Dimensión dun espazo vectorial

En matemáticas, a dimensión dun espazo vectorial V é a cardinalidade (é dicir, o número de vectores) dunha base de V sobre o seu corpo base. p. 44, §2.36 Ás veces chámase dimensión de Hamel ou dimensión alxébrica para distinguilo doutros tipos de dimensión.

Para todo espazo vectorial existe unha base, e todas as bases dun espazo vectorial teñen a mesma cardinalidade; como resultado, a dimensión dun espazo vectorial defínese de forma única. dicimos  é de  se a dimensión de  é finita e de  se a súa dimensión é infinita.

A dimensión do espazo vectorial  sobre o corpo  pódese escribir como  ou como  lendo "dimensión de sobre ". Cando  pódese inferir do contexto adoita escribirse .

 Exemplos 
O espazo vectorial  ten como base estándar
, 
e polo tanto  De forma máis xeral,  e aínda máis en xeral,  para calquera corpo 

Os números complexos  son un espazo vectorial real e complexo; temos  e  Podemos ver os complexos como un vector de dous números reais. Polo tanto, a dimensión depende do corpo base.

 Propiedades 
Se  é un subespazo linear de  entón 

O espazo  ten a base estándar  onde  é a -ésima columna da matriz de identidade correspondente . Polo tanto,  ten dimensión 

Calquera espazos vectoriais de dúas dimensións finitas sobre  coa mesma dimensión son isomorfos. Calquera mapa bixectivo entre as súas bases pódese estender de forma única a un mapa linear bixectivo entre os espazos vectoriais. Se  é algún conxunto, un espazo vectorial con dimensión  sobre  pódese construír do seguinte xeito: tomamos o conxunto  de todas as funcións  tal que  para todos menos finitamente moitos  en  Estas funcións pódense sumar e multiplicar con elementos de  para obter o desexado espazo vectorial l.

Un resultado importante sobre as dimensións vén dado polo teorema de rango-nulidade para mapas lineares.

Se  é unha extensión de corpo, entón  é en particular un espazo vectorial sobre  Ademais, todo -espazo vectorial  tamén é un -espazo vectorial. As dimensións están relacionadas coa fórmula En particular, todo espazo vectorial complexo de dimensión  é un espazo vectorial real de dimensión 

Algunhas fórmulas relacionan a dimensión dun espazo vectorial coa cardinalidade do corpo base e a cardinalidade do propio espazo. Se  é un espazo vectorial sobre un corpo  e se a dimensión de  denotase por  entón:

 Se dim  é finito entón 
 Se dim  é infinito entón 
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 .
 Outros artigos 
 Dimensión de Krull.
 Matriz (matemáticas).
 Ligazóns externas 
 Conferencia de álxebra linear do MIT sobre a independencia, a base e a dimensión de Gilbert Strang no MIT OpenCourseWare

Categoría:Álxebra lineal