Forma cadrática

En matemáticas, unha forma cadrática é un polinomio con termos todos de grao dous (un polinomio homoxéneo de grao 2). Por exemplo, 

é unha forma cadrática nas variábeis  e . Os coeficientes adoitan pertencer a un corpo fixo , como os números reais ou complexos, e fálase dunha forma cadrática sobre . Se , e a forma cadrática é igual a cero só cando todas as variábeis son simultaneamente cero, entón é unha forma cadrática definida; se non é unha forma cadrática isotrópica.

As formas cadráticas non se deben confundir cunha ecuación cadrática, que só ten unha variábel e inclúe termos de grao dous ou menos. Unha forma cadrática é un caso do concepto máis xeral de polinomios homoxéneos.

 Introdución 
As formas cadráticas son polinomios cadráticos homoxéneos en  variábeis. Nos casos dunha, dúas e tres variábeis chámanse unarias, binarias e ternarias e teñen a seguinte forma explícita: 
onde  , ... ,  son os coeficientes.Unha tradición que se remonta a Gauss dita o uso de coeficientes manifestamente pares para os produtos de distintas variábeis, é dicir,  en lugar de  en formas binarias e , ,  en lugar de , ,  en formas ternarias. Ambas convencións ocorren na literatura.

Usando coordenadas homoxéneas, unha forma cadrática distinta de cero en  variábeis define unha cádrica  dimensional no espazo proxectivo  dimensional. Esta é unha construción básica en xeometría proxectiva. Deste xeito pódense visualizar formas cadráticas reais tridimensionais como seccións cónicas. Un exemplo é o espazo euclidiano tridimensional e o cadrado da norma euclidiana que expresa a distancia entre un punto con coordenadas  e a orixe: 

 Matriz simétrica asociada 
Calquera matriz  denotada por  determina unha forma cadrática  en  variábeis por 
 onde .

 Exemplo 
Considere o caso das formas cadráticas en tres variábeis . A matriz  ten a forma 

A fórmula anterior dá 

Así, dúas matrices diferentes definen a mesma forma cadrática se e só se teñen os mesmos elementos na diagonal e os mesmos valores para as sumas ,  e máis . En particular, a forma cadrática  está definida por unha matriz simétrica única 

Isto xeneralízase a calquera número de variábeis do seguinte xeito.

 Caso xeral 
Dada unha forma cadrática , definida pola matriz , a matriz 

é simétrica, define a mesma forma cadrática que , e é a única matriz simétrica que define .

Así, sobre os números reais (e, máis xeralmente, sobre un corpo de característica diferente de dous), hai unha correspondencia un a un entre as formas cadráticas e as matrices simétricas que as determinan.

 Formas cadráticas reais 
Un problema fundamental é a clasificación de formas cadráticas reais baixo un cambio linear de variábeis.

Jacobi demostrou que, para cada forma cadrática real, hai unha diagonalización ortogonal; é dicir, un cambio ortogonal de variábeis que pon a forma cadrática nunha "forma diagonal" 

onde a matriz simétrica asociada é diagonal. A maiores, os coeficientes   determínanse unicamente ata unha permutación.Maxime Bôcher (with E.P.R. DuVal)(1907) Introduction to Higher Algebra, § 45 Reduction of a quadratic form to a sum of squares via HathiTrust

Se o cambio de variábeis vén dado por unha matriz invertíbel que non é necesariamente ortogonal, pódese supoñer que todos os coeficientes  son 0, 1 ou −1. A lei de inercia de Sylvester estabelece que as cantidades de cada 0, 1 e −1 son invariantes da forma cadrática, no sentido de que calquera outra diagonalización conterá as mesmo cantidades. A sinatura da forma cadrática é a terna , onde se contan o número de 0s, o número de 1s e o número de −1s, respectivamente. A lei de inercia de Sylvester mostra que esta é unha cantidade ben definida unida á forma cadrática.

O caso no que todos  teñen o mesmo signo é especialmente importante: neste caso a forma cadrática chámase definida positiva (todo 1) ou definida negativa (todo -1). Se ningún dos termos é 0, entón chámase forma non dexenerada; isto inclúe as formas cadráticas definidas positivas, definidas negativas e isotrópicas (unha mestura de 1 e −1); de xeito equivalente, unha forma cadrática non dexenerada é aquela cuxa forma simétrica asociada é unha forma bilinear non dexenerada. Un espazo vectorial real cunha forma cadrática indefinida non dexenerada de índice  (onde  denota o número de 1s e  denota o número de −1s) é a miúdo escrito como  particularmente na teoría física do espazo-tempo.

Tamén se pode definir o discriminante dunha forma cadrática, concretamente a clase do determinante dunha matriz representativa en  (ata cadrados distintos de cero) e para unha forma cadrática real, resulta ser unha invariante máis  forte que a sinatura, tomando valores de só "positivo, cero ou negativo". O cero corresponde a dexenerada, mentres que para unha forma non dexenerada é a paridade do número de coeficientes negativos,  .

Estes resultados reformúlanse a continuación dun xeito diferente.

Sexa  unha forma cadrática definida nun espazo vectorial real -dimensional. Sexa  a matriz da forma cadrática  nunha base dada. Isto significa que  é unha matriz  simétrica tal que

onde x é o vector columna de coordenadas de  na base escollida. Baixo un cambio de base, a columna  multiplícase pola esquerda por unha matriz invertíbel , , e a matriz cadrada simétrica  transfórmase noutra matriz cadrada simétrica  do mesmo tamaño segundo a fórmula

Calquera matriz simétrica  pode transformarse nunha matriz diagonal 

mediante unha elección axeitada dunha matriz ortogonal , e as entradas diagonais de  determínanse de forma única: este é o teorema de Jacobi. Se se permite que  sexa calquera matriz invertíbel, pódese facer que  teña só 0, 1 e -1 na diagonal, e o número de entradas de cada tipo ( para 0,  para 1 e  para −1) depende só de . Esta é unha das formulacións da lei de inercia de Sylvester e os números  e  chámanse índices de inercia positivo e negativo. Aínda que a súa definición implicaba unha elección dunha base e a consideración da correspondente matriz simétrica real , a lei de inercia de Sylvester significa que son invariantes da forma cadrática .

 Definicións 
Unha forma cadrática sobre un corpo  é un mapa  dun espazo vectorial de dimensión finita en  tal que  para todo ,  e a función  é bilinear.

Máis concretamente, unha forma cadrática -aria sobre un corpo  é un polinomio homoxéneo de grao 2 en  variábeis con coeficientes en : 

Esta fórmula pódese reescribir usando matrices: sexa  o vector columna con compoñentes , ... ,  e sexa  a matriz  sobre  cuxas entradas son os coeficientes de . Entón 

Un vector  é un vector nulo se .

Dúas formas cadráticas -arias  e  sobre  son equivalentes se existe unha transformación linear non singular  tal que 

Sexa a característica de  diferente de 2. A matriz de coeficientes  de  pode substituírse pola matriz simétrica  coa mesma forma cadrática, polo que se pode asumir desde o principio que  é simétrica. A maiores, unha matriz simétrica  está determinada de forma única pola forma cadrática correspondente. Baixo unha equivalencia , a matriz simétrica  de  e a matriz simétrica  de  están relacionadas do seguinte xeito: 

A forma bilinear asociada dunha forma cadrática  defínese por 

Así,  é unha forma bilinear simétrica sobre  con matriz . Pola contra, calquera forma bilinear simétrica  define unha forma cadrática 

e estes dous procesos son inversos entre si. Como consecuencia, sobre un corpo de característica non igual a 2, as teorías das formas bilineares simétricas e das formas cadráticas en  variábeis son esencialmente as mesmas.

 Espazo cadrático 
Dado un espazo vectorial -dimensional  sobre un corpo , unha forma cadrática en  é unha función  que ten a seguinte propiedade: para algunha base, a función  que mapea as coordenadas de  en  é unha forma cadrática. En particular, se  coa súa base estándar, temos 

As fórmulas de cambio de base mostran que a propiedade de ser unha forma cadrática non depende da elección dunha base específica en , aínda que a forma cadrática  depende da elección da base.

Un espazo vectorial de dimensión finita cunha forma cadrática chámase espazo cadrático .

O mapa  é unha función homoxénea de grao 2, o que significa que ten a propiedade de que, para todo  en  e  en : 

Cando a característica de  non é 2, o mapa bilinear  sobre  defínese: 

Esta forma bilinear  é simétrica. É dicir,  para todo ,  en , e determina :  para todo  en .

O par  formado por un espazo vectorial de dimensión finita  sobre  e un mapa cadrático  de  en  chámase espazo cadrático, e  tal como se define aquí é a forma bilinear simétrica asociada a . A noción de espazo cadrático é unha versión sen coordenadas da noción de forma cadrática. Ás veces,  tamén se denomina forma cadrática.

Dous espazos cadráticos de dimensión    e  son isométricos se existe unha transformación linear invertíbel  (isometría) tal que 

As clases de isometría de espazos cadráticos -dimensionais sobre  corresponden ás clases de equivalencia de formas cadráticas  -arias sobre .

 Conceptos relacionados 
Dous elementos  e  de  chámanse ortogonais se . O kernel dunha forma bilinear  está formado polos elementos que son ortogonais a todo elemento de .  é non singular se o kernel da súa forma bilinear asociada é . Se existe un  distinto de cero en  tal que , a forma cadrática  é isotrópica, doutro modo é definida. Esta terminoloxía tamén se aplica aos vectores e subespazos dun espazo cadrático. Se a restrición de  a un subespazo  de  é idéntico a cero, entón  é totalmente singular.

O grupo ortogonal dunha forma cadrática non singular  é o grupo dos automorfismos lineares de  que conservan : é dicir, o grupo de isometrías de  en si mesmo.

Se un espazo cadrático  ten un produto polo que  é unha álxebra sobre un corpo e cumpre 

entón é unha álxebra de composición.

 Equivalencia de formas 
Toda forma cadrática  en  variábeis sobre un corpo de característica non igual a 2 é equivalente a unha forma diagonal 

Tal forma diagonal é a miúdo denotada como . A clasificación de todas as formas cadráticas ata  equivalencia pódese reducir así ao caso das formas diagonais.

 Significado xeométrico 
Usando coordenadas cartesianas en tres dimensións, sexa , e sexa  unha matriz simétrica de 3 por 3. Entón, a natureza xeométrica do conxunto solución da ecuación  depende dos eigenvalores da matriz .

Se todos os eigenvalores de  son distintos de cero, entón o conxunto de solucións é un elipsoide ou un hiperboloide.  Se todos os valores propios son positivos, entón é un elipsoide; se todos os eigenvalores son negativos, entón é un elipsoide imaxinario (obtemos a ecuación dun elipsoide mais con raios imaxinarios); se algúns valores propios son positivos e outros son negativos, entón é un hiperboloide.

Se existen un ou máis valores propios , entón a forma depende do  correspondente. Se o correspondente  , entón o conxunto solución é un paraboloide (xa sexa elíptico ou hiperbólico); se o correspondente , entón a dimensión  dexenera e non entra en xogo, e o significado xeométrico estará determinado por outros valores propios e outros compoñentes de . Cando o conxunto solución é un paraboloide, se é elíptico ou hiperbólico está determinado por se todos os demais valores propios distintos de cero son do mesmo signo: se o son, entón é elíptico; no caso contrario, é hiperbólico.

 Formas cadráticas integrais 
As formas cadráticas sobre o anel de enteiros chámanse formas cadráticas integrais, mentres que os módulos correspondentes son retículas cadráticas. Xogan un papel importante na teoría de números e na topoloxía.

Unha forma cadrática integral ten coeficientes enteiros, como ; de forma equivalente, dada unha retícula  nun espazo vectorial  (sobre un corpo con característica 0, como  ou ), unha forma cadrática  é integral en relación a  se e só se ten un valor enteiro en , o que significa  se .

Este é o uso actual do termo; no pasado ás veces utilizábase de forma diferente.

 Formas cadráticas universais 
Unha forma cadrática integral cuxa imaxe consta de todos os enteiros positivos chámase ás veces universal. O teorema dos catro cadrados de Lagrange mostra que  é universal. Ramanujan xeneralizou este  e atopou 54 multiconxuntos  que poden xerar todos os números enteiros positivos, propiamente,

Tamén hai formas cuxa imaxe está formada por todos os enteiros positivos menos un. Por exemplo,  ten o 15 como excepción. Recentemente, os teoremas 15 e 290 caracterizaron completamente as formas cadráticas integrais universais: se todos os coeficientes son enteiros, entón representa a todos os enteiros positivos se e só se representa todos os enteiros ata 290; se ten unha matriz de enteiros, representa todos os enteiros positivos se e só se representa todos os números enteiros ata 15.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 









 Outros artigos 
 Teorema de Hasse–Minkowski
 Cádrica
 Forma ternaria cadrática de Ramanujan
 Ligazóns externas 



Categoría:Álxebra lineal
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas