Potencia perfecta

En matemáticas, unha potencia perfecta é un número natural que é un produto de factores naturais iguais, ou, noutras palabras, un número enteiro que se pode expresar como un cadrado ou unha potencia enteira superior doutro enteiro maior que un. Máis formalmente, n é unha potencia perfecta se existen números naturais m > 1 e k > 1 tal que mk = n. Neste caso, n pódese chamar k-ésima potencia perfecta. Se k = 2 ou k = 3, entón n chámase cadrado perfecto ou cubo perfecto, respectivamente.

 Exemplos e sumas 
Pódese xerar unha secuencia de potencias perfectas iterando os posíbeis valores de m e k. As primeiras potencias perfectas ascendentes en orde numérica (mostrando potencias con valores duplicados) son      :



A suma dos recíprocos das potencias perfectas (incluíndo duplicados como 34 = 81 e 92 = 81) é 1:



que se pode demostrar do seguinte xeito:



As primeiras potencias perfectas sen duplicados son:

 (ás veces 0 e 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 225, 52, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024,...     

A suma dos recíprocos das potencias perfectas p sen duplicados é: 



onde μ (k) é a función de Möbius e ζ(k) é a función zeta de Riemann.

Segundo Euler, Goldbach mostrou (nunha carta agora perdida) que a suma de  sobre o conxunto de potencias perfectas p, excluíndo 1 e excluíndo os duplicados, é 1:

Isto ás veces coñécese como o teorema de Goldbach-Euler.

 Detección de potencias perfectas 
Detectar se un número natural n dado é ou non unha potencia perfecta pódese conseguir de moitas formas diferentes, con distintos niveis de complexidade. Un dos métodos máis sinxelos deste tipo é considerar todos os valores posíbeis para k en cada un dos divisores de n, ata . Logo, se os divisores de  son  entón un dos valores  debe ser igual a n se n é realmente unha potencia perfecta.

Este método pódese simplificar inmediatamente considerando só os valores primos de k. Isto é porque se  para un composto  onde p é primo, entón isto pode simplemente reescribirse como  . Debido a este resultado, o valor mínimo de k debe ser necesariamente primo.

Se se coñece a factorización completa de n, digamos  onde o  son primos distintos, entón n é unha potencia perfecta se e só se  onde mcd denota o máximo común divisor. Como exemplo, considere n = 296 ·360 ·724 . Dado que mcd(96, 60, 24) = 12, n é unha potencia 12 perfecta (e unha potencia 6, 4, cubo e cadrado perfectos, xa que 6, 4, 3 e 2 dividen a 12).

 Ocos entre potencias perfectas 
En 2002 o matemático romanés Preda Mihăilescu demostrou que o único par de potencias perfectas consecutivas é 23 = 8 e 32 = 9, demostrando así a conxectura de Catalan.

A conxectura de Pillai afirma que para calquera número enteiro positivo dado k só hai un número finito de pares de potencias perfectas cuxa diferenza é k. Este é un problema sen resolver.
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Función zeta de Riemann.
 Ligazóns externas 
Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader, and Jaume Paradís, On a Series of Goldbach and Euler, 2004 (Pdf)

categoría:Teoría de números

Categoría:Teoría de números