Octonión

En matemáticas, os octonións son unha extensión non asociativa dos cuaternións. Forman unha álxebra de oito dimensións sobre o corpo ℝ dos números reais. A álxebra de octonións é xeralmente denotada por 𝕆.

Ao perder a importante propiedade da asociatividade, os octonións recibiron menos atención que os cuaternións. Malia isto, conservan a súa importancia en álxebra e xeometría, especialmente entre os grupos de Lie.

 Definición 

 Estrutura do espazo vectorial 
O espazo 𝕆 de octonións é un espazo vectorial real de dimensión 8 relacionado cunha base denotada como  (anticipando lixeiramente a definición de multiplicación).

Noutras palabras : cada octonion  escríbese de forma única como unha combinación linear con coeficientes reais  destes oito elementos:

e as dúas operacións espaciais vectoriais (suma de dous octonións e multiplicación pola esquerda dun octonión por un número real) fanse coordenada por coordenada.

 Multiplicación 
A multiplicación de octonións defínese entón como a única aplicación bilinear, e verifica

e cuxos valores nos vectores da base veñen dados pola táboa de multiplicación que aparece a continuación:
 1        1 1          –1          –1          –1          –1          –1          –1          –1
Inmediatamente notamos que:

 (casas brancas) 1 é neutro (primeira fila e columna da táboa) e os outros 7 elementos da base teñen o cadrado –1 (diagonal);
 (casas verdes) dous elementos distintos a e b, entre os 7 elementos da base distintos de 1, anticomutativo ( ab = –ba ) (agás nas filas e columnas 1 e na diagonal onde o produto é conmutativo, a táboa é antisimétrica en signo con respecto á diagonal).
 O cuarto superior esquerdo da táboa é idéntico á táboa de multiplicación de cuaternións. En particular: .

A escolla inicial de  como base é, madía leva, arbitraria: como veremos máis adiante, hai moitas outras opcións para  e  tal que, configurando  e escollendo  adecuadamente, obtemos a mesma táboa. A maiores, dada esa opción, outra base é por exemplo : a táboa modifícase logo por cambios de signos.

 Plano mnemotécnico de Fano 
dereita|miniatura| Plano mnemotécnico de Fano
Unha forma mnemotécnica de lembrar os produtos dos octonións unitarios vén dada polo diagrama superior.

Este diagrama de sete puntos e sete "círculos" (na figura plana, os segmentos que unen 3 puntos considéranse círculos estendéndoos ata o infinito por cada lado onde se unen) chámase plano de Fano (en realidade é o plano proxectivo construído sobre o corpo de dous elementos Z/2Z). Os círculos están orientados neste diagrama. Os sete puntos corresponden aos sete elementos non reais da base de 𝕆. Cada par de puntos atópase nun único círculo, e cada círculo pasa exactamente por tres puntos.

Sexa  unha terna ordenada de puntos situados nun dos círculos dados coa orde dada pola dirección da frecha. A multiplicación vén dada por:

 , 

con permutacións circulares conservando a orde relativa dada pola dirección do círculo:

 , 
 , 

As multiplicacións operan coa oitava dimensión (real) do seguinte xeito :

  é o elemento neutro para a multiplicación,
  para cada punto  do diagrama define completamente a estrutura  alxébrica de octonións.

Cada un dos sete círculos xera unha subálxebra de 𝕆 isomorfa aos cuaternións ℍ.

 Conxugado 
O conxugado dun octonión

está dado por 

A conxugación é unha involución de 𝕆 e satisfai
 (nótese o cambio na orde de sucesión).

 Partes reais e imaxinarias 
A parte real do octonión  defínese do seguinte xeito



e a súa parte imaxinaria



 Norma 
A norma dun octonión x defínese como a raíz cadrada dun número real positivo :

  .

Esta norma corresponde á norma euclidiana en .

  .

 Inversa 
A existencia dunha norma en 𝕆 implica a existencia dun inverso para todo elemento distinto de cero en 𝕆. O inverso de calquera x distinto de cero vén dado por:

 Propiedades 
Así como os cuaternións (definidos proporcionando unha multiplicación do espazo vectorial de base  ) forman unha ℝ.álxebra xerada por  e , os octonións (definidos proporcionando unha multiplicación do espazo vectorial de base  ) forma unha ℝ-álxebra xerada por ,  e  .

A multiplicación de octonións non é

 nin conmutativa:  ,
 nin asociativa:  .

Satisfai unha propiedade máis débil que a asociatividade: a alternatividade, é dicir que dous elementos calquera  e  satisfán:A multiplicación de octonións é a maiores asociativa de potencias, é dicir, que as potencias están definidas de forma unívoca.

Os octonións comparten unha propiedade importante con ℝ, ℂ e ℍ: a norma sobre 𝕆  satisfaiIsto implica que os octonións forman unha álxebra de división normada. As álxebras de dimensións superiores definidas pola construción de Cayley-Dickson (por exemplo os sedenións) non cumpren esta propiedade: todos teñen divisores de cero e as súas multiplicacións xa non satisfán a conservación das normas.

Segundo un teorema de Hurwitz, as únicas álxebras normadas ℝ con división son ℝ, ℂ, ℍ e 𝕆. Outro teorema, debido a Zorn, estabelece que estas catro álxebras tamén forman as únicas ℝ-álxebras de división alternativas de dimensión finita.

Dado que a multiplicación de octonións non é asociativa, os elementos distintos de cero de 𝕆 non forman un grupo senón só un cuasigrupo.

 Automorfismos 
Un automorfismo da álxebra dos octonións é un automorfismo do espazo vectorial  de 𝕆 que satisfai

O grupo de automorfismos de 𝕆 é o  grupo G. É un grupo de Lie real simplemente conexo e compacto, de dimensión 14. Este grupo é o máis pequeno dos cinco grupos de Lie excepcionais.
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 


 .





 Outros artigos 
 Cuaternión.
 Sedenión.
 Número complexo.
 Ligazóns externas 

 Images fractales octonioniques réalisées avec Gecif a partir dos octonións
 Octavions, Dicionario de números, Gérard Villemin

Categoría:Números
Categoría:Álxebra abstracta
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas