Primorial

En matemáticas, e máis particularmente en teoría de números, o primorial, denotado por "#", é unha función de números naturais a números naturais semellante á función factorial, mais en lugar de multiplicar sucesivamente números enteiros positivos, a función só multiplica os números primos .

O nome "primorial", acuñado por Harvey Dubner, fai unha analoxía cos primos semellante á forma en que o nome "factorial" se relaciona cos factores.

 Definición con números primos 
miniatura|300x300px| en función de , representado logarítmicamente.
Para o -ésimo número primo , o primorial  defínese como o produto dos  primeiros primos:  

 ,

onde  é o -ésimo número primo. Por exemplo,  significa o produto dos 5 primeiros primos:



Os cinco primeiros primoriais  son:

 2, 6, 30, 210, 2310 .

A secuencia tamén inclúe  como produto baleiro . Asintoticamente, os primoriais  medran segundo:



onde  é a notación O pequeno.

 Definición con números naturais 
miniatura|300x300px| (amarelo) en función de , en comparación con  (vermello), ambos os dous representados logarítmicamente.
En xeral, para un enteiro positivo , o seu primorial, , é o produto dos primos que non son maiores que ; é dicir,  

  ,

onde  é a función de contaxe de números primos , que dá o número de primos ≤ .

Por exemplo, 12# representa o produto deses números primos ≤ 12:


Por tanto coas dúas nomenclaturas temos:


 Datos relacionados 
 Os primoriais están relacionados coa primeira función de Chebyshev, escrita ϑ (n)  segundo:


 Dado que  achégase asintóticamente a  para valores grandes de , os primoriais crecen segundo:


 Para o Primorial, coñécese a seguinte aproximación:G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 

 .

 A maiores: . Para , os valores son máis pequenos que , L. Schoenfeld: Sharper bounds for the Chebyshev functions  and .  pero para  maior, os valores da función superan o límite  e oscilan infinitamente arredor de  máis adiante.

 Sexa  o -ésimo primo, entón  ten exactamente  divisores. Por exemplo,  ten 2 divisores,  ten 4 divisores,  ten 8 divisores e  xa ten  divisores, xa que 97 é o 25º primo.
 A suma dos valores recíprocos do primorial converxe cara a unha constante


 A expansión de Engel deste número dá como resultado a secuencia dos números primos (Ver )
 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Factorial.

Categoría:Teoría de números