Variedade diferenciable

En matemáticas, unha variedade diferenciable é un tipo de variedade que é localmente suficientemente similar a un espazo vectorial como para aplicar ferramentas do cálculo. Calquera variedade pode ser descrita por unha colección de cartas (atlas). Deste modo, pódense aplicar ideas do cálculo infinitesimal a cada carta individual, xa que cada carta se corresponde cun espazo vectorial no cal as regras habituais do cálculo son aplicables. Se as cartas son compatibles (é dicir, as funcións de cambio de cartas son diferenciables), entón os cálculos feitos nunha carta son válidos en calquera outra carta diferenciable.

Formalmente, unha variedade diferenciable é unha variedade topolóxica cunha estrutura diferenciable globalmente definida. Calquera variedade topolóxica pode dotarse dunha estrutura diferenciable localmente empregando os homeomorfismos do seu atlas e a estrutura diferenciable estándar dun espazo vectorial. Para obter unha estrutura diferenciable global nos sistemas de coordenadas locais inducidos por estes homeomorfismos, as súas composicións nas interseccións das cartas do atlas deben ser funcións diferenciables no correspondente espazo vectorial. Noutras palabras, nas interseccións dos dominios das cartas, as coordenadas definidas por cada cada carta deben ser diferenciables con respecto ás coordenadas definidas por cada carta do atlas. As funcións que relacionan as coordenadas definidas polas distintas cartas unhas con outras denomínanse funcións de transición ou cambios de coordenadas.

A habilidade de definir tal estrutura diferenciable local nun espazo abstracto permite estender a definición de diferenciabilidade a espazos sen sistemas de coordenadas globais. Unha estrutura localmente diferencial permite definir espazo tanxente, funcións diferenciables ou campos vectoriais e tensoriais diferenciables, entre moitos outros obxectos matemáticos.

As variedades diferenciables son moi importantes na física. Determinados tipos de variedades diferenciables constitúen o fundamento para teorías físicas como a mecánica clásica, a relatividade xeral, e a teoría de Yang–Mills. A relevancia das variedades diferenciables é debida a que é posible desenvolver ferramentas do cálculo para variedades diferenciables. Estas vantaxes dan lugar a maquinaria matemática moi potente como o cálculo exterior. O estudo do cálculo en variedades diferenciables denomínase xeometría diferencial.

Categoría:Xeometría diferencial
Categoría:Topoloxía diferencial