Test M de Weierstrass

En matemáticas, o test M de Weierstrass é un test para determinar se unha serie infinita de funcións converxen de forma uniforme e absoluta. Aplícase a series cuxos termos son funcións limitadas con valores reais ou complexos, e é análogo ao test de comparación para determinar a converxencia de series de números reais ou complexos. Leva o nome do matemático alemán Karl Weierstrass (1815–1897).

 Enunciado 
Test M de Weierstrass. Supoña que (fn) é unha sucesión de funcións de valores reais ou complexos definidas nun conxunto A, e que hai unha sucesión de números non negativos (Mn) que satisfai as condicións

  para todos os  e todo .
  converxe.

Daquela a serie



converxe absoluta e uniformemente en A.

Unha serie que satisfai a hipótese chámase normalmente converxente. O resultado úsase a miúdo en combinación co teorema do límite uniforme. Xuntos din que se, a maiores das condicións anteriores, o conxunto A é un espazo topolóxico e as funcións fn son continuas en A, entón a serie converxe a unha función continua.

 Proba 
Considere a sucesión de sumas parciais de funcións



Posto que a serie  converxe e  para todo , entón polo criterio de Cauchy,



Para o  escollido,




(A desigualdade (1) dedúcese da desigualdade do triángulo).

A sucesión  é así unha secuencia de Cauchy en R ou C, e por completude converxe a algún número  que depende de x. Para n > N podemos escribir



Dado que N non depende de x, isto significa que a secuencia  de sumas parciais converxe uniformemente á función S. De aí, por definición, a serie  converxe uniformemente.

De xeito análogo, pódese probar que  converxe uniformemente.

Exemplo
Sexa  un número real, entón a función de Weierstrass: , continua en todas as  partes, mais non é diferenciábel en lugar ningún.E. M. Stein, R. Shakarchi: Fourier Analysis. An Introduction. University Press Group Ltd (2003), Theorem 3.1, S. 114. 

A continuidade desta función pódese probar co test M de Weierstrass. É certo que :  así como: 

converxe uniformemente segundo o test M de Weierstrass. 

As sumas parciais individuais forman agora unha secuencia de funcións continuas que converxen uniformemente a . Así,  é continua como tal límite.

 Xeneralización 
Unha versión máis xeral do test M de Weierstrass cúmprese se o codominio común das funcións (fn) é un espazo de Banach, nese caso a premisa



debe ser substituído por

 ,

onde  é a norma no espazo de Banach. Para un exemplo do uso desta proba nun espazo de Banach, consulte o artigo Derivada de Fréchet.
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 





 Outros artigos 
 Serie converxente
 Test de condensación de Cauchy

Categoría:Análise complexa