Función croque

En matemáticas, unha función croque (tamén chamada función vulto ou función de test, en inglés: Bump function) é unha función  nun espazo euclidiano  que é suave (no sentido de ter derivadas continuas de todas as ordes) e con soporte compacto. O conxunto de todas as funcións croque con dominio  forma un espazo vectorial, denotado  ou  O espazo dual deste espazo dotado dunha topoloxía adecuada é o espazo de distribucións.

 Exemplos 
dereita|miniatura|280px|A función croque unidimensional 

A función  dada por

é un exemplo dunha función croque nunha dimensión. Note que o soporte desta función é o intervalo pechado . De feito, por definición de soporte, temos que , onde o pechamento tómase en relación á topoloxía euclidiana da recta real. 

A demostración da suavidade segue as mesmas liñas que para a función relacionada discutida no artigo Función suave non analítica. Esta función pode interpretarse como a función gaussiana  escalada para caber no disco unidade: a substitución  corresponde a enviar  a 

Un exemplo simple dunha función croque en  variábeis obtense tomando o produto de  copias da función croque anterior nunha variábel, así 

Unha función croque radialmente simétrica en  variábeis pode formarse tomando a función  definida por . Esta función está soportada na bola unidade centrada na orixe.

Para outro exemplo, tome unha función  que é positiva en  e cero noutro caso, por exemplo 

.

Funcións de transición suave

dereita|marco|A función suave non analítica f(x) considerada no artigo.
Considere a función

definida para todo número real x.

dereita|marco|A transición suave g de 0 a 1 definida aquí.
A función

ten un denominador estritamente positivo en toda a recta real, polo que g tamén é suave. A maiores, g(x) = 0 para x ≤ 0 e g(x) = 1 para x ≥ 1, polo que proporciona unha transición suave do nivel 0 ao nivel 1 no  intervalo unidade [0, 1]. Para ter a transición suave no intervalo real  [a, b] con a < b, considere a función

Para números reais , a función suave

é igual a 1 no intervalo pechado [b, c] e desaparece fóra do intervalo aberto (a, d), polo que pode servir como unha función croque.

Debe terse coidado xa que, por exemplo, tomando , obtense:

que non é unha función infinitamente diferenciábel (polo tanto, non é "suave"), polo que as restricións  deben cumprirse estritamente.

Algúns feitos interesantes sobre a función:

son que  produce curvas de transición suave con beiras de pendente "case" constante (unha función croque con pendentes rectas verdadeiras represéntase neste outro exemplo: Ecuación diferencial con retardo).

Un exemplo adecuado dunha función croque suave sería:

Un exemplo adecuado dunha función de transición suave sería:

onde se pode notar que tamén se pode representar mediante funcións hiperbólicas:

miniatura|Unha ilustración dos conxuntos na construción.|100x100px

 Existencia de funcións croque 
É posíbel construír funcións croque "a medida". Formalmente, se  é un conxunto compacto arbitrario en  dimensións e  é un conxunto aberto que contén a  existe unha función croque  que é  en  e  fóra de  Dado que  pode tomarse como unha veciñanza moi pequena de  isto equivale a ser capaz de construír unha función que é  en  e decae rapidamente a  fóra de  mentres segue a ser 
suave.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 Nestruev, Jet. (10 setembro 2020). "Smooth Manifolds and Observables. Graduate Texts in Mathematics". Vol. 220. Cham, Switzerland: Springer Nature. ISBN 978-3-030-45649-8. OCLC 1195920718

 Outros artigos 
 Función suave

Categoría:Funcións