Función simple

No campo matemático da análise real, unha función simple é unha función con valores reais (ou complexos) sobre un subconxunto da liña real, semellante a unha función en escada. As funcións simples son o suficientemente "agradábeis" como para que o seu uso facilite o razoamento matemático, a teoría e a demostración. Por exemplo, as funcións simples alcanzan só un número finito de valores. Algúns autores tamén requiren que as funcións simples sexan medíbeis; como se usa na práctica, xa isto é así.

Un exemplo básico dunha función simple podería ser a función chan sobre o intervalo semiaberto [1, 9), cuxos únicos valores son {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Un exemplo máis avanzado é a función de Dirichlet sobre a liña real, que toma o valor 1 se x é racional e 0 en caso contrario. (Así, o "simple" de "función simple" ten un significado técnico un pouco contrario á linguaxe común.) Tódalas funcións en escada son simples.

 Definición 
Formalmente, unha función simple é unha combinación linear finita de funcións indicadoras de conxuntos medíbeis. Máis precisamente, sexa (X, Σ) un espazo medíbel. Sexa A 1 ,... , A n ∈ Σ unha secuencia de conxuntos medíbeis disxuntos, e sexa a1 ,... , an unha secuencia de números reais ou complexos. Unha función simple é unha función  da forma



onde  é a función indicadora do conxunto A .

 Propiedades das funcións simples 
A suma, a diferenza e o produto de dúas funcións simples son tamén funcións simples, tamén o é a multiplicación por unha constante; de aí dedúcese que o conxunto de todas as funcións simples nun espazo medíbel dado forma unha álxebra conmutativa sobre .

 Integración das funcións simples 
Se unha medida μ está definida no espazo (X ,Σ), a integral de f en relación a μ é



se todos os sumandos son finitos.

 Relación coa integración de Lebesgue 
A integral anterior pódese estender a unha clase máis xeral de funcións, que é como se define a integral de Lebesgue. Esta extensión baséase no seguinte feito.

 Teorema. Calquera función medíbel non negativa  é o límite por puntos dunha secuencia crecente monótona de funcións simples non negativas.

Está implícito na afirmación que a sigma-álxebra no co-dominio  é a restrición da σ-álxebra de Borel,  en . A proba procede do seguinte xeito:

Sexa  unha función medíbel non negativa definida sobre o espazo de medida . Para cada  , subdividimos o codominio de  en  intervalos,  deles teñen lonxitude . É dicir, para cada  , definimos

  para , e ,

que son disxuntos e cobren a recta real non negativa (  ).

Agora definimos os conxuntos

  para 

que son medíbeis () porque  suponse que é medíbel.

Daquela, a secuencia crecente de funcións simples



converxe punto por punto en  cando . Teña en conta que, cando  é limitada, a converxencia é uniforme.
 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 
. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.
 Outros artigos 
 Función por tramos.
 Integral de Lebesgue
 Función medíbel de Bochner

 Ligazóns externas 
 Nota 5. Simple functions 

Categoría:Teoría da medida
Categoría:Funcións