Sigma-álxebra

En análise matemática e teoría da probabilidade, unha σ-álxebra sobre un conxunto X é unha colección non baleira Σ de subconxuntos de X pechados baixo a complementación, a unión numerable e a intersección numerable. O par ordenado  chámase espazo medible.

 Definición 
Dado un conxunto non baleiro , e  o seu conxunto de partes, dicimos que  é unha -álxebra en  se se satisfán as seguintes condicións:

 O conxunto baleiro  e o conxunto total  son elementos de .
 Dado un elemento , o seu conxunto complementario  tamén pertence a .
 (-aditividade) Dado un conxunto numerable , o conxunto unión  tamén pertence a .

Dado  un conxunto e  unha -álxebra en , chamamos espazo medible ao par formado por .

 Propiedades das -álxebras 
Sexa  un espazo medible. Pódese demostrar que

 (Aditividade finita) Dado un conxunto finito  de elementos de , o conxunto unión (finita)  tamén é un elemento de .
 Dado un conxunto numerable  de elementos de , o conxunto intersección (numerable)  tamén pertence a . Desta propiedade dedúcese que tamén ocorre o mesmo para a intersección finita de elementos de .
 Dados dous elementos  de , o conxunto  tamén pertence a .

 Exemplos de -álxebras 

 Chamamos -álxebra trivial á -álxebra formada polo conxunto baleiro e o total: . Trátase da -álxebra máis pequena sobre .

 A maior -álxebra posible sobre  é o conxunto . Calquera -álxebra  sobre  satisfai que .

 Dadas dúas -álxebras  e , a súa intersección  é tamén unha -álxebra en .

 Dado un subconxunto , a menor -álxebra sobre  que contén a  é .

 Dado , a menor -álxebra sobre  que contén a  é a intersección de todas as -álxebras que conteñen a . Denominámola -álxebra xerada por .

 Dado un conxunto , denominamos -álxebra inducida a . Esta é unha -álxebra sobre o conxunto .

 Funcións medibles e -álxebras 
Dicimos que unha función  é medible se a preimaxe dun conxunto medible en  é medible en , isto é, se para cada  tense que .

A noción de función medible motiva a definición das seguintes -álxebras:
 σ-álxebra mínima 

Por construción, esta é a mínima -álxebra (no sentido da inclusión) sobre  tal que a función  é medíbel.

 σ-álxebra máxima 

Trátase da máxima -álxebra (no sentido da inclusión) sobre  tal que a función  é medíbel.

σ-álxebras de Borel e Lebesgue
Un exemplo importante é a álxebra de Borel sobre calquera espazo topolóxico: a σ-álxebra xerada polos conxuntos abertos (ou, equivalentemente, polos conxuntos pechados). Esta σ-álxebra non é, en xeral, o conxunto de partes completo. Para un exemplo non trivial que non é un conxunto de Borel, véxase o conxunto de Vitali ou o Conxuntos non borelianos.

No espazo euclidiano , outra σ-álxebra é importante: a de todos os conxuntos medíbeis de Lebesgue. Esta σ-álxebra contén máis conxuntos que a σ-álxebra de Borel en  e é a preferida na teoría de integración, xa que dá un espazo de medida completo.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 



 Outros artigos 
 Función medible
 Medida (matemáticas)

 Ligazóns externas 

 Sigma Algebra from PlanetMath.

Categoría:Teoría da medida
Categoría:Estatística