Normal (xeometría)

dereita|miniatura| Unha normal a unha superficie nun punto é o mesmo que unha normal ao plano tanxente á superficie no mesmo punto.

En xeometría, unha normal é un obxecto (por exemplo, unha liña, un raio ou un vector) que é perpendicular a outro obxecto dado. Por exemplo, a recta normal a unha curva plana nun punto dado é a recta perpendicular á tanxente á curva no punto.

Un vector normal de lonxitude un chámase vector normal unitario. Un vector de curvatura é un vector normal cuxa lonxitude é a curvatura do obxecto. Multiplicando un vector normal por  resulta o vector oposto, que se pode usar para indicar os lados (por exemplo, interior ou exterior).

No espazo tridimensional, unha superficie normal, ou simplemente unha normal, a unha superficie no punto  é un vector perpendicular ao plano tanxente da superficie en . A palabra normal tamén se usa como adxectivo: unha liña normal a un plano, a compoñente normal dunha forza, o vector normal, etc. O concepto de normalidade xeneralízase á ortogonalidade (ángulos rectos ).

O concepto foi xeneralizado a variedades diferenciábeis de dimensión arbitraria mergulladas nun espazo euclidiano. O espazo vectorial normal ou espazo normal dunha variedade nun punto  é o conxunto de vectores ortogonais ao espazo tanxente en  Os vectores normais son de especial interese no caso de curvas suaves e superficies suaves.

O pé dunha normal nun punto de interese Q (análogo ao pé dunha perpendicular) pódese definir no punto P da superficie onde o vector normal contén Q. A distancia normal dun punto Q a unha curva ou a unha superficie é a distancia euclidiana entre Q e o seu pé P.

 Normal de curvas no espazo 
esquerda|miniatura| Dirección normal (en vermello) a unha curva (en negro).
A dirección normal dunha curva espacial é:



onde  é o raio de curvatura (curvatura recíproca);  é o vector tanxente, en termos da posición da curva  e a lonxitude do arco :



 Normal a planos e polígonos 
miniatura| Ecuación do plano en forma normal
Para un polígono convexo (como un triángulo), unha normal de superficie pódese calcular como o produto vectorial de dúas arestas (non paralelas) do polígono.

Para un plano dado pola ecuación do plano de forma xeral  o vector  é a normal do plano.

Para un plano cuxa ecuación está dada en forma paramétrica onde  é un punto do plano e  son vectores non paralelos que apuntan ao longo do plano, unha normal ao plano é un vector normal a ámbolos dous  e  que se pode atopar como o produto vectorial 

 Normal a superficies  xerais no espazo 3D 
miniatura| Unha superficie curva que mostra os vectores normais unitarios (frechas azuis) á superficie
Se unha superficie (posiblemente non plana)  no espazo 3D  está parametrizada por un sistema de coordenadas curvilíneas  con  e  variables reais, entón unha normal a S é, por definición, unha normal a un plano tanxente, dada polo produto vectorial das derivadas parciais. 

Se unha superficie  dáse implícitamente como o conxunto de puntos  que satisfán  entón unha normal nun punto  na superficie vén dada polo gradiente xa que o gradiente en calquera punto é perpendicular ao conxunto de niveis 

Para unha superficie  en  dada como gráfica dunha función  pódese atopar unha normal cara arriba a partir da parametrización  obtendo  ou máis simplemente desde a súa forma implícita  obtendo  Dado que unha superficie non ten un plano tanxente nun punto singular, non ten unha normal ben definida nese punto: por exemplo, o vértice dun cono. En xeral, é posible definir unha normal en case todas as partes para unha superficie que é unha función continua de Lipschitz.

 Orientación 
dereita|miniatura|300x300px| Un campo vectorial de normais a unha superficie
A normal a unha (hiper)superficie adoita escalarse para ter unha lonxitude unidade, mais non ten unha dirección única, xa que o seu oposto tamén é unha unidade normal. Para unha superficie que é o fronteira topolóxica dun conxunto en tres dimensións, pódese distinguir entre dúas orientacións normais, a normal que apunta cara a dentro e a normal que apunta caara ao exterior. Para unha superficie orientada, a normal adoita estar determinada pola regra da man dereita ou o seu análogo en dimensións superiores.

 Variedades definidas por ecuacións implícitas no espazo n-dimensional 
Unha variedade diferencial definida por ecuacións implícitas no -espazo dimensional  é o conxunto dos ceros comúns dun conxunto finito de funcións diferenciables en  variables A matriz jacobiana da variedade é a matriz  cuxa -ésima fila é o gradiente de  Polo teorema da función implícita, a variedade é unha variedade na proximidade dun punto onde a matriz jacobiana ten rango  En tal punto  o espazo vectorial normal é o espazo vectorial xerado polos valores en  dos vectores de gradiente do 

O espazo normal (afín) nun punto  da variedade é o subespazo afín que pasa por  e xerado polo espazo vectorial normal en 

 Exemplo 
Sexa V a variedade definida no espazo tridimensional polas ecuacións Esta variedade é a unión do eixo  e o eixo .

Nun punto  onde  as filas da matriz jacobiana son  e  Así, o espazo afín normal é o plano de ecuación  Do mesmo xeito, se  o plano normal en  é o plano da ecuación 

No punto  as filas da matriz jacobiana son  e  Así, o espazo vectorial normal e o espazo afín normal teñen dimensión 1 e o espazo afín normal é o eixo .
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Compoñentes tanxencial e normal.
 Ligazóns externas 

 explanation of normal vectors 
 calculating a surface normal  pseudocódigo claro para calcular a normal dun triángulo ou polígono.

Categoría:Gráficos 3D por ordenador
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas