Polinomio simétrico elemental

En matemáticas, concretamente en álxebra conmutativa, os polinomios simétricos elementais son un tipo de bloque básico para polinomios simétricos, no sentido de que calquera polinomio simétrico pode expresarse como polinomio en polinomios simétricos elementais. É dicir, calquera polinomio simétrico  vén dado por unha expresión que só implica sumas e multiplicacións de constantes e polinomios simétricos elementais. Hai un polinomio simétrico elemental de grao  en  variábeis para todo número enteiro positivo , e fórmase sumando todos os produtos distintos de  variábeis distintas.

 Definición 
Os polinomios simétricos elementais en  variábeis  , escritos  para  , defínense por



e igual para o resto, rematando con



En xeral, para  definimos



de xeito que   se . (Ás veces,  inclúese entre os polinomios simétricos elementais, pero excluíndoo permite unha formulación xeralmente máis sinxela de resultados e propiedades.)

Así, para cada número enteiro positivo  menor ou igual a  existe exactamente un polinomio simétrico elemental de grao  en  variábeis. Para formar o que ten o grao , sumamos todos os produtos de subconxuntos das  variábeis . (Polo contrario, se se realiza a mesma operación usando varios conxuntos de variábeis, é dicir, tomando variábeis con repetición, chégase aos polinomios simétricos homoxéneos completos).

Dada unha partición enteira (é dicir, unha secuencia finita non crecente de números enteiros positivos) , defínese o polinomio simétrico , tamén chamado polinomio simétrico elemental, por

  .

Ás veces úsase a notación  en lugar de  .

 Exemplos 
A continuación enuméranse os  polinomios simétricos elementais para os catro primeiros valores positivos de .

Para :



Para  :



Para  :



Para  :



 Propiedades 
Os polinomios simétricos elementais aparecen cando expandimos unha factorización linear dun polinomio mónico: temos a identidade



É dicir, cando substituímos valores numéricos polas variábeis  , obtemos o polinomio mónico univariado (con variábel ) cuxas raíces son os valores substituídos por   e cuxos coeficientes son, ata o seu signo, os polinomios simétricos elementais. Estas relacións entre as raíces e os coeficientes dun polinomio chámanse fórmulas de Viète.

O polinomio característico dunha matriz cadrada é un exemplo de aplicación das fórmulas de Vieta. As raíces deste polinomio son os eigenvalores da matriz. Cando substituímos estes eigenvalores nos polinomios simétricos elementais, obtemos, ata o seu signo, os coeficientes do polinomio característico, que son invariantes da matriz. En particular, a traza (a suma dos elementos da diagonal) é o valor de  e, polo tanto, a suma dos eigenvalores. Do mesmo xeito, o determinante é, ata o signo, o termo constante do polinomio característico, é dicir, o valor de . Así, o determinante dunha matriz cadrada é o produto dos eigenvalores.

O conxunto de polinomios simétricos elementais en  variábeis xera o anel de polinomios simétricos en  variábeis. Máis concretamente, o anel de polinomios simétricos con coeficientes enteiros é igual ao anel polinómico de enteiros . (Consulte a continuación para unha definición máis xenérica.) Este feito é un dos fundamentos da teoría dos invariantes. Para outro sistema de polinomios simétricos coa mesma propiedade consulte Polinomios simétricos homoxéneos completos, e para un sistema cunha propiedade similar, pero lixeiramente máis débil, consulte Polinomio simétrico de suma de potencias.

 Teorema fundamental dos polinomios simétricos 
Para calquera anel conmutativo , denote o anel de polinomios simétricos nas variábeis   con coeficientes en  como  . Este é un anel polinómico nos n polinomios elementais simétricos  para .

Isto significa que todo polinomio simétrico  ten unha representación única



para algún polinomio . Outra forma de dicir o mesmo é que o homomorfismo de aneis que envía  a  para   define un isomorfismo entre  e .

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 


 Outros artigos 
 Anel polinómico.
 Función simétrica.
 Desigualdade de Maclaurin.
 Ligazóns externas 


Categoría:Polinomios
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas