Idempotente (teoría dos aneis)

Na teoría de aneis, unha rama das matemáticas, un elemento idempotente ou simplemente idempotente dun anel é un elemento  tal que .  É dicir, o elemento é idempotente baixo a multiplicación do anel. Daquela, de xeito indutivo, tamén se pode concluír que   para calquera número enteiro positivo . Por exemplo, un elemento idempotente dun anel de matrices é precisamente unha matriz idempotente.

 Exemplos 

 Cocientes de Z 
Pódese considerar o anel de enteiros módulo , onde  é libre de cadrados. Segundo o teorema chinés do resto, este anel factoriza no produto de aneis de enteiros módulo , onde  é primo. Agora cada un destes factores é un corpo, polo que está claro que os únicos factores idempotentes  serán  e . É dicir, cada factor ten dous idempotentes. Entón, se hai  factores, haberá  idempotentes.

Podemos comprobar isto para os enteiros  , . Como  ten dous factores primos ( e ) debería ter  idempotentes.








A partir destes cálculos, , ,  e  son idempotentes deste anel, mentres que  e  non o son. Isto tamén demostra as propiedades de descomposición descritas a continuación: a causa de que , hai unha descomposición do anel . En  a identidade multiplicativa é  e en  a identidade multiplicativa é  .

 Cociente de anel polinómico 
Dado un anel  e un elemento  tal que , o anel cociente



ten o idempotente . Por exemplo, isto podería aplicarse a , ou a calquera polinomio  .

 Idempotentes no anel dos cuaternións divididos 
Hai unha circunferencia de idempotentes no anel dos cuaternións divididos. Os cuaternións divididos teñen a estrutura dunha álxebra real, polo que os elementos poden escribirse w + x i + y j + z k sobre unha base {1, i, j, k}, con j 2 = k 2 = +1. Para calquera θ ,

  cumpre s 2 = +1 xa que j e k satisfán a propiedade anticomutativa. Agora
  a propiedade idempotente.

O elemento s chámase unidade hiperbólica e a coordenada i tomouse como cero. Cando esta coordenada é distinta de cero, entón hai un hiperboloide dunha folla de unidades hiperbólicas en cuaternións divididos. 

 Tipos de aneis idempotentes 
Unha lista parcial de tipos importantes de idempotentes inclúe:

 Dous idempotentes  e  chámanse ortogonais se . Se  é idempotente no anel  (con unidade), entón tamén o é  ; a maiores,  e  son ortogonais.
 Un idempotente  en  chámase idempotente central se  para todo  en , é dicir, se  está no centro de .
 Un idempotente trivial refírese a calquera dos elementos  e , que sempre son idempotentes.
 Un idempotente primitivo dun anel  é un idempotente distinto de cero  tal que  é indescompoñíbel como un módulo  pola dereita; é dicir, tal que  non é unha suma directa de dous submódulos distintos de cero. De forma equivalente,  é un idempotente primitivo se non se pode escribir como , onde  e  son idempotentes ortogonais distintos de cero en .
 Un idempotente local é un idempotente  tal que  é un anel local. Isto implica que  é directamente indescompoñíbel, polo que os idempotentes locais tamén son primitivos.
 Un idempotente irredutíbel pola dereita é un idempotente  para o cal  é un módulo simple. Segundo o lema de Schur,  é un anel de división e, polo tanto, é un anel local, polo que os idempotentes irredutíbeis pola dereita e pola esquerda son locais.
 Un idempotente centralmente primitivo é un idempotente central  que non se pode escribir como a suma de dous idempotentes centrais ortogonais distintos de cero.
 Un idempotente  no anel cociente  dise que se eleva  módulo  se hai un idempotente  en  tal que  .
 Un idempotente  de  chámase idempotente completo se .
 Para separabilidade idempotente  ver Álxebra separábel.

Calquera idempotente  non trivial é un divisor de cero (porque  sen que nin  nin  sexan cero, onde ). Isto mostra que dominios de integridade e os  aneis de división non teñeneses idempotentes. Os aneis locais tampouco non teñen eses idempotentes, mais por un motivo diferente. O único idempotente contido no radical de Jacobson dun anel é .

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 idempotent at FOLDOC






 Outros artigos 
  Idempotencia.
 Unipotente
 Nilpotente

Categoría:Teoría de aneis