Desigualdade AM-GM

En matemáticas, a desigualdade das medias aritmética e xeométrica, ou máis brevemente a desigualdade AM-GM, afirma que a media aritmética dunha lista de números reais non negativos é maior ou igual á media xeométrica da mesma lista; e a maiores, que as dúas medias son iguais se e só se todos os números da lista son iguais (neste caso o resultado é precisamente ese número).

O caso non trivial máis sinxelo é para dous números non negativos  e , é dicir,



con igualdade se e só se . Isto débese ao feito de que o cadrado dun número real é sempre non negativo (maior ou igual a cero) e da identidade  :



Polo tanto , con igualdade cando , é dicir, . A desigualdade AM-GM dedúcese logo de tomar a raíz cadrada positiva de ambos os dous lados e despois dividir os dous lados por 2.

O caso máis sinxelo está implícito nos Elementos de Euclides, Libro 5, Proposición 25.

As extensións da desigualdade AM-GM tratan as medias ponderadas e as medias xeneralizadas.

 Fundamentos 
A media aritmética, ou menos precisamente a media, dunha lista de  números    é a suma dos números divididos entre :



A media xeométrica é similar, agás que só se define para unha lista de números reais non negativos, e usa multiplicación e raíz en lugar de suma e división:



Se   , isto é igual á exponencial da media aritmética dos logaritmos naturais dos números:



 A desigualdade 
Reformulando a desigualdade usando notación matemática, temos que para calquera lista de  números reais non negativos    ,



e o caso da igualdade cúmprese se e só se  .

 Interpretación xeométrica 
En dúas dimensións,  é o perímetro dun rectángulo con lados de lonxitude  e . Podemos ver que,  é o perímetro dun cadrado coa mesma área  que ese rectángulo. Así, para  a desigualdade AM-GM indica que un rectángulo dunha área determinada ten o perímetro máis pequeno se ese rectángulo tamén é un cadrado.

 Exemplos 

 Exemplo 1 
Se , entón a desigualdade AM-GM dinos que



 Exemplo 2 
Pódes atopar un límite superior simple para o factorial . AM-GM dinos





e así



con igualdade en  .

De forma equivalente,



 Exemplo 3 
Considere a función



para todos os números reais positivos ,  e . Supoñamos que queremos atopar o valor mínimo desta función. Pódese reescribir como:



con

Aplicando a desigualdade AM-GM para , obtemos



A maiores, sabemos que os dous lados son iguais exactamente cando todos os termos da media son iguais:



Todos os puntos  que cumpren estas condicións atópanse nunha media recta que comeza na orixe e están dados por



 Aplicacións 

 Rendibilidades anualizadas 
En matemáticas financeiras, a desigualdade AM-GM mostra que o rendemento anualizado, a media xeométrica, é menor que o rendemento anual medio, a media aritmética.

 Polinomios non negativos 
O polinomio de Motzkin  é un polinomio non negativo que non é unha suma de polinomios cadrados. Pódese demostrar que é non negativo usando a desigualdade AM-GM con , , e ,  é dicir, 

Simplificando e multiplicando ambos os lados por 3 dá:

así  

 Notas 


 Véxase tamén 

 Outros artigos 
 Desigualdade dos produtos de Young
 Desigualdades QM-AM-GM-HM

 Ligazóns externas 


Categoría:Desigualdades
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas