Matriz simétrica

En álxebra linear e multilinear, unha matriz simétrica é unha matriz cadrada que é igual á súa propia transposición, é dicir, tal que a = a para todo i e j entre 1 e n, onde a son os coeficientes da matriz e n é a súa orde.

 Exemplos 
Os coeficientes dunha matriz simétrica son simétricos en relación á diagonal principal (desde a esquina superior esquerda ata a esquina inferior dereita). A seguinte matriz é simétrica:



Toda matriz diagonal é simétrica.

 Propiedades 
 Unha matriz que representa un operador bilinear é simétrica se e só se o operador é simétrico.
 O conxunto de matrices simétricas de orde n con coeficientes nun corpo conmutativo é un subespazo vectorial de dimensión n(n +1)/2 do espazo vectorial de matrices cadradas de orde n, e se a característica do corpo é diferente de 2, un subespazo adicional é o das matrices antisimétricas.

 Matrices simétricas reais 

 Descomposición espectral 
Nun espazo euclidiano, unha matriz que representa un endomorfismo nunha base ortonormal é simétrica se e só se o endomorfismo é autoadxunto. O teorema espectral de dimensións finitas deduce que calquera matriz simétrica con coeficientes reais é diagonalizábel usando unha matriz de paso ortogonal, porque os valores propios dun endomorfismo autoadxunto son reais e os seus subespazos propios son ortogonais.

Numericamente, o proceso de diagonalización aplícase a calquera matriz simétrica  e consiste en facer a súa descomposición na forma

 ,

onde  é unha matriz ortogonal (cuxas columnas son vectores propios de ) e onde  é unha matriz diagonal cuxos coeficientes son precisamente os valores propios de .

Nota: unha matriz simétrica con coeficientes complexos pode non ser diagonalizábel. Por exemplo, a matrizadmite 0 como único valor propio; se fose diagonalizábel, sería cero. O análogo complexo das matrices simétricas reais son de feito matrices hermitianas (que son diagonalizábeis).

 Desigualdade de traza de Ky Fan 
Denotamos  o espazo vectorial de matrices reais simétricas de orde n e , , os  valores propios de , en orde descendente:

Presentamos a función

e, para un vector columna , temos  o vector fila transposto e  a matriz diagonal cuxo coeficiente índice  é .

 Segundo a definición anterior en termos de endomorfismos autoadxuntos,  e  son diagonalizábeis simultaneamente se e só se entre elas conmutan, e a matriz de paso pódese escoller entón ortogonal. A condición de igualdade na desigualdade de Ky Fan é máis forte, porque require que as matrices diagonais obtidas estean ordenadas. Así,  e  conmutan mais  difire de .
 A desigualdade de Ky Fan é un refinamento da desigualdade de Cauchy-Schwarz no subespazo euclidiano  (matrices simétricas) de  (matrices cadradas), no sentido de que a segunda se pode deducir da primeira. De feito, se  con  ortogonal, temos

onde  e  denotan as normas euclidianas canónicas en  e . Polo tanto, a desigualdade de Ky Fan e a desigualdade de Cauchy-Schwarz en  dan

Deducimos a desigualdade de Cauchy-Schwarz en  ao tempo que temos en conta a que se obtén substituíndo a  anterior por .
 Ao aplicar a desigualdade de Ky Fan a matrices diagonais, atopamos unha desigualdade de Hardy,  Littlewood e Pólya, G. H. Hardy, J. E. Littlewood e máis G. Pólya, Inequalities, Cambridge University Press, Cambridge, U.K., 1952. sinxela de demostrar directamente, segundo a cal o produto escalar euclidiano de dous vectores  e  increméntase co dos vectores  e  obtidos dos vectores anteriores ordenando os seus compoñentes por orde descendente:

 Matrices simétricas positivas 
Unha matriz simétrica real S de orde n chámase:

 positiva se a forma asociada (bilinear simétrica) é positiva, é dicir, se

 definida positiva se a forma asociada é definida e positiva, é dicir, se

Nota: unha matriz cadrada real que verifica tal desigualdade non é necesariamente simétrica (ver, Matriz de rotación en 2 dimensións).
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Teorema espectral.
 Matriz cadrada.
 Matriz antisimétrica.

 Ligazóns externas 

Categoría:Matrices