Teorema de Ceva

miniatura|Teorema de Ceva, caso 2: as tres rectas concorren nun punto  fóra de 
Na xeometría euclidiana, o teorema de Ceva é un resultado sobre os triángulos. Dado un triángulo , considéranse as rectas  trazadas desde os vértices ata un punto común  (que non pertence a ningún dos lados de ), de modo que cortan os lados opostos en , respectivamente. (Os segmentos  chámanse cevianas). Entón, empregando lonxitudes con signo dos segmentos:



(a lonxitude  considérase positiva ou negativa segundo que  estea á esquerda ou á dereita de , segundo unha orientación fixa da recta. Por exemplo,  é positiva se  está entre  e , e negativa no caso contrario).

O teorema de Ceva pertence á xeometría afín, no sentido de que pode formularse e demostrarse sen empregar os conceptos de ángulos, áreas ou lonxitudes (agás para cocientes de lonxitudes de segmentos colineais). Por tanto, é válido para triángulos en calquera plano afín sobre calquera corpo.

Tamén é certa unha versión recíproca lixeiramente adaptada: se os puntos  se escollen sobre , respectivamente, de modo que



entón as rectas  son concorrentes, ou ben todas son paralelas. Esta recíproca adoita incluírse como parte do teorema.

O teorema atribúese habitualmente a Giovanni Ceva, que o publicou no seu traballo de 1678, De lineis rectis. Porén, xa fora demostrado moito antes por Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd, rei de Zaragoza no século XI.

As figuras asociadas dan lugar a varios termos derivados do nome de Ceva: ceviana (as rectas  son as cevianas de ), triángulo ceviano (o triángulo  é o triángulo ceviano de ); nacemento de cevianas, triángulo anticeviano, conxugado de Ceva. (Ceva pronúnciase /chéiva/; ceviana pronúnciase /cheviána/).

O teorema é moi semellante ao teorema de Menelao, pois as súas expresións difiren só no signo. Ao reescribilos en termos de razóns cruzadas, vese que son duais proxectivos.

 Notas 


Categoría:Xeometría