Identidade de Vandermonde

En combinatoria, a identidade de Vandermonde (ou a convolución de Vandermonde ) é a seguinte identidade para os coeficientes binomiais:



para calquera enteiros non negativos r, m, n. A identidade leva o nome de Alexandre-Théophile Vandermonde (1772), aínda que xa era coñecida en 1303 polo matemático chinés Zhu Shijie..

Existe un q-análogo a este teorema chamado identidade q-Vandermonde.

A identidade de Vandermonde pódese xeneralizar de moitas maneiras, incluíndo a identidade



 Probas 

 Demostración alxébrica 
En xeral, o produto de dous polinomios con graos m e n, respectivamente, vén dado por



onde usamos a convención de que ai = 0 para todos os números enteiros i>m e bj = 0 para todos os números enteiros j > n. Polo teorema binomial,



Usando o teorema do binomio para os expoñentes m e n, e despois a fórmula anterior para o produto de polinomios, obtemos



Comparando os coeficientes de xr, temos a identidade de Vandermonde para todos os números enteiros r con 0 ≤ r ≤ m + n. Para os enteiros maiores que r, ambos os dous lados da identidade de Vandermonde son cero debido á definición de coeficientes binomiais.

 Proba combinatoria 
A identidade de Vandermonde tamén admite unha proba combinatoria de duplo reconto, como segue. Supoñamos que un comité está formado por m homes e n mulleres. De cantas formas se pode formar un subcomité de r membros? A resposta é



A resposta tamén é a suma de todos os valores posibles de k, do número de subcomités formados por k homes e r − k mulleres:



 Xeneralizacións 

 Identidade xeneralizada de Vandermonde 
Pódese xeneralizar a identidade de Vandermonde do seguinte xeito:



Esta identidade pódese obter mediante a derivación alxébrica anterior cando se usan máis de dous polinomios, ou mediante un simple argumento de conta dupla.

Por unha banda, un elixe  elementos dun primeiro conxunto de  elementos; despois   doutro conxunto de  elementos, e así para  deses conxuntos, en total temos  elementos escollidos entre os  conxuntos. Un, polo tanto, elixe  elementos de no lado esquerdo, que tamén é exactamente o que se fai no lado dereito.

 Identidade Chu-Vandermonde 

Esta identidade xeneralízase a argumentos non enteiros. Neste caso, coñécese como a identidade Chu-Vandermonde  e pode tomar distintas formas:

 Como convolución de binomiais 


para s e t sendo valores complexos en xeral e calquera número enteiro non negativo n. Pódese demostrar igual que a proba alxébrica anterior multiplicando as series de   e  e comparando termos coa serie binomial para .
 Exemplo 

 Con factoriais descendentes



Nesta forma é claramente recoñecible como unha variante sombra do teorema binomial. 
 Exemplo 

 Como variante do  teorema hiperxeométrico de Gauss 
A identidade Chu-Vandermonde tamén se pode ver como un caso especial do teorema hiperxeométrico de Gauss, usando a función hiperxeométrica con z = 1 e a = − n.


onde  é a función hiperxeométrica e  é a función gamma.

.

 Xeneralización 
A identidade Rothe-Hagen é unha xeneralización adicional desta identidade:

 Distribución de probabilidade hiperxeométrica 
Se dividimos os dous lados pola expresión da esquerda, de xeito que a suma sexa 1, entón os termos da suma poden interpretarse como probabilidades. A distribución de probabilidade resultante é a distribución hiperxeométrica. Esa é a distribución de probabilidade do número de bólas vermellas en r escollas sen substitución dunha urna que contén n bólas vermellas e m azuis.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Outros artigos 
 Identidade de Rothe–Hagen

Categoría:Probabilidade
Categoría:Álxebra
Categoría:Teoremas
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Combinatoria