Series de Eisenstein

As series de Eisenstein, que reciben o nome do matemático alemán Gotthold Eisenstein,  son formas modulares particulares con expansións de series infinitas que se poden escribir directamente. Definidas orixinalmente para o grupo modular, as series de Eisenstein pódense xeneralizar na teoría das formas automorfas.

 Series de Eisenstein para o grupo modular 
miniatura| A parte real de  en función de  no disco unitario. Os números negativos están en negro.
dereita|miniatura|
Sexa  un número complexo con parte imaxinaria estritamente positiva. Definamos a serie holomorfa de Eisenstein  de peso , onde  é un número enteiro, pola seguinte serie: 



Esta serie converxe absolutamente a unha función holomorfa de  no semiplano superior e a súa expansión de Fourier indicada a continuación mostra que se estende a unha función holomorfa en . É un feito notable que a serie Eisenstein é unha forma modular. De feito, a propiedade clave é a súa covarianza . Explicitamente se  e  entón



Nótese que  é necesario para que a serie converxa absolutamente, mentres que  debe ser par, se non, a suma desaparece porque os termos  e  anúlanse. Para  a serie converxe mais non é unha forma modular.

 Relación con invariantes modulares 
As invariantes modulares  e  dunha curva elíptica veñen dados polas dúas primeiras series de Eisenstein: 



Existen expresións destas dúas funcións en termos das funcións theta.

 Relación de recorrencia 
Calquera forma modular holomorfa para o grupo modular  pódese escribir como un polinomio en  e . En concreto, a orde superior  pódese escribir en termos de  e  mediante unha relación de recorrencia. Sexa , polo que, por exemplo,  e . Daquela o  satisfai a relación



para todo  . Onde  é o coeficiente binomial.

Os  tamén aparecen na expansión en serie para as funcións elípticas de Weierstrass:



 Series de Fourier 
Definimos , (algúns libros máis antigos definen que  como o nome , mais agora  é o estándar.) Daquela a serie de Fourier da serie de Eisenstein  é



onde os coeficientes  están dados por



Onde  son os números de Bernoulli,  é a función zeta de Riemann e  é a función suma dos divisores. En particular temos



A suma sobre  pódese representar como unha serie de Lambert e teríamos



para complexos arbitrarios  e . Cando se traballa coa -expansión da serie de Eisenstein, adoita introducirse esta notación alternativa:



 Identidades coa serie de Eisenstein 

 Como funcións theta 
Fonte: 

Dado , temos



e definimos as funcións theta de Jacobi, que normalmente usan a función nome ,



onde  e  representan notacións alternativas. Entón temos as relacións simétricas,



Unha transformación alxébrica básica implica inmediatamente



unha expresión relacionada co discriminante modular,



 Produtos das series de Eisenstein 
As series de Eisenstein forman os exemplos máis explícitos de formas modulares para o grupo modular completo . Dado que o espazo das formas modulares de peso  ten  dimensión 1 para , os diferentes produtos das series de Eisenstein que teñen eses pesos teñen que ser iguais a un múltiplo escalar. De feito, obtemos as identidades: 



Usando as -expansións da serie de Eisenstein indicadas anteriormente, poden ser reformuladas como identidades que implican as sumas de potencias dos divisores:



polo tanto



e do mesmo xeito para os demais. A función theta dunha retícula unimodular par de oito dimensións  é unha forma modular de peso 4 para o grupo modular completo, que dá as seguintes identidades:



para o número  de vectores de lonxitude cadrada  na retícula raíz do tipo .

Usando a relación de recorrencia anterior, todos os  superiores poden expresarse como polinomios en  e  . Por exemplo:



Moitas relacións entre produtos da serie de Eisenstein pódense escribir dun xeito elegante usando determinantes de Hankel, por exemplo, a identidade de Garvan



onde



é o discriminante modular.

 Identidades de Ramanujan 
Srinivasa Ramanujan deu varias identidades interesantes entre as primeiras series de Eisenstein usando a diferenciación.   Sexan



daquela



Estas identidades, como as identidades entre as series, producen identidades de convolución aritméticas que implican a función suma de divisores. Seguindo a Ramanujan, para poñer estas identidades na forma máis simple é necesario estender o dominio de  para incluír o cero, configurando



Logo, por exemplo



 Xeneralizacións 
As formas automorfas xeneralizan a idea de formas modulares para os grupos de Lie xenéricos; e as series de Eisenstein xeneralízanse dun xeito similar.

Definindo  como o anel de números enteiros dun corpo numérico alxébrico totalmente real , defínese entón o grupo modular de Hilbert–Blumenthal como . Podemos entón asociar unha serie de Eisenstein a cada cúspide do grupo modular Hilbert–Blumenthal.

 Notas 

 Véxase tamén 
Bibliografía
  Translated into English as 





Categoría:Fractais
Categoría:Análise matemática
Categoría:Teoría de números
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Serie matemática