Coordenadas baricéntricas

miniatura| Un 3-simplex, con subdivisións baricéntricas de 1-caras (arestas), 2-caras (triángulos) e 3-caras (corpo).

En xeometría, as coordenadas baricéntricas son un sistema de coordenadas no que a localización dun punto especifícase por referencia a un simplex (un triángulo para puntos nun plano, un tetraedro para puntos no espazo tridimensional, etc.). As coordenadas baricéntricas dun punto pódense interpretar como masas situadas nos vértices do simplex, de xeito que o punto é o centro de masas (ou baricentro) destas masas. Estas masas poden ser nulas ou negativas; todas son positivas se e só se o punto está dentro do simplex.

Todo punto ten coordenadas baricéntricas, e a súa suma nunca é cero. Dúas tuplas de coordenadas baricéntricas especifican o mesmo punto se e só se son proporcionais.

As coordenadas baricéntricas foron introducidas por August Möbius en 1827. Reprinted in Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer-Verlag, Berlin 2007, , S. 76.Hille, Einar. "Analytic Function Theory, Volume I", Second edition, fifth printing. Chelsea Publishing Company, New York, 1982,  , page 33, footnote 1

As coordenadas baricéntricas son particularmente útiles na xeometría do triángulo para estudar propiedades que non dependen dos ángulos do triángulo, como o teorema de Ceva, o teorema de Routh e o teorema de Menelao. No deseño asistido por ordenador, son útiles para definir algúns tipos de superficies de Bézier.Josef Hoschek, Dieter Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung. Teubner-Verlag, 1989, , S. 243. Gerald Farin: Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design. Academic Press, 1990, , S. 20.

 Definición 
Sexan ,  puntos nun espazo euclidiano, un espazo afín  de dimensión , que son puntos afinmente independentes; isto significa que non hai un subespazo afín de dimensión  que conteña tódolos puntos,Reventós Tarrida, Agustí. "Affine Maps, Euclidean Motions and Quadrics". Springer, 2011, , page 11 ou equivalentemente, que os puntos definan un simplex. Dado calquera punto  existen os escalares , que non son todos cero, tal quepara calquera punto  (Como é habitual, a notación  representa o vector de translación ou vector libre que mapea o punto  no punto ).

Os elementos dunha tupla  con  elementos que satisfagan esta ecuación denomínanse coordenadas baricéntricas de  en relación a  O uso dos dous puntos na notación da tupla significa que as coordenadas baricéntricas son unha especie de coordenadas homoxéneas, é dicir, o punto non muda se todas as coordenadas se multiplican pola mesma constante distinta de cero. A maiores, as coordenadas baricéntricas tampouco non se modifican se muda o punto auxiliar , a orixe.

Como xa se comentou  dúas tuplas de coordenadas baricéntricas especifican o mesmo punto se e só se son proporcionais. É dicir, dúas tuplas  e  son coordenadas baricéntricas do mesmo punto se e só se hai un escalar distinto de cero  tal que  por cada . Por tanto pódense restrinxir os valores ao intervalo [0,1] dividindo cada  pola suma de todos os  Deste modo nos referimos a coordenadas baricéntricas normalizadas ou absolutas.

 Coordenadas baricéntricas en triángulos 
No contexto dun triángulo, as coordenadas baricéntricas tamén se coñecen como coordenadas de área, porque as coordenadas de P en relación ao triángulo ABC son equivalentes ás razóns (con signos) das áreas de PBC, PCA e PAB á área do triángulo de referencia ABC. As coordenadas de área e  as coordenadas trilineares utilízanse con fins similares en xeometría.

Considere un triángulo  con vértices , ,  no plano . Cada triángulo  ten unha área con signo que imos denominar sarea:

O signo é positivo se o camiño de --- vai no sentido contrario ás agullas do reloxo e negativo se o camiño vai no sentido das agullas do reloxo.

Sexa  un punto no plano e  as súas coordenadas baricéntricas normalizadas en relación ao triángulo , así temos 
.
Onde

Proba 
Sexa  

daquela  é un paralelogramo porque os seus pares de lados opostos, representados polos pares de vectores de desprazamento , e , son paralelos e congruentes.

O triángulo  é a metade do paralelogramo , polo que o duplo da súa área con signo é igual á área con signo do paralelogramo, que vén dada polo determinante ,  cuxas columnas son os vectores de desprazamento  e 

que podemos escribir como

así

e tamén temos que
.
Para obter a ratio destas áreas con signo, expresamos  na segunda fórmula en función das súas coordenadas baricéntricas:

Metendo este resultado  na primeira fórmula obtemos
.
Polo tanto
.
De forma similar teríamos

.

 Exemplos 
Aquí móstranse as coordenadas baricéntricas dalgúns puntos notables do triángulo:



 punto medio de 
 punto medio de 
 punto medio de 
 centro de gravidade 
 centro do circunferencia inscrita  ou 
 centro do circunferencia circunscrita  ou   ou .
 ortocentro  ou 
 centro do circunferencia dos nove puntos (circunferencia de Euler) 
 punto simediano 

As coordenadas baricéntricas de miles de puntos notables do triángulo pódense atopar na encyclopedia of triangle centers (ETC).

 Relación con outras coordenadas 
Relación coas coordenadas trilineares
As coordenadas trilineares  de  son distancias de  ás liñas BC, AC e AB con signo, respectivamente. O signo de  é positivo se  e  se atopan no mesmo lado de BC, negativo en caso contrario. Similarmente para   e .

Sexa
 , , .

Daquela
.

Os tres signos son positivos se o triángulo ABC está orientado positivamente e negativos no caso contrario. As relacións entre coordenadas trilineares e baricéntricas obtéñense substituíndo estas fórmulas nas fórmulas anteriores que expresan coordenadas baricéntricas como ratios entre áreas.

Un punto con coordenadas trilineares x : y : z ten coordenadas baricéntricas ax : by : cz onde a, b, c son as lonxitudes dos lados do triángulo. Pola contra, un punto con baricéntricas  ten trilineares 

 Conversión entre coordenadas baricéntricas e cartesianas 
Podemos escribir as coordenadas cartesianas do punto  como ás compoñentes cartesianas dos vértices do triángulo
, ,  onde  e así temos ás coordenadas baricéntricas de  como

É dicir, as coordenadas cartesianas de calquera punto son unha media ponderada das coordenadas cartesianas dos vértices do triángulo, sendo os pesos as coordenadas baricéntricas normalizadas do punto.

Para atopar a transformación inversa, de coordenadas cartesianas a coordenadas baricéntricas, primeiro substituímos  no anterior para obter

Reorganizando, isto é

Esta transformación linear pódese escribir de forma máis sucinta como

onde  é o vector das dúas primeiras coordenadas baricéntricas,  é o vector de coordenadas cartesianas, e  é unha matriz dada por

Agora a matriz  é invertíbel, xa que  e  son linearmente independentes (se non fose o caso, entón , , e  serían colineares e non formarían un triángulo). Así, podemos reorganizar a ecuación anterior para obter

Achar as coordenadas baricéntricas reduciuse así a atopar a matriz inversa de .

Explicitamente, as fórmulas para as coordenadas baricéntricas do punto  en función das súas coordenadas cartesianas (x, y) e en función das coordenadas cartesianas dos vértices do triángulo son:

 Ecuacións en coordenadas baricéntricas 
Os tres lados a, b, c teñen, respectivamente, ecuaciónsScott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", Mathematical Gazette 83, novembro de 1999, 472–477.

A ecuación da recta de Euler dun triángulo é Scott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", Mathematical Gazette 83, novembro de 1999, 472–477.

 Distancia entre puntos 
O vector de desprazamento de dous puntos  e  é

A distancia  entre  e , é  
onde a, b, c son as lonxitudes dos lados do triángulo. A equivalencia das dúas últimas expresións segue de  que se cumpre porque

As coordenadas baricéntricas dun punto pódense calcular en función das distancias di aos tres vértices do triángulo resolvendo a ecuación

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
Scott, J. A. Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry, Mathematical Gazette 83, novembro 1999, 472–477.
Schindler, Max; Chen, Evan (xullo 13, 2012). Barycentric Coordinates in Olympiad Geometry (PDF). accedido 14 xaneiro 2016.
Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangles Encyclopedia of Triangle Centers. Archived from the original on 2012-04-19.


 Barycentric Calculus In Euclidean And Hyperbolic Geometry: A Comparative Introduction, Abraham Ungar, World Scientific, 2010
 Hyperbolic Barycentric Coordinates, Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.6, No.1, Article 18, pp. 1–35, 2009


 Barycentric coordinates computation in homogeneous coordinates, Vaclav Skala, Computers and Graphics, Vol.32, No.1, pp. 120–127, 2008

 Outros artigos 
 Coordenadas homoxéneas.
 Ligazóns externas 
 Law of the lever
 The uses of homogeneous barycentric coordinates in plane euclidean geometry
 Barycentric Coordinates – unha colección de documentos científicos about sobre coordenadas baricéntricas
 Barycentric coordinates: A Curious Application (solución ao problema dos "tres vasos ") en cut-the-knot
 Accurate point in triangle test
 Barycentric Coordinates in Olympiad Geometry  by Evan Chen e Max Schindler
 Barycenter command e TriangleCurve command en Geogebra

Categoría:Sistemas de coordenadas
Categoría:Álxebra lineal
Categoría:Xeometría
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas