Subespazo vectorial

En matemáticas, e máis concretamente en álxebra linear, un subespazo linear ou subespazo vectorial  pp. 16–17, § 10  é un espazo vectorial que é un subconxunto dalgún espazo vectorial maior. Un subespazo linear adoita chamarse simplemente subespazo cando o contexto serve para distinguilo doutros tipos de subespazos.

 Definición 
Se V é un espazo vectorial sobre un corpo K, un subconxunto W de V é un subespazo vectorial de V se é un espazo vectorial sobre K coas operacións de V. 

De forma equivalente, un subespazo vectorial de V é un subconxunto W non baleiro tal que, sempre que  son elementos de W e  son elementos de K, temos que  está en W.     

O conxunto unitario formado só polo vector cero e o propio espazo vectorial son subespazos vectoriais que se denominan subespazos triviais do espazo vectorial. p. 100, ch. 2, Definition 2.13

 Exemplos 

 Exemplo I 
No espazo vectorial V = R3 (o espazo de coordenadas reais en 3 dimensións sobre o corpo R de números reais), tomamos W como  o conxunto de todos os vectores de V cuxa última compoñente é 0. Entón W é un subespazo de V.

Proba:

 Dados u e v en W, entón poden expresarse como  e . Así temos . Por tanto, u + v tamén é un elemento de W.
 Dado u en W e un escalar  en R, se  temos  Por tanto, u tamén é un elemento de W.

 Exemplo II 
Sexa de novo o corpo R, mais agora sexa o espazo vectorial V o plano cartesiano R2. Considere W como o conxunto de puntos (x, y) de R 2 tal que x = y. Entón W é un subespazo de R2.

 Exemplo III 
De novo tome o corpo R, mais agora sexa o espazo vectorial V o conxunto RR de todas as funcións de R en R. Sexa C(R) o subconxunto formado polas funcións continuas. Entón C(R) é un subespazo de RR.

Proba:

 Sabemos polo cálculo que .
 Sabemos polo cálculo que a suma de funcións continuas é continua.
 De novo, sabemos polo cálculo que o produto dunha función continua e un número é continua.

 Exemplo IV 
Manteña o mesmo corpo e espazo vectorial que antes,mais agora considere o conxunto Diff(R) de todas as funcións diferenciábeis. O mesmo tipo de argumento que antes mostra que este tamén é un subespazo vectorial.

 Propiedades dos subespazos 
Da definición de espazos vectoriais, despréndese que os subespazos non están baleiros e están pechados baixo as sumas e baixo a multiplicación escalar. Subspace. 

Isto é equivalente a dicir que os subespazos poden caracterizarse pola propiedade de estaren pechados baixo combinacións lineares. É dicir, un conxunto non baleiro W é un subespazo vectorial se e só se toda combinación linear de elementos finitos de W tamén pertence a W. 

Nun espazo vectorial topolóxico X, un subespazo W non necesita estar pechado topoloxicamente, mais un subespazo de dimensión finita sempre está pechado.  Basic facts about Hilbert Space — class notes from Colorado State University on Partial Differential Equations (M645). 

 Tipos frecuentes de subespazos 
Algúns tipos frecuentes de subespazos inclúen o conxunto solución dun sistema homoxéneo de ecuacións lineares, o subconxunto do espazo euclidiano descrito por un sistema de ecuacións paramétricas homoxéneas lineares, o subespazo vectorial xerado por unha colección de vectores, o  espazo nulo ou kernel, e tamén os  espazos de columnas e os  espazos de filas dunha matriz (combinacións lineares das columnas ou filas da matriz). 

Xeometricamente (especialmente sobre o corpo de números reais e os seus subcorpos), un subespazo é un hiperplano nun n-espazo que pasa pola orixe.

 Independencia, base e dimensión 
dereita|miniatura|280x280px| Os vectores u e v son unha base deste subespazo bidimensional de R3.
En xeral, un subespazo de Kn determinado por k parámetros (ou estendido por k vectores) ten dimensión k. No entante, hai excepcións a esta regra. Por exemplo, o subespazo de K3 estendido polos tres vectores (1,0,0), (0,0,1), e (2,0,3) é só o plano xz, con cada punto do plano descrito por infinitos valores diferentes de .

En xeral, os vectores v1, ... , vk chámanse linearmente independentes se



para (t1 ,t2 ,...,t k )≠ (u1,u 2 ,...,uk ). 

Isto pódese expresar tamén como: os vectores v1, ..., vk son linearmente independentes se

 para .

Se   son linearmente independentes, entón as coordenadas   para un vector xerado están determinadas de forma única.

Unha base para un subespazo S é un conxunto de vectores linearmente independentes cuxa combinación linear (ou extensión) é S. O número de elementos nunha base é sempre igual á dimensión xeométrica do subespazo. 

 Exemplo
 Sexa S o subespazo de R4 definido polas ecuacións

 Entón os vectores (2, 1, 0, 0) e (0, 0, 5, 1) son unha base para S. En particular, cada vector que satisfaga as ecuacións anteriores pódese escribir de forma única como unha combinación linear dos dous vectores básicos:



 O subespazo S é bidimensional. Xeométricamente, é o plano en R4 que pasa polos puntos (0,0,0,0), (2,1,0,0), e (0,0,5,1).

 Operacións e relacións con subespazos 

 Intersección 
dereita|miniatura| En R3, a intersección de dous subespazos bidimensionais distintos é unidimensional
Dados os subespazos U e W dun espazo vectorial V, entón a súa intersección U ∩ W := { v ∈ V : v é un elemento tanto de U como W } tamén é un subespazo de V.

 Suma 
Se U e W son subespazos, a súa suma é o subespazo   

Por exemplo, a suma de dúas rectas é o plano que as contén. A dimensión da suma satisfai a desigualdade 

Aquí, o mínimo só ocorre se un subespazo está contido no outro, mentres que o máximo é o caso máis xeral. A dimensión da intersección e a suma están relacionadas coa seguinte ecuación:  

Un conxunto de subespazos é independente cando a única intersección entre calquera par de subespazos é o subespazo trivial. 

A suma directa é a suma de subespazos independentes, escritos como . Unha reformulación equivalente é que unha suma directa é unha suma de subespazos baixo a condición de que cada subespazo contribúa na extenxión da suma.  p. 148, ch. 2, §4.10  p. 21 § 1.40  pp. 10–11, § 1.2.5  pp. 28–29, § 18

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 













 Outros artigos 
 Suma directa.
 Produto vectorial.
 Espazo cociente.
 Ligazóns externas 

Categoría:Álxebra lineal