Número hexagonal

Un número hexagonal é un número figurado que estende o concepto de cadrados perfectos e números triangulares ao hexágono. Está extensión non é total, o modelo para a construción dos números hexagonais non ten simetrías. O n-ésimo número hexagonal hn é o número de puntos distintos nun modelo de puntos que consiste nos contornos de hexágonos regulares que comparten un vértide de lados de 1 punto ata de lados de n puntos. 
alt=The first four hexagonal numbers.|ningún| Os catro primeiros números hexagonais.
A fórmula do n- ésimo número hexagonal



Os primeiros números hexagonais    son:

 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946...

Todo número hexagonal é un número triangular, pero só os números triangulares que ocupan unha posición impar (o 1º, 3º, 5º, 7º, etc.) son números hexagonais.

Todo número perfecto par é hexagonal, dado pola fórmula


 onde M p é un primo de Mersenne . Non se coñecen números perfectos impares, polo que todos os números perfectos coñecidos son hexagonais.

 Por exemplo, o segundo número hexagonal é 2×3 = 6; o 4º é 4×7 = 28; o 16 é 16×31 = 496; e o número 64 é 64×127 = 8128.

Adrien-Marie Legendre demostrou en 1830 que calquera número enteiro maior que 1791 pode expresarse como suma de catro números hexagonais. O maior número que non se pode escribir desta maneira é o 130.

Ademais, se buscamos expresar todos os enteiros positivos empregando cinco números hexagonais, só dous números non se poden expresar así, sendo os 11 e 26.

Non debemos confundir os números hexagonais, cos números hexagonais centrados, que se difiren pola construción da malla de puntos.

 Proba de números hexagonais 
Pódese probar que número enteiro positivo x é un número hexagonal empregando a fórmula:



Se n é un número enteiro, entón x é o n- ésimo número hexagonal. Se n non é un número enteiro, entón x non é hexagonal.

 Relacións de congruencia 




 Outras propiedades 

 Expresión mediante sumatorio 
O n- ésimo número da secuencia hexagonal tamén se pode expresar usando un sumatorio como



 Suma dos recíprocos dos números hexagonais 
A suma dos recíprocos dos números hexagonais é , onde  denota logaritmo natural .



 Multiplicando o índice 
Usando a reordenación, dáse o seguinte conxunto de fórmulas:

 Relación de proporción 
Empregnado a fórmula anterior con respecto a m e despois n, e logo reducindo e movendo, pódese chegar á seguinte ecuación:

 Números cadrados hexagonais 
A secuencia de números que son á vez hexagonais e cadrados perfectos comeza por 1, 1225, 1413721,...  

 Notas 



 Véxase tamén 
Outros artigos
 Número hexagonal centrado
 Número triangular
 Número cadrado perfecto

Categoría:Teoría de números