Límite inverso

En matemáticas, o límite inverso (tamén chamado límite proxectivo) é unha construción que permite  "pegar xuntos" moitos obxectos relacionados, onde o proceso preciso  de pegado está especificado por morfismos entre os obxectos. Así, os límites inversos pódense definir en calquera categoría a pesar de que a súa existencia depende da categoría que é considerada. Son un caso especial do concepto de límite en teoría de categorías. 

Traballando na categoría dual, é dicir invertindo as frechas, o límite inverso convértese nun límite directo ou límite indutivo, e un límite convértese nun colímite.

 Definición xeral 
O límite inverso pode definirse de forma abstracta nunha categoría arbitraria mediante unha propiedade universal. Sexa  un sistema inverso de obxectos e morfismos nunha categoría C. O límite inverso deste sistema é un obxecto X en C xunto con morfismos i: X → Xi (chamados proxeccións) que satisfán i =  para todo i ≤ j. O par (X, i) debe ser universal no sentido de que, para calquera outro par deste tipo (Y, ψi), existe un único morfismo u: Y → X tal que o seguinte diagrama é conmutativo para todo i ≤ j

175px|class=skin-invert. O límite inverso adoita denotarse por

onde se entende o sistema inverso  e as proxeccións canónicas .

En certas categorías, o límite inverso de determinados sistemas inversos pode non existir. Se existe, porén, é único nun sentido forte: dadas dúas solucións X e X''' do límite inverso para o mesmo sistema, existe un único isomorfismo X′ → X que conmuta coas proxeccións.

Os sistemas inversos e os seus límites nunha categoría C poden describirse tamén en termos de functores. Todo conxunto parcialmente ordenado I pode considerarse como unha categoría pequena, onde os morfismos consisten en frechas i → j se e só se i ≤ j. Un sistema inverso é entón un functor contravariante I → C. Sexa  a categoría destes functores (cos transformacións naturais como morfismos). Un obxecto X de C pode considerarse como un sistema inverso trivial, no que todos os obxectos son iguais a X e todas as frechas son a identidade de X. Isto define un "functor trivial" de C'' a . O límite inverso, se existe, defínese como un functor adxunto á dereita deste functor trivial.

Categoría:Álxebra abstracta