Número tetraédrico

Un número tetraédrico, ou número piramidal triangular, é un número figurado que representa un tetraedro, unha pirámide triangular que ten triángulos equiláteros nas catro caras . O  ésimo número tetraédrico, , é a suma dos  primeiros números triangulares, é dicir,



Os números tetraédricos son:

 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220,...    

 Fórmula 
miniatura|Os números Tetraédricos aparecendo no triángulo de Pascal
A fórmula para o  ésimo número tetraédrico está representada polo 3º factorial ascendente de  dividido polo factorial de 3:



Os números tetraédricos tamén se poden representar como coeficientes binomiais :



Ao representarse desta maneira, é fácil ver que os números tetraédricos pódense atopar na cuarta posición dende a esquerda (ou a dereita, por simetría) no triángulo de Pascal .

 Probas da fórmula 
Sabemos que o n-ésimo número triangular vén dado por:



Empregando indución :

 Caso para 


 Supoñendo que sexa certo para , facemos o paso indutivo para 


Esta proba pode facerse de forma alternativa co algoritmo de Gosper .

 Relación recursiva 
Como comentamos anteriormente, os números tetraédricos derivan directamente dos triangulares, polo que nace esta relación entre estes:



A ecuación  convértese en



Substituíndo  por  na ecuación 



Por ende, o  o número tetraédrico cumpre que:



 Xeneralización 
O patrón atopado para os números triangulares  e para números tetraédricos  pódese xeneralizar. Isto leva á fórmula: 

 Interpretación xeométrica 
A interpretación xeométrica vén de representar tetraedros mediante o uso de esferas ou calquera outro obxecto. Por exemplo, podemos comezar a partir do triángulo das bólas de billar coas que se comeza o xogo, son 15 bólas, o quinto número triangular, se imos amoreando máis bólas ata completar o tetraedro, en total empregaremos 35 bólas o quinto número tetraédrico. 

 Propiedades 

 , o número n-ésimo número piramidal cadrado .
 , suma dos cadrados dos impares.
 , suma dos cadrados dos pares.
 A. J. Meyl provou en 1878 que solo 3 números tetraédricos son tamén cadrados perfectos:


 .
 Sir Frederick Pollock fixo unha conxectura de que todo número enteiro positivo, pódese escribir como suma de 5 números tetraédricos.
 O único número tetraédrico que tamén é  número triangular cadrado é 1 (Beukers, 1988), é o único que tamén é un cubo perfecto é 1.
 A suma infinita dos recíprocos dos números tetraédricos é , pódese calcular empregando series telescópicas:

 A paridade dos números tetraédricos segue a secuencia, impar-par-par-par.
 Unha observación:

 Os números que son á vez tetraédricos e triangulares, cumplen a ecuación:

miniatura| O terceiro número tetraédrico é igual ao cuarto número triangular xa que o n -ésimo número k -simple é igual ao k -ésimo número n -símplex debido á simetría do triángulo de Pascal, e as súas diagonais son números simples; do mesmo xeito, o quinto número tetraédrico (35) é igual ao cuarto número de pentácoron, e así por diante

 Os únicos números que son tanto tetraédricos como triangulares son      :






  é a suma dos produtos p × q cando (p, q) son pares ordenados e p + q = n + 1
 O número tetraédrico máis grande da forma  para enteiros a e b é   8436.

 Notas 


 Véxase tamén 
 Ligazóns externas 

 Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.

Categoría:Teoría de números