Matriz antisimétrica

En matemáticas, e máis precisamente en álxebra linear, unha matriz antisimétrica é unha matriz cadrada oposta á súa transposta. (Skew-symmetric matrix en inglés).

 Definición 
Dise que unha matriz cadrada A con coeficientes en calquera anel é antisimétrica se a súa transposta é igual á súa oposta, é dicir, se cumpre a ecuación:

 A  = – A

ou tamén, escribindoo con coeficientes da forma A = (ai,j), se:

 para todo i e j, aj,i = – ai,j.

 Exemplos 
As seguintes matrices son antisimétricas :



Ao longo de todo este artigo, asumimos que todas as entradas da matriz pertencen a un corpo  cuxa característica  é distinta de 2. É dicir, asumimos que 1 + 1 ≠ 0, onde 1 denota a identidade multiplicativa e 0 a identidade aditiva do corpo dado. Se a característica do corpo é 2, entón unha matriz antisimétrica  é o mesmo que unha matriz simétrica.

 Propiedades 

 Caracterizacións 

 A suma de dúas matrices antisimétricas é antisimétrica.
 Un múltiplo escalar dunha matriz de antisimétrica é antisimétrica.
 Os elementos da diagonal dunha matriz antisimétrica son cero e, polo tanto, a súa traza é igual a cero.
 Se  é unha matriz antisimétrica  real e  é un valor propio real, entón , é dicir, os valores propios distintos de cero dunha matriz antisimétrica  non son reais.
 Se  é unha matriz antisimétrica real, entón  é invertíbel, onde  é a matriz de identidade.
 Se  é unha matriz antisimétrica, entón  é unha matriz simétrica negativa semidefinida.

 Espazos de matrices antisimétricas 

 O espazo das matrices simétricas e o das matrices antisimétricas son suplementarios no espazo das matrices cadradas. De feito, calquera matriz cadrada descompónse de forma única do seguinte xeito:

 Cando o corpo de coeficientes é o dos reais, estes dous espazos son ortogonais se dotamos ao espazo de matrices cadradas do produto escalar, unha de cuxas expresións é precisamente  : 

 As matrices antisimétricas de tipo (n, n) forman un espazo vectorial de dimensión n(n-1)/2. A base canónica é a familia  de matrices  que teñen 1 na fila i e na columna j e –1 na fila j e na columna i.
 No caso real, este espazo vectorial é o espazo tanxente ao grupo ortogonal O(n).

 Diagonalización e descomposicións 
Calquera matriz antisimétrica real é diagonalizábel no corpo dos complexos e os seus valores propios son puros imaxinarios. De feito, se A é antisimétrica real, A é hermitiana, é dicir, autoadxunta.

De feito, as matrices antisimétricas de tipo (n, n) forman unha álxebra de Lie usando o corchete de Lie e é a álxebra de Lie asociada ao grupo de Lie O(n).

Unha matriz G é ortogonal e ten un determinante igual a 1, é dicir, é un elemento da compoñente conexa do grupo ortogonal onde se sitúa a matriz unidade, se e só se existe unha matriz antisimétrica A tal que :  

(ver o artigo " Matriz exponencial ").

 Matriz antisimétrica asociada a un vector 
Un exemplo de matriz antisimétrica 3×3 é a matriz  asociado co vector velocidade angular  (tamaño 3x1) :



onde a matriz antisimétrica  ten a forma Relation between rotation matrix and angular velocity. :


 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 



 Outros artigos 
 Teorema espectral.
 Matriz simétrica.
 Ligazóns externas 


  Fortran Fortran90

Categoría:Matrices