Fórmula de Leibniz para π

En matemáticas, a fórmula de Leibniz para  (tamén serie de Leibniz), que recibe o nome de Gottfried Wilhelm Leibniz, da o valor de pi cuartos como serie alternada 

Ás veces chámase a serie Madhava-Leibniz xa que foi descuberta por primeira vez polo matemático indio Madhava de Sangamagrama ou os seus seguidores entre os séculos XIV e XV, e posteriormente foi redescuberta independentemente por James Gregory en 1671 e Leibniz en 1673. A serie de Taylor para a función da tanxente inversa, a miúdo chamada serie de Gregory, é 

A fórmula de Leibniz é o caso especial 

Tamén é a serie  de Dirichlet do carácter de Dirichlet non principal  módulo 4 avaliado en  e polo tanto o valor  da función beta de Dirichlet.

 Probas 
 Proba 1 
Consideramos a seguinte descomposición:

Para |x| < 1, a fracción da dereita é a suma dos termos restantes da serie xeométrica.

Agora aplicaremos esa descomposición á integral do arcotanxente.

Considerando só a integral do último termo, temos: 

Polo tanto, cando , ficamos coa serie de Leibniz: 

 Proba 2 
Sexa , cando , a serie  converxe uniformemente, entón 

Polo tanto, se  aproxima  de tal xeito que é continua e converxe uniformemente, a demostración é completa, onde, a serie   converxe polo test de Leibniz.

 Converxencia 
A fórmula de Leibniz converxe moi lentamente: presenta converxencia sublinear. Calcular  a 10 decimais correctos mediante a suma directa da serie require precisamente cinco mil millóns de termos porque
 para .

Para obter 4 cifras decimais correctas (erro de 0.00005) necesítanse 5000 termos.

No entanto, a fórmula de Leibniz pódese usar para calcular  con alta precisión (centos de díxitos ou máis) utilizando varias técnicas aceleración da converxencia. Por exemplo, pódense aplicar efizcamente a transformación de Shanks, a transformación de Euler ou a  transformación de Van Wijngaarden, que son métodos xerais para series alternadas. A maiores, a combinación de termos por parellas dá a serie non alternada 

 Produto de Euler 
A fórmula de Leibniz pódese interpretar como unha serie de Dirichlet usando o  único carácter de Dirichlet non principal módulo 4. Como con outras series de Dirichlet, isto permite converter a suma infinita nun produto infinito cun termo para cada número primo. Este produto chámase produto de Euler: 

Neste produto, cada termo é unha razón superparticular, cada numerador é un número primo impar e cada denominador é o múltiplo de 4 máis próximo ao numerador. O produto é condicionalmente converxente; os seus termos deben tomarse por orde crecente de .

 Notas 


 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Número pi
 Ligazóns externas 

Categoría:Serie matemática
Categoría:Teoría de números