Dominio de factorización única

En matemáticas, un dominio de factorización única (UFD en inglés) (tamén ás veces chamado anel factorial seguindo a terminoloxía de Bourbaki) é un anel no que se mantén un enunciado análogo ao teorema fundamental da aritmética. Especificamente, un UFD é un dominio de integridade (un anel conmutativo non trivial no que o produto de dous elementos distintos de cero é distinto de cero) no que cada elemento non unitario distinto de cero pode escribirse como produto de elementos irredutíbeis, de forma única ata orde e unidades.

Exemplos importantes de UFD son os enteiros e os aneis polinómicos nunha ou máis variábeis con coeficientes procedentes dos números enteiros ou dun corpo.

Os dominios de factorización única aparecen na seguinte cadea de inclusións de clases:

 Definición 
Formalmente, un dominio de factorización única defínese como un dominio de integridade R no que todo elemento x de R distinto de cero que non sexa unha unidade pode escribirse como un produto finito de elementos irredutíbeis pi de R:

 x = p1 p2 ⋅⋅⋅ pn con 

e esta representación é única no seguinte sentido: Se q1, ... , qm son elementos irredutíbeis de R tal que

 x = q1 q2 ⋅⋅⋅ qm con  ,

entón , e existe un mapa bixectivo  tal que pi está asociado a qφ(i) para .

 Exemplos 
A maioría dos aneis familiares das matemáticas elementais son UFD:

 Todos os dominios de ideais principais, polo tanto, todos os dominios euclidianos, son UFD. En particular, os enteiros (ver tamén Teorema Fundamental da aritmética), os Enteiros gaussianos e os Enteiros de Eisenstein son UFD.
 Se R é un UFD, entón tamén o é R[X], o anel de polinomios con coeficientes en R. A menos que R sexa un corpo, R[X] non é un dominio de ideais principais. Por indución, un anel polinómico en calquera número de variábeis sobre calquera UFD (e en particular sobre un corpo ou sobre os enteiros) é un UFD.
 O anel de series formais de potencias   sobre un corpo K  é un UFD. Por outra banda, o anel de series formais de potencias sobre un UFD non precisa ser un UFD, aínda que o UFD sexa local. Por exemplo, se R é a localización de  no ideal primo  entón R é un anel local que é un UFD, pero o anel da serie formal de potencias R sobre R non é un UFD.
 O Teorema de Auslander-Buchsbaum afirma que todo anel local regular é un UFD.
  é UN UFD para todos os enteiros , pero non para .
 Mori demostrou que se a completude dun anel de Zariski como un anel local noetheriano é un UFD, entón o anel é un UFD. O contrario disto non é certo: hai aneis locais de Noether que son UFDs pero cuxas completudes non o son. A cuestión de cando isto ocorre é bastante sutil: por exemplo, para o localización de  no ideal principal , tanto o anel local como a súa completude son UFD, mais no exemplo aparentemente similar da localización de  no ideal principal  o anel local é un UFD mais a súa completude non o é.
 O anel  é un UFD, pero o anel en complexos  non o é. Por outra banda, o anel  non é un UFD, mais o anel en complexos  si que o é. 

 Non exemplos 

 O anel de enteiros cadráticos  de todos os números complexos da forma , onde a e b son números enteiros, non é un UFD porque o número 6 factoriza tanto en 2×3 como en . Estas son factorizacións diferentes, porque as únicas unidades deste anel son 1 e − 1; así, ningún dos números 2, 3, , e  son asociados. Non é difícil demostrar que os catro factores tamén son irredutíbeis, aínda que isto non sexa obvio.  Vexa tamén Enteiro alxébrico .
 Para un enteiro positivo libre de cadrados d, o anel de enteiros de  non será un UFD a menos que d sexa un número de Heegner.
 O anel das series formais de potencias sobre os números complexos é un UFD, mais o subanel das que converxen en todas partes, é dicir, o anel de funcións enteiras nunha única variábel complexa, non é un UFD, xa que existen funcións enteiras cun número infinito de ceros, e polo tanto unha infinidade de factores irredutíbeis, mentres que unha factorización UFD debe ser finita, por exemplo:


 Propiedades 
Algúns conceptos definidos para números enteiros pódense xeneralizar a UFD:

 Nos UFD, cada elemento irredutíbel é primo. (En calquera dominio de integridade, todo elemento primo é irredutíbel, pero a inversa non sempre se cumpre. Por exemplo, o elemento  é irredutíbel, pero non primo). 
 Dous elementos calquera dunha UFD teñen un máximo común divisor e un mínimo común múltiplo. Aquí, un máximo común divisor de a e b é un elemento d que divide tanto a como b, e tal que todos os outros divisores comúns de a e b dividen d. Todos os máximos comúns divisores de a e b son asociados.
 Calquera UFD son dominios de integridade pechados. Noutras palabras, se R é un UFD con corpo cociente K, e se un elemento k en K é unha raíz dun polinomio mónico con coeficientes en R, entón k é un elemento de R.
 Sexa S un subconxunto multiplicativamente pechado dun UFD A. Entón a localización S−1A é un UFD. 

 Condicións equivalentes para que un anel sexa un UFD 
Un dominio de integridade de Noether é un UFD se e só se todo ideal primo de altura 1 é principal. A maiores, un dominio de Dedekind é un UFD se e só se o seu grupo de clase de ideais é trivial. Neste caso, é de feito un dominio de ideais principais.

En xeral, para un dominio de integridade A, as seguintes condicións son equivalentes:

 A é un UFD.
 Todo ideal primo distinto de cero de A contén un elemento primo.
 A satisfai a condición de cadea ascendente nos ideais principais (ACCP), e a localización S−1A é un UFD, onde S é un subconxunto multiplicativamente pechado de A xerado por elementos primos (criterio de Nagata).

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 



   Chap. 4.
  Chapter II.5




 Outros artigos 
 Factorización
 Dominio de ideais principais
 Ideal primo
 Anel conmutativo
 Ligazóns externas 
 Unique Factorization Domain (MathWorld)
 UFD is GCD Domain proofWiki

Categoría:Teoría de números alxébricos
Categoría:Teoría de aneis