Disco unidade

En matemáticas, o disco unidade aberto (ou disco) arredor de P (onde P é un punto dado no plano), é o conxunto de puntos cuxa distancia a P é menor que 1:



O disco unidade pechado arredor de P é o conxunto de puntos cuxa distancia a P é menor ou igual a un:



Os discos unidade son casos especiais de discos e bólas unidade; como tales, conteñen o interior da circunferencia unidade e, no caso do disco unidade pechado, a propia circunferencia unidade.

Sen máis especificacións, o termo disco unidade úsase para o disco unidade aberto sobre a orixe, , en relación á métrica euclidiana estándar. É o interior dunha círcunferencia de raio 1, centrado na orixe. Este conxunto pódese identificar co conxunto de todos os números complexos de valor absoluto inferior a un. Cando se ve como un subconxunto do plano complexo (C), o disco unidade adoita denotarse .

 O disco unidade aberto, o plano e o semiplano superior 
A función



é un exemplo dunha función analítica e bixectiva real desde o disco unidade aberto até o plano; a súa función inversa tamén é analítica. Considerado como unha variedade analítica bidimensional real, o disco unidade aberto é isomorfo a todo o plano. En particular, o disco unidade aberto é homeomorfo a todo o plano.

Porén, non existe un mapa bixectivo conforme entre o disco unidade aberto e o plano. Considerado como unha superficie de Riemann, o disco unidade aberto é polo tanto diferente do plano complexo.

Existen mapas bixectivos conformes entre o disco unidade aberto e o semiplano superior aberto. Así, considerado como unha superficie de Riemann, o disco unidade aberto é isomorfo ("biholomorfo", ou "equivalente conforme") ao semiplano superior, e os dous adoitan usarse indistintamente.

Moito máis xeralmente, o teorema da aplicación conforme de Riemann afirma que todo subconxunto aberto simplemente conexo do plano complexo que é diferente do propio plano complexo admite un mapa conforme e bixectivo ao disco unidade aberto.

Un mapa  (ou aplicación) conforme bixectivo desde o disco unidade aberto ata o semiplano superior aberto é a transformación de Möbius

  que é a inversa da transformada de Cayley.

 Plano hiperbólico 
O disco unidade aberto forma o conxunto de puntos para o modelo do disco de Poincaré do plano hiperbólico. 

Os arcos circulares perpendiculares á circunferencia unidade forman as "liñas" neste modelo.

Na linguaxe da xeometría diferencial, os arcos da circunferencia  perpendiculares á circunferencia unidade son xeodésicas que mostran a distancia máis curta entre os puntos do modelo. O modelo de disco pódese transformar ao modelo de semiplano de Poincaré mediante o mapeamento g indicado anteriormente.

Tanto o disco de Poincaré como o semiplano de Poincaré son modelos conformes do plano hiperbólico, é dicir, os ángulos entre curvas que se cruzan consérvanse polos movementos dos seus grupos isométricos.

 Discos unidade en relación a outras métricas 
miniatura| De arriba a abaixo: disco unidade aberto na métrica euclidiana, a métrica do taxi e a métrica de Chebyshev.
Tamén se poden considerar os discos unidade en relación a outras métricas. Por exemplo, coa métrica do taxi e a métrica de Chebyshev os discos parecen cadrados (aínda que as topoloxías subxacentes sexan as mesmas que a euclidiana).
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 S. Golab, "Quelques problèmes métriques de la géometrie de Minkowski", Trav. de l'Acad. Mines Cracovie 6 (1932), 179.
 Outros artigos 
 Circunferencia unidade
 Intervalo unidade
 Bóla (matemáticas)
 Ligazóns externas 

 On the Perimeter and Area of the Unit Disc, by J.C. Álvarez Pavia and A.C. Thompson

Categoría:Análise complexa