Operador nabla

Del, ou nabla, é un operador utilizado en matemáticas (particularmente en cálculo vectorial) como un operador diferencial vectorial, normalmente representado por ∇ (o símbolo nabla). Cando se aplica a unha función definida nun dominio uni-dimensional , denota a derivada estándar da función, definida no cálculo diferencial.  Cando se aplica a un campo (unha función definida nun dominio multi-dimensional), pode denotar calquera de tres operacións que dependen do xeito en que é aplicado: o gradiente ou pendente máis empinada (localmente)  dun campo escalar (ou ás veces dun campo vectorial), para dar un  campo vectorial, chamado o gradiente, como nas Ecuacións de Navier-Stokes); como un produto escalar formal (a diverxencia dun campo vectorial);  e por último, pode actuar en  campos vectoriais como un produto vectorial formal, para dar un campo chamado o rotacional.

Estes tres usos están resumidos como:

 Gradiente: 
 Diverxencia: 
 Rotacional: 

 Definición 
No sistema de coordenadas cartesianas de , con coordenadas   respecto da base canónica , Del é un operador vectorial cuxas  compoñentes son os operadores derivadas parciais ; isto é,


onde a expresión entre parénteses é un vector  fila.   No sistema cartesiano tridimensional de coordenadas  , con coordenadas   e a base canónica de vectores unitarios dos eixos , Del escríbese como: 

Como operador vectorial, Del actúa naturalmente sobre campos escalares a través da multiplicación por escalares, e actúa naturalmente sobre  campos vectoriales mediante o produto escalar e o produto vectorial.

Máis especificamente, para calquera  campo escalar  e calquera campo vectorial , se definimos







entón utilizando a definición de  de máis arriba, un pode escribir





e



 Exemplo:



Del tamén pode ser expresado noutros sistemas de coordenadas, ver por exemplo Del  en coordenadas esféricas  e coordenadas cilíndricas.

Etimoloxía

O símbolo  coñécese habitualmente como nabla ou del. O nome nabla provén do grego ναβλά, que designaba un instrumento musical semellante a unha arpa triangular, cuxa forma lembra a do símbolo. 

O nome del, pola súa banda, é un termo informal utilizado para referirse ao operador diferencial . Foi introducido por William Rowan Hamilton no contexto do seu traballo sobre os cuaternións, e popularizado posteriormente no século XIX na formulación do cálculo vectorial. O nome pode derivar da palabra delta, empregada para diferenzas e derivadas, ou simplemente ser unha forma breve e fonética derivada da letra d empregada nas derivadas.

Mentres nabla se refire propiamente ao símbolo , del designa o seu uso como operador.

 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 Historia do símbolo Nabla: "Nabla no es una letra griega"
 Cleve Moler, ed., "History of Nabla", NA Digest 98 (Jan. 26, 1998).

Categoría:Cálculo vectorial