Retícula (teoría da orde)

Unha retícula (en inglés lattice) é unha estrutura abstracta estudada nas subdisciplinas matemáticas da teoría da orde e da álxebra abstracta. Consiste nun conxunto parcialmente ordenado no que cada par de elementos ten un supremo único (tamén chamado límite superior mínimo ou join) e un ínfimo único (tamén chamado límite inferior máximo ou meet). Un exemplo é o conxunto de partes dun conxunto, parcialmente ordenado por inclusión, para o cal o supremo é a unión e o ínfimo é a intersección. Outro exemplo son os números naturais, parcialmente ordenados pola divisibilidade, para os que o supremo é o mínimo común múltiplo e o ínfimo é o máximo común divisor.

 Definición 
Unha retícula pode definirse tanto na teoría da orde como un conxunto parcialmente ordenado ou como unha estrutura alxébrica.

 Como conxunto parcialmente ordenado 
Un conxunto parcialmente ordenado (poset)  chámase retícula se é á vez unha semiretícula join e meet, é dicir, cada subconxunto de dous elementos  ten unha join (é dicir, límite superior mínimo, denotado por  ) e dualmente un meet (é dicir, límite inferior máximo, denotado por ). Esta definición fai  e  operacións binarias. Ambas as operacións son monótonas en relación á orde dada:  e  implica que  e 

 Como estrutura alxébrica 
Unha retícula é unha estrutura alxébrica , composta por un conxunto  e dúas operacións binarias, conmutativas e asociativas  e  en  satisfacendo as seguintes identidades axiomáticas para todos os elementos  (ás veces chamadas ): 

As dúas identidades seguintes tamén son consideradas como axiomas, aínda que se deducen das dúas leis de absorción anteriores.. "since  and dually". Birkhoff attributes this to  Estas son as chamadas  . 

 Retícula limitada 
Unha retícula limitada é unha retícula que ten a maiores un elemento maior (denotado por  ou por  e un elemento  menor(denotado por  ou por  que satisfán 

Unha retícula limitada tamén se pode definir como unha estrutura alxébrica da forma  tal que  é unha retícula,  (o elemento menor) é o elemento identidade para a operación join  e  (o elemento maior) é o elemento  identidade para a operación meet 

Un conxunto parcialmente ordenado é unha retícula limitada se e só se cada conxunto finito de elementos (incluíndo o conxunto baleiro) ten un join e un meet.

Toda retícula pode ser mergullada nunha retícula limitada engadindo un elemento maior e un menor. A maiores, toda retícula finita non baleira está limitada, tomando o join (respectivamente o meet) de todos os elementos, denotado por  (respectivamente  ) onde  é o conxunto de todos os elementos.

 Conexión con outras estruturas alxébricas 
As retículas teñen algunhas conexións coa familia de estruturas alxébricas de tipo grupo. Debido a que o join e o meet teñen a propiedade conmuttiva e asociativa, unha retícula pode ser vista como dous semigrupos conmutativos que teñen o mesmo dominio. Para unha retícula limitada, estes semigrupos son de feito monoides conmutativos. A lei de absorción é a única identidade definitoria que é propia da teoría de retículas. Unha retícula limitada tamén se pode pensar como un semianel conmutativo sen o axioma distributivo.

 Exemplos 

 Exemplos de non retículas 
miniatura|150x150px| Imaxe.6: Poset sen retícula:  e  non teñen límite superior común.
miniatura|177x177px| Imaxe.7: Poset sen retícula:  e  teñen límites superiores comúns  e  pero ningún deles é o límite superior mínimo.
miniatura|155x155px| Imaxe.8: Poset sen retícula:  e  teñen límites inferiores comúns  e  pero ningún deles é o límite inferior máis grande.

 Morfismos de retículas 
miniatura| Imaxe. 9: Mapa monótono  entre retículas que non conserva nin joins nin meets, xa que  e 
A noción apropiada dun morfismo entre dúas retículas flúe facilmente da definición alxébrica dada previamente na parte superior do artigo. Dadas dúas retículas  e  un homomorfismo reticular de L a M é unha función  tal que para todos os 

En particular, un homomorfismo de retícula limitada (xeralmente chamado só "homomorfismo de retícula")  entre dúas retículas limitadas  e  tamén debe ter as seguintes propiedades: 

 Subretícula 
Unha subretícula dunha retícula  é un subconxunto de  que é unha retícula coas mesmas operacións de join e meet que  É dicir, se  é unha retícula e  é un subconxunto de  tal que para cada par de elementos  ambos os  e  están en  entón  é unha subretícula de Burris, Stanley N., and Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. .

Unha subretícula  dunha retícula  é unha retícula convexa de  se  e  implica que  pertence a  para todos os elementos 

 Propiedades das retículas 
Agora introducimos unha serie de propiedades importantes que levan a clases especiais interesantes das retículas. Unha delas xa foi tratada co concepto de limitada.

 Completude 
Un poset chámase retícula completa se todos os seus subconxuntos teñen un join e un meet. En particular, toda retícula completa é unha retícula limitada. Mentres que os homomorfismos de retículas limitadas en xeral só conservan os joins e os meets finitos, para os homomorfismos de retículas completas é necesario preservar joins e meets arbitrarios.

"Reticula parcial" non é o contrario de "retícula completa"; máis ben, "retícula parcial", "retícula" e "retícula completa" son definicións cada vez máis restritivas.

 Completude condicional 
Unha retícula condicionalmente completa é unha retícula na que cada subconxunto non baleiro que ten un límite superior ten un join (é dicir, un límite superior mínimo). Esas retículas proporcionan a xeneralización máis directa do axioma de completude dos números reais. Unha retícula condicionalmente completa é unha retícula completa ou unha retícula completa sen o seu elemento máximo  o seu elemento mínimo  ou sen ambos os dous.

 Distributividade 
miniatura|150x150px| Imaxe. 11: A menor retícula  non modular (e, polo tanto, non distributiva) N5., mais e , polo que se incumpre a lei modular.Os elementos etiquetados tamén violan a ecuación da distributividade  mais  satisfán o seu dual 
miniatura|150x150px| Imaxe. 10: Retícula máis pequena non distributiva (mais modular) M3.
Dado que as retícula veñen con dúas operacións binarias, é natural preguntarse se unha delas se distribúe sobre a outra, é dicir, se unha ou outra das seguintes leis duais cúmprese para cada tres elementos.  :

 Distributividade de  sobre 

 Distributividade de  sobre 

Unha retícula que satisfai o primeiro ou o segundo axioma, chámase retícula distributiva. As únicas retículas non distributivas con menos de 6 elementos chámanse M3 e N5;, Exercise 4.1, p. 104. móstranse nas imaxes 10 e 11, respectivamente. Unha retícula é distributiva se e só se non ten unha subretícula isomorfa a M3 ou N5., Theorem 4.10, p. 89. Cada retícula distributiva é isomorfa a unha retícula de conxuntos (con unión e intersección como join e meet, respectivamente). , Theorem 10.21, pp. 238–239.

 Modularidade 
Para algunhas aplicacións a condición de distributividade é demasiado forte, e a seguinte propiedade máis débil adoita ser útil. Unha retícula  é modular se, para todos os elementos  ten a seguinte identidade:  (Identidade modular)Esta condición é equivalente ao seguinte axioma:  implica  (Lei modular)Unha retícula é modular se e só se non ten unha subretículas  isomorfas a N5 (mostrada na Fig. 11)., Theorem 4.10, p. 89. A maiores das retículas distributivas, exemplos de retículas modulares son as retículas de submódulos dun módulo (polo tanto, modular), a retícula de ideais bilaterais dun anel e a retícula de subgrupos normais dun grupo. 

