Teorema do ideal principal de Krull

En álxebra conmutativa, o teorema do ideal principal de Krull, que recibe o nome de Wolfgang Krull (1899–1971), dá un límite da altura dun ideal principal nun anel noetheriano conmutativo. O teorema é ás veces referido polo seu nome alemán, Krulls Hauptidealsatz (de Haupt- ("Principal") + ideal + Satz ("teorema").

Precisamente, se R é un anel de Noether e I é un ideal principal e propio de R, entón cada ideal primo mínimal que contén a I ten altura como máximo un.

Este teorema pódese xeneralizar a ideais que non son principais, e o resultado é frecuentemente chamado teorema da altura de Krull. Isto di que se R é un anel noetheriano e I é un ideal propio xerado por n elementos de R, entón cada primo minimal sobre I ten altura como máximo n. O inverso tamén é certo: se un ideal primo ten altura n, entón é un ideal primo minimal sobre un ideal xerado por n elementos. 

O teorema ideal principal e a xeneralización, o teorema da altura, dedúcense do teorema fundamental da teoría da dimensión en álxebra conmutativa. En Éléments de mathématique de Bourbaki dá unha proba directa. En Commutative Rings de Kaplansky inclúese unha proba debida a David Rees.

 Probas 

 Demostración do teorema do ideal principal 
Sexa  un anel noetheriano, x un elemento del e  un primo minimal sobre x. Substituíndo  pola localización , podemos supor  que  é local co ideal maximal . Sexa  un ideal primo estritamente máis pequeno e sexa , o cal é un -ideal primario chamodo  n-ésima potencia simbólica de . Forma unha cadea descendente de ideais  Así, hai  unha cadea descendente de ideais  no anel . Agora, o radical   é a intersección de todos os ideais primos minimais que conteñen ;  entre eles  Mais  é un ideal maximal único e logo . Xa que  contén algunha potencia do seu radical, dedúcese que  é un anel de Artin e por isto a cadea  estabiliza e tan hai algún n tal que. Isto implica:

  ,

polo feito  é -primario (se  está  en , entón  con  e . Xa que  é minimal sobre ,  e así  que  implica que  está en ). Agora, facendo o cociente por ambos os dous lados por      temos . Daquela, polo lema de Nakayama  (que di que un módulo M xerado finitamente  é cero se   para algún ideal contido no radical), conseguimos ; isto é,  e por tanto . Utilizando o lema de Nakayama  outra vez ,  e  é un anel de Artin; así, a altura de  é cero. 

 Demostración do teorema da altura 
O teorema da altura de Krull pódese demostrar como consecuencia do teorema do ideal principal por indución sobre o  número de elementos. Sexan  os elementos en ,  un primo minimal sobre  e  un ideal primo tal que non hai un primo estritamente entre eles. Substituíndo  pola localización  podemos supoñer que  é un anel local; note que temos logo  . Por minimalidade de , despréndese que  non pode conter todos os ; reetiquetando os subíndices, por exemplo, . Xa que todo ideal primo que contén  está entre  e ,  e así podemos escribir para cada  ,



con  e . Agora consideramos o anel  e a cadea correspondente  nel. Se  é un primo minimal sobre , entón  contén  e así ; é dicir,  é un primo minimal sobre  e así, polo teorema do ideal principal de Krull,  é un primo minimal (sobre cero);  é un primo mínimo sobre . Por hipótese inductiva,  e así . 
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 , see in particular section (12.I), p. 77
http://www.math.lsa.umich.edu/~hochster/615W10/supDim.pdf
 Outros artigos 
 ideal primario.

Categoría:Teoremas
Categoría:Álxebra abstracta