Bóla (matemáticas)

En matemáticas, unha bóla é a figura sólida limitada por unha esfera; tamén se lle chama esfera sólida. Pode ser unha bóla pechada (incluíndo os puntos límite que constitúen a esfera) ou unha bóla aberta (excluíndoos).

Estes conceptos defínense non só no espazo euclidiano tridimensional senón tamén para dimensións máis baixas e maiores, e para espazos métricos en xeral. Unha bóla de  dimensións chámase hiper-bóla ou -bóla e está limitada por unha hiperesfera ou ()-esfera . Así, por exemplo, unha bóla no plano euclidiano é o mesmo que un disco, a área delimitada por un circunferencia. No espazo 3-euclidiano , considérase que unha bóla é o volume limitado por unha esfera bidimensional. Nun espazo unidimensional, unha bola é un segmento de liña.

Noutros contextos, como na xeometría euclidiana e no uso informal, a esfera úsase ás veces para significar bóla. No campo da topoloxía o bóla pechada n-dimensional adoita denotarse como  ou  mentres que a bóla  aberta n-dimensional é  ou .

 No espazo euclidiano 
No -espazo euclidiano, unha -bóla (aberta) de raio  e centro  é o conxunto de todos os puntos de distancia menor que  desde . Unha -bola pechada de raio  é o conxunto de todos os puntos de distancia menor ou igual a  desde .

No espazo -euclidiano, toda bóla está limitada por unha hiperesfera. A bóla é un intervalo limitado cando , é un disco limitado por unha circunferencia cando  e está limitado por unha esfera cando .

 En espazos métricos en xeral 
Sexa  un espazo métrico, é dicir, un conxunto  cunha métrica (función de distancia) , e sexa  un número real positivo. A bóla aberta (métrica) de raio  centrada nun punto  en , normalmente denotada como  ou , defínese do mesmo xeito que unha bóla euclidiana, como o conxunto de puntos en  con distancia a   menor que , 

A bóla pechada (métrica), ás veces denotada como  ou , igual que antes pero con menor ou igual, 

En particular, unha bóla (aberta ou pechada) sempre inclúe a propia . Unha bóla unitaria (aberta ou pechada) é unha bola de raio 1.

Unha bola nun espazo métrico en xeral non ten por que ser redonda. Por exemplo, unha bola no espazo de coordenadas reais baixo a distancia de Chebyshev é un hipercubo e unha bóla baixo a distancia do taxista é un politopo cruzado. Unha bóla pechada tampouconon ten por que ser compacta. Por exemplo, unha bóla pechada en calquera espazo vectorial normado de dimensións infinitas nunca é compacta. Porén, unha bóla nun espazo vectorial será sempre convexa como consecuencia da desigualdade do triángulo.

Un subconxunto dun espazo métrico está limitado se está contido nalgunha bóla. Un conxunto está totalmente limitado se, dado algún raio positivo, está cuberto por un número finito de bólas dese raio.

As bólas abertas dun espazo métrico poden servir de base, dándolle a este espazo unha topoloxía, cuxos conxuntos abertos son todas as posíbeis unións de bólas abertas. Esta topoloxía nun espazo métrico chámase topoloxía inducida pola métrica  .

Sexa   o fechamento da bóla aberta  nesta topoloxía. Sempre temos que  mais   sempre temos que  Por exemplo, nun espazo métrico  coa métrica discreta, temos  mais  para calquera 

 En espazos vectoriais normados 
Calquera espazo vectorial normado  con norma  tamén é un espazo métrico coa métrica  Neses espazos, unha bóla arbitraria  de puntos  arredor dun punto  cunha distancia inferior a  pode verse como unha copia con escala (por ) e trasladado (por ) dunha bóla unitaria  Esas bólas "centradas" con  denótanse con 

As bólas euclidianas comentadas anteriormente son un exemplo de bólas nun espazo vectorial normado.

 -norma 
Nun espazo cartesiano  coa -norma , é dicir, se escolle algún  e definimos  A continuación, unha bóla aberta arredor da orixe con raio  vén dada polo conxunto Para , nun plano bidimensional , as "bólas" segundo a norma  (moitas veces chamada métrica do taxista ou Manhattan) están limitadas por cadrados coas súas diagonais paralelas aos eixos de coordenadas; para os que seguen a norma , tamén chamada métrica de Chebyshev, teñen como límites cadrados cos seus lados paralelos aos eixos de coordenadas. A norma , coñecida como métrica euclidiana, xera os discos coñecidos dentro de circunferencias, e para outros valores de , as bólas correspondentes son áreas limitadas por curvas de Lamé (hipoelipse ou hiperelipse).

Para , as bólas  están dentro de octaedros con diagonais aliñadas nos eixos, as bólas  están dentro de cubos con lados aliñados en eixos e os límites das bólas para  con  son superelipsoides. Con  xérase o interior das esferas habituais.

Moitas veces tamén se pode considerar o caso de , nese caso definimos 

 Norma xeral convexa 
De forma máis xeral, dado calquera subconxunto  con  simetría central, limitado, aberto e convexo de , pódese definir unha norma sobre  onde as bólas sexan todas copias de  transladadas e escaladas uniformemente. Teña en conta que este teorema non se cumpre se o subconxunto "aberto" é substituído por un subconxunto "pechado", porque o punto de orixe cualifica pero non define unha norma sobre .

 En espazos topolóxicos 
Pódese falar de bólas en calquera espazo topolóxico , non necesariamente inducidas por unha métrica. Unha bóla topolóxica (aberta ou pechada) -dimensional de  é calquera subconxunto de  que sexa homeomorfo para unha bola  euclidiana (aberta ou pechada). As -bólas topolóxicas son importantes na topoloxía combinatoria.

Calquera bola topolóxica aberta  é homeomorfa ao espazo cartesiano  e ao -cubo unidade (hipercubo) . Calquera bóla topolóxica  pechada é homeomorfa ao -cubo pechado .

Unha bóla  é homeomorfa a unha bóla  se e só se . Os homeomorfismos entre unha -bóla aberta  e  pódense clasificar en dúas clases, que se poden identificar coas dúas posíbeis orientacións topolóxicas de .

Unha bóla topolóxica  non precisa ser suave; se é suave, non ten por que ser difeomorfa a unha -bola euclidiana.

Rexións
Pódense definir unha serie de rexións especiais para unha bóla:
casquete, limitado por un plano.
sector, limitado por un límite cónico cun ápice no centro da esfera.
segmento, limitado por un par de planos paralelos.
coroa, limitado por dúas esferas concéntricas de diferentes raios.
cuña, limitada por dous planos que pasan polo centro da esfera e pola superficie da esfera.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 




 Outros artigos 
Disco (matemáticas)
Veciñanza (matemáticas)
Esfera
-esfera, ou hiperesfera
Variedade (xeometría)

Categoría:Topoloxía
Categoría:Esferas
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas