גוטלוב פרגה

פרידריך לודוויג גוֹטְלוֹבּ פְרֶגֶה (בגרמנית: Friedrich Ludwig Gottlob Frege; 8 בנובמבר 1848 – 26 ביולי 1925) היה מתמטיקאי, לוגיקן ופילוסוף גרמני, נחשב כאב המייסד של הלוגיקה המודרנית ושל הפילוסופיה האנליטית.

חייו של פרגה

פרגה נולד בוויסמר. ב-1869 החל ללמוד באוניברסיטת יינה, ולאחר שנתיים עבר לאוניברסיטת גטינגן, שם קיבל ב-1873 תואר דוקטור. לאחר ששב לינה ב-1879, החל להרצות במתמטיקה, וב-1896 הפך לפרופסור למתמטיקה.

לאחר המהפכה הגרמנית הפכו דעותיו הפוליטיות של פרגה לרדיקליות, וביומנו מהשנה האחרונה לחייו הביע התנגדות לדמוקרטיה, לליברלים, לקתולים, לצרפתים וליהודים. לדעתו ראוי היה לשלול מהיהודים זכויות פוליטיות, ועדיף לגרשם מגרמניה.

הוא מת בבד קליינן ב-1925.

הפילוסופיה של פרגה
פרגה נחשב כלוגיקן הגדול ביותר מאז אריסטו. פרגה היה הראשון שהציג אקסיומטיזציה שלמה של הלוגיקה של תחשיב הפסוקים ושל תחשיב הפרדיקטים מסדר ראשון. תחשיב הפרדיקטים עצמו היה המצאתו של פרגה. הכימות (קוונטיפקציה) ההכרחי להבעת טענות מתמטיות. עבודתו לא הוכרה כמעט בזמנו, ורעיונותיו קיבלו תהודה בעיקר דרך אלה שהשפיע עליהם, בכך שסיפק את הבסיס לתורת התיאורים של ברטרנד ראסל, ולפרינקיפיה מתמטיקה של וייטהד וראסל. לודוויג ויטגנשטיין ואדמונד הוסרל גם הם הושפעו רבות מפרגה. כמו כן נחשב פרגה למחולל התקופה המודרנית בפילוסופיה של הלשון.

הלוגיקה של פרגה
"כתב מושגים", ספרו המהפכני של פרגה מ-1879, סימן את תחילתה של תקופה חדשה בהיסטוריה של הלוגיקה בכך שהחליף את הלוגיקה המושגית שמשלה בכיפה מאז אריסטו. בספר זה הציע פרגה לראשונה אקסיומטיזציה של תחשיב הפסוקים ושל תחשיב הפרדיקטים, המנתח את מבנה הטענה היסודית כבעלת שני חלקים בלבד: פרדיקט ואובייקט, החוברים זה לזה כפי שפונקציה חלה על משתנים. שיטת התיווי הלוגי של פרגה לא התקבלה, גם כאשר רעיונותיו נתקבלו במסורת. למשל, את המשפט "דני הוא חכם", ניתן להצרין בעקבות פרגה כך:

כאשר F מציין את הפרדיקט חכם, ו-a מציין את שמו של האובייקט, דני. שיטתו של פרגה מאפשרת גם להביע יחסים בין שני אובייקטים או יותר באמצעות פרדיקטים דו-מקומיים, המקבלים שני אובייקטים. למשל כדי לומר שדני (a) הוא חבר של רני (b), תוך ציון יחס החברות באמצעות האות R, נקבל את הנוסחה הבאה:

פרגה תרם תרומה הכרחית למתמטיקה וללוגיקה באמצעות המצאת תורת הכימות (קוונטיפיקציה). הלוגיקה החדשה אינה תופסת את הכמת הלוגי כאפיון של הטענה כולה או של האוגד שלה, אלא כפונקציה מסדר גבוה יותר החלה על הפרדיקט ועל המשתנה שלו. למשל, כך מביע פרגה את צורתה של הטענה "כל דבר הוא חכם":

קובץ:Begriffsschrift Quantifier1.png וכך מסמנים פסוק זה בשיטה המודרנית 

וכך הוא מביע את הטענה "יש דבר אחד לפחות שהוא חכם":

קובץ:Begriffsschrift Quantifier3.png וכך מסמנים פסוק זה בשיטה המודרנית: 

