Automorfismo interno

En álxebra abstracta, un automorfismo interno é un automorfismo dun grupo, anel ou álxebra dado pola acción de conxugación dun elemento fixo, chamado elemento conxugado. Pódense realizar mediante operacións desde o propio grupo, de aí o adxectivo "interno". Estes automorfismos internos forman un subgrupo do grupo de automorfismos, e o cociente do grupo de automorfismos por este subgrupo defínese como o grupo de automorfismos externos.

 Definición 
Se  é un gruop e  é un  elemento de  (alternativamente, se  é un anel, e  é unha unidade), entón a función



chámase conxugación por  (pola derita) (ver tamén clase de conxugación). Esta función é un endomorfismo de : para todos 



onde a segunda igualdade vén dada pola inserción da identidade entre  e  Alén diso, ten unha inversa pola esquerda e pola dereita, a saber  Así,  é tanto un monomorfismo como un epimorfismo, polo que é un isomorfismo de  consigo mesmo, é dicir, un automorfismo. Un automorfismo interno é calquera automorfismo que xorde da conxugación. 
miniatura| Relación xeral entre varios homomorfismos.
Cando se fala da conxugación pola dereita, a expresión  adoita denotarse exponencialmente por  Esta notación úsase porque a composición das conxugacións satisfai a identidade:  para tódolos  Isto mostra que a conxugación pola dereita dá unha acción pola dereita de  sobre si mesmo.

Un exemplo común é o seguinte:
miniatura| Relación de morfismos e elementos
Descríbese un homomorfismo  para o que a imaxe, , é un subgrupo normal de automorfismos internos dun grupo ; alternativamente, descríbese un homomorfismo natural do que o núcleo de  é o centro de  (todos os  para os que conxugando por eles devolve o automorfismo trivial), noutras palabras, . Sempre hai un homomorfismo natural , que  asocia a cada  un automorfismo (interno)  en . Poñamos de xeito idéntico, .

Sexa  como se definiu anteriormente. Isto require demostrar que 

(1)  é un homomorfismo, 

(2)  tamén é unha bixección, 

(3)  é un homomorfismo.


 A condición de bixectividade pódese verificar simplemente presentando unha inversa coa que podemos volver a  dende . Neste caso é a conxugación por  denotado como .
  e 

 Grupos de automorfismos internos e externos 
A composición de dous automorfismos internos é de novo un automorfismo interno, e con esta operación, a colección de todos os automorfismos internos de  é un grupo, o grupo de automorfismos interno de  denotado .

 é un subgrupo normal do grupo de automorfismos completo  de . O grupo de automorfismos externo,  é o grupo cociente



O grupo de automorfismos externos mide, en certo sentido, cantos automorfismos de  non son internos. Todo automorfismo non interno produce un elemento non trivial de , pero diferentes automorfismos non internos poden producir o mesmo elemento de  .

Dicir que a conxugación de  por  deixa  sen cambios equivale a dicir que  e  conmutan:



Polo tanto, a existencia e o número de automorfismos internos que non son o mapa de identidade é unha especie de medida do fallo da lei conmutativa no grupo (ou anel).

Ao asociar o elemento  co automorfismo interno  en  como anteriormente, obtense un isomorfismo entre o grupo cociente  (onde  é o centro de ) e o grupo de automorfismos internos:



Esta é unha consecuencia do primeiro teorema de isomorfismo, porque  é precisamente o conxunto daqueles elementos de  que dan a correspondencia de identidade como automorfismo interno correspondente (a conxugación non muda nada).

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 






 Outros artigos 
 Centro (teoría de grupos)
 Matriz nilpotente
 Grupo (matemáticas)
 Grupo cociente
 Ligazóns externas 

Categoría:Álxebra abstracta
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas