Fibra (matemáticas)

En matemáticas, a fibra dun elemento baixo unha función f é a imaxe recíproca do conxunto unitario { y }, é dicir:
.

Propiedades e aplicacións

Na teoría elemental de conxuntos

Se X e Y son o dominio e a imaxe de f, respectivamente, entón as fibras de f son os conxuntos

que forman unha partición do conxunto X. Obsérvese que y debe restrinxirse á imaxe de f, pois en caso contrario  sería o conxunto baleiro, que non se permite nunha partición. A fibra que contén un elemento  é o conxunto .

Exemplos 
 Por exemplo, sexa f a función de  en  que envía o punto (a,b) en a+b. A fibra de 5 baixo f é o conxunto dos puntos na recta de ecuación a+b=5. As fibras de f son esa recta e todas as rectas paralelas a ela, que forman unha partición do plano .

 Máis xeralmente, se f é unha aplicación linear dun espazo vectorial X a outro espazo Y, as fibras de f son subespazos afíns de X, é dicir, copias trasladadas do espazo nulo de f.

 Se f é unha función real de varias variables reais, as fibras son os conxuntos de nivel de f. Se f é ademais continua e  pertence á imaxe de f, o conxunto de nivel  será tipicamente unha curva en 2D, unha superficie en 3D, e máis xeralmente unha hipersuperficie no dominio de f.

As fibras de f son as clases de equivalencia da relación de equivalencia  definida en X tal que  se e só se 

En topoloxía

Na topoloxía conxuntista, adoitan considerarse funcións entre espazos topolóxicos.

Se f é unha función continua e se Y (ou máis xeralmente a imaxe f(X)) é un espazo T1, entón cada fibra é un subconxunto pechado de X. En particular, se f é un homeomorfismo local de X en Y, cada fibra de f é un subespazo discreto de X.

Unha función entre espazos topolóxicos chámase  se cada fibra é un subespazo conexo do seu dominio. Unha función  é monótona neste sentido topolóxico se e só se é non decrecente ou non crecente, que é o significado habitual de "función monótona" na análise real.

Unha función entre espazos topolóxicos chámase unha  se cada fibra é un subespazo compacto. Porén, moitos autores usan definicións diferentes e non equivalentes de "aplicación propia", polo que convén comprobar sempre o sentido preciso en cada caso. Unha función continua pechada e sobrexectiva cuxas fibras son todas compactas chámase unha .

Un feixe principal ou fibrado é unha función f entre espazos topolóxicos X e Y cuxas fibras posúan certas propiedades especiais relacionadas coa topoloxía destes espazos.

En xeometría alxébrica

En xeometría alxébrica, se  é un morfismo de esquemas, a fibra dun punto p en Y é o produto fibrado de esquemas

onde k(p) é o corpo residual en p.

Véxase tamén
 Bibliografía 


 Outros artigos 

 Fibrado
 Feixe principal
 Produto fibrado
 Teorema da imaxe recíproca
 Conxunto nulo

Categoría:Teoría de conxuntos