Medida da irracionalidade

En matemáticas, unha medida da irracionalidade dun número real  é unha medida do "preto" que se pode aproximar mediante racionais.

Se unha función , definida para , toma valores reais positivos e é estritamente decrecentes en ambas as variábeis, considere a seguinte desigualdade:



para un número real dado  e números racionais  con . Definimos  como o conxunto de todos os  para o que só  existen un número finito de  de forma que se satisfaga a desigualdade. Entón  chámase unha medida da irracionalidade de  en relación a  Se non hai tal  e o conxunto  está baleiro,  dise que ten unha medida de irracionalidade infinita .

En consecuencia, a desigualdade



ten como moito só un número de finitamente moitas solucións  para tódolos .

 Expoñente da irracionalidade 
O expoñente de irracionalidade ou medida de irracionalidade de Liouville-Roth vén dado pola función, unha definición que adapta a definición dos números de Liouville, o expoñente de irracionalidade  defínese para números reais  sendo o supremo do conxunto de  tal que se satisfán as desigualdades   por un número infinito de pares de enteiros primos  con .

Para calquera valor , o conxunto infinito de todos os racionais  que satisfán a desigualdade anterior producen boas aproximacións de . Pola contra, se , entón hai como moito finitamente moitos coprimos  con  que satisfán a desigualdade.

Outro xeito de expresalo sería 

 Algúns casos 
Por exemplo, sempre que unha aproximación racional  con  dá  cifras decimais exactas, entón



para calquera , agás como máximo un número finito de pares "afortunados" .

Un número  con expoñente de irracionalidade  chámase número diofantiano, mentres que os números con  chámanse números de Liouville.

 Forma construtiva 
Se temos que o  e  para algúns números reais positivos , entón podemos estabelecer un límite superior para o expoñente de irracionalidade de  con: 

 .

 Corolarios 
Os números racionais teñen un expoñente de irracionalidade 1, mentres que (como consecuencia do teorema da aproximación de Dirichlet) todo número irracional ten un expoñente de irracionalidade polo menos 2.

Por outra banda, unha aplicación do lema de Borel-Cantelli mostra que case todos os números, incluídos todos os números irracionais alxébricos, teñen un expoñente de irracionalidade exactamente igual a 2. 

 Temos  para números reais  e números racionais  e . Se para algúns  temos , entón dedúcese que .:368 

 Para un número real  dado pola súa expansión de fracción continua simple  con converxentes  cúmprese: 



 Exemplos 

En primeiro lugar imos ver un non exemplo.
Se temos un dos primeiros converxentes da fracción continua de pi, por exemplo , daquela teríamos
 , implica .
Mais este converxente podería ser unha fracción "afortunada". En rigor deben procurarse secuencias con denominadores grandes e que a condición se cumpra para "finitamente moitos".

Para o exemplo da constante de Apéry () imos seguir parte do documento de Van der Porten. Roger Apéry descobre, mediante transformacións moito elaboradas, unhas recorrencias que aceleran o cálculo de zeta de 3, sendo :
 ,
 .
E agora:
 ,
 . 
Isto implica
 .

Isto xunto da recorrencia vista enrriba para  permite calculalo asintóticamente. Dado que os ceros do polinomio  son  pódese concluír que  con .

Por último 
  con   que dá  e así
 .



(como podemos ver na táboa de embaixo este límite superior xa foi calculado cunha cantidade inferior).

 Límites coñecidos 
 Se  é racional.
 Se  é alxébrico de grao > 1.
 Se  é trascendental.

Para a maioría dos  números transcendentais, non se coñece o valor exacto do seu expoñente de irracionalidade. A continuación móstrase unha táboa de límites superiores e inferiores coñecidos.

+Número Expoñente da irracionalidade NotasLímite inferiorLímite superiorNúmero racional  con 1Todo número racional  ten un expoñente de irracionalidade de exactamente 1. Número alxébrico irracional 2Polo Teorema de Roth o expoñente de irracionalidade de calquera número alxébrico irracional é exactamente 2. Exemplos inclúen raíces cadradas e o número áureo .2Se os elementos  da expansión simple da fracción continua dun número irracional  están limitados por encima de  por un polinomio arbitrario , entón o seu expoñente de irracionalidade é .

Os exemplos inclúen números nos que as fraccións continuas se comportan de forma previsíbel como

  e.22 con 2con , ten termos de fracción continua que non superan unha constante fixa. con 2 onde  é a secuencia de Thue-Morse e. Ver Constante de Prouhet-Thue-Morse .23.57455...Hai outros números da forma  para os que se coñecen os límites dos seus expoñentes de irracionalidade.25.11620...23.43506...Hai moitos outros números da forma para os que se coñecen límites no seu expoñente de irracionalidade. Este é o caso de .24.60105...Hai moitos outros números da forma   para os que se coñecen límites no seu expoñente de irracionalidade. Este é o caso de .27.10320...Probouse que se a  Serie Flint Hills  (onde n está en radiáns) converxe daquela o expoñente de irracionalidade de  é como moito  e que se diverxe o expoñente de irracionalidade é como mínimo .25.09541... e  son linearmente dependentes sobre .29.27204...Hai moitos outros números da forma   para os que se coñecen límites no seu expoñente de irracionalidade.25.94202...Constante de Apéry 25.51389...210330Constante de Cahen 3Constante de Champernowne  ien base Examplos inclúen Números de Liouville Os números de Liouville son precisamente aqueles números que teñen un expoñente de irracionalidade infinito.

 Relación coa converxencia dalgunhas series 

A serie Flint Hills está definida polo sumatorio:

que ven sendo o mesmo que
 .

Non se sabe se esta serie converxe, xa que  pode ter esporadicamente valores grandes. Os valores de  que fan grande esa función son precisamente os numeradores dos converxentes da fracción continua de  .

Alekseyev (2011) demostrou que a cuestión da converxencia da serie Flint Hill está relacionada coa medida da irracionalidade de , e en particular, a converxencia implicaría , que é moito máis forte que o mellor límite superior coñecido na actualidade.

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Serie Flint Hills.
 Constante de Apéry
 Teorema de Lindemann-Weierstrass
 Teorema de Roth
 Ligazóns externas 
 Irrationality Measure (MathWorld).

Categoría:Teoría de números
Categoría:Teoría de números alxébricos
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas