Pechamento (topoloxía)

En topoloxía, o pechamento, peche ou clausura dun subconxunto  de puntos nun espazo topolóxico consiste en todos os puntos en  xunto con todos os puntos límite de  (ou puntos de acumulación de ). O pechamento de  pódese definir equivalentemente como a unión de  e a súa fronteira, e tamén como a intersección de todos os conxuntos pechados que conteñan . Intuitivamente, o pechamento pódese pensar como todos os puntos que están en  ou "moi preto" de . Un punto que está no pechamento de  é un punto adherente de . A noción de pechamento é en moitos sentidos dual á noción de interior.

 Definicións 

 Punto adherente ou de pechamento 
Para  como un subconxunto dun espazo euclidiano,  é un punto adherente de  se toda bóla aberta centrada en  contén un punto de  (este punto pode ser o propio ).

Esta definición xeneralízase a calquera subconxunto  dun espazo métrico   Para  como un espazo métrico con métrica   é un punto de peche de  se por todo  hai algún  tal que a distancia  (  está permitido). Outra forma de expresalo é dicir que  é un punto de peche de  se a distancia  onde  é o ínfimo.

Esta definición xeneralízase aos espazos topolóxicos substituíndo "bóla aberta" ou "bóla" por "veciñanza". Sexa  un subconxunto dun espazo topolóxico  Logo  é un  ou  de  se toda veciñanza  de  contén un punto de  (de novo,  para  está permitido). Teña en conta que esta definición non depende de se as veciñanzas deben ser abertos.

A definición de punto de peche dun conxunto está intimamente relacionada coa definición de punto límite dun conxunto. A diferenza entre as dúas definicións é sutil pero importante, é dicir, na definición dun punto límite  dun conxunto , cada veciñanza de  debe conter un punto de  , é dicir, cada veciñanza de  obviamente ten  pero tamén debe ter un punto de  que non sexa igual a  co fin de  ser un punto límite de . Un punto límite de  ten unha condición máis estrita que un punto de peche de  nas definicións. Un punto límite dun conxunto tamén se denomina punto de  acumulación do conxunto.

Así, todo  punto límite é un punto de peche, mais non todos os puntos de peche son un punto límite. Un punto de peche que non é un punto límite é un punto illado. Noutras palabras, un punto  é un punto illado de  se é un elemento de  e hai unha veciñanza de  que non contén outros puntos de  mais que o propio .

Para un conxunto dado  e un punto   é un punto de peche de  se e só se  é un elemento de  ou  é un punto límite de  (ou ambos os dous).

 Pechamento dun conxunto 
O  dun subconxunto  dun espazo topolóxico  denotado por  ou posibelmente por  (se sobrentendemos ), e se ambos  e  son claros polo contexto, entón tamén se pode denotar por  ou  (a maiores,  ás veces está escrita en maiúscula ) pódese definir mediante calquera das seguintes definicións equivalentes:

  é o conxunto de todos os puntos de peche de 
  é o conxunto  xunto con todos os seus puntos límite. (Cada punto de  é un punto de peche de , e cada punto límite de é tamén un punto de peche de .)
  é a intersección de todos os conxuntos pechados contendo 
  é o conxunto pechado máis pequeno que contén 
  é a unión de  e a súa fronteira 
  é o conxunto de tódolos  para o que existe unha secuencia xeneralizada (valorada) en  que converxe a  en 

O peche dun conxunto ten as seguintes propiedades. 

  é un superconxunto pechado de .
 O conxunto  está pechado se e só se  .
 Se  entón  é un subconxunto de 
 Se  é un conxunto pechado, entón  contén  se e só se  contén 

Nun espazo primeiro numerábel (como un espazo métrico),  é o conxunto de todos os límites de todas as secuencias converxentes de puntos en  Para un espazo topolóxico xeral, esta afirmación segue sendo certa se se substitúe "secuencia" por "secuencia xeneralizada" ("net" en inglés) ou "filtro" (como se describe no artigo sobre filtros en topoloxía).

 Exemplos 
Considere unha esfera nun espazo tridimensional. Implícitamente hai dúas rexións de interese creadas por esta esfera; a propia esfera e o seu interior (que se chama 3-bóla  aberta). É útil distinguir entre o interior e a superficie da esfera, polo que distinguimos entre a 3-bóla aberta (o interior da esfera) e a 3-bóla pechada:que é o pechamento da 3-bóla  aberta que a súa vez  é a 3-bóla  aberta máis a superficie (a superficie e máis a propia esfera).

No espazo topolóxico :

 En calquera espazo, . Noutras palabras, o peche do conxunto baleiro  é o propio .
 En calquera espazo  

Dando a  e  a topoloxía estándar (métrica) :

 Se  é o espazo euclidiano  de números reais, entón . Noutras palabras, o pechamento do conxunto  como un subconxunto de  é . (Ver intervalo unidade).
 Se  é o espazo euclidiano , logo o pechamento do conxunto  dos números racionais é todo o espazo  Dicimos que  é denso en 
 Se  é o plano complexo  entón 
 Se  é un subconxunto finito dun espazo euclidiano  entón  (Para un espazo topolóxico xeral, esta propiedade é equivalente ao axioma T1.)

 Operador de peche 
Un  nun conxunto  é un mapeo do conxunto de partes de  , en si mesmo que satisfai os axiomas de peche de Kuratowski. Dado un espazo topolóxico , o peche topolóxico induce unha función  que se define enviando un subconxunto  a  onde a notación  ou  pode usarse no seu lugar. Pola contra, se  é un operador de peche nun conxunto  entón obtense un espazo topolóxico definindo os conxuntos pechados como exactamente eses subconxuntos  que satisfagan  (de tal modo que os complementos en  destes subconxuntos forman os conxuntos abertos da topoloxía). 

O operador de peche  é dual ao operador interior, que se denota por  no sentido de que



e tamén



Polo tanto, a teoría abstracta dos operadores de peche e os axiomas de peche de Kuratowski pódense traducir facilmente á linguaxe dos operadores interiores substituíndo os conxuntos polos seus complementos en 

 Funcións e pechamento 

 Continuidade 
Unha función  entre espazos topolóxicos é continua se e só se a preimaxe de cada subconxunto pechado do codominio está pechada no dominio; explicitamente, isto significa:  está pechado en  sempre que  é un subconxunto pechado de 

En termos do operador de peche,  é continua se e só se para todo subconxunto 

É dicir, dado calquera elemento  que pertenza ao peche dun subconxunto   pertence necesariamente ao peche de  en  
Se declaramos que  esta  un subconxunto  se  entón esta terminoloxía permite unha descrición sinxela  da continuidade: 
 é continua se e só se para todo subconxunto   mapea puntos que están xunto a   con puntos que están xunto a 

Así, as funcións continuas son exactamente aquelas funcións que conservan (na dirección cara adiante) a relación de "proximidade" entre puntos e conxuntos: unha función é continua se e só se sempre que un punto está preto dun conxunto, a imaxe dese punto está próxima á imaxe dese conxunto.
Do mesmo xeito,  é continua nun punto fixo  se e só se sempre que  está preto dun subconxunto , entón  está preto de .
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 









 Outros artigos 





 Ligazóns externas 


Categoría:Topoloxía
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas