Mergullo (matemáticas)

En matemáticas, un mergullo é unha instancia dalgunha estrutura matemática contida dentro doutra instancia, como por exemplo un subgrupo que como índica o nome está incluído nun grupo.

Cando algún obxecto  se di que está mergullado noutro obxecto , o mergullo vén dado por algún mapa inxectivo e preservador da estrutura . O significado preciso de "preservar a estrutura" depende do tipo de estrutura matemática da cal  e  son instancias. Na terminoloxía da teoría de categorías, un mapa que preserva a estrutura chámase morfismo.

O feito de que un mapa  é un mergullo adoita indicarse mediante o uso dunha "frecha con gancho" .  (por outra parte, esta notación ás veces resérvase para as inxeccións canónicas (función inclusión).

Dados  e , poden darse varios mergullos diferentes de  en . En moitos casos de interese existe un mergullo estándar (ou "canónico"), como o dos números naturais nos números enteiros, os enteiros nos números racionais, os números racionais nos números reais e os números reais nos números complexos. Nestes casos é habitual identificar o dominio  coa súa imaxe  contida en , así que .

 Topoloxía e xeometría 

 Topoloxía xeral 
En topoloxía xeral, un mergullo é un homeomorfismo na súa imaxe.. . Máis explicitamente, un mapa continuo inxectivo  entre espazos topolóxicos  e  é un mergullo topolóxico se  produce un homeomorfismo entre  e  (onde  leva a topoloxía relativa herdada de ). Intuitivamente logo, o mergullo  permítenos tratar  como subespazo de . Todo mergullo é inxectivo e continuo. Todo mapa que é inxectivo, continuo e aberto ou pechado é un mergullo; porén tamén hai mergullos que non están nin abertos nin pechados. Isto último ocorre se a imaxe  non é un conxunto aberto nin un conxunto pechado .

Para un espazo determinado , a existencia dun mergulo  é unha invariante topolóxica de . Isto permite distinguir dous espazos se un é capaz de mergullarse nun espazo mentres que o outro non.

 Definicións relacionadas 
Se o dominio dunha función  é un espazo topolóxico, entón dise que é unha función  se existe algunha veciñanza  deste punto tal que a restrición  é inxectiva. Chámase  se é localmente inxectiva en cada punto do seu dominio. Do mesmo xeito, un  é unha función para a cal cada punto do seu dominio ten algunha veciñanza na que a súa restrición é un mergullo (topolóxico, resp. suave).

Toda función inxectiva é localmente inxectiva mais non á inversa. Os difeomorfismos locais, os  homeomorfismos locais e as inmersións suaves son todas funcións localmente inxectivas que non son necesariamente inxectivas. O teorema da función inversa dá unha condición suficiente para que unha función continuamente derivable sexa (entre outras cousas) localmente inxectiva. Cada fibra dunha función localmente inxectiva  é necesariamente un subespazo discreto do seu dominio 

 Topoloxía diferencial 
En topoloxía diferencial: Sexan  e   variedades  suaves e  un mapa suave. Daquela  chámase inmersión se a súa derivada (ou pulo diferencial) é inxectiva en tódalas partes. Un mergullo, ou un mergullo suave, defínese como unha inmersión que é un mergullo no sentido topolóxico mencionado anteriormente (é dicir, homeomorfismo na súa imaxe). . . . . . . . . . . . .

Noutras palabras, o dominio dun mergullo é difeomorfo á súa imaxe e, en particular, a imaxe dun mergullo debe ser unha subvariedade. Un mergullo é precisamente un mergullo local, é dicir, para calquera punto  hai unha veciñanza  tal que  é un mergullo.

Cando a variedade de dominio é compacta, a noción de mergullo suave é equivalente á de inmersión inxectiva.

Un caso importante é . O interese aquí está en saber como debe ser o tamaño  para unha mergullo, en canto á dimensión  de . O teorema do mergullo de Whitney Whitney H., Differentiable manifolds, Ann. of Math. (2), 37 (1936), pp. 645–680 afirma que  é suficiente e é o mellor límite linear posible. Por exemplo, o espazo proxectivo real  de dimensión , onde  é unha potencia de dous, esixe que sexa  para ter un mergullo. No entanto, isto non se aplica ás inmersións; por exemplo,  pode estar inmerso en  como mostra explicitamente a superficie de Boy (que ten autointerseccións).

 Xeometría de Riemann e pseudoriemanniana 
Nas xeometría de Riemann e xeometría pseudoriemanniana: Sexan  e  variedades riemannianas ou máis xeralmente variedades pseudoriemannianas. Un mergullo isométrico é un mergullo suave  que conserva a (pseudo-) métrica no sentido de que  é igual á regresión de  por , é dicir . Explicitamente, para dous vectores tanxentes calquera  temos



Na xeometría de Riemann, un mergullo isométrico é un mergullo suave que conserva a lonxitude das curvas (Teorema de mergullo de Nash).Nash J., The embedding problem for Riemannian manifolds, Ann. of Math. (2), 63 (1956), 20–63.

 Álxebra 
En xeral, para unha categoría alxébrica , un mergullo entre dúas -estruturas alxébricas  e  é un -morfismo  que é inxectivo.

 Teoría de corpos 
Na teoría de corpos, un mergullo dun corpo  nun corpo  é un homomorfismo de anéis .

O kernel de  é un Ideal de , que non pode ser todo o corpo , por mor da condición . Alén diso, calquera corpo ten como ideais só o ideal cero e o propio corpo (porque se hai algún elemento do corpo distinto de cero nun ideal, é invertíbel, mostrando que o ideal é todo o corpo). Polo tanto, o kernel é , polo que calquera mergullo de corpos é un monomorfismo. Polo tanto,  é isomorfo ao subcorpo  de . Isto xustifica o nome de mergullo para un homomorfismo arbitrario de corpos.

 Álxebra universal e teoría de modelos 
Se  é unha sinatura e  son -estruturas (tamén chamadas -álxebras en álxebra universal ou modelos en teoría dos modelos), daquela un mapa  é un -mergullo exactamente se todo o seguinte se cumpre:

  é inxectivo,
 para cada símbolo de  argumentos  e  temos  ,
 para cada símbolo de relación de  argumentos   e  temos  se 

Aquí  é unha notación de teoría de modelos equivalente a . Na teoría de modelos tamén hai unha noción máis forte que sería o mergullo elemental.

 Teoría da orde e teoría do dominio 
Na teoría da orde, un mergullo de conxuntos parcialmente ordenados é unha función  entre conxuntos parcialmente ordenados  e  tal que



A inxectividade de  obtense rapidamente desta definición. 

Na teoría dos dominios, un requisito adicional é que

  é un conxunto dirixido.

 Espazos métricos 
Un mapa  de espazos métricos denomínase mergullo (con distorsión ) se



para todo  e algunha constante .

 Espazos normados 
Un caso especial importante é o dos espazos normados; neste caso é natural considerar mergullos lineares.

Unha das preguntas básicas que se poden facer sobre un espazo normado de dimensión finita  é, cal é a dimensión máxima  tal que o espazo de Hilbert  pódese mergullar linearmente en  con distorsión constante?

A resposta vén dada polo teorema de Dvoretzky.

 Teoría de categorías 
Na teoría de categorías, non existe unha definición satisfactoria e xeralmente aceptada de mergullo que sexa aplicable en todas as categorías. Cabería esperar que todos os isomorfismos e todas as composicións de mergullos sexan mergullos, e que todos os mergullos sexan monomorfismos. Outros requisitos típicos son: calquera monomorfismo extremo é un mergullo e os mergullos son estables baixo regresións (pullbacks).

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 









 .

 .
 Outros artigos 
Inmersión (matemáticas)
Subvariedade
Cobertura

 Ligazóns externas 

 Embedding of manifolds  on the Manifold Atlas.
 Subvariedades Notas de J.C. Díaz sobre topoloxía diferencial 

Categoría:Teoría da orde
Categoría:Funcións
Categoría:Teoría das categorías
Categoría:Álxebra abstracta
Categoría:Topoloxía
Categoría:Xeometría
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas