Raíz da unidade módulo n

En teoría de números, e particularmente en aritmética modular, unha raíz k-ésima da unidade módulo n para os enteiros positivos k, n ≥ 2, é unha raíz da unidade no anel de enteiros módulo n; é dicir, unha solución x da ecuación (ou congruencia) . Se k é o expoñente máis pequeno deste tipo para x, entón x chámase raíz primitiva k-ésima da unidade módulo n.

As raíces da unidade módulo  son exactamente os números enteiros que son coprimos con . De feito, estes enteiros son raíces da unidade módulo  polo teorema de Euler, e os outros enteiros non poden ser raíces da unidade módulo , porque son divisores de cero módulo .

Unha raíz primitiva módulo , é un xerador do grupo de unidades do anel de enteiros módulo . Existen raíces primitivas módulo  se e só se  onde  e  son respectivamente a función de Carmichael e a función totiente de Euler.

Unha raíz de unidade módulo  é unha raíz primitiva  da unidade módulo  para algún divisor  de  e, pola contra, hai raíces primitivas -ésimas da unidade módulo  se e só se  é un divisor de 

 Raíces da unidade 

 Propiedades 

 Se x é unha raíz k-ésima da unidade módulo n, entón x é unha unidade (número invertíbel) cuxa inversa é . É dicir, x e n son coprimos.
 Se x é unha unidade, entón é unha raíz (primitiva) k-ésima da unidade módulo n, onde k é a orde multiplicativa de x módulo n.
 Se x é unha raíz k-ésima da unidade e  non é un divisor de cero, entón , porque



A falta dun símbolo amplamente aceptado, denotamos o número de k-ésimas raíces da unidade módulo n como . 

 Exemplos 
Sexa  e . Neste caso, hai tres raíces cúbicas da unidade (1, 2 e 4). Temos que , , .

Cando  porén, só hai unha raíz cúbica da unidade, a propia unidade 1. 

Este comportamento é bastante diferente do corpo dos números complexos onde cada número distinto de cero ten raíces k-ésimas.

 Raíces primitivas da unidade 

 Propiedades 

 O máximo expoñente base posíbel para raíces primitivas módulo  é , onde λ denota a función de Carmichael.
 Un expoñente base para unha raíz primitiva da unidade é un divisor de .
 Cada divisor  de  dá unha raíz primitiva -ésima da unidade. Pódese obter tal raíz escollendo unha -ésima  raíz primitiva da unidade (que debe existir por definición de λ), denominada  e calcular a potencia .
 Se x é unha raíz primitiva k-ésima da unidade e tamén unha (non necesariamente primitiva) raíz ℓ da unidade, daquela k é un divisor de ℓ. Isto é certo, porque a identidade de Bézout produce unha combinación linealr enteira de k e ℓ igual a . Como k é mínimo, debe ser  e  é un divisor de ℓ .

 Comprobando se x é unha raíz k-ésima primitiva da unidade módulo n 
Por exponenciación rápida, pódese comprobar se. Se isto é certo, x é unha raíz k-ésima da unidade módulo n mais non necesariamente primitiva. Se non é unha raíz primitiva, entón ha de haber algún divisor ℓ de k, con . 

É dicir, x é unha raíz primitiva k-ésima da unidade módulo n se e só se  e  para cada divisor primo p de n.

Por exemplo, se  todo número enteiro positivo menor que 17 é unha raíz 16 da unidade módulo 17, e os enteiros que son raíces  primitivas 16-ésimas da unidade módulo 17 son exactamente aqueles tal que 

 Atopando unha raíz primitiva k-ésima da unidade módulo n 
Entre as raíces primitivas k-ésimas da unidade, as raíces primitiva -ésimas son as máis frecuentes. Así, recoméndase probar algúns enteiros para ver se son unha raíz primitiva -ésima, o que terá éxito rapidamente. Para unha raíz primitiva -ésima x, o número  é unha raíz primitiva -ésima   da unidade. Se k non divide , entón non haberá raíces k-ésimas  da unidade, en absoluto.
 Notas 


 Véxase tamén 
 Outros artigos 
aritmética modular
raíz da unidade

Categoría:Teoría de números