Grupo de automorfismos externos

En matemáticas, o grupo externo de automorfismos  dun grupo, , é o cociente, , onde  é o grupo de automorfismos de  e  ) é o subgrupo formado polos automorfismos internos. O grupo de automorfismos externos adoita denotarse . Se  é trivial e  ten un centro trivial, entón dise que  é completo.

Un automorfismo dun grupo que non é interno chámase automorfismo externo. As coclases de  en relación aos automorfismos externos son entón os elementos de ; este é un exemplo do feito de que os cocientes de grupos non son, en xeral, (isomorfos a) subgrupos. Se o grupo de automorfismos interno é trivial (cando un grupo é abeliano), o grupo de automorfismos e o grupo de automorfismos externos identifícanse naturalmente; é dicir, o grupo de automorfismos externos si actúa sobre o grupo.

Por exemplo, para o grupo alternante, , o grupo de automorfismo externo adoita ser o grupo de orde 2, coas excepcións que se indican a continuación. Considerando  como un subgrupo do grupo simétrico, , a conxugación mediante calquera permutación impar é un automorfismo externo de  ou, máis precisamente, "representa a clase do automorfismo externo (non trivial) de  ", mais o automorfismo externo non corresponde á conxugación por ningún elemento impar en particular, e todos as  conxugación por elementos impares son equivalentes até conxugación por un elemento par.

 Estrutura 
A conxectura de Schreier afirma que  é sempre un grupo resolúbel cando  é un grupo finito simple. Agora sábese que este resultado é certo como corolario da clasificación de grupos simples finitos, aínda que non se coñece ningunha proba máis sinxela.

 Como dual do centro 
O grupo de automorfismos externos é dual ao centro no seguinte sentido: a conxugación por un elemento de  é un automorfismo, que produce un mapa . O núcleo do mapa de conxugación é o centro, mentres que o conúcleo é o grupo de automorfismos exterinos (e a imaxe é o grupo do automorfismo interno). Isto pódese resumir coa secuencia exacta

 .

 Aplicacións 
O grupo de automorfismos externos dun grupo actúa sobre as clases de conxugación e, en consecuencia, sobre a táboa de caracteres.

 Topoloxía de superficies 
O grupo de automorfismos externos é importante na topoloxía das superficies porque existe unha conexión proporcionada polo teorema de Dehn-Nielsen: o grupo de clase de mapa (ou difeotopía, clase de equivalencia para a relación de isotopía entre difeomorfismos nunha variedade diferencial) estendido da superficie é o grupo de automorfismos externos do seu grupo fundamental. 

 Notas 


 Véxase tamén 

 Outros artigos 
 Homomorfismo
 Centro (teoría de grupos).
 Ligazóns externas 
 ATLAS of Finite Group Representations-V3, contén moita información sobre varias clases de grupos finitos (en particular grupos simples esporádicos), incluíndo a orde de  para cada grupo listado.

Categoría:Álxebra abstracta