Serie harmónica

En matemáticas, a serie harmónica é a serie infinita formada pola suma de todas as fraccións unitarias positivas: 

Os primeiros   termos da serie suman aproximadamente , onde  é o logaritmo natural e  é a constante de Euler-Mascheroni. Como o logaritmo ten valores arbitrariamente grandes, a serie harmónica non ten un límite finito: é unha serie diverxente. A súa diverxencia foi probada no século XIV por Nicole Oresme utilizando un precursor da proba de condensación de Cauchy para a converxencia de series infinitas. Tamén se pode demostrar que diverxe comparando a suma cunha integral, segundo a proba de converxencia da integral.

 Definición e diverxencia 
A serie harmónica é a serie infinita 
na que os termos son todas as fraccións unitarias positivas. É unha serie diverxente: a medida que se inclúen máis termos da serie nas sumas parciais da serie, os valores destas sumas parciais medran arbitrariamente, máis aló de calquera límite finito. Debido a que é unha serie diverxente, debería interpretarse como unha suma formal, unha expresión matemática abstracta que combina as fraccións unitarias, máis que como algo que se pode avaliar a un valor numérico. Hai moitas probas diferentes da diverxencia da serie harmónica, analizadas nun artigo de 2006 por SJ Kifowit e TA Stamps. Dúas das     máis coñecidas están listadas a continuación.

 Proba por comparación 
Unha forma de probar a diverxencia é comparar a serie harmónica con outra serie diverxente, onde cada denominador é substituído pola seguinte potencia de dous: 
A agrupación de termos iguais mostra que a segunda serie diverxe (porque é unha suma infinita de cantidades 1/2): 
Debido a que cada termo da serie harmónica é maior ou igual ao termo correspondente da segunda serie (e os termos son todos positivos), e dado que a segunda serie diverxe, dedúcese (polo test de comparación) que a serie harmónica tamén diverxe. O mesmo argumento demostra con máis forza que, para todo enteiro positivo ,

Esta é a proba orixinal dada por Nicole Oresme en torno a 1350. A proba de condensación de Cauchy é unha xeneralización deste argumento. 

 Proba por comparación cunha integral 
miniatura| Os rectángulos, con área dada pola serie harmónica, e a hipérbola  polas esquinas superiores esquerdas destes rectángulos
É posíbel demostrar que a serie harmónica diverxe comparando a súa suma cunha integral impropia. Concretamente, considere a disposición dos rectángulos que se mostra na figura da dereita. Cada rectángulo ten 1 unidade de ancho e  unidades altas, polo que se a serie harmónica converxe, a área total dos rectángulos sería a suma das series harmónicas. A curva  permanece totalmente por debaixo do límite superior dos rectángulos, polo que a área baixo a curva (no rango de  do un ao infinito que está cuberto por rectángulos) sería menor que a área de unión dos rectángulos. No entanto, a área baixo a curva vén dada por unha integral impropia diverxente, 
Como esta integral non converxe, a suma tampouco non pode converxer. 

 Sumas parciais 

Sumando os primeiros  termos da serie harmónica temos unha suma parcial chamada número harmónico e denotado como :  

Valor de n1234567891011121314151617181920Valor aprox. de 11,51,82,12,32,52,62,72,82,93,03,13,23,253,323,383,443,493,553,60

De feito, a serie harmónica diverxe, as súas sumas parciais tenden cara a .

Valor de n10Valor aprox. de 2,95,27,59,812,114,416,719,021,3

 Taxa de crecemento 
Estes números medran moi lentamente, cun crecemento logarítmico, como se pode ver na proba da integral.  Máis precisamente, pola fórmula de Euler-Maclaurin, 
 onde  é a constante de Euler-Mascheroni e  que se achega a 0 cando  vai ao infinito.

 Interpolación 
miniatura| A función digamma sobre os números complexos
A función digamma defínese como a derivada logarítmica da función gamma 
Así como a función gamma proporciona unha interpolación continua dos factoriais, a función digamma proporciona unha interpolación continua dos números harmónicos, no sentido de que .  Esta ecuación pódese usar para estender a definición a números harmónicos con índices racionais.

 Series relacionadas 

 Serie harmónica alternada 
dereita|miniatura|240x240px| As primeiras catorce sumas parciais da serie harmónica alterna (segmentos de liña negra) mostradas converxen ao logaritmo natural de 2 (liña vermella).
A serie 
coñécese como serie harmónica alternada. É condicionalmente converxente polo test de serie alternada, pero non é absolutamente converxente. A súa suma é o logaritmo neperiano de 2. 

A expansión asintótica da serie comeza como 
Isto resulta da igualdade  e a fórmula de Euler-Maclaurin.

 Función zeta de Riemann 
A función zeta de Riemann defínese para   real pola serie converxente 
que para  sería a serie harmónica. Pódese estender mediante o prolongamento analítico a unha función holomorfa en todos os números complexos agás  onde a función estendida ten un polo simple. Outros valores importantes da función zeta inclúen  que é a solución ao problema de Basilea, a constante de Apéry  que Roger Apéry demostrou que é un número irracional, e a "liña crítica" dos números complexos con parte real  conxecturado pola hipótese de Riemann como os únicos valores distintos dos enteiros negativos onde a función pode ser cero. 

 Notas 


 Véxase tamén 


 Bibliografía 

  ver problema 52: De homine patrefamilias – A lord of the manor, pp. 124–125.

















 From p. 250, prop. 16: "''XVI. Summa serei infinita harmonicè progressionalium,  
  proba de Johann Bernoulli tamén por contradición.
  See also unpublished addendum, "More proofs of divergence of the harmonic series" por Kifowit. 

 </ref>


  A proba de Mengoli é por contradición 

  ver en particular Teorema 1, p. 516. 
















 Outros artigos 
 Serie diverxente.
 Función zeta de Riemann.
 1 %2B 2 %2B 3 %2B 4 %2B ⋯.
 Ligazóns externas 


Categoría:Wikipedia:Páxinas que usan barra lateral co parámetro child
Categoría:Teoría de números
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Serie matemática