Produto directo

En matemáticas, pódese definir a miúdo un produto directo de obxectos xa coñecidos, dando un novo. Isto induce unha estrutura sobre o produto cartesiano dos conxuntos subxacentes a partir dos obxectos contribuíntes. De forma máis abstracta, fálase do produto na teoría de categorías, que formaliza estas nocións.

Exemplos son o produto de conxuntos, grupos, aneis e outras estruturas alxébricas. tamén temos o produto dos espazos topolóxicos.

 Exemplos 

 Se pensamos  como o conxunto de números reais sen máis estrutura, entón o produto directo  é só o produto cartesiano 
 Se pensamos  como o grupo de números reais baixo adición, entón o produto directo  aínda ten  como o seu conxunto subxacente. A diferenza entre este e o exemplo anterior é que  agora é un grupo, polo que tamén temos que dicir como engadir os seus elementos. Isto faise definindo 
 Se pensamos  como o anel dos números reais, daquela o produto directo  de novo ten  como o seu conxunto subxacente. A estrutura do anel consiste na suma definida por  e na multiplicación definida por 
 Aínda que o anel  é un corpo,  non o é, porque o elemento distinto de cero  non ten inverso multiplicativo .

De xeito semellante, podemos falar do produto directo dun número finito de estruturas alxébricas, por exemplo,  Isto é posíbel debido a que o produto directo é asociativo ata isomorfismo. É dicir,  para calquera estruturas alxébricas  e  do mesmo tipo. O produto directo tamén é conmutativo ata isomorfismo, é dicir,  para calquera estrutura alxébrica  e  do mesmo tipo. Mesmo podemos falar do produto directo de infinitas estruturas alxébricas; por exemplo podemos tomar o produto directo de moitas copias contables de  que escribimos como 

 Produto directo de grupos 
Na teoría de grupos pódese definir o produto directo de dous grupos  e  denotado por  Para os grupos abelianos que se escriben aditivamente, tamén se pode denominar suma directa de dous grupos, denotada por 

Defínese do seguinte xeito:

 o conxunto dos elementos do novo grupo é o produto cartesiano dos conxuntos de elementos de  é dicir 
 sobre estes elementos ponse unha operación, definida a nivel de elementos: 

Teña en conta que  pode coincidir con 

Esta construción dá un novo grupo. Ten un subgrupo normal isomorfo a  (dado polos elementos da forma  ), e outro isomorfo a  (que comprende os elementos  ).

Na dirección contraria tamén se cumpre.  Se un grupo  contén dous subgrupos normais  tal que  e a intersección de  contén só a identidade, daquela  é isomorfo a  Unha relaxación desta condición, de modo que só necesitásemos que un subgrupo fose normal, entón temos un produto semidirecto.

Como exemplo, tome como  dúas copias do único grupo (ata isomorfismos) de orde 2,  digamos  Entón  coa operación realizada elemento por elemento. Por exemplo,  e 

Cun produto directo, obtemos a maiores algúns homomorfismos de grupos naturais: os mapas de proxección definidos por 

e chámanse funcións de coordenadas.

Para calquera grupo  e calquera número enteiro  a aplicación repetida do produto directo dá o grupo de todas as -tuplas   por exemplo  e 

 Produto directo de módulos 
O produto directo para módulos (que non debe confundirse co produto tensorial) é moi semellante ao definido para os grupos anteriormente, utilizando o produto cartesiano coa operación de adición por compoñentes, e a multiplicación escalar  distribuíndose por todos os compoñentes. A partir de  obtemos o espazo euclidiano  o exemplo prototípico dun  espazo vectorial real  -dimensional. O produto directo de  e  é 

Teña en conta que un produto directo para un índice finito  é canonicamente isomorfo á suma directa  A suma directa e o produto directo non son isomorfos para índices infinitos.

 Produto directo de espazos topolóxicos 
O produto directo para unha colección de espazos topolóxicos  para  en  algún conxunto de índices, unha vez máis fai uso do produto cartesiano 

Defínese a topoloxía para finitamente moitos factores: simplemente tomamos como base de conxuntos abertos a colección de todos os produtos cartesianos de subconxuntos abertos de cada factor: 

Esta topoloxía chámase topoloxía do produto . Por exemplo, para definir directamente a topoloxía do produto  polos conxuntos abertos de  (unións disxuntas de intervalos abertos), a base desta topoloxía consistiría en todas as unións disxuntas de rectángulos abertos no plano (como se ve, coincide coa topoloxía métrica habitual).

Para obter máis propiedades e formulacións equivalentes, consulte a topoloxía produto.

 Produto directo de relacións binarias 
Sobre o produto cartesiano de dous conxuntos con relacións binarias  definimos  como  Se  son ambos os dous reflexivos, irreflexivos, transitivos, simétricos ou antisimétricos, entón  tamén o será.  Do mesmo xeito, a totalidade de  é herdada de  Ao combinar propiedades despréndese que isto tamén se aplica ao ser unha preorde e unha relación de equivalencia. Porén, se  son relacións conectadas,  non precisa estar conectado; por exemplo, o produto directo de  sobre  consigo mesmo non  relaciona 

 Produto directo en álxebra universal 
Se  é unha sinatura fixada,  é un conxunto de índices arbitrario (posiblemente infinito) e  é unha familia indexada de  álxebras, o produto directo  é unha  álxebra definida como segue:

 O conxunto universo  de  é o produto cartesiano dos conxuntos universo  de  formalmente: 
 Para cada  e cada -aria operación de símbolo  a súa interpretación  en  defínese por compoñentes, formalmente: para todos os  e cada  o -ésimo compoñente de  defínese como 

 Produto directo interno e externo 
Algúns autores fan unha distinción entre un produto directo interno e un produto directo externo. Por exemplo, se  e  son subgrupos dun grupo abeliano aditivo , tal que  e , entón  e dicimos que  é o produto directo interno de  e . Para evitar ambigüidades, podemos referirnos ao conxunto  como produto directo externo de  e .
 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
 Outros artigos 
 Suma directa.
 Produto tensorial.
 Ligazóns externas 
 Produto directo en MathWorld.

Categoría:Álxebra abstracta
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas