Translación (xeometría)

Na xeometría euclidiana, unha translación é unha transformación xeométrica que move cada punto dunha figura, forma ou espazo na mesma distancia nunha dirección determinada. Unha translación tamén se pode interpretar como a adición dun vector constante a cada punto, ou como un desprazamento da orixe do sistema de coordenadas. Nun espazo euclidiano, calquera tradución é unha isometría.

 Como función 
Se  é un vector fixo, coñecido como vector de translación, e  é a posición inicial dalgún obxecto,  a función de translación  será .

 Aplicación na física clásica 
Na física clásica, o movemento de translación é un movemento que muda a posición dun obxecto con desprazamento linear, e se  complementa coa rotación que dá un desprazamento angular. 

Para trasladar un obxecto séguese a fórmula



onde  é o mesmo vector para cada punto do obxecto. 

 Como grupo 
O conxunto de todas as translacións forma o grupo de translación , que é isomorfo ao propio espazo, e un subgrupo normal do grupo euclidiano . O grupo cociente de  por  é isomorfo ao grupo de movementos ríxidos que fixan un punto de orixe particular, o grupo ortogonal :



Como a translación é conmutativa, o grupo de translación é abeliano. Hai un número infinito de translacións posibles, polo que o grupo de translación é un grupo infinito.

Na teoría da relatividade, debido ao tratamento do espazo e do tempo como un espazo-tempo único, as translacións tamén poden afectar a coordenada do tempo. Por exemplo, o grupo galileano e o grupo de Poincaré inclúen translacións en relación ao tempo.

 Grupos de retículas 

Un tipo de subgrupo do grupo de translación tridimensional son os retículas, que son grupos infinitos, pero a diferenza dos grupos de translación , xéranse de forma finita. É dicir, un conxunto xerador finito xera todo o grupo.

 Representación matricial 
Unha translación é unha transformación afín sen puntos fixos. As multiplicacións matriciais teñen sempre a orixe como punto fixo. Podemos usar coordenadas homoxéneas para representar a translación dun espazo vectorial coa multiplicación matricial: escríbese o vector tridimensional  utilizando 4 coordenadas homoxéneas como . Richard Paul, 1981, Robot manipulators: mathematics, programming, and control : the computer control of robot manipulators, MIT Press, Cambridge, MA

Para mover un obxecto por un vector , cada vector homoxéneo  pódese multiplicar por esta matriz de translación:



E a multiplicación dará o resultado esperado:



A inversa dunha matriz de translación pódese obter invertendo a dirección do vector:



Do mesmo xeito, o produto das matrices de translación dáse sumando os vectores:



Como a suma de vectores é conmutativa, a multiplicación de matrices de translación tamén é conmutativa (a diferenza da multiplicación de matrices arbitrarias).

 Translación de eixes 

Aínda que a translación xeométrica adoita ser vista como un proceso activo que muda a posición dun obxecto xeométrico, pódese conseguir un resultado similar mediante unha transformación pasiva que move o propio sistema de coordenadas pero deixa o obxecto fixo. A versión pasiva dunha tradución xeométrica activa coñécese como translación de eixes.

 Simetría de translación 

Dise que un obxecto que ten o mesmo aspecto antes e despois da translación ten simetría de translación. Un exemplo común é unha función periódica, que é unha función propia dun operador de translación.

 Translacións dunha gráfica 
miniatura| En comparación coa gráfica , a gráfica  trasladouse horizontalmente por , mentres que a gráfica  trasladouse verticalmente por .
Partindo da gráfica de , unha translación horizontal significa compoñer  cunha función , para algún número constante , o que resulta nunha gráfica formada por puntos . Cada  da gráfica orixinal corresponde ao punto  no novo gráfico, o que representa gráficamente un desprazamento horizontal.

Igualmente temos unha translación vertical para a variábel ,  coa función . 

Por exemplo, tomando a función cadrática , cuxa gráfica é unha parábola cun vértice en , unha translación horizontal de 5 unidades á dereita sería a nova función  cuxo vértice está en . Unha translación vertical de 3 unidades cara arriba sería a nova función  con vértice en .
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
Zazkis, R., Liljedahl, P., & Gadowsky, K. Conceptions of function translation: obstacles, intuitions, and rerouting. Journal of Mathematical Behavior, 22, 437-450. 
Transformations of Graphs: Horizontal Translations. (2006, xaneiro 1). BioMath: Transformation of Graphs. 
 Outros artigos 
 Gráficos de ordenador 2D
 Matriz de rotación
 Matriz de transformación

 Ligazóns externas 
 Translation Transform en cut-the-knot
 Geometric Translation (Interactive Animation) en Math Is Fun
 Understanding 2D Translation e máis Understanding 3D Translation by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.

Categoría:Funcións
Categoría:Xeometría elemental
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Simetría