Función limitada

En matemáticas, unha función  definida nalgún conxunto  con valores reais ou complexos denomínase limitada se o conxunto dos seus valores está limitado. Noutras palabras, existe un número real  tal que



para todo  en . No caso contrario a función dise que é non limitada. 

Un caso especial importante é unha sucesión limitada, onde  tómase como o conxunto  dos números naturais. Así unha secuencia  está limitada se existe un número real  tal que



para cada número natural . O conxunto de todas as secuencias limitadas forma o espazo das sucesións  . 

A definición de limitado pódese xeneralizar a funcións  tomando valores nun espazo máis xeral  ao esixir que a imaxe  sexa un conxunto limitado . 

 Nocións relacionadas 
Máis débil que o concepto de limitado é o concepto de  limitado localmente, cando está limitada en cada punto. 

Unha familia de funcións limitadas pode estar limitada uniformemente, cando toda a familia está limitada pola mesma constante.

 Exemplos 

 A función seno,  está limitada xa que  para todas as .
 A función , definida para todos os  reais agás para −1 e 1, non ten límites. A medida que  se achega a −1 ou 1, os valores desta función aumentan en magnitude. Esta función pódese limitar se se restrinxe o seu dominio a, por exemplo,  ou .
 A función , definida para todos os  reais, está limitada, xa que  para todos os .
 A función trigonométrica inversa arco tanxente definida como:  ou  é crecente para todos os números reais  e limitados por  radiáns 
 Polo Teorema de Weierstrass, toda función continua nun intervalo pechado, como , está limitada.  De forma máis xeral, calquera función continua dun espazo compacto a un espazo métrico está limitada.
Todas as funcións de valores complexos  que son enteiras son ​​non limitadas ou constantes como consecuencia do Teorema de Liouville. En particular, a función complexa  debe ser non limitada xa que é enteira.
 A función  que toma o valor 0 para  número racional e 1 para  número irracional  (cf. Función de Dirichlet) está limitada. Así, unha función non precisa ter un aspecto usual para estar limitada. O conxunto de todas as funcións limitadas definidas en  é moito maior que o conxunto das función continuas nese intervalo. Ademais, as funcións continuas non teñen por que estar limitadas; por exemplo, as funcións  e  definida por  e  son ambas as dúas continuas, mais ningunha das dúas está limitada.(No entanto, unha función continua debe estar limitada se o seu dominio está pechado e limitado.)

 Notas 

 Véxase tamén 


 Outros artigos 
 Límite dunha función.
 Límite dunha sucesión.
 Conxunto limitado

Categoría:Análise matemática