Grupo cociente

Un grupo cociente (ou grupo factor) é un grupo matemático que se obtén ao agregar elementos semellantes dun grupo maior mediante unha relación de equivalencia que preserva parte da estrutura do grupo (o resto da estrutura é "factorizada"). Por exemplo, o grupo cíclico de adición módulo n pódese obter a partir do grupo de enteiros baixo adición identificando elementos que difiren por un múltiplo de  e definir unha estrutura de grupo que opera en cada unha destas clases (coñecida como clase de congruencia) como unha única entidade. Forma parte do campo matemático coñecido como teoría de grupos.

Para unha relación de equivalencia nun grupo, a clase de equivalencia do elemento identidade é sempre un subgrupo normal do grupo orixinal, e as outras clases de equivalencia son precisamente as coclases dese subgrupo normal. O cociente resultante escríbese  onde  é o grupo orixinal e  é o subgrupo normal. Isto lese como , onde  é a abreviatura de módulo.  A notación  debe interpretarse con cautela, xa que algúns autores a utilizan con certos matices.

Gran parte da importancia dos grupos cocientes derívase da súa relación cos homomorfismos. O primeiro teorema de isomorfismo afirma que a imaxe de calquera grupo G baixo un homomorfismo é sempre isomorfa a un cociente de . En concreto, a imaxe de  baixo un homomorfismo  é isomorfo a  onde  denota o kernel de .

 Definición 

 Conceptos previos 
Dado un grupo  e un subgrupo , e un elemento fixo , pódese considerar a coclase pola esquerda correspondente: ⁠
.Non confundir con extensión de corpo que ten a mesma notación  

As coclases son unha clase natural de subconxuntos dun grupo; por exemplo, considere o grupo abeliano G de enteiros, coa operación definida pola suma habitual, e o subgrupo  de enteiros pares. Daquela hai exactamente dúas clases: , que son os enteiros pares, e , que son os enteiros impares (aquí estamos a usar a notación de suma para a operación binaria en lugar da notación multiplicativa).

Para un subgrupo , é desexable definir unha operación de grupo compatible no conxunto de todas as coclases posibles ⁠
. Isto é posible exactamente cando  é un subgrupo normal. Un subgrupo  dun grupo  é normal se e só se se cumpre a igualdade de coclases  para todo . Un subgrupo normal de  denótase .

 Definición 
Sexa   un subgrupo normal dun grupo . Definimos o conxunto  como o conxunto de todas as coclases esquerdas de  en . É dicir .

Dado que o elemento neutro , . Definimos unha operación binaria no conxunto de coclases, , como segue. Para cada  e  en , o produto de  e , , é . Isto só funciona porque  non depende da escolla dos representantes,  e , de cada coclase esquerda,  e . Para demostralo, supoña que  e  para algúns . Daquela

Isto é debido a que  é un subgrupo normal. Aínda fica por demostrar que esta condición non só é suficiente senón necesaria para definir a operación en .

Para demostrar que é necesaria, considérase que para un subgrupo  de  temos que a operación está ben definida. É dicir, para todos os  e , con .

Sexa  e . Posto que  temos

Agora, ,   

De aí que  é un subgrupo normal de .

Tamén se pode comprobar que esta operación  en  é sempre asociativa,  ten elemento identidade  e a inversa do elemento  sempre pode ser representado por . Polo tanto, o conxunto  xunto coa operación definida por  forma un grupo, o grupo cociente de  por .

Debido a ser  normal, as coclases esquerda e dereita de  en  son iguais, e así,  podería terse definido como o conxunto de coclases dereitas de  en .

 Exemplo: adición módulo 6 
Por exemplo, considere o grupo coa operación de suma para os enteiros módulo 6: . Considere o subconxunto , que é normal porque  é abeliano. Daquela o conxunto de coclases (esquerdas) é de tamaño tres:



A operación binaria definida anteriormente converte este conxunto nun grupo, coñecido como grupo cociente, que neste caso é isomorfo ao grupo cíclico de orde 3.

Podemos ver que o grupo orixinal deste exemplo xa se podía estabelecer como o grupo cociente dos enteiros módulo 6, escrito como , por tanto neste exemplo vemos un grupo cociente doutro grupo cociente.

 Exemplos 

 Restos da división enteira 
Considere  o grupo de enteiros  baixo a suma. Sexa  calquera número enteiro positivo. Consideraremos o subgrupo  de  composto por todos os múltiplos de . Unha vez mais  é normal en  porque  é abeliano. As coclases son a colección . Un número enteiro  pertence á clase  onde  é o resto de dividir  por . O cociente  pódese pensar como o grupo de "restos" módulo . Este é un grupo cíclico de orde .

 Raíces enteiras complexas de 1 
dereita|miniatura| As coclases das raíces cuartas da unidade N dentro das raíces duodécimas da unidade G. .
As raíces duodécimas da unidade, que son puntos do círculo unitario complexo, forman un grupo abeliano multiplicativo , que se mostra na imaxe da dereita como bólas de cores co número en cada punto que dá o seu argumento complexo. Considere o seu subgrupo  feito das raíces cuartas da unidade, mostradas como bólas vermellas. Este subgrupo normal divide o grupo en tres coclases, mostradas en vermello, verde e azul. Pódese comprobar que as coclases forman un grupo de tres elementos (o produto dun elemento vermello cun elemento azul é azul, o inverso dun elemento azul é verde, etc.). Así, o grupo cociente  é o grupo de tres cores, que resulta ser o grupo cíclico con tres elementos.

