Punto singular dunha variedade alxébrica

No campo matemático da xeometría alxébrica, un punto singular dunha variedade alxébrica  é un punto  que é "especial" (así, singular), no sentido xeométrico de que neste punto o espazo tanxente na variedade pode non estar definido regularmente. No caso de variedades definidas sobre os reais, esta noción xeneraliza a noción de non ser plano localmente. Un punto dunha variedade alxébrica que non é singular dise que é regular. Unha variedade alxébrica que non ten punto singular dise que non é singular ou que é suave. O concepto xeneralízase a esquemas suaves na linguaxe moderna da teoría de esquemas.
miniatura| A curva alxébrica plana (unha curva cúbica) da ecuación  crúzase na orixe . A orixe é un punto duplo desta curva. É singular porque unha única tanxente pode non estar correctamente definida nese punto.

 Definición 
Unha curva plana definida por unha ecuación implícita

  ,

onde  é unha función suave dise que é singular nun punto se a serie de Taylor de  ten orde polo menos  neste punto.

A razón disto é que, no cálculo diferencial, a tanxente no punto  de tal curva está definida pola ecuación



cuxo lado esquerdo é o termo de grao un da expansión de Taylor. Así, se este termo é cero, a tanxente pode non estar definida da forma estándar, xa sexa porque non existe ou se debe proporcionar unha definición especial.

En xeral para unha hipersuperficie



os puntos singulares son aqueles nos que todas as derivadas parciais desaparecen simultaneamente. Estando definida unha variedade alxébrica xeral  como os ceros comúns de varios polinomios, a condición de que un punto  de  sexa un punto singular é que a matriz jacobiana das derivadas parciais de primeira orde dos polinomios teña un rango en  inferior ao rango noutros puntos da variedade.

Os puntos de  que non son singulares chámanse non singulares ou regulares. Sempre é certo que case todos os puntos son non singulares, no sentido de que os puntos non singulares forman un conxunto que é á vez aberto e denso na variedade (para a topoloxía de Zariski, así como para a topoloxía habitual, no caso das variedades definidas sobre os números complexos ).

No caso dunha variedade real (é dicir, o conxunto dos puntos con coordenadas reais dunha variedade definida por polinomios con coeficientes reais), a variedade é unha variedade preto de cada punto regular. 

É importante ter en conta que unha variedade real pode ser unha variedade e ter puntos singulares. Por exemplo, a ecuación  define unha variedade analítica real mais ten un punto singular na orixe. Isto pódese explicar dicindo que a curva ten dúas ramas conxugadas complexas que cortan a rama real na orixe.

 Puntos singulares de mapas suaves 
Como a noción de puntos singulares é unha propiedade puramente local, a definición anterior pódese estender para abranguer a clase máis ampla de mapas suaves (funcións de  en  onde existen todas as derivadas). A análise destes puntos singulares pódese reducir ao caso da variedade alxébrica tendo en conta os chorros do mapa. O chorro  é a serie de Taylor do mapa truncada no grao  e eliminando o termo constante.

 Nós 
Na xeometría alxébrica clásica, certos puntos singulares especiais tamén foron chamados nós. Un nó é un punto singular onde a matriz de Hesse non é singular; isto implica que o punto singular ten multiplicidade dous e o cono tanxente non é singular fóra do seu vértice.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Outros artigos 
Resolución of singularidades
Punto singular dunha curva
Teoría da singularidade
Esquema suave
Espazo tanxente de Zariski

Categoría:Topoloxía
Categoría:Xeometría