Familia indexada

En matemáticas, unha familia, ou familia indexada, é informalmente unha colección de obxectos, cada un asociado a un índice dun conxunto índice. 

Máis formalmente, unha familia indexada é unha función matemática xunto co seu dominio  e imaxe  (é dicir, as familias indexadas e as funcións matemáticas son tecnicamente idénticas, só que os puntos de vista son diferentes). 

O conxunto  chámase o conxunto índice da familia, e  é o conxunto indexado.

As sucesións son un tipo de familias indexadas por números naturais. 

En xeral, o conxunto de índices  non está restrinxido a ser numerábel. Por exemplo, pódese considerar unha familia non numerábel de subconxuntos de números naturais indexados polos números reais.

 Definición formal 
Sexan  e  conxuntos e  unha función tal que

onde  é un elemento de  e a imaxe  de  baixo a función  denotase por . 

Por exemplo,  está denotado por  O símbolo  utilízase para indicar que  é o elemento de  indexado por  
A función  estabelece así unha familia de elementos en  indexados por  que se denotan como  ou simplemente  se se asume que o conxunto de índices é coñecido. 

As funcións e as familias indexadas son formalmente equivalentes, xa que calquera función  cun dominio  induce unha familia  e á inversa. Ser un elemento dunha familia equivale a estar no rango da función correspondente. Na práctica, porén, unha familia é vista como unha colección, máis que como unha función.

Unha familia indexada  define un conxunto  é dicir, a imaxe de  baixo  Posto que o mapa  non se require que sexa inxectivo, pode existir  con  tal que  

Así, , onde  denota a cardinalidade do conxunto  

Por exemplo, a secuencia  indexada polos números naturais  ten unha imaxe definida  A maiores, o conxunto  non leva información sobre ningunha estrutura  Polo tanto, ao usar un conxunto en lugar da familia, pode perderse algunha información. Por exemplo, unha ordenación no conxunto de índices dunha familia induce unha ordenación na familia, pero non unha ordenación no conxunto de imaxes correspondente.

 Subfamilia indexada 
Unha familia indexada  é unha subfamilia dunha familia indexada  se e só se  é un subconxunto de  e  cúmprese para todos os  

 Exemplos 

 Vectores indexados 
Por exemplo, considere a seguinte frase:

Aquí  denota unha familia de vectores. O -ésimo vector  só ten sentido en relación a esta familia, xa que os conxuntos son en si propios desordenados polo que non hai -ésimo vector dun conxunto. 

A maiores, a independencia linear defínese como unha propiedade dunha colección; polo tanto, é importante se eses vectores son linearmente independentes como conxunto ou como familia. Por exemplo, se temos en conta  e  como o mesmo vector, entón o conxunto deles consta dun só elemento (xa que un conxunto é unha colección de elementos distintos non ordenados) e é linearmente independente, pero a familia contén o mesmo elemento dúas veces (xa que está indexado de forma diferente) e é linearmente dependente (os vectores repetidos son linearmente dependentes).

 Outros exemplos 
Sexa  o conxunto finito  onde  é un número enteiro positivo.

 Un par ordenado (2-tuplas) é unha familia indexada polo conxunto de dous elementos,  cada elemento do par ordenado está indexado por un elemento do conxunto 
 Unha -tupla é unha familia indexada polo conxunto 
 Unha secuencia infinita é unha familia indexada polos números naturais.
 Unha lista é un -tupla para un determinado  non especificado  que podería ser unha secuencia infinita.
 Unha  matriz  é unha familia indexada polo produto cartesiano  cuxos elementos son pares ordenados; por exemplo,  indexa o elemento da matriz na segunda fila e na quinta columna.

 Operacións sobre familias indexadas 
Os conxuntos de índices úsanse a miúdo en sumas e outras operacións similares. Por exemplo, se  é unha familia indexada de números, a suma de todos eses números denotase por 

Cando  é unha familia de conxuntos, a unión de todos eses conxuntos denotase por 

Así mesmo úsase ese concepto con nomencaltura similar de subíndices para interseccións e produtos cartesianos.

 Uso na teoría de categorías 
O concepto análogo na teoría de categorías chámase diagrama. Un diagrama é un functor que dá lugar a unha familia indexada de obxectos nunha categoría , indexada por outra categoría  e relacionada por morfismos que dependen de dous índices.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 Mathematical Society of Japan, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd edition, 2 vols., Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993.  Cited as EDM (volume).

 Outros artigos 
 Unión disxunta
 Sucesión (matemáticas)
 Diagrama (teoría das categorías)
 Conxunto índice
 Ligazóns externas 
 Familia

Categoría:Teoría de conxuntos
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Teoría das categorías