Grupo de Galois

En matemáticas, na área da álxebra abstracta coñecida como teoría de Galois, o grupo de Galois dun certo tipo de extensión de corpos é un grupo asociado á extensión. O estudo das extensións de corpos e da súa relación cos polinomios que as xeran mediante grupos de Galois chámase teoría de Galois, na honra de Évariste Galois, quen os descubriu.

Para unha explicación máis elemental dos grupos de Galois como grupo de permutacións, véxase o artigo teoría de Galois.

 Definición 
Sexa  unha extensión do corpo  (escríbese como , lido «E sobre F»). Un automorfismo de  é un automorfismo de  que fixa  punto por punto. É dicir, un isomorfismo  tal que  para todo .

O conxunto de todos os automorfismos de  forma un grupo baixo a composición de funcións. Este grupo denótase por .

Se  é unha extensión de Galois, entón  chámase o grupo de Galois de  e represéntase por . Algúns autores tamén usan esta notación para calquera extensión ; por exemplo, .

Se  non é unha extensión de Galois, ás veces defínese o grupo de Galois como , onde  é o peche de Galois de .

 Grupo de Galois dun polinomio 
Outra definición do grupo de Galois baséase
no grupo de Galois dun polinomio irreducible
. Se existe un corpo
 tal que  se descompón
como produto de polinomios lineares distintos

sobre o corpo , entón o grupo de
Galois do polinomio  defínese como
o grupo de Galois de , onde
 é o menor corpo posible para o cal
esa factorización ten lugar.
 Estrutura dos grupos de Galois 

 Teorema fundamental da teoría de Galois 
Un dos teoremas máis importantes da teoría
de Galois é o [[teorema fundamental da teoría
de Galois]]. Este establece que, dada unha
extensión de Galois finita ,
existe unha biyección entre o conxunto de
subcorpos 
e os subgrupos .

O subcorpo  está formado polos
elementos de  que permanecen
fixos baixo a acción de , é dicir:

Ademais, se  é un subgrupo normal,
entón .
E recíprocamente, se  é unha extensión
normal de corpos, entón o subgrupo correspondente
en  é normal.

 Estrutura de reticulado 
Sexan  e  extensións
de Galois dun mesmo corpo , cos seus
respectivos grupos de Galois  e
. O corpo composto
, de grupo de Galois
,
ten unha inxección natural

que é un isomorfismo sempre que
.

 Indución finita 
Como consecuencia, pódese inducir esta estrutura
para un número finito de extensións. Se se teñen
extensións de Galois 
tales que ,
entón existe un isomorfismo

.

 Exemplos 
Nos seguintes casos,  é un corpo, e  son os corpos dos complexos, reais e racionais, respectivamente. A notación  indica a extensión de corpo obtida ao achegar un elemento  ao corpo .

 Ferramentas computacionais 

 Cardinalidade do grupo de Galois e grao da extensión 
Un dos resultados básicos para determinar o grupo de Galois dunha extensión finita é o seguinte: sexa  un polinomio, e sexa  o seu corpo de descomposición. Entón a orde do grupo de Galois
coincide co grao da extensión:

 Criterio de Eisenstein 
Unha ferramenta útil para determinar o grupo
de Galois dun polinomio é o criterio de Eisenstein.
Se un polinomio  se descompón
como produto de polinomios irreducibles
, o grupo de Galois
de  pode determinarse a partir dos
grupos de Galois de cada , pois
 contén cada un
dos .

 Grupo trivial 
 é o
grupo trivial, cun único elemento:
o automorfismo identidade.

Outro exemplo de grupo de Galois trivial
é .
Pódese demostrar que todo automorfismo de
 debe preservar a
orde dos reais, e polo tanto
é a identidade.

Consideremos o corpo .
O grupo  só
contén a identidade, pois  non é unha
extensión normal, xa que lle faltan as outras dúas
raíces cúbicas de :

,

é dicir,  non é un corpo de descomposición.

 Grupos abelianos finitos 
O grupo 
ten dous elementos: a identidade e a conxugación complexa.

 Extensións cuadráticas 
A extensión  ten grupo
de Galois 
con dous elementos: a identidade e o automorfismo
 que troca 
por . Este exemplo xeneralízase
a calquera primo .

 Produto de extensións cuadráticas 
Usando a estrutura de reticulado, se
 son primos distintos,
o grupo de Galois de

é

 Extensións ciclotómicas 
Outra clase importante de exemplos son os corpos
de descomposición dos polinomios
ciclotómicos. Estes polinomios, denotados ,
defínense como

O seu grao é , a función fi de Euler.
O corpo de descomposición sobre  é
, onde  é
unha raíz n-ésima primitiva da unidade.

Os automorfismos  do grupo de Galois
envían  para
 tal que .
Como o grao da extensión coincide co número destes
automorfismos, eles xeran o grupo de Galois.

Se , entón:

Se  é un primo , entón:

De feito, calquera grupo abeliano finito pode
realizarse como grupo de Galois dun subcorpo
dunha extensión ciclotómica, segundo o
teorema de Kronecker-Weber.

 Corpos finitos 
Outra clase de exemplos útiles con grupos abelianos
finito vén dos corpos finitos. Se
 é unha potencia dun primo, e se
 e
, entón
 é cíclico de orde
 e está xerado polo endomorfismo de Frobenius.

 Exemplo de grao 4 
A extensión 
é unha extensión de grao Pois  é un
espazo vectorial sobre  con base:
.

Ten dous automorfismos: , que troca
, e ,
que troca . Estes dous
xeradores forman un grupo de orde , o
grupo de Klein, que é todo o grupo de Galois.

Outro exemplo é o corpo de descomposición
sobre  do polinomio

Como , as raíces de
 son as raíces quinta primitivas da unidade:
.

Os automorfismos

xeran un grupo de orde . Como
 xera o grupo enteiro, o grupo de
Galois é isomorfo a .

 Grupos non abelianos finitos 
Considérase agora ,
onde  é unha raíz cúbica primitiva da unidade.
O grupo  é isomorfo a
, o grupo diedral de orde 6. De feito,
 é o corpo de descomposición de 
sobre .

 Grupo dos cuaternións 
O grupo dos cuaternións aparece como grupo de Galois
dunha extensión de . Por exemplo, o corpo

ten como grupo de Galois o grupo dos cuaternións.

 Grupo simétrico de orde prima 
Se  é un polinomio irredutible
de grao primo  con coeficientes
racionais e exactamente dúas raíces non reais,
entón o grupo de Galois de  é o
grupo simétrico completo .

Por exemplo, 
é irreducible en  polo
criterio de Eisenstein. Ao representar a súa gráfica,
vese que ten tres raíces reais, polo que quedan
dúas complexas conxugadas. Polo tanto,
.

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 


Categoría:Teoría de grupos