Serie formal de potencias

En matemáticas, unha serie formal  é unha suma infinita que se considera independentemente de calquera noción de converxencia, e que se pode manipular coas operacións alxébricas habituais sobre series (suma, resta, multiplicación, división, sumas parciais, etc.).

Unha serie formal de potencias  é un tipo especial de serie formal, da forma



onde os  chamados coeficientes, son números ou, de xeito máis xeral, elementos dalgún anel, e os  son potencias formais do símbolo  que é a variábel. Polo tanto, as series de potencias poden verse como unha xeneralización de polinomios onde se permite que o número de termos sexa infinito e difiren das series de potencias habituais pola ausencia de requisitos de converxencia, o que implica que unha serie de potencias pode non representar unha función da súa variábel. As series de potencias formais están en correspondencia un a un coas súas secuencias de coeficientes, mais non se deben confundir os dous conceptos, xa que as operacións que se poden aplicar son diferentes.

Unha serie formal de potencias con coeficientes nun anel  chámase unha serie formal de potencias en  As series formais de potencias sobre un anel  forman un anel, comunmente denotado por  (Pódese ver como o completamento -ádico  do anel polinómico  do mesmo xeito que os enteiros -ádicos son o completamento -ádico do anel dos enteiros.)

As series formais de potencias son amplamente utilizadas en combinatoria para representar secuencias de enteiros como funcións xeradoras. Neste contexto, unha relación de recorrencia entre os elementos dunha secuencia pode interpretarse a miúdo como unha ecuación diferencial que satisfai a función xeradora. Isto permite utilizar métodos de análise complexa para problemas combinatorios (ver combinatoria analítica).

 Introdución 
Unha serie formal de potencias pode ser pensada como un obxecto que é como un polinomio, mais con infinitos termos. Alternativamente, para aqueles familiarizados coas series de potencias (ou series de Taylor), pódese pensar  como unha serie de potencias na que ignoramos as cuestións de converxencia ao non asumir que a variable X denota ningún valor numérico (nin sequera un valor descoñecido). Por exemplo, considere a serie



Se estudásemos isto como unha serie de potencias, as súas propiedades incluirían, por exemplo, que o seu raio de converxencia é 1 polo teorema de Cauchy-Hadamard. Porén, como unha serie formal de potencias, podemos ignoralo completamente; o único que é relevante é a secuencia de coeficientes [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]. Noutras palabras, unha serie formal de potencias é un obxecto que só rexistra unha secuencia de coeficientes. É perfectamente aceptábel considerar unha serie formal de potencias cos factoriais [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ... ] como coeficientes, aínda que a serie de potencias correspondente diverxa para calquera valor de X distinto de cero.

A álxebra sobre series de potencias formais realízase simplemente como se as series fosen polinomios. Por exemplo, se



entón sumamos A e B termo por termo:



Podemos multiplicar series de potencias formais, de novo só tratándoas como polinomios (ver en particular o produto de Cauchy ou convolución): 



Observe que cada coeficiente do produto AB só depende dun número finito de coeficientes de A e B . Por exemplo, o termo X5 vén dado por



Por esta razón, pódense multiplicar as series formais de potencias sen preocuparse polas cuestións habituais de converxencia absoluta, condicional e uniforme que xorden ao tratar as series de potencias no contexto da análise.

Unha vez que definimos a multiplicación para as series formais de potencias, podemos definir inversas multiplicativas do seguinte xeito. A inversa multiplicativa dunha serie formal de potencias A é unha serie formal de potencias C tal que AC = 1, sempre que exista tal serie formal de potencias. Resulta que se A ten un inverso multiplicativo, é único, e denotámolo por A−1 . Agora podemos definir a división de series de potencias formais definindo que B/A é o produto BA −1, sempre que exista a inversa de A. Por exemplo, pódese usar a definición de multiplicación anterior para verificar a fórmula familiar



Unha operación importante nas series formais de potencias é a de obter determinado coeficiente. Na súa forma máis básica, o operador de extracción de coeficientes  aplicado a unha serie de potencias formal  nunha variábel obtén o coeficiente da -ésima potencia da variábel, de xeito que  e  . Outros exemplos inclúen



Do mesmo xeito, moitas outras operacións que se realizan en polinomios pódense estender ás series formais de potencias, como se explica a continuación.

