Ceros e polos

Na análise complexa (unha rama das matemáticas), un polo é un tipo determinado de singularidade dunha función de valor complexo dunha variábel complexa. É o tipo máis simple de singularidade non evitábel desa función (véxase singularidade esencial). Tecnicamente, un punto  é un polo dunha función  se é un cero da función  e  é holomorfa (é dicir, diferenciábel complexa) nalgunha veciñanza de .

Unha función  é meromorfa nun conxunto aberto  se para todo punto  de  existe unha veciñanza de  na que polo menos unha das funcións  e  é holomorfa.

Se  é meromorfa en , entón un cero de  é un polo de , e un polo de  é un cero de . Isto induce unha dualidade entre ceros e polos, que é fundamental para o estudo das funcións meromorfas.

 Definicións 
Unha función dunha variábel complexa  é holomorfa nun dominio aberto  se é diferenciábel respecto a  en cada punto de . Equivalentemente, é holomorfa se é analítica, é dicir, se a súa serie de Taylor existe en cada punto de  e converxe á función nalgunha veciñanza do punto. Unha función é meromorfa en  se todo punto de  ten unha veciñanza na que polo menos unha das funcións  e  é holomorfa.

Un cero dunha función meromorfa  é un número complexo  tal que . Un polo de  é un cero de .

Se  é unha función que é meromorfa nunha veciñanza dun punto  do plano complexo, entón existe un enteiro  tal que 

é holomorfa e non nula nunha veciñanza de  (isto é unha consecuencia da propiedade analítica).
Se , entón  é un polo de orde (ou multiplicidade)  de . Se , entón  é un cero de orde  de . 

Cero simple e polo simple son termos usados para ceros e polos de orde  Ás veces úsase grao como sinónimo de orde.

Esta caracterización de ceros e polos implica que os ceros e polos están illados, é dicir, todo cero ou polo ten unha veciñanza que non contén ningún outro cero ou polo.

Un punto que non é nin un polo nin un cero considérase un polo (ou cero) de orde 0.

Unha función meromorfa pode ter infinitos ceros e polos. Este é o caso da función gamma, que é meromorfa en todo o plano complexo e ten un polo simple en cada enteiro non positivo. A función zeta de Riemann tamén é meromorfa en todo o plano complexo, cun único polo de orde 1 en . Os seus ceros no semiplano esquerdo son todos os enteiros pares negativos, e a hipótese de Riemann é a conxectura de que todos os demais ceros están sobre .

Nunha veciñanza dun punto  unha función meromorfa non nula  é a suma dunha serie de Laurent cunha parte principal finita (os termos con valores de índice negativos):

onde  é un enteiro, e  De novo, se  (a suma comeza con , a parte principal ten  termos), tense un polo de orde , e se  (a suma comeza con , non hai parte principal), tense un cero de orde .

 No infinito 
Unha función  é meromorfa no infinito se é meromorfa nalgunha veciñanza do infinito (é dicir, fóra dun disco), e existe un enteiro  tal que 

existe e é un número complexo non nulo.

Neste caso, o punto no infinito é un polo de orde  se , e un cero de orde  se .

Por exemplo, un polinomio de grao  ten un polo de grao  no infinito.

O plano complexo estendido por un punto no infinito chámase esfera de Riemann.

Se  é unha función que é meromorfa en toda a esfera de Riemann, entón ten un número finito de ceros e polos, e a suma das ordes dos seus polos é igual á suma das ordes dos seus ceros. 

Toda función racional é meromorfa en toda a esfera de Riemann, e, neste caso, a suma das ordes dos ceros ou dos polos é o máximo dos graos do numerador e do denominador.

 Exemplos 

dereita|miniatura|300px|Un polinomio de grao 9 ten un polo de orde 9 no , aquí representado mediante a coloración do dominio da esfera de Riemann.
 A función

 é meromorfa en toda a esfera de Riemann. Ten un polo de orde 1 ou polo simple en  e un cero simple no infinito.

 A función

 é meromorfa en toda a esfera de Riemann. Ten un polo de orde 2 en  e un polo de orde 3 en . Ten un cero simple en  e un cero cuádruplo no infinito.

 A función

 é meromorfa en todo o plano complexo, mais non no infinito. Ten polos de orde 1 en . Isto pódese ver escribindo a serie de Taylor de  arredor da orixe.

 A función

 ten un único polo no infinito de orde 1, e un único cero na orixe.

Todos os exemplos anteriores, agás o terceiro, son funcións racionais.

 Función nunha curva 

O concepto de ceros e polos esténdese de forma natural a funcións nunha curva complexa, é dicir, unha variedade analítica complexa de dimensión un (sobre os números complexos). Os exemplos máis simples desas curvas son o plano complexo e a superficie de Riemann. Esta extensión faise transferindo estruturas e propiedades mediante cartas, que son isomorfismos analíticos.

Máis precisamente, sexa  unha función dunha curva complexa  nos números complexos. Esta función é holomorfa (resp. meromorfa) nunha veciñanza dun punto  de  se existe unha carta  tal que  é holomorfa (resp. meromorfa) nunha veciñanza de  Entón,  é un polo ou un cero de orde  se o mesmo é certo para 

Se a curva é compacta, e a función  é meromorfa en toda a curva, entón o número de ceros e polos é finito, e a suma das ordes dos polos é igual á suma das ordes dos ceros. Este é un dos feitos básicos que están implicados no teorema de Riemann-Roch.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Teorema de Gauss-Lucas
 Teorema de Hurwitz (análise complexa)
 Residuo (análise complexa)
 Ligazóns externas 


Categoría:Análise complexa