Anel de matrices

Na álxebra abstracta, un anel de matrices ou anel matricial é un conxunto de matrices con entradas nun anel R que forman un anel baixo a suma e a multiplicación de matrices. 

O conxunto de todas as matrices  con entradas en R é un anel de matrices denotado como Mn (R)     (notacións alternativas: Matn (R)  e  ). Algúns conxuntos  de matrices infinitas forman aneis de matrices infinitas. 

Un subanel dun anel matricial é tamén un anel matricial. Sobre un rng, pódense formar rngs de matrices.

Cando R é un anel conmutativo, o anel de matrices Mn(R) é unha álxebra asociativa sobre R, e pódese chamar álxebra de matrices. Nesta configuración, se M é unha matriz e r está en R, entón a matriz rM é a matriz M con cada unha das súas entradas multiplicada por r.

 Exemplos 

 O conxunto de todas as  matrices cadradas  sobre R, denotadas Mn(R). Isto ás veces chámase "anel completo de matrices n-por-n".
 O conxunto de todas as matrices triangulares superiores sobre R.
 O conxunto de todas as matrices triangulares inferiores sobre R.
 O conxunto de todas as matrices diagonais sobre R. Esta subálxebra de Mn(R) é isomorfa ao produto directo de n copias de R.

 A intersección dos aneis da matriz finita fila e columna finita forma un anel .
 Se R é conmutativo, entón Mn(R) ten unha estrutura de *-álxebra sobre R, onde a involución * en Mn(R) é unha transposición de matriz.

 Un anel matricial sobre un corpo é unha álxebra de Frobenius, coa forma de Frobenius dada pola traza do produto: .

 Estrutura 

 O anel matricial Mn(R) pódese identificar co anel de endomorfismos do módulo libre pola dereita R de rango n; é dicir, . A multiplicación de matrices corresponde á composición de endomorfismos.
 O anel Mn(D) sobre un anel de división D é un anel simple artiniano, un tipo especial de anel semisimple. Os aneis  e  son non simples e non artinianos se o conxunto I é infinito, mais aínda son aneis lineares completos.
 O teorema de Artin-Wedderburn afirma que todo anel semisimple é isomorfo a un produto directo , para algúns enteiros non negativos r, e enteiros positivos ni e aneis de división Di.
 Cando vemos Mn(C) como o anel de endomorfismos lineares de Cn, aquelas matrices que desaparecen nun subespazo dado V forman un ideal pola esquerda. Pola contra, para un ideal esquerdo dado I de Mn(C) a intersección de espazos nulos de todas as matrices en I dá un subespazo de Cn. Baixo esta construción, os ideais pola esquerda de Mn(C) están en bixección cos subespazos de Cn.

 Propiedades 

 Se S é un subanel de R, entón Mn(S) é un subanel de Mn(R). Por exemplo, Mn(Z) é un subanel de Mn(Q).
 O anel de matrices Mn(R) é conmutativo se e só se ,  ou R é conmutativo e . De feito, isto é certo tamén para o subanel de matrices triangulares superiores. Aquí temos un exemplo que mostra dúas matrices triangulares superiores  que non conmutan, asumindo  en R :

 e

 Para , o anel de matrices Mn(R) sobre un anel distinto de cero ten divisores nulos e elementos nilpotentes; o mesmo ocorre co anel de matrices triangulares superiores. Un exemplo en matrices  sería

 O centro de Mn(R) está formado polos múltiplos escalares da matriz identidade, In, nos que o escalar pertence ao centro de R.
 O grupo unitario de Mn(R), formado polas matrices invertíbeis baixo multiplicación, denomínase GLn(R).
 Se F é un corpo, daquela para dúas matrices calquera A e B en Mn(F), a igualdade  implica . No entanto, isto non é certo para todos os aneis R. Un anel R cuxos aneis matriciais teñen todos a propiedade mencionada coñécese como un anel establemente finito .

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 








 Outros artigos 
 Álxebra central simple
 Álxebra  de Clifford
 Teorema de Hurwitz (algebras de división)
 Lei de inercia de Sylvester

Categoría:Teoría de aneis
Categoría:Estruturas alxébricas