Produto (teoría das categorías)

Na teoría das categorías, o produto de dous (ou máis) obxectos nunha categoría é unha noción deseñada para captar a esencia detrás das construcións noutras áreas das matemáticas, como o produto cartesiano de conxuntos, o produto directo de grupos ou aneis e o produto de espazos topolóxicos. Esencialmente, o produto dunha familia de obxectos é o obxecto "máis xeral" que admite un morfismo a cada un dos obxectos dados.

 Definición 

 Produto de dous obxectos 
Fixamos unha categoría  Sexan  e   obxectos de  Un produto de  e  é un obxecto  normalmente denotado  equipado cun par de morfismos   que satisfán a seguinte propiedade universal:

 Para cada obxecto  e cada par de morfismos   existe un morfismo único  tal que o seguinte diagrama conmuta:
 alt=Universal property of the product|centro|280x280px| Propiedade universal do produto

A existencia dun produto pode depender de  ou de e  Se existe, é único ata o isomorfismo canónico, por mor da propiedade universal, polo que se pode falar do produto. Isto ten o seguinte significado: se  é outro produto, existe un isomorfismo único  tal que  e .

Os morfismos  e  chámanse proxeccións canónicas ou morfismos de proxección; a letra  alitera con proxección. Dado  e  o morfismo único  chámase produto de morfismos  e  e pode ser denotado , , ou .

 Produto dunha familia arbitraria 
En lugar de dous obxectos, podemos comezar cunha familia arbitraria de obxectos indexados por un conxunto 

Dada unha familia  dos obxectos, un produto da familia é un obxecto  equipado con morfismos  a satisfacer a seguinte propiedade universal:

 Para cada obxecto  e cada -familia indexada de morfismos  existe un morfismo único  de tal xeito que os seguintes diagramas conmutan para tódolos 
 alt=Universal product of the product|centro| Produto universal do produto

O produto denótase como  Se  entón denótase como  e o produto dos morfismos denótase como 

 Definición mediante ecuacións 
Alternativamente, o produto pódese definir mediante ecuacións. Así, por exemplo, para o produto binario:

 A existencia de  está garantida pola existencia da operación 
 A conmutatividade dos diagramas anteriores está garantida pola igualdade: para todos os  e todo  
 A singularidade de  está garantida pola igualdade: para tódolos 

 Como límite 
O produto é un caso especial de límite (teoría das categorías). 

Isto pódese ver usando unha categoría discreta (unha familia de obxectos sen ningún morfismo, alén dos seus morfismos de identidade) como o diagrama necesario para a definición do límite. 

Os obxectos discretos servirán como índice dos compoñentes e proxeccións. Se consideramos este diagrama como un functor, é un functor do conxunto de índices  considerado como unha categoría discreta. 

A definición do produto coincide logo coa definición do límite,  sendo un cono e as proxeccións sendo o límite (cono limitante).

 Exemplos 
Na categoría de conxuntos, o produto (no sentido teórico da categoría) é o produto cartesiano. Dada unha familia de conxuntos  o produto defínese como  coas proxeccións canónicas  Dado calquera conxunto  cunha familia de funcións  a frecha universal  está definida por 

Outros exemplos:

 Na categoría de espazos topolóxicos, o produto é o espazo cuxo conxunto subxacente é o produto cartesiano e que leva a topoloxía do produto. A topoloxía do produto é a topoloxía máis grosa (máis débil) para a cal todas as proxeccións son continuas.
 Na categoría de módulos sobre algún anel  o produto é o produto cartesiano con suma definida por compoñentes e multiplicación distributiva.
 Na categoría de grupos, o produto é o produto directo de grupos dado polo produto cartesiano coa multiplicación definida por compoñentes.
 Un conxunto parcialmente ordenado pódese tratar como unha categoría, utilizando a relación de orde como os morfismos. Neste caso, os produtos e coprodutos corresponden aos límites inferiores maiores (meets) e mínimos límites superiores (joins).

 Distributividade 
Para calquera obxecto  dunha categoría con produtos finitos e coprodutos, existe un morfismo canónico  onde o signo máis aquí indica o coproduto. Para ver isto, teña en conta que a propiedade universal do coproduto  garante a existencia de frechas únicas enchendo o seguinte diagrama (as frechas inducidas son as descontinuas):
centro|400x400px
A propiedade universal do produto  garante logo un morfismo único  inducido polas frechas descontinuas do diagrama anterior. 

Unha categoría distributiva é aquela na que este morfismo é realmente un isomorfismo. Así, nunha categoría distributiva, existe o isomorfismo canónico 

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

  Chapter 5.

 Definition 2.1.1 in 

 Outros artigos 
 Límite (teoría das categorías)
 Coproduto
 Límite inverso
 Produto cartesiano


 Ligazóns externas 
 Páxina Interactiva que xera exemplos de produtos na categoría de conxuntos finitos.


Categoría:Teoría das categorías
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas