Anel de división

En álxebra, un anel de división, é un anel non trivial no que se define a división por elementos distintos de cero. En concreto, é un anel non trivial no que todo elemento distinto de cero  ten un inverso multiplicativo, é dicir, un elemento normalmente denotado como , tal que . Así, a división (pola dereita) pódese definir como , mais evítase esta notación, xa que se pode ter .

Un anel de división e conmutativo é un corpo. O  teorema de Wedderburn afirma que todos os aneis de división finitos son conmutativos e, polo tanto, corpos finitos.

Todos os aneis de división son simples. É dicir, non teñen ningún ideal bilateral á parte do ideal cero e el mesmo.

 Relación con corpos e álxebra linear 
Todos os corpos son aneis de división e todos os aneis de división que non sexan un corpo non son conmutativos. 

O exemplo máis coñecido é o anel de cuaternións. Se se permite só coeficientes racionais en lugar de reais nas construcións dos cuaternións, obtemos outro anel de división. 

En xeral, se  é un anel e  é un módulo simple sobre , entón, segundo o lema de Schur, o anel de endomorfismos de  é un anel de división;  todo anel de división xorde deste xeito a partir dalgún módulo simple.

Gran parte da álxebra linear pódese formular, e segue sendo correcta, para módulos sobre un anel de división  en lugar de espazos vectoriais sobre un corpo. 

En particular, cada módulo ten unha base, e pódese usar a eliminación gaussiana . Así, todo o que se pode definir con estas ferramentas funciona en álxebras de división. As matrices e os seus produtos defínense de xeito similar. Porén, unha matriz que é invertíbel pola esquerda non ten por que ser invertíbel pola dereita e, se o é, a súa inversa pola dereita pode diferir da súa inversa pola esquerda.

Os determinantes non se definen sobre álxebras de división non conmutativas.

Todo módulo sobre un anel de división é libre; é dicir, ten unha base, e todas as bases dun módulo teñen o mesmo número de elementos. 

Os mapas lineares entre módulos de dimensión finita sobre un anel de división pódense describir mediante matrices.

O centro dun anel de división é conmutativo e, polo tanto, un corpo.Simple commutative rings are fields. See  Todo anel de división é polo tanto unha álxebra de división sobre o seu centro. 

Os aneis de división pódense clasificar grosso modo segundo sexan ou non de dimensión finita ou infinita sobre os seus centros. Os primeiros chámanse centralmente finitos e os segundos centralmente infinitos. Todo corpo é unidimensional sobre o seu centro. O anel dos cuaternións hamiltonianos forma unha álxebra de catro dimensións sobre o seu centro, que é isomorfo aos números reais.

 Exemplos 

 Como se indicou anteriormente, todos os corpos son aneis de división.
 Os cuaternións forman un anel de división non conmutativo.
 O subconxunto dos cuaternións , tal  que , ,  e  pertencen a un subcorpo fixo dos números reais, é un anel de división non conmutativo. Cando este subcorpo é o corpo dos números racionais, este é o anel de división dos cuaternións racionais.
 Sexa   un automorfismo do corpo  Denotamos como   o anel das series formais de Laurent con coeficientes complexos, onde a multiplicación se define como segue: en lugar de simplemente permitir que os coeficientes conmuten directamente coa indeterminada  para  definimos  para cada índice  Se  é un automorfismo non trivial de números complexos (como por exemplo a  conxugación), entón o anel resultante da serie de Laurent é un anel de división non conmutativo coñecido como anel nesgo da serie de Laurent;  se , entón presenta a multiplicación estándar de series formais. Este concepto pódese xeneralizar ao anel da serie de Laurent sobre calquera corpo fixo  dado un   non trivial.

 Principais teoremas 
Teorema de Wedderburn: Todos os aneis de división finitos son carpos conmutativos e, polo tanto, finitos. (Ernst Witt deu unha proba simple.)

Teorema de Frobenius: as únicas álxebras de división asociativa de dimensión finita sobre os reais son os propios reais, os números complexos e os cuaternións.

 Nocións relacionadas 
Mentres que os aneis de división e as álxebras, como se comenta aquí, asúmese que teñen multiplicación asociativa, as álxebras de división non asociativas como os octóns tamén son de interese.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 



 Outros artigos 
 Identiadade de Hua
 Ideal (teoría dos aneis)
 Divisor de cero

 Ligazóns externas 
 proba do teorema de Wedderburn en Planet Math
 Grillet's Abstract Algebra, section VIII.5's caracterización de aneis de división a través dos seus módulos libres.  

Categoría:Teoría de aneis