23 הבעיות של הילברט

הבעיות של הילברט הן רשימה של 23 בעיות במתמטיקה, שהוצגה על ידי המתמטיקאי דויד הילברט ב-1900. כל הבעיות היו פתוחות באותה העת, וכמה מהן השפיעו מאוד על המתמטיקה במאה ה-20. בתחילה הציג הילברט עשר בעיות (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 ו-22 מהרשימה של ה-23) בוועידת פריז של הקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים, שהתקיימה ב-8 באוגוסט בסורבון אלו עוררו עניין עולמי רב ובהמשך פרסם 13 בעיות נוספות, שהביאו את הרשימה ל-23 הבעיות המוכרות, שפורסמה מאוחר יותר במדינות רבות, הבולטת בהן היא התרגום לאנגלית ב-1902 של מרי פרנסס וינסטון ניוסון בכתב העת של האגודה האמריקאית למתמטיקה.

חלק מהבעיות נפתרו במהלך השנים, כאשר אחת מהן (מספר 3) נפתרה על ידי מקס דן עוד באותה שנה, וחלקן נשארו פתוחות עד היום.

 אופי והשפעת הבעיות 
הבעיות של הילברט מגוונות ברמת דיוקן והן שייכות לתחומים מתמטיים מגוונים. רוב השאלות מדויקות מספיק כדי לענות עליהן בתשובה חיובית או שלילית ברורה, אך ישנן שאלות המנוסחות באופן מעורפל יותר, ומתמטיקאים קיבלו עבורן פרשנות רווחת אחת מסוימת. לדוגמה, נמצא הפתרון של הבעיה ה-5 לפי הפרשנות המקובלת, אבל בעיות קשורות ודומות מאוד נותרו לא פתורות. לפעמים הניסוחים של הילברט לא היו מדויקים מספיק כדי להציע בעיה ממשית, אבל מניסוח עכשווי היה ניתן לקבל בעיות דומות ממשיות. למרות זאת, בעיות אחרות כמו הבעיות ה-11 וה-16 עוסקות בנושאים שהתפתחו עם הזמן לתחומים מתמטיים משגשגים, כמו התורה של תבניות ביליניאריות והתורה של עקומים אלגבריים ממשיים.

ישנן שתי בעיות שהן לא רק פתוחות (לא פתורות) עד היום, אלא גם ייתכן שהן בלתי-פתירות בכלל בעקבות ניסוחן. הבעיה ה-6 בנושא אקסיומיזציה של הפיזיקה הפכה לפחות חשובה משהייתה בעת ניסוחה עקב התפתחויות בפיזיקה מהמאה ה-20. באופן דומה, הבעיה ה-4 העוסקת ביסודות הגאומטריה, מנוסחת באופן שכיום נחשב מעורפל מכדי לאפשר מענה מדויק.

21 הבעיות האחרות קיבלו כולן תשומת לב מעשית ומחקרית רבה, והעבודה על הבעיות הללו הייתה מחשיבות עליונה עד סוף המאה ה-20. פול כהן קיבל את מדליית פילדס ב-1966 על עבודתו על הבעיה הראשונה, והתשובה השלילית שניתנה לבעיה העשירית ב-1970 הניבה שבחים דומים. הבעיות והיבטים שונים שלהן זוכים לעניין גבוה גם היום.

 אי-פתירות 
הילברט ביקש להגדיר את המתמטיקה באופן לוגי על ידי מערכות פורמליות, ועל ידי הוכחות סופיות מאוסף מוסכם של אקסיומות. אחת מהמטרות המרכזיות של התוכנית של הילברט הייתה להוכיח את העקביות של האקסיומות של האריתמטיקה: זו הבעיה ה-2 ברשימה.

עם זאת, משפט האי-שלמות השני של גדל הוכיח שכזו הוכחה סופית לעקביות של אריתמטיקה היא בלתי אפשרית. הילברט חי עוד 12 שנים אחרי שגדל פרסם את המשפט שלו, אבל לא נראה כי הוא כתב תגובה רשמית כלשהי לעבודתו של גדל.

הבעיה ה-10 לא שואלת אם קיים אלגוריתם שקובע עבור משוואה דיופנטית אם היא פתירה, אלא מבקשת במקום זה לבנות את אותו אלגוריתם: "להמציא תהליך שייקבע, בכמות סופית של פעולות, אם המשוואה פתירה במספרים רציונליים". הבעיה נפתרה והוכח כי לא קיים אלגוריתם שכזה, מה שסתר את הפילוסופיה של הילברט למתמטיקה.

בדיון על דעתו שלכל בעיה מתמטית אמור להיות פתרון, הילברט מכיר בעובדה שהפתרון יכול להיות הוכחה שהבעיה המקורית אינה אפשרית. הוא קובע כי הנקודה היא לדעת בצורה כלשהי מהו הפתרון, והוא האמין שאנחנו תמיד יכולים לדעת את הפתרון, שאין במתמטיקה שום "ignorabimus" (טענה שאי אפשר לקבוע או למצוא את הנכונות שלה). 

 גרסאות המשך 
מאז 1900, מתמטיקאים וארגונים מתמטיים הכריזו על רשימות של בעיות מתמטיות, אבל רק מעטות מהן זכו לאותה מידה של השפעה.

אחד מיוצאי הדופן הבודדים היא רשימה של שלוש השערות ששיער אנדרה וייל בסוף שנות ה-40'. בתחומים של גאומטריה אלגברית, תורת המספרים ומה שמקשר בין השניים, השערות וייל היו חשובות ביותר. הראשונה מהשערות וייל הוכחה על ידי ברנרד דוורק, והוכחה שונה לגמרי לשתי ההשערות הראשונות ניתנה על ידי אלכסנדר גרותנדיק. האחרונה והעמוקה מבין השערות וייל (אנלוג להשערת רימן) הוכחה על ידי פייר דליניה. גרותנדיק ודליניה קיבלו שניהם מדליית פילדס על עבודתם. עם זאת, השערות וייל הן מעיין "בעיית הילברט אחת" בתוך התחום שלהן, והילברט מעולם לא חשב עליהן כמכסות את כל המתמטיקה.

פאול ארדש העלה מאות אם לא אלפי בעיות מתמטיות, הרבה מהן עמוקות. ארדש לעיתים קרובות הציע סכומים כספיים; הגודל של הסכום נקבע על פי קושי הבעיה.

לפחות בתקשורת המיינסטרים, רשימת הבעיות של המאה ה-21 דה פאקטו הן 7 בעיות המילניום שנבחרו בשנת 2000 על ידי מכון קליי למתמטיקה. בשונה מהבעיות של הילברט, שבהן הפרס המרכזי היה הכבוד של הילברט בפרט ושל הקהילה המתמטית ככלל, הפרס על כל אחת מהבעיות הוא מיליון דולר. בדומה לרשימה של הילברט, אחת מהבעיות (השערת פואנקרה) נפתרה יחסית מוקדם אחרי שהכריזו על הבעיות.

השערת רימן בולטת בכך שהיא נמצאת ברשימת הבעיות של הילברט, מכון קליי, ואפילו בהשערות וייל, בצורה הגאומטרית שלה. על אף שנוסתה על ידי מתמטיקאים גדולים רבים בני ימינו, ההשערה לא הוכחה או הופרכה יותר מ-160 שנים. הילברט עצמו הכריז: "אילו הייתי נכנס לתרדמת של אלף שנים, הדבר הראשון שהייתי שואל אחרי ההתעוררות היה: האם הוכיחו את השערת רימן?"

רשימת הבעיות
להלן כל 23 השאלות שהציג הילברט ומצבן העדכני:

  תיאורה מצבה העדכני בעיה 1 השערת הרצף, האומרת כי לא קיימת קבוצה מעוצמה גדולה מזו של הטבעיים וקטנה מזו של הממשיים  על ידי גדל וכהן שהוכיחו כי היא אינה תלויה באקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות. בעיה 2 להוכיח שמערכת האקסיומות של האריתמטיקה היא עקבית משפט האי-שלמות השני של גדל מראה ש מתוך האריתמטיקה עצמה; גרהרד גנצן הוכיח את עקביות האריתמטיקה בהתבסס על מערכת אקסיומות שונה, אך ההוכחה אינה פיניטיסטית (דהיינו הוכחה שכוללת רק הליכים שמתייחסים למספר סופי של תכונות של נוסחאות, ורק למספר סופי של פעולות עם הנוסחאות) ולכן לא עומדת בקריטריונים של הילברט להוכחה מוחלטת של עקביות. בעיה 3 בהינתן שני ארבעונים מנפח זהה, האם בהכרח אפשר לחתוך אחד לכמות סופית של פאונים ולהרכיבם מחדש בצורת השני? מקס דן הראה ש, עוד באותה שנה שהוצגה הבעיה (1900). בעיה 4 למצוא גאומטריות שבהן האקסיומות קרובות לאלו של הגאומטריה האוקלידית, תוך שמירה על אקסיומות החילה, החלשת אקסיומות הסדר, וויתור על אקסיומת המקבילים  מכדי לקבוע אם נפתרה או לא. בעיה 5 האם חבורות רציפות הן בהכרח גזירות?  על ידי אנדרו גליסון, בתחילת שנות ה-50. בעיה 6 ניסוח אקסיומטי של כל החוקים הפיזיקליים  בעיה 7 האם  טרנסצנדנטי, כאשר a ≠ 0,1 אלגברי ו-b אלגברי אי-רציונלי?  משפט גלפונד-שניידר. בעיה 8השערת רימן ובעיות נוספות העוסקות בתורת המספרים, ביניהן השערת גולדבך והשערת הראשוניים התאומים  בעיה 9 הכללת חוק ההדדיות הריבועי לכל שדה מספרים  עבור הרחבות אבליות, על ידי אמיל ארטין. בעיה 10 למצוא אלגוריתם שייקבע, בהינתן משוואה דיופנטית, האם היא פתירה  לא קיים אלגוריתם שכזה. בעיה 11 פתרון של משוואות ריבועיות במספר משתנים עם מקדמים אלגבריים  בעיה 12 הכללת משפט קרונקר-ובר על ההרחבות האבליות של המספרים הרציונליים לשדה מספרים כלשהו. בעיה 13 פתרון משוואות ממעלה שביעית באמצעות פונקציות אלגבריות (גרסה אחרת: רציפות) בשני משתנים הגרסה הרציפה נפתרה על ידי ולדימיר ארנולד בהתבסס על עבודותיו של אנדריי קולמוגורוב, אבל הגרסה האלגברית עודנה  בעיה 14 האם מערכות שלמות מסוימות של פונקציות הן סופיות?  על ידי מסיושי נגטה ב-1958. בעיה 15 ביסוס מסודר של תחשיב שוברט  בעיה 16 מציאה ופיתוח טופולוגיה של עקומות ומשטחים אלגבריים ממשיים.  בעיה 17 הצגת פונקציה רציונלית חיובית כסכום ריבועים של פונקציות רציונליות . לחיוב על ידי אמיל ארטין ב-1927. בעיה 18 האם יש פאון קמור לא רגולרי שממלא את המרחב?מהו הסידור הטוב ביותר של כדורים במרחב? (השערת קפלר) השערת קפלר  על ידי היילס בשנת 1998 ופורסמה ב-2005. בעיה 19 האם הפתרונות של לגראנז'יאן הם תמיד אנליטיים?  על ידי אניו דה ג'יורג'י וכן בנפרד ובמתודולוגיה שונה על ידי ג'ון נאש ב-1957.  האם לכל הבעיות בחשבון וריאציות עם תנאי שפה מסוימים, יש פתרונות? בעיה 21הוכחת קיום של משוואה דיפרנציאלית ליניארית עם חבורת מונודרומיה נתונה בעיה 22 האחדה של יחסים אנליטיים באמצעות פונקציות אוטומורפיות   התפתחות נוספת בתחום חשבון הווריאציות  מכדי לקבוע אם נפתרה או לא.

 עריכת הרשימה 
בזמן הכנת רשימת הבעיות עמדו בפני הילברט עשרים וארבע שאלות רשומות, אך הילברט החליט שלא לצרף אחת מהן לרשימתו הסופית. הבעיה הנוספת עסקה בהוכחת השערה הנוגעת לפשטות ושיטות כלליות. בעיה זו התגלתה על ידי ההיסטוריון רודיגר תיילה (Rüdiger Thiele).

 ראו גם 
 בעיות לנדאו
 בעיות המילניום של מכון קליי

 לקריאה נוספת 
 בנו ארבל, קיצור תולדות המתמטיקה, מכון מופ"ת, 2005, עמ' 309–325.
 Rowe, David; Gray, Jeremy J. (2000). The Hilbert Challenge. Oxford University Press.

 קישורים חיצוניים 

 המאמר המקורי של הילברט 
 המאמר המקורי של הילברט, בתרגום לאנגלית
 רשומות הקונגרס של 1900
 "על הבעיה ה-24 של הילברט: דיווח על חומר חדש והערות"



הערות שוליים

*
קטגוריה:בעיות פתוחות במתמטיקה
קטגוריה:דויד הילברט
קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה