Teorema de factorización de Weierstrass

En matemáticas, e particularmente no campo da análise complexa, o teorema de factorización de Weierstrass afirma que toda función enteira (ou completa) pode representarse como un produto (posibelmente infinito) que inclúe os seus ceros. O teorema pódese ver como unha extensión do teorema fundamental da álxebra, que afirma que cada polinomio pode factorizarse en factores lineares, un por cada raíz.

 Motivación 
Está claro que calquera conxunto finito  de puntos do plano complexo ten un polinomio asociado  cuxos ceros están precisamente nos puntos dese conxunto. A inversa é unha consecuencia do teorema fundamental da álxebra: calquera función polinómica  no plano complexo ten unha factorización  onde  é unha constante distinta de cero e  é o conxunto de ceros de . 

As dúas formas do teorema de factorización de Weierstrass pódense considerar como extensións do anterior a funcións enteiras. A necesidade de termos adicionais no produto demóstrase cando se considera  onde a secuencia  non é finita. Nunca pode definir unha función enteira, porque o produto infinito non converxe. Así, en xeral, non se pode definir unha función enteira a partir dunha secuencia de ceros prescritos nin representar unha función enteira polos seus ceros usando as expresións que proporciona o teorema fundamental da álxebra. Pola contra, o teorema de Weierstrass  substitúe estes por outros factores.

Unha condición necesaria para a converxencia do produto infinito en cuestión é a de cada un , os factores substituíndo  debe achegarse a 1 cando . Polo tanto, é lóxico que se procuren funcións de factor que poidan ser 0 nun punto prescrito, aínda que permanezan preto de 1 cando non se atopen nese punto e, a maiores, non introduzan máis ceros que os prescritos. Os factores elementais de Weierstrass teñen estas propiedades e teñen o mesmo propósito que os factores  da factorización polinómica indicada enriba.

 Factores elementais 
Considere as funcións da forma  para . En , avalían a  e teñen pendente plana de orde ata . Xusto despois de , caen drasticamente a algún pequeno valor positivo. En cambio, considere a función  que non ten pendente plana pero, en , avalía exactamente a  cero. Teña en conta tamén que para ,



alt=First 5 Weierstrass factors on the unit interval.|dereita|miniatura| Gráfica de  para n = 0,... ,4 e x no intervalo [-1,1].
Os factores elementais, tamén coñecidos como factores primarios,  son funcións que combinan as propiedades de pendente cero e valor cero (ver gráfico):



Para  e , pódese expresar como  e pódese ver como se executan esas propiedades.

A utilidade dos factores elementais  reside no seguinte lema: Rudin, W. (1987), Real and Complex Analysis (PDF) (3rd ed.), Boston: McGraw Hill, pp. 299–304, ISBN 0-07-054234-1, OCLC 13093736

Lema (15.8, Rudin) para , 



 Existencia dunha función enteira con ceros especificados 
Sexa  unha sucesión de números complexos distintos de cero tal que . Se  é calquera sucesión de enteiros non negativos tal que para todos os ,



logo a función



é enteira con ceros só nos puntos . Se un número  ocorre na sucesión  exactamente  veces, entón a función  ten un cero en  de multiplicidade .

 A sucesión  no enunciado do teorema sempre existe. Por exemplo, sempre poderiamos tomar  e ter a converxencia. Tal sucesión non é única: mudala nun número finito de posicións ou tomar outra sucesión , non romperá a converxencia.
 O teorema xeneralízase no seguinte: as sucesións en subconxuntos abertos (e, polo tanto, rexións) da esfera de Riemann teñen funcións asociadas que son holomorfas neses subconxuntos e teñen ceros nos puntos da sucesión .

 Teorema de factorización de Weierstrass 
Sexa  unha función enteira, e sexan  os ceros distintos de cero de  repetidos segundo a multiplicidade; supoña tamén que  ten un cero en  de orde . Daquela existe unha función  enteira e unha secuencia de números enteiros  tal que



Inclúese aquí o caso dado polo teorema fundamental da álxebra. Se a secuencia  é finita entón podemos tomar ,  e  para obter .

 Exemplos de factorización 
As funcións trigonométricas seno e coseno teñen as factorizacións 

mentres que a función gamma  ten factorización 

onde  é a constante de Euler-Mascheroni.

A identidade coseno pódese ver como un caso especial de 

para . 

 Teorema de factorización de Hadamard 
Un caso especial do teorema de factorización de Weierstraß dáse para funcións enteiras de orde finita. Neste caso, o  pódese tomar independente de  e a función  é un polinomio. 
Así, 

onde  son esas raíces de que non son cero (),  é a orde do cero de  en  (o caso  tómase como ),  un polinomio (cuxo grao chamaremos ), e chamaremos  ao número enteiro non negativo máis pequeno tal que a serie
 converxe. 

Isto chámase representación canónica de Hadamard. O número enteiro non negativo  chámase o xénero (ou genus) da  función enteira . A orde  de  satisfai 

Noutras palabras: se a orde  non é un número enteiro, entón  é a parte enteira de . Se a orde é un número enteiro positivo, hai dúas posibilidades:  ou .

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 </ref> 
 Outros artigos 
 Teoremas de Weierstrass.
 Función holomorfa.
 Ligazóns externas 




Categoría:Análise complexa
Categoría:Teoremas
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas