Integral impropia

Na análise matemática, unha integral impropia é unha extensión da noción de integral definida aos casos que violan os supostos habituais para ese tipo de integral. No contexto das integrais de Riemann (ou, equivalentemente, das integrais de Darboux), isto normalmente implica que non existe límite, ben do conxunto sobre o que se toma a integral ou do integrando (a función que se está integrando), ou de ambos os dous. Tamén pode implicar conxuntos limitados mais non pechados ou funcións limitadas mais non continuas. Aínda que unha integral impropia adoita escribirse simbolicamente igual que unha integral definida estándar, en realidade representa un límite dunha integral definida ou unha suma deses límites; así dise que as integrais impropias converxen ou diverxen. Se unha integral definida regular (que retronímicamente se pode chamar integral propia) se elabora como se fose impropia, darase a mesma resposta.

No caso máis sinxelo dunha función con valores reais dunha única variábel  integrada no sentido de Riemann (ou Darboux) nun único intervalo, as integrais impropias poden ter calquera das seguintes formas:



 , onde  non está definida ou é descontinua nalgún lugar de 

As tres primeiras formas son impropias porque as integrais son tomadas nun intervalo ilimitado. (Tamén poden ser impropias por outras razóns, como se explica a continuación.) Tal integral descríbese ás veces como do "primeiro" tipo se o integrando satisfai  doutro xeito os supostos de integración. As integrais da cuarta forma que son impropias porque
 ten unha asíntota vertical nalgún lugar do intervalo  pódese describir como do "segundo" tipo. As integrais que combinan aspectos de ambos os tipos son ás veces descritas como do "terceiro" tipo.

En cada caso anterior, a integral impropia debe reescribirse utilizando un ou máis límites, dependendo do que está a provocar que a integral sexa impropia. Por exemplo, no caso 1, se  é continua en todo o intervalo , entón

O límite da dereita é a definición da notación integral da esquerda.

Se  só é continua en  e non en , entón normalmente se reescribe como

para calquera escolla de . Aquí ambos os límites deben converxer a un valor finito para que se diga que converxe a integral impropia. Este requisito evita o caso ambiguo de engadir infinitos positivos e negativos (é dicir, a forma indeterminada "". Como alternativa, pódese usar un límite iterado ou un único límite baseado no valor principal de Cauchy.

Se  é continua en  e , cunha descontinuidade de calquera tipo en , daquela

para calquera escolla de . As observacións anteriores sobre formas indeterminadas, límites iterados e o valor principal de Cauchy tamén se aplican aquí.

A función  pode ter máis descontinuidades, nese caso aínda serían necesarios máis límites (ou unha expresión de valor principal máis complicada).

Os casos 2-4 trátanse de xeito similar. Vexa os exemplos a continuación.

As integrais impropias tamén se poden avaliar no contexto de números complexos, en dimensións máis altas, e noutros marcos teóricos como a integración de Lebesgue ou a integración de Henstock-Kurzweil. As integrais que se consideran impropias nun marco poden non estar noutros.

Exemplos
A definición orixinal da integral de Riemann non se aplica a unha función como  no intervalo , porque neste caso o dominio de integración é non limitado. No entanto, a integral de Riemann pódese estender a miúdo mediante continuidade, definindo a integral impropia no seu lugar como un límite

A definición estreita da integral de Riemann tampouco cobre a función  no intervalo . O problema aquí é que o integrando non ten límite no dominio da integración. Noutras palabras, a definición da integral de Riemann require que tanto o dominio de integración como o integrando estean limitados. No entanto, a integral impropia existe se se entende como o límite


Este proceso non garante o éxito; un límite pode non existir, ou pode ser infinito. Por exemplo, sobre o intervalo limitado de 0 a 1 a integral de  non converxe; e sobre o intervalo ilimitado de 1 a  a integral de  non converxe.

Tamén pode ocorrer que un integrando estea ilimitado preto dun punto interior, nese caso a integral debe dividirse nese punto. Para que a integral converxa, as integrais límite de ambos os dous lados deben existir e deben estar limitadas. Por exemplo:

Mais para a integral semellante

non se pode asignar un valor deste xeito, xa que as integrais superiores e inferiores a cero no dominio integral non converxen de forma independente. (Con todo, consulte Valor principal de Cauchy.)

 Converxencia da integral 
Unha integral impropia converxe se existe o límite que a define. Así por exemplo dise que a integral impropia

existe e é igual a L se as integrais baixo o límite existen para todas as t suficientemente grandes e o valor do límite é igual a L.

Tamén é posíbel  que unha integral impropia diverxa ata o infinito. Nese caso, pódese asignar á integral o valor de  (ou  ). Por exemplo

No entanto, outras integrais impropias poden simplemente diverxer sen unha dirección en particular, como

que non existe, mesmo como número real estendido. Isto chámase diverxencia por oscilación.

Unha limitación da técnica de integración impropia é que o límite debe tomarse en relación a un punto final de cada vez. Así, por exemplo, unha integral impropia da forma

pódese definir tomando dous límites separados; dando

sempre que o dobre límite sexa finito. Tamén se pode definir como un par de integrais impropias distintas do primeiro tipo:

onde c é calquera punto conveniente no que comezar a integración. Esta definición tamén se aplica cando unha destas integrais é infinita, ou ambas as dúas se teñen o mesmo signo.

Un exemplo de integral impropia onde os dous extremos son infinitos é a integral de Gauss  

Un exemplo que se avalía ata o infinito é  

Mais non sempre se poden definir sen ambigüidades outras integrais deste tipo, como por exemplo  posto que o duplo límte é infinito e o método de dúas integrais

produce unha forma indeterminada,  Neste caso, pódese definir unha integral impropia no sentido do valor principal de Cauchy:

As preguntas que se deben abordar para determinar unha integral impropia son:

Existe o límite?
Pódese calcular o límite?

A primeira pregunta é unha cuestión de análise matemática. A segunda pódese abordar mediante técnicas de cálculo, mais tamén nalgúns casos mediante integración de contorno, transformadas de Fourier e outros métodos máis avanzados.

Tipos de integrais
Hai máis dunha teoría da integración. Desde o punto de vista do cálculo, a teoría da integral de Riemann adoita asumirse como a teoría predeterminada. Ao usar integrais impropias, pode importar cal é a teoría da integración en xogo.

 Para a integral de Riemann (ou a integral de Darboux, que é equivalente a ela), é necesaria unha integración impropia en "ambos" os intervalos ilimitados.
 A integral de Lebesgue trata de forma diferente os dominios ilimitados e as funcións ilimitadas, polo que moitas veces unha integral que só existe como integral de Riemann impropia existirá como unha integral de Lebesgue (propia), como por exemplo . Por outra banda, tamén hai integrais que teñen unha integral de Riemann impropia pero que non teñen unha integral de Lebesgue (propia), como . A teoría de Lebesgue non ve isto como unha deficiencia: desde o punto de vista da teoría da medida,  e non se pode definir satisfactoriamente. Nalgunhas situacións, porén, pode ser conveniente empregar integrais de Lebesgue impropias como é o caso, por exemplo, cando se define o valor principal de Cauchy. A integral de Lebesgue é máis ou menos esencial no tratamento teórico da transformada de Fourier, co uso xeneralizado de integrais sobre toda a liña real.
 Para a integral de Henstock-Kurzweil, a integración impropia non é necesaria, e isto é visto como un punto forte da teoría: abrangue todas as funcións integrábeis impropias de Lebesgue e de Riemann.

 Integrais de Riemann impropias e integrais de Lebesgue 

Nalgúns casos, a integral

pódese definir como unha integral (unha integral de Lebesgue, por exemplo) sen referencia ao límite

pero non se pode calcular convenientemente doutro xeito. 

Isto ocorre a miúdo cando a función f que se integra de a a c ten unha asíntota vertical en c, ou se  (ver Figuras 1 e 2). Nestes casos, a integral de Riemann impropia permite calcular a integral de Lebesgue da función. En concreto, o seguinte teorema ten :

 Se unha función f é integrábel  de Riemann en [a,b] para todo b ≥ a, e as integrais parciais

están limitadas cando , entón as integrais de Riemann impropias

 as dúas existen. A maiores, f é integrábel  de Lebesgue en , e a súa integral de Lebesgue é igual á súa integral impropia de Riemann.

Por exemplo, a integral

pódese interpretar alternativamente como a integral impropia

ou pode interpretarse como unha integral de Lebesgue sobre o conxunto . 

Dado que ambos os dous tipos de integral coinciden, é libre de escoller o primeiro método para calcular o valor da integral, aínda que finalmente se queira considerar como unha integral de Lebesgue. Así, as integrais impropias son ferramentas claramente útiles para obter os valores reais das integrais.

Noutros casos, porén, é posíbel  que nin sequera se defina unha integral de Lebesgue entre extremos finitos, porque as integrais das partes positiva e negativa de f son infinitas, pero a integral de Riemann impropia aínda pode existir. Eses casos son integrais "propiamente impropias", é dicir, os seus valores non se poden definir agás como eses límites. Por exemplo,

non se pode interpretar como unha integral de Lebesgue, xa que

Mais  é, no entanto, integrábel  entre dous extremos finitos calquera, e a súa integral entre 0 e  adoita entenderse como o límite da integral:

Singularidades
Pódese falar das singularidades dunha integral impropia, é dicir, aqueles puntos da recta real estendida nos que se usan límites.

Valor principal de Cauchy

Considere a diferenza de valores de dous límites:

O primeiro é o valor principal de Cauchy da expresión que doutro xeito estaría mal definida

Do mesmo xeito, temos

mais

O primeiro é o valor principal da expresión doutro xeito mal definida

Todos os límites anteriores son casos da forma indeterminada 

Estas patoloxías non afectan ás funcións "integrábeis con Lebesgue", é dicir, ás funcións cuxos valores absolutos son finitos.

Sumabilidade
Unha integral impropia pode diverxer no sentido de que o límite que a define pode non existir. Neste caso, hai definicións máis sofisticadas do límite que poden producir un valor converxente para a integral impropia. Estes chámanse métodos de sumabilidade.

Un método de sumabilidade, popular na análise de Fourier, é o da suma de Cesàro. A integral

é Cesàro sumábel  se

existe e é finito . O valor deste límite, no caso de existir, é a suma  da integral.

Unha integral é  sumábel  precisamente cando existe como integral impropia. No entanto, hai integrais que son  sumábeis  para  que non conseguen converxer como integrais impropias (no sentido de Riemann ou Lebesgue). Un exemplo é a integral

que non pode existir como integral impropia, masi é  sumábel  para todo . Esta é unha versión integral da serie de Grandi.

Integrais impropias multivariábeis
A integral impropia tamén se pode definir para funcións de varias variábeis. A definición é lixeiramente diferente, dependendo de se se precisa integrar nun dominio ilimitado, como , ou se está integrando unha función con singularidades, como .

Integrais impropias sobre dominios arbitrarios
Se  é unha función non negativa que é integrábel  de Riemann sobre cada cubo compacto da forma , para , entón a integral impropia de f sobre  defínese como o límite.

sempre que exista.

Unha función nun dominio arbitrario A en  esténdese a unha función  en  con cero fóra de A:

A integral de Riemann dunha función sobre un dominio limitado A defínese entón como a integral da función estendida  sobre un cubo  que contén A:

De forma máis xeral, se A non está limitada, entón a integral de Riemann impropia sobre un dominio arbitrario en  defínese como o límite:

Integrais impropias con singularidades
Se f é unha función non negativa que non está limitada nun dominio A, entón a integral impropia de f defínese truncando f nalgún corte M, integrando a función resultante e tomando o límite cando M tende ao infinito. Para , estabelece . Despois define

sempre que exista este límite.

Funcións con valores tanto positivos como negativos
Estas definicións aplícanse a funcións que non son negativas. Unha función máis xeral f pódese descompoñer como unha diferenza entre a súa parte positiva  e a súa parte negativa , polo que

con  e  ambas as funcións non negativas. A función   ten unha integral de Riemann impropia se cada unha de  e  ten unha integral impropia, nese caso o valor desa integral impropia defínese por

Para existir neste sentido, a integral impropia converxe necesariamente absolutamente, xa que
: "Necesitamos facer esta definición máis forte de converxencia en termos de |f(x)| porque a cancelación das integrais pode ocorrer de moitas formas diferentes en dimensións máis altas.": "A noción relevante aquí é a de converxencia incondicional". ... "De feito, para integrais impropias desas funcións, a converxencia incondicional resulta ser equivalente á converxencia absoluta".

 Notas 


 Véxase tamén 
Bibliografía
 .
 .

 .

 Outros artigos 
 Integral
 Integral de Lebesgue
 Límite dunha función
Ligazóns externas
 Métodos numéricos para resolver integrais impropias no Holistic Numerical Methods Institute

Categoría:Cálculo integral
Categoría:Wikipedia:Páxinas que usan barra lateral co parámetro child