Sección e retracción (teoría das categorías)

Na teoría das categorías, unha sección é a inversa pola dereita dalgún morfismo. Dualmente, unha retracción é unha inversa pola esquerda dalgún morfismo. Noutras palabras, se  e  son morfismos cuxa composición  é o morfismo de identidade , entón  é unha sección de , e  é unha retracción de .Mac Lane (1978, p.19).

Cada sección é un monomorfismo (todo morfismo cunha inversa pola esquerda é cancelativo pola esquerda), e toda retracción é un epimorfismo (todo morfismo cunha inversa pola dereita é cancelativo pol dereita).

En álxebra, as seccións tamén se denominan monomorfismos divididos e as retraccións tamén se denominan epimorfismos divididos. Nunha categoría abeliana, se  é un epimorfismo dividido con monomorfismo dividido , entón  é isomorfo á suma directa de  e o kernel de . 

 Propiedades 

 Unha sección que tamén é un epimorfismo é un isomorfismo. Dualmente unha retracción que tamén é un monomorfismo é un isomorfismo.

 Terminoloxía 
O concepto de retracción na teoría de categorías provén da noción esencialmente similar de retracción en topoloxía:  onde  é un subespazo de  é unha retracción no sentido topolóxico, se é unha retracción do mapa de inclusión  no sentido da teoría das categorías. O concepto en topoloxía foi definido por Karol Borsuk en 1931.

 Exemplos 
Na categoría de conxuntos, todo monomorfismo (función inxectiva) cun dominio non baleiro é unha sección, e todo epimorfismo (función sobrexectiva) é unha retracción; esta última afirmación é equivalente ao axioma da escolla.

Na categoría de espazos vectoriais sobre un corpo K, cada monomorfismo e cada epimorfismo divídese; isto débese ao feito de que os mapas lineares poden ser definidos de forma única especificando os seus valores nunha base.

Na categoría dos grupos abelianos, o epimorfismo Z → Z/2Z que envía cada número enteiro ao seu resto módulo 2 non se divide; de feito o único morfismo Z/2Z → Z é o mapa cero. Do mesmo xeito, o monomorfismo natural Z/2Z → Z/4Z non se divide aínda que haxa un morfismo non trivial Z/4Z → Z/2Z.

O concepto categórico de sección é importante na álxebra homolóxica, e tamén está intimamente relacionado coa noción de sección dun fibrado en topoloxía: neste último caso, unha sección dun fibrado é unha sección do fibrado do mapa de proxección do fibrado. 

Dado un espazo cociente  con mapa cociente , unha sección de  chámase transversal.

Sexan  e  dúas categorías e  sexa un functor covariante de  en . Entón, se  é unha sección (respectivamente  unha retracción) de , a frecha  é unha sección (respectivamente unha retracción) de ..

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 


 Outros artigos 
Lema de separación

Categoría:Teoría das categorías