Lema de Hensel

En matemáticas, o lema de Hensel, tamén coñecido como lema de levantamento de Hensel, chamado así en honor de Kurt Hensel, é un resultado da aritmética modular, que indica que se un polinomio univariado ten unha raíz simple módulo un número primo , entón esta raíz pode levantarse a unha única raíz módulo calquera potencia de  maior. De forma máis xeral, se un polinomio factoriza módulo  en dous polinomios coprimos, esta factorización pódese levantar a unha factorización módulo calquera potencia de  superior (o caso das raíces corresponde ao caso de grao  para un dos factores).

Ao pasar ao "límite" (de feito este é un límite inverso) cando a potencia de  tende ao infinito, dedúcese que unha raíz ou unha factorización módulo  pode levantarse a unha raíz ou unha factorización sobre os enteiros -ádicos.

Estes resultados foron amplamente xeneralizados, baixo o mesmo nome, ao caso de polinomios sobre un anel conmutativo arbitrario, onde  é substituído por un ideal, e "polinomios coprimos" significa "polinomios que xeran un ideal que contén o ".

O lema de Hensel é fundamental na análise -ádica, unha rama da teoría analítica de números.

A demostración do lema de Hensel é construtiva, e leva a un algoritmo eficiente para o levantamento de Hensel, que é fundamental para factorizar polinomios, e dá o algoritmo máis eficiente coñecido para a álxebra linear exacta sobre os números racionais.

 Redución e levantamento modulares 
O lema orixinal de Hensel refírese á relación entre a factorización polinómica sobre os enteiros e sobre os enteiros módulo un número primo  e as súas potencias. Pódese estender directamente ao caso en que os números enteiros sexan substituídos por calquera anel conmutativo e  substitúese por calquera ideal máximal (de feito, os ideais maximais de  teñen a forma  onde  é un número primo).

Facer isto de xeito preciso require unha xeneralización da aritmética modular habitual, polo que é útil definir con precisión a terminoloxía que se usa habitualmente neste contexto.

O proceso de levantamento é o inverso da redución. É dicir, dados os obxectos que dependen dos elementos de  o proceso de levantamento substitúe estes elementos por elementos de  (ou de  para algún ) que mapea con eles de forma que manteña as propiedades dos obxectos.

Sexa  un anel conmutativo e  un ideal de . A redución módulo  refírese á substitución de cada elemento de  pola súa imaxe baixo o mapa canónico  Por exemplo, se  é un polinomio con coeficientes en , a súa redución módulo , denotada como  é o polinomio en  obtido substituíndo os coeficientes de  pola súa imaxe en  Dous polinomios  e  en  son congruentes módulo , denotado como  se teñen os mesmos coeficientes módulo , é dicir se  Se  unha factorización de  módulo  consiste en dous (ou máis) polinomios  en  tal que 

Por exemplo, dado un polinomio  e un módulo de factorización  expresado como  levantar esta factorización módulo  consiste en procurar polinomios  tal que   e  O lema de Hensel afirma que tal levantamento sempre é posíbel en condicións suaves; ver sección seguinte.
 Enunciado 
Orixinalmente, o lema de Hensel foi enunciado (e demostrado) para levantar unha factorización módulo un número primo  dun polinomio sobre os enteiros a unha factorización módulo calquera potencia de  e a unha factorización sobre os enteiros p-ádicos. Isto pódese xeneralizar facilmente, coa mesma proba, no caso de que os números enteiros sexan substituídos por calquera anel conmutativo, o número primo substitúese por un ideal máximal e os enteiros -ádicos substitúense polo completamento con respecto ao ideal maximal. É esta xeneralización, que tamén é moi utilizada, a que aquí se presenta.

Sexa  un ideal máximal dun anel conmutativo , e sexa



un polinomio en  cun coeficiente principal  non en 

Posto que  é un ideal maximal, o anel cociente  é un corpo, e  é un dominio de ideais principais (PID) e, en particular, un dominio de factorización única, o que significa que todo polinomio distinto de cero en  pódese factorizar dun xeito único como o produto dun elemento distinto de cero de  e polinomios irredutíbeis que son mónicos (é dicir, os seus coeficientes principais son 1).

O lema de Hensel afirma que toda factorización de  módulo  en polinomios coprimos pódese levantar dun xeito único a un módulo de factorización  para todo .

Máis precisamente, coas hipóteses anteriores, se  onde  e  son mónicos e coprimos módulo  entón, para cada número enteiro positivo  hai polinomios mónicos  e  tal que



e  e  son únicos (con estas propiedades) módulo 

 Levantar raíces simples 
Un caso especial importante é cando  Neste caso, a hipótese da coprimalidade significa que  é unha raíz simple de  Isto dá o seguinte caso especial do lema de Hensel.

Coas hipóteses e notacións anteriores, se  é unha raíz simple de  entón  pódese levantar dun xeito único a unha raíz simple de  para cada número enteiro positivo . Explicitamente, para cada enteiro positivo , hai un único  tal que  e  é unha raíz simple de 

 Levantar ata o completamento ádico 
O feito de que se poida levantar a  para todo número enteiro positivo  suxire "pasar ao límite" cando  tende ao infinito. Esta foi unha das principais motivacións para introducir os enteiros -ádicos.

Dado un ideal máximal  dun anel conmutativo , as potencias de  forman unha base de veciñanzas abertas para unha topoloxía en , que se chama topoloxía m-ádica. O completamento desta topoloxía pódese identificar co completamento do anel local  e co límite inverso  Este completamento é un anel local completo, xeralmente denotado  Cando  é o anel dos enteiros, e  onde  é un número primo, este completamento é o anel dos enteiros  -ádicos 

A definición do completamento como un límite inverso e a afirmación anterior do lema de Hensel implican que toda factorización en polinomios coprimos por pares módulo  dun polinomio  pódese levantar de forma única a unha factorización da imaxe de  en  Do mesmo xeito, toda raíz simple de  módulo  pódese levantar a unha raíz simple da imaxe de  en 

 Proba 
O lema de Hensel demóstrase xeralmente de forma incremental elevando unha factorización sobre  a unha factorización sobre  (Levantamento linear), ou unha factorización sobre  (Levantamento cadrático).

O principal ingrediente da demostración é que os polinomios primos sobre un corpo satisfán a identidade de Bézout. É dicir, se  e  son polinomios univariados coprimos sobre un corpo (aquí ), hai polinomios  e  tal  que   e

A identidade de Bézout permite definir polinomios coprimos e demostrar o lema de Hensel, aínda que o ideal  non sexa maximal. Polo tanto, nas seguintes demostracións, pártese dun anel conmutativo , un ideal , un polinomio  que ten un coeficiente principal que é invertíbel módulo  (é a súa imaxe en  é unha unidade en ), e a factorización de  módulo  ou módulo unha potencia de , tal que os factores satisfagan a identidade de Bézout módulo . Nestas probas,  significa 

 Levantamento linear 
Sexa  un ideal dun anel conmutativo , e   un polinomio univariado  con coeficientes en  que ten un coeficiente principal  que é invertíbel módulo  (é dicir, a imaxe de  en  é unha unidade en ).

Supoña que para algún enteiro positivo  hai unha factorización

tal que  e  son polinomios mónicos que son coprimos módulo , no sentido de que existen  tal que  Entón, hai polinomios  tal que   e

Nestas condicións,  e  son únicos módulo 

A maiores,  e  satisfán a mesma identidade de Bézout que  e , é dicir,  Isto dedúcese inmediatamente das afirmacións anteriores, mais é necesario para aplicar de forma iterativa o resultado con valores crecentes de .

 Unicidade 
Sexa , ,  e  como no apartado anterior. Sexa



unha factorización en polinomios coprimos (no sentido anterior), tal que  A aplicación de levantamento linear para  mostra a existencia de  e  tal que  e

Os polinomios  e  están definidos de forma única módulo  Isto significa que, se outro par  cumpre as mesmas condicións, entón temos



 Levantamento cadrático 
O levantamento linear permite levantar unha factorización módulo   a unha factorización módulo   O levantamento cadrático permite levantar directamente a unha factorización módulo  a costa de levantar tamén a identidade de Bézout e de computar módulo  en lugar de módulo  (se se utiliza a descrición anterior de levantamento linear).

