Teorema de Goldbach-Euler

En matemáticas, o teorema de Goldbach-Euler (tamén coñecido como teorema de Goldbach), afirma que a suma de 1/( p − 1) sobre o conxunto de potencias perfectas p, excluíndo 1 e omitindo repeticións, converxe a 1:



Este resultado foi publicado por primeira vez no artigo de Euler de 1737 " Variae observations circa series infinitas". Euler atribuíu o resultado a unha carta (agora perdida) de Goldbach.

 Proba 
A proba orixinal de Goldbach a Euler implicaba asignar unha constante á serie harmónica: , que é diverxente . Tal proba non se considera rigorosa polos estándares modernos. Hai unha gran semellanza entre o método de creba de potencias empregado na súa demostración e o método de factorización usado para derivar a fórmula do produto de Euler para a función zeta de Riemann.

Sexa  



Xa que a suma do recíproco de toda potencia de 2 é , restando os termos con potencias de 2 de  dá



Repetimos o proceso cos termos coas potencias de 3: 



Agora están ausentes da suma anterior todos os termos con potencias de 2 e 3. Continuamos a eliminar termos con potencias de 5, 6 e así sucesivamente ata que o lado dereito se esgote ata o valor de 1. Finalmente, obtemos a ecuación



na que reordenamos



onde os denominadores consisten en todos os enteiros positivos que son as non potencias menos 1. Restando a ecuación anterior da definición de  dado anteriormente, obtemos



onde os denominadores consisten agora só en potencias perfectas menos 1.

Aínda que carece de rigor matemático, a demostración de Goldbach proporciona un argumento razoablemente intuitivo para a verdade do teorema. As probas rigorosas requiren un tratamento axeitado e máis coidadoso dos termos diverxentes da serie harmónica.

 Demostración rigorosa 
Esta demostración utiliza o feito de que podemos reducir o problema á suma dos recíprocos das potencias perfectas con repeticións, que é igual a 1.

De feito podemos notar que unha potencia perfecta son os enteiros  que non son potencia perfecta elevados a unha potencia .

A suma solicitada é, polo tanto, igual a  onde  é o conxunto dos números que non son potencias perfectas.

Segundo a fórmula dunha serie xeométrica, podemos escribir ; pero o  onde  non é unha potencia perfecta e  un enteiro  realmente cobre todos os  enteiros. Entón,  que é igual a 1 (ver tamén potencia perfecta):


 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 .

 Outros artigos 
 Lista de sumas de recíprocos.

Categoría:Teoremas
Categoría:Teoría de números