Multiconxunto

En matemáticas, un multiconxunto ou mset (en ) é unha modificación do concepto de conxunto que, a diferenza deste, permite múltiples instancias para cada un dos seus elementos. O número de aparicións de cada elemento denomínase a súa multiplicidade nese multiconxunto. En consecuencia, existe un número infinito de multiconxuntos que conteñen só os elementos  e , pero con diferentes multiplicidades. Por exemplo:

 O multiconxunto  contén só os elementos  e , cada un deles cunha multiplicidade de 1.
 No multiconxunto , o elemento  ten unha multiplicidade de 2, namentres a de  é 1.
 No multiconxunto , tanto  como  teñen unha multiplicidade igual a 3.

Malia ser tres multiconxuntos diferentes, de ser considerados como conxuntos serían exactamente o mesmo, posto que teñen os mesmos elementos,  e . Porén, do mesmo xeito ca nos conxuntos, e en contraste coas tuplas, a orde dos elementos non é relevante. Xa que logo,  e  son dous xeitos diferentes de designar o mesmo multiconxunto. Para distinguir entre conxuntos e multiconxuntos, ás veces emprégase unha notación diferente, con corchetes; é dicir,  no canto de .

A cardinalidade ou "tamaño" dun multiconxunto é a suma das multiplicidades de todos os seus elementos. Por exemplo, a cardinalidade de  é igual a 6, xa que os seus elementos ,  e  teñen multiplicidades de 2, 3 e 1, respectivamente.

 Historia 
O matemático holandés Nicolaas Govert de Brujin cuñou o termo inglés multiset na década dos 70, segundo Donald Knuth. Porén, o concepto de multiconxunto precede en séculos a aparición desta palabra. O propio Knuth atribúe ao polímata indio Bhāskarāchārya o primeiro estudo coñecido dos multiconxuntos, xa que describiu as permutacións de multiconxuntos cara a 1150.

Exemplos
Un dos exemplos máis simples e naturais é o multiconxunto dos factores primos dun número natural . Aquí o conxunto de elementos subxacente é o conxunto de factores primos de . Por exemplo, o número 120 ten a descomposición en factores primos

que dá o multiconxunto .

Un exemplo relacionado é o multiconxunto de solucións dunha ecuación alxébrica. Unha ecuación cuadrática, por exemplo, ten dúas solucións. No  entanto, nalgúns casos ambas as dúas solucións son o mesmo número. Así, o multiconxunto de solucións da ecuación pode ser , ou pode ser . Neste último caso ten unha solución de multiplicidade 2. De xeito máis xeral, o teorema fundamental da álxebra afirma que as solucións complexas dunha ecuación polinómica de grao  sempre forman un multiconxunto de cardinalidade .

 Contando multiconxuntos 

O número de multiconxuntos de cardinalidade , con elementos tomados dun conxunto finito de cardinalidade , ás veces chámase coeficiente multiconxunto ou número multiconxunto. Este número é escrito por algúns autores como , unha notación que se quere parecer á dos coeficientes binomiais; utilízase, por exemplo, en (Stanley, 1997), e podería pronunciarse " sobre múltiple " para asemellarse a " sobre " para  Do mesmo xeito que na distribución binomial están implicados os coeficientes binomiais existe a distribución binomial negativa na que se producen os coeficientes multiconxunto. 

Os coeficientes multiconxunto non deben confundirse cos coeficientes multinomiais que aparecen no teorema multinomial e non están relacionados.

O valor dos coeficientes multiconxunto pódese dar explicitamente como

onde a segunda expresión é un coeficiente binomial; de feito, moitos autores evitan a notación separada e simplemente escriben coeficientes binomiais. 

Así, o número de eses multiconxuntos é o mesmo que o número de subconxuntos de cardinalidade  dun conxunto de cardinalidade . 

A analoxía cos coeficientes binomiais pódese realzar escribindo o numerador na expresión anterior como factorial ascendente

e con iso temos unha expresión similar á dos coeficientes binomiais que usan un factorial descendente:

 Exemplos 
Co conxunto  que ten cardinalidade 2 podemos formar  4 multiconxuntos de cardinalidade 3. Para comprobolo temos ), e os conxuntos posíbeis son, , , , . 
Botando contas co anterior  podemos comparar o resultado co coeficiente binomial. Serían os subconxuntos de 4 elementos tomados de 3 en 3, por exemplo para o conxunto  temos  , , ,  que tamén son 4 elementos.

 Unha forma sinxela de probar a igualdade dos coeficientes multiconxuntos e dos coeficientes binomiais indicados anteriormente implica representar os multiconxuntos do seguinte xeito. 
Primeiro, considere a notación para multiconxuntos que representarían  (6 as, 2 bes, 3 ces, 7 des) nesta forma (notación bóla trazo):

Este é un multiconxunto de  elementos feito de elementos de 4 conxuntos . O número de caracteres que inclúe tanto puntos como liñas verticais usado nesta notación é . O número de liñas verticais é 4 − 1. O número de multiconxuntos de cardinalidade 18 é entón o número de formas de organizar as liñas verticais  entre os 18 + 4 − 1 caracteres. De forma equivalente, é o número de formas de ordenar os 18 puntos entre os caracteres . Isto é

así podemos ver o valor do coeficiente multiconxunto e as súas equivalencias:

Da relación entre coeficientes binomiais e coeficientes multiconxuntos, despréndese que o número de multiconxuntos de cardinalidade  nun conxunto de cardinalidade  pódese escribir

e tamén,

 Relación de recorrencia 
Unha relación de recorrencia para os coeficientes multiconxunto pódese dar como

con

 Xeneralización e conexión coa serie binomial negativa 
A fórmula multiplicativa permite ampliar a definición de coeficientes multiconxuntos substituíndo  por un número arbitrario  (negativo, real ou complexo):

Con esta definición temos unha xeneralización da fórmula binomial negativa (cunha das variábeis con valor 1), o que xustifica chamar aos coeficientes coeficientes binomiais negativos:

Esta fórmula da serie de Taylor é válida para todos os números complexos  e  con . Tamén se pode interpretar como unha  identidade de serie formal de potencias en , onde en realidade pode servir como definición de potencias arbitrarias de series cun coeficiente constante igual a 1.

A utilidade desta definición é que todas as identidades cumpren o que se espera para a exponenciación, en particular
,

e fórmulas como estas pódense usar para probar identidades para o coeficiente multiconxuntos.

Se  é un número enteiro non positivo , entón todos os termos con  son cero e a serie infinita convértese nunha suma finita. No entanto, para outros valores de , incluídos os enteiros positivos e os números racionais, a serie é infinita.

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 




Categoría:Matemáticas