1-forma

En xeometría diferencial, unha 1-forma  (ou campo covector ou forma-un) nunha variedade diferenciábel é unha forma diferencial de grao un, é dicir, unha sección suave do fibrado cotanxente.  

De forma equivalente, unha 1-forma dunha variedade  é un mapeamento suave do espazo total do fibrado tanxente de  en  cuxa restrición a cada fibra é un funcional linear no espazo tanxente. Sexa   unha 1-forma. Daquela

Moitas veces, as 1-formas  descríbense localmente, especialmente en coordenadas locais. Nun sistema de coordenadas local, unha 1-forma é unha combinación linear das diferenciais das coordenadas: 

onde os  son funcións suaves. 

Desde esta perspectiva, unha 1-forma ten unha lei de transformación covariante ao pasar dun sistema de coordenadas a outro. 

Así, unha 1-forma única é un campo tensorial covariante de orde 1.

 Exemplos 
A 1-forma diferencial non trivial máis básica é a 1-forma de "mudanza de ángulo"  

Esta defínese como a derivada da "función" ángulo   (que só se define ata unha constante aditiva), que se pode definir explicitamente en termos da función atan2 () 

Tomando a derivada obtense a seguinte fórmula para a derivada total: Aínda que o ángulo "función" non se pode definir continuamente, a función atan2 é descontinua ao longo do eixo  negativo, o que reflicte o feito de que o ángulo non se pode definir continuamente, esta derivada defínese continuamente excepto na orixe, o que reflicte o feito de que mudanzas infinitesimais (e de feito locais) no ángulo poden definirse en tódalas partes excepto na orixe. 

Integrar esta derivada ao longo dun camiño dá o cambio total de ángulo sobre o camiño, e integrar nun bucle pechado dá o número de enrolamentos por 

Na linguaxe da xeometría diferencial, esta derivada é unha 1-forma  no plano furado. Está pechado (a súa derivada exterior é cero) mais non exacta, o que significa que non é a derivada dunha 0-forma (é dicir, unha función): o ángulo  non é unha función suave definida globalmente en todo o plano furado. 

De feito, esta forma xera a primeira cohomoloxía de Rham do plano furado. Este é o exemplo máis básico de tal forma, e é fundamental na xeometría diferencial.

 Diferencial dunha función 
Sexa  un aberto (por exemplo, un intervalo  ), e considere unha función diferenciábel  con derivada  

O diferencial  asigna a cada punto  un mapa linear do espazo tanxente  nos números reais.

Neste caso, cada espazo tanxente é naturalmente identificábel coa recta numérica real e o mapa linear  en cuestión vén dado escalando por  Este é o exemplo máis sinxelo dunha 1-forma diferencial.
 Notas 


 Véxase tamén 
 Outros artigos 






Categoría:Xeometría diferencial