Integración por partes

En cálculo, e máis xeralmente na análise matemática, a integración por partes é un proceso que atopa a integral dun produto de funcións en termos da integral do produto da súa derivada e antiderivada. A regra pódese pensar como unha versión para unha integral da regra de diferenciación do produto.

A fórmula de integración por partes di: 

Ou, sendo  e  mentres que  e  a fórmula pódese escribir de forma máis compacta: 

A primeira expresión escríbese como unha integral definida e a segunda escríbese como unha integral indefinida. 

O matemático Brook Taylor descubriu a integración por partes, publicando a idea por primeira vez en 1715. Existen formulacións máis xerais de integración por partes para as integrais de Riemann-Stieltjes e Lebesgue-Stieltjes. O análogo discreto para secuencias chámase sumatorio por partes.

 Teorema 

 Produto de dúas funcións 
O teorema pódese derivar do seguinte xeito. Para dúas funcións continuamente diferenciábeis  e , a regra do produto estabelece:

Integrando ámbolos dous lados con respecto a ,

e observando que unha integral indefinida é unha antiderivada dá

onde prescindimos de escribir a constante de integración. Isto dá a fórmula da  integración por partes:

ou en termos de diferenciais , 

 Aplicacións 

 Calcular antiderivadas 
A integración por partes é unha heurística máis que un proceso puramente mecánico para resolver integrais; dada unha única función para integrar, a estratexia típica é separar coidadosamente esta única función nun produto de dúas funcións u(x) v(x) de forma que a integral residual da fórmula de integración por partes sexa máis fácil de avaliar que a función unida. 

Como exemplo sinxelo, consideremos:

Xa que a derivada de ln(x) é, tomamos (ln(x)) como parte u; xa que a antiderivada de  é − tomamos  como part . A fórmula agora dá:

A antiderivada de − atópase coa regra da potencia.

Alternativamente, pódese escoller u e v de tal forma que o produto u ′ (∫v dx) simplifica debido á cancelación. Por exemplo, supoñamos que se quere integrar:

Se escollemos u(x) = ln(|sin( x )|) e v (x) = sec2x, entón u diferénciase como  usando a regra da cadea e v intégrase como tan x; polo que a fórmula dá:

 Polinomios e funcións trigonométricas 
Para calcular

facemos: 

daquela:

onde C, coma sempre é unha constante de integración.

 Funcións exponenciais e trigonométricas 
Un exemplo que se usa habitualmente para entender o funcionamento da integración por partes é

Aquí, a integración por partes realízase dúas veces. Primeiro facemos

daquela:



Agora, para avaliar a integral restante, usamos de novo a integración por partes, con:



Entón:

Xuntando as dúas,

A mesma integral aparece a ambos os dous lados desta ecuación. A integral pódese engadir simplemente a ambos os dous lados para obter

que reordenamos como

onde outra vez  (e  ) é unha constante de integración.

 Funcións multiplicadas pola unidade 
Outros dous exemplos coñecidos son cando a integración por partes se aplica a unha función expresada como produto de 1 e de si mesma. Isto funciona se se coñece a derivada da función e tamén a integral desta derivada multiplicada por .

O primeiro exemplo é  . Escribimos isto como:

Sexa:

logo:

O segundo exemplo é a función inversa da tanxente   :

Reescribe isto como

Agora temos:

entón

utilizando unha combinación do método da regra da cadea inversa e a integral do logaritmo natural.

 regra LÍATE 
A regra LÍATE é unha regra mnemotécnica para a integración por partes. Implica escoller como u a función que aparece primeiro na seguinte lista:

 L - funcións logarítmicas :  etc.
 I – funcións trigonométricas inversas (incluíndo as súas análogas hiperbólicas):  etc.
 A – funcións alxébricas (como polinomios):  etc.
 T - funcións trigonométricas (incluíndo análogas hiperbólicas ):  etc.
 E - funcións exponenciais :  etc.

A función que debe ser dv é a que aparece en último lugar da lista. O motivo é que as funcións inferiores na lista xeralmente teñen antiderivadas máis simples que as funcións anteriores. A regra ás veces escríbese como "DETAIL", onde D significa dv e a parte superior da lista é a función escollida para ser dv. 

Para demostrar a regra LÍATE, considere a integral

Seguindo a regra LÍATE, u = x, e dv = cos(x) dx, polo tanto du = dx, e v = sin(x), o que fai que a integral se converta en
 que é igual a

 Identidade da función gamma 
A función gamma é un exemplo dunha función especial, definida como unha integral impropia para . A integración por partes ilustra que é unha extensión da función factorial:

Posto que

cando  é un número natural, é dicir, , aplicando esta fórmula repetidamente dá o factorial: 

 Uso na análise harmónica 
A integración por partes utilízase a miúdo na análise harmónica, particularmente na análise de Fourier, para mostrar que as integrais que oscilan rapidamente con integrandos suficientemente suaves decaen rapidamente. O exemplo máis común disto é o seu uso para mostrar que a decadencia da transformada de Fourier da función depende da suavidade desa función, como se describe a continuación.

 Transformada de Fourier da derivada 
Se  é unha -veces función continuamente diferenciábel e todas as derivadas ata  decaen a cero no infinito, entón a súa transformada de Fourier satisfai

onde  é a -ésima derivada de . (A constante exacta da dereita depende da convención da transformada de Fourier usada.) Isto móstrase observando que

polo que empregando a integración por partes na transformada de Fourier da derivada obtemos

Aplicando isto de forma indutiva dá o resultado para un  en xeral. Pódese usar un método similar para atopar a transformada de Laplace dunha derivada dunha función.

 Decadencia da transformada de Fourier 
O resultado anterior fálanos sobre a decadencia da transformada de Fourier, xa que se segue que se  e  son integrábeis entón

Noutras palabras, se  satisfai estas condicións, entón a súa transformada de Fourier decae no infinito polo menos tan rápido como . En particular, se  entón a transformada de Fourier é integrábel.

A proba usa o feito, que é inmediato pola definición da transformada de Fourier,  de que

Usando a mesma idea sobre a igualdade indicada ao comezo deste subapartado dáse

Sumando estas dúas desigualdades e dividindo despois entre  dá a desigualdade declarada.
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Integral de Lebesgue–Stieltjes
 Integración por cambio de variábel

 Ligazóns externas 
 Calculadora de integração por partes.

Categoría:Cálculo integral
Categoría:Wikipedia:Páxinas que usan barra lateral co parámetro child
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Teoremas