Raíz cadrada de dous

A raíz cadrada de dous, denotada como , é o único número real positivo cuxo cadrado (é dicir, o resultado da súa multiplicación por si mesmo) é dous:  .

A raíz cadrada de dous é un número irracional,  é dicir, non é posíbel atopar dous enteiros  e  tal que 

Crese que  foi o primeiro número irracional recoñecido como tal. Este importante descubrimento atribúeselle a Hippaso de Metaponto, da escola de Pitágoras. Segundo a lenda, a demostración custoulle a vida ao seu descubridor, xa que contradí as ideas predominantes entre os pitagóricos de que todo era un número (enteiro).

Un triángulo rectángulo cuxos catetos miden 1 ten unha hipotenusa de lonxitude  .

A fracción  (≈ 1,4142 857) úsase ás veces como unha boa aproximación racional cun denominador razoábelmente pequeno.

A secuencia A002193 na Enciclopedia en liña de secuencias enteiras está formada polos díxitos da expansión decimal da raíz cadrada de 2, aquí truncadas a 65 cifras decimais:



 Notación 
A raíz cadrada de dous pódese escribir como:

 , lea "raíz cadrada de dous" ou "raíz de dous".
  ou , lese como "dous elevado a un medio".

 Secuencia converxente á raíz cadrada de dous 
Pódese construír facilmente unha secuencia de números racionais que se achegan (converxen) a  :



Esta relación de recorrencia produce a secuencia:



Ou, aproximadamente:



Teña en conta que o método estabiliza o noveno decimal despois de só cinco pasos.

Recíproco
O inverso multiplicativo (recíproco) da raíz cadrada de dous é unha constante amplamente utilizada, co valor decimal: Decimal expansion of 1/sqrt(2) 

Atópase a miúdo en xeometría e trigonometría porque o vector unitario, que forma un ángulo de 45° cos eixos nun plano, ten coordenadas

Cada coordenada cumpre

Representacións
Serie e produto
A identidade , xunto coas representacións infinitas do produto para  seno e coseno, leva a produtos como

ou equivalentemente,

O número tamén se pode expresar tomando a serie de Taylor dunha función trigonométrica. Por exemplo, a serie para  dá

A serie de Taylor de  con  e usando o duplo factorial  dá

A converxencia desta serie pódese acelerar cunha transformada de Euler, producindo

Non se sabe se  se póode representar cunha fórmula de tipo BBP. No entanto, coñécense fórmulas de tipo BBP para  e .

O número pódese representar mediante unha serie infinita de fraccións exipcias, con denominadores definidos por termos 2n-ésimos dunha relación de recorrencia de tipo Fibonacci  

Fracción continua
miniatura|335px|A raíz cadrada de 2 e aproximacións por converxentes de fraccións continuas
A raíz cadrada de dous ten a seguinte representación como fracción continua regular :

en forma abreviada 

Os converxentes  formados ao truncar esta representación forman unha secuencia de fraccións que aproximan a raíz cadrada de dous con precisión crecente e que se describen polos número de Pell (é dicir, ). Os primeiros converxentes son:  e o converxente seguinte a  é . A función converxente  difire de  en case exactamente , o que se deduce de:

Cadrado aniñado
As seguintes expresións con cadrados aniñadas converxen a 

 Aplicacións 
 Tamaño do papel 
En 1786, o profesor alemán de física Georg Christoph Lichtenberg  descubriu que calquera folla de papel cuxo bordo longo sexa  veces máis grande que o seu bordo curto podíase dobrar pola metade e aliñarse co seu lado curto para producir unha folla coas mesmas proporcións que a orixinal. 

Esta relación entre as lonxitudes do lado máis longo sobre o lado máis curto garante que cortar unha folla pola metade ao longo dunha liña dá como resultado que as follas máis pequenas teñan a mesma relación de aspecto (aproximada) que a folla orixinal. 

Cando Alemaña estandarizou os tamaños de papel a principios do século XX, utilizaron a proporción de Lichtenberg para crear a serie "A" de tamaños de papel. Hoxe, a relación (aproximada) de tamaños de papel en ISO 216 (A4, A0, etc.) é 1: 

 Ciencias físicas 
Existen algunhas propiedades interesantes que inclúen a raíz cadrada de 2 nas ciencias físicas:

 A raíz cadrada de dous é a relación de frecuencias dun intervalo de trítonos na música de doce tons de temperamento igual.
 A raíz cadrada de dous forma a relación de f-paradas en lentes fotográficas, o que á súa vez significa que a relación das áreas entre dúas aberturas sucesivas é 2.
 A latitude celeste (declinación) do Sol durante os puntos astronómicos dun cuarto de día cruzado é igual á inclinación do eixo do planeta dividida por 

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 


 Outros artigos 
 Número pi
 Teorema de Pitagoras
 Ligazóns externas 
 Cinco milhões de casas decimais da raiz quadrada de 2

Categoría:Números