Negación (lóxica)

En lóxica, a negación, tamén chamada non lóxico ou complemento lóxico, é unha operación que leva unha proposición  a outra proposición "non ", que representa " non é verdade", escríbese ,  ou . Interprétase intuitivamente como verdadeiro cando  é falso, e falso cando  é verdadeiro. A negación é polo tanto unha conexión lóxica unaria. Pódese aplicar como unha operación sobre nocións, proposicións, valores de verdade ou valores semánticos en xeral. Na lóxica clásica, a negación identifícase normalmente coa función de verdade que leva a verdade á falsidade (e viceversa). 

 Definición 
A negación é unha operación sobre un valor lóxico, normalmente o valor dunha proposición, que produce un valor de verdadeiro cando o seu operando é falso e un valor de falso cando o seu operando é verdadeiro. Así se a declaración  é verdadeira, daquela  (pronunciado "non P") sería logo falso; e pola contra, se  é verdadeira, daquela  sería falso.

A táboa de verdade  é a seguinte:

{| class="wikitable" style="text-align:center; background-color: #ddffdd;"
|- bgcolor="#ddeeff"
|  || 
|-
| Verdadeiro || Falso
|-
| Falso|| Verdadeiro
|}

A negación pódese definir en termos doutras operacións lóxicas. Por exemplo,  pódese definir como  (onde  é consecuencia lóxica e  é falsidade absoluta). Tamén, pódese definir  como  para calquera proposición  (onde  é a conxunción). A idea aquí é que calquera contradición é falsa, e aínda que estas ideas funcionan tanto na lóxica clásica como na lóxica intuicionista, non funcionan na lóxica paraconsistente, onde as contradicións non son necesariamente falsas. Na lóxica clásica, tamén obtemos unha identidade adicional,  pódese definir como , onde  é a disxunción.

Alxébricamente, a negación clásica corresponde ao complementario nunha álxebra_de_Boole, e a negación intuicionista á pseudocomplementación nunha álxebra de Heyting. Estas álxebras proporcionan unha semántica para a lóxica clásica e intuicionista.

 Notación 
A negación dunha proposición  denótase de diferentes xeitos, en diversos contextos de discusión e campos de aplicación. A seguinte táboa documenta algunhas destas variantes:
 Notación Vocalización  Non p  Non p  Non p  Ene p   p barra  Non p
A notación  é a notación polaca.

Na teoría de conxuntos,  tamén se usa para indicar "non está no conxunto de":  é o conxunto de todos os membros de  que non son membros de  .

 Precedencia 
Como forma de reducir o número de parénteses necesarios, pódense introducir regras de precedencia : ¬ ten unha precedencia maior que ∧, ∧ maior que ∨ e ∨ maior que →. Así, por exemplo,  é a escritura curta que representa 

Aquí temos unha táboa que mostra unha precedencia de uso habitual dos operadores lóxicos .
Operador Precedencia  1  2  3  4  5

 Propiedades 

 Dupla negación 
Dentro dun sistema de lóxica clásica, a dupla negación, é dicir, a negación da negación dunha proposición. , é loxicamente equivalente a . Expresado en termos simbólicos,  . Na lóxica intuicionista, unha proposición implica a súa dobre negación, pero non á inversa. Isto marca unha diferenza importante entre a negación clásica e a intuicionista. Alxébricamente, a negación clásica chámase involución do período dous.

 Distributividade 
As leis de De Morgan proporcionan unha forma de aplicar a propiedade distributiva á negación sobre a disxunción e a  conxunción:

 .
 .

 Linearidade 
Sexa  a operación xor lóxica (ou exclusivo) . En álxebra de Boole, unha función linear é unha que cumpre:

Se existe , , para todos os  .

A negación é un operador lóxico linear.

 Auto dual 
Na álxebra de Boole, unha función auto-dual é unha función tal que:

 para todos os. A negación é un operador lóxico auto-dual.

 Negación dos cuantificadores 
Na lóxica de primeira orde, hai dous cuantificadores, un é o cuantificador universal  (significa "para todos") e o outro é o cuantificador existencial  (significa "existe"). A negación dun cuantificador é o outro cuantificador:  e . Por exemplo, co predicado P como "x é mortal" e o dominio de x como o conxunto de tódolos humanos,  significa "todos os humanos son mortais". A negación do mesmo é , que significa "non acontece que todos os humanos son mortais" que é equivalente a "existe unha persoa x no conxunto de todos os humanos que non é mortal".

 Regras de inferencia 
Hai unha serie de formas equivalentes de formular regras para a negación. Unha forma habitual de formular a negación clásica nun contexto de dedución natural é tomar como regras primitivas de inferencia as seguintes:

Introdución da negación: Se p implica a q e ¬q, inferimos ¬p; esta regra tamén se chama  redución ao absurdo ou proba por contradición, 

Eliminación da negación: Dado p e ¬p inferimos q; esta regra tamén se chama "ex falso quodlibet" ou principio de explosión, Eliminación da dupla negación: Dado ¬¬p inferimos p.

 Linguaxe de programación e linguaxe común 
Como nas matemáticas, a negación utilízase en informática para construír enunciados lóxicos.if (!(r == t))
{
  /*...sentencias a executar se r NON é igual a t...*/
}O signo de exclamación "!" significa NON lóxico nas linguaxes de programación C, B e linguaxes cunha sintaxe inspirada en C como C++, Java, JavaScript, Perl e PHP. "NOT" é o operador usado en ALGOL 60, BASIC e linguaxes cunha sintaxe inspirada en ALGOL ou BASIC como Pascal, Ada, Eiffel e Seed7. Algunhas linguaxes (C++, Perl, etc.) proporcionan máis dun operador para a negación. Algunhas linguas como PL/I e Ratfor usan ¬ para a negación. A maioría das linguas modernas permiten que a afirmación anterior se acurte de if (!(r == t)) a if (r != t).

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 Gabbay, Dov, and Wansing, Heinrich, eds., 1999. What is Negation?, Kluwer.
 Horn, L., 2001. A Natural History of Negation, University of Chicago Press.
 G. H. von Wright, 1953–59, "On the Logic of Negation", Commentationes Physico-Mathematicae 22.
 Wansing, Heinrich, 2001, "Negation", in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic'', Blackwell.


 Outros artigos 
 Contraposición  
 Porta NOT  
 Ligazóns externas 

 NOT, on MathWorld
 Taboas de verdade de cláusulas compostas





Categoría:Semántica
Categoría:Lóxica matemática
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas