שדה המספרים הממשיים  או שדה המספרים המרוכבים , אל המספרים הממשיים (כלומר ), המקיימת את האקסיומות הבאות:
חיוביות: , ו-  אם ורק אם .
הומוגניות: .
אי-שוויון המשולש: .

 עידון של אי-שוויון המשולש 
לכל וקטור , נסמן ב- את וקטור היחידה באותו כיוון. לכל שני וקטורים  מתקיים , כאשר 
 מכאן נובע ש- אם ורק אם הדבר נכון לווקטורי היחידה המתאימים. תופעה זו אפשרית גם כאשר x,y שונים (למשל בנורמת ). מרחב נורמי שבו ספירת היחידה אינה מכילה קטעים נקרא מרחב קמור לחלוטין.

 דוגמאות 
 הערך המוחלט 
הערך המוחלט הסטנדרטי הוא נורמה המוגדרת על הישר הממשי עצמו (זו נורמת  המוגדרת על ).

 נורמה במרחבי מכפלה פנימית 
עבור מכפלה פנימית  במרחב מכפלה פנימית, הפונקציה המוגדרת על ידי  היא נורמה. אומרים שהנורמה הזו מושרית על ידי המכפלה הפנימית.

משפט: נורמה מושרית על ידי מכפלה פנימית אם ורק אם היא מקיימת את שוויון המקבילית, הוא .

הסיבה לכך (במקרה הממשי) היא שאם הנורמה אכן מושרית על ידי מכפלה פנימית, אפשר לשחזר את המכפלה הפנימית על ידי "הזהות הפולרית" , ובמקרה זה חישוב ישיר מראה שהנורמה מקיימת את שוויון המקבילית. הנוסחה למכפלה פנימית של מרחב וקטורי מעל המרוכבים מעט יותר מסובכת.

יחס דומה, מעט כללי יותר, מתקיים בין תבניות ריבועיות לבין תבניות ביליניאריות.

 הנורמה הסטנדרטית במרחב האוקלידי 
הנורמה המקובלת ביותר במרחב הווקטורי  או  היא
, הנקראת הנורמה הסטנדרטית, הנורמה האוקלידית או נורמת . זוהי נורמה מושרית מהמכפלה הסקלרית הרגילה ומקיימת את התכונות הגאומטריות המוכרות לנו.

 נורמת lp 
לכל  ממשי קבוע מגדירים את נורמת  על המרחב הווקטורי  ע״י:
.
עבור  מקבלים את הנורמה האוקלידית הרגילה וזו הנורמה היחידה המושרית ממכפלה פנימית. עבור  מקבלים את הנורמה המתאימה לגאומטריית מנהטן.

את אי שוויון המשולש אפשר להוכיח באמצעות אי-שוויון הלדר/תנאי הלדר.

 נורמת המקסימום 
נורמת המקסימום של וקטור היא הערך המוחלט הגדול ביותר מבין הקואורדינטות שלו, כלומר:

.

נורמת המקסימום היא הגבול של הנורמות  כאשר  שואף לאינסוף, במובן הבא: , ועל כן היא נקראת .

 מרחבי סדרות אינסופיות 
ניתן להכליל את נורמות  למרחבי סדרות אינסופיות.

עבור מספר ממשי  וסדרה ממשית / מרוכבת  מסמנים בצורה דומה

, 

ובצורה דומה עבור  מסמנים

.

הנורמה  אינה מוגדרת היטב על סדרות, מאחר שהיא יכולה להיות אינסוף עבור סדרות מסוימות. לכן, עבור , מסתכלים על תת-הקבוצה של סדרות עם "נורמה"  סופית, שלרב גם מסומנת על ידי :

.

תת קבוצה זו היא בעצמה תת-מרחב ו  מהווה נורמה על המרחב הזה. גם פה הנורמה  היא היחידה המושרית ממכפלה פנימית.

 נורמות Lp לאינטגרלים 
בצורה דומה לנורמות , ניתן להגדיר נורמות  על מרחבי פונקציות אינטגרביליות על מרחב . עבור פונקציה אינטגרבילית  ומספר ממשי  מגדירים:

,

ועבור  מגדירים:

.

עבור , מסתכלים על קבוצת הפונקציות עם "נורמה"  סופית, שלרב גם מסומנת על ידי :

.

תת קבוצה זו היא בעצמה תת-מרחב ו  מהווה נורמה על המרחב הזה.

 דוגמה 
על קטע סגור וחסום על הישר הממשי, למשל קטע היחידה , כל פונקציה רציפה היא בפרט אינטגרבילית, וכל הנורמות  הן סופיות עליה. לכן מרחב הפונקציות הרציפות על קטע כזה הוא מרחב נורמי עבור כל אחת מהנורמות הללו.

 נורמה אופרטורית 

במרחב הילברט מגדירים את הנורמה הבאה של אופרטור ליניארי  באופן הבא:

נורמה זו נקראת נורמה אופרטורית. נורמה זו מודדת מה המידה המקסימלית שבה האופרטור A יכול להגדיל אורך של וקטור. ניתן להכליל נורמה זו לכל אופרטור  כאשר V ו-W הם מרחבים נורמיים.

תכונות נוספות
 כל מרחב נורמי הוא גם מרחב מטרי, כאשר המטריקה מוגדרת על ידי , ובפרט הוא הופך להיות מרחב טופולוגי. זה מאפשר להגדיר גבול של סדרות: סדרה  שואפת לגבול  אם .
 את הנורמה אפשר 'לקרוא' מתוך כדור היחידה שלה. כדור היחידה חייב לחתוך כל קרן היוצאת מהמרכז, להיות סימטרי (לשיקוף ), וקמור.

 נורמות שקולות 
בהינתן מרחב וקטורי  ושתי פונקציות נורמה המוגדרות עליו  נאמר כי שתי הנורמות שקולות אם קיים  כך שלכל :

נורמות שקולות משרות על המרחב את אותה הטופולוגיה. נובע מכך כי כל סדרה שמתכנסת על פי נורמה אחת מתכנסת גם על פי הנורמה השנייה.

ניתן להוכיח כי אם  הוא מרחב וקטורי מממד סופי, אז כל הנורמות המוגדרות עליו שקולות זו לזו.

 ראו גם 
 מרחב נורמי
 נורמה של אופרטור
 נורמה (אלגברה)
 נורמה-למחצה
 ערך מוחלט

קישורים חיצוניים



 הערות שוליים 

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:מרחבים מטריים
קטגוריה:אלגברה ליניארית
קטגוריה:אנליזה פונקציונלית
*