Ideal principal

En matemáticas, especificamente na teoría de aneis, un ideal principal é un ideal  nun anel  que é xerado por un só elemento  de  mediante a multiplicación por cada elemento de  O termo tamén ten outro significado semellante en teoría da orde, onde se refire a un ideal (orde) nun poset  xerado por un único elemento  é dicir o conxunto de todos os elementos menores ou iguais a  en 

O resto deste artigo só aborda o concepto da teoría de aneis.

 Definicións 

 un ideal principal pola esquerda  é un subconxunto de  dado por  para algún elemento 
 un ideal principal pola dereita de  é un subconxunto de  dado por  para algún elemento 
 un ideal principal bilateral  é un subconxunto de  dado por  para algún elemento  é dicir, o conxunto de todas as sumas finitas de elementos da forma 

Se  é un anel conmutativo con identidade, entón as tres nocións anteriores son todas iguais. Nese caso, é habitual escribir o ideal xerado por  como  ou 

 Exemplos de ideal non principal 
Non todos os ideais son principais. Por exemplo, considere o anel conmutativo  de todos os polinomios en dúas variabeis  e  con coeficientes complexos. O ideal  xerado por  e  que consta de todos os polinomios en  que teñen cero como termo constante, non é principal. Para ver isto, supoña que  foron un xerador de  Entón  e  ambos os dous serían divisíbeis por  que é imposíbel a non ser que  sexa unha constante distinta de cero. Pero cero é a única constante en  así que temos unha contradición.

No anel  os números onde  son pares é un ideal non principal. Este ideal forma unha retícula hexagonal regular no plano complexo. Considere  e  Estes números son elementos deste ideal coa mesma norma (dous), mais pola mor de seren   e  as  únicas unidades do anel, non son asociados.

 Definicións relacionadas 
Un anel no que cada ideal é principal chámase principal, ou un anel ideal principal. Un dominio de ideais principais (PID) é un dominio de integridade no que cada ideal é principal. Calquera PID é un dominio de factorización única; a demostración normal da factorización única nos números enteiros (o chamado teorema fundamental da aritmética) cúmprese en calquera PID.

 Exemplos de ideal principal 
Os ideais principais en  son da forma  De feito,  é un dominio ideal principal, e pódese mostrar como segue. Supoñamos  onde  e considere os homomorfismos sobrexectivos  Posto que é finito, para  suficientemente grande temos  Así  o que implica que  sempre se xera de forma finita. Posto que o ideal  xerado por calquera número enteiro  e  é exactamente  por indución sobre o número de xeradores dedúcese que  é principal.

No entanto, todos os aneis teñen ideais principais,  calquera ideal xerado por exactamente un elemento. Por exemplo, o ideal  é un ideal principal de  e  é un ideal principal de  De feito,  e  son os ideais principais de calquera anel 

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 


 Outros artigos 
 Dominio de ideais principais.
 Ideal (teoría dos aneis)
 Ligazóns externas 
 Principal Ideals and Euclidean Domains (LibreTexts).

Categoría:Álxebra abstracta