Teorema multinomial

En matemáticas, o teorema multinomial describe como expandir unha potencia dunha suma en termos de potencias dos termos desa suma. É a xeneralización do teorema binomial de binomios a multinomios.

 Teorema 
Para calquera enteiro positivo  e calquera enteiro non negativo , o teorema multinomial describe como se expande unha suma con  termos cando se eleva á potencia -ésima: 

onde 

é un coeficiente multinomial.  A suma tómase sobre todas as combinacións de índices enteiros non negativos  a  de tal forma que a suma de todos os  é . É dicir, para cada termo da expansión, os expoñentes dos  deben sumar .  

No caso , esta afirmación redúcese á do teorema binomial. 

 Exemplo 
A terceira potencia do trinomio  vén dada por 

Isto pódese calcular a man usando a propiedade distributiva da multiplicación sobre a suma e combinando termos similares, mais tamén se pode facer (quizais máis facilmente) co teorema multinomial. É posíbel "ler" os coeficientes multinomiais dos termos usando a fórmula do coeficiente multinomial. Por exemplo, o termo  ten por coeficiente , o termo  ten por coeficiente , e do mesmo xeito para o resto.

 Expresión alternativa 
O enunciado do teorema pódese escribir concisamente usando multiíndices:



onde



e



 Coeficientes multinomiais 
Os números



que aparecen no teorema son os coeficientes multinomiais. Pódense expresar de moitas maneiras, incluíndo como produto de coeficientes binomiais ou de factoriais:



 Interpretacións 

 Formas de poñer obxectos en caixas 
Os coeficientes multinomiais teñen unha interpretación combinatoria directa, como o número de formas de depositar  obxectos distintos en  caixas distintas, con  obxectos na primeira caixa,  obxectos na segunda caixa, etc.

 Número de permutacións únicas de palabras 
miniatura| Coeficiente multinomial como produto de coeficientes binomiais, contando as permutacións das letras de MISSISSIPPI.
O coeficiente multinomial



é tamén o número de formas distintas de permutar un multiconxunto de  elementos, onde  é a multiplicidade de cada un dos -ésimo elementos. Por exemplo, o número de permutacións distintas das letras da palabra MISSISSIPPI, que ten 1 M, 4 Is, 4 Ss e 2 Ps, é



 Triángulo de Pascal xeneralizado 
Pódese usar o teorema multinomial para xeneralizar o triángulo de Pascal ou a pirámide de Pascal no simplex de Pascal. Isto proporciona un xeito rápido de xerar unha táboa de bprocura de coeficientes multinomiais.
 Notas 


 Véxase tamén 

 Outros artigos 
 Distribución multinomial
 Bólas e trazos
 Ligazóns externas 

Categoría:Combinatoria
Categoría:Teoremas