Extensión de corpo

En matemáticas, particularmente en álxebra, unha extensión de corpo consiste nun par de corpos , tal que as operacións de K son as de L restrinxidas a K. Neste caso, L é un corpo de extensión de K e K é un subcorpo de L. Por exemplo, baixo as nocións habituais de suma e multiplicación, os números complexos son un corpo de extensión dos números reais; os números reais son un subcorpo dos números complexos.

As extensións de corpo son fundamentais na teoría alxébrica de números, e no estudo das raíces polinómicas a través da teoría de Galois, e son moi utilizadas na xeometría alxébrica.

 Subcorpo 
Un subcorpo  dun corpo  é un subconxunto  que é un corpo en relación ás operacións de corpo herdadas de . De forma equivalente, un subcorpo é un subconxunto que contén a identidade multiplicativa , e está pechado nas operacións de suma, resta, multiplicación e tomando a inversa dun elemento distinto de cero de .

Por exemplo, o corpo dos números racionais é un subcorpo dos números reais, que é un subcorpo dos números complexos. De forma máis xeral, o corpo dos números racionais é (ou é isomorfo a) un subcorpo de calquera corpo de características .

A característica dun subcorpo é a mesma que a característica do corpo maior.

 Corpo de extensión 
Se  é un subcorpo de , entón  é un corpo de extensión ou simplemente é unha extensión de , e este par de corpos forman unha extensión de corpo. Tal extensión de corpo denotase  (léase como " sobre ")non confundir con grupo cociente que ten a mesma notación.

Se  é unha extensión de , que á súa vez é unha extensión de , entón  dise que é un corpo intermedio (ou extensión ou subextensión intermedia) de .

Dada unha extensión de corpo , o corpo máis grande  é un -espazo vectorial. A dimensión deste espazo vectorial chámase grao da extensión e denótase por .

O grao dunha extensión é 1 se e só se os dous corpos son iguais. Neste caso, a extensión é a extensión trivial. As extensións de grao 2 e 3 chámanse extensións cadráticas e extensións cúbicas, respectivamente. Unha extensión finita é unha extensión que ten un grao finito.

Dadas dúas extensións  e , a extensión  é finita se e só se ambas  e  son finitas. Neste caso, temos



Na característica 0, toda extensión finita é unha extensión simple (dun único elemento). Este é o teorema do elemento primitivo, que non é certo para corpos de característica distinta de cero.

Se unha  extensión simple  non é finita, o corpo  é isomorfo ao corpo das fraccións racionais en  sobre  .

 Advertencias 
A notación L / K é puramente formal e non implica a formación dun anel cociente ou grupo cociente nin ningún outro tipo de división. Pola contra, a barra expresa a palabra "sobre". Nalgunha literatura úsase a notación L : K.

 Exemplos 
O corpo dos números complexos  é un corpo de extensión do corpo dos números reais , e  á súa vez é un corpo de extensión do corpo dos números racionais . Claramente entón,  é tamén unha extensión de corpo. Temos  porque  é unha base, polo que a extensión  é finita. Esta é unha extensión simple porque  (a cardinalidade do continuo), polo que esta extensión é infinita.

O corpo



é un corpo de extensión de  tamén claramente unha extensión simple. O grao é 2 porque  pode servir de base.

O corpo



é un corpo de extensión de   e tamén de  de grao 2 e 4 respectivamente. Tamén é unha extensión simple, como se pode demostrar



As extensións finitas de  tamén se denominan corpos numéricos alxébricos e son importantes na teoría dos números. Outro corpo de extensión dos racionais, que tamén é importante na teoría de números, aínda que non é unha extensión finita, é o corpo dos números p-ádicos  para un número primo p.

É común construír un corpo de extensión dun corpo dado K como un anel cociente do anel polinómico K [X] para "crear" unha raíz para un polinomio dado f(X). Supoña, por exemplo, que K non contén ningún elemento x con x 2 = −1. Logo o polinomio  é irredutíbel en K[X], polo que o ideal xerado por este polinomio é máximal, e  é un corpo de extensión de K que contén un elemento cuxo cadrado é −1 (é dicir, a clase de residuos de X).

Ao iterar a construción anterior, pódese construír un corpo de descomposición de calquera polinomio a partir de K[X]. Este é un corpo de extensión L de K no que o polinomio dado se descompón nun produto de factores lineares.

Se p é calquera número primo e n é un enteiro positivo, hai un corpo finito único (ata isomorfismo).  con p n elementos; este é un corpo de extensión do corpo primo  con p elementos.

Dado un corpo K, podemos considerar o corpo K(X) de todas as funcións racionais da variábel X con coeficientes en K; con esta consideración os elementos de K(X) son fraccións de dous polinomios sobre K, e de feito K(X) é o corpo de fraccións do anel polinómico K[X]. Este corpo de funcións racionais é un corpo de extensión de K. Esta extensión é infinita.

Dada unha superficie de Riemann M, o conxunto de todas as funcións meromórficas definidas en M é un corpo, denotado por  É un corpo de extensión transcendental de  se identificamos cada número complexo coa función constante correspondente definida en M. Máis xeralmente, dada unha variedade alxébrica V sobre algún corpo K, o corpo de funcións K(V), que consiste nas funcións racionais definidas en V, é un corpo de extensión de K.

 Extensión alxébrica 
Un elemento x dunha extensión de corpo  é alxébrica sobre K se é unha raíz dun polinomio distinto de cero con coeficientes en K. Por exemplo,  é alxébrica sobre os números racionais, porque é unha raíz de  Se un elemento x de L é alxébrico sobre K, o polinomio mónico de menor grao que ten x como raíz chámase polinomio mínimo de x. Este polinomio mínimo é irredutíbel sobre K.

O conxunto dos elementos de L que son alxébricos sobre K forman unha subextensión, que se denomina peche alxébrico de K en L.

Unha extensión alxébrica  é unha extensión tal que todo elemento de L é alxébrico sobre K. De forma equivalente, unha extensión alxébrica é unha extensión que é xerada por elementos alxébricos. Por exemplo,  é unha extensión alxébrica de , porque  e  son alxébricas sobre 

Unha extensión simple é alxébrica se e só se é finita. Isto implica que unha extensión é alxébrica se e só se é a unión das súas subextensións finitas, e que toda extensión finita é alxébrica.

Todo corpo K ten un peche alxébrico, que é ata un isomorfismo o corpo de extensión máis grande de K que é alxébrico sobre K, e tamén o corpo de extensión máis pequeno tal que todo polinomio con coeficientes en K ten unha raíz nel. Por exemplo,  é un peche alxébrico de , pero non ´é un peche alxébrico de , xa que non é alxébrico sobre  (por exemplo  non é alxébrico sobre ).

 Extensión transcendental 
Dada unha extensión de corpo , un subconxunto S de L chámase alxebricamente independente sobre K se non existe unha relación polinómica non trivial con coeficientes en K entre os elementos de S. A maior cardinalidade dun conxunto alxebricamente independente chámase grao de transcendencia de L / K. 

Sempre é posíbel atopar un conxunto S, alxebricamente independente sobre K, tal que L / K(S) sexa alxébrico. Tal conxunto S denomínase base de transcendencia de L / K. 

Todas as bases de transcendencia teñen a mesma cardinalidade, igual ao grao de transcendencia da extensión. Unha extensión  dise que é  se e só se existe unha base de transcendencia S de  tal que L = K ( S ). 

Tal extensión ten a propiedade de que todos os elementos de L agás os de K son transcendentais sobre K, mais, con todo, hai extensións con esta propiedade que non son puramente transcendentais: unha clase destas extensións toma a forma L / K onde tanto L como K están pechados alxebricamente.

Por exemplo, considere a extensión  onde  é transcendental  e  é unha raíz da ecuación  Tal extensión pódese definir como  no que  e  son as clases de equivalencia de  e  Obviamente, o conxunto singleton  é transcendental sobre  e a extensión  é alxébrica; polo tanto  é unha base de transcendencia que non xera a extensión . Do mesmo xeito,  é unha base de transcendencia que non xera toda a extensión. Porén a extensión é puramente transcendental xa que, se facemos   logo temos  e  e así  xera toda a extensión.

 Extensións normais, separábeis e de Galois 
Unha extensión alxébrica  chámase normal se todo polinomio irredutíbel en K[X] que ten unha raíz en L factoriza completamente en factores lineares sobre L. Toda extensión alxébrica F / K admite un peche normal L, que é un corpo de extensión de F tal que  é normal e que é mínimo con esta propiedade.

Unha extensión alxébrica  chámase separábel se o polinomio mínimo de todo elemento de L sobre K é separábel, é dicir, non ten raíces repetidas nun peche alxébrico sobre K. Unha extensión de Galois é unha extensión de corpo normal e separábel.

Unha consecuencia do teorema do elemento primitivo afirma que toda extensión finita separábel ten un elemento primitivo (é dicir, é simple).

Dada calquera extensión de corpo , podemos considerar o seu grupo de automorfismos , consistente en tódolos automorfismos do corpo, α: L → L con α(x) = x para todo x en K. Cando a extensión é Galois, este grupo de automorfismo chámase grupo de Galois da extensión. As extensións cuxo grupo de Galois é abeliano chámanse extensións abelianas.

Para unha determinada extensión de corpo , adoitamos interesarnos polos corpos intermedios F (subcorpos de L que conteñen K). O significado das extensións de Galois e dos grupos de Galois é que permiten unha descrición completa dos corpos intermedios: hai unha bixección entre os corpos intermedios e os subgrupos do grupo de Galois, descrito polo teorema fundamental da teoría de Galois.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Teoría de corpos
 Extensión regular
 Corpo finito

 Ligazóns externas 


Categoría:Teoría de corpos
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas