Serie Flint Hills

A serie Flint Hills é unha serie numérica que é significativa debido a que se descoñece a súa natureza  converxente ou  diverxente. Outro trazo característico é que a súa diverxencia está relacionado coa medida da irracionalidade do número pi.

Definición

A serie Flint Hills está definida polo sumatorio:

que ven sendo o mesmo que:
 .

Non se sabe se esta serie converxe, xa que  pode ter esporadicamente valores grandes. Os valores de  que fan grande esa función son precisamente os numeradores dos converxentes da fracción continua de  .

Alekseyev (2011) demostrou que a cuestión da converxencia da serie Flint Hill está relacionada coa medida da irracionalidade de , e en particular, a converxencia implicaría , que é moito máis forte que o mellor límite superior coñecido actualmente. 

 Proba da converxencia en función da medida de irracionalidade 
Imos mostrar a proba de Alekseyev (2011): 

Sexa  e . Entón, a desigualdade
 só se cumpre para un número finito de pares de enteiros positivos coprimos  e  (ver medida da irracionalidade).

Para un enteiro positivo  , sexa , de modo que  e, polo tanto, . Entón,

Por outra parte, para  e  suficientemente grandes, temos , o que implica que

onde  é unha constante que depende só de  mais  non de  (xa que  tende a  cando  medra). 

Polo tanto, para todo  suficientemente grande, temos

Daquela dedúcese que se , tomamos   para obter

E por tanto converxe a cero.

Por outra parte se , entón para , a desigualdade inicial de irracionalidade cúmprese para infinitos pares de enteiros positivos coprimos  e . É dicir, existe unha sucesión de racionais  tal que 

Entón,

onde  é unha constante que depende só de . Polo tanto, para , temos

Por outra parte, temos

 e polo tanto,

Concluímos que a sucesión  diverxe, xa que contén dúas subsucesións: unha limitada inferiormente por unha constante positiva e outra que tende a cero. 

Aplicando este resultado aos valores da serie Flint Hills, , temos que  é o valor que determina a converxencia ou diverxencia da serie.

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 Pickover, C. A. "Flint Hills Series." Ch. 25 in The Mathematics of Oz: Mental Gymnastics from Beyond the Edge. New York: Cambridge University Press, pp. 57-59 and 265-268, 2002.
 Sloane, N. J. A. Sequence A046947 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

 Outros artigos 
 Lista de sumas de recíprocos.
 Ligazóns externas 
 Flint Hills Series (MathWorld).

Categoría:Teoría de números
Categoría:Serie matemática