O levantamento cadrático baséase na seguinte propiedade.

Supoña que para algún número enteiro positivo  hai unha factorización


tal que  e  son polinomios mónicos que son coprimos módulo , no sentido de que existen  tal que  Daquela, hai polinomios  tal que   e

A maiores,  e  satisfai a identidade de Bézout do seguinte xeito

(Isto é necesario para permitir iteracións de levantameno cadrático.)

 Exemplo explícito 
Sexa 

Módulo 2, o lema de Hensel non se pode aplicar xa que a redución de  módulo 2 é simplementepáxs 15-16



con 6 factores  non sendo relativamente primos entre si. Polo criterio de Eisenstein, con todo, pódese concluír que o polinomio  é irredutíbel en 

Sobre , por outra parte, temos


onde  é a raíz cadrada de 2 en . Como 4 non é un cubo en  estes dous factores son irredutíbeis en . De aí a factorización completa de  en  e  é



onde  é unha raíz cadrada de 2 en   que se pode obter levantando a factorización anterior. A outra raíz sería o complemeto a 7 da anterior  (ver exemplo de Número p-ádico).

Finalmente, en  o polinomio divídese en


con todos os factores relativamente primos entre si, de xeito que en  e  hai 6 factores  cos enteiros 727-ádicos (non racionais).



 Usando derivadas para levantar raíces 
Sexa   un polinomio con coeficientes enteiros (ou enteiros -ádicos) e sexan m, k enteiros positivos tal que m ≤ k. Se r é un número enteiro tal que



daquela, para todo  existe un enteiro s tal que

A maiores, este s é único módulo pk+m, e pódese calcular explicitamente como o número enteiro tal que



onde  é un número enteiro que satisfai



(onde  é o inverso multiplicativo de  módulo ).

Teña en conta que  e así temos que a condición  cúmprese. Por outra parte, se , entón poden existir 0, 1 ou varios s (ver levantamento de Hensel  a continuación).

 Levantamento de Hensel 
Usando o lema, pódese "levantar" unha raíz r do polinomio f módulo pk a unha nova raíz s módulo p k +1 tal que  (asumindo ; tomando m maior dedúcese por indución). De feito, unha raíz módulo pk+1 tamén é unha raíz módulo p k, polo que as raíces módulo pk+1 son precisamente os levantamentos de raíces módulo pk. A nova raíz s é congruente con r módulo p, polo que a nova raíz tamén satisfai  Polo que o levantamento pódese repetir, e partindo dunha solución rk de  podemos derivar unha secuencia de solucións rk+1, rk+2, ... da mesma congruencia para potencias sucesivamente superiores de p, sempre que  para a raíz inicial rk. Isto tamén mostra que f ten o mesmo número de raíces mod pk que mod pk +1, mod pk +2 ou calquera outra potencia superior de p, sempre que as raíces de f mod p k sexan todas simples.

Que pasa con este proceso se r non é unha raíz simple mod p? Supoñamos que



Entón  implica  É dicir,  para todos os números enteiros t. Polo tanto, temos dous casos:

 Se  entón non hai levantamento de r a unha raíz de f (x) módulo p k +1 .
 Se  entón cada levantamento de r módulo pk+1 é unha raíz de f (x) módulo pk +1 .

Exemplo. Para ver ambos os casos examinamos dous polinomios diferentes con  :

 e . Entón  e  Temos  o que significa que ningún levantamento de 1 módulo 4 é unha raíz de f (x) módulo 4.

 e . Entón  e  Porén, xa que  podemos levantar a nosa solución ao módulo 4 e os dous levantamentos (é dicir, 1, 3) son solucións. A derivada aínda é 0 módulo 2, polo que a priori non sabemos se podemos levantalas módulo 8, pero de feito podemos, xa que g(1) é 0 mod 8 e g (3) é 0 mod 8, dando solucións en 1, 3, 5 e 7 mod 8. Dado que deles só g(1) e g (7) son 0 mod 16, podemos levantar só 1 e 7  módulo 16, dando 1, 7, 9 e 15 mod 16. Deles, só 7 e 9 dan , polo que estes poden levantarse dando 7, 9, 23 e 25 mod 32. Resulta que para cada número enteiro , hai catro levantamentos de 1 mod 2 a unha raíz de .

 Lema de Hensel para números p-ádicos 
Nos números -ádicos, onde podemos dar sentido aos números racionais módulo potencias de p sempre que o denominador non sexa un múltiplo de p, a recursividade de rk (raíces mod pk) a rk +1 (raíces mod pk +1) pódese expresar dun xeito moito máis intuitivo. En lugar de escoller t para ser calquera enteiro que resolve a congruencia



sexa t o número racional (o pk aquí non é realmente un denominador xa que f(rk) é divisíbel por pk):



Entón temos



Esta fracción pode non ser un número enteiro, mais é un enteiro -ádico, e a secuencia de números rk converxe nos enteiros  -ádicos a unha raíz de f(x) = 0. A maiores, a fórmula recursiva mostrada para o (novo) número rk+1 en termos de rk é precisamente o método de Newton para atopar raíces de ecuacións nos números reais.

Traballando directamente nos -ádicos e usando o valor absoluto -ádico, hai unha versión do lema de Hensel que se pode aplicar aínda que comecemos cunha solución de f(a) ≡ 0 mod p tal que  Só temos que asegurarnos de que  é distinto de 0. Esta versión máis xeral é a seguinte: se hai un número enteiro a que satisfaga:



entón hai un único enteiro -ádico b tal f(b) = 0 e  A construción de b equivale a mostrar que a recursión do método de Newton co valor inicial a converxe nos -ádicos e b é  o límite. A singularidade de b como raíz que se axusta á condición  precisa traballo adicional.

A definición do lema de Hensel dada anteriormente (tomando ) é un caso especial desta versión máis xeral, xa que as condicións de que f (a) ≡ 0 mod p e  quere dicir que   e 

 Exemplos 
Supoñamos que p é un primo impar e a é un residuo cadrático distinto de cero módulo p. Entón o lema de Hensel implica que a ten unha raíz cadrada no anel de enteiros -ádicos  De feito, sexa  Se r é unha raíz cadrada de a módulo p, entón:



onde a segunda condición depende do feito de que p é impar. A versión básica do lema de Hensel dinos que partindo de r1 = r podemos construír recursivamente unha secuencia de números enteiros  tal que:



Esta secuencia converxe a algún enteiro -ádico b que satisfaga b2 = a. De feito, b é a única raíz cadrada de a en  congruente con r1 módulo p. No outro sentido, se a é un cadrado perfecto en  e non é divisíbel por p, entón é un residuo cadrático distinto de cero mod p. Teña en conta que a lei de reciprocidade cadrática permite probar facilmente se a é un residuo cadrático distinto de cero mod p, polo que obtemos un xeito práctico de determinar que números -ádicos (para p impar) teñen unha raíz cadrada -ádica, e pode ampliarse para cubrir o caso p = 2 usando a versión máis xeral do lema de Hensel (máis adiante dáse un exemplo con raíces cadradas 2-ádicas de 17).

Exemplo  7-ádica.

Procuremos unha "raíz cadrada de 2" (a solución para  ) nos enteiros 7-ádicos. Módulo 7 unha solución é 3 (tamén poderíamos tomar 4), así que establecemos . O lema de Hensel permítenos entón atopar  do seguinte xeito:



En base a cal a expresión



convértese en:



o que implica  Agora:



E, por suposto,  (Se usáramos o método de Newton a recursión directamente nos 7-ádicos, entón  e )

Podemos continuar e atopar . Cada vez que realizamos o cálculo (é dicir, para cada valor sucesivo de k), engádese un díxito máis en base 7 para a potencia maior de 7 seguinte. Nos enteiros 7-ádicos esta secuencia converxe, e o límite é unha raíz cadrada de 2 en  que ten unha expansión inicial en 7-ádicos

Se comezamos coa opción inicial , entón o lema de Hensel produciría unha raíz cadrada de 2 en  que é congruente con 4 (mod 7) en lugar de 3 (mod 7) e de feito esta segunda raíz cadrada sería o negativo da primeira raíz cadrada (que é consistente con 4 = −3 mod 7).

Exemplo  2-ádica. 

Neste exemplo a versión orixinal do lema de Hensel non é válida pero a máis xeral si que o é, sexa  e  Entón  e  polo que

o que implica que hai un único enteiro 2-ádico b satisfactorio

é dicir, b ≡ 1 mod 4. Hai dúas raíces cadradas de 17 nos enteiros 2- ádicos, que se diferencian por un signo, e aínda que son congruentes mod 2 non son congruentes mod 4. Isto é consistente coa versión xeral do lema de Hensel só nos dá unha única raíz cadrada 2-ádica de 17 que é congruente con 1 mod 4 en lugar de mod 2. Se comezaramos coa raíz aproximada inicial a = 3, entón poderiamos aplicar de novo o lema de Hensel máis xeral para atopar unha única raíz cadrada 2-ádica de 17 que sexa congruente co 3 mod 4. Este é o outro 2. - Raíz cadrada ádica de 17.

En termos de levantar as raíces de  en módulo 2k a 2k+1 , os levantamentos que comezan coa raíz 1 mod 2 son os seguintes:

1 mod 2 → 1, 3 mod 4
1 mod 4 → 1, 5 mod 8 e 3 mod 4 → 3, 7 mod 8
1 mod 8 → 1, 9 mod 16 e 7 mod 8 → 7, 15 mod 16, mentres que 3 mod 8 e 5 mod 8 non levantan a raíces mod 16
9 mod 16 → 9, 25 mod 32 e 7 mod 16 → 7, 23 mod 16, mentres que 1 mod 16 e 15 mod 16 non se levantan a raíces mod 32.

Por cada k maior ou igual a 3, hai catro raíces de x2 − 17 mod 2k, mais se observamos as súas expansións 2-ádicas podemos ver que en parellas están converxendo a só dous límites 2-ádicos. Por exemplo, as catro raíces mod 32 divídense en dous pares de raíces coa mesma aparencia mod 16:

9 = 1 + 23 e 25 = 1 + 23 + 24.
7 = 1 + 2 + 22 e 23 = 1 + 2 + 22 + 24.

As raíces cadradas 2-ádicas de 17 teñen expansións

Exemplo .

Outro exemplo onde podemos usar a versión máis xeral do lema de Hensel mais non a versión básica é unha proba de que calquera enteiro en 3-ádicos c ≡ 1 mod 9 é un cubo en  Sexa  e tome a aproximación inicial a = 1. O lema básico de Hensel non se pode usar para atopar raíces de f(x) xa que  para cada r. Para aplicar a versión xeral do lema de Hensel queremos  que significa  

É dicir, se c ≡ 1 mod 27 entón o lema xeral de Hensel dinos que f(x) ten unha raíz 3-ádica, polo que c é un cubo en 3-ádicos. No entanto, quereríamos ter este resultado baixo a condición máis débil de que c ≡ 1 mod 9. Se c ≡ 1 mod 9 entón c ≡ 1, 10 ou 19 mod 27. Podemos aplicar o lema xeral de Hensel tres veces dependendo do valor de c mod 27: se c ≡ 1 mod 27 entón usamos a = 1, se c ≡ 10 mod 27 entón usamos a = 4 (xa que 4 é unha raíz de f(x) mod 27), e se c ≡ 19 mod 27 entón usamos a = 7. (Non é certo que cada c ≡ 1 mod 3 sexa un cubo 3-ádico, por exemplo, 4 non é un cubo 3- ádico xa que non é un cubo módulo 9.)

De xeito similar, despois dun traballo preliminar, o lema de Hensel pódese usar para mostrar que para calquera número primo impar p, calquera enteiro -ádico c congruente a 1 módulo p2 é unha potencia p-ésima en  (Isto é falso para p = 2.)

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 



 Outros artigos 
Teorema de Hasse-Minkowski
Lema Lifting-the-exponent

 Ligazóns externas 
 Hensel`s lemma KEITH CONRAD.

Categoría:Teoría de números
Categoría:Teoremas
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas