Centro (teoría de grupos)

Táboa de Cayley para D4 que mostra os elementos do centro, {e, a2}, que conmutan con todos os outros elementos (isto pódese ver observando que todas as ocorrencias dun elemento central dado están dispostas simétricamente sobre a diagonal central ou observando que a fila e columna que comeza cun elemento central dado son transpostos entre si).∘ebaa2a3aba2ba3beebaa2a3aba2ba3bbbea3ba2baba3a2aaaaba2a3ea2ba3bba2a2a2ba3eaa3bbaba3a3a3beaa2baba2babababa3ba2bea3a2a2ba2ba2abba3baea3a3ba3ba3a2babba2ae

En álxebra abstracta, o centro dun grupo  é o conxunto de elementos que conmutan con cada elemento de . Denomínase , do alemán Zentrum. 

 .

O centro é un subgrupo normal, , e tamén un subgrupo característico, pero non é necesariamente totalmente característico. O grupo cociente, , é isomorfo ao grupo do automorfismo interno, .

Un grupo  é abeliano se e só se . No outro extremo, dise que un grupo é sen centro se  é trivial; é dicir, consiste só no elemento identidade.

Os elementos do centro son elementos centrais.

 Como subgrupo 
O centro de G é sempre un subgrupo de . En particular:

  contén o elemento neutro de , porque conmuta con todos os elementos de , por definición: , onde  é o elemento neutro;
 Se  e  están en , daquela tamén está , pola asociativa:  para todo ; i.e.,  é pechado;
 Se  está en , daquela tamén está  pois, para todo  en ,  conmuta con : .

A maiores, o centro de  é sempre un subgrupo abeliano e normal de . Dado que todos os elementos de  se conmutan, está pechado baixo conxugación.

Un homomorfismo de grupo  pode non restrinxirse a un homomorfismo entre os seus centros. Os elementos da imaxe  conmutan coa imaxe , mais non precisan conmutar con todo  a non ser que  sexa sobrexectivo. Así o mapeo do centro  non é un functor entre as categorías Grp e Ab, xa que non induce un mapa de frechas.

 Clases de conxugación e centralizadores 
Por definición, un elemento é central sempre que a súa clase de conxugación contén só o propio elemento; é dicir .

O centro é a intersección de todos os centralizadores de elementos de :  Como os centralizadores son subgrupos, isto mostra de novo que o centro é un subgrupo.

 Conxugación 
Considere o mapa , dende  ata o grupo de automorfismos de  definido por , onde  é o automorfismo de  definido por

 .

A función,  é un homomorfismo de grupos, e o seu kernel é precisamente o centro de , e a súa imaxe chámase grupo de automorfismo interno de , denotado . Polo primeiro teorema do isomorfismo obtemos:

 .

O cokernel deste mapa é o grupo  de automorfismos externos, e estes forman a secuencia exacta

 .

 Exemplos 

 O centro dun grupo abeliano, , é todo .
 O centro do grupo de Heisenberg, , , que son as matrices de forma:, é o conxunto de matrices da forma: .
 O centro dun grupo non abeliano simple é  trivial.
 O centro do grupo diédrico, , é trivial para  impar.  Para  par, o centro consiste do elemento identidade xunto cunha rotación de 180° do polígono.
 O centro do grupo de cuaternións, , é .
 O centro do grupo simétrico, , é trivial para .
 O centro do grupo linear xeral sobre un corpo , , é a colección de matrices diagonais, }.
 O centro do grupo ortogonal,  é .
 O centro do grupo ortogonal especial,  é o grupo completo cando , e   cando n é par, e trivial cando n é impar.
 O centro do grupo unitario,  é .
 Se o grupo cociente  é cíclico,  é abeliano (e por tanto , logo   é trivial).

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Centro (teoría de aneis).
 Subgrupo normal.
 Ligazóns externas 


Categoría:Teoría de grupos
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas