Serie alternada

En matemáticas, unha serie alternada (ou alterna) é unha serie infinita de termos que alternan entre signos positivos e negativos. En notación capital-sigma isto exprésase 
 ou 
 con  para todos os .

Como calquera serie, unha serie alterna é unha serie converxente se e só se a secuencia de sumas parciais da serie converxe a un límite. O test de series alternadas garante que unha serie alterna é converxente se os termos  converxen a 0 de forma monótona, esta condición é suficiente mais pode non ser necesaria para a converxencia.

 Exemplos 
A serie xeométrica   −  +  −  + ⋯  suma  .

A serie harmónica alterna ten unha suma finita mais a serie harmónica non. 

A serie 
 converxe a , mais non é absolutamente converxente.

A serie de Mercator proporciona unha expresión en serie de potencias analíticas do logaritmo natural, dada por 

As funcións seno e coseno usadas en trigonometría e introducidas na álxebra elemental como a razón de lados dun triángulo rectángulo tamén se poden definir como series alternas no cálculo. 
 e 

Cando se elimina o factor alternante  destas series obtéñense as funcións hiperbólicas sinh e cosh utilizadas en cálculo e estatística.

Para o índice enteiro ou positivo α a función de Bessel do primeiro tipo pódese definir coa serie alterna 
 onde  é a función gamma.

Se  é un número complexo, a función eta de Dirichlet fórmase como unha serie alternada 

que se usa na teoría analítica de números.

 Test de serie alternada 
O teorema coñecido como "Test de Leibniz" ou test de series alternadas afirma que unha serie alternada converxerá se os termos  converxen a 0 de forma monótona.

Proba: supoña que a secuencia  converxe a cero e é monótona decrecente. Se  é impar  e , obtemos a estimación  mediante o seguinte cálculo: 

Posto que  é monótonamente decrecente, os termos  son negativos. Así, temos a desigualdade final: . Do mesmo xeito, pódese demostrar que . Posto que  converxe a , as sumas parciais  forman unha secuencia de Cauchy (é dicir, a serie cumpre o criterio de Cauchy) e polo tanto converxen. O argumento para  par é semellante.

 Converxencia absoluta 
Unha serie  converxe absolutamente se a serie  converxe.

Teorema: as series absolutamente converxentes son converxentes.

 Converxencia condicional 
Unha serie é condicionalmente converxente se converxe mais non converxe absolutamente.

Por exemplo, a serie harmónica 
 diverxe, mentres que a versión alterna 
 converxe, que se pode porbar  polo test de series alternas.

 Reordenacións 
Para calquera serie, podemos crear unha nova serie reorganizando a orde de suma. Unha serie é converxente incondicionalmente se calquera reordenación crea unha serie coa mesma converxencia que a serie orixinal. As series absolutamente converxentes son incondicionalmente converxentes. Mais o teorema das series de Riemann afirma que as series condicionalmente converxentes poden ser reordenadas para crear unha converxencia arbitraria. O teorema de Agnew describe os reordenamentos que preservan a converxencia para todas as series converxentes. O principio xeral é que a suma de sumas infinitas só é conmutativa para series absolutamente converxentes.

Por exemplo, unha proba falsa de que 1=0  utiliza  o fallo da asociatividade para sumas infinitas.

Outro exemplo: a serie de Mercator :

Mais, como a serie non converxe absolutamente, podemos reorganizar os termos para obter unha serie : 

 Aceleración de series 
Na práctica, a suma numérica dunha serie alternada pode acelerarse usando calquera das diversas técnicas de aceleración de series. Unha das técnicas máis antigas é a da suma de Euler, e hai moitas técnicas modernas que poden ofrecer unha converxencia aínda máis rápida.
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 Earl D. Rainville (1967) Infinite Series, pp 73–6, Macmillan Publishers.
 Outros artigos 
 serie de Grandi
 Integral de Nörlund–Rice
 Ligazóns externas 

Categoría:Wikipedia:Páxinas que usan barra lateral co parámetro child
Categoría:Teoría de números
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Serie matemática