Serie binomial

En matemáticas, a serie binomial é unha xeneralización do Teorema do binomio  a casos onde o expoñente non é un enteiro positivo:

onde  é un número complexo calquera,  e a serie de potencias no lado dereito está expresada en termos dos coeficientes binomiais  (xeneralizados)



A  serie binomial é a serie de MacLaurin para a función . . Converxe cando .

Se  é un enteiro non negativo  entón o termo  e todos os termos seguintes na serie son , xa que cada un contén un factor  . Neste caso, a serie é un  polinomio finito, equivalente á fórmula do binomio.

 Converxencia 

 Condicións para a converxencia 
Se () converxe ou non depende dos valores dos números complexos  e x. Máis precisamente:

 Se |x| < 1, a serie converxe absolutamente para calquera número complexo .
 Se |x| = 1, a serie converxe absolutamente se e só se  Re(α) > 0 ou  = 0, onde Re(α) denota a parte real de α.
 Se = 1 e , a serie converxe se e só se Re(α) > −1.
 Se , a serie converxe se e só se () > 0 ou α = 0.
 Se |x| > 1, a serie diverxe excepto cando  é un enteiro non negativo,  caso no que a serie é unha suma finita.

En particular, se  non é un  enteiro non-negativo, a situación na fronteira do disco de converxencia, |x| = 1, resúmese como segue:

 Se Re(α) > 0, a serie converxe absolutamente.
 Se , a serie converxe condicionalmente se  e diverxe se x = −1.
 Se Re(α) ≤ −1, a serie diverxe.

 Historia 

Os primeiros resultados sobre series binomiais con expoñentes
distintos de enteiros positivos foron dados por Sir Isaac Newton
no estudo de áreas encerradas baixo certas curvas. John Wallis
ampliou este traballo considerando expresións da forma
, onde
 é unha fracción. Descubriu que (en termos modernos) os
coeficientes sucesivos  de
 se obteñen multiplicando
o coeficiente precedente por
 (como
no caso de expoñentes enteiros), proporcionando así implicitamente
unha fórmula para estes coeficientes. Escribe explicitamente os
seguintes exemplos{{efn|Coolidge (1949) – de feito, esta fonte dá todos os termos non constantes cun signo negativo, o cal non é correcto para a segunda ecuación; cómpre supoñer que se trata dun erro de transcrición.

A serie binomial é, polo tanto, ás veces denominada
teorema
binomial de Newton. Newton non dá ningunha demostración e non é
explícito sobre a natureza da serie. Máis tarde, en 1826,
Niels Henrik Abel tratou o tema nun artigo publicado no
Crelle's Journal, ocupándose especialmente de cuestións de
converxencia.Abel (1826), Crelle’s Journal

 Referencias 

 Bibliografía 
 Coolidge, J. L. (1949). *The Mathematics of Great Amateurs*.
 Abel, Niels Henrik (1826). «Om rækkers Konvergens» (sobre converxencia de series), en Crelle’s Journal.

Categoría:Serie matemática
Categoría:Análise complexa