Extensión alxébrica

En matemáticas, unha extensión alxébrica é unha extensión de corpo  tal que cada elemento do corpo maior  é alxébrico sobre o corpo menor ; é dicir, todo elemento de  é unha raíz dun polinomio distinto de cero con coeficientes en .   

Unha extensión de corpo que non é alxébrica, dise que é transcendental e debe conter elementos transcendentais, é dicir, elementos que non son alxébricos.  

As extensións alxébricas do corpo  dos números racionais chámanse corpos numéricos alxébricos e son os principais obxectos de estudo da teoría alxébrica de números. 

Outro exemplo dunha extensión alxébrica común é a extensión  dos números reais polos números complexos.

 Algunhas propiedades 
Todas as extensións transcendentais son de grao infinito. Isto á súa vez implica que todas as extensións finitas son alxébricas. No entanto, a inversa non é verdade: hai extensións infinitas que son alxébricas.  Por exemplo, o corpo de todos os números alxébricos é unha extensión alxébrica infinita dos números racionais.

Sexa  unha extensión dun corpo , e . O subcorpo máis pequeno de  que contén  e  é comunmente denotado  Se  é alxébrico sobre , entón os elementos de  poden expresarse como polinomios en  con coeficientes en K; é dicir, , o anel máis pequeno que contén  e . 

Neste caso,  é unha extensión finita de  e todos os seus elementos son alxébricos sobre . En particular,  é un espazo vectorial  con base , onde d é o grao do polinomio mínimo de . 

Estas propiedades non se cumpren se  non é alxébrico. Por exemplo,  e ambos son espazos vectoriais de dimensións infinitas sobre  

Un corpo alxébrico pechado F non ten extensións alxébricas propias, é dicir, non hai ningunha extensión alxébrica E con F < E.  Un exemplo é o corpo dos números complexos. 

Todo corpo ten unha extensión alxébrica que está pechada alxébricamente (chamada pechamento alxébrico), pero probar isto en xeral require algunha forma do axioma de escolla.

Unha extensión L / K é alxébrica se e só se cada sub K-álxebra de L é un corpo.

 Propiedades 
Cúmprense as seguintes tres propiedades: 

 Se E é unha extensión alxébrica de F e F é unha extensión alxébrica de K, entón E é unha extensión alxébrica de K.
 Se E e F son extensións alxébricas de K nun sobrecorpo común C, entón o composto EF é unha extensión alxébrica de K.
 Se E é unha extensión alxébrica de F e E > K > F, entón E é unha extensión alxébrica de K.

Estes resultados finitos pódense xeneralizar usando a indución transfinita:  unión de calquera cadea de extensións alxébricas sobre un corpo base é en si mesma unha extensión alxébrica sobre o mesmo corpo base. Este feito, xunto co lema de Zorn (aplicado a un conxunto parcialmene ordenado apropiado), estabelece a existencia de peches alxébricos.

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 








 Outros artigos 

 Elemento enteiro
 Extensión de Galois

Categoría:Teoría de corpos