Tetración

En matemáticas, a tetración (ou hiper-4) é o seguinte hiperoperador despois da potenciación, e é definida como unha potenciación iterada. A palabra provén de tetra (catro) e ción (de iteración). A tetración é usada para a notación dos números moi grandes.

 Introdución 
Para entender a tetración hai que entender a relación xerárquica que teñen a suma, a multiplicación e a exponenciación: as multiplicacións poden entenderse como sumas repetidas, a potenciación como multiplicacións repetidas e a tetración como potenciacións repetidas. Todas estas operacións repetidas forman unha xerarquía de "hiperoperacións" que consisten en repetir certo número de veces a operación do nivel inferior. Aquí preséntanse exemplos dos primeiros catro operadores, coa tetración como o primeiro hiperoperador.

 Adición

 a unidade 1 añadida a  "a"  n veces.
 Multiplicación

 a sumado n veces.
 Potenciación

 a multiplicado n veces.
 Tetración

 copias de  combinadas por exponenciación, de dereita a esquerda.

Teña en conta que os expoñentes aniñados interprétanse convencionalmente de arriba abaixo:  significa  e non 

Na tetración cada operación é definida mediante a iteración da operación previa (a seguinte operación na sucesión é a pentación). A peculiaridade da tetración entre estas operacións é que para as tres primeiras (adición, multiplicación e potenciación) poden ser xeneralizadas para valores complexos de n, mentres que para a tetración, tal xeneralización regular non está actualmente establecida; a tetración non é considerada unha función elemental.

A adición  é a operación máis básica, a multiplicación  é tamén unha operación primaria, aínda que para os números naturais pode ser pensada como a adición encadeada que implica n números a, e a potenciación  pode ser pensada como unha multiplicación encadeada que implica n números a.

Análogamente, a tetración  pode ser pensada como unha potencia encadeada con n expoñentes a. O parámetro a chámase base, mentres que o parámetro n, altura (que é enteiro na primeira aproximación, pero pódese xeneralizar a alturas fraccionais, reais e complexas)

 Definición 
Para calquera número real positivo  e un número enteiro non negativo , defínese  como:



 Exemplos de potencias iteradas contra bases iteradas/potenciación 
Como se pode ver da definición, ao avaliar a tetración, esta exprésase como unha "torre de expoñentes", a potenciación realízase no nivel máis alto primeiro para que esta sexa irreducible. Dito doutro modo:



Nótese que a potenciación non é asociativa, así que avaliar a expresión  noutra orde proporcionará unha resposta diferente ademais de incorrecta:



Simplificaríase a 2^(2^(4-1))=2^(2^3)=2^8=256, que é unha dobre exponencial.

Polo tanto, as torres exponenciais deben ser avaliadas de arriba abaixo (ou de dereita a esquerda), xa que a tetración é unha función exponencial iterada.

 Propiedades 
A tetración ten varias propiedades que son similares á potenciación, así como propiedades que son específicas da operación e que se perden ou gañan coa potenciación. Debido a que a potenciación non é conmutativa, as regras do produto e da potencia non teñen un análogo coa tetración; as afirmacións  e  non son certas para a maioría dos casos.

Pola contra, a tetración segue unha propiedade diferente, onde . Este feito vese máis claramente usando unha definición recursiva. Desta propiedade séguese que , o que permite intercambiar b e c en determinadas ecuacións. A demostración desta propiedade é a seguinte:



Cando un número x e 10 son coprimos, entón pódense computar as últimas m cifras decimais de  empregando o teorema de Euler, para calquera enteiro m. Isto é certo tamén noutras bases: por exemplo, as últimas m cifras octais de  pódense calcular cando x e 8 son coprimos.

 Xeneralizacións 
A tetración pódese xeneralizar de dúas maneiras diferentes; na ecuación , tanto a base  como a súa altura  pódense xeneralizar empregando a definición e as propiedades da tetración. Aínda que a base e a altura pódense xeneralizar máis alá dos enteiros non negativos a diferentes dominios, incluíndo , funcións complexas como , e alturas de infinito , as propiedades máis limitadas da tetración reducen a capacidade de xeneralizala.

 Base cero ou complexa 

 Base cero 
A potencia  non está definida de forma consistente. Polo tanto, as tetracións  tampouco están claramente definidas pola fórmula dada anteriormente. Pola contra,  está ben definida, e existe:



Por ende, poderíamos definir consistentemente . Isto é análogo a definir .
Baixo esta xeneralización, , polo que a regra  da definición orixinal segue vixente.

