Unidade (teoría dos aneis)

En álxebra, unha unidade ou elemento invertíbel dun anel é un elemento invertíbel para a multiplicación do anel. É dicir, un elemento  dun anel  é unha unidade se existe  en  tal que 

onde  é a identidade multiplicativa; o elemento  é único para esta propiedade e chámase inverso multiplicativo de . O conxunto de unidades de  forma un grupo  baixo a multiplicación, chamado grupo de unidades ou grupo de unidades de . Outras notacións para o grupo de unidades son , .

 Exemplos 
A identidade multiplicativa  e a súa inversa aditiva  son sempre unidades. De xeito máis xeral, calquera raíz da unidade nun anel  é unha unidade: se , entón  é un inverso multiplicativo de . Nun anel distinto de cero, o elemento 0 non é unha unidade, polo que  non é pechado baixo a suma. Un anel distinto de cero  no que cada elemento distinto de cero é unha unidade (é dicir, ) chámase anel de división (ou corpo non conmutativo). Un anel de división conmutativo chámase corpo. Por exemplo, o grupo de unidade do corpo dos números reais  é  (todos os números agás o cero).

 Anel de enteiros 
No anel de enteiros , as únicas unidades son  e .

No anel  de enteiros módulo , as unidades son as clases de congruencia  representadas por enteiros coprimos a . Constitúen o grupo multiplicativo de números enteiros módulo .

 Anel de números enteiros dun corpo numérico 
No anel  obtido ao estender  co enteiro cadrático , temos , polo que  é unha unidade, e tamén o son as súas potencias, polo que  ten infinitas unidades.

De xeito máis xeral, para o anel de enteiros  nun corpo numérico , o teorema das unidades de Dirichlet afirma que  é isomorfo ao grupo 

onde  é o grupo (finito, cíclico) de raíces da unidade en , e  é o rango do grupo de unidades, con valor

onde  son o número de mergullos reais e o número de pares de mergullos complexos de , respectivamente.

Relacionando esta fórmula co exemplo : o grupo de unidades dun (o anel de enteiros dun)  corpo cadrático real é infinito de rango 2, xa que .

 Polinomios e series formais de potencias 
Para un anel conmutativo , as unidades do anel de polinomios  son os polinomios 

tal que  é unha unidade en  e os restantes coeficientes  son nilpotentes, é dicir, satisfán  para algún  . En particular, se  é un dominio, entón as unidades de  son as unidades de . As unidades do anel da serie formal de potencias  son as series formais de potencias 

tal que  é unha unidade en . 

 Aneis de matrices 
O grupo de unidades do anel  de matrices   sobre un anel  é o grupo  de matrices invertíbeis. Para un anel conmutativo , un elemento  de  é invertíbel se e só se o determinante de  é invertíbel en . Nese caso,  pódese dar explicitamente en termos da matriz adxunta.

 En xeral 
Para os elementos  e  nun anel , se  é invertíbel, entón  ten inverso ;  esta fórmula pódese intuir, mais non demostrar, mediante o seguinte cálculo nun anel de series formais de potencias non conmutativas:  Consulte a identidade de Hua para ver resultados similares.

 Grupo das unidades 
Un anel conmutativo é un anel local se  é un ideal máximal.

Como pode verse, se  é un ideal, entón é necesariamente un ideal máximal e  é local xa que un ideal máximal é disxunto de .

Se  é un corpo finito, entón  é un grupo cíclico de orde .

Todo homomorfismo de aneis  induce un homomorfismo de grupos , xa que  mapea unidades en unidades. De feito, a formación do grupo de unidades define un functor dende a categoría de aneis ata a categoría de grupos. 

O esquema do grupo  é isomorfo ao esquema de grupos multiplicativos  sobre calquera base, polo que para calquera anel conmutativo , os grupos  e  son canonicamente isomorfos a . Teña en conta que o functor  (é dicir,  ) é representábel no sentido:  para aneis conmutativos . Explicitamente, isto significa que hai unha bixección natural entre o conxunto dos homomorfismos do anel  e o conxunto de elementos unidade de  (en contraste,  representa o grupo aditivo , o functor desmontaxe da categoría de aneis conmutativos á categoría dos grupos abelianos).

 Elemento asociado 
Supoña que  é conmutativo. Os elementos  e  de  chámanse asociados se existe unha unidade  en  tal que ; escrito . En calquera anel, os pares de elementos inversos aditivos   e  son ou están asociados, xa que calquera anel inclúe a unidade . Por exemplo, 6 e −6 están asociados en . En xeral,  é unha relación de equivalencia en .

A asociación tamén se pode describir en termos da acción de  en  mediante multiplicación: Dous elementos de  están asociados se están na mesma -órbita.

Nun dominio de integridade, o conxunto de asociados dun determinado elemento distinto de cero ten a mesma cardinalidade que .

A relación de equivalencia  pódese ver como calquera das Relacións de semigrupo de Green especializada no semigrupo multiplicativo dun anel conmutativo .

 Notas 

Referencias

 Véxase tamén 
 Bibliografía 






 Outros artigos 
 Anel (álxebra)
 Localización (álxebra conmutativa)
 Inverso multiplicativo modular

Categoría:Teoría de aneis
Categoría:Teoría de grupos
Categoría:Teoría de números alxébricos
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas