Conxunto multiplicativamente pechado

En álxebra abstracta, un conxunto multiplicativamente pechado (ou conxunto multiplicativo) é un subconxunto S dun anel R tal que se cumpren as dúas seguintes condicións:Atiyah and Macdonald, p. 36.Lang, p. 107.  

  ,
  para todos .

Noutras palabras, S é pechado baixo os produtos finitos, incluído o produto baleiro 1.Eisenbud, p. 59.  De xeito equivalente, un conxunto multiplicativo é un submonoide do monoide multiplicativo dun anel.

Os conxuntos multiplicativos son importantes especialmente na álxebra conmutativa, onde se usan para construír localizacións de aneis conmutativos.

Un subconxunto S dun anel R chámase saturado se é pechado baixo o subconxunto de divisores: é dicir, sempre que un produto xy está en S, os elementos x e y tamén están en S.

 Exemplos 
Algúns exemplos de conxuntos multiplicativos son:

 o complementario dun ideal primo nun anel conmutativo;
 o conxunto , onde x é un elemento dun anel;
 o conxunto de unidades dun anel;
 o conxunto de divisores distintos de cero nun anel;
  para un ideal I;
 os números de Jordan-Pólya, o peche multiplicativo dos factoriais.

 Propiedades 

 Un ideal P dun anel conmutativo R é primo se e só se o seu complementario  é multiplicativamente pechado.
 Un subconxunto S é á vez saturado e multiplicativamente pechado se e só se S é o complemento dunha unión de ideais primos.Kaplansky, p. 2, Theorem 2. En particular, o complemento dun ideal primo é á vez saturado e multiplicativamente pechado.
 A intersección dunha familia de conxuntos multiplicativos é un conxunto multiplicativo.
 A intersección dunha familia de conxuntos saturados é saturada.

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, 1969.
 David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer, 1995.

 Serge Lang, Algebra 3rd ed., Springer, 2002.

 Outros artigos 
 Localización dun anel
 Anel de división

Categoría:Álxebra abstracta