Q-símbolo de Pochhammer

No campo matemático da combinatoria, o  q-símbolo de Pochhammer, tamén chamado  q-factorial desprazado, é o produto 
 con 
É un q-análogo do símbolo de Pochhammer , no sentido de que 

O q-símbolo de Pochhammer é un bloque importante na construción de q-análogos; por exemplo, na teoría das series hiperxeométricas básicas, xoga o papel que xoga o símbolo común de Pochhammer na teoría das series hiperxeométricas xeneralizadas.

A diferenza do símbolo de Pochhammer común, o q-símbolo de Pochhammer pódese estender a un produto infinito: 

Esta é unha función analítica de q no interior do disco unidade, e tamén se pode considerar como unha serie de potencias formal en q. O caso especial 

coñécese como función de Euler, e é importante en combinatoria, teoría de números e teoría de formas modulares.

 Identidades 
O produto finito pódese expresar en termos de produto infinito: 

que estende a definición aos enteiros negativos n. Así, para n non negativo, temos
 e 

Alternativamente, 

que é útil para algunhas das función xeradoras das  funcións de partición.

O q-símbolo de Pochhammer é o obxecto dunha serie de identidades de q-series, particularmente as expansións da serie infinita 
 e 

que son ambos os dous casos especiais do teorema q-binomial : 

Fridrikh Karpelevich atopou a seguinte identidade (ver    para a proba): 

 Interpretación combinatoria 
O q-símbolo de Pochhammer está moi relacionado coa combinatoria enumerativa das particións. 

O coeficiente de  en 

é o número de particións de m como máximo en n partes. 

Dado que, pola conxugación de particións, este é o mesmo que o número de particións de m en partes de tamaño como máximo n, mediante a identificación de series xeradoras obtemos a identidade 

como no apartado anterior.

Tamén temos que o coeficiente de  en 

é o número de particións de m en n ou n -1 partes distintas.

O recíproco da función  de xeito similar xorde como a función xeradora da función de partición, , que tamén se amplía coas dúas segundas expansións da q-serie que se indican a continuación:

O teorema q-binomial en si tamén se pode manexar mediante un argumento combinatorio lixeiramente máis complicado de aspecto similar (ver tamén as expansións dadas na seguinte subsección).

Do mesmo xeito, 

 Convención de argumentos múltiples 
Dado que as identidades que inclúen q-símbolos de Pochhammer implican con tanta frecuencia produtos de moitos símbolos, a convención estándar é escribir un produto como un único símbolo de múltiples argumentos: 

 q-serie 
Unha q-serie é unha serie na que os coeficientes son funcións de q, normalmente expresións de . Os primeiros resultados débense a Euler, Gauss e CauchyBruce C. Berndt, What is a q-series?, in Ramanujan Rediscovered: Proceedings of a Conference on Elliptic Functions, Partitions, and q-Series in memory of K. Venkatachaliengar: Bangalore, 1–5 June 2009, N. D. Baruah, B. C. Berndt, S. Cooper, T. Huber, and M. J. Schlosser, eds., Ramanujan Mathematical Society, Mysore, 2010, pp. 31–51.. O estudo sistemático comeza con Eduard Heine (1843). J. Reine Angew. Math. 34 (1847), 285–328.

 Relación con outras q-funcións 
O q-análogo de n, tamén coñecido como  q-corchete ou  q-número de n, defínese como 
 A partir deste pódese definir o q-análogo do factorial, o q-factorial, como

Estes números son análogos no sentido de que 

e tamén 

Un produto de q-corchetes enteiros negativos pódese expresar en termos do factor q como  

A partir dos q-factoriais, pódese pasar a definir os q-'coeficientes binomiais, tamén coñecidos como coeficientes binomiais gaussianos, como 

onde é fácil ver que o triángulo destes coeficientes é simétrico no sentido de que

para tódolos . 

Pódese comprobar que

Tamén se pode ver nas relacións de recorrencia anteriores que as seguintes variantes do teorema q-binomial amplíase en función destes coeficientes do seguinte xeito:

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. .
 Roelof Koekoek and Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, section 0.2.
 Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ,  , 
M.A. Olshanetsky and V.B.K. Rogov (1995), The Modified q-Bessel Functions and the q-Bessel-Macdonald Functions, arXiv:q-alg/9509013.

 Outros artigos 
 Serie hiperxeométrica
 Función theta de Jacobi
 Función q-theta
 Identidade de q-Vandermonde
 Identidades de Rogers-Ramanujan
 Fracción continua de Rogers-Ramanujan

 Ligazóns externas 






Categoría:Teoría de números
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas