Diagrama de Venn

Diagramas de Venn que corresponden respectivamente ás relacións topolóxicas de unión, inclusión e disxunción entre dous conxuntos

Os diagramas de Venn son esquemas usados na teoría de conxuntos, teoría usada en matemáticas, lóxica de clases, lóxica matemática e outras disciplinas. Estes diagramas mostran coleccións (conxuntos) de cousas (elementos) por medio circunferencias e un rectángulo global representando o conxunto universal U.

 Introdución 
Na teoría de conxuntos cos diagramas de Venn é posíbel representar as relacións de intersección, inclusión e disxunción sen mudar a posición relativa dos conxuntos.

Tamén son usados como representación visual das conectivas lóxicas na lóxica matemática.

 Intersección 
Os elementos do conxunto que pertencen simultaneamente a ambos os conxuntos forman a intersección do conxunto. Luetich, "Ser o ser no, ése es el dilema", Actas – Suplemento 1, 1 (1) 1, Rosario, Academia Luventicus, 2001 No diagrama de Venn será a zona delimitada polo cruzamento das dúas circunferencias.
A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}B = {1; 3; 5; 15}U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16}ligazón=Archivo:Diagrama_de_Venn_1.png|senmarco|165x165px|Diagrama de Venn - intersección con elementos

Intersección = 1, 3.

 Inclusión 
Se todos os elementos dun conxunto son parte dos elementos doutro, dise que o primeiro é un subconjunto do segundo ou que está incluído no segundo. Luetich, "Ser o ser no, ése es el dilema", Actas – Suplemento 1, 1 (1) 1, Rosario, Academia Luventicus, 2001 
A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}B = {1; 2; 3; 6} U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}ligazón=Archivo:Diagrama_de_Venn_2.png|senmarco|165x165px|Diagrama de Venn - inclusión con elementos

 Disxunción 
Cando os conxuntos non teñen elementos comúns, a rexión de superposición fica baleira. 
A = {2; 4; 6; 8}B = {1; 3; 5; 7; 9}U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}ligazón=Archivo:Diagrama_de_Venn_4.png|senmarco|165x165px|Diagrama de Venn - inclusión con elementos

 Orixes e historia 
miniatura|Vitral do comedor do Caius College (Cambridge) en homenaxe a John Venn e a súa creación
Os diagramas de Venn teñen o nome do seu creador, John Venn, matemático e filósofo británico.Margaret E. Baron, "A Note on the Historical Development of Logic Diagrams: Leibniz, Euler and Venn", The Mathematical Gazette, Vol. 53 No. 384, Leicester, The Mathematical Association, 1969 Estudante e máis tarde profesor do Caius College da Universidade de Cambridge, Venn desenvolveu toda a súa produción intelectual nese ámbito.Anónimo, "Obituary Notices of Fellows Deceased: Rudolph Messel, Frederick Thomas Trouton, John Venn, John Young Buchanan, Oliver Heaviside, Andrew Gray", Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Vol. 110 No. 756, Londres, The Royal Society, 1926

Foi o matemático suízo Leonhard Euler quen primeiro introduciu unha notación clara e sinxela similar aos diagramas de Venn.Edward N. Zalta – Uri Nodelman – Colin Allen (editores), "Diagrams", Stanford Encyclopedia of Philosophy, Stanford, Metaphysics Research Lab – Center for the Study of Language and Information – Stanford University, 2001–2013 O seguinte diagrama mostra doutro xeito a relación de inclusión do exemplo dado na introdución.
ligazón=Archivo:Diagrama_de_Venn_Euler.png|senmarco|103x103px|Diagrama de Euler - inclusióndiagrama de Euler
Os diagramas de Euler distínguense dos de Venn en dous aspectos:

 Neles non aparecen as rexións baleiras
 O conxunto universal non se representa.

A primeira constancia escrita do uso da expresión «diagrama de Venn» é moi tardía (1918) e atópase no libro A Survey of Symbolic Logic de Clarence Irving Lewis.John Venn, The Principles Of Empirical Or Inductive Logic, Londres, Macmillan, 1907

 Diagramas de Venn de enunciados 

Podemos ter dous tipos de diagramas de Venn: os que mostran elementos  e os que simplemente mostran enunciados ou conceptos. Estes últimos son máis interesantes porque permiten operar de maneira abstracta e chegar a conclusións máis xerais.Juan José Luetich, "Ser y pertenecer", Actas – Suplemento 1, 1 (2) 1, Rosario, Academia Luventicus, 2008

Os seguintes diagramas do segundo tipo mostran os resultados de catro operacións básicas con conxuntos usando o código do semáforo de dúas cores.Javier R. Movellan, "Tutorial on axiomatic ser theory" , Tutorial on axiomatic ser theory, Kolmogorov Project, 2003
ligazón=Archivo:Venn_operaciones_2.png|alt=Venn operaciones 2|senmarco|180x180px|Venn operacións 2ligazón=Archivo:Venn_operaciones_1.png|alt=Venn operaciones 1|senmarco|180x180px|Venn operacións 1ligazón=Archivo:Venn_operaciones_3.png|alt=Venn operaciones 3|senmarco|180x180px|Venn operacións 3ligazón=Archivo:Venn_operaciones_4.png|alt=Venn operaciones 4|senmarco|180x180px|Venn operacións 4¬AA ∧ BA ∨ B = ¬((¬A) ∧ (¬B))A – B = A ∧ (¬B)
Que representan as operacións: negación, conxunción, disxunción e diferenza. En verde están o resultado das operacións.

E a continuación unha lista completa para un e dous predicados:
 Nome / Símbolo
 Valor de verdade
 Venndiagrama
   =
 0
 1
  Verdade/Tautoloxía 
 ⊤ 
 1
 1
 32x32px
  proposición  
 0
 1
 32x32px
  Falso/Contradición
 ⊥ 
 0
 0
 32x32px
  Negación
 ¬ 
 1
 0
 32x32px
  Conectivos binarios
  =
 0
 1
 0
 1
  Conxunción
 ∧000140x40px
  Non conxunción 
 ↑111040x40px
  Disxunción
 ∨011140x40px
  Non disxunción
 ↓100040x40px
  Condicional material
 →110140x40px
  Ou exclusivo
 011040x40px
  Bicondicional
 ↔100140x40px
  Implicación inversa
 ←101140x40px
  proposición 001140x40px
  proposición 010140x40px

 Outras representacións 

 Diagramas  de Euler 

Os diagramas de Euler preceden historicamente aos diagramas de Venn e nalgunhas aplicacións son aínda usados.

A diferenza entre os diagramas de Euler e de Venn obsérvase sobre todo nas relacións de inclusión e de disxunción.
 inclusióndisxunciónEulerligazón=Archivo:Diagrama_de_Venn_Euler_3.png|senmarco|85x85px|Diagrama de Venn Euler 3ligazón=Archivo:Diagrama_de_Venn_Euler_4.png|senmarco|190x190px|Diagrama de Venn Euler 4Vennligazón=Archivo:Diagrama_de_Venn_Euler_1.png|senmarco|139x139px|Diagrama de Venn Euler 1ligazón=Archivo:Diagrama_de_Venn_Euler_2.png|senmarco|139x139px|Diagrama de Venn Euler 2

 Mapas de Karnaugh 
Os mapas de Karnaugh ou diagramas de Veitch son unha representación visual de expresións da álxebra de Boole.Andreas Otte, "Venn-Diagramme: Einleitung", Begriffslogik.de, 1998

 Notas 


 Véxase tamén 


 Outros artigos 
 Teoría de conxuntos
 Mapas de Karnaugh
 Álxebra de Boole
 Ligazóns externas 
 plantillaarbolgenealogico.net/diagramas/venn/ : Conceptos e exemplos relacionados co diagrama de Venn.
 Winvenn: Programa para explorar a notación da teoría de conxuntos sombreando diagramas.
 XFig: Programa de creación de gráficos con licenza GPL.
 Diagrama de Venn: Qué es, para qué se utiliza y cómo hacerlo. 

Categoría:Teoría de conxuntos