Acción de grupo

En matemáticas, unha acción de grupo dun grupo  nun conxunto  é un homomorfismo de grupos de  a algún grupo (baixo a composición de funcións)  de . Dise que  actúa en .

Se un grupo actúa sobre unha estrutura, normalmente tamén actuará sobre obxectos construídos a partir desa estrutura. Por exemplo, o grupo de isometrías euclidianas actúa sobre o espazo euclidiano e tamén sobre as figuras debuxadas nel; en particular, actúa sobre o conxunto de todos os triángulos. Do mesmo xeito, o grupo de simetrías dun poliedro actúa sobre os vértices, as arestas e as caras do poliedro.

Unha acción de grupo nun espazo vectorial chámase representación de grupo. No caso dun espazo vectorial de dimensións finitas, permite identificar moitos grupos con subgrupos do grupo linear xeral  que é o grupo das matrices invertíbeis de dimensión  sobre un corpo.

O grupo simétrico  actúa sobre calquera conxunto con  elementos permutando os elementos do conxunto. Aínda que o grupo de todas as permutacións dun conxunto depende formalmente do conxunto, o concepto de acción de grupo permite considerar un só grupo para estudar as permutacións de todos os conxuntos coa mesma cardinalidade.

 Definición 

 Acción de grupo 
Se  é un grupo con elemento identidade  e  é un conxunto, entón unha acción de grupo (pola esquerda ou esquerda)  de  en  é  unha función

que satisfai os dous axiomas seguintes:
 {|
|Identidade:
|
|-
|Compatibilidade:
|
|}
para todos os  e  en  e todos os  en .

Dise entón que o grupo  actúa sobre  (pola esquerda). Un conxunto  xunto cunha acción de  chámase -conxunto (pola esquerda ou esquerdo) .

Pode resultar conveniente notacionalmente transformar (currying) a acción , de xeito que, en cambio, teña unha colección de transformacións , cunha transformación  para cada elemento de grupo . 
Así, os axiomas de identidade e compatibilidade móstranse como


sendo  a composición de funcións. O segundo axioma indica logo que a composición da funcións é compatíbel  coa multiplicación do grupo; forman un diagrama conmutativo. Este axioma pódese acurtar aínda máis e escribirse como .

Co visto anteriormente, é moi común evitar escribir a letra  e substituíla por un punto ou mesmo sen nada. Así,  pódese acurtar a  ou , especialmente cando a acción é clara polo contexto. Os axiomas son logo



Destes dous axiomas, despréndese que para calquera  fixo en , a función de  en si mesmo que mapea  en  é unha función bixectiva, con bixección inversa para o mapa correspondente para . Polo tanto, pódese definir equivalentemente unha acción de grupo de  en  como un homomorfismo de grupos de  no grupo simétrico  de todas as bixeccións de  consigo mesmo.Así fai, por exemplo, 

 Acción de grupo pola dereita  
Do mesmo xeito existe unha acción de grupo pola dereita 
que satisfai os axiomas análogos, que na notación breve sería:

 {|
 |Identidade:
 |
|-
 |Compatibilidade:
 |
|}

para todos os  e  en  e todos os  en .

A diferenza entre as accións esquerda e dereita está na orde na que un produto  actúa sobre . Para unha acción esquerda,  actúa primeiro, seguido de  segundo. Para unha acción dereita,  actúa primeiro, seguido de  segundo.  A maiores, unha acción pola dereita dun grupo  en  pódese considerar como unha acción pola esquerda do seu grupo oposto  en .

Así, para estabelecer as propiedades xerais das accións de grupo, abonda con considerar só as accións pola esquerda. No entanto, hai casos nos que isto non é posíbel. Por exemplo, a multiplicación dun grupo induce tanto unha acción pola esquerda como unha acción pola dereita no propio grupo-multiplicación pola esquerda e pola dereita, respectivamente.

 Propiedades notábeis  das accións 
Sexa  un grupo que actúa nun conxunto . A acción chámase  ou  se  para todos os  implica que . De forma equivalente, o homomorfismo de  no grupo de bixeccións de  correspondente á acción é inxectivo.

A acción chámase  (ou semiregular ou punto fixo libre) se a afirmación de que  para algúns  implica que . Noutras palabras, ningún elemento non trivial de  fixa un punto de . Esta é unha propiedade moito máis forte que a de fidelidade.

O gran matiz entre ambas as defincións está nos termos para todos ou para algúns.

Por exemplo, a acción de calquera grupo sobre si mesmo pola multiplicación pola esquerda é libre. Esta observación implica o teorema de Cayley de que calquera grupo pode mergullarse nun grupo simétrico (que é infinito cando o é o grupo). Un grupo finito pode actuar fielmente nun conxunto de tamaño moito menor que a súa cardinalidade (porén, tal acción non pode ser libre). Por exemplo, o grupo abeliano  (de cardinalidade ) actúa fielmente nun conxunto de tamaño . Non sempre é así, por exemplo o grupo cíclico  non pode actuar fielmente nun conxunto de tamaño inferior a .

En xeral, o conxunto máis pequeno no que se pode definir unha acción fiel pode variar moito para grupos do mesmo tamaño. Por exemplo, tres grupos de tamaño 120 son o grupo simétrico , o grupo icosaédrico  e o grupo cíclico . Os conxuntos máis pequenos nos que se poden definir accións fieis para estes grupos son de tamaño 5, 7 e 16 respectivamente.

 Exemplos 
Imos ver dous exemplos tomados dos apuntamentos de Keith Conrad 
 Exemplo 1 
O grupo de transformacións lineares afíns  onde  con  (grupo linear xeral de matrices invertíbeis) e  (vectores de reais de dimensión ) actúa en   mediante . Se escribimos  como  a identidade sería  e a multiplicación  e a inversa .

Agora comprobamos os axiomas para esta acción:
Identidade: . 
Compatibilidade: .
 . Isto é debido a que a multiplicación dunha matriz  por un vector columna de dimensión  é un vector de dimensión   e por tanto  é un vector.
 . Co mesmo resultado que a parte anterior.

 Exemplo 2 
Para  actúa nun n-gono regular como movementos ríxidos. Tamén o podemos ver como actuando sobre os  vértices. Se etiquetamos os vértices de  a  facemos que   actúe en . Por exemplo para  unha rotación  sería o ciclo  e unha reflexión  sería a transposición  . Así podemos transformar o grupo  (diédrico de dimensión 4) no  (Permutacións de 4 elementos). 

Todas as correspondencias son:
 .

 Propiedades de transitividade 
A acción de  en  chámase  se para dous puntos calquera  existe un  para o que .

A acción é  (ou ) se é á vez transitiva e libre. Isto significa que dados  entón o elemento  na definición de transitividade é único. Se un grupo  actúa sobre  simplemente transitivamente, entón chámase espazo homoxéneo principal para  ou -torsor.

Unha acción é -transitiva para un conxunto de  elementos se é transitiva en todos os pares de elementos diferentes.

 Exemplos 
A acción do grupo simétrico de  é transitiva, de feito -transitiva para calquera  até a cardinalidade de . Se  ten cardinalidade , a acción do grupo alternante é -transitiva mais  non -transitiva.

 Accións primitivas 

A acción de  en  chámase primitiva se non hai ningunha partición de  preservada por todos os elementos de  a maiores das particións triviais (todo o conxunto ou a partición en conxuntos unitarios).

 Accións de grupos topolóxicos 

Supoña agora que  é un grupo topolóxico e  un espazo topolóxico no que actúa por homeomorfismos. Dise que a acción é continua se o mapa  é continuo para a topoloxía do produto.

A acción dise que é   se o mapa  definido por  é propio. Isto significa que dados os conxuntos compactos  o conxunto de  tal que  é compacto. En particular, isto é equivalente a que  con descontinuidade propia é un grupo discreto.

Dise que é localmente libre se existe unha viciñanza  de  tal que  para todos os  e .

Dise que a acción é fortemente continua se o mapa orbital  é continuo para cada . 

Se  é un grupo de Lie e  unha variedade diferenciábel, entón o subespazo de puntos suaves para a acción é o conxunto de puntos  de tal xeito que o mapa  é suave.

 Accións lineares 

Se  actúa mediante transformacións lineares nun módulo sobre un anel conmutativo, dise que a acción é irredutíbel se non hai submódulos propios -invariantes distintos de cero. Dise que é semisimple se se descompón como unha suma directa de accións irredutíbeis.

 Órbitas e estabilizadores 

Considere un grupo  que actúa nun conxunto . Para cada elemento  en  
 A súa  é  
 O seu  é  

Vemos que as órbitas pertencen a  e os estabilizadores a .

Dicimos que  é un punto fixo da acción se  para todo , que pode verse como  ou . 

 Exemplos  
  Exemplo 1  
Cando  actúa no modo usual sobre  a órbita de  é  pois todo vector menos o vector cero pode ser obtido con  aplicando a correspondente matriz invertíbel.
 ou 
 sendo unha das dúas matrices cadradas invertíbel (dado  ou  distinto de cero).

O estabilizador de  é .

  Exemplo 2  
Cando  actúa no modo usual sobre  (vectores de enteiros en lugar de reais) a órbita de  non é  pois en  as matrices cadradas de dimensión  só son invertíbeis se o determinante  é  . Por tanto as órbitas neste caso son os vectores cuxas coordenadas teñen un máximo común divisor  fixo.

Por tanto cada órbita contén un vector da forma   e o estabilizador de  é .


As órbitas e os estabilizadores están intimamente relacionados. Para un  fixo en , considere o mapa  dado por . Por definición, a imaxe  deste mapa é a órbita . A condición para que dous elementos teñan a mesma imaxe é

Noutras palabras,  se e só se  e  atópanse no mesmo coset para o subgrupo estabilizador . Así, a fibra  de  sobre calquera  en  está contida nun conxunto dese tipo, e cada un destes cosets tamén está como fibra. Polo tanto,  induce unha  entre o conxunto  de clases secundarias para o subgrupo estabilizador e a órbita , que envía .M. Artin, Algebra, Proposition 6.8.4 on p. 179 Este resultado coñécese como o teorema órbita-estabilizador.

Se  é finito, o teorema órbita-estabilizador, xunto co teorema de Lagrange, dá

noutras palabras, a lonxitude da órbita de  veces a orde do seu estabilizador é a orde do grupo. En particular, iso implica que a lonxitude da órbita é un divisor da orde do grupo.

 Exemplo: Sexa  un grupo de orde prima  que actúa sobre un conxunto  con elementos . Dado que cada órbita ten  ou  elementos, hai polo menos  órbitas de lonxitude  que son elementos -invariantes. Máis concretamente,  e o número de elementos -invariantes que son congruentes módulo .

 Exemplo: Podemos usar o teorema órbita-estabilizador para contar os automorfismos dun grafo. Considere o grafo cúbico como se mostra na imaxe, e denotamos como  o seu grupo de automorfismos. Entón  actúa sobre o conxunto de vértices , e esta acción é transitiva como se pode ver compoñendo rotacións arredor do centro do cubo. Así, polo teorema órbita-estabilizador, . Aplicando agora o teorema ao estabilizador , podemos obter . 

Calquera elemento de  que fixe o 1 debe enviar 2 a 2, 4 ou 5. Como exemplo deste tipo de automorfismos, considere a rotación ao redor do eixo diagonal a través de 1 e 7 por , que permuta 2, 4, 5 e 3, 6, 8 e fixa 1 e 7. Así . Aplicando o teorema por terceira vez dáse . Calquera elemento de  que fixe 1 e 2 debe enviar 3 a 3 ou 6. Reflictir o cubo no plano a través de 1, 2, 7 e 8 é un automorfismo que envía 3 a 6, polo que . Tamén se ve que  consiste só no automorfismo de identidade, xa que calquera elemento de  que fixa 1, 2 e 3 tamén debe fixar todos os demais vértices, xa que están determinados pola súa adxacencia a 1, 2 e 3. Combinando os cálculos anteriores, agora podemos obter .

 Lema de Burnside 
Un resultado moi relacionado co teorema órbita-estabilizador é o lema de Burnside:

onde  é o conxunto de puntos fixados por . Este resultado é útil principalmente cando  e  son finitos, cando se pode interpretar do seguinte xeito: o número de órbitas é igual ao número medio de puntos fixados por elemento de grupo.

Fixando un grupo , o conxunto de diferenzas formais dos conxuntos finitos  forma un anel chamado anel de Burnside de , onde a suma corresponde á unión disxunta, e a multiplicación ao produto cartesiano.

 Exemplos 
 A acción  de calquera grupo  en calquera conxunto  está definida por  para todos os  en  e todos os  en ; é dicir, cada elemento de grupo induce a permutación de identidade en .
 En todos os grupos , a multiplicación pola esquerda é unha acción de  en :  para todos os ,  en . Esta acción é libre e transitiva (regular), e constitúe a base dunha demostración rápida do teorema de Cayley: cada grupo é isomorfo a un subgrupo do grupo simétrico de permutacións do conxunto .
 En todos os grupos  con subgrupo , a multiplicación pola esquerda é unha acción de  no conxunto de clases :  para todos os ,  en . En particular, se  non contén subgrupos normais non triviais de  isto induce un isomorfismo de  a un subgrupo do grupo de permutación de grao .
 En todos os grupos , a conxugación é unha acción de  en : . Úsase habitualmente unha notación exponencial para a acción pola dereita: ; satisfai  (.
 En todos os grupos  co subgrupo , a conxugación é unha acción de  nos conxugados de :  para todos os  en   e  conxugados de .
 O grupo simétrico  e os seus subgrupos actúan sobre o conxunto  permutando os seus elementos.
 O grupo de simetría dun poliedro actúa sobre o conxunto de vértices dese poliedro. Tamén actúa sobre o conxunto de caras ou o conxunto de arestas do poliedro.
 O grupo de simetría de calquera obxecto xeométrico actúa sobre o conxunto de puntos dese obxecto.
 Para un espazo de coordenadas  sobre un corpo  cun grupo de unidades , o mapa  dado por  é unha acción de grupo chamada multiplicación escalar.
 O grupo linear xeral  e os seus subgrupos, particularmente os seus subgrupos de Lie (incluíndo o grupo linear especial , grupo ortogonal , o grupo ortogonal especial   e o grupo simpléctico ) son grupos de Lie que actúan sobre o espazo vectorial . As operacións de grupo danse multiplicando as matrices dos grupos cos vectores de .
 O grupo linear xeral  actúa sobre  por acción da matriz natural. As órbitas da súa acción clasifícanse polo máximo común divisor de coordenadas do vector en .
 O grupo afín actúa transitivamente nos puntos dun espazo afín, e o subgrupo V do grupo afín (é dicir, un espazo vectorial) ten acción transitiva e libre (é dicir, regular) sobre estes puntos;, de feito, esta definición pódese utilizar na definición dun espazo afín.
 O grupo linear proxectivo  e os seus subgrupos, particularmente os seus subgrupos de Lie, que son grupos de Lie que actúan no espazo proxectivo . Este é un cociente da acción do grupo linear xeral sobre o espazo proxectivo. Particularmente notábel  é , as simetrías da liña proxectiva, que é marcadamente 3-transitiva, conservando a razón anarmónica; o grupo de Möbius  ten un interese particular.
 Os conxuntos sobre os que actúa un grupo  comprenden a categoría de -conxuntos nos que os obxectos son -conxuntos e os morfismos son homomorfismos de -conxuntos: funcións  tal que  para todo  en .
 O grupo de Galois dunha extensión de corpo  actúa no corpo  mais só ten unha acción trivial sobre os elementos do subcorpo . Os subgrupos de  corresponden a subcorpos de  que conteñen , é dicir, extensións de corpo intermedio entre  e .

O grupo aditivo dos números reais  actúa sobre o conxunto de funcións reais dunha variábel  real de varias maneiras, sendo  igual a, por exemplo, , , , , , ou , mais non .
 Dada unha acción de grupo de  en , podemos definir unha acción inducida de  no conxunto de partes de , estabelecendo  para cada subconxunto  de  e cada   en . Isto é útil, por exemplo, para estudar a acción do grande grupo de Mathieu nun 24-conxunto  e para estudar a simetría en certos modelos de xeometrías finitas.

 Tendo en conta os -conxuntos , , hai un -conxunto esquerdo  cuxos elementos son mapas -equivariantes , e con unha -acción esquerda dada por  (onde "" indica a multiplicación pola dereita por ). Este -conxunto ten a propiedade de que os seus puntos fixos corresponden a mapas equivariantes ; máis xeralmente, é un obxecto exponencial na categoría de -conxuntos.

 Accións de grupo e grupoides 

A noción de acción de grupo pódese codificar coa acción groupoide  asociada á acción de grupo. Os estabilizadores da acción son os grupos de vértices do grupoide e as órbitas da acción son os seus compoñentes.

 Morfismos e isomorfismos entre conxuntos G 
Se  e  son dous conxuntos , un morfismo de  a  é unha función  tal que <cnt>488</c>nt> para todo</cnt>488</c>nt>  e todos os  en . Os morfismos dos conxuntos  tamén se chaman mapas equivalente ou -mapas.

A composición de dous morfismos é de novo un morfismo. Se un morfismo  é bixectivo, entón o seu inverso tamén é un morfismo. Neste caso,  chámase isomorfismo, e os dous -conxuntos  e  chámanse isomorfos; para todos os efectos prácticos, os conxuntos isomorfos  son indistinguíbeis.

Con esta noción de morfismo, a colección de todos os -conxuntos forma unha categoría; esta categoría é un topos de Grotendieck (de feito, asumindo unha clase metalóxica, este topos será mesmo booleano).

 Variantes e xeneralizacións 
Tamén podemos considerar accións de monoides sobre conxuntos, usando os mesmos dous axiomas vistos neste artigo. No entanto, isto non define mapas bixectivos nin relacións de equivalencia. Ver acción de semigrupo.

En lugar de accións sobre conxuntos, podemos definir accións de grupos e monoides sobre obxectos dunha categoría arbitraria: comeza cun obxecto  dalgunha categoría, e despois define unha acción en  como un homomorfismo monoide no monoide de endomorfismos de . Se  ten un conxunto subxacente, entón todas as definicións e feitos indicados anteriormente pódense transferir. Por exemplo, se tomamos a categoría de espazos vectoriais, obtemos deste xeito representacións de grupo.

A maiores das accións continuas de grupos topolóxicos en espazos topolóxicos, tamén se poden considerar accións suaves de grupos de Lie en variedades suaves, accións regulares de grupos alxébricos en variedades alxébricas de grupos, accións de grupos de esquemas  en esquemas. Todos estes son exemplos de obxectos de grupos que actúan sobre obxectos da súa categoría respectiva.

 Galería 

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 



 .









 Outros artigos 
 Grupo (matemáticas)
 Grupo con operadores
 Acción de monoide
 Ligazóns externas 



Categoría:Simetría
Categoría:Teoría de grupos