Produto externo

En álxebra linear, o produto externo de dous vectores de coordenadas é a matriz cuxas entradas son tódolos produtos dun elemento no primeiro vector cun elemento no segundo vector. Se os dous vectores de coordenadas teñen dimensións n e m, entón o seu produto externo é unha matriz n × m. 

De forma máis xeral, dados dous tensores (matrices multidimensionais de números), o seu produto externo é un tensor. O produto externo dos tensores tamén se refire como o seu produto tensor, e pódese usar para definir a álxebra tensorial.

O produto externo contrasta con:

 O produto escalar (un caso especial de "produto interno"), que toma un par de vectores de coordenadas como entrada e produce un escalar
 O produto Kronecker, que toma un par de matrices como entrada e produce unha matriz de bloques
 Multiplicación matricial estándar
 O produto exterior con características similares ao produto vectorial

 Definición 
Dados dous vectores de tamaño  e  respectivamente



o seu produto externo, denotado como  defínese como a matriz   obtida multiplicando cada elemento de  por cada elemento de 



Ou en notación de índice:



Indicando o produto puntual por  se se dá un terceiro vector   entón  Se se dá un terceiro vector   entón 

Se  e  son vectores da mesma dimensión maiores que 1, entón  .

O produto externo  é equivalente a unha multiplicación matricial  sempre que  se represente como un  vector columna  e  como un vector columna  (que fai  un vector fila).   Por exemplo, se  e  entón 



Para vectores complexos, adoita ser útil tomar a transposta conxugada de  denotada como  ou  :



 Contraste co produto escalar euclidiano 
Se  entón pódese tomar o produto da matriz do outro lado, obtendo un escalar (ou matriz ):



 O produto externo de tensores 
Dados dous tensores  con dimensións  e , o seu produto externo  é un tensor con dimensións  e entradas



Por exemplo, se  é de orde 3 con dimensións  e  é de orde 2 con dimensións  entón o seu produto externo  é de orde 5 con dimensións  Se  ten unha compoñente  e  ten unha compoñente , entón a compoñente de  formado polo produto externo é .

 Conexión co produto de Kronecker 
O produto externo e o produto de Kronecker están intimamente relacionados; de feito o mesmo símbolo utilízase habitualmente para designar ambas as operacións.

Se  e , temos:



No caso dos vectores columna, o produto de Kronecker pódese ver como unha forma de vectorización (ou aplanamento) do produto externo. En particular, para vectores de dúas columnas  e , podemos escribir:



Outra identidade semellante que destaca aínda máis a semellanza entre as operacións é



onde non é necesario inverter a orde dos vectores. A expresión do medio usa a multiplicación matricial, onde os vectores son considerados como matrices columna/fila.

 Conexión co produto matricial 
Dado un par de matrices  de tamaño  e  de tamaño , considere o produto matricial  definido como é habitual como unha matriz de tamaño .

Agora sexa  o -ésimo vector columna de  e sexa  o -ésimo vector fila de . Daquela  pódese expresar como unha suma de produtos externos columna por fila:



 Propiedades 
O produto externo dos vectores cumpre as seguintes propiedades:



O produto externo dos tensores satisfai a propiedade de asociatividade adicional:



 Aplicacións 
Como o produto externo está moi relacionado co produto Kronecker, algunhas das aplicacións do produto Kronecker usan produtos externos. Estas aplicacións atópanse na teoría cuántica, procesamento de sinais e compresión de imaxes.

 Espinores (Spinors) 
Supoña  de xeito que  e  estean en . Entón o produto externo destes 2 vectores complexos é un elemento de , como matrices complexas 2 × 2:



O determinante desta matriz é  debido á propiedade conmutativa de .

Na teoría dos espinores en tres dimensións, estas matrices están asociadas con vectores isótropos debido a esta propiedade nula. 

Élie Cartan describiu esta construción en 1937,  mais foi introducida por Wolfgang Pauli en 1927 Pertti Lounesto (1997) Clifford Algebras and Spinors, page 51, Cambridge University Press  polo que  pasou a chamarse álxebra de Pauli.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 

 Álxebra exterior
 Produto de Kronecker
 Produto de matrices

Categoría:Álxebra lineal
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas