Teorema de Stokes

O teorema de Stokes, tamén coñecido como teorema de Kelvin-Stokes
após Lord Kelvin e George Stokes, teorema fundamental para rotacionais, ou sinxelamente teorema do rotacional, é un teorema do cálculo vectorial en . Dado un campo vectorial, o teorema relaciona a integral do rotacional do campo vectorial sobre unha superficie, coa integral de liña do campo ao redor da fronteira da superficie. O teorema clásico de Stokes pode ser enunciado nunha frase:

 A integral de liña dun campo vectorial sobre un lazo é igual á integral de superficie do seu rotacional sobre a superficie rodeada.

O teorema de Stokes é un caso especial do  teorema de Stokes xeneralizado. En particular, un campo de vectores en   pode ser considerado como unha 1-forma,  deste xeito o seu rotacional é a derivada exterior, unha 2-forma.

Teorema
Sexa  unha superficie diferenciable orientada en   con fronteira . Se un campo vectorial   está definido e ten derivadas parciais de primeira orde continuas nunha rexión que contén a , entón Máis explicitamente, a igualdade di que

O principal  desafío nun enunciado preciso do teorema de Stokes é definir a noción de fronteira.  Superficies como o  copo de neve de Koch, por exemplo, sábese que teñen  unha  fronteira que non é Riemann-integrable, e a noción de medida de superficie na teoría de Lebesgue non se pode definir para unha superficie non Lipschitziana.  Unha técnica  (avanzada)  é pasar a unha formulación débil e  aplicar a maquinaria de teoría de medida xeométrica; para esta aproximación ver o  fórmula da coárea.  Neste artigo, polo contrario, utilizamos unha definición máis elemental, baseada no feito de que os subconxuntos de dimensión máxima de  teñen un bordo ben definido.

Daremos un enunciado máis detallado para discusións posteriores.  
Sexa  unha curva de Jordan diferenciable a anacos, é dicir, unha curva plana pechada e simple. O teorema da curva de Jordan implica que  divide  en dous compoñentes, un compoñente compacto e outro que non o é. Denotemos por  a parte compacta; entón  está limitada por .  

Agora abonda con transferir esta noción de bordo ao longo dunha aplicación continua á nosa superficie en . Mais xa temos tal aplicación: a parametrización de .  

Sexa  diferenciable a anacos na veciñanza de , con .

Se  é a curva espacial definida por , entón chamamos a  o bordo de , que escribimos como .Mesmo se consideramos coordenadas polares bidimensionais, se deixamos ∂Σ = Γ, entón ∂Σ pode conter claramente un punto interior topolóxico de Σ. Non obstante, en variedades orientables combinatorias, isto non é un problema serio, xa que as integrais de liña sobre os puntos interiores cancélanse: nunha variedade orientable, a integral de liña sobre ∂Σ coincide coa integral de liña sobre o bordo verdadeiro.  
Un exemplo aínda máis importante é que este teorema tamén se aplica a variedades sen bordo topolóxico, como a esfera ou o toro. Nestes casos, se ∂Σ = Γ, entón ∂Σ está completamente contido en Σ. Porén, as integrais de liña resultantes sobre Γ cancélanse completamente. Isto permítenos afirmar que a integral de superficie do rotacional dun campo vectorial nunha variedade sen bordo é nula.  

Coa notación anterior, se  é calquera campo vectorial suave en , entónRobert Scheichl, apuntamentos do curso de matemáticas da Universidade de Bath  



Aquí, o "" representa o produto escalar en .

 Notas 

Categoría:Cálculo vectorial
Categoría:Vectores
Categoría:Mecánica
Categoría:Electromagnetismo
Categoría:Teoremas