Sumatorio

En matemáticas, o sumatorio  é a suma dunha secuencia de números, chamadas sumandos; o resultado é a súa suma ou total. Ademais dos números, tamén se poden sumar outros tipos de valores: funcións, vectores, matrices, polinomios e, en xeral, elementos de calquera tipo de obxectos matemáticos sobre os que se define unha operación denotada como "+".

Os sumatorios de secuencias infinitas chámanse series. Implican o concepto de límite, e non se consideran neste artigo.

Para sumas longas e sumatorios de lonxitude variable  é un problema común atopar formas pechadas para o resultado. Por exemplo, 



 Notación 
miniatura|74x74px| O símbolo do sumatorio
A notación matemática usa a letra grega grega maiúscula sigma para representar de forma compacta a suma de moitos termos similares, por exemplo:

 .

Onde  é o índice da suma;  é unha variable indexada que representa cada termo da suma;  é o índice inferior da suma e  é o índice superior da suma. Por tanto no exemplo de enriba a suma irá desde o elemento número  ata o elmento número  indo o índice aumentando dun en un.

Isto lese como "suma de , de  igual a  ata  igual a ".

Un exemplo que mostra a suma dalgúns cadrados consecutivos:



E outro exemplo é a suma dos primeiros  números da secuencia de Fibonacci


Ás veces o índice e os límites dos índices do sumatorio omítense da definición do sumatorio se o contexto é suficientemente claro. Isto aplícase especialmente cando o índice vai de 1 a n. Por exemplo, pódese escribir que:



Outro xeito é poñer a condición do índice toda no lado inferior, por exemplo:

 .

Tamén se pode expresar como o percorrido polos elementos dun conxunto:

  é a suma de  sobre todos os elementos  no conxunto .

  é a suma de  sobre todos os números enteiros positivos  que dividen . 

Tamén hai formas de xeneralizar o uso de moitos signos sigma. Por exemplo,

  é o mesmo que 

Unha notación similar úsase para o produto dunha secuencia, usando , que é unha forma ampliada da letra maiúscula grega pi.

Un sumatorio alterno de sumas e restas podemos definilo como: 

 Cálculo de diferenzas finitas 
Dada unha función  que se define sobre os enteiros do intervalo , cúmprese a seguinte ecuación:



Esta coñécese como serie telescópica e é o análogo do teorema fundamental do cálculo no cálculo de diferenzas finitas, que afirma que:

  onde

  é a derivada de .

Un exemplo de aplicación da ecuación anterior é o seguinte:



Usando o teorema binomial, isto pódese reescribir como:



A fórmula anterior úsase máis habitualmente para inverter o operador diferenza , definido por:



onde  é unha función definida nos enteiros non negativos. Así, dada tal función , o problema é calcular a antidiferenza de , unha función  tal que . É dicir,  Esta función defínese ata a adición dunha constante, e pódese escoller como Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics, Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, .



Non sempre hai unha expresión en forma pechada para tal suma, mais a fórmula de Faulhaber proporciona unha forma pechada no caso en que  e, por linearidade, para cada función polinómica de .

 Aproximación por integrais definidas 
Moitas aproximacións deste tipo pódense obter mediante a seguinte conexión entre sumas e integrais, que vale para calquera función crecente f:



e para calquera función decrecente f:



Para aproximacións máis xerais, consulte a fórmula de Euler-Maclaurin.

Para sumatorios nos que o sumando está dado (ou pode ser interpolado) por unha función integrable do índice, o sumatorio pode interpretarse como unha suma de Riemann que se produce na definición da integral definida correspondente. Polo tanto, pódese esperar que, por exemplo,



xa que o lado dereito é por definición o límite para  do lado esquerdo. Porén, para unha suma dada n é fixo, non tende a infinito, e pouco se pode dicir sobre o erro na aproximación anterior sen presupostos adicionais sobre f: está claro que para funcións con oscilacións a grande escala a suma de Riemann pode estar arbitrariamente lonxe da integral de Riemann.

 Identidades 
As fórmulas seguintes implican sumas finitas; para sumas infinitas ou sumas finitas de expresións que impliquen funcións trigonométricas ou outras funcións transcendentais, consulte a lista de series matemáticas.

 Identidades xerais 

  (distributiva).
  (conmutativa e asociativa).
  (desprazamento do índice).
  (bixección  dun conxunto finito  nun conxunto , mudar o índice, xeneraliza a fórmula precedente).
  (subdividir unha suma, usando asociatividade).
  (outra variante da anterior).
 .
 . 
  (conmutatividade e asociatividade).
  (outra aplicación de conmutatividade e asociatividade).
  (subdividir o sumatorio en índices pares e impares).
  (subdividir unha suma en partes pares e impares, para índices impares).
  (distributiva).
  (A distributividade permite a factorización).
 .
 .
  para calquera función  de .

 Potencias e logaritmo das progresións aritméticas 

  para todo  que non depende de .
 .
  (Suma dos primeiros números naturais impares).
  (Suma dos primeiros números naturais pares).
  (A suma dos logaritmos é o logaritmo do produto).
 . 
  (Teorema de Nicómaco) 

 Índice do sumatorio en expoñentes 
Nos seguintes sumatorios, asúmese que  é diferente de 1.

  (suma dunha progresión xeométrica).
  (caso especial para ).
  ( veces a derivada en relación a  da progresión xeométrica).

 (suma dunha secuencia aritmético-xeométrica)

 Coeficientes binomiais e factoriais 
Existen moitas identidades con sumatorios que implican coeficientes binomiais. Algunhas das máis básicas son as seguintes.

 Implicando o teorema do binomio 

  o teorema do binomio. 
  caso especial onde .
 , o caso especial onde , que, para  expresa a suma da distribución binomial.
  o valor en  da derivada con respecto a  do teorema do binomio.
  o valor en  da antiderivada con respecto a  do teorema do binomio.

 Implicando números de permutación 
Nos seguintes sumatorios,  é o número de -permutacións de .



 , onde e  denota a función chan.

 Outros 








 Números harmónicos 

  (o -ésimo número harmónico )
  (o número harmónico xeneralizado)

 Notas 

 Véxase tamén 


 Bibliografía 


 Outros artigos 
 Notación pi maiúscula.
 Sumatorio por partes

Categoría:Teoría de números
Categoría:Símbolos matemáticos
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas