Dedución da fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara ou fórmula xeral para as ecuacións cuadráticas é unha regra xeral que permite determinar as raíces dun polinomio de segundo grao. Foi inventada polo famoso matemático indio Bhaskara. O que se busca é determinar os valores  para os cales a ecuación  ten solución.
 Demostración sinxela por cambio de variable 
Demostración por traslado da función

A ecuación de segundo grao representa unha parábola, e o seu mínimo ou máximo atópanse igualando a súa derivada a 0, (punto en que a pendente é 0). 

1 - Trasládase a función de modo que este punto se atope no eixo de ordenadas, é dicir, . Desta forma, o eixo "y" divide a función en dúas partes simétricas.

Matematicamente, equivale ao cambio de variable:  

2 - Áchanse as raíces da nova ecuación, é dicir, resólvese . Dá dúas solucións simétricas respecto do eixo "y":

3 - Xa soamente queda desfacer o cambio de variable:

Demostración por cambio de variable

Outra maneira mais sinxela pódese formular aplicando os cambios de variables  e . Así, a ecuación queda, dividindo por :



 Aplícase o cambio de variable:



 Sumando  para axustar cadrados, e restando n en ámbolos membros:



 E seguidamente contraendo da seguinte maneira o binomio:



 Aplícase a raíz cadrada a ámbolos dous lados:



 Restando  a ámbolos dous lados:



 Desfacendo a substitución,  e : 



 E operando, obtense a seguinte ecuación simplificada:



 Demostración orixinal 

 Partindo da ecuación

  con 

 Multiplícase por : 



 Seguidamente súmase : 



 Reordenando obsérvase que é o cadrado da suma, e por tanto:



 E contraendo a identidade notable:



 Aplicación da raíz cadrada a ámbolos dous lados, coma na demostración anterior:



 Restamos  a ambos lados da igualdade:



 Como , divídese sen problemas entre : 


Notas

 Véxase tamén 
Outros artigos
 Ecuación de segundo grao

 Ligazóns externas 

 Demostración: Fórmula Resolvente

Categoría:Polinomios