מחלקה (תורת החבורות)

בתורת החבורות, מחלקה או קוֹסֵט (coset) של תת-חבורה  היא קבוצה של איברי חבורה  אשר מתקבלת מהכפלת איברי  באיבר קבוע של החבורה.
אוסף המחלקות של תת-חבורה  מהווה חלוקה של  לקבוצות שוות בעוצמתן.

חשוב להדגיש כי אף שמחלקות התת-חבורה נגזרות ישירות ממנה, הן אינן מהוות תת-חבורות בעצמן (למעט המחלקה הטריוויאלית) משום שאינן סגורות לכפל. הדוגמה הפשוטה ביותר היא זו של החבורה  והתת-חבורה שלה . המחלקה הלא-טריוויאלית המתאימה לה היא , והיא איננה סגורה לכפל.

הגדרה פורמלית
תהי  חבורה ותהי  תת-חבורה שלה. לכל  נאמר כי:
הקבוצה  תיקרא מחלקה שמאלית (או קוסט שמאלי) של  ב-.
הקבוצה  תיקרא מחלקה ימנית (או קוסט ימני) של  ב-.

תכונות
כל שתי מחלקות (מאותו צד) שונות הן זרות, כלומר: לכל תת-חבורה , המחלקות (מאותו צד) של  מהוות חלוקה של  לקבוצות זרות.

הוכחה: אם  אזי קיימים  עבורם  ולכן . מכיוון ש-, נובע כי  ולכן . הוכחנו כי אם חיתוך שתי מחלקות לא ריק אזי הן בהכרח שוות, ולכן המחלקות של  מהוות חלוקה של . לכן "יחס השייכות לאותה מחלקה" מהווה יחס שקילות.

אינדקס
מספר המחלקות השמאליות (או הימניות) של תת-חבורה  בחבורה  נקרא האינדקס של  ב-, ומסומן .

מספר איברי כל מחלקה של  שווה למספר איברי . במקרה של חבורות אינסופיות, עוצמת המחלקות שווה.
מכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של חבורה סופית מתחלק בסדר התת-חבורות שלה, לאמר .

נורמליות
אם לתת-חבורה  מתקיים  לכל  – לאמר, המחלקות השמאליות שוות למחלקות הימניות – החבורה נקראת תת-חבורה נורמלית.
לתת-חבורות נורמליות קיימת חשיבות רבה בתורת החבורות, כיוון שהן מאפשרות להגדיר חבורת מנה.

דוגמה
נתבונן בחבורה , חבורת המספרים השלמים עם פעולת החיבור.
 היא תת-חבורה שלה – כל השלמים המתחלקים ב-4 ללא שארית. לתת-חבורה זו יש בדיוק 4 מחלקות:

נציגים לדוגמה מהמחלקה  הם 5, 161, או 3-. נציגים לדוגמה מהמחלקה  הם 3, 23 או 7.
נשים לב גם כי זאת חבורה אבלית, ולכן בהכרח המחלקות השמאליות שוות למחלקות הימניות.

קישורים חיצוניים

קטגוריה:תורת החבורות