Logaritmo natural

O logaritmo natural ou logaritmo neperiano dun número é o seu logaritmo con base a constante matemática , que é un número irracional e transcendental aproximadamente igual a . O logaritmo natural de  escríbese xeralmente como , , ou ás veces, se a base  está implícita, simplemente . G.H. Hardy and E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 4th Ed., Oxford 1975, footnote to paragraph 1.7: "log x is, of course, the 'Naperian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest". Ás veces engádense parénteses para claridade, dando ,  ou . Isto faise especialmente cando o argumento do logaritmo non é un só símbolo, para evitar ambigüidades.

O logaritmo natural de  é a potencia á que habería que elevar  para igualar . Por exemplo,  é  , porque . O logaritmo natural de , , é , porque , mentres que o logaritmo natural de  é , xa que .

O logaritmo natural pódese definir para calquera número real positivo  como a área baixo a curva  de  a   (sendo a área negativa cando  ).  A definición do logaritmo natural pódese ampliar daquela para dar valores de logaritmo para números negativos e para todos os números complexos distintos de cero, aínda que isto leva a unha función multivalor: ver logaritmo complexo para máis información.

A función logaritmo natural, se se considera como unha función con valores reais dunha variable real positiva, é a función inversa da función exponencial, dando lugar ás identidades: 

Como todos os logaritmos, o logaritmo natural mapea a multiplicación de números positivos en suma:  

Pódense definir logaritmos para calquera base positiva que non sexa 1, non só . No entanto, os logaritmos noutras bases difiren só por un multiplicador constante do logaritmo natural, e pódense definir en termos deste último, .

Os logaritmos son útiles para resolver ecuacións nas que a incógnita aparece como o expoñente dalgunha outra cantidade. Por exemplo, os logaritmos utilízanse para resolver a vida media, a constante de desintegración ou o tempo descoñecido en problemas de desintegración exponencial. Son importantes en moitas ramas das matemáticas e das disciplinas científicas, e úsanse para resolver problemas que impliquen xuro composto.

 Definicións 
O logaritmo natural pódese definir de varias maneiras equivalentes.

 Inversa de exponencial 
A definición máis xeral é como a función inversa de , para que . Para os números complexos,  non é invertíbel, polo tanto  é unha función multivalor. Para facer  unha función propia de saída única, polo tanto, necesitamos restrinxila a unha rama principal particular, a miúdo denotada por .

Para os números complexos o logaritmo natural pode ter unha continuación analítica como

onde    é o módulo do complexo e   é o argumento do complexo, por exemplo .

 Definición como integral 
miniatura| como a área da rexión sombreada baixo a curva  de  a . Se  é menor que , a área considerada é negativa.
dereita|miniatura| A área baixo a hipérbole cumpre a regra do logaritmo. Aquí  denota a área baixo a hipérbole entre  e .

O logaritmo natural dun número real positivo  pódese definir como a área baixo a gráfica da hipérbole coa ecuación  entre  e . Esta é a integral Weisstein, Eric W. "Natural Logarithm". mathworld.wolfram.com. Consultado o 2020-08-29. Se  está dentro do intervalo , entón a rexión ten área negativa e o logaritmo é negativo.

O logaritmo natural tamén ten unha representación integral impropia, que se pode derivar co teorema de Fubini do seguinte xeito: 

 Propiedades 
O logaritmo natural ten as seguintes propiedades matemáticas:













 Derivada 

A derivada do logaritmo natural como función con valores reais sobre os reais positivos vén dada por  

A maiores temos: 

polo tanto, a diferenza da súa función inversa , unha constante na función logaritmo non altera o diferencial.

 Serie 
dereita|miniatura|290x290px| Os polinomios de Taylor para  só proporcionan aproximacións precisas no intervalo . Máis aló dalgún , os polinomios de Taylor de grao superior son aproximacións cada vez peores.
Como o logaritmo natural non está definido en 0,  en si non ten unha serie de Maclaurin, a diferenza de moitas outras funcións elementais. Mais temos expansións de Taylor arredor doutros puntos. Por exemplo, se  entón  

Esta é a serie Taylor para  arredor de 1. Un cambio de variábeis produce a serie de Mercator:  válido para  e 

Un caso especial útil para números enteiros positivos , tomando , é: 

O logaritmo natural tamén se pode expresar como un produto infinito: (Page 3654, equation 2.6) 

Dous exemplos poden ser: 

 O logaritmo natural na integración 

O logaritmo natural permite a integración sinxela de funcións da forma ; unha antiderivada de  vén dada por . Este solución é debida á regra da cadea xunto coa derivada  da función elemental : 

Noutras palabras, ao integrar sobre un intervalo da liña real que non inclúe  temos  onde  é unha constante arbitraria de integración.Para unha porba detallada pódese ver por exemplo: George B. Thomas, Jr and Ross L. Finney, Calculus and Analytic Geometry, 5th edition, Addison-Wesley 1979, Section 6-5 pages 305-306.

Por tanto, cando a integral está definida sobre un intervalo onde  temos



Por exemplo, considere a integral de  nun intervalo que non inclúe puntos onde  é infinito: 

O logaritmo natural pódese integrar mediante integración por partes: 

Sexa:  daquela: 

 Logaritmo natural de 10 
O logaritmo natural de 10, aproximadamente igual a ,  xoga un papel importante, por exemplo, no cálculo de logaritmos naturais de números representados en notación científica, como unha mantisa multiplicada por unha potencia de 10: 

Isto significa que se poden calcular eficazmente os logaritmos de números con magnitude moi grande ou moi pequena usando os logaritmos dun conxunto relativamente pequeno de decimais no intervalo .

 Fraccións continuas 

Aínda que non hai fraccións continuas simples dispoñíbeis, existen varias fraccións continuas xeneralizadas, incluíndo: 

Estas fraccións continuas, especialmente a última, converxen rapidamente para valores próximos a 1. Porén, os logaritmos naturais de números moito maiores pódense calcular facilmente, sumando repetidamente os de números máis pequenos, cunha converxencia igualmente rápida.

 Logaritmos complexos 

A función exponencial pódese estender a unha función que dá un número complexo como  para calquera número complexo arbitrario ; simplemente úsase a serie infinita con =z complexo. Esta función exponencial pódese inverter para formar un logaritmo complexo que presenta a maioría das propiedades do logaritmo ordinario. Hai dúas dificultades implicadas: 
 ningún  ten ; 
 resulta que  e dado que a propiedade multiplicativa aínda funciona para a función exponencial complexa, , temos o mesmo valor para múltiples expoñentes, calquera complexo  cos múltiples enteiros .

Polo tanto temos dúas consecuencias: o logaritmo non se pode definir para todo o plano complexo, e por outra parte aínda así é multivaluada, isto é, calquera logaritmo complexo pode mudarse a un logaritmo "equivalente" engadindo calquera múltiplo enteiro de . O logaritmo complexo só se pode valorar nun plano de corte, que normalmente corresponde con . Por exemplo,  

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 


 Outros artigos 
 Polilogaritmo.
 Logaritmo
 Ligazóns externas 
 Logaritmo natural en MathWorld.

Categoría:Funcións
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas