Serie de potencias

En matemáticas, unha serie de potencias (nunha variábel) é unha serie infinita da forma onde  representa o coeficiente do n-ésimo termo e c é unha constante chamada centro da serie. As series de potencias son útiles na análise matemática, onde xorden como series de Taylor de funcións infinitamente diferenciábeis. De feito, o teorema de Borel implica que toda serie de potencias é a serie de Taylor dalgunha función suave.

En moitas situacións, o centro c é igual a cero, por exemplo para a serie de Maclaurin. Nestes casos, a serie de potencias toma a forma máis sinxela 

 Exemplos 

 Serie xeométrica, función exponencial e seno 
A fórmula da serie xeométrica que é válida para , é un dos exemplos máis importantes dunha serie de potencias, así como a fórmula da función exponencial  e a fórmula do seno  válida para todos os x reais. Estas series de potencias son exemplos das series de Taylor (ou, máis concretamente, das series de Maclaurin).

 Raio de converxencia 
Unha serie de potencias  é converxente para algúns valores da variábel , que sempre incluirá  xa que  e a suma da serie é logo  para . A serie pode diverxer para outros valores de , posibelmente todos. Se  non é o único punto de converxencia, sempre hai un número  con  tal que a serie converxe sempre que  e diverxe sempre que . O número  chámase raio de converxencia da serie de potencias; en xeral dáse como  ou, equivalentemente, Este é o teorema de Cauchy-Hadamard; ver límite superior e límite inferior para unha explicación da notación. A relación  tamén se cumpre, se existe este límite.

O conxunto dos números complexos tal que  chámase disco de converxencia da serie. A serie converxe absolutamente dentro do seu disco de converxencia e converxe uniformemente en cada subconxunto compacto do disco de converxencia.

Para , non hai unha afirmación xeral sobre a converxencia da serie. Porén, o teorema de Abel afirma que se a serie é converxente para algún valor  tal que , entón a suma da serie para  é o límite da suma da serie para  onde  é unha variábel real menor que  que tende a .

 Funcións analíticas 
Unha función f definida nalgún subconxunto aberto U de R ou C chámase analítica se está dada localmente por unha serie de potencias converxentes. Isto significa que todo a ∈ U ten unha veciñanza aberta V ⊆ U, tal que existe unha serie de potencias con centro a que converxe a f (x) para todo x ∈ V.

Toda serie de potencias cun raio de converxencia positivo é analítica no interior da súa rexión de converxencia. Todas as funcións holomorfas son analíticas complexas. As sumas e produtos das funcións analíticas son analíticas, así como os cocientes sempre que o denominador sexa distinto de cero.

Se unha función é analítica, entón é infinitamente diferenciábel, mais no caso real a inversa non é xeralmente verdadeira. Para unha función analítica, os coeficientes an pódense calcular como 

onde  denota a derivada n-ésima de f en c, e . Isto significa que toda función analítica está representada localmente pola súa serie de Taylor.

 Serie formal de potencias 
Na álxebra abstracta, inténtase captar a esencia das series de potencias sen restrinxirse aos corpos dos números reais e complexos, e sen necesidade de falar de converxencia. Isto leva ao concepto de serie formal de potencias, un concepto de gran utilidade na combinatoria alxébrica.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Serie de Taylor.
 Ligazóns externas 


 Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.

Categoría:Serie matemática
Categoría:Análise complexa
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas