Espazo prehilbertiano

alt=Scalar product spaces, inner product spaces, Hermitian product spaces.|miniatura|300x300px| Os espazos de produto escalar, sobre calquera corpo, teñen "produtos escalares" que son simétricos e lineares no primeiro argumento. 

Os espazos de produto hermitiano  están restrinxidos ao corpo dos números complexos e teñen "produtos hermitianos" que son conxugados-simétricos e lineares no primeiro argumento. 

Os espazos de produto interno  pódense definir en calquera corpo, tendo "produtos internos" lineares no primeiro argumento, conxugado-simétrico e positivo-definido. 

A diferenza dos produtos internos, os produtos escalares e os produtos hermitianos non teñen que ser positivo definidos.

En matemáticas, un espazo de produto interno  (ou,  un espazo prehilbertiano ) é un espazo vectorial real ou un espazo vectorial complexo cunha operación chamada produto interno. O produto interno de dous vectores no espazo é un escalar, a miúdo denotado con corchetes angulares como en . 

Os produtos internos permiten definicións formais de nocións xeométricas intuitivas, como lonxitudes, ángulos e ortogonalidade (produto interno cero) dos vectores. 

Os espazos de produto interno  xeneralizan os espazos vectoriais euclidianos, nos que o produto interno é o produto escalar das coordenadas cartesianas. 

Os espazos de produto interno de dimensión infinita úsanse amplamente na análise funcional. Ás veces, os espazos de produtos internos sobre o corpo dos números complexos denomínanse espazos unitarios . 

O primeiro uso do concepto de espazo vectorial cun produto interno débese a Giuseppe Peano, en 1898.

Un produto interno induce de xeito natural unha norma asociada, (denotada  e  na figura); polo tanto, todo espazo prehilbertiano é un espazo vectorial normado. 

Se este espazo normado tamén é completo (é dicir, un espazo de Banach) entón o espazo prehilbertiano é un espazo de Hilbert. 

Se un espazo prehilbertiano  non é un espazo de Hilbert, pódese estender completando a un espazo de Hilbert  Isto significa que  é un subespazo linear de  o produto interno de  é a restrición de  e  é denso en  para a topoloxía definida pola norma. 

 Definición 
Neste artigo,  denota un corpo que son os números reais  ou os números complexos  Un escalar é polo tanto un elemento de . Unha barra sobre unha expresión que representa un escalar indica o complexo conxugado deste escalar. Denotase un vector cero  para distinguilo do escalar .

Un espazo de produto interno é un espazo vectorial  sobre o corpo  xunto cun produto interno, é dicir, un mapa 

que satisfaga as seguintes tres propiedades para todos os vectores  e todos os escalares 

 Simetría conxugada : 

Como  se e só se  é real, a simetría conxugada implica que  sempre é un número real. Se  é , a simetría conxugada é só simetría.
 Linearidade no primeiro argumento:  

 Definición positiva: se  non é cero, entón 
(a simetría conxugada implica que  é real).

Se a condición de definición positiva é substituída por só esixir que  para tódolos , entón obtense a definición de forma hermitiana semidefinida positiva. Unha forma hermitiana semidefinida positiva  é un produto interno se e só se para todos os , se  entón .

 Propiedades básicas 
Nas seguintes propiedades, que resultan case inmediatamente da definición dun produto interno,  e  son vectores arbitrarios, e  e  son escalares arbitrarios.


  é real e non negativo.
  se e só se 
  Isto implica que un produto interno é unha forma sesquilinear.
  onde  denota a parte real do seu argumento.

Sobre , a simetría conxugada redúcese a simetría e a sesquilinearidade redúcese a bilinearidade. Polo tanto, un produto interno nun espazo vectorial real é unha forma bilinear simétrica definida positivamente. A expansión binomial dun cadrado será logo 

 Notación 
Utilízanse varias notacións para os produtos internos, incluíndo , ,  e , así como o produto  habitual con punto.

 Exemplos 

 Números reais e complexos 
Entre os exemplos máis sinxelos de espazos de produto interno  están  e  Os números reais  son un espazo vectorial sobre  que se converte nun espazo prehilbertiano  coa multiplicación aritmética como produto interno: 

Os números complexos  son un espazo vectorial sobre  que se converte nun espazo prehilbertiano co produto interno  

A diferenza dos números reais, a asignación   define un produto interno complexo sobre 

 Espazo vectorial euclidiano 
Máis xeralmente, o n-espazo  real  co produto escalar é un espazo prehilbertiano, sendo un exemplo de espazo vectorial euclidiano: 
onde  é a transposta de 

 Espazo complexo de coordenadas 
A forma xeral dun produto interno sobre  coñécese como forma hermitiana e vén dada por 

onde  é calquera matriz hermitiana e definida positivamente e  
é a transposta conxugada de  

 Espazo de Hilbert 
O artigo sobre os espazos de Hilbert ten varios exemplos de espazos prehilbertianos, nos que a métrica inducida polo produto interno dá un espazo métrico completo. 

Un exemplo de espazo prehilbertiano que induce unha métrica incompleta é o espazo  de funcións con valor complexo continuo  e  no intervalo  O produto interno é 

Este espazo non é completo; considere, por exemplo, para o intervalo [ −1, 1 ] a secuencia de funcións en escada  continuas,  definido por: 

Esta secuencia é unha secuencia de Cauchy para a norma inducida polo produto interno anterior, que non converxe a unha función continua.

 Resultados básicos, terminoloxía e definicións 

Propiedades da norma 

Todo espazo prehilbertiano induce unha norma, chamada norma canónica, que se define por

Con esta norma, todo espazo prehilbertiano  convértese nun espazo vectorial normado.

Daquela, toda propiedade xeral dos espazos vectoriais normados aplícase aos espazos de produto interno.
En particular, temos as seguintes propiedades:

Homoxeneidade absoluta:

para todo  e 
(isto resulta de ).

Desigualdade do triángulo 

para 
Estas dúas propiedades mostran que temos realmente unha norma.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

para cada 
con igualdade se e só se  e  son linearmente dependentes.

Lei do paralelogramo

para todo 

A lei do paralelogramo é unha condición necesaria e suficiente para que unha norma sexa definida por un produto interno.

Identidade de polarización

para todo 
O produto interno pode ser recuperado da norma pola identidade de polarización, xa que a súa parte imaxinaria é a parte real de 

Desigualdade de Ptolomeo

para cada 
A desigualdade de Ptolomeo é unha condición necesaria e suficiente para que unha seminorma sexa a norma definida por un produto interno.

 Ortogonalidade 
Ortogonalidade
Dous vectores  e  dise que son , a miúdo escritos  se o seu produto interno é cero, é dicir, se 

Para un espazo de produto interno   un operador linear  é idéntico a  se e só se  para todo  Isto non é verdadeiro, en xeral, para espazos de produtos internos reais, xa que é unha consecuencia de que a simetría conxugada é distinta da simetría dos produtos internos complexos. Un contraexemplo nun espazo de produto interno real é  unha rotación de 90° en , que mapea cada vector a un vector ortogonal pero non é igual a .

 Complemento ortogonal 
O complemento ortogonal dun subconxunto  é o conxunto  dos vectores que son ortogonais a todos os elementos de ; é dicir,

Este conxunto  é sempre un subespazo vectorial pechado de  e se o pechamento  de  en  é un subespazo vectorial, logo  

Teorema de Pitágoras 
Se  e  son ortogonais, entón

Isto pódese demostrar expresando as normas cadradas en termos de produtos internos, utilizando a aditividade para expandir o lado dereito da ecuación.

O nome  xorde da interpretación xeométrica en xeometría euclidiana.

Identidade de Parseval
Unha indución sobre o teorema de Pitágoras produce: se  son ortogonais por pares, entón

Ángulo
Cando  é un número real, a desigualdade de Cauchy-Schwarz implica que  e así

é un número real. Isto permite definir o  (non orientado) de dous vectores nas definicións modernas de xeometría euclidiana en termos de álxebra linear.

A maiores, se  é negativo, o ángulo  é maior que 90 graos. Esta propiedade úsase a miúdo en gráficos por ordenador para analizar unha dirección sen ter que avaliar funcións trigonométricas.

 Operadores en espazos prehilbertianos 
Varios tipos de mapas lineares  entre os espazos de produto interno  e  son de relevancia:

 :  é linear e continuo en relación á métrica definida anteriormente, ou de forma equivalente,  é linear e o conxunto de reais non negativos  está limitado, onde  oscila sobre a bóla unitaria pechada de  está limitada.
 :  é linear e  para todos os 
 :  satisfai  para todo  Unha  (resp. unha isometría ) é unha isometría que tamén é un mapa linear (resp. un mapa antilinear). Para os espazos prehilbertianos, a identidade de polarización pódese usar para mostrar que  é unha isometría se e só se  para todo  Todas as isometrías son inxectivas. O teorema de Mazur-Ulam estabelece que toda isometría sobrexectiva entre dous espazos normados  é unha transformación afín. En consecuencia, unha isometría  entre espazos prehilbertianos reais é un mapa linear se e só se  As isometrías son morfismos entre espazos prehilbertianos, e os morfismos de espazos prehilbertianos  reais son transformacións ortogonais (comparar coa matriz ortogonal).
 :  é unha isometría que é sobrexectiva (e, polo tanto, bixectiva). Os isomorfismos isométricos tamén se coñecen como operadores unitarios (compárese coa matriz unitaria, matriz na que a súa conxugada transposta é igual que a súa inversa).

Desde o punto de vista da teoría do espazo prehilbertiano, non hai necesidade de distinguir entre dous espazos isométricamente isomorfos. O teorema espectral proporciona unha forma canónica para os operadores normais simétricos, unitarios e máis xeralmente en espazos prehilbertianos de dimensión finita. Unha xeneralización do teorema espectral cúmprese para os operadores normais continuos en espazos de Hilbert.

 Produtos relacionados 
O termo "produto interno" oponse ao produto externo (produto tensorial), que é un oposto un pouco máis xeral. Simplemente, en coordenadas, o produto interno é o produto dun    cun vector , obtendo unha matriz  (un escalar), mentres que o produto externo é o produto dun vector  con un covector , produce unha matriz .

O produto externo defínese para diferentes dimensións, mentres que o produto interno require a mesma dimensión. Se as dimensións son as mesmas, entón o produto interno é a  do produto externo (a traza só se define correctamente para matrices cadradas).

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 




 Zamani, A.; Moslehian, M.S.; & Frank, M. (2015) "Angle Preserving Mappings", Journal of Analysis and Applications 34: 485 to 500 

 Outros artigos 
 Espazo vectorial
 Forma bilinear
 Base ortogonal
 Produto escalar

Categoría:Álxebra lineal
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas