Condición necesaria e suficiente

En lóxica e matemáticas, necesario e suficiente son termos usados para describir unha relación condicional ou implicacional entre dous enunciados. Por exemplo, no enunciado condicional: "Se  entón ",   é suficiente para , porque que  sexa verdadeiro sempre implica que  é verdadeira, mais que  non sexa verdadeira non sempre implica que  non sexa verdade, pode haber outras condicións que tamén impliquen . Por outra parte, é máis complicado de ver que   é necesario para  pois é imposíbel ter  sen , ou a falsidade de  asegura a falsidade de .

En xeral, unha condición necesaria é aquela (posiblemente unha de varias condicións) que debe estar presente para que se produza outra condición, mentres que unha condición suficiente é aquela que por si mesma produce a dita condición. A afirmación de que unha afirmación é unha condición "necesaria e suficiente" significa que a primeira afirmación é verdadeira se e só se a segunda é certa. É dicir, as dúas afirmacións deben ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas.

 Definicións 
No enunciado condicional, "se S, entón N ", a expresión representada por S chámase antecedente e a expresión representada por N denomínase consecuente. Esta declaración condicional pódese escribir de varias maneiras equivalentes, como "N se S ", "S só se N ", "S implica N ", "N está implicado por S ", ,  e "N sempre que S". 
+Táboa de verdade      T T T T T T F F T F F T T F F F F T T T

 Necesario 
dereita|miniatura|200x200px| Que o sol estea por riba do horizonte é unha condición necesaria para a luz solar directa; mais non é unha condición suficiente, xa que algo pode estar proxectando unha sombra, por exemplo, a lúa no caso dunha eclipse.
A afirmación de que Q é necesaria para P é coloquialmente equivalente a "P non pode ser verdadeira a menos que Q sexa verdadeira" ou "se Q é falsa, entón P é falsa".   Por contraposición, isto é o mesmo que "sempre que P é verdadeira, tamén o é Q ".

A relación lóxica entre P e Q exprésase como "se P, entón Q" e denotase "P ⇒ Q" ( P implica Q ). Tamén se pode expresar como "P só se Q", " Q, se P ", "Q sempre que P " e "Q cando P ". A miúdo atópanse, na prosa matemática, por exemplo, varias condicións necesarias que, tomadas en conxunto, constitúen unha condición suficiente (é dicir, necesarias individualmente e suficientes conxuntamente ).

 Suficiente 
dereita|miniatura|200x200px| Que un tren circule a tempo pode ser unha condición suficiente para chegar a tempo (se un sube ao tren e sae a tempo, entón chegará a tempo); mais non sempre é unha condición necesaria, xa que hai outras formas de viaxar (se o tren non vai a tempo, aínda se podería chegar a tempo por outros medios de transporte).
Se P é suficiente para Q, entón saber que P é verdadeira é un motivo adecuado para concluír que Q é verdadeira; porén, saber que P é falsa non satisfai unha necesidade mínima de concluír que Q é falsa.

A relación lóxica exprésase, como antes, como "se P, entón Q" ou "P ⇒ Q". Isto tamén se pode expresar como "P só se Q", "P implica Q" ou varias outras variantes. Pode darse o caso de que varias condicións suficientes, tomadas en conxunto, constitúan unha única condición necesaria (é dicir, suficiente individual e necesariamente conxuntamente)

 Relación entre necesario e suficiente 
miniatura|260x260px| Estar na rexión morada (a intersección) é suficiente para estar en A, mais non é necesario. Estar en A é necesario para estar na rexión morada (a intersección), mais non suficiente. Estar en A e estar en B é necesario e suficiente para estar na rexión morada (a intersección).
Unha condición pode ser necesaria ou suficiente sen ser a outra. Por exemplo, ser un mamífero (N) é necesario mais non suficiente para ser humano (S), tamén un número  é racional (S) é suficiente mais non necesario para que  sexa un número real (N) (xa que hai números reais que non son racionais).

Unha condición pode ser necesaria e suficiente. Por exemplo,  "hoxe é o 25 de xullo" é unha condición necesaria e suficiente para "hoxe é o Día da Galicia". Do mesmo xeito, unha condición necesaria e suficiente para a invertibilidade dunha matriz M é que M teña un determinante distinto de cero.

 Necesario e suficiente simultáneas 
Dicir que P é necesario e suficiente para Q é dicir dúas cousas:

 que P é necesario para Q, , e que P é suficiente para Q,  .
 equivalentemente, pódese entender que P e Q son necesarios para o outro, , que tamén se pode afirmar como cada un é suficiente para ou implica o outro.

Pódese resumir calquera, e polo tanto todos, estes casos coa afirmación "P se e só se Q", que se denota por , mentres que os casos dinnos iso  é idéntico a  .

En matemáticas, os teoremas adoitan expresarse na forma "P é verdadeira se e só se Q é verdade".

Podemos escribir  porque as afirmacións "P é verdadeira se e só se Q é verdadeira" e "Q é verdadeira se e só se P é verdadeira" son equivalentes.
 Notas 


 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 se e só se.
 Modus ponens.
 Modus tollens.
 Ligazóns externas 
 Tutorial web de pensamenteo crítico: Necessary and Sufficient Conditions
Simon Fraser University: Concepts with examples

Categoría:Lóxica matemática