Atan2

miniatura|Gráfico de  sobre 

En computación e matemáticas, a función atan2 é o arcotanxente de 2 argumentos. Por definición,  é a medida do ángulo (en radiáns, con ) entre o eixo  positivo e o raio desde a orixe ata o punto  no plano cartesiano. Equivalentemente,  é o argumento (tamén chamado fase ou ángulo) do número complexo  (O argumento dunha función e o argumento dun número complexo, mencionados anteriormente, non deben confundirse).

A función  apareceu por primeira vez na linguaxe de programación Fortran en 1961. Orixinalmente, estaba destinada a devolver un valor correcto e inequívoco para o ángulo  na conversión de coordenadas cartesianas  a coordenadas polares . Se  e , entón  e 

Se , a medida desexada  do ángulo é  No entanto, cando , o ángulo  é diametralmente oposto ao ángulo desexado, e  (media volta) debe engadirse para situar o punto no cuadrante correcto. O uso da función  elimina esta corrección, simplificando o código e as fórmulas matemáticas.

 Definición e cálculo 

A función  calcula o  argumento principal do número complexo , que tamén é a parte imaxinaria do valor principal do logaritmo complexo. É dicir,

Engadir calquera múltiplo enteiro de  (correspondente a voltas completas ao redor da orixe) dá outro argumento do mesmo número complexo, mais o argumento principal defínese como o ángulo representativo único no intervalo .

En termos da función arcotanxente estándar, cuxa imaxe é ,  pódese expresar por tramos:

miniatura|A tanxente da metade dun ángulo pódese calcular en termos das coordenadas  e  e o raio .

En vez da tanxente, pode ser conveniente usar a media tanxente  como representación dun ángulo, en parte porque o ángulo  ten unha media tanxente única,

(Véxase fórmula da media tanxente). 

A expresión con  no denominador debe usarse cando  e  para evitar unha posíbel perda de significancia  ao calcular . 

Cando non se dispón dunha función , pódese calcular como dúas veces o arcotanxente da media tanxente . É dicir,

 Derivada 
Como a función  é unha función de dúas variábeis, ten dúas derivadas parciais. Nos puntos onde existen estas derivadas,  é, excepto por unha constante, igual a . Polo tanto,

Así, o gradiente de atan2 vén dado por

Representando informalmente a función  como a función de ángulo  (que só está definida ata unha constante) obtense a seguinte fórmula para o diferencial total:

Aínda que a función  é descontinua ao longo do eixo  negativo, reflectindo o feito de que o ángulo non se pode definir de forma continua, esta derivada está definida de forma continua excepto na orixe, reflectindo o feito de que os cambios infinitesimais (e de feito locais) no ángulo poden definirse en todas as partes agás na orixe. Integrando esta derivada ao longo dun camiño obtense o cambio total no ángulo sobre o camiño, e integrando sobre un bucle pechado dá o índice da curva.

Na linguaxe da xeometría diferencial, esta derivada é unha 1-forma, e é  pechada (a súa derivada é cero) mais non exacta (non é a derivada dunha 0-forma, é dicir, unha función), e de feito xera a primeira cohomoloxía de de Rham do plano perforado. Este é o exemplo máis básico desa forma, e é fundamental en xeometría diferencial.

As derivadas parciais de  non conteñen funcións trigonométricas, o que a fai especialmente útil en moitas aplicacións (por exemplo, sistemas embebidos) onde as funcións trigonométricas poden ser custosas de avaliar.

 Ilustracións 
miniatura|dereita|300px|atan2 para raios seleccionados

Esta figura mostra os valores de atan2 ao longo de raios seleccionados desde a orixe, etiquetados na circunferencia unitaria. Os valores, en radiáns, móstranse dentro do círculo. O diagrama usa a convención matemática estándar de que os ángulos aumentan en sentido contrario ás agullas do reloxo desde cero ao longo do raio á dereita. Nótese que a orde dos argumentos está invertida; a función  calcula o ángulo correspondente ao punto .

miniatura|dereita|300px|Comparación das funcións arctan e atan2
Esta figura mostra os valores de  xunto con  para . Ambas as funcións son impares e periódicas con períodos  e , respectivamente, e polo tanto poden completarse facilmente a calquera rexión de valores reais de . Pódese ver claramente os cortes de rama da función  en , e da función  en .

As dúas figuras seguintes mostran vistas en 3D de  e  sobre unha rexión do plano. Nótese que para , os raios no plano X/Y que emanan da orixe teñen valores constantes, mais para  as liñas no plano X/Y que pasan pola orixe teñen valores constantes. Para , os dous diagramas dan valores idénticos.

 300px 300px

 Identidade de suma e diferenza de ángulos 

A suma ou diferenza de múltiples ángulos que se van calcular mediante  pode calcularse alternativamente compoñéndoos como números complexos. Dados dous pares de coordenadas  e , os seus ángulos desde o eixo  positivo compoñeranse (e as lonxitudes multiplicaranse) se se tratan como números complexos e logo multiplícanse, . O ángulo resultante pódese atopar usando unha única operación {{tmath|\operatorname{atan2} }, sempre que o ángulo resultante estea en :

e do mesmo xeito para máis de dous pares de coordenadas. Se o ángulo composto cruza o eixo  negativo (é dicir, excede o intervalo ), entón os cruces poden contarse e engadirse o múltiplo enteiro apropiado de  ao resultado final para corrixilo.

Esta fórmula de diferenza úsase frecuentemente na práctica para calcular o ángulo entre dous vectores planos, xa que o ángulo resultante está sempre no intervalo .

 Notas 


 Véxase tamén 

 Outros artigos 
 funcións trigonométricas inversas
 Ligazóns externas 
 ATAN2 calculadora Online

Categoría:Trigonometría
Categoría:Funcións