Triángulo isóscele

En xeometría, un triángulo isóscele é un triángulo que ten polo menos dous lados de igual lonxitude. Máis precisamente, dise que un triángulo ABC é isóscele en A cando as lonxitudes AB e AC son iguais. A é entón o vértice principal do triángulo e [BC] a súa base.

Nun triángulo isósceles, os ángulos adxacentes á base son iguais.

Un triángulo equilátero é un caso particular de triángulo isóscele, que ten os seus tres lados da mesma lonxitude.

 Etimoloxía 
A palabra "isóscele" provén do grego  que significa "mesmo" e , "pernas" (o debuxo dun triángulo isóscele pode traer á memoria as dúas patas dun debuxo dun "home").

 Propiedades 

 Os ángulos da base dun triángulo isóscele son iguais. E viceversa, calquera triángulo con dous ángulos iguais é isóscele.
 Nun triángulo isóscele ABC en A, combínanse a mediana, a altura e a mediatriz procedentes de A, así como a mediatriz da base [BC]. Esta liña é tamén un eixe de simetría do triángulo (e o único, a non ser que o triángulo sexa equilátero).
 O centro da círcunferencia circunscrita dun triángulo agudo  descompono en tres triángulos isóscele. O dun triángulo rectángulo (que é o punto medio da hipotenusa) descompono en dous triángulos isósceles.

 Fórmulas 
Nun triángulo isóscele, se denotamos  a lonxitude dos dous lados iguais e  a lonxitude da base, daquela:

 a lonxitude da altura vén dada pola fórmula :  .
 a área do triángulo é  .
 o perímetro do triángulo é  .

 Casos particulares 

 Dous triángulos planos poden considerarse isósceles cun ángulo principal de 0° ou 180°.
 O triángulo equilátero é un triángulo isóscele en cada un dos seus vértices, con ángulos de 60°.
 O triángulo rectángulo isósceles tamén se denomina medio cadrado cun ángulo principal de 90°.
 O triángulo áureo (a lonxitude do lado duplicado está na proporción do número áureo en relación á lonxitude do lado distinto),  cun ángulo principal de 36° e o gnomon áureo (cun ángulo principal de 108°) aparecen na construción do pentágono regular e nos mosaicos de Penrose.
 O triángulo isóscele cun ángulo principal de 120° está asociado ao mosaico triakis, dobre do mosaico hexagonal truncado.

 Caracterización polas lonxitudes de dúas medianas, dúas alturas ou dúas mediatrices 
Un triángulo é isóscele se e só se ten dúas medianas (segmentos) ou dúas alturas (segmentos) ou dúas mediatrices (segmentos) da mesma lonxitude.

Os sentidos directos son obvios, e os recíprocos pódense demostrar mediante as expresións das lonxitudes das cevianas dadas polo teorema de Stewart.

Para a igualdade dos segmentos procedentes de A e B, obtemos, coas notacións clásicas do triángulo :

  pola igualdade das medianas
  pola igualdade das alturas
  pola igualdade das mediatrices

que dan en cada caso  ..

Tamén atoparemos en  , unha demostración xeométrica para as bisectrices.
 Figuras en tres dimensións 

Cinco sólidos de Catalan (triaquistetraedro, triaquisoctaedro, tetraquishexaedro, pentaquisdodecaedro e triaquisicosaedro), teñen caras que son triángulos isósceles.

 Notas 


 Véxase tamén 

Bibliografía













 Outros artigos 
 Triángulo equilátero
 Triángulo rectángulo
 Ligazóns externas 
 .

Categoría:Xeometría