Espazo de Banach

En matemáticas, máis concretamente en análise funcional un espazo de Banach é un espazo vectorial normado completo. Polo tanto, un espazo de Banach é un espazo vectorial cunha métrica que permite o cálculo da lonxitude do vector e a distancia entre vectores, e é completo no sentido de que unha secuencia de vectores de Cauchy sempre converxe a un límite ben definido que está dentro do espazo.

Os espazos de Banach reciben o seu nome do matemático polaco Stefan Banach, quen introduciu este concepto e o estudou sistematicamente entre 1920 e 1922 xunto con Hans Hahn e Eduard Helly. Maurice René Fréchet foi o primeiro en empregar o termo "espazo de Banach" e Banach, á súa vez, acuñou o termo "espazo de Fréchet". 

Os espazos de Banach xurdiron orixinalmente do estudo dos espazo de funcións realizado por Hilbert, Fréchet e Riesz a principios de século. Os espazos de Banach xogan un papel central na análise funcional. Noutras áreas de análise, os espazos en estudo adoitan ser espazos de Banach.

 Definición 
Un Espazo de Banach é un  espazo normado completo 

Un espazo normado é un par
 que consiste nun espazo vectorial  sobre un corpo escalar  (onde  soe ser   ou ) xunto cunha
norma  Como todas as normas, esta norma induce unha invariante de translación
función de distancia, chamada métrica canónica ou (norma) métrica inducida, definida para todos os vectores  como

Isto converte  nun espazo métrico 

Unha secuencia  chámase de  ou  ou  se para todo real  existe algún índice  tal que

sempre que  e  sexan maiores que 

O espazo normado  chámase espazo de Banach e a métrica canónica  chámase métrica completa se  é un espazo métrico completo, o que por definición significa que para toda secuencia de Cauchy  en  existe algún  tal que

onde por mor de  a converxencia desta secuencia a  pódese expresar de xeito equivalente como

 Caracterización por series 
A estrutura do espazo vectorial permite relacionar o comportamento das secuencias de Cauchy co das series converxentes de vectores. Un espazo normado  é un espazo de Banach se e só se cada serie absolutamente converxente en  converxe a un valor que se atopa dentro de  see Theorem 1.3.9, p. 20 in . simbolicamente 

 Topoloxía 
A métrica canónica  dun espazo normado  induce a topoloxía métrica habitual  en  que se denomina topoloxía canónica ou inducida por normas . Asúmese automaticamente que todo espazo normado leva esta topoloxía de Hausdorff, a menos que se indique o contrario. Con esta topoloxía, cada espazo de Banach é un espazo de Baire, aínda que existen espazos normados que son de Baire pero non de Banach. A norma  é sempre unha función continua en relación á topoloxía que induce.

As bólas abertas e pechadas de raio  centradas nun punto  son, respectivamente, os conxuntos

Calquera bóla deste tipo é un subconxunto limitado e convexo de , pero existe unha bóla/veciñanza compacta  se e só se  é finito-dimensional. En particular, ningún espazo normado de dimensión infinita pode ser localmente compacto nin ter a propiedade de Heine-Borel.

Se  é un vector e  é un escalar, entón

O uso de  mostra que a topoloxía inducida por normas é invariante de translación, o que significa que para calquera  e  o subconxunto  é aberto (respectivamente, pechado) en  se e só se a súa translación  é aberta (respectivamente, pechada).
En consecuencia, a topoloxía inducida por normas está completamente determinada por calquera base de veciñanza na orixe. Algunhas bases de veciñanza comúns na orixe inclúen

onde  poden ser calquera secuencia de números reais positivos que converxa a  en  (as opcións comúns son  or ). 
Así, por exemplo, calquera subconxunto aberto  de  pódese escribir como unha unión

indexada por algún subconxunto  onde cada  pode escollerse da secuencia mencionada iñantes .(As bólas abertas tamén se poden substituír por bólas pechadas, aínda que o conxunto de indexación  e os raios  tamén poden precisar ser substituídos). Alén disto,  sempre pode ser escollido como numerábel se  é un , o que por definición significa que  contén algún numerábel.

 Completude 

 Normas completas e normas equivalentes 
Dúas normas,  e  nun espazo vectorial  dise que son equivalentes se inducen a mesma topoloxía;  isto ocorre se e só se existen números reais  de tal xeito que  para tódolos  Se  e  son dúas normas equivalentes nun espazo vectorial  entón  é un espazo de Banach se e só se  é un espazo de Banach. Véxase esta nota ao pé para ver un exemplo dunha norma continua nun espazo de Banach que  é equivalente á norma dada dese espazo de Banach.   Todas as normas nun espazo vectorial de dimensión finita son equivalentes e todo espazo normado de dimensión finita é un espazo de Banach. see Corollary 1.4.18, p. 32 in .

 Normas completas fronte a métricas completas 
Unha métrica  nun espazo vectorial  é inducida por unha norma en  se e só se  é invariante por translación  e absolutamente homoxénea, o que significa que  para todos os escalares  e todo  nese caso a función  define unha norma sobre  e a métrica canónica inducida por  é igual a 

Supoñamos que  é un espazo normado e que  é a norma topolóxica inducida en . Supoñamos que  é  métrica en  tal que a topoloxía que  induce en  é igual a . Se  é invariante por translación, entón  é un espazo de Banach se e só se  é un espazo métrico completo.

Se   é invariante por traslación daquela pode ser posíbel que  sexa un espazo de Banach pero que   sexa un espazo métrico completo (véxase esta nota ao pé para un exemplo). En contraste, un teorema de Klee, que tamén se aplica a todos os espazos vectoriais topolóxicos metrizábeis, implica que se existe Non se asume que esta métrica  sexa invariante por translación. Entón, en particular, esta métrica  mesmo non ten que ser inducida por unha norma. métrica completa  en  que induce a norma topolóxica  en , entón  é un espazo de Banach.

 Completamentos 
Todo espazo normado pode ser mergullado isometricamente nun subespazo vectorial denso dun espazo de Banach, onde este espazo de Banach se denomina un completamento do espazo normado. Este completamento de Hausdorff é único ata o isomorfismo isométrico.

 Teoría xeral 

 Operadores lineares, isomorfismos 
Se  e  son espazos normados sobre o mesmo corpo base  o conxunto de todos os -mapas lineares continuos  denótanse por  

En espazos de dimensión infinita, non todas as aplicacións lineares son continuas. Unha aplicación linear a partir dun espazo normado  a outro espazo normado é continuo se e só se está limitado na bóla unitaria pechada de  Así, ao espazo vectorial  pódeselle dar a norma de operador 

Para  un espazo de Banach, o espazo  é un espazo de Banach en relación a esta norma. En contextos categóricos, ás veces é conveniente restrinxir o espazo de funcións entre dous espazos de Banach só aos mapas métricos; nese caso, o espazo  reaparece como un bifunctor natural.

Se  é un espazo de Banach, o espazo  forma unha álxebra de Banach unitaria; a operación de multiplicación vén dada pola composición de aplicacións lineares.

Se  e  son espazos normados, son espazos normados isomorfos se existe unha bixección linear  de tal xeito que  e o seu inverso  son continuos. Se un dos dous espazos  ou  é completo (ou reflexivo, separábel, etc.), entón tamén o é o outro espazo. Dous espazos normados  e  son isométricamente isomorfos se a maiores,  é unha isometría, é dicir,  para todo  en 

A distancia de Banach-Mazur  entre dous espazos isomorfos mais non isométricos  e  dá unha medida de canto os dous espazos  e  difiren.

 Nocións básicas 
O produto cartesiano  de dous espazos normados non está canonicamente equipado cunha norma. No entanto, úsanse habitualmente varias normas equivalentes, como 

que corresponden (respectivamente) ao coproduto e ao produto na categoría de espazos de Banach e espazos métricos (comentados iñantes).Qiaochu Yuan (June 23, 2012). "Banach spaces (and Lawvere metrics, and closed categories)". Annoying Precision. Para (co)produtos finitos, estas normas dan lugar a espazos normados isomorfos, e o produto  (ou a suma directa  ) é completa se e só se os dous factores son completos.

Se  é un subespazo linear pechado dun espazo normado  existe unha norma natural no espazo cociente 

O cociente  é un espazo de Banach cando  é completo. see pp. 17–19 in . O mapa  cociente de  en  enviando  á súa clase  é linear, sobrexectivo e de norma  agás cando  nese caso o cociente é o espazo nulo.

O subespazo linear pechado  de  dise que é un subespazo complementado de  se  é o rango dunha proxección linear sobrexectiva limitada   Neste caso, o espazo  é isomorfo á suma directa de  e  o kernel da proxección 

Supoñamos que  e  son espazos de Banach e que  Existe unha factorización canónica de  como see pp. 17–19 in . 

onde o primeiro mapa  é o mapa cociente e o segundo mapa  envía cada clase  no cociente cara a imaxe  en  Isto está ben definido porque todos os elementos da mesma clase teñen a mesma imaxe. O mapeo  é unha bixección linear de  sobrexectimante no rango  cuxa inversa non precisa ser limitada.

 Espazos clásicos 
Exemplos básicos see , pp. 11-12. de espazos de Banach inclúen: os espazos Lp  e os seus casos especiais, os espazos de secuencias  que consisten en secuencias escalares indexadas por números naturais ; entre eles, o espazo  de secuencias absolutamente sumábeis e o espazo  de secuencias cadradas sumábeis; o espazo  de secuencias tendentes a cero e o espazo  de secuencias limitadas; o espazo  de funcións escalares continuas nun espazo compacto de Hausdorff  equipado coa norma máxima, 

Segundo o teorema de Banach-Mazur, todo espazo de Banach é isometricamente isomorfo a un subespazo dalgún  see , Th. 9 p. 185. Para todo espazo de Banach separábel  existe un subespazo pechado  de  de tal xeito que  see Theorem 6.1, p. 55 in 

Calquera espazo de Hilbert serve como exemplo de espazo de Banach. Un espazo de Hilbert  en  está completo para unha norma da forma 

 onde 
é o produto interno, linear no seu primeiro argumento, que cumpre o seguinte: 

Por exemplo, o espazo  é un espazo de Hilbert.

Os espazos de Hardy e os espazos de Sobolev son exemplos de espazos de Banach relacionados cos -espazos e teñen unha estrutura adicional. Son importantes en diferentes ramas da análise, análise harmónica e ecuacións diferenciais parciais, entre outras.

 Álxebras de Banach 
Unha álxebra de Banach é un espazo de Banach  sobre   ou  xunto cunha estrutura de álxebra sobre , de xeito que o mapa do produto  é continuo. Unha norma equivalente en  pódese atopar para que  para tódolos 

 Exemplos 

 O espazo de Banach  co produto punto por punto é unha álxebra de Banach. 
 A álxebra de disco  consiste en funcións holomorfas no disco unitario aberto  e continuas no seu peche:  Equipada en  coa norma do máximo, a álxebra de disco  é unha subálxebra pechada de 
 A álxebra de Wiener  é a álxebra de funcións na círculo unitario  con series de Fourier absolutamente converxentes. Mediante o mapa que asocia unha función en  á secuencia dos seus coeficientes de Fourier, esta álxebra é isomorfa á álxebra de Banach  onde o produto é a convolución de secuencias.
 Para todo espazo de Banach  o espazo  de operadores lineares limitados en  coa composición de mapas como produto, é unha álxebra de Banach.
 Unha C*-álxebra é unha álxebra de Banach complexa  cunha involución antilinear  tal que  O espazo  de operadores lineares limitados nun espazo de Hilbert  é un exemplo fundamental de C*-álxebra. O teorema de Gelfand-Naimark afirma que toda C*-álxebra é isometricamente isomorfa a unha C*-subálxebra dalgún  O espazo  de funcións continuas complexas nun espazo compacto de Hausdorff  é un exemplo de C*-álxebra conmutativa, onde a involución asocia a cada función  o seu complexo conxugado 
 Espazo dual 
Se  é un espazo normado e  o corpo subxacente (os números reais ou os números complexos), o espazo dual continuo é o espazo das aplicacións lineares continuas de  en  ou funcionais lineares continuos. A notación para o dual continuo é  neste artigo.Several books about functional analysis use the notation  for the continuous dual, for example , , , , . Dado que  é un espazo de Banach (usando o valor absoluto como norma), o dual  é un espazo de Banach para todo espazo normado  O teorema de Dixmier-Ng caracteriza os espazos duais dos espazos de Banach.

A ferramenta principal para demostrar a existencia de funcionais lineares continuos é o teorema de Hahn-Banach.

 Exemplos de espazos duais 
O dual de  é isometricamente isomorfo a : para todo funcional linear limitado  en  hai un elemento único  de tal xeito que 

O dual de  é isometricamente isomorfo a . O dual do espazo de Lebesgue  é isometricamente isomorfo a  cando  e 

Para todo vector  nun espazo de Hilbert  o mapa 

define un funcional linear continuo  en  

O teorema da representación de Riesz afirma que todo funcional linear continuo en  é da forma  para un vector definido de forma única  en  O mapa  é unha bixección isométrica antilinear de  no seu dual  Cando os escalares son reais, este mapa é un isomorfismo isométrico.

 Teoremas de Banach 
Os principais resultados xerais sobre os espazos de Banach que se remontan á época do libro de Banach (  ) están relacionados co teorema da categoría de Baire. 

Segundo ese teorema, un espazo métrico completo (como un espazo de Banach, un espazo de Fréchet ou un espazo F) non pode ser igual a unha unión de subconxuntos pechados con un número numerábel de elementos con interiores baleiros. Polo tanto, un espazo de Banach non pode ser a unión dun número numerábel de subespazos pechados, a menos que xa sexa igual a un deles; un espazo de Banach cunha base de Hamel numerábel é de dimensión finita.

 Reflexividade 
O espazo normado  chámase reflexivo cando o mapa natural 
 é sobrexectivo. 

Os espazos normados reflexivos son espazos de Banach.

 Produto tensorial 
miniatura
Sexan  e  dous -espazos vectoriais. O produto tensorial  de  e  é un -espazo vectorial  cunha aplicación bilinear  que ten a seguinte propiedade universal:

 Se  é calquera aplicación bilinear nun -espazo vectorial  entón existe unha aplicación linear única  de tal xeito que 

A imaxe baixo  dunha parella  en  denótase por  e chámase tensor simple. Todo elemento  en  é unha suma finita deses tensores simples.

Existen varias normas que se poden aplicar ao produto tensorial dos espazos vectoriais subxacentes, entre outras a norma cruzada proxectiva e a norma cruzada inxectiva introducidas por A. Grothendieck en 1955.

En xeral, o produto tensorial de espazos completos non volve ser completo. Ao traballar con espazos de Banach, é costume dicir que o produto tensorial proxectivo see chap. 2, p. 15 in . de dous espazos de Banach  e  é o   do produto tensorial alxébrico  equipado coa norma tensorial proxectiva e, de xeito similar, para o produto tensorial inxectivosee chap. 3, p. 45 in .  

Grothendieck demostrou en particular que see Example. 2.19, p. 29, and pp. 49–50 in .

onde  é un espazo compacto de Hausdorff,  o espazo de Banach de funcións continuas de  a  e  o espazo de funcións medíbeis e integrábeis por Bochner de  a  e onde os isomorfismos son isométricos. Os dous isomorfismos anteriores son as respectivas extensións da aplicación que envía o tensor  á función vectorial 

 Exemplos 

 Derivadas 
Pódense definir varios conceptos de derivada nun espazo de Banach. Consulte os artigos sobre a derivada de Fréchet e a derivada de Gateaux para obter máis detalles. A derivada de Fréchet permite unha extensión do concepto de derivada total aos espazos de Banach. A derivada de Gateaux permite unha extensión dunha derivada direccional a espazos vectoriais topolóxicos localmente convexos. 

A diferenciabilidade de Fréchet é unha condición máis forte que a diferenciabilidade de Gateaux. A cuasiderivada é outra xeneralización da derivada direccional que implica unha condición máis forte que a diferenciabilidade de Gateaux, pero unha condición máis feble que a diferenciabilidade de Fréchet.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 



 .*  
 .
 .

 .





 .
 .

 .

 .

 Outros artigos 












 Ligazóns externas 



Categoría:Topoloxía
Categoría:Análise funcional
Categoría:Álxebra
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas