Orde (teoría de grupos)

En matemáticas, a orde dun grupo finito é o número dos seus elementos. Se un grupo non é finito, dise que a súa orde é infinita. A orde dun elemento dun grupo (tamén chamado período) é a orde do subgrupo xerado polo elemento. Se a operación de grupo se denota como unha multiplicación, a orde dun elemento  dun grupo é, polo tanto, o menor enteiro positivo  de tal xeito que , onde  denota o elemento de identidade do grupo e  indica o produto de  copias de . Se non existe tal , a orde de  é infinita.

A orde dun grupo  denotase por  ou , e a orde dun elemento  denotase por  ou , en vez de  onde os corchetes en ángulo indican o grupo xerado por .

O teorema de Lagrange di que para calquera subgrupo  dun grupo finito , a orde do subgrupo divide a orde do grupo; é dicir,  é un divisor de . En particular, a orde  de calquera elemento é un divisor de .

 Exemplo 
O grupo simétrico S3 ten a seguinte táboa multiplicativa ou de Cayley.

Este grupo ten seis elementos, así que  . Por definición, a orde da identidade, , é un, xa que . Cada un dos ,  e  son  ao elevaren ao cadrado, polo que estes elementos do grupo teñen orde dous: . Finalmente,  e  teñen orde 3, xa que , .

 Orde e estrutura 
A orde dun grupo G e as ordes dos seus elementos dan moita información sobre a estrutura do grupo. A grandes liñas, canto máis complicada é a factorización de |G| máis complicada é a estrutura de G.

Para |G| = 1, o grupo é trivial. En calquera grupo, só o elemento de identidade a = e ten ord(a) = 1. Se todo elemento non identidade en G é igual ao seu inverso (de xeito que a 2 = e), entón ord(a) = 2; isto implica que G é abeliano xa que  . A inversa non é verdade; por exemplo, o grupo cíclico (aditivo) Z6 de números enteiros módulo 6 é abeliano, pero o número 2 ten orde 3:

  .

A relación entre os dous conceptos de orde é a seguinte: se escribimos



para o subgrupo xerado por a, daquela



Para calquera número enteiro k, temos

 a k = e se e só se ord(a) divide a k.

En xeral, a orde de calquera subgrupo de G divide a orde de G. Máis precisamente: se H é un subgrupo de G, daquela

 ord(G )/ord(H) = [G :H], onde [G:H] chámase índice de H en G, un número enteiro. Este é  o teorema de Lagrange. (Isto só é certo cando G ten orde finita. Se ord(G) = , o cociente ord(G)/ord(H) non ten sentido).

Como consecuencia inmediata do anterior, vemos que a orde de cada elemento dun grupo divide a orde do grupo. Por exemplo, no grupo simétrico mostrado arriba, onde ord(S3) = 6, as posibles ordes dos elementos son 1, 2, 3 ou 6.

Polo outro lado, o seguinte  é verdade para grupos finitos: se d divide a orde dun grupo G e d é un número primo, entón existe un elemento de orde d en G (ás veces chámase teorema de Cauchy). Esta afirmación non vale para as ordes compostas, por exemplo, o grupo de Klein-4 non ten un elemento de orde catro. Isto pódese demostrar mediante indución.  As consecuencias do teorema inclúen: a orde dun grupo G é unha potencia dun p primo se e só se ord(a) é algunha potencia de p para todo a en G.

Se a ten unha orde infinita, todas as potencias distintas de cero de a tamén teñen unha orde infinita. Se a ten orde finita, temos a seguinte fórmula para a orde das potencias de a:

 ord(ak) = ord(a) / mcd(ord(a), k)Dummit, David; Foote, Richard. Abstract Algebra, , pp. 57 

para todo número enteiro k. En particular, a e a súa inversa a −1 teñen a mesma orde.

En calquera grupo,



 En relación cos homomorfismos 
Os homomorfismos de grupos tenden a reducir as ordes dos elementos: se f : G → H é un homomorfismo e a é un elemento de G de orde finita, entón ord(f (a)) divide ord(a). Se f é inxectiva, entón ord(f(a)) = orde(a). Isto pode usarse a miúdo para demostrar que non hai homomorfismos nin homomorfismos inxectivos entre dous grupos dados explicitamente. (Por exemplo, non pode haber homomorfismo non trivial h: S3 → Z5, porque todo número agás o cero en Z5 ten orde 5, que non divide as ordes 1, 2 e 3 dos elementos en S 3 .) Outra consecuencia é que os elementos conxugados teñen a mesma orde.

 Ecuación de clase 
Un resultado importante sobre as ordes é a ecuación de clase; relaciona a orde dun grupo finito G coa orde do seu centro Z(G) e os tamaños das súas clases de conxugación non triviais:



onde os di son os tamaños das clases de conxugación non triviais; estas son divisores propios de |G| maiores que un, e tamén son iguais aos índices dos centralizadores en G dos representantes das clases de conxugación non triviais. Por exemplo, o centro de S3 é só o grupo trivial co único elemento e, e a ecuación di |S3 |= 1+2+3.
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 Dummit, David; Foote, Richard. Abstract Algebra, , pp. 20, 54–59, 90
 Artin, Michael. Algebra, , pp. 46–47
 Outros artigos 
 Índice (teoría de grupos).

Categoría:Teoría de grupos
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas