Medida (matemáticas)

Informalmente, unha propiedade da medida é ser monótona no sentido de que se  é un subconxunto de  a medida de  é  menor ou igual que a medida de  

A maiores, a medida do conxunto baleiro debe ser 0.
En matemáticas, o concepto de medida é a xeneralización e formalización das medidas xeométricas e outras nocións como a probabilidade dos sucesos aleatorios. A medida é un concepto fundamental en teoría da medida e teoría da probabilidade.

Intuitivamente, a medida dun conxunto ou subconxunto é similar á noción de tamaño. Neste sentido, a medición é unha xeneralización dos conceptos de lonxitude,área e volume en espazos de dimensión 1, 2 ou 3 respectivamente.

O estudo de espazos con medidas é o tema da teoría da medida.
 Definición 

Sexa  un conxunto e  unha -álxebra de conxuntos de . Dada unha aplicación  (ver: recta real estendida), diremos que é unha medida en   se satisfai as seguintes propiedades:


 Dado un conxunto numerable  con elementos disxuntos dous a dous, isto é, con  para , entón a medida da unión coincide coa suma das medidas, é dicir, 

Chamamos espazo de medida á terna .

 Propiedades das medidas 
Dado un espazo de medida  temos que

 Dados  con , temos que a medida respeta a orde de contidos, isto é, . Se, ademais, , temos que . 
 Dados , temos que .
 Dada  unha colección finita de conxuntos, temos que  (Subaditividade finita).
 Dada  unha colección numerable de conxuntos non necesariamente disxuntos, temos que  (Subaditividade numerable).

 Exemplos de medidas 

 Se  e consideramos a -álxebra , podemos definir a medida dun conxunto  como o cardinal deste conxunto , isto é, o número de elementos de  se este é finito ou infinito en caso contrario.
 Chamamos medida exterior dun subconxunto  como  
 A esta medida chamámola medida de Lebesgue en  cando a definimos sobre o espazo medible , onde  é a -álxebra de Lebesgue.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 








 Outros artigos 
 Función medible
 Espazo medíbel
 Espazo de medida
 Teoría da probabilidade
 Integral de Lebesgue
 Ligazóns externas 
 Mathworld: Medida.

Categoría:Teoría da medida