Traza (álxebra linear)

En álxebra linear, a traza dunha matriz cadrada , denotada como ,  defínese como a suma de elementos da diagonal principal (desde a parte superior esquerda ata a inferior dereita) de . A traza só se define para unha matriz cadrada ().

A traza está relacionada coa derivada do determinante (ver fórmula de Jacobi).

 Definición 
A traza dunha matriz cadrada , , defínese como   </ref> onde  denota a entrada na fila  e na columna  de . As entradas de  poden ser números reais, números complexos ou máis xeralmente elementos dun corpo . A traza non está definida para matrices non cadradas.

 Exemplo 
Sexa  unha matriz, con 

Logo 

 Propiedades 

 Propiedades básicas 
A traza é un aplicación linear. É dicir,   para todas as matrices cadradas  e , e todos os escalares  . 

Unha matriz e a súa transposta teñen a mesma traza:   

 Traza dun produto 
A traza dunha matriz cadrada que é o produto de dúas matrices pódese reescribir como a suma dos produtos de entrada dos seus elementos, é dicir, como a suma de todos os elementos do seu produto de Hadamard. Dito directamente, se  e  son dúas matrices , daquela: 

 Propiedade cíclica 

De forma máis xeral, a traza é invariante baixo desprazamentos circulares, é dicir,Isto coñécese como a propiedade cíclica.

Non se permiten permutacións arbitrarias: en xeral, 

 Traza dun produto Kronecker 

A traza do produto de Kronecker de dúas matrices é o produto das súas trazas: 

 Traza como suma de valores propios 
Dado calquera matriz , , temosonde   son os eigenvalores de  contados con multiplicidade. Isto é certo aínda que  sexa unha matriz real e algúns (ou todos) os valores propios sexan números complexos. Isto pódese considerar como unha consecuencia da existencia da forma canónica de Jordan, xunto coa semellanza-invarianza da traza.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 






 Outros artigos 
 Matriz (matemáticas).

 Ligazóns externas 


Categoría:Álxebra lineal