Funcións pares e impares

miniatura| A función coseno e todos os seus polinomios de Taylor son funcións pares.
En matemáticas, unha función par é unha función real tal que  para cada  no seu dominio. Do mesmo xeito, unha función impar é unha función tal que  para cada  no seu dominio.

Noméanse pola paridade das potencias das funcións potencia que satisfán cada condición: a función  é par se n é un enteiro par e é impar se n é un enteiro impar.

As funcións pares son aquelas funcións reais cuxa gráfica é autosimétrica en relación ao eixo  e as impares son aquelas cuxa gráfica é autosimétrica en relación á orixe.

 Definición e exemplos 

 Función par 
dereita|miniatura|  é un exemplo dunha función par.
Unha función real  é par se, para todo  no seu dominio,  tamén está no seu dominio e ou equivalentemente 

Xeométricamente, a gráfica dunha función par é simétrica en relación ao eixo y, o que significa que a súa gráfica permanece sen mudanzas despois da reflexión sobre o eixo y.

Exemplos de funcións pares son:

 O valor absoluto 

  para calquera número enteiro par 
 coseno 
 coseno hiperbólico 
 Función gaussiana 

 Función impar 
dereita|miniatura|  é un exemplo dunha función impar.
Unha función real  é impar se, para cada  no seu dominio,  tamén está no seu dominio e  ou equivalentemente 

Xeométricamente, a gráfica dunha función impar ten simetría de rotación en relación á orixe, o que significa que a súa gráfica permanece sen mudanzas despois de xirar 180 graos sobre a orixe.

Se  está no dominio dunha función impar , entón .

Exemplos de funcións impares son:

 A función signo 
 A función de identidade 
  para calquera número enteiro impar 
 seno 
 seno hiperbólico 
 A función erro 

dereita|miniatura|  non é par nin impar.

 Propiedades analíticas 
O feito de que unha función sexa par ou impar non implica diferenciabilidade nin continuidade. Por exemplo, a función de Dirichlet é par, mais non é continua.

A continuación considéranse propiedades que inclúen derivadas, series de Fourier e series de Taylor, e suponse que estes conceptos están definidos para as funcións consideradas.

 Propiedades analíticas básicas 

 A derivada dunha función par é impar.
 A derivada dunha función impar é par.
 A integral dunha función impar de −A a +A é cero (onde A pode ser finita ou infinita, e a función non ten asíntotas verticais entre −A e A ). Para unha función impar que é integrábel nun intervalo simétrico, p , o resultado da integral sobre ese intervalo é cero; é 
  .
 A integral dunha función par de −A a +A é o dobre da integral de 0 a +A (onde A é finita, e a función non ten asíntotas verticais entre −A e A. Isto tamén é certo cando A é infinita, mais só se a integral converxe); é dicir
  .

 Series 

 A serie de Maclaurin dunha función par inclúe só potencias pares.
 A serie de Maclaurin dunha función impar inclúe só potencias impares.
 A serie de Fourier dunha función par periódica inclúe só termos coseno.
 A serie de Fourier dunha función periódica impar inclúe só termos seno.
 A transformada de Fourier dunha función par puramente real é real e par. 
 A transformada de Fourier dunha función impar puramente real é imaxinaria e impar.
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
Función de Hermite para unha xeneralización en números  complexos
Serie de Taylor
Serie de Fourier
Método de Holstein-Herring

Categoría:Cálculo
Categoría:Funcións