OR exclusivo

OR exclusivo, OU exclusivo, disxunción exclusiva, non equivalencia lóxica ou desigualdade lóxica é un operador lóxico cuxa negación é o bicondicional lóxico. Con dúas entradas, XOR é verdadeiro se e só se as entradas difiren (unha é verdadeira, outra é falsa). Con varias entradas, XOR é verdadeiro se e só se o número de entradas verdadeiras é impar.

Simbolízase polos operadores infixos: XOR,  , , ⩛, , , e   e polo operador de prefixo  Translated as .

 Definición 
A táboa de verdade de  mostra que ten resultado verdadeiro sempre que as entradas sexan diferentes:

 Equivalencias, eliminación e introdución 
A disxunción exclusiva significa esencialmente "un, pero non os dous nin ningún". Noutras palabras, a afirmación é verdadeira se e só se unha é verdadeira e a outra é falsa. Por exemplo, se dous cabalos corren, entón un dos dous gañará a carreira, mais non os dous. A disxunción exclusiva , tamén denotada como  ou , pódese expresar en termos da conxunción lóxica ("E lóxico",  ), a disxunción ("OU lóxico",  ), e a negación () do seguinte xeito:



A disxunción exclusiva  tamén se pode expresar do seguinte xeito:



Esta representación de XOR pode resultar útil á hora de construír un circuíto ou rede, porque só ten unha operación  e un número pequeno de opracións  e . A proba desta identidade dáse a continuación:



Ás veces é útil escribir  do seguinte xeito:



ou:



Esta equivalencia pódese estabelecer aplicando as leis de De Morgan dúas veces á cuarta liña da proba anterior.

O OR exclusivo tamén é equivalente á negación dun bicondicional lóxico, polas regras de implicación material (un condicional material equivale á disxunción da negación do seu antecedente e do seu consecuente) e da equivalencia material.

En resumo, temos, en notación matemática e en enxeñaría:



 Negación do operador 
Ao aplicar o espírito das leis de De Morgan, obtemos: 


 Relación coa álxebra abstracta 
Aínda que os operadores  ( conxunción ) e  ( disxunción ) son moi útiles en sistemas lóxicos, non serven para unha estrutura máis xeneralizábel pola seguinte razón:

Os sistemas  e  son monoides, mais non son un grupo. Desafortunadamente, isto impide a combinación destes dous sistemas en estruturas máis grandes, como un anel matemático.

No entanto, usando o sistema con OR exclusivo temos un grupo abeliano. A combinación de operadores  e  sobre elementos  producen o coñecido corpo de dous elementos . Este corpo pode representar calquera lóxica obtida co sistema  e ten a vantaxe adicional do arsenal de ferramentas de análise alxébrica para corpos.

Máis concretamente, se se asocia  con 0 e  con 1, pódese interpretar a operación lóxica "AND" como multiplicación en  e a operación "XOR" como suma en :



A descrición dunha función booleana como polinomio en , usando esta base, chámase forma normal alxébrica da función.

 OU exclusivo en linguaxe natural 
A disxunción enténdese a miúdo exclusivamente nas linguas naturais. En galego, a palabra  "ou" adoita entenderse exclusivamente, precisamente como é no caso do XOR. Por exemplo: "Temos partida o sábado ou o domingo", que se interpreta como que temos partida un deses dous días mais non os dous.

 Símbolos alternativos 
A maiores da abreviatura "XOR", tamén se pode ver calquera dos seguintes símbolos:
  foi usado por George Boole in 1847.
  usouse por Christine Ladd-Franklin en 1883.
 , denotando a negación da equivalencia, foi usado por Ernst Schröder en 1890, Reprinted by Thoemmes Press in 2000. 
  foi usado por Giuseppe Peano in 1894.
  foi usado por Claude Shannon en 1938.
 , denotanto tamén a negación da equivalencia, foi usado por Alonzo Church en 1944.
  (como un operador prefixo, ) usouse por Józef Maria Bocheński en 1949.

 Propiedades 
Conmutatividade: si

Asociatividade: si

Distributividade
 O OR exclusivo non ten a propiedade distributiva sobre ningunha función binaria (nin sequera en si mesma), mais a conxunción lóxica distribúese sobre o OR exclusivo.  (Conxunción e OR exclusiva forman as operacións de multiplicación e suma dun corpo GF(2), e como en calquera corpo obedecen á lei distributiva.
Idempotencia: non

Monótona: non


Preserva a verdade: non
 Cando todas as entradas son verdadeiras a saída non é verdadeira.

Preserva a falsidade: si 
Cando todas as entradas son falsas a saída é falsa.

Espectro de Walsh: (2,0,0,−2)}}

Linear: si. A función é linear.

Involución: 
 o OR exclusivo cunha entrada especificada en función da outra entrada, é unha involución ou función autoinversa; aplicando dúas veces deixa a entrada sen cambios.


Ao usar os valores binarios true (1) e false (0) entón o OR exclusivo  funciona exactamente iguaol que a suma módulo 2. 

 Informática 
dereita|miniatura|114x114px| Representación simbólica tradicional dunha porta lóxica XOR

 Operación bit a bit 
A disxunción exclusiva úsase a miúdo para operacións bit a bit. Exemplos:

 1 XOR 1 = 0
 1 XOR 0 = 1
 0 XOR 1 = 1
 0 XOR 0 = 0
 11102 XOR 10012 = 01112 (isto é equivalente á suma sen acarreo)

Como se indicou anteriormente, dado que a disxunción exclusiva é idéntica á suma módulo 2, a disxunción exclusiva bit a bit de dúas cadeas de n bits é idéntica ao vector estándar de suma no espazo vectorial .
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 Outros artigos 
 Condicional material
 Disxunción lóxica
 Valor lóxico
 Cálculo proposicional
 Porta XOR

 Ligazóns externas 
 All About XOR
 Proofs of XOR properties and applications of XOR, CS103: Mathematical Foundations of Computing, Stanford University

Categoría:Lóxica
Categoría:Semántica
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas