Dominio de ideais principais

En matemáticas, un dominio de ideais principais, ou PID, é un dominio de integridade (é dicir, un anel conmutativo sen divisores de cero distintos de cero) no que todo ideal é principal (é dicir, está formado polos múltiplos dun só elemento). Algúns autores como Bourbaki fan referencia aos PID como aneis principais.

Os dominios de ideais principais son obxectos matemáticos que se comportan como os números enteiros, en relación á divisibilidade: calquera elemento dun PID ten unha factorización única en elementos primos (polo que cumpren con un análogo do teorema fundamental da aritmética); dous elementos calquera dun PID teñen un máximo común divisor (aínda que quizais non sexa posíbel atopalo usando o algoritmo euclidiano). Se  e  son elementos dun PID sen divisores comúns, entón cada elemento do PID pode escribirse na forma , etc.

Os dominios de ideais principais son noetherianos, son dominios de integridade pechados, son dominios de factorización única e dominios de Dedekind. Todos os dominios euclidianos e todos os corpos son dominios de ideais principais.

Os dominios de ideais principais aparecen na seguinte cadea de inclusións de clases:

 Exemplos 

 : calquera corpo,
  : o anel de enteiros,
 : aneis de polinomios nunha variábel con coeficientes nun corpo. (O contrario tamén é certo, é dicir, se  é un PID entón  é un corpo). A maiores, un anel de serie de potencias formais nunha variábel sobre un corpo é un PID xa que cada ideal é da forma  ,
 : o anel de enteiros gaussianos, 
  (onde  é unha raíz cúbica primitiva de 1): os enteiros de Eisenstein,
 Calquera anel de valoración discreta, por exemplo o anel de enteiros -ádicos .

 Non exemplos 

  é un exemplo de anel que non é un dominio de factorización única, xa que  Polo tanto, non é un dominio de ideais principais porque os dominios de ideais principais son dominios de factorización única. Alén diso,  é un ideal que non pode ser xerado por un só elemento.
 : o anel de todos os polinomios con coeficientes enteiros. Non é principal porque  é un ideal que non pode ser xerado por un só polinomio.
  o anel de polinomios en polo menos dúas variábeis sobre un anel  non é principal, xa que o ideal  non é principal.
 A maioría dos aneis de enteiros alxébricos non son dominios de ideais principais. Esta é unha das principais motivacións detrás da definición de Dedekind dos dominios de Dedekind, que permite substituír a factorización única de elementos por unha factorización única de ideais. En particular, moitos  para a raíz p-ésimo primitiva da unidade  non son dominios de ideais principais. O número de clase dun anel de enteiros alxébricos dá unha medida de "a que distancia" está o anel de ser un dominio de ideais principais.

 Módulos 
O resultado clave é o teorema da estrutura: se R é un dominio de ideais principais e M é un módulo R finitamente xerado, entón  é unha suma directa de módulos cíclicos, é dicir, módulos cun xerador. Os módulos cíclicos son isomorfos a  para algún   (nótese que  pode ser igual a , nese caso  é ).

Se M é un módulo libre sobre un dominio de ideais principais R, daquela cada submódulo de M é de novo libre. Isto non se cumpre para módulos sobre aneis arbitrarios, como mostra o exemplo  de módulos sobre .

 Propiedades 
Nun dominio de ideais principais, dous elementos calquera  teñen un máximo común divisor, que se pode obter como xerador do ideal  .

Todos os dominios euclidianos son dominios de ideais principais, mais a inversa non é verdade. Un exemplo dun dominio de ideais principais que non é un dominio euclidiano é o anel ,Wilson, Jack C. "A Principal Ring that is Not a Euclidean Ring." Math. Mag 46 (Jan 1973) 34-38 George Bergman, A principal ideal domain that is not Euclidean - developed as a series of exercises PostScript file isto foi probado por Theodore Motzkin e foi o primeiro caso coñecido. Neste dominio non existen  e , con , que consigan a igualdade , a pesar de que  e  teñen un máximo común divisor de .

Todo dominio de ideais principais é un dominio de factorización única (UFD). Non se verifica a inversa xa que para calquera UFD , o anel  de polinomios en 2 variábeis é un UFD pero non é un PID. (Para demostrar isto pódese ver o ideal xerado por  Non é o anel completo xa que non contén polinomios de grao 0, pero non pode ser xerado por ningún elemento único.)

 Todo dominio de ideais principal é noetheriano.
 En todos os aneis unitarios, os ideais maximais son primos. Nos dominios de ideais principais cúmprese un caso inverso: todo ideal primo distinto de cero é máximal.
 Todos os dominios de ideais principais son dominios de integridade pechados.

As tres afirmacións anteriores dan a definición dun dominio de Dedekind e, polo tanto, todo dominio de ideais principais é un dominio de Dedekind.

Sexa A un dominio de integridade, as seguintes afirmacións son equivalentes.

 A é un PID.
 Todo ideal primo de A é principal.
 A é un dominio de Dedekind que é un UFD.
 Todo ideal finitamente xerado de A é principal (é dicir, A é un dominio de Bézout) e A satisfai a condición de cadea ascendente nos ideais principais.
 A admite unha norma de Dedekind–Hasse.

Calquera norma euclidiana é unha norma de Dedekind-Hasse; así,(5) mostra que un dominio euclidiano é un PID. (4) pódese comparar con:

 Un dominio de integridade é un UFD se e só se é un dominio GCD (é dicir, un dominio onde cada dous elementos teñen un máximo común divisor) que satisfai a condición de cadea ascendente nos ideais principais.

Un dominio de integridade é un dominio de Bézout se e só se dous elementos nel teñen un mcd que é unha combinación linear dos dous. Un dominio de Bézout é, polo tanto, un dominio GCD, e (4) dá outra proba de que un PID é un UFD.

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V. V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Kluwer Academic Publishers, 2004. 
 John B. Fraleigh, Victor J. Katz. A first course in abstract algebra. Addison-Wesley Publishing Company. 5 ed., 1967. 
 Nathan Jacobson. Basic Algebra I. Dover, 2009. 
 Paulo Ribenboim. Classical theory of algebraic numbers. Springer, 2001. 

 Outros artigos 
 Dominio de integridade.
 Algoritmo de Euclides.
 Ideal (teoría dos aneis).
 Ligazóns externas 
 Principal ring on MathWorld

Categoría:Teoría de aneis