Grupo de permutacións

En matemáticas, un grupo de permutacións é un grupo G cuxos elementos son permutacións dun conxunto M dado e cuxa operación de grupo é a composición de permutacións en G (que se consideran funcións bixectivas do conxunto M en si mesmo). O grupo de todas as permutacións dun conxunto M é o grupo simétrico de M, a miúdo escrito como Sym(M).The notations SM and SM are also used. O termo grupo de permutacións significa así un subgrupo do grupo simétrico. Se  entón Sym(M) adoita denotarse por Sn, e pódese chamar o grupo simétrico en n letras.

Segundo o teorema de Cayley, todo grupo é isomorfo a algún grupo de permutacións.

A forma en que os elementos dun grupo de permutacións permutan os elementos do conxunto chámase acción de grupo. As accións de grupo teñen aplicacións no estudo das simetrías, a combinatoria e moitas outras ramas das matemáticas, a física e a química.
miniatura| O popular crebacabezas O cubo de Rubik inventado en 1974 por Ernő Rubik utilizouse como ilustración do grupo de permutacións. Cada rotación dunha capa do cubo produce unha permutación das cores da superficie e é un membro do grupo. O grupo de permutacións do cubo chámase grupo do cubo de Rubik.

 Propiedades básicas e terminoloxía 
Un grupo de permutacións é un subgrupo dun grupo simétrico; é dicir, os seus elementos son permutacións dun conxunto dado. É polo tanto un subconxunto dun grupo simétrico que está pechado baixo composición de permutacións, contén a permutación identidade e contén a permutació inversa de cada un dos seus elementos. Unha propiedade xeral dos grupos finitos implica que un subconxunto finito non baleiro dun grupo simétrico é un grupo de permutacións se e só se está pechado baixo a composición de permutacións.

O grao dun grupo de permutacións dun conxunto finito é o número de elementos do conxunto (os elementos que permutan). A orde dun grupo (de calquera tipo) é o número de elementos (cardinalidade) do grupo. Segundo o teorema de Lagrange, a orde de calquera grupo finito de permutacións de grao n (que serían un conxunto finito das permutacións deses n elementos) debe dividir n! xa que n factorial é a orde do grupo simétrico Sn.

 Notación 
Dado que as permutacións son bixeccións dun conxunto, pódense representar mediante a notación de dúas liñas de Cauchy. Esta notación enumera cada un dos elementos de M na primeira fila e, para cada elemento, a súa imaxe mediante a permutación debaixo dela na segunda fila. Se  é unha permutación do conxunto  entón,



Por exemplo, unha permutación particular do conxunto {1, 2, 3, 4, 5} pódese escribir como


isto significa que σ satisfai σ(1) = 2, σ(2) = 5, σ(3) = 4, σ(4) = 3 e σ(5) = 1. Os elementos de M non necesitan aparecer nunha orde especial na primeira fila, polo que a mesma permutación tamén se pode escribir como



As permutacións tamén se escriben a miúdo en notación cíclicapara abreviar ou por facilidade alxébrica. de xeito que dado o conxunto M = {1, 2, 3, 4}, unha permutación g de M con g(1) = 2, g(2) = 4, g(4) = 1 e g(3) = 3 escribiranse como (1, 2, 4)(3), ou máis comunmente, (1, 2, 4) xa que 3 fica sen mudar; se os obxectos se denotan con letras ou díxitos simples, tamén se pode prescindir das comas e dos espazos, e temos unha notación do tipo (124). A permutación escrita arriba en notación de 2 liñas escribiríase en notación de ciclo como 

 Composición das permutacións (o produto do grupo) 
O produto de dúas permutacións defínese como a súa composición como funcións, polo tanto, dadas dúas permutacións, sigma e pi,  é a función que mapea calquera elemento x do conxunto con . Teña en conta que a permutación máis á dereita aplícase primeiro ao argumento, debido á forma en que se escribe a composición da función.

Algúns autores prefiren outra convención, Exemplo 1.2.2

 este artigo usa a convención onde se aplica primeiro a permutación máis na dereita.

Por exemplo, dadas as permutacións,



o produto QP é:



Digamos que:

 o 1 vai ao 2 e o 2 vai ao 4 por tanto o 1 vai ao 4.
 o 2 vai ao 4 e o 4 vai ao 2 por tanto o 2 vai ao 2.
 o 3 vai ao 1 e o 1 vai ao 5 por tanto o 3 vai ao 5.
 o 4 vai ao 3 e o 3 vai ao 3 por tanto o 4 vai ao 3.
 o 5 vai ao 5 e o 5 vai ao 1 por tanto o 5 vai ao 1.

A composición das permutacións, cando se escriben en notación de ciclo, obtense xustapoñendo as dúas permutacións (coa segunda escrita á esquerda) e simplificando despois a unha forma de ciclo disxunto se se desexa. Así, o produto anterior viría dado por:



 En Q, o 1 vai ao 5 e o 5 vai ao 1, o 2 vai ao 4 e 4 vai ao 2 e o 3 vai para o 3. 
 En P, o 1 vai ao 2, o 2 vai ao 4, o 4 vai ao 3, o 3 vai ao 1 e o 4 vai para o 4.
 En QP, o 1 vai para o 4, o 4 para o 3, o 3 para o 5, o 5 para o 1, e o 2 para o 2.

Dado que a composición da función é asociativa, tamén o é a operación do produto nas permutacións: . Polo tanto, os produtos de dúas ou máis permutacións adoitan escribirse sen engadir parénteses para expresar o agrupamento; tamén adoitan escribirse sen un punto ou outro signo para indicar a multiplicación (os puntos do exemplo anterior foron engadidos para destacar, polo que simplemente se escribirían como ).

 Elemento neutro e inversos 
A permutación identidade, que asigna cada elemento do conxunto a si mesmo, é o elemento neutro para este produto. En notación de dúas liñas, a identidade é



En notación de ciclo, e = (1)(2)(3)... ( n ) que por convención tamén se denota con só (1) ou mesmo ().

Dado que as bixeccións teñen inversas, tamén as teñen as permutacións, e por tanto a inversa σ −1 de σ tamén é unha permutación. Explicitamente, sempre que σ (x)= y tamén se ten σ −1(y)=x. Na notación de dúas liñas pódese obter a inversa trocando as dúas liñas (e ordenando as columnas se se desexa que a primeira liña estea nunha orde determinada). Por exemplo



Para obter a inversa dun único ciclo, invertimos a orde dos seus elementos. Así,



Para obter a inversa dun produto de ciclos, primeiro invertemos a orde dos ciclos e despois tomamos a inversa de cada un como se indica arriba. Así,



Tendo un produto asociativo, un elemento de identidade e inversas para todos os seus elementos, fai que o conxunto de todas as permutacións de M se converta nun grupo, Sym(M), grupo simétrico dos elementos de M, que é tamén un grupo de permutacións.

 Exemplos 
Considere o seguinte conxunto G1 de permutacións do conxunto M = {1, 2, 3, 4}:

 e = (1)(2)(3)(4) = (1)
 Esta é a identidade, a permutación que fixa cada elemento.
 a = (12)(3)(4) = (12)
 Esta permutación troca 1 e 2, e mantén 3 e 4.
 b = (1)(2)(34) = (34)
 Troca 3 e 4, e mantén 1 e 2.
 ab = (12)(34)
 Esta permutación, que é a composición das dúas anteriores, troca 1 con 2 e 3 con 4.

G1 forma un grupo, xa que aa = bb = e, ba = ab, e abab = e. Este grupo de permutacións é, como grupo abstracto, o grupo de Klein V4.

Como outro exemplo considere o grupo de simetrías dun cadrado. Sexan os vértices dun cadrado rotulados 1, 2, 3 e 4 (en sentido antihorario ao redor do cadrado comezando por 1 na esquina superior esquerda). As simetrías están determinadas polas imaxes dos vértices, que á súa vez poden ser descritas por permutacións. A rotación de 90° (en sentido antihorario) arredor do centro do cadrado descríbese mediante a permutación (1234). As rotacións de 180° e 270° veñen dadas por (13)(24) e (1432), respectivamente. A reflexión sobre a liña horizontal polo centro vén dada por (12)(34) e a reflexión da liña vertical correspondente é (14)(23). A reflexión sobre a recta 1,3−diagonal é (24) e a reflexión sobre a diagonal 2,4−é (13). A única simetría restante é a identidade (1)(2)(3)(4). Este grupo de permutación coñécese, como grupo abstracto, como o grupo diédrico de orde 8.

 Accións de grupo 
No exemplo anterior do grupo de simetría dun cadrado, as permutacións "describen" o movemento dos vértices do cadrado inducido polo grupo de simetrías. É habitual dicir que estes elementos de grupo están "actuando" sobre o conxunto de vértices do cadrado. Esta idea pódese concretar definindo formalmente unha acción de grupo.

Sexa G un grupo e M un conxunto non baleiro. Unha acción de G sobre M é unha función f : G × M → M tal que

 f (1, x) = x, para todo x en M (1 é o elemento de identidade (neutro) do grupo G), e
 f (g, f(h, x)) = f (gh, x), para todo os g, h en G e todo x en M .

Este par de condicións tamén se pode expresar dicindo que a acción induce un homomorfismo de grupos de G a Sym (M). Calquera homomorfismo deste tipo chámase representación (permutación) de G en M.

Para calquera grupo de permutacións, a acción que envía (g, x) → g (x) chámase acción natural de G sobre M. Esta é a acción que se asume a non ser que se indique o contrario. No exemplo do grupo de simetría do cadrado, a acción do grupo sobre o conxunto de vértices é a acción natural. Non obstante, este grupo tamén induce unha acción sobre o conxunto de catro triángulos do cadrado, que son: t1 = 234, t2 = 134, t3 = 124 e t4 = 123. Tamén actúa sobre as dúas diagonais: d1 = 13 e d2 = 24.
Elemento de grupo Acción sobre triángulos Acción sobre diagonais (1) (1) (1) (1234) (t1 t2 t3 t4) (d1 d2) (13)(24) (t1 t3)(t2 t4) (1) (1432) (t1 t4 t3 t2) (d1 d2) (12)(34) (t1 t2)(t3 t4 ) (d1 d2) (14)(23) (t1 t4)(t2 t3) (d1 d2) (13) (t1 t3) (1) (24) (t2 t4) (1)

 Accións transitivas 
A acción dun grupo G sobre un conxunto M dise que é transitiva se, por cada dous elementos s, t de M, hai algún elemento do grupo g tal que g(s) = t. De forma equivalente, o conxunto M forma unha única órbita baixo a acción de G.  Dos exemplos anteriores, o grupo {e, (12), (34), (12)(34)} de permutacións de {1, 2, 3, 4} non é transitivo (ningún elemento do grupo leva 1 a 3) mais o grupo de simetrías dun cadrado é transitivo nos vértices.

 Accións primitivas 
Un grupo de permutacións G que actúa transitivamente sobre un conxunto finito M non baleiro é non primitivo se hai algunha partición do conxunto non trivial de M que se conserva pola acción de G, onde "non trivial" significa que a partición non é a partición en conxuntos unitarios nin a partición cunha soa parte. En caso contrario, se G é transitivo mais non conserva ningunha partición non trivial de M, o grupo G é primitivo.

Por exemplo, o grupo de simetrías dun cadrado é non primitivo nos vértices: se están numerados 1, 2, 3, 4 en orde cíclica, entón a partición {{1, 3}, {2, 4}} en pares opostos é preservado por cada elemento do grupo. Por outra banda, o grupo simétrico completo nun conxunto M é sempre primitivo.

 Teorema de Cayley 
Calquera grupo G pode actuar sobre si mesmo (considéranse os elementos do grupo como o conxunto M) de moitas maneiras. En particular, hai unha acción regular dada pola multiplicación (esquerda) no grupo. É dicir, f(g, x) = gx para todo g e x en G. Para cada g fixo, a función fg (x) = gx é unha bixección sobre G e polo tanto unha permutación do conxunto de elementos de G. Cada elemento de G pódese pensar deste xeito como unha permutación, polo que G é isomorfo a un grupo de permutacións; este é o contido do teorema de Cayley.

Por exemplo, considere o grupo G1 que actúa sobre o conxunto {1, 2, 3, 4} indicado anteriormente. Denotémos os elementos deste grupo por e, a, b e c = ab = ba. A acción de G1 sobre si mesmo descrita no teorema de Cayley dá a seguinte representación de permutacións:

 fe ↦ (e)(a)(b)(c)
 fa ↦ (ea)(bc)
 fb ↦ (eb) (ac)
 fc ↦ (ec)(ab).

 Isomorfismos de grupos de permutacións 
Se G e H son dous grupos de permutacións en conxuntos X e Y con accións f1 e f2 respectivamente, entón dicimos que G e H son isomorfos de permutacións (ou isomorfos como grupos de permutacións) se existe un mapa bixectivo  e un isomorfismo de grupo  tal que

 λ(f1(g, x)) = f2(ψ(g), λ(x)) para todo g en G e x en X.

Se  isto equivale a que G e H se conxuguen como subgrupos de Sym(X). O caso especial onde  e ψ é o mapa identidade dá lugar ao concepto de accións equivalentes dun grupo.

No exemplo das simetrías dun cadrado dado anteriormente, a acción natural sobre o conxunto {1,2,3,4} é equivalente á acción sobre os triángulos. A bixección λ entre os conxuntos vén dada por . A acción natural do grupo G1 anterior e a súa acción sobre si mesmo (mediante a multiplicación pola esquerda) non son equivalentes xa que a acción natural ten puntos fixos e a segunda acción non.
 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 





 Outros artigos 
 Grupo 2-transitivo
 Grupo simétrico
 Grupo de Mathieu

 Ligazóns externas 

 Alexander Hulpke. GAP Data Library "Transitive Permutation Groups" .

Categoría:Teoría de grupos
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas