נקודה (גאומטריה)

ממוזער|250px|סימון נקודות על גרף של מערכת צירים
בגאומטריה, נקודה היא מושג יסודי המאופיין באמצעות האקסיומות העוסקות בו. בצורה פחות פורמלית, נקודה מציינת מקום מדויק במרחב. לנקודה ממד 0 – היא חסרת אורך, רוחב ועומק. זאת לעומת ישר, בעל ממד 1 (אורך, לדוגמה קו אינסופי), מישור, בעל ממד 2 (אורך ורוחב, למשל ריבוע) ומרחב, בעל ממד 3 (אורך, רוחב ועומק, כדוגמת קובייה). אף שהחלה כמושג יסודי בגאומטריה, הנקודה מופיעה בענפים רבים של המתמטיקה והפיזיקה. 

בגאומטריה אנליטית, המושג נקודה מוגדר כ-n-יה סדורה באשר n הוא הממד של המרחב הרלוונטי. הנקודה משמשת לציון מיקום מדויק על גבי ציר, מישור, מרחב, או מרחב-זמן, ביחס לראשית הצירים (נקודת ה-0). בפיזיקה הנקודה כהגדרתה המקובלת היא חסרת מסה אך כן עשויה לייצג חלקיק כגון פוטון, או את מרכז המיקום של אובייקט בעל מסה. 

בהקשר כללי יותר במתמטיקה, כל איבר של מרחב טופולוגי נקרא נקודה.

הנקודה בגאומטריה האוקלידית
אקסיומות הגאומטריה האוקלידית העוסקות בנקודה:
 יש לפחות שתי נקודות שונות זו מזו.
 לכל שתי נקודות שונות זו מזו יש ישר אחד ויחיד ששתי נקודות אלה נמצאות עליו.
 כל ישר מכיל לפחות נקודה אחת.
 מחוץ לכל ישר יש לפחות נקודה אחת.
 לכל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד יש מישור אחד ויחיד המכיל אותן.
 כל מישור מכיל לפחות נקודה אחת.
 מחוץ לכל מישור יש לפחות נקודה אחת.
 אם לשני מישורים יש נקודה משותפת, יש להם לפחות עוד נקודה משותפת.
 אם לישר ולמישור שתי נקודות משותפות שונות זו מזו, הישר נמצא במישור.

 הנקודה בגאומטריה אנליטית 

כאמור, בגאומטריה אנליטית, המושג נקודה מוגדר כ-n-יה סדורה באשר n הוא הממד של המרחב הרלוונטי, שהוא לרוב  או .

לדוגמה:
 נקודה על גבי ציר (לדוגמא: ישר) בעל ממד 1 (אורך, לדוגמה קו אינסופי) מיוצגת באות x. לדוגמא x=1 הוא יצוג של נקודה במיקום +1 על גבי הציר
 נקודה במישור, בעל 2 מימדים (אורך ורוחב, למשל ריבוע) מיוצגת על ידי (x,y). לדוגמא (1,2) כאשר הנקודה נמצאת במיקום +1 על ציר ה-x, ו- +2 על גבי ציר ה-y ביחס לראשית הצירים (0,0).
 נקודה במרחב, בעל ממד 3 (אורך, רוחב ועומק, כדוגמת קובייה). מיוצגת על ידי (x,y,z) בהתאמה.

 הנקודה בפילוסופיה של המתמטיקה 
מבחינה פילוסופית, הנקודה הייתה מושא לפולמוס. היוונים הקדומים טענו שקו לא יכול להיות מורכב מנקודות והציגו מגוון רב של פרדוקסים הנובעים מההנחה שזה אכן כך, המפורסמים שבהם הם הפרדוקסים של זנון. לפרדוקסים אלה קשר מהותי לתפיסה האטומיסטית המציעה מושג דומה "אטום" שהגדרתו היא "בלתי ניתן לחלוקה" אך בשונה מהנקודה הגאומטרית יש לו גודל ממשי, וכן ממד. בפרדוקסים אלה נגעו היוונים בסוגיית עצמאות המתמטיקה אל מול תיאור המציאות והמציאות ממש, והציגו גישה מערבת, שאינה מבחינה בין מתמטיקה ובין פיזיקה. להיבטים אלה התייחסו גם אפלטון ואריסטו, אך גם הם באופן מערב.

לעומת זאת, מדעני הרנסאנס והעת החדשה המוקדמת כמו גלילאו גליליי ואייזק ניוטון אימצו את הפרדוקסליות הזאת כתכונה של הטבע וראו בנקודה עצם לגיטימי שקיים בעולם. ניוטון אף פיתח את החשבון אינפיניטסימלי המבוסס כולו על מעין נקודה – האינפיניטסימל. באותן שנים של המהפכה המדעית ניתן גם מיסוד פילוסופי רחב ומעמיק, בין היתר על ידי דקארט ושפינוזה ליחסים שבין המציאות ותיאור המציאות ועל הפער שבין הגאומטריה, הפילוסופיה של הטבע והטבע, ובמונחים עכשוויים המתמטיקה, הפיזיקה והמציאות.

בחשבון אינפיניטסימלי ניסו לעקוף את הבעיה על ידי שימוש בקטעים קטנים כרצוננו במקום נקודה, לחישוב גבולות ואינטגרלים ומאוחר יותר אף פתחו את תורת המידה כדי לטפל בקשיים שנוצרו באנליזה הממשית הבנויה על אינפיניטסימלים וגבולות.

בעקבות הצלחת החשבון האינפיניטסימלי, ניסו המתמטיקאים להעמיד את הגאומטריה על יסוד האנליזה והמספרים הממשיים – שקיומם אז נחשב לוודאי. העמדה זו, שזיהתה את הנקודה עם מספר ממשי או זוג סדור של מספרים ממשיים, תיארה צורות גאומטריות באמצעות משוואות אלגבריות. הניסוח הראשון של גישה זו סופק על ידי רנה דקארט בספרו על גאומטריה אנליטית והצגת מערכת הצירים הקרטזית.

בעקבות מחקריו של גאורג קנטור על תורת הקבוצות, הבינו המתמטיקאים שהמספרים הממשיים אינם כה ודאיים ופשוטים, שכן אפשר לממשם רק באמצעות קבוצות המכילות אינסוף איברים (אינסוף אקטואלי). לכן, ננטשה הגישה שמנסה לבסס את הגאומטריה על האנליזה.

המתמטיקאי דויד הילברט הציע בתזת האקסיומטיות שלו שהנקודה היא לא פחות ולא יותר מאשר העצם שמוגדר לקיים את אקסיומות הגאומטריה הנוגעים לעצם כזה. מאחר שהנקודה בעצם נבנית על ידי הגדרה כך שתקיים את האקסיומות, ברור שאין כעת שום פרדוקס או סתירה לוגית. למעשה, שאלת האמיתות של קיום הנקודה, כפי שהוגדרה על ידי הילברט, הופכת לחסרת משמעות. ברם, הנקודה של הילברט איננה הנקודה הממשית שאנו מתייחסים אליה ומדברים עליה (אף על פי שההגדרות נבנו כך שיהיה דמיון רב בין השתיים). לכן, התשובה של הילברט טובה רק לגבי הנקודה שהגדיר ולא לגבי הנקודה הגאומטרית.

סוגיות אלה – של אקטואליזם מול פוטנציאליזם – עדיין נמצאות במחלוקת בין פילוסופים של המדע, הלשון והמתמטיקה.

קישורים חיצוניים



קטגוריה:גאומטריה
*