Conxunto xerador dun grupo

En álxebra abstracta, un conxunto xerador dun grupo é un subconxunto do grupo tal que cada elemento do grupo pode expresarse como unha combinación (baixo a operación de grupo) dun número finito de elementos do subconxunto e os seus inversos.

Noutras palabras, se  é un subconxunto dun grupo , entón , o subgrupo xerado por  denotado ,, é o subgrupo de todos os elementos de  que se pode expresar como un produto finito dos elementos de  e os seus inversos. (Teña en conta que os inversos só son necesarias se o grupo é infinito; nun grupo finito, o inverso dun elemento pódese expresar tamén como unha potencia dese elemento).

Se , entón dicimos que  xera , e os elementos en  chámanse xeradores ou xeradores de grupo. Se  é o conxunto baleiro, entón  é o grupo trivial , xa que consideramos que o produto baleiro é a identidade.

Cando hai un único elemento  en ,  adoita escribirse como . Neste caso,  é o subgrupo cíclico das potencias de , un grupo cíclico, e dicimos que este grupo é xerado por .  Para grupos finitos, tamén é equivalente a dicir que  ten orde .

Se  é un grupo topolóxico e logo un subconxunto  de  chámase conxunto de xeradores topolóxicos se  é denso en , é dicir, o peche de  é todo o grupo .

 Grupo xerado finitamente 
Se  é finito, entón un grupo  chámase xerado finitamente. En particular, a estrutura dos grupos abelianos xerados de forma finita descríbese facilmente. Moitos teoremas que son certos para grupos finitamente xerados fallan para os grupos en xeral. Probouse que se un grupo finito é xerado por un subconxunto , entón todo elemento do grupo pode expresarse como unha palabra do alfabeto  de lonxitude inferior ou igual á orde do grupo.

Todo grupo finito xérase finitamente posto que . Os enteiros baixo a adición son un exemplo dun grupo infinito que é xerado de xeito finito tanto por 1 como por −1, mais o grupo de racionais baixo a adición non se pode xerar de xeito finito. Non se pode xerar de forma finita ningún grupo non numerábel. Por exemplo, o grupo de números reais baixo a suma,  non se pode xerar finitamente.

Diferentes subconxuntos do mesmo grupo poden estar xerando subconxuntos. Por exemplo, se  e  son enteiros con , entón  tamén xera o grupo de enteiros baixo a adición pola identidade de Bézout.

 Exemplos 

 O grupo multiplicativo de enteiros módulo 9, , é o grupo de todos os enteiros coprimos con  9 baixo multiplicación . Pode ver que 7 non é un xerador de , xa que 

 mentres que 2 si que é un xerador, xa que 

 Por outra banda, Sn, o grupo simétrico de grao n, non é xerado por ningún elemento (non é cíclico ) cando n > 2. No ontanto, nestes casos Sn sempre pode ser xerado por dúas permutacións que se escriben en notación de ciclo como (1 2) e  . Por exemplo, os 6 elementos de S3 pódense xerar a partir dos dous xeradores, (1 2) e (1 2 3), como se mostra no lado dereito das seguintes igualdades (a composición é de esquerda a dereita):

 e = (1 2) (1 2)
 (1 2) = (1 2)
 (1 3) = (1 2)(1 2 3)
 (2 3) = (1 2 3)(1 2)
 (1 2 3) = (1 2 3)
 (1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

 Os grupos infinitos tamén poden ter conxuntos xeradores finitos. O grupo aditivo de números enteiros ten o 1 como grupo xerador. O elemento 2 non é un conxunto xerador, xa que faltarán os números impares. O subconxunto de dous elementos  é un conxunto xerador, xa que  (de feito, calquera par de números primos é xerador, como consecuencia da identidade de Bézout).

 O grupo diédrico dun n-gon (que ten orde ) é xerado polo conxunto , onde  representa a rotación de  e  é calquera reflexión a través dunha liña de simetría.

 O grupo cíclico da orde , , e as raíces da unidade -avas son todas xeradas por un só elemento (de feito, estes grupos son isomórfos entre si). 

 Unha presentación dun grupo defínese como un conxunto de xeradores e unha colección de relacións entre eles, polo que calquera dos exemplos enumerados na páxina de presentacións de grupo contén exemplos de conxuntos xeradores.

 Grupo libre 
O grupo máis xeral xerado por un conxunto  é o grupo xerado libremente por . Cada grupo xerado por  é isomorfo a un cociente deste grupo, unha característica que se utiliza na expresión da presentación dun grupo.

 Subgrupo de Frattini 
Un tema complementario interesante é o dos non xeradores. Un elemento  do grupo  é un non xerador se cada conxunto  que contén  que xera , aínda xera  cando  é eliminado de . Nos enteiros con suma, o único que non é xerador é o 0. O conxunto de todos os non xeradores forma un subgrupo de , o subgrupo de Frattini.

 Semigrupos e monoides 
Se  é un semigrupo ou un monoide, aínda se pode usar a noción de conxunto xerador  de .  é un conxunto xerador de semigrupos/monoides  se  é o semigrupo/monoide máis pequeno que contén .

As definicións de conxunto xerador dun grupo usando sumas finitas, dadas anteriormente, deben modificarse lixeiramente cando se trata de semigrupos ou monoides. De feito, esta definición xa non debería usar a noción de operación inversa. O conxunto  dise que é un conxunto xerador de semigrupos de  se cada elemento de  é unha suma finita de elementos de . Do mesmo xeito, un conxunto  dise que é un monoide xerador  de  se todo elemento distinto de cero de  é unha suma finita de elementos de .

Mentres que {1} é un xerador de grupos do conxunto de enteiros , {1} non é un xerador monoide do conxunto de enteiros. De feito, o número enteiro −1 non se pode expresar como unha suma finita de 1s.
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 


 Outros artigos 
 Xerador (matemáticas)
 Presentación dun grupo
 Raíz primitiva

 Ligazóns externas 

Categoría:Teoría de grupos
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas