Grupo linear xeral

En matemáticas, o grupo linear xeral (ou grupo lineal xeral) de grao   é o conxunto de  matrices cadradas invertibles , xunto coa operación de produto de matrices.  Isto forma un grupo, porque o produto de dúas matrices invertibles é outra vez invertible, e a inversa dunha matriz invertible é invertible, coa matriz  identidade como o elemento de identidade do grupo. O grupo é chamado así porque as columnas (e tamén as filas) dunha matriz invertible son linearmente independentes, por iso os vectores/puntos que definen están en posición xeral, e as matrices no grupo lineal xeral levan puntos en posición linear xeral a puntos en posición linear xeral.

Para ser máis preciso, é necesario  especificar que clase de obxectos poden aparecer nas entradas da matriz. Por exemplo, o grupo lineal xeral sobre  (o conxunto de números reais) é o grupo de matrices invertibles de números reais, e é denotado por  ou 

Máis xeralmente, o grupo lineal xeral de grao  sobre calquera corpo  (como os números complexos), ou un anel  (como o anel dos enteiros), é o conxunto de  matrices invertibles  con entradas desde  (ou ), outra vez coa multiplicación de matrices como operación do grupo. Unha notación típica é  ou  ou sinxelamente  cando se sobreentende o corpo.

Máis xeralmente aínda, o grupo linear xeral  dun espazo vectorial   é o seu grupo de automorfismos, non necesariamente escritos como matrices.

O grupo linear especial, denotado como  ou  é o subgrupo de  formado polas matrices con determinante igual a 1.

O grupo  e os seus subgrupos adoitan chamarse grupos lineares ou grupos matriciais (o grupo de automorfismos  é un grupo linear, pero non un grupo matricial). Estes grupos son importantes na teoría de representacións de grupos, e tamén aparecen no estudo das simetrías espaciais e das simetrías dos espazos vectoriais en xeral, así como no estudo dos polinomios. O grupo modular  pode realizarse como un cociente do grupo linear especial .

Se , entón o grupo  non é abeliano.

Grupo lineal xeral dun espazo vectorial

Se  é un espazo vectorial sobre o corpo , o grupo lineal xeral de , escrito  ou , é o grupo de todos os automorfismos de , é dicir, o conxunto de todas as transformacións lineais bixectivas , xunto coa composición de aplicacións como operación de grupo.  

Se  ten dimensión finita , entón  e  son isomorfos. O isomorfismo non é canónico; depende da escolla dunha base en . Dada unha base  de  e un automorfismo  en , temos para cada vector base ei que  

para certas constantes  en ; a matriz correspondente a  é entón simplemente a matriz cos elementos dados polos .  

De xeito semellante, para un anel conmutativo  o grupo  pode interpretarse como o grupo de automorfismos dun -módulo libre  de rango . Tamén se pode definir GL(M) para calquera -módulo, pero en xeral isto non é isomorfo a  (para ningún ).  

 En termos de determinantes   

Sobre un corpo , unha matriz é invertible se e só se o seu determinante é distinto de cero. Polo tanto, unha definición alternativa de  é como o grupo das matrices con determinante non nulo.  

Sobre un anel conmutativo , cómpre ter máis coidado: unha matriz sobre  é invertible se e só se o seu determinante é unha unidade en , é dicir, se o seu determinante é invertible en . Polo tanto,  pode definirse como o grupo das matrices cuxos determinantes son unidades.  

Sobre un anel non conmutativo , os determinantes non teñen un bo comportamento. Neste caso,  pode definirse como o grupo de unidades do anel de matrices .

 Historia 
O grupo lineal xeral sobre un corpo primo, , foi construído e a súa orde calculada por Évariste Galois en 1832, na súa última carta (a Chevalier) e no segundo dos (tres) manuscritos anexos, que empregou no contexto do estudo do grupo de Galois da ecuación xeral de orde .

Notas

 Véxase tamén 

 Ligazóns externas 


Categoría:Grupos de Lie
Categoría:Álxebra lineal
Categoría:Álxebra abstracta