Homotecia

miniatura| Exemplo con  
Para  obtense unha simetría central nun punto 
miniatura| Homotecia dunha pirámide
En matemáticas, unha homotecia é unha transformación dun espazo afín determinada por un punto S chamado centro e un número distinto de cero  chamado o seu ratio, que envía o punto  ata un punto  mediante a regra 

  para un número fixo .

Usando vectores de posición:

  .

No caso de  (Orixe):

  ,

que é unha escala uniforme, onde temos algunhas opcións especiais para  :

 para  obtemos o mapeo de identidade,
 para obtemos o reflexo no centro,

Para  obtense o mapa inverso definida por  .

Na xeometría euclidiana as homotecias son as semellanzas que fixan un punto e conservan (se ) ou inverten (se  ) a dirección de todos os vectores. Xunto coas translacións, todas as homotecias dun espazo afín (ou euclidiano) forman un grupo, o grupo de homotecías-translacións. Estas son precisamente as transformacións afines coa propiedade de que a imaxe de cada recta g é unha liña paralela a g.

En xeometría proxectiva, unha transformación homotética é unha transformación de semellanza (é dicir, fixa unha involución elíptica dada) que deixa a recta no infinito invariante.

Na xeometría euclidiana, unha homotecia de razón  multiplica as distancias entre puntos por , áreas por  e volumes por . Aquí  é o factor de aumento ou dilatación ou o factor de escala ou a razón de semellanza. Tal transformación pódese chamar ampliación se o factor de escala supera 1. O punto fixo S mencionado anteriormente chámase centro homotético ou centro de semellanza.

As homotecias utilízanse para escalar o contido das pantallas de ordenador; por exemplo, teléfonos intelixentes, notebooks e portátiles.

 Propiedades 
As seguintes propiedades cúmprense en calquera dimensión.

 Mapeo de liñas, segmentos e ángulos 

 Unha liña mapea nunha liña paralela. Polo tanto: os ángulos permanecen inalterados.
 Consérvase a razón de dous segmentos de liña .

Ambas as propiedades mostran:

 Unha homotecia é unha semellanza .

Consecuencias: un triángulo mapea sobre outro semellante. A imaxe homotética dun círculo é un círculo. A imaxe dunha elipse é semellante, é dicir, a razón dos dous eixes non muda.
miniatura| Con Teorema de Tales

 Composición 
miniatura| A composición de dúas homotecias con centros  e ratios  mapeando  é unha homotecia de novo co seu centro  na liña  con proporción  .

 A composición de dúas homotecias co mesmo centro  volve ser unha homotecia co centro  . As homotecias con centro  formar un grupo.
 A composición de dúas homotecias con centros diferentes  e as súas razóns  resulta en

 en caso de  unha homotecia co centro na liña  e proporción  ou
 en caso de  unha translación na dirección . Sobre todo, se  (reflexións centrais).

miniatura| Composición con translación

 A composición dunha homotecia e dunha translación é unha homotecia.

Demostración:

A composición da homotecia

  e a translación
  é



que é unha homotecia con centro  e razón .

 En coordenadas homoxéneas 
A homotecia  con centro  pódese escribir como a composición dunha homotecia con centro  e unha translación:

  .

De aí que  pódese representar en coordenadas homoxéneas pola matriz:



Unha transformación linear de homotecia pura tamén é conforme porque está composta por translación e escala uniforme.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 H.S.M. Coxeter, "Introduction to geometry" , Wiley (1961), p. 94



 Outros artigos 
Escala (xeometría) noción similar en espazos vectoriais
Translación (xeometría)
Rotación (xeometría)
 Ligazóns externas 
 Homothety, interactivo de Cut-the-Knot.

Categoría:Xeometría