Función analítica

En matemáticas, unha función analítica é unha función que está dada localmente por unha serie de potencias converxente. Existen funcións analíticas reais e funcións analíticas complexas. As funcións de cada tipo son infinitamente diferenciábeis, mais as funcións analíticas complexas presentan propiedades que xeralmente non se cumpren para as funcións analíticas reais.

Unha función é analítica se e só se para cada  no seu dominio, a súa serie de Taylor en  converxe á función nalgunha veciñanza de . Isto é máis forte que simplemente ser infinitamente diferenciábel en , e polo tanto ter unha serie de Taylor ben definida; a función de Fabius ofrece un exemplo dunha función que é infinitamente diferenciábel mais non analítica.

 Definicións 
Formalmente, unha función  é unha función analítica real nun conxunto aberto  na liña real se para algún   podemos escribir 

no que os coeficientes  son números reais e a serie é converxente a  para  nunha veciñanza de .

Alternativamente, unha función analítica real é unha función infinitamente diferenciable tal que a serie de Taylor en calquera punto  no seu dominio

converxe a  para  nunha veciñanza punto por punto de  . O conxunto de todas as funcións analíticas reais nun conxunto dado  adoita denotarse por , ou só por  se se sobreentende o dominio.

A definición dunha función analítica complexa obtense substituíndo, nas definicións anteriores, "real" por "complexo" e "recta real" por "plano complexo". Unha función é analítica complexa se e só se é holomorfa, é dicir, é derivábel complexa. Por esta razón, os termos "holomorfo" e "analítica" adoitan usarse indistintamente para esas funcións.

 Exemplos 
Exemplos típicos de funcións analíticas son

 As seguintes funcións elementais:
 Todos os polinomios: se un polinomio ten grao n, calquera termo de grao maior que n na súa expansión da serie de Taylor debe desaparecer inmediatamente a 0, polo que esta serie será trivialmente converxente. A maiores, todo polinomio é a súa propia serie de Maclaurin.
 A función exponencial é analítica. Calquera serie de Taylor para esta función converxe non só para x o suficientemente próximo a x0 (como na definición) senón para todos os valores de x (real ou complexo).
 As funcións trigonométricas, o logaritmo e as funcións de potencias son analíticas en calquera conxunto aberto do seu dominio.
 A maioría das funcións especiais (polo menos nalgún rango do plano complexo):
 Funcións hiperxeométricas
 Funcións de Bessel
 Funcións gamma

Exemplos típicos de funcións que non son analíticas son

 A función de valor absoluto cando se define no conxunto de números reais ou complexos non é analítica en todas as partes porque non é diferenciábel en 0.
 As funcións definidas por intervalos (funcións dadas por diferentes fórmulas en diferentes rexións) normalmente non son analíticas onde se atopan os intervalos.
 A función conxugada complexa z → z * non é analítica complexa, aínda que a súa restrición á liña real é a función de identidade e, polo tanto, analítica real, e é analítica real como función de  a .
 Outras funcións suaves non analíticas e, en particular, calquera función suave  con soporte compacto, é dicir , non pode ser analítica en .

 Caracterizacións alternativas 
As seguintes condicións son equivalentes:

  é analítica real nun conxunto aberto .
 Hai unha extensión analítica complexa de  a un conxunto aberto  que contén .
  é suave e para todo conxunto compacto  existe unha constante  tal que para cada  e todo número enteiro non negativo  o seguinte límite cúmprese 

As funcións analíticas complexas son exactamente equivalentes ás funcións holomorfas e, polo tanto, caracterízanse moito máis facilmente.

 Propiedades das funcións analíticas 

 As sumas, produtos e composicións das funcións analíticas son analíticas.
 O recíproco dunha función analítica que non é cero en ningún lugar  é analítica, así como a inversa dunha función analítica invertíbel cuxa derivada non é cero. (Véxase tamén o teorema de inversión de Lagrange).
 Calquera función analítica é suave, é dicir, infinitamente diferenciábel. O inverso non é certo para as funcións reais; de feito, en certo sentido, as funcións analíticas reais son escasas en comparación con todas as funcións reais infinitamente diferenciábeis. Para os números complexos, a inversa vale, e de feito calquera función diferenciábel unha vez nun conxunto aberto é analítica nese conxunto.
 Para todo conxunto aberto , o conxunto A(Ω) de todas as funcións analíticas  é un espazo de Fréchet en relación á converxencia uniforme en conxuntos compactos. O feito de que os límites uniformes dos conxuntos compactos de funcións analíticas sexan analíticos é unha consecuencia sinxela do teorema de Morera. O conxunto  de todas as funcións analíticas limitadas coa norma suprema é un espazo de Banach.

 Analítica e diferenciábel 
Existen funcións reais suaves que non son analíticas, de feito, hai moitas funcións deste tipo.

A situación é ben diferente cando se consideran funcións analíticas complexas e derivadas complexas. Pódese probar que calquera función complexa diferenciábel (no sentido complexo) nun conxunto aberto é analítica. En consecuencia, na análise complexa, o termo función analítica é sinónimo de función holomorfa.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
Ecuacións de Cauchy–Riemann
Función holomorfa
Teorema de Paley–Wiener
Función suave non analítica
 Ligazóns externas 


 Solver for all zeros of a complex analytic function that lie within a rectangular region by Ivan B. Ivanov

Categoría:Funcións
Categoría:Análise matemática