Xeometría discreta

A xeometría discreta e a xeometría combinatoria son ramas da xeometría que estudan as propiedades combinatorias e os métodos construtivos de obxectos xeométricos discretos. A maioría das preguntas de xeometría discreta implican conxuntos finitos ou discretos de obxectos xeométricos básicos, como puntos, liñas, planos, circunferencias, esferas, polígonos, etc. A materia céntrase nas propiedades combinatorias destes obxectos, por exemplo como se cruzan entre si ou como se poden dispor para cubrir un obxecto máis grande.

A xeometría discreta ten unha gran superposición coa xeometría convexa e a xeometría computacional, e está moi relacionada con temas como a xeometría finita, a optimización combinatoria, a xeometría diferencial discreta, a teoría xeométrica de grafos, a xeometría tórica e a topoloxía combinatoria.

László Fejes Tóth, H.S.M. Coxeter, e Paul Erdős estabeleceron os fundamentos da xeometría discreta.

 Temas 
 Poliedros e politopos 

Un polítopo é un obxecto xeométrico con lados planos, que existe en calquera número xeral de dimensións. Un polígono é un polítopo en dúas dimensións, un poliedro en tres dimensións, etc. en dimensións superiores (como un 4-polítopo en catro dimensións). Algunhas teorías xeneralizan aínda máis a idea de incluír obxectos como polítopos ilimitados (apeirótopos e teselacións) e polítopos abstractos.

Os seguintes son algúns dos aspectos dos polítopos estudados en xeometría discreta:

 Combinatoria poliédrica
 Polítopos de retícula
 Polinomios de Ehrhart
 Teorema de Pick
 Conxectura de Hirsch
 Conxunto opaco

 Empaquetados, recubrimentos e teselados 
Os empaquetados, recubrimentos e teselados son todas formas de organizar obxectos uniformes (normalmente circunferencias, esferas ou teselas) de forma regular nunha superficie ou variedade.

Os temas específicos nesta área inclúen:

 Empaquetados circulares
 Empaquetados de esferas
 Conxectura de Kepler
 Cuasicristais
 Teselado aperiódica
 Grafo periódico
 Regras de subdivisión finita

 Rixidez e flexibilidade estrutural 
miniatura|150x150px| Os grafos son debuxados como barras conectadas por bisagras xiratorias. O grafo de ciclo C4 debuxado como un cadrado pode inclinarse pola forza azul nun paralelogramo, polo que é un grafo flexible K3, debuxado como un triángulo, non pode ser alterado por ningunha forza que se lle aplique, polo que é unha grafo ríxido.
A rixidez estrutural é unha teoría combinatoria para predicir a flexibilidade de conxuntos formados por corpos ríxidos conectados por ligazóns flexibles ou bisagras.

Os temas nesta área inclúen:

 Teorema de Cauchy
 Poliedros flexíbeis

 Estruturas de incidencia 
dereita|miniatura|150x150px| Sete puntos son elementos de sete liñas no plano de Fano, un exemplo dunha estrutura de incidencia.
As estruturas de incidencia xeneralizan planos (como os planos afíns, proxectivos e de Möbius) como se pode ver nas súas definicións axiomáticas. As estruturas de incidencia tamén xeneralizan os análogos de dimensións superiores e as estruturas finitas chámanse ás veces xeometrías finitas.

Formalmente, unha estrutura de incidencia é unha tripla



onde P é un conxunto de "puntos", L é un conxunto de "rectas" e  é a relación de incidencia. Os elementos de  chámanse bandeiras. Se



dicimos que o punto p "está na liña" .

Os temas nesta área inclúen:

 Configuracións
 Arranxos de liñas
 Arranxos de hiperplanos
 Edificios de Bruhat-Tits

 Matroides orientadas 
Unha matroide orientado é unha estrutura matemática que abstrae as propiedades dos grafos orientados e de arranxos de vectores nun espazo vectorial sobre un corpo ordenado (particularmente para espazos vectoriais parcialmente ordenados). En comparación, un matroide ordinario (é dicir, non orientado) abstrae as propiedades de dependencia que son comúns tanto aos grafos, que non están necesariamente orientados, como aos arranxos de vectores sobre corpos, que non están necesariamente ordenados. 

 Teoría de grafos xeométrica 
Un grafo xeométrico é un grafo no que os vértices ou arestas están asociados a obxectos xeométricos. Os exemplos inclúen os grafos euclidianos, o 1-esqueleto dun poliedro ou polítopo, os grafos de discos unitarios e os grafos de visibilidade.

Os temas nesta área inclúen:

 Debuxo de grafos
 Grafos poliédricos
 Gráficos xeométricos aleatorios
 Diagramas de Voronoi e triangulacións de Delaunay

 Complexo simplicial 
Un complexo simplicial é un espazo topolóxico de certo tipo, construído "colando" puntos, segmentos de liña, triángulos e os seus homólogos n-dimensionais (ver a ilustración).

 Combinatoria topolóxica 
A disciplina da topoloxía combinatoria usou conceptos combinatorios na topoloxía e a principios do século XX isto converteuse no campo da topoloxía alxébrica.

Os temas nesta área inclúen:

 Lema de Sperner
 Mapas regulares

 Reticulas e grupos discretos 
Un grupo discreto é un grupo G equipado coa topoloxía discreta. Con esta topoloxía, G convértese nun grupo topolóxico. Un subgrupo discreto dun grupo topolóxico G é un subgrupo H cuxa topoloxía relativa é a discreta. Por exemplo, os números enteiros, Z, forman un subgrupo discreto dos reais, R (coa topoloxía métrica estándar), mais os números racionais, Q, non.

Os temas nesta área inclúen:

 Grupos de reflexión
 Grupos triangulares

Xeometría dixital

Xeometría dixital trata con conxuntos discretos (normalmente conxuntos de puntos discretos) considerados  modelos dixitalizados ou imaxes de obxectos do espazo euclidiano 2D ou 3D.

Xeometría diferencial discreta

A Xeometría diferencial discreta é o estudo das contrapartes discretas das nocións da xeometría diferencial. En lugar de curvas e superficies suaves, hai polígonos, retículas e complexos simpliciais. Utilízase no estudo da infografías por ordenador e da topoloxía combinatoria.

Os temas nesta área inclúen:

Operador de Laplace discreto
Cálculo exterior discreto
Cálculo discreto
Teoría Morse discreta
Topoloxía combinatoria
Análise da forma espectral
Análise sobre fractais

 Notas 


 Véxase tamén 


 Bibliografía 











 Outros artigos 
 Matemáticas discretas.

Categoría:Xeometría discreta