Multiplicidade (matemáticas)

En matemáticas, a multiplicidade dun membro dun multiconxunto é o número de veces que aparece no multiconxunto. Por exemplo, o número de veces que un polinomio dado ten unha raíz nun punto dado é a multiplicidade desa raíz.

A noción de multiplicidade é importante para poder contar correctamente sen especificar excepcións (por exemplo, raíces duplas contadas dúas veces). De aí a expresión, "contado con multiplicidade".

 Multiplicidade dun factor primo 
Na factorización prima, a multiplicidade dun factor primo é a súa valoracíon -ádica. Por exemplo, a factorización prima do número enteiro  é



a multiplicidade do factor primo  é , mentres que a multiplicidade de cada un dos factores primos  e  é . Así,  ten catro factores primos se permitimos multiplicidades, pero só tres factores primos distintos.

 Multiplicidade dunha raíz dun polinomio 
Sexa  ser un corpo e   un polinomio nunha variábel con coeficientes en . Un elemento  é unha raíz de multiplicidade  de  se hai un polinomio  tal que  e . Se , entón a chámase raíz simple. Se , entón  chámase raíz múltiple .

Por exemplo, o polinomio  ten 1 e −4 como raíces, e pódese escribir como . Isto significa que 1 é unha raíz da multiplicidade 2, e −4 é unha raíz simple (de multiplicidade 1). A multiplicidade dunha raíz é o número de ocorrencias desta raíz na factorización completa do polinomio, mediante o teorema fundamental da álxebra.

O discriminante dun polinomio é cero se e só se o polinomio ten unha raíz múltiple.

 Multiplicidade dunha solución dun sistema de ecuacións non linear 
Para unha ecuación  cunha única solución variábel , a multiplicidade é  se

  e 

Noutras palabras, o funcional diferencial , definido como a derivada  dunha función en , desaparece en  para  ata . Eses funcionais diferenciais  abranguen un espazo vectorial, chamado espazo dual de Macaulay en , e a súa dimensión é a multiplicidade de  como un cero de .

Sexa   un sistema de  ecuacións de  variábeis con solución  onde  é un mapeo de  a  ou dende  a . Tamén hai un espazo dual de Macaulay de funcionais diferenciais en  no que cada funcional desaparece en . A dimensión deste espazo dual de Macaulay é a multiplicidade da solución  á ecuación . O espazo dual de Macaulay forma a estrutura de multiplicidade do sistema na solución.

Por exemplo, a solución  do sistema de ecuacións en forma de  con



é de multiplicidade 3 porque o espazo dual de Macaulay



é de dimensión 3, onde  denota o funcional diferencial  aplicado nunha función no punto .

 Multiplicidade de intersección 
En xeometría alxébrica, a intersección de dúas subvariedades dunha variedade alxébrica é unha unión finita de variedades irredutíbeis. A cada compoñente de tal intersección está unida unha multiplicidade de intersección. Esta noción é local no sentido de que se pode definir observando o que ocorre nunha veciñanza de calquera punto xenérico deste compoñente. Dedúcese que sen perda de xeneralidade, podemos considerar, para definir a multiplicidade de intersección, a intersección de dúas variedades afíns (subvariedades dun espazo afín).

 Na análise complexa 
Sexa z 0 a raíz dunha función holomorfa f e sexa n o menor número enteiro positivo tal que a derivada n-ésima de f avaliada en z0 difire de cero. Entón a serie de potencias de f sobre z 0 comeza co n-ésimo termo, e dise que f ten unha raíz de multiplicidade (ou "orde") n. Se n = 1, a raíz chámase raíz simple. 

Tamén podemos definir a multiplicidade dos ceros e polos dunha función meromorfa. Se temos unha función meromorfa  tomamos as expansións de Taylor de g e h sobre un punto z0, e atopamos o primeiro termo distinto de cero en cada un (denotamos a orde dos termos como m e n respectivamente) entón se m = n, temos que o punto ten un valor distinto de cero. Se  entón o punto é un cero de multiplicidade  Se , entón o punto ten un polo de multiplicidade 

 Notas 


 Bibliografía 
Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, 1999. .

 Outros artigos 
 Descomposición en factores primos
 Ecuación de segundo grao
 Polinomio

Categoría:Análise matemática
Categoría:Teoría de conxuntos
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas