Integral de Riemann

Integral de Riemann para funcións dunha variable real 
Para funcións dunha única variable real, a integral de Riemann permite calcular áreas como límite de sumas de rectángulos. En primeiro lugar definimos o concepto de suma de Riemann, que formaliza o concepto de sumas de rectángulos relativos á funcións dunha variable, e de forma natural pasamos á definición de funcións Riemann-integrables co paso ao límite destas sumas.

 Sumas de Riemann 
Consideremos unha función  con dominio un intervalo real non dexenerado. Dada unha partición deste intervalo, isto é, un conxunto finito  con , definimos a suma de Riemann da función  relativa á partición  como calquera número real obtido como onde para cada índice temos que . Existen infinidade de sumas de Riemann da función  relativa á partición , dependendo da escolla dos puntos .

Cada sumando da suma de Riemann representa a área (con signo) do rectángulo de base  e altura . Isto implica que se a función  é non negativa, o resultado da suma de Riemann será a suma (positiva) das áreas de todos estes rectángulos, pero se a función  toma valores negativos e ocorre que  para algún , o sumando correspondente tería un peso negativo na suma total.

 Funcións Riemann-integrables 
Dicimos que unha función de variable real  é Riemann-integrable se existe un (único) número real  tal que para cada  existe unha partición  tal que , para calquera partición do intervalo  cumprindo  e para calquera escolla dos puntos . O número real  chámase integral de Riemann de , e denotámolo como .

Podemos definir a norma da partición  como o número real . Deste xeito, podemos dicir de forma equivalente que unha función  é Riemann-integrable se existe un (único) número real  tal que .

 Interpretación xeométrica da integral de Riemann 
Para funcións non negativas, a integral de Riemann representa a área da rexión comprendida entre a gráfica da función a integral e o eixo de abscisas entre os extremos do intervalo de integración .

 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. .

 Outros artigos 
 Integral
 Función medible
 Ligazóns externas 
 Riemann Integral.

Categoría:Cálculo integral