Teorema de Lagrange (teoría de grupos)

No campo matemático da teoría de grupos, o teorema de Lagrange afirma que se H é un subgrupo de calquera grupo finito , entón  é un divisor de , é dicir, a orde (número de elementos) de cada subgrupo H divide a orde do grupo G.

O teorema recibe o nome de Joseph-Louis Lagrange. A seguinte variante indica que para un subgrupo  dun grupo finito , non só é  un enteiro, tamén o seu valor é o índice , definido como o número de coclases esquerdas de  en  .

Esta variante cúmprese aínda que  sexa infinito, sempre que se interpreten , , e   como números cardinais.

 Proba 
As coclases esquerdas de  en  son as clases de equivalencia dunha determinada relación de equivalencia en : concretamente, chamemos a  e  en  como equivalentes se existe  en  tal que . Polo tanto, o conxunto de coclases esquerdas forma unha partición de . Cada clase esquerda  ten a mesma cardinalidade que  porque  define unha bixección  (o inverso é  ). O número de coclases esquerdas é o índice . Polas tres relacións anteriores temos,



 Aplicacións 
Unha consecuencia do teorema é que a orde de calquera elemento  dun grupo finito (é dicir, o menor número enteiro positivo  con , onde  é o elemento identidade do grupo) divide a orde dese grupo, xa que a orde de  é igual á orde do subgrupo cíclico xerado por   Se o grupo ten  elementos, dedúcese que 



O teorema tamén mostra que calquera grupo de orde primo é cíclico e simple, xa que o subgrupo xerado por calquera elemento non identidade debe ser o propio grupo enteiro.

 Existencia de subgrupos de orde dada 
O teorema de Lagrange suscita a pregunta inversa de se cada divisor da orde dun grupo é a orde dalgún subgrupo. Isto en xeral non se cumpre: dado un grupo finito G e un divisor d de | G |, non necesariamente existe un subgrupo de G con orde d. O exemplo máis pequeno é A4 (o grupo alternante de grao 4), que ten 12 elementos mais ningún subgrupo de orde 6.

Hai recíprocos parciais do teorema de Lagrange. Para os grupos xerais, o teorema de Cauchy garante a existencia dun elemento, e polo tanto dun subgrupo cíclico, de orde calquera primo que divide a orde do grupo. O teorema de Sylow estende isto á existencia dun subgrupo de orde igual á potencia máxima de calquera primo que divide a orde do grupo. Para os grupos resolúbeis, os teoremas de Hall afirman a existencia dun subgrupo de orde igual a calquera divisor unitario da orde do grupo (é dicir, un divisor coprimo do seu cofactor).
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 





 Outros artigos 
 Grupo (matemáticas).
 Coclase.

Categoría:Teoría de grupos
Categoría:Teoremas