Dominio de integridade

En matemáticas, un dominio de integridade é un anel conmutativo distinto de cero no que o produto de dous elementos distintos de cero é distinto de cero.   Os dominios de integridade son xeneralizacións do anel de enteiros e proporcionan un escenario natural para estudar a divisibilidade. Nun dominio de integridade, todo elemento distinto de cero a ten a propiedade de cancelación, é dicir, se , unha igualdade  implica .

Algúns tipos específicos de dominios de integridade danse coa seguinte cadea de inclusión de clases:

 Definición 
Un dominio de integridade é un anel conmutativo distinto de cero no que o produto de dous elementos calquera é distinto de cero. De forma equivalente:

 Un dominio de  integridade é un anel conmutativo distinto de cero sen divisores de cero distintos de cero.
 Un dominio de  integridade é un anel conmutativo no que o ideal cero {0} é un ideal primo.
 Un dominio de  integridade é un anel conmutativo distinto de cero para o cal cada elemento distinto de cero é cancelable baixo a multiplicación.
 Un dominio de  integridade é un anel para o cal o conxunto de elementos distintos de cero é un monoide conmutativo baixo a multiplicación (porque un monoide debe estar pechado baixo a multiplicación).
 Un dominio de  integridade é un anel conmutativo distinto de cero no que para cada elemento distinto de cero r, a función que mapea cada elemento x do anel co produto xr é inxectiva. Os elementos r con esta propiedade chámanse regulares, polo que é equivalente a esixir que todos os elementos do anel non nulos sexan regulares.
 Un dominio de  integridade é un anel isomorfo a un subanel dun corpo. (Dado un dominio de  integridade, pódese mergullar no seu corpo de fraccións.)

 Exemplos 

 O exemplo arquetípico é o anel  de tódolos enteiros.
 Todo corpo é un dominio de integridade. Por exemplo, o corpo  de todos os números reais é un dominio de integridade. Por outra banda, cada  dominio de integridade de Artin é un corpo. En particular, todos os dominios de integridade finitos son corpos finitos (en xeral, polo teorema de Wedderburn, dominios finitos son corpos finitos). O anel de números enteiros  proporciona un exemplo dun dominio de integridade infinito non artiniano que non é un corpo, posuíndo secuencias infinitas descendentes de ideais como:

 Os aneis de polinomios son dominios de integridade se os coeficientes veñen dun dominio de integridade. Por exemplo, o anel  de todos os polinomios nunha variábel con coeficientes enteiros é un dominio de integridade; así é o anel  de todos os polinomios en n-variables con coeficientescomplexos.
 O anel  é un dominio de integridade para calquera número enteiro non cadrado . Se , entón este anel é sempre un subanel de , se non, é un subanel de 
 O anel de enteiros p-ádicos  é un dominio de integridade.
 O anel de serie de potencias formais dun dominio de integridade é un dominio de integridade.
 Se  é un subconxunto aberto conexo do plano complexo , entón o anel  consistente en tódalas funcións holomorfas é un dominio de integridade. O mesmo é certo para os aneis de funcións analíticas sobre subconxuntos abertos  de variedades analíticas conexas.
 A anel local regular é un dominio de integridade. De feito, un anel local regular é un dominio de factorización única (UFD).

 Non exemplos 
Os seguintes aneis non son dominios de integridade.

 O anel cero (nese anel  ).
 O anel cociente  cando m é un número composto. De feito, se escollemos unha factorización adecuada  (onde   e  non son iguais a  ou ). Temos  e  pero .
 O produto de dous aneis conmutativos diferentes de cero. Nun produto como este , temos .
 O anel cociente  para calquera . As imaxes de  e  son diferentes de cero, mentres que o seu produto é 0 neste anel.
 O anel de  matrices n × n sobre calquera anel non cero cando n ≥ 2. Se  e  son matrices tal que a imaxe de  está contida no kernel de , entón . Por exemplo, isto ocorre para .
 O anel cociente  para calquera corpo  e calquera polinomio non constante . As imaxes de  e  neste anel cociente son elementos diferentes de cero cuxo produto é 0. Este argumento mostra, de forma equivalente, que  non é un ideal primo. A interpretación xeométrica deste resultado é que os ceros de  forman un conxunto alxébrico afín que non é irredutíbel (é dicir, non é un variedade alxébrica) en xeral. O único caso no que este conxunto alxébrico pode ser irredutíbel é cando  é a potencia dun polinomio irredutíbel, que define o mesmo conxunto alxébrico.
 O anel de funcións continuas sobre o intervalo unitario. Considere as funcións


 Nigunha de  e  é cero en todas as partes, pero  si que o é.

 Divisibilidade, elementos primos e elementos irredutíbeis 
Nesta sección, R é un dominio de integridade.

Dados os elementos a e b de R, dise que a divide a b, ou que a é un divisor de b, ou que b é un múltiplo de a, se existe un elemento x en R tal que  .

As unidades de R son os elementos que dividen a 1; que son precisamente os elementos invertíbeis en R. As unidades dividen todos os demais elementos.

Se a divide a b e b divide a a, entón a e b son elementos asociados. De forma equivalente, a e b son asociados se  para algunha unidade u.

Un elemento irredutíbel é unha non unidade distinta de cero que non se pode escribir como produto de dúas non unidades.

Un p non unitario distinto de cero é un elemento primo se, sempre que p divide un produto ab, entón p divide a ou p divide b. De forma equivalente, un elemento p é primo se e só se o ideal principal (p) é un ideal primo distinto de cero.

Tanto as nocións de elementos irredutíbeis como de elementos primos xeneralizan a definición ordinaria de números primos no anel  se se consideran primos os primos negativos.

Todo elemento primo é irredutíbel. En xeral a inversa non é verdade: por exemplo, no anel de enteiros cadráticos  o elemento 3 é irredutíbel (se factorizase de forma non trivial, cada un dos factores debería ter a norma 3, mais non hai elementos de norma 3 xa que  non ten solucións enteiras), mais non é primo (xa que 3 divide  sen dividir ningún dos factores). Nun dominio de factorización única (UFD) un elemento irredutíbel é un elemento primo.

Aínda que a  factorización única non se cumpre en , si que hai unha factorización única dos ideais. Vexa o teorema de Lasker–Noether.

 Propiedades 

 Un anel conmutativo R é un dominio de integridade se e só se o ideal (0) de R é un ideal primo.
 Se R é un anel conmutativo e P é un ideal en R, entón o anel cociente R/P é un dominio de integridade se e só se P é un ideal primo.
 Sexa R un dominio de integridade. Entón os aneis polinómicos sobre R (en calquera número de indeterminados) son dominios de integridade. Este é o caso en particular se R é un corpo.
 A propiedade de cancelación cúmprese en calquera dominio de integridade: para calquera a, b e c nun dominio de integridade, se  e  entón . Outra forma de afirmalo é que a función  é inxectiva para calquera a  distinto de cero no dominio.
 A propiedade de cancelación cúmprese para os ideais en calquera dominio de integridade: se , entón x é cero ou .
 Un dominio de integridade é igual á intersección das súas localizacións nos ideais máximos.
 Un límite indutivo de dominios de integridade é un dominio de integridade.
 Se A, B son dominios de integridade sobre un corpo alxebraicamente pechado k, entón  é un dominio de integridade. Esta é unha consecuencia do nullstellensatz de Hilbert (teorema dos ceros de Hilbert), e en xeometría alxébrica, implica a afirmación de que o anel de coordenadas do produto de dúas variedades alxébricas afines sobre un corpo alxebricamente pechado é tamén un dominio de integridade.

 Corpo de fraccións 
O corpo das fraccións K dun dominio de integridade R é o conxunto de fraccións a/b con a e b en R e  módulo unha relación de equivalencia adecuada, equipada coas operacións habituais de suma e multiplicación.

 Xeometría alxébrica 
En xeometría alxébrica, un anel de coordenadas dun conxunto alxébrico afín é un dominio de integridade se e só se o conxunto alxébrico é unha variedade alxébrica.

De forma máis xeral, un anel conmutativo é un dominio de integradade se e só se o seu espectro é un esquema afín de integridade.

 Característica e homomorfismos 
A característica dun dominio de integridade é 0 ou un número primo.

Se R é un dominio integridade da característica prima p, entón o endomorfismo de Frobenius  é inxectivo.
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
















 Outros artigos 
 Norma de Dedekind–Hasse norm, a estrutura adicional necesaria para que un dominio de integridade sexa principal
 Propiedade do produto cero
 Ligazóns externas 


Categoría:Teoría de aneis