Veciñanza (matemáticas)

En topoloxía e outras áreas relacionadas das matemáticas, unha veciñanza é un dos conceptos básicos nun espazo topolóxico. Está moi relacionado cos conceptos de conxunto aberto e interior. Falando intuitivamente, unha veciñanza dun punto é un conxunto de puntos que contén ese punto e a partir do que nos podemos mover algunha cantidade en calquera dirección sen saír do conxunto.

 Definicións 

 Veciñanza dun punto 
Se  é un espazo topolóxico e  é un punto  entón unha veciñanza de  é un subconxunto  de  que inclúe un conxunto aberto  que contén , 

Isto é equivalente a que o punto  pertence ao interior topolóxico de  en 

A veciñanza  non ten que ser un subconxunto aberto de  Cando  é aberto (resp. pechado, compacto, etc.) en  chámase unha veciñanza aberta (resp. veciñanza pechada, veciñanza compacta, etc.). Algúns autores  requiren que a veciñanza sexa aberta, polo que é importante ter en conta as súas convencións.
dereita|miniatura| Un rectángulo pechado non ten unha veciñanza  en ningunha das súas esquinas nin nos seus lados xa que non hai un conxunto aberto dentro de  que conteña ningunha esquina ou lados.
Un conxunto que é unha veciñanza de cada un dos seus puntos é aberto xa que se pode expresar como a unión de conxuntos abertos que contén cada un dos seus puntos. Un rectángulo pechado, como se ilustra na figura, non é unha veciñanza de todos os seus puntos; os puntos dos lados e os das esquinas do rectángulo non están contidos en ningún conxunto aberto que estea contido dentro do rectángulo.

A colección de todos as veciñanzas dun punto chámase base de veciñanza no punto.

 Veciñanza dun conxunto 
Se  é un subconxunto dun espazo topolóxico , entón unha veciñanza de  é un conxunto  que inclúe un conxunto aberto  que contén , Deducimos que un conxunto  é unha veciñanza de  se e só se é unha veciñanza de todos os puntos en  A maiores,  é unha veciñanza de  se e só se  é un subconxunto do interior de  Unha veciñanza de  que tamén é un subconxunto aberto de  chámase unha veciñanza aberta de  A veciñanza dun punto é só un caso especial desta definición.

 Nun espazo métrico 
dereita|miniatura| Un conxunto  no plano e unha veciñanza uniforme  de 
dereita|miniatura| A veciñanza épsilon dun número  na recta numérica real.
Nun espazo métrico  un conxunto  é unha veciñanza dun punto  se existe unha bóla aberta con centro  e raio  tal que  está contido en 

 chámase veciñanza uniforme dun conxunto  se existe un número positivo  tal que para todos os elementos  de  está contido en 

Baixo a mesma condición, para  a -veciñanza  dun conxunto  é o conxunto de todos os puntos en  que están a menos distancia  dende  (ou equivalente,  é a unión de todas as bólas abertas de raio  que están centradas nun punto  ): 

Dedúcese directamente que unha -veciñanza é unha veciñanza uniforme, e que un conxunto é unha veciñanza uniforme se e só se contén unha -veciñanza  para algún valor de 

 Exemplos 
miniatura| O conxunto M é unha veciñanza do número a, porque hai unha veciñanza ε de a que é un subconxunto de M.
Dado o conxunto de números reais  coa métrica euclidiana habitual e un subconxunto  definido como entón  é unha veciñanza para o conxunto  de números naturais, pero  é unha veciñanza uniforme deste conxunto.

 Topoloxía das veciñanzas 
A definición anterior é útil se a noción de conxunto aberto xa está definida. Hai unha forma alternativa de definir unha topoloxía, definindo primeiro a base de veciñanzas e despois os conxuntos abertos como aqueles conxuntos que conteñen unha veciñanza de cada un dos seus puntos.

Unha base de veciñanzas  en  é a asignación dun filtro  de subconxuntos de  a cada  en  tal que

 o punto  é un elemento de cada  en 
 cada  en  contén algún  en  tal que para cada  en   está en 

Pódese demostrar que ambas as definicións son compatíbeis.

 Veciñanzas  uniformes 
Nun espazo uniforme  chámase un veciñanza  uniforme de  se existe un acompañamento (entourage)  tal que  contén todos os puntos de  que son -próximos dalgún punto de  é dicir,  para todos os 

 Veciñanza eliminada 
Unha veciñanza eliminada dun punto  (ás veces chamada veciñanza perforada) é unha veciñanza de  sen  Por exemplo, o intervalo  é unha veciñanza de  na liña real, polo que o conxunto  é unha veciñanza eliminada de  Unha veciñanza eliminada dun punto dado non é en realidade unha veciñanza do punto. O concepto de veciñanza eliminada dáse na definición do límite dunha función e na definición dos puntos límite (entre outras cousas).
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 





 Outros artigos 





Categoría:Análise matemática
Categoría:Topoloxía
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas