Join e meet

En matemáticas, concretamente na teoría da orde, o join dun subconxunto  dun conxunto parcialmente ordenado  é o supremo (límite superior mínimo) de  denotado  e do mesmo xeito, o meet de  é o infimo (maior límite inferior), denotado  En xeral, o join e o meet dun subconxunto dun conxunto parcialmente ordenado poden non existir. Join e meet son duais entre si en relación á inversión de orde.

O join/meet dun subconxunto dun conxunto totalmente ordenado é simplemente o elemento maximal/minimal dese subconxunto, se tal elemento existe.

 Definicións 
Sexa  un conxunto cunha orde parcial  e sexan  Un elemento  de  chámase o  (ou  ou ) de  e denótase por  se se cumpren as dúas condicións seguintes:

  (é dicir,  é un límite inferior de  ).
 Para calquera  se  entón  (é dicir,  é maior ou igual a calquera outro límite inferior de  ).

O meet non ten por que existir, xa sexa porque o par non ten límite inferior en absoluto, ou porque ningún dos límites inferiores é maior que todos os demais. No entanto, se hai un meet de  entón é único, xa que se ambos os  son límites inferiores maiores de  entón  e así  Se non todos os pares de elementos de  teñen un meet, entón o meet aínda pode verse como unha operación binaria parcial en 

Se o meet existe, denótase  Se todos os pares de elementos de  teñen un meet, entón o meet é unha operación binaria en  e é fácil ver que esta operación cumpre as tres condicións seguintes: Para calquera elementos 

  (conmutatividade),
  (asociatividade), e
  (idempotencia).

Os join defínense dualmente como join de  se existe, denótase por  Un elemento  de  é o  (ou  ou ) de  en  se se cumpren as dúas condicións seguintes:

  (é dicir,  é un límite superior de ).
 Para calquera  se  entón  (é dicir,  é menor ou igual a calquera outro límite superior de  ).

 Exemplos 
Se algún conxunto de partes  está parcialmente ordenado da forma habitual (por  ) entón os joins son unións e os joins son interseccións; en símbolos,  (onde a semellanza destes símbolos pode usarse como regra  mnemotécnica).

Máis xeral sería o seguinte. Subpoña  é unha familia de subconxuntos dun conxunto  que é un conxunto parcialmente ordenado por  
Se  é pechado baixo unións arbitrarias e interseccións arbitrarias e se  pertencen a  daquela 

Mais se  non é pechado baixo unións daquela  existe en  se e só se existe un único -máis-pequeno  tal que 

Por exemplo, se  entón  mentres que se  entón  non existe porque os conxuntos  son límites superiores de  en  que poderían ser posíbelmente o  límite superior  mais  e  

Se  entón  non existe porque non existe un límite superior de   en 
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 


 Outros artigos 
 Orde parcial.

Categoría:Teoría da orde