Elemento enteiro

Na álxebra conmutativa, un elemento b dun anel conmutativo B dise que é enteiro sobre un subanel A de B se b é unha raíz dalgún polinomio mónico sobre A. 

Se A, B son corpos, entón as nocións de "enteiro sobre" e de "extensión de enteiros" son precisamente "alxébrico sobre" e "extensións alxébricas" na teoría de corpos (xa que a raíz de calquera polinomio é a raíz dun polinomio mónico).

O caso de maior interese na teoría de números é o dos números complexos enteiros sobre Z (por exemplo,  ou ); neste contexto, os elementos enteiros adoitan chamarse enteiros alxébricos. Os números enteiros alxébricos nunha extensión de corpo finita k dos racionais Q forman un subanel de k, chamado anel de enteiros de k, un obxecto central de estudo na teoría alxébrica de números.

Neste artigo, o termo anel entenderase como anel conmutativo cunha identidade multiplicativa.

 Definición 
Sexa  un anel e sexa   un subanel de  Un elemento  de  dise que é enteiro sobre  se para algúns  existe  en  tal que 

O conxunto de elementos de  que son enteiros sobre   chámase peche integral (ou pechamento integral) de  en  O pechamento integral de calquera subanel  en  é, en si, un subanel de  e contén  Se todo elemento de  é enteiro sobre  entón dicimos que  é enteiro sobre , ou equivalentemente  é unha extensión enteira de 

 Exemplos 

 Peche integral na teoría alxébrica de números 
Hai moitos exemplos de peche integral que se poden atopar na teoría de números alxébricos xa que é fundamental para definir o anel de enteiros para unha extensión de corpo alxébrico  (ou ).

 Peche integral de números enteiros en racionais 
Os enteiros son os únicos elementos de Q que son enteiros sobre Z. Noutras palabras, Z é o peche integral de Z en Q.

 Extensións cadráticas 
Os enteiros de Gauss son os números complexos da forma , e son enteiros sobre Z.  é entón o peche integral de Z in  . Normalmente denótase este anel  .

O peche integral de Z in  é o anel



Este exemplo e o anterior son exemplos de enteiros cadráticos. O peche integral dunha extensión cadrática  pódese atopar construíndo o polinomio mínimo dun elemento arbitrario  e atopar o criterio teórico de números para que o polinomio teña coeficientes enteiros. Esta análise pódese atopar no artigo de extensións cadráticas.

 Pechamento integral 
Sexan A ⊂ B aneis e A''' o peche integral de A en B. (Ver arriba para a definición.)

Os peches integrais compórtanse ben baixo varias construcións. En concreto, para un subconxunto S de A pechado multiplicativamente, a localización S −1 A' é o peche integral de S −1 A en S −1 B'', e  é o peche integral de  en . un exercicio en  Se  son subaneis de aneis , entón o peche integral de  en  é  onde  son os peches integrais de  en . 

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 



 Outros artigos 
 Enteiro alxébrico
 Extensión dun corpo
 Anel (matemáticas)
 Anel polinómico

Categoría:Estruturas alxébricas
Categoría:Teoría de aneis
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas