Coclase

En matemáticas, especificamente na teoría de grupos, pódese usar un subgrupo  dun grupo  para descompoñer o conxunto subxacente de  en subconxuntos disxuntos e de igual tamaño chamados coclases (ou cosets en inglés). Hai coclases esquerdas e dereitas. As coclases (tanto á esquerda como á dereita) teñen o mesmo número de elementos (cardinalidade) que . A maiores, o propio  é tanto un grupo esquerdo como un grupo dereito. O número de coclases esquerdas de  en  é igual ao número de coclases dereitas de  en . Este valor común chámase índice de  en  e normalmente denótase por .

As coclases son unha ferramenta básica no estudo dos grupos; por exemplo, desempeñan un papel central no teorema de Lagrange que afirma que para calquera grupo finito , o número de elementos de cada subgrupo  de  divide o número de elementos de . As coclases do subgrupo normal pódense usar como elementos doutro grupo chamado grupo cociente. As coclases tamén aparecen noutras áreas das matemáticas como os espazos vectoriais e os códigos de corrección de erros .

 Definición 
Sexa  un subgrupo do grupo  cuxa operación escríbese multiplicativamente (a xustaposición denota a operación do grupo). Dado un elemento  de , as coclases esquerdas de  en  son os conxuntos obtidos multiplicando cada elemento de  por un elemento fixo  de  (onde  é o factor esquerdo). En símbolos estas son,
.

As coclases dereitas defínense de xeito similar, agás que o elemento  agora é un factor pola dereita, é dicir,
.

Dúas coclases esquerdas calquera (respectivamente dereitas) son disxuntas ou son idénticas como conxuntos.

Se a operación do grupo é  aditiva, como adoita suceder cando o grupo é abeliano, a notación utilizada muda a  ou , respectivamente.

O símbolo G/H ás veces úsase para o conxunto de coclases (esquerdas) { gH : g un elemento de G } (ver embaixo para unha extensión a coclases dereitas e duplas). No entanto, algúns autores (incluíndo Dummit & Foote e Rotman) reservan esta notación especificamente para representar o grupo cociente formado a partir das coclases 
no caso de que H sexa un subgrupo normal de G.

 Primeiro exemplo 
Sexa  o grupo diédrico de orde seis. Os seus elementos pódense representar por . Neste grupo,  e . Esta é información abonda para cubrir toda a táboa de Cayley:
∗                                                
Sexa  o subgrupo . As coclases pola esquerda (distintas) de  son:

 .
 .
 .

Dado que agora todos os elementos de  apareceron nunha destas coclases, xerar máis non pode dar novas coclases; calquera coclase nova tería que ter un elemento en común cunha destas e, polo tanto, sería idéntica a unha destas coclases. Por exemplo, .

As clases dereitas de  son:

 ,
  .
 .

Neste exemplo, menos para , ningunha coclase esquerda é tamén unha coclase dereita.

Sexa  o subgrupo . As coclases esquerdas de  son  e  . As coclases dereitas  son  e . Neste caso, cada coclase esquerda de  tamén é unha coclase dereita de .

Sexa  un subgrupo do grupo  e supoña que , . As seguintes sentenzas son equivalentes:






 Propiedades 
Todo elemento de  pertence exactamente a unha coclase esquerda do subgrupo , e  é en si mesmo unha coclase esquerda (e o que contén a identidade).

Dous elementos que están na mesma coclase esquerda tamén proporcionan unha relación de equivalencia natural. Defina dous elementos de ,  e , para que sexan equivalentes en relación ao subgrupo  se  (ou de forma equivalente se  pertence a ). As clases de equivalencia desta relación son as coclases esquerdas de . Como con calquera conxunto de clases de equivalencia, forman unha partición do conxunto subxacente. Un representante de clase é un representante no sentido da clase de equivalencia. Un conxunto de representantes de todos os grupos de clase chámase transversal. Existen outros tipos de relacións de equivalencia nun grupo, como a conxugación, que forman diferentes clases que non teñen as propiedades aquí comentadas.

Declaracións semellantes aplícanse ás coclases dereitas.

Se  é un grupo abeliano, entón  para todo subgrupo  de  e cada elemento  de . Para grupos en xeral, dado un elemento  e un subgrupo  dun grupo , a coclase dereita de  con relación a  é tamén a coclase esquerda do subgrupo conxugado  con relación a , é dicir, .

 Subgrupos normais 
Un subgrupo  dun grupo  é un subgrupo normal de  se e só se para todos os elementos  de  as coclases dereitas e esquerdas correspondentes son iguais, é dicir, . Este é o caso do subgrupo  no primeiro exemplo anterior. A maiores, as clases de  en  forman un grupo chamado grupo cociente ou grupo de factores /.

Se  non é normal en , entón as súas coclases esquerdas son diferentes das súas coclases dereitas. É dicir, hai un  en  tal que ningún elemento  satisfai . Isto significa que a partición de  nas coclases esquerdas de  é unha partición diferente que a partición de  nas coclases dereitas de . Isto é ilustrado polo subgrupo  no primeiro exemplo anterior. ( Algunhas clases poden coincidir. Por exemplo, se  está no centro de , entón ).

Por outra banda, se o subgrupo  é normal o conxunto de todas as coclases forman un grupo chamado grupo cociente /  coa operación  definida por . Dado que toda coclase dereita é unha coclase esquerda, non hai necesidade de distinguir as "coclases esquerdas" das "coclases dereitas".

 Índice dun subgrupo 
Cada clase esquerda ou dereita de  ten o mesmo número de elementos (ou cardinalidade no caso dun  infinito) que o propio . A maiores, o número de clases esquerdas é igual ao número de clases dereitas e coñécese como índice de  en G, escrito como . O teorema de Lagrange permítenos calcular o índice no caso de que  e  sexan finitos:  Esta ecuación tamén vale no caso de que os grupos sexan infinitos, aínda que o significado pode ser menos claro.

 Máis exemplos 

 Números enteiros 
Sexa  o grupo aditivo dos enteiros,  e  o subgrupo . Daquela as coclases de  en  son os tres conxuntos ,  e , onde . Estes tres conxuntos particionan o conxunto , polo que non hai outras clases dereitas de . Debido á conmutividade da suma  e . É dicir, cada coclase esquerda de  tamén é unha coclase dereita, polo que  é un subgrupo normal. (O mesmo argumento mostra que cada subgrupo dun grupo abeliano é normal).

 Vectores 
Outro exemplo de coclase provén da teoría dos espazos vectoriais. Os elementos (vectores) dun espazo vectorial forman un grupo abeliano baixo a suma de vectores. Os subespazos do espazo vectorial son subgrupos deste grupo. Para un espazo vectorial , un subespazo  e un vector fixo  en , os conxuntos 

chámanse subespazos afíns e son coclases (tanto pola esquerda como pola dereita, xa que o grupo é abeliano). En termos de vectores xeométricos tridimensionais, estes subespazos afíns son todas as "liñas" ou "planos" paralelos ao subespazo, que é unha liña ou plano que pasa pola orixe. Por exemplo, considere o plano . Se  é unha liña que pasa pola orixe , entón  é un subgrupo do grupo abeliano . Se  está en , entón o conxunto  é unha recta  paralela a  e que pasa por .

 Matrices 
Sexa  o grupo multiplicativo de matrices,  

e o subgrupo  de , 

Para un elemento fixo de  considere a coclase esquerda 

É dicir, as coclases esquerdas consisten en todas as matrices de  que teñen a mesma entrada superior esquerda. Este subgrupo  é normal en , mais o subgrupo 

non é normal en .

 Como órbitas dunha acción de grupo 
Un subgrupo  dun grupo  pódese usar para definir unha acción de  sobre  de dúas formas naturais. Unha acción pola dereita,  dada por  ou unha acción pola  esquerda,  dada por  . A órbita de  baixo a acción pola dereita é a coclase esquerda , mentres que a órbita baixo a acción pola  esquerda é a coclase dereita .

 Coclases duplas 
Dados dous subgrupos,  e  (que non precisan ser distintos) dun grupo , as coclases duplas de  e  en  son os conxuntos da forma . Estas son as coclases esquerdas de  e as dereitas de  cando  ou  respectivamente.

Dúas coclases duplas  e  son disxuntas ou idénticas.  O conxunto de todas as coclases duplas para  e  fixos forman unha partición de .

Unha coclase dupla  contén as coclases dereitas completas de  (en ) da forma , con  un elemento de  e as coclases esquerdas completas de  (en ) da forma , con  en .

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 









 Outros artigos 
 Grupo cociente.
 Subgrupo normal.
 Ligazóns externas 





 Illustrated examples


Categoría:Teoría de grupos
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas