Xeometría diferencial de superficies

En matemáticas, a xeometría diferencial de superficies trata sobre a xeometría diferencial de superficies suaves con varias estruturas adicionais, a maioría das veces, unha métrica de Riemann.

As superficies foron estudadas amplamente desde varias perspectivas: extrínsecamente, en relación co seu mergullo no espazo euclidiano e intrínsecamente, reflectindo as súas propiedades determinadas unicamente pola distancia dentro da superficie medida ao longo das curvas da superficie. 

Un dos conceptos fundamentais investigados é a curvatura gaussiana, estudada por primeira vez en profundidade por Carl Friedrich Gauss,  quen demostrou que a curvatura era unha propiedade intrínseca dunha superficie, independentemente do seu mergullo isométrico no espazo euclidiano.

As superficies xorden naturalmente como gráficas de funcións dun par de variábeis, e ás veces aparecen en forma paramétrica ou como lugares xeométricos asociados a curvas espaciais. 

Un papel importante no seu estudo xogaron os grupos de Lie (no espírito do programa Erlangen), a saber, os grupos de simetría do plano euclidiano, a esfera e o plano hiperbólico.

 Superficies regulares no espazo euclidiano 

 Definición 
É intuitivamente claro que unha esfera é suave, mentres que un cono ou unha pirámide, polo seu vértice ou arestas, non o son. 

A noción de "superficie regular" é unha formalización da noción de superficie suave. A definición utiliza a representación local dunha superficie mediante mapas entre espazos euclidianos. Existe unha noción estándar de suavidade para eses mapas; un mapa entre dous subconxuntos abertos do espazo euclidiano é suave se as súas derivadas parciais de calquera orde existen en todo punto do dominio.   

Unha superficie regular no espazo euclidiano  é un subconxunto  de  tal que todo punto de  admite calquera dos seguintes tres conceptos: parametrizacións locais, parches de Monge ou funcións implícitas. 

A seguinte táboa dá definicións destes obxectos; as formas de Monge son quizais os máis intuitivos visualmente, xa que esencialmente di que unha superficie regular é un subconxunto de  que é localmente a gráfica dunha función suave (xa sexa sobre unha rexión no plano , no plano  ou no plano  ).
dereita|miniatura| Unha parametrización local da forma de Monge para o hemisferio superior da 2-esfera, obtida proxectando no plano 
Obxectos Definición Parametrizacións locais Unha veciñanza aberta  para a cal hai un subconxunto aberto  de  e un homeomorfismo  tal que

 , como unha función , é infinitamente diferenciábel (é dicir, suave)
 para todo punto de , as dúas derivadas parciais  e  son linearmente independentes como elementos de . Formas de Monge Unha veciñanza aberta  para a cal hai un subconxunto aberto  de  e unha función suave  tal que se cumpra unha das seguintes condicións:

  }
  }
  }. Funcións implícitas Unha veciñanza aberta  para a cal existe unha función suave  con:

  }
 en todo punto de , polo menos unha derivada parcial de  é distinta de cero.
Os homeomorfismos que aparecen na primeira definición coñécense como parametrizacións locais ou sistemas de coordenadas locais ou cartas locais en . A equivalencia das dúas primeiras definicións afirma que, ao redor de calquera punto dunha superficie regular, sempre existen parametrizacións locais da forma , , h , coñecidos como formas de Monge. 

As funcións  como na terceira definición chámanse funcións definidoras locais. A equivalencia das tres definicións dedúcese do teorema da función implícita. 
dereita|miniatura| Os cambios de coordenadas entre diferentes cartas locais deben ser suaves
Dadas dúas parametrizacións locais calquera  e  dunha superficie regular, a composición  é necesariamente suave como un mapa entre subconxuntos abertos de .  Isto mostra que calquera superficie regular ten naturalmente a estrutura dunha variedade suave, cun atlas suave dado polas inversas das parametrizacións locais.
miniatura| Unha hiperboloide de dúas follas
miniatura| Un toro
miniatura| Un helicoide
Exemplos simples. Un exemplo sinxelo de superficie regular vén dado pola 2-esfera  }; esta superficie pode estar cuberta por seis formas de Monge (dous de cada un dos tres tipos indicados anteriormente), tomando  . Tamén se pode cubrir mediante dúas parametrizacións locais, utilizando a  proxección estereográfica. O conxunto  } é un toro de revolución con raios  e . É unha superficie regular; as parametrizacións locais pódense dar da forma



A hiperboloide en dúas follas  } é unha superficie regular; pódese cubrir por dúas formas de Monge, con  . O helicoide aparece na teoría das superficies mínimas. Está cuberto por unha soa parametrización local,  .

