Función enteira

Na análise complexa, unha función enteira, tamén chamada función completa, é unha función de valores complexos que é holomorfa en todo o plano complexo. Exemplos típicos de funcións enteiras son os polinomios e a función exponencial, e calquera suma finita, produto e composición destas, como as funcións trigonométricas seno e coseno e as súas contrapartes hiperbólicas sinh e cosh, así como as derivadas e as integrais de funcións enteiras como a función erro. Se unha función enteira  ten unha raíz en , entón , tomando o valor límite en , é unha función enteira. 

Por outra banda, o logaritmo natural, a función recíproca e a raíz cadrada non son todas funcións enteiras, nin se poden continuar analiticamente ata unha función enteira.

Unha función enteira transcendental é unha función enteira que non é un polinomio.

Así como as funcións meromorfas poden verse como unha xeneralización das fraccións racionais, as funcións enteiras poden verse como unha xeneralización dos polinomios. 

En particular, se para as funcións meromorfas pódese xeneralizar a factorización en fraccións simples (o teorema de Mittag-Leffler sobre a descomposición dunha función meromorfa), entón para funcións enteiras hai unha xeneralización da factorización: o teorema de factorización de Weierstrass de funcións enteiras.

 Propiedades 
Toda función enteira  pode representarse como unha única serie de potencias 

que converxe en todas as partes no plano complexo, polo tanto uniformemente en conxuntos compactos. O raio de converxencia é infinito, o que implica que 

ou, equivalentemente,  

Calquera serie de potencias que satisfaga este criterio representará unha función enteira.

O teorema de factorización de Weierstrass afirma que calquera función enteira pode ser representada por un produto que inclúe os seus ceros (ou "raíces").

O teorema de Liouville di que calquera función enteira limitada debe ser constante.

 Orde e tipo 
A orde (no infinito) dunha función enteira  defínese usando o límite superior como:

onde  é o disco de raio  e  denota a norma suprema de  on . A orde é un número real non negativo ou infinito (excepto cando  para todos os ). Noutras palabras, a orde de  é o ínfimo de todos  tal que:

O exemplo de  demostra que isto non significa que  se  é de orde  .

Se  tamén se pode definir o tipo:

Se a orde é 1 e o tipo é , dise que a función é "de tipo exponencial  ". Se é de orde inferior a 1 dise que é de tipo exponencial 0.

Se  
entón a orde e o tipo pódense atopar polas fórmulas 

 Exemplos 
Aquí temos algúns exemplos de funcións de varias ordes:

 Orde ρ 
Para números positivos arbitrarios  e  pódese construír un exemplo dunha función enteira de orde  e tipo  usando:

 Orde 0 

 Polinomios distintos de cero
 .

 Orde 1/4 
 onde 

 Orde 1/3 
 onde 

 Orde 1/2 
 con  (para a que o tipo vén dado por  )

 Orde 1 

  con  (  )


 as funcións de Bessel  e as funcións esféricas de Bessel  para valores enteiros de 
 función gamma recíproca  ( é infinito)


 Orde 3/2 

 Función de Airy 

 Orde 2 

  con  (  )
 A función G de Barnes (  é infinito).

 Orde infinita 



 Xénero ou Genus 
As funcións enteiras de orde finita teñen a representación canónica de Hadamard (teorema de factorización de Hadamard):

onde  son as raíces de  que non son cero (),  é a orde do cero de  en  (o caso   significando  ),  un polinomio (cuxo grao chamaremos ), e  é o número enteiro non negativo máis pequeno tal que a serie

converxe. O número enteiro non negativo  chámase o xénero ou genus da función enteira .

Se a orde  non é un número enteiro, entón  é a parte enteira de . Se a orde é un número enteiro positivo, hai dúas posibilidades:  ou  .

Por exemplo, ,  e  son funcións enteiras de xénero .

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 




 Outros artigos 
 Fórmula de Jensen
 Teorema de Carlson
 Tipo exponencial
 Teorema de Paley-Wiener
 Teoría de Wiman-Valiron

Categoría:Funcións
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas