Función inxectiva

En matemáticas, unha función inxectiva (tamén coñecida como inxección ou función un a un) é unha función  que asigna elementos distintos do seu dominio a elementos distintos; é dicir,  implica  . (De forma equivalente,  implica  no enunciado contrapositivo equivalente.) Noutras palabras, cada elemento do codominio da función é a imaxe de  un elemento do seu dominio. O termo  non debe confundirse coa  que se refire a funcións bixectivas, que son funcións tales que cada elemento do codominio é unha imaxe de exactamente un elemento do dominio.

Un homomorfismo entre estruturas alxébricas é unha función compatíbel coas operacións das estruturas. Para todas as estruturas alxébricas comúns e, en particular para os espazos vectoriais, un homomorfismo inxectivo tamén se denomina monomorfismo. Porén, no contexto máis xeral da teoría de categorías, a definición dun monomorfismo difire da dun homomorfismo inxectivo.

Unha función  que non é inxectivo chámase ás veces moitos a un.

 Definición 
miniatura| Unha función inxectiva, que non é sobrexectiva.
Sexa  unha función cuxo dominio é un conxunto  A función  dise que é inxectiva sempre que para todos os  e  en  se  entón ; é dicir,  implica  De xeito equivalente, se  entón  no enunciado contrapositivo.

Simbólicamente,  que é loxicamente equivalente ao contrapositivo,

 Exemplos 
Para obter exemplos visuais, os lectores poden ver á sección da galería.

 Para calquera conxunto  e calquera subconxunto , o mapa de inclusión  (que envía calquera elemento  a si mesmo) é inxectivo. En particular, a función de identidade  é sempre inxectiva (e de feito bixectiva).
 Se o dominio dunha función ten un elemento (é dicir, é un conxunto unitario), entón a función é sempre inxectiva.
 A función  definida por  é inxectiva.
 A función  definida por  é  inxectiva, porque (por exemplo)  Porén, se  se redefine para que o seu dominio sexan os números reais non negativos , entón  é inxectiva.
 A función exponencial  definida por  é inxectiva (mais non sobrexectiva, xa que ningún valor real se asigna a un número negativo).
 A función logaritmo natural  definida por  é inxectiva.
 A función  definida por  non é inxectiva, xa que, por exemplo, 

Vista a función como unha gráfica, cando  e  ambos os dous son a liña real  daquela unha función inxectiva  é aquela cuxa gráfica nunca se corta máis dunha vez por ningunha liña horizontal. Este principio denomínase test da liña horizontal. 

 As inxeccións pódense desfacer (teoría das categorías) 
As funcións con inversas pola esquerda son sempre inxeccións. É dicir, dado  se hai unha función  tal que para cada , , entón  é inxectiva. Neste caso,  chámase retracción de  No outro sentido,  chámase sección de 

Viceversa, cada inxección  cun dominio non baleiro ten un inverso pola esquerdo . Pódese definir escollendo un elemento  no dominio de  e asignando  ao elemento único da preimaxe  (se non está baleiro) ou a  (noutro caso).

A inversa pola esquerda  non é necesariamente unha inversa de  non seu sentido completo, porque a composición na outra orde,  pode diferir da identidade  Noutras palabras, unha función inxectiva pódese "invertir" mediante unha inversa pola esquerda, mais non é necesariamente invertíbel, para ser invertíbel é necesario que a función sexa bixectiva.

De feito, para converter unha función inxectiva  nunha función bixectiva (polo tanto invertíbel), abonda con substituír o seu codominio  pola súa imaxe   É dicir, sexa  tal que  para todo ; entón  é bixectivo. De feito,  pódese factorizar como  onde  é a función inclusión de  en 

 Outras propiedades 
miniatura|300x300px| A composición de dúas funcións inxectivas é inxectiva.

 Se  e  son ambas as dúas inxectivas, daquela a súa composición  é inxectiva.
 Se  é inxectiva, entón  é inxectiva (mais  non ten por que sela).
  é inxectiva se e só se, dada calquera función   sempre que  daquela  Noutras palabras, as funcións inxectivas son precisamente os monomorfismos na  categoría Conxunto de conxuntos.
 Se  é inxectiva e  é un subconxunto de  entón  Así,  pódese recuperar da súa imaxe 
 Se  é inxectiva e  e  son ambos os dous subconxuntos de  entón 
 Toda función  pódese descompoñer como  para unha inxección  e unha sobrexección  adecuadas. Esta descomposición é única ata isomorfismo, e pódese considerar que  é a función inclusión do intervalo  de  como un subconxunto do codominio  de 
 Se  é unha función inxectiva, entón  ten polo menos tantos elementos como  no sentido de números cardinais. En particular, se, ademais, hai unha inxección de  a , entón  e  teñen o mesmo número cardinal. (Isto coñécese como teorema de Cantor–Bernstein–Schroeder).
 Se tanto  como  son finitos co mesmo número de elementos, entón  é inxectiva se e só se  é sobrexectiva (neste caso  é bixectiva).
 Unha función inxectiva que é un homomorfismo entre dúas estruturas alxébricas é un mergullo.
 A diferenza da sobrexectividade, que é unha relación entre a gráfica dunha función e o seu codominio, a inxectividade é unha propiedade só da gráfica da función; é dicir, se unha función  é inxectiva pódese decidir só considerando a gráfica (e non o codominio) de 

 Demostrar que as funcións son inxectivas 
Unha proba de que unha función  é inxectiva depende de como se presente a función e de que propiedades posúe a función. Para as funcións que veñen dadas por algunha fórmula hai unha idea básica. Usamos a definición de inxectividade, é dicir, que se  entón 

Aquí temos un exemplo: 

Proba: Sexa  Supoñamos  Entón  implica  o que implica  Polo tanto, da definición despréndese que  é inxectiva.

Hai moitos outros métodos para demostrar que unha función é inxectiva. Por exemplo, no cálculo se  é unha función diferenciábel definida nalgún intervalo, entón é suficiente demostrar que a derivada é sempre positiva ou sempre negativa nese intervalo. En álxebra linear, se  é unha transformación linear é suficiente demostrar que o kernel de  contén só o vector cero. Se  é unha función con dominio finito basta con mirar a lista de imaxes de cada elemento de dominio e comprobar que ningunha imaxe aparece dúas veces na lista.

 Galería 

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 , p. 17 ff.
 , p. 38 ff.

 Outros artigos 
 Bixección, inxección e sobrexección
 Espazo métrico inxectivo
 Función monótona
 Función univalente

 Ligazóns externas 

 Usos máis antigos dalgunhas das palabras das matemáticas: a entrada sobre Inxección, Sobrexección e Bixección ten a historia da Inxección e termos relacionados.
 Khan Academy – Funcións sobrexectivas (onto) e inxectivas (un-a-un): Introdución ás funcións sobrexectivas e inxectivas

Categoría:Funcións
Categoría:Teoría de conxuntos