Inverso multiplicativo

En matemáticas, un inverso multiplicativo ou recíproco para un número x, denotado como 1/x ou x−1, é un número que cando se multiplica por x dá a identidade multiplicativa, 1. O inverso multiplicativo dunha fracción a/b é b/a. Por exemplo, o recíproco de 5 é un quinto (1/5 ou 0,2) e o recíproco de 0,25 é 1 dividido por 0,25 ou 4. A función recíproca, a función f(x) que asigna x a 1/x, é un dos exemplos máis sinxelos dunha función que é a súa propia inversa (unha involución).

Na frase inverso multiplicativo, o cualificativo multiplicativo adoita omitirse e logo enténdese implicitamente (en contraste co inverso da suma). Os inversos multiplicativos pódense definir en moitos dominios matemáticos. Nestes casos pode ocorrer que ; daquela "inverso" normalmente implica que un elemento é á vez un elemento inversa pola esquerda e pola dereita.

A notación f −1 ás veces tamén se usa para a función inversa da función f, que para a maioría das funcións non é igual á inversa multiplicativa. Por exemplo, o inverso multiplicativo  é a cosecante de x, e non o seno inverso de x indicado por  ou .

 Exemplos 
Nos números reais, o cero non ten un recíproco (a división por cero non está definida) porque ningún número real multiplicado por 0 produce 1. A propiedade de que todo elemento distinto de cero ten un inverso multiplicativo forma parte da definición dun corpo. Por outra banda, ningún número enteiro diferente a 1 e −1 ten un recíproco nos enteiros (o resultado sería un número con decimais), polo que os enteiros non son un corpo.

En aritmética modular, tamén se define o inverso multiplicativo modular de a: é o número x tal que . Este inverso multiplicativo existe se e só se a e n son coprimos. Por exemplo, o inverso de 3 módulo 11 é 4 porque  . O algoritmo de Euclides estendido pódese utilizar para calculalo.

Unha matriz cadrada ten unha inversa se e só se o seu determinante ten unha inversa no anel de coeficientes.

As dúas nocións de función inversa coinciden ás veces, por exemplo para a función  onde  é a rama principal do logaritmo complexo e :

  .

As funcións trigonométricas están relacionadas pola identidade recíproca: a cotanxente é o recíproco da tanxente; a secante é o recíproco do coseno; a cosecante é o recíproco do seno.

Un anel no que cada elemento distinto de cero ten un inverso multiplicativo é un anel de división; do mesmo xeito, unha álxebra na que isto cúmprose é unha álxebra de división.

 Números complexos 
O recíproco de todo número complexo distinto de cero  é complexo. Pódese atopar multiplicando a parte superior e inferior de 1/z polo seu complexo conxugado  e utilizando a propiedade que , o valor absoluto de z cadrado, que é o número real  :



En particular, se || z ||=1 , entón  . En consecuencia, as unidades imaxinarias, , teñen inverso aditivo igual a inverso multiplicativo e son os únicos números complexos con esta propiedade. Por exemplo, os inversos aditivos e multiplicativos de  son  e , respectivamente.

Para un número complexo en forma polar , o recíproco simplemente toma o valor recíproco da magnitude e negativo do ángulo:



miniatura| Intuición xeométrica para a integral de 1/x. As tres integrais de 1 a 2, de 2 a 4 e de 4 a 8 son todas iguais. Cada rexión é a rexión anterior reducida á metade verticalmente e duplicada horizontalmente. Ampliando isto, a integral de 1 a 2k é k veces a integral de 1 a 2, do mesmo xeito que ln 2k = k ln 2.

 Cálculo 
No cálculo real, a derivada de  vén dada pola regra da potencia coa potencia −1:



A integral vén dada por:  onde ln é o logaritmo natural. Para mostrar isto, teña en conta que , así que se  e , temos:

 Algoritmos 
O recíproco pódese calcular a man co uso da división longa.

Calcular o recíproco é importante en moitos algoritmos de división, xa que o cociente a/b pódese calcular primeiro calculando 1/b e despois multiplicándoo por a. Observando iso , ten un cero en x = 1/ b, co método de Newton pódese atopar ese cero, comezando cunha suposición  e iterando usando a regra:



E repítese o bucle ata alcanzar a precisión desexada. Por exemplo, supoñamos que queremos calcular 1/17 ≈ 0,0588 con 3 díxitos de precisión. Tomando x0 = 0,1, prodúcese a seguinte secuencia:

 x 1 = 0,1 (2 − 17 × 0,1) = 0,03
 x 2 = 0,03 (2 − 17 × 0,03) = 0,0447
 x 3 = 0,0447(2 − 17 × 0,0447) ≈ 0,0554
 x 4 = 0,0554 (2 − 17 × 0,0554) ≈ 0,0586
 x 5 = 0,0586 (2 − 17 × 0,0586) ≈ 0,0588

Esta iteración tamén se pode xeneralizar a un tipo máis amplo de inversos; por exemplo a matriz inversa.

 Recíprocos de números irracionais 
Todo número real ou complexo excluíndo o cero ten un recíproco, e os recíprocos de certos números irracionais poden ter propiedades especiais importantes.

Os exemplos inclúen o recíproco de e (≈ 0,367879) e o recíproco da razón áurea (≈ 0,618034). O primeiro recíproco é especial porque ningún outro número positivo pode producir un número inferior cando se eleva a unha potencia de si mesmo;  é o mínimo global de . O segundo número é o único número positivo que é igual ao seu recíproco máis un: . O seu inverso aditivo é o único número negativo que é igual ao seu recíproco menos un: .

Para as raíces, cun método similar aos números complexos, podemos multiplicar e dividir polo propio número:

 Isto leva a resultados curiosos como que o recíproco de  é a súa metade.

A función recíproca xoga un papel importante nas fraccións continuas, que teñen unha serie de propiedades notables relacionadas coa representación de números (tanto racionais como irracionais).

 Máis observacións 
Se a multiplicación é asociativa, un elemento x cunha inversa multiplicativa non pode ser un divisor de cero (x é un divisor de cero se para algún y diferente de cero, ). Para ver isto, abonda con multiplicar a ecuación  pola inversa de x (pola esquerda), e logo simplificar usando a asociatividade. En ausencia de asociatividade, os sedenións proporcionan un contraexemplo (na álxebra abstracta, os sedenions forman unha álxebra non conmutativa e non asociativa de 16 dimensións sobre os números reais, normalmente representados pola letra S maiúscula).

A viceversa non se verifica: un elemento que non é un divisor de cero non se garante que teña un inverso multiplicativo. Dentro de Z, todos os números enteiros agás −1, 0, 1 proporcionan exemplos; non son divisores de cero nin teñen inversos en Z . No entanto, se o anel ou a álxebra é finita, todos os elementos a que non son divisores de cero teñen un inverso (esquerda e dereita). Por exemplo, primeiro observe que o mapa  debe ser inxectivo:  implica  :



Elementos distintos mapean a elementos distintos, polo que a imaxe consta do mesmo número finito de elementos e o mapa é necesariamente sobrexectivo. En concreto, ƒ (é dicir, a multiplicación por a) debe mapear algún elemento x a 1, , de xeito que x sexa inverso para a.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
Maximally Periodic Reciprocals, Matthews R.A.J. Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications vol 28 pp 147–148 1992
 Outros artigos 
 Aritmética modular.
 Matriz invertíbel.
 Anel (álxebra)

Categoría:Álxebra abstracta
Categoría:Álxebra
Categoría:Funcións
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas