Teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas

O teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas é un resultado da teoría analítica de números demostrada polo matemático Johann Dirichlet.

Este teorema sobre a distribución de números primos en , foi conxecturado por Gauss e finalmente demostrado en 1837 por Dirichlet, nome co que se coñece actualmente.

Os números da forma a + nd forman unha progresión aritmética

e o teorema de Dirichlet afirma que esta secuencia contén infinitos números primos.

O primeiro teorema de converxencia da serie de Fourier, debido a Dirichlet, apareceu en 1829 e refírese a funcións monótonas por intervalos. Comezamos con algúns comentarios sobre estas funcións. Unha función monótona e limitada nun intervalo [a, b] é integrábel e ten límites laterais finitos en cada punto. Se estes límites non coinciden a función terá unha descontinuidade cun salto finito. A suma dos saltos non pode ser maior que a diferenza dos valores da función nos extremos do intervalo, polo que o conxunto de descontinuidades cun salto superior a 1/n é finito e, polo tanto, o conxunto de descontinuidades é como moito numerábel. As mesmas propiedades serán certas para unha función monótona en segmentos, é dicir, unha que é monótona nun número finito de intervalos que xuntos dan o intervalo orixinal.

Exemplos
Os primos da forma 4n + 3 son 
 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 179, 1, 191 , 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283,...
Corresponden aos seguintes valores de n: 
 0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52 , 55, 56, 59, 62, 65, 67, 70, 76, 77, 82, 86, 89, 91, 94, 95,...
A forma forte do teorema de Dirichlet implica que

é unha serie diverxente.

Podemos xerar algunhas formas de primos mediante un método iterativo. Por exemplo, podemos xerar números primos da forma  usando o seguinte método:

Sexa . Entón sexa  que é primo. Continuamos calculando . Como  é da forma , 13 ou 67 é da forma . Temos que  e é primo, polo que . Despois continuamos este proceso para atopar números primos sucesivos da forma  (Silverman 2013).
 Enunciado 
 Sexa  entón a progresión aritmética  contén infinitos números primos. (segundo Dirichlet)

 Demostración 
A demostración do teorema utiliza as propiedades de certas funcións multiplicativas (coñecidas como funcións L de Dirichlet) e varios resultados sobre a aritmética de números complexos e é o suficientemente complexa como para que algúns textos de teoría de números clásica decidan excluíla do seu repertorio de demostracións. Para evitar unha lectura demasiado densa, este artigo excluíu da demostración algúns corolarios intermedios que aparecen marcados como [AD]. A proba completa, xunto cos corolarios aquí excluídos, pódense atopar no artigo de González de la Hoz.Gonzalez de la Hoz, F.A., Demostración del teorema de Dirichlet, web de la UNED . 

 Sexa  un grupo finito conmutativo de orde  e elemento unitario .

Un  carácter sobre  é unha función . Un carácter sobre  ten unha serie de propiedades importantes para a nosa demostración:

 Dado que tanto a inversa dun carácter sobre  como o produto dos caracteres sobre  é tamén un carácter sobre , o conxunto de caracteres sobre  forma un grupo conmutativo coa multiplicación.
 Isto permite definir o carácter principal do grupo  que se define como a función . O carácter principal é por tanto o elemento unidade do grupo definido polo conxunto de caracteres sobre .
 Como  e dado que a orde dun elemento divide a orde do grupo, entón, o que implica que .
 Dado que o número de raíces do elemento unitario de orde  é como máximo , o número de caracteres  é finito, sendo o valor  un límite superior de .
 Por outra parte  existe um carácter  ([AD]). Por el, e se representa mediante  a suma do valor  asociado a cada un dos diferentes caracteres do grupo , se ten estas propiedades adicionais ([AD]):




 Dado un , defínense os caracteres  do grupo  definido como as clases de congruencia módulo  de números coprimos con .
 O grupo  ten  elementos, e podémolos representar por  onde os diferentes  son os representantes da clase de congruencia que obedecen a condición , e neste contexto se definen as funcións estendidas dos caracteres  de  da seguinte maneira:

 Estas funcións denomínanse caracteres de Dirichlet módulo q e son completamente multiplicativas. Existen  funcións deste tipo e unha delas:  denomínase carácter principal de Dirichlet.
 Estes caracteres teñen algunhas propiedades significativas (derivadas das propiedades dos caracteres dun grupo que vimos antes):




Neste punto hai que introducir a seguinte definición:

 Unha función L de Dirichlet é unha función da forma

 onde  e  é un carácter de Dirichlet.

Os valores de  son periódicos, o que implica que a serie  converxe absolutamente a  e uniformemente a  Alén diso, como os coeficientes son completamente multiplicativos, a serie admite a seguinte expresión: . Cando  a función L de Dirichlet ten as seguintes propiedades ( [AD]):






Da igualdade  e as propiedades da función  pódese deducir que a función  é analítica no semiplano complexo  coa excepción dun polo en , cuxo residuo é . Como consecuencia diso, podemos dicir que , onde  é analítica e non ten singularidades en , de modo que a función expresada por  tamén ten un polo en  con residuo . Por outra banda, toda funcións L de Dirichlet  con  é analítica e non presenta singularidades na zona  ([AD]). E para  temos ([AD]) que 

que tamén se pode expresar como:

Esta expresión é chave para demostrar o teorema de Dirichlet, xa que podemos concluír que o teorema é correcto se o primeiro termo do segundo membro diverxe cando os termos restantes permanecen dentro de certos límites. Como se cumpre que  cando  a seguinte expresión:

obtén un valor finito e, como vimos, dado que  ten un polo en  con residuo  resulta que  o que implica que:

o que proba o teorema.
 Proba simple para 4n+3
Queremos demostrar que hai infinitos números primos da forma . Supoña, por contradición, que só hai un número finito de primos da forma . 

Despois xuntamos unha lista de todos os devanditos números primos  onde . 

Sexa . Está claro que ningún dos primos da lista  divide . 

A continuación, supoña que  é composto. Entón  ten factorización prima única  onde cada  é primo.

Como ,  é impar e só debe ser o produto de números primos impares. Calquera  primo impar debe ser tal que  ou . 

Non pode ser que   porque se este fose o caso, entón . Así que existe un primo  tal que . 

No entanto, ningún dos primos da lista  dividie , unha contradición. Polo tanto  debe ser primo e . Polo tanto,  é un primo da forma , pero non está incluído na lista . 

Así, a lista non contén todos os números primos deste tipo e debe haber infinitos números primos da forma  (Silverman 2013).
 Xeneralizacións 
A Conxectura de Bunyakovsky xeneraliza o teorema de Dirichlet a polinomios de grao superior. Se  os polinomios cadráticos simples como  (coñecidos polo  cuarto problema de Landau) conseguen infinitos valores primos é un problema sen resolver importante.

A conxectura de Dickson xeneraliza o teorema de Dirichlet a máis dun polinomio.

A hipótese H de Schinzel xeneraliza estas dúas conxecturas, é dicir, xeneraliza a máis dun polinomio cun grao maior que un.

Na teoría alxébrica de números, o teorema de Dirichlet xeneralízase ao teorema da densidade de Chebotarev.

O Teorema de Linnik (1944) refírese ao tamaño do primo máis pequeno nunha progresión aritmética dada. Linnik demostrou que a progresión a + nd (como n varía a través dos enteiros positivos) contén como máximo un primo de magnitude cdL para constantes absolutas c e L. Os investigadores posteriores reduciron a L a 5.

Un análogo do teorema de Dirichlet cúmprese no marco dos sistemas dinámicos (T. Sunada e A. Katsuda, 1990).

Shiu demostrou que calquera progresión aritmética que satisfaga a hipótese do teorema de Dirichlet conterá, de feito, tiradas arbitrariamente longas de números primos consecutivos.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 

Chris Caldwell, "Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetic Progressions" nas Prime Pages.

{.
{.
{.
{.
Silverman JH (2013) A Friendly Introduction to Number Theory: Pearson New International Edition, Pearson Education.

 Outros artigos 
Teorema de Bombieri-Vinogradov
Teorema de Brun-Titchmarsh
Teorema de Siegel-Walfisz
Teorema de Green-Tao
 Ligazóns externas 
 documento orixinal escaneado
 Dirichlet: There are infinitely many prime numbers in all arithmetic progressions with first term and difference coprime 
 Dirichlet's Theorem por Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project.

Categoría:Teoría de números
Categoría:Teoremas
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Teoría analítica de números