Análise de sensibilidade baseado na varianza

O Análise de sensibilidade baseado na varianza (a miúdo referido coma método de Sobol, referido ao matemático ruso Ilya M. Sobol) é unha forma de análise de sensibilidade global.Sobol, I.M. (2001), Global sensitivity indices for nonlinear mathematical models and their Monte Carlo estimates. MATH COMPUT SIMULAT,55(1–3),271-280, doi:10.1016/S0378-4754(00)00270-6 Traballando dentro dun marco probabilistico, o método descompón a varianza da saída do modelo nun conxunto de farccións que poden ser atribuídas aos diferentes conxuntos de entradas do modelo. Por exemplo, dado un modelo con dúas entradas e unha saída, un podería descubrir que o 60% da varianza na variable de saída débese a varianza da primeira entrada, o 20% débese á varianza da segunda entrada e o 20% restante débese a interaccións entre ambas entradas. Estas porcentaxes permiten avaliar qué entradas do modelo son máis sensibles e tamén como de relevantes son as súas influencias individuais e conxuntas. Ao ser un método global, permite tratar respostas non-lineais e poden medir o efecto de interaccións en sistemas non aditivos.

 Descomposición da varianza 
Dende unha perspectiva de caixa negra, calquera modelo matemático pode ser visto coma unha función , onde  é un vector coas  entradas do modelo , e  representa a saída escalar do modelo (se o modelo matemático consta de saídas vectoriais; bastaría con estudar cada saída por separado). Ademais,  imos supor que as entradas do modelo son independentes entre si e uniformemente distribuídas dentro do hipercubo unitario, i.e.  para .. Esta última hipótese non implica perda de xeralidade pois calquera espazo de entradas pode ser transformado no hipercubo unitario. Entón, existe a descomposición

 ,

onde  é un constante e  é unha función de ,  unha función de  e , etc. Unha condición desta descomposición é que,

 ,

é dicir, que tódolos termos da descomposición funcional son ortogonais. Isto permite definir os termos da descomposición previa en función das esperanzas condicionais:

 ,

 ,

 .

Das expresións previas extráese que  representa o efecto individual da variábel  (tamén coñecido coma efecto principal de ) e que  representa os efectos das variábeis e simultaneamente, adicional ao efecto das súas variacións individuais. Este tipo de interaccións coñecense coma interaccións de segunda orde. Análogamente podemos definir as interaccións de orde superior.

Se ademais asumimos que  é cadrado-integrable, a descomposición funcional pode elevarse ao cadrado e integrarse para obter

 .

Nótese que o lado de man esquerda representa a varianza total da saida , o que permite expresar

 ,

sendo

 ,

 .

A notación  indica o conxunto de todas as variábeis excepto .  A descomposición da varianza previa amosa como a varianza na saída do modelo pódese descompoñer en termos atribuíbeis a cada entradas, así coma aos efectos de interacción entre entradas. Sumando tódolos termos obtemos a varianza total na saída do modelo.

 Índices de sensibilidade de primeira orde 
Podemos calcula o índice de sensibilidade de primeira orde, tamén coñecido coma índice de Sobol de primeira orde ou índice de efecto principal,

 .

Este termo representa a contribución na varianza de sáida do efecto principal de , polo que mide o efecto de variar  individualmente, pero promedidado sobre a variación no resto de variábeis de entrada. Definindo de xeito análogo os índices de sensibilidade de orde superior obtemos:

 .

 Índices de sensibilidade totais 
Outra medida de sensibilidade é a sensibilidade total asociada a unha variábel, definida como: 



Notése que, a diferenza de ,



debido a que o efecto de interacción entre  e  tense en conta tanto en  coma en . De feito, a suma previa só será igual a 1 cando o modelo sexa puramente aditivo.

 Cálculo dos índices de sensibilidade 
En certos casos é posíbel calcular de xeito analítico os índices previos resolvendo as integrais multidimensionais asociadas, máis na maior parte dos casos recórrese a técnicas de integración numérica. Debido a maldición da dimensionalidade, as técnicas clásicas de integración numérica non soen ser apropiadas polo que soe recurrirse ao método de Monte Carlo e variantes, moito máis indicadas para o cálculo de integrais de alta dimensión.

 Mostraxe 

 Vexase tamén 

 Análise de sensibilidade
 Método de Monte Carlo
 Método de Quasi-Monte Carlo
 Secuencia de Sobol
 Mostraxe de hipercubo latino

 Referencias 

Categoría:Modelización matemática
Categoría:Estatística