Medida de Lebesgue

Na teoría da medida, unha rama das matemáticas, a medida de Lebesgue, chamada así polo matemático francés Henri Lebesgue, é a forma estándar de asignar unha medida a subconxuntos de -espazos  de dimensión superior. Para as dimensións baixas  ou , coincide coa medida estándar de lonxitude, área ou volume. En xeral, tamén se lle chama volume -dimensional, -volume, hipervolume ou simplemente volume. Úsase en toda a análise real, en particular para definir a integración de Lebesgue. Os conxuntos aos que se lles pode asignar unha medida de Lebesgue chámanse Lebesgue-medíbeis; a medida do conxunto Lebesgue-medíbel  denótase aquí como .

Henri Lebesgue describiu esta medida no ano 1901, á que seguiu un ano despois a súa descrición da integral de Lebesgue. Ambas as dúas foron publicadas como parte da súa disertación en 1902.

 Definición 
Para calquera intervalo , ou , no conxunto  de números reais, denote   a súa lonxitude. Para calquera subconxunto , a medida exterior de Lebesgue  defínese como un ínfimo

A definición anterior pódese xeneralizar a dimensións superiores do seguinte xeito. Para calquera cuboide rectangular  que é un produto cartesiano  de intervalos abertos, denotamos  (un produto de números reais) como o seu volume. Para calquera subconxunto ,

Algúns conxuntos  satisfán o criterio de Carathéodory, que require que para todo  ,

Aquí  denota o conxunto complemento. Os conxuntos  que satisfán o criterio de Carathéodory dise que son medíbeis por Lebesgue, sendo a súa medida de Lebesgue definida como a súa medida exterior de Lebesgue: . 

O conxunto de todos estes  forma unha σ-álxebra.

Un conxunto  que non cumpre o criterio de Carathéodory non é medíble  por Lebesgue. ZFC demostra que existen conxuntos non medíbeis; exemplos diso son os conxuntos de Vitali.

 Intuición 
A primeira parte da definición afirma que o subconxunto  dos números reais redúcese á súa medida externa mediante a súa cobertura por conxuntos de intervalos abertos. Cada un destes conxuntos de intervalos  cobre  nun sentido, xa que a unión destes intervalos contén . A lonxitude total de calquera conxunto de intervalos de cobertura pode sobreestimar a medida de  porque  é un subconxunto da unión dos intervalos, polo que os intervalos poden incluír puntos que non están en . A medida externa de Lebesgue emerxe como o límite inferior máximo (ínfimo) das lonxitudes de entre todos os conxuntos posibles. Intuitivamente, é a lonxitude total deses conxuntos de intervalos que se axustan a  o máis axustados posíbel e sen se solaperen.

Iso caracteriza a medida externa de Lebesgue. Que esta medida externa se traduza á medida de Lebesgue propiamente dita depende dunha condición adicional. Esta condición compróbase tomando subconxuntos  dos números reais usando  como instrumento para dividir  en dúas particións: a parte de  que se interseca con  e a parte restante de  que non está en : a diferenza de conxuntos de  e . Estas particións de  están suxeitas á medida externa. 

Se para todos os posíbeis subconxuntos deste tipo  dos números reais, as particións de  cortadas por  teñen medidas externas cuxa suma é a medida externa de , entón a medida de Lebesgue exterior de  dá a súa medida de Lebesgue. 

Intuitivamente, esta condición significa que o conxunto  non debe ter algunhas propiedades curiosas que causen unha discrepancia na medida doutro conxunto cando  se usa como unha "máscara" para "recortar" ese conxunto, o que suxire a existencia de conxuntos para os que a medida externa de Lebesgue non dá a medida de Lebesgue. (De feito, estes conxuntos non son medíbeis segundo o criterio de Lebesgue).

 Exemplos 
 Calquera intervalo pechado  de números reais é medíbel por Lebesgue, e a súa medida de Lebesgue é a lonxitude . O  intervalo aberto   ten a mesma medida, xa que a diferenza entre os dous conxuntos consiste só nos puntos extremos  e , que teñen cada un medida cero.
 Calquera produto cartesiano de intervalos  e  é medíbel de Lebesgue, e a súa medida de Lebesgue é , a área do rectángulo correspondente.
 A maiores, todo conxunto de Borel é medíbel segundo Lebesgue. No entanto, hai conxuntos medíbeis segundo Lebesgue que non son conxuntos de Borel.
 Calquera conxunto numerábel de números reais ten a medida de Lebesgue . En particular, a medida de Lebesgue do conxunto de números alxébricos é , mesmo se o conxunto é denso en .
 O conxunto de Cantor e o conxunto de números de Liouville son ​​exemplos de conxuntos non numerábeis que teñen a medida de Lebesgue .
 Se o axioma de determinación se cumpre, entón todos os conxuntos de reais son medíbeis de Lebesgue. No entanto, a determinación non é compatébel co axioma de escolla.
 Os conxuntos de Vitali son ​​exemplos de conxuntos que son non medíbeis en relación á medida de Lebesgue. A súa existencia baséase no axioma de escolla.
 As curvas de Osgood son ​​curvas planas simples con medida de Lebesgue positiva (pódese obter cunha pequena variación da construción da curva de Peano). A curva do dragón é outro exemplo infrecuente. 
 Calquera recta en , para , ten unha medida de Lebesgue cero. En xeral, todo hiperplano propio ten unha medida de Lebesgue cero no seu espazo ambiente.
 O volume dunha -bóla pódese calcular en termos da función gamma de Euler.

 Propiedades 
miniatura|300x300px| Invariancia de translación: a medida de Lebesgue de  e  son a mesma.
A medida de Lebesgue  ten as seguintes propiedades:

 Se  é un produto cartesiano de intervalos , entón A é medíbel por Lebesgue e 
 Se  é unha unión de conxuntos  numerabelmente moitos  conxuntos medíbeis de Lebesgue disxuntos por pares, entón  é en si mesmo medíbel de Lebesgue e  é igual á suma (ou serie infinita) das medidas dos conxuntos medíbeis implicados.
 Se  é medíbel segundo Lebesgue, entón tamén o é o seu complemento.
  para todo conxunto medíbel segundo Lebesgue .
 Se  e  son medíbeis segundo Lebesgue e  é un subconxunto de , entón . (Unha consecuencia de 2).
 As unións e as interseccións numerábeis de conxuntos medíbeis de Lebesgue son medíbeis de Lebesgue. (Non é unha consecuencia de 2 e 3, porque unha familia de conxuntos que está pechada baixo complementarios e unións numerábeis disxuntas non necesita estar pechada baixo unións numerábeis: ).
 Se  é un subconxunto aberto ou  pechado de  (ou mesmo un conxunto de Borel, véxase espazo métrico), entón  é medíbel por Lebesgue.
 Se  é un conxunto medíbel segundo Lebesgue, entón é "aproximadamente aberto" e "aproximadamente pechado" no sentido da medida de Lebesgue.
 Un conxunto medíbel segundo Lebesgue pode ser "comprimido" entre un conxunto aberto contedor e un conxunto pechado contido. Esta propiedade utilizouse como unha definición alternativa da medida de Lebesgue. Máis precisamente,  é medíbel segundo Lebesgue se e só se para cada  existe un conxunto aberto  e un conxunto pechado  tal que  e .}
 A medida de Lebesgue é tanto localmente finita como regular interna, e polo tanto é unha Medida de Radon.
 A medida de Lebesgue é estritamente positiva en conxuntos abertos non baleiros, e polo tanto o seu soporte é a totalidade de .
 Se  é un conxunto medíbel  de Lebesgue con  (un conxunto nulo), entón cada subconxunto de  tamén é un conxunto nulo. Con máis forza, cada subconxunto de A é medíbel.
 Se  é medíbel de Lebesgue e x é un elemento de , entón a translación de  por , definida por , tamén é medíbel de Lebesgue e ten a mesma medida que . 
 Se  é medíbel por Lebesgue e , entón a dilatación de  por  definida por  tamén é medíbel por Lebesgue e ten medida 
 De xeito máis xeral, se  é unha transformación linear e  é un subconxunto medíbel de , entón  tamén é medíbel de Lebesgue e ten a medida .

Todo o anterior pódese resumir sucintamente do seguinte xeito (aínda que as dúas últimas afirmacións non están trivialmente ligadas ao seguinte):

Os conxuntos medíbeis de Lebesgue forman unha -álxebra que contén todos os produtos de intervalos, e  é a única medida completa invariante na translación nesa -álxebra con 

A medida de Lebesgue tamén ten a propiedade de ser -finita.

 Construción da medida de Lebesgue 
A construción moderna da medida de Lebesgue é unha aplicación do teorema de extensión de Carathéodory. Procede do seguinte xeito.

Fixamos . Unha caixa en  é un conxunto da forma onde , onde o símbolo do produto aquí representa un produto cartesiano. O volume desta caixa defínese como Para calquera subconxunto  de , podemos definir a súa medida externa  por: Despois definimos o conxunto  como Lebesgue-medíbel se para todo subconxunto  de , Estes conxuntos medíbeis de Lebesgue forman unha σ- álxebra, e a medida de Lebesgue defínese por  para calquera conxunto medíbel de Lebesgue .

A existencia de conxuntos que non son medíbeis segundo Lebesgue é unha consecuencia do axioma da escolla da teoría de conxuntos, que é independente de moitos dos sistemas convencionais de axiomas da teoría de conxuntos. 

O teorema de Vitali, que se deduce do axioma, afirma que existen subconxuntos de  que non son medíbeis de Lebesgue. Asumindo o axioma da escolla, demostráronse conxuntos non medíbeis con moitas propiedades sorprendentes, como os do paradoxo de Banach-Tarski.

 Relación con outras medidas 
A medida de Borel coincide coa medida de Lebesgue nos conxuntos para os que está definida; no entanto, hai moitos máis conxuntos medíbeis de Lebesgue que conxuntos medíbeis de Borel. Mentres que a medida de Lebesgue  é automaticamente unha medida de Borel localmente finita, non todas as medidas de Borel localmente finitas en  son necesariamente unha medida de Lebesgue. A medida de Borel é invariante na translación, mais  non é completa.

A medida de Haar pódese definir en calquera grupo localmente compacto e é unha xeneralización da medida de Lebesgue ( coa adición é un grupo localmente compacto).

A medida de Hausdorff é unha xeneralización da medida de Lebesgue que resulta útil para medir os subconxuntos de  de dimensións inferiores a , como subvariedades, por exemplo, superficies ou curvas en  e conxuntos fractais. A medida de Hausdorff non se debe confundir coa noción de dimensión de Hausdorff.

Pódese demostrar que non existe un análogo de dimensión infinita da medida de Lebesgue.
 Notas 


 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Torema da densidade de Lebesgue
 Número de Liouville
 Conxunto non medíbel
 Conxunto de Vitali
 Medida de Peano–Jordan

Categoría:Teoría da medida
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas