Función monótona

dereita|miniatura| Figura 2. Gráfico dunha función monótona (función decrecente).
dereita|miniatura| Figura 3. Gráfica dunha función que non é monótona.
En matemáticas, unha función monótona é unha función entre conxuntos ordenados que conserva ou inverte a orde. No primeiro caso, fálase dunha función crecente e no outro de función decrecente. Este concepto apareceu por primeira vez na análise real de funcións numéricas e despois xeneralizouse no marco máis abstracto da teoría da orde.

 Monotonía na análise real 
Intuitivamente (ver as figuras ao lado), a representación gráfica dunha función monótona nun intervalo é unha curva que “sobe» constantemente ou «baixa» constantemente. Se este aspecto gráfico é inmediatamente revelador, non é, porén, a única forma na que se revela a propiedade da monotonía: unha función monótona é unha función que sempre ten o mesmo efecto sobre a relación de orde. Para unha función crecente, a orde que existe entre dúas variábeis atópase na orde das súas imaxes, para unha función decrecente, a orde das imaxes invírtese en comparación coa orde dos antecedentes.

Para unha función con derivada nun intervalo, o estudo da monotonía está ligado ao estudo do signo da derivada, que é constante: sempre positivo ou sempre negativo.

 Definición 
Sexa  un intervalo de  e  unha función de valores reais, cuxo dominio de definición contén este intervalo .

Monotonía en sentido amplo. Dise que  é  :

 crecente (ou: crecente en sentido amplo) sobre  se 
 para todo par  tal que , temos ;
 decrecente (ou : decrecente en sentido amplo) sobre  se 
 para todo par  tal que , temos ;
 monótona (ou: monótona no sentido amplo) en  se é crecente en  ou decrecente en .

Exemplo: para todo real , denotado  a parte enteira de  (é o único enteiro relativo  tal que ). A función  vai crecendo en  pero non é  estritamente crecente (ver máis abaixo), porque é constante en cada intervalo  de extremos enteiros.

Estritamente monótona. Dise que  é:

 estritamente crecente en  se 
 para todo par  tal que , temos ;
 estritamente decrecente en  se 
 para todo par  tal que , temos ;
 estritamente monótona sobre  se é estritamente  crecente en  ou estritamente decrecente en  .

Exemplos : sexa  un enteiro estritamente positivo.

 A función , é estritamente crecente en  .En efecto, se  e  son números reais tal que  e , entón . Deducimos por indución sobre o número enteiro  que para calquera parella  de positivos reais ou ceros tal que , temos .
 Cando  é impar, a función , é estritamente crecente en .
 De feito, é estritamente crecente en  (ver o exemplo anterior) e impar.

Nota 1: para que unha función  sexa crecente (respectivamente estritamente crecente) en , é necesario e suficiente que  sexa decrecente (resp. estritamente decrecente) en .

Nota 2 : para que unha función monótona  non o sexa estritamente, é necesario (e desde logo é suficiente) que  conteña un intervalo non trivial (é dicir, non baleiro e non reducido a un punto) no que  é constante.

 Propiedades elementais 

 Operacións alxébricas 
Sexan dúas funcións crecentes . Temos:

 a súa suma é crecente;
 se teñen valores positivos, o seu produto é crecente.

Existe a propiedade análoga para funcións estritamente crecentes.

 Composición 
Sexan dúas funcións  e , onde  e  son dous intervalos reais tal que ; podemos definir a función composta .

Se  é monótona en  e  é monótona en , daquela  é monótona en . Máis precisamente :

 se  e  ambos as dúas son crecentes ou decrecentes, entón  é crecente;
 se unha das dúas funcións  ou  é crecente e a outra decrecente, entón  é decrecente.

Exste a propiedade análoga para as funcións estritamente monótonas.

 Inxectividade 
Unha función estritamente monótona nun intervalo  é inxectiva, é dicir que dous elementos de  distintos teñen imaxes distintas.  

Esta propiedade, combinada co teorema do valor intermedio, é útil para atopar o número de ceros nunha función.

 Propiedades relativas á continuidade e  límites 

 Teorema do límite monótono para unha función 
Sexa  un intervalo aberto (limitado ou non) e unha función crecente  . Así:

  admite en todos os puntos   de  un límite pola esquerda e un límite pola dereita, finitos, que denotamos respectivamente.  e ; verifican a dobre desigualdade ;
  admite un límite pola esquerda , finito ou igual a ; este límite é finito se e só se  é maior.
  admite un límite pola dereita en , finito ou igual a ; este límite é finito se e só se  é menor.

Un teorema análogo para funcións decrecentes dedúcese inmediatamente substituíndo  por .

Un corolario deste teorema é a continuidade de calquera sobrexección monótona dun intervalo sobre un intervalo.

 Puntos de descontinuidade 
Teorema de Froda (1929): o conxunto  de puntos de descontinuidade dunha función monótona é finito ou numerábel (dicimos que é numerábel como máximo ). Efectivamente, denotando , a familia  de reais estritamente positivos é sumábel e, polo tanto, como moito numerábel para todos os  incluídos no intervalo de monotonía. Froda demostrou de feito que para calquera función real, o conxunto de puntos de descontinuidade do primeiro tipo é como moito numerábel. Ou para unha función monótona, o teorema do límite monótono di exactamente que este tipo de descontinuidade é a única posíbel.

 Monotonía e signo da derivada 
Un uso clásico e importante do cálculo diferencial é a caracterización, entre as funcións diferenciábeis (dunha variábel real, e con valores reais), das que son monótonas (en sentido amplo ou en sentido estrito) nun intervalo.

Teorema:

 Observacións
 Dedúcese que unha condición suficiente para que unha función derivábel  sexa  estritamente crecente en  é que para todo . Pero esta condición non é de ningún xeito necesaria, como mostra o enunciado do teorema e os dous exemplos seguintes.
 Este teorema xeneralízase a funcións continuas nun intervalo mais derivábeis só no complemento dun subconxunto numerábel: cf. Teorema do valor medio.

 Exemplo 1
 A función , é estritamente crecente en . O criterio anterior permítenos volver demostralo:
 é derivábel, e para todo real ;
 a maiores, o conxunto de puntos onde desaparece a súa derivada é ; é de interior baleiro.

 Exemplo 2
 A función , é estritamente crecente en . De feito:
 é derivábel, e para calquera real ;
 a maiores, o conxunto de puntos onde desaparece a súa derivada é , que é internamente baleiro (mesmo é contábel).

 Exemplo 3
 A función  é constante. En efecto, as derivadas de  e , definidas en , son opostas entre si e en  é cero e  é constante. Así, para todo  En  (e mesmo en , por continuidade),  .

 Monotonía na topoloxía 
Unha aplicación  entre dous espazos topolóxicos dise que é monótona se cada unha das súas fibras é conexa, é dicir que para todos os  en  o conxunto  (que pode estar baleiro) é conexo.

 Monotonía na análise funcional 
En análise funcional, un operador  nun espazo vectorial topolóxico  (que pode ser non linear) chámase operador monótono se



O teorema de Kachurovskii  mostra que as derivadas das funcións convexas nos espazos de Banach son operadores monótonos.

 A monotonía na teoría da orde 
A teoría da orde trata de conxuntos parcialmente ordenados e conxuntos preordenados en xeral, ademais dos intervalos reais. A definición anterior de monotonía tamén é relevante nestes casos. Por exemplo, considere unha aplicación  dun conxunto ordenado  nun conxunto ordenado .

  chámase aplicación crecente (respectivamente, aplicación estritamente crecente) se conserva a orde (respectivamente, a orde estritamente), é dicir, se dous elementos  e  de  verifican  (resp.  ), e as súas respectivas imaxes por  verifican  (respectivamente,  ).
  chámase aplicación decrecente (resp. aplicación estritamente decrecente ) se inverte a orde (resp. a orde estritamente), é dicir, se dous elementos  e  de  verifican  (resp.  ), e as súas respectivas imaxes por  verifican  (resp.  )

As aplicacións monótonas son fundamentais na teoría da orde. Algunhas aplicacións monótonas notábeis son os mergullos de ordes (aplicacións para as que  se e só se  e os isomorfismos de orde (os mergullos de orde que son sobrexectivos).
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Operador monótono.

Categoría:Teoría da orde
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Funcións
Categoría:Cálculo