Número pentagonal

Un número pentagonal é un número figurado que estende o concepto de cadrados perfectos e números triangulares ao pentágono. Está extensión non é total, o modelo para a construción dos números pentagonais non ten simetrías. O n-ésimo número pentagonal pn é o número de puntos distintos nun modelo de puntos que consiste nos contornos de pentágonos regulares que comparten un vértide de lados de 1 punto ata de lados de n puntos. Por exemplo, o terceiro está formado a partir de contornos que comprenden 1, 5 e 10 puntos, pero o 1 e o 3 dos 5 coinciden con 3 dos 10, deixando 12 puntos distintos, 10 en forma de pentágono e 2 dentro.

pn vén dado pola fórmula:



para n ≥ 1. Os primeiros números pentagonais son:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247... .

O n-ésimo número pentagonal pódese escribir como a suma dos enteirtos dende n ata 2n-1. Tamén se verifican as seguintes relacións:



Os números pentagonais relaciónanse cos números triangulares, xa que o n-ésimo número pentagonal é un terzo do  número triangular. Ademais, se Tn é o n-ésimo número triangular:



Os números pentagonais xeneralizados obtéñense da fórmula anterior, cando n toma os valores da seguinte secuencia  0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4... , producindo a secuencia:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 22, 21 247, 260, 287, 301, 330, 345... .

Os números pentagonais xeneralizados son de importantancia para a teoría das particións enteiras de Euler, como se expresa no seu teorema dos números pentagonais .

Outra forma de ver os números pentagonais xeneralizados, (cando é -n (valor negativo)) é coller a construción do número pentagonal n+2 e restarlle os puntos do pentágono máis externo.

 Outras propiedades 

  para n>0 é o número de combinacións diferentes de  en n partes que non inclúen 2 ou 3.
  é a suma dos n primeiros números naturais congruentes con 1 mod 3.


 Probas de números pentagonais 
Dado un número enteiro positivo x, para probar se é un número pentagonal (non xeneralizado) podemos calcular



O número x é pentagonal se e só se n é un número natural. Nese caso x é o n-ésimo número pentagonal.

Para os números pentagonais xeneralizados, basta con comprobar se  é un cadrado perfecto.

Para os números pentagonais non xeneralizados, ademais da proba do cadrado perfecto, tamén se require comprobar se



As propiedades matemáticas dos números pentagonais aseguran que estas probas sexan suficientes para demostrar ou refutar a pentagonalidade dun número. How do you determine if a number N is a Pentagonal Number?

 Gnomon 
O Gnomon do n-ésimo número pentagonal é:



 Números pentagonais cadrados 
Un número pentagonal cadrado é un número pentagonal que tamén é un cadrado perfecto. Weisstein, Eric W. "Pentagonal Square Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

Os primeiros son:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697181818618181818 34354401, 73756990988431941623299373152801...  .

 Notas 


 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Número hexagonal
 Número triangular
 Ligazóns externas 
Leonhard Euler: On the remarkable properties of the pentagonal numbers

Categoría:Teoría de números