Cardinalidade do continuo

Na teoría de conxuntos, a cardinalidade do continuo é a cardinalidade ou "tamaño" do conxunto dos números reais , ás veces chamado continuo. É un número cardinal infinito denotado por  (en minúscula Fraktur  "c") ou .

Os números reais  son máis numerosos que os números naturais . Alén disto,  ten o mesmo número de elementos que o conxunto de partes de . Simbólicamente, se a cardinalidade de  se denota como , a cardinalidade do continuo é

Isto foi demostrado por Georg Cantor na súa proba de non numerabilidade de 1874, parte do seu estudo innovador de diferentes infinitos. A desigualdade foi máis tarde afirmada de xeito máis sinxelo no seu argumento diagonal en 1891. Cantor definiu a cardinalidade en termos de funcións bixectivas: dous conxuntos teñen a mesma cardinalidade se, e só se, existe unha función bixectiva entre eles.

Entre dous números reais calquera a < b, por moi próximos que estean entre si, sempre hai infinitos outros números reais, e Cantor demostrou que son tantos como os contidos en todo o conxunto de números reais. Noutras palabras, o intervalo aberto (a, b) é equipotente con , así como con varios outros conxuntos infinitos, como calquera espazo euclidiano n-dimensional  (ver curva de recheo do espazo). É dicir,

O menor número cardinal infinito é  (aleph-cero). O segundo máis pequeno é  (aleph-un). A hipótese do continuo, que afirma que non hai conxuntos cuxa cardinalidade estea estritamente entre  e , quere dicir que . A verdade ou a falsidade desta hipótese é indecidíbel e non se pode probar dentro da amplamente usada teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel con axioma de escolla (ZFC).

 Propiedades 

 Non numerabilidade 
Georg Cantor introduciu o concepto de cardinalidade para comparar os tamaños de conxuntos infinitos. Mostrou que o conxunto de números reais é non numerabelmente infinito. É dicir,  é estritamente maior que a cardinalidade dos números naturais, :

 Igualdades cardinais 
Pódese usar unha variación do argumento diagonal de Cantor para demostrar o teorema de Cantor, que afirma que a cardinalidade de calquera conxunto é estritamente menor que a do seu conxunto de partes. É dicir, . 

A igualdade cardinal  pódese demostrar mediante a aritmética cardinal:

Usando as regras da aritmética cardinal, tamén se pode demostrar

onde n é calquera cardinal finito ≥ 2 e

onde  é a cardinalidade do conxunto de partes de R, e .

 Números  beth 

A secuencia dos números beth defínese pola configuración  e . Logo  é o segundo número beth, beth-un:

O terceiro número beth, beth-dous, é a cardinalidade do conxunto de partes de  (é dicir, o conxunto de todos os subconxuntos da recta real):

 A hipótese do continuo 

A hipótese do continuo afirma que  tamén é o segundo número aleph, . Noutras palabras, a hipótese do continuo afirma que non hai conxunto  cuxa cardinalidade se sitúe estritamente entre  e 

 Conxuntos con cardinalidade do continuo 
Un gran número de conxuntos estudados en matemáticas teñen cardinalidade igual a . Algúns exemplos comúns son os seguintes:

 os números reais 
 calquera intervalo  pechado ou aberto  non dexenerado de  (como o intervalo unitario )
 os números irracionais
 os números transcendentais
 o conxunto de Cantor
 o Espazo euclidiano Was Cantor Surprised?, Fernando Q. Gouvea, Marchêa, Montematical 2011.
 os números complexoss 
 o conxunto potencia dos números naturais (o conxunto de todos os subconxuntos dos números naturais)
 o conxunto de sucesións de enteiros (é dicir, todas as funcións  moitas veces denotadas 
 o conxunto de sucesións de números reais, 
 o conxunto de todas as funcións continuas dende  ata 
 a topoloxía euclidiana en  (é dicir, o conxunto de todos os conxuntos abertos en 
 a álxebra σ de Borel en  (é dicir, o conxunto de todos os conxuntos de Borel en 

 Conxuntos con maior cardinalidade 
Conxuntos con cardinalidade maior que  inclúen:

 o conxunto de todos os subconxuntos de  (é dicir, o conxunto de partes  )
 o conxunto 2R de funcións indicadoras definidas en subconxuntos dos reais (o conxunto  é isomorfo a , a función indicadora escolle elementos de cada subconxunto)
 o conxunto  de todas as funcións de  a 
 a σ-álxebra de Lebesgue , é dicir, o conxunto de todos os conxuntos medíbeis de Lebesgue en  .
 o conxunto de todas as funcións integrábeis de Lebesgue de  a 
 o conxunto de todas as funcións medíbeis de Lebesgue de  a 
 as compactacións de Stone-Čech de , , e 
 o conxunto de todos os automorfismos do corpo (discreto) dos números complexos.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974.  (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. .
Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. .

 Outros artigos 
 Cardinalidade
 Hipótese do continuo

 Ligazóns externas 


Categoría:Teoría de conxuntos
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas