מספר מצולע

במתמטיקה, מספר מצולע, הוא מספר שלם  המקיים את התכונה שאפשר לארגן  נקודות כקודקודים של שרשרת מצולעים משוכללים בעלי קודקוד משותף.

הדוגמאות הפשוטות ביותר הן מספרים משולשיים, שהם מספרים מהצורה , ומספרים ריבועיים, מהצורה . באופן כללי, מספרים שאפשר לסדר כקודקודים של שרשרת מצולעים בעלי k צלעות הם מהצורה: , כאשר  הוא המספר המשולשי ה-n-1. נוסחה זו מוצדקת על ידי חלוקת המצולע למשולשים.

מתמטיקאים במאות ה-17 וה-18 עסקו במספרים מצולעים. פרמה ניסח את משפט המספרים המצולעים אך לא פרסם הוכחה שלו. ב- 1730 מצא אוילר את הנוסחה הכללית למספרים שהם גם משולשים וגם ריבועיים, באמצעות פתרון של משוואת פל מתאימה.

 דוגמאות וציורים 
לדוגמה, המספר 10 הוא מספר משולשי, משום שאפשר לארגן אותו בצורת משולש משוכלל שבו יש סדרה של משולשים משוכללים בעלי 1, 2, 3, ו-4 נקודות על כל צלע:
שמאל|200px

את המספר 10 לא ניתן לתאר בצורת ריבוע; אבל את 9 אפשר. בריבוע זה יש סדרה של ריבועים בעלי 1, 2, ו-3 נקודות על כל צלע, ולכן 9 הוא מספר ריבועי.
שמאל|250px

ישנם מספרים שאפשר לארגן גם בצורת משולש וגם בצורת ריבוע, למשל 36 (ראו מספר משולשי ריבועי):
שמאל|250px

השיטה להגדלת מצולע לגודל הבא הוא להוסיף לשתי צלעות סמוכות נקודה אחת ואז להוסיף את כל הנקודות הדרושות לצדדים בין שתי הנקודות האלה. בדיאגרמה להלן, כל שכבה נוספת מוצגת בצבע אדום.

מספרים משולשים

שמאל|250px

בין היתר ניתן למצוא את המספרים המשולשים בתור העמודה השנייה של משולש פסקל. 

מספרים ריבועיים

שמאל|250px

מצולעים עם מספר גדול יותר של צלעות, כמו מחומשים ומשושים, יכולים להיות מיוצגים גם כן בנקודות (עם המוסכמה ש-1 הוא מספר מצולע לכל מספר של צלעות).

מספרים מחומשים

שמאל|250px

מספרים משושים
שמאל|250px

 שם  נוסחה  n=1  2  3  4  5   6  7  8  9  10  11  12  13 משולש  ½n(1n + 1)   1   3   6   10   15   21   28   36   45   55   66   78   91 ריבוע  ½n(2n - 0)   1   4   9   16   25   36   49   64   81   100   121   144   169   מחומש  ½n(3n - 1)   1   5   12   22   35   51   70   92   117   145   176   210   247   משושה  ½n(4n - 2)   1   6   15   28   45   66   91   120   153   190   231   276   325   משובע  ½n(5n - 3)   1   7   18   34   55   81   112   148   189   235   286   342   403   מתומן  ½n(6n - 4)   1   8   21   40   65   96   133   176   225   280   341   408   481x-צלעות ((n((x-2)n-(x-4½1x3x-36x-810x-15

לקריאה נוספת
 The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books), 1997
 Figurate Numbers, 2011 

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:שעשועי מתמטיקה
קטגוריה:סדרות של שלמים
קטגוריה:מצולעים
*

ru:Последовательность двенадцатиугольника