Enteiro alxébrico

Na teoría de números alxébricos, un enteiro alxébrico é un número complexo que é un elemento enteiro sobre os enteiros. 

É dicir, un enteiro alxébrico é unha raíz complexa dalgún polinomio mónico (un polinomio cuxo coeficiente principal é 1) cuxos coeficientes son números enteiros. 

O conxunto de todos os enteiros alxébricos  está pechado baixo a suma, resta e multiplicación e, polo tanto, é un subanel conmutativo dos números complexos.

O anel de números enteiros dun corpo numérico , denotado como , é a intersección de  e : tamén se pode caracterizar como a orde máxima do corpo . Cada número enteiro alxébrico pertence ao anel de números enteiros dalgún corpo numérico. Un número  é un enteiro alxébrico se e só se o anel  se xera finitamente como un grupo abeliano, é dicir, como un  -módulo.

 Definicións 
As seguintes son definicións equivalentes dun número enteiro alxébrico. Sexa  un corpo numérico (é dicir, unha extensión finita de , o corpo dos números racionais), noutras palabras,  para algún número alxébrico  polo teorema dos elementos primitivos.

  é un enteiro alxébrico se existe un polinomio mónico  tal que .
   é un enteiro alxébrico se o polinomio mónico mínimo de  sobre  está en .
   é un enteiro alxébrico se  é un -modulo finitamente xerado.
   é un enteiro alxébrico se existe un non cero -submodulo finitamente xerado  tal que .

Os enteiros alxébricos son un caso especial dos elementos enteiros dunha extensión dun anel. En particular, un enteiro alxébrico é un elemento enteiro dunha extensión finita .

 Exemplos 

 Os únicos enteiros alxébricos que se atopan no conxunto dos números racionais son os enteiros. Noutras palabras, a intersección de  e  é exactamente . O número racional  non é un enteiro alxébrico a non ser que  divida . O coeficiente principal do polinomio  é o número enteiro .
 A raíz cadrada  dun enteiro non negativo  é un enteiro alxébrico, pero é irracional a non ser que  sexa un cadrado perfecto.
 Se  é un enteiro libre de cadrados entón a extensión  é unha corpo cadrático de números racionais. O anel de enteiros alxébricos  contén  xa que esta é unha raíz do polinomio mónico . A maiores, se , entón o elemento  tamén é un enteiro alxébrico. Satisfai o polinomio   onde o termo constante  é un número enteiro. O anel completo de números enteiros é xerado por  ou  respectivamente. Consulte Enteiro cadrático para obter máis información.
 Se  é unha primitiva -ésimo raíz da unidade, entón o anel de enteiros do corpo ciclotómico  é precisamente .
 Se  é un enteiro alxébrico, entón  é outro enteiro alxébrico. Un polinomio para  obtense substituíndo  no polinomio de .

 Non exemplo 

 Se  é un polinomio primitivo que ten coeficientes enteiros pero non é mónico, e  é irredutíbel sobre , entón ningunha das raíces de  son números enteiros alxébricos (pero son números alxébricos). Aquí úsase primitivo no sentido de que o maior factor común dos coeficientes de  é 1, o que é máis débil que esixir que os coeficientes sexan relativamente primos por parellas.

 Xeración finita de extensión dun anel 
Para calquera , a extensión do anel (no sentido que é equivalente á extensión de corpo) dos números enteiros por , denotada como , xérase finitamente se e só se  é un enteiro alxébrico.

 Anel 
A suma, a diferenza e o produto de dous enteiros alxébricos é un enteiro alxébrico. En xeral, o seu cociente non o é. Así, os enteiros alxébricos forman un anel.

Tamén se pode construír explicitamente o polinomio mónico implicado, que é xeralmente de maior grao que os dos enteiros alxébricos orixinais, tomando resultantes e factorizando. Por exemplo, se temos ,  e , eliminando  e  de  e os polinomios satisfeitos por  e  utilizando a resultante dáse , que é irredutíbel,  e é a ecuación mónica satisfeita polo produto. (Para ver que  é unha raíz do resultado  de  e , pódese usar o feito de que a resultante está contida no ideal xerado polos seus dous polinomios de entrada.)

 Pechamento integral 
Toda raíz dun polinomio mónico cuxos coeficientes son números enteiros alxébricos é en si mesma un enteiro alxébrico. Noutras palabras, os enteiros alxébricos forman un anel que é un peche integral en calquera das súas extensións.

A  demostración é análoga á proba correspondente para números alxébricos que están
pechados alxebricamente.
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 


 Outros artigos 
Elemento enteiro
Enteiro de Gauss
Raíz da unidada
Teorema das unidades de Dirichlet
Unidade fundamental (teoría de números)

Categoría:Números enteiros