Símbolo de Legendre

+Símbolo de Legendre()para varios a (na parte superior) e p (no lado esquerdo).    0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 3 0 1  −1          5 0 1  −1  −1 1        7 0 1 1  −1 1  −1  −1      11 0 1  −1 1 1 1  −1  −1  −1 1  −1 Só se mostran 0 ≤ a < p, xa que debido á primeira propiedade definida no artigo calquera outra a pódese reducir módulo p. Os residuos cadráticos están resaltados en amarelo e corresponden aos valores 0 e 1.

En teoría de números, o símbolo de Legendre é unha función multiplicativa con valores  que é un  carácter cadrático módulo un número primo impar : o seu valor para un residuo cadrático (non cero)  é  e para un residuo non cadrático (un non residuo) é . O seu valor en cero é .

O símbolo de Legendre foi introducido por Adrien-Marie Legendre en 1798 no curso dos seus intentos de probar a lei da reciprocidade cadrática. As xeneralizacións do símbolo inclúen o símbolo de Jacobi e os caracteres de Dirichlet de orde superior. A conveniencia de notación do símbolo de Legendre inspirou a introdución doutros "símbolos" usados na teoría alxébrica de números, como o símbolo de Hilbert e o símbolo de Artin.

 Definición 
Sexa  un número primo impar. Un número enteiro  é un  residuo cadrático módulo  se é congruente cun  cadrado perfecto módulo  e é non residuo cadrático módulo  no caso contrario. O símbolo de Legendre é unha función de  e  definido como



A definición orixinal de Legendre foi mediante a fórmula explícita



Segundo o criterio de Euler, que fora descuberto antes e que Legendre coñecía, estas dúas definicións son equivalentes. Así, a contribución de Legendre radicaba na introdución dunha notación conveniente que rexistrase residuos cadráticos de a mod p. Para comparar, Gauss utilizou a notación a R p, a N p segundo se a é un residuo ou un non residuo módulo p. Por comodidade tipográfica, o símbolo de Legendre ás veces escríbese como (a | p). Para un p fixo, a secuencia  é periódica con período p e ás veces chámase secuencia de Legendre. Cada fila da seguinte táboa presenta periodicidade, tal e como se describe.

 Táboa de valores 
A seguinte é unha táboa de valores do símbolo de Legendre  para p ≤ 127, a ≤ 30, p primo impar.
12345678910111213141516171819202122232425262728293031−101−101−101−101−101−101−101−101−101−1051−1−1101−1−1101−1−1101−1−1101−1−1101−1−110711−11−1−1011−11−1−1011−11−1−1011−11−1−1011111−1111−1−1−11−101−1111−1−1−11−101−1111−1−1−1131−111−1−1−1−111−1101−111−1−1−1−111−1101−1111711−11−1−1−111−1−1−11−111011−11−1−1−111−1−1−11191−1−11111−11−11−1−1−1−111−101−1−11111−11−11231111−11−111−1−111−1−11−11−1−1−1−101111−11−1291−1−11111−11−1−1−11−1−11−1−1−11−11111−1−11013111−111−11111−1−1−11−11−1111−1−1−1−11−1−11−1−1371−111−1−11−11111−1−1−11−1−1−1−11−1−1−11111−114111−111−1−1111−1−1−1−1−11−11−111−11−11−1−1−1−1−1431−1−11−11−1−1111−111111−1−1−11−1111−1−1−1−1−1471111−11111−1−11−11−1111−1−11−1−111−111−1−1531−1−11−111−1111−11−1111−1−1−1−1−1−111−1−111−1591−1111−11−11−1−11−1−1111−11111−1−111111−1611−1111−1−1−11−1−111111−1−111−11−1−11−11−1−1−1671−1−11−11−1−111−1−1−11111−11−1111111−1−11−171111111−1111−11−1−111−1111−1−1−111−11−111731111−11−111−1−11−1−1−11−111−1−1−1111−11−1−1−17911−111−1−11111−11−1−11−1111111−111−1−1−1−1831−111−1−11−11111−1−1−111−1−1−11−11−11111118911−111−1−11111−1−1−1−1111−1111−1−11−1−1−1−1−1971111−11−111−111−1−1−11−11−1−1−11−111−11−1−1−11011−1−1111−1−11−1−1−111−111−11111111−1−1−1−1110311−11−1−1111−1−1−11111111−1−1−11−111−11111071−111−1−1−1−1111111−11−1−11−1−1−11−11−11−1111091−1111−11−11−1−11−1−111−1−1−1111−1−111111−111311−11−1−1111−11−11111−11−1−1−11−1−111−11−1112711−11−1−1−111−11−11−111111−111−1−111−1−1−11

 Propiedades do símbolo de Legendre 
Hai unha serie de propiedades útiles do símbolo de Legendre que, xunto coa lei da reciprocidade cadrática, poden ser usadas para calculalo de forma eficiente.

 Dado un xerador , se , entón  é un residuo cadrático se e só se  é par. Isto mostra que a metade dos elementos en  son residuos cadráticos.
 Se  entón o feito de que 
  dános que  é unha raíz cadrada do residuo cadrático .
 O símbolo de Legendre é periódico no seu primeiro argumento (ou superior): se a ≡ b (mod p), entón 

 O símbolo de Legendre é un función multiplicativa do seu argumento superior:

 En particular, o produto de dous números que son residuos cadráticos ou non residuos cadráticos módulo p é un residuo, mentres que o produto dun residuo cun non residuo é un non residuo. Un caso especial é o símbolo de Legendre dun cadrado:

 Cando se ve como unha función de a, o símbolo de Legendre  é o único carácter de Dirichlet cadrático (ou orde 2) módulo p.
 O primeiro suplemento á lei da reciprocidade cadrática:

 O segundo suplemento á lei da reciprocidade cadrática:

 Fórmulas especiais para o símbolo de Legendre  para valores pequenos de a:
 Para un primo impar p ≠ 3, 

 Para un primo impar p ≠ 5, 

 Os números de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... son definidos pola recorrencia   Se p é un número primo daquela


 Este resultado provén da teoría das secuencias de Lucas, que se usan nos test de primalidade. Consulte primo de Wall–Sun–Sun.

 Símbolo de Legendre e reciprocidade cadrática 
Sexan p e q números primos impares distintos. Usando o símbolo de Legendre, a lei de reciprocidade cuadrática pódese enunciar concisamente:



Moitas probas da reciprocidade cadrática baséanse no criterio de Euler



 Gauss introduciu a suma cadrática de Gauss e utilizou a fórmula



 na súa cuarta e sexta probas da reciprocidade cadrática.

 Funcións relacionadas 

 O símbolo de Jacobi () é unha xeneralización do símbolo de Legendre que permite un segundo argumento composto (inferior) n, aínda que n  debe ser impar e positivo. Esta xeneralización proporciona un xeito eficiente de calcular todos os símbolos de Legendre sen realizar a factorización.
 Outra extensión é o símbolo de Kronecker, no que o argumento inferior pode ser calquera número enteiro.
 O símbolo do residuo de potencia () xeneraliza o símbolo de Legendre a unha potencia superior n. O símbolo de Legendre representa o símbolo do residuo de potencia para n = 2.

 Exemplo computacional 
As propiedades anteriores, incluída a lei da reciprocidade cadrática, pódense usar para avaliar calquera símbolo de Legendre. Por exemplo:



Ou usando un cálculo máis eficiente:



Dado que non se coñece un algoritmo de factorización eficiente, mais os algoritmos de exponenciación modular son eficientes, en xeral, é máis eficiente usar a definición orixinal de Legendre, por exemplo:



usando repetidamente o cadrado módulo 331, reducindo cada valor usando o módulo despois de cada operación para evitar o cálculo con enteiros grandes.
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 








 Outros artigos 
 Símbolo de Jacobi.
 Teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas
 Ligazóns externas 
 calculadora de símbolos de Jacobi

Categoría:Teoría de números
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas