Clase de conxugación

En matemáticas, especialmente na teoría de grupos, dous elementos  e  dun grupo son ​​conxugados se hai un elemento  no grupo de tal forma que  é unha relación de equivalencia cuxas clases chámanse clases de conxugación. Noutras palabras, cada clase de conxugación está pechada baixo  para todos os elementos  do grupo.

Os membros da mesma clase de conxugación non se poden distinguir usando só a estrutura do grupo e, polo tanto, comparten moitas propiedades. O estudo das clases de conxugación dos grupos non abelianos é fundamental para o estudo da súa estrutura. Para un grupo abeliano, cada clase de conxugación é un conxunto que contén un único elemento (Conxunto unitario).

As funcións que son constantes para os membros da mesma clase de conxugación chámanse función de clase.

Definición

Sexa  un grupo. Dous elementos  son conxugados se existe un elemento  tal que , en cuxo caso  chámase  de  e  conxugado de .

No caso do grupo linear xeral  das matrices invertíbeis, a relación de conxugación chámase matriz semellante.

Pódese demostrar facilmente que a conxugación é unha relación de equivalencia e, polo tanto, particiona  en clases de equivalencia. (Isto significa que todos os elementos do grupo pertencen precisamente a unha clase de conxugación, e as clases  e  son iguais se e só se  e  son conxugadas, e disxuntas). A clase de equivalencia que contén o elemento  é

e chámase clase de conxugación de  O  de  é o número de clases de conxugación distintas (non equivalentes). Todos os elementos pertencentes á mesma clase de conxugación teñen a mesma orde.

Exemplos
O grupo simétrico  que consiste nas 6 permutacións de tres elementos, ten tres clases de conxugación:

 Sen cambios . O membro único ten orde 1.
 Transposición de dous elementos . Os 3 membros teñen todos orde 2.
 Unha permutación cíclica dos tres elementos . Os dous membros teñen orde 3.

Estas tres clases tamén corresponden á clasificación de isometrías dun triángulo equilátero.

O grupo simétrico  que consiste nas 24 permutacións de catro elementos, ten cinco clases de conxugación, listadas coa súa descrición, tipo de ciclo, orde dos membros e membros:

 Sen cambios. Tipo de ciclo = [14]. Orde = 1. Membros = { (1, 2, 3, 4) }. A única fila que contén esta clase de conxugación móstrase como unha fila de círculos negros na táboa adxacente.
 Trocando dous (outros dous permanecen sen cambios). Tipo de ciclo = [1221]. Orde = 2. Membros = { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) }). As 6 filas que conteñen esta clase de conxugación están resaltadas en verde na táboa adxacente.
 Unha permutación cíclica de tres (a outra permanece sen cambios). Tipo de ciclo = [1131]. Orde = 3. Membros = { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) }. As 8 filas que conteñen esta clase de conxugación móstranse con letra normal (sen letra grosa nin resaltado en cor) na táboa adxacente.
 Unha permutación cíclica das catro. Tipo de ciclo = [41]. Orde = 4. Membros = { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) }). As 6 filas que conteñen esta clase de conxugación están resaltadas en laranxa na táboa adxacente.
 Trocando dous e tamén os outros dous. Tipo de ciclo = [22]. Orde = 2. Membros = { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) }). As 3 filas que conteñen esta clase de conxugación móstranse con entradas en negra grosa na táboa adxacente.

As rotacións adecuadas do cubo, que poden caracterizarse por permutacións das diagonais do corpo, tamén se describen mediante conxugación en 

En xeral, o número de clases de conxugación no grupo simétrico  é igual ao número de particións enteiras de  Isto ocorre porque cada clase de conxugación corresponde exactamente a unha partición de  en ciclos de elementos, até a permutación dos elementos de 

En xeral, o grupo euclidiano pódese estudar mediante a conxugación de isometrías no espazo euclidiano.

Exemplo

Sexa G = 

Daquela  

 é Conxugado de 

Propiedades

 O elemento identidade é sempre o único elemento da súa clase, é dicir, 
 Se  é abeliano, entón  para todos os , é dicir,  para todos os  (e a inversa tamén é verdade: se todas as clases de conxugación son unitarias entón o grupo é abeliano).
 Se dous elementos  pertencen á mesma clase de conxugación (é dicir, se están conxugados), entón teñen a mesma orde. De xeito máis xeral, cada afirmación sobre  pódese traducir nunha afirmación sobre  porque o mapa  é un automorfismo de  chamado automorfismo interno. Vexa a seguinte propiedade para ver un exemplo.
 Se  e  son conxugados, entón tamén o son as súas potencias  e  (Proba: se  entón ). 
 Un elemento  atópase no centro  de  se e só se a súa clase de conxugación só ten un elemento, o propio . De xeito máis xeral, se  denota o  de  é dicir, o subgrupo que consta de todos os elementos  de tal forma que  entón o índice  é igual ao número de elementos na clase de conxugación de  (polo teorema órbita-estabilizador).
 Tome  e sexan   os distintos enteiros que aparecen como lonxitudes de ciclos no tipo de ciclo de  (incluíndo 1 ciclos). Sexa  o número de ciclos de lonxitude  en  para cada  (de xeito que ). Entón, o número de conxugados de  é: 

Conxugación como acción de grupo

Para dous elementos calquera  sexa

Isto define unha acción de grupo de  en  
 A órbita do elemento  mediante esta acción é a súa clase de conxugación.
 O estabilizador dun subconxunto mediante esta acción é o normalizador dese subconxunto. Cando temos un único elemento  entón temos o centralizador de .Grillet (2007), [ p. 56]

Do mesmo xeito, podemos definir unha acción de grupo de  no conxunto de todos os subconxuntos de  escribindo

ou no conxunto dos subgrupos de 

Ecuación de clase de conxugación

Se  é un grupo finito, entón para calquera elemento de grupo  os elementos da clase de conxugación de  están en correspondencia un a un con cosets do centralizador  Observando que calquera elemento  e  pertencentes á mesma clase (e, polo tanto,  para algúns  no centralizador ) dan lugar ao mesmo elemento ao conxugar :

Iso tamén se pode ver no Teorema órbita-estabilizador, cando se considera que o grupo actúa sobre si mesmo mediante a conxugación, de xeito que as órbitas son clases de conxugación e os subgrupos estabilizadores son centralizadores. A inversa tamén se cumpre.

Así, o número de elementos na clase de conxugación de  é o índice  do centralizador  en ; de aí que o tamaño de cada clase de conxugación divida a orde do grupo.

A maiores, se escollemos un único elemento representativo  de cada clase de conxugación, inferimos da disxunción das clases de conxugación que

onde  é o centralizador do elemento  Observando que cada elemento do centro  forma unha clase de conxugación que contén só a si mesmo dá lugar á ecuación de clase:Grillet (2007), [ p. 57]

onde a suma é sobre un elemento representativo de cada clase de conxugación que non está no centro.

O coñecemento dos divisores da orde do grupo  pódese empregar a miúdo para obter información sobre a orde do centro ou das clases de conxugación.

Exemplo

Considere un -grupo  (é dicir, un grupo con orde  onde  é un número primo e ). Imos demostrar que .

Dado que a orde de calquera clase de conxugación de  debe dividir a orde de  dedúcese que cada clase de conxugación  que non estea no centro tamén ten de orde algunha potencia de  onde  Mais daquela a ecuación de clase esixe que  A partir disto vemos que  debe dividir a  polo que 

En particular, cando  entón  é un grupo abeliano xa que calquera elemento de grupo non trivial é de orde  ou  Se algún elemento  de  é de orde  é de orde  entón  é isomorfo ao grupo cíclico de orde , polo tanto abeliano. 

Por outra banda, se cada elemento non trivial en  é de orde , de aí pola conclusión anterior  despois  ou  

Só necesitamos considerar o caso cando  entón hai un elemento  de  que non está no centro de  Teña en conta que  inclúe  e o centro que non contén  pero polo menos  elementos. Polo tanto, a orde de  é estritamente maior que  polo tanto  polo tanto  é un elemento do centro de  unha contradición. Polo tanto,  é abeliano e, de feito, isomorfo ao produto directo de dous grupos cíclicos cada un de orde 

Conxugación de subgrupos e subconxuntos xerais

De xeito máis xeral, dado calquera subconxunto  ( non necesariamente un subgrupo), defina un subconxunto  como o conxugado de  se existe algún  tal que  Sexa   o conxunto de todos os subconxuntos  de tal forma que  é conxugado de 

Un teorema de uso frecuente é que, dado calquera subconxunto  o índice de  (o normalizador de ) en  é igual á cardinalidade de :

Isto dedúcese de que, se  entón  se e só se  noutras palabras, se e só se  están no mesmo coset de 

Usando  esta fórmula xeneraliza a dada anteriormente para o número de elementos nunha clase de conxugación.

O anterior é particularmente útil cando se fala de subgrupos de  Os subgrupos pódense dividir en clases de conxugación, con dous subgrupos pertencentes á mesma clase se e só se son conxugados.

Os subgrupos conxugados son isomorfos, mais os subgrupos isomorfos non teñen por que seren conxugados. Por exemplo, un grupo abeliano pode ter dous subgrupos diferentes que son isomorfos, mais nunca son conxugados.

Interpretación xeométrica

As clases de conxugación no grupo fundamental dun espazo topolóxico conexo por camiños poden considerarse como clases de equivalencia de bucles libres baixo homotopía libre.

Clase de conxugación e representacións irredutíbeis  en grupo finito

En calquera grupo finito, o número de representacións irredutíbeis non isomorfas sobre os números complexos é precisamente o número de clases de conxugación.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Conxugación topolóxica
 Subgrupo pechado por conxugación

 Ligazóns externas 


Categoría:Teoría de grupos