Descomposición en fraccións simples

O método de descomposición en fraccións simples ou  descomposición en fraccións parciais consiste en descompor un cociente de polinomios nunha suma de fraccións de polinomios de menor grao. Utilízase principalmente en cálculo integralHorowitz, Ellis. "Algorithms for partial fraction decomposition and rational function integration." Proceedings of the second ACM symposium on Symbolic and algebraic manipulation. ACM, 1971.. Para aplicar os métodos explicados no artigo o grao do polinomio do denominador  debe ser estritamente maior que o do numerador , en caso contrario deberíamos aplicar antes unha división de polinomios para obter un numerador con grao menor:
,

onde  sería de grao menor a .

 Características 
Para maior claridade, sexa:



onde . Para reducir a expresión a fraccións parciais débese expresar a función  da forma:


 ou


é dicir, como o produto de factores lineares ou cadráticos.

 Casos 
Distínguense 4 casos:

 Factores lineares distintos 
Onde ningún par de factores é idéntico.



Onde  son constantes a determinar, e ningún denominador anúlase.

 Factores lineares repetidos 
Onde os pares de factores son idénticos.



Onde  son constantes a determinar, e ningún denominador anúlase.

 Factores cadráticos distintos 
Onde ningún par de factores é igual.



Onde  son constantes a determinar, e ningún denominador anúlase.

 Factores cadráticos repetidos 



Onde  son constantes a determinar, e ningún denominador anúlase.

 Cómputo das constantes 
Para achar as constantes, no caso de factores lineares distintos pódese utilizar a seguinte fórmula:



onde .

Para os outros casos non existe unha formulación específica. Con todo, estes pódense resolver simplificando e formando un sistema de ecuacións con cada unha das .

 Exemplo 1 
Sexa .

Pódese descompor en . 

Necesitamos atopar os valores a e b.

O primeiro paso é desfacernos do denominador, o que nos leva a:



Simplificando

 .

O seguinte paso é asignar valores a x, para obter un sistema de ecuacións, e deste xeito
calcular os valores a e b.

Porén, podemos facer algunhas simplificacións asignando 

 .

Para o caso de a observamos que  facilita o proceso



Sendo o resultado 

 .

 Exemplo 2 
Sexa .

Pódese descompor desta maneira



multiplicando por , temos:

 .

Simplificando

 .

Procedemos a asignar valores a x, para formar un sistema de ecuacións.



Resolvendo o sistema de ecuacións, temos finalmente 

 .

 Exemplo 3 
Temos   que se pode converter en .

Multiplicamos por  temos:

 .

Simplificando,

 .

Agora podemos asignar valores a x



Resolvendo o sistema, resulta  

E o problema resólvese desta maneira

 .

 Integración de fraccións simples 

Para atopar as antiderivadas de fraccións simples pódense distinguir seis casos, dependendo de se o grao do numerador é 0 ou 1, se os polos, é dicir, os ceros do denominador, son reais ou non e se son únicos ou múltiples.

 Fraccións simples con polos reais 

Hai dous casos para fraccións simples con polos reais, xa que o numerador só pode ter grao 0.

Para polos reais e simples temos



e para polos reais e múltiples (), temos

 .

 Fraccións simples con polos complexos 

Hai catro casos para fraccións simples con polos complexos, xa que o grao do numerador pode ser tanto 0 como 1.

No caso de polos complexos e simples e grao de numerador 0, temos

 .

No caso con polos complexos e simples e o grao de numerador 1 pódese reducir a expresión a outras na forma de (3):



Para os dous casos con múltiples polos, as funcións antiderivadas non se poden determinar directamente, mais pódense atopar regras de recursión.

No caso de polos complexos e múltiples () e grao de numerador 0. temos

O caso con polos complexos e múltiples e o grao de reconto 1 pódese reducrir a expresión a outras do tipo (5) ()



 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 



 Outros artigos 
 Integral.
 Ligazóns externas 


 Make partial fraction decompositions with Scilab.

Categoría:Cálculo
Categoría:Fraccións