Número p-ádico

En teoría de números, dado un número primo , os números -ádicos forman unha extensión dos números racionais que é distinta dos números reais, aínda que con algunhas propiedades similares; os números -ádicos poden escribirse nunha forma similar aos números usuais (unha tira de números en base 10 posibelmente infinita), pero con díxitos baseados nun número primo  en lugar do número dez, e estendéndose cara á esquerda e non cara á dereita.

Formalmente, dado un número primo , un número -ádico pódese definir como unha serie formal de potencias



onde  é un número enteiro (que pode ser negativo), e cada   é un número enteiro tal que  

Os enteiros -ádicos () son as series só con potencias positivas  Cando as series que representan os números -ádicos teñen termos negativos entón temos os racionais -ádicos ().

Todo número racional pode expresarse de forma única como a suma dunha serie, como se indica arriba, con respecto ao valor absoluto -ádico. Isto permite considerar os números racionais como números -ádicos especiais e, alternativamente, definir os números -ádicos como o completamento dos números racionais para o valor absoluto -ádico, exactamente como os números reais son o completamento dos números racionais para o valor absoluto habitual.

 Motivación 
En liñas xerais, a aritmética modular módulo un número enteiro positivo  consiste en "aproximar" cada número enteiro polo resto da súa división por , chamado o seu residuo módulo . A principal propiedade da aritmética modular é que o residuo módulo  do resultado dunha sucesión de operacións sobre números enteiros é o mesmo que o resultado da mesma sucesión de operacións sobre residuos módulo . 

Un método antigo, aínda de uso común, consiste en utilizar varios módulos pequenos que son coprimos por pares e aplicar o teorema chinés do resto para recuperar o resultado módulo o produto dos módulos.

Outro método descuberto por Kurt Hensel consiste en utilizar un módulo primo , e aplicar o lema de Hensel para recuperar de forma iterativa o módulo resultado das potencias de ,  Se o proceso continúa infinitamente, isto proporciona finalmente un resultado que é un número -ádico.

 Notación e exemplos 
Existen varios xeitos de escribir un número -ádico, as tres máis frecuentes son:
 Como unha serie de potencias de .
 Posicional: como unha tira de números que son os coeficientes da serie de potencias
 Como unha secuencia de números que representan o número módulo as potencias de .

Como se comentou na introdución os enteiros -ádicos son os que teñen na serie só potencias positivas () e poden representar números usuais que son enteiros, racionais, irracionais e mesmo complexos. Por outra parte os racionais -ádicos () ao ter potencias negativas, como se verá máis adiante, serían fraccións de .

 Enteiros p-ádicos 
11 en -ádico:Becimal Calculator

  (coincide con base 2)


1/15 en -ádico:

  (neste caso a similitude base 7, , é máis complicada pois sería o complemento en base 7 e temos que -1/15 =  en 7-ádico. A maiores como en p-ádico non ten potencias negativas o número esténdese cara a esquerda mentres que nos racionais usuais esténdese en potencias negativas cara a dereita).
 .

Imos ver un cálculo de  en -ádico:

 Primeiro termo :
Queremos que .
Atopamos que  cumpre porque .

 Segundo termo :
Agora, procuramos  tal que .

por tanto temos  

 Terceiro termo :
Repetimos o proceso para   que satisfaga , lévanos a .
 Logo temos 
Se escribimos este resultado como serie formal de potencias temos (con máis termos):
 Computation in p-adic fields 
Que posicionalmente sería:

esta secuencia é infinita non periódica e como a raíz ten dúas solucións con signo cambiado a outra solución será o complemento a 7 da anterior:


 en -ádico, pódese calcular do mesmo modo que o exemplo anterior:which-is-the-5-adic-number-sqrt-1 MSEon-5-adic-representation-of-square-root-of-1 MSE
 Temos  implica  e podemos seguir ambos os dous camiños.
  ou  (con dous valores igual que acontece nas raíces dos números usuais, e vemos que módulo 5 suman cero).
 Para -1 non existe a raíz cadrada en 7-ádico pois non existe  .

 Racionais p-ádicos 
 en -ádico:
  e 
 Como veremos máis adiante a valoración da fracción é  , por tanto procuramos . 
 E agora resolvemos esa ecuación módulo 5 para obter  , módulo  para obter , etc.
 Así temos  

 Valoración e valor absoluto 
Valoración: Todo número racional distinto de cero pódese escribir  onde ,  e  son números enteiros e nin  nin  son divisíbeis por . O expoñente  está determinado unicamente polo número racional e chámase a súa valoración valoración -ádica. A demostración do lema resulta directamente do teorema fundamental da aritmética. 

Dunha forma simple: obtemos a descomposición en factores primos do numerador e ten unha valoración que ven dada polo expoñente do factor , facemos igual para o denominador e restamos os dous valores (por ese motivo no exemplo  tiña unha valoración , pois  non ten ningún factor  e  ten un factor ).

Valor absoluto: O valor absoluto -ádico dun número -ádico distinto de cero , é  para o número -ádico cero, temos 

Así temos que o valor absoluto -ádico dun número é o recíproco do primo  elevado á súa valoración. Por tanto canto maior sexa na súa descomposición o valor da potencia de  máis pequeno é o seu valor absoluto.

 Definición 
Existen varias definicións equivalentes de números -ádicos. Por exemplo como o completamento dun anel de valoración discreta (ver ), ou o completamento dun espazo métrico (ver ), ou como o límites inversos (ver ).

 Enteiros p-ádicos 
Os enteiros -ádicos son os números -ádicos cunha valoración non negativa.

Un enteiro -ádico pódese representar como unha secuencia



de residuos  mod  para cada enteiro , satisfacendo as relacións de congruencia  para .

Todo número enteiro é un enteiro -ádico. Os números racionais da forma  con  coprimos con  e  tamén son enteiros -ádicos (pola razón de que  ten un inverso multiplicativo módulo  para cada ).

Os números p-ádicos con expoñentes negativos na súa expansión non son enteiros p-ádicos.

Os enteiros -ádicos forman un anel conmutativo, denotado  ou , que ten as seguintes propiedades.

 É un dominio de integridade, xa que é un subanel dun corpo, ou xa que o primeiro termo da representación en serie do produto de dúas series -ádicas non nulas é o produto dos seus primeiros termos.
 As unidades (elementos invertibles) de  son os números -ádicos de valoración cero.
 É un dominio de ideal principal (PID), de xeito que cada ideal é xerado por unha potencia de .
 É un anel local de dimensión un de Krull, xa que os seus únicos ideais primos son o ideal cero e o ideal xerado por , o ideal máximo único.
 É un anel de valoración discreto, xa que isto resulta das propiedades anteriores.
 É o completamento do anel local  que é a localización de  no ideal primo 

A última propiedade proporciona unha definición dos números -ádicos: o corpo dos números -ádicos é o corpo das fraccións do completamento da localización dos enteiros no ideal primo xerado por .

 Propiedades topolóxicas 
A valoración -ádica permite definir un valor absoluto en números -ádicos: o valor absoluto -ádico dun número -ádico distinto de cero  é



onde  é a valoración -ádica de . O valor absoluto -ádico de  é  Este é un valor absoluto que satisfai a desigualdade forte do triángulo xa que, para cada  e  temos

  se e só se 



Máis aínda, se  temos 

Isto fai que os números -ádicos sexan un espazo métrico, e mesmo un espazo ultramétrico, coa distancia -ádica definida por 

Como a métrica se define a partir dunha valoración discreta, cada bóla aberta tamén está pechada. Máis precisamente, a bóla aberta  é igual á bóla pechada  onde  é o menor enteiro tal que  Do mesmo xeito,  onde  é o maior enteiro tal que 

Isto implica que os números -ádicos forman un espazo localmente compacto e os enteiros -ádicos, é dicir, a bóla , forma un espazo compacto.

 Expansión p-ádica dos números racionais 
A expansión decimal dun número racional positivo  é a súa representación como serie



A expansión -ádica dun número racional defínese de xeito similar, pero cun paso de división diferente. Máis precisamente, dado un número primo fixo , todo número racional distinto de cero  pódese escribir unicamente como  onde  é un número enteiro (posiblemente negativo),  e  son enteiros coprimos con  , e  é positivo. O número enteiro  é a valoración -ádica de , denotado  e  é o seu valor absoluto -ádico, denotado  (o valor absoluto é pequeno cando a valoración é grande). O paso da división consiste en

onde  é un número enteiro (posiblemente negativo), e cada   é un número enteiro tal que  Un enteiro -ádico é un número -ádico tal que A expansión -ádica de  é a serie formal de potencias

Se  con , o proceso detense eventualmente cun resto cero; neste caso, a serie complétase con termos finais cun coeficiente cero, e daquela a representación de  coincide coa representación en base-.

O anel cociente  pode identificarse co anel  dos números enteiros módulo  Isto pódese demostrar observando que todo enteiro -ádico, representado pola súa serie -ádica normalizada, é congruente módulo   coa súa suma parcial  cuxo valor é un número enteiro no intervalo  Unha verificación sinxela mostra que isto define un isomorfismo de aneis de  en 





Os números -ádicos forman un corpo chamado corpo de números -ádicos e denotado . Hai un único homomorfismo de corpos dos números racionais nos números -ádicos, que mapea un número racional coa súa expansión -ádica. A imaxe deste homomorfismo identifícase habitualmente co corpo dos números racionais. Isto permite considerar os números -ádicos como unha extensión do corpo dos números racionais, e os números racionais como un subcorpo dos números -ádicos.

O límite inverso dos aneis  defínese como o anel formado polas secuencias  tal que  e  para cada .

Cando se realiza a aritmética nesta notación, os díxitos lévanse á esquerda. Tamén é posible escribir expansións -ádicas para que as potencias de  aumenten de esquerda a dereita e os díxitos sexan levados cara á dereita. Con esta notación de esquerda a dereita a expansión 3-ádica de  é

 Propiedades modulares 
O anel cociente  pódese identificar co anel  dos enteiros [[aritmética modula número enteiro -ádico, representado pola súa serie -ádica normalizada, é congruente módulo  coa súa suma parcial  cuxo valor é un número enteiro no intervalo  Unha verificación sinxela mostra que isto define un isomorfismo de aneis desde  ata 

O límite inverso dos aneis  defínese como o anel formado polas secuencias  tal que  e  para todo .

A correspondencia que mapea unha serie -ádica normalizada coa secuencia das súas sumas parciais é un isomorfismo de aneis de  no límite inverso de  Isto proporciona outra forma de definir os números enteiros -ádicos (ata un isomorfismo).

Esta definición de enteiros -ádicos é especialmente útil para cálculos prácticos, xa que permite construír enteiros -ádicos mediante aproximacións sucesivas.

Por exemplo, para calcular o inverso -ádico (multiplicativo) dun número enteiro, pódese usar o método de Newton, comezando polo inverso módulo ; entón, cada paso de Newton calcula o inverso módulo   a partir do inverso módulo 

O mesmo método pódese usar para calcular a raíz cadrada-ádica dun número enteiro que é un residuo cadrático módulo . Este parece ser o método máis rápido coñecido para comprobar se un enteiro grande é un cadrado: abonda con comprobar se o enteiro dado é o cadrado do valor atopado en . Aplicar o método de Newton para atopar a raíz cadrada require que  sexa maior que o duplo do número enteiro dado, o que se satisfai rapidamente.

O levantamento de Hensel é un método similar que permite "elevar" o módulo de factorización  dun polinomio con coeficientes enteiros a un módulo de factorización  para valores grandes de . Isto úsase habitualmente nos algoritmos de factorización polinómica.

 Cardinalidade 
Tanto  como  son non numerábeis e teñen a cardinalidade do continuo. Para  isto resulta da representación  -ádica, que define unha bixección de  no conxunto de partes  Para  isto resulta da súa expresión como unha unión   
numerabelmente infinita de copias de :


 Principio local-global 
O  principio local-global de Helmut Hasse, é a idea de que se pode atopar unha  solución en enteiros dunha ecuación utilizando o teorema chinés dos restos para unir solucións  módulo potencias de cada número primo diferente. Isto faise examinando a ecuación no completamento dos números racionais: os números reais e os números p-ádicos.Este principio vale, por exemplo, para ecuacións dadas por formas cadráticas, pero falla para polinomios superiores en varias indeterminadas.

 Completamento dos racionais 
Os reais e os números -ádicos son os completamentos dos racionais; tamén é posíbel completar outros corpos, por exemplo os corpos numéricos alxébricos en xeral, dun xeito análogo, como imos ver.

Supoña que D é un dominio de Dedekind e que E é o seu corpo de fraccións. Escollemos un ideal principal distinto de cero P de D. Se x é un elemento distinto de cero de E, entón xD é un ideal fraccional e pódese factorizar de forma única como un produto de potencias positivas e negativas de potencias distintas de cero de ideais principais de D. Escribimos ordP(x) para denotar o expoñente de P nesta factorización, e para calquera opción de número c maior que 1 podemos definir

O completamento con respecto a este valor absoluto |⋅|P é un corpo EP , esta é a xeneralización natural do corpo dos números p-ádicos para esta definición. A elección de c non muda o completamento (diferentes opcións producen o mesmo concepto de secuencia de Cauchy, polo tanto o mesmo completamento). É conveniente, cando o corpo de residuos D/P é finito, tomar como c o tamaño de D/P.

Por exemplo, cando E é un corpo numérico, o teorema de Ostrowski di que todo valor absoluto non arquimediano non trivial en E' ' xorde como algúns |⋅|P. Os restantes valores absolutos non triviais en E xorden dos diferentes metgullos de E nos números reais ou complexos. (De feito, os valores absolutos non arquimedianos poden considerarse simplemente como os diferentes mergullos de E nos corpos Cp, poñendo así o descrición de todos
os valores absolutos non triviais dun corpo numérico nunha base común.)

Moitas veces, hai que facer un seguimento simultáneo de todos os completamentos arriba mencionados cando E é un corpo numérico (ou máis xeralmente un corpo global), que se ven como unha especie de codificación de información "local". Isto conséguese mediante os aneis adélicos e os grupos de ideles.

Os enteiros p-ádicos pódense estender a solenoides p-ádicos . Hai un mapa desde  ata o grupo de círculos cuxas fibras son os enteiros p-ádicos , en analoxía a como hai un mapa desde  ata o círculo cuxas fibras son .

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 . — Translation into English by John Stillwell of Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).


 }}





Outras obras:

 |mr=0195803}}



 Outros artigos 
 Non arquimedeano
 Mecánica cuántica p-ádica 
 Teoría p-ádica de Hodge
 Teoría p-ádica de Teichmuller
 Análise p-ádia
 1 + 2 + 4 + 8 + ...
 Lema de Hensel
 Teorema de Mahler
 Complemento a dous
 Ligazóns externas 

 p-adic number  at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics

Categoría:Teoría de números
Categoría:Teoría de corpos
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas