Espazo T1

+Axiomas de separación  en espazos topolóxicosT0T1T2T2½completamente T2T3T3½T4T5T6
En topoloxía un espazo T1 ou de Fréchet é un tipo particular de espazo topolóxico.

 Definición 
Un espazo topolóxico  é  se para cada parella de elementos distintos ,  de  existe un aberto que contén a  e non a . Isto claramente implica que tamén existe un aberto que contén a  e non a , xa que tamén se verifica para a parella , . Polo tanto, tamén se adoita definir como un espazo topolóxico tal que para cada parella de elementos distintos  e  de  existe un aberto que contén a  e non a  e tamén existe un aberto que contén a  e non a  

Notar que non é necesario que estes dous abertos sexan disxuntos (se isto ocorrese para todo  e , sería un espazo de Hausdorff ou  ).

 Propiedades 
Sexa  un espazo topolóxico. Son equivalentes:

  é un espazo  .
  é un  espazo .
 Para cada  de ,  é cerrado.
 Todo conxunto dun único punto é a intersección das súas veciñanzas.
 Todo subconxunto de  é a intersección das súas contornas.
 Todo suconxunto finito de  é cerrado.
 Todo subconxunto cofinito de  é aberto.
 O ultrafiltro principal de  converxe soamente a  .
 Para cada punto  de  e todo subconxunto  de ,  é un punto límite de  se e só se é un punto de acumulación de  .

A propiedade de ser T1 é hereditaria, isto é, os subespazos dun T1 son tamén T1.

 Nota e casos 

 Sexa (ℕ, T) onde Tx = {A ⊂ ℕ; x ∈ A e ℕ - A é finito}. Entón  T é unha estrutura topolóxica sobre ℕ, chamada estrutura topolóxica cofinita que é T1 pero non T2.

 Calquera espazo T1 finito é un espazo topolóxico discreto.

 Sexa  coa topoloxía formada polos subconxuntos de  seguintes: , , , , . Non é T1 xa que  non é cerrado.

 Teorema 
Un espazo topolóxico é T1 se e só se cada punto é un conxunto cerrado.

 Exemplos 

 A topología cofinita sobre un conxunto infinito é T1 pero non T2.
 O espazo topolóxico de Sierpinski é T0 pero non é T1.Ayala y otros: "Elementos de topología general" ISBN 84-7829-006-0

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 




 Outros artigos 
 Axiomas de separación
 Espazo de Kolmogórov (T0)
 Espazo de Hausdorff (T2)
 Espazo completamente de Hausdorff
 Espazo regular (T3)
 Espazo de Tíjonov (T3½)
 Espazo normal

 Ligazóns externas 
 Propiedades dos espazos de Fréchet

Categoría:Topoloxía
Categoría:Axiomas de separación