Función de Euler

En matemáticas, a función de Euler vén dada por



O nome fai referencia a Leonhard Euler, é un exemplo modelo dunha q-serie e proporciona o exemplo prototípico dunha relación entre a combinatoria e a análise complexa.

 Propiedades 
O coeficiente  na expansión en serie de potencias formal para  dá o número de particións de k. É dicir,



onde  é a función de partición .

A identidade de Euler, tamén coñecida como teorema dos números pentagonais, é



onde  é un número pentagonal.

A función de Euler está relacionada coa función eta de Dedekind como



A función de Euler pódese expresar como un q-símbolo de Pochhammer:



O logaritmo da función de Euler é a suma dos logaritmos da expresión do produto, e teñen cadansúa expansión arredor de q = 0, producindo



que é unha serie de Lambert con coeficientes -1/n. Polo tanto, o logaritmo da función de Euler pódese expresar como



onde  -[1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/7, 15/8, 13/9, 18/10, ...] (ver OEIS A000203 )

Pola mor da identidade , onde  é a función de suma de divisores, esta tamén se pode escribir como

  .

 Valores especiais 
As seguintes identidades veñen dos Cadernos de Ramanujan: p. 326









Usando o teorema dos números pentagonais, trocando suma por integral, e despois invocando métodos analíticos de complexos, derívase 


 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Función de partición (teoría de números).
 Teorema dos números pentagonais.

 Ligazóns externas 
 O termo "función de Euler" pode usarse para referirse a calquera das varias funcións da teoría de números e da teoría de funcións especiais (MathWorld).

Categoría:Teoría de números
Categoría:Funcións