 Números reais módulo os enteiros 
Considere o grupo de números reais  baixo adición e o subgrupo  de enteiros. Cada coclase de  en  é un conxunto da forma  onde  é un número real. Posto que   e  son conxuntos idénticos cando as partes non enteiras de  e  son iguais, pódese impoñer a restrición  sen mudar o significado. 

A suma destes grupos realízase sumando os números reais correspondentes e restando 1 se o resultado é maior ou igual a 1. O grupo cociente  é isomorfo ao grupo circular, o grupo de números complexos de valor absoluto 1 baixo multiplicación, ou en consecuencia, ao grupo de rotacións en 2D sobre a orixe, é dicir, o grupo ortogonal especial . Un isomorfismo vén dado por  (ver a identidade de Euler).

 Matrices de números reais 
Se  é o grupo de matrices reais  invertibles, e  é o subgrupo de matrices  reais con determinante igual a 1, daquela  é normal en  (xa que é o kernel do homomorfismo do determinante). As coclases de  son os conxuntos de matrices cun determinado determinante e, polo tanto,  é isomorfo ao grupo multiplicativo de números reais distintos de cero. O grupo  coñécese como grupo linear especial . Podemos escribrir 

Se denotamos os representantes de cada coclase cunha raia superior, para os , temos que  é a coclase  e podemos denotar como  o valor do determinante de . Con esta notación, as matrices de tipo , son os  representantes únicos de cada coclase, isto é, en cada coclase os seus elementos teñen o mesmo valor de determinante igual a , e podemos escribir . 

Podemos ver que ese  é único. Se tivesemos dous representantes diferentes: , daquela , con  e tomando determinantes en ambos os lados implica .

Con eses representantes a operación de grupo sería   que é o mesmo, con outra aparencia, que a multiplicación no grupo . Isto mostra o isomorfismo, declarado no primeiro parágrafo do exemplo, entre o grupo cociente  e o grupo multiplicativo de números reais 

 Propiedades 
O grupo cociente  é isomorfo ao grupo trivial (o grupo cun elemento) e  é isomorfo a .

A orde de , que por definición é o número de elementos, é igual a , o índice de  en . Se  é finito, o índice tamén é igual á orde de  dividido pola orde de . O conxunto  pode ser finito, aínda que ambos os dous  e  sexan infinitos (por exemplo,  ).

Hai un homomorfismo de grupos sobrexectivo "natural"  enviando cada elemento  de  á coclase de  a que pertence , é dicir: . O mapa  ás veces chámase a proxección canónica de  sobre . O seu kernel é .

Hai unha correspondencia bixectiva entre os subgrupos de  que conteñen  e os subgrupos de . Se  é un subgrupo de  que contén , daquela o subgrupo correspondente de  é . Esta correspondencia cúmprese para os subgrupos normais de  e tamén , e formalízase no teorema da correspondencia.

Varias propiedades importantes dos grupos cocientes están recollidas no teorema fundamental dos homomorfismos e nos teoremas do isomorfismo.

Se  é abeliano, nilpotente, solúbel, cíclico ou xerado finitamente, logo tamén o é .

Se  é un subgrupo nun grupo finito  e a orde de  é a metade da orde de  entón  está garantido que é un subgrupo normal, polo tanto  existe e é isomorfo a . Este resultado tamén se pode indicar como "calquera subgrupo do índice 2 é normal", e nesta forma aplícase tamén a grupos infinitos. Ademais, se  é o número primo máis pequeno que divide a orde dun grupo finito , daquela se  ten orde  , temos que  debe ser un subgrupo normal de  .

Dado  e un subgrupo normal , entón  é unha extensión de grupo de  por . Poderíase preguntar se esta extensión é trivial ou subdividida (split); noutras palabras, pódese preguntar se  é un produto directo ou un produto semidirecto de  e . Este é un caso especial do problema da extensión. Un exemplo onde a extensión non está subdividida é o seguinte: Sexa  e , que é isomorfo a . Entón  tamén é isomorfo a . Pero  só ten o automorfismo trivial, polo que o único produto semidirecto de  e é o produto directo. Como  é diferente de , chegamos á conclusión de que  non é un produto semidirecto de  e .

 Cocientes dos grupos de Lie 
Se  é un grupo de Lie  e  é un subgrupo de Lie normal e pechado (no sentido topolóxico e non alxébrico da palabra) de , daquela o cociente  tamén é un grupo de Lie. Neste caso, o grupo orixinal  ten a estrutura dun fibrado (especificamente, un fibrado N-principal), con espazo base  e fibra . A dimensión de  é igual a .John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Second Edition, theorem 21.17

Teña en conta que a condición de que  sexa pechado é necesaria. En efecto, se  non é pechado, entón o espazo cociente non é un espazo T1 (xa que hai unha coclase no cociente que non se pode separar da identidade por un conxunto aberto), e polo tanto non é un espazo de Hausdorff.

Para un subgrupo de Lie non normal , o espazo  de coclases pola esquerda non é un grupo, senón simplemente unha variedade diferenciable na que actúa . O resultado coñécese como espazo homoxéneo.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografia 


 Outros artigos 
 Subgrupo normal
 Coclase
 Extensión de grupo
 Categoría cociente
 Secuencia exacta

 Ligazóns externas 
 Brilliant Math & Science Wiki: grupo cociente.
 Mathematics LibreTexts: grupo cociente

Categoría:Álxebra abstracta
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Teoría de grupos