Difeomorfismo

En matemáticas, un difeomorfismo é un isomorfismo na categoría habitual de variedades diferenciable: é unha bixección diferenciable dunha variedade a outra, cuxa bixección recíproca tamén é diferenciable.
miniatura|Imaxe dunha malla cadrada mediante un difeomorfismo do cadrado en si mesmo.

 Difeomorfismo entre conxuntos abertos de ℝ n 
Sexan:

 E e F dous espazos vectoriais normados reais de dimensión finita ;
 U un conxunto aberto de E, V un aberto de F ;
 f unha aplicación de U en V.

Dicimos que f é un difeomorfismo se se verifican as seguintes tres propiedades :

 f é bixectiva ;
 f é diferenciable en U ;
 a súa inversa é diferenciable en V.

Para 1 ≤ k ≤ ∞, un difeomorfismo C k  é unha aplicación de clase Ck
, bixectiva, e cuxa función inversa tamén é de clase C k .

 Difeomorfismo entre variedades 
Do mesmo xeito que entre conxuntos abertos de ℝ n ,

 Un difeomorfismo entre dúas variedades é unha bixección bi-diferenciable,
 Un difeomorfismo C k é un difeomorfismo que é da clase , así como o seu inverso,
 Dúas variedades difeomorfas teñen necesariamente a mesma dimensión.

 Difeomorfismo local 

 Definición 
Un difeomorfismo local é unha aplicación f: M → N dunha variedade noutra tal que para calquera punto m de M, existe unha veciñanza aberta U de m en M tal que f (U) é un aberto en N e a restrición de f, de U en f ( U ), é un difeomorfismo.

Se f : M → N é un difeomorfismo local, entón, para calquera punto m de M, a aplicación lineal Tmf: Tm M → Tf (m)N (diferencial de f no punto m ) é un isomorfismo (isto implica que M e N teñen a mesma dimensión, e entón equivale, en coordenadas locais, a dicir que o xacobiano de f en m é distinto de cero, ou de novo, que as partes lineares das aproximacións afíns das diferentes compoñentes de f son linealmente independentes. Segundo o Teorema da función inversa, o contrario é certo en canto f é de clase .

 Pasando do local ao global 
Un difeomorfismo local é un difeomorfismo (global) se e só se é bixectivo. No caso de funcións numéricas entre intervalos, o teorema da bixección garante que calquera difeomorfismo local C k dun intervalo real a outro é un difeomorfismo C k (global). Este resultado elemental xeneralízase a dimensións superiores  e variedades na seguinte forma :
Teorema
Se a variedade M é conexa e a variedade N é conexa e simplemente conexa, entón todo difeomorfismo local propio f: M → N é un difeomorfismo.

 Exemplos 

 Todos os intervalos reais abertos non baleiros son difeomorfosLafontaine 2010, p. 21.
 A aplicación x ↦ x³, de clase C ∞, é un homeomorfismo de ℝ a ℝ pero non é un difeomorfismo, porque a súa derivada en 0 é ceroLafontaine 2010, p. 22.

 Poñamos  A matriz xacobiana de  en todos os puntos é : .

O determinante desta matriz é cero se e só se  ou  é cero. Polo tanto, a restrición de  ao plano privado dos dous eixes é un difeomorfismo local. Pero esta restrición non é inxectiva xa que , nin sobrexectiva xa que se  entón  .

 . Temos .

 Grupo de difeomorfismos 
O grupo de difeomorfismos dunha variedade M de clase C k é o grupo de C k -difeomorfismos de M en M. Denotámolo por Diff k (M) ou Diff(M) cando k é implícito. É " groso ", no sentido de que non é localmente compacto (a non ser que M teña dimensión 0).

As compoñentes conexas deste grupo son as difeotopías da variedade (que compoñen o seu  ).

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 



Categoría:Física matemática
Categoría:Topoloxía diferencial
Categoría:Xeometría diferencial