Índice dun subgrupo

En matemáticas, especificamente na teoría de grupos, o índice dun subgrupo H nun grupo G é o número de coclases esquerdas de H en G, ou equivalentemente, o número de coclases dereitas de H en G. Indícase o índice como  ou  ou . Debido a que G é a unión disxunta das coclases esquerdas e porque cada coclase esquerda ten o mesmo tamaño que H, o índice está relacionado coas ordes dos dous grupos mediante a fórmula



(interprete as cantidades como números cardinais se algunhas delas son infinitas). Así o índice  mide os "tamaños relativos" de G e H.

Por exemplo, sexa  o grupo de enteiros baixo a suma, e sexa  o subgrupo formado polos enteiros pares. Daquela  ten dúas coclases en , é dicir, o conxunto de enteiros pares e o conxunto de enteiros impares, polo que o índice  é 2. De forma máis xeral,  para calquera número enteiro positivo n.

Cando G é finito, a fórmula pódese escribir como , e implica o teorema de Lagrange que  divide a .

Cando G é infinito,  é un número cardinal distinto de cero que pode ser finito ou infinito. Por exemplo, , mais  é infinito.

Se N é un subgrupo normal de G, entón  é igual á orde do grupo cociente , xa que o conxunto subxacente de  é o conxunto de coclases de N en G.

 Propiedades 

 Se H é un subgrupo de G e K é un subgrupo de H, daquela



 Se H e K son subgrupos de G, daquela


 con igualdade se  . (Se  é finito, entón a igualdade vale se e só se ).

 De forma equivalente, se H e K son subgrupos de G, daquela


 con igualdade se  . (Se  é finito, entón a igualdade vale se e só se ).

 Se G e H son grupos e  é un homomorfismo, daquela o índice do kernel de  en G é igual á orde da imaxe:



 Sexa G un grupo que actúa sobre un conxunto X, e sexa x ∈ X. Entón a cardinalidade da órbita de x baixo G é igual ao índice do estabilizador de x:


 Isto coñécese como o teorema órbita-estabilizador.

 Como caso especial do teorema do estabilizador de órbita, o número de conxugados  dun elemento  é igual ao índice do centralizador de x en G.
 Do mesmo xeito, o número de conxugados  dun subgrupo H en G é igual ao índice do normalizador de H en G .
 Se H é un subgrupo de G, o índice do corazón normal de H satisfai a seguinte desigualdade:


 onde ! denota a función factorial.
 Como corolario, se o índice de H en G é 2, ou para un grupo finito o primo máis baixo p que divide a orde de G, entón H é normal, xa que o índice do seu corazón tamén debe ser p e, polo tanto, H é igual ao seu corazón, é dicir, é normal.
 Teña en conta que é posible que non exista un subgrupo do índice primo máis baixo, como en calquera grupo simple de orde non prima ou, de xeito máis xeral, en calquera grupo perfecto .

 Exemplos 

 O grupo alterno  ten índice 2 no grupo simétrico  e por tanto é normal.
 O grupo ortogonal especial  ten índice 2 no grupo ortogonal , e por tanto é normal.
 O grupo abeliano libre  ten tres subgrupos de índice 2, a saber

  .

 En xeral, se p é primo, entón  ten  subgrupos de índice p, correspondentes aos  homomorfismos non triviais  .[ cita necesaria ]
 Do mesmo xeito, o grupo libre  ten  subgrupos do índice p.
 O grupo diédrico infinito ten un subgrupo cíclico de índice 2, que é necesariamente normal.

 Índice infinito 
Se H ten un número infinito de coclases en G, daquela dise que o índice de H en G é infinito. Neste caso, o índice  é en realidade un número cardinal. Por exemplo, o índice de H en G pode ser contábel ou incontábel, dependendo de se H ten un número contábel de coclases en G. Teña en conta que o índice de H é como máximo a orde de G, que acontece para o subgrupo trivial, ou de feito calquera subgrupo H de cardinalidade infinita menor que a de G.

 Índice finito 
Un subgrupo H de índice finito nun grupo G (finito ou infinito) sempre contén un subgrupo normal N (de G), tamén de índice finito. De feito, se H ten índice n, entón o índice de N será algún divisor de n! e un múltiplo de n; de feito, N pódese tomar como o núcleo do homomorfismo natural de G no grupo de permutacións das coclases esquerdas (ou dereitas) de H 

O índice do subgrupo normal non só ten que ser un divisor de n!, tamén debe satisfacer outros criterios. Dado que o subgrupo normal é un subgrupo de H, o seu índice en G debe ser n veces o seu índice dentro de H . O seu índice en G tamén debe corresponder a un subgrupo do grupo simétrico S, o grupo de permutacións de n obxectos. Así, por exemplo, se n é 5, o índice non pode ser 15 aínda que isto divida 5! , porque non hai un subgrupo de orde 15 en S.

Unha proba alternativa do resultado de que un subgrupo de índice primo p inferior é normal, e outras propiedades dos subgrupos de índice primo danse en  .

 Exemplos 
O grupo O de simetría octaédrica quiral ten 24 elementos. Ten un subgrupo D4 diédrico (de feito ten tres) de orde 8, e polo tanto de índice 3 en O, que chamaremos H. Este grupo diédrico ten un subgrupo D2 de 4 membros, que podemos chamar A. Multiplicando pola dereita calquera elemento dunha coclase dereita de H por un elemento de A dá un membro da mesma coclase de H (Hca = Hc). A é normal en O. Hai seis coclases de A, correspondentes aos seis elementos do grupo simétrico S3. Todos os elementos de calquera coclase particular de A realizan a mesma permutación das coclases de H.

Por outra banda, o grupo Th de simetría piritoédrica tamén ten 24 membros e un subgrupo de índice 3 (nesta vez é un grupo de simetría prismática D2h, ver grupos de puntos en tres dimensións), mais neste caso todo o subgrupo é un subgrupo normal. Todos os membros dunha determinada coclase realizan a mesma permutación destas coclases, mais neste caso representan só o grupo alternado de 3 elementos no grupo simétrico S3 de 6 membros.

 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Orde (teoría de grupos)
 Ligazóns externas 

 "Subgroup of least prime index is normal" at Groupprops, The Group Properties Wiki

Categoría:Teoría de grupos