Peche alxébrico

En matemáticas, particularmente en álxebra abstracta, un peche alxébrico dun corpo K é unha extensión alxébrica de K que é alxebraicamente pechado. É un dos moitos pechamentos en matemáticas.

Usando o lema de Zorn    ou o lema máis débil de ultrafiltro,  pódese demostrar que todo corpo ten un peche alxébrico e que o peche alxébrico dun corpo K é único ata un isomorfismo que fixa todo  membro de K. Debido a esta singularidade esencial, a miúdo falamos do peche alxébrico de K, máis que dun peche alxébrico de K.

O peche alxébrico dun campo K pódese pensar como a maior extensión alxébrica de K.

O peche alxébrico dun corpo K ten a mesma cardinalidade que K se K é infinito, e é infinita numerábel se K é finito.

 Exemplos 

 O teorema fundamental da álxebra afirma que o peche alxébrico do corpo dos números reais é o corpo dos complexos.
 O peche alxébrico do corpo dos números racionais é o corpo dos números alxébricos.
 Dentro dos números complexos hai moitos corpo numerábeis alxébricamente pechados e que conteñen estritamente o corpo dos números alxébricos; estes son os peches alxébricos de extensións transcendentais dos números racionais, por exemplo, o peche alxébrico de Q(π).
 Para un corpo finito de orde de potencia prima q, o peche alxébrico é un corpo infinito numerábel que contén unha copia do corpo de orde qn para cada número enteiro positivo n (e de feito é a unión destas copias)..

 Existencia dun peche alxébrico e corpos  de descomposición 
Sexa   o conxunto de todos os polinomios irredutíbeis mónicos en K [x]. Para cada  , introducimos novas variábeis  onde . Sexa R o anel polinómico sobre K xerado por  para todos os  e todo . Escribimos



con . 

Sexa I o ideal en R xerado polo . Dado que I é estritamente menor que R, o lema de Zorn implica que existe un M ideal máximal en R que contén I. 

O corpo K1 = R / M ten a propiedade de que todo polinomio  con coeficientes en K descomponse como produto de  e polo tanto ten todas as raíces en K1. 

Do mesmo xeito, pódese construír unha extensión K2 de K1, etc. A unión de todas estas extensións é o peche alxébrico de K, porque calquera polinomio con coeficientes neste novo corpo ten os seus coeficientes nalgún Kn con n suficientemente grande, e entón as súas raíces están en Kn +1 e, polo tanto, na propia unión.

Pódese mostrar nas mesmas liñas que para calquera subconxunto S de K [x], existe un corpo de descomposición de S sobre K.

 Peche separábel 
Un peche alxébrico Kalg de K contén unha extensión separábel única Ksep de K que contén todas as extensións separábeis (alxébricas) de K dentro de Kalg. 

Esta subextensión chámase peche separábel de K. Dado que unha extensión separábel dunha extensión separábel é de novo separébel, non hai extensións separábeis finitas de Ksep, de grao > 1. Dicindo isto doutro xeito, K está contida nun corpo de extensión alxébrica separadamente pechado. É único (ata isomorfismo). 

O peche separábel é o peche alxébrico completo se e só se K é un corpo perfecto. Por exemplo, se K é un corpo de característica p e se X é transcendental sobre K,  é unha extensión de corpo alxébrico non separábel.

En xeral, o grupo de Galois absoluto de K é o grupo de Galois de Ksep sobre K.

 Notas 


 Véxase tamén  
 Bibliografía 



 Outros artigos 
 Extensión alxébrica
 Pechamento
 Elemento alxébrico

Categoría:Teoría de corpos