Anel cociente

Na teoría de aneis, unha rama da álxebra abstracta, un anel cociente, tamén coñecido como anel de factorización ou anel de clase de residuos, é unha construción bastante similar ao grupo cociente na teoría de grupos e ao espazo cociente na álxebra linear.  É un exemplo específico de cociente, visto desde o escenario xeral da álxebra universal. Comezando cun anel  e un ideal bilateral  en , constrúese un novo anel, o anel cociente , cuxos elementos son as coclases de  en  suxeito a operacións específicas  e   (A notación de anel cociente sempre usa unha barra de fracción "/".)

Os aneis cocientes son distintos do chamado "corpo cociente", ou corpo de fraccións, dun dominio de integridade, así como dos "aneis de cocientes" que son máis xerais e obtéñense por localización.

 Construción formal do anel cociente 
Dado un anel  e un ideal bilateral  en , podemos definir unha relación de equivalencia  en  do seguinte xeito:

  se e só se  está en .

Usando as propiedades do ideal, non é difícil comprobar que  é unha relación de congruencia. No caso , dicimos que  e  son congruentes  módulo  (por exemplo,  e  son congruentes módulo  xa que a súa diferenza é un elemento do ideal , os enteiros pares). A clase de equivalencia do elemento  en  vén dada por: 

Esta clase de equivalencia tamén se escribe ás veces como  e chámase a "clase de residuos de  módulo  ".

O conxunto de todas esas clases de equivalencia desígnase por ; convértese nun anel, o anel de factorización ou anel cociente de  módulo , se definimos as súas operacións específicas

 ;
 .

O mapa  dende  a  definido por  é un homomorfismo de aneis sobrexectivo, ás veces chamado mapa cociente natural ou homomorfismo canónico.

 Exemplos 

 Considere o anel de enteiros  e o ideal dos números pares, denotado por . Daquela o anel cociente  ten só dous elementos, a clase  composto polos números pares e a clase  consistente en números impares; aplicando a definición, , onde  é o ideal dos números pares. É naturalmente isomorfo ao corpo finito con dous elementos, . Intuitivamente: se pensamos en todos os números pares como , entón todo número enteiro é  (se é par) ou  (se é impar e, polo tanto, difire dun número par por ). A aritmética modular é esencialmente aritmética no anel cociente  (que ten  elementos).

 Agora consideremos o anel de polinomios na variábel  con coeficientes reais, , e o ideal  consistente en todos os múltiplos do polinomio . O anel cociente  é naturalmente isomorfo ao corpo de números complexos , coa clase  desempeñando o papel da unidade imaxinaria . A razón é que "forzamos" , é dicir, , que é a propiedade definidora de . Posto que calquera expoñente enteiro de  debe ser  ou , iso significa que todos os posíbeis polinomios simplifican esencialmente na forma . (Para aclarar, o anel cociente  é naturalmente isomorfo ao corpo de todos os polinomios lineares , onde se realizan as operacións módulo . A cambio, temos , e isto é como facer coincidir  coa unidade imaxinaria no corpo isomorfo dos números complexos).

 Xeneralizando o exemplo anterior, os aneis cocientes adoitan usarse para construír extensións dun corpo. Supoñamos que  é algún corpo e  é un polinomio irredutíbel en . Entón  é un corpo cuxo polinomio mínimo sobre  é , que  contén  e tamén un elemento .

 Os aneis de variedades afíns (tamén chamadas variedades de coordenadas) das variedades alxébricas son exemplos importantes de aneis cocientes na xeometría alxébrica. Como caso sinxelo, considere a variedade real  como un subconxunto do plano real . O anel de funcións polinómicas de valores reais definido en  pódese identificar co anel cociente , e este é o anel da variedade afín de . Agora podemos investigar a variedade  estudando o seu anel de coordenadas.

 Supoñamos que  é unha variedade , e  é un punto de . Considere o anel  de todas as funcións  definidas en  e sexa  o ideal en  composto por esas funcións  que son idénticamente nulas nalgúnha veciñanza  de  (onde  pode depender de ). Daquela o anel cociente  é o anel dos xermolos de funcións  sobre  en .

 Variacións de planos complexos 
Os cocientes , , e  son todos isomorfos a  e teñen pouco interese en principio. Mais consideremos , chamado plano numérico dual en álxebra xeométrica. Consta só de binomios lineares como "restos" despois de reducir un elemento de  por . Esta variación dun plano complexo xorde como unha subálxebra sempre que a álxebra contén unha recta real e un nilpotente.

A maiores, o cociente do anel  descomponse (split) en  e , polo que este anel adoita considerarse como a suma directa . Con todo, unha variación dos números complexos  é o que suxire   como raíz de , en comparación con  como raíz de . Este plano de números complexos descompostos 
normaliza a suma directa  proporcionando unha base  para un 2-espazo onde a identidade da álxebra está a unha unidade de distancia do cero. Con esta base pódese comparar unha hipérbole unitaria coa circunfetencia unitaria do plano complexo ordinario.

 Propiedades 
Claramente, se  é un anel conmutativo, entón tamén o é ; o contrario, porén, en xeral non é certo.

O mapa do cociente natural  ten  como o seu kernel; xa que o kernel de cada homomorfismo de aneis é un ideal bilateral, podemos afirmar que os ideais bilaterais son precisamente os kernels dos homomorfismos de aneis.

A íntima relación entre os homomorfismos de aneis, kernels e aneis cocientes pódese resumir do seguinte xeito: os homomorfismos de aneis definidos en  son esencialmente os mesmos que os homomorfismos de aneis definidos en  que desaparecen (é dicir, son cero) en . Máis precisamente, dado un ideal bilateral  en  e un homomorfismo de aneis  cuxo kernel contén , existe precisamente un homomorfismo de aneis  con  (onde  é o mapa do cociente natural). O mapa  aquí vén dado pola regra ben definida  para todos os  en . De feito, esta propiedade universal pódese usar para definir aneis cocientes e os seus mapas cocientes naturais.

Como consecuencia do anterior, obtense a afirmación fundamental: todo homomorfismo de aneis  induce un isomorfismo de aneis entre o anel cociente  e a imaxe . (Ver tamén: Teorema fundamental sobre homomorfismos).

Os seguintes feitos resultan útiles en álxebra conmutativa e xeometría alxébrica: para  conmutativo,  é un corpo se e só se  é un ideal máximal, mentres que  é un dominio de integridade se e só se  é un ideal primo. Unha serie de afirmacións similares relacionan propiedades do ideal  ás propiedades do anel cociente .

O teorema chinés do resto afirma que, se o ideal  é a intersección (ou equivalentemente, o produto) dos ideais coprimos por parellas , entón o anel cociente  é isomorfo ao produto dos aneis cocientes  .

 Para álxebras sobre un anel 
Unha álxebra asociativa  sobre un anel conmutativo  é un anel en si. Se  é un ideal en  (pechado baixo multiplicación en ), entón  herda a estrutura dunha álxebra en  sendo a álxebra cociente.
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 F. Kasch (1978) Moduln und Ringe, translated by DAR Wallace (1982) Modules and Rings, Academic Press, page 33.
 Neal H. McCoy (1948) Rings and Ideals, §13 Residue class rings, page 61, Carus Mathematical Monographs #8, Mathematical Association of America.

 B.L. van der Waerden (1970) Algebra. ver capítulo 3.5, "Ideals. Residue Class Rings", pp. 47–51.

 Outros artigos 
 Corpo de residuos
 Módulo cociente
 Ligazóns externas 

  Ideals and factor rings from John Beachy's Abstract Algebra Online

Categoría:Teoría de aneis
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas