Conxunto de partes

En matemáticas, o conxunto de partes (ou conxunto potencia) dun conxunto  é o conxunto de todos os subconxuntos de , incluíndo o conxunto baleiro e o propio . Na teoría de conxuntos axiomáticos (como se desenvolve, por exemplo, nos axiomas ZFC), a existencia do conxunto de partes de calquera conxunto é postulada polo axioma do conxunto de partes. O conxunto de partes de  denótase de varias maneiras como , , , , , ou . Calquera subconxunto de  chámase familia de conxuntos sobre .

 Exemplo 
Se  é o conxunto , entón todos os subconxuntos de  son

  (tamén escrito como  ou , o conxunto baleiro)








e, polo tanto, o conxunto de partes de  é .

 Propiedades 
 Cardinalidade 
Se  é un conxunto finito coa cardinalidade  (é dicir, o número de todos os elementos do conxunto  é ), entón o número de todos os subconxuntos de  é . Este feito demóstrase a continuación.

 Unha función indicadora dun subconxunto  dun conxunto  coa cardinalidade  é unha función de  no conxunto de dous elementos  denotada como , e indica se un elemento de  pertence ou non a . Se  en  pertence a , daquela , e  no caso contrario. Cada subconxunto  de  identifícase ou é equivalente á función indicadora , e a  pois o conxunto de todas as funcións de  a  consta de todas as funcións indicadoras de todos os subconxuntos de  . Noutras palabras,  é equivalente ou bixectivo ao conxunto de partes  . Dado que cada elemento en  corresponde a  ou  baixo calquera función en , o número de todas as funcións en  é . Dado que o número  pódese definir como  (ver, por exemplo, os ordinais de von Neumann), o  tamén se denota como . Obviamente temos . En xeral,  é o conxunto de todas as funcións de  en  e  .

O argumento da diagonal de Cantor mostra que o conxunto de partes dun conxunto (sexa infinito ou non) sempre ten unha cardinalidade estritamente maior que o conxunto en si (ou informalmente, o conxunto de partes debe ser maior que o conxunto orixinal). En particular, o teorema de Cantor mostra que o conxunto de partes dun conxunto numerable infinito é incontablemente infinito. O conxunto de partes do conxunto de números naturais pódese poñer nunha correspondencia un a un co conxunto de números reais (ver Cardinalidade do continuo).

 Teoría de Conxuntos 
Na teoría de Conxuntos, en particular na sáa formulación segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, existe un axioma cuxa finalidade é garantir a existencia do conxunto de partes: o axioma do conxunto de partes.

 Álxebra 
O conxunto de partes dun conxunto S, xunto coas operacións de unión, intersección e complemento, é unha sigma-álxebra sobre S e pódese ver como o exemplo prototípico dunha álxebra de Boole. De feito, pódese demostrar que calquera álxebra booleana finita é isomórfica á álxebra booleana do conxunto de partes dun conxunto finito. Para as álxebras booleanas infinitas, isto xa non é certo, pero toda álxebra booleana infinita pódese representar como unha subálxebra dunha álxebra booleana de conxuntos de partes (ver o teorema de representación de Stone).

O conxunto de partes dun conxunto S forma un grupo abeliano cando se considera coa operación de diferenza simétrica (co conxunto baleiro como elemento de identidade e cada conxunto sendo o seu propio inverso), e forma un monoide conmutativo cando se considera coa operación de intersección. Polo tanto, pódese demostrar, comprobando as leis distributivas, que o conxunto de partes xunto con estas dúas operacións forma un anel booleano.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 






 Ligazóns externas 




Categoría:Teoría de conxuntos