Rango (álxebra linear)

o rango dunha familia de vectores é a dimensión do subespazo vectorial xerado por esta familia. Por exemplo, para unha familia de vectores linearmente independentes, o seu rango é o número de vectores;
 o rango dun mapa linear  de  en  é a dimensión da súa imaxe, que é un subespazo vectorial de . O teorema do rango relaciona a dimensión de , a dimensión do kernel de  e o rango de ;
 o rango dunha matriz é o rango do mapa linear que representa, ou o rango da familia dos seus vectores columna;
 O rango dun sistema de ecuacións lineares é o número de ecuacións que ten calquera sistema escalonado equivalente. É igual ao rango da matriz de coeficientes do sistema.

 Rango dunha matriz 
O rango dunha matriz  (cuxos coeficientes pertencen a un corpo conmutativo de escalares,  ), denotado , pode definirse mediante calquera dos seguintes enunciados:

 o número máximo de vectores fila (ou columna) linearmente independentes;
 a dimensión do subespazo vectorial xerado polos vectores fila (ou columna) de ;
 a maior orde das matrices cadradas invertíbeis extraídas de ;
 a maior das ordes de menores non nulos de ;
 o menor tamaño das matrices  e  cuxo produto é igual a .

O rango pódese determinar realizando unha eliminación mediante o método Gauss-Jordan e examinando a forma escalonada obtida deste xeito.

 Exemplo 
Considere a seguinte matriz :

Chamamos  os vectores formados polas catro filas de .

Vemos que o 2 fila é o duplo da primeira fila, polo que o rango de  é igual ao da familia  .

Tamén observamos que a fila cuarta pódese formar sumando as filas 1 e 3 (i.e.  ). Entón o rango de  é igual ao de  .

As liñas 1 e 3 son linearmente independentes (é dicir, non proporcionais). Así temos que  é de rango 2 e por tanto o rango de  é 2.

 Rango dunha forma cuadrática 
O rango dunha forma cuadrática é o rango da matriz asociada.

 Rango dun mapa linear 
Dados dous -espazos vectoriais , , onde  é un corpo conmutativo e un mapa linear  de  en , o rango de  é a dimensión da imaxe .

Se  e  son de dimensións finitas, tamén é o rango da matriz asociada  en dúas bases de  e . En particular, o rango da matriz asociada  non depende das bases escollidas para representar . De feito, a multiplicación pola dereita ou pola esquerda por unha matriz invertíbel non modifica o rango, o que leva , onde  é a matriz que representa  nun primeiro par de bases, e ,  son as matrices de cambio de bases.

 Rango dunha familia de vectores 

 Para unha familia, o seu rango corresponde ao número máximo de vectores que pode conter unha subfamilia libre desta familia.
 Tamén podemos definir o rango dunha familia  por :  .

Nota : se  é unha familia de vectores indexados polos enteiros de 1 a , entón o rango de  é o rango do mapa linear Onde  é o corpo dos escalares. A razón é esta :  é a imaxe deste mapa linear.

 Teorema do rango 
Teorema do rango: sexa  unha aplicación linear de  en , 

 Caso no que o corpo dos escalares non é conmutativo 
No anterior, asumimos que o corpo dos escalares é conmutativo. Podemos estender a noción de rango dunha matriz ao caso en que o corpo de escalares non é necesariamente conmutativo, pero a definición é un pouco máis delicada.

Sexa  un corpo non necesariamente conmutativo e  unha matriz con m filas e n columnas con coeficientes en . Chamamos rango de  (en relación con ) á dimensión do subespazo xerado polas columnas de  en  equipado coa súa estrutura de -espazo vectorial pola dereitaDefinición conforme a N. Bourbaki, Algèbre, partie I, Paris, Hermann, 1970, p. II.59, definición 7.. Demostramos que o rango de  tamén é igual á dimensión do subespazo xerado polas filas de  en  equipado coa súa estrutura de espazo vectorial K pola esquerdaVer N. Bourbaki, Algèbre, partie I, Paris, Hermann, 1970, p. II.59, prop. 10..

Considere por exemplo un corpo non conmutativo K e a matriz , onde  e  son dous elementos de  que non conmutan (e son distintos de cero).

As dúas filas desta matriz están relacionadas linearmente no espazo vectorial pola esquerda , porque . Do mesmo xeito, as dúas columnas están relacionadas no espazo vectorial pola dereita , porque . O rango da matriz é, polo tanto, igual a 1.

Por outra banda, as dúas columnas non están relacionadas no espazo vectorial pola esquerda . De feito, sexan ,  escalares tal que . Entón (primeiros compoñentes) , polo tanto (segundos compoñentes) . Posto que ,   non  conmutan, isto resulta en  (ao multiplicar por  obtemos unha contradición) . Demostramos así que as dúas columnas da matriz son linearmente independentes no espazo vectorial pola esquerda .
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors  and System of Equations 
 Mike Brookes: Matrix Reference Manual. 
 Outros artigos 
 Rango dun módulo libre.
 Ligazóns externas 
 WolframAlpha matrix rank calculator.

Categoría:Álxebra lineal
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas