ארבע פעולות החשבון

ארבע פעולות החשבון הן פעולות החשבון הבסיסיות ביותר, השימושיות בחיי היומיום של מרבית בני האדם. פעולות אלה נלמדות בתחילת לימודי המתמטיקה בבית הספר היסודי, וחרף פשטותן היחסית, נדרשת לביצוען מידה מסוימת של הפשטה.

ארבע פעולות החשבון הן חיבור, חיסור, כפל וחילוק. כל אחת מפעולות אלה היא פעולה בינארית, כלומר פונקציה הפועלת על שני מספרים.

להבהרת המשך הדיון נציין שפעולה נקראת "סגורה" בקבוצה מסוימת כאשר התוצאות שהיא מחזירה שייכות תמיד לאותה הקבוצה.

חיבור
שמאל|ממוזער|180px|

משמעותו המקובלת של החיבור היא משמעות של צירוף. המספרים הנתונים לחיבור נקראים "מחוברים" (כאשר כל אחד מהם נקרא "מחובר"), והמספר המתקבל כתוצאה מהחיבור נקרא "סכום". פעולת החיבור מסומנת בסימן , המבוטא "ועוד" או "פלוס". לכן, את הביטוי 3 + 5 יש לקרוא "חמש ועוד שלוש" או "חמש פלוס שלוש".

כדי לחשב חיבור, אפשר להיעזר בלוח החיבור, שהוא טבלה המציגה את תוצאותיה של פעולת החיבור בין כל שני מספרים  בני ספרה אחת. פעולת החיבור סגורה בקבוצת המספרים הטבעיים, כלומר חיבור של שני מספרים טבעיים אף הוא מספר טבעי.

 לוח החיבור98 76543210+98765432100109876543211111098765432212111098765433131211109876544141312111098765515141312111098766161514131211109877171615141312111098818171615141312111099

חיסור

שמאל|ממוזער|180px|
בפעולת החיסור ניתנים כרגיל שני מספרים, הראשון אשר ממנו מחסרים נקרא "מְחוּסַר", והשני, שאותו מחסרים, נקרא "מְחַסְר". המספר המתקבל כתוצאה מהחיסור נקרא "הֶפְרֵשׁ". פעולת החיסור מסומנת בסימן , המבוטא "מינוס" או "פחות". לכן, את הביטוי 2 - 5 יש לקרוא "חמש מינוס שתיים" או "חמש פחות שתיים". בחינת תוצאת החיסור נעשית באמצעות חיבור ההפרש למחסר. הדרך האינטואיטיבית המקובלת לחשוב על חיסור היא כעל גריעה: אם בקבוצה היה מספר כלשהו של עצמים וגרענו מהקבוצה חלק מהעצמים, כמה נשארו? חיסור היא הפעולה ההפוכה לחיבור, כלומר אם , הרי פעולת החיסור תיתן תשובה לשאלה: כאשר במשוואה זו ידועים ערכיהם של b ושל c, מהו ערכו של a ? פעולת החיסור אינה סגורה בקבוצת המספרים הטבעיים, משום שחיסור מספר ממספר קטן ממנו נותנת מספר שלילי. פעולת החיסור סגורה בקבוצת המספרים השלמים. ניתן להרחיב את הגדרתה של פעולת החיבור בקבוצת המספרים הטבעיים כך שתחול גם על קבוצת המספרים השלמים.

למעשה בקבוצת המספרים השלמים ובקבוצות שמכילות אותה, פעולה של חיסור מספר  כלשהו זהה לפעולה של חיבור , שהוא המספר הנגדי של , כלומר . על כן, ניתן לראות כל פעולת חיסור כסוג של פעולת חיבור.

כפל

שמאל|ממוזער|200px|
בפעולת כפל נתונים שני מספרים. האחד - הראשון בסדר הכתיבה אשר אותו מכפילים - נקרא "נִכְפָּל", והשני - בו מכפילים - נקרא" "כּוֹפֵל". שניהם יחדו נקראים "גורמים". עבור שאלות מילוליות - הנכפל נושא תמיד את השם הנתון בשאלה (כדורים / בובות וכו'). הכופל מראה פי כמה להגדיל את הנכפל, ולכן מיחסים לו את השם "פעמים". המספר המתקבל כתוצאה מהכפל נקרא "מַכְפֵּלָה". את הביטוי  יש לקרוא "שלוש כפול חמש" או "חמש פעמים שלוש ". 

כפל הוא קיצור של פעולת החיבור, אך באופן כללי נוהגים לראות כפל כפעולה העומדת בפני עצמה. בקבוצת השלמים, אפשר להסביר את הפעולה על ידי החלפת המילה "כפול" במילה "פעמים". כך ש- כפול , הוא בעצם, " פעמים " או במפורש, הכפלת מספר  במספר , דינה כסכום של  עם עצמו  פעמים (או כעוצמת קבוצת האיחוד של  קבוצות זרות בעלות עוצמה ). הגדרה נאיבית של פעולת הכפל נעשית באמצעות לוח הכפל, שהוא טבלה המציגה את תוצאותיה של פעולת הכפל, הקרויה מכפלה, על כל שני מספרים אפשריים שכל אחד מהם בן ספרה אחת. פעולת הכפל סגורה בקבוצת המספרים הטבעיים, וגם בקבוצת המספרים השלמים.

כפל מוגדר גם עבור מספרים רציונליים (שברים) ומספרים ממשיים, בעזרת הרחבת ההגדרה לשלמים. מספר שלם ניתן להצגה כשבר (למשל בבחירת המספר עצמו כמונה, עם מכנה 1), וכפל שברים מוגד כשבר שמונהו הוא מכפלת שני המונים, ומכנהו מכפלת שני המכנים.

הכפל היא פעולה קומוטטיבית: החלפת הכופל והנכפל לא משנה את המכפלה, כלומר . עם זאת, יש לשים לב שכאשר מייחסים לכופל, לנכפל, או לשניהם משמעות מוחשית, יש למיקום חשיבות. לדוגמה, יש אותו מספר בקבוקים בשלוש אריזות של עשרה בקבוקים ובעשר אריזות של שלושה בקבוקים, אך אותם שלושים בקבוקים מייצגים מציאות פיזית שונה בשני המקרים.

פעולת הכפל מסומנת בסימן  או לפעמים , וכאשר אין סכנה לבלבול, משמיטים אותה כליל. כלומר  זהה לכתיבת , ו- זהה ל-.

 לוח הכפל98 76543210000000000009876543210118161412108642022724211815129630336322824201612840445403530252015105055448423630241812606635649423528211470772645648403224168088172635445362718909

הערה: לוח הכפל המוכר יותר (שחיבורו מיוחס לפיתגורס) עוסק במכפלות בתחום 1–10, ולא בתחום 0–9 כפי שמוצג כאן. אין טעם טכני בהצגת מכפלות של 10, משום שאלה הן כבר מכפלות של מספר בן שתי ספרות, שאותן ניתן לבצע לפי לוח הכפל המופיע כאן, והכללים לכפל של מספרים בני יותר מספרה אחת.

חילוק

שמאל|ממוזער|150px|
בפעולת חילוק נתונים שני מספרים. הראשון שאותו מחלקים, נקרא "מחולק". והשני, שבו מחלקים את הראשון, נקרא "מחלק". המספר המתקבל כתוצאה מהחילוק נקרא "מנה". בחילוק אי אפשר לשנות את מיקומם של המספרים הנתונים בו. הבחינה של תוצאת החילוק נעשית באמצעות כפל - מכפילים את המחלק במנה, וכשיש שארית מוסיפים אותה למכפלה של המחלק במנה. את התוצאה משווים למחולק.

ישנן שתי משמעויות מקובלות לחילוק - "חילוק לחלקים" ו"חילוק להכלה". חילוק לחלקים היא פעולה של חלוקה לחלקים שווים: אם יש לנו קבוצה בת a איברים וחילקנו אותה ל-b קבוצות שוות בגודלן, כמה איברים יש בכל קבוצה? אם חילקנו עשר פרוסות עוגה בין חמישה ילדים, כמה פרוסות קיבל כל ילד? בחילוק לחלקים נכתב המחלק בלי שם, כי הוא מראה פי כמה להקטין את המחולק, והמנה מציינת כמות מאותו סוג של המחולק.
המשמעות השנייה היא חילוק להכלה. שם זה נובע מכך שבחלוקה זו, אנו מקבלים מידע על החלק ועל השלם, ושואלים כמה פעמים החלק מוכל בשלם. בחילוק להכלה נשאלת השאלה, בהינתן שיש לנו קבוצה בגודל a שחילקנו למספר קבוצות שוות בגודל b, מהו מספר הקבוצות שאליהן חילקנו? לדוגמה, אם חילקנו עשר פרוסות עוגה בין מספר ילדים בצורה שווה כך שכל ילד קיבל שתי פרוסות, כמה ילדים יש? בדוגמת העוגות, אנו יודעים שגודל כל חלק הוא 2 וגודל השלם הוא 10, ושואלים את עצמנו כמה פעמים נכנס (מוכל) 2 ב-10. בחילוק להכלה למחולק ולמחלק שם אחד, והמנה נכתבת בלי שם, כי היא מראה כמה פעמים כלול המחלק במחולק.

חילוק היא הפעולה ההפוכה לכפל, כלומר אם , הרי פעולת החילוק של c ב-b תיתן תשובה לשאלה: כאשר במשוואה זו ידועים ערכיהם של b ושל c, מהו ערכו של a?

אם קיים מספר שלם כזה, אז b מחלק את c. למשל, 6 מחלק את 18 משום ש-  (לפעמים כותבים  כדי לציין ש- b מחלק את c). פעולת החילוק אינה סגורה בקבוצת המספרים הטבעיים, וגם לא בקבוצת המספרים השלמים, משום שחילוק של 7 ב-2, למשל, נותן תוצאה שאינה מספר שלם. ביצוע פעולת חילוק זו בקבוצת המספרים השלמים נותן מנה 3 ושארית 1. פעולת החילוק סגורה בקבוצת המספרים הרציונליים. ניתן להרחיב את הגדרתן של פעולת החיבור, החיסור והכפל כך שיחולו גם על קבוצת המספרים הרציונליים (ראו בערך מספר רציונלי).

עם זאת, מעל קבוצת המספרים הרציונליים (וגם המספרים הממשיים והמרוכבים) התוצאה של חלוקה באפס אינה מוגדרת היטב. זאת מכיוון שמכפלת כל מספר באפס נותנת אפס, ולכן לכל  לא קיים מספר  כך ש, ואילו כאשר המשוואה שלנו היא  הרי שכל מספר הוא תשובה לשאלה שלנו, ולכן התשובה איננה חד משמעית. ישנם פיתוחים מתמטיים של קבוצות המספרים כך שחלוקה באפס תתאפשר (תוך ויתור על חלק מתכונות המספרים), אך באופן כללי תוצאה של חלוקה באפס נותרה בלתי מוגדרת.

פעולת החילוק מסומנת בסימן  או בסימן . באופן מעשי לרוב נהוג לכתוב חילוק באמצעות שבר, כאשר המחולק הוא המונה והמחלק הוא המכנה.

נשים לב כי בקבוצת המספרים הרציונליים ובקבוצות המכילות אותה, פעולה של חילוק במספר  כלשהו זהה לפעולה של כפל במספר , שהוא המספר ההופכי של , כלומר . על כן, ניתן לראות כל פעולת חילוק כסוג של פעולת כפל.

ניתן להרחיב את הגדרתן של פעולות החיבור, החיסור, הכפל והחילוק כך שיחולו גם על קבוצת המספרים הממשיים וקבוצת המספרים המרוכבים.

ראו גם: מבחני התחלקות

סדר פעולות החשבון
כל אחת מארבע פעולות החשבון פועלת, כאמור לעיל, על שני מספרים, אך ניתן לכתוב ביטויים הכוללים מספרים רבים ופעולות רבות, ובמקרה זה נחוצים כללים לקביעת סדר ביצוע הפעולות (פעולה קרויה גם אופרטור, ומספרים שעליהם היא פועלת קרויים אופרנדים). הכלל הראשון קובע שפעולות כפל וחילוק קודמות לפעולות חיבור וחיסור. כדי לבצע את הפעולות בסדר שונה מהאמור בכלל זה יש להשתמש בסוגריים. לאחר שני כללים אלה, הפעולות מתבצעות משמאל לימין.

דוגמאות:
 את הביטוי  יש לחשב: תחילה  ולתוצאה להוסיף 3, כך שערכו של הביטוי הוא 23.
 את הביטוי  יש לחשב: תחילה  ואת התוצאה יש להכפיל ב-5, כך שערכו של הביטוי הוא 35.
 בביטוי  יש חשיבות רבה לסדר הפעולות (משמאל לימין), משום שביצוע פעולת הכפל לפני פעולת החילוק ייתן תוצאה שונה.

בצורת הכתיב המקובלת נכתבת הפעולה, ומשני צדיה המספרים שעליהם היא פועלת. כתיב שאינו מקובל בחיי היומיום הוא הכתיב הפולני, שבו נכתבת הפעולה ואחריה שני המספרים שעליהם היא פועלת. יתרונו של הכתיב הפולני בכך שאין צורך בו בכללי קדימות אופרטורים, ואין צורך בסוגריים.

תכונות הפעולות
חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות)
הן החיבור והן הכפל מקיימים את תכונת האסוציאטיביות. פירוש הדבר הוא, עבור כל אחת מהפעולות, שאין חשיבות לסדר הפעלתן כאשר הן היחידות מסוגן וניתן לקבץ אותן בסוגריים בלי שהדבר ישפיע על התוצאה. כלומר, מתקיים:
  ולכן ניתן לכתוב פשוט .
  ולכן ניתן לכתוב פשוט .

חוק החילוף (קומוטטיביות)
שמאל|250px
הן החיבור והן הכפל מקיימים את תכונת הקומוטטיביות. פירוש הדבר הוא שכאשר מחברים או מכפילים שני מספרים, אין חשיבות לשאלה מי הראשון ומי השני. כלומר, מתקיים:
 .
 .

לעומת זאת, חיסור וחילוק אינן קומוטטיביות. כאשר מתרגמים את אופרטורי החילוק והחיסור לאופרטורי חיבור וכפל משנים את האופרנד השני, ולכן יש חשיבות לסדר האופרנדים. קל לראות זאת על ידי דוגמה:
 , אבל . אין זה מקרי שקיבלנו מספרים נגדיים - זוהי תכונה כללית.
 , אבל . גם כאן, אין זה מקרי שקיבלנו שני מספרים כך שהאחד שווה ל-1 חלקי השני.

חוק הפילוג (דיסטריבוטיביות)
החוק הקושר את פעולות החיבור והכפל הוא חוק הפילוג (החוק הדיסטריבוטיבי), הקובע שלכל שלושה מספרים  מתקיים ש .

פעולות החשבון בחיי היומיום
פעולות החשבון הן פעולות מופשטות, המוגדרות על עצמים מופשטים - המספרים. חרף זאת, יש לפעולות החשבון שימושים רבים בחיי היומיום, כפי שיעידו הדוגמאות הבאות:
 בידי השמאלית שקית ובה חמישה תפוחים, ובידי הימנית שקית ובה שבעה תפוחים. כמה תפוחים יש בשתי ידי? התשובה ניתנת באמצעות פעולת החיבור, והיא: שנים-עשר תפוחים.
 דני מחזיק שקית ובה עשר סוכריות. הוא נותן לדנה ארבע סוכריות. כמה סוכריות נותרו לדני? התשובה ניתנת באמצעות פעולת החיסור, והיא: שש סוכריות.
 כל תלמיד בכיתה שבה עשרים תלמידים תרם חמישה שקלים לקרן הקיימת. כמה שקלים נתרמו בסך הכל? התשובה ניתנת באמצעות פעולת הכפל, והיא: מאה שקלים.
 לכיתה בת עשרה תלמידים הגיעה שקית ובה חמישים סוכריות, שחולקו שווה בשווה בין התלמידים. כמה סוכריות קיבל כל תלמיד? התשובה ניתנת באמצעות פעולת החילוק, והיא: חמש סוכריות.
נשים לב למשותף חשוב לכל הדוגמאות הללו: בכולם הספירה נעשית באמצעות מספרים טבעיים (מספרים חיוביים ושלמים) - ואכן, לרוב יש משמעות אינטואיטיבית לפעולות החשבון רק כאשר הן עוסקות במספרים טבעיים, אם כי גם למספרים רציונליים יש מקום - למשל, תשלום יכול להיעשות בחלקי שקלים, ומינוס יכול לייצג חוב, כפי שמראה הדוגמה הבאה:
 אדם קנה אצל הירקן 4 ק"ג עגבניות במחיר של 3.25 ש"ח לקילוגרם ו-5 ק"ג בצל במחיר של 2.55 ש"ח לק"ג. הוא הושיט לירקן שטר של 20 ש"ח, כמה עודף יקבל?

כלים לביצוע פעולות החשבון
פעולות החשבון הן פעולות מופשטות על עצמים מופשטים, ולכן ניתן לבצע אותן במוח האדם. את הפעולות ניתן לבצע בחישוב בראש או להיעזר בכלי כתיבה לשם רישום הפעולות וביצוע הטכניקות המקובלות לשם קבלת התוצאה.

כלים ספציפיים לביצוע פעולות החשבון הם:
 אצבעות כף היד (הכלי הקדום ביותר)
 חשבונייה (אבקוס): מסגרת עץ שבתוכה חרוזים המושחלים על מוטות. החשבונייה שימשה במשך אלפי שנים ככלי לביצוע ארבע פעולות החשבון.
 סרגל חישוב: מכשיר מכני לעריכת חישובים. הסרגל מורכב מלפחות שתי סקאלות מופרדות היטב, עם אשנב זז הקרוי סמן. לפני המצאת המחשבון היה סרגל החישוב כלי החישוב הנפוץ ביותר במדע ובהנדסה.
 מכונת חישוב: מכשיר מכני או אלקטרוני המיועד לעזור בעריכת ארבע פעולות החשבון.
 קופה רושמת: מכשיר לרישום פרטי קנייה בחנות לשם הגשת חשבון ללקוח.
 מחשבון: מכשיר אלקטרוני שנועד לביצוע חישובים, ובדרך כלל מאפשר פעולות רבות, בנוסף לארבע פעולות החשבון.
 תוכנת מחשב ייעודית, כגון תוכנת המחשבון שנלווית למערכת ההפעלה. מבחינת המשתמש היא מחקה את אופן פעולתו של המחשבון.

היסטוריה של סימני הפעולות
שמאל|130px
על אף שכיום סימניהן של ארבע פעולות החשבון נראים מובנים ופשוטים, הם אינם עתיקים. הסימן המצרי לחיבור, למשל, הזכיר זוג רגליים שכוונו הוא ככיוון הטקסט (המצרים יכלו לכתוב גם משמאל לימין וגם מימין לשמאל), כאשר הכיוון ההפוך משמעו חיסור:
D54- או -D55

בתחילת המאה ה-15 השתמשו באירופה באותיות P עם קו מעליה (p̄) ו M עם קו מעליה (m̄) לסימון חיבור וחיסור. הסימנים הללו הופיעו בפעם הראשונה באסופה המתמטית של לוקה פאצ'ולי, "Summa de arithmetica" שכללה גאומטריה ופרופורציה ופורסמה לראשונה בוונציה ב-1494. בחיבורו ב-1489 התייחס יוהנס וידמן לסימנים – ו + כ"מינוס" ו"מר" - מילה שפרושה בגרמנית הוא "עוד". 
רוברט רקורד, המעצב של הסימן "=", הציג את סימני הפלוס והמינוס לבריטים ב-1557 במשפט זה: "ישנם שני סימנים נפוצים נוספים, אשר הראשון נראה כך + ופירושו "עוד", והשני נראה כך: – ופירושו "פחות".

הסימן × לציון כפל הוצג לראשונה בשנת 1631 על ידי הכומר והמתמטיקאי האנגלי ויליאם אוטרד. במאה ה-18 התבסס השימוש בנקודה במרכז השורה, "·", לציון כפל, ובאלגברה מקובל להשמיט כליל את הסימן ( ab, למשל, פירושו a כפול b).

הסימן ÷ לציון חילוק הופיע לראשונה בשנת 1659 בספר אלגברה מאת המתמטיקאי השווייצרי יוהאן רן ; יש המשערים שג'ון פל, שערך את הספר, הוא שהכניס לתוכו את הסימן. סימנים נפוצים יותר לציון חילוק הם הנקודתיים : והלוכסן /.

הגדרות פורמליות
חיבור
את החיבור במספרים הטבעיים מגדירים תוך שימוש באקסיומת העוקב של אקסיומות פאנו (לכל מספר טבעי קיים מספר עוקב ולא קיים מספר שהעוקב שלו 0), שאותן מקיימים המספרים הטבעיים. אם  הוא הסימון לעוקב של , אז החיבור מוגדר באינדוקציה כך:
 .
 .
לדוגמה: .

כפל
גם את הכפל במספרים טבעיים ניתן להגדיר אינדוקטיבית על ידי שימוש בהגדרת העוקב:


לדוגמה: 

חיסור מוגדר כחיבור עם הנגדי וחילוק ככפל בהופכי.

פעולות החשבון בקבוצות אחרות
הפעולות שהראינו כאן מוגדרות על קבוצות אינסופיות של מספרים, אך ניתן להגדיר אותן גם על קבוצות סופיות - ראו חשבון מודולרי.

הפעולות שהראינו כאן מוגדרות על קבוצות של מספרים, אולם באלגברה מופשטת מעוניינים לחקור את תכונותיהן של פעולות שמוגדרות על קבוצות כלשהן, לא בהכרח של מספרים, אך שמזכירות את פעולות החשבון על המספרים.

מעל שדות נוהגים להגדיר פעולות של "חיבור" ו"כפל", ולדרוש שפעולות אלו יקיימו את תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות והדיסטריביוטיביות שהראינו קודם, וכן שיהיה קיים איבר נייטרלי לכל אחת מהפעולות, ואיבר הופכי לכל אחת מהפעולות. אם כל הדרישות הללו מתמלאות, הרי שהפעולות שהוגדרו אכן מזכירות בתכונותיהן את הפעולות שמוגדרות מעל המספרים, וניתן להגדיר חיסור וחילוק באמצעותן. מכאן ניתן לראות שקבוצות המספרים הרציונליים, הממשיים והמרוכבים, עם הפעולות שהוגדרו עליהן, הם בעצם מקרים פרטיים (חשובים מאוד) של שדות.

ראו גם

 התפתחות סימני הפעולות
 אלגברה מופשטת
 מערכות מספרים
 חשבון להורים (ספר)
 מבחן בדיקה של פעולות חשבון בעזרת סכום ספרות סופי

לקריאה נוספת
 רון אהרוני, חשבון להורים - ספר למבוגרים על מתמטיקה של ילדים, הוצאת שוקן, 2004.

קישורים חיצוניים
 מחשבון סרט, באתר של חברת אודיטור
 KidZone Math - אתר חינמי לבניית דפי עבודה דינמיים עבור ארבע פעולות החשבון על פי רמות קושי. 

הערות שוליים

קטגוריה:אריתמטיקה
קטגוריה:פעולות בינאריות
קטגוריה:ערכים מומלצים שנבדקו