Polinomio característico

Na álxebra linear, o polinomio característico dunha matriz cadrada é un polinomio que é invariante baixo a semellanza de matrices e ten os eigenvalores como raíces. Ten o determinante e a traza da matriz entre os seus coeficientes. 

O polinomio característico dun endomorfismo dun espazo vectorial de dimensión finita é o polinomio característico da matriz dese endomorfismo sobre calquera base (é dicir, o polinomio característico non depende da elección dunha base). 

A ecuación característica, tamén coñecida como ecuación determinante, é a ecuación obtida ao igualar o polinomio característico a cero.

Na teoría de grafos espectral, o polinomio característico dun grafo é o polinomio característico da súa matriz de adxacencia.

 Definición formal 
Considere unha matriz   . O polinomio característico de  denotado como  é o polinomio definido por  onde  denota a matriz de identidade .

Algúns autores definen o polinomio característico ser 

 Exemplos 
Para calcular o polinomio característico da matriz  calcúlase o determinante da seguinte matriz: e atopamos que o polinomio característico de  ven sendo 

Segundo exemplo, esta vez usando funcións hiperbólicas dun ángulo hiperbólico φ como coeficientes da matriz. Para a  matriz o seu polinomio característico é 

 Propiedades 
O feito máis importante sobre o polinomio característico xa se mencionou no parágrafo inicial os autovalores de  son precisamente as raíces de .

Para as  matrices  de dimensión  o polinomio característico vén dado por 

O teorema de Cayley-Hamilton estabelece que substituíndo  por  no polinomio característico (interpretando as potencias resultantes como potencias matriciais e o termo constante  como  veces a matriz identidade) dá a matriz cero. Informalmente falando, cada matriz satisfai a súa propia ecuación característica.

Dúas matrices semellantes teñen o mesmo polinomio característico. Porén, a inversa non é verdade en xeral: dúas matrices co mesmo polinomio característico poden non ser semellantes.

A matriz  e a súa transposta teñen o mesmo polinomio característico.  é semellante a unha matriz triangular se e só se o seu polinomio característico pode factorizarse completamente en factores lineares sobre  (o mesmo ocorre co polinomio mínimo en lugar do polinomio característico). Neste caso  é semellante a unha matriz na forma normal de Jordan.

 Polinomio característico de Ak 
Se  é un eigenvalor dunha matriz cadrada  con eigenvector  entón  é un eigenvalor de  porque 

Tamén se pode demostrar que as multiplicidades coinciden, e isto xeneralízase a calquera polinomio en lugar de :

O teorema aplícase a matrices e polinomios sobre calquera caorpo ou anel conmutativo. Porén, a suposición de que  ten unha factorización en factores lineares non sempre é verdade, a non ser que a matriz estea sobre un corpo alxebricamente pechado como os números complexos.
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 


 Outros artigos 
 Valor propio, vector propio e espazo propio
 Ligazóns externas 

Categoría:Álxebra lineal
Categoría:Polinomios
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas