Teorema de inversión de Lagrange

En análise matemática, o teorema de inversión de Lagrange, tamén coñecido como a fórmula de Lagrange–Bürmann, fornece o desenvolvemento en serie de Taylor da función inversa dunha función analítica. A inversión de Lagrange é un caso particular do teorema da función inversa.

Enunciado
Sexa  unha función de  dada por unha ecuación da forma

onde  é analítica nun punto  e  Entón é posible inverter ou resolver
a ecuación para , expresándoa na forma  dada por unha serie de potencias

onde

O teorema afirma ademais que esta serie ten un raio de converxencia non nulo,é dicir,  representa unha función analítica de  nunha veciñanza de  Isto tamén se chama reversión de series.

Se se omiten as condicións de analiticidade, a fórmula tamén é válida para series formais
e pode xeneralizarse de varias maneiras: pódese formular para funcións de varias variables; esténdese para dar unha fórmula directa para  para calquera función analítica ; e pode xeneralizarse ao caso  onde o inverso  é unha función multivalorada.

O teorema foi probado por Lagrange https://archive.org/details/uvresdelagrange18natigoog/page/n13
e xeneralizado por Hans Heinrich Bürmann,Bürmann, Hans Heinrich, "Essai de calcul fonctionnaire aux constantes ad-libitum," 1796.
Resumo en:Bürmann, Hans Heinrich, "Formules du développement, de retour et d'integration".
Manuscrito nos arquivos da École Nationale des Ponts et Chaussées, París (ms. 1715)."Rapport sur deux mémoires d'analyse du professeur Burmann,"
Mémoires de l'Institut National des Sciences et Arts: Sciences Mathématiques et Physiques,
vol. 2, páxinas 13–17 (1799).
a finais do século XVIII.

Existe unha dedución sinxela empregando análise complexa
e integración de contorno;E. T. Whittaker e G. N. Watson,
A Course of Modern Analysis,
Cambridge University Press, 4ª ed. (1927), pp. 129–130
a versión formal complexa é consecuencia
da fórmula para polinomios,
aplicando a teoría de función analítica.
En realidade, a maquinaria da análise complexa
intervén de forma só formal nesta proba,
pois o que se precisa é unha propiedade
do residuo formal,
e existe unha proba máis directa e puramente formal.
O teorema de inversión de Lagrange ten, de feito,
moitas outras probas distintas,
incluíndo argumentos de  contaxe de árbores
ou probas por indución.

Se  é unha serie formal,
a fórmula anterior non dá directamente
os coeficientes da serie inversa 
en termos dos coeficientes de .
Se se expresan  e 
como series formais

con  e ,
entón pode darse unha forma explícita dos coeficientes inversos
en termos dos polinomios de Bell:Ecuación (11.43), p. 437,
C.A. Charalambides, Enumerative Combinatorics,
Chapman & Hall / CRC, 2002

onde

é o factorial ascendente.

Cando ,
a última fórmula pode interpretarse
en termos das caras dos asociaedros

onde 
para cada cara 
do asociaedro 

Exemplo
Por exemplo, a ecuación alxébrica de grao 

pódese resolver para 
mediante a fórmula de inversión de Lagrange
para a función ,
obtendo así unha solución en serie formal

Mediante as probas de converxencia,
esta serie é, de feito, converxente para

que é tamén o maior disco no que se pode definir
un inverso local de .

Notas

Categoría:Funcións
Categoría:Teoremas