Conxunto denso

En topoloxía e outras áreas relacionadas das matemáticas, dise que un subconxunto A dun espazo topolóxico X é denso en X se todo punto de X pertence a A ou está arbitrariamente "próximo" a un membro de A, por exemplo, os números racionais son un subconxunto denso dos números reais porque todo número real é un número racional ou ten un número racional próximo a el (arbitrariamente diofantiano). Formalmente,  é denso en  se o subconxunto pechado máis pequeno de  que contén  é o propio . 

A  dun espazo topolóxico  é a menor cardinalidade dun subconxunto denso de 

 Definición 
Un subconxunto  dun espazo topolóxico  dise que é un  de  se cumpre algunha das seguintes condicións equivalentes:

 O subconxunto pechado máis pequeno de  que contén  é o propio .
 O pechamento de  en  é igual a  É dicir, 
 O interior do complementario de  está baleiro. É dicir, 
 Todo punto dentro  ou pertence a  ou é un punto límite de 
 Para todo  cada veciñanza  de  intersecta  é dicir, 
  intersecta todos os subconxuntos abertos non baleiros de 

e se  é unha base de conxuntos abertos para a topoloxía en  entón esta lista pódese ampliar para incluír:

 Para todo  cada veciñanza básica  de  intersecta 
  intersecta todos os non baleiros 

 Densidade en espazos métricos 
Unha definición alternativa de conxunto denso no caso de espazos métricos é a seguinte. Cando a topoloxía de  vén dada por unha métrica, o pechamento  de  en  é a unión de  e o conxunto de todos os límites de secuencias de elementos en  (os seus puntos límite), 

Daquela  é denso en  se 

Se  é unha secuencia de conxuntos abertos densos nun espazo métrico completo,  entón  tamén é densa en  Este feito é unha das formas equivalentes do teorema da categoría de Baire .

 Exemplos 
Os números reais coa topoloxía habitual teñen os números racionais como un subconxunto denso numerábel o que mostra que a cardinalidade dun subconxunto denso dun espazo topolóxico pode ser estritamente menor que a cardinalidade do propio espazo. 

Os números irracionais son outro subconxunto denso que mostra que un espazo topolóxico pode ter varios subconxuntos densos disxuntos (en particular, dous subconxuntos densos poden ser complementos entre si), e nin sequera teñen que ser da mesma cardinalidade. 

Quizais sexa aínda máis sorprendente que tanto os racionais como os irracionais teñen interiores baleiros, o que mostra que os conxuntos densos non precisan conter ningún conxunto aberto non baleiro.

A intersección de dous subconxuntos abertos densos dun espazo topolóxico é de novo densa e aberta.  

O conxunto baleiro é un subconxunto denso de si mesmo. Pero cada subconxunto denso dun espazo non baleiro tamén debe ser non baleiro.

Polo teorema de aproximación de Weierstrass, calquera función continua de valores complexos definida nun intervalo pechado  pódese aproximar uniformemente o máis preto que se desexe mediante unha función polinómica. Noutras palabras, as funcións polinómicas son densas no espazo  de funcións continuas de valores complexos no intervalo  equipado coa norma do supremo.

Todo espazo métrico é denso no seu completamento.

 Propiedades 
Todo espazo topolóxico é un subconxunto denso de si mesmo. Para un conxunto  equipado coa topoloxía discreta, todo o espazo é o único subconxunto denso. Todo subconxunto non baleiro dun conxunto  equipado coa topoloxía trivial é denso, e toda topoloxía para a que cada subconxunto non baleiro sexa denso debe ser trivial.

A densidade é transitiva: dados tres subconxuntos  e  dun espazo topolóxico  con  tal que  é denso en  e  é denso en  (na respectiva topoloxía subespacial) entón  tamén é denso en 

A imaxe dun subconxunto denso baixo unha función continua sobrexectiva volve ser densa. A densidade dun espazo topolóxico (a menor das cardinalidades dos seus subconxuntos densos) é unha invariante topolóxico.

Un espazo topolóxico cun subconxunto denso conexo é necesariamente conexo.

As funcións continuas en espazos de Hausdorff están determinadas polos seus valores en subconxuntos densos: se dúas funcións continuas  nun espazo de Hausdorff  concordan  cun subconxunto denso de  entón concordan en todo 

Para os espazos métricos hai espazos universais, nos que se poden mergullar todos os espazos de densidade dada: un espazo métrico de densidade  é isométrico a un subespazo de  o espazo de funcións continuas reais sobre o produto de  copias do intervalo unidade.

 Nocións relacionadas 
Un punto  dun subconxunto  dun espazo topolóxico  chámase punto límite de  (en ) se toda veciñanza de  tamén contén un punto de  distinto do propio , sendo un punto illado de  en caso contrario. Un subconxunto sen puntos illados dise que é denso en si.

Un subconxunto  dun espazo topolóxico  chámase denso en ningún lugar (en ) se non hai veciñanza en  sobre o que  é denso. De forma equivalente, un subconxunto dun espazo topolóxico non é denso en ningún lugar se e só se o interior do seu pechamento está baleiro. 

O interior do complemento dun conxunto denso en ningún lugar é sempre denso. 

O complemento dun conxunto pechado denso en ningún lugar é un conxunto aberto denso. 

Dado un espazo topolóxico  un subconxunto  de  que se pode expresar como a unión de numerosos subconxuntos densos en ningún lugar de  chámase escaso. Os números racionais, aínda que son densos nos números reais, son escasos como un subconxunto dos reais.

Un espazo topolóxico cun subconxunto denso numerábel chámase separábel. Un espazo topolóxico é un espazo de Baire se e só se a intersección de moitos conxuntos abertos densos numerábeis é sempre densa. Un espazo topolóxico chámase resoluble se é a unión de dous subconxuntos densos disxuntos. De forma máis xeral, un espazo topolóxico chámase κ-resolúbel para un  cardinal κ se contén κ conxuntos densos disxuntos por pares.

Un mergullo dun espazo topolóxico  como un subconxunto denso dun espazo compacto chámase compactación de 

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 






 Outros artigos 



Categoría:Topoloxía
Categoría:Teoría de conxuntos
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas