Función multivalorada

En matemáticas, unha función multivalorada (tamén chamada correspondencia. ou simplemente multifunción) é calquera relación binaria ., chamada impropiamente función porque non é funcional: a cada elemento dun conxunto asocia, non como moito un elemento senón que pode asociar cero, un ou varios elementos dun segundo conxunto. No entanto, podemos ver unha multifunción como unha función clásica tomando os seus valores do conxunto de partes do segundo conxunto.. Pola contra, se a imaxe de cada punto é un singleton, dicimos que a correspondencia é un a un.

Un exemplo sinxelo dunha función multivalorada é a función inversa dunha aplicación non inxectiva: en calquera punto da súa imaxe facemos corresponder a imaxe inversa formada a partir dos antecedentes deste punto.

As funcións multivaloradas aparecen na análise complexa onde podemos considerar ramas das mesmas (ver abaixo ramas e valores principais), é dicir, restricións a estas relacións que as fan funcións e que nos permiten calcular determinadas integrais reais mediante o teorema do residuo como se ilustra a continuación; no entanto, o seu uso é difícil e foi substituído pola consideración máis abstracta de funcións (univaloradas) en superficies de Riemann.

 Exemplos 

 A raíz cadrada 

 Nos números reais, para cada elemento positivo x, a relación  coincide con dous elementos  e  con . Adoitamos restrinxirnos ao valor positivo  para así termos a función raíz cadrada.

 En complexos, ao definir un elemento z do plano complexo  por  con  o argumento de z, as raíces cadradas de z son os números  () dados por:


 e temos un valor da raíz cadrada por cada valor enteiro que asignemos a  (1, 2, 3 ...). 
 Comprobamos de feito que  xa que  para calquera número enteiro k.

 O logaritmo complexo 
Definindo un elemento z do plano complexo como antes, os logaritmos complexos de z son os números  () dado por:



e igual que antes temos un valor por cada enteiro asignado a . 

Comprobamos de feito que  xa que, como antes,  para calquera número enteiro k .

As inversas das funcións trigonométricas

 As funcións trigonométricas inversas son multivaloradas porque as funcións trigonométricas son periódicas. Temos 

Como consecuencia,  está intuitivamente relacionado con varios valores: /4, 5/4, −3/4, etc. 

Podemos tratar a  como unha función de valor único restrinxindo o dominio de  a , un dominio sobre o que  aumenta monótonamente. Así, o intervalo de  pasa a ser . Estes valores dun dominio restrinxido chámanse valores principais.

 Definicións 

 Multifunción 
Sexan  e  dous conxuntos. Unha multifunción  é unha aplicación de  no conxunto  de partes de .

A aplicación que a unha multifunción , asocia a relación binaria "  ", é unha bixección entre as multifuncións de  en  e as relacións entre  e . É por iso que chamamos gráfica de  á gráfica da relación binaria asociada, é dicir, o conxunto(e non  gráfica da función , que é unha parte de  ).

 Dominio, imaxe, selección 
Do mesmo xeito, imaxe dunha parte  e imaxe inversa dunha parte  mediante unha multifunción  defínense como a imaxe e a imaxe inversa pola relación binaria asociada:En particular, chamamos dominio, ou conxunto de definición,e imaxe, ou conxunto de valores (ou conxunto de imaxes) , de  o dominio e a imaxe da relación binaria asociada:Unha selección de  é unha función de escolla, é dicir, unha aplicación  tal que .

 Multifunción inversa 
A multifunción inversa  de  é a súa relación binaria inversa, definida por  .

O dominio e a imaxe de  son polo tanto respectivamente a imaxe e o dominio de .

 Algunhas multifuncións especiais 

 Sexan  e  espazos topolóxicos metrizábeis e sexa  unha multifunción. Dicimos que  é:
 pechada no punto  se  sempre que  converxe a ;
 pechada se a súa gráfica é un pechado do espazo produto  (o que equivale a dicir que  está pechada en cada punto de ).
 Se  e  son espazos vectoriais reais, dicimos que unha multifunción   é:
 convexa se a súa gráfica é convexa ;
 un proceso convexo se a súa gráfica é un cono convexo puntiagudo.
 Se  é un espazo pre-Hilbert, dicimos que unha multifunción  é monótona se .

 Ramas e valores principais 
Para a raíz cadrada complexa e o logaritmo complexo, chamamos rama a unha restrición no argumento  do valor correspondente. Máis explicitamente, unha rama para a raíz cadrada vén dada por:



con  calquera ángulo que caracterice a determinación. Esta sería a rama principal, que sería asignar o valor cero á fórmula xeral vista arriba .

Do mesmo xeito, unha rama para o logaritmo complexo vén dada por:



A restrición do argumento ao intervalo semiaberto  chámase rama principal do logaritmo.

Teña en conta que, ata unha rama, a función de raíz cadrada complexa e o logaritmo complexo son funcións holomorfas en todo o plano complexo agás a semirecta que comeza desde a orixe e cun ángulo  en relación ao eixo x. No caso da rama principal, ambas as funcións son holomorfas . A descontinuidade no eixo real negativo móstrase na figura seguinte.

 Superficies de Riemann 
dereita|miniatura| Superficie de Riemann asociada á función raíz cadrada.
A teoría ineficaz de funcións multivaloradas para funcións de variábeis complexas é substituída nas matemáticas modernas polo concepto máis abstracto dunha función (univalorada) definida nunha superficie de Riemann.

Este punto de vista consiste en considerar o dominio de definición dunha función multivalorada como un obxecto máis elaborado que o plano complexo: unha variedade complexa de 

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 




 Outros artigos 
 Rama (matemáticas)
 Valor principal
 Análise complexa
 Superficie de Riemann
 Teorema do residuo

Categoría:Análise complexa
Categoría:Funcións
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas