Grupo de Lie

En matemáticas, un grupo de Lie é un grupo que tamén é unha variedade diferenciable. Por unha banda, un grupo é unha estrutura alxébrica equipada cunha operación binaria, normalmente unha multiplicación e a súa inversa, a división, ou unha suma e a súa inversa, a resta. Por outra banda, unha variedade é un espazo que localmente se asemella a un espazo euclidiano. Aquí, interésanos un conxunto que sexa á vez un grupo e unha variedade.  Se as operacións de grupo (multiplicación e inversión) son continuas, obtemos un grupo continuo. Se, ademais, estas operacións de grupo son diferenciables, trátase dun grupo de Lie. Os grupos de Lie reciben o seu nome na honra do matemático noruegués Sophus Lie, quen os introduciu para estudar certas propiedades das ecuacións diferenciais.

A teoría dos grupos de Lie describe a simetría continua nas matemáticas. Na física teórica (por exemplo, na teoría dos quarks), a súa importancia fíxose evidente durante o século XX.

 Exemplos sinxelos 
miniatura|Suma de dous vectores no plano

 Plano 
O plano, é dicir, o espazo euclidiano bidimensional, pódese considerar un grupo de Lie. En realidade é máis apropiado falar do grupo das traslacións no plano. É unha variedade (globalmente, é o espazo euclidiano bidimensional) e un grupo. Como se mostra na figura, a operación de grupo é a suma de dous vectores. O inverso dun vector (x, y) é o vector (-x, -y). Estas dúas operacións son diferenciables.

 Circunferencia 
A círcunferencia unitaria, é un grupo de Lie no seguinte sentido. É unha variedade. Localmente, semella unha liña, é dicir, un espazo euclidiano de dimensión 1. Por outra banda, é un grupo. De feito, cada punto está parametrizado por un ángulo t co eixe de abscisas, o seu argumento. A operación entre dous puntos corresponde a sumar os ángulos. O inverso dun punto con ángulo t co eixe de abscisas é o punto con ángulo -t co eixe de abscisas.

Estas operacións corresponden ao produto dos números complexos de norma 1.

Resumo
esquerda|miniatura|A circunferencia unitaria onde cada punto forma un ángulo co eixe de abscisas.
O propio Sophus Lie consideraba que a teoría de "grupos continuos" (no sentido actual de grupos topolóxicos) naceu no inverno de 1873-1874, pero o biógrafo Hawkins suxire que a teoría xurdiu da investigación levada a cabo por Lie durante os catro anos anteriores (de 1869 a 1873)..

Algunhas das ideas iniciais de Lie foron desenvolvidas en colaboración con Felix Klein, con quen se reunía diariamente durante os días de outubro dos anos 1869 a 1872, primeiro en Berlín, despois en París, Göttingen e Erlangen.

Os resultados de Lie publicáronse en xornais noruegueses durante a década de 1870, e o seu traballo estendeuse rapidamente ao resto de Europa. En 1884, un mozo matemático alemán, Friedrich Engel, traballou con Lie para crear unha exposición sistemática da teoría dos grupos continuos, que se publicou en tres volumes baixo o título de , en 1888, 1890 e 1893.

Un importante desenvolvemento da teoría foi realizado por Wilhelm Killing . A xeneralización de Élie Cartan levou á clasificación das álxebras de Lie semisimples e ao traballo de Hermann Weyl sobre as representacións de grupos de Lie compactos.

A teoría dos grupos de Lie foi exposta metodicamente na linguaxe matemática moderna por Claude Chevalley.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 



 Outros artigos 

 Espazo homoxéneo
 Grupo alxebraico
 Grupo clásico
 Representación dun grupo de Lie
 Teorema de Ado

Categoría:Grupos de Lie