Completamento dun anel

Na álxebra abstracta, un completamento ou completación é calquera de varios functores relacionados sobre aneis e módulos que dan lugar a aneis e módulos completos. A completación é similar á localización e, xuntas, están entre as ferramentas máis básicas para analizar aneis conmutativos. Os aneis conmutativos completos teñen unha estrutura máis sinxela ca os xerais, e se lles aplica o lema de Hensel. En xeometría alxébrica, unha completación dun anel de funcións R nun espazo X concéntrase nunha veciñanza formal dun punto de X: de xeito heurístico, trátase dunha veciñanza tan pequena que todas as series de Taylor centradas no punto son converxentes. Unha completación alxébrica constrúese dun xeito análogo á completación dun espazo métrico con sucesións de Cauchy, e coincide con esta no caso de que R teña unha métrica dada por unha ultramétrica ou valor absoluto non arquimediano.

 Construción xeral 

Sexa E un grupo abeliano cunha filtración decrecente



de subgrupos. Defínese entón a completación (respecto da filtración) como o límite inverso:



Este é de novo un grupo abeliano. Xeralmente E é un grupo abeliano aditivo. Se E posúe estrutura alxébrica adicional compatible coa filtración —por exemplo, se E é un anel filtrado, un módulo filtrado ou un espazo vectorial filtrado—, a súa completación é de novo un obxecto coa mesma estrutura e que é completo na topoloxía determinada pola filtración. Esta construción pode aplicarse tanto a aneis conmutativos coma a aneis non conmutativos. Como é de esperar, cando a intersección dos  é igual a cero, obtense un anel topolóxico completo.

 Topoloxía de Krull 

En álxebra conmutativa, a filtración dun anel conmutativo R polas potencias dun ideal propio I determina a topoloxía de Krull (polo Wolfgang Krull) ou I-topoloxía ádica en R. O caso dun ideal maximal  é especialmente importante, por exemplo o ideal maximal distinguido dun anel de valoración. A base de veciñanzas abertas de 0 en R vén dada polas potencias In, que están encaixadas e forman unha filtración decrecente en R:

(As veciñanzas abertas de calquera r ∈ R veñen dadas polas coclases r + In.) A completación (I-ádica) é o límite inverso dos aneis cociente,



pronunciado «R I sombreiro». O núcleo da aplicación canónica  do anel á súa completación é a intersección das potencias de I. Así,  é inxectiva se e só se esta intersección se reduce ao elemento cero do anel; polo teorema da intersección de Krull, este é o caso para calquera anel noetheriano conmutativo que sexa un dominio de integridade ou un anel local.

Hai unha topoloxía relacionada nos módulos sobre R, tamén chamada topoloxía de Krull ou I-ádica. Unha base de veciñanzas abertas dun módulo M vén dada polos conxuntos da forma

A completación I-ádica dun R-módulo M é o límite inverso dos cocientes



Este procedemento converte calquera módulo sobre R nun módulo topolóxico completo sobre  se I é finitamente xerado.

 Exemplos 

 O anel dos enteiros p-ádicos  obtense completando o anel  dos enteiros no ideal (p).

 Sexa R = K[x1,...,xn] o anel de polinomios en n variables sobre un corpo K e  o ideal maximal xerado polas variables. A completación  é o anel K[[x1,...,xn]] das series formais de potencias en n variables sobre K.

 Dado un anel noetheriano  e un ideal  a completación -ádica de  é unha imaxe dun anel de series formais de potencias; concretamente, é a imaxe da aplicación sobrexectiva

cuxo núcleo é o ideal 

As completacións tamén poden empregarse para analizar a estrutura local das singularidades dun esquema. Por exemplo, os esquemas afíns asociados a  e á cúbica nodal curva plana  teñen singularidades de aparencia semellante na orixe (ao observar os seus gráficos (ambos semellan un signo «+»). Cómpre notar que, no segundo caso, calquera veciñanza de Zariski da orixe segue sendo unha curva irreducible. Se empregamos completacións, entón estamos a considerar unha veciñanza «pequena dabondo» no que o nodo ten dúas compoñentes. Tomando as localizacións destes aneis respecto do ideal  e completando, obtense  e , respectivamente, onde  é a raíz cadrada formal de  en  Máis explicitamente, a serie de potencias:

Como ambos aneis se obteñen pola intersección de dous ideais xerados por un polinomio homoxéneo de grao 1, pódese ver alxebricamente que as singularidades «teñen o mesmo aspecto». Isto débese a que tal esquema é a unión de dous subespazos lineares distintos do plano afín.

 Propiedades 
 A completación dun anel noetheriano respecto dun ideal é un anel noetheriano.
 A completación dun anel local noetheriano respecto do seu único ideal maximal é un anel local noetheriano.
 A completación é unha operación functorial: unha aplicación continua f: R → S de aneis topolóxicos dá lugar a unha aplicación entre as súas completacións,

 Ademais, se M e N son dous módulos sobre o mesmo anel topolóxico R e f: M → N é unha aplicación continua de módulos, entón f esténdese de maneira única á aplicación entre as completacións:

 onde  son módulos sobre 
 A completación dun anel noetheriano R é un módulo plano sobre R.
 A completación dun módulo M finitamente xerado sobre un anel noetheriano R pódese obter por extensión de escalares:

 Xunto coa propiedade anterior, isto implica que o funtor de completación sobre módulos finitamente xerados sobre R é exacto: preserva as sucesións exactas curtas. En particular, tomar cocientes de aneis conmuta coa completación, o que significa que para calquera álxebra cociente  existe un isomorfismo

 Teorema de estrutura de Cohen (caso equicaracterístico). Sexa R un anel local noetheriano conmutativo completo con ideal maximal  e anel cociente K (anel de residuos). Se R contén un corpo, entón

 para algún n e algún ideal I .

Notas

 Bibliografía 



 Outros artigos 
 Anel (álxebra).
 Módulo (álxebra).
 Sucesión de Cauchy

Categoría:Álxebra abstracta