Converxencia uniforme

miniatura|300x300px| O límite dunha secuencia de funcións continuas non ten por que ser continuo: a secuencia de funcións  (marcado en verde e azul) converxe punto a punto sobre todo o dominio, pero a función límite é descontinua (marcada en vermello).

No campo matemático da análise, a converxencia uniforme é un modo máis forte de converxencia das funcións  que a converxencia punto a punto. Unha secuencia de funcións   converxe uniformemente a unha función límite  nun conxunto  como dominio da función se dado calquera  número positivo arbitrariamente pequeno , pode atoparse un número  tal que cada unha das funcións  difire de   por non máis de  en todo punto   de  .  

 Definición 
Primeiro definimos a converxencia uniforme para funcións con valores reais, aínda que o concepto se xeneraliza facilmente a funcións que mapean espazos métricos e, de xeito máis xeral, espazos uniformes (ver máis abaixo).

Supoñamos que  é un conxunto e  é unha secuencia de funcións con valores reais. Dicimos que a secuencia  é uniformemente converxente en  con límite  se para todo  existe un número natural  tal que para todos os  e para todos os 



A notación para a converxencia uniforme de  a  non está moi estandarizado, por exemplo:



Con frecuencia, non se usa ningún símbolo especial e os autores simplemente escriben



Dado que  é un espazo métrico completo, o criterio de Cauchy pódese usar para dar unha formulación alternativa equivalente para a converxencia uniforme:  converxe uniformemente en  (no sentido anterior) se e só se para todo , existe un número natural  tal que

  .

A secuencia  dise que é localmente uniformemente converxente co límite  se  é un espazo métrico e para todo , existe un  tal que  converxe uniformemente en  

Está claro que a converxencia uniforme implica a converxencia uniforme local, que implica a converxencia punto a punto.

 Notas 
Intuitivamente, unha secuencia de funcións  converxe uniformemente a  se, dado un arbitrariamente pequeno , podemos atopar un  para o que as funcións  con  caian todas dentro dun "tubo" de ancho  centrado arredor de  (é dicir, entre  e  ) para todo o dominio da función.

 Xeneralizacións 
Pódese estender directamente o concepto ás funcións E → M, onde (M, d) é un espazo métrico, substituíndo  con  .

A situación máis xeral é a converxencia uniforme das redes de funcións E → X, onde X é un espazo uniforme.

 Exemplos 
Para , un exemplo básico de converxencia uniforme pódese ilustrar do seguinte xeito: a secuencia  converxe uniformemente, mentres  non. En concreto, asumimos . Toda función  é menor ou igual a  cando , independentemente do valor de . Por outra banda,  é só menor ou igual a  en valores cada vez máis elevados de  cando os valores de  son seleccionados cada vez máis preto de 1 (explicado máis en profundidade máis abaixo).

A secuencia de funcións 



é un exemplo clásico dunha secuencia de funcións que converxe nunha función  punto a punto pero non uniformemente. Para mostrar isto, primeiro observamos que o límite punto a punto de  cando  é a función , dada por



Converxencia punto a punto: A converxencia é trivial para  e , xa que  e , para todos os . Para  e dado , podemos asegurarnos de que  sempre que  escollendo  que é o mínimo expoñente enteiro de  que lle permite chegar ou baixar por debaixo de  (aquí os corchetes superiores indican o redondeo cara arriba, consulte función teito). Polo tanto,  punto a punto para todos os . Teña en conta que a elección de  depende do valor de  e . Alén diso, para unha escolla fixa de ,  (que non se pode definir  menor) medra sen límite a medida que  se achega a 1. Estas observacións exclúen a posibilidade dunha converxencia uniforme.

Converxencia non uniforme: a converxencia é non uniforme, porque podemos atopar un  para o que por grande que escollamos  haberá valores de  e  tal que  Para ver isto, primeiro observamos que independentemente do  tamaño de , sempre hai un  tal que  Así, se escollemos  nunca podemos atopar un  tal que  para todos os  e . Explicitamente, sexa cal sexa o candidato que escollamos , consideramos o valor de  en . Posto que



o candidato falla porque atopamos un exemplo dun  que "escapou" ao noso intento de "confinar" cada   dentro dunha distancia  de  para todos os  . De feito, é fácil ver que



contrariamente ao requisito de que  se .

Neste exemplo pódese ver facilmente que a converxencia punto a punto non preserva a diferenciabilidade nin a continuidade. Mentres que cada función da secuencia é suave. Iso é como dicir que para todo n, , o límite  non é continuo.

 Función exponencial 
Pódese demostrar que a expansión en serie da función exponencial é uniformemente converxente en calquera subconxunto limitado  utilizando o test M de Weierstrass.

Teorema (test M de Weierstrass). Sexa  unha secuencia de funcións  e sexa   unha secuencia de números reais positivos tal que  para tódolos  e  Se  converxe, entón  converxe absoluta e uniformemente en .

A función exponencial complexa pódese expresar como a serie:



Calquera subconxunto limitado é un subconxunto dalgún disco  de raio  centrado na orixe no plano complexo. O test M de Weierstrass esixe que atopemos un límite superior  nos termos da serie, con  independentemente da posición no disco:



Para iso, decatámonos de que



e tomamos 

Se  é converxente, entón o test M afirma que a serie orixinal é uniformemente converxente.

Agora podemos usar o test da razón para a sucesión de cantidades :



o que significa que a serie dos  é converxente. Así, a serie orixinal converxe uniformemente para todos os  e posto que , a serie tamén é uniformemente converxente en 

 Propiedades 

 Toda sucesión uniformemente converxente é localmente uniformemente converxente.
 Toda secuencia localmente uniformemente converxente é compacta converxente.
 Para espazos localmente compactos coinciden a converxencia uniforme local e a converxencia compacta.
 Unha secuencia de funcións continuas en espazos métricos, sendo o espazo métrico da imaxe completo, é uniformemente converxente se e só se é unha sucesión uniforme de Cauchy.
 Se  é un intervalo compacto (ou en xeral un espazo topolóxico compacto), e  é unha secuencia monótona crecente  (significando que  para todas as n e x) de funcións continuas cun límite punto a punto  que tamén é continua, entón a converxencia é necesariamente uniforme (teorema de Dini). Tamén se garante a converxencia uniforme se  é un intervalo compacto e  é unha sucesión equicontinua que converxe punto a punto.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, Londres, 1954, reimpreso por Dover Publications, .
 G. H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148–156 (1918)
 Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Capítulos 5-10 (paperback); 
 Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw–Hill, 1976.
 Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, .
 William Wade,  An Introduction to Analysis, 3rd ed., Pearson, 2005

 Outros artigos 
 Converxencia (matemáticas)
 Límite dunha función
 Test de converxencia

 Ligazóns externas 

Exemplos gráficos de converxencia uniforme de series de Fourier da University of Colorado

Categoría:Serie matemática
Categoría:Cálculo
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas