Dominio euclidiano

En matemáticas, máis concretamente en álxebra abstracta e teoría de aneis, un dominio euclidiano ou anel euclidiano (normalmente abreviado DE ) é un anel conmutativo no que se pode definir unha función euclidiana que permite xeneralizar a noción de división euclidiana habitual nos enteiros. Este algoritmo euclidiano xeneralizado pode usarse para os mesmos propósitos que o algoritmo euclidiano orixinal sobre o anel de enteiros: nun dominio euclidiano este algoritmo pódese usar para calcular o máximo común divisor de dous elementos calquera. En particular, o máximo común divisor de dous elementos sempre existe -o que xeralmente non é certo para un anel arbitrario- e pódese expresar como unha combinación linear deles (identidade de Bezout). Ademais, todo ideal dun dominio euclidiano é principal, o que implica que o teorema fundamental da aritmética pode ser xeneralizado: cada dominio euclidiano é un dominio de factorización única .

 Definición 
Un dominio euclidiano é un par  onde  É un dominio de integridade e  é unha aplicación  que reúne as dúas condicións seguintes:

1. Para calquera  tal que  é certo que existen  para que2 Para dous elementos calquera  :os elementos  e  chámanse respectivamente cociente e resto, como na división habitual.

Algúns autores consideran que a segunda condición é redundante e pode omitirse da definición.

 Terminoloxía 
Varios autores fan referencia á función , (que define un dominio euclidiano), con diferentes nomes: “aplicación (ou función) euclidiana”, “función de medida” (ou tamaño), e  chámanlle «medida» (the measure) e «tamaño» (size function) respectivamente. “grao” ou “función norma”. refírese a ela como norm function. Nalgúns contextos fálase da "norma euclidiana",Por exemplo . aínda que este nome pode levar a confusión coa norma vectorial que define a distancia usual.

É importante ter en conta que a función norma só toma valores enteiros, aínda que nalgún caso particular pode ampliarse  ao conxunto completo de números reais.

 Exemplos 
Os seguintes son exemplos de aneis que son dominios euclidianos:

 Se tomamos o conxunto de números enteiros  e como norma euclidiana tomamos o valor absoluto  , temos un dominio euclidiano, xa que  para todo  con . Usando esta definición, a propiedade   é equivalente ao algoritmo de división habitual entre números enteiros.

 En todo corpo  pódese definir unha norma euclidiana, tomando esta como a función constante , xa que, para calquera elemento  e  de , as dúas propiedades son satisfeitas dun xeito trivial, a saber:

 tomando  temos que .
 .

 Considerando o anel de polinomios nunha variable  con coeficientes nun corpo  e como norma euclidiana a función


 que a todo polinomio distinto de cero de  asigna o seu grao, o resultado é un dominio euclidiano.

 no anel de enteiros gaussianos, se para cada elemento , onde , definimos a súa norma como , temos un dominio euclidiano.

Os seguintes son exemplos de aneis que non son dominios euclidianos:

 En xeral, o anel de polinomios con coeficientes nun anel  aínda que o propio  é un dominio euclidiano. Por exemplo  non é un dominio euclidiano aínda que  si o é. (A diferenza do caso xeral co exemplo no que o anel de polinomios si que é dominio euclidiano é que non temos definida unha norma que cumpra a condición requirida, que si cumpre a norma definida polo grao do polinomio).

 Propiedades 
Nun dominio euclidiano, a identidade multiplicativa, o elemento , sempre ten a menor norma posíbel, é dicir. . Todas as unidades do anel teñen a mesma propiedade: .

Todo dominio euclidiano  cumpre as seguintes propiedades:

 Cada par de elementos  teñen o mínimo común múltiplo e o máximo común divisor, e verifícase a identidade de Bezout.
 Todo ideal  é principal, é dicir,  é un dominio de ideais principais. 
 Todo elemento  ten unha descomposición única en factores irredutíbeis, é dicir,  é un domino de factorización única . 
 Nun dominio euclidiano todo elemento irredutíbel é primo. 
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 


 , exercice. 7
 Outros artigos 
 División euclidiana.
 Dominio de integridade.
 Ligazóns externas 
 Anel Euclidiano MathWorld .

Categoría:Teoría de aneis