Función de partición

En teoría de números, a función de partición  representa o número de posíbeis particións dun enteiro non negativo . Por exemplo,  porque o número enteiro 4 ten as cinco particións ; ; ;  e .

Non se coñece ningunha expresión de forma pechada para a función de partición, mais ten tanto expansións asintóticas que a aproximan con precisión como relacións de recorrencia polas que se pode calcular exactamente. Medra como función exponencial da raíz cadrada do seu argumento. O inverso multiplicativo da súa función xeradora é a función de Euler; polo teorema dos números pentagonais de Euler esta función é unha suma alterna de potencias numéricas pentagonais do seu argumento.

Srinivasa Ramanujan descubriu por primeira vez que a función de partición ten patróns non triviais en aritmética modular, agora coñecidos como congruencias de Ramanujan. Por exemplo, sempre que a representación decimal de  remate no díxito 4 ou 9, o número de particións de  será divisíbel por 5.

 Definición e exemplos 
Para un número enteiro positivo ,  é o número de formas distintas de representar  como unha suma de números enteiros positivos. Para os efectos desta definición, a orde dos termos na suma é irrelevante: dúas sumas cos mesmos termos nunha orde diferente non se consideran distintas.

Por convención , xa que hai unha forma (a suma baleira ) de representar cero como unha suma de enteiros positivos. A maiores  cando  é negativo.

Os primeiros valores da función de partición, comezando por , son:

 Función xeradora 

A función xeradora para p (n) vén dada por   A igualdade entre os produtos da primeira e segunda liñas desta fórmula obtense coa expansión de cada factor  na serie xeométrica  Para ver que o produto expandido é igual á suma da primeira liña, aplicamos a lei distributiva. Isto expande o produto nunha suma de monomios da forma  para algunha secuencia de coeficientes , só un número finito deles poden ser distintos de cero. O expoñente do termo é , e esta suma pódese interpretar como unha representación de  como partición en  copias de cada número . Polo tanto, o número de termos do produto que teñen expoñente  é exactamente , o mesmo que o coeficiente de  na suma da esquerda. Polo tanto, a suma é igual ao produto.

A función que aparece no denominador na terceira e cuarta liñas da fórmula é a función de Euler. A igualdade entre o produto da primeira liña e as fórmulas da terceira e cuarta liñas é o teorema dos números pentagonais de Euler. Os expoñentes de  nestas liñas son os números pentagonais  para .

 Relacións de recorrencia 
A mesma secuencia de números pentagonais aparece nunha relación de recorrencia para a función de partición: Como casos básicos considramos   igual , e igual a cero para  negativo. Aínda que a suma do lado dereito parece infinita, só ten un número finito de termos distintos de cero, procedentes dos valores de  distintos de cero na franxa  A relación de recorrencia tamén se pode escribir na forma equivalente 

 Congruencias 
Srinivasa Ramanujan descubriu que a función de partición ten modelos non triviais na aritmética modular. Por exemplo, o número de particións é divisíbel por cinco sempre que a representación decimal de  remata no díxito 4 ou 9, como se expresa pola congruenciaPor exemplo, o número de particións para o número enteiro 4 é 5. Para o número enteiro 9  é 30; para 14 hai 135 particións. Esta congruencia vén implicada pola identidade máis xeral tamén debida a Ramanujan,  onde a notación  denota o produto definido por Unha pequena proba deste resultado pódese obter a partir da función xeradora da función de partición.

Ramanujan tamén descubriu congruencias módulo 7 e 11: O primeiro procede da identidade de Ramanujan  

 Fórmulas de aproximación 
Existen fórmulas de aproximación que son máis rápidas de calcular que a fórmula exacta indicada anteriormente.

Unha expresión asintótica para p(n) vén dada por

  cando  .

Esta fórmula asintótica foi obtida por primeira vez por GH Hardy e Ramanujan en 1918 e de forma independente por JV Uspensky en 1920. Considerando , a fórmula asintótica dá aproximadamente , razoabelmente preto da resposta exacta  (un 1,415 % maior que o valor verdadeiro).

  publicou unha proba elemental da fórmula asintótica de .

 Función de partición estrita 

 Definición e propiedades 
Unha partición na que ningunha parte aparece máis dunha vez chámase estrita. A función q(n) dá o número destas particións estritas con suma n. Por exemplo, q(3) = 2 porque as particións 3 e 1 + 2 son estritas, mentres que a terceira partición 1 + 1 + 1 de 3 ten partes repetidas. 

Pore outro parte resulta que o número q(n) coincide co número de particións de n nas que só se permiten sumandos impares.

 Función xeradora 
A función xeradora dos números q(n) vén dada por un produto infinito simple: onde a notación  representa o símbolo de Pochhammer  A partir desta fórmula, pódense obter facilmente os primeiros termos : 

 Función de partición restrinxida 
De forma máis xeral, é posíbel considerar particións restrinxidas só a elementos dun subconxunto A dos números naturais (por exemplo, unha restrición no valor máximo das partes), ou cunha restrición no número de partes ou á diferenza máxima entre as partes. Cada restrición particular dá lugar a unha función de partición asociada con propiedades específicas. A continuación móstranse algúns exemplos comúns.

 Teorema de Euler e Glaisher 
Dous exemplos importantes son as particións restrinxidas só a partes enteiras impares ou só a partes enteiras pares, coas funcións de partición correspondentes a miúdo denotadas  e  (do inglés odd e even).

Un teorema de Euler mostra que o número de particións estritas é igual ao número de particións con só partes impares: para todo n, . Isto xeneralízase no teorema de Glaisher, que afirma que o número de particións con non máis de d-1 repeticións de calquera parte é igual ao número de particións sen parte divisíbel por d.

 Coeficiente binomial de Gauss 
Se denotamos  o número de particións de n como máximo en M partes, sendo cada parte menor ou igual a N, entón a función xeradora de  é o seguinte coeficiente binomial de Gauss:



 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 




 </ref>

 </ref>



 </ref>









 </ref>

 . Reprinted in Collected papers of Srinivasa Ramanujan, Amer. Math. Soc. (2000), pp. 276–309.</ref>

 </ref>

 </ref>









 Outros artigos 
 Función xeradora.
 Ligazóns externas 
 First 4096 values of the partition function 

Categoría:Teoría de números
Categoría:Funcións
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas