Converxencia absoluta

En matemáticas, dise que unha serie infinita de números converxen absolutamente (ou son absolutamente converxentes) se a suma dos valores absolutos dos sumandos é finita. Máis precisamente, unha serie real ou complexa  dise que converxe absolutamente se  para algún número real  

Do mesmo xeito, unha integral impropia dunha función,  dise que converxe absolutamente se a integral do valor absoluto do integrando é finita, é dicir, se  

Unha serie converxente que non é absolutamente converxente chámase condicionalmente converxente.

 Contexto 
Ao engadir un número finito de termos, a suma é tanto asociativa como conmutativa, o que significa que o agrupamento e a reordenación non alteran a suma final. Por exemplo,  é igual a ambos  e . Porén, a asociatividade e a conmutatividade non se cumpren necesariamente para sumas infinitas. Un exemplo é a serie harmónica alterna

cuxos termos son fraccións que se alternan en signo. Esta serie é converxente e pódese avaliar usando a serie de Maclaurin para a función , que converxe para todos os  que satisfán :

Substituíndo  revela que a suma orixinal é igual a . 

Mais resulta que a suma tamén se pode reorganizar do seguinte xeito:

Nesta reordenación, o recíproco de cada número impar agrúpase co recíproco do duplo do seu valor, mentres que os recíprocos de cada múltiplo de 4 avalíanse por separado. Con esta reordenación avaliando os termos entre parénteses temos o resultado

que é a metade da serie orixinal. 

A violación da asociatividade e da conmutividade deste tipo de sumas revela que a serie harmónica alterna é condicionalmente converxente. 

A suma dos valores absolutos de cada termo da serie harmónica  é diverxente. Segundo o teorema de reordenación de Riemann, calquera serie condicionalmente converxente pode ser reordenada de tal modo que a súa suma sexa calquera número real finito ou para que diverxa. 

Pola contra, cando se reordena unha serie absolutamente converxente, a súa suma sempre se conserva.

 Definición para números reais e complexos 
Unha suma de números reais ou complexos  é absolutamente converxente se a suma dos valores absolutos dos termos  converxe.

 Sumas de elementos máis xerais 
A mesma definición pódese usar para as series  cuxos termos  non son números senón elementos dun grupo topolóxico abeliano arbitrario. Nese caso, en lugar de usar o valor absoluto, a definición require que o grupo teña unha norma, que é unha función positiva con valor real  nun grupo abeliano  (escrito aditivo, co elemento de identidade 0) tal que:

 A norma do elemento identidade de  é cero: 
 Para todo  implica 
 Para todo 
 Para todo 

Neste caso, a función  induce a estrutura dun espazo métrico (un tipo de topoloxía) sobre 

Entón, unba  serie don valores en   é absolutamente converxente se 

 Converxencia absoluta de integrais 
A integral  dunha función real ou de valores complexos dise que converxe absolutamente se  

Tamén se di que   é absolutamente integrábele. A cuestión da integrabilidade absoluta é complicada e depende de se se considera a integral de Riemann, Lebesgue ou Kurzweil-Henstock.

Para a integral de Riemann, tamén depende de se só consideramos a integrabilidade no seu sentido propio ( e  ambos os dous limitados) ou permiten o caso máis xeral de integrais impropias.

Como propiedade estándar da integral de Riemann, cando  é un intervalo limitado, toda función continua é  limitada e (Riemann) integrábel, e xa que  continua implica  continua, toda función continua é absolutamente integrábel. 

De feito, xa que  é Riemann  integrábel en  se  é (propiamente) integrábel e  é continua, dedúcese que  é propiamente Riemann  integrábel  se o é . 

No entanto, esta implicación non se aplica no caso das integrais impropias. Por exemplo, a función  é unha integral impropia de Riemann con dominio ilimitado (infinito na parte superior), mais non é absolutamente integrable: De feito, de xeito máis xeral, dada calquera serie  pódese considerar a función en escada asociada  definida por  Así  converxe absolutamente, converxe condicionalmente ou diverxe segundo o comportamento correspondente de 

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).


 Outros artigos 
 Serie harmónica.
 Constante de Apéry.

Categoría:Cálculo integral
Categoría:Análise matemática
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Serie matemática