 O anel da serie formal de potencias 
Se se considera o conxunto de todas as series formais de potenciasen X con coeficientes nun anel conmutativo R, os elementos deste conxunto constitúen colectivamente outro anel que se escribe  denominado  anel das series formais de potencias na variábel X sobre R.

 Definición do anel das series formais de potencias 
Pódese caracterizar  abstractamente como o completamento do anel polinómico  equipado cunha métrica particular. Isto dá automaticamente a  a estrutura dun anel topolóxico (e mesmo dun espazo métrico completo). É posíbel describir  de forma máis explícita, e definir a estrutura do anel e a estrutura topolóxica por separado, como segue.

 Estrutura do anel 
Como conxunto,  pódese construír como un conxunto  de todas as secuencias infinitas de elementos de , indexado polos números naturais (incluíndo o índice 0). Designando unha secuencia cuxo termo no índice  é  por , defínese a suma de dúas secuencias deste tipo por



e a multiplicación por



Este tipo de produto chámase produto de Cauchy das dúas secuencias de coeficientes e é unha especie de convolución discreta. Con estas operacións,  convértese nun anel conmutativo con elemento cero  e identidade multiplicativa  .

É bastante natural e conveniente designar unha secuencia xeral  pola expresión formal . Esta convención de notación permite a reformulación das definicións anteriores como



e



 Estrutura topolóxica 
Tendo estipulado convencionalmente queinterpretaríamos o lado dereito como unha suma infinita ben definida. Para iso, definimos unha noción de converxencia en   e construímos unha topoloxía  . Hai varias formas equivalentes de definir a topoloxía desexada.

 Podemos dar a  a topoloxía do produto, onde a cada copia de  dáselle a topoloxía discreta.
 Podemos dar a  a topoloxía I-ádica, onde  é o ideal xerado por , que consta de todas as secuencias cuxo primeiro termo  é cero.
 A topoloxía desexada tamén se pode derivar da seguinte métrica. A distancia entre secuencias distintas  defínese como onde  é o número natural máis pequeno tal que ; a distancia entre dúas secuencias iguais é por suposto cero.

Informalmente, dúas secuencias  e  achéganse cada vez máis se e só se cada vez máis os seus termos coinciden exactamente. Formalmente, a secuencia de sumas parciais dalgunha suma infinita converxe se para cada potencia fixa de  o coeficiente estabilizase: hai un punto máis aló do cal todas as sumas parciais posteriores teñen o mesmo coeficiente.

Esta estrutura topolóxica, xunto coas operacións de anel descritas anteriormente, forman un anel topolóxico. Isto chámase o anel das series formais de potencias sobre  e  denótase como . A topoloxía ten a propiedade útil de que unha suma infinita converxe se e só se a secuencia dos seus termos converxe a 0, o que só significa que calquera potencia fixa de  ocorre só en finitamente moitos termos.

A estrutura topolóxica permite un uso moito máis flexible das sumas infinitas. Por exemplo, a regra para a multiplicación pódese redifinir simplemente como



xa que só un número finito de termos da dereita afectan a calquera fixo . Os produtos infinitos tamén se definen pola estrutura topolóxica; pódese ver que un produto infinito converxe se e só se a secuencia dos seus factores converxe a 1 (neste caso o produto é distinto de cero) ou infinitos factores non teñen termo constante (neste caso o produto é cero).

 Topoloxías alternativas 
A topoloxía anterior é a topoloxía máis fina para a cal



sempre converxe como suma da serie dormal de potencias designada pola mesma expresión, e moitas veces abonda con darlle un significado a sumas e produtos infinitos, ou a outro tipo de límites que se quere utilizar para designar determinadas series formais de potencias. Non obstante, pode ocorrer ocasionalmente que se queira utilizar unha topoloxía máis grosa, de xeito que certas expresións se fagan converxentes que doutro xeito diverxerían. Isto aplícase en particular cando o anel base  xa ven cunha topoloxía diferente á discreta, por exemplo se tamén é un anel de series formais de potencias.

 Propiedade universal 
O anel  pode caracterizarse pola seguinte propiedade universal. Se  é unha álxebra asociativa conmutativa , se  é un ideal de  tal que a topoloxía -ádica en  é completa, e se  é un elemento de , entón hai unha única  coas seguintes propiedades:

  é un -álxebra homomorfismo
  é continua
 .

 Operacións con series formais de potencias 
Pódense realizar operacións alxébricas sobre series de potencias para xerar novas series de potencias. (Several previous editions as well.)A maiores das operacións de estrutura de anel definidas anteriormente, temos as seguintes.

 Serie de potencias elevada a potencias 
Para calquera número natural , a  potencia dunha serie formal de potencias  defínese recursivamente por 

Se  e  son invertíbeis no anel de coeficientes, pódese probar  onde No caso das series formais de potencias con coeficientes complexos, as potencias complexas están ben definidas para as series  con termo constante igual a . Neste caso,  pódese definir ben pola composición coa serie binomial , ben pola composición coas series exponencial e logarítmica,  ou como a solución da ecuación diferencial (en termos de serie)  con termo constante 1; as tres definicións son equivalentes. As regras do cálculo  e  sdedúcense facilmente.

 inverso multiplicativo 
A serie



é invertíbel en  se e só se o seu coeficiente constante  é invertíbel  en .  Podemos calcular os coeficientes da serie inversa  mediante a fórmula recursiva explícita



Un caso especial importante é que a fórmula da serie xeométrica é válida en  :



Se  é un corpo, entón unha serie é invertíbel se e só se o termo constante é distinto de cero, é dicir, se e só se a serie non é divisíbel por . Isto significa que  é un anel de valoración discreta con parámetro uniformizador .

 División 
Cálculo dun cociente 



asumindo que o denominador é invertíbel (é dicir,  é invertébel no anel dos escalares), pódese realizar como produto  e a inversa de , ou equiparando directamente os coeficientes en :



 Extracción de coeficientes 
O operador de extracción de coeficientes aplicado a unha serie formal de potencias



en X escríbese



e extrae o coeficiente de X m, así podemos escribir



 Composición 
Dadas dúas series formais de potencias 




tal que  pódese formar a composición



onde os coeficientes cn son determinados "ampliando" as potencias de f(X):



Aquí a suma esténdese sobre todos os (k, j) con  e  con 

Unha descrición máis explícita destes coeficientes é proporcionada pola fórmula de Faà di Bruno, polo menos no caso en que o anel de coeficiente é un corpo de característica 0.

A composición só é válida cando  non ten termo constante, de xeito que cada  depende só dun número finito de coeficientes de  e . Noutras palabras, a serie para  converxe na topoloxía de  .

 Exemplo 
Supoña que o anel  ten característica 0 e os enteiros distintos de cero son invertíbeis en . Se se denota por  a serie formal de potencias



entón a igualdade



ten perfectamente sentido como unha serie formal de potencias , xa que o coeficiente constante de  é cero.

 Inversa 
Sempre que unha serie formal



ten f0 = 0 e f1 é un elemento invertíbel de R, existe unha serie



que é a inversa , é dicir, compoñer  con  dá a serie que representa a función de identidade  . Os coeficientes de  pódense atopar recursivamente utilizando a fórmula anterior para os coeficientes dunha composición, equiparándoos cos da composición identidade X (é dicir, 1 no grao 1 e 0 en cada grao superior a 1). No caso de que o anel coeficiente sexa un corpo de característica 0, a fórmula de inversión de Lagrange (discutida a continuación) proporciona unha poderosa ferramenta para calcular os coeficientes de g, así como os coeficientes das potencias (multiplicativas) de g.

 Diferenciación formal 
Dada unha serie formal de potencias



definimos a súa derivada formal, denotada Df ou f ′, como



O símbolo D chámase operador formal de diferenciación. Esta definición simplemente imita a diferenciación termo por termo dun polinomio.

Esta operación é R-linear:



para calquera a, b en R e calquera f, g en  Ademais, a derivada formal ten moitas das propiedades da derivada habitual do cálculo. Por exemplo, a regra do produto é válida:



e a regra da cadea tamén funciona:



sempre que se definan apropiadamente as composicións de series.

Así, nestes aspectos as series de potencias formais compórtanse como as series de Taylor. De feito, para o f definido anteriormente, atopamos que



onde D k denota a k-ésima derivada formal (é dicir, o resultado de diferenciar formalmente k veces).

 Antidiferenciación formal 
Se  é un anel con característica cero e os enteiros distintos de cero son invertibles , entón dada unha serie de potencias formal



definimos a súa antiderivada formal ou integral indefinida formal por



para calquera constante  .

Esta operación é R-linear:



para calquera a, b en R e calquera f, g en  A maiores, a antiderivada formal ten moitas das propiedades da antiderivada habitual do cálculo. Por exemplo, a antiderivada formal é a inversa pola dereita da derivada formal:



para calquera .

 Serie formal de Laurent 
As series formais de Laurent sobre un anel  defínense dun xeito similar ás series formais de potencias, agás que tamén permitimos un número finito de termos de grao negativo. É dicir, son as series que se poden escribir como

para algún  enteiro, de xeito que só hai un número finito de  negativos con . (Isto é diferente da clásica serie de Laurent da análise complexa.) Para unha serie formal de Laurent distinta de cero, o enteiro mínimo  tal que  chámase orde de  e denomínase  (A orde da serie cero é .)

Pódese definir a multiplicación destas series. De feito, de xeito similar á definición de series formais de potencias, o coeficiente de  de dúas series coas respectivas secuencias de coeficientes  e  é

Esta suma ten só un número finito de termos distintos de cero debido á suposta desaparición dos coeficientes en índices suficientemente negativos.

As series formais de Laurent forman o anel de series formais de Laurent sobre , denotado como . É igual á localización do anel  de series formais de potencias en relación ao conxunto de potencias positivas de . Se  é un corpo, entón  é de feito un corpo, que se pode obter alternativamente como o corpo de fraccións do dominio de integridade .

Do mesmo xeito que con , o anel  das series formais de Laurent pode estar dotado da estrutura dun anel topolóxico introducindo a métrica

Pódese definir a diferenciación formal para as series formais de Laurent do xeito natural (termo por termo). Precisamente, a derivada formal das series formais de Laurent  anterior é

que é de novo unha serie formal de Laurent. Se  é unha serie formal de Laurent non constante e con coeficientes nun corpo de característica 0, entón temos

No entanto, en xeral este non é o caso xa que o factor  para o termo de orde máis baixa pode ser igual a 0 en .

Residuo formal
Supoña que  é un corpo de característica 0. Entón o mapa

definido anteriormente é unha -derivación que satisfai

Isto último mostra que o coeficiente de  en  é de particular interese; chámase residuo formal de , denotado . O mapa

é -linear, e pola observación anterior un ten unha secuencia exacta

Algunhas regras do cálculo. Como consecuencia moi directa da definición anterior, e das regras de derivación formal, tense, para calquera 
<ol style="list-style-type: low-roman;"> 


  se 
 </li></li></ul><ul><li> </ol>

A propiedade (1) forma parte da secuencia exacta anterior. A propiedade (2) dedúcese de (1) aplicada a . A propiedade (3): calquera  pódese escribir na forma , con  e : entón   implica que  é invertébel en  de onde  A propiedade (4): xa que  podemos escribir  con 

Fórmula de inversión de Lagrange

Como se mencionou anteriormente, calquera serie formal  con f0 = 0 e f1 ≠ 0 ten unha  inversa  Cúmprese a seguinte relación entre os coeficientes de gn e f−k:

En particular, para n=1 e todos os k≥1,

Dado que a demostración da fórmula de inversión de Lagrange é un cálculo moi curto, paga a pena informar aquí dunha proba baseada en residuos (existen varias probas diferentes, usando, por exemplo, a fórmula do coeficiente de Cauchy para funcións holomorfas, argumentos de conta de árbores ou indución). Observando , podemos aplicar as regras de cálculo anteriores, fundamentalmente a regra (4) substituíndo  para obter:

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 

 Nicolas Bourbaki: Algebra, IV, §4. Springer-Verlag 1988.
 Outros artigos 
 Función xeradora.

Categoría:Estatística
Categoría:Teoría de números
Categoría:Teoría de aneis
Categoría:Álxebra abstracta
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Serie matemática