Diferencial dunha función

En cálculo, o diferencial representa a parte principal do cambio nunha función  en relación a cambios na variábel independente. O diferencial  defínese como:

onde  é a derivada de  en relación a , e  é unha variábel real adicional (de modo que  é unha función de  e ).   

Tamén se escribe:

Tradicionalmente, as variábeis  e  considéranse moi pequenas (infinitesimais), e esta interpretación faise rigorosa na análise non estándar.

Historia e uso
O diferencial foi introducido por primeira vez mediante unha definición intuitiva ou heurística por Isaac Newton e desenvolvido por Gottfried Leibniz, quen considerou o diferencial  como un cambio infinitamente pequeno (ou infinitesimal) no valor  da función, correspondente a un cambio infinitamente pequeno  no argumento  da función. Por esa razón, a taxa de cambio instantánea de  en relación a , que é o valor da derivada da función, denótase como a fracción:

no que se chama a notación de Leibniz para as derivadas. O cociente  non é infinitamente pequeno; máis ben é un número real.

Augustin-Louis Cauchy (1823) definiu o diferencial sen recorrer ao atomismo dos infinitesimais de Leibniz.Para un relato histórico detallado do diferencial, véxase , especialmente a páxina 275 para a contribución de Cauchy sobre o tema. Un relato abreviado aparece en .Cauchy negou explicitamente a posibilidade de cantidades infinitesimais e infinitas reais , e adoptou o punto de vista radicalmente diferente de que "unha cantidade variábel faise infinitamente pequena cando o seu valor numérico diminúe indefinidamente de tal xeito que converge a cero" (; tradución de ). No canto diso, Cauchy, seguindo a d'Alembert, inverteu a orde lóxica de Leibniz e os seus sucesores: a derivada converteuse no obxecto fundamental, definida como un límite de cocientes de diferenzas, e os diferenciais definíronse entón en termos dela. É dicir, era libre de definir o diferencial  mediante unha expresión:

na que  e  son simplemente novas variábeis que toman valores reais finitos, non infinitesimais fixos como o eran para Leibniz.: "Os diferenciais así definidos son só novas variábeis, e non infinitesimais fixos..."

Definición

O diferencial defínese nos tratados modernos de cálculo diferencial do seguinte xeito.Véxase, por exemplo, os tratados influentes de , , , e . As fontes terciarias para esta definición inclúen tamén  e . O diferencial dunha función  dunha única variábel real  é a función  de dúas variábeis reais independentes  e  dada por:

Un ou ambos os argumentos poden suprimirse, é dicir, pódese ver  ou simplemente . 

Se , o diferencial tamén se pode escribir como . Dado que , é convencional escribir  de modo que se cumpra a seguinte igualdade:

Esta noción de diferencial é amplamente aplicábel cando se busca unha aproximación linear a unha función, na que o valor do incremento  é suficientemente pequeno. Máis precisamente, se  é unha función diferenciábel en , entón a diferenza nos valores de :

cumpre:

onde o erro  na aproximación cumpre  cando . Noutras palabras, tense a identidade aproximada:

na que o erro pode facerse tan pequeno como se desexe en relación a  limitando  a ser suficientemente pequeno; é dicir:

cando . Por esta razón, o diferencial dunha función coñécese como a parte principal (linear) no incremento dunha función: o diferencial é unha función linear do incremento , e aínda que o erro  poida ser non linear, tende a cero rapidamente cando  tende a cero.

Diferenciais en varias variábeis
+Operador / FunciónDiferencial1: 2: 

3: Derivada parcialDerivada total
Seguindo a , para funcións de máis dunha variábel independente,

o diferencial parcial de  en relación a calquera unha das variábeis  é a parte principal do cambio en  resultante dun cambio  nesa variábel. O diferencial parcial é, polo tanto,

que implica a derivada parcial de  en relación a . A suma dos diferenciais parciais en relación a todas as variábeis independentes é o diferencial total

que é a parte principal do cambio en  resultante de cambios nas variábeis independentes .

Máis precisamente, no contexto do cálculo multivariábel, seguindo a , se  é unha función diferenciábel, entón, pola definición de diferenciabilidade, o incremento:

onde os termos de erro  tenden a cero cando os incrementos  tenden conxuntamente a cero. O diferencial total defínese entón rigorosamente como:

Dado que, con esta definición,

tense:

Como no caso dunha variábel, cúmprese a identidade aproximada:

na que o erro total pode facerse tan pequeno como se desexe en relación a  limitando a atención a incrementos suficientemente pequenos.

Diferenciais de orde superior
Os diferenciais de orde superior dunha función  dunha única variábel  pódense definir mediante:. Véxase tamén, por exemplo, .

e, en xeral,

Informalmente, isto motiva a notación de Leibniz para as derivadas de orde superior:

Cando a variábel independente  permítese que dependa doutras variábeis, a expresión faise máis complicada, xa que debe incluír tamén diferenciais de orde superior en  mesma. Así, por exemplo,

e así sucesivamente.

Consideracións similares aplícanse á definición de diferenciais de orde superior para funcións de varias variábeis. Por exemplo, se  é unha función de dúas variábeis  e , entón

onde  é un coeficiente binomial. En máis variábeis, mantense unha expresión análoga, pero cunha expansión multinomial apropiada no canto dunha expansión binomial.

Os diferenciais de orde superior en varias variábeis tamén se volven máis complicados cando as variábeis independentes poden depender doutras variábeis. Por exemplo, para unha función  de  e  que poden depender de variábeis auxiliares, temos:

Propiedades
Unha serie de propiedades do diferencial dedúcense de maneira directa das propiedades correspondentes da derivada, a derivada parcial e a derivada total. Estas inclúen:

 Linearidade: Para constantes  e  e funcións diferenciábeis  e , 

 Regra do produto: Para dúas funcións diferenciábeis  e , 

Unha operación  con estas dúas propiedades coñécese en álxebra abstracta como unha derivación. Estas implican a regra da potencia:

A maiores, cúmprense varias formas da regra da cadea, con niveis crecentes de xeneralidade:

 Se  é unha función diferenciábel da variábel  e  é unha función diferenciábel de , logo:

 Se  e todas as variábeis  dependen doutra variábel , entón, pola regra da cadea para varias variábeis, temos:

Heuristicamente, a regra da cadea para varias variábeis pode entenderse dividindo ambos os lados desta ecuación pola cantidade infinitamente pequena .

 Expresións análogas máis xerais cúmprense, nas que as variábeis intermedias  dependen de máis dunha variábel.

Formulación xeral

Pode desenvolverse unha noción consistente de diferencial para unha función  entre dous espazos euclidianos. Sexan  un par de vectores euclidianos. O incremento na función  é:

Se existe unha matriz   tal que:

na que o vector  cando , entón  é, por definición, diferenciábel no punto . 

A matriz  ás veces coñécese como a matriz jacobiana, e a transformación linear que asocia ao incremento  o vector  é, neste contexto xeral, coñecida como o diferencial  de  no punto . Esta é precisamente a derivada de Fréchet, e a mesma construción pode facerse funcionar para unha función entre calquera espazo de Banach.

Outro punto de vista fructífero é definir o diferencial directamente como un tipo de derivada direccional:

que é o enfoque xa tomado para definir diferenciais de orde superior (e é o máis próximo á definición estabelecida por Cauchy). 

Se  representa o tempo e x a posición, entón h representa unha velocidade no canto dun desprazamento, como o consideramos ata agora. Isto ofrece outra refinación da noción de diferencial: que debe ser unha función linear dunha velocidade cinemática. O conxunto de todas as velocidades a través dun punto dado do espazo coñécese como o espazo tanxente, e así  ofrece unha función linear no espazo tanxente: unha forma diferencial. Con esta interpretación, o diferencial de  coñécese como a derivada exterior, e ten unha ampla aplicación en xeometría diferencial, xa que a noción de velocidade e o espazo tanxente ten sentido en calquera variedade diferenciábel. Se, a maiores, o valor de saída de  tamén representa unha posición (nun espazo euclidiano), entón unha análise dimensional confirma que o valor de saída de df debe ser unha velocidade. Se se trata o diferencial deste xeito, entón coñécese como o pulo (diferencial), xa que "empurra" velocidades dun espazo fonte a velocidades nun espazo destino.

Exemplos e aplicacións
Os diferenciais poden usarse efectivamente na análise numérica para estudar a propagación de erros experimentais nun cálculo e, polo tanto, a estabilidade numérica global dun problema . Supóñase que a variábel  representa o resultado dun experimento e  é o resultado dun cálculo numérico aplicado a x. A cuestión é ata que punto os erros na medida de  inflúen no resultado do cálculo de y. Se  se coñece dentro dun intervalo Δx do seu valor real, entón o teorema de Taylor ofrece a seguinte estimación do erro Δy no cálculo de y:

onde  para algún . Se  é pequeno, entón o termo de segunda orde é desprezábel, de modo que Δy está, para efectos prácticos, ben aproximado por .

O diferencial é a miúdo útil para reescribir unha ecuación diferencial:

na forma:

en particular cando se queren separar as variábeis.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 .
derivada total
derivada
 Ligazóns externas 
Differential Of A Function en  Wolfram Demonstrations Project

Categoría:Cálculo