Lemniscata

En xeometría alxébrica, unha lemniscata é calquera das varias curvas en forma de oito ou . . A palabra provén do latín lēmniscātus, que significa "decorado con fitas", do grego λημνίσκος (lēmnískos), que significa "fita". 

As curvas que se chamaron lemniscata inclúen tres curvas cuárticas: a lemniscata de Booth, a lemniscata de Bernoulli e a lemniscata de Gerono. O lemniscata de Booth foi estudada por Proclo (século V), pero o termo "lemniscata" non se utilizou ata o traballo de Jacob Bernoulli a finais do século XVII.

 Historia e exemplos 
 Lemniscata de Booth 
miniatura| Lemniscata de Booth
A lemniscata pódese definir como unha curva alxébrica, o conxunto cero do polinomio cuártico  cando o parámetro d é negativo (ou cero para o caso especial no que a lemniscata se converte nun par de circunferencias tanxentes externamente). Para valores positivos de d obtense o óvalo de Booth.

 Lemniscata de Bernoulli 
miniatura| Lemniscata de Bernoulli
En 1694, Johann Bernoulli estudou o caso de lemniscata do óvalo de Cassini, agora coñecido como lemniscata de Bernoulli (mostrado arriba), en relación cun problema de "isócronas" que fora plantexado anteriormente por Leibniz. 

É unha curva alxébrica, o conxunto cero do polinomio . O irmán de Bernoulli, Jacob Bernoulli, tamén estudou a mesma curva no mesmo ano e deulle o seu nome, a lemniscata. 

Tamén se pode definir xeométricamente como o lugar xeométrico dos puntos cuxo produto das distancias de dous focos é igual ao cadrado da metade da distancia interfocal.  

É un caso especial da hipopoda (lemniscata de Booth), con , e pode formarse como unha sección transversal dun toro cuxo orificio interior e seccións transversais circulares teñen o mesmo diámetro entre si.  

As funcións elípticas lemniscáticas son análogos das funcións trigonométricas para a lemniscata de Bernoulli, e as constantes da lemniscata xorden ao avaliar a lonxitude do arco desta lemniscata.

 Lemniscata de Gerono 
miniatura|280x280px|Lemniscata de Gerono: conxunto solución de  
Outra lemniscata, a lemniscata de Gerono ou a lemniscata de Huygens, é o conxunto cero do polinomio cuártico. .   A curva de Viviani, unha curva tridimensional formada ao cortar unha esfera cun cilindro, tamén ten forma de oito e ten a lemniscata de Gerono como proxección plana.

 Outras 
Outras curvas alxébricas en forma de oito inclúen

 A curva do diaño, unha curva definida pola ecuación cuártica  no que un compoñente conectado ten forma de oito,.
 Curva de Watt, unha curva en forma de oito formada por un enlace mecánico. A curva de Watt é o conxunto cero da ecuación polinómica de graos seis  e ten como caso especial a lemniscata de Bernoulli.

 Notas 



 Véxase tamén 


 Outros artigos 
 Analema
 Infinito
 Atractor de Lorenz, un sistema dinámico tridimensional que presenta forma de lemniscata
 Lemniscata polinomial

 Ligazóns externas 


Categoría:Xeometría alxébrica