Función medible

En matemáticas, e en particular na teoría da medida, unha función medible é unha función entre os conxuntos subxacentes de dous espazos medíbeis que preserva a estrutura dos espazos: a preimaxe de calquera conxunto medíbel é medíbel. Isto é en analoxía directa coa definición de que unha función continua entre espazos topolóxicos preserva a estrutura topolóxica: a preimaxe de calquera conxunto aberto é aberto. Na análise real, utilízanse funcións medíbeis na definición da integral de Lebesgue. Na teoría da probabilidade, unha función medíbel nun espazo de probabilidade coñécese como variábel aleatoria.

 Definición 
Imos mostrar dúas defincións de función medíbel, unha delas máis usada na Teoría da medida e outra de uso máis frecuente na Teoría da probabilidade:

 Sexan os espazos medíbeis  e , significando que  e  son conxuntos equipados con cadansúa -álxebras  e  Unha función  dise medíbel se para todo  a preimaxe de  baixo  está en ; isto é, para todo  temos .

 Consideremos o espazo medible . Sexan  e  (onde  é a recta real estendida). Dicimos que  é medible en  se  para todo . 

 Función característica dun conxunto 
Dado , a función indicadora ou función característica de  é a seguinte función medible

En efecto, dado  temos que

e nos tres casos obtemos un conxunto pertencente á -álxebra.

 Propiedades das funcións medibles 

 Consideremos  e  unha función medible. Para cada  con  temos que a restricción de  a  é medible en 
 Consideremos unha colección numerable de conxuntos medibles  e  unha función medible en cada . Temos que  é medible no conxunto 
 Unha función , con  un conxunto medible, é medible se, e só se,  para cada  aberto e, ademais, 
 Dadas  con  un conxunto medible, tamén serán funcións medibles , con 

 Propiedades das funcións características 


 Se , entón .





 Definición de función simple e función simple medible 
Dado un subconxunto , dicimos que unha función  é unha función simple se existen

 Unha colección de conxuntos  disxuntos dous a dous cuxa unión coincida co conxunto 
 Unha colección de escalares 

de maneira que 

Se, considerando agora o espazo medible , temos que  e a colección de conxuntos é tal que , entón a función  chamarase función simple medible.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 







 Outros artigos 
 Teoría da medida.
 Teoría da probabilidade.
 Sigma-álxebra
 Ligazóns externas 
 Función medíbel para procesos estocásticos
 Measurable functions

Categoría:Teoría da medida
Categoría:Funcións