Monoide

En álxebra abstracta, unha rama das matemáticas, un monoide é un conxunto equipado cunha operación binaria asociativa e un elemento identidade. Por exemplo, os enteiros non negativos con suma forman un monoide, sendo o elemento de identidade .

Os monoides son semigrupos con identidade.

As funcións dun conxunto forman un monoide con respecto á composición de funcións. De forma máis xeral, na teoría de categorías, os morfismos dun obxecto en si mesmo forman un monoide e, por outra parte, un monoide pode ser visto como unha categoría cun só obxecto.

 Definición 
Un conxunto  equipado cunha operación binaria , que denotaremos , é un monoide se cumpre os dous axiomas seguintes:

 Asociatividade
 Para todos os ,  e  en , cúmprese a ecuación .
 Elemento identidade
 Existe un elemento  en  tal que para cada elemento  en , cúmprense as igualdades  e .

Noutras palabras, un monoide é un semigrupo cun elemento identidade. Tamén se pode pensar como un magma con asociatividade e identidade. O elemento  identidade dun monoide é único. Por esta razón, a identidade considérase como unha constante, é dicir, operación -aria (ou nula). O monoide, polo tanto, caracterízase pola especificación do tupla  .

Un monoide no que cada elemento ten unha inversa é un grupo.

Un monoide cuxa operación é conmutativa chámase monoide conmutativo (ou, con menos frecuencia, monoide abeliano).

 Propiedades 
Os axiomas do monoide implican que o elemento  identidade  é único: Se  e  son elementos de identidade dun monoide, entón  .

 Elementos invertíbeis 
Un elemento  chámase invertíbel se existe un elemento  tal que  . O elemento  chámase inverso de . Os inversos, se os existen, son únicos: se  e  son inversos de , entón por asociatividade . 

Se  é invertíbel, digamos con inverso , entón pódense definir potencias negativas de  estabelecendo  para cada ; isto fai que a ecuación  se cumpra para todo  .

O conxunto de todos os elementos invertíbeis dun monoide, xunto coa operación •, forma un grupo.

 Grupo de Grothendieck 
Non todos os monoides encaixan dentro dun grupo. 

Un monoide  ten a propiedade de cancelación (é cancelativo) se para todo ,  e  en , a igualdade  implica , e a igualdade  implica .

Un monoide conmutativo coa propiedade de cancelación sempre se pode mergullar nun grupo mediante a construción de grupo de Grothendieck. Así é como se constrúe o grupo aditivo dos enteiros (un grupo con operación  ) a partir do monoide aditivo dos números naturais (un monoide conmutativo con operación  e propiedade de cancelación).

Se un monoide ten a propiedade de cancelación e é finito, entón é de feito un grupo.

A propiedade cancelativa nun monoide non é necesaria para realizar a construción de Grothendieck: a conmutatividade é suficiente. Porén, se un monoide conmutativo non ten a propiedade de cancelación, o homomorfismo do monoide no seu grupo de Grothendieck non é inxectivo. Máis precisamente, se , entón  e  teñen a mesma imaxe no grupo de Grothendieck, aínda que . En particular, se o monoide ten un elemento absorbente, entón o seu grupo de Grothendieck é o grupo trivial.

 Monoide inverso 
Un monoide inverso é un monoide onde para todo  en , existe un único  en  tal que  e . Se un monoide inverso é cancelativo, daqula é un grupo.

 Homomorfismos de monoides 

Un homomorfismo entre dous monoides  e  é unha función  tal que

  para todo ,  en 
 ,

onde  e  son as identidades en  e  respectivamente. Os homomorfismos monoides ás veces chámanse simplemente morfismos monoides.

Non todos os homomorfismos de semigrupos entre monoides son homomorfismos de monoides, xa que poden non mapear a identidade coa identidade do monoide obxectivo, aínda que a identidade sexa a identidade da imaxe do homomorfismo. Por exemplo, considere , o conxunto de clases de residuos módulo  equipadas coa multiplicación. En particular,  é o elemento de identidade. A función  dada por  é un homomorfismo de semigrupo, xa que  . Porén, , polo que un homomorfismo monoide é un homomorfismo de semigrupos entre monoides que mapea a identidade do primeiro monoide coa identidade do segundo monoide e a última condición non pode ser omitida.

En contraste, un homomorfismo de semigrupos entre grupos é sempre un homomorfismo de grupos, xa que necesariamente preserva a identidade (porque, no grupo obxectivo do homomorfismo, o elemento identidade é o único elemento  tal que  ).

Un homomorfismo de monoides bixectivo chámase isomorfismo de monoides. Dous monoides dise que son isomorfos se hai un isomorfismo de monoides entre eles.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 



 Outros artigos 
 Semigrupo.
 Anel (álxebra).
 Relacións de Green.

 Ligazóns externas 




Categoría:Teoría das categorías
Categoría:Álxebra abstracta
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas