Isometría

En matemáticas, unha isometría (ou congruencia ou transformación congruente) é unha transformación que preserva a distancia entre espazos métricos, normalmente se supón que é bixectiva. |name=CoxeterIsometryDef}} A palabra isometría deriva do grego antigo: ἴσος isos que significa "igual", e μέτρον metron que significa "medida". Se a transformación é dun espazo métrico a si mesmo, é unha especie de transformación xeométrica coñecida como movemento.

 Introdución 
Dado un espazo métrico (vagamente, un conxunto e un esquema para asignar distancias entre os elementos do conxunto), unha isometría é unha transformación que mapea elementos ao mesmo ou a outro espazo métrico de forma que a distancia entre os elementos da imaxe no novo espazo métrico é igual á distancia entre os elementos no espazo métrico orixinal. Nun espazo euclidiano bidimensional ou tridimensional, dúas figuras xeométricas son congruentes se están relacionadas por unha isometría; a isometría que os relaciona é ou ben un movemento ríxido (translación ou rotación) ou unha composición dun movemento ríxido e unha reflexión.

 Definición 
Sexan  e  espazos métricos con métricas (por exemplo, distancias)  e  Un mapa  chámase isometría ou mapa de preservación da distancia, se para todos os ,



Unha isometría é automaticamente inxectiva; se non, dous puntos distintos, a e b, poderían ser mapeados no mesmo punto, contradicindo así o axioma de coincidencia da métrica d, é dicir,  se e só se . 

Unha isometría global, isomorfismo isométrico ou mapeo de congruencia é unha isometría bixectiva. Como calquera outra bixección, unha isometría global ten unha función inversa. A inversa dunha isometría global é tamén unha isometría global.

Dous espazos métricos X e Y chámanse isométricos se hai unha isometría bixectiva de X a Y. O conxunto de isometrías bixectivas desde un espazo métrico ata si mesmo forma un grupo con respecto á composición da función, chamado grupo de isometría.

Unha isometría de camiño ou isometría de arco é un mapa que conserva as lonxitudes das curvas; tal mapa non é necesariamente unha isometría no sentido de preservación da distancia, e non ten por que ser necesariamente bixectivo, nin sequera inxectivo. Este termo adoita abreviarse simplemente a isometría, polo que hai que ter coidado de determinar a partir do contexto que tipo se pretende.

 Exemplos

 Calquera reflexión, translación e rotación é unha isometría global sobre espazos euclidianos.
 O mapa  en  é unha isometría de camiño pero non unha isometría (xeral). Teña en conta que a diferenza dunha isometría, esta isometría de camiño non precisa ser inxectiva.

 Grupo de isometría 

O conxunto de todos os mapas que son isometrías dun conxunto contido nun espazo métrico forma un grupo coñecido como grupo de isometría do conxunto. Nun espazo euclidiano de dimensión n o grupo de isometría  de calquera conxunto é un subgrupo do grupo de produtos formado a partir do grupo ortogonal e o grupo de translaciones:

 Isometrías entre espazos normados 

 Isometría linear 
Dados dous espazos vectoriais normados V e W, unha isometría linear é unha aplicación linear  que conserva a norma:

para todas as . Neste sentido, unha isometría conserva a distancia inducida pola norma do espazo vectorial. Unha isometría chámase global se é unha función sobrexectiva.

Nun espazo pre-hilbertiano (un espazo vectorial dotado de produto escalar), a definición anterior equivale a que

e isto é equivalente a que se conserve o produto escalar:

.

En efecto, que esta igualdade implique a anterior é trivial; o recíproco dedúcese do feito de que o produto escalar está determinado pola norma segundo a identidade do paralelogramo:

Se se conserva a norma, tamén se conserva o produto escalar, dado por esta identidade.

Segundo o teorema de Mazur-Ulam, calquera isometría dun espazo vectorial normado no corpo do números reais é afín.

Debido a como se definen ángulos nun espazo vectorial, toda isometría linear conserva os ángulos, é dicir, unha isometría linear é unha aplicación conforme linear.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 


 Outros artigos 
 Grupo de isometría.
 Rotación
 Translación (xeometría)

Categoría:Simetría
Categoría:Funcións