Problema do círculo de Gauss

En matemáticas, o problema do círculo de Gauss é o problema de determinar cantos puntos da retícula de enteiros hai nun círculo centrado na orixe e con raio . 

Este número aproxímase coa área do círculo, polo que o verdadeiro problema é limitar con precisión o termo de erro que describa como o número de puntos difire da área. O primeiro avance nunha solución realizouno Carl Friedrich Gauss, de aí o seu nome.

 O problema 
Considere un círculo en  con centro na orixe e raio . O problema do círculo de Gauss pregunta cantos puntos hai dentro deste círculo da forma  onde  e  son ambos os dous enteiros. Dado que a ecuación deste círculo está dada en coordenadas cartesianas por , a pregunta é equivalente a preguntar cantos pares de enteiros m e n hai tal que



Se denotamos a resposta para un  dado como  entón a seguinte lista mostra os primeiros valores de  para un  enteiro entre 0 e 12 seguido da lista de valores  redondeado ao número enteiro máis próximo:




Se eliminamos o centro e dividimos por cuadrantes temos a secuencia


 Límites dunha solución e conxectura 
 é aproximadamente , a área dun círculo de raio . Isto débese a que, de media, cada cadrado unidade contén un punto da retícula. Así, o número real de puntos da retícula no círculo é aproximadamente igual á súa área, . Así que hai que esperar que



para algún termo de erro  de valor absoluto relativamente pequeno. 

Atopar un límite superior correcto para  é a forma que tomou o problema. Teña en conta que  non ten que ser un número enteiro. Despois de  temos  

Nestes lugares  aumenta en  despois do cal diminúe (a unha taxa de ) ata a próxima vez que aumenta.

Gauss conseguiu demostrar  que



Hardy e, independentemente, Landau atoparon un límite inferior mostrando que



usando a notación o pequeno. 

Suponse  que o límite correcto é



Escribindo , os límites actuais  son



co límite inferior de Hardy e Landau en 1915, e o límite superior probado por Martin Huxley en 2000.

 Formas exactas 
O valor de  pode ser dado por varias series. En termos dunha suma que implica a función chan pódese expresar como:





Esta é unha consecuencia do teorema dos dous cadrados de Jacobi, que se deduce case inmediatamente do produto triplo de Jacobi.

Aparece unha suma moito máis sinxela se a función suma de cadrados  defínese como o número de formas de escribir o número  como a suma de dous cadrados. Entón



O progreso máis recente baséase na seguinte identidade, que foi descuberta por primeira vez por Hardy:



onde  denota a función de Bessel do primeiro tipo con orde 1.

 Xeneralizacións 
Aínda que o problema orixinal pide puntos de retícula enteiros nun círculo, non hai razón para non considerar outras formas, por exemplo as cónicas; de feito, o  problema do divisor de Dirichlet é o problema equivalente onde o círculo é substituído pola hipérbola rectangular. 

Do mesmo xeito pódese estender a pregunta de dúas dimensións a dimensións máis altas e pedir puntos enteiros dentro dunha esfera ou doutros obxectos. 

Existe unha ampla literatura sobre estes problemas. Se ignoramos a xeometría e só consideramos o problema como un problema alxébrico de desigualdades diofantianas, entón poderíase aumentar os expoñentes que aparecen no problema de cadrados a cubos, ou máis.

 O problema primitivo do círculo 
Outra xeneralización é calcular o número de solucións enteiras de coprimos  para a desigualdade



Este problema coñécese como problema primitivo do círculo, xa que implica buscar solucións primitivas ao problema orixinal do círculo. Pódese entender intuitivamente como a pregunta de cantas árbores a unha distancia de r son visíbes no pomar de Euclides, situado na orixe. 

Se se denota o número desas solucións como entón os valores de  para  tomando valores enteiros pequenos son

      .

Usando as mesmas ideas que o problema habitual do círculo de Gauss e o feito de que a probabilidade de que dous enteiros sexan coprimos é , é relativamente sinxelo demostrar que


 Notas 


 Véxase tamén 


 Outros artigos 
 Teorema de Pick
 Retícula regular
 Ligazóns externas 

Categoría:Problemas non resoltos da Matemática
Categoría:Xeometría discreta
Categoría:Teoría de números
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas