Proceso de Gram-Schmidt

En matemáticas, especialmente en álxebra linear e análise numérica, o proceso de Gram-Schmidt ou algoritmo de Gram-Schmidt é unha forma de atopar un conxunto de dous ou máis vectores perpendiculares entre si.

Por definición técnica, é un método para construír unha base ortonormal a partir dun conxunto de vectores nun espazo de produto interno, máis comunmente o espazo euclidiano  equipado co produto interno estándar. O proceso de Gram-Schmidt toma un conxunto finito de vectores linearmente independentes  para  e xera un conxunto ortogonal  que expande o mesmo -subespazo dimensional de  como .

O método leva o nome de Jørgen Pedersen Gram e Erhard Schmidt, pero Pierre-Simon Laplace estaba familiarizado con el antes de Gram e Schmidt. Na teoría das descomposicións do grupo de Lie, xeneralízase pola descomposición de Iwasawa.

A aplicación do proceso de Gram-Schmidt aos vectores columna dunha matriz de rango de columna completa produce a descomposición QR (descompónse nunha matriz ortogonal e triangular).

 Proceso de Gram-Schmidt 
miniatura|400x400px| O proceso de Gram-Schmidt modificado executándose en tres vectores linearmente independentes e non ortogonais nunha base para . Clica na imaxe para ver os detalles. A modificación explícase na sección Estabilidade numérica deste artigo.
A proxección vectorial dun vector  nun vector distinto de cero  defínese como  

onde  
denota o produto interno dos vectores  e . Isto significa que  é a proxección ortogonal de  na liña expandida por . Se  é o vector cero, entón  defínese como o vector cero.

Dados  vectores linearmente independentes distintos de cero , o proceso de Gram-Schmidt define os vectores  do seguinte xeito: 

A secuencia  é o sistema necesario de vectores ortogonais e os vectores normalizados  forman un conxunto ortonormal. O cálculo da secuencia  coñécese como ortogonalización de Gram-Schmidt, e o cálculo da secuencia  coñécese como ortonormalización de Gram-Schmidt .

Xeométricamente, este método procede do seguinte xeito: calcular , que proxecta  ortogonalmente sobre o subespazo  xerado por , que é o mesmo que o subespazo xerado por . O vector  entón defínese como a diferenza entre  e esta proxección, onde está garantido que é ortogonal a todos os vectores do subespazo .

Se o proceso de Gram-Schmidt se aplica a unha secuencia linearmente dependente, dá como resultado o vector  no paso , asumindo que  é unha combinación linear de . Se se debe producir unha base ortonormal, entón o algoritmo debería probar vectores cero na saída e descartalos porque ningún múltiplo dun vector cero pode ter unha lonxitude de 1. O número de vectores producidos polo algoritmo será logo a dimensión do espazo estendido polas entradas orixinais.

 Exemplo 

 Espazo euclidiano 
Considere o seguinte conxunto de vectores en  (co produto interno convencional) 

Agora, realizamos o algoritmo de Gram–Schmidt, para obter un conxunto ortogonais de vectores: 

Comprobamos que os vectores  e  son de feito ortogonais: 

tendo en conta que se o produto escalar de dous vectores é 0 daquela son ortogonais.

Para vectores distintos de cero, podemos normalizar os vectores dividindo os seus tamaños como se mostra enriba: 

 Propiedades 
Denotemos como   o resultado de aplicar o proceso de Gram-Schmidt a unha colección de vectores . Isto dá un mapa .

Ten as seguintes propiedades:

 É continuo
 Preserva a orientación no sentido de que  .
 Conmuta con mapas ortogonais:

Sexa  ortogonal (en relación ao produto interno dado). Daquela  temos 

 Estabilidade numérica 
Cando este proceso se implementa nun ordenador, os vectores  moitas veces non son completamente ortogonais, debido a erros de redondeo  Para o proceso de Gram-Schmidt tal como se describiu anteriormente (ás veces referido como "Gram-Schmidt clásico") esta perda de ortogonalidade é particularmente ruín; polo tanto, dise que o proceso de Gram-Schmidt (clásico) é numericamente inestábel.

O proceso de Gram-Schmidt pódese estabilizar mediante unha pequena modificación; esta versión ás veces denomínase Gram-Schmidt modificado ou MGS. Este enfoque dá o mesmo resultado que a fórmula orixinal en aritmética exacta e introduce erros menores na aritmética de precisión finita.

En lugar de calcular o vector  como 

calcúlase como 

 Vía eliminación gaussiana 
Se as filas  escríbense como unha matriz , logo aplicando a  eliminación gaussiana á matriz aumentada  producirá os vectores ortogonalizados en lugar de . Porén a matriz  debe levarse á forma graduada de filas, utilizando só a operación de fila de engadir un múltiplo escalar dunha fila a outra. Por exemplo, tomando  como enriba, temos 

E reducir isto á forma graduada de filas produce 

Os vectores normalizados son logo 

, 
como no exemplo anterior.

 Expresado mediante álxebra xeométrica 
Expresados usando a notación usada en álxebra xeométrica, os resultados non normalizados do proceso de Gram-Schmidt pódense expresar como 

que é equivalente á expresión que utiliza o operador  definido anteriormente. Os resultados pódense expresar de forma equivalente como

que está moi relacionado coa expresión usando determinantes.

 Alternativas 
Outros algoritmos de ortogonalización usan as  transformacións de Householder ou as rotacións de Givens. Os algoritmos que utilizan as transformacións de Householder son máis estábeis que o proceso de Gram-Schmidt estabilizado. Por outra banda, o proceso de Gram-Schmidt produce o -ésimo vector ortogonalizado despois do -ésima iteración, mentres que a ortogonalización usando as reflexións de Householder produce todos os vectores só ao final. Isto fai que só o proceso de Gram-Schmidt sexa aplicábel a métodos iterativos como a iteración de Arnoldi.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 .
 .
 .
 .

 Outros artigos 
 Álxebra linear
 Recursión
 Ortogonalidade (matemáticas)
 Ligazóns externas 

 Harvey Mudd College Math Tutorial on the Gram-Schmidt algorithm
 Earliest known uses of some of the words of mathematics: G 
 Demos: Gram Schmidt process in plane e Gram Schmidt process in space
 Gram-Schmidt orthogonalization applet
 NAG Gram–Schmidt orthogonalization of n vectors of order m routine
 Proba: Raymond Puzio, Keenan Kidwell. "proof of Gram-Schmidt orthogonalization algorithm" (version 8). PlanetMath.org.

Categoría:Álxebra lineal
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas