Espazo ultramétrico

En matemáticas, un espazo ultramétrico é un espazo métrico no que a desigualdade do triángulo faise máis forte sendo  para todos os , , e . Ás veces, a métrica asociada tamén se denomina métrica non arquimediana ou supermétrica.

 Definición formal 
Unha ultramétrica nun conxunto  é unha función con valores reais



(onde  denota os números reais), tal que para todo  :

 ;
  (simetría);
 ;
 se  entón ;
 } (desigualdade forte do triángulo ou desigualdade ultramétrica).

Un espazo ultramétrico é un par  formado por un conxunto  xunto cunha distancia  ultramétrica en , que se denomina función de distancia asociada ao espazo (tamén chamada métrica).

Se  satisfai todas as condicións excepto posíbelmente a condición 4, entón  chámase ultrapseudométrica en . Un espazo ultrapseudométrico é un par  formado por un conxunto  e un ultrapseudométrico  sobre . 

No caso de que  sexa un grupo abeliano (escrito aditivamente) e  é xerada por unha función de lonxitude  (para que  ), a última propiedade pódese fortalecer usando a Krull, temos:

  con igualdade se .

 Propiedades 
miniatura| No triángulo da dereita, os dous puntos inferiores x e y violan a condición d(x,y) ≤ max{ d (x, z), d (y,z)}.
Da definición anterior, pódese concluír varias propiedades típicas da ultramétrica. Por exemplo, para todos os , cúmprese polo menos unha das tres igualdades  ou  ou . É dicir, cada tripla de puntos do espazo forma un triángulo isósceles.

Definimos a bóla (aberta) de raio  centrado en  como , temos as seguintes propiedades:

 Todo punto dentro dunha bóla é o seu centro, é dicir, se  entón  .
 As bólas que se cruzan están contidas entre si, é dicir, se  entón tampouco está baleiro  ou  .
 Todas as bólas de raio estritamente positivo son conxuntos abertos e pechados na topoloxía inducida. É dicir, as bólas abertas tamén están pechadas e as bólas pechadas (substitúe  con  ) tamén están abertas.
 O conxunto de todas as bólas abertas con raio  e centro nunha bóla pechada de raio  forma unha partición deste último, e a distancia mutua de dúas bólas abertas distintas é (maior ou) igual a .

 Exemplos 

 A métrica discreta é unha ultramétrica.
 Os números p-ádicos forman un espazo ultramétrico completo.
 Considere o conxunto de palabras de lonxitude arbitraria (finita ou infinita), Σ*, sobre algún alfabeto Σ. Definimos a distancia entre dúas palabras diferentes como 2−n, onde n é o primeiro lugar no que difiren as palabras. A métrica resultante é unha ultramétrica. .
 Se r = (rn) é unha secuencia de números reais que decrecen a cero, entón |x|r := lim sup n →∞ | xn |rn induce unha ultramétrica no espazo de todas as secuencias complexas para as que é finita. 
 Se G é un grafo non dirixido ponderado por arestas, todos os pesos das arestas son positivos, e d(u, v) é o peso do camiño mínimo entre u e v (é dicir, o maior peso dunha aresta, nun camiño escollido para minimizar este maior peso), entón os vértices do grafo, coa distancia medida por d, forman un espazo ultramétrico, e todos os espazos ultramétricos finitos poden representarse deste xeito..

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía  
 .
 Outros artigos 
 Espazo métrico.

Categoría:Topoloxía