Fórmula de De Moivre

En matemáticas, a fórmula de De Moivre (tamén coñecida como teorema de De Moivre e identidade de De Moivre) afirma que para calquera número real  e  enteiro cúmprese que: 

onde  é a unidade imaxinaria (  ). A fórmula recibe o nome de Abraham de Moivre. A expresión  ás veces abréviase como .

A fórmula é importante porque conecta números complexos e trigonometría. Ao expandir o lado esquerdo e despois comparar as partes real e imaxinaria baixo o suposto de que  é real, é posíbel derivar expresións útiles para  e  en termos de  e .

Tal e como está escrito, a fórmula non é válida para potencias non enteiras . Porén, hai xeneralizacións desta fórmula válidas para outros expoñentes. Estas poden ser usadas para dar expresións explícitas para as raíces -ésimas da unidade, é dicir, números complexos  tal que .

 Exemplo 
Para  e , a fórmula de Moivre afirma que 

ou equivalentemente que

Neste exemplo, é fácil comprobar a validez da ecuación multiplicando o lado esquerdo.

 Relación coa fórmula de Euler 
A fórmula de De Moivre é un precursor da fórmula de Euler

con  expresado en radiáns en lugar de graos, o que estabelece a relación fundamental entre as funcións trigonométricas e a función exponencial complexa.

Pódese derivar a fórmula de De Moivre usando a fórmula de Euler e a lei exponencial de potencias enteiras.



xa que a fórmula de Euler implica que o lado esquerdo é igual a  mentres que o lado dereito é igual a 

 Fórmulas para coseno e seno individualmente 
Para unha igualdade de números complexos, temos necesariamente a igualdade tanto das partes reais como das partes imaxinarias de ambos os membros da ecuación. Se , e por tanto tamén  e , son números reais, entón a identidade destas partes pódese escribir usando coeficientes binomiais. Esta fórmula foi dada polo matemático francés do século XVI François Viète:



Aquí están as instancias concretas destas ecuacións para  e  :



O lado dereito da fórmula para  é de feito o valor  do polinomio de Chebyshev  en .

 Análogos noutros escenarios 

 Trigonometría hiperbólica 
Dado que , un análogo á fórmula de Moivre tamén se aplica á trigonometría hiperbólica. Para todos os números enteiros  ,



Se  é un número racional (mais non necesariamente un enteiro), entón  será un dos valores de .

 Extensión a números complexos 
Para calquera número enteiro , a fórmula cúmprese para calquera número complexo 



onde


 Notas 


 Véxase tamén 


 Outros artigos 
 Función trigonométrica

 Ligazóns externas 
 De Moivre's Theorem for Trig Identities by Michael Croucher, Wolfram Demonstrations Project.

Categoría:Trigonometría
Categoría:Teoremas
Categoría:Análise complexa