Relación inversa

En matemáticas, a inversa dunha relación binaria é a relación que se produce cando se troca a orde dos elementos na relación. Por exemplo, a inversa da relación 'fillo de' é a relación 'pai de'. En termos formais, se  e  son conxuntos e  é unha relación de  a  entón  é a relación definida detal forma que  se e só se 



Se representamos a relación como unha matriz a relación inversa sería a matriz transposta, de aí a nomenclatura co superíndice "T": .

Por analoxía coas funcións pode verse escrita co superíndice "-1": . Aínda que moitas funcións non teñen unha inversa, toda relación ten unha única inversa.

Outras formas usadas menos frecuentes son: 

 Exemplo 
Para as relacións de orde habituais (estritas ou parciais), a inversa é a orde "oposta" elementalmente esperada, por exemplo, 

Unha relación pode ser representada por unha matriz lóxica como 

Logo, a relación inversa represéntase pola matriz transposta:

 Inversas 
No monoide das relacións homoxéneas binarias nun conxunto (sendo a operación binaria sobre relacións a composición das relacións), a relación inversa non satisfai a definición de inverso da teoría de grupos, é dicir, se  é unha relación arbitraria sobre  entón  non é igual, en xeral, á relación de identidade en . A relación inversa satisfai os axiomas (máis débiles) dun semigrupo con involución:  e 

Se  representa a relación de identidade, daquela unha relación  pode ter unha inversa do seguinte xeito:  chámase


 se existe unha relación  chamada  de  que satisfai 

 se existe unha relación   chamada     of  que satisfai 

 no caso de ser invertíbel bilateral.

Para unha relación homoxénea invertíbel  todas as inversas dereita e esquerda coinciden; este conxunto único chámase a súa  e denotase por  Neste caso si que se cumpre que .
 Relación inversa dunha función 
Unha función é invertíbel se e só se a súa relación inversa é unha función, nese caso a relación inversa é a función inversa.

A relación inversa dunha función  é a relación  definida por 

Isto non é necesariamente unha función: unha condición necesaria é que  sexa inxectiva, xa que senón  é multivaluada. Entón   é unha función (total) se e só se  é sobrexectiva. No caso de que  é bixectiva,  pódese chamar función inversa de 

Por exemplo, a función  ten a función inversa 

Porén, a función  ten a relación inversa  que non é unha función, por ser multivaluada.

 Composición con relación 
Usando a composición de relacións, a inversa pódese compor coa relación orixinal. Por exemplo, a relación de subconxunto composta coa súa inversa é sempre a relación universal:

 ∀ A ∀ B ∅ ⊂ A ∩ B ⇔ A ⊃ ∅ ⊂ B ⇔ A ⊃ ⊂ B. Do mesmo xeito,
 Para U = universo, A ∪ B ⊂ U ⇔ A ⊂ U ⊃ B ⇔ A ⊂ ⊃ B.

Considere agora a relación de pertenza do conxunto e a súa inversa.



Así  A composición contraria  é a relación universal.

As composicións pódense utilizar para clasificar as relacións segundo o tipo: para unha relación Q, cando a relación de identidade no rango de Q contén QTQ, entón Q denomínase univalente . Cando a relación de identidade no dominio de Q está contida en QQ T, entón Q chámase total . Cando Q é univalente e total, entón é unha función. Cando Q T é univalente, entón Q denomínase inxectiva . Cando QT é total, Q denomínase sobrexectiva . 

Se Q é univalente, entón QQT é unha relación de equivalencia no dominio de Q, consulte Relación transitiva#Propiedades relacionadas.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Grafo transposto.

Categoría:Teoría da orde
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas