Ideal primario

En matemáticas, especificamente en álxebra conmutativa, dise que un ideal propio Q dun anel conmutativo A é primario se sempre que xy é un elemento de Q entón x ou yn tamén é un elemento de Q, para algún n > 0. Por exemplo, no anel de enteiros Z, (p n) é un ideal primario se p é un número primo.

A noción de ideais primarios é importante na teoría de aneis conmutativos porque todo ideal dun anel de Noether ten unha descomposición primaria, é dicir, pódese escribir como unha intersección de infinitos ideais primarios. Este resultado coñécese como teorema de Lasker-Noether. En consecuencia,  un ideal irredutíbel dun anel noetheriano é primario.

Existen varios métodos para xeneralizar ideais primarios a aneis non conmutativos, mais o tema é estudado con máis frecuencia para aneis conmutativos. Polo tanto, os aneis deste artigo suponse que son aneis conmutativos con identidade.

 Exemplos e propiedades 

 A definición pode ser rescrita dun xeito máis simétrico: un ideal propio  é primario se, cando , temos  ou   ou  (aquí  denota o radical de ).
 Un ideal propio Q de R é primario se e só se cada divisor de cero en R/Q é nilpotente (compare isto co caso de ideais primos, onde P é primo se e só se cada divisor de cero en R/P é de feito cero).
 Calquera ideal primo é primario, e ademais un ideal é primo se e só se é primario e semiprimo (tamén chamado ideal radical no caso commutativo).
 Cada ideal primario é primal.
 Se Q é un ideal primario, entón o radical de Q é necesariamente un ideal primo P, e este ideal é chamado o ideal primo asociado de Q. Nesta situación dise que Q é  P-primario.
 Doutra banda, un ideal cuxo radical é primo non é necesariamente primario: por exemplo, se , , e , entón  é primo e , mais temos , , e   para todo n > 0, así que  non é primario.  A descomposición primaria de  é ; aquí  é -primario e  é -primario.
 Se P é un ideal primo maximal, entón calquera ideal contendo unha potencia de P é P-primario. Non todo ideal P-primario necesita ser unha potencia de P, mais si polo menos conter unha potenciar de P; por exemplo o ideal (x, y2) é P-primario para o ideal P = (x, y)  no anel k[x, y], mais non é unha potencia de P, no entanto contén P².
 Se A é un anel de Noether e P un ideal primo, entón o kernel de , o mapa desde A ata a localización de A  en P, é a intersección de todos os P-ideais primarios.
 Un produto finito non baleiro de ideais -primarios é -primario mais un produto infinito de ideais -primarios pode non ser -primario; xa que por exemplo, nun anel noetheriano local con ideal maximal ,  (Teorema da intersección de Krull) onde cada   é -primario, por exemplo o produto infinito do ideal maximal  (e por tanto primo e primario) do anel local   produce o ideal cero, o cal neste caso non é primario (porque o devisor de cero  non é nilpotente). De feito, nun anel de Noether, un produto non baleiro de ideais  -primarios  é -primario se e só se existe algún enteiro  tal que .
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

On primal ideals, Ladislas  Fuchs

 Outros artigos 
 Ideal_(teoría_dos_aneis)#Tipos_de_ideais.
 Ligazóns externas 
Primary ideal (Planetmath).

Categoría:Teoría de aneis