Norma dun corpo

En matemáticas, a norma dun corpo é unha asignación particular definida na teoría de corpos, que mapea elementos dun corpo máis grande nun subcorpo.

 Definición formal 
Sexa K un corpo e L unha extensión finita (e polo tanto unha extensión alxébrica) de K.

O corpo L é entón un espazo vectorial de dimensión finita sobre K .

A multiplicación por α  dun elemento de L,


 ,

é unha transformación K-linear deste espazo vectorial en si mesmo.

A norma, N L/K (α), defínese como o determinante desta transformación linear.

Se L/K é unha extensión de Galois, pódese calcular a norma de α ∈ L como o produto de todos os conxugados de Galois de α:



onde Gal(L/K) denota o grupo de Galois de L/K. (Teña en conta que pode haber unha repetición nos termos do produto).

Para unha extensión xeral do corpo L/K, e α distinto de cero en L, sexan σ(α), ... , σ (α) as raíces do polinomio mínimo de α sobre K (raíces listadas con multiplicidade e situadas nalgún corpo de extensión de L); entón

  .

Se L/K é separábel, entón cada raíz aparece só unha vez no produto (aínda que o expoñente, o grao da extensión [L:K(α)], aínda pode ser maior que 1).

 Exemplos 

 Extensións de corpo cadrático 
Un dos exemplos básicos de normas provén das extensións de corpos cadráticos  onde  é un enteiro libre de cadrados.

Despois, o mapa de multiplicación por  sobre un elemento  é



O elemento  pode ser representado polo vector



xa que hai unha descomposición de suma directa  como a -espazo vectorial.

A matriz de  é daquela



e a norma é , xa que é o determinante desta matriz.

 Norma de Q(√2) 
Considere o corpo de números alxébricos  .

O grupo de Galois de  sobre  ten orde  e é xerado polo elemento que envía  a . Logo, a norma de  é:



A norma do corpo tamén se pode obter sen o grupo de Galois .

Fixemos  unha -base de , digamos:

  .

Daquela a multiplicación polo número  envía

 1 a  e
  a  .

Daquela, o determinante de "multiplicar por  " é o determinante da matriz que envía o vector

  (correspondente ao primeiro elemento da base, é dicir, 1) a ,
  (correspondente ao segundo elemento da base, é dicir,  ) a ,

a saber:



O determinante desta matriz é −1.

 extensións do corpo raíz p-ésima 
Outra clase sinxela de exemplos provén das extensións de corpo da forma  onde a factorización prima de  non contén potencias -ésimas, para  un primo impar fixo.

O mapa de multiplicación por  dun elemento édando a matrizO determinante dá a norma



 Números complexos sobre os reais 
A norma de corpo dos números complexos nos números reais envía



a

 ,

porque o grupo de Galois de  sobre  ten dous elementos,

 o elemento identidade e
 a conxugación complexa,

e tomando o produto obtense .

 Corpos finitos 
Sexa L = GF(qn) unha extensión finita dun corpo finito K = GF( q).

Dado que L/K é unha extensión de Galois, se α está en L, entón a norma de α é o produto de todos os conxugados de Galois de α, é dicir 



Nesta configuración temos as propiedades adicionais, 




 Propiedades da norma 
Hai varias propiedades da función norma para calquera extensión finita. 

 Homomorfismo de grupos 
A norma N : L* → K* é un homomorfismo de grupos do grupo multiplicativo de L no grupo multiplicativo de K, é dicir



A maiores, se a en K :



Se a ∈ K entón 

 Composición con extensións de corpo 
A maiores, a norma compórtase ben en torres de corpos :

se M é unha extensión finita de L, entón a norma de M en K é só a composición da norma de M en L coa norma de L en K, é dicir.



 Redución da norma 
A norma dun elemento nunha extensión de corpo arbitraria pode reducirse a un cálculo máis sinxelo se xa se coñece o grao da extensión de corpo. Isto é Oggier.  (PDF). p. 15. Archived from the original  (PDF) on 2014-10-23. Retrieved 2020-03-28.Por exemplo, para  na extensión de corpo , a norma de  éxa que o grao de extensión do corpo  é .

 Detección de unidades 
Para  o anel de números enteiros dun corpo numérico alxébrico , un elemento  é unha unidade se e só se  .

Por exemplo



onde

  .

Así, calquera corpo numérico  cuxo anel de enteiros  contén  teno como unidade.
 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 





 Outros artigos 
 Traza dun corpo.
 Norma dun ideal.

Categoría:Teoría de números alxébricos

Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas