Teorema de Euler

En teoría de números, o teorema de Euler (tamén coñecido como teorema de Fermat-Euler ou teorema totiente de Euler ) afirma que, se  e  son números enteiros positivos coprimos, entón  é congruente con  módulo , onde  denota a función totiente de Euler; é dicir



O recíproco do teorema de Euler tamén é certo: se a congruencia anterior é certa, entón  e  deben ser coprimos.

O teorema está máis xeneralizado por algúns dos teoremas de Carmichael.

O teorema pódese usar para reducir facilmente grandes potencias módulo . Por exemplo, considere atopar os valores  . Os enteiros 7 e 10 son coprimos e . Polo tanto, o teorema de Euler resulta , e conseguimos 
 .

En xeral, ao reducir unha potencia de  módulo  (onde  e  son coprimos), hai que traballar módulo  no expoñente de :

 se , entón  .

 Probas 
1. O teorema de Euler pódese probar utilizando conceptos da teoría de gruposIreland & Rosen, corr. 1 to prop 3.3.2: As clases de residuos módulo  que son coprimos con   forman un grupo baixo a multiplicación (ver o artigo Grupo multiplicativo de enteiros módulo n para máis detalles). A orde dese grupo é . O teorema de Lagrange afirma que a orde de calquera subgrupo dun grupo finito divide a orde de todo o grupo, neste caso . Se  é calquera número coprimo con  entón  está nunha destas clases de residuos, e as súas potencias   módulo  forma un subgrupo do grupo de clases de residuos, con  . O teorema de Lagrange di que  debe dividir , é dicir, hai un enteiro  tal que . Isto implica logo,



2. Tamén hai unha demostración directa:Hardy & Wright, thm. 72Landau, thm. 75 Sexa  un sistema reducido de residuos  () e sexa  calquera enteiro coprimo con . A demostración depende do feito fundamental de que a multiplicación por  permuta o : noutras palabras, se  entón . (Esta lei de cancelación demóstrase no artigo Grupo multiplicativo de números enteiros módulo n.) É dicir, os conxuntos  e , considerados como os conxuntos de clases de congruencia (), son idénticos (como conxuntos, poden estar listados en diferentes ordes), polo que o produto de todos os números en  é congruente () co produto de todos os números en  :

  e usando a lei de cancelación para cancelar cada  dá o teorema de Euler:


 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Número de Carmichael
 Ligazóns externas 

 Euler-Fermat Theorem at PlanetMath

Categoría:Teoría de números
Categoría:Teoremas