Intervalo entre primos

Un intervalo entre primos é a diferenza entre dous números primos sucesivos. O intervalo entre o primo n-ésimo, denotado gn ou g(pn) é a diferenza entre o primo (n + 1) e o primo n-ésimo , é dicir



Temos g1 = 1, g2 = g3 = 2 e g4 = 4. A secuencia (gn) de intervalos primos foi moi estudada; con todo, moitas preguntas e conxecturas fican aínda sen resposta.

Os primeiros 60 intervalos primos son:

 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2,...      .



 Observacións sinxelas 
Para calquera número enteiro n, o factorial n! é o produto de todos os enteiros positivos ata n incluído. Logo na secuencia



o primeiro termo é divisible por 2, o segundo termo é divisible por 3, etc. Así, esta é unha secuencia de  enteiros compostos consecutivos, e debe pertencer a un espazo entre números primos que teñan polo menos n de lonxitude. Dedúcese logo que hai intervalos entre primos que son arbitrariamente grandes, é dicir, para calquera número enteiro N, hai un enteiro m con .

O primeiro intervalo primo de tamaño maior que 14 ocorre entre os primos 523 e 541, mentres que 15! é un número moito maior 1307674368000.

O intervalo medio entre os primos aumenta a medida que o logaritmo natural destes primos e, polo tanto, a proporción entre os primos e os primos implicados diminúe (e é asintóticamente cero). Esta é unha consecuencia do teorema dos números primos. De feito, a relación entre o intervalo e o número de díxitos dos enteiros implicados aumenta sen límite. Esta é a consecuencia dun resultado de Westzynthius..

Na dirección oposta, a conxectura dos primos xemelgos postula que  para un número infinito de números enteiros n.

Para algún número primo P, escribimos P# para representar P primorial, ou sexa, o produto de todos os números primos menores ou iguais a P. Se Q é o número primo seguinte a  P, entón a secuencia



é unha secuencia de Q − 2 números enteiros compostos, onde temos un intervalo entre primos de tamaño mínimo Q − 1. Por tanto, existen intervalos entre primos de tamaño arbitrariamente longos. Outra forma de ver que hai intervalos arbitrariamente grandes de primos é o feito de que a densidade de números primos aproxímase a cero, de acordo co  Teorema do número primo.

Na verdade, os intervalos entre primos de P números poden ocorrer con  números moito menores que P#. Por exemplo, a menor secuencia de 71 números enteiros compostos consecutivos ocorre entre 31398 e 31468, en cnto 71# ten vinte e sete dígitos, seu valor total é 557940830126698960967415390.

Resultados numéricos

O maior intervalo entre dous primos coñecidos ata 2016 con primos probábeis identificados ten tamaño 4680156, con números primos de 99750 díxitos atopado por Martin Raab. O maior intervalo entre dous primos con primos xa probados ten tamaño 1113106, con números primos de 18662 díxitos atopados por P. Cami, M. Jansen e J. K. Andersen.Intervalo de tamaño 1113106

Dicimos que gn é un intervalo maximal, se gm < gn  m < n.
O maior intervalo maximal coñecido ata agosto de 2016  ten tamaño 1476, atopado por Tomás Oliveira e Silva. É o septuaxésimo-sétimo intervalo maximal, e ocorre despois do número primo 1425172824437699411.Intervalos maximais Outros récords de intervalos maximais poden ser vistos en .

No 1931, Westzynthius probou que os intervalos entre primos medran de forma maior do que a escala logarítmica. Ou sexa,.

Normalmente, a razón gn / ln(pn) chámase mérito dun intervalo entre primos gn.

+ Maiores valores de "mérito" coñecidos (ata  novembro de 2016)NEW PRIME GAP OF MAXIMUM KNOWN MERITDynamic prime gap statistics Mérito  gn  cifras  pn  Data  Descubridor 36,858288  10716  127    2016  Dana Jacobsen 36,590183  13692  163     2016  Dana Jacobsen 36,420568  26892  321     2016  Dana Jacobsen 35,424459  66520  816    2012  Michiel Jansen 35,310308   1476   19  1425172824437699411  2009  Tomás Oliveira e Silva

Ata novembro de 2016, o maior valor de "mérito" coñecido foi descoberto por Dana Jacobsen, sendo

onde 283# indica o primorial de 283.

A razón de Cramér–Shanks–Granville está dada por



O maior valor coñecido desa proporción é 0,9206386 para o primo 1693182318746371. Outros termos récords están en .

+ Os 75 primeiros intervalos maximais (n non está listado)+ Números de 1 a 25 #  gn  pn 1 1  2 2 2  3 3 4  7 4 6  23 5 8  89 6 14  113 7 18  523 8 20  887 9 22  1 12910 34  1 32711 36  9 55112 44  15 68313 52  19 60914 72  31 39715 86  155 92116 96  360 65317 112  370 26118 114  492 11319 118  1 349 53320 132  1 357 20121 148  2 010 73322 154  4 652 35323 180  17 051 70724 210  20 831 32325 220  47 326 693+ Números de 26 a 50 #  gn  pn26 222  122 164 74727 234  189 695 65928 248  191 912 78329 250  387 096 13330 282  436 273 00931 288  1 294 268 49132 292  1 453 168 14133 320  2 300 942 54934 336  3 842 610 77335 354  4 302 407 35936 382  10 726 904 65937 384  20 678 048 29738 394  22 367 084 95939 456  25 056 082 08740 464  42 652 618 34341 468  127 976 334 67142 474  182 226 896 23943 486  241 160 624 14344 490  297 501 075 79945 500  303 371 455 24146 514  304 599 508 53747 516  416 608 695 82148 532  461 690 510 01149 534  614 487 453 52350 540  738 832 927 927+ Números de 51 a 75 #  gn  pn51 582  1 346 294 310 74952 588  1 408 695 493 60953 602  1 968 188 556 46154 652  2 614 941 710 59955 674  7 177 162 611 71356 716  13 829 048 559 70157 766  19 581 334 192 42358 778  42 842 283 925 35159 804  90 874 329 411 49360 806  171 231 342 420 52161 906  218 209 405 436 54362 916  1 189 459 969 825 48363 924  1 686 994 940 955 803641 132  1 693 182 318 746 371651 184  43 841 547 845 541 059661 198  55 350 776 431 903 243671 220  80 873 624,627,234,849681 224  203 986 478 517 455 989691 248  218 034 721 194 214 273701 272  305 405 826 521 087 869711 328  352 521 223 451 364 323721 356  401 429 925 999 153 707731 370  418 032 645 936 712 127741 442  804 212 830 686 677 669751 476  1 425 172 824 437 699 411

Resultados posteriores

 Límite superior 
O postulado de Bertrand, probado no 1852, afirma que sempre existe un número primo entre k e 2k, en particular pn+1<2pn, o que significa que gn < pn.

O teorema do número primo, probado no 1896, dice que as distanzas totais entre dous intervalos entre o primo p e o próximo primo é ln(p). O tamaño real do intervalo pode ser moito maior ou menor. A pesar diso, o teorema do número primo deduce un límite superior para o tamaño dos intervalos entre primos: Para todo ε > 0, existe un número N tal que

gn < εpn  n > N.

Pódese deducir que os intervalos arbitrariamente pequenos teñen proporcións cos números primos a partir do límite do cociente:

Hoheisel no 1930 foi o primeiro en mostrar que existe unha constante θ < 1 tal que

mostrando así que

para n suficientemente grande.

Hoheisel obtivo un posíbel valor  para θ. O valor da constante foi posteriormente mellorado para  Heilbronn, e para θ = 3/4 + ε, para algún ε > 0, por Chudakov.

O mellor resultado é debido a Ingham, que mostrou que

para algunha constante positiva c, onde O''' reférese à notación O grande, e

para algún . ζ denota a función zeta de Riemann e π a función contaxe de números primos. Sabendo que para algún  é admisíbel, obtense que θ é un número maior que .

Unha consecuencia inmediata do resultado de Ingham é que sempre hai un número primo entre n3 e (n + 1)3, se  n é o suficientemente grande. A hipótese de Lindelöf pode implicar que a fórmula de Ingham funciona para calquera constante positiva c: mais mesmo isto non é suficiente para implicar que hai un número primo entre n2 e (n + 1)2 para n suficientemente grande ( ver Conxectura de Legendre). Para verificar isto, é necesario un resultado máis forte como a conxectura de Cramér.

Huxley en 1972 demostrou que se pode escoller θ = \frac{7}{12} = 0,58(3).

Un resultado, debido a Baker, Harman e Pintz en 2001, mostrou que θ pode considerarse 0,525.

En 2005, Daniel Goldston, János Pintz e Cem Yıldırım demostraron que

e dous anos máis tarde demostraron que 

En 2013, Yitang Zhang demostrou iso

o que significa que hai infinitos interalos entre dous números primos consecutivos que non superan os 70 millóns. O proxecto Polymath Project realiza un esforzo de colaboración para optimizar o límite de Zhang. En novembro de 2013, James Maynard creou un novo perfeccionamento, permitindo reducir o límite a 600 e mostra que para algúns m hai un rango máximo de m primos. Usando as ideas de Maynard, o proxecto Polymath mellorou o límite a 46; asumindo a conxectura de Elliott–Halberstam, N pódese reducir a 12 e 6, respectivamente.

Límites inferiores
En 1938, Robert Rankin demostrou a existencia dunha constante c >  0 tal que a desigualdade

funciona para valores infinitos de n, mellorando os resultados de Westzynthius e Paul Erdős. Máis tarde demostrou que esta constante pode ser c  < eγ, onde γ é a constante de Euler–Mascheroni. O valor da constante c foi mellorado en 1997 a un valor inferior a 2eγ.

Paul Erdős ofreceu un premio de 10.000 dólares por unha proba ou refutación de que a constante c na desigualdade anterior pode considerarse arbitrariamente grande. Foi demostrado correcto en 2014 por Ford–Green–Konyagin–Tao e independentemente por James Maynard.

Máis tarde mellorouse o resultado

para valores infinitos de n de Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao.

Pódense determinar entón límites inferiores para cadeas de primos.

Conxecturas sobre o intervalo entre números primos

Aínda mellores resultados están condicionados á hipótese de Riemann. Harald Cramér demostrou que a hipótese de Riemann implica que gn satisfai gaps

Máis tarde conxeturou que estes valores son sempre menores. Noutras palabras, a conxectura de Cramér usa a seguinte afirmación:

A conxectura de Firoozbakht afirma que  (onde  é o n-ésimo número primo) é unha función estritamente decrecente de n, é dicir,

Se esta conxectura é certa, a función  satisfai
.

Isto implica a forma forte da conxectura de Crámer, pero é inconsistente coa heurística de Granville e Pintz.. que suxire que  vale para  onde  denota a constante de Euler-Mascheroni.

Mentres tanto, a conxectura de Oppermann é máis feble que a conxectura de Cramér. O tamaño esperado dun intervalo entre dous primos consecutivos coa conxectura de Oppermann é da orde de

Como resultado, isto significa (asumindo que a conxectura de Oppermann é verdadeira) m > 0 (probablemente m = 30) para cada número natural n > m satisfai 

A conxectura de Andrica, que é máis feble que a de Oppermann, afirma queGuy (2004) §A8

Como función aritmética
O tamaño do intervalo gn entre os números primos n-ésimo e (n + 1)-ésimo é un exemplo de función aritmética. Neste contexto, adoita denotarse por d''n e chámase función de diferenza entre números primos. Esta función non é aditiva nin multiplicativa.

 Programa en Python 

Varios tipos de programas poden ser feitos para calcular o valor de , sendo un importante recurso para a matemática computacional. Abaixo, tense unha versión para Python, que calcula  para os números primos entre 1 e 10000 (ata ao número primo 9973):

def prime(num):
    for divisor in range(2, num):
        if num % divisor == 0:
            return False
    return True

list_prime = []
for i in range(1,10000):
    if prime(i):
        list_prime.append(i)

for n in range(2, len(list_prime)):
    print(f'g({n-1}) = {list_prime[n] - list_prime[n-1]}')

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 



 Outros artigos 
 Desigualdade de Bonse
 Primo xemelgo
 Ligazóns externas 
 Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory. Inclúe unha lista de tódolos intervalos coñecidos.


 Armin Shams, Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture.
 Chris Caldwell, Gaps Between Primes; unha introdución elemental
 Andrew Granville, Primes in Intervals of Bounded Length; inclúe o traballo de James Maynard de novembro do 2013.
 Birke Heeren,  Aquí atópanse as grandes intervalos de números primos e un artigo sobre como calcular eses intervalos..

Categoría:Teoría de números