Produto triplo

O produto triplo escalar (tamén chamado produto mixto) defínese como o produto escalar dun dos vectores co produto vectorial dos outros dous.

 Interpretación xeométrica 
Xeométricamente, o produto triplo escalar



é o volume (con signo) do paralelepípedo definido polos tres vectores indicados.

 Propiedades 

 O produto triplo escalar non muda baixo un desprazamento circular dos seus tres operandos (a, b, c):

 Trocar as posicións dos operadores sen reordenar os operandos deixa o produto triplo sen cambios:

 O troco de dous dos tres operandos nega o produto triplo:

 O produto triplo escalar tamén se pode entender como o determinante da matriz 3 x 3 que ten os tres vectores como filas ou columnas (unha matriz ten o mesmo determinante que a súa transposta):

 Se o produto triplo escalar é igual a cero, entón os tres vectores a, b e c son coplanares, xa que o paralelepípedo definido por eles sería plano e non terá volume.
 Se dous vectores calquera do produto triplo escalar son iguais, entón o seu valor é cero:

 Tamén


 A razón entre o produto triplo e o produto das tres normas vectoriais coñécese como seno polar:que oscila entre −1 e 1.

 Como produto exterior 
dereita|miniatura| Os tres vectores que atravesan un paralelepípedo teñen un produto triplo igual ao seu volume. (No entanto, teña en conta que a dirección das frechas deste diagrama é incorrecta).
Na álxebra exterior e álxebra xeométrica o produto exterior de dous vectores é un bivector, mentres que o produto exterior de tres vectores é un trivector. Un bivector é un elemento plano orientado e un trivector é un elemento de volume orientado, do mesmo xeito que un vector é un elemento de recta orientada.

Dados os vectores a, b e c, o produto



é un trivector cunha magnitude igual ao produto triplo escalar, é dicir

  ,

e é o dual de Hodge do produto triplo escalar. Como o produto exterior é asociativo non son necesarios corchetes xa que non importa cal de  ou  se calcula primeiro, aínda que a orde dos vectores no produto si importa. Xeométricamente o trivector a ∧ b ∧ c corresponde ao paralelepípedo abranguido por a, b e c, cos bivectores ,  e  coincidentes coas caras do paralelogramo do paralelepípedo.

 Produto triplo vectorial 
O produto triplo vectorial defínese como o produto cruzado dun vector co produto cruzado dos outros dous. Manténse a seguinte relación:

  .

Isto coñécese como expansión do produto triplo, ou fórmula de Lagrange,    aínda que este último nome tamén se usa para outras fórmulas.

Dado que o produto vectorial é anticomutativo, esta fórmula tamén se pode escribir (ata a permutación das letras) como:



Da fórmula de Lagrange despréndese que o produto do triplo vectorial satisfai:



que é a identidade de Jacobi para o produto vectorial. Outra fórmula útil é a seguinte:



Estas fórmulas son moi útiles para simplificar os cálculos vectoriais en física. Unha identidade relacionada con gradientes e útil no cálculo vectorial é a fórmula de Lagrange da identidade do produto vectorial :



Isto tamén pode considerarse como un caso especial do máis xeral operador de Laplace-de Rham  .

 Notas 


 Véxase tamén 


 Outros artigos 

 Vector
 Paralelepípedo

Categoría:Álxebra lineal
Categoría:Xeometría
Categoría:Física
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas