Lema levantando o expoñente

Na teoría de números elemental, o lema de levantamento do expoñente (lema LTE nas siglas en inglés) proporciona varias fórmulas para calcular a valoración p-ádica  de certas expresións de números enteiros. O lema chámase así porque describe os pasos necesarios para "levantar" o expoñente de  nesas expresións. Está relacionado co lema de Hensel.

 Enunciado 
(Notación:  lese  divide a , e coa barra riscada  lese  non divide a ).

Para calquera números enteiros  e , un número enteiro positivo , e un número primo  tal que  e , cúmprense as seguintes afirmacións:

 Cando  é impar:
 Se , entón .
 Se  e  é impar, entón .
 Se  e  é par, entón .
 Cando :
 Se  e  é par, entón 
 Se  e  é impar, daquela  (dedúcese do caso xeral  embaixo),
 Corolarios:
 Se , entón  e daquela .
 Se  e  é par, daquela .
 Se  e  é impar, daquela .
 Para todo :
 Se  e , daquela .
 Se ,  e  é impar, daquela .

 Xeneralizacións 
O lema LTE xeneralizouse a valores complexos de  sempre que o valor de  sexa enteiro.S. Riasat, Generalising `LTE' and application to Fibonacci-type sequences.

 Esquema de proba 

 Caso base 
O caso base  cando  compróbase primeiro. Pola mor de  ,
por tanto non ten potencias de  e non aporta nada na valoración. 

O feito de que a fórmula de Bernoulli  completa a proba, pois dese produto só aporta na valoración o factor . 

A condición  por   impar é semellante.

 Caso xeral (p impar) 
Se facemos  en (), muda unha condición, pois agora  e por tanto 

Coa mesma condición e a substitución , vía a expansión binomial, pódese mostrar que  porque () é múltiplo de  mais non de Pavardi, A. H. (2011). Lifting The Exponent Lemma (LTE).  https://pregatirematematicaolimpiadejuniori.wordpress.com/wp-content/uploads/2016/07/lte.pdf). Así mesmo,  .

Entón, se  se escribe como  onde , o caso base dá . Por indución en ,



O enunciado  cando  demóstrase de xeito análogo.

 Caso xeral (p = 2) 
A proba para o caso con   impar non se pode aplicar directamente cando  porque o coeficiente binomial  é só un múltiplo enteiro de  cando  é impar.

No entanto, pódese demostrar que  cando  escribindo  onde  e  son enteiros con  impar e decatándose de que



posto que , cada factor na diferenza de cadrados salta á forma  que é congruente con 2 módulo 4.

A afirmación  cando  próbase de xeito análogo. 

 En competicións 

 Problema de exemplo 
O lema LTE pódese usar para resolver o problema 2020 AIME I #12:Sexa  o número enteiro menor positivo para o cal  é divisíbel por  Atopar o número de divisores enteiros positivos de .Solución. Temos en conta que . Usando o lema LTE, posto que  nin , pero , temos . Así, . 

Do mesmo xeito, , pero , así que  e  .

Posto que , os factores de 5 abórdanse observando que  os residuos de  módulo 5 seguen o ciclo  e os de  seguen o ciclo , os residuos de  módulo 5 seguen un ciclo a través da secuencia . Así,  se e só se  para algún número enteiro positivo . 

Agora pódese aplicar de novo o lema LTE: . Posto que , e . De aí .

Combinando estes tres resultados, compróbase que , que ten  divisores positivos.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 Outros artigos 
 Lema de Hensel.
 Último teorema de Fermat.
 Aritmética modular
 Ligazóns externas 
 Art of problem solving.

Categoría:Teoría de números
Categoría:Teoremas
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas