Función de contaxe de números primos

En matemáticas, a función de contaxe de números primos é a función que conta o número de números primos menores ou igual a algún número real .  Desígnase por  (sen relación co número ).
dereita|miniatura|400x400px| Os valores de  para os primeiros 60 enteiros positivos

 Taxa de crecemento 
De grande interese na teoría de números é a taxa de crecemento da función de contaxe de primos. Foi conxecturado a finais do século XVIII por Gauss e por Legendre como aproximadamente 

onde  é o logaritmo natural, no sentido de que 

Esta afirmación é o teorema dos números primos. Unha afirmación equivalente é 
, 
onde  é a función logaritmo integral. 

O teorema dos números primos foi probado por primeira vez en 1896 por Jacques Hadamard e por Charles de la Vallée Poussin de forma independente, utilizando as propiedades da función zeta de Riemann introducida por Riemann en 1859. Atle Selberg e Paul Erdős atoparon probas do teorema dos números primos que non empregaban a función zeta nin a análise complexa arredor de 1948 (na súa maior parte de forma independente).

 Estimacións máis precisas 
No 1899, de la Vallée Poussin probou que Ver Teorema 23 de 

Agora coñécense estimacións máis precisas de . Por exemplo, en 2002, Kevin Ford demostrou que

Para valores de  que non sexan excesivamente grandes,  é maior que . Porén,  sábese que muda de signo infinitas veces. Para unha discusión sobre isto, consulte o número de Skewes.

 Forma exacta 
Para  sexa  cando  é un número primo, e  doutro xeito. Bernhard Riemann, na súa obra Sobre o número de primos menores que unha magnitude dada, demostrou que  é igual a
miniatura|402x402px| Fórmula explícita de Riemann usando os primeiros 200 ceros non triviais da función zeta

onde 

e aquí  é a función de Möbius,  é o logaritmo integral,  indexa cada cero da función zeta de Riemann. Se se recollen os ceros triviais e a suma tómase só sobre os ceros non triviais  da función zeta de Riemann, entón  pode ser aproximado por

A hipótese de Riemann suxire que cada cero non trivial deste tipo está ao longo de .

 Táboa de  , , e  
A táboa mostra as tres funcións ,  e  comparadas nas potencias de 10. Ver tamén, e
{| class="wikitable" style="text-align: right"
! 
! 
! 
! 
! 
! % erro
|-
| 10
| 4
| 0
| 2
| 2.500
| −8.57%
|-
| 102
| 25
| 3
| 5
| 4.000
| +13.14%
|-
| 103
| 168
| 23
| 10
| 5.952
| +13.83%
|-
| 104
| 1,229
| 143
| 17
| 8.137
| +11.66%
|-
| 105
| 9,592
| 906
| 38
| 10.425
| +9.45%
|-
| 106
| 78,498
| 6,116
| 130
| 12.739
| +7.79%
|-
| 107
| 664,579
| 44,158
| 339
| 15.047
| +6.64%
|-
| 108
| 5,761,455
| 332,774
| 754
| 17.357
| +5.78%
|-
| 109
| 50,847,534
| 2,592,592
| 1,701
| 19.667
| +5.10%
|-
| 1010
| 455,052,511
| 20,758,029
| 3,104
| 21.975
| +4.56%
|-
| 1011
| 4,118,054,813
| 169,923,159
| 11,588
| 24.283
| +4.13%
|-
| 1012
| 37,607,912,018
| 1,416,705,193
| 38,263
| 26.590
| +3.77%
|-
| 1013
| 346,065,536,839
| 11,992,858,452
| 108,971
| 28.896
| +3.47%
|-
| 1014
| 3,204,941,750,802
| 102,838,308,636
| 314,890
| 31.202
| +3.21%
|-
| 1015
| 29,844,570,422,669
| 891,604,962,452
| 1,052,619
| 33.507
| +2.99%
|-
| 1016
| 279,238,341,033,925
| 7,804,289,844,393
| 3,214,632
| 35.812
| +2.79%
|-
| 1017
| 2,623,557,157,654,233
| 68,883,734,693,928
| 7,956,589
| 38.116
| +2.63%
|-
| 1018
| 24,739,954,287,740,860
| 612,483,070,893,536
| 21,949,555
| 40.420
| +2.48%
|-
| 1019
| 234,057,667,276,344,607
| 5,481,624,169,369,961
| 99,877,775
| 42.725
| +2.34%
|-
| 1020
| 2,220,819,602,560,918,840
| 49,347,193,044,659,702
| 222,744,644
| 45.028
| +2.22%
|-
| 1021
| 21,127,269,486,018,731,928
| 446,579,871,578,168,707
| 597,394,254
| 47.332
| +2.11%
|-
| 1022
| 201,467,286,689,315,906,290
| 4,060,704,006,019,620,994
| 1,932,355,208
| 49.636
| +2.02%
|-
| 1023
| 1,925,320,391,606,803,968,923
| 37,083,513,766,578,631,309
| 7,250,186,216
| 51.939
| +1.93%
|-
| 1024
| 18,435,599,767,349,200,867,866
| 339,996,354,713,708,049,069
| 17,146,907,278
| 54.243
| +1.84%
|-
| 1025
| 176,846,309,399,143,769,411,680
| 3,128,516,637,843,038,351,228
| 55,160,980,939
| 56.546
| +1.77%
|-
| 1026
| 1,699,246,750,872,437,141,327,603
| 28,883,358,936,853,188,823,261
| 155,891,678,121
| 58.850
| +1.70%
|-
| 1027
| 16,352,460,426,841,680,446,427,399
| 267,479,615,610,131,274,163,365
| 508,666,658,006
| 61.153
| +1.64%
|-
| 1028
| 157,589,269,275,973,410,412,739,598
| 2,484,097,167,669,186,251,622,127
| 1,427,745,660,374
| 63.456
| +1.58%
|-
| 1029
| 1,520,698,109,714,272,166,094,258,063
| 23,130,930,737,541,725,917,951,446
| 4,551,193,622,464
| 65.759
| +1.52%
|}

Na On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, a columna  é a ,  é a  e  é a .

O valor de  foi calculado orixinalmente por J. Buethe, J. Franke, A. Jost e T. Kleinjung asumindo a hipótese de Riemann. Máis tarde comprobouse sen condicións nun cálculo de DJ Platt. O valor de  débese a J. Buethe, J. Franke, A. Jost e T. Kleinjung. O valor de  foi calculado por DB Staple. Todas as demais entradas anteriores nesta táboa tamén foron verificadas como parte dese traballo.

Os valores para 1027, 1028 e 1029 foron anunciados por David Baugh e Kim Walisch en 2015, 2020, e 2022,  respectivamente.

 Algoritmos para avaliar  
Unha forma sinxela de atopar π(x), se x non é demasiado grande, é usar a creba de Eratóstenes para producir os primos menores ou iguais a x e despois contalos.

Unha forma máis elaborada de atopar  débese a Legendre (usando o principio de inclusión-exclusión): dado , se  son números primos distintos, entón o número de enteiros menor que ou iguais a  que non son divisíbeis por ningún  é



(onde  denota a función chan). Este número é, polo tanto, igual a



cando os números  son os números primos menores ou iguais á raíz cadrada de .

 Algoritmo de Meissel-Lehmer 

Nunha serie de artigos publicados entre 1870 e 1885, Ernst Meissel describiu (e utilizou) unha forma combinatoria práctica de avaliar : Sexan  os primeiros  primos e denotémos por  o número de números naturais non superiores a  que non son divisíbeis por ningún dos  para calquera . Entón



Dado un número natural , se  e se , entón



Usando este enfoque, Meissel calculou , para  igual a , 106, 107, e 108.

En 1959, Derrick Henry Lehmer ampliou e simplificou o método de Meissel

 Outras funcións de contaxe de primos 

 Función de Riemann de contaxe de potencias de primos 
Adoita denotarse como  ou . Ten saltos de

Formalmente, podemos definir  por



onde a variable  en cada suma varía sobre todos os primos dentro dos límites especificados.

Tamén podemos escribir



onde  é a función de von Mangoldt e



A fórmula de inversión de Möbius dá logo



onde  é a función de Möbius.

Coñecendo a relación entre o logaritmo da función zeta de Riemann e a función de von Mangoldt , e utilizando a fórmula de Perron temos

 .

 Función de Chebyshev 
A función de Chebyshev pondera números primos ou potencias de primos  mediante  :



Para ,



e



 Fórmulas para as funcións de contaxe de números primos 
As fórmulas para as funcións de contaxe de primos son de dous tipos: fórmulas aritméticas e fórmulas analíticas. As fórmulas analíticas para a contaxe de primos foron as primeiras utilizadas para demostrar o teorema dos números primos. Procedentes do traballo de Riemann e von Mangoldt, coñécense xeralmente como fórmulas explícitas.

Temos a seguinte expresión para a segunda función de Chebyshev :



onde



Aquí  son os ceros da función zeta de Riemann na franxa crítica, onde a parte real de  está entre cero e un. A fórmula é válida para valores de  maiores que un, que é a rexión de interese. A suma sobre as raíces é condicionalmente converxente e debe tomarse por orde crecente do valor absoluto da parte imaxinaria. Teña en conta que a mesma suma sobre as raíces triviais dá o último sustraendo da fórmula.

Para  temos unha fórmula máis complicada



De novo, a fórmula é válida para , mentres que  son os ceros non triviais da función zeta ordenados segundo o seu valor absoluto. A integral é igual á serie sobre os ceros triviais:



O primeiro termo  é o logaritmo integral usual; a expresión  no segundo termo debería considerarse como , onde  é a continuación analítica da función integral exponencial desde os reais negativos ata o plano complexo coa ramificación cortada ao longo dos reais positivos.

Así, a fórmula de inversión de Möbius dános 



válido para , onde



é a función R de Riemann  e  é a función de Möbius. Esta última serie coñécese como serie de Gram. Como  para todo , esta serie converxe para todo  positivo en comparación coa serie para . 

A suma sobre os ceros non triviais de zeta na fórmula para  describe as flutuacións de  mentres que os termos restantes dan a parte "suave" da función de contaxe de primos,, así que pódese usar



como un bo estimador de  para . 

De feito, xa que o segundo termo achégase a 0 cando , mentres que a amplitude da parte "ruidosa" é heurísticamente aproximado a , estimando  só por  é igual de bo, e as flutuacións da distribución dos números primos poden representarse claramente coa función



 A hipótese de Riemann 
A hipótese de Riemann implica un límite moito máis estreito do erro na estimación de  e, polo tanto, unha distribución máis regular dos números primos,



En concreto,



 probou que a hipótese de Riemann implica que para todo  hai un primo  a satisfacer



 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Postulado de Bertrand
 Conxectura de Oppermann
 Número primo de Ramanujan
 Ligazóns externas 
Chris Caldwell, The Nth Prime Page at The Prime Pages.
Tomás Oliveira e Silva, Tables of prime-counting functions.

Categoría:Funcións
Categoría:Teoría de números
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas