Recta real estendida

En matemáticas, o sistema de números reais estendido obtense a partir do sistema de números reais  engadindo dous elementos infinitos:  e   onde os infinitos son tratados como números reais. É útil para describir a álxebra sobre infinitos e os distintos comportamentos limitantes en cálculo e análise matemática, especialmente na teoría da medida e da integración. Denotase o sistema de números reais estendidos  ou  ou  É o completamento de Dedekind–MacNeille dos números reais.

Cando o significado é claro polo contexto, o símbolo  adoita escribirse simplemente como 

Tamén está a recta real estendida proxectivamente  onde  e  non se distinguen polo que o infinito denotase só por   .

 Motivación 

 Límites 
Moitas veces é útil describir o comportamento dunha función  cando o argumento  ou o valor da función  faise "infinitamente grande" nalgún sentido. Por exemplo, considere a función  definido por



A gráfica desta función ten unha asíntota horizontal en  Xeométricamente, ao moverse cada vez máis á dereita ao longo do eixo , o valor de  achégase a . Este comportamento limitante é semellante ao límite dunha función  no que o número real  aproxima a  agás que non hai un número real ao que  se aproxime.

Ao engadir os elementos  e  a  isto permite a formulación dun "límite ao infinito", con propiedades topolóxicas similares ás de 

Para facer as cousas completamente formais, a definición de secuencias de Cauchy en  permite definir  como o conxunto de todas as secuencias  de números racionais tal que cada  está asociado cun correspondente  para o cal  para todos  A definición de  pódese construír de xeito similar.

 Medida e integración 
Na teoría da medida, adoita ser útil permitir conxuntos que teñen unha medida infinita e integrais cuxo valor pode ser infinito.

Esas medidas xorden naturalmente do cálculo. Por exemplo, ao asignar unha medida a  que concorde coa lonxitude habitual dos intervalos, esta medida debe ser maior que calquera número real finito. Ademais, ao considerar integrais impropias, como



xorde o valor "infinito". Finalmente, adoita ser útil considerar o límite dunha secuencia de funcións, por exemplo



Sen permitir que as funcións tomen valores infinitos, resultados tan esenciais como o teorema da converxencia monótona e o teorema da converxencia dominada non terían sentido.

 Operacións aritméticas 
As operacións aritméticas de  pódense estender parcialmente a  do seguinte xeito: 



As expresións  e  (chamadas formas indeterminadas ) adoitan quedar sen definir. Estas regras están modeladas nas leis de límites infinitos. Non obstante, no contexto da teoría da probabilidade ou da medida,  a miúdo defínese como 

 Varios 
Varias funcións pódense estender con continuidade a  tomando límites. Por exemplo, pódense definir os puntos extremos das seguintes funcións como:






Tamén se poden eliminar algunhas singularidades. Por exemplo, a función  pódese estender con continuidade a  (baixo algunhas definicións de continuidade), estabelecendo o valor en  para  e  para  e  Por outra banda, a función  non se pode estender con continuidade, porque a función se achega a  cando  aproxima a  dende abaixo, e  cando  aproxima a  desde arriba, é dicir, a función non converxe ao mesmo valor cando a súa variábel independente tamén se achega ao mesmo elemento do dominio tanto do lado positivo como do negativo.
 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 



 Outros artigos 
 División por cero.
 Infinito.

Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas