Inverso aditivo

En matemáticas, o inverso aditivo dun elemento , denotado , é o elemento que cando se engade a , dá a identidade aditiva, 0. Nos casos máis coñecidos, este é o número 0, mais tamén pode referirse a un elemento cero máis xeneralizado.

En matemáticas elementais, o inverso aditivo é frecuentemente referido como o número oposto. O concepto está moi relacionado coa resta e é importante para resolver ecuacións alxébricas. Non todos os conxuntos onde se define a suma teñen un inverso aditivo, como os números naturais.

 Exemplos comúns 
Cando se traballa con números enteiros, números racionais, números reais e números complexos, o inverso aditivo de calquera número pódese atopar multiplicándoo por −1. 
dereita|miniatura|Estes números complexos, dous dos oito valores de , son mutuamente opostos
+Casos sinxelos de inversos aditivos            

 Relación coa resta 
O inverso aditivo está intimamente relacionado coa resta, que se pode ver como unha suma usando a inversa:

 .

Pola contra, o inverso aditivo pode considerarse como unha resta de cero:

 .

Esta conexión levou a que o signo menos se utilizase tanto para magnitudes opostas como para resta xa no século XVII. Aínda que esta notación é estándar hoxe en día, naquel momento atopouse con oposición, xa que algúns matemáticos consideraron que podería ser pouco clara e levar a erros.

 Definición formal 
Dada unha estrutura alxébrica definida baixo a suma  cunha identidade aditiva , un elemento  ten unha inversa aditiva  se e só se , , e . 

Normalmente, a adición só se usa para referirse a unha operación conmutativa, mais non é necesariamente asociativa. Cando é asociativa, de modo que , os inversos pola esquerda e pola dereita, se os existen, coincidirán, e o inverso aditivo será único. En casos non asociativos, os inversos pola esquerda e pola dereita poden non coincidir, e nestes casos considérase que o inverso non existe.

A definición require pechamento, que o elemento aditivo  estea en . É por iso que malia que a suma está definida sobre os números naturais, non é unha inversa aditiva para os seus membros. Os inversos asociados serían os números negativos, polo que os enteiros si teñen un inverso aditivo.

 Outros exemplos 

 Nun espazo vectorial, o inverso aditivo  (moitas veces chamada vector oposto de ) ten a mesma magnitude que  e mais a dirección oposta. 
 En aritmética modular, o inverso aditivo modular de  é o número  tal que  e sempre existe. Por exemplo, o inverso de 3 módulo 11 é 8, xa que .
 Nun anel booleano, que ten elementos  a suma defínese a miúdo como a diferenza simétrica. Entón , , , e . A nosa identidade aditiva é 0, e ambos os elementos son o seu propio inverso aditivo pois  e . 

 Notas 


 Véxase tamén 

 Outros artigos 
 Inverso multiplicativo.
 Valor absoluto
 Aritmética modular

Categoría:Aritmética
Categoría:Álxebra abstracta