Derivada formal

En matemáticas, a derivada formal é unha operación sobre elementos dun anel polinómico ou dun anel de series formais de potencias que imita a forma da derivada do cálculo. 

Aínda que parecen similares, a vantaxe alxébrica dunha derivada formal é que non se basea na noción de límite, que en xeral é imposíbel de definir para un anel. 

Moitas das propiedades da derivada son certas para a derivada formal, mais algunhas, especialmente as que fan enunciados numéricos, non o son.

A diferenciación formal úsase en álxebra para comprobar as raíces múltiples dun polinomio.

 Definición 
Dado un anel  (non necesariamente conmutativo) e sexa   o anel de polinomios sobre . (Se  non é conmutativa, esta é a álxebra libre sobre unha única variábel indeterminada.)

Entón a derivada formal é unha operación sobre elementos de , onde se



entón a súa derivada formal é



Na definición anterior, para calquera número enteiro non negativo  e ,  defínese como de costume nun anel:  (con  se  ).

Esta definición tamén funciona aínda que  non teña unha identidade multiplicativa (é dicir,  é un rng).

 Propiedades 
Pódese comprobar que:

 A diferenciación formal é linear: para dous polinomios calquera f(x), g(x) en R[x] e elementos r, s de R temos



 A derivada formal cumpre a regra do produto:



 Observe a orde dos factores; cando R non é conmutativo isto é importante.

Teña en conta que a derivada formal non é un homomorfismo de aneis, porque a regra do produto é diferente de dicir (e non é o caso) que . No entanto, trátase dun homomorfismo (mapa linear) de R-módulos, segundo as regras anteriores.

 Notas 


 Véxase tamén  
 Bibliografía 


 Outros artigos 
 Derivada
 Dominio euclidiano
 Serie formal de potencias

 Ligazóns externas 
 Michael Livshits, You could simplify calculus, arXiv:0905.3611v1 

Categoría:Álxebra abstracta
Categoría:Cálculo diferencial