Matriz adxunta

Na terminoloxía matemática moderna, o nome de matriz adxunta é usado para a matriz transposta conxugada.

Dada unha matriz cadrada A, a súa matriz adxunta é a trasposta da matriz cofactor cof(A). É o resultado de substituír cada termo aij de A polo cofactor aji de A. 

O termo matriz adxunta adj(A) adoita crear confusión, xa que en moitos tratados clásicos de álxebra linear correspóndese coa matriz cofactor transposta,    porén, noutros textos, correspóndese coa matriz cofactor, xa que chaman do mesmo xeito adxunto ao cofactor.   A maiores, o símbolo adj( ) (do inglés adjugate) tamén se usa indistintamente con cof( ) para o cálculo nos elementos dunha matriz, provocando así unha maior confusión cada vez.Neste artigo vaise usar a terminoloxía matriz Adxunta como adj(A)=cof(A)T.

O principal interese da matriz adxunta é que permite calcular a inversa dunha matriz, xa que se cumpre a relación:onde adj(A) corresponde á matriz cofactor transposta, é dicir,

 .

No entanto, para matrices de grandes dimensións, este tipo de cálculo ten máis custo, en termos de operacións, que outros métodos como o método de eliminación gaussiana.

 Definición e fórmulas de cálculo 
Dada unha matriz  a súa matriz adxunta é a única matriz  tal que: Philippe G. Ciarlet: Mathematical Elasticity, North Holland, 1993, p. 4Dados os compoñentes explícitos da matriz:  para cada i e j defínese a matriz  como a matriz de orde  obtida de  eliminando a fila i e a columna j. E defínese a cantidade:E resulta que estas son precisamente as compoñentes da matriz de adxuntos (ou cofactores), é dicir, 

 Matrices 2 x 2 
Dada unha matriz 2 x 2:A súa matriz adxunta vén dada por:onde C é a matriz cofactor.

 Matrices 3 x 3 
A súa matriz de cofactores vén dada por:e polo tanto a transposición da matriz cofactor é a matriz adxunta:

 Exemplo 
Un exemplo sería o seguinte:



 Propiedades 
Dada unha matriz  definindo  Pódese demostrar que os  pódense escribir como a suma de monomios de grao n nas compoñentes . Isto fai que o cálculo da matriz adxunta mediante a aplicación de fórmulas directas sexa complicado a medida que n aumenta, resultando computacionalmente moito custoso.

Se consideramos a operación de atopar a matriz adxunta como unha función:  resulta que esa función é continua. Isto pódese ver pola continuidade da función determinante. A maiores, ten outras propiedades interesantes:




  para  .
  para  .
  para  .
  para  .
  .

Se p (t) = det(A − t I) é o polinomio característico de A e definimos o polinomio q(t) = (p(0) − p (t))/t, entón:Onde  son os coeficientes de p(t):A función adxunta tamén aparece na fórmula para a derivada do determinante: Philippe G. Ciarlet, 1993,

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
  Roger A. Horn and Charles R. Johnson (2013), Matrix Analysis, Second Edition. Cambridge University Press, 
  Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, 

 Outros artigos 
 Matriz invertíbel.

 Ligazóns externas 
 Matrix Reference Manual
Online matrix calculator (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)  Compute Adjugate matrix up to order 8


Categoría:Matrices