פנים (טופולוגיה)

בטופולוגיה, הפְּנים של קבוצה הוא אינטואיטיבית אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על השפה שלה. נהוג לסמן את הפנים של קבוצה  ב- או ב-.

הגדרה פורמלית
ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:
תהא  קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה, , בתור קבוצת כל הנקודות  כך שקיימת קבוצה פתוחה  כך ש- – כלומר, הקבוצה  היא סביבה של .
תהא  קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר שמוכלת ב-. על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב-.
תהא  קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת משלים וסגור: .

דוגמה
נחשב את הפנים של הקטע הסגור  בישר הממשי.


ולכן הפנים של  הוא הקטע הפתוח .

תכונות הפנים
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הסגור.
כל קבוצה פתוחה שווה לפנים שלה: . בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן .

חוץ
החוץ של קבוצה , המסומן , מוגדר כפנים של המשלים שלה: . באופן שקול, ניתן להגדיר את החוץ כמשלים של הסגור: .

השפה של קבוצה, היא קבוצת האיברים במרחב שלא נמצאים בפנים שלה ולא נמצאים בחוץ שלה.

 ראו גם 
 נקודת מרכז

קישורים חיצוניים


קטגוריה:טופולוגיה