Matriz compañeira

En álxebra lineal, a matriz compañeira de Frobenius do polinomio mónico 

é a matriz cadrada definida como

Algúns autores utilizan a transposta  desta matriz,  o cal é máis conveniente para algúns propósitos como as relacións lineais de recorrencia (ver abaixo).

 defínese a partir dos coeficientes de , mentres que o polinomio característico, así como o polinomio mínimo  de , son iguais a . Neste sentido, a matriz  e o polinomio  son "compañeiros".

Calquera matriz  con entradas nun corpo commutativo  ten polinomio característico  , o cal á súa vez ten  como matriz compañeira . Estas matrices están relacionadas como segue.

As afirmacións seguintes son equivalentes:

 A matriz    é similar sobre F a , i.e. A pode ser conxugada á matriz compañeira por matrices de ;
 O polinomio característico  e o polinomio mínimo de A coinciden, i.e. o  polinomio mínimo ten grao n;
 a aplicación linear  fai de   un -módulo cíclico, que ten unha base da forma ; ou equivalentemente,  como -módulos.

Se o de enriba ocorre, dise que  é non-derogatoria.

Non toda matriz cadrada é similar a unha matriz compañeira, mais cada matriz cadrada é similar a unha  matriz diagonal por bloques feita de matrices compañeiras. Se tamén pedimos que o polinomio de cada bloque diagonal divida ao seguinte, entón están  determinados unicamente por , e isto dá a forma canónica racional de A.

 Sucesións recorrentes lineais 
Unha sucesión recorrente lineal definida por  , ,

ten o  polinomio característico,

cuxa matriz compañeira  transposta    xera a secuencia:

O vector   é un autovector desta matriz, onde o autovalor  é unha raíz de . Poñer os valores iniciais da sucesión iguais a este vector produce a sucesión xeométrica  que satisfai a recurrencia. No caso de   autovalores distintos, unha solución arbitraria  pódese escribir como combinación lineal de tales solucións xeométricas, e os autovalores de norma complexa máis grande dan unha aproximación asintótica.

 Notas 

Categoría:Matrices