Sedenión

Na álxebra abstracta, os sedenións forman unha álxebra non conmutativa e non asociativa de 16 dimensións sobre os números reais, normalmente representados pola letra S maiúscula,   ou .

Os sedenións obtéñense aplicando a construción de Cayley-Dickson aos octonións, que se poden expresar matematicamente como . Polo tanto, os octonións son isomorfos a unha subálxebra dos sedenións. A diferenza dos octonions, os sedenions non son unha álxebra alternativa. 

 Aritmética 
miniatura| Unha visualización dunha extensión 4D do octonión cúbico  que mostra as 35 tríadas como hiperplanos a través do vértice  real   do exemplo de sedenión dado
Cada sedenión é unha combinación linear dos sedenións unitarios , , ,  ,... , , que forman unha base do espazo vectorial dos sedenións. Cada sedenión pódese representar na forma



A suma e a resta defínense pola suma e resta dos coeficientes correspondentes e a multiplicación é distributiva sobre a suma.

 Multiplicación 
Do mesmo xeito que os octonións, a multiplicación de sedenións non é nin conmutativa nin asociativa. No entanto, a diferenza dos octonións, os sedenións nin sequera teñen a propiedade de ser alternativos. No entanto, teñen a propiedade da asociatividade da potencia, que se pode definir así, para calquera elemento  de , a potencia  está ben definida. Tamén son unha álxebra flexíbel.

Os sedenións teñen un elemento de identidade multiplicativo  e inversos multiplicativos, mais non son unha álxebra de división porque teñen divisores de cero: pódense multiplicar dous sedenións distintos de cero para obter cero, por exemplo . Todos os sistemas numéricos hipercomplexos despois dos sedenións que se basean na construción de Cayley-Dickson tamén conteñen divisores de cero.

A táboa de multiplicación dos sedenións móstrase a continuación:


 Propiedades dos sedenións 
Na táboa anterior podemos ver que:



  e



 Antiasociativa 
Os sedenións non son totalmente antiasociativos. Escollemos catro xeradores calquera,  e . O seguinte ciclo de 5 mostra que estas cinco relacións non poden ser todas antiasociativas.

En particular, na táboa anterior, usando  e  a última expresión asocia. 

 Aplicacións 
 mostrou que o espazo de pares de sedenións norma un que se multiplican dando cero é homeomorfo á forma compacta do Grupo de Lie excepcional G2. (Teña en conta que no seu artigo, un "divisor de cero" significa un "par" de elementos que se multiplican dando cero.)

 demostraron que as tres xeracións de leptóns e quarks que están asociados coa simetría de gauge ininterrompida  pódese representar usando a álxebra dos sedenións complexos . 

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 Kevin Carmody, Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions, Applied Mathematics and Computation 28:47-72 (1988)
 Kevin Carmody, Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Further results, Applied Mathematics and Computation, 84:27-47 (1997)
 K. Imaeda et M. Imaeda, Sedenions: algebra and analysis, Applied Mathematics and Computation, 115:77-88 (2000)

 Outros artigos 
 Identidade dos dezaseis cadrados de Pfister
 Número complexo hiperbólico
 PG(3,2)
 Ligazóns externas 
  Kevin Carmody, Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Part III(2006)  .

Categoría:Números
Categoría:Álxebra abstracta