Subgrupo característico

En matemáticas, particularmente na área da álxebra abstracta coñecida como teoría de grupos, un subgrupo característico é un subgrupo que é asignado a si mesmo por cada automorfismo do grupo pai. Debido a que cada mapa de conxugación é un automorfismo interno, cada subgrupo característico é normal; aínda que a inversa non está garantida. Exemplos de subgrupos característicos inclúen o subgrupo conmutador e o centro dun grupo.

 Definición 
Un subgrupo  dun grupo  chámase subgrupo característico se para cada automorfismo  de , temos  ; entón escríbese .

Sería equivalente a esixir a condición máis forte  =  para cada automorfismo  de , porque  implica a inclusión inversa  .

 Propiedades básicas 
Dado , todo automorfismo de  induce un automorfismo do grupo cociente , que produce un homomorfismo  .

Se  ten un único subgrupo  dun índice dado, entón  é característico en .

 Conceptos relacionados 

 Subgrupo normal 
Un subgrupo de  que é invariante baixo todos os automorfismos internos chámase normal; tamén, un subgrupo invariante.



Dado que  e un subgrupo característico é invariante baixo todos os automorfismos, todo subgrupo característico é normal. No entanto, non todos os subgrupos normais son característicos. Aquí temos algún exemplo:

 Sexa  un grupo non trivial e sexa  o produto directo, . Entón os subgrupos,  e , son normais, mais ningún é característico. En particular, ningún destes subgrupos é invariante baixo o automorfismo, , que troca os dous factores.
 Para un exemplo concreto disto, sexa  o  grupo-catro de Klein (que é isomorfo ao produto directo, ). Dado que este grupo é abeliano, cada subgrupo é normal; mais cada permutación dos 3 elementos que non son a identidade é un automorfismo de , polo que os 3 subgrupos de orde 2 non son característicos. Aquí, tendo }. Considere  e considere o automorfismo, ; entón  non está contido en .

 Transitividade 
A propiedade de ser característico ou totalmente característico é transitiva; se  é un subgrupo (totalmente) característico de , e  é un subgrupo (totalmente) característico de , entón  é un subgrupo (totalmente) característico de  .

 .

A maiores, aínda que a normalidade non é transitiva, é certo que todo subgrupo característico dun subgrupo normal é normal.

 .

Porén, a diferenza da normalidade, se  e  é un subgrupo de  que contén , entón en xeral  non é necesariamente característico en  .

 .

 Exemplos 

 Exemplo finito 
Considere o grupo  (o grupo de orde 12 que é o produto directo do grupo simétrico de orde 6 e un grupo cíclico de orde 2). O centro de  é isomorfo ao seu segundo factor . Teña en conta que o primeiro factor, , contén subgrupos isomorfos a , por exemplo } ; sexa   o mapa do morfismo  no subgrupo indicado. A continuación, a composición da proxección de  sobre o seu segundo factor , seguido de , seguido da inclusión de  en  como o seu primeiro factor, proporciona un endomorfismo de  baixo o cal a imaxe do centro, , non está contido no centro, polo que aquí o centro non é un subgrupo totalmente característico de .

 Grupos cíclicos 
Todo subgrupo dun grupo cíclico é característico.

 Grupos topolóxicos 
O compoñente identidade dun grupo topolóxico é sempre un subgrupo característico.
 Notas 


 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Subgrupo.
 Grupo (matemáticas)
 Ligazóns externas 
  CharacteristicSsubgroup (planetmath).

Categoría:Álxebra abstracta
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas