Regresión (xeometría diferencial)

Sexa  un mapa suave entre variedades suaves  e . Daquela hai unha aplicación linear asociada a partir do espazo das 1-formas  (o espazo linear das seccións do fibrado cotanxente) no espazo das 1-formas en . Este mapa linear coñécese como regresión ou pullback (mediante ), e denótase frecuentemente  por . De forma máis xeral, calquera campo tensor covariante, en particular calquera forma diferencial, en  pode ser retrocedido a  usando  .

 Regresións de funcións suaves e mapas suaves 
Sexa  un mapa suave entre variedades (suaves),  e , e supoñamos que  é unha función suave en . Daquela a regresión de  por  é a función suave  en  definida por . Do mesmo xeito, se  é unha función suave nun conxunto aberto  en , entón a mesma fórmula define unha función suave no conxunto aberto . (Na linguaxe de feixes, unha regresión define un morfismo a partir do feixe de funcións suaves  na imaxe directa por  do feixe de funcións suaves sobre .)

De xeito máis xeral, se  é un mapa suave de  en calquera outra variedade , daquela  é un mapa suave de  en .

 Regresión de fibrados e seccións 
Se  é un fibrado vectorial (ou realmente calquera fibrado) sobre  e  é un mapa suave, daquela o fibrado de regresión  é un fibrado vectorial (ou fibrado) sobre  cuxa fibra sobre  en  está dada por .

 Regresión de formas multilineares 
Sexa  unha aplicación linear entre espazos vectoriais V e W (é dicir, Φ é un elemento de , tamén denotado ), e sexa

unha forma multilinear en W (tamén coñecida como tensor, que non debe confundirse cun campo tensor, de rango , onde s é o número de factores de W no produto). Entón a regresión Φ∗F de F por Φ é unha forma multilinear en V definida precompoñendo F con Φ. Máis precisamente, dados os vectores v1, v2, ..., vs  en V, Φ∗F defínese pola fórmula

que é unha forma multilinear en V. Polo tanto, Φ∗ é un operador (linear) desde formas multilineares en W ata formas multilineares en V. Como caso especial, teña en conta que se F é unha forma linear (ou (0,1)-tensor) en W, de xeito que F é un elemento de W ∗, o espazo dual de W, entón Φ∗F é un elemento de V∗, polo que a regresión por Φ define un mapa linear entre espazos duais que actúa na dirección oposta ao propio mapa linear Φ:

Desde o punto de vista tensorial, é natural tentar estender a noción de regresión a tensores de rango arbitrario, é dicir, a mapas multilineares en W tomando valores nun produto tensorial de r copias de W, é dicir, . Porén, os elementos deste produto tensor non regresan de forma natural. Mais hai unha operación de pulo de  a  dado por

No entanto, disto dedúcese que se Φ é invertíbel, a regresión pódese definir usando un pulo mediante a función inversa Φ−1. A combinación destas dúas construcións produce unha operación de pulo, ao longo dun mapa linear invertíbel, para tensores de calquera rango .

 Regresión de vectores cotanxentes e 1-formas 
Sexa  un mapa suave entre variedades suaves. Entón o diferencial de , escrito ,  ou , é un morfismo de fibrado vectorial (sobre ) do fibrado tanxente  de  na regresión do fibrado . A transposición de  é polo tanto un mapa de fibrados de  en , o fibrado cotanxente de .

Supoña agora que  é unha sección de  (unha 1-forma en ), e precompón  con  para obter unha sección de regresión de . Ao aplicar o mapa do fibrado anterior (por puntos) a esta sección obtemos a regresión de  por , que é a 1-forma  en  definida por

para  en  e  en .

 Regresión de campos tensoriais (covariantes). 
A construción da sección anterior xeneralízase inmediatamente para un fibrado de tensores de rango , para calquera número natural : a  campo tensorial nunha variedade  é unha sección do fibrado tensor en  cuxa fibra en  en  é o espazo das -formas multilineares

Tomando  igual ao diferencial dun mapa suave  de  en , a regresión de formas multilineares pódese combinar coa regresión de seccións para producir un campo tensorial  en . Máis precisamente, se  é un campo tensorial  en , daquela o pullback de  mediante  é o -campo tensorial  en  definido por 

para  en  e  en .

 Regresión de formas diferenciais 
Un caso particular e importante da regresión de campos tensoriais covariantes é a regresión de formas diferenciais. Se  é unha -forma diferencial, é dicir, unha sección do fibrado exterior  de formas  alternadas (en fibras) en , entón o retroceso de  é a -forma diferencial en  definida pola mesma fórmula que na sección anterior:

para  en  e  en .

A regresión das formas diferenciais ten dúas propiedades que a fan moi útil.

 É compatíbel co produto exterior no sentido de que para as formas diferenciais  e  en , 

 É compatible coa derivada exterior : se  é unha forma diferencial en  entón 

 Regresión por difeomorfismos 
Cando o mapa  entre variedades é un difeomorfismo, é dicir, ten unha inversa suave, entón pódese definir a regresión para os campos vectoriais así como para 1-formas, e así, por extensión, para un campo tensor mixto arbitrario na variedade. O mapa linear

pódese inverter para dar

Un campo tensor mixto xeral transformarase usando  e  segundo o produto tensorial descomposición do fibrado tensor en copias de  e . Cando , entón o pullback e o pushforward describen as propiedades de transformación dun tensor na variedade . En termos tradicionais, a regresión describe as propiedades de transformación dos índices covariantes dun tensor; pola contra, a transformación dos índices contravariantes vén dada por un pulo.

 Regresión por automorfismos 
A construción da sección anterior ten unha interpretación teórica da representación cando  é un difeomorfismo dunha variedade  en si mesma. Nese caso, a derivada  é unha sección de . Isto induce unha acción de regresión en seccións de calquera fibrado asociado ao fibrado de marcas  de  mediante unha representación do grupo linear xeral  (onde ).

 Regresión e derivada de Lie 
Ver derivada de Lie. Aplicando as ideas anteriores ao grupo local difeomorfismos de 1-parámetro definido por un campo vectorial en
, e diferenciando con respecto ao parámetro, obtense unha noción de derivada de Lie en calquera feixe asociado.

 Regresión de conexións (derivadas covariantes) 
Se  é unha conexión (ou derivada covariante) nun fibrado vectorial  sobre  e  é un mapa suave de  en , daquela hai unha conexión de regresión  en  sobre , determinado exclusivamente pola condición de que

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
  See sections 1.5 and 1.6.
  See section 1.7 and 2.3.

 Outros artigos 
 Pulo (diferencial)
 Pulo de fibrado
 Regresión (teoría das categorías)

Categoría:Xeometría diferencial