Radical dun ideal

Na teoría de aneis, unha rama das matemáticas, o radical dun ideal  dun anel conmutativo é outro ideal definido pola propiedade de que un elemento  está no radical se e só se algúnha potencia de  está en . Tomar o radical dun ideal chámase radicalización. Un ideal radical (ou ideal semiprimo) é un ideal que é igual ao seu radical. O radical dun ideal primario é un ideal primo.

Este concepto xeneralízase aos aneis non conmutativos no artigo de anel semiprimo.

 Definición 
O radical dun ideal  nun anel conmutativo , denotado por  ou , defínese como



(nótese que  ). Intuitivamente,  obtense tomando todas as raíces dos elementos de  dentro do anel . De forma equivalente,  é a preimaxe do ideal dos elementos nilpotentes (o nilradical) do anel cociente  (vía o mapa natural ). Isto último demostra que  é un ideal. 

Se o radical de  é finitamente xerado, entón algunha potencia de  está contida en . En particular, se  e  son ideais dun anel noetheriano, entón  e  teñen o mesmo radical se e só se  contén algunha potencia de  e  contén algunha potencia de  .

Se un ideal  coincide co seu propio radical, daquela  chámase ideal radical ou ideal semiprimo.

 Exemplos 

 Considere o anel  de enteiros.
 O radical do ideal  de múltiplos enteiros de  é  (os pares).
 O radical de  é .
 O radical de  é .
 En xeral, o radical de  é , onde  é o produto de todos os factores primos distintos de , o maior factor libre de cadrados  de  (ver Radical dun número enteiro). De feito, isto xeneraliza a un ideal arbitrario (ver o Propiedades sección).
 Considere o ideal . É trivial mostrar   (usando a propiedade básica ), mais damos un métodos alternativo: O radical  corresponde ao nilradical  do anel cociente , que é a intersección de todos os ideais primos do anel cociente. Está contido no Radical de Jacobson, que é a intersección de tódolos ideais maximais, que son os kernels  de homomorfismos de corpos. Calquera homomorfismo de anel  debe ter  no kernel para ter un homomorfismo ben definido (se dixéramos, por exemplo, que o kernel debería ser  a composición de  sería , que é o mesmo que tentar forzar ). Posto que  é alxébricamente pechado, cada homomorfismo  debe ser un factor a través , así que só temos que calcular a intersección de  para calcular o radical de  Entón atopamos que 

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Radical de Jacobson
 Nilradical dun anel
 Ligazóns externas 
 Radical of rings and algebras.

Categoría:Álxebra abstracta