 Vectores tanxentes e vectores normais 
Sexa  unha superficie regular en , e sexa  un elemento de . Usando calquera das definicións anteriores, pódense sinalar certos vectores en  como tanxentes a  en , e certos vectores en  como ortogonais a  en  .
Obxectos utilizados na definición Un vector  en  é tanxente a  en  se... Un vector  en  é normal a  en  se... Parametrizacións locais ... dada calquera parametrización local  con ,  é unha combinación linear de  e  ... é ortogonal a todo vector tanxente a  en  Formas de Monge ... para calquera forma de Monge  cuxo rango inclúa , temos



coas derivadas parciais avaliadas no punto . A definición análoga aplícase no caso dos parches de Monge das outras dúas formas. ... para calquera forma de Monge  cuxo rango inclúa ,  é un múltiplo de  como se avalía no punto . A definición análoga aplícase no caso das formas de Monge das outras dúas formas. Funcións implicitas ... para calquera función de definición local  cuxo dominio contén ,  é ortogonal a  ... para calquera función de definición local  cuxo dominio contén  ,  é un múltiplo de 

Vese que o espazo tanxente ou plano tanxente a  en , que se define como formado por todos os vectores tanxentes a  en , é un subespazo linear bidimensional de ; adoita denotarse por . 

O espazo normal a  en , que se define como formado por todos os vectores normais a  en , é un subespazo linear unidimensional de  que é ortogonal ao espazo tanxente . Como tal, en cada punto  de , hai dous vectores normais de lonxitude unidade (vectores normais unidade). Os vectores normais unidade en  pódense dar en termos de parametrizacións locais, formas de Monge ou funcións de definición locais, a través das fórmulas



seguindo as mesmas notacións que nas definicións anteriores.

Tamén é útil observar unha definición "intrínseca" dos vectores tanxentes, que é típica da xeneralización da teoría de superficies regulares para a configuración de variedades suaves. Define o espazo tanxente como un espazo vectorial real bidimensional abstracto, máis que como un subespazo linear de . Nesta definición, dise que un vector tanxente a  en  é unha asignación, a cada parametrización local  con , de dous números  e , tal que para calquera outra parametrización local  con  (e cos números correspondentes  e  ), temos



onde  é a matriz jacobiana da representación , avaliada no punto . A colección de vectores tanxentes a  en  ten naturalmente a estrutura dun espazo vectorial bidimensional. Un vector tanxente neste sentido corresponde a un vector tanxente no sentido anterior considerando o vector



en . A condición jacobiana en  e  asegura, pola regra da cadea, que este vector non depende de  .

Para funcións suaves nunha superficie, os campos vectoriais (é dicir, os campos vectoriais tanxentes) teñen unha interpretación importante como operadores ou derivacións de primeira orde. 

Sexa  unha superficie regular,  un subconxunto aberto do plano e  unha carta de coordenadas ou marco local. Se , o espazo  pódese identificar con . Do mesmo xeito  identifica campos vectoriais  con campos vectoriais en . Tomando as variábeis estándar  e , un campo vectorial ten a forma , con funcións suaves  e . Se  é un campo vectorial e  é unha función suave, entón  tamén é unha función suave. O operador diferencial de primeira orde  é unha derivación, é dicir, cumpre a regra de Leibniz 

Para os campos vectoriais  e  é sinxelo comprobar que o operador  é unha derivación correspondente a un campo vectorial. Chámase corchete de Lie . É antisimétrico  e satisfai a identidade de Jacobi:



En resumo, os campos vectoriais en  ou  forman unha álxebra de Lie baixo o corchete de Lie.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

; translated from the Russian by K. Vogtmann and A. Weinstein.

; translated from 2nd edition of  Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann (1951) by James Glazebrook.
; translated from Russian by V. V. Goldberg with a foreword by S. S. Chern.

 Volume I (1887), Volume II (1915) [1889], Volume III (1894), Volume IV (1896).

.
.
 translated by A.M. Hiltebeitel and J.C. Morehead; "Disquisitiones generales circa superficies curvas", Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827), pp. 99–146.
.
.



,

 Ian R. Porteous (2001) Geometric Differentiation: for the intelligence of curves and surfaces, Cambridge University Press .

 Full text of book


 Outros artigos 
 Superficie (matemáticas)
 Superficie (topoloxía)
 Variedade diferenciábel
 Regra da cadea

Categoría:Topoloxía
Categoría:Xeometría
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas