Espazo vectorial xerado

En matemáticas, o espazo vectorial xerado  por un conxunto  (sistema xerador, en inglés span) dalgúns elementos dun espazo vectorial  é o subespazo linear máis pequeno de  que contén  

É o conxunto de todas as combinacións lineares finitas dos elementos de ,  p. 29, § 2.7 e tamén se pode ver como a intersección de todos os subespazos lineares que conteñen  Moitas veces denotado como   pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8 ou 

Por exemplo, en xeometría, dous vectores linearmente independentes xeran un plano.

 Definición 
Dado un espazo vectorial  sobre un corpo , o espazo vectorial xerado por un conxunto  de vectores (non necesariamente finito) defínese como a intersección  de todos os subespazos de  que conteñen a . É polo tanto o subespazo máis pequeno (na inclusión de conxuntos) que contén . Denomínase subespazo xerado por , ou polos vectores en . Se trocamos a orde da frase,  é o sistema xerador  de , e dicimos que  xera .

Desta definición despréndese que o espazo vectorial xerado por  é o conxunto de tódalas combinacións lineares finitas de elementos (vectores) de , e pódese definir como tal. p. 100, ch. 2, Definition 2.13  pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8  pp. 41-42 É dicir, 

 Exemplos 
O espazo vectorial real  ten {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} como sistema xerador. Este conxunto  tamén é unha base. Se (−1, 0, 0) fose substituído por (1, 0, 0), tamén formaría unha base denominada base canónica de .

Outro sistema xerador para o mesmo espazo vén dado por {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1,, 3), (1, 1, 1)}, mais este conxunto non é unha base, porque é linearmente dependente.

O conxunto  } non é un conxunto xerador de , porque o que xera ese conxunto é un espazo con todos os vectores en  cuxo último compoñente é cero. Ese espazo tamén se pode xerar polo conxunto de só dous vectores {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, xa que o terceiro (1, 1, 0) é unha combinación linear de (1, 0, 0) e (0, 1, 0). Por tanto, o espazo xerado non é , senón un plano de dúas dimensións dentro de .

O conxunto de monomios , onde  é un número enteiro non negativo, xera o espazo dos polinomios.

 Teoremas 

 Equivalencia de definicións 
O conxunto de todas as combinacións lineares dun subconxunto  de , un espazo vectorial sobre , é o subespazo linear máis pequeno de  que contén a .

 O tamaño do sistema xerados é polo menos o tamaño do conxunto linearmente independente 
Todo sistema xerador  dun espazo vectorial xerado    debe conter polo menos tantos elementos como calquera conxunto linearmente independente de vectores de .

 O sistema xerador pódese reducir a unha base 
Sexa  un espazo vectorial de dimensión finita. Calquera conxunto de vectores que xera  pódese reducir a unha base de , descartando algúns vectores se é necesario (é dicir, se hai vectores linearmente dependentes no conxunto). 

Se o axioma de escolla é válido, isto é certo tamén para dimensión infinita. Isto tamén indica que unha base é un sistema xerador mínimo cando  é de dimensión finita.

 Espazo vectorial xerado pechado (análise funcional) 
Na análise funcional, unha espazo vectorial pechado xerado por un conxunto de vectores é o conxunto pechado mínimo que contén o sistema xerador dese conxunto.

Supoña que  é un espazo vectorial normado e sexa  calquera subconxunto non baleiro de . O espazo vectorial pechado xerado  por , denotado como  ou , é a intersección de todos os subespazos lineares pechados de  que conteñen .

Unha formulación matemática disto é



 Un lema útil 
Sexa  un espazo normado e sexa  calquera subconxunto non baleiro de . Daquel(Por tanto, a forma habitual de atopar o espazo vectorial pechado xerado é atopar primeiro o espazo vectorial  xerado e despois o peche dese espazo vectorial).

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 






 Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.

 Outros artigos 
 Espazo vectorial.
 Sistema de ecuacións lineares
 Envolvente convexa

 Ligazóns externas 
 Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.

Categoría:Álxebra lineal
Categoría:Álxebra abstracta