Desigualdades QM-AM-GM-HM

En matemáticas, as desigualdades QM-AM-GM-HM, tamén coñecidas como cadea de desigualdades medias, establecen a relación entre a media harmónica (HM), a media xeométrica (GM), a media aritmética (AM) e a media cadrática (QM) (tamén coñecida como raíz cadrada media). Supoñamos que  son números reais positivos. Daquela

Estas desigualdades aparecen a miúdo en concursos de matemáticas e teñen aplicacións en moitos campos da ciencia.

 Proba 
Hai tres desigualdades entre medias para demostrar. Existen varios métodos para demostrar as desigualdades, incluíndo a indución matemática, a desigualdade de Cauchy-Schwarz, os multiplicadores de Lagrange e a desigualdade de Jensen. Para outras probas de que GM ≤ AM, consulte o artigo sobre a  desigualdade AM-GM (desigualdade da media aritmética e a media xeométrica).

 Desigualdade AM-QM 
A partir da desigualdade de Cauchy-Schwarz en números reais, estabelecendo un vector cos valores , temos:


polo tanto 
. 
Para os  positivos a raíz cadrada deste dá a desigualdade.

 Desigualdade HM-GM 
O recíproco da media harmónica é a media aritmética dos recíprocos , e supera  pola desigualdade AM-GM.  implica a desigualdade:



 O caso n=2
miniatura| O semicírculo usado para visualizar as desigualdades

  para todos os  

que se pode visualizar nun semicírculo cuxo diámetro é [AB] e centro D.

Supoña AC=x1 e BC=x2. Constrúa perpendiculares a [AB] en D e C respectivamente. Una [CE] e [DF] e constrúa ademais unha perpendicular [CG] a [DF] en G. Daquela, a lonxitude de GF pódese calcular como a media harmónica, CF como a media xeométrica, DE como a media aritmética e CE como a media cadrática. As desigualdades danse logo facilmente do teorema de Pitágoras.
centro|miniatura|675x675px| Comparación de valores medios harmónicos, xeométricos, aritméticos, cadráticos e outros valores medios de dous números reais positivos  e 

 Exemplo 
Para inferir a orde correcta, as catro expresións pódense avaliar con dous números positivos.

Para  e  en particular, isto resulta en .

 Notas 

 Véxase tamén 

 Outros artigos 
 Media xeneralizada.
 Desigualdade AM-GM.
 Ligazóns externas 
The HM-GM-AM-QM Inequalities 
Useful inequalities cheat sheet meter "means" no lado dereito da páxina 1

Categoría:Álxebra
Categoría:Desigualdades