Matriz invertíbel

En matemáticas, en particular en álxebra linear, unha matriz cadrada  de orde  dise que é invertíbel, non singular, non dexenerada ou regular se existe outra matriz cadrada de orde , chamada matriz inversa de   e denotada por  se , onde  é a matriz identidade de orde  e o produto utilizado é o produto de matrices usual.

Unha matriz cadrada non invertíbel dise que é singular ou dexenerada. Unha matriz é singular se e só se o seu determinante é nulo. A matriz singular  caracterízase porque a súa multiplicación pola matriz columna   é igual a cero para algún  non nulo. O conxunto destes vectores (e ao subespazo vectorial formado por eles) chamarase  (de kernel, núcleo en inglés), para unha matriz invertíbel  é o vector nulo.

A inversión de matrices é o proceso de atopar a matriz inversa dunha matriz dada.

 Exemplos 

 Matriz de dúas filas (matriz adxunta) 
Dada unha matriz  de tamaño  con determinante non nulo, temos



e esta está definida a condición de que  con. Así por exemplo a inversa da matriz



xa que



 Matriz de tres filas 

Dada unha matriz  de tamaño   con determinante non nulo:



onde se definen



Coa notación de cofactores teríamos

Se temos


 ; 


 Propiedades da Matriz Inversa 
Sexa  unha matriz de rango máximo

 A matriz inversa de  é única.
 Se  e  daquela a matriz inversa do produto  é



 Se a matriz  é invertíbel, tamén o é a súa transposta, e a inversa da súa transposta é a transposta da súa inversa, é dicir



 E, evidentemente:



 Unha matriz con coeficientes nos reais é invertíbel se e só se o determinante de  é distinto de cero. A maiores, a inversa satisfai a igualdade:



onde  é o determinante de  e é a matriz de adxuntos de , entendida como á matriz de cofactores transposta. (adj do inglés adjugate).

 O conxunto de matrices  con compoñentes sobre o corpo  que admiten inversa, co produto de matrices, ten unha estrutura isomorfa ao grupo linear   de orde. Neste grupo a operación de inversa é un automorfismo .

 Demostración da unicidade da inversa 
Supoñamos que  e  son inversas de  Multiplicando ambas as relacións por  De modo que  e próbase que a inversa é única.

 Demostración do criterio de invertibilidade das matrices cadradas 
Probarase a dupla implicación.

 Suficiencia 
Supoñamos que existe  tal que . Entón ao aplicar a función determinante obtense



Utilizando a propiedade multiplicativa do determinante e sabendo que  temos



polo que deducimos que  é distinto de cero.

 Necesidade 
Supoña que o determinante de  é diferente de cero. Sexa  o elemento ij da matriz  e sexa  a matriz  sen a liña  e a columna  (comunmente coñecido como -ésimo menor de A). Entón temos que



A maiores, se , entón podemos deducir que



xa que a parte esquerda da relación é o determinante de  coa columna  substituída pola columna  e, de novo debido ás propiedades do determinante, sabemos que unha matriz con dúas filas iguais ten determinante cero.

Das dúas ecuacións anteriores podemos obter



onde  é o delta de Kronecker.

Polo tanto, sabendo qie  temos que



é dicir, que  ten inversa pola esquerda



Como , así  tamén ten unha inversa pola esquerda que é



Daquela



logo, aplicando a transposta



que é o que se quería demostrar.

 Métodos de inversión de matrices 

 Solución analítica 

 Inversión de matrices 2×2 
Pódese facer do seguinte xeito: 



Isto é posíbel sempre que , é dicir, o determinante da matriz non é cero.

Exemplo numérico:



 Inversión de matrices de orde superior 
Para matrices de orde superior pódese utilizar a seguinte fórmula:



Onde  é o determinante de  e  é a matriz adxunta de .

Cando a matriz ten máis de tres filas, esta fórmula é moi ineficiente e leva a longos cálculos. Existen métodos alternativos para calcular a matriz inversa que son moito máis eficientes.

 Métodos numéricos 
O método de eliminación de Gauss-Jordan pódese usar para determinar se unha matriz dada é invertíbel e para atopar a súa inversa. Unha alternativa é a descomposición LU, que descompón unha matriz dada como produto de dúas matrices triangulares, unha inferior e outra superior, moito máis fácil de inverter. Usando o método de Gauss-Jordan, a matriz dada colócase á esquerda e a matriz de identidade á dereita. Despois, mediante o uso de pivotes, inténtase formar a matriz identidade da esquerda e a matriz que resulte á dereita será a matriz inversa da dada.

Por exemplo, considere a seguinte matriz:

Para atopar a matriz inversa , seguimos estes pasos:

Formar a matriz aumentada :

Aplicar operacións elementais de fila:

Paso 1: Restar 5 veces a primeira fila da terceira fila:

Paso 2: Sumar 4 veces a segunda fila á terceira fila:

Paso 3: Restar 3 veces a terceira fila da primeira fila e 4 veces a terceira fila da segunda fila:

Paso 4: Restar 2 veces a segunda fila da primeira fila:

No lado dereito da matriz aumentada temos a matriz inversa da orixinal.

 Grupo linear 
O conxunto de todas as matrices  que admite inverso é unha representación linear do grupo linear de orde n, denotado como . Este grupo ten importantes aplicacións en álxebra e física. A maiores  é un conxunto aberto (coa topoloxía inducida de ).
 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 


 Outros artigos 
 Matriz (matemáticas).
 Ligazóns externas 
Exercicios resolvidos de matrices inversas

Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Matrices