Teorema do número pentagonal

En matemáticas, o teorema do número pentagonal de Euler relaciona as representacións de produtos e series da función de Euler. Afirma que



Noutras palabras,



Os expoñentes 1, 2, 5, 7, 12,... no lado dereito están dadas pola fórmula  para k = 1, −1, 2, −2, 3, ... e chámanse números pentagonais (xeneralizados) . (O termo constante 1 corresponde a ) Isto cúmprese como identidade da serie de potencias converxentes para , e tamén como unha identidade de serie formal de potencias.

 Relación coas particións 
A identidade implica unha recorrencia para o cálculo , o número de particións de n:



ou máis formalmente,



onde a suma é sobre todos os enteiros k (positivos e negativos) distintos de cero e  é o k-ésimo número pentagonal xeneralizado. Posto que  para todos os , a serie aparentemente infinita da dereita ten só un número finito de termos distintos de cero, o que permite un cálculo eficiente de p (n).

 Recorrencia da partición 
Usando particións dun enteiro, que denotamos como:
,
onde .
O número de particións de n é a función de partición p(n) que ten a función xeradora:

Teña en conta que é o recíproco do produto no lado esquerdo da nosa identidade:

Denotemos a expansión do noso produto por  así



Multiplicando o lado esquerdo e igualando os coeficientes dos dous lados, obtemos a0 p(0) = 1 e  para todos os . Isto dá unha relación de recorrencia que define p(n) en termos de an, e viceversa unha recorrencia para an en termos de p(n). Daquela o noso resultado desexado:



para  é equivalente á identidade  onde  e i varía sobre todos os números enteiros tal que  (este intervalo inclúe tanto i positivo como negativo, para usar ambos os tipos de números pentagonais xeneralizados). Isto á súa vez significa:



En termos de conxuntos de particións, isto equivale a dicir que os seguintes conxuntos son de igual cardinalidade:

         e        

onde  denota o conxunto de todas as particións de . Só falta dar unha bixección dun conxunto a outro, que se realiza mediante a función φ de X a Y que mapea a partición.  á partición  definido por:



Trátase dunha involución (un mapeo auto-inverso), e polo tanto en particular unha bixección, que proba a nosa premisa e a identidade.

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
 Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. MR 2445243. Zbl 1159.11001.

 Outros artigos 
 Produto triplo de Jacobi.

 Ligazóns externas 

 On Euler's Pentagonal Theorem at MathPages
  a(n) = number of partitions of n (the partition numbers)}}
 De mirabilis proprietatibus numerorum pentagonalium at Scholarly Commons.

Categoría:Teoría de números
Categoría:Teoremas