Integración por cambio de variábeis

En cálculo, a integración por cambio de variábeis, tamén coñecida como integración por substitución,  é un método para avaliar integrais e antiderivadas. É a contrapartida da regra da cadea para a diferenciación, e pode considerarse que usa a regra da cadea "ao revés".

 Cambio dunha única variábel 

 Introdución (integrais indefinidas) 
Consideremos un caso sinxelo que utiliza integrais indefinidas.

Calcular  

Facemos  Isto significa que  ou como forma diferencial,  Agora: 

onde  é unha constante arbitraria de integración.

Este procedemento utilízase con frecuencia, mais non todas as integrais teñen unha forma que permita a súa aplicación. En todo caso, o resultado debe verificarse diferenciando e comparando co integrando orixinal. 

Para as integrais definidas, tamén se deben axustar os límites de integración, mais o procedemento é o mesmo na súa maior parte.

 Enunciado para integrais definidas 
Sexa   unha función diferenciábel cunha derivada continua, onde  é un intervalo. Supoñamos que  é unha función continua. Entón:  

En notación de Leibniz, a substitución  produce:

Isto produce a ecuación . 

A fórmula úsase para transformar unha integral noutra integral que sexa máis fácil de calcular. 

 Exemplos: Antiderivadas (integrais indefinidas) 
O cambio de variábeis pódese usar para determinar as antiderivadas. Escollemos unha relación entre  e  determinamos a correspondente relación entre  e  diferenciando, e realizamos as substitucións. Tentamos que este cambio produza unha integral máis simple de resolver como integral inmediata.

 Exemplo 1 
Considere a integral: 

Facemos a substitución  e diferenciando esa ecuación temos  e por tanto  Polo tanto: 

onde  é a constante de integración.

 Exemplo 2: Antiderivada da tanxente 
A función tanxente pódese integrar mediante a substitución expresándoa en termos de seno e coseno:  .

Usando a substitución  dá  e 

 Exemplos: Integrais definidas 
Ao avaliar integrais definidas por cambio de variábel, pódese calcular a antiderivada completamente primeiro e despois aplicar as condicións de contorno.

 Exemplo 1 
Considere a integral: 

Facemos a substitución  e derivando obtemos  e de aí temos  Polo tanto: 

Onde o límite inferior  foi substituído en   dando  e o límite superior  danto  .

 Exemplo 2: Substitución trigonométrica 
Para a integral  podemos facer o seguinte. Aplicamos a substitución , e derivando temos , un cambio útil porque  Temos así: 


A integral resultante pódese calcular mediante a integración por partes ou unha fórmula de dobre ángulo,  seguido dunha substitución máis.

 Substitución por varias variábeis 
Tamén se pode usar a substitución ao integrar funcións de varias variábeis.

Aquí, a función de substitución  debe ser inxectiva e continuamente derivábel, e as diferenciais transfórmanse como: 

onde  denota o determinante da matriz jacobiana de derivadas parciais de  no punto . Esta fórmula expresa o feito de que o valor absoluto do determinante dunha matriz é igual ao volume do paralelotopo expandido polas súas columnas ou filas.

Máis precisamente, a fórmula do cambio de variábeis está indicada no seguinte teorema:

 Aplicación en probabilidade 
O cambio de variábeis pódese usar para responder á seguinte pregunta importante en probabilidade: dada unha variábel aleatoria  con densidade de probabilidade  e outra variábel aleatoria  tal que  para unha  inxectiva (un a un), cal é a densidade de probabilidade de  ?

É máis doado responder a esta pregunta respondendo primeiro a unha pregunta lixeiramente diferente: cal é a probabilidade de que  tome un valor nalgún subconxunto  en particular? Denotamos esta probabilidade  Por suposto, se  ten densidade de probabilidade , entón a resposta é: 

mais isto non é realmente útil porque non coñecemos  que é o que estamos tentando atopar. Podemos avanzar considerando o problema na variábele . Temos que  toma un valor en  sempre que  toma un valor en  logo: 

O cambio de variábel de  a  dá: 

Ao combinar isto coa nosa primeira ecuación temos: 
 así: 

No caso en que  e  dependen de varias variábeis non correlacionadas (isto é,  e  ),  pódese atopar por substitución en varias variábeis comentado anteriormente. O resultado é: 

Categoría:Cálculo integral
Categoría:Wikipedia:Páxinas que usan barra lateral co parámetro child
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 .
 .

 .

 .

 Outros artigos 
Cambio de variábel
Substitución trigonométrica
Substitución de Weierstrass
Substitución de Euler

 Ligazóns externas 
 Integration by substitution en Encyclopedia of Mathematics
 Area formula en Encyclopedia of Mathematics

Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas