Álxebra exterior

En matemáticas, a álxebra exterior ou álxebra de Grassmann dun espazo vectorial  é unha álxebra asociativa que contén  que ten un produto, chamado produto exterior (ou tamén en inglés wedge product)  e denotado co símbolo , tal que  para todo vector  en  

A álxebra exterior recibe o nome de Hermann Grassmann,  introduced these as extended algebras (cf. ). e os nomes do produto proceden do símbolo "wedge"  e por outra parte do feito de que o produto de dous elementos de  está "fóra" de 

O produto exterior de  vectores  chámase lámina de grao  ou -lámina. O produto exterior foi introducido orixinalmente como unha construción alxébrica usada en xeometría para estudar áreas, volumes e os seus análogos de dimensións superiores: a magnitude dunha 2-lámina  é a área do paralelogramo definida por  e  e, de xeito máis xeral, a magnitude da -lámina é o (hiper)volume do paralelotopo definido polos vectores constituíntes. 

A propiedade alternante que fai  implica unha propiedade simétrica nesgada que fai  e, máis xeralmente, calquera mudanza de signo de lámina sempre que se trocan dous dos seus vectores constituíntes, correspondentes a un paralelótopo de orientación oposta.

A definición da álxebra exterior pódese ampliar para espazos construídos a partir de espazos vectoriais, como campos vectoriais e funcións cuxo dominio é un espazo vectorial. A maiores, o corpo dos escalares pode ser calquera corpo. De forma máis xeral, a álxebra exterior pódese definir para módulos sobre un anel conmutativo. En particular, a álxebra das formas diferenciais en  variables é unha álxebra exterior sobre o anel das funcións suaves en  variábeis.

 Exemplos básicos 

 Áreas no plano 
dereita|miniatura| A área dun paralelogramo en función do determinante da matriz de coordenadas de dous dos seus vértices.
O espazo vectorial euclidiano bidimensional  é un espazo vectorial real equipado cunha base formada por un par de vectores unitarios ortogonais 

Supoñamos que 

son un par de vectores dados en  escrito en compoñentes. Hai un paralelogramo único que ten  e  como dous dos seus lados. A área deste paralelogramo vén dada pola fórmula do determinante estándar: 

Consideremos agora o produto exterior de  and :

onde o primeiro paso utiliza a lei distributiva para o produto exterior, e o último usa o feito de que o produto exterior é un mapa alternante, e en particular   Nótese que o coeficiente desta última expresión é precisamente o determinante da matriz  . O feito de que isto poida ser positivo ou negativo ten o significado intuitivo de que v e w poden estar orientados no sentido antihorario ou no sentido horario como os vértices do paralelogramo que definen. Tal área chámase área con signo do paralelogramo: o valor absoluto da área con signo é a área ordinaria e o signo determina a súa orientación.

En detalle, se  denota a área con signo do paralelogramo do cal o par de vectores v e w forman dous lados adxacentes, entón A debe satisfacer as seguintes propiedades:

  para todo número real r, s. 
 .
 .
   para todo número rea r.
 .

miniatura| O produto vectorial (vector azul) en relación co produto exterior (paralelogramo azul claro). A lonxitude do produto vectorial é proporcional á lonxitude do vector unitario paralelo (vermello) coa mesma proporción que o tamaño do produto exterior (paralelogramo azul claro) é ao tamaño do paralelogramo de referencia (vermello claro).

 Produtos vectoriais e triplos 
dereita|miniatura| Descomposición en bases dun 2-vector 
Para os vectores en R 3, a álxebra exterior está moi relacionada co produto vectorial e o produto triplo. Usando a base estándar , o produto exterior dun par de vectores





sería 


onde   é a base para o espazo tridimensional ⋀2(R3). Os coeficientes anteriores son os mesmos que os da definición habitual do produto vectorial de vectores en tres dimensións, a única diferenza é que o produto exterior non é un vector común, senón que é un bivector.

Traendo un terceiro vector



o produto exterior de tres vectores é


onde e1 ∧ e2 ∧ e3 é a base de vectores para o espazo un dimensional  ⋀3(R3). O coeficiente escalar é o produto triplo dos tres vectores.

 Definición formal 
A álxebra exterior  dun espazo vectorial  sobre un corpo  defínese como a álxebra cociente da álxebra tensorial T (V), onde



polo ideal bilateral  xerado por todos os elementos da forma  tal que . Simbólicamente,



O produto exterior  de dous elementos de  está definido por



 Propiedades alxébricas 

 Produto alternante 
O produto exterior é, por construción, alternante en elementos de  o que significa que  para todos os  pola construción anterior. Polo tanto, o produto tamén é anticomutativo en elementos de  por exemplo, para 



polo tanto



 Potencia exterior 
A -ésima potencia exterior de  , é o subespazo vectorial de  expandidos por elementos da forma

Se  entón  dise que é un K-vector . Se, alén disto,  pódese expresar como un produto exterior de  elementos de  entón  dise que é descompoñíbel (ou simple, para algúns autores; ou unha lámina, para outros). 

 Base e dimensión 
Se a dimensión de  é  e  é unha base para , entón o conxunto


é unha base . O motivo é o seguinte: dado calquera produto exterior da forma



todo vector  pódese escribir como unha combinación linear dos vectores base  usando a bilinearidade do produto exterior, este pódese expandir a unha combinación linear de produtos exteriores deses vectores base. 

En xeral, os coeficientes resultantes dos -vectores da base pódense calcular como os menores da matriz que describe os vectores  en termos da base .

Calquera elemento da álxebra exterior pode escribirse como unha suma de k-vectores. Polo tanto, como espazo vectorial a álxebra exterior é unha suma directa

(onde, por convención,  o corpo  ), e polo tanto a súa dimensión é igual á suma dos coeficientes binomiais, que é .

 Rango dun k-vector 
Se  entón é posíbel expresar  como unha combinación linear de -vectores descompoñíbeis:



onde cada   é descompoñíbel, digamos



O rango do k-vector   é o número mínimo de -vectores descompoñíbeis nunha expansión deste tipo de . Isto é semellante á noción de rango tensorial.

 Estrutura graduada 
O produto exterior dun -vector cun -vector é un -vector, invocando unha vez máis a bilinearidade. Como consecuencia, a descomposición de suma directa do apartado anterior



dálle á álxebra exterior a estrutura adicional dunha álxebra graduada, é dicir



 Propiedade universal 
Sexa  un espazo vectorial sobre o corpo . Informalmente, a multiplicación en  realízase manipulando símbolos e impoñendo unha lei distributiva, unha lei asociativa e utilizando a identidade  para . 

Formalmente,  é a álxebra "máis xeral" na que se aplican estas regras para a multiplicación, no sentido de que calquera -álxebra asociativa unitaria que conteña  con multiplicación alternante en  debe conter unha imaxe homomorfa de . Noutras palabras, a álxebra exterior ten a seguinte propiedade universal: Ver , and . Dado calquera -álxebra asociativa unitaria  e calquera -mapa linear  tal que  para todo  en , entón existe precisamente un homomorfismo de álxebra unitaria  tal que  para todo  en  (aquí  é a inclusión natural de  en  ver arriba).
alt=Universal property of the exterior algebra|centro|150x150px| Propiedade universal da álxebra exterior

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 



 Esta é a principal referencia matemática para o artigo.    ver §III.7 e §III.11.

 Este libro contén aplicacións de álxebras exteriores a problemas en  ecuacións diferenciais parciais . 

 Capítulo XVI seccións 6–10 dan unha explicación máis elemental da álxebra exterior.

 Contén un tratamento clásico da álxebra exterior como tensores alternantes e aplicacións á xeometría diferencial.

 Outros artigos 

 Álxebra de Clifford
 Álxebra tensorial
 Álxebra de Weyl
 Álxebra multilinear

Categoría:Álxebra
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas