Lema de Gauss

En álxebra, o lema de Gauss, que recibe o nome de Carl Friedrich Gauss, é un teorema  sobre polinomios sobre os enteiros, ou, de xeito máis xeral, sobre un dominio de factorización único (é dicir, un anel que ten unha propiedade de factorización única semellante ao teorema fundamental da aritmética). O lema de Gauss subxace en toda a teoría da factorización e os máximos comúns divisores deses polinomios.

O lema de Gauss afirma que o produto de dous polinomios primitivos é primitivo. (Un polinomio con coeficientes enteiros é primitivo se ten 1 como máximo común divisor dos seus coeficientes.  )

Un corolario do lema de Gauss, ás veces tamén chamado lema de Gauss, é que un polinomio primitivo é irredutíbel sobre os números enteiros se e só se é irredutíbel sobre os números racionais. 

De forma máis xeral, un polinomio primitivo ten a mesma factorización completa sobre os enteiros e sobre os números racionais. No caso de coeficientes nun dominio de factorización único , os "números racionais" deben substituírse por "corpo de fraccións de  ". 

Isto implica que, se  é un corpo, o anel de enteiros ou un dominio de factorización único, entón cada anel polinómico (nun ou varios indeterminados) sobre  é un dominio de factorización único. 

Outra consecuencia é que a factorización e o cálculo do máximo común divisor de polinomios con números enteiros ou coeficientes racionais pode reducirse a cálculos similares en enteiros e polinomios primitivos. Isto úsase sistemáticamente (de forma explícita ou implícita) en todos os algoritmos implementados (ver Máximo común divisor polinómico e Factorización de polinomios).

 O lema sobre os enteiros 
Se  é un polinomio con coeficientes enteiros, entón  chámase primitivo se é o máximo común divisor de todos os coeficientes  é 1; noutras palabras, ningún número primo divide todos os coeficientes.

 Enunciados para dominios de factorización única 
O lema de Gauss aplícase de xeito máis xeral sobre dominios de factorización únicos (UFD) arbitrarios. Alí o contido  dun polinomio  pódese definir como o máximo común divisor dos coeficientes de  (como o mcd, o contido é en realidade un conxunto de elementos asociados). 

Un polinomio  con coeficientes nun UFD  dise logo que é primitivo se os únicos elementos de  que dividen todos os coeficientes de  á vez son os elementos invertíbeis de ; é dicir, o mcd dos coeficientes é un.

Declaración de primitividade: se  é un UFD, entón o conxunto de polinomios primitivos en  está pechado baixo a multiplicación. Máis xeralmente, o contido dun produto  dos polinomios é o produto  dos seus contidos individuais.

Declaración de irredutibilidade: Sexa  un dominio de factorización único e  o seu corpo de fraccións. Un polinomio non constante  en  é irredutíbel en  se e só se é  irredutíbel en  e primitivo en .

Sexa  un dominio de factorización único con corpo de fraccións . Se  é un polinomio sobre  daquela para algúns  en ,  ten coeficientes en , e así, para factorizar o mcd  dos coeficientes, podemos escribir  para algún polinomio primitivo . Como se pode comprobar, este polinomio  é único ata a multiplicación por unha unidade e chámase parte primitiva (ou representante primitivo) de  sendo denotado como . O procedemento é compatíbel co produto:  .

Isto pódese usar para mostrar a declaración:

 Un anel polinómico sobre un UFD é un UFD.

A condición de que "R é un dominio de factorización único" non é superflua porque implica que todo elemento irredutíbel deste anel é tamén un elemento primo, o que á súa vez implica que todo elemento distinto de cero de R ten como máximo unha factorización nun produto de elementos irredutíbeis e unha unidade de orde e relación asociada. 

Nun anel onde a factorización non é única, digamos que  con p e q elementos irredutíbeis que non dividen ningún dos factores do outro lado, o produto  mostra o fallo da afirmación de primitividade. 

Como exemplo concreto pódese tomar , , , , . Neste exemplo, o polinomio  (obtido dividindo o lado dereito entre  ) ofrece un exemplo do fallo da declaración de irredutibilidade (é irredutíbel sobre R, pero reducíbel sobre o seu corpo de fraccións  ). 

Outro exemplo coñecido é o polinomio , cuxas raíces son a razón áurea  e o seu conxugado  que amosa que é reducíbel sobre o corpo , aínda que é irredutíbel sobre o corpo non-UFD  que ten  como corpo de fraccións. 

Neste último exemplo, o anel pódese converter nun UFD tomando o seu pechamento integral  en  (o anel dos enteiros de Dirichlet), sobre o cal  se fai reducíbel, pero no primeiro exemplo R xa está pechado nos enteiros.

 Versión xenérica 
Sexa   un anel conmutativo. Se  é un polinomio en , entón escribimos  para o ideal de  xerado por todos os coeficientes de ; chámase contido de . Teña en conta que  para todo  en . A seguinte proposición indica unha propiedade máis substancial.


Un polinomio  dise que é primitivo se  é a unidade ideal . ) Cando  (ou máis xeralmente cando  é un dominio de Bézout), isto concorda coa definición habitual dun polinomio primitivo. (Pero se  é só un UFD, esta definición é incoherente coa definición de primitividade en Enunciados para dominios de factorización única.)

 Aplicacións 
Do lema de Gauss despréndese que para todo dominio de factorización única , o anel polinómico  tamén é un dominio de factorización única. O lema de Gauss tamén se pode usar para mostrar o criterio de irredutibilidade de Eisenstein. Finalmente, pódese utilizar para demostrar que os polinomios ciclotómicos (unidades unitarias con coeficientes enteiros) son irredutíbeis.

O lema de Gauss implica a seguinte afirmación:

 Se  é un polinomio mónico nunha variábel con coeficientes nun dominio de factorización única  (ou máis xeralmente un dominio GCD), entón unha raíz de  que está no corpo das fraccións  de  está en . 

Se , entón afirma que unha raíz racional dun polinomio mónico sobre enteiros é un número enteiro (cf. o teorema da raíz racional). 

Para ver o enunciado, sexa  unha raíz de  en  e asumimos que  son relativamente primos. En  podemos escribir  con  para algúns  . Entón



é unha factorización en . Mais  é primitivo (no sentido UFD) e por tanto  divide os coeficientes de  polo lema de Gauss, e logo



con  en . Posto que  é mónico, isto só é posíbel cando  é unha unidade.

Un argumento similar mostra que:

 Sexa  ser un dominio GCD co corpo de fraccións  e . Se  para algún polinomio  que é primitivo no sentido UFD e , entón .

A afirmación de irredutibilidade tamén implica que o polinomio mínimo sobre os números racionais dun enteiro alxébrico ten coeficientes enteiros.

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Enterio alxébrico
 Factorización de polinomios
 Dominio (teoría dos aneis)

Categoría:Polinomios
Categoría:Teoría de aneis
Categoría:Teoremas
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas