Matriz nilpotente

En álxebra linear, unha matriz nilpotente é unha matriz cadrada N tal que

para algún enteiro . O  máis pequeno deste tipo chámase índice de ,  ou ás veces o grao de .

De xeito máis xeral, unha transformación nilpotente é unha transformación linear  dun espazo vectorial tal que  para algún enteiro positivo  (e, polo tanto,  para todos os ).

Estes dous conceptos son casos especiais dun concepto máis xeral de nilpotencia que se aplica aos elementos dos aneis.

Exemplos
Exemplo 1
A matriz

é nilpotente de índice 2, xa que .

Exemplo 2
De forma máis xeral, calquera matriz triangular de  dimensións con ceros ao longo da diagonal principal é nilpotente, con índice . Por exemplo, a matriz

é nilpotente, con

O índice de  é polo tanto 4.

Exemplo 3
Aínda que os exemplos anteriores teñen un gran número de entradas cero, unha matriz nilpotente típica non o ten. Por exemplo,

aínda que a matriz non ten entradas cero.

Exemplo 4
Alén diso, calquera matriz da forma

como

ou

elévase ao cadrado dando cero.

Exemplo 5
Se cadra algúns dos exemplos máis sorprendentes de matrices nilpotentes sexan as matrices cadradas  da forma:

As primeiras delas son:

Estas matrices son nilpotentes mais non hai entradas cero en ningunha das súas potencias inferiores ao índice.

Exemplo 6
Considere o espazo linear de polinomios de grao limitado. O operador derivada é un mapa linear. Sabemos que ao aplicar a derivada a un polinomio diminúe o seu grao en un, polo que ao aplicalo de forma iterativa, acabaremos por obter cero. Polo tanto, en tal espazo, a derivada é representábel por unha matriz nilpotente.

Caracterización
Para unha matriz cadrada , , con entradas reais (ou complexas), as seguintes afirmacións son equivalentes:
  é nilpotente.
 O polinomio característico para  é .
 O polinomio mínimo para  é  para algún número enteiro positivo .
 O único eigenvalor complexo para  é 0.
O último teorema é certo para matrices sobre calquera corpo de característica 0 ou característica suficientemente grande. (cf. Identidades de Newton)

Este teorema ten varias consecuencias, incluíndo:
 O índice dunha matriz nilpotente  sempre é menor ou igual a . Por exemplo, cada matriz   nilpotente elevada ao cadrado é cero.
 O determinante e a traza dunha matriz nilpotente son sempre cero. En consecuencia, unha matriz nilpotente non pode ser invertíbel.
 A única matriz diagonalizábel nilpotente é a matriz cero.

Ver tamén: Descomposición de Jordan-Chevalley.

Clasificación
Considere a matriz de desprazamento  (superior):

Esta matriz ten 1 ao longo da superdiagonal e 0s no resto da matriz. Como transformación linear, a matriz de desprazamento "despraza" as compoñentes dun vector unha posición cara á esquerda, aparecendo un cero na última posición:

Esta matriz é nilpotente con grao , e é a matriz nilpotente canónica.

Especificamente, se  é calquera matriz nilpotente, entón  é semellante a unha matriz diagonal en bloques da forma

onde cada un dos bloques  é unha matriz de desprazamento (posibelmente de diferentes tamaños). Esta forma é un caso especial da forma canónica de Jordan para matrices.

Por exemplo, calquera matriz 2×2 nilpotente distinta de é semellante á matriz

É dicir, se  é calquera matriz 2×2 
nilpotente distinta de cero, entón existe unha base b1,b2 de tal forma que Nb1=0 e Nb2=b1.

Este teorema de clasificación cúmprese para matrices sobre calquera corpo. (Non é necesario que o corpo estea pechado alxebricamente.)

Bandeira de subespazos
Unha transformación nilpotente  en  determina naturalmente unha bandeira de subespazos

e unha sinatura

A sinatura caracteriza  ata unha transformación linear invertíbel. A maiores, satisfai as desigualdades

Pola contra, calquera secuencia de números naturais que satisfaga estas desigualdades é a sinatura dunha transformación nilpotente.

Propiedades adicionais

 Se  é nilpotente con índice , entón  e  son invertíbeis, onde  é a matriz identidade . As inversas veñen dadas por


 Se  é nilpotente, entón


 Pola contra, se  é unha matriz e

 para todos os valores de , entón  é nilpotente. De feito, dado que  é un polinomio de grao , abonda con ter este valor para  valores distintos de .
 Toda matriz singular pódese escribir como produto de matrices nilpotentes.R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol. 56, No. 3
  Unha matriz nilpotente é un caso especial dunha matriz converxente.

Xeneralizacións
Un operador linear  é localmente nilpotente se para cada vector , existe un  tal que

Para os operadores nun espazo vectorial de dimensións finitas, a nilpotencia local é equivalente á nilpotencia.

Notas

 Véxase tamén 
Bibliografía



 Outros artigos 
 Matriz (matemáticas).
 Nilpotente.
 Descomposición de Jordan-Chevalley.
 Ligazóns externas 
 Nilpotent matrix e [http://planetmath.org/nilpotenttransformation transformación nilpotente  en PlanetMath.

Categoría:Matrices