Teorema de Napoleón

O teorema de Napoleón é un teorema de xeometría relativo a triángulos equiláteros construídos a partir de calquera triángulo.

Aínda que tradicionalmente se atribúe a Napoleón Bonaparte (de aí o nome do teorema), non hai probas sólidas de que fose realmente o autor do teorema. O enunciado apareceu realmente en 1825 na revista The Ladies' Diary ., catro anos despois da morte do emperador.

 Enunciado 

miniatura| Neste caso os triángulos equilateros están construídos cara ao interior do triángulo e os seus centros  A'B'C' forman igualmente un triángulo equilátero.
Observacións:

 Por "exterior", debemos entender por exemplo que coas notacións da nosa figura e un marco de referencia orientado, os triángulos ABC e A'BC están en sentidos opostos (na figura superior ABC está no sentido trigonométrico e A'BC no sentido antitrigonométrico), o mesmo acontece para os outros dous. No caso "interior" (segunda figura), teñen o mesmo sentido.
 Para un triángulo equilátero, por "centro" debemos entender centro de gravidade, é dicir, baricentro, intersección das tres medianas, coincidindo cos centros dos círculos inscritos e circunscritos.

 Demostración 

Existen múltiples probas do teorema, mediante moi distintas técnicas (ver a ligazón externa de Cut-the-Knot). Aquí preséntanse dúas.

 En xeometría clásica 
miniatura| Figura do teorema de Napoleón.
Os triángulos MCL e ACX son semellantes, cunha razón . De feito, CA/CM =  = CX/CL e os ángulos MĈL e AĈX son iguais. Ou nunha linguaxe máis moderna: pola semellanza directa (composta por unha homotecia e unha rotación) do centro C, dun ángulo ±30 graos (na dirección apropiada) e de razón , os puntos M e L convértense respectivamente nos puntos A e X.

Do que se desprende que a lonxitude do segmento AX é igual a  veces a de ML.

Ao aplicar o mesmo razoamento aos triángulos NBL e ABX, demostramos que a lonxitude de AX tamén é igual a  veces a de NL. Así, ML e NL teñen a mesma lonxitude.

Igualmente demostramos, en comparación con BY, que LM e NM teñen a mesma lonxitude.

En conclusión: NL = ML = NM e o triángulo MNL é equilátero.

 Con números complexos 
Denotamos  ( notación habitual) e empregaremos as notacións da figura.

Proporcionamos ao plano complexo un marco de referencia ortonormal. Sexan a, b, c, l, m e n os respectivos afixos dos puntos A, B, C, L, M e N deste marco de referencia.

Por construción, A é a imaxe de B facendo a rotación con centro N e ángulo , que se traduce en:Así mesmo:e tamén 
 Podemos deducir :e tamén 
 Como, por definición, temos , e temos, , daquela:



Dividindo por (1 – j ) obtemos .

O punto M é a imaxe de L pola rotación do centro N e do ángulo  polo tanto, NLM é un triángulo equilátero.

Nota: esta demostración segue sendo válida no caso dos triángulos "interiores" mudando algúns signos.

 Lemas 
Este lema pódese demostrar facilmente usando as notacións da demostración con números complexos:



de aí a igualdade para os afixos dos baricentros Volvamos ás notacións anteriores, para o triángulo “interior" (observemos de paso que o punto N1 é o simétrica do punto N con respecto ao segmento AB); daquela obtemos:





e sabendo que a área dun triángulo equilátero de lado  pódese obter mediante:  e , imos calcular a diferenza:



desenvolvendo e sabendo que 

Como  ,  temos:



O resultado anterior é de feito a área (alxébrica) do triángulo cuxos afixos de vértice son a, b e c.

Xeneralizacións
Teorema de Petr-Douglas-Neumann

Se os triángulos isósceles con ángulos ápices  están erguidos nos lados dun -gono arbitrario , e se este proceso se repite co -gono formado polos ápices libres dos triángulos, pero cun valor diferente de , e así sucesivamente ata que se utilicen todos os valores  (en orde arbitraria), daquela fórmase un -gono  cuxo centroide coincide co centroide de .

Teorema de Napoleón-Barlotti
Os centros de -gonos regulares construídos sobre os lados dun -gono  forman un -gono regular se e só se  é unha imaxe afín dun -gono regular.A. Barlotti, Intorno ad una generalizzazione di un noto teorema relativo al triangolo, Boll. Un. Mat. Ital.
7 no. 3 (1952) 182–185.Una proprietà degli n-agoni che si ottengono transformando in una affinità un n-agono regolare,
Boll. Un. Mat. Ital. 10 no. 3 (1955) 96–98.
 Notas 

 Véxase tamén 


 Outros artigos 
 Problema de Napoléon
 Puntos de Napoléon
 Punto de Fermat
 Ligazóns externas 
Napoleon's Theorem and Generalizations, at Cut-the-Knot
To see the construction, en instrumenpoche
Napoleon's Theorem por Jay Warendorff, O Wolfram Demonstrations Project.


Categoría:Xeometría
Categoría:Teoremas
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas