Hipótese do continuo

A hipótese do continuo é unha conxectura proposta por Georg Cantor. Esta conxectura consiste no seguinte:

 Non existe ningún conxunto cun cardinalidade maior que a do conxunto dos números enteiros e menor que a do conxunto dos números reais.

Aquí máis elementos e menos elementos teñen un significado moi preciso (ver número cardinal). Esta hipótese foi o número un dos 23 problemas de Hilbert presentados na conferencia do Congreso Internacional de Matemáticas de 1900, o que levou a que fose estudada en profundidade durante o século XX.

 Nin verdadeira nin falsa 
Cantor achaba que a conxectura era certa. No entanto:

 En 1938, Kurt Gödel demostrou que a negación da hipótese do continuo non se podía probar a partir dos axiomas de Zermelo-Fraenkel máis a escolla, se son consistentes.
 en 1963, Paul Cohen demostrou que a hipótese do continuo tampouco non poderia ser probada a partir dos axiomas de Zermelo-Fraenkel, se son consistentes.

Polo tanto, a hipótese do continuo é independente dos axiomas de Zermelo-Fraenkel. Esta independencia leva a algúns matemáticos a considerar que os axiomas de Zermelo-Fraenkel xa non son suficientes para resolver problemas significativos na teoría de conxuntos e que deberían considerarse axiomas adicionais para facer verdadeira ou falsa esta hipótese. En particular, Gödel, malia de demostrar a súa coherencia, considerou a posibilidade de que novos axiomas permitisen refutar a Hipótese do Continuo.

 Hipótese do continuo xeneralizada 
Aleph (א) é unha letra que se usa para representar infinitos cardinais. A cardinalidade do conxunto de enteiros é , o seguinte cardinal é , etc. Usando os números cardinais , a hipótese do continuo pódese escribir como:



A xeneralización desta hipótese (que non se pode demostrar a partir dela) é que para calquera ordinal :



Debemos ter unha precaución na fórmula anterior: o tratamento de α + 1 usa aritmética ordinal mentres que o tratamento de  usa aritmética cardinal; todo número ordinal é, por definición, un número cardinal, mais a inversa non é verdade.

 Cardinalidade do continuo 
En ZFC, a teoría de conxuntos cos axiomas de Zermelo–Fraenkel máis o axioma de escolla, a cardinalidade do continuo é moi indeterminada. O primeiro resultado negativo foi demostrado por König, respecto dos valores que o continuo non pode tomar, como mostra o chamado teorema de König:



O mesmo sucede con outros cardonais da cofinalidade :




Sexa  a declaración " é consistente". Como se dixo anteriormente, Gödel demostrou:



Usando forzamento pódense demostrar os seguintes resultados :



para calquera  . De forma máis xeral, o continuo pode ser calquera cardinal regular non contábel. Por exemplo:





Se chamamos WI á afirmación "existe un cardinal debilmente inaccesíbel", entón  vale:



 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 


 Outros artigos 
 Ligazóns entre  .
 Ligazóns externas 

Categoría:Teoría de conxuntos