Función suave

En análise matemática, a suavidade dunha función é unha propiedade medida polo número de derivadas continuas (clase de diferenciabilidade) que ten sobre o seu dominio.

Unha función de clase  é unha función con suavidade de polo menos ; é dicir, unha función de clase  é unha función que ten unha -ésima derivada que é continua no seu dominio.

Unha función de clase  ou función  (pronunciada función C-infinito) é unha función infinitamente diferenciábel, é dicir, unha función que ten derivadas de todas as ordes (isto implica que todas estas derivadas son continuas).

Xeralmente, o termo función suave refírese a unha función . No entanto, tamén pode significar "suficientemente diferenciábel" para o problema baixo consideración.

Clases de diferenciabilidade
A clase de diferenciabilidade é unha clasificación de funcións segundo as propiedades das súas derivadas. É unha medida da orde máis alta de derivada que existe e é continua para unha función.

Consideremos un conxunto aberto  na recta real e unha función  definida en  con valores reais. Sexa k un enteiro non negativo. A función  dise que é de clase de diferenciabilidade  se as derivadas  existen e son continuas en  Se  é -diferenciábel en  entón está polo menos na clase  xa que  son continuas en  A función  dise que é infinitamente diferenciábel, suave, ou de clase  se ten derivadas de todas as ordes en  (Así, todas estas derivadas son funcións continuas sobre ) A función  dise que é de clase  ou analítica, se  é suave (é dicir,  está na clase ) e a súa expansión en serie de Taylor arredor de calquera punto do seu dominio converxe á función nalgunha veciñanza do punto. Existen funcións que son suaves pero non analíticas;  está estritamente contido en  As funcións croque son exemplos de funcións con esta propiedade.

Exemplos
 Exemplo: continua (C0) mais non diferenciábel 
miniatura|A función C0  para  e 0 en caso contrario.
miniatura|A función  para .
miniatura|dereita|A función  con  para  e  é diferenciábel. No entanto, esta función non é continuamente diferenciábel.
miniatura|dereita|Unha función suave que non é analítica.
A función

é continua, pero non diferenciábel en , polo que é de clase C0, pero non de clase C1.

 Exemplo: finitamente diferenciábel (C) 
Para cada enteiro par , a función

é continua e  veces diferenciábel en todos os . En , non obstante,  non é  veces diferenciábel, polo que  é de clase C, mais non de clase C onde .

 Exemplo: diferenciábel mais non continuamente diferenciábel (non C1)
A función

é diferenciábel, con derivada

Como  oscila cando  → 0,  non é continua en cero. Polo tanto,  é diferenciábel mais non de clase C1.

 Exemplo: diferenciábel mais non Lipschitz continua 
A función

é diferenciábel pero a súa derivada non está limitada nun conxunto compacto. Polo tanto,  é un exemplo dunha función que é diferenciábel mais non localmente Lipschitz continua.

 Exemplo: analítica (C) 
A función exponencial  é analítica, e polo tanto cae na clase Cω (onde ω é o menor ordinal transfinito). As funcións trigonométricas tamén son analíticas onde estean definidas, xa que son combinacións lineares de funcións exponenciais complexas  e .

 Exemplo: suave (C) mais non analítica (C) 
A función croque

é suave, polo que é de clase C∞, pero non é analítica en , e polo tanto non é de clase Cω. A función  é un exemplo dunha función suave con soporte compacto.

Clases de diferenciabilidade multivariábel
Unha función  definida nun conxunto aberto  de  dise que é de clase  en , para un enteiro positivo , se todas as derivadas parciais 

existen e son continuas, para cada  enteiros non negativos, tal que , e cada . Equivalentemente,  é de clase  en  se a derivada de Fréchet de orde  de  existe e é continua en cada punto de . A función  dise que é de clase  ou  se é continua en . As funcións de clase  tamén se din continuamente diferenciábeis.

Unha función , definida nun conxunto aberto  de , dise que é de clase  en , para un enteiro positivo , se todas as súas compoñentes

son de clase , onde  son as proxeccións naturais  definidas por . Dise que é de clase  ou  se é continua, ou equivalentemente, se todas as compoñentes  son continuas, en .

O espazo das funcións Ck
Sexa  un subconxunto aberto da recta real. O conxunto de todas as funcións reais de clase  definidas en  é un espazo vectorial de Fréchet, coa familia contábel de seminormas

onde  varía sobre unha secuencia crecente de conxuntos compactos cuxa unión é , e .

O conxunto das funcións  sobre  tamén forma un espazo de Fréchet. Úsanse as mesmas seminormas que antes, excepto que  pode variar sobre todos os valores enteiros non negativos.

Os espazos anteriores ocorren naturalmente en aplicacións onde se requiren funcións con derivadas de certas ordes; no entanto, especialmente no estudo de ecuacións diferenciais parciais, ás veces pode ser máis produtivo traballar con espazos de Sobolev.

 Notas 


 Véxase tamén 


 Outros artigos 

 }



 Mapa de Sobolev

Categoría:Funcións