Cuantificador (lóxica)

En lóxica formal, un cuantificador é unha expresión que indica o número de veces que se cumpre un predicado ou propiedade P dentro dunha determinada clase (por exemplo, pertenza, equivalencia ou orde). Existen moitos tipos de cuantificadores, entre os máis utilizados están: 

 Cuantificador universal


 Para todo x, y...

 Cuantificador existencial


 Existe polo menos un x, y...

 Cuantificador existencial único


 Existe exactamente un x, y...

 Negación do cuantificador existencial


 Non existe ningún x, y...

 Declaracións cuantificadas 
As declaracións cuantificadas escríbense na forma:



Para todo x que pertence a R, é certo que 2x pertence a R.



Para todo a que pertence a R, existe algún ou varios x que pertencen a R, que está entre a e a+1.



Para todo a pertencente a R que é diferente de cero, existe un único x que pertence a R, que satisfai que a por x é igual a 1.

 Proposicións 

 Cuantificación universal 
O cuantificador universal úsase para afirmar que todos os elementos dun conxunto satisfán unha determinada propiedade. Por exemplo:


 Para todo x pertencente a A, cúmprese P(x) .

Esta afirmación úsase a miúdo como o equivalente da seguinte proposición:


 O conxunto A defínese como o conxunto de elementos x de U que satisfán P(x) .

 Cuantificación existencial 
O cuantificador existencial úsase para indicar que hai un ou máis elementos no conxunto  (non necesariamente únicos) que cumpren unha determinada propiedade. Por exemplo:



 Existe polo menos un x en A que satisfai P(x) .

Esta proposición adoita interpretarse como o equivalente á seguinte proposición:



 O conxunto de elementos x de A, que satisfán P(x) é diferente do conxunto baleiro.

 Cuantificación existencial única 
O cuantificador existencial marcado pola unicidade utilízase para indicar que existe un único elemento dun conxunto A que satisfai unha determinada propiedade. Escríbese como:Lese:

 Existe un único elemento x de A, que satisfai P(x) .

 Equivalencias 
Existen as seguintes relacións universais:



 Para todo x en A, cúmprese P(x) se e só se non existe ningún x en A que non satisfaga P(x).



 Existe polo menos un x en A que satisfai P(x) se e só se non é certo que para todo x en A, P(x) non se cumpre.

 Leis de De Morgan 
As leis de De Morgan para os cuantificadores son as seguintes:



 A negación é falsa se para todo  o predicado é verdade. Pola contra, é certo se existe un  para o cal  é falsa.



 A negación é verdadeira se para todo  a función proposicional  de  é falsa e é falsa se existe un  para o cal  é verdadeira.

 Precedencia dos cuantificadores 
A orde de prioridade (precedencia) dos cuantificadores  e  é de maior grao de preferencia que os outros operadores lóxicos.

Exemplos:

Cando poñemos , a orde de prioridade obríganos a realizar primeiro o cuantificador universal aplicado a   (indicado cun paréntese a maiores) e a ese resultado aplicar o and lóxico (  )  con , isto é: . Este exemplo pódese ver para os diferentes cuantificadores.

No caso de querer dar prioridade ao operador lóxico (  ) teremos que poñer parénteses para forzar a prioridade desa operación 

Un erro moi común é considerar que  É o mesmo que  que non é o caso, xa que non se respecta a orde de prioridade, polo que o correcto sería .

 Regras de troco 

 Primeira regra :

 Un cuantificador universal (  ) afirmativo equivale á negación dun cuantificador existencial.  

 Para todo ,  é certo, equivale a que sexa falso que algúns  non cumpran .

 Segunda regra :

 Un cuantificador existencial (  ) afirmativo equivale á negación do cuantificador universal negación (  ) xunto á negación do predicado. 


 Que exista algún  para o que  é certo, equivale a dicir que non acontece que para todo  non cumpre .

 Terceira regra :

 A negación dun cuantificador universal (  ) equivale a un cuantificador existencial (  ) co predicado negado. 

 É falso que todos os  cumpren , é equivalente a algúns  non cumpren .

 Cuarta regra :

 A negación dun cuantificador existencial (  ) equivale a un cuantificador universal (  ) co predicado negado. 

 É falso que algún  cumpra , é equivalente a todos os  non cumpren .

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Stanford Encyclopedia of Philosophy:
 Shapiro, Stewart (2000). "Classical Logic" (Covers syntax, model theory, and metatheory for first order logic in the natural deduction style.)
 Westerståhl, Dag (2005). "Generalized quantifiers"
 Peters, Stanley; Westerståhl, Dag (2002). "Quantifiers" 

 Outros artigos 

 Ligazóns externas 

 . From College of Natural Sciences, University of Hawaii at Manoa.

Categoría:Teoría de conxuntos
Categoría:Lóxica matemática