Teorema de Størmer

En teoría de números, o teorema de Størmer, que recibe o nome de Carl Størmer, dá un límite finito sobre o número de pares consecutivos de números suaves que existen, para un determinado grao de suavidade, e proporciona un método para atopar todos eses pares utilizando as ecuacións de Pell. Do teorema de Thue-Siegel-Roth despréndese que só hai un número finito de pares deste tipo, mais Størmer deu un procedemento para atopalos todos.

 Enunciado 
Se se escolle un conxunto finito  de números primos, entón os números -suaves defínense como o conxunto de números enteiros



que poden ser xerados por produtos de números en . Daquela o teorema de Størmer afirma que, para cada opción de , só hai un número finito de pares de números -suaves consecutivos. Ademais, dá un método para atopalos todos usando as ecuacións de Pell.

 O procedemento 
O procedemento orixinal de Størmer implica resolver un conxunto de aproximadamente 3k ecuacións de Pell, atopando en cada unha só a solución máis pequena. A continuación descríbese unha versión simplificada do procedemento, debido a D. H. Lehmer; resolve menos ecuacións mais da atopado máis solucións en cada ecuación.

Sexa  o conxunto dado de primos e definimos un número como -suave se todos os seus factores primos pertencen a . Supoñamos que 1 = 2; se non, non podería haber números -suaves consecutivos, porque todos os números -suaves serían impares. O método de Lehmer implica resolver a ecuación de Pell



para cada número -suave libre de cadrados  distinto de . Cada número  xérase como produto dun subconxunto de , polo que hai que resolver   ecuacións de Pell. Para cada ecuación deste tipo, sexan  as solucións xeradas para  no intervalo de  a  (inclusive), onde  é o maior dos primos de .

Entón, como mostra Lehmer, todos os pares consecutivos de números -suaves teñen a forma  e só temos que comprobar a -suavidade destes pares.

 Exemplo 
Imos atopar os dez pares consecutivos de {2,3,5}-números suaves. Hai sete números P-suaves libres de cadrados q (omitindo o oitavo número P-suave sen cadrados: 1, 3, 5, 6, 10, 15 e 30, e cada un deles leva a unha ecuación de Pell. O número de solucións por ecuación de Pell requirido polo método de Lehmer é , polo que este método xera tres solucións para cada ecuación de Pell, como veremos a continuación.

 Para q = 1, as tres primeiras solucións da ecuación de Pell  son (3,2), (17,12) e (99,70). Así, para cada un dos tres valores xi = 3, 17 e 99, o método de Lehmer proba o par ,  os tres pares a probar son logo (1,2), (8,9) e (49,50). Tanto (1,2) como (8,9) son pares de números P-suaves consecutivos, mais (49,50) non o é, xa que 49 ten 7 como factor primo.
 Para q = 3, as tres primeiras solucións da ecuación de Pell  son (5,2), (49,20) e (485,198). A partir dos tres valores xi = 5, 49 e 485 os tres pares candidatos de números consecutivos son: (2,3), (24,25) e (242,243). Deles, (2,3) e (24,25) son pares de números P-suaves consecutivos pero (242,243) non o é.
 Para q = 5, as tres primeiras solucións da ecuación de Pell  son (19,6), (721,228) e (27379,8658). A solución de Pell (19,6) leva ao par de números P-suaves consecutivos (9,10); as outras dúas solucións da ecuación de Pell non dan lugar a pares P-suaves.
 Para q = 6, as tres primeiras solucións da ecuación de Pell  son (7,2), (97,28) e (1351,390). A solución de Pell (7,2) leva ao par de números P-suaves consecutivos (3,4).
 Para q = 10, temos  con solucións (9,2), (161,36) e (2889,646). Aquí (9,2) conduce ao par de números P-suaves consecutivos (4,5) e (161,36) a (80,81).
 Para q = 15, temos  con solucións (11,2), (241,44) e (5291,966). Aquí para (11,2) temos os P-suaves consecutivos (5,6).
 Para q = 30, as tres primeiras solucións da ecuación de Pell  son (31,4), (1921,248) e (119071,15372). A solución de Pell (31,4) conduce ao par de números P-suaves consecutivos (15,16).

 Contaxe de solucións 
O resultado orixinal de Størmer pódese usar para mostrar que o número de pares consecutivos de números enteiros que son suaves en relación a un conxunto de k primos é como máximo . O resultado de Lehmer produce un límite máis axustado para conxuntos de números primos pequenos: 
.

O número de pares consecutivos de números enteiros que son suaves en relación aos primeiros k primos son

 1, 4, 10, 23, 40, 68, 108, 167, 241, 345,...      .

O maior número enteiro de todos estes pares, para cada k, é

 2, 9, 81, 4375, 9801, 123201, 336141, 11859211,...  .

 Xeneralizacións e aplicacións 
Louis Mordell escribiu sobre este resultado, dicindo que "é moi feituco, e hai moitas aplicacións del". Como se indica en .

Chein (1976) utilizou o método de Størmer para demostrar a conxectura de Catalan sobre a inexistencia de potencias perfectas consecutivas (diferentes a 8,9) no caso de que unha das dúas potencias sexa un cadrado.

Mabkhout (1993) demostrou que todo número , para , ten un factor primo maior ou igual a 137. O teorema de Størmer é unha parte importante da súa demostración, na que reduce o problema á solución de 128 ecuacións de Pell.

Varios autores ampliaron o traballo de Størmer proporcionando métodos para enumerar as solucións de ecuacións diofántianas máis xerais, ou proporcionando criterios de divisibilidade máis xerais para as solucións das ecuacións de Pell.En particular ver , , ,  e .

Conrey, Holmstrom e McLaughlin (2013) describen un procedemento computacional que, empíricamente, atopa moitos mais non todos os pares consecutivos de números suaves descritos polo teorema de Størmer, e é moito máis rápido que usar a ecuación de Pell para atopar todas as solucións.

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Suavidade.
 Ecuación de Pell

Categoría:Teoría de números
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Størmer