Triángulo equilátero

En xeometría, un triángulo equilátero é un triángulo no que os tres lados teñen a mesma lonxitude. Na xeometría euclidiana, un triángulo equilátero tamén ten os tres ángulos internos iguais entre si e son cada un de 60°. Tamén é un polígono regular, polo que tamén se denomina triángulo regular.

 Propiedades principais 
miniatura|300x300px| Un triángulo equilátero. Ten lados iguais (), ángulos iguais (), e alturas iguais ().
Indicando a lonxitude común dos lados do triángulo equilátero como , podemos determinar mediante o teorema de Pitágoras que:
 A área é 
 O perímetro é 
 O raio da círcunferencia circunscrita é 
 O raio da circunferencia inscrita é  ou 
 O centro xeométrico do triángulo é o centro das circunferencias circunscritas e inscritas
 A altura desde calquera lado é 

Denotando o raio da circunferencia circunscrita como R, podemos determinar mediante trigonometría que:

 A área do triángulo é 

Moitas destas cantidades teñen relacións sinxelas coa altura ("h") de cada vértice do lado oposto:
 A área é 
 A altura do centro de cada lado, ou apotema, é 
 O raio da circunferencia que circunscribe os tres vértices é 
 O raio da circunferencia inscrita é 

Nun triángulo equilátero coinciden as alturas, as mediatrices dos ángulos, as mediatrices perpendiculares e as medianas a cada lado.

 Caracterizacións 
Un triángulo  que ten os lados , , , semiperímetro , área , exraios , ,  (tanxentes a , ,  respectivamente), e onde  e  son os raios da circunferencia circundante e da circunferencia inscrita respectivamente, é equilátero se e só se algunha das afirmacións das nove categorías seguintes é certa. Así, estas son propiedades exclusivas dos triángulos equiláteros, e saber que calquera delas é verdadeira implica directamente que temos un triángulo equilátero.

 Lados 




 Semiperímetro 
 (Blundon)

 Ángulos 

 Área 
 (Weitzenböck)

 Circunraio, inraio e exraio 
 (Chapple-Euler)

 Cevianas iguais 
Tres tipos de cevianas coinciden, e son iguais, para (e só para) triángulos equiláteros: 
 As tres alturas teñen lonxitudes iguais.
 As tres medianas teñen lonxitudes iguais.
 As tres mediatrices teñen lonxitudes iguais.

 Centros triangulares coincidentes 
Todo centro do triángulo dun triángulo equilátero coincide co seu centroide, o que implica que o triángulo equilátero é o único triángulo sen liña de Euler que conecte algúns dos centros. Para algúns pares de centros de triángulos, o feito de que coincidan é suficiente para garantir que o triángulo sexa equilátero. En particular:

 Un triángulo é equilátero se coinciden dous do circuncentro, incentro, centroide ou ortocentro.
 Tamén é equilátero se o seu circuncentro coincide co punto de Nagel ou se o seu incentro coincide co seu centro de nove puntos.

 Puntos no plano 

 Un triángulo é equilátero se e só se, para cada punto  no plano, con distancias , , e  aos lados e distancias do triángulo , , e  aos seus vértices,

 Teoremas importantes 
miniatura| Demostración visual do teorema de Viviani
O teorema do trisector de Morley afirma que, en calquera triángulo, os tres puntos de intersección dos trisectores angulares adxacentes forman un triángulo equilátero.

O teorema de Napoleón afirma que, se se constrúen triángulos equiláteros nos lados de calquera triángulo, xa sexa todos cara a fóra ou todos cara a dentro, os centros deses triángulos equiláteros forman un triángulo equilátero.

Unha versión da desigualdade isoperimétrica para triángulos indica que o triángulo de maior área entre todos os que teñen un perímetro dado é equilátero.Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.

O teorema de Viviani afirma que, para calquera punto interior  nun triángulo equilátero con distancias , , e  dos lados e da altura ,  independente da localización de .

O teorema de Pompeiu afirma que, se  é un punto arbitrario no plano dun triángulo equilátero  mais non na súa circunferencia circunscrita, entón existe un triángulo con lados de lonxitudes , , e  . É dicir, , , e  satisfán a desigualdade triangular de que a suma de dous calquera deles é maior que o terceiro. Se  se atopa na circunferencia circunscrita, entón a suma dos dous máis pequenos é igual á máis longa e o triángulo dexenera nunha liña, este caso coñécese como teorema de Van Schooten.

Desigualdade de Erdős-Mordell: Dado un punto  no interior dun triángulo equilátero, a relación entre a suma das súas distancias aos vértices e a suma das súas distancias aos lados é maior ou igual a 2, mantendo a igualdade cando
 é o centroide. En ningún outro triángulo hai un punto para o que esta razón sexa tan pequena como 2.

 Construción xeométrica 
centro|miniatura|200x200px| Construción dun triángulo equilátero con compás e regra
A proba de que a figura resultante é un triángulo equilátero é a primeira proposición do Libro I dos Elementos de Euclides .
centro
dereita|miniatura| Un tetraedro regular está formado por catro triángulos equiláteros.

 Figuras xeométricas en tres dimensións 
En tres dimensións, os triángulos equiláteros forman caras de poliedros regulares e uniformes. Tres dos cinco sólidos platónicos están compostos por triángulos equiláteros: tetraedro, octaedro e icosaedro . En particular, o tetraedro, que ten catro triángulos equiláteros para as caras, pódese considerar o análogo tridimensional do triángulo. Todos os sólidos platónicos poden inscribir tetraedros, así como estar inscritos dentro de tetraedros. Os triángulos equiláteros tamén forman antiprismas uniformes así como antiprismas de estrelas uniformes no espazo tridimensional.

 Notas 


 Véxase tamén 


 Outros artigos 
 Triángulo
 Triángulo de Herón
 Triángulo isóscele
 Diagrama ternaria
 Coordenadas trilineares

 Ligazóns externas 

Categoría:Xeometría
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas