Produto infinito

En matemáticas, para unha secuencia de números complexos a1, a2, a3, ... o produto infinito



defínese como o límite dos produtos parciais a1 a2 ... an, a medida que n aumenta sen límite. Dise que o produto converxe cando existe o límite e non é cero. En caso contrario, dise que o produto diverxe. Un límite cero é tratado especialmente para obter resultados análogos aos de sumas infinitas.  Se o produto converxe, entón o límite dao valor de an a medida que n aumenta ata o infinito debe ser 1, mentres que a inversa en xeral non é certa.

Os exemplos máis coñecidos de produtos infinitos son probablemente algunhas das fórmulas para π, como os seguintes dous produtos, respectivamente de Viète (a fórmula de Viète, o primeiro produto infinito publicado en matemáticas) e John Wallis (produto de Wallis):




 Criterios de converxencia 
O produto de números reais positivos



converxe a un número real distinto de cero se e só se a suma



converxe. Isto permite traducir os criterios de converxencia para sumas infinitas en criterios de converxencia para produtos infinitos. 

Se a serie  diverxe a , entón a secuencia de produtos parciais da an converxe a cero. Dise que o produto infinito diverxe a cero.

 Representacións de funcións de produtos 
Un resultado importante sobre produtos infinitos é que toda función enteira f(z) (é dicir, cada función que é holomorfa sobre todo o plano complexo) pode factorizarse nun produto infinito de funcións enteiras, cada unha cunha única raíz como máximo. En xeral, se f ten unha raíz de orde m na orixe e ten outras raíces complexas en u1, u2, u3, ... (listados con multiplicidades iguais ás súas ordes), entón



onde λn son enteiros non negativos que se poden escoller para facer converxer o produto, e  é algunha función enteira (o que significa que o termo anterior ao produto non terá raíces no plano complexo). A factorización anterior non é única, xa que depende da escolla dos valores para λn. No entanto, para a maioría das funcións, haberá algún número enteiro non negativo p tal que λn = p dea un produto converxente, chamado representación canónica do produto. Este p chámase rango do produto canónico. No caso de que p = 0, esta toma a forma



Isto pódese considerar como unha xeneralización do teorema fundamental da álxebra, xa que para polinomios, o produto faise finito e  é constante.

A maiores destes exemplos, destacan as seguintes representacións:
FunciónProduto infinitoNotasPolo simpleFunción sincIsto débese a Euler (produto infinito de Euler). A fórmula de Wallis para π é un caso especial disto.Recíproca da función gamma SchlömilchFunción sigma de WeierstrassAquí  é a retícula sen a orixe.Q-símbolo de PochhammerAmplamente unsado na teoría de q-análogos. A Función de Euler é un caso especial.Función theta de RamanujanUnha expresión do produto triplo de Jacobi, tamén usado na expresión da función theta de JacobiFunción zeta de RiemannAquí pn denota o n-ésimo número primo. Este é un caso especial do produto de Euler.
A última delas non é unha representación de produto do mesmo tipo que se discutiu anteriormente, xa que ζ non é unha función enteira. Pola contra, a representación do produto anterior de ζ(z) converxe precisamente para Re( z ) > 1, onde é unha función analítica. Mediante técnicas de continuación analítica, esta función pódese estender unicamente a unha función analítica (aínda denotada ζ (z)) en todo o plano complexo agás no punto z = 1, onde ten un polo simple.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 




 Outros artigos 
Series infinitas
Teorema do número pentagonal

 Ligazóns externas 
Infinite products from Wolfram Math World
A Collection of Infinite Products – I
A Collection of Infinite Products – II

Categoría:Análise matemática
Categoría:Serie matemática