Conxunto infinito

Na teoría de conxuntos, un conxunto infinito é un conxunto que non é un conxunto finito. Os conxuntos infinitos poden ser numerábeis ou incontábeis (non numerábeis).

 Propiedades 
O conxunto de números naturais (cuxa existencia é postulada polo axioma do infinito) é infinito.Bagaria, Joan (2019), "Set Theory", in Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2019 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2019-11-30 É o único conxunto que require directamente os axiomas para ser infinito. A existencia de calquera outro conxunto infinito pódese probar na teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), mais só mostrando que se deduce da existencia dos números naturais.

Un conxunto é infinito se e só se para cada número natural, o conxunto ten un subconxunto cuxa cardinalidade é ese número natural.

Se se cumpre o axioma de escolla, entón un conxunto é infinito se e só se inclúe un subconxunto infinito numerábel.

Se un conxunto de conxuntos é infinito ou contén un elemento infinito, entón a súa unión é infinita. 

O conxunto potencia dun conxunto infinito é infinito. Calquera superconxunto dun conxunto infinito é infinito. 

Se un conxunto infinito está dividido en moitos subconxuntos finitos, polo menos un deles debe ser infinito. 

Calquera conxunto que se pode mapear nun conxunto infinito é infinito. 

O produto cartesiano dun conxunto infinito e dun conxunto non baleiro é infinito. 

O produto cartesiano dun número infinito de conxuntos, cada un contén polo menos dous elementos, é baleiro ou infinito; se se cumpre o axioma da escolla, entón é infinito.

Se un conxunto infinito é un conxunto ben ordenado, entón debe ter un subconxunto non baleiro e non trivial que non teña o maior elemento.

En ZF, un conxunto é infinito se e só se o conxunto de partes do seu conxunto de partes é un conxunto infinito de Dedekind,  tendo un subconxunto propio equinúmero a si mesmo.. See in particular pp. 32–33. Se o axioma da escolla tamén é certo, entón os conxuntos infinitos son precisamente os conxuntos infinitos de Dedekind.

Se un conxunto infinito é un conxunto ben ordenado, entón ten moitas relacións ben ordenadas que non son isomorfas.

 Exemplos 

 Conxuntos numerábeis infinitos 
O conxunto de todos os números enteiros, {..., − 1, 0, 1, 2, ...} é un conxunto infinito numerábel. O conxunto de todos os enteiros pares tamén é un conxunto infinito numerábel, aínda que sexa un subconxunto propio dos enteiros.

O conxunto de todos os números racionais é un conxunto numerábel infinito xa que hai unha bixección co conxunto de enteiros.

 Conxuntos incontábeis infinitos 
O conxunto de todos os números reais é un conxunto incontabelmente infinito. O conxunto de todos os números irracionais é tamén un conxunto incontabelmente infinito.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Conxunto finito.
 Número ordinal
 Ligazóns externas 
A Crash Course in the Mathematics Of Infinite Sets

Categoría:Teoría de conxuntos