Grupo de Heisenberg

En matemáticas, o grupo de Heisenberg , que recibe o nome de Werner Heisenberg, é o grupo de matrices triangulares superiores 3×3 da forma

baixo a operación de multiplicación de matrices. Os elementos a, b e c poden ser tomados de calquera anel conmutativo con identidade, a miúdo o anel dos números reais (resultando no "grupo de Heisenberg continuo") ou o anel dos números enteiros (resultando no "grupo de Heisenberg discreto").

O grupo de Heisenberg continuo xorde na descrición de sistemas cuánticos unidimensionais, especialmente no contexto do teorema de Stone-von Neumann. Máis xeralmente, pódense considerar grupos de Heisenberg asociados a sistemas n-dimensionais, e de xeito máis xeral, a calquera espazo vectorial simpléctico.

 Caso tridimensional 
No caso tridimensional, o produto de dúas matrices de Heisenberg vén dado por

Como se pode ver no termo , o grupo é non abeliano.

O elemento neutro do grupo de Heisenberg é a matriz identidade, e as inversas veñen dadas por


O grupo é un subgrupo do grupo afín 2-dimensional Aff(2):
 actuando sobre  corresponde á transformación afín 

Hai varios exemplos destacados do caso tridimensional.

 Grupo de Heisenberg continuo 
Se , son números reais (no anel R), entón temos o grupo de Heisenberg continuo H3(R).

É un grupo de Lie real e nilpotente  de dimensión 3.

Ademais da representación como matrices reais 3×3, o grupo de Heisenberg continuo tamén ten varias representacións diferentes en termos de espazos de funcións. Polo teorema de Stone-von Neumann hai, salvo isomorfismo, unha única representación unitaria irreducible de H na que o seu centro actúa por un carácter non trivial dado. Esta representación ten varias realizacións importantes, ou modelos. No modelo de Schrödinger, o grupo de Heisenberg actúa sobre o espazo de funcións integrais cadradas. Na representación theta, actúa sobre o espazo de funcións holomorfas no semiplano superior; recibe este nome pola súa conexión coas funcións theta.

 Grupo de Heisenberg discreto 
miniatura|350px|dereita|Unha porción do grafo de Cayley do grupo de Heisenberg discreto, con xeradores x, y, z como no texto (a cor só é unha axuda visual)

Se  son enteiros (no anel Z), entón temos o grupo de Heisenberg discreto H3(Z). É un grupo non abeliano nilpotente. Ten dous xeradores:

e relacións

onde

é o xerador do centro de H3. (Nótese que os inversos de x, y, e z substitúen o 1 sobre a diagonal por −1).

Polo teorema de Bass, ten unha taxa de crecemento polinómica de orde 4.

Pódese xerar calquera elemento mediante


 Grupo de Heisenberg módulo un primo impar p 
Se se toman a, b, c en Z/p Z para un primo impar p, entón temos o grupo de Heisenberg módulo p. É un grupo de orde p3 con xeradores x, y e relacións


Os análogos dos grupos de Heisenberg sobre corpos finitos de orde prima impar p chámanse grupos extra especiais, ou máis propiamente, grupos extra especiais de expoñente p. Máis xeralmente, se o subgrupo derivado dun grupo G está contido no centro Z de G, entón a aplicación G/Z × G/Z → Z é un operador bilinear antisimétrico sobre grupos abelianos.

No entanto, requirir que G/Z sexa un espazo vectorial finito require que o subgrupo de Frattini de G estea contido no centro, e requirir que Z sexa un espazo vectorial unidimensional sobre Z/p Z require que Z teña orde p, así que se G non é abeliano, entón G é extra especial. Se G é extra especial pero non ten expoñente p, entón a construción xeral aplicada ao espazo vectorial simpléctico G/Z non produce un grupo isomorfo a G.

 Grupo de Heisenberg módulo 2 
O grupo de Heisenberg módulo 2 é de orde 8 e é isomorfo ao grupo diédrico D4 (as simetrías dun cadrado). Observe que se

entón

e


Os elementos x e y corresponden a reflexións (con 45° entre elas), mentres que xy e yx corresponden a rotacións de 90°. As outras reflexións son xyx e yxy, e a rotación de 180° é xyxy (= yxyx).

 Álxebra de Heisenberg 
A álxebra de Lie  do grupo de Heisenberg  (sobre os números reais) coñécese como a álxebra de Heisenberg.  
Pódese representar usando o espazo de matrices 3×3 da forma. Proposición 3.26.

con . 

Os seguintes tres elementos forman unha base para :

Estes elementos base cumpren as relacións de conmutación


O nome "grupo de Heisenberg" está motivado polas relacións anteriores, que teñen a mesma forma que as relacións de conmutación canónicas na mecánica cuántica:

onde  é o operador de posición,  é o operador de momento, e  é a constante de Planck.

O grupo de Heisenberg  ten a propiedade especial de que o mapa exponencial é un mapa un a un e sobre entre a álxebra de Lie  e o grupo :. Capítulo 2, Exercicio 9.


 En teoría conforme de campos 
En teoría conforme de campos, o termo álxebra de Heisenberg úsase para referirse a unha xeneralización infinita da álxebra anterior. Está estendida por elementos  con relacións de conmutación

Baixo un reescalado, isto é simplemente un número contablemente infinito de copias da álxebra anterior.

 Dimensións superiores 
Pódense definir grupos de Heisenberg máis xerais  para dimensións superiores no espazo euclidiano, e de xeito máis xeral sobre espazos vectoriais simplécticos. O caso xeral máis sinxelo é o grupo de Heisenberg real de dimensión , para calquera enteiro . Como grupo de matrices,  (ou  para indicar que este é o grupo de Heisenberg sobre o corpo  dos números reais) defínese como o grupo de matrices  con entradas en  e da forma

onde
 a é un vector fila de lonxitude n,
 b é un vector columna de lonxitude n,
 In é a matriz identidade de tamaño n.

 Estrutura do grupo 
Isto é de feito un grupo, como se mostra pola multiplicación:

e


 Álxebra de Lie 
O grupo de Heisenberg é un grupo de Lie simplemente conexo cuxa álxebra de Lie consiste en matrices

onde
 a é un vector fila de lonxitude n, 
 b é un vector columna de lonxitude n,
 0n é a matriz cero de tamaño n.

Se temos que e1, ..., en son a base canónica de Rn e estabelecendo

a álxebra de Lie asociada pódese caracterizar polas relacións de conmutación canónicas

onde p1, ..., pn, q1, ..., qn, z son os xeradores da álxebra.

En particular, z é un elemento central da álxebra de Lie de Heisenberg. Nótese que a álxebra de Lie do grupo de Heisenberg é nilpotente.

 Mapa exponencial 
Sexa 

que cumpre . O mapa exponencial avalíase como

O mapa exponencial de calquera álxebra de Lie nilpotente é un difeomorfismo entre a álxebra de Lie e o único grupo de Lie asociado conexo e simplemente conexo.

Estas conclusións (agás as afirmacións que se refiren á dimensión e ao grupo de Lie) aplícase tamén ao substituírmos R por calquera anel conmutativo A. O grupo correspondente denótase como Hn(A).

Baixo a suposición adicional de que o primo 2 é invertíbel no anel A, o mapa exponencial tamén está definido, xa que se reduce a unha suma finita e ten a forma anterior (por exemplo, A podería ser un anel Z/p Z cun primo impar p ou calquera corpo de característica 0).

 Teoría de representacións 

A teoría da representación unitaria do grupo de Heisenberg é relativamente sinxela, posteriormente xeneralizada pola teoría de Mackey, e foi a motivación para a súa introdución na física cuántica, como se discute a continuación.

Para cada número real non nulo , podemos definir unha representación unitaria irredutíbel  de  que actúa sobre o espazo de Hilbert  mediante a fórmula. Proposición 14.7.


Esta representación coñécese como a representación de Schrödinger. 

A motivación para esta representación é a acción dos operadores de posición e momento coa función exponencial na mecánica cuántica. O parámetro  describe traslacións no espazo de posición, o parámetro  describe translacións no espazo de momento, e o parámetro  proporciona un factor de fase global. O factor de fase é necesario para obter un grupo de operadores, xa que as translacións no espazo de posición e as translacións no espazo de momento non conmutan.

O resultado clave é o teorema de Stone-von Neumann, que afirma que toda representación unitaria irredutíbel (fortemente continua) do grupo de Heisenberg na que o centro actúa non trivialmente é equivalente a  para algún .. Teorema 14.8. Alternativamente, que todas son equivalentes á álxebra de Weyl (ou álxebra CCR) sobre un espazo simpléctico de dimensión 2n.

Dado que o grupo de Heisenberg é unha extensión central unidimensional de , as súas representacións unitarias irredutíbeis pódense ver como representacións unitarias proxectivas irredutíbeis de . Conceptualmente, a representación dada anteriormente constitúe o equivalente mecánico-cuántico do grupo de simetrías de translación no espazo de fase clásico, . O feito de que a versión cuántica sexa só unha representación proxectiva de  suxírese xa ao nivel clásico. Os xeradores hamiltonianos das translacións no espazo de fase son as funcións de posición e momento. O espazo abranguido por estas funcións non forma unha álxebra de Lie baixo o corchete de Poisson, xa que  Máis ben, o espazo abranguido polas funcións de posición e momento e as constantes forma unha álxebra de Lie baixo o corchete de Poisson. Esta álxebra de Lie é unha extensión central unidimensional da álxebra de Lie conmutativa , isomorfa á álxebra de Lie do grupo de Heisenberg.

 Sobre espazos vectoriais simplécticos 
A abstracción xeral dun grupo de Heisenberg constrúese a partir de calquera espazo vectorial simpléctico.Hans Tilgner, "A class of solvable Lie groups and their relation to the canonical formalism ", Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, 13  no. 2 (1970), pp. 103-127.  Por exemplo, sexa (V, ω) un espazo vectorial simpléctico real de dimensión finita (así que ω é unha forma bilinear antisimétrica non dexenerada sobre V).  O grupo de Heisenberg H(V) sobre (V, ω) (ou simplemente V para abreviar) é o conxunto V×R dotado da lei de grupo


O grupo de Heisenberg é unha extensión central do grupo aditivo V.  Así, hai unha secuencia exacta


Calquera espazo vectorial simpléctico admite unha base de Darboux {ej, fk}1 ≤ j,k ≤ n que cumpre ω(ej, fk) = δjk e onde 2n é a dimensión de V (a dimensión de V é necesariamente par).  En termos desta base, cada vector descomponse como


Os qa e pa son  coordenada canónicas conxugadas.

Se {ej, fk}1 ≤ j,k ≤ n é unha base de Darboux para V, entón sexa {E} unha base para R, e {ej, fk, E}1 ≤ j,k ≤ n é a base correspondente para V×R.  Un vector en H(V) vén dado entón por

e a lei de grupo convértese en


Dado que a variedade subxacente do grupo de Heisenberg é un espazo linear, os vectores na álxebra de Lie pódense identificar canonicamente cos vectores no grupo.  A álxebra de Lie do grupo de Heisenberg vén dada pola relación de conmutación

ou escrita en termos da base de Darboux

e todos os demais conmutadores son nulos.

Tamén é posíbel definir a lei de grupo dun xeito diferente pero que produce un grupo isomorfo ao que acabamos de definir. Para evitar confusións, usaremos u no canto de t, así que un vector vén dado por

e a lei de grupo é


Un elemento do grupo 

pódese expresar entón como unha matriz
  ,
o que proporciona unha representación matricial fiel de H(V). O u nesta formulación está relacionado co t na nosa formulación anterior mediante , de xeito que o valor de t para o produto vén dado por
 ,
como antes.

O isomorfismo co grupo que usa matrices triangulares superiores baséase na descomposición de V nunha base de Darboux, o que equivale a unha elección de isomorfismo V ≅ U ⊕ U*. Aínda que a nova lei de grupo produce un grupo isomorfo ao dado anteriormente, o grupo con esta lei ás veces chámase grupo de Heisenberg polarizado como recordatorio de que esta lei de grupo depende dunha elección de base (unha escolla dun subespazo de Lagrange de V é unha polarización).

 Conexión coa álxebra de Weyl 

A álxebra de Lie  do grupo de Heisenberg describiuse anteriormente, (1), como unha álxebra de Lie de matrices. O teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt aplícase para determinar a álxebra envolvente universal . Entre outras propiedades, a álxebra envolvente universal é unha álxebra asociativa na que  se mergulla inxectivamente.

Segundo o teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt, é así o espazo vectorial libre xerado polos monomios

onde os expoñentes son todos non negativos.

En consecuencia,  consiste en polinomios reais 

coas relacións de conmutación

A álxebra  está estreitamente relacionada coa álxebra de operadores diferenciais sobre  con coeficientes polinómicos, xa que calquera operador ten unha representación única na forma


Esta álxebra chámase álxebra de Weyl. A álxebra de Weyl Wn é un cociente de  que se pode ver a partir das representacións anteriores; é dicir, mediante a aplicación


 Aplicacións 

 Parametrización de Weyl da mecánica cuántica 

A aplicación que levou a Hermann Weyl a unha realización explícita do grupo de Heisenberg foi a pregunta de por que a imaxe de Schrödinger e a imaxe de Heisenberg son fisicamente equivalentes. Abstractamente, a razón é o teorema de Stone-von Neumann: hai unha única representación unitaria coa acción dada do elemento central da álxebra de Lie z, ata unha equivalencia unitaria: os elementos non triviais da álxebra son todos equivalentes aos operadores de posición e momento habituais.

Así, a imaxe de Schrödinger e a imaxe de Heisenberg son equivalentes (só son formas diferentes de realizar esta representación esencialmente única).

 Representación theta 

O mesmo resultado de unicidade foi usado por David Mumford para os grupos de Heisenberg discretos, na súa teoría de ecuacións que definen variedades abelianas. Esta é unha gran xeneralización do enfoque usado nas funcións elípticas de Jacobi, que é o caso do grupo de Heisenberg módulo 2, de orde 8. O caso máis sinxelo é a representación theta do grupo de Heisenberg, do que o caso discreto dá a función theta.

 Análise de Fourier 
O grupo de Heisenberg tamén aparece na análise de Fourier, onde se usa nalgunhas formulacións do teorema de Stone-von Neumann. Neste caso, o grupo de Heisenberg pódese entender como actuando sobre o espazo de funcións de integrais cadradas; o resultado é unha representación dos grupos de Heisenberg ás veces chamada representación de Weyl.

 Como unha variedade subriemanniana 
miniatura|dereita|Unha animación dunha xeodésica no grupo de Heisenberg
O grupo de Heisenberg tridimensional H3(R) sobre os reais tamén se pode entender como unha variedade suave, e especificamente, un exemplo sinxelo dunha variedade subriemanniana.Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), (2002) American Mathematical Society, . Dado un punto p = (x, y, z) en R3, defínese unha 1-forma diferencial Θ neste punto como


Esta 1-forma pertence ao fibrado cotanxente de R3; é dicir,

é un mapa sobre o fibrado tanxente.  Sexa


Pódese ver que H é un subfibrado do fibrado tanxente TR3.  Unha cométrica sobre H vén dada pola proxección de vectores no espazo bidimensional estendido por vectores nas direccións x e y.  É dicir, dados os vectores  e  en TR3, o produto interno vén dado por


A estrutura resultante converte H na variedade do grupo de Heisenberg. Un marco ortonormal na variedade vén dado polos campos vectoriais de Lie

que cumpren as relacións [X, Y] = Z e [X, Z] = [Y, Z] = 0. Como campos vectoriais de Lie, forman unha base invariante pola esquerda para a acción do grupo.  As xeodésicas na variedade son espirais, proxectándose en círculos en dúas dimensións. É dicir, se

é unha curva xeodésica, entón a curva  é un arco dunha circunferencia, e

coa integral limitada ao plano bidimensional. É dicir, a altura da curva é proporcional á área do círculo subtendido polo arco de circunferencia, o que se deduce polo teorema de Green.

 Grupo de Heisenberg dun grupo abeliano localmente compacto 
É posible definir de forma máis xeral o grupo de Heisenberg dun grupo abeliano localmente compacto K, equipado cunha medida de Haar.  Tal grupo ten un dual de Pontrjagin , formado por todos os caracteres continuos con valores en  sobre K, que tamén é un grupo abeliano localmente compacto se está dotado da topoloxía compacta-aberta.  O grupo de Heisenberg asociado ao grupo abeliano localmente compacto K é o subgrupo do grupo unitario de  xerado por translacións de K e multiplicacións por elementos de .

En máis detalle, o espazo de Hilbert  consiste en funcións complexas integrábeis cadradas  sobre K.  As translacións en K forman unha representación unitaria de K como operadores sobre :

para .  O mesmo ocorre coas multiplicacións por caracteres:

para .  Estes operadores non conmutan, e no seu lugar cumpren

a multiplicación por un número complexo de módulo unitario fixo.

Así, o grupo de Heisenberg  asociado a K é un tipo de extensión central de , mediante unha secuencia exacta de grupos:


Os grupos de Heisenberg máis xerais descríbense mediante 2-cociclos no grupo de cohomoloxía .  A existencia dunha dualidade entre  e  dá lugar a un cociclo canónico, pero xeralmente hai outros.

O grupo de Heisenberg actúa de forma irredutíbel sobre . De feito, os caracteres continuos separan puntos así que calquera operador unitario de  que conmute con eles é un multiplicador . Mais conmutar con translacións implica que o multiplicador é constante.Este argumento aparece nun contexto lixeiramente diferente en 

Unha versión do teorema de Stone-von Neumann, demostrada por George Mackey, cúmprese para o grupo de Heisenberg .  A transformada de Fourier é o único entrelazador entre as representacións de  e .  Véxase a discusión en teorema de Stone-von Neumann#Relación coa transformada de Fourier para máis detalles.

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 







 Outros artigos 
 Transformada de Wigner-Weyl
 Teorema de Stone-von Neumann
 Representación proxectiva
 Conxectura de geometrización

 Ligazóns externas 
 Groupprops, The Group Properties Wiki  Unitriangular matrix group UT(3,p)

Categoría: Matrices
Categoría: Teoría de grupos