Función diferenciábel

En matemáticas, unha función diferenciábel dunha variábel real é unha función cuxa derivada existe en cada punto do seu dominio. Unha función diferenciábel é suave (a función está localmente ben aproximada como unha función linear en cada punto interior) e non contén ningún salto ou cúspide.

Se  é un punto interior no dominio dunha función , entón  dise que é diferenciábel en  se a derivada  existe.  dise que é continuamente diferenciábel se a súa derivada é tamén unha función continua sobre o dominio da función . En xeral,  dise que é de clase  se as súas primeiras  derivadas  existen e son continuas sobre o dominio da función .

Para unha función multivariábel, como se mostra embaixo, a diferenciabilidade é algo máis complexa que a existencia das derivadas parciais.

Diferenciabilidade de funcións reais dunha variábel

Unha función , definida nun conxunto aberto , dise que é diferenciábel en  se a derivada

existe. Isto implica que a función é continua en .

Esta función  dise que é diferenciábel en  se é diferenciábel en cada punto de . Neste caso, a derivada de  é así unha función de  en  

Unha función dise que é continuamente diferenciábel se a súa derivada é tamén unha función continua; existen funcións que son diferenciábeis mais non continuamente diferenciábeis (un exemplo dase na sección Clases de diferenciabilidade).

Diferenciabilidade e continuidade

esquerda|miniatura|A función valor absoluto é continua (é dicir, non ten ocos). É diferenciábel en todas as partes agás no punto  = 0, onde fai un xiro brusco ao cruzar o eixo .
miniatura|dereita|Unha cúspide na gráfica dunha función continua. En cero, a función é continua mais non diferenciábel.
Se  é diferenciábel nun punto , entón  debe tamén ser continua en . En particular, calquera función diferenciábel debe ser continua en cada punto do seu dominio. O contrario non é certo: unha función continua non ten por que ser diferenciábel. Por exemplo, unha función cunha curva, cúspide ou tanxente vertical pode ser continua, pero non ser diferenciábel no lugar da anomalía.

A maioría das funcións que aparecen na práctica teñen derivadas en todos os puntos ou en case todos os puntos. O primeiro exemplo coñecido dunha función que é continua en todas partes pero non diferenciábel en ningunha parte é a función de Weierstrass..  Citado por 

Clases de diferenciabilidade
300px|miniatura|As funcións diferenciábeis poden ser aproximadas localmente por funcións lineares.
miniatura|300px|A función  con  para  e  é diferenciábel. No entanto, esta función non é continuamente diferenciábel.

Unha función  dise que é  se a derivada  existe e é ela mesma unha función continua. Aínda que a derivada dunha función diferenciábel nunca ten unha descontinuidade de salto, é posíbel que a derivada teña unha descontinuidade esencial. Por exemplo, a función

é diferenciábel en 0, xa que

existe. No entanto, para  as regras de diferenciación implican

que non ten límite cando  Así, este exemplo mostra a existencia dunha función que é diferenciábel pero non continuamente diferenciábel (é dicir, a derivada non é unha función continua). Con todo, o teorema de Darboux implica que a derivada de calquera función satisfai a conclusión do teorema do valor intermedio.

De xeito similar a como as funcións continuas se din que son de  as funcións continuamente diferenciábeis ás veces dinse que son de . Unha función é de  se a primeira e a segunda derivada da función existen e son continuas. Máis xeralmente, unha función dise que é de  se as primeiras  derivadas  existen e son continuas. Se as derivadas  existen para todos os enteiros positivos  a función é suave ou equivalentemente, de 

Diferenciabilidade en dimensións superiores
Unha función de varias variábeis reais  dise que é diferenciábel nun punto  se existe unha aplicación linear  tal que

Se unha función é diferenciábel en , entón todas as derivadas parciais existen en , e a aplicación linear  vén dada pola matriz jacobiana, unha matriz n × m neste caso. 

Se todas as derivadas parciais dunha función existen nunha veciñanza dun punto  e son continuas no punto , entón a función é diferenciábel nese punto .

No entanto, a existencia das derivadas parciais (ou mesmo de todas as derivadas direccionais) non garante que unha función sexa diferenciábel nun punto. Por exemplo, a función  definida por

non é diferenciábel en , pero todas as derivadas parciais e direccionais existen neste punto. Para un exemplo continuo, a función

non é diferenciábel en , mais de novo todas as derivadas parciais e direccionais existen.

Diferenciabilidade en análise complexa

En análise complexa, a diferenciabilidade complexa defínese usando a mesma definición que as funcións reais dunha variábel. Isto é debido á posibilidade de dividir números complexos. Así, unha función  dise que é diferenciábel en  cando

Aínda que esta definición parece similar á diferenciabilidade das funcións reais dunha variábel, é unha condición máis restritiva. Unha función , que é complexo-diferenciábel nun punto , é automaticamente diferenciábel nese punto, cando se ve como unha función . Isto débese a que a diferenciabilidade complexa implica que

No entanto, unha función  pode ser diferenciábel como unha función multivariábel, mentres non é complexo-diferenciábel. Por exemplo,  é diferenciábel en cada punto, vista como a función real de 2 variábeis , mais non é complexo-diferenciábel en ningún punto porque o límite  non existe (o límite depende do ángulo de aproximación).

Calquera función que é complexo-diferenciábel nunha veciñanza dun punto chámase holomorfa nese punto. Tal función é necesariamente infinitamente diferenciábel, e de feito analítica.

Funcións diferenciábeis en variedades

Se M é unha variedade diferenciábel, unha función real ou complexa f en M dise que é diferenciábel nun punto p se é diferenciábel en relación a algún (ou calquera) carta de coordenadas definida arredor de p. Se M e N son variedades diferenciábeis, unha función f: M → N dise que é diferenciábel nun punto p se é diferenciábel en relación a algún (ou calquera) carta de coordenadas definida arredor de p e f(p).
 Notas 


 Véxase tamén 


 Outros artigos 
Derivada
Función suave

Categoría:Cálculo