Espazo regular

+Axiomas de separación  en espazos topolóxicosT0T1T2T2½completamente T2T3T3½T4T5T6
En matemáticas, e máis concretamente en topoloxía xeral, dise que un espazo topolóxico X é un espazo regular cando é posible separar todo conxunto cerrado de calquera dos seus puntos exteriores, no sentido de que pertencen a veciñanzas separadas.

A condición de regular, que se denota por T3, é un dos denominados axiomas de separación. En ocasións resérvase a denominación T3 para os espazos de Hausdorff regulares, é dicir, que ademais son espazos de Hausdorff.

 Definición 
dereita|miniatura|250x250px|O punto x e o conxunto cerrado F (representado polo disco sólido da dereita) están separados polas súas respectivas contornas abertas U e V, que non se intersecan. As contornas abertas son os espazo interiores a cada circunferencia.
Un espazo topolóxico X é un espazo regular cando para cada conxunto cerrado F de X  e cada punto x que non pertence a F, existen dúas contornas abertas, U de x e V de F, que son disxuntas: .

 Proposición 
Consideremos un espazo topolóxico (X, T) . Entón os seguintes enunciados son equivalentes:

 X é un espazo regular.
 Se U é un aberto de X e t ∈ U, entón existe un aberto W de X tal que t ∈ W e a adherencia de W está contida en U
 Calquera punto de X ten un sistema fundamental de veciñanzas cerradas.

 Aclaración e definición 
En xeral a un espazo topolóxico regular e  denomínaselle  

Fica claro que se X é un espazo T1 e regular entón é  de Hausdorff (xa que nos espazos T1 os conxuntos unipuntuais son conxuntos cerrados). Con todo, hai exemplos de espazos Hausdorff non regulares. Para o caso de espazos compactos, "ser Hausdorff" e "ser regular" son propiedades equivalentes.

Unha caracterización dos espazos regulares (non se necesita que os puntos sexan cerrados) está dada pola seguinte proposición: un espazo X é regular se e só se para todo  e U contorna de z existe unha contorna V de z tal que .

 Exemplos 

 O espazo topolóxico ℝ coa topología usual é un espazo regular.
 Sexa S un conxunto provisto de topoloxía trivial. Entón S é un espazo regular
 Sexa o conxunto ℝ e a topología sobre el, T = {∅, ℚ, ℝ\ℚ, ℝ}, entón (ℝ, T) é un espazo regular, pero non é un espazo de Hausdorff
 O espazo de Sierpinski non é T3.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 



 Outros artigos 
 Axiomas de separación
 Espazo de Kolmogórov (T0)
 Espazo de Fréchet (T1)
 Espazo de Hausdorff (T2)
 Espazo completamente de Hausdorff
 Espazo de Tíjonov (T3½)
 Espazo normal

Categoría:Topoloxía