Conxunto non numerábel

En matemáticas, un conxunto non numerábel, informalmente, é un conxunto infinito que contén demasiados elementos para poder ser numerábeis. 

A non numerabilidade dun conxunto está intimamente relacionada co seu número cardinal: un conxunto é non numerábel se o seu número cardinal é maior que aleph-cero, a cardinalidade dos números naturais.

Exemplos de conxuntos  non numerábeis inclúen o conxunto  de todos os números reais e o conxunto de todos os subconxuntos dos números naturais.

 Caracterizacións 
Hai moitas caracterizacións equivalentes da non numerabilidade. Un conxunto X é  non numerábel se e só se cumpre algunha das seguintes condicións:

 Non hai unha función inxectiva (polo tanto, non hai bixección) desde X ata o conxunto de números naturais.
 X non está baleiro e para cada ω-sucesión de elementos de X, existe polo menos un elemento de X non incluído nela. É dicir, X non está baleiro e non hai función sobrexectiva desde os números naturais a X.
 A cardinalidade de X non é nin finita nin igual a  (aleph-cero).
 O conxunto X ten cardinalidade estritamente maior que .

As tres primeiras destas caracterizacións pódense probar equivalentes na teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel sen o axioma de escolla, pero a equivalencia da terceira e da cuarta non se pode demostrar sen principios de escolla adicionais.

 Propiedades 
Se un conxunto non numerábel X é un subconxunto do conxunto Y, entón Y é non numerábel.

 Exemplos 
O exemplo máis coñecido dun conxunto non numerábel é o conxunto  de todos os números reais .

O argumento de diagonalización de Cantor mostra que este conxunto é non numerábel. 

A técnica de proba de diagonalización tamén se pode usar para demostrar que outros conxuntos son non numerábeis, como o conxunto de todas as secuencias infinitas de números naturais  (ver: , e o conxunto de todos os subconxuntos do conxunto de números naturais. 

A cardinalidade  chámase a miúdo cardinalidade do continuo e denótase por , ou , ou  (beth-un).

Outro exemplo dun conxunto non numerábel é o conxunto de todas as funcións de  en . Este conxunto é aínda "máis non numerábel" que  no sentido de que a cardinalidade deste conxunto é  (beth-dous), que é maior que .

 Sen o axioma da escolla 
Sen o axioma da escolla, poderían existir cardinalidades incomparábeis con  (é dicir, as cardinalidades dos conxuntos infinitos Dedekind-finitos ). 

Os conxuntos destas cardinalidades satisfán as tres primeiras caracterizacións anteriores, mais non a cuarta caracterización. Dado que estes conxuntos non son máis grandes que os números naturais no sentido de cardinalidade, algúns autores poden non querer chamalos non numerábeis.

Se se cumpre o axioma de escolla, as seguintes condicións nun cardinal  son equivalentes:


  e
 , onde  e  é o menor ordinal inicial maior que 

No entanto, todos poden ser diferentes se o axioma da escolla falta. Polo tanto, non é obvio cal é a xeralización adecuada de "non numerabilidade" cando o axioma falta. Se cadra sexa mellor evitar usar a palabra neste caso e especificar cal destes significa.
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974.  (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011.  (Paperback edition).

 Outros artigos 
 Número aleph
 Cardinalidade do continuo

Categoría:Teoría de conxuntos