 Semimodularidade 
Unha retícula finita é modular se e só se é semimodular tanto superiormente como inferiormente. Para unha retícula graduada, a semimodularidade (superior) é equivalente á seguinte condición na función de rango 



 Continuidade e alxebricidade 
Na teoría de dominios, é natural buscar aproximar os elementos nunha orde parcial mediante elementos "moito máis simples". Isto leva á clase de posets continuos, que consiste en posets onde todo elemento se pode obter como o supremo dun conxunto dirixido de elementos que están moi por debaixo do elemento. Se se pode restrinxir adicionalmente estes aos elementos compactos dun poset para obter estes conxuntos dirixidos, entón o poset é mesmo alxébrico. Ambos os conceptos pódense aplicar ás retículas do seguinte xeito:

 Unha  retícula continua é unha retícula completa que é continua como poset.
 Unha retícula alxébrica é unha retícula completa que é alxébrica como poset.

 Complementos e pseudocomplementos 
Sexa  unha retícula limitada co elemento maior 1 e o elemento menor 0. Dous elementos  e  de  son complementos entre si, se e só se: 

 Condición de cadea de Jordan-Dedekind 
Unha cadea de  a  é un conxunto  onde  A lonxitude desta cadea é n, ou un menos que o seu número de elementos. Unha cadea é máximal se  cobre  para todos os 

Se para calquera par,  e  onde  todas as cadeas maximais de  a  teñen a mesma lonxitude, entón dise que a retícula satisfai a condición da cadea de Jordan-Dedekind.

 Importantes nocións teóricas de retículas 
Definimos agora algunhas nocións da teoría da orde importantes para a teoría de retículas. No seguinte, denominamos como  un elemento dalgunha retícula  Así  chámase:

 Join irreducíbel se  implica  para todos os  Se  ten un elemento menor  algúns autores requiren . Cando a primeira condición se xeneraliza a joins arbitrarios   chámase join completamente irreducíbel (ou -irreducíbel). A noción dual é meet irreducíbel (-irreducíbel). Por exemplo, na imaxe.2, os elementos 2, 3, 4 e 5 son join irreducíbeis, mentres que 12, 15, 20 e 30 son meet irreducibeis. Dependendo da definición, o elemento menor 1 e o elemento maior 60 poden considerarse ou non join irreducíbeis e meet irreducíbeis respectivamente. Na retícula de números reais coa orde habitual, cada elemento é join irreducíbele mais ningún é completamente join irreducíbel.
 Join primo se  implica  De novo algúns autores requiren , aínda que isto é infrecuente. Isto tamén se pode xeneralizar para obter a noción join completamente primo. A noción dual é meet primo. Todo elemento join primo tamén é join irreducíbel, e todo elemento meet primo tamén é meet irreducíbel. A inversa cúmprese se  é distributiva.

Teña  un elemento menor 0. Un elemento  de  é un átomo se  e non existe ningún elemento  tal que  Entón  chámase:

 Atómica se para cada elemento distinto de cero  de  existe un átomo  de  tal que  
 Atomista se cada elemento de  é un supremo de átomos. 

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Burris, Stanley N., and Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra.  Springer-Verlag. .
 Jipsen, Peter, and Henry Rose, Varieties of Lattices, Lecture Notes in Mathematics 1533, Springer Verlag, 1992. .

Textos elementais:
 Donnellan, Thomas, 1968. Lattice Theory. Pergamon.
 Grätzer, George, 1971. Lattice Theory: First concepts and distributive lattices. W. H. Freeman.

Texto contemporáneos introdutorios, algo máis duros que os anteriores:

 Outros artigos 
 Join e meet
 Mapa de retículas
 Retícula ortocomplementeda
 Orde total
 Ideal (teoría da orde) e Filtro (matemáticas) (nocións duais)
 Retícula Euleriana
 Retícula de Post
 Retícula de Tamari

 Ligazóns externas 


 J.B. Nation, Notes on Lattice Theory, course notes, revised 2017.
 Ralph Freese, "Lattice Theory Homepage".
  Number of unlabeled lattices with n elements

Categoría:Teoría da orde
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas