Logaritmo integral

En matemáticas, a función integral logarítmica ou logaritmo integral li( x ) é unha función especial. É relevante en problemas de física e ten importancia na teoría de números. En particular, segundo o teorema dos números primos, é unha moi boa aproximación á función de contaxe de primos, que se define como o número de números primos menores ou iguais a un determinado valor .
dereita|miniatura|300x300px| Gráfica de función integral logarítmica

 Representación como integral 
O logaritmo integral ten unha representación enteira definida para todos os números reais positivos  ≠ 1 pola integral definida



Aquí,  denota o logaritmo natural. A función  ten unha singularidade en , e a integral para  interprétase como un valor principal de Cauchy,



 Logaritmo integral desprazado 
O logaritmo integral desprazado ou integral logarítmica euleriana defínese como



Como tal, a representación integral ten a vantaxe de evitar a singularidade no dominio da integración.

De forma equivalente,



 Valores especiais 
A función li(x) ten un único cero positivo; ocorre en x ≈ 1,45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... ; este número coñécese como constante de Ramanujan-Soldner.

 ≈ 1,045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151... 

Isto é  onde  é a función gamma incompleta. Debe entenderse como o valor principal de Cauchy da función.

 Representación en serie 
A función li(x) está relacionada coa integral exponencial Ei(x) mediante a ecuación



que é válido para x > 0. Esta identidade proporciona unha representación en serie de li(x) como



onde γ ≈ 0,57721 56649 01532...  é a constante de Euler-Mascheroni. Unha serie máis rapidamente converxente de Ramanujan  é



 Expansión asintótica 
O comportamento asintótico para  é



onde  é a notación O grande. A expansión asintótica completa é



ou



Isto dá o seguinte comportamento asintótico máis preciso:



Como expansión asintótica, esta serie non é converxente: é unha aproximación razoábel só se a serie se trunca nun número finito de termos e só se empregan valores grandes de x. Esta expansión segue directamente da expansión asintótica para a integral exponencial.

Isto implica, por exemplo, que podemos a podemos limitar por ambos lados como:



para todo  .

 Importancia en teoría de números 
A integral logarítmica é importante na teoría de números, xa que aparece nas estimacións do número de números primos inferiores a un valor dado. Por exemplo, o teorema dos números primos indica que:



onde  indica o número de primos menores ou iguais a .

Asumindo a hipótese de Riemann, temos unha relación aínda máis forte: 



De feito, a hipótese de Riemann é equivalente á afirmación de que:

  para calquera .

Para pequenos ,  mais a diferenza muda de signo un número infinito de veces cando  aumenta, e a primeira vez que isto ocorre é entre 1019 e .

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 



 Outros artigos 

 Ligazóns externas 

Categoría:Funcións
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Teoría analítica de números