Número euleriano

En combinatoria, o número euleriano  é o número de permutacións dos números 1 a  no que exactamente  elementos son maiores que o elemento anterior (permutacións con  "ascendentes").

Leonhard Euler investigounos e tamén os seus  polinomios asociados no seu libro de 1755 Institutiones calculi differentialis.
dereita|miniatura|303x303px| Os polinomios actualmente coñecidos como polinomios eulerianos no traballo de Euler de 1755, Institutiones calculi differentialis, parte 2, p. 485/6. Os coeficientes destes polinomios coñécense como números eulerianos.
Outras notacións para  son  e .

 Definición 
Os polinomios eulerianos  están definidos pola función xeradora exponencial



Os números eulerianos  pódense definir como os coeficientes dos polinomios eulerianos:



Unha fórmula explícita para  é 

 alt=A plot of the Eulerian numbers with the second argument fixed to 5.|miniatura| Un gráfico dos números eulerianos co segundo argumento fixado en 5. 

 Propiedades básicas 

 Para un  fixo hai unha única permutación que ten 0 ascendentes: . De feito, como  para todos os , . Isto inclúe formalmente o conxunto baleiro de números, . E .
 Para , a fórmula explícita implica que , unha sucesión en  que consiste nos números .
 Inverter completamente unha permutación con  ascendentes crea outra permutación na que hai  ascendentes. Polo tanto . Así que tamén hai unha única permutación que ten  ascendentes, esta é  a permutación ascendente . Así, tamén  é igual a .
 Para , os valores son formalmente cero, o que significa que moitas sumas sobre  pódense escribir cun índice superior só ata . Tamén significa que os polinomios  son realmente de grao  para .

A tabulación dos números nunha matriz triangular chámase triángulo de Euler. Comparte algunhas características comúns co triángulo de Pascal. Valores de       para  son:

{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
! 
! width="50" | 0
! width="50" | 1
! width="50" | 2
! width="50" | 3
! width="50" | 4
! width="50" | 5
! width="50" | 6
! width="50" | 7
! width="50" | 8
|-
! 0
| 1 || || || || || || || ||
|-
! 1
| 1 || || || || || || || ||
|-
! 2
| 1 || 1 || || || || || || ||
|-
! 3
| 1 || 4 || 1 || || || || || ||
|-
! 4
| 1 || 11 || 11 || 1 || || || || ||
|-
! 5
| 1 || 26 || 66 || 26 || 1 || || || ||
|-
! 6
| 1 || 57 || 302 || 302 || 57 || 1 || || ||
|-
! 7
| 1 || 120 || 1191 || 2416 || 1191 || 120 || 1 || ||
|-
! 8
| 1 || 247 || 4293 || 15619 || 15619 || 4293 || 247 || 1 ||
|-
! 9
| 1 || 502 || 14608 || 88234 || 156190 || 88234 || 14608 || 502 || 1
|}

 Cálculo 
Para valores maiores de ,  tamén se pode calcular usando a fórmula recursiva



Esta fórmula pode ser motivada a partir da definición combinatoria e, polo tanto, serve como punto de partida natural para a teoría.

Aplicando a recorrencia a un exemplo, podemos atopar



Así mesmo, os polinomios eulerianos pódense calcular pola recorrencia




A segunda fórmula pódese transformar nunha forma con sumatorio,



 Identidades 
Os números eulerianos dividen as permutacións de  elementos, polo que a súa suma é igual ao factorial  . Así temos



con . Para evitar conflitos coa convención de suma baleira, é conveniente simplemente indicar os teoremas só para .

Moito máis xeralmente, para unha función fixada  integrábel no intervalo 



A identidade de Worpitzky  expresa  como a combinación linear de números eulerianos con coeficientes binomiais:



Dela, despréndese que



 Fórmulas que implican sumas alternadas 
A suma alternada dos números eulerianos para un valor fixo de  está relacionado co número de Bernoulli  do seguinte xeito



 Fórmulas que implican polinomios 
A propiedade de simetría implica:



Os números eulerianos están implicados na función xeradora da secuencia das potencias n-ésimas:



Unha expresión explícita para os polinomios eulerianos é

onde  son os números de Stirling do segundo tipo.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 




 Outros artigos 
 Número de Bernoulli.
 Ligazóns externas 
Eulerian Polynomials at OEIS Wiki. 

Euler-matrix (generalized rowindexes, divergent summation)

Categoría:Teoría de números