Teorema de Ostrowski

En matemáticas, o teorema de Ostrowski é un teorema da teoría de números demostrado en 1916 por Alexander Ostrowski, segundo o cal calquera valor absoluto non trivial no corpo ℚ dos racionais é equivalente ao valor absoluto habitual ou ao dos valores absolutos p-ádicos. 

De forma máis precisa e máis xeral , o teorema de Ostrowski afirma que os únicos valores absolutos non ultramétricos nun corpo K son (se os hai) as aplicacións da forma x ↦ |f (x)| , onde f é un mergullo de K no corpo dos complexos, e 0 < c ≤ 1. Daquela os valores absolutos ultramétricos en K son os inducidos por unha valoración real, e para K = ℚ as valoracións reais son as valoracións p-ádicas.

 Valor absoluto 

Sexa K un corpo. Un valor absoluto en K é unha aplicación | ∙ | de K no conxunto dos números reais positivos, que verifica:





A aplicación  é entón unha distancia en K.

Se o valor absoluto cumpre a condición  


máis forte que a condición 3, entón o valor absoluto chámase ultramétrico.

 Valor absoluto trivial 
O valor absoluto trivial | ∙ | nun corpo defínese por 


 Valor absoluto habitual 
O valor absoluto habitual | ∙ |  en ℚ defínese por 


 Valor absoluto p-ádico 

Para un número primo fixo p, calquera  racional distinto de cero pode escribirse de forma única na forma 

onde ,  son enteiros,  é un enteiro estritamente positivo tal que  e  son primos entre si, e  non divide   nin .

O enteiro  é a valoración p-ádica de . O valor absoluto p-ádico |∙| en ℚ defínese entón por :.

Este valor absoluto é ultramétrico ultramétrico.

 Valores absolutos equivalentes 
Dous valores absolutos nun corpo K dise que son equivalentes cando as distancias asociadas son topoloxicamente equivalentes. Son logo potencias uns dos outros cun expoñente estritamente positivo.

 Teorema de Ostrowski 

 Completamentos do corpo dos números racionais 
O teorema de Ostrowski mostra que só hai dous tipos de complementos do corpo ℚ. Se tomamos un valor absoluto equivalente ao valor absoluto habitual, construiremos un corpo isomorfo a ℝ. 

Se completamos o corpo ℚ cun valor absoluto p-ádico, obtemos corpos completos moi diferentes ao dos reais: corpos p-ádicos. Isto abre as portas á análise p-ádica.
 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Número p-ádico.
 Ligazóns externas 

Categoría:Teoría de números
Categoría:Teoremas