משלים (מתמטיקה)

בתורת הקבוצות, משלים של קבוצה  (באנגלית:  complement of set) הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב-. זאת ביחס לקבוצה  כלשהי שהיא "הקבוצה האוניברסלית" - קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת קבוצה של .

על-פי הגדרה זו, האיחוד של קבוצת  והמשלים של  הוא הקבוצה , ואילו החיתוך ביניהן הוא קבוצה ריקה.

הגדרה פורמלית
שמאל|ממוזער|250px|דיאגרמת ון של המשלים של  בקבוצת  הוא השטח המסומן בצבע אפור.
תהא  קבוצה, ותהא  קבוצה חלקית שלה. אז המשלים של   ב- יוגדר כך: . סימונים מקובלים נוסף למשלים הם . עם זאת, הסימון  מתנגש לעיתים עם שימושים אחרים של הסימון בקו עליון, ולכן מקובל להימנע ממנו.

דוגמה
תהא קבוצה  המכילה את כל המספרים הטבעיים .

תהא קבוצה  המכילה רק את המספרים הטבעיים הזוגיים . הקבוצה  היא המשלים של  ביחס ל- אם היא מכילה את המספרים המוכלים ב- אך לא ב-, כלומר את המספרים הטבעיים האי זוגיים .

ניתן לראות כי החיתוך של  עם  נותן קבוצה ריקה, בעוד שאיחודן יוצר את הקבוצה .

תכונות בסיסיות
, כלומר המשלים של המשלים של קבוצה הוא הקבוצה עצמה.

, כלומר, חיתוך קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה הריקה.

, כלומר, איחוד קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה האוניברסלית.

, כלומר המשלים של הקבוצה האוניברסלית הוא הקבוצה הריקה.

, כלומר המשלים של הקבוצה הריקה הוא הקבוצה האוניברסלית.

כללי דה מורגן
כללי דה מורגן קושרים את הפעולות "איחוד", "חיתוך", "משלים". בכתיב פורמלי הם מוצגים כך:

קישורים חיצוניים


קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
קטגוריה:תורת הקבוצות
קטגוריה:פעולות אונאריות