Inmersión (matemáticas)

En matemáticas, unha inmersión é unha función diferenciable entre variedades diferenciables cuxo pulo diferencial é inxectivo en tódalas partes.Esta definición está dada por , , , , , , , . Explicitamente,  é unha inmersión se



é unha función inxectiva en cada punto  de  (onde  denota o espazo tanxente dunha variedade  nun punto  en  ). De forma equivalente,  é unha inmersión se a súa derivada ten rango constante igual á dimensión de  : Esta definición está dada por , .



A propia función  non ten por que ser inxectiva, só debe selo a súa derivada.

Un concepto relacionado é o de mergullo. Un mergullo suave é unha inmersión inxectiva  que tamén é unha mergullo topolóxico, polo que  é difeomorfo á súa imaxe en . Unha inmersión é precisamente un mergullo local, é dicir, para calquera punto  hai unha veciñanza, , de  tal que  é un mergullo e, pola contra, un mergullo local é unha inmersión. Esta definición, baseada en difeomorfismos locais está dada por , . Para variedades de dimensións infinitas, ás veces considérase que esta é a definición dunha inmersión. Este tipo de definición para infinitas dimensións está dada por .
miniatura| Unha subvariedade inmersa inxectivamente que non é un mergullo.
Se  é compacta, unha inmersión inxectiva é un mergullo, mais se  non é compacto, as inmersións inxectivas non teñen por que ser mergullos; compare con bixeccións continuas versus homeomorfismos.

 Homotopía regular 
Unha homotopía regular entre dúas inmersións  e  dunha variedade  cara unha variedade  defínese como unha función diferenciable  tal que para todo  en  a función  definida por  para todo  é unha inmersión, con , . Unha homotopía regular é, polo tanto, unha homotopía mediante inmersións.

 Clasificación 
Hassler Whitney iniciou o estudo sistemático das inmersións e das homotopías regulares na década de 1940, demostrando que para  todo mapa  dunha variedade -dimensional cara unha variedade -dimensional é homotópico a unha inmersión, e de feito a un mergullo para ; estes son o teorema de inmersión de Whitney e o teorema do mergullo de Whitney.

Stephen Smale expresou as clases de homotopías  regulares de inmersións  como os grupos de homotopía dunha determinada variedade de Stiefel. A eversión da esfera foi unha consecuencia especialmente rechamante.

Morris Hirsch xeneralizou a expresión de Smale nunha descrición na teoría da homotopía das clases regulares de inmersións de homotopía de calquera variedade -dimensional  en calquera variedade -dimensional .

A clasificación de inmersións de Hirsch-Smale foi xeneralizada por Mikhail Gromov.

 Existencia 
miniatura| A banda de Möbius non inmersiona na codimensión 0 porque o seu fibrado tanxente non é trivial.
A obstrución principal á existencia dunha inmersión  é o fibrado normal estable de , tal e como detectan as súas clases características, especialmente as súas Clase de Stiefel-Whitney. É dicir, xa que  é paralelizable, a regresión do seu fibrado tanxente a  é trivial; xa que esta regresión é a suma directa do fibrado tanxente (definido intrínsecamente) sobre , , que ten dimensión , e do fibrado normal  da inmersión , que ten dimensión , para que exista unha codimensión  inmersión de , debe haber un fibrado vectorial de dimensión , , substituíndo ao feibrado normal , tal que  é trivial. Pola contra, dado un fibrado deste tipo, unha inmersión de  con este fibrado normal equivale a unha inmersión de codimensión 0 do espazo total deste fibrado, que é unha variedade aberta.

 Codimensión 0 
As inmersións de codimensión 0 son equivalentemente submersións de dimensión relativa 0, e pódense pensar mellor como submersións. Unha inmersión de codimensión 0 dunha variedade pechada é precisamente un mapa de cobertura, é dicir, un fibrado con fibra (discreta) de dimensión 0. Segundo o teorema de Ehresmann e o teorema de Phillips sobre as submersións, unha submersión propia de variedades é un fibrado, polo que as inmersións/submersións de codimensión/dimensión relativa 0 compórtanse como submersións.

 Puntos múltiples 
Un punto -tupla (duplo, triplo, etc.) dunha inmersión  é un conxunto non ordenado } de distintos puntos  coa mesma imaxe . Se  é unha variedade -dimensional e  é unha variedade n-dimensional daquela para unha inmersión  en posición xeral o conxunto de puntos das -tuplas é unha variedade -dimensional. Todo mergullo é unha inmersión sen múltiples puntos (onde ). Teña en conta, porén, que a inversa é falsa: hai inmersións inxectivas que non son mergullos.

A natureza dos puntos múltiples clasifica as inmersións; por exemplo, as inmersións dun círculo no plano clasifícanse ata a homotopía regular polo número de puntos duplos.

 Exemplos e propiedades 
miniatura| O  cuadrifolio, a rosa de 4 pétalos.

 Unha rosa matemática con  pétalos é unha inmersión do círculo no plano cun único punto -tupla;  pode ser calquera número impar, mais se é par debe ser múltiplo de 4, polo que a cifra 8, con , non é unha rosa.
 A botella de Klein, e todas as demais superficies pechadas non orientables, poden ser inmersas en 3-espazos mais non mergulladas.
 Polo teorema de Whitney-Graustein, as clases de homotopía regular de inmersións do círculo no plano clasifícanse polo índice, que tamén é o número de puntos duplos contados alxebricamente (é dicir, con signos).
 A eversión da esfera (esfera revirada cara a fóra): o mergullo estándar  está relacionado con  por unha homotopía regular de inmersións 
 A superficie de Boy é unha inmersión do plano proxectivo real no 3-espazo; e tamén unha inmersión 2 a 1 da esfera.
 A superficie de Morin é unha inmersión da esfera; tanto ela como a superficie de Boy xorden como modelos intermedios na eversión da esfera.

 Curvas planas inmersas 
miniatura| Esta curva ten curvatura total 6, e índice de voltas 3, aínda que só ten un índice de curva 2 sobre .
As curvas planas inmersas teñen un índice de voltas ben definido, que se pode definir como a curvatura total dividida por 2. Este valor é invariante baixo a homotopía regular polo teorema de Whitney-Graustein; topoloxicamente, é o grao do mapa de Gauss, ou equivalentemente, o índice da curva da tanxente unitaria (que non desaparece) sobre a orixe. Alén diso, son un conxunto completo de invariantes: dúas curvas planas calquera co mesmo índice topolóxico son homotópicas regulares.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 





.

.
.

 .




.

.


.
.
.

.

.
 Outros artigos 
 Mergullo (matemáticas).
 Ligazóns externas 
 Immersion  no Manifold Atlas
 Immersion of a manifold na Encyclopedia of Mathematics

Categoría:Xeometría diferencial
Categoría:Topoloxía
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas