Homomorfismo de grupos

En matemáticas, dados dous grupos, (G,∗) e (H, ·), un homomorfismo de grupos de (G,∗) a (H, ·) é unha función  h: G → H tal que para todos os u e v en G cumpre

onde a operación de grupo no lado esquerdo da ecuación é a de G e a operación do lado dereito a de H.

Desta propiedade pódese deducir que h mapea o elemento neutro eG de G co elemento neotro eH de H,

e tamén mapea inversos a inversos no sentido de que

Por iso pódese dicir que a h "é compatíbel  coa estrutura do grupo".

Nas áreas das matemáticas onde se consideran grupos dotados de estrutura adicional, un homomorfismo ás veces significa un mapa que respecta non só a estrutura do grupo (como anteriormente) senón tamén a estrutura extra. Por exemplo, un homomorfismo de grupos topolóxicos adoita ser necesario que sexa continuo.

 Tipos 
Monomorfismo homomorfismo de grupos que é unha función inxectiva (ou, un a un).
Epimorfismo un homomorfismo de grupos que é sobrexectivo (ou, onto); é dicir, chega a todos os puntos do codominio.
Isomorfismo homomorfismo de grupos que é bixectivo; é dicir, inxectivo e sobrexectivo. O seu inverso tamén é un homomorfismo de grupos. Neste caso, os grupos G e H chámanse isomorfos; difiren só na notación dos seus elementos (agás o elemento de identidade) e son idénticos para todos os efectos prácticos. i.e. reetiquetamos todos os elementos agás a identidade.
Endomorfismo un homomorfismo de grupos, h: G → G; o dominio e o codominio son iguais. Tamén se chama endomorfismo de G.
Automorfismo un endomorfismo de grupos que é bixectivo, e polo tanto un isomorfismo. O conxunto de todos os automorfismos dun grupo G, coa composición de funcións como operación, forma por si mesmo un grupo, o grupo de automorfismos de G desígnase por Aut(G). Como exemplo, o grupo de automorfismos de (Z, +) contén só dous elementos, a transformación da identidade e a multiplicación por −1; é isomorfo a (Z/2Z, +).

 Imaxe e kernel 

Definimos que o kernel de h é o conxunto de elementos en G que están mapeados coa identidade en H 

e a imaxe de h é


O kernel e a imaxe dun homomorfismo poden interpretarse como unha medida do preto que está de ser un isomorfismo. O primeiro teorema do isomorfismo afirma que a imaxe dun homomorfismo de grupo, h(G) é isomorfa ao grupo cociente G/ker h.

O kernel de h é un subgrupo normal de G. Supoñemos que  e mostramos que  para   arbitrarios:


A imaxe de h é un subgrupo de H.

O homomorfismo, h, é un monomorfismo de grupos; é dicir, h é inxectiva (un-a-un) se e só se }. A inxección dá directamente que hai un elemento único no núcleo e, pola contra, un elemento único no núcleo dá a inxección:

 Exemplos 
 Considere o grupo cíclico Z = (Z/3Z, +) = ({0, 1, 2}, +) e o grupo de enteiros (Z, +). O mapa h : Z → Z/3Z con h(u) = u mod 3 é un homomorfismo de grupos. É sobrexectivo e o seu núcleo está formado por todos os números enteiros que son divisíbeis  por 3.

 O mapa exponencial produce un homomorfismo de grupos a partir do grupo de números reais R con adición no grupo de números reais distintos de cero R* con multiplicación. O kernel é {0} e a imaxe está formada polos números reais positivos.
 O mapa exponencial tamén produce un homomorfismo de grupos do grupo de números complexos C con adición no grupo de números complexos distintos de cero C* con multiplicación. Este mapa é sobrexectivo e ten o kernel {2πki : k ∈ Z}, como se pode ver na fórmula de Euler. Corpos como R e C que teñen homomorfismos do seu grupo aditivo ao seu grupo multiplicativo reciben o nome de corpos exponenciais''.
 A función , definida por  é un homomorfismo.
 Considere os dous grupos  e , representados respectivamente por  e , onde  son os números reais positivos. Entón, a función  definida pola función logaritmo é un homomorfismo.
 Categoría de grupos 
Se  e  son homomorfismos de grupos, entón tamén o é . Isto mostra que a clase de todos os grupos, xunto cos homomorfismos de grupos como morfismos, forman unha categoría (especificamente a categoría de grupos).

 Notas 

 Véxase tamén 
Bibliografía



Outros artigos
Homomorfismo
Teorema fundamental dos homomorfismos
Cuasimorfismo
Homomorfismo do anel

Ligazóns externas

Categoría:Teoría de grupos