Matriz transposta conxugada

En matemáticas, a matriz transposta conxugada, tamén coñecida como transposición hermitiana, dun  matriz complexa   é unha  matriz obtida por transposición de  e aplicando a  conxugación complexa a cada entrada (sendo  o conxugado complexo de  sendo, con números reais  e ). Hai varias notacións, como  ou ,  , ou (a miúdo en física) .

Para matrices reais, a transposición conxugada é só a transposición, .

Nalgúns contextos,  denota a matriz con só entradas conxugadas complexas e sen transposición.

 Definición 
A conxugada transposta dunha matriz    defínese formalmente poronde o subíndice  denota a -ésima entrada (elemento da matriz), para  e , e a barra superior denota un conxugado complexo escalar.

Esta definición tamén se pode escribir como



onde  denota a transposta e  denota a matriz con entradas complexas conxugadas.

 Exemplo 
Supoñamos que queremos calcular a transposición conxugada da seguinte matriz ,



Primeiro transpoñemos a matriz:



Entón conxugamos cada entrada da matriz:



 Observacións básicas 
Unha matriz cadrada  con entradas  chámase

 Hermitiana ou autoadxunta se ; é dicir, .
 Matriz  antihermitiana  se  ; é dicir,  .
 Normal se .
 Unitaria se , de forma equivalente , de forma equivalente  .

Aínda se  non é cadrada, as dúas matrices  e  son matrices hermitianas e, de feito, semidefinidas positivas.

A matriz "adxunta" transposta conxugada  non debe confundirse coa matriz adxunta, .

A transposta conxugada dunha matriz  con entradas reais redúcese á transposición de , xa que o conxugado dun número real é o propio número.

A transposta conxugada pódese motivar observando que os números complexos poden ser representados útilmente por matrices reais , obedecendo á suma e á multiplicación matricial: 

Para unha explicación desta notación para os complexos, comezamos representando números complexos  como a matriz de rotación, é dicir, 

Posto que , lévanos ás representacións matriciais dos números unitarios como 

Un número complexo en xeral  represéntase logo como   A operación complexo conxugado (que envía  a  para números reais ) está recollida como a matriz transposta.

 Notas 


 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Matriz adxunta.
 Matriz inversa.
 Ligazóns externas 


Categoría:Matrices
Categoría:Álxebra lineal
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas