Espazo ba

En matemáticas, o espazo ba  dunha álxebra de conxuntos  é o espazo de Banach que consiste en todas as medidas con signo finitamente aditivas e limitadas en . A norma defínese como a variación, é dicir 

Se Σ é unha sigma-álxebra, entón o espazo  defínese como o subconxunto de  que consiste en medidas numerabelmente aditivas. A notación ba é unha abreviatura de bounded additive (aditivo limitado) e ca é a abreviatura de countably additive (aditivo numerábel).

Se X é un espazo topolóxico e Σ é a sigma-álxebra dos conxuntos de Borel en X, entón  é o subespazo de  que consiste en todas as medidas regulares de Borel en X. 

 Propiedades 
Os tres espazos son completos (son espazos de Banach) en relación á mesma norma definida pola variación total, e polo tanto  é un subconxunto pechado de , e  é un conxunto pechado de  para Σ a álxebra dos conxuntos de Borel en X. O espazo de funcións simples en  é denso en .

O espazo ba do conxunto de partes dos números naturais, ba (2N), denótase a miúdo simplemente como  e é isomorfo ao espazo dual do espazo ℓ∞.

 Dual de B(Σ) 
Sexa B(Σ) o espazo de funcións Σ-medíbeis limitadas, equipadas coa norma uniforme. Entón ba (Σ) = B(Σ)* é o espazo dual continuo de B(Σ). Isto débese a Hildebrandt  e Fichtenholtz e Kantorovich . 

Este é un tipo de teorema da representación de Riesz que permite representar unha medida como un funcional linear en funcións medíbeis. En particular, este isomorfismo permite definir a integral en relación a unha medida aditiva finitamente (téñase en conta que a integral de Lebesgue habitual require aditividade numerábel). Isto débese a Dunford e Schwartz  e úsase a miúdo para definir a integral en relación ás medidas vectoriais  e, especialmente, ás medidas de Radon con valores vectoriais.

A dualidade topolóxica ba (Σ) = B(Σ)* é doada de ver. Existe unha dualidade alxébrica evidente entre o espazo vectorial de todas as medidas finitamente aditivas σ en Σ e o espazo vectorial de funcións simples (  ). É doado comprobar que a forma linear inducida por σ é continua na norma superior se σ está limitada, e o resultado dedúcese por mor de que unha forma linear no subespazo denso de funcións simples esténdese a un elemento de B(Σ)* se é continua na norma superior.

 Dual de L∞(μ) 
Se Σ é unha sigma-álxebra e μ é unha medida positiva sigma-aditiva en Σ , entón o Lp-espazo L∞(μ) dotado da norma suprema esencial é por definición o espazo cociente de B(Σ) polo subespazo pechado de funcións μ-nulas limitadas:



Polo tanto , o espazo dual de Banach L∞(μ)* é isomorfo a



é dicir, o espazo de medidas con signo finitamente aditivas en Σ que son absolutamente continuas en relación a μ ( μ-ac para abreviar).

Cando o espazo de medidas é tamén sigma-finito, entón L∞(μ) é á súa vez dual de L1(μ), que polo teorema de Radon-Nikodym identifícase co conxunto de todas as medidas μ-ac numerabelmente aditivas. Noutras palabras, a inclusión no bidual



é isomorfo á inclusión do espazo de medidas μ-ac numerabelmente aditivas limitadas dentro do espazo de todas as medidas  μ-ac finitamente aditivas limitadas.

 Notas 



 Véxase tamén 

 Bibliografía 


 Outros artigos 
 Espazo de Banach
 Teoría da medida

Categoría:Teoría da medida