Nilpotente

En matemáticas, un elemento  dun anel  chámase nilpotente se existe algún número enteiro positivo , chamado índice (ou ás veces grao), de xeito que .

O termo, xunto co seu irmán idempotente, foi introducido por Benjamin Peirce no contexto do seu traballo sobre a clasificación das álxebras.Polcino Milies & Sehgal (2002), An Introduction to Group Rings. p. 127.

 Exemplos 

 Esta definición pódese aplicar en particular ás matrices cadradas. A matriz


 é nilpotente porque . Consulte matriz nilpotent para obter máis información.

 No anel do factor , a clase de equivalencia de 3 é nilpotente porque 32 é congruente con 0 módulo 9.
 Supoña que dous elementos  e  nun anel  satisfán . Daquela o elemento  é nilpotente pois Un exemplo con matrices (para a, b):  Aquí  e .

 Propiedades 
Ningún elemento nilpotente pode ser unha unidade (agás no anel trivial, que só ten un único elemento ). Todos os elementos nilpotentes son divisores de cero.

Unha matriz   con entradas dun corpo é nilpotente se e só se o seu polinomio característico é .

Se  é nilpotente, entón  é unha unidade, porque  implica 

De forma máis xeral, a suma dun elemento unitario e un elemento nilpotente é unha unidade cando conmutan.

 Aneis conmutativos 
Os elementos nilpotentes dun anel conmutativo  forman un ideal ; esta é unha consecuencia do teorema binomial. Este ideal é o nilradical do anel. Cada elemento nilpotente  nun anel conmutativo está contido en todo ideal primo  dese anel, xa que . Entón  está contido na intersección de todos os ideais primos.

 Elementos nilpotentes na álxebra de Lie 
Sexa  unha álxebra de Lie. Daquela un elemento  chámase nilpotente se está en  e  é unha transformación nilpotente. Vexa tamén: Descomposición de Jordan nunha álxebra de Lie.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Outros artigos 
Idempotente (teoría dos aneis)
Unipotente
Nil ideal
Matriz nilpotente
 Ligazóns externas 
  what are the applications of nilpotent elements/nilpotent ideals?.

Categoría:Cero
Categoría:Teoría de aneis