Función parcial

En matemáticas, unha función parcial  dun conxunto  a un conxunto  é unha función dun subconxunto  de   a . O subconxunto , é dicir, o dominio de  visto como función, chámase dominio de definición ou dominio natural de . Se  é igual , é dicir, se  se define en todos os elementos de , entón dise que  é unha función total.

Noutras palabras, 
 é unha relación tal que a restrición de  ao seu domínio é unha función.

A miúdo úsase unha función parcial cando non se coñece o seu dominio exacto de definición ou é difícil de especificar. Non obstante, mesmo cando se coñece o dominio exacto da definición, as funcións parciais adoitan usarse por sinxeleza ou  brevidade. Este é o caso do cálculo, onde, por exemplo, o cociente de dúas funcións é unha función parcial cuxo dominio de definición non pode conter os ceros do denominador; neste contexto, unha función parcial é xeralmente chamada simplemente  .

Cando se usa a notación de frecha para funcións, unha función parcial  dende  a  ás veces escríbese como .

En concreto, para unha función parcial  e calquera  temos:

  (é un único elemento en  ), ou
  está indefinido.

Por exemplo, se  é a función raíz cadrada restrinxida aos números enteiros

  definido por:
  se, e só se, 

logo  só se define se  é un cadrado perfecto (é dicir,  ). Entón  mais  está indefinido.

 Conceptos básicos 
Moitas propiedades das funcións pódense ampliar nun sentido apropiado para as funcións parciais. Dise que unha función parcial é inxectiva, sobrexectiva ou bixectiva cando a función dada pola restrición da función parcial ao seu dominio de definición é inxectiva, sobrexectiva e bixectiva, respectivamente.

Como unha función é trivialmente sobrexectiva cando está restrinxida á súa imaxe, o termo bixección parcial denota unha función parcial que é inxectiva.

 Discusión e exemplos 

 Logaritmo natural 
Considere a función do logaritmo natural que mapea os números reais en si mesmos. O logaritmo dun real non positivo non é un número real, polo que a función do logaritmo natural non asocia ningún número real do codominio con ningún número real non positivo do dominio. Polo tanto, a función de logaritmo natural non é unha función cando se ve como unha función dos reais en si mesmos, senón que é unha función parcial. Se o dominio está restrinxido para incluír só os reais positivos (é dicir, se a función do logaritmo natural é vista como unha función dos reais positivos aos reais), entón o logaritmo natural é unha función.

 Na teoría de categorías 
Na teoría de categorías, ao considerar a operación de composición de morfismos en categorías concretas, a operación de composición  é unha función total se e só se  ten un elemento. A razón disto é que dous morfismos  e  só poden ser compostos como  se  é dicir, o codominio de  debe ser igual ao dominio de 

A categoría de conxuntos e funcións parciais é equivalente pero non isomorfa coa categoría de conxuntos apuntados e mapas de conservación de puntos. Un libro de texto sinala que "Esta realización formal de conxuntos e mapas parciais engadindo elementos "impropios" e "infinitos" reinventouse moitas veces, en particular, na topoloxía (compactación dun punto).

 Na álxebra abstracta 
A álxebra parcial xeneraliza a noción de álxebra universal ás operacións parciais. Un exemplo sería un corpo, no que a inversión multiplicativa é a única operación parcial adecuada (porque a división por cero non está definida).

 Cartas e atlas para variedades e fibrados 
As cartas dos atlas que especifican a estrutura das variedades e dos fibrados son funcións parciais. No caso das variedades, o dominio é o conxunto de puntos da variedade. No caso dos  fibrados, o dominio é o espazo do fibrado. Nestas aplicacións, a construción máis importante é o mapa de transición, que é a composición dunha carta coa inversa doutra. A clasificación inicial de variedades e fibrados exprésase en gran medida en termos de restricións nestes mapas de transición.

O motivo do uso de funcións parciais en lugar de funcións é permitir que se representen topoloxías globais xerais unindo parches locais para describir a estrutura global. Os "parches" son os dominios onde se definen as cartas.
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 Martin Davis (1958), Computability and Unsolvability, McGraw–Hill Book Company, Inc, New York. Republished by Dover in 1982. .
 Stephen Kleene (1952), Introduction to Meta-Mathematics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Netherlands, 10th printing with corrections added on 7th printing (1974). .
 Harold S. Stone (1972), Introduction to Computer Organization and Data Structures, McGraw–Hill Book Company, New York.
 Outros artigos 
 Continuación analítica.
 Función logaritmo.

Categoría:Funcións
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas