Números de Euler

En matemáticas, os números de Euler son unha secuencia En de enteiros     definida pola expansión da serie de Taylor

  ,

onde  é a función coseno hiperbólica. Os números de Euler están relacionados cos polinomios de Euler,  avaliados no valor , a saber:



Os números de Euler aparecen nas expansións da serie de Taylor das funcións secante e secante hiperbólica. Esta última é a función na definición. Tamén ocorren en combinatoria, concretamente cando se conta o número de permutacións alternadas dun conxunto cun número par de elementos.

 Exemplos 
Os números de Euler impares son todos cero. Os de índice par      teñen signos alternados. Algúns valores son:

 Fórmulas explícitas 

 En termos de números de Stirling do segundo tipo 
As dúas fórmulas seguintes expresan os números de Euler en termos de números de Stirling do segundo tipo:




onde  denota os números de Stirling do segundo tipo, e  denota o factorial ascendente.

 Como dobre suma 
As dúas fórmulas seguintes expresan os números de Euler como sumas dobres




 Como suma iterada 
Unha fórmula explícita para os números de Euler é:


onde  denota a unidade imaxinaria con .

 Como suma sobre particións 
O número de Euler  pódese expresar como unha suma sobre as particións pares de ,



así como unha suma sobre as particións impares de , 



onde en ambos os casos  e



é un coeficiente multinomial. Os deltas de Kronecker nas fórmulas anteriores restrinxen as sumas sobre os s a  e a , respectivamente.

Como exemplo,



 Como determinante 
 is given by the determinant



 Como integral 
 is also given by the following integrals:



 Límite inferior 
Os números de Euler medran bastante rapidamente para índices grandes, xa que teñen o seu límite inferior



 Números en zigzag de Euler 
A serie de Taylor  é



onde  son os números en zigzag de Euler, comezando por

 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 19037573145, 19037573151, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832,...     

Para todos os  pares temos



onde  é o número de Euler.  

Para todo  impar temos,



onde  son os números de Bernoulli.

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 Outros artigos 
 Número de Bernoulli.
 Constante de Euler-Mascheroni
 Ligazóns externas 



Categoría:Teoría de números
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas