Corpo de fraccións

En álxebra abstracta, o corpo de fraccións dun dominio integridade é o corpo máis pequeno no que se pode mergullar. A construción do corpo de fraccións baséase na relación entre o dominio de integridade dos números enteiros e o corpo dos números racionais . Intuitivamente, consiste en relacións entre elementos integrais do dominio.

Non debe confundirse co cociente dun anel por un ideal, que é un concepto moi diferente. 

Para un anel conmutativo que non é un dominio integridade, a construción análoga chámase localización ou anel de cocientes.

 Definición 
Dado un dominio de integridade  e sendo, definimos unha relación de equivalencia sobre  sendo  sempre que . Denotamos a clase de equivalencia de  por . 

Esta noción de equivalencia está motivada polos números racionais , que teñen a mesma propiedade en relación ao anel subxacente  de enteiros.

Entón o corpo das fraccións é o conxunto  con suma dada por



e multiplicación dada por



O corpo das fraccións de  caracterízase pola seguinte propiedade universal:

 se  é un homomorfismo de anel inxectivo de  nun corpo , entón existe un homomorfismo de anel único  que estende .

Hai unha interpretación categórica desta construción. Sexa   a categoría de dominios de integridade e mapas inxectivos de aneis. O functor de  cara a categoría de corpos que leva cada dominio de integridade ao seu corpo de fraccións e cada homomorfismo ao mapa inducido sobre corpos (que existe pola propiedade universal) é o adxunto pola esquerda do functor de inclusión da categoría de corpos en . Así, a categoría de corpos (que é unha subcategoría completa) é unha subcategoría reflexiva de .

Non se require unha identidade multiplicativa para o papel do dominio de integridade; esta construción pódese aplicar a calquera rng conmutativo distinto de cero  sen divisores de cero distintos de cero. O mergullo vén dado por  para calquera  distinto de cero.

 Exemplos 

 O corpo de fraccións do anel de enteiros é o corpo dos racionais :  .
 Sexa  o anel de enteiros gaussianos. Entón  é o corpo dos racionais gaussianos.
 O corpo de fraccións dun corpo é canonicamente isomorfo ao propio corpo.
 Dado un corpo , o corpo de fraccións do anel polinómico nunha variábel indeterminada  (que é un dominio de integridade), chámase , corpo de fraccións racionais ou corpo de expresións racionais  sendo denotado como  .
 O corpo de fraccións do anel de convolución das funcións de media recta produce un espazo de operadores, incluíndo a función delta de Dirac, o operador diferencial e o operador integral. Esta construción dá unha representación alternativa da transformada de Laplace que non depende explicitamente dunha transformada de integrais.

 Localización 
Para calquera anel conmutativo  e calquera conxunto multiplicativo  en , a localización  é o anel conmutativo formado por fraccións



con  e , onde  é equivalente a  se e só se existe  tal que .

Destacan dous casos especiais:

 Se  é o complemento dun ideal primo , entón  tamén se denota .Cando  é un dominio de integridade e  é o ideal cero,  é o corpo das fraccións de .
 Se  é o conxunto de elementos non divisores  de cero en , entón  chámase anel cociente total.O anel cociente total dun dominio de integridade é o seu corpo de fraccións, pero o anel cociente total defínese para calquera anel conmutativo.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Outros artigos 
 Corpo (álxebra)
 Anel de fraccións total

Categoría:Teoría de corpos