Pulo (diferencial)

En xeometría diferencial, o pulo (ou pushforward) é unha aproximación linear de mapas suaves en espazos tanxentes. Supoñamos que  é un mapa suave entre variedades suaves; daquela diferencial de  nun punto , denotado , é, nalgún sentido, a mellor aproximación linear de  preto de . Pódese ver como unha xeneralización da derivada total do cálculo ordinario. Explicitamente, a diferencial é un mapa linear do espazo tanxente de  en  ao espazo tanxente de  en ; expresado . Polo tanto, pódese usar para impulsar vectores tanxentes  cara adiante ata os vectores tanxentes en . O diferencial dun mapa  tamén se denomina, por diversos autores, a derivada ou derivada total de .
 Motivación 
Sexa  un mapa suave dun subconxunto aberto  de  a un subconxunto aberto  de . Para calquera punto  en , o jacobiano de  en   (en relación ás coordenadas estándar) é a representación matricial da derivada total de  en , que é un mapa linear



entre os seus espazos tanxentes. Observe que os espazos tanxentes  son isomorfos a  e , respectivamente. O pulo xeneraliza esta construción para o caso no que  é unha función suave entre calquera variedades suaves  e .

Se os vectores tanxentes se definen como clases de equivalencia das curvas  para as que   daquela o diferencial vén dado por



Aquí,  é unha curva en  con  e  é un vector tanxente á curva  en  Noutras palabras, o pulo do vector tanxente cara a curva  en  é o vector tanxente á curva  en 

Alternativamente, se os vectores tanxentes se definen como derivacións que actúan sobre funcións suaves de valores reais, entón a diferencial vén dada por



para unha función arbitraria  e unha derivación arbitraria  nun punto  (Unha derivación defínese como un mapa linear  que satisfaga a regra de Leibniz, véxase: espazo tanxente). Por definición, o pulo de  está dentro de  e polo tanto é unha derivación, .

 A diferencial no fibrado tanxente 
O diferencial dun mapa suave  induce, de forma obvia, un mapa de fibrados (de feito un homomorfismo de fibrado vectorial) a partir do fibrado tanxente de  cara ao fibrado tanxente de , denotado por , que encaixa no seguinte diagrama conmutativo:
centro
onde  e  denotan as proxeccións do fibrado dos fibrados tanxentes de  e  respectivamente.

 induce un mapa de fibrados de  cara ao fibrado de regresión φ∗TN sobre  vía



onde  e  O mapa de fibrados  tamén se denota por  e chámase mapa tanxente. Deste xeito,  é un functor.

 Pulos de campos vectoriais 
Dado un mapa suave  e un campo vectorial X sobre M, normalmente non é posible obter un pulo de X mediante φ con algún campo vectorial Y sobre N. Por exemplo, se o mapa φ non é sobrexectivo, non hai unha forma natural de definir tal pulo fóra da imaxe de φ. Alén diso, se φ non é inxectivo, pode haber máis dunha opción de pulo nun punto dado. No entanto, pódese precisar esta dificultade, utilizando a noción de campo vectorial ao longo dun mapa.

 Exemplos 

 Pulo mediante a multiplicación en grupos de Lie 
Dado un Grupo de Lie , podemos usar o mapa do operador  multiplicación  para obter os mapas de multiplicación pola esquerda  e a multiplicación pola dereita  de . Estes mapas pódense usar para construír campos vectoriais invariantes pola esquerda ou pola dereita en  dende o seu espazo tanxente na orixe  (que é a súa álxebra de Lie asociada). Por exemplo, dado  obtemos un campo vectorial asociado  on  definido porpara cada  . Isto pódese calcular facilmente usando a definición de curvas dos mapas de pulos diferenciais. Se temos unha curvaondeobtemosposto que  é constante con respecto a . Isto implica que podemos interpretar os espazos tanxentes  como .

 Pulos para algúns grupos de Lie 
Por exemplo, se  é o grupo de Heisenberg dado polas matricesten álxebra de Lie dada polo conxunto de matricesxa que podemos atopar un camiño  dando calquera número real nunha das entradas da matriz superior con  (i-ésima fila e j-ésima columna). Daquela, paratemosque é igual ao conxunto orixinal de matrices. 

Isto non sempre é así, por exemplo, no grupotemos a súa álxebra de Lie como o conxunto de matricespolo tanto para algunha matriztemosque non é o mesmo conxunto de matrices.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

  See section 1.6.
  See section 1.7 and 2.3.

 Outros artigos 
 Regresión.

Categoría:Xeometría diferencial
Categoría:Cálculo diferencial
Categoría:Topoloxía
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas