Grao dun polinomio

O grao dun termo dunha variábel nun polinomio é o expoñente desa variábel nese termo. E o grao dun polinomio e o grao do termo de maior grao. 

Por exemplo, en , o termo de maior grao é ; dise que este termo e, polo tanto, todo o polinomio, é de grao 3.

Nos polinomios de dúas ou máis variábeis, o grao dun termo é a suma dos expoñentes das variábeis nese termo; o grao do polinomio, de novo, é o grao maior. Por exemplo, o polinomio  ten grao 4, o mesmo grao que o termo .

 Comportamento baixo operacións con polinomios 

 Comportamento baixo a suma 
O grao da suma (ou diferenza) de dous polinomios é menor ou igual ao maior dos dous graos: 

Por exemplo,

 O grao de  é 3. Teña en conta que 3 ≤ máximo (3, 2).
 O grao de  é 2. Teña en conta que 2 ≤ máximo (3, 3).

 Comportamento baixo a multiplicación 

O grao do produto dun polinomio por un escalar distinto de cero é igual ao grao do polinomio; é dicir,

.

Por exemplo, o grao de  é 2, que é igual ao grao de .

Así, o conxunto de polinomios (con coeficientes dun corpo dado F) cuxos graos son menores ou iguais a un número dado n forma un espazo vectorial.

Máis xeralmente, o grao do produto de dous polinomios sobre un corpo ou un dominio de integridade é a suma dos seus graos:
.

Por exemplo, o grao de  é 5 = 3 + 2.

Para polinomios sobre un anel arbitrario, as regras anteriores poden non ser válidas, debido á cancelación que pode ocorrer ao multiplicar dúas constantes distintas de cero. Por exemplo, no anel  de números enteiros módulo 4, temos , maos , que non é igual á suma dos graos dos factores.

 Comportamento baixo a composición de funcións 
O grao da composición de dous polinomios non constantes  e  nun corpo ou dominio de integridade é o produto dos seus graos:

Por exemplo, se  ten o grao 3 e  ten o grao 2, daquela a súa composición é  que ten o grao 6.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Teorema fundamental da álxebra.

Categoría:Polinomios