Sistema de veciñanzas

En topoloxía e outras áreas relacionadas das matemáticas, o sistema de veciñanzas, ou sistema completo de veciñanzas  ou filtro de veciñanzas   por un punto  nun espazo topolóxico é a colección de tódalas veciñanzas de 

 Definicións 
Veciñanza dun punto ou conxunto

Unha  dun punto (ou subconxunto)  nun espazo topolóxico  é calquera subconxunto aberto  de  que contén 
Unha  é calquera subconxunto  que conteña  veciñanza aberta de ;
explicitamente,  é unha veciñanza de  en  se e só se existe algún subconxunto aberto  con .
De forma equivalente, unha veciñanza de  é calquera conxunto que conteña  no seu interior topolóxico.

Filtro de veciñanzas

O sistema de veciñanzas para un punto (ou subconxunto non baleiro)  é un filtro chamado  O filtro de veciñanzas para un punto  é o mesmo que o filtro de veciñanzas do conxunto unitario 

 Base de veciñanzas 
Unha  ou   para un punto  é un filtro base do filtro de veciñanzas; isto significa que é un subconxunto

tal que para todo  existe algunha  tal que 
É dicir, para calquera veciñanza  podemos atopar unha veciñanza  na base de veciñanzas que está contida en .

De forma equivalente,  é unha base local en  se e só se o filtro de veciñanzas  pode ser recuperado de  no sentido de que se cumpre a seguinte igualdade: (Ver capítulo 2, sección 4) Unha familia  é unha base de veciñanzas para  se e só se  é un subconxunto cofinal de  respecto da orde parcial  (importante, esta orde parcial é a relación de superconxunto e non a relación de subconxunto).

 Subbase de veciñanzas 
Unha  en  é unha familia  de subconxuntos de  onde cada un deles contén  de xeito que a colección de todos as interseccións de elementos de  forma unha base de veciñanzas en 

 Exemplos 
Se  ten a súa topoloxía euclidiana habitual entón as veciñanzas de  son todos eses subconxuntos  para o que existe algún número real  tal que  Por exemplo, todos os seguintes conxuntos son veciñanzas  de  en  :  pero ningún dos seguintes conxuntos son veciñanzas de :  onde  denota os números racionais.

Se  é un subconxunto aberto dun espazo topolóxico , entón para cada   é unha veciñanza de  en  De xeito máis xeral, se  é calquera conxunto e  denota o interior topolóxico de  en  entón  é unha veciñanza (en ) de cada punto  e a maiores   é unha veciñanza de ningún outro punto. Dito doutro xeito,  é unha veciñanza dun punto  se e só se 

Bases de veciñanzas

En calquera espazo topolóxico, o sistema de veciñanzas para un punto tamén é unha base de veciñanzas para o punto. O conxunto de todas as veciñanzas abertas nun punto forma unha base de veciñanzas nese punto. Para calquera punto  nun espazo métrico, a secuencia de bólas abertas ao redor de  con raio  forma unha base de veciñanzas numerábel  . Isto significa que todo espazo métrico é primeiro numerábel.

Dado un espazo  coa topoloxía non discreta o sistema de veciñanzas para calquera punto  só contén todo o espazo, .

Na topoloxía débil sobre o espazo de medidas sobre un espazo  unha base de veciñanzas sobre  está dada por onde as  son funcións limitadas continuas de  aos números reais e  son números reais positivos.

Espazos seminormados e grupos topolóxicos

Nun espazo seminormado, é dicir, un espazo vectorial coa topoloxía inducida por un seminorma, todos os sistemas de veciñanzas poden construírse mediante a translación do sistema de veciñanzas da orixe, 

Isto débese a que, por suposto, a adición de vectores é separadamente continua  na topoloxía inducida. Polo tanto, a topoloxía está determinada polo seu sistema de veciñanzas na orixe. De forma máis xeral, isto segue a ser certo sempre que o espazo sexa un grupo topolóxico ou a topoloxía estea definida por unha pseudométrica.

 Propiedades 
Supoñamos que  e sexa  unha base de veciñanzas para  en  Facemos  un conxunto dirixido ordenándoo parcialmente por inclusión de superconxuntos  Entón   é unha veciñanza de  en  se e só se existe unha rede -indexada  en  tal que  para todo  (o que implica que  en ).

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 



 Outros artigos 







Categoría:Topoloxía
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas