Subgrupo normal

En álxebra abstracta, un subgrupo normal (tamén coñecido como subgrupo invariante ou subgrupo autoconxugado) é un subgrupo que é invariante baixo a conxugación de membros do grupo do que forma parte. Noutras palabras, un subgrupo  do grupo  é normal en  se e só se  para todos os  e . A notación habitual para esta relación é .

Os subgrupos normais son importantes porque eles (e só eles) poden usarse para construír grupos cocientes do grupo dado. Alén diso, os subgrupos normais de  son precisamente os kernel dos homomorfismos de grupos con dominio , o que significa que poden usarse para clasificar internamente eses homomorfismos.

Évariste Galois foi o primeiro en decatarse da importancia da existencia de subgrupos normais.

 Definicións 
Un subgrupo  dun grupo  chámase subgrupo normal de  se é invariante baixo a conxugación; é dicir, a conxugación dun elemento de  por un elemento de  sempre está dentro de . A notación habitual para esta relación é  .

 Condicións equivalentes 
Para calquera subgrupo  de , as seguintes condicións son equivalentes para  ser un subgrupo normal de . Polo tanto, calquera delas pode tomarse como definición.

 A imaxe da conxugación de  por calquera elemento de  é igual a  é dicir,  para todos os .
 A imaxe da conxugación de  por calquera elemento de  é un subconxunto de . Evidente polo punto anterior, así nas deducións é máis simple probar  para todos os .
 Para todos os , as coclases esquerda e dereita  e  son iguais.
 Os conxuntos de coclases esquerdas e dereitas de  en  coinciden.
 A multiplicación en  conserva a relación de equivalencia "está na mesma coclase esquerda que". É dicir, para cada  que satisfaga  e , temos .
 Existe un grupo no conxunto de coclases esquerdas de  onde a multiplicación de dúas coclases esquerdas calquera  e  dá a coclase esquerda  (este grupo chámase grupo cociente de  módulo , denotado ).
  é unha unión de clases de conxugación de .
  presérvase polos automorfismos internos de .
 Existe algún homomorfismo de grupo  cuxo kernel é .
 Existe un homomorfismo de grupo  cuxas fibras forman un grupo onde o elemento identidade é  e a multiplicación de dúas fibras calquera  e  producen a fibra  (este grupo é o mesmo grupo  mencionado anteriormente).
 Hai algunha relación de congruencia en  para a cal a clase de equivalencia do elemento identidade é .
 Para todos os  e . o conmutador  está en .[Cita necesaria]
 Dous elementos calquera conmutan módulo a relación normal de pertenza ao subgrupo. É dicir, para todo ,  se e só se .[cita necesaria]

 Exemplos 

Para calquera grupo , o subgrupo trivial  composto só polo elemento identidade de  é sempre un subgrupo normal de . Así mesmo,  en si é sempre un subgrupo normal de  (se estes son os únicos subgrupos normais, entón  dise que é simple). 

Outros subgrupos normais dun grupo arbitrario con nome característico inclúen o centro do grupo (o conxunto de elementos que conmutan con todos os demais elementos) e o subgrupo conmutador. .   Máis xeralmente, dado que a conxugación é un isomorfismo, calquera subgrupo característico é un subgrupo normal.

Se  é un grupo abeliano, daquela cada subgrupo  de  é normal, porque . En xeral, para calquera grupo , cada subgrupo do centro  de  é normal en  (no caso especial de  ser abeliano, o centro é todo , de aí o feito de que todos os subgrupos dun grupo abeliano son normais). Un grupo que non é abeliano mais para o que todos os subgrupos son normais chámase grupo hamiltoniano. 

Un exemplo concreto de subgrupo normal é o subgrupo  do grupo simétrico , composto pola identidade e ambos os tres ciclos. En particular, pódese comprobar que cada clase de  é igual ao propio  ou é igual a . Por outra banda, o subgrupo  non é normal en  xa que . Isto ilustra o feito xeral de que calquera subgrupo  de índice dous é normal.

Como exemplo dun subgrupo normal dentro dun grupo linear, considere o grupo linear xeral  de todas as matrices   invertíveis con entradas reais baixo a operación de multiplicación matricial e o seu subgrupo  de todas as matrices  de determinante 1 (o grupo linear especial). Para ver por que o subgrupo  é normal en , considere calquera matriz  en  e calquera matriz invertíbel . Agora empregando as dúas identidades importantes  e , temos que, e daquela  tamén. Isto significa que  é pechado baixo a conxugación en , polo que é un subgrupo normal. 

O grupo de translación é un subgrupo normal do grupo euclidiano en calquera dimensión. Isto significa que aplicando unha transformación ríxida, seguida dunha translación e despois a transformación ríxida inversa, ten o mesmo efecto que unha única translación. Pola contra, o subgrupo de todas as rotacións sobre a orixe non é un subgrupo normal do grupo euclidiano, sempre que a dimensión sexa polo menos 2: primeiro trasladar, despois xirar sobre a orixe e despois trasladar de volta normalmente non fixará a orixe, e polo tanto, non terá o mesmo efecto que unha única rotación sobre a orixe.

 Propiedades 

 Se  é un subgrupo normal de , e  é un subgrupo de  que contén , entón  é un subgrupo normal de .
 Un subgrupo normal dun subgrupo normal dun grupo non ten por que ser normal no grupo. É dicir, a normalidade non é unha relación transitiva. O grupo máis pequeno que presenta este fenómeno é o grupo diédrico de orde 8. Non obstante, un subgrupo característico dun subgrupo normal é normal. Un grupo no que a normalidade é transitiva chámase grupo T.
 Os dous grupos  e  son subgrupos normais do seu produto directo .
 Se o grupo  é un produto semidirecto , entón  é normal en , aínda que  non ten por que ser normal en .
 Se  e  son subgrupos normais dun grupo aditivo  tal que  e , daquela .
 A normalidade consérvase baixo homomorfismos sobrexectivos; é dicir, se  é un homomorfismo sobrexectivo de grupo e  é normal en , daquela a imaxe  é normal en .
 A normalidade consérvase tomando imaxes inversas; é dicir, se  é un homomorfismo de grupo e  é normal en , daquela a imaxe inversa  é normal en .
 Consérvase a normalidade ao tomar produtos directos; é dicir, se  e , daquel .
 Cada subgrupo de índice 2 é normal. De forma máis xeral, un subgrupo, , de índice finito, , en  contén un subgrupo,  normal en  e de índice que divide  chamado corazón normal. En particular, se  é o primo máis pequeno que divide a orde de , daquela todos os subgrupos do índice  son normais.
 O feito de que os subgrupos normais de  sexan precisamente os kernels dos homomorfismos de grupo definidos en  explica parte da importancia dos subgrupos normais; son unha forma de clasificar internamente todos os homomorfismos definidos nun grupo. Por exemplo, un grupo finito non identitario é simple se e só se é isomorfo a todas as súas imaxes homomorfas non identitarias, un grupo finito é perfecto se e só se non ten subgrupos normais de índice primo, e un grupo é imperfecto se e só se o subgrupo derivado non se complementa con ningún subgrupo normal propio.

 Retícula de subgrupos normais 
Dados dous subgrupos normais,  e , de , a súa intersección  e o seu produto  tamén son subgrupos normais de .

Os subgrupos normais de  forman unha retícula baixo a  inclusión de subconxuntos co mínimo elemento, , e o maior elemento, . O "meet" de dous subgrupos normais,  e , nesta retícula é a súa intersección e o "join" é o seu produto.

 Subgrupos normais, grupos cocientes e homomorfismos 
Se  é un subgrupo normal, podemos definir unha multiplicación en coclases secundarias do seguinte xeito:  

Esta relación define un mapa . Para mostrar que esta mapeo está ben definido, hai que demostrar que a elección dos elementos representativos  non afecta o resultado. Para iso, considere algúns outros elementos representativos . Daquela existen  tal que . Dedúcese que 

onde tamén utilizamos o feito de que  é un subgrupo  e, polo tanto, existe  tal que . Isto demostra que este produto é un mapeo ben definido entre coclases.

Con esta operación, o conxunto de coclases secundarias é en si un grupo, chamado grupo cociente e denotado  Existe un homomorfismo natural, , dado por . Este homomorfismo mapea  no elemento identidade (ou elemento neutro) de , que é a coclase ,  é dicir, .

En xeral, un homomorfismo de grupo,  envía subgrupos de  a subgrupos de . A maiores, a preimaxe de calquera subgrupo de  é un subgrupo de . Chamamos á preimaxe do grupo trivial  en  ao kernel do homomorfismo e denotámolo como . Como se ve, o kernel (ou núcleo) sempre é normal e a imaxe de , é sempre isomorfa a  (o primeiro teorema de isomorfismo).

De feito, esta correspondencia é unha bixección entre o conxunto de todos os grupos cocientes de , , e o conxunto de todas as imaxes homomorfas de  (até isomorfismo). Tamén é doado ver que o kernel do mapa cociente, , é o propio , polo que os subgrupos normais son precisamente os kernels dos homomorfismos con dominio .

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Grupo cociente
 Coclase

Operacións levando subgrupos a subgrupos
Centralizador e normalizador
Pechamento conxugado
Corazón dun subgrupo

Propiedades do subgrupo complementarias (ou opostas) á normalidade
Subgrupo malnormal
Subgrupo contranormal
Subgrupo anormal
Subgrupo de autonormalización

Propiedades do subgrupo máis fortes que a normalidade
Subgrupo característico
Subgrupo totalmente característico

Propiedades do subgrupo máis febles que a normalidade
Subgrupo subnormal
Subgrupo ascendente
Subgrupo descendente
Subgrupo cuasinormal
Subgrupo seminormal
Conxugar subgrupo permutábel
Subgrupo modular
Subgrupo pronormal
Subgrupo paranormal
Subgrupo polinormal
Subgrupo C-normal

Nocións relacionadas en álxebra
Ideal (teoría dos aneis)
Semigrupo ideal

 Ligazóns externas 

 Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics
 Robert Ash: Group Fundamentals in Abstract Algebra. The Basic Graduate Year
 Timothy Gowers, Normal subgroups and quotient groups
 John Baez, What's a Normal Subgroup?

Categoría:Teoría de grupos
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas