Función indicadora

En matemáticas, unha función indicadora ou función característica dun subconxunto dun conxunto é unha función que asigna o valor 1 aos elementos do subconxunto e o valor 0 ao resto de elementos. É dicir, se  é un subconxunto dalgún conxunto , entón  se  e  se . A  notación  é  común para a función indicadora. Outras notacións comúns son  e 

A función indicadora de  tamén a podemos representar mediante o corchete de Iverson da propiedade de pertencer a ; é dicir,

Por exemplo, a función de Dirichlet é a función indicadora dos números racionais como subconxunto dos números reais.

 Definición 
A función indicadora dun subconxunto  dun conxunto  é unha función

definida como

O corchete de Iverson proporciona outra notación equivalente,   en lugar de 

A función  ás veces denótase , , . 

 Propiedades básicas 
A función indicador dun subconxunto  dalgún conxunto  asigna elementos de  no rango .

Este mapa é sobrexectivo só cando  é un subconxunto propio non baleiro de . Se  entón  Por un argumento semellante, se  entón 

Se  e  son dous subconxuntos de  daquela

e a función indicadora do complemento de  é dicir  é: 

De xeito máis xeral, supoña que  son unha colección de subconxuntos de . Para calquera 

é claramente un produto de s e s. Este produto ten o valor 1 precisamente neses  que non pertencen a ningún dos conxuntos  e é 0 en caso contrario. É dicir

Expandendo o produto no lado esquerdo,

onde  é a cardinalidade de . Esta é unha das formas do principio de inclusión-exclusión.

A función indicadoar é unha notación útil en combinatoria. A notación úsase tamén por exemplo na teoría da probabilidade: se  é un espazo de probabilidade con medida de probabilidade  e  é un conxunto medible, entón  convértese nunha variable aleatoria cuxo valor esperado é igual á probabilidade de :

Esta identidade úsase nunha proba simple da desigualdade de Markov.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 







 Outros artigos 
 Función paso de Heaviside
 Corchete de Iverson
 Delta de Kronecker

Categoría:Cálculo integral
Categoría:Teoría da medida