Desigualdade triangular

En xeometría, a desigualdade triangular é o feito de que, nun triángulo, a lonxitude dun lado é menor que a suma das lonxitudes dos outros dous lados. Esta desigualdade é relativamente intuitiva. Na vida ordinaria, como na xeometría euclidiana, isto tradúcese no feito de que a liña recta é o camiño máis curto: o camiño máis curto do punto A ao punto B é ir recto alí, sen pasar por un terceiro punto C que non estea na recta.

 Enunciados 

 En xeometría 
Nun plano euclidiano, sexa un triángulo ABC. Entón, as lonxitudes AB, AC e BC satisfán as seguintes tres desigualdades:

 ;
 ;
 .

A conxunción destas tres desigualdades é equivalente á dupla desigualdade: .

A primeira destas últimas desigualdades reflicte que nun triángulo, a lonxitude dun lado é maior que a diferenza das lonxitudes dos outros dous.

O caso da igualdade na segunda desigualdade sería: 

.

 Para os números complexos 
Usando unha representación complexa do plano euclidiano, podemos observar




Obtemos esta formulación equivalente.

Para , temos :

 ;
  .

 Xeneralización a espazos prehilbertianos 
Sexa  un  espazo prehilbertiano real. Denotamos  como a norma asociada ao produto escalar. Para , usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz e o seu caso de igualdade, entón demostramos a desigualdade de Minkowski:

  ;
  (  e  relacionados positivamente).

(Todo espazo pre-hilbertiano complexo  é un espazo real pre-hilbertiano, para o produto escalar , que induce a mesma norma que o produto hermitiano .)

 Punto de vista axiomático 
Sexa  un conxunto e . Dicimos que  é unha distancia en  se:





A terceira propiedade require que para que  sexa unha distancia debe verificar a desigualdade triangular. Xunto coa primeira, implica:



e máis xeralmente, para calquera parte  non baleira de ,  (ver " Distancia").

Reciprocamente,  .

Todo espazo vectorial normado , especialmente , está naturalmente provisto dunha distancia , definido por , para o que o incremento  reescríbese:

  .

 Desigualdade triangular xeneralizada 
Podemos iterar a desigualdade triangular para un número finito de elementos.

En xeometría, isto dá :

, sendo o caso de igualdade para  na mesma recta nesta orde.

Para complexos, isto dá :

 , sendo o caso de igualdade se :  é un real estritamente positivo para .

Para un espazo vectorial normado:

 .

Sendo o caso de igualdade no caso prehilbertiano: Os  vinculados positivamente de dous en dous.

 Desigualdade triangular para integrais 
Se  é unha función integrábel no sentido de Riemann (en particular se é continua por intervalos) nun intervalo , con valores nun espazo vectorial estandarizado, entón:

Sendo o caso de igualdade se  é continua con valores complexos: hai unha constante  de módulo 1 tal que  en .

No caso real, isto é equivalente a que  sexa de signo constante en .
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 


 Outros artigos 
 Orde total.

Categoría:Xeometría
Categoría:Topoloxía
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas