Relación reflexiva

En matemáticas, unha relación binaria  nun conxunto  é reflexiva se relaciona cada elemento de  consigo mesmo.  

Un exemplo de relación reflexiva é a relación "é igual a" no conxunto de números reais, xa que cada número real é igual a si mesmo. Xunto coa simetría e a transitividade, a reflexividade é unha das tres propiedades que definen as relacións de equivalencia.

 Definición 

Sexa  unha relación binaria nun conxunto  que por definición é só un subconxunto de  Para calquera  a notación  significa que  mentres "non  " significa que 

A relación  chámase reflexiva se  para todo .

De forma equivalente, se  denota a relación de identidade en , a relación  é reflexiva se .

O peche reflexivo de  é a unión  que se pode definir equivalentemente como a menor (con respecto a ) relación reflexiva en  que é un superconxunto de  Unha relación  é reflexiva se e só se é igual ao seu peche reflexivo.

A redución reflexiva ou kernel irreflexivo de  é a relación máis pequena (con respecto a ) en  que ten o mesmo peche reflexivo que  É igual a  

A redución reflexiva de  pode, en certo sentido, ser vista como unha construción que é o "oposto" ao peche reflexivo de 
Por exemplo, o peche reflexivo da desigualdade estrita canónica  nos reais  é a desigualdade non estrita habitual  mentres que a redución reflexiva de  é 

 Definicións relacionadas 
Hai varias definicións relacionadas coa propiedade reflexiva. A relación  chámase:
 ,  se non relaciona ningún elemento consigo mesmo; é dicir, se  non vale para ningún  Unha relación é irreflexiva se e só se é o seu complemento en  é reflexivo. Unha relación asimétrica é necesariamente irreflexiva. Unha relación transitiva e irreflexiva é necesariamente asimétrica.
  se sempre que  son tal que  entón necesariamente  A Enciclopedia Británica chama a esta propiedade quase-reflexividade.
  se sempre que  son tal que  entón necesariamente 
   se cada elemento que forma parte dalgunha relación está relacionado consigo mesmo. Explicitamente, isto significa que sempre que  sexan tal que  entón necesariamente  e  De forma equivalente, unha relación binaria é case-reflexiva se e só se é case reflexiva pola esquerda e quase-reflexiva pola dereita. Unha relación  é case- reflexiva se e só se o seu peche simétrico  é pola esquerda (ou pola dereita) case reflexivo.
 antisimétrica se sempre que  son tal que  entón necesariamente 
  se sempre que  son tal que  entón necesariamente  Unha relación  é coreflexiva se e só se o seu peche simétrico é simétrica.

Unha relación reflexiva nun conxunto non baleiro  non pode ser irreflexiva, nin asimétrica ( chámase  se  non implica ), nin antitransitiva ( é  se  implica non ).

 Representación 

Sexa  unha relación reflexiva ou antirreflexiva aplicada sobre un conxunto A, entón R ten unha representación particular para cada forma de describir unha relación binaria.

 Notación  Relación reflexiva  Relación antirreflexiva Como  pares ordenados      Como matriz de adxacencia  A diagonal principal da matriz conterá só 1's, é dicir,   A diagonal principal da matriz conterá só 0's, é dicir,  Como grafo  O grafo conterá bucles en todos os seus nodos.  O grafo non conterá bucles en ningún dos seus nodos.
 Exemplos 
Exemplos de relacións reflexivas inclúen:

 "é igual a" (igualdade)
 "é un subconxunto de" 
 "divide a" (divisibilidade)
 "é maior ou igual a"
 "é menor ou igual a"

Exemplos de relacións irreflexivas inclúen:

 "non é igual a"
 "é coprimo a" nos enteiros maiores que 1
 "é un subconxunto propio de"
 "é maior que"
 "é menor que"

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 






   (Online corrected edition, Feb 2010)

 Outros artigos 
 Relación simétrica.
 Relación transitiva.
 Relación de equivalencia.
 Ligazóns externas 


Categoría:Teoría da orde
Categoría:Teoría de conxuntos
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas