Multiplicación por un escalar

dereita|miniatura|250x250px| As multiplicacións escalares − a e 2a dun vector a
En matemáticas, a multiplicación por un escalar é unha das operacións básicas que definen un espazo vectorial en álxebra linealr (ou máis xeralmente, un módulo en álxebra abstracta). 

En contextos xeométricos comúns, a multiplicación escalar dun vector euclidiano real por un número real positivo multiplica a magnitude do vector sen mudar a súa dirección. 

A multiplicación escalar é a multiplicación dun vector por un escalar (onde o produto é un vector), e debe distinguirse do produto escalar ou  produto interno de dous vectores (onde o produto é un escalar).

 Definición 
En xeral, se K é un corpo e V é un espazo vectorial sobre K, entón a multiplicación escalar é unha función de K × V en  V. O resultado de aplicar esta función a k en K e v en V denotase k v.

 Propiedades 
A multiplicación escalar obedece ás seguintes regras (vector en grosa):

 Aditividade no escalar: (c + d)v = cv + dv;
 Aditividade no vector: c(v + w) = cv + cw;
 Compatibilidade do produto de escalares coa multiplicación escalar: (cd) v = c(dv);
 Multiplicando por 1 non muda un vector: 1 v = v;
 Multiplicando por 0 dáse o vector cero: 0v = 0;
 Multiplicando por −1 dáse a inversa aditiva: (−1) v = − v.

 Multiplicación escalar de matrices 
A multiplicación escalar pola esquerda dunha matriz  cun escalar  dá outra matriz do mesmo tamaño que . Desígnase por , cuxas entradas de  están definidas por



explicitamente:



Do mesmo xeito, aínda que non hai unha definición amplamente aceptada, a multiplicación escalar pola dereita dunha matriz  cun escalar  podería definirse como



Cando as entradas da matriz e dos escalares son do mesmo corpo conmutativo, por exemplo, o corpo numérico real ou o corpo numérico complexo, estas dúas multiplicacións son iguais e pódense denominar simplemente multiplicación escalar. Para matrices sobre un corpo máis xeral que non é conmutativo, poden non ser iguais.

Para un escalar e unha matriz real:





Para matrices e escalares de cuaternións:





onde  son as unidades de cuaternións. A non conmutatividade da multiplicación de cuaternións impide mudar  a .

 Notas 


 Véxase tamén 


 Outros artigos 
 Produto escalar
 Produto interno
 Espazo preholbertiano

 Ligazóns externas 

Categoría:Aritmética
Categoría:Matrices