Números de Stirling de primeira especie

En matemáticas, especialmente en combinatoria, os números de Stirling de primeira especie xorden no estudo das permutacións.  En particular, os números de Stirling sen signo de primeira especie contan permutacións segundo o seu número de ciclos (contando os pontos fixos como ciclos de lonxitude un).

Os números   de Stirling de primeira e segunda especie poden ser entendidos como inversos un do outro,  cando son  vistos como matrices triangulares. Este artigo está dedicado especificamente aos números de Stirling de primeira especie. As identidades que vinculan as dúas clases aparecen no artigo sobre números de Stirling.

 Definicións 

 Definición por álxebra 
Os números de Stirling de primeira especie son os coeficientes   na expansión do  factorial descendente



en potencias da variable 



Por exemplo,

,

o que leva aos valores ,  , e  .

Os números de Stirling sen signo tamén poden ser definidos alxebricamente como os coeficientes do  factorial ascendente:

 .

As notacións usadas nesta páxina para os números  de Stirling non son universais, e poden entrar en conflito coas notacións noutras fontes; a notación  do corchete cadrado é tamén unha notación común para os  coeficientes Gaussianos.

 Definición por permutacións 
Posteriormente, descubriuse que os valores absolutos   destes números son iguais ao número de certos tipos de permutacións.  Estes valores absolutos, coñecidos como números de Stirling de primeira especie sen signo, denótanse a miúdo  por  ou . Poden ser definidos directamente por ser o número de permutacións de   elementos con    ciclos disxuntos.



Por exemplo, das   permutacións de tres elementos, hai unha permutación con tres ciclos (a permutación identidade, denotada  en notación dunha liña,  ou por  en notación cíclica), tres permutacións con dous ciclos (, , e  ) e dúas permutacións con un ciclo ( e ).  Así , ,  e .  Estes números pódese ver que coinciden  cos cálculos alxébricos previos para con .
miniatura|350x350px|s(4,2)=11
Para outro exemplo, a imaxe da dereita mostra que  o  grupo simétrico con 4 obxectos ten 3 permutacións da forma

  (que teñen 2 órbitas, cada unha de tamaño 2),

e 8 permutacións da forma

  (que teñen 1 órbita de tamaño 3 e 1 órbita de tamaño 1).

Estes números poden ser calculados  considerando as órbitas como clases de conxugación. Alfred Rényi observou que o  número de Stirling de primeira especie sen signo   tamén conta o número de permutacións de tamaño   con  máximos de esquerda a dereita.

 Signos 
Os signos dos números de Stirling de primeira especie con signo dependen só da paridade de : 



 Relación de recorrencia 
Os números de Stirling  de primeira especie sen signo seguen a relación de recorrencia



para , coas condicións de fronteira



para .

Séguese inmediatamente que  os números de Stirling de primeira especie con signo satisfán a recorrencia

 .

 Táboa de valores 
Abaixo móstrase unha táboa triangular de valores sen signo para os  números de Stirling de primeira especie, similar en forma ao triángulo de Pascal.  Estes valores son fáciles de xerar utilizando a relación de recorrencia da sección anterior.
 012345678910011012011302314061161502450351016012027422585151707201764162473517521180504013068131326769196032228190403201095841181246728422449453654636110036288010265761172700723680269325632739450870451

Notas

Categoría:Combinatoria