 Bases complejas 
alt=Un colorido gráfico que mostra o período facéndose moito máis grande|miniatura|Tetración por período
alt=Un colorido gráfico que mostra o escape facéndose moito máis grande|miniatura|Tetración por escape
Dado que os números complexos pódense elevar a potencias, a tetración pódese aplicar a bases da forma  (onde a e b son reais). Por exemplo, en nz con z = i, a tetrización obtense empregando a rama principal do logaritmo natural; utilizando a fórmula de Euler obtemos a relación:



Isto suxire unha definición recursiva para  dado calquera :



Isto permite encontrar os seguintes valores aproximados:
+Valores da tetración de bases complexasValor aproximado

 Xeneralizacións para diferentes alturas 

 Alturas infinitas 
alt=Un gráfico de líñas cunha rápida curva cara arriba a medida que aumenta a base|miniatura| da potencial infinitamente iterada converxe para as bases  .
alt=Una gráfica cartesiana tridimensional con un punto en el centro|miniatura|A función  no plano complexo, mostrando a función exponencial infinitamente iterada de valor real (curva negra)
A tetración pódese estender ás alturas infinitas; é dicir, para certos valores de a e n en , existe un resultado ben definido para un n infinito. Isto débese a que para bases dentro dun certo intervalo, a tetrización converxe a un valor finito a medida que a altura tende ao infinito. Por exemplo,  converxe a 2, e por tanto pódese dicir que é igual a 2. A tendencia a 2 pódese ver avaliando unha pequena torre finita:



En xeral, a pontencial infinitamente iterada , definida como o límite de  a medida que n crece a infinito, converxe para , aproximadamente o intervalo de 0.066 a 1.44, resultado demostrado por Leonhard Euler. O límite, se existe, é unha solución real positiva da ecuación 1=y = xy. Así,  1 =x = y1/y. O límite que define a exponencial infinita de x non existe cando x > e1/e porque o máximo de y1/y é e1/e. O límite tampouco existe cando 0 < x < e-e.
Isto pódese estender aos números complexos z coa definición:



onde  representa a función W de Lambert.

Como o límite 1=y = ∞x (se existe na recta real positiva, é dicir para e-e ≤ x ≤ e1/e) debe satisfacer 1=xy = y vemos que 1=x ↦ y = ∞x é (a rama inferior de) a función inversa de 1=y ↦ x = y1/y.

 Alturas negativas 
Podemos utilizar a regra recursiva da tetración,



para demostrar que :



Substituíndo -1 por  obtense

 .

Os valores negativos máis pequenos non poden ser ben definidos desta maneira. Substituíndo -2 por k na mesma ecuación obténse



que non está ben definida. Mais, ás veces pódense considerar conxuntos.

Para , calquera definición de  é consistente coa regra porque

  para calquera .

 Alturas reais 
Neste momento non existe unha solución comunmente aceptada para o problema xeral de estender a tetración aos valores reais ou complexos de n. Aínda así, existen múltiples enfoques cara esa cuestión, e a continuación esbózanse diferentes enfoques.

En xeral, o problema é encontrar, para calquera real a > 0, unha función superexponencial  sobre reais x > -2 que satisfaga



 para todo número real 

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 Daniel Geisler, tetration.org
 Ioannis Galidakis, On extending hyper4 to nonintegers (undated, 2006 or earlier) (A simpler, easier to read review of the next reference)
 Ioannis Galidakis, On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals (undated, 2006 or earlier).
 Robert Munafo, Extension of the hyper4 function to reals (An informal discussion about extending tetration to the real numbers.)
 Lode Vandevenne, Tetration of the Square Root of Two, (2004). (Attempt to extend tetration to real numbers.)
 Ioannis Galidakis, Mathematics, (Definitive list of references to tetration research. Lots of information on the Lambert W function, Riemann surfaces, and analytic continuation.)

 Joseph MacDonell, Some Critical Points of the Hyperpower Function .
 Dave L. Renfro, Web pages for infinitely iterated exponentials (Compilation of entries from questions about tetration on sci.math.)
 R. Knobel. "Exponentials Reiterated." American Mathematical Monthly 88, (1981), p. 235–252.
 Takeji Ueda. Extension of tetration to real and complex heights (2021).
 Hans Maurer. "Über die Funktion  für ganzzahliges Argument (Abundanzen)." Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4, (1901), p. 33–50. (Reference to usage of  from Knobel's paper.)
 Ripà, Marco (2011). La strana coda della serie n^n^...^n, Trento, UNI Service. ISBN 978-88-6178-789-6
 Outros artigos 
 Hiperoperación
 Pentación
 Ligazóns externas 
 Andrew Robbins' site on tetration
 Daniel Geisler's site on tetration
 Tetration Forum
 tetration at citizendium
 Gottfried Helms' site on tetration

Categoría:Aritmética