באמצעות התחביר החדש של תחשיב הפרדיקטים, הכולל כימות, יכולים הכמתים להופיע כחלק מן המבנה הפנימי של הטענה, ובאמצעות זאת ניתן כעת לנסח טענות שיש בהן כימות מרובה של מספר משתנים בעת ובעונה אחת. טכניקות אלו מעניקות ללוגיקה החדשה כוח להביע עובדות וקשרים שאינם ניתנים להבעה באמצעים האריסטוטליים. למשל, הלוגיקה המודרנית הצליחה לראשונה לתת תיאור מדויק של מושג האינסוף, שהוביל מאז ימי האסכולה האלאטית לפרדוקסים, ולמושג הגבול באנליזה המתמטית של פונקציות, שכן לשם הבעת מושגים אלו יש צורך בטענה מרובת כמתים מן הצורה "לכל ε קיים δ כך ש...". דוגמה פשוטה יחסית לאופן שבו נעשה שימוש כזה בכמתים היא ההצרנה של הטענה "לכל אחד יש חבר", כאשר נציין את היחס בין חברים שוב כפרדיקט דו-מקומי, R:

פילוסופיה של הלוגיקה ושל המתמטיקה
פרגה היה התומך המשמעותי הראשון של לוגיציזם – העמדה שניתן לצמצם את המתמטיקה כולה ללוגיקה. פרגה אף ניסה להוכיח כי חוקי האריתמטיקה, ומושג המספר עצמו, ניתנים לפיתוח מתוך אקסיומות שפרגה תפס כלוגיות במובהק. לאחר שפורסם הכרך הראשון של ספרו השלישי של פרגה, "חוקי היסוד של האריתמטיקה", גילה ברטראנד ראסל את הפרדוקס של ראסל, והצליח להראות שהאקסיומות של פרגה, ובמיוחד אקסיומה מספר חמש, מובילות לַפרדוקס (מן האקסיומה החמישית נובע כי עבור כל מושג, יש אובייקט המהווה את האקסטנציה של מושג). הוא כתב על כך לפרגה, שהוסיף נספח לכרך השני של הספר שבו הוא מודה כי אין לו פתרון מספק לבעיה, והוא לא הצליח לתקן את עבודתו על מנת למנוע את הפרדוקס. בפרסומים מאוחרים יותר של ראסל ושל ג'ון פון נוימן מוצע פתרון לבעיה באמצעות תורת הטיפוסים (theory of types).

בפילוסופיה של הלוגיקה, פרגה מציג את שלושת העקרונות היסודיים שלו בהקדמה לספרו, "יסודות האריתמטיקה". העיקרון הראשון מציג את התנגדותו של פרגה לפסיכולוגיזם, דהיינו לעירוב שיקולים פסיכולוגיים בניתוח הרעיונות הלוגיים היסודיים. הוא סבר כי חוקי הלוגיקה אינם רק חוקי המחשבה, אלא חוקי האמת, ושיש לתכנים לוגיים קיום אובייקטיבי, ולא סובייקטיבי ותלוי במבנה האמפירי של המוח האנושי. מבחינה זו, פרגה היה ריאליסט בנוגע לישויות אידיאליות, כולל הישויות המתמטיות הבסיסיות ביותר – המספרים. העיקרון השני הוא עקרון הקונטקסט (הרלוונטי גם בפילוסופיה של הלשון) – לפיו מילה מקבלת את משמעותה רק בקונטקסט של השיפוט שהיא משמשת כחלק ממנו. העיקרון השלישי מציג את ההבחנה בין מושג לבין מושא. על פי פרגה, מושגים הם פונקציות, המקבלות את משמעותן רק כאשר ניתן להן אובייקט כערך שלהן. כשלעצמו, המושג הוא בלתי רווי (unsaturated או ungesätigt), ורק כשהוא מתחבר לשם או לשם של משתנה, הוא מקבל משמעות. כך פותר פרגה את בעיית אחדות הטענה שהטרידה אחר כך את ראסל, ומציע, באופן מובלע, תורת טיפוסים פרימיטיבית: מושגים (מסדר ראשון) חלים על אובייקטים בלבד, משום שרק באמצעותם הם נהיים רוויים במשמעות. אולם מכאן עולות גם כמה מסקנות פרדוקסליות. מכיוון שרק בצירוף לשם או למשתנה יש למושג משמעות, המושג אינו יכול להופיע כנושא במשפט. מכאן יוצא, כי אין אפשרות לומר "המושג סוס הוא מושג", משום שכאן המושג סוס מופיע כאובייקט, ולא כמושג. פרגה נאלץ לפיכך לטעון: "המושג סוס אינו מושג", ומכאן נובע (אם כי פרגה אינו אומר זאת מפורשות): "המושג מושג אינו מושג". הטענה הפרדוקסלית חושפת כיצד שלושת העקרונות של פרגה קשורים זה לזה. לאור עקרון הקונטקסט, פרגה אינו מוכן לקבל שלפרדיקט יש משמעות במנותק מן המסגרת הטענתית בה הוא מופיע, ובה הוא רווי בזכות קישורו לאובייקט. לאור התנגדותו לפסיכולוגיזם, פרגה שולל את ההתייחסות אל המושג כאובייקט וסבור שהתייחסות כזו נובעת מתפיסת המושג כתוכן מנטלי אינרטי, ולא כפונקציה. עם זאת יש לפרגה דרכים לטפל במושגים במסגרת לוגיקה מסדר שני. דרך אחת היא על ידי ציון האקסטנציה של המושגים (ranges of values או Wertverläufe), דהיינו הקבוצה של האובייקטים שעבורם המושג מעניק ערך אמיתי. קבוצה זו נתפשת כמושא, והיא יכולה להופיע, למשל, בטענות שוויון מספרי. טענות כגון אלו, המכריזות על שוויון מספרי בין האקסטנציות של מושגים שונים הן מהותיות עבור ההגדרה הלוגית של מושג המספר שפרגה ניסח.

למרות כל זה, ולמרות השבח שחלק לו ראסל, נותר פרגה דמות לא ידועה בחייו. אלמלא השפיע כל כך על לודוויג ויטגנשטיין – ששתי יצירותיו המרכזיות, ה"טרקטטוס" ו"חקירות פילוסופיות", עסקו בנושאים שפרגה דן בהם – ייתכן כי לא הייתה מתגלה חשיבותו העצומה כפילוסוף.

פילוסופיה של הלשון
נקודת המוצא לדיון המודרני בשפה היא עבודתו של פרגה. בספרו "כתב מושגים" הציג פרגה את השאיפה לשחרר את הפילוסופיה מהבלבול שמקורו בחוסר הדיוק המאפיין את השפה הטבעית. השאיפה של פרגה, שירש אותה מלייבניץ, הייתה ליצור שפה מדעית מושלמת שאין בה חוסר בהירות, ואפשר לבצע בה ניתוח לוגי של כל מושג ומשפט, ולהראות כיצד הוא קשור ביחסי היסק עם כל משפט אחר בשפה. במאמרו "על מובן והוראה" מ-1892 ניסח פרגה תורת משמעות חדשה עבור השפה הטבעית, שבבסיסה מספר עקרונות חדשים ליחס שבין מילים למושגים ולדברים שהן מציינות.

עקרון ההקשר, מובן והוראה

על פי עקרון ההקשר (עקרון הקונטקסט) של פרגה, לא ניתן להבין מילים אלא במסגרת הקשר של משפט שלם. פרגה תופס את המשפט כמורכב מפונקציה – הפרדיקט או הנשוא – שפועלת על אובייקטים – המיוצגים על ידי הנושא – ומחזירה ערכי אמת, דהיינו אמת או שקר. ערך האמת של משפט יסודי נקבע על ידי היחסים הלוגיים בין המושגים והאובייקטים (למשל, "הילד הוא קירח" הוא אמיתי כאשר האובייקט, הילד, שייך לקבוצת הקרחים, ושקרי אם לא), או, כאשר מדובר במשפט מורכב הכולל קשרים לוגיים, ערך האמת של המשפט הראשי נקבע על ידי היחסים בין ערכי האמת של המשפטים היסודיים (למשל: שני משפטים יסודיים המחוברים על ידי הקוניונקציה – "וגם" – ייתנו ערך אמת חיובי רק אם כל אחד מהם נותן ערך אמת חיובי בפני עצמו – "אחד ועוד אחד הם שתיים וגם השמש זורחת במזרח").

עבור ניתוחם של משפטים מן השפה המדעית, כלומר מתוך שפה מלאכותית שהוגדרה מראש כך שכל שם הוא חד-משמעי, ויש אובייקט שהוא מציין, וכל פרדיקט הוא מוגדר היטב, דהיינו אין עמימות בנוגע לגבולות הקבוצה של העצמים המשויכים אליו – אין לפרגה בעיה לקבוע את התנאים בהם למונח ישנה הוראה. אולם כאשר הוא ניגש לטפל בשפה הטבעית, אף שגם כאן הוא סבר בכל מקרה כי על מנת לתת דין וחשבון מספק לשפה עלינו לעסוק ברובד האובייקטיבי שלה בלבד, הוא נוכח שדרושים קריטריונים נוספים, מלבד ההוראה, על מנת להבין את השימוש שאנו עושים בה. כאן פרגה הבחין בין שני אופנים שבהם ביטוי לשוני תורם ל"משמעות" של ביטוי: מובן והוראה. בעבור ביטוי כמו שם, המובן הוא התוכן המחשבתי – המושג – המקושר אליו, וההוראה היא הדבר החיצוני שאליו השם מצביע (ההוראה מכונה גם דנוטציה או אקסטנציה). כך למשל המובן של המילה "חד-קרן" היא המושג או אוסף המושגים והתכונות המקושרות עם החד-קרן, אך למילה עצמה ייתכן שאין הוראה, שכן הקבוצה בעולם שהמילים מתייחסות אליה היא הקבוצה הריקה. ברמת המשפט, המובן הוא המחשבה השלמה, המבטאת את התנאים שבהם נאמר שהמחשבה היא אמיתית, אולם מהי הוראת המשפט?

את הצורך המקורי בהבדלה בין מובן והוראה פרגה מציג כתגובה לחידה בנוגע לזהות – כיצד ניתן להבחין בין המשפטים "א' הוא א'" ו-"א' הוא ב'", במקרה ששני המשפטים אמיתיים? שהרי אם הם אמיתיים, אנו רשאים על פי כללי הלוגיקה להחליף את א' ב-ב' הזהה לו, בכל מקום. מדוע אם כן יש אנשים השואלים את עצמם, למשל, האם כוכב השחר הוא כוכב הערב, שהרי אם הם זהים הרי שאנשים אלו שואלים את עצמם האם כוכב השחר הוא כוכב השחר, וזה מובן מאליו? נהוג לומר כי המשפט הראשון הוא אנליטי, ושהוא נכון תמיד עקב המבנה הלוגי שלו, ומסבירים את אמיתותו של המשפט השני בכך שא' וב' הן מילים נרדפות. אולם פרגה מעוניין לתת הסבר חד יותר לתופעה.

מכיוון שבלוגיקה של פרגה כל ביטוי בעל משמעות תורם לקביעת ערך האמת של המשפט בו הוא מופיע, ומכיוון שההחלפה בין שני ביטויים בעלי הוראה זהה, א' וב', באותו משפט, אינה משנה את ערך האמת של המשפט, הרי שזו ההוראה של המשפט שבה אנו מעוניינים כשאנו מעוניינים בערך האמת. מכאן גוזר פרגה שמה שמבדיל בין משפטים כאלו, ומאפשר לנו בכל זאת למצוא ערך בגילוי כי "כוכב השחר הוא כוכב הערב", למשל, אינו השוני בהוראה של הביטויים ושל המשפט עצמו, אלא המובן שלהם, קרי התוכן המחשבתי שהם מביעים, או האופן שבו הם מציגים את האובייקט. הערך הקוגניטיבי שבטענות זהות הוא, לפיכך, הלמידה כי שני אופני הצגה של אותו אובייקט הם זהים מבחינת ההוראה שלהם. לעומת זאת, ההוראה של המשפט אינה אלא ערך האמת שלו, ומכאן שהוראתו של כל משפט אמיתי היא זהה, אף כי הם שונים במובניהם.

עולם שלישי
כאמור, פרגה סבר כי על הפילוסוף לעסוק אך ורק במאפיינים האובייקטיביים של השפה, ואת המובן וההוראה, המחשבה וערך האמת החשיב כתכונות אובייקטיביות כאלו. משפטים בעלי מובן שונה הם שונים מבחינה אובייקטיבית, ולא רק מבחינה סובייקטיבית. אולם כיצד מעוגן התוכן האובייקטיבי של אלו? שיקולים כאלו הובילו את פרגה להציע את קיומו של עולם שלישי של ישים, שאליו שייכים התכנים האובייקטיביים – המחשבות והמובנים – המשותפים לבני אדם שונים. זרמים שונים בפילוסופיה האנליטית נחלקים אם הם מוכנים לקבל ריאליזם בנוגע לקיומו של עולם שלישי שכזה, כמתחייב מן האובייקטיביות של השפה, או מתנגדים לכך.

ביבליוגרפיה

 Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (Halle a. S.: Louis Nebert, 1879).
 Concept Notation: A formula language of pure thought, modelled upon that of arithmetic (English by S. Bauer Mengelberg), in: J. van Heijenoort, From Frege to Gödel: A Sourcebook in Mathematical Logic, 1879–1931 (Cambridge, MA: Harvard University Press).
 כתב מושגים (ירושלים: הוצאת שלם, בתרגום גלעד ברעלי, 2004).

 Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl (Breslau: w. Koebner, 1884).
 The Foundations of Arithmetic: A Logic-Mathematical Enquiry into the Concept of Number (Oxford: Blackwell, English by J. L. Austin, second revised edition, 1974).
 Grundgesetze der Arithmetik (Jena: Verlag Herman Pohle, Band I/II, 1893/1903).
 The Basic Laws of Arithmetic, (Berkeley: U. California Press, English by M. Furth, Volumes I/II, 1964).
 Über Sinn und Bedeutung, in: Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, NF 100 (1892), SS. 25–50.
 On Sense and Reference, in: Peter Geach and Max Black (eds. and trans.), Translations from the Philosophical Writings of Gottlob Frege (Blackwell, 1st ed. 1952, 3rd ed. 1980).
 על מובן והוראה (בתרגום שושנה שוורץ וגלעד ברעלי), בתוך: עיון, כרך ל"ג, חוברת 3 (1984), עמ' 364–382.

 Über Begriff und Gegenstand, in: Vierteljahresschrift für wissenschaftliche Philosophie, 16 (1892), SS. 192–205.
 On Concept and Object in: Peter Geach and Max Black (eds. and trans.), Translations from the Philosophical Writings of Gottlob Frege (Blackwell, 1st ed. 1952, 3rd ed. 1980).
 מושג ואובייקט (בתרגום א.י. פוזננסקי), בתוך: א. צבי בראון (עורך), מפרמנידס עד הוגי ימינו: מקראה באונטולוגיה (ירושלים: הוצאת מאגנס, 1976), כרך ב', עמ' 513–523.

 Die Gedanke: Eine logische Untersuchung, in: Beiträge zur Philosophie des deutschen Idealismus, 1 (1918), SS. 58-77.
 המחשבה: חקירה לוגית (בתרגום א. צבי בראון), בתוך: עיון, כרך ל"ג, חוברת 3 (1984), עמ' 383–402.

לקריאה נוספת
 גלעד ברעלי, אבות הפילוסופיה האנליטית, כרך א', 'פרגה: לוגיקה, משמעות, אודותיות'. גרעי"ן הוצאה עצמית, ירושלים 2009.
 Diamond, Cora, 1991. The Realistic Spirit. MIT Press.
 Dummett, M., 1973, Frege: Philosophy of Language, London: Duckworth
 Dummett, M., 1991, Frege: Philosophy of Mathematics, Cambridge: Harvard University Press.

קישורים חיצוניים


 גוטלוב פרגה, באנציקלופדיה האינטרנטית לפילוסופיה 





הערות שוליים

קטגוריה:לוגיקנים גרמנים
קטגוריה:מתמטיקאים גרמנים
קטגוריה:פילוסופים גרמנים
קטגוריה:פילוסופים של הלשון
קטגוריה:פילוסופים של המתמטיקה
קטגוריה:סגל אוניברסיטת פרידריך שילר בינה
קטגוריה:בעלי תואר דוקטור מאוניברסיטת גטינגן
קטגוריה:מתמטיקאים שעל שמם כוכב לכת מינורי
קטגוריה:גרמנים שנולדו ב-1848
קטגוריה:גרמנים שנפטרו ב-1925