Ortogonalidade (matemáticas)

En matemáticas, a ortogonalidade é a xeneralización da noción xeométrica de perpendicularidade á álxebra linear das formas bilineares.

Dous elementos  e  dun espazo vectorial con forma bilinear  son ortogonais cando . Dependendo da forma bilinear, o espazo vectorial pode conter vectores nulos, vectores autoortogonais distintos de cero, nese caso a perpendicularidade substitúese pola ortogonalidade hiperbólica.

No caso dos espazos de funcións, as familias de funcións utilízanse para formar unha base ortogonal, como nos contextos de polinomios ortogonais, funcións ortogonais e combinatorias.
miniatura|350x350px| Ortogonalidade e rotación dos sistemas de coordenadas en comparación entre a esquerda: Espazo euclidiano a través do ángulo circular ϕ, e a  dereita: no espazo-tempo de Minkowski a través do ángulo hiperbólico ϕ (as liñas vermellas etiquetadas con c denotan as liñas do universo dun sinal luminoso, un vector é ortogonal a si mesmo se se atopa nesta liña).

 Definicións 

 En xeometría, dous vectores euclidianos son ​​ortogonais se son perpendiculares, é dicir forman un ángulo recto.
 Dous vectores  e  nun espazo de produto interno  son ortogonais se o seu produto interno   é cero. Esta relación denomínase .
 Un conxunto de vectores no espazo de produto interno chámanse ortogonais por pares se cada parella deles é ortogonal entre si. Tal conxunto chámase conxunto ortogonal (ou sistema ortogonal). Se os vectores están normalizados, forman un sistema ortonormal.
 Unha matriz ortogonal é unha matriz cuxos vectores columna son ortonormais entre si.
 Unha base ortonormal é unha base cuxos vectores son á vez ortogonais e normalizados (son vectores unitarios).
 Unha transformación linear conforme conserva ángulos e relacións de distancia, o que significa que transformar vectores ortogonais pola mesma transformación linear conforme manterá eses vectores ortogonais.
 Dous  subespazos vectoriais  e  dun espazo produto interno  chámanse subespazos ortogonais se cada vector de  é ortogonal a cada vector de . O subespazo máis grande de  que é ortogonal a un subespazo dado é o seu complemento ortogonal.
 Dado un módulo  e o seu dual , un elemento  de  e un elemento  de  son cero se o seu emparellamento natural é cero. . Dous conxuntos  e  son ortogonais se cada elemento de  é ortogonal a cada elemento de ..

Nalgúns casos, a palabra normal úsase para significar ortogonal, particularmente no sentido xeométrico como  normal a unha superficie. Por exemplo, o eixo  y é normal á curva  na orixe. 

No entanto,  normal tamén pode referirse á magnitude dun vector. En particular, un conxunto chámase ortonormal (ortogonal e tamén normal) se é un conxunto ortogonal de vectores unitarios. Como resultado, adoita evitarse o uso do termo normal para significar "ortogonal". A palabra "normal" tamén ten un significado diferente en probabilidade e estatística.

Un espazo vectorial cunha forma bilinear xeneraliza o caso dun produto escalar. Cando a forma bilinear aplicada a dous vectores resulta en cero, entón son ortogonais. O caso dun plano pseudo-euclidiano usa o termo ortogonalidade hiperbólica. Na figura, os eixos x′ e t′ son hiperbólico-ortogonais para calquera  dado.

 Espazos vectoriais euclidianos 
No espazo euclidiano, dous vectores son ortogonais se e só se o seu produto escalar é cero, é dicir, forman un ángulo de 90° ( radiáns ), ou un dos vectores é cero.  Polo tanto, a ortogonalidade dos vectores é unha extensión do concepto de vectores perpendiculares a espazos de calquera dimensión.

O complemento ortogonal dun subespazo é o espazo de todos os vectores que son ortogonais a todos os vectores do subespazo. Nun espazo vectorial euclidiano tridimensional, o complemento ortogonal dunha recta que pasa pola orixe é o plano que pasa pola orixe perpendicular a ela, e viceversa.

 Funcións ortogonais 
Usando o cálculo integral, é común usar o seguinte para definir o produto interno de dúas funcións  e  en relación a unha función peso non negativa  nun intervalo :



En casos simples, .

Dicimos que as funcións  e  son ortogonais se o seu produto interno (equivalentemente, o valor desta integral) é cero:



A ortogonalidade de dúas funcións en relación a un produto interno non implica a ortogonalidade en relación a outro produto interno.

Escribimos a norma  en relación a este produto interno como



Os membros dun conxunto de funcións  son ortogonais  en relación a  no intervalo  se



Os membros de tal conxunto de funcións son ortonormais  en relación a  no intervalo  se



onde



é o delta de Kronecker.

Noutras palabras, cada par deles (excluíndo o emparellamento dunha función consigo mesma) é ortogonal e a norma de cada un é 1. Véxase en particular os polinomios ortogonais.

 Exemplos 

 Os vectores  son ortogonais entre si, posto que   and .
 Os vectores  e  son ortogonais. O produto escalar deles é cero.
 As funcións  e  son ortogonais en relación a un peso unidade no intervalo de −1 a 1: 

 As funcións  son ortogonais en relación a integración de Riemann nos intervalos , ou calquera outro intervalo pechado de lonxitude  . Este feito é central nas series de Fourier.

 Polinomios ortogonais 
Varias secuencias polinómicas nomeadas con nomes de matemáticos do pasado son secuencias de polinomios ortogonais. En particular:

 Os polinomios de Hermite son ortogonais en relación á distribución gaussiana cun valor medio cero.
 Os polinomios de Legendre son ortogonais en relación á distribución uniforme no intervalo  .
 Os polinomios de Laguerre son ortogonaisen relación á distribución exponencial . As secuencias polinómicas de Laguerre algo máis xerais son ortogonais en relación ás distribucións gamma.
 Os polinomios de Chebyshev do primeiro tipo son ortogonais en relación  á medida 
 Os polinomios de Chebyshev do segundo tipo son ortogonais en relación á distribución semicírculo de Wigner.

 Combinatoria 
En combinatoria, dous  cadrados latinos  son ortogonais se a súa superposición dá todas posíbeis  combinacións de entradas .

 Completamente ortogonal 
Dous planos planos (non curvos)  e  dun espazo euclidiano de catro dimensións chámanse completamente ortogonais se e só se cada recta que está en  é ortogonal a cada recta en . Nese caso os planos  e  cortaránse nun único punto , de xeito que se unha recta en  corta cunha recta en , crúzanse en .  e  son perpendiculares e paralelas de Clifford.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Outros artigos 
 Número imaxinario
 Complemento ortogonal
 Grupo ortogonal
 Matriz ortogonal
 Polinomios ortogonais
 Poliedro ortogonal
 Traxectoria ortogonal
 Ortogonalización
 Proceso de Gram-Schmidt
 Base ortonormal
 Ortonormal

Categoría:Álxebra lineal
Categoría:Álxebra abstracta
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas