Característica (álxebra)

En matemáticas, a característica dun anel , a miúdo denotado , defínese como o menor número positivo de copias da identidade multiplicativa do anel () que dará como resultado a identidade aditiva (). Se non existe tal número, dise que o anel ten a característica cero.

É dicir,  é o menor número positivo  tal que: (p 198, Thm. 23.14)



se existe tal número , e  en caso contrario.

 Caracterizacións equivalentes 

 A característica dun anel  é o número natural  tal que  é o kernel do único homomorfismo de aneis de  a .
 A característica é o número natural  tal que  contén un subanel isomorfo ao anel cociente , que é a imaxe do homomorfismo anterior.
 Cando os enteiros non negativos  están parcialmente ordenados por divisibilidade, entón  é o máis pequeno e  é o maior. Entón a característica dun anel é o menor valor de  para o cal . Se nada "menor" (nesta orde onde 0 é o maior) que  dá resultado, entón a característica é . Esta é a ordenación parcial apropiada debido a feitos como que  é o mínimo común múltiplo de  e , e que non hai homomorfismo de aneis  que exista a menos que  divida .
 A característica dun anel  é  precisamente se a afirmación  para todo  implica que  é múltiplo de .

 Caso de aneis 
Se  e  son aneis e existe un homomorfismo de aneis , entón a característica de  divide a característica de . Isto ás veces pódese usar para excluír a posibilidade de certos homomorfismos de aneis. O único anel coa característica  é o anel cero, que ten só un elemento . Se un anel non trivial  non ten ningún divisor de cero non trivial, entón a súa característica é  ou primo. En particular, isto aplícase a todos os corpos, a todos os dominios de integridade e a todos os aneis de división. Calquera anel de característica  é infinito.

O anel  dos enteiros módulo  ten  característica . Se  é un subanel de , entón  e  teñen a mesma característica. Por exemplo, se  é primo e  é un polinomio irredutíbel con coeficientes no corpo  con  elementos, entón o anel cociente  é un corpo de característica . Outro exemplo: O corpo  de números complexos contén , polo que a característica de  é .

Unha  -álxebra é equivalentemente un anel cuxa característica divide . Isto débese a que para cada anel  hai un homomorfismo de aneis , e este mapa factoriza en  se e só se a característica de  divide . Neste caso, para calquera  do anel, engadir  a si mesmo  veces dá .

Se un anel conmutativo  ten a característica de  primo, entón temos  para todos os elementos  e  en , cúmprese  para a potencia , así cúmprese o "soño de primeiro ano" (freshman's dream en inglés) que normalmente é incorrecto. O mapa   define logo un homomorfismo de aneis , que se chama homomorfismo de Frobenius. Se  é un dominio  de integraidade é inxectivo.

 Caso dos corpos 
Como se mencionou anteriormente, a característica de calquera corpo é  ou un número primo. Un corpo de característica distinta de cero chámase corpo de característica finita ou característica positiva ou característica prima. O expoñente característico defínese de xeito similar, excepto que é igual a  cando a característica é ; en caso contrario ten o mesmo valor que a característica.

Calquera corpo  ten un subcorpo mínimo único, tamén chamado subcorpo primo. Este subcorpo é isomorfo ao corpo dos números racionais  (cando ten característica cero) ou a un corpo finito  de orde prima. Dous corpos primos da mesma característica son isomorfos, e este isomorfismo é único. Noutras palabras, hai esencialmente un corpo primo único en cada característica.

 Corpos de característica cero 
Os corpos máis comúns de característica cero son os subcorpos dos números complexos. Tamén os corpos p-ádicos son corpos de característica cero que se usan amplamente na teoría de números.

Para calquera corpo ordenado, como o corpo dos números racionais  ou o corpo dos números reais , a característica é . Así, todo corpo numérico alxébrico e o corpo de números complexos  son de característica cero.

 Corpos de característica prima 
O corpo finito  ten característica .

Existen infinitos corpo de característica prima. Por exemplo, o corpo de todas as funcións racionais , o peche alxébrico de  ou o corpo das series formais de Laurent .

O tamaño de calquera anel finito de característica prima  é unha potencia de . Xa que nese caso contén  e tamén é un espazo vectorial sobre ese corpo, e pola álxebra linear sabemos que os tamaños dos espazos vectoriais finitos sobre corpos finitos son unha potencia do tamaño do corpo. Isto tamén mostra que o tamaño de calquera espazo vectorial finito é unha potencia prima.

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Anel (álxebra).
 Corpo finito.

Categoría:Teoría de corpos
Categoría:Teoría de aneis
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas