Corpo alxebricamente pechado

En matemáticas, un corpo  está alxebricamente pechado (ou  alxebricamente fechado) se todo polinomio non constante en  (o anel polinómico univariado con coeficientes en ) ten unha raíz en . Noutras palabras, un corpo é alxebraicamente pechado se se cumpre o teorema fundamental da álxebra para el.

Todo corpo  está contido nun corpo alxebricamente pechado  e as raíces en  dos polinomios con coeficientes en  forman un corpo alxebricamente pechado chamado peche alxébrico de  Dados dous peches alxébricos de  hai isomorfismos entre eles que fixan os elementos de 

Os corpos pechados alxebraicamente aparecen na seguinte cadea de inclusión de clases:

 Exemplos 
Como exemplo, o corpo dos números reais non está pechado alxebricamente, porque a ecuación polinómica  non ten solución nos números reais, aínda que todos os seus coeficientes (1 e 0) sexan reais. 

O mesmo argumento demostra que ningún subcorpo do corpo real está pechado alxebricamente; en particular, o corpo dos números racionais non está pechado alxebricamente. 

Pola contra, o teorema fundamental da álxebra afirma que o corpo dos números complexos está alxebricamente pechado. Outro exemplo de corpo alxebricamente pechado é o corpo dos números alxébricos (complexos).

Ningún corpo finito F está alxebricamente pechado, porque se a1, a2, ... , an son os elementos de F, entón o polinomio (x − a1)(x − a2) ⋯ (x − an ) + 1 non ten ceros en F. 

No entanto, a unión de todos os corpos finitos de característica fixa p (p primo) é un corpo alxebricamente pechado, que é, de feito, o peche alxébrico do corpo  con p elementos.

O corpo  de funcións racionais con coeficientes complexos non está pechado; por exemplo, o polinomio  ten raíces , que non son elementos de .

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 






 Outros artigos 
 Elemento enteiro
 Anel polinómico
 Ideal (teoría dos aneis)
 Enteiro cadrático

 Ligazóns externas 

Categoría:Teoría de corpos