Función primitiva

En cálculo, unha función primitiva, integral indefinida, antiderivada, derivada inversa,ou integral primitiva dunha función  é unha función diferenciable  cuxa derivada é igual á función orixinal  . Isto pódese indicar simbolicamente como . O proceso de resolución de antiderivadas chámase integración indefinida (ou antidiferenciación), e a súa operación contraria chámase diferenciación, que é o proceso de atopar unha derivada. As antiderivadas adoitan denotarse con letras romanas maiúsculas como  e .

As funcións primitivas están relacionadas coas integrais definidas a través do segundo teorema fundamental do cálculo: a integral definida dunha función nun intervalo pechado onde a función é integrable de Riemann é igual á diferenza entre os valores dunha antiderivada avaliada nos extremos do intervalo.

 Exemplos 
A función  é unha antiderivada de , xa que a derivada de  é . Como a derivada dunha constante é cero,  terá un número infinito de antiderivadas, como , etc. Así, todos os antiderivados de  pódese obter cambiando o valor de  in , onde  é unha constante arbitraria coñecida como constante de integración. Esencialmente, os gráficos de antiderivadas dunha función dada son translacións verticais entre si, coa localización vertical de cada gráfico dependendo do valor  

Máis xeralmente, a función  ten antiderivada  se  e  se  .

 Usos e propiedades 
As funcións primitivas pódense usar para calcular integrais definidas, usando o teorema fundamental do cálculo: se  é unha antiderivada da función continua  sobre o intervalo , logo: 

Hai moitas funcións cuxas antiderivadas, aínda que existen, non se poden expresar en funcións elementais (como polinomios, funcións exponenciais, logaritmos, funcións trigonométricas, funcións trigonométricas inversas e as súas combinacións). Exemplos destas son

 Técnicas de integración 
Buscar funcións primitivas de funcións elementais adoita ser considerablemente máis difícil que atopar as súas derivadas (de feito, non hai un método predefinido para calcular integrais indefinidas). Para algunhas funcións elementais, é imposible atopar unha antiderivada en termos doutras funcións elementais. 

Existen moitas propiedades e técnicas para atopar funcións primitivas. Estas inclúen, entre outras:

 A linearidade da integración (que divide as integrais complicadas en outras máis sinxelas)
 Integración por substitución, moitas veces combinada con identidades trigonométricas ou o logaritmo neperiano
 O método da regra da cadea inversa (un caso especial de integración por substitución)
 Integración por partes (para integrar produtos de funcións)
 Integración de funcións inversas (fórmula que expresa a función primitiva da inversa  dunha función inversa e continua , en termos da antiderivada de  e de ).
 O método das fraccións parciais en integración (que nos permite integrar todas as funcións racionais: fraccións de dous polinomios)
 O algoritmo de Risch
 Técnicas adicionais para integracións múltiples (ver, por exemplo , as integrais dobres, as coordenadas polares, o jacobiano e o teorema de Stokes)
 Integración numérica (unha técnica para aproximar unha integral definida cando non existe ningunha función primitiva elemental, como no caso de .)
 Manipulación alxébrica do integrando (para que se poidan utilizar outras técnicas de integración, como a integración por substitución)
 Fórmula de Cauchy para integracións sucesivas (para calcular a antiderivada  veces dunha función) 

Os sistemas alxébricos computacionais (CAS) poden usarse para automatizar parte ou todo o traballo implicado nas técnicas simbólicas anteriores, o que é particularmente útil cando as manipulacións alxébricas implicadas son moi complexas ou longas. As integrais que xa foron derivadas pódense buscar nunha táboa de integrais.

 Funcións non continuas 
As funcións non continuas poden ter antiderivadas. Aínda hai preguntas abertas nesta área, mais sábese que:

 Algunhas funcións altamente patolóxicas con grandes conxuntos de descontinuidades poden ter antiderivadas. Unhas poderán ser resolvidas mediante integración de Riemann e outras non.

Asumindo que os dominios das funcións son intervalos abertos:

 Unha condición necesaria, mais non suficiente, para que unha función  teña unha antiderivada é que  teña a propiedade do valor intermedio. É dicir, se  é un subintervalo do dominio de  e  é calquera número real entre  e , entón existe un  entre  e  tal que . Esta é unha consecuencia do teorema de Darboux.
 O conxunto de descontinuidades de  debe ser un conxunto magro. Este conxunto tamén debe ser un conxunto F-sigma. 
 Se   ten unha antiderivada, está limitada a subintervalos finitos pechados do dominio e ten un conxunto de descontinuidades de medida de Lebesgue 0, entón pódese atopar unha antiderivada por integración no sentido de Lebesgue. De feito, usando integrais máis potentes como a integral de Henstock–Kurzweil, cada función para a que existe unha antiderivada é integrable e a súa integral xeral coincide coa súa antiderivada.
 Se  ten unha antiderivada  nun intervalo pechado , entón para calquera opción de partición  se se escolle puntos de mostra  segundo o especificado polo teorema do valor medio, entón a suma de Riemann correspondentes pode usar unha serie telescópica con resultado  .  Non obstante, se  non está limitada, ou se  está limiada mais o conxunto de descontinuidades de  ten unha medida de Lebesgue positiva, unha elección diferente de puntos de mostra  pode dar un valor significativamente diferente para a suma de Riemann, por moi fina que sexa a partición. Vexa o exemplo 4 a continuación.

 Algúns exemplos 

1. A función

con  é descontinua en   mais ten a antiderivada

con . Posto que  está limitada en intervalos finitos pechados e só é descontinua en 0, a antiderivada  pode obterse por integración: .
2. A función

con  non é continua en  mais ten a antiderivada

con . Pola contra do Exemplo 1,  non está limitada en ningún intervalo que  conteña 0, por tanto a integral de Riemann fica indefinida.

3. Se  é a function do Exemplo 1 e  é a súa antiderivada, e  é un subconxunto numerable denso do intervalo aberto  daquela a función

ten a antiderivada

O conxunto de descontinuidades de  é precisamente o conxunto . Dado que  está limitada a intervalos finitos pechados e o conxunto de descontinuidades ten medida 0, a antiderivada  pódese atopar por integración.

4. Sexa  un subconxunto numerábel denso do intervalo aberto Considere a función crecente continua en todas partes

Pódese demostrar que

125px|right|thumb|Figura 1.

para todos os valores  onde a serie converxe, e que a gráfica de  ten liñas tanxentes verticais en todos os demais valores de . En particular, a gráfica ten liñas tanxentes verticais en todos os puntos do conxunto .

Alén diso,  para todos os  onde se define a derivada. De aquí temos que a función inversa  é diferenciable en todas as partes e que

para todos os  no conxunto  que é denso no intervalo  Así  ten unha antiderivada . 

Por outra parte, non pode ser verdade que

posto que para calquera partición de , podemos escoller puntos para os que a suma de Riemann do conxunto , dan un valor 0 para a suma. 
Con todo isto temos que  ten un conxunto de descontinuidades con medida positiva de Lebesgue.

A Figura 1 da dereita mostra unha aproximación á gráfica de  onde  e a serie está truncada a 8 termos. A Figura 2 mostra a gráfica dunha aproximación á antiderivada , tamén truncada a 8 termos. Por outra banda, se a integral de Riemann é substituída pola integral de Lebesgue, daquela o lema de Fatou ou o teorema da converxencia dominada mostran que  satisfai o teorema fundamental do cálculo nese contexto.

5. Nos Exemplos 3 e 4, os conxuntos de descontinuidades das funcións  son densos só nun intervalo aberto finito  No entanto, estes exemplos poden modificarse facilmente para ter conxuntos de descontinuidades que son densos en toda a liña real . Sexa

Daquela  ten un conxunto denso de descontinuidades en  e ten antiderivadas 

6. Usando un método similar ao do Exemplo 5, pódese modificar  no exemplo 4 para eliminar todos os números racionais. Se se usa unha versión inxenua da integral de Riemann definida como o límite das sumas de Riemann á esquerda ou á dereita sobre particións regulares, obterase que a integral de tal función  nun intervalo  é 0 sempre que  e  sexan racionais, en lugar de . Así, o teorema fundamental do cálculo fallará.

7. Unha función que ten unha antiderivada aínda pode non ser integrable de Riemann.  A derivada da Función de Volterra é un exemplo.

 Fórmulas básicas 

 Se , daquela.















 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (ver also)
 Historical Essay On Continuity Of Derivatives de Dave L. Renfro
 Outros artigos 
 Antiderivada (análise complexa)
 Integral de Jackson
 Listas de integrais
 Integración simbólica
 Área
 Integral de Riemann
 Integral de Lebesgue
 Ligazóns externas 
 Wolfram Integrator — Integración simbólica online gratuíta co software de Mathematica
 Function Calculator de WIMS
 Integral at HyperPhysics
 Antiderivatives and indefinite integrals na Khan Academy
 Integral calculator en Symbolab
 The Antiderivative no MIT
 Introduction to Integrals en SparkNotes
 Antiderivatives en  Harvy Mudd College

Categoría:Cálculo integral
Categoría:Wikipedia:Páxinas que usan barra lateral co parámetro child