Teorema fundamental dos homomorfismos

En álxebra abstracta, o teorema fundamental dos homomorfismos, tamén coñecido como primeiro teorema do isomorfismo, relaciona a estrutura de dous obxectos entre os que se dá un homomorfismo, e do núcleo e a imaxe do homomorfismo.

Este teorema utilízase para demostrar os teoremas do isomorfismo .

 Versión para grupos 
miniatura| Diagrama do teorema fundamental dos homomorfismos, onde f é un homomorfismo, N é un subgrupo normal de G, e temos que e define o elemento de identidade de G.
Dados dous grupos G e H e un homomorfismo de grupos , sexa N un subgrupo normal en G e φ o homomorfismo sobrectivo natural  (onde  é o grupo cociente de G por N). Se N é un subconxunto de ker(f) entón existe un único homomorfismo  tal que .

Noutras palabras, a proxección natural φ é universal entre os homomorfismos en G que mapean N no elemento identidade.

A situación descríbese no seguinte diagrama conmutativo:

 Ficheiro:Fundamental_Homomorphism_Theorem_v2.svg

h é inxectiva se e só se . Polo tanto, estabelecendo , obtemos inmediatamente o primeiro teorema do isomorfismo .

Podemos escribir o enunciado do teorema fundamental dos homomorfismos de grupos como "toda imaxe homomorfa dun grupo é isomorfa a un grupo cociente".

 Proba 
A demostración dedúcese a partir de dous feitos básicos sobre homomorfismos, a saber, a súa conservación da operación de grupo e a súa correspondencia entre os elementos identidade. Temos que demostrar que se  é un homomorfismo de grupos, entón:

  é un subgrupo 
  é isomorfo a 

 Proba de 1 
A operación que se conserva por  é a operación do grupo. Se , entón existen elementos  tal que  e . Para estes  e  temos  (posto que  preserva a operación do grupo), e así, a propiedade de peche está satisfeita en . O elemento identidade  tamén está en  porque  mapea o elemento de identidade de  no identidade de . Posto que cada elemento  en  ten un inverso  tal que  (porque  preserva a propiedade inversa tamén), temos un inverso para cada elemento  en , polo tanto,  é un subgrupo de . 

 Proba de 2 
Construír un mapa  por . Este mapa está ben definido, pois se , entón  e así  que dá . Este mapa é un isomorfismo.  é sobrexectivo sobre  por definición. Para mostrar a inxectividade, se , entón , o que implica  así que . 
Finalmente,

por tanto  preserva a operación do grupo. Por tanto  é un isomorfismo entre  e , o que completa a proba.

 Aplicacións 
A versión de grupos do teorema fundamental dos homomorfismos pode ser usada para mostrar que dous grupos son isomorfos. A continuación móstranse dous exemplos.

 Enteiros módulo n 
Para cada , considere os grupos  e  e un homomorfismo de grupo  definido por  (ver aritmética modular). A continuación, considere o kernel de , , que é un subgrupo normal en . Existe un homomorfismo sobrexectivo natural  definido por . O teorema afirma que existe un isomorfismo  entre  e , ou noutras palabras . O diagrama conmutativo está ilustrado a continuación.

 150x150px

 Teorema N/C 
Sexa  un grupo con subgrupo . Sexan ,  e  o centralizador, o normalizador e o grupo de automorfismos de  en , respectivamente. Daquela, o teorema N/C afirma que  é isomorfo a un subgrupo de .

 A proba 
Podemos atopar un homomorfismo de grupos  definido por , para todo . Claramente, o kernel de  é . Por tanto, temos un homomorfismo sobrexectivo natural  definido por . O teorema fundamental dos homomorfismos afirma entón que existe un isomorfismo entre  e , que é un subgrupo de .

 Outras versións 
Teoremas similares son válidos para monoides, espazos vectoriais, módulos e, aneis.
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 





 Outros artigos 
 Categoría cociente.
 Ligazóns externas 
Matthew Macauley The fundamental homomorphism theorem.

Categoría:Álxebra abstracta
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas