Número hiperreal

En matemáticas, os números hiperreais son unha extensión dos números reais para incluír certas clases de números infinitos e infinitesimais. Un número hiperreal  dise que é finito se, e só se,  para algún número enteiro .  dise que é infinitesimal se, e só se,  para todos os números enteiros positivos .  O termo "hiperreal" foi introducido por Edwin Hewitt en 1948.

Os números hiperreais satisfán o principio de transferencia, unha versión rigorosa da lei heurística de continuidade de Leibniz. O principio de transferencia afirma que as afirmacións verdadeiras de primeira orde sobre R tamén son válidas en *R. Por exemplo, a lei conmutativa da suma, , vale para os hiperreais igual que para os reais; xa que R é un corpo pechado real, tamén o é *R. Posto que  para todos os números enteiros n, tamén se ten  para todos os hiperenteiros . O principio de transferencia das ultrapotencias é unha consecuencia do teorema de Łoś de 1955.

A aplicación dos números hiperreais e en particular o principio de transferencia a problemas de análise chámase análise non estándar. Unha aplicación inmediata é a definición dos conceptos básicos da análise como a derivada e a integral de forma directa, sen pasar por complicacións lóxicas de múltiples cuantificadores. Así, a derivada de f(x) pasa a ser  por un infinitesimal , onde st(⋅) denota a función parte estándar, que "redondea" cada hiperreal finito ao real máis próximo. Do mesmo xeito, a integral defínese como a parte estándar dunha suma infinita adecuada.

 Principio de transferencia 
A idea do sistema hiperreal é estender os números reais R para formar un sistema *R que inclúa números infinitesimais e infinitos, mais sen mudar ningún dos axiomas elementais da álxebra. Calquera declaración da forma "para calquera número x ..." que é certo para os reais tamén é certa para os hiperreais. Por exemplo, o axioma que indica "para calquera número x, x + 0 = x " aplica para ambos os sistemas. O mesmo é certo para a cuantificación de varios números, por exemplo, "para calquera número x e y, xy = yx." Esta capacidade de trasladar enunciados dos reais aos hiperreais chámase principio de transferencia. Non obstante, as declaracións da forma "para calquera conxunto de números S ..." non poden transferirse. As únicas propiedades que difiren entre os reais e os hiperreais son aquelas que dependen da cuantificación sobre conxuntos ou outras estruturas de nivel superior, como funcións e relacións, que normalmente se constrúen a partir de conxuntos. Cada conxunto, función e relación real ten a súa extensión hiperreal natural, satisfacendo as mesmas propiedades de primeira orde. Os tipos de oracións lóxicas que obedecen a esta restrición na cuantificación denomínanse enunciados na lóxica de primeira orde.

O principio de transferencia, porén, non significa que R e *R teñan un comportamento idéntico. Por exemplo, en *R existe un elemento ω tal que



mais non hai tal número en R. (Noutras palabras, *R non é Arquimediano.) Isto é posíbel porque a inexistencia de ω non se pode expresar como un enunciado de primeira orde.

 Uso na análise 

 Diferenciación 
Un dos usos fundamentais do sistema numérico hiperreal é dar un significado preciso ao operador diferencial d como o emprega Leibniz para definir a derivada e a integral.

Para calquera función de valor real  o diferencial  defínese como un mapa que envía cada par ordenado  (onde  é real e  é infinitesimal distinto de cero) a un infinitesimal



Teña en conta que a propia notación "" usada para denotar calquera infinitesimal é consistente coa definición anterior do operador  pois se interpretamos  (como se fai habitualmente) como a función  entón para cada  o diferencial  será igual ao infinitesimal .

Unha función con valor real  dise que é diferenciábel nun punto  se o cociente



é o mesmo para todos os infinitesimais distintos de cero  Se é así, este cociente chámase derivada de  en .

Por exemplo, para atopar a derivada da función , sendo  un infinitesimal distinto de cero. Entón,
 {|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|-
|
|
|-
|
|
|}

 Integración 
Outro uso clave do sistema numérico hiperreal é dar un significado preciso ao signo integral ∫ usado por Leibniz para definir a integral definida.

Para calquera función infinitesimal pódese definir a integral  como un mapa enviando calquera triplo ordenado  (onde  e  son reais, e  é infinitesimal do mesmo signo que  ) ao valor



onde  satisfai calquera número hiperenteiro 

Unha función con valor real  dise entón que é integrábel nun intervalo pechado  se para calquera infinitesimal distinto de cero a integral



é independente da escolla de Se é así, esta integral chámase integral definida (ou antiderivada) de  en 

Isto mostra que usando números hiperreais, a notación de Leibniz para a integral definida pode ser interpretada realmente como unha expresión alxébrica significativa (do mesmo xeito que a derivada pode ser interpretada como un cociente significativo).

 Propiedades 
Os hiperreais * R forman un corpo ordenado que contén os reais R como subcorpo. A diferenza dos reais, os hiperreais non forman un espazo métrico estándar, mais en virtude da súa orde levan unha topoloxía de orde.

A condición de ser un corpo hiperreal é máis forte que a de ser un corpo pechado real que contén estritamente R. Tamén é máis forte que o de ser un corpo superreal no sentido de Dales e Woodin.

 Propiedades dos números infinitesimais e infinitos 
Os elementos finitos F de *R forman un anel local, e de feito son un anel de valoración, sendo o único ideal máximo S os infinitesimais; o cociente F/S é isomorfo aos reais. Polo tanto, temos unha correspondencia homomorfa, st(x), de F a R cuxo kernel está formado polos infinitesimais e que envía cada elemento x de F a un único número real cuxa diferenza de x está en S; é dicir, é infinitesimal. Dito doutro xeito, todo número real finito non estándar está "moi preto" dun número real único, no sentido de que se x é un real finito non estándar, entón existe un e só un número real st(x) tal que x – st(x) é infinitesimal. Este número st(x) chámase parte estándar de x, conceptualmente igual que x ao número real máis próximo. Esta operación é un homomorfismo que preserva a orde e, polo tanto, ten un bo comportamento tanto alxébricamente como teoricamente. É conservador da orde aínda que non isotónico; é dicir  implica , mais non implica .

 Temos, se x e y son finitos, 
.
.
 Se x é finito e non infinitesimal, 
.
 x é real se e só se 
.

O mapa st é continuo con respecto á topoloxía de orde nos hiperreais finitos; de feito é localmente constante.

 Corpos hiperreais 
Supoñamos que X é un espazo de Tychonoff, tamén chamado espazo T3.5, e que C(X) é a álxebra das funcións continuas de valores reais en X. Supoña que M é un ideal máximal en C(X). Entón a álxebra cociente A = C(X)/M é un corpo F totalmente ordenado que contén os reais. Se F contén estritamente R, entón M chámase ideal hiperreal (terminoloxía debida a Heitt (1948)) e F un corpo hiperreal. Teña en conta que non se está a supoñer que a cardinalidade de F sexa maior que R; de feito pode ter a mesma cardinalidade.
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 Outros artigos 


 Ligazóns externas 
 Crowell, Brief Calculus. Un texto sobre infinitesimais.
 Hermoso, Nonstandard Analysis and the Hyperreals. Unha introdución.
 Keisler, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. 

Categoría:Números
Categoría:Teoría de corpos
Categoría:Análise matemática
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas