Teorema de Abel-Ruffini

O teorema de Abel-Ruffini di que no caso de ecuacións polinómicas de grao superior ou igual ao quinto, é dicir, ecuacións da forma: 
miniatura| Paolo Ruffini, Teoria generale delle equazioni (Teoría xeral das ecuacións), 1799



onde , é imposible atopar unha fórmula xeral que permita calcular as raíces da ecuación a partir dos seus coeficientes cun número finito de operacións aritméticas e radicais (sumas, restas, multiplicacións, divisións e raíces).

O teorema non indica que estas ecuacións non teñan solución. De feito, tal e como establece o teorema fundamental da álxebra, toda ecuación polinómica de grao n ten unha solución para o conxunto de números complexos.

O teorema tampouco indica que non se poidan atopar solucións. Hai métodos que permiten atopalos con infinitas operacións como o método de Newton. Tamén hai métodos que permiten atopar as solucións engadindo outras operacións. Por exemplo, as ecuacións de quinto grao pódense resolver cos radicais de Bring.

Tampouco di que esta imposibilidade se produza en todos os casos. Hai casos particulares de ecuacións de grao igual e superior a 5 que se poden resolver cun número finito de sumas, restas, multiplicacións, divisións e raíces. Por exemplo a ecuación:



Acepta como solucións as raíces:



A teoría de Galois proporciona os medios para determinar en que casos unha ecuación de grao cinco ou superior admite tal solución.
 Historia 
Durante séculos, os matemáticos buscaron unha fórmula xeral para resolver ecuacións polinómicas de grao superior ao cuarto, similar ás fórmulas existentes para as ecuacións cadráticas, cúbicas e de cuarto grao. O teorema de Abel-Ruffini, demostrado independentemente por Paolo Ruffini en 1799 e Niels Henrik Abel en 1824 demostrou que tal fórmula xeral non existe para graos superiores a catro.A proba formal do teorema require conceptos avanzados de teoría de grupos e teoría de corpos. Pódese atopar unha descrición detallada en varios libros de álxebra abstracta. A demostración, mediante redución ao absurdo, consta de catro pasos:

 Descóbrese cal é a fórmula xeral das funcións que teñen coeficientes como variables e só utilizan sumas, restas, multiplicacións, divisións e raíces.

 Demóstrase que se unha destas funcións é unha solución dunha ecuación de quinto grao, a partir desta pódense expresar as outras 4 solucións.

 Demóstrase que as funcións irracionais dos coeficientes que compoñen a función de solución son funcións racionais das raíces do polinomio.

 Chégase a contradición do feito de que o número de valores das funcións irracionais dos coeficientes non pode coincidir co número de valores das funcións racionais das raíces.

O teorema de Abel-Ruffini motivou o desenvolvemento de outras áreas da matemática, como a teoría de Galois, que ofrece unha comprensión máis profunda das solucións das ecuacións polinómicas.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Ligazóns externas 
  - Artigo publicado por Abel el 1824 coa demostración do teorema. (en francés)
  - Segundo artigo publicado por Abel en 1826 onde explica a demostración con moito máis detalle.

Categoría:Teoremas
Categoría:Álxebra
Categoría:Teoría de Galois