Espazo vectorial normado

En matemáticas, un espazo vectorial normado ou espazo normado é un espazo vectorial sobre os números reais ou complexos nos que se define unha norma. Unha norma é unha xeneralización da noción intuitiva de "lonxitude" no mundo físico. Se  é un espazo vectorial sobre , onde  é un corpo igual a  ou a , entón unha norma en  é un mapa , normalmente denotado como , cumprindo os seguintes catro axiomas:

 Non negatividade: para todo ,  .
 Definición positiva: para todo ,  se e só se  é o vector cero.
 Homoxeneidade absoluta: para todo  e , 

 Desigualdade triangular: para todo  e , 

Se  é un espazo vectorial real ou complexo como o anterior, e  é unha norma en , entón o par ordenado  chámase espazo vectorial normado. Se polo contexto fica claro cal é a norma que se pretende usar, entón é común denotar o espazo vectorial normado simplemente por .

Unha norma induce unha distancia, chamada a súa , mediante a fórmula 
,
o que converte calquera espazo vectorial normado nun espazo métrico e nun espazo vectorial topolóxico. Se o espazo é real e de dimensión finita, entón é un espazo de Minkowski. Se este espazo métrico é completo, entón o espazo normado é un espazo de Banach. 

Todo espazo vectorial normado pode ser "estendido de forma única" a un espazo de Banach, o que fai que os espazos normados estean intimamente relacionados cos espazos de Banach. Todo espazo de Banach é un espazo normado, pero o contrario non é certo. Por exemplo, o conxunto das secuencias finitas de números reais pode ser normado coa norma euclidiana, pero non é completo para esta norma.

Un espazo de produto interno é un espazo vectorial normado cuxa norma é a raíz cadrada do produto interno dun vector consigo mesmo. A norma euclidiana dun espazo vectorial euclidiano é un caso especial que permite definir a distancia euclidiana mediante a fórmula 

O estudo dos espazos normados e os espazos de Banach é unha parte fundamental da análise funcional, un subcampo importante das matemáticas.

 Definición 
Un espazo vectorial normado é un espazo vectorial equipado cunha norma. Un  é un espazo vectorial equipado cunha seminorma.

Unha variación útil da desigualdade triangular é 

para calquera vector  e 

Isto tamén demostra que unha norma vectorial é unha función (uniformemente) continua.

A propiedade 3 depende da escolla dunha norma  no corpo dos escalares. Cando o corpo escalar é  (ou máis xeralmente un subconxunto de ), soe considerarse o valor absoluto ordinario, mais son posíbeis outras opcións. Por exemplo, para un espazo vectorial sobre  poderíamos facer que  fose o  valor absoluto -ádico.

 Estrutura topolóxica 
Se  é un espazo vectorial normado, a norma  induce unha métrica (unha noción de distancia) e, polo tanto, unha topoloxía en  Esta métrica defínese de xeito natural: a distancia entre dous vectores  e  está dado por  Esta topoloxía é precisamente a topoloxía máis débil que fai que  sexa continuo e compatíbel coa estrutura linear de  no seguinte sentido:

 A suma vectorial  é conxuntamente continua en relación a esta topoloxía. Isto dedúcese directamente da desigualdade triangular.
 A multiplicación escalar  onde  é o corpo escalar subxacente de  é conxuntamente continua. Isto dedúcese da desigualdade triangular e da homoxeneidade da norma.

De especial interese son os espazos normados completos, coñecidos como . Todo espazo vectorial normado  atópase como un subespazo denso dentro dalgún espazo de Banach; este espazo de Banach está esencialmente definido de forma única por  e chámase a  de 

Un espazo vectorial normado  é localmente compacto se e só se a bóla unitaria  é compacta, o que ocorre se e só se  é de dimensión finita; isto é unha consecuencia do lema de Riesz. (De feito, un resultado máis xenérico é certo: un espazo vectorial topolóxico é localmente compacto se e só se é de dimensión finita. A cuestión aquí é que non asumimos que a topoloxía provén dunha norma).

A topoloxía dun espazo vectorial seminormado ten moitas propiedades interesantes. Dado un sistema de veciñanza  arredor de 0 podemos construír todos os demais sistemas de veciñanza como 

con 

A maiores, existe unha base de veciñanzas para a orixe que consiste en conxuntos absorbentes e convexos. Como esta propiedade é moi útil na análise funcional, as xeneralizacións de espazos vectoriais normados con esta propiedade estúdanse baixo o nome de espazos localmente convexos.

Unha norma (ou seminorma)  nun espazo vectorial topolóxico  é continua se e só se a topoloxía  que  induce en  é máis grosa que  (é dicir, ), o que ocorre se e só se existe algunha bóla aberta  en  (como se cadra por exemplo) que está aberto en  (dito de xeito diferente, de tal xeito que ).

 Espazo normábel 
Un espazo vectorial topolóxico  chámase normábel se existe unha norma  en  de tal xeito que a métrica canónica  induce a topoloxía  en  O seguinte teorema débese a Kolmogorov: 

Criterio de normabilidade de Kolmogorov: un espazo vectorial topolóxico de Hausdorff é normábel se e só se existe unha veciñanza convexa e limitada de von Neumann de 

 Mapas lineares e espazos duais 
Os mapas máis importantes entre dous espazos vectoriais normados son as aplicacións lineares continuas. Xunto con estes mapas, os espazos vectoriais normados forman unha categoría.

A norma é unha función continua no seu espazo vectorial. Todas as aplicacións lineares entre espazos vectoriais de dimensión finita tamén son continuas.

Unha isometría entre dous espazos vectoriais normados é unha aplicación linear  que preserva a norma (é dicir,  para todos os vectores ). As isometrías son sempre continuas e inxectivas. Unha isometría sobrexectiva entre os espazos vectoriais normados  e  chámase isomorfismo isométrico e  e  chámanse isométricamente isomóorfos. Os espazos vectoriais normados isometricamente isomorfos son idénticos para todos os fins prácticos.

Ao falar de espazos vectoriais normados, ampliamos a noción de espazo dual para ter en conta a norma. O dual  dun espazo vectorial normado  é o espazo de todas as aplicacións lineares continuas desde  ao corpo base (os complexos ou os reais): estas aplicacións lineares chámanse "funcionais". 

A norma dun funcional  defínese como o supremo de  onde  ten o seu rango sobre todos os vectores unitarios (é dicir, vectores de norma ) en  Isto fai de  tamén un espazo vectorial normado. 

Un teorema importante sobre os funcionais lineares continuos en espazos vectoriais normados é o teorema de Hahn-Banach.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 





 Outros artigos 
 Espazo de Banach
 Espazo prehilbertiano
 Espazo (matemáticas)

Categoría:Topoloxía
Categoría:Álxebra lineal
Categoría:Análise funcional
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas