Produto de matrices

En matemáticas, particularmente en álxebra lineal, a multiplicación de matrices é unha operación binaria que produce unha matriz a partir de dúas matrices. Para a multiplicación de matrices, o número de columnas da primeira matriz debe ser igual ao número de filas da segunda matriz. A matriz resultante, coñecida como produto matricial, ten o número de filas da primeira e o número de columnas da segunda matriz. O produto das matrices  e  denotase como .

O cálculo de produtos matriciales é unha operación central en todas as aplicacións computacionais da álxebra lineal.

 Definicións 

 Produto de matrices 
Se  é unha matriz  e  é unha matriz ,  o produto matricial  (indicado sen signos ou puntos de multiplicación) defínese como a matriz  
 tal que 
 para ;  e  .

É dicir, o elemento } do produto obtense multiplicando termo por termo as entradas da -ésima fila de  e a -ésima  columna de , e sumando estes  produtos. Noutras palabras, } é o produto escalar da -ésima fila de  e a  -ésima columna de .

Por tanto, o produto  defínese se e só se o número de columnas en  é igual ao número de filas en , neste caso . 

A figura seguinte mostra como calcular os coeficientes  e  da matriz produto  se  é unha matriz de tipo , et  é unha matriz de tipo .

left

 Exemplos 

.

En xeral, o produto des matrices non é conmutativa, Isto é,  non é igual a , como mostra o seguinte exemplo:
,
mentres que,

 Produto escalar 
O produto escalar  de dous vectores  e  de igual lonxitude é igual a un elemento único (sería unha matriz )  resultante de multiplicar estes vectores como un vector fila por un vector columna, así:  (ou ).

O produto escalar dos dous vectores
  e  
calcúlase como
.

 Potencia dunha matriz cadrada 
A potencia dunha matriz sería unha multiplicación repetida, o que pode realizarse cando a matriz é cadrada.

Cando unha matriz  cadrada é diagonalizábel
esta diagonalización , onde  é unha matriz diagonal, pódese usar para calcular eficientemente as potencias dunha matriz:



e isto último é doado de calcular xa que só implica as potencias dunha matriz diagonal. Por exemplo, para a matriz 

con valores propios  temos a diagonalización:
 to get:

e agora calculamos:



 Aplicacións fundamentais 
Historicamente, a multiplicación matricial foi introducida para facilitar e aclarar os cálculos en álxebra linear. 

 Mapas lineares 
Un mapa linear  dun espazo vectorial de dimensión  nun espazo vectorial de dimensión  mapea un vector columna



sobre o vector columna



O mapa linear  está así definido pola matriz



e mapea o vector columna  no produto matricial



 Rotacións xeométricas 
Usando un sistema de coordenadas cartesianas nun plano euclidiano, a rotación dun ángulo  arredor da orixe é un mapa linear. Máis precisamente, 

onde o punto de orixe  e a súa imaxe  escríbense como vectores columna.

 Sistema de ecuacións lineares 
A forma xeral dun sistema de ecuacións lineares é



Usando a mesma notación anterior, tal sistema é equivalente á ecuación matricial única



 Produto escalar, forma bilinear e forma sesquilinear 
O produto escalar de dous vectores columna é o único elemento do produto matricial



onde  é o vector fila obtido mediante a transposición de .

Máis xeralmente, calquera forma bilinear sobre un espazo vectorial de dimensión finita pode expresarse como un produto matricial



e calquera forma sesquilinear pode expresarse como



onde  denota a transposta conxugada de  (conxugada da transposta, ou equivalentemente transposta da conxugada).

 Multiplicación matricial por bloque 
Se consideramos as matrices  e , onde  e  son matrices que verifican:
 O número de columnas en  e  é igual ao número de filas en  e 
 O número de columnas en  e  é igual ao número de filas en  e 

entón temos a igualdade

Observe a analoxía entre o produto da matriz de bloques e o produto de dúas matrices cadradas de orde 2. por tanto isto non define unha nova forma de produto de matrices. Este é simplemente un método de cálculo de produto matricial común que pode simplificar os cálculos.

 Produto de Hadamard 

Para dúas matrices do mesmo tipo, temos o "produto Hadamard" ou produto compoñente por compoñente. O produto de Hadamard de dúas matrices  e  de tipo , denotado  , é unha matriz de tipo  dada por

Por exemplo:

Este produto é unha submatriz do produto de Kronecker.

 Produto de Kronecker 

Para dúas matrices arbitrarias  e , temos o produto tensor ou produto de Kronecker  que se define por

Se  é unha matriz de tipo  e  é unha matriz de tipo  daquela  é unha matriz de tipo . De novo esta multiplicación non é conmutativa.

Por exemplo 
.

Se  e  son as matrices de mapas lineares  e , respectivamente, logo  representa o produto tensorial dos dous mapas, .

 Propiedades comúns 
Os tres produtos de matrices anteriores, e tamén o produto común de matrices,  son asociativos

,
distributivos en relación coa suma:

e compatíbeis coa multiplicación por un escalar:

 Multiplicación por un escalar 

O produto por un escalar  dunha matriz  dá o resultado
 .

Se estamos a traballar con matrices nun anel, a multiplicación por un escalar ás veces chámase "multiplicación á esquerda" mentres que "multiplicación á dereita" defínese por:
 .

Cando o anel é un anel conmutativo, por exemplo, o corpo dos reais ou dos complexos, as dúas multiplicacións son idénticas.

Porén, se o anel non é conmutativo, como o dos quaternións, entón poden ser diferentes. Por exemplo

 Outros tipos de produto de matrices 
Outros tipos de produtos de matrices, a maiores dos xa vistos, inclúen:

 Produto cracoviano, definido como 
 Produto interno de Frobenius, o produto escalar das matrices consideradas vectores ou, equivalentemente, a suma das entradas do produto de Hadamard
 Produto Khatri-Rao e produto Face-splitting
 Produto exterior, tamén chamado produto diádico ou produto tensor de matrices de dúas columnas, que é 

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 Henry Cohn, Robert Kleinberg, Balázs Szegedy, and Chris Umans. Group-theoretic Algorithms for Matrix Multiplication. . Proceedings of the 46th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, 23–25 outubro 2005, Pittsburgh, PA, IEEE Computer Society, pp. 379–388.
 Henry Cohn, Chris Umans. A Group-theoretic Approach to Fast Matrix Multiplication. . Proceedings of the 44th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 11–14 outubro 2003, Cambridge, MA, IEEE Computer Society, pp. 438–449.


 Knuth, D.E., The Art of Computer Programming Volume 2: Seminumerical Algorithms. Addison-Wesley Professional; 3 edition (novembro 14, 1997). . pp. 501.
 .
 Ran Raz. On the complexity of matrix product. In Proceedings of the thirty-fourth annual ACM symposium on Theory of computing. ACM Press, 2002. .
 Robinson, Sara, Toward an Optimal Algorithm for Matrix Multiplication, SIAM News 38(9), novembro 2005. PDF
 Strassen, Volker, Gaussian Elimination is not Optimal, Numer. Math. 13, p. 354–356, 1969.


 Outros artigos 
 Matriz (matemáticas).
 Suma de matrices.
 Produto tensorial.
 Produto de Kronecker.
 Ligazóns externas 
  Multiplicateur de matrices

Categoría:Álxebra lineal