Menor (álxebra linear)

En álxebra linealr, un menor dunha matriz  é o determinante dalgunha matriz cadrada máis pequena xerada a partir de  eliminando unha ou máis das súas filas e columnas. Os menores obtidos eliminando só unha fila e unha columna das matrices cadradas (menores primeiros) son necesarios para calcular os cofactores matriciais, que son útiles para calcular tanto o determinante como a  inversa das matrices cadradas.

 Definición e exemplo 

 Menores primeiros 
Se  é unha matriz cadrada, entón o menor da  fila  e a columna  (tamén chamado menor  ou un  menor primeiro  ) é o determinante da submatriz formada eliminando a fila  e a columna . Este número adoita denotarse . 

O cofactor  obtense multiplicando o menor por .

Para ilustrar estas definicións, considere a seguinte matriz ,

Para calcular o menor  e o cofactor , atopamos o determinante da matriz anterior coa fila 2 e columna 3 eliminadas.

Polo tanto, o cofactor da entrada  é

 Definición xeral 
Sexa  unha matriz  e  un número enteiro con , e . Un menor   de , tamén chamado determinante menor de orde  de ,  é o determinante dunha matriz  obtida de  eliminando   filas e  columnas. Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, 

 Aplicacións de menores e cofactores 

 Expansión en cofactores do determinante 
Os cofactores ocupan un lugar destacado na fórmula de Laplace para a expansión dos determinantes, que é un método para calcular determinantes maiores en termos de determinantes máis pequenos. Dada unha matriz , , o determinante de , denotado como , pódese escribir como a suma dos cofactores de calquera fila ou columna da matriz multiplicada polas entradas que os xeraron. Noutras palabras, definindo  entón a expansión do cofactor ao longo da -ésima columna dá:

A expansión do cofactor ao longo da fila -ésima dá:

 Inversa dunha matriz 
Pódese obter a inversa dunha matriz invertíbel calculando os seus cofactores usando a regra de Cramer, como segue. A matriz formada por todos os cofactores dunha matriz cadrada  chámase matriz de cofactores:

Entón, a inversa de  é a transposición da matriz de cofactores multiplicada polo recíproco do determinante de :

A transposta da matriz cofactor chámase matriz adxunta  de .

 Unha observación sobre a notación 
Nalgúns libros, en lugar de cofactor úsase o termo adxunto. Ademais, denomínase  e defínese do mesmo xeito que o cofactor: :

Usando esta notación a matriz inversa escríbese deste xeito: 

 Notas 


 Véxase tamén 

 Outros artigos 
 Determinante (matemáticas)
 Matriz (matemáticas)
 Ligazóns externas 
 MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors en Google Video, de MIT OpenCourseWare
 PlanetMath Cofactors 
 Springer Encyclopedia of Mathematics  Minor

Categoría:Matrices