Matriz e determinante jacobianos

En cálculo vectorial, a matriz jacobiana, dunha función vectorial de varias variábeis é a matriz de todas as súas derivadas parciais de primeira orde. Cando esta matriz é cadrada, é dicir, cando a función toma o mesmo número de variábeis como entrada que o número de compoñentes vectoriais da súa saída, o seu determinante denomínase determinante jacobiano. Tanto a matriz como (se é aplicábel) o determinante adoitan denominarse simplemente como jacobiano. Reciben o nome do Carl Gustav Jacob Jacobi.

 Definición 
Supoña que  é unha función tal que cada unha das súas derivadas parciais de primeira orde existe en . Esta función toma un punto  como entrada e produce o vector  como saída. Entón, a matriz jacobiana de , denotada como , defínese de tal xeito que a súa entrada  é , ou explicitamente 
 onde  é a transposta (vector fila) do gradiente da compoñente -ésima.

A matriz jacobiana, cuxas entradas son funcións de , denótase de varias maneiras; outras notacións comúns inclúen , , e . 

Algúns autores definen o jacobiano como a transposta da forma dada anteriormente.

A matriz jacobiana representa o diferencial de  en cada punto onde  é diferenciábel. En detalle, se  é un vector de desprazamento representado por unha matriz columna, o produto de matrices  é outro vector de desprazamento, que é a mellor aproximación linear do cambio de  nunha veciñanza de , se  é diferenciábel en . Isto significa que a función que mapea  en  é a mellor aproximación linear de  para todos os puntos  próximos a . O mapa linear  coñécese como a derivada ou a diferencial de  en .

Cando , a matriz jacobiana é cadrada, polo que o seu determinante é unha función ben definida de , coñecida como o determinante jacobiano de . Contén información importante sobre o comportamento local de . En particular, a función  ten unha función inversa diferenciábel nunha veciñanza dun punto  se e só se o determinante jacobiano é non nulo en  (véxase o teorema da función inversa para unha explicación disto e a conxectura de Jacobi para un problema relacionado de invertibilidade global). O determinante jacobiano tamén aparece ao mudar as variábeis por integrais múltiples (véxase regra de substitución para varias variábeis).

Cando , é dicir, cando  é unha función escalar, a matriz jacobiana redúcese ao vector fila ; este vector fila de todas as derivadas parciais de primeira orde de  é a transposta do gradiente de , é dicir,
. Especializando aínda máis, cando , é dicir, cando  é unha función escalar dunha única variábel, a matriz jacobiana ten unha única entrada; esta entrada é a derivada da función .

Estes conceptos reciben o nome do matemático Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851).

 Matriz jacobiana 

O jacobiano dunha función vectorial en varias variábeis xeneraliza o gradiente dunha función escalar en varias variábeis, que á súa vez xeneraliza a derivada dunha función escalar dunha única variábel. Noutras palabras, a matriz jacobiana dunha función escalar en varias variábeis é (a transposta do) seu gradiente e o gradiente dunha función escalar dunha única variábel é a súa derivada.

En cada punto onde unha función é diferenciábel, a súa matriz jacobiana tamén pode considerarse como que describe a cantidade de "estiramento", "rotación" ou "transformación" que a función impón localmente preto dese punto. Por exemplo, se  se usa para transformar suavemente unha imaxe, a matriz Jacobiana , describe como se transforma a imaxe na veciñanza de .

Se unha función é diferenciábel nun punto, a súa diferencial dase en coordenadas pola matriz jacobiana. No entanto, unha función non precisa ser diferenciábel para que a súa matriz jacobiana estea definida, xa que só se require que as súas derivadas parciais de primeira orde existan.

Se  é diferenciábel nun punto  en , entón a súa diferencial represéntase por . Neste caso, a transformación linear representada por  é a mellor aproximación linear de  preto do punto , no sentido de que

onde  é unha cantidade que se aproxima a cero moito máis rápido que a distancia entre  e  a medida que  se aproxima a . Esta aproximación especialízase na aproximación dunha función escalar dunha única variábel polo seu polinomio de Taylor de grao un, é dicir,

Neste sentido, o jacobiano pode considerarse como un tipo de "derivada de primeira orde" dunha función vectorial de varias variábeis. En particular, isto significa que o gradiente dunha función escalar de varias variábeis tamén pode considerarse como a súa "derivada de primeira orde".

As funcións diferenciábeis baixo composición  e  cumpren a regra da cadea, é dicir,  para  en .

O jacobiano do gradiente dunha función escalar de varias variábeis ten un nome especial: a matriz hessiana, que nun sentido é a "segunda derivada" da función en cuestión.

 Determinante jacobiano 

miniatura|400px|Un mapa non linear  envía un pequeno cadrado (esquerda, en vermello) a un paralelogramo distorsionado (dereita, en vermello). O jacobiano nun punto dá a mellor aproximación linear do paralelogramo distorsionado preto dese punto (dereita, en branco translúcido), e o determinante jacobiano dá a razón da área do paralelogramo aproximado en relación á do cadrado orixinal.

Se , entón  é unha función de  en si mesma e a matriz Jacobiana é unha matriz cadrada. Podemos entón formar o seu determinante, coñecido como o determinante Jacobiano ou simplemente  "o jacobiano".

O determinante jacobiano nun punto dado proporciona información importante sobre o comportamento de  preto dese punto. Por exemplo, a función continuamente diferenciábel  é invertíbel preto dun punto  se o determinante jacobiano en  é non nulo. Este é o teorema da función inversa. Ademais, se o determinante jacobiano en  é positivo, entón  preserva a orientación preto de ; se é negativo,  inverte a orientación. O valor absoluto do determinante Jacobiano en  dános o factor polo que a función  expande ou contrae volumes preto de ; esta é a razón pola que aparece na regra de substitución xeral.

O determinante jacobiano úsase ao facer un cambio de variábeis ao avaliar unha integral múltiple dunha función sobre unha rexión dentro do seu dominio. Para acomodar o cambio de coordenadas, a magnitude do determinante jacobiano aparece como un factor multiplicativo dentro da integral. Isto débese a que o elemento -dimensional  é en xeral un paralelepípedo no novo sistema de coordenadas, e o -volume dun paralelepípedo é o determinante dos seus vectores nos bordos.

 Inversa 
Segundo o teorema da función inversa, a inversa da matriz da matriz jacobiana dunha función invertíbel  é a matriz Jacobiana da función inversa. É dicir, a matriz Jacobiana da función inversa nun punto  é

e o determinante jacobiano é

Se o jacobiano é continuo e non singular no punto  en , entón  é invertíbel cando se restrinxe a algunha veciñanza de . Noutras palabras, se o determinante Jacobiano non é cero nun punto, entón a función é localmente invertíbel preto dese punto.

A (non demostrada) conxectura de Jacobi está relacionada coa invertibilidade global no caso dunha función polinómica, é dicir, unha función definida por n polinomios en n variábeis. Afirma que, se o determinante jacobiano é unha constante non nula (ou, equivalentemente, que non ten ningún cero complexo), entón a función é invertíbel e a súa inversa é unha función polinómica.

 Puntos críticos 

Se  é unha función diferenciábel, un punto crítico de  é un punto onde o rango da matriz jacobiana non é máximo. Isto significa que o rango no punto crítico é menor que o rango nalgún punto veciño. Noutras palabras, sexa  a dimensión máxima das bólas abertas contidas na imaxe de ; entón un punto é crítico se todos os menores de rango  de  son cero.

No caso onde , un punto é crítico se o determinante jacobiano é cero.

 Exemplos 

 Exemplo 1 

Considere unha función  con   dada por

Entón temos

A matriz jacobiana de  é

e o determinante jacobiano é

 Exemplo 2: transformación de polar a cartesianas 

A transformación de coordenadas polares  a coordenadas cartesianas (x, y), vén dada pola función  con compoñentes

O determinante jacobiano é igual a . Isto pode usarse para transformar integrais entre os dous sistemas de coordenadas:

 Exemplo 3: transformación de esféricas a cartesianas 

A transformación de coordenadas esféricas Joel Hass, Christopher Heil, e Maurice Weir. Thomas' Calculus Early Transcendentals, 14e. Pearson, 2018, p. 959. a coordenadas cartesianas (x, y, z), vén dada pola función  con compoñentes

A matriz jacobiana para esta mudanza de coordenadas é

O determinante é . 

Dado que  é o volume para un elemento diferencial de volume rectangular (porque o volume dun prisma rectangular é o produto dos seus lados), podemos interpretar  como o volume do elemento diferencial de volume esférico. A diferenza do volume do elemento diferencial de volume rectangular, o volume deste elemento diferencial de volume non é unha constante e varía coas coordenadas ( e ). Pode usarse para transformar integrais entre os dous sistemas de coordenadas:

 Exemplo 4 

A matriz jacobiana da función  con compoñentes

é

Este exemplo mostra que a matriz jacobiana non ten por que ser unha matriz cadrada.

 Exemplo 5 

O determinante jacobiano da función  con compoñentes

é

A partir disto vemos que  inverte a orientación preto dos puntos onde  e  teñen o mesmo signo; a función é localmente invertíbel en todas as partes agás preto dos puntos onde  ou . 

Intuitivamente, se se comeza cun obxecto pequeno arredor do punto  e se aplica  a ese obxecto, obterase un obxecto resultante con aproximadamente  veces o volume do orixinal, coa orientación invertida.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 



 Outros artigos 
 Variedade central
 Matriz Hessiana
 Pulo (diferencial)
 Ligazóns externas 

 Mathworld A more technical explanation of Jacobians

Categoría:Matrices