Centroide (Baricentro)

En matemáticas e física, o centroide, tamén coñecido como centro xeométrico, dunha figura plana ou sólida é a posición media aritmética de todos os puntos da superficie da figura. A mesma definición esténdese a calquera obxecto nun espazo euclidiano n-dimensional.
Definición obtida da wiki en inglés 

Outra definición de centroide dun plano ou domínio espacial é a de ser un punto de equilíbrio para unha determinada medida nese domínio.  Corresponde ao centro de simetría cando o domínio ten dito centro de simetría. A súa existéncia e exclusividade son garantidas cando o dominio for de medida finita.Definición obtida da wiki en francés .

En xeometría, adóitase asumir unha densidade de masa uniforme, nese caso o baricentro e o centro de masas coinciden co centroideAs definicións dadas nas wikis en español e en portugués están dadas desde o punto de vista xeométrico. Informalmente, pódese entender como o punto no que un obxecto (con masa uniformemente distribuída) podería estar perfectamente equilibrado na punta dun alfinete.

En xeografía, o centroide dunha proxección radial dunha rexión da superficie terrestre ata o nivel do mar é o centro xeográfico da rexión.

 Propiedades 
O centroide xeométrico dun obxecto convexo sempre reside no obxecto. Un obxecto non convexo pode ter un centroide que estea fóra da propia figura. O centroide dun anel ou dunha cunca, por exemplo, atópase no oco central do obxecto.

Se o centroide está definido, é un punto fixo de todas as isometrías do seu grupo de simetría. En particular, o centroide xeométrico dun obxecto atópase na intersección de todos os seus hiperplanos de simetría. O centroide de moitas figuras (polígono regular, poliedro regular, cilindro, rectángulo, rombo, círculo, esfera, elipse, elipsoide, superelipse, superelipsoide, etc.) pódese determinar só por este principio.

En particular, o centroide dun paralelogramo é o punto de encontro das súas dúas diagonais. Isto non é certo para outros cuadriláteros.

Polo mesmo motivo, o centroide dun obxecto con simetría de translación non está definido (ou está fóra do espazo circundante), porque unha translación non ten punto fixo.

 Exemplos 
O baricentro dun triángulo é a intersección das tres medianas do triángulo (cada mediana conecta un vértice co punto medio do lado oposto). 

 Determinación 

 Dun conxunto finito de puntos 
O centroide dun conxunto finito de  puntos  en  é  Este punto minimiza a suma das distancias euclidianas ao cadrado entre el mesmo e cada punto do conxunto.

 Por descomposición xeométrica 
O centroide dunha figura plana  pódese calcular dividíndoo nun número finito de figuriñas máis sinxelas  calculando o centroide  e zona  de cada parte, e despois calculando para as coordenadas x e y

Por exemplo, a figura seguinte (a) divídese facilmente nun cadrado e nun triángulo, ambos con área positiva; e un buraquiño circular, con área negativa (b).

O centroide de cada parte pódese atopar nunha lista de centroides de formas simples (c). Logo, o centroide da figura é a media ponderada dos tres puntos. A posición horizontal do centroide, dende o bordo esquerdo da figura é  A posición vertical do centroide atópase do mesmo xeito.

A mesma fórmula vale para calquera subconxunto de  para calquera dimensión  coas áreas substituídas polas -medidas dimensionais das pezas.

 Por fórmula integral 
O centroide dun subconxunto  de  tamén se pode calcular mediante a fórmula

onde as integrais son tomadas sobre todo o espazo  e  é a función indicadora do subconxunto  de  se  e  en caso contrario. Teña en conta que o denominador é simplemente a medida do conxunto  Esta fórmula non se pode aplicar se o conxunto  ten medida cero, ou se calquera das integrais diverxe.

 Dunha rexión delimitada 
O centroide  dunha rexión limitada polas gráficas das funcións continuas  e  tal que  no intervalo  está dada por  

onde  é a área da rexión (dada por  ).  

 Dun triángulo 

Ficheiro:Triangle_centroid_1.svg 275x275px
O centroide ou baricentro dun triángulo é o punto de intersección das súas medianas (as liñas que unen cada vértice co punto medio do lado oposto). O centroide divide cada unha das medianas na relación  é dicir está situado  da distancia de cada lado ao vértice oposto (ver as figuras laterais).  As súas coordenadas cartesianas son as medias das coordenadas dos tres vértices. É dicir, se os tres vértices o son  e  a continuación, o centroide (indicado  aquí pero denotado máis habitualmente  en xeometría do triángulo ) é

O centroide está polo tanto en  en coordenadas baricéntricas.

En coordenadas triliniares o centroide pódese expresar de calquera destes xeitos equivalentes en termos de lonxitudes dos lados  e ángulos vértices 

O centroide tamén é o centro físico de masas se o triángulo está feito dunha folla uniforme de material.

O conxugado isogonal do centroide dun triángulo é o seu punto simediano.

 Dun polígono 
O centroide dun polígono pechado non autointersecante definido por  vértices  é o punto   

e onde  é a área con signo do polígono, como se describe pola fórmula da área de Gauss:

Nestas fórmulas, suponse que os vértices están numerados por orde de aparición ao longo do perímetro do polígono; ademais, o vértice  suponse que é o mesmo que  pechando o polígono.

 Dun tetraedro e un simplex -dimensional 
Un tetraedro é un obxecto no espazo tridimensional que ten como caras catro triángulos. Un segmento de liña que une un vértice dun tetraedro co centroide da cara oposta chámase mediana, e un segmento de liña que une os puntos medios de dúas arestas opostas chámase bimediana. Polo tanto, hai catro medianas e tres bimedianas. Estes sete segmentos de liña reúnense no centroide do tetraedro.Leung, Kam-tim; and Suen, Suk-nam; "Vectors, matrices and geometry", Hong Kong University Press, 1994, pp. 53–54 As medianas divídense polo centroide na relación  O centroide dun tetraedro é o punto medio entre o seu punto de Monge e o circuncentro (centro da esfera circunscrita). Estes tres puntos definen a recta de Euler do tetraedro que é análoga á recta de Euler dun triángulo.

Estes resultados xeneralízanse a calquera simplex -dimensional do seguinte xeito. Se o conxunto de vértices dun simplex é  entón considerando os vértices como vectores, o centroide é

O centroide xeométrico coincide co centro de masas se a masa se distribúe uniformemente por todo o simplex ou se concentra nos vértices como  masas iguais.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 








 Outros artigos 
 Centro de Chebyshev
 algoritmo das k-medias
 Lista de centroides
 Teorema de Pappus-Guldin
 Ligazóns externas 

 Encyclopedia of Triangle Centers by Clark Kimberling. O baricentro está indicado como X(2).
 Characteristic Property of Centroid en cut-the-knot
 Animacións interactivas a mostrar o baricentro do triángulo e a construción do centroide con compás e regra
 procura experimentalmente as medianas e o centroide dun triángulo en Dynamic Geometry Sketches, un bosquexo interactivo de xeometría dinámica usando o simulador de gravidade de Cinderella.

Categoría:Xeometría
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas