Raíz da unidade

En matemáticas, unha raíz da unidade, ocasionalmente chamada número de Moivre, é calquera número complexo que dá 1 cando se eleva a unha potencia enteira positiva . As raíces da unidade utilízanse en moitas ramas das matemáticas, e son especialmente importantes na teoría dos números, na teoría dos caracteres de grupos e na transformada discreta de Fourier.

 Definición xeral 
Unha raíz -ésima da unidade, onde  é un número enteiro positivo, é un número  que satisfai a ecuación  A menos que se especifique o contrario, as raíces da unidade pódense considerar números complexos (incluíndo o número 1 e o número −1 se  é par, que son complexos cunha parte imaxinaria cero), e neste caso, as raíces -ésimas da unidade son

No  entanto, a ecuación definitoria das raíces da unidade é significativa sobre calquera corpo (e mesmo sobre calquera anel) , e isto permite considerar as raíces da unidade en . Sexa cal sexa o corpo , as raíces da unidade en  son números complexos, se a característica de  é 0, ou, en caso contrario, pertencen a un corpo finito. Pola contra, cada elemento distinto de cero nun corpo finito é unha raíz da unidade nese corpo. Consulte raíz da unidade módulo n e Corpo finito para obter máis detalles.

Dise que é unha raíz -ésima  da unidade é  se non é unha raíz -éisma da unidade para algún  máis pequeno, é dicir se



Se n é un número primo, entón todas as raíces -ésimas da unidade, agás o 1, son primitivas. 

Na fórmula anterior en termos de funcións exponenciais e trigonométricas, as raíces -ésimas primitivas da unidade son aquelas para as que  e  son números enteiros primos.

 Propiedades elementais 
Cada -ésima raíz da unidade  é unha raíz primitiva -ésima da unidade para algún , que é o menor enteiro positivo tal que .

Calquera potencia enteira dunha raíz -ésima da unidade é tamén unha raíz -ésima da unidade, pois



Isto tamén é certo para os expoñentes negativos. En particular, o recíproco dunha raíz -ésima da unidade é o seu complexo conxugado, e tamén é unha raíz -ésima da unidade:



Se  é unha raíz -ésima da unidade e  entón . De feito, pola definición de congruencia módulo n,  para algún número enteiro , e polo tanto



Polo tanto, dada unha potencia  de , temos , onde  é o resto da división euclidiana de  por .

 Propiedades do grupo 

 Grupo de todas as raíces da unidade 
O produto e a inversa multiplicativa de dúas raíces da unidade tamén son raíces da unidade. De feito, se  e , entón  e , onde  é o mínimo común múltiplo de  e .

Polo tanto, as raíces da unidade forman un grupo abeliano baixo a multiplicación. Este grupo é o subgrupo de torsión do grupo circular.

 Grupo das raíces -ésimas da unidade 
Para un número enteiro n, o produto e o inverso multiplicativo de dúas raíces -ésimas da unidade tamén son raíces -ésimas da unidade. Polo tanto, as raíces -ésimas da unidade forman un grupo abeliano baixo a multiplicación.

Dada unha raíz primitiva -ésima da unidade , as outras raíces -ésimas son potencias de . Isto significa que o grupo das raíces -ésimas da unidade é un grupo cíclico. Cabe sinalar que o termo de grupo cíclico orixinouse de que este grupo é un subgrupo do grupo circular.

 Grupo de Galois das raíces -ésimas da unidade primitivas 
Sexa  a extensión de corpo dos números racionais xerados sobre  por unha raíz  ésima primitiva da unidade . Como cada raíz -ésima da unidade é unha potencia de , o corpo  contén todas as raíces -ésimas da unidade, e  é unha extensión de Galois de 

Se  é un número enteiro,  é unha raíz -ésima primitiva da unidade se e só se  e  son coprimos. Neste caso, o mapa



induce un automorfismo de , que mapea cada raíz  -ésima da unidade coa súa -ésima potencia. Todo automorfismo de  obtense deste xeito, e estes automorfismos forman o grupo de Galois  sobre o corpo dos racionais.

As regras de exponenciación implican que a composición de dous destes automorfismos se obtén multiplicando os expoñentes. Dedúces que o mapa



define un isomorfismo de grupos entre as unidades do anel de enteiros módulo  e o grupo de Galois de 

Isto mostra que este grupo de Galois é abeliano, e implica así que as raíces primitivas da unidade poden expresarse en termos de radicais.

 Expresión trigonométrica 
dereita|miniatura| As raíces cúbicas da unidade
A fórmula de De Moivre, que é válida para todos os  reais e os enteiros , é



Facendo  dá unha raíz primitiva da unidade, temos



mais



para . Noutras palabras,



é unha raíz primitiva -ésima da unidade.

A fórmula de Euler



que é válida para todos os  reais, pódese usar para poñer a fórmula das raíces -ésimas da unidade na forma



Da discusión na sección anterior despréndese que esta é unha raíz primitiva -enéisma da unidade se e só se a fracción  está nos seus termos máis  pequenos.

 Expresión alxébrica 
As raíces -ésimas da unidade son, por definición, as raíces do polinomio  e, polo tanto, son números alxébricos. Como este polinomio non é irredutíbel (agás ), as raíces -ésimas primitivas da unidade son raíces dun polinomio irredutíbel (sobre os enteiros) de grao inferior, chamado polinomio ciclotómico -ésimo, e que moitas veces se denota . O grao de  vén dado pola función totiente de Euler, que conta (entre outras cousas) o número de raíces -ésimas primitivas da unidade. As raíces de  son exactamente as raíces primitivas  -ésimas raíces da unidade.

 Polinomios ciclotómicos 
Os ceros do polinomio



son precisamente as raíces -ésimas da unidade, cada unha cunha multiplicidade 1. O polinomio ciclotómico -ésimo defínese polo feito de que os seus ceros son precisamente as raíces primitivas -ésimas da unidade, cada unha cunha multiplicidade 1.



onde  son as raíces primitivas -ésimas primitivas da unidade, e  é a función totiente de Euler. O polinomio  ten coeficientes enteiros e é un polinomio irredutíbel sobre os números racionais (é dicir, non se pode escribir como o produto de dous polinomios de grao positivo con coeficientes racionais).  O caso de  primo, que é máis doado que a afirmación xeral, dedúcese aplicando o criterio de Eisenstein ao polinomio



e expandindo mediante o teorema binomial.

Cada raíz -ésima  da unidade é unha raíz primitiva -ésima da unidade para exactamente un divisor positivo  de . Isto implica que 



Esta fórmula representa a factorización do polinomio  en factores irredutíbeis:



Aplicando a inversión de Möbius á fórmula temos



onde  é a función de Möbius. Polo tanto, os primeiros polinomios ciclotómicos son










 Grupos cíclicos 
As raíces -ésimas da unidade forman baixo a multiplicación un grupo cíclico de orde , e de feito estes grupos comprenden todos os subgrupos finitos do grupo multiplicativo do corpo de números complexos. Un xerador para este grupo cíclico é unha raíz -ésima primitiva da unidade.

As raíces -ésimas da unidade forman unha representación irredutíbel de calquera grupo cíclico de orde . A relación de ortogonalidade tamén se deduce a partir dos principios da teoría de grupos tal como se describe en carácter dun grupo.

 Corpos ciclotómicos 
Ao achegar a unha raíz primitiva -ésima da unidade a  obtense o -ésimo corpo ciclotómico  Este corpo contén todas as raíces -ésimas da unidade e é o corpo de descomposición do -ésimo polinomio ciclotómico sobre  A extensión de corpo  ten grao φ(n) e o seu grupo de Galois é isomorfo naturalmente ao grupo multiplicativo de unidades do anel 

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 







 Outros artigos 
 Carácter de Dirichlet
 Grupo cíclico

Categoría:Polinomios
Categoría:Teoría de números
Categoría:Álxebra abstracta

Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas