Regra da cadea

En cálculo, a regra da cadea é unha fórmula que expresa a derivada da composición de dúas funcións diferenciábeis  e  en termos das derivadas de  e de . Máis precisamente, se  é a función tal que  para cada , entón a regra da cadea é, na notación de Lagrange, 

ou equivalentemente, 

A regra da cadea tamén se pode expresar na notación de Leibniz. Se unha variábel  depende da variábel , que a si mesmo depende da variábel  (é dicir,  e  son variábeis dependentes), entón  depende tamén de , a través da variábel intermedia . Neste caso, a regra da cadea exprésase como 
 e 

para indicar en que puntos se teñen que avaliar as derivadas.

Na integración, a contrapartida da regra da cadea é o cambio de variábel.

 Enunciado 
A forma máis sinxela da regra da cadea é para funcións con valores reais dunha variábel real. Afirma que se  é unha función que é derivábel nun punto  (isto é, a derivada  existe) e  é unha función que é derivábel en , entón a función composta  é diferenciábel en , e a derivada é 

A regra ás veces abreviase como 

Continuando o mesmo razoamento, dadas  funcións  coa función composta , se cada función  é diferenciábel na súa entrada inmediata, entón a función composta tamén é diferenciábel pola aplicación repetida da regra da cadea, onde a derivada é (en notación de Leibniz): 

 Aplicacións 

 Composición de máis de dúas funcións 
A regra da cadea pódese aplicar a compostos de máis de dúas funcións. Podemos velo cun exemplo:

Consideremos a función 

Isto pódese descompoñer como a composición de tres funcións: 
  Así que  .

As súas derivadas son: 

A regra da cadea estabelece que a derivada da súa composición no punto  é: 

En notación de Leibniz, isto é: 

ou para abreviar, 

Polo tanto, a función derivada é: 

Outra forma de calcular esta derivada é ver a función composta  como a composición de  e h. Aplicando a regra da cadea deste xeito obterase: 


Isto é o mesmo que o calculado anteriormente. Isto debería esperarse porque .

 Regra do cociente 
A regra da cadea pódese usar para derivar algunhas regras de diferenciación coñecidas. Por exemplo, a regra do cociente é unha consecuencia da regra da cadea e da regra do produto. Para ver isto, escribimos a función  como o produto  . Primeiro aplicamos a regra do produto: 

Para calcular a derivada de , observamos que é a composición de  coa función recíproca, é dicir, a función que envía  a . A derivada da función recíproca é . Ao aplicar a regra da cadea, a última expresión pasa a ser: 

que é a fórmula habitual da regra do cociente.

 Derivadas de funcións inversas 
Supoñamos que  ten unha función inversa. Chamamos á súa función inversa  para que teñamos . Hai unha fórmula para a derivada de  en termos da derivada de . Para ver isto, temos en conta que  e  satisfán a fórmula 

E como as funcións  e  son iguais, as súas derivadas deben ser iguais. A derivada de  é a función constante con valor 1, e a derivada de  está determinada pola regra da cadea. Polo tanto, temos que: 

Para expresar  como función dunha variábel independente , substituímos  por  onde queira que apareza. Entón podemos resolver para . 

Por exemplo, consideremos a función . Ten unha inversa . Dado que para a función exponencial a derivada é igual á función temos que , e por tanto a fórmula anterior ficaría como 

Esta fórmula é certa sempre que  é diferenciábel e a súa inversa  tamén é diferenciábel.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 


 Outros artigos 
 Derivada.
 Ligazóns externas 



Categoría:Cálculo
Categoría:Wikipedia:Páxinas que usan barra lateral co parámetro child
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas