Función por tramos

En matemáticas, unha función por tramos (tamén chamada definición por casos) é unha función cuxo dominio está dividido en varios intervalos ("subdominios") nos que a función pode definirse de forma diferente. A definición por tramos é en realidade unha forma de especificar a función, máis que unha característica da propia función resultante.

 Notación e interpretación 
dereita|miniatura|280x280px| Gráfica da función de valor absoluto, 
As funcións por tramos pódense definir usando a notación funcional común, onde o corpo da función son varias liñas de funcións e subdominios asociados. Un punto e coma ou coma pode seguir as columnas da subfunción ou do subdominio. O "" ou "" raramente se omiten ao comezo da columna da dereita.

Os subdominios xuntos deben cubrir todo o dominio.A feasible weaker requirement is that all definitions agree on intersecting subdomains.  Por exemplo, vexamos a definición por tramos da función valor absoluto:



 Exemplos 

 Función linear por tramos, unha función composta por segmentos de liña
 Función en escada, unha función composta por subfuncións constantes.
 Valor absoluto 
 Función triangular
 Lei potencial, unha función composta por subfuncións da lei potencial.
 Spline, unha función composta por subfuncións polinómicas, que posúe un alto grao de suavidade nos lugares onde se conectan os tramos polinómicos.
 PDIFF, variedade diferenciábel por tramos.


 Continuidade e diferenciabilidade das funcións por tramos 
miniatura|280x280px| Gráfico dunha función cuadrática por tramos  A súa única descontinuidade está en .
Unha función definida por tramos é continua nun intervalo dado no seu dominio se se cumpren as seguintes condicións:

 as súas subfuncións son continuas nos intervalos correspondentes (subdominios),
 non hai descontinuidade nun punto final de ningún subdominio dentro dese intervalo.

A función representada, por exemplo, é continua por tramos nos seus subdominios, mais non é continua en todo o dominio, xa que contén unha descontinuidade de salto en . O círculo recheo indica que nesa posición úsase o valor da subfunción dereita.

Para que unha función definida por tramos sexa diferenciábel nun intervalo dado do seu dominio, deben cumprirse as seguintes condicións a maiores das anteriores que se deron para a continuidade:

 as súas subfuncións son diferenciábeis nos intervalos abertos correspondentes,
 as derivadas unilaterais existen nos extremos de todos os intervalos,
 nos puntos onde se tocan dous subintervalos, coinciden as correspondentes derivadas unilateraiss dos dous subintervalos veciños.

 Conceptos relacionados 
O concepto de funcións definidas por tramos adoita xeneralizarse a curvas, como as curvas lineares por tramos e os splines, que son curvas polinómicas por tramos. O concepto tamén se pode estender a construcións máis abstractas, como as variedades lineares por tramos.

 Notas 


 Véxase tamén 


 Outros artigos 
 Función en escada
 Función de Cantor
 Integral de Lebesgue

Categoría:Funcións