אינסוף

אינסוף (סימון: ) הוא מונח עם משמעויות שונות במתמטיקה, בפילוסופיה, בתאולוגיה ובשפת היומיום, המתייחס להיעדר גבול כמותי, מרחבי, זמני, או רעיוני.

האינסוף במתמטיקה
אין סוף במתמטיקה מתאר גודל של קבוצה (נהוג לקרא לו "עוצמה" של קבוצה) שאינה סופית. למשל קבוצת המספרים השלמים, וקבוצת המספרים הממשיים, הן בעלות עוצמות אין סופיות. הסימן המקובל עבור אינסוף הוא .

עוצמות אינסופיות
לצורך השוואה בין עוצמות של קבוצות אין סופיות, נוקטים בכלל כי שתי קבוצות אינסופיות שוות בעוצמתן אם ורק אם קיימת התאמה חד חד ערכית בין אבריהן. לא כל הקבוצות האינסופיות שוות בעוצמתן. למשל עוצמת הקבוצה של המספרים הטבעיים קטנה מעוצמת הקבוצה של המספרים הממשיים. כמו כן ייתכן שקבוצה אין סופית תהיה שוות עוצמה לתת קבוצה אמיתית שלה. תורת הקבוצות היא תחום מתמטי העוסק ביחסים בין עוצמות של קבוצות אינסופיות.

תהליכים אין סופיים
שמאל|ממוזער|250px|סימן האינסוף
ההבנה, שלכל אחד מהמספרים הטבעיים יש מספר גדול ממנו, הייתה ידועה כבר ליוונים הקדמונים (וזכתה לשם אקסיומת ארכימדס). אם נתבונן בסדרה שאיבריה הם המספרים הטבעיים, נראה כי ככל שאנו מתקדמים בסדרה, הערכים של איברי הסדרה הולכים וגדלים בצורה כזו שעבור כל מספר טבעי, החל ממקום מסוים יהיו כל איברי הסדרה גדולים ממנו. זוהי דוגמה לתהליך של שאיפה לאינסוף, אף שהאינסוף בו בא לידי ביטוי רק באמצעות מושגים סופיים. הגדרה פורמלית של תהליך הגדל לאינסוף ניתנה במאה ה-17, בעת העיסוק במושג הגבול, בתחילת יצירתו של החשבון האינפיניטסימלי. במסגרת דיון זה הנהיג המתמטיקאי האנגלי ג'ון ואליס בשנת 1655 את הסמל  למושג האינסוף. הסמל בא לידי שימוש, למשל, בביטוי מהצורה  שאותו יש לקרוא " הגבול של הסדרה  כאשר n שואף לאינסוף".  סדרה אינסופית של מספרים יכולה להתכנס למספר סופי. (ראו הרחבה בעניין זה בערך גבול). ואליס לא הסביר את הבחירה בסמל זה, אולם ייתכן כי הוא נובע מהדמיון לאות היוונית אומגה, ששימשה לתאר כמות גדולה, או לצורת רישום מסוימת של המספר 1,000 בספרות רומיות (CIƆ או CƆ).

האינסוף כגודל מוחשי
ממוזער|400px|הפיתוח העשרוני האינסופי של  השווה גם ל-1
העיסוק באינסוף כגודל מוחשי בא לידי ביטוי בפרדוקס של גלילאו, המדגים את תכונותיהן הלא אינטואיטיביות של קבוצות שמספר איבריהן אינו סופי (קבוצות אינסופיות). גלילאו הראה כי ניתן ליצור התאמה שממנה נובע כי מספרם של המספרים הטבעיים זהה למספרם של המספרים הריבועיים, אף שתוצאה זו סותרת לכאורה את העובדה הברורה, שיש מספרים טבעיים שאינם ריבועיים. מכאן הסיק גלילאו שמושגי ה"גדול", "קטן" ו"שווה" המוכרים לנו מקבוצות סופיות אינם תקפים באותה צורה עבור קבוצות אינסופיות, וניסיון לשימוש בהם מוביל לסתירה. המחשה נוספת לתכונות המפתיעות של קבוצות אינסופיות ניתנת בסיפור המלון של הילברט.

טיפול פורמלי בקבוצות אינסופיות נוצר על ידי גאורג קנטור בסוף המאה ה-19, במסגרת פיתוחה של תורת הקבוצות. מונח העוצמה נוצר במסגרת זו כדי לבטא את גודלה של קבוצה שמספר איבריה אינו סופי, כגון קבוצת המספרים הטבעיים או קבוצת המספרים הממשיים. במסגרת זו, לקבוצת המספרים הטבעיים ולקבוצת המספרים הריבועיים יש אותה עוצמה, אף על פי שאחת הקבוצות מכילה ממש את רעותה. ריכרד דדקינד הגדיר קבוצה אינסופית ככזו שהיא שוות עוצמה לקבוצה המוכלת בה ממש.

הישג גדול של קנטור היה ההוכחה שאין מקום לדבר על גודל אינסופי יחיד, אלא יש סוגים רבים של גדלים אינסופיים. העוצמה של קבוצת המספרים הממשיים, למשל, גדולה מזו של קבוצת המספרים הטבעיים. את העוצמה של המספרים הטבעיים סימן קנטור באות העברית  (קרי: אָלֶף אֶפֶס), ואת עוצמת הממשיים סימן באות .

יתרה מזו, משפט קנטור קובע שעוצמתה של קבוצת החזקה של A גדולה מעוצמתה של A, ובפרט אין עוצמה 'גדולה ביותר'. ניתן להוכיח כי קבוצת כל העוצמות היא כה גדולה עד כי לא ניתן לדבר על העוצמה שלה עצמה (כלומר, על פי תורת הקבוצות האקסיומטית, אוסף העוצמות גדול מכדי להיות קבוצה, והוא נחשב למחלקה). לקבוצת כל העוצמות (ולקבוצות השקולות לה), שלא ניתן לטפל בהן במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, קרא קנטור "האינסוף המוחלט".

 פעולות באינסוף 
יש כמה דרכים שבהן ניתן לצרף את הסמל  למערכות מספרים מוכרות. בכל אחת מדרכים אלה מקבלות פעולות מסוימות משמעות, ובאותה עת מאבדים כמה מן התכונות המקוריות של המערכת. למערכות שונות הכוללות את סמל האינסוף יש שימושים שונים בהקשרים מתמטיים שונים, ולא קיימת דרך מוסכמת, "נכונה", לטפל באריתמטיקה של הסמל הזה.

דרך אחת לבצע פעולות באינסוף היא לספח לישר הממשי, בתור קבוצה סדורה, שתי נקודות חדשות:  ו- . מבחינת יחס הסדר, המוסכמה היא ש-  לכל a ממשי; הקבוצה נשארת סדורה ליניארית. פעולת החיבור מוגדרת על-פי הכללים  ו-  לכל a ממשי, וכך מוגדרות כל האפשרויות לחבר שני איברים של הקבוצה החדשה, למעט , ביטוי שאינו מוגדר. אפשר להרחיב את הגדרת הכפל באופן דומה, כאשר הביטוי  נשאר לא מוגדר. פעולת החילוק מקיימת את הכלל  לכל a ממשי, וגם כאן, הביטוי  אינו מוגדר. הקבוצה החדשה אינה שדה (משום שהפעולות אינן מוגדרות שם באופן מלא). לכך שביטויים מסוימים נשארים בלתי מוגדרים יש סיבה: אם נקבע למשל ש- , נצטרך לקבל גם את השוויון המופרך , או לוותר על האסוציאטיביות של החיבור.

ראו גם שדה המספרים הסוריאליסטיים.

האינסוף בגאומטריה
אחת התוצאות הראשונות הנובעות מהאקסיומות של הגאומטריה היא שכל ישר מכיל אינסוף נקודות. תוצאות נוספות הן שבכל מישור נמצאים אינסוף נקודות שונות ואינסוף ישרים שונים, וכן ישנם אינסוף מישורים שונים. עם זאת, עד סוף המאה ה-19, האינסוף כמעט ולא נדון בגאומטריה, למעט בהקשר של תהליכים שניתן להמשיך ללא כל הגבלה. למשל, קו היה מה שנקרא כיום קטע קו, בתנאי שאפשר להרחיב אותו עד כמה שרוצים; אבל הרחבתו "עד אינסוף" לא באה בחשבון. באופן דומה, קו בדרך כלל לא נחשב כמורכב מאין סוף נקודות, אלא כמיקום שבו ניתן למקם נקודה. גם אם יש אינסוף מיקומים אפשריים, רק מספר סופי של נקודות יכול להיות ממוקם על קו.
שמאל|ממוזער|213x213 פיקסלים|על ידי הטלה סטריוגרפית, ניתן "לעטוף" את המישור המורכב על כדור, כאשר הנקודה העליונה של הכדור מתאימה לאינסוף. כדור זה נקרא הספירה של רימן.
אחד היוצאים מן הכלל הנדירים של מושג מתמטי הכולל אינסוף ממשי היה גאומטריה פרויקטיבית, שבה מוסיפים נקודה שבה נחתכים כל הישרים, זוהי נקודת האינסוף.

ניתן לראות את המישור המרוכב ככדור, המכונה הספירה של רימן, המכיל את כל איברי המישור בתוספת נקודה אחת, בקוטב הצפוני של הכדור - האינסוף. זוהי דוגמה למצב שבו האינסוף הוא נקודה לכל דבר במרחב, והיא מאפשרת טיפול נוח בפונקציות שמקבלות ערכים אינסופיים.

במתמטיקה המודרנית, לאחר השימוש בתורת הקבוצות ליסודות המתמטיקה, מקובל לדבר על קווים כ"קבוצות אינסופיות" של נקודות.

האינסוף בפיזיקה
ממוזער|250px|השתקפות אינסופית של דמות בין שתי מראות

באלקטרודינמיקה קוונטית
באלקטרודינמיקה קוונטית ובתורת השדות הקוונטית, שני ענפים של תורת הקוונטים שהיא נושא מרכזי בפיזיקה המודרנית, עלתה בעיה של משוואות המציגות מציאות פיזיקלית ותוצאתן אינסוף. הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן הציע פתרון לבעיה זו, הקרוי רנורמליזציה.

בקוסמולוגיה
התגלית לפיה היקום מתפשט העלתה בהכרח את השאלה האם התפשטות היקום היא תהליך שיימשך עד אינסוף או שתהליך זה ייעצר בשלב כלשהו. שאלה זו היא שאלת מפתח בקוסמולוגיה.

סינגולריות כבידתית, הנקראת בקיצור סינגולריות וגם ייחודיות, היא נקודה במרחב בה צפיפות החומר אינסופית. תורת היחסות הכללית מאפשרת את קיומן של נקודות סינגולריות, וצופה בהן עיקום אינסופי של המרחב-זמן. מודל המפץ הגדול של היקום מכיל נקודה סינגולרית בתחילתו של הזמן. בסינגולריות המפץ הגדול, המודל חוזה שצפיפות החומר ועיקום המרחב-זמן יהיו אינסופיים. במודלים קוסמולוגיים מסוימים קיימת נקודה סינגולרית נוספת של היקום, הקרויה הקריסה הגדולה, והיא מציינת את קץ הזמן ביקום.

משפט מתמטי קובע כי סינגולריות קיימת בהכרח בכל חור שחור.

האינסוף באמנות
ממוזער|250px|אפקט דרוסטה: צלחת אוכל אינסופית.

הצייר מאוריץ קורנליס אשר הרבה לחקור את מושג האינסוף ביצירותיו. רבות מיצירותיו מציגות דמויות ההולכות וקטנות לאינסוף. דוגמה מובהקת לכך היא הציור "גבול מעגל 4 - שמים וגיהנום" משנת 1960.

בטכניקת מיז-אנ-אבּים (בצרפתית: Mise en abyme) סיפור נמצא בסיפור או תמונה נמצאת בתמונה בין שיהיה אינסוף ליניארי כמו באפקט דרוסטה ובין שיהיה מחזורי (סיפור אחרון מתחבר לסיפור ראשון).
אפקט דומה מתקבל בצילום בהצבת מראה מול מראה.

האינסוף בפילוסופיה

הרעיון המוקדם ביותר שתועד על האינסוף ביוון הוא ככל הנראה הרעיון של הפילוסוף היווני הפרה-סוקרטי, אנכסימנדר (בערך 610 - 546 לפנה"ס לערך). הוא השתמש במילה apeiron, שפירושה "בלתי מוגבל", "אינסופי", ואולי ניתן לתרגם כ"אינסופי". 

אריסטו (350 לפנה"ס) הבחין בין "האינסוף הפוטנציאלי" לבין "האינסוף הממשי (אקטואלי)", שאותו הוא ראה כבלתי אפשרי בשל הפרדוקסים השונים שנראה שהוא מייצר.  אריסטו כתב:

רעיונותיו של אריסטו נוסחו ביתר פירוט בימי הביניים, למשל על ידי הפילוסוף בן המאה ה-14 ויליאם איש אוקאם.

הפרדוקסים המפורסמים של זנון מאלאה (c. 495 – 430 c. לפני הספירה), במיוחד "אכילס והצב", היו תרומות חשובות לדיון הפילוסופי בכך שהבהירו את הפערים בהבנת האדם את מושג האינסוף.  טיעוניו של זנון עוסקים בפרדוקסליות של התנועה ושל הזמן כאשר מחלקים גודל סופי נתון לחלקים רבים והולכים לבלי גבול. פתרון לפרדוקסים אלה נמצא רק בביסוס התאורטי של מושג האינסוף במתמטיקה, החל מהמאה ה-17. הפרדוקסים הללו תוארו על ידי הפילוסוף הבריטי ברטרנד ראסל כ"עדינים ועמוקים לאין שיעור". 

האינסוף בתאולוגיה

ביהדות

בתורת הסוד היהודית, מכונה התגלות האל הראשונית והעילאית ביותר כ"אור אין סוף". האור שמגיע מהאינסוף. המקובלים כינו את ההתגלות האלוהית בשם אור, מכיוון שהאור מתייחד בתכונות רבות שיכולות להוות דוגמה ומשל ביחס להתגלות האלוהות - להלן חלק מהתכונות: 1. האור מחובר למקורו. 2. האור הוא "מעין המאור" כלומר דומה בתכונותיו למאור. (לדוגמה אור השמש הוא בהיר כמו גוף כדור השמש) 3. האור מאיר באופן פסיבי ממקורו ואין לו מציאות כשלעצמו. (הוא אינו "מחליט" האם להאיר או לא). כך גם האור האלוהי - 1. מחובר למקורו = עצם האלוה.
2. האור האלוהי ש"מאיר" בעולם הוא כמו השתקפות של המקור - האל. 3. האור אינו אלוהים נפרד אלא התפשטות "אוטומטית" של האלוהים. ביטוי רווח בספרות הקבלה לגבי "אור אין סוף" הוא "לית מחשבה תפיסא ביה" = אין מחשבה נתפסת בו. כלומר בלתי ניתן "לתפוס" בחוש כלשהו את האור מכיוון שהוא למעלה מחושי האדם, ובכל זאת הוא מתגלה אצל בני האדם
על אף ש"כליהם" מצומצמים והבנתם יחסית ומוגבלת. נושא זה נחקר רבות בחסידותראה לדוגמה ספר התניא פרק נ"א ועוד ובקבלה.

 אינסוף בפסיכולוגיה 

ממוזער 
השימוש בסמל האינסוף בפסיכולוגיה מהווה ייצוג לאוטיזם. הסמל, שהחל לשמש ביוני 2004, נבחר כתגובה להקשרים השליליים הקשורים לסמל הפאזל, אשר ארגוני הורים נוהגים להשתמש בו. רוב חברי הקהילה האוטיסטית תופסים את סמל הפאזל כהתייחסות מעליבה, המצביעה על כך שאוטיסטים עשויים להיראות כחידה.

ראו גם
 רציפות (פילוסופיה)
 עוצמת הרצף

 אד אינפיניטום

לקריאה נוספת
 מריוס כהן, "פרדוקסים של האינסוף - חלק א'", גליליאו 112, דצמבר 2007
 מריוס כהן, "פרדוקסים של האינסוף - חלק ב'", גליליאו 113, ינואר 2008
 חיים שפירא, אינסוף - המסע שאינו נגמר, כנרת וזמורה ביתן, 2010

 קישורים חיצוניים 







  - פרדוקס המלון האין סופי, סרטון הסבר באנגלית עם כתוביות בעברית


הערות שוליים 

*
קטגוריה:מושגים במתמטיקה
קטגוריה:מטאפיזיקה
קטגוריה:תורת ההכרה
קטגוריה:אובייקטים מתמטיים