Matriz de Toeplitz

Na álxebra linear, unha matriz de Toeplitz ou matriz constante diagonal, que recibe o nome por Otto Toeplitz, é unha matriz na que cada diagonal descendente de esquerda a dereita é constante. Por exemplo, a seguinte matriz é unha matriz de Toeplitz:



Calquera matriz   da forma



é unha matriz de Toeplitz. 

Unha matriz de Toeplitz non é necesariamente cadrada.

 Resolver un sistema Toeplitz 
Unha ecuación matricial da forma



chámase sistema de Toeplitz se  é unha matriz de Toeplitz. Se  é unha matriz  de Toeplitz, entón o sistema ten como máximo  valores únicos, en lugar de . Poderíamos, polo tanto, esperar que a solución dun sistema Toeplitz fose máis fácil, e de feito ese é o caso.

Os sistemas Toeplitz pódense resolver mediante algoritmos como o algoritmo de Schur ou o algoritmo de Levinson en tempo . 

Unha matriz de Toeplitz tamén se pode descompoñer (é dicir, factorizar) en  tempo . O algoritmo de Bareiss para unha descomposición LU é estábel. Unha descomposición LU proporciona un método rápido para resolver un sistema de Toeplitz, e tamén para calcular o determinante.

 Propiedades 

 O conxunto das matrices   de Toeplitz son un subespazo do espazo vectorial das matrices  (baixo suma matricial e multiplicación escalar).
 As matrices de Toeplitz son persimétricas . As matrices de Toeplitz simétricas son tanto centrosimétricas como bisimétricas.
 As matrices de Toeplitz tamén están estreitamente relacionadas coas series de Fourier, porque o operador de multiplicación por un polinomio trigonométrico, comprimido nun espazo de dimensión finita, pode ser representado por tal matriz. Do mesmo xeito, pódese representar a convolución linear como multiplicación por unha matriz de Toeplitz.
 As matrices de Toeplitz conmutan de forma asintótica. Isto significa que diagonalizan na mesma base cando a dimensión da fila e da columna tende ao infinito.

 Para as matrices de Toeplitz simétricas, existe a descomposición



 onde  é a parte triangular inferior de .

 A inversa dunha matriz de Toeplitz simétrica non singular ten a representación



 onde  e  son matrices de Toeplitz triangulares inferiores e  é unha matriz triangular estritamente inferior.

 Convolución discreta 
A operación de convolución pódese construír como unha multiplicación matricial, onde unha das entradas se converte nunha matriz de Toeplitz. Por exemplo, a convolución de  e  pódese formular como:





Este enfoque pódese estender para calcular a  autocorrelación, a correlación cruzada, a media móbil, etc.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Matriz circulante
 Matriz de Hankel

 Ligazóns externas 
R. M. Gray , Toeplitz and Circulant Matrices 

Categoría:Matrices