Dualidade de Pontryagin

En matemáticas, particularmente na análise harmónica e na teoría de grupos topolóxicos, a dualidade de Pontryagin explica as principais propiedades da transformada de Fourier . Sitúa nun marco máis xeral certas observacións sobre funcións definidas en  ou nun grupo abeliano finito :

 As funcións periódicas con valores complexos suficientemente regulares teñen unha serie de Fourier e pódense deducir a partir desta serie ;
 As funcións con valores complexos suficientemente regulares teñen unha transformada de Fourier e, do mesmo xeito que as funcións periódicas, pódense deducir a partir desta transformada. ;
 As funcións con valores complexos nun grupo abeliano finito teñen unha transformada discreta de Fourier definida no grupo dual, que non é canonicamente isomorfa ao grupo orixinal. Ademais, calquera función nun grupo abeliano finito pódese deducir a partir da súa transformada discreta de Fourier (agás homomorfismo).

A teoría, introducida por Lev Pontryagin e combinada coa medida de Haar introducida por John von Neumann, André Weil e outros, depende da teoría do grupo dual dun grupo abeliano localmente compacto .

 Medida de Haar 
Un grupo topolóxico  é localmente compacto se e só se o elemento neutro  do grupo admite unha veciñanza compacta, o que  é equivalente a  ter unha base de veciñanzas compactas. Un dos feitos máis chamativos sobre os grupos localmente compactos é que poden estar equipados cunha medida natural, única agás un factor multiplicativo: a medida de Haar, que permite medir o “tamaño“ dun subconxunto suficientemente regular de . Aquí,  “suficientemente regular“ significa ser un Boreliano, é dicir, un elemento da tribo xerada polos conxuntos compactos. Máis precisamente, unha medida de Haar pola dereita nun grupo localmente compacto  é unha medida  definida nos borelianos de , que é invariante por traslacións á dereita, no sentido de que  se  é un boreliano e  un elemento de  .

A medida de Haar permítenos definir a noción de integral para unha función medible a valores complexos definida no grupo. En particular, podemos considerar os espazos Lpasociados coa medida de Haar. Máis precisamente :



Varios exemplos de grupos abelianos localmente compactos están dados por :

  coa suma como operación de grupo.
 Os reais estritamente positivos provistos da multiplicación. Este grupo é claramente isomorfo a , sendo este isomorfismo a función exponencial.
 Calquera grupo abeliano finito, provisto da topoloxía discreta. Polo teorema sobre a estrutura destes grupos, son produtos de grupos cíclicos.
 O grupo dos enteiros , tamén provisto da topoloxía discreta.
 O circunferencia unidade   de  (é dicir, o grupo dos complexos de módulo 1).   é isomorfo ao grupo topolóxico cociente  .
 O corpo   dos números p-ádicos provisto da suma, coa topoloxía p-ádica habitual.

 O grupo dual 
Se G é un grupo abeliano localmente compacto,
un carácter de G é un
morfismo de grupos
continuo de  en
.
Pódese demostrar que o conxunto dos caracteres de G é el mesmo
un grupo abeliano localmente compacto, chamado grupo dual de G,
e denotado por Ĝ. O produto en Ĝ é o produto de dous caracteres
considerados como funcións con valores complexos, e o inverso dun
carácter é o seu conxugado complexo.
A topoloxía en Ĝ é a da
converxencia uniforme en todo
compacto. Non é metrizable
en xeral. Porén, se o grupo G é ademais
separable, entón a topoloxía definida en Ĝ
é metrizable.

Teorema.  é canonicamente isomorfo a
, é dicir,  é canonicamente isomorfo ao
dual do seu dual.

Canónico significa que o isomorfismo está
dado por unha aplicación «natural» de  en
. Este termo achega un matiz importante:
por exemplo, calquera grupo abeliano finito é isomorfo ao seu dual,
pero o isomorfismo non é canónico. O isomorfismo canónico defínese así:

É dicir, cada elemento  de  identifícase
coa súa avaliación polos caracteres do dual.

 Exemplos 
Un carácter do
grupo cíclico infinito dos
enteiros 
está determinado polo seu valor en 1, xerador de .
En efecto, para todo carácter  de  tense
 pois  é un
morfismo de grupos, e esta fórmula mostra que
se define de maneira única un carácter polo seu valor en 1.
Así, o dual de   é alxebraicamente isomorfo ao
circunferencia unidade .
A topoloxía de converxencia
sobre os compactos é daquela a topoloxía da
converxencia simple.
Pódese mostrar facilmente que é a
topoloxía inducida polo plano complexo.

O grupo dual de  é, pois, canonicamente isomorfo a
.

Reciprocamente, un carácter de  é da forma
, con n enteiro. Como  é compacto,
a topoloxía no grupo dual é a da converxencia
uniforme, que neste caso é a topoloxía discreta.
Así, o dual de  é canonicamente isomorfo a .

O grupo dos reais é isomorfo ao seu dual, sendo os
caracteres de  da forma
, con  real.
Con estas dualidades, a nova versión da transformada
de Fourier presentada a continuación coincide coa transformada de
Fourier clásica en .

 Transformada de Fourier 

O grupo dual dun grupo abeliano localmente compacto
serve como espazo base dunha versión máis abstracta da
transformada de Fourier.
Se  pertence a ,
entón a súa transformada de Fourier é a función definida en Ĝ por:

onde a integral se toma respecto da medida de Haar
 sobre G. Non é demasiado difícil demostrar que
a transformada de Fourier dunha función  sobre G
é unha función continua acoutada sobre Ĝ. Do mesmo xeito, a
transformada de Fourier inversa dunha función 
sobre Ĝ vén dada por:

onde a integral é relativa á medida de Haar 
sobre o grupo dual Ĝ.

Categoría:Grupo topolóxico
Categoría:Teoremas