Matriz semellante

En matemáticas, dise que dúas matrices cadradas A e B son semellantes se existe unha matriz invertíbel P tal que .

A semellanza é unha relación de equivalencia.

Dúas matrices son semellantes se e só se representan o mesmo endomorfismo dun espazo vectorial en dúas (posíbelmente) bases diferentes.

Non se debe confundir a noción de matrices semellantes coa de matrices equivalentes. Por outra banda, se dúas matrices son semellantes, entón son equivalentes. Unha forma de determinar se dúas matrices son semellantes é reducilas, é dicir, levalas a unha forma estándar: diagonal, forma canónica de Jordan ...

 Invariantes de semellanza 
As aplicacións sobre o espazo de matrices cadradas cuxo resultado é idéntico para unha matriz e unha matriz semellante a ela chámanse invariantes de semellanza.

O rango, o polinomio característico (en particular o determinante, os valores propios e a traza) e o polinomio mínimo son invariantes de semellanza, pero non forman un sistema completo, é dicir, non sempre son suficientes para detectar a non semellanza de dúas matrices.

A descomposición de Frobenius proporciona un sistema completo de invariantes de semellanza. Permítenos demostrar que calquera matriz cadrada é semellante á súa transposta.

 Exemplo 
As seguintes matrices son semellantes :


  (a matriz compañeira do polinomio característico de ).

De feito, escollendo unha matriz de columna  real distinta de cero. por exemplo , a continuación, facendo , , operando temos 


agora con
  (invertíbel) =  ,

conseguimos  así

 .

Comprobamos operando:


 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
  (A semellanza é discutida en moitos lugares, a partir da páxina 44.)

 Outros artigos 
 Teorema de Specht
 Semellanza
 Autosemellanza
 Ligazóns externas 
 Similarity

Categoría:Matrices