Función multiplicativa

En aritmética, unha función multiplicativa. é unha función aritmética f: ℕ* → ℂ a cumprir as dúas condicións seguintes:

 f (1) = 1;
 para todos os números enteiros a e b > 0 coprimos entre si, temos: f(ab) = f(a)f(b).

Unha función completamente multiplicativa é unha función aritmética g que satisfai:

 g (1) = 1;
 para todos os números enteiros a e b > 0, temos: g (ab) = g(a)g(b).

As funcións multiplicativas ocorren en particular na teoría analítica de números, nas series de Dirichlet.

 Determinación e exemplos 
Unha función multiplicativa ƒ está totalmente determinada polos seus valores nas potencias distintas de cero dos números enteiros primos. De feito, segundo o teorema fundamental da aritmética, calquera número enteiro n > 0 admite unha descomposición nun produto de factores primos, único sen ter en conta a orde dos factores:onde os p son números primos e os k son enteiros naturais, con (para garantir a unicidade) : a secuencia finita de p é estritamente crecente e cada k (chamada valoración p-ádica de n) é distinto de cero.

Ao aplicar ƒ, temos:Non hai restricións adicionais: calquera secuencia de números complexos indexada polas potencias distintas de cero dos números enteiros primos dá, a través da fórmula anterior, unha función multiplicativa única.

Por razóns análogas, unha función completamente multiplicativa g está totalmente determinada polos seus valores nos números primos. Usando as notacións anteriores:Estas consideracións proban que hai unha infinidade de funcións completamente multiplicativas.

 Exemplos 

Algunhas funcións multiplicativas defínense para facilitar a escritura de fórmulas:

 1(n): a función constante, definida por 1(n) = 1 (completamente multiplicativa)
 Id(n): función de identidade, definida por Id(n) = n (completamente multiplicativa)
 Idk(n): as funcións de potenciación, definidas por Idk(n) = nk para calquera número complexo k (completamente multiplicativa). Como casos especiais temos
 Id0(n) = 1(n).
 Id1(n) = Id(n).
 ε(n): a función definida por ε(n) = 1 se n = 1 e 0 en caso contrario, ás veces chamada unidade de multiplicación para a convolución de Dirichlet ou simplemente a función unitaria (completamente multiplicativa). Ás veces escríbese como u(n), mais non se debe confundir con μ(n) .
 1C(n), a función indicadora do conxunto C ⊂ Z, para certos conxuntos C. A función indicadora 1C(n) é multiplicativa precisamente cando o conxunto C ten a seguinte propiedade para calquera número coprimo a e  b: o produto ab está en C se e só se os números a e b están ambos os dous en C. Este é o caso se C é o conxunto de cadrados, cubos ou k-ésimas potencias, ou se C é o conxunto de números sen cadrados.

Outros exemplos de funcións multiplicativas inclúen moitas funcións de importancia na teoría de números, como:

 gcd(n,k): o máximo común divisor de n e k, en función de n, onde  k é un número enteiro fixo.
 : función totiente de Euler , para contar os enteiros positivos coprimos ata n.
 μ(n): a función de Möbius, a paridade (−1 para impar, +1 para par) do número de factores primos de números libres de cadrados; 0 se n non está libre de cadrados.
 σk(n): a función divisor, que é a suma das k-ésimas potencias de todas os divisores positivos de n (onde k pode ser calquera número complexo). Casos especiais que temos
 σ0(n) = d(n) o número de divisores positivos de n' ',
 σ1(n) = σ(n), a suma de todos os divisores positivos de n.
A suma das k-ésimas potencias dos divisores unitarios denótase por σ*k(n):

 a(n): o número de grupos abelianos non isomorfos de orde n.
 λ(n): a función de Liouville, λ(n) = (−1)Ω(n)  onde Ω(n) é o número total de primos (contados coa multiplicidade) que dividen n. (completamente multiplicativa).
 γ(n), definido por γ(n) = (−1)ω(n), onde a función aditiva ω(n) é a cantidade de números primos distintos que dividen n.
 τ(n): a función tau de Ramanujan.
 Todos os caracteres de Dirichlet son ​​funcións completamente multiplicativas. Por exemplo
 , o símbolo de Legendre, considerado como función de n onde p é un número primo.

Un exemplo de función non multiplicativa é a función aritmética r2(n): o número de representacións de n como suma de cadrados de dous enteiros, positivo, negativo ou cero, onde ao contar o número de camiños se permite a inversión da orde. Por exemplo:

 1 = 12 + 02 = (−1)2 + 0 2 = 02 + 12 = 02 + (−1)2

e polo tanto r2(1) = 4 ≠ 1. Isto mostra que a función non é multiplicativa. No entanto, r2(n)/4 é multiplicativa.

Na Enciclopedia en liña de secuencias enteiras, as secuencias de valores dunha función multiplicativa teñen a palabra clave "mult".

Vexa función aritmética para algúns outros exemplos de funcións non multiplicativas.

 Propiedades elementais 
Ser multiplicativa e multiplicativa completa consérvase por produto, módulo e conxugación.

Na súa definición, a primeira condición (a imaxe de 1 é igual a 1) pódese substituír por: a función é distinta de cero.

Se ƒ é multiplicativa daquela



onde  é o máximo común divisor e  é o mínimo común múltiplo dos números enteiros.

 Convolución de Dirichlet 
A convolución de Dirichlet de dúas funcións aritméticas ƒ e g é a función  definida por:Ou " d|n » significa que a suma faise sobre todos os enteiros positivos d divisores de n.

Demóstrase logo que se ƒ e g son multiplicativas,  tamén o é, e que o conxunto de funcións multiplicativas, equipadas con esta lei interna, é un grupo abeliano, con elemento neutro δ.

As relacións máis importantes verificadas son :

 μ ✻  = δ,
  ✻  =  e (pola inversión de Möbius)  = μ ✻  , en particular
 φ ✻  =  e φ = μ ✻ ,
 σ  =   ✻  e (pola inversión de Möbius)   = σ  ✻ μ, en particular
 d =  ✻  e  = d ✻ μ,
 σ =  ✻  e  = σ ✻ μ,
 σ  =  ✻ d (a través de   ✻  =  ✻  ✻  ), en particular
 σ = φ✻d .

 Produto de Euler Formalmente, unha función aritmética f está asociada a unha serie de Dirichlet :

  .

O produto formal da serie asociada a f e g é, por definición, a serie asociada a f ✻ g. Definimos de xeito análogo o produto formal dunha secuencia infinita de funcións aritméticas f , sempre que f  (1) = 1 e que a serie que define cada coeficiente do produto sexa absolutamente converxente:

  .

O caso máis importante , th. 285 e 286. é o dun produto de Euler, é dicir, onde os índices i son os números primos, entón soen denotarse máis ben pola letra p, no que as funcións aritméticas f están definidas a partir dunha función multiplicativa f por: f coincide con f nas potencias de p e é cero noutro lugar. Este produto (da serie asociada a f) é entón igual á serie asociada a f. Se esta última é absolutamente converxente, esta igualdade formal tamén é certa no sentido da análise''. Vexa a sección de exemplos do artigo sobre a serie Dirichlet.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
S. Ramanujan, Some formulae in the analytic theory of numbers. Messenger 45 (1915), 81--84.

E. Busche, Lösung einer Aufgabe über Teileranzahlen.  Mitt. Math. Ges. Hamb. 4, 229--237 (1906)

A. Selberg: Remarks on multiplicative functions. Number theory day (Proc. Conf., Rockefeller Univ., New York, 1976), pp. 232–241, Springer, 1977.
 Outros artigos 
 Ecuación funcional.
 Función aditiva.
 Ligazóns externas 


Categoría:Funcións
Categoría:Teoría de números