Serie converxente

En matemáticas, unha serie é a suma dos termos dunha secuencia infinita de números. Máis precisamente, unha secuencia infinita  define unha serie  que se denota



A -ésima suma parcial  é a suma dos  primeiros termos da secuencia; é dicir,



Unha serie é converxente (ou converxe) se e só se a secuencia  das súas sumas parciais tende a un límite; iso significa que, ao engadir un  despois do outro, na orde dada polos índices, un obtén sumas parciais que se achegan cada vez máis a un número determinado. Máis precisamente, unha serie converxe, se e só se existe un número  tal que para cada número positivo arbitrariamente pequeno , hai un enteiro (suficientemente grande).  tal que para todos os ,



Se a serie é converxente, o número (necesariamente único)  chámase suma da serie.

A mesma notación



úsase para a serie e, se é converxente, para a súa suma. Esta convención é semellante á que se usa para a suma:  que denota a operación de sumar  e  , así como o resultado desta suma, que se chama suma de  e .

Calquera serie que non sexa converxente dise que é diverxente ou diverxe.

 Exemplos de series converxentes e diverxentes 

 Os inversos dos enteiros positivos producen unha serie diverxente (serie harmónica):

 Alternar os signos dos inversos dos enteiros positivos produce unha serie converxente:

 Os recíprocos dos números primos producen unha serie diverxente:

 Os recíprocos dos  números triangulares producen unha serie converxente:

 Os recíprocos dos  factoriais producen unha serie converxente (ver número e):

 Os recíprocos dos  números cadrados producen unha serie converxente (problema de Basilea):

 Os recíprocos das potencias de 2 dan unha serie converxente:

 Os recíprocos dos  potencias de calquera n>1 producen unha serie converxente:

 Alternar os signos dos recíprocos das potencias de 2 tamén produce unha serie converxente:

 Alternar os signos dos recíprocos das potencias de calquera n>1 fai unha serie converxente:

 Os recíprocos dos números de Fibonacci produce unha serie converxente (ver número áureo):


 Tests de converxencia 
Existen varios métodos para determinar se unha serie converxe ou diverxe.
dereita|miniatura|250x250px| Se a serie azul, , pódese probar que converxe, entón a serie menor,  debe converxer. Por contraposición, se a serie vermella  está demostrado que diverxe, entón  tamén debe diverxer.

Se unha serie  é converxente entón . Esta é unha condición necesaria mais non suficiente pois, por exemplo, a serie harmónica ten o termo enésimo con valor cero cando tende a infinito e porén é unha serie diverxente.  

Test de comparación. Os termos da secuencia  compáranse cos doutra secuencia . Se, para todo n, , e  converxe, entón tamén o fai 

No entanto, se, para todo n, , e  diverxe, entón tamén o fai 

Test da razón (ou ratio). Supón que para todo n,  non é cero. Supoñamos que existe  tal que



Se r < 1, entón a serie é absolutamente converxente. Se  a serie diverxe. Se  a proba da razón non é concluínte e a serie pode converxer ou diverxer.

Test de raíz ou proba de raíz enésima. Supoña que os termos da secuencia en cuestión non son negativos. Definimos r do seguinte xeito:



 onde "lim sup" denota o límite superior.

Se r < 1, a serie converxe. Se  a serie diverxe. Se  a proba da raíz non é concluínte e a serie pode converxer ou diverxer.

Test da integral. A serie pódese comparar cunha integral para estabelecer a converxencia ou a diverxencia. Sexa   unha función positiva e monótonamente decrecente. Se



entón a serie converxe. Mais se a integral diverxe, entón a serie tamén o fai.

Test de comparación de límites . Se , e o límite  existe e non é cero, entón  converxe se e só se  converxe.

Test de serie alternada. Tamén coñecido como criterio de Leibniz. A tes de series alternadas indica que para unha serie alternada da forma , se  é monótonamente decrecente, e ten un límite de 0 no infinito, entón a serie converxe.

Test de condensación de Cauchy. Se  é unha secuencia decrecente monótona positiva, entón  converxe se e só se  converxe.

Test de Dirichlet. O test indica que se  é unha secuencia monótona de números reais con  e  é unha secuencia de números reais ou números complexos con sumas parciais limitadas, entón a serie

converxe.

Test de Abel. Supoña que as seguintes afirmacións son verdadeiras:

  é unha serie converxente,
  é unha secuencia monótona e
  está limitada.

Daquela  tamén é converxente.

 Converxencia condicional e absoluta 
Se a serie  converxe daquela a serie  é absolutamente converxente. Toda serie absolutamente converxente é converxente, pero a inversa non é verdade. Por exemplo, a serie de Maclaurin da función exponencial é absolutamente converxente para cada valor complexo da variabel.

Se a serie  converxe pero a serie  diverxe, entón a serie  é condicionalmente converxente. Por exemplo, a serie de Maclaurin da función logaritmo  é condicionalmente converxente para .

O teorema de Riemann das series afirma que se unha serie converxe condicionalmente, é posíbel reorganizar os termos da serie de tal xeito que a serie converxa a calquera valor, ou mesmo diverxa. O teorema de Agnew caracteriza os reordenamentos que preservan a converxencia para todas as series.

 Converxencia uniforme 
Sexa  unha secuencia de funcións. A serie  dise que converxe uniformemente a f se a secuencia  de sumas parciais definidas por



converxe uniformemente a f.

Hai un análogo do test de comparación para series infinitas de funcións chamada test M de Weierstrass.

 Criterio de converxencia de Cauchy 
O criterio de converxencia de Cauchy estabelece que unha serie



converxe se e só se a secuencia de sumas parciais é unha secuencia de Cauchy. Isto significa que para cada  hai un número enteiro positivo  tal que para todos os  temos que



Isto é equivalente a

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Lista de series matemáticas
 Función zeta de Riemann
 Ligazóns externas 

 Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem. Consultado o 16 de maio de 2005.

Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Análise matemática
Categoría:Serie matemática