Elemento primo

En matemáticas, especificamente en álxebra abstracta, un elemento primo dun anel conmutativo é un obxecto que satisfai certas propiedades similares aos números primos dos enteiros e aos polinomios irredutíbeis. Débese ter coidado de distinguir os elementos primos dos elementos irreducíbeis, un concepto que é o mesmo nos UFD mas non o mesmo en xeral.

 Definición 
Un elemento  dun anel conmutativo  dise que é primo se non é o elemento cero ou unha unidade e sempre que  divide  para algúns  e  en , entón  divide  ou  divide . Con esta definición, o lema de Euclides é a afirmación de que os números primos son elementos primos no anel de enteiros. De forma equivalente, un elemento  é primo se, e só se, o ideal principal  xerado por  é un ideal primo distinto de cero. (Teña en conta que nun dominio de integridade, o ideal  é un ideal primo, mais  é unha excepción na definición de "elemento primo".)

Ser primo está relacionado con en que anel se considera que está un elemento. Por exemplo, 2 é un elemento primo en  mais non está en , o anel dos enteiros gaussianos, xa que  e 2 non divide ningún factor no lado dereito da igualdade.

 Conexión cos ideais primos 
Un ideal  no anel  (con unidade) é un primo se o anel factor  é un dominio de integridade.

Nun dominio de integridade, un ideal principal distinto de cero é primo se e só se é xerado por un elemento primo.

Un elemento  nun anel  é un elemento primo se xera un ideal primo. Se  é conmutativo, isto equivale a dicir que para todos os , se  divide a ,
daquela  divide  ou  divide .

 Elementos irreducíbeis 

Os elementos primos non deben confundirse cos elementos irreducíbeis. Nun dominio de integridade, todo primo é irreducíbel mais o recíproco non é certo en xeral. No entanto, en dominios de factorización única,  ou máis xeralmente en dominios GCD, os primos e os irreducíbeis son iguais.

 Exemplos 
Os seguintes son exemplos de elementos primos en aneis:

 Os enteiros , , , , , ... no anel de enteiros 
 os números complexos ,  e  no anel de enteiros gaussianos 
 os polinomios  e  en , o anel de polinomios sobre  .
 2 no anel cociente 
  é primo mais non irreducíbel no anel 
 No anel  de pares de enteiros,  é primo mais non irreducíbel (temos  ).
 No anel dos enteiros alxébricos  o elemento  é irreducíbel mais non primo (pois 3 divide  e 3 non divide ningún factor do lado dereito da igualdade).
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
Section III.3 of 

 Outros artigos 
 Ideal primo.
 Anel (álxebra).
 Ligazóns externas 
 Prime element MathWorld.
  Prime element PlanetMath.

Categoría:Teoría de aneis