Función aditiva

En teoría de números, unha función aditiva é unha función aritmética f(n) da variábel enteira positiva n tal que sempre que a e b son coprimos, a función aplicada ao produto ab é a suma dos valores da función aplicada a a e b:Erdös, P., and M. Kac. On the Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Functions. Proc Natl Acad Sci USA. 1939 April; 25(4): 206–207. online

 Completamente aditiva 
Unha función aditiva f(n) dise que é completamente aditiva sen se verifica   para todos os enteiros positivos a e b, aínda que non sexan coprimos. Completamente aditiva tamén se usa neste sentido por analoxía coas funcións completamente multiplicativas. Se f é unha función completamente aditiva, entón f(1) = 0.

Toda función completamente aditiva é aditiva, mais non viceversa.

 Exemplos 
Exemplos de funcións aritméticas que son completamente aditivas:

 A restrición da función logarítmica a 
 A multiplicidade dun factor primo p en n, que é o maior expoñente m para o que pm divide n.
 a0(n), a suma de números primos que divide n contando a súa multiplicidade, ás veces chamada sopfr(n), a potencia de n ou o logaritmo enteiro de n . Por exemplo:

 a0 (4) = 2 + 2 = 4.
 a0 (20) = a0(22 · 5) = 2 + 2 + 5 = 9.
 a0 (27) = 3 + 3 + 3 = 9.
 a0 (144) = a0 (24 · 3 2 ) = a0 (24) + a0 (32) = 8 + 6 = 14.
 a0 (2000) = a0 (2 4 · 5 3 ) = a0 (2 4 ) + a0 (5 3 ) = 8 + 15 = 23.
 a0 (2003) = 2003.


 A función Ω(n), definida como o número total de factores primos de n, contando múltiples factores múltiples veces, ás veces chamada "función Omega maiúsculo" . Por exemplo;

 Ω(1) = 0, xa que 1 non ten factores primos.
 Ω(4) = 2.
 Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4.
 Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3.
 Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3.
 Ω(144) = Ω(24 · 32) = Ω(24) + Ω(32) = 4 + 2 = 6.
 Ω(2000) = Ω(2 4 · 5 3 ) = Ω(24 ) + Ω(53 ) = 4 + 3 = 7.
 Ω(2001) = Ω(3·23·29)=3.
 Ω(2002) = Ω(2·7·11·13)=3.
 Ω(2003) = 1.


Exemplos de funcións aritméticas que son aditivas mais non completamente aditivas son:

 ω(n), definido como o número total de distintos factores primos de n . Por exemplo:

 ω(4) = 1.
 ω(16) = ω(24 ) = 1.
 ω(20) = ω(22 · 5) = 2.
 ω(27) = ω(33 ) = 1.
 ω(144) = ω(24 · 32 ) = ω(24 ) + ω(32 ) = 1 + 1 = 2.
 ω(2000) = ω(24 · 53) = ω(24 ) + ω(53 ) = 1 + 1 = 2.
 ω(2001) = 3.
 ω(2002) = 4.
 ω(2003) = 1.


 a1(n), a suma dos distintos números primos que dividen a n, ás veces chamado sopf(n) . Por exemplo:

 a1(1) = 0.
 a1(4) = 2.
 a1(20) = 2 + 5 = 7.
 a1(27) = 3.
 a1 (144) = a1(24 · 32) = a1(24) + a1(32) = 2 + 3 = 5.
 a1 (2000) = a1(24 · 53 ) = a1(24) + a1(53) = 2 + 5 = 7.
 a1(2001) = 55.
 a1(2002) = 33.
 a1(2003) = 2003.

 Funcións multiplicativas 
A partir de calquera función aditiva é posíbel crear unha  relacionada  que é unha función coa propiedade que sempre que  e  son coprimos daquela: 

Un destes exemplos é  Así mesmo se  é completamente aditiva, daquela  é completamente multiplicativa. De forma máis xeral, poderiamos considerar a función , onde  é unha constante real distinta de cero.

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108)  (MSC (2000) 11A25) 
 Iwaniec and Kowalski, Analytic number theory, AMS (2004). 
 Outros artigos 
 Función aritmética.
 Ecuación funcional.

 Ligazóns externas 
  Additive arithmetical functions and statistical independence Paul Erdős e Aurel Wiktker .

Categoría:Funcións
Categoría:Teoría de números