Centralizador e normalizador

En matemáticas, especialmente na teoría de grupos, o centralizador (tamén chamado conmutador) dun subconxunto S nun grupo G é o conxunto  de elementos de G que conmutan con cada elemento de S, ou equivalentemente, tal que a conxugación por  deixa fixo cada elemento de S. O normalizador de S en G é o conxunto de elementos  de G que satisfán a condición máis feble de deixar o conxunto  fixo baixo a conxugación. O centralizador e o normalizador de S son subgrupos de G. Moitas técnicas da teoría de grupos baséanse no estudo dos centralizadores e normalizadores de subconxuntos adecuados S .

Na teoría de aneis, o centralizador dun subconxunto dun anel defínese en relación á operación de semigrupo (multiplicación) do anel. O centralizador dun subconxunto dun anel R é un subanel de R. Este artigo tamén trata sobre centralizadores e normalizadores nunha álxebra de Lie.

O idealizador nun semigrupo ou anel é outra construción que vai na mesma liña que o centralizador e normalizador.

 Definicións 

 Grupo e semigrupo 
O centralizador dun subconxunto S do grupo (ou semigrupo) G defínese como Jacobson (2009), p. 41



onde só a primeira definición se aplica aos semigrupos. Se non hai ambigüidade sobre o grupo en cuestión, o G pódese suprimir da notación. Cando S = { a } é un conxunto unitario, escribimos CG (a) en lugar de CG ({a}). Outra notación menos común para o centralizador é Z(a), que é paralela á notación para o centro. Con esta última notación, hai que ter coidado de evitar a confusión entre o centro dun grupo G, Z(G), e o centralizador dun elemento g en G, Z(g).

O normalizador de S no grupo (ou semigrupo) G defínese como



onde de novo só a primeira definición se aplica aos semigrupos. Se o conxunto  é un subgrupo de , entón o normalizador  é o subgrupo máis grande  onde  é un subgrupo normal de . As definicións de centralizador e normalizador son similares mais non idénticas. Se g está no centralizador de S e s está en S, entón debe ser que , mais se g está no normalizador, entón  para algún t en S, con t posibelmente diferente de s. É dicir, os elementos do centralizador de S deben conmutar punto por punto con S, pero os elementos do normalizador de S só precisan conmutar con S como un conxunto. As mesmas convencións de notación mencionadas anteriormente para os centralizadores tamén se aplican aos normalizadores. Non se debe confundir o normalizador co pechamento normal .

Claramente  e ambos os dous son subgrupos de .

 Anel, álxebra sobre un corpo, anel de Lie e álxebra de Lie 
Se R é un anel ou unha álxebra sobre un corpo, e S é un subconxunto de R, entón o centralizador de S é exactamente o mesmo que se definiu para os grupos, con R no lugar de G.

Se  é unha álxebra de Lie (ou un anel de Lie) con produto de Lie [x, y], dqquela o centralizador dun subconxunto S de  defínese como 



A definición de centralizadores para aneis de Lie está ligada á definición de aneis do seguinte xeito. Se R é un anel asociativo, entón R pode dar o produto de corchetes de Lie . Por suposto, entón  se e só se . Se denotamos o conxunto R co produto corchete como LR, entón claramente o centralizador do anel de S en R é igual ao centralizador do anel de Lie de S en LR.

O normalizador dun subconxunto S dunha álxebra de Lie (ou anel de Lie)  está dado por 



Aínda que este é o uso estándar do termo "normalizador" na álxebra de Lie, esta construción é en realidade o idealizador do conxunto S en . Se S é un subgrupo aditivo de , entón  é o subanel de Lie máis grande (ou subálxebra de Lie, segundo o caso) no que S é un ideal de Lie.

 Exemplo 
Considere o grupo

  (o grupo simétrico de permutacións de 3 elementos).

Tome un subconxunto H do grupo G:



Teña en conta que [1, 2, 3] é a permutación identidade en G e mantén a orde de cada elemento e [1, 3, 2] é a permutación que fixa o primeiro elemento e troca o segundo e o terceiro elemento.

O normalizador de H en relación ao grupo G son todos os elementos de G que dan o conxunto H (potencialmente permutado) cando se aplica a operación de grupo. Traballando o exemplo para cada elemento de G:

  cando se aplica a H =>  ; polo tanto [1, 2, 3] está no Normalizador(H) con respecto a G.
  cando se aplica a H =>  ; polo tanto [1, 3, 2] está no Normalizador(H) con respecto a G.
  cando se aplica a H =>  ; polo tanto [2, 1, 3] non está no Normalizer(H) con respecto a G.
  cando se aplica a H =>  ; polo tanto [2, 3, 1] non está no Normalizer(H) con respecto a G.
  cando se aplica a H =>  ; polo tanto [3, 1, 2] non está no Normalizer(H) con respecto a G.
  cando se aplica a H =>  ; polo tanto [3, 2, 2] non está no Normalizer(H) con respecto a G.

Polo tanto, o Normalizador(H) en relación a G é  xa que os dous elementos do grupo conservan o conxunto H.

Un grupo considérase simple se o normalizador en relación a un subconxunto é sempre a identidade e el mesmo. Aquí, está claro que S3 non é un grupo simple.

O centralizador do grupo G é o conxunto de elementos que deixan cada elemento de H sen cambios. Está claro que o único elemento deste tipo en S3 é o elemento identidade [1, 2, 3].
 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Idealizador.
 Teorema do duplo centralizador.

Categoría:Teoría de aneis
Categoría:Teoría de grupos
Categoría:Álxebra abstracta
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas