Fórmulas de Viète

En matemáticas, as fórmulas de Viète (frecuentemente escrito Vieta) relacionan os coeficientes dun polinomio coas sumas e produtos das súas raíces. Levan o nome de François Viète.

 Fórmulas básicas 
Calquera polinomio xeral de grao n :
(sendo os coeficientes números reais ou complexos e ) ten  raíces complexas (non necesariamente distintas)   polo teorema fundamental da álxebra. As fórmulas de Viète relacionan os coeficientes polinómicos con sumas con signo de produtos das raíces   do seguinte xeito:

As fórmulas de Viète pódense escribir equivalentemente como 
 para   
(os índices  ordénanse en orde crecente para garantir que cada produto de  raíces se use exactamente unha vez).

Os lados esquerdos das fórmulas de Viète son os polinomios simétricos elementais das raíces.

O sistema de Viète  pódese resolver polo método de Newton mediante unha fórmula explícita iterativa sinxela, o método Durand-Kerner.

 Xeneralización a aneis 
As fórmulas de Viète úsanse con frecuencia con polinomios con coeficientes en calquera dominio integridade . Daquela, os cocientes  pertencen ao corpo de fraccións de  (e posibelmente estean no propio  se  é invertíbel en ) e as raíces  tómanse nunha extensión alxebricamente pechada. Normalmente,  é o anel dos enteiros, o corpo das fraccións é o corpo dos números racionais e o corpo alxebricamente pechado é o dos números complexos.

As fórmulas de Viète son entón útiles porque proporcionan relacións entre as raíces sen ter que calculalas.

Para polinomios sobre un anel conmutativo que non é un dominio de integridade, as fórmulas de Viète só son válidas cando  non é un divisor de cero e  factores como .

Por exemplo, no anel dos enteiros módulo 8, o polinomio cadrático  ten catro raíces: 1, 3, 5 e 7. As fórmulas de Viète non son certas se, por exemplo,  e , porque . No entanto,  factoriza tamén como  e tamén como , e as fórmulas de Vieta cúmprense se estabelecemos calquera das dúas  e  ou  e .

 Exemplo 
As fórmulas de Viète aplicadas a polinomios cadráticos e cúbicos:

As raíces  do polinomio cadrático  satisfán

A primeira destas ecuacións pódese usar para atopar o mínimo (ou máximo) de .

As raíces  do polinomio cúbico  satisfán 

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Identidades de Newton
 Teorema de Gauss-Lucas
 Teorema das raíces racionais
 Polinomio simétrico e Polinomio simétrico elemental

 Ligazóns externas 


Categoría:Polinomios