Número aleph

En matemáticas, particularmente na teoría de conxuntos, os números aleph (ou alef) son unha secuencia de números que se usa para representar a cardinalidade (ou tamaño) de conxuntos infinitos. Foron introducidos polo matemático Georg Cantor e reciben o nome do símbolo que utilizaba para denotalos, a letra do hebreo aleph (ℵ).

A cardinalidade máis pequena dun conxunto infinito é a dos números naturais, denotado por  (léase alef-cero ou aleph-nulo); a seguinte cardinalidade maior dun conxunto ben ordenado é  despois  despois  e así seguido. Continuando deste xeito, é posíbel definir un número cardinal infinito  para cada número ordinal .

O concepto e a notación débense a Georg Cantor, que definiu a noción de cardinalidade e deuse conta de que os conxuntos infinitos poden ter cardinalidades diferentes.

Os números aleph difiren do infinito () que adoita atoparse en álxebra e cálculo, xa que os alefs miden o tamaño dos conxuntos, mentres que o infinito defínese habitualmente como un límite extremo da recta numérica real (aplicado a unha función ou secuencia que "diverxe ata o infinito" ou "aumenta sen límite"), ou como un punto extremo da recta numérica real estendida.

 Aleph-cero 
 (aleph-cero) é a cardinalidade do conxunto de todos os números naturais, e é un cardinal infinito. O conxunto de todos os ordinais finitos, chamado  ou  (onde  é a letra grega minúscula omega), tamén ten cardinalidade . Un conxunto ten cardinalidade  se e só se é numerabelmente infinito, é dicir, hai unha bixección (correspondencia un a un) entre el e os números naturais. Exemplos destes conxuntos son

 o conxunto de números naturais,
 o conxunto de todos os números enteiros ,
 calquera subconxunto infinito de números enteiros, como o conxunto de todos os números cadrados ou o conxunto de todos os números primos,
 o conxunto de todos os números racionais ,
 o conxunto de todos os números construíbeis (no sentido xeométrico),
 o conxunto de todos os números alxébricos,
 o conxunto de todas as funcións computábeis,
 o conxunto de todas as cadeas binarias de lonxitude finita 
 o conxunto de todos os subconxuntos finitos de calquera conxunto numerábel infinito dado.

Entre os conxuntos numerábeis infinitos atópanse certos ordinais infinitos,incluíndo por exemplo , , , , ,  

Por exemplo, a secuencia (con tipo de orde  ) de todos os enteiros impares positivos seguidos de todos os enteiros pares positivos  é unha ordenación (con cardinalidade  ) do conxunto de enteiros positivos.

 Aleph-un 
 é a cardinalidade do conxunto de todos os números ordinais numerábeis. Este conxunto é denotado como  (ou ás veces Ω). O conxunto  é en si un número ordinal maior que todos os numerábeis, polo que é un conxunto non numerábel. Polo tanto,  é a cardinalidade máis pequena que é maior que  a menor cardinalidade infinita.

A definición de  implica (en ZF, teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel sen o axioma de escolla) que ningún número cardinal está entre  e  Se se usa o axioma da escolla, pódese probar a maiores que a clase de números cardinais está totalmente ordenada e, polo tanto,  é o segundo número cardinal infinito máis pequeno. 

Pódese demostrar unha das propiedades máis útiles do conxunto : Calquera subconxunto numerábel de  ten un límite superior dentro de  (Isto dedúcese do feito de que a unión dun número numerábel de conxuntos numerábeis é en si mesmo numerábel). Este feito é análogo á situación en  : Todo conxunto finito de números naturais ten un máximo que tamén é un número natural, e as unións finitas de conxuntos finitos son finitas.

Un exemplo de aplicación do ordinal  consiste en "pechar" en relación ás operacións numerábeis; por exemplo, tentando describir explicitamente a σ-álxebra xerada por unha colección arbitraria de subconxuntos (ver por exemplo a xerarquía de Borel). 

Isto é máis difícil que a maioría das descricións explícitas de "xeración" en álxebra (espazos vectoriais, grupos, etc.) porque neses casos só temos que pechar en relación a operacións finitas, como sumas, produtos, etc. 

O proceso implica definir, para cada ordinal numerábel, mediante indución transfinita, un conxunto considerando todas as unións posíbeis e os complementos e tomando de todas elas sobre todas as de  

 Hipótese do continuo 

A cardinalidade do conxunto de números reais ( cardinalidade do continuo) é 2 . Non se pode determinar a partir de ZFC (Teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel aumentada co axioma de escolla) onde este número encaixa exactamente na xerarquía de números aleph, mais de ZFC despréndese que a hipótese do continuo (CH) é equivalente á identidade

 2 = .

 Aleph-omega 
Aleph-omega é 

onde o menor ordinal infinito denotase como . É dicir, o número cardinal  é o límite superior mínimo de .

Notabelmente,  é o primeiro número cardinal non numerábel que se pode demostrar dentro da teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel que non é igual á cardinalidade do conxunto de todos os números reais : Para calquera número natural , podemos asumir coherentemente que , e a maiores é posíbel supor que  é tan grande como calquera número cardinal que nos guste. 

 Aleph-α para un α en xeral 
Para definir  para un número ordinal arbitrario , debemos definir a operación cardinal sucesora, que asigna a calquera número cardinal  o seguinte cardinal máis grande e ben ordenado  (se se cumpre o axioma de escolla, este é o cardinal máis grande (único) seguinte).

Entón podemos definir os números aleph do seguinte xeito:



  para  un ordinal límite infinito.

O -ésimo ordinal inicial infinito escríbese . A súa cardinalidade escríbese  .

 Notas 

 Véxase tamén 

 Outros artigos 
 Número beth
 Cardinalidade
 Infinito
 Número transfinito
 Número ordinal

 Ligazóns externas 



Categoría:Números
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas