Expansión de Engel

A expansión de Engel dun número real positivo x é a única secuencia non decrecente de números enteiros positivos  tal que



Por exemplo, o número e ten unha expansión de Engel 

 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...

correspondente á serie infinita



Os números racionais teñen unha expansión de Engel finita, mentres que os números irracionais teñen unha expansión de Engel infinita. Se x é racional, a súa expansión de Engel proporciona unha representación de x como unha fracción exipcia. As expansións de Engel reciben o nome de Friedrich Engel, quen as estudou en 1913.

Unha expansión análoga a unha expansión de Engel, na que os termos alternos son negativos, chámase expansión de Pierce.

 Expansións de Engel, fraccións continuas e Fibonacci 
 observe que unha expansión de Engel tamén se pode escribir coma unha variante ascendetnte dunha fracción continua:



Afirman que as fraccións continuas ascendentes como esta foron estudadas xa no Liber Abaci de Fibonacci (1202). Esta afirmación parece referirse á notación de fracción composta de Fibonacci na que unha secuencia de numeradores e denominadores que comparten a mesma barra de fracción representa unha fracción continua ascendente:



 Algoritmo para calcular as expansións de Engel 
Para atopar a expansión de Engel de x, sexa





e



onde  é a función  teito (o número enteiro máis pequeno non inferior a r).

Se  para calquera i, remata o algoritmo.

 Exemplo 
Para atopar a expansión de Engel de 1.175, realizamos os seguintes pasos.









A serie remata aquí. Así,



e a expansión de Engel de 1.175 é (1, 6, 20).

 A expansión de Engel para progresións aritméticas 
Considere esta suma:

onde  e  . Así, en xeral

 ,

onde  representa a función gamma incompleta minúscula.

En concreto, se  ,

  .

 Expansión de Engel para potencias de q 
A identidade de Gauss do q-análogo pódese escribir como:

Usando esta identidade, podemos expresar a expansión de Engel para potencias de  do seguinte xeito:

A maiores, esta expresión pódese escribir en forma pechada como:

onde  é a segunda función theta.

 Expansións de Engel para algunhas constantes coñecidas 

  = (1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...)     

  = (1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, ...)     

  = (1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...)  
 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 
.

.
.

.
.
.
.
 Outros artigos 
 Fracción continua de Euler.
 Ligazóns externas 



Categoría:Análise matemática
Categoría:Teoría de números