Ecuación de Liénard

A ecuación de Liénard é unha ecuación diferencial ordinaria estudada en profundidade polo físico Alfred-Marie Liénard no seu artigo de 1928. Esta ecuación ten interese, dentro dos sistemas dinámicos, en problemas de circuítos eléctricos, acústica e no desenvolvemento da radio. Esta ecuación xeneraliza os osciladores lineais.

Para esta ecuación, Liénard encontrou condicións suficientes sobre as funcións coeficiente para garantir a existencia e unicidade de ciclo límite para os sistemas planos asociados. Este resultado, que recibe o nome de Teorema de Liénard, pódese aplicar, por exemplo, ao oscilador de Van der Pol.

 Definición 
Denomínase ecuación de Liénard a unha ecuación diferencial de segunda orde da forma

 Teorema de Liénard 
Sexan  dúas funcións de clase 1. Se se satisfan as seguintes condicións,

 A función  é par e a función  é impar,
  para todo  non nulo,
   ten exactamente unha raíz positiva en , é negativa en , positiva e monótona crecente en  e tal que ,

entón o sistema asociado á ecuación de Liénard ten un único ciclo límite que é asintóticamente estable.

Pódese consultar a demostración deste resultado en .

 Aplicación ao oscilador de van der Pol 
O oscilador de van der Pol segue unha ecuación da forma

Pódese comprobar que esta ecuación está nas condicións do Teorema de Liénard para calquera valor de  positivo. 

 Notas 


 Véxase tamén 
 Ligazóns externas 



Categoría:Ecuacións diferenciais