Fracción continua xeneralizada

Na análise complexa, unha rama das matemáticas, unha fracción continua xeneralizada é unha xeneralización das fraccións continuas regulares, na que os numeradores parciais e os denominadores parciais poden asumir valores complexos arbitrarios.

Unha fracción continua xeneralizada é unha expresión da forma



onde  () son os numeradores parciais, os  os denominadores parciais e o termo principal  chámase parte enteira da fracción continua.

Os sucesivos converxentes da fracción continua fórmanse aplicando as fórmulas  de recorrencia :

con valores iniciais



onde  é o numerador e  o denominador, chamados continuantes,   do -ésimo converxente.

 Historia 
 ideou unha técnica para aproximar as raíces das ecuacións cadráticas con fraccións continuas a mediados do século XVI. Só 24 anos despois, en 1613, Pietro Cataldi introduciu a primeira notación formal para a fracción continua xeneralizada.  Cataldi representou unha fracción continua como



cos puntos que indican onde vai a seguinte fracción e cada  representando un signo máis moderno.

A finais do século XVII John Wallis introduciu o termo "fracción continua" na literatura matemática.  Recentemente entraran en escena novas técnicas de análise matemática (o cálculo de Newton e Leibniz), e unha xeración de contemporáneos de Wallis puxeron en uso a novo termo.

En 1748 Euler publicou un teorema que mostra que un tipo particular de fracción continua é equivalente a unha determinada serie infinita moi xeral.  A fórmula da fracción continua de Euler aínda é a base de moitas probas modernas de converxencia de fraccións continuas.

En 1761, Johann Heinrich Lambert deu a primeira proba de que π é irracional, usando a seguinte fracción continua para : 



As fraccións continuas tamén se poden aplicar a problemas de teoría de números, e son especialmente útiles no estudo das ecuacións diofántianas. A finais do século XVIII Lagrange utilizou as fraccións continuas para construír a solución xeral da ecuación de Pell, respondendo así a unha pregunta que fascinaba aos matemáticos durante máis de mil anos. Brahmagupta (598–670) was the first mathematician to make a systematic study of Pell's equation. O descubrimento de Lagrange implica que a expansión de fracción continua regular da raíz cadrada de todo número enteiro non cadrado é periódica e que, se o período é de lonxitude , contén unha cadea palindrómica de lonxitude .

En 1813 Gauss derivou a partir de funcións hiperxeométricas de valores complexos o que agora se chama fraccións continuas de Gauss.  Pódense usar para expresar moitas funcións elementais e algunhas funcións máis avanzadas (como as funcións de Bessel), como fraccións continuas que converxen rapidamente en case todas partes do plano complexo.

 Notación 
A expresión de fracción continua longa que aparece na introdución é fácil de interpretar para un lector non familiar coas fraccións continuas. Máis hai notacións máis curtas: 



Carl Friedrich Gauss  elaborou esta notación:



Aquí a "" significa Kettenbruch, a palabra alemá para "fracción continua". 

 Algunhas consideracións elementais 

 Numeradores e denominadores parciais 
Se un dos numeradores parciais  é cero, a fracción continua infinita



é realmente só unha fracción continua finita con  termos fraccionarios e, polo tanto, unha función racional de  a  e  a . 

 Fórmula do determinante 
Cando o -ésimo converxente dunha fracción continua



exprésase como unha fracción simple  podemos usar a fórmula do determinantepara relacionar os numeradores e denominadores de converxentes sucesivos  e  entre si. A proba disto pódese ver facilmente por indución.

 Transformación de equivalencia 
Se  é calquera sucesión infinita de números complexos distintos de cero podemos demostrar, por indución, que



A transformación de equivalencia é perfectamente xeral, pero dous casos particulares merecen unha mención especial. En primeiro lugar, se ningún dos  é cero pódese escoller unha secuencia  para que cada numerador parcial sexa 1:



onde , , , e en xeral .

En segundo lugar, se ningún dos denominadores parciais  é cero, podemos usar un procedemento similar para escoller outra secuencia  para que cada denominador parcial sexa un 1:



onde  e tamén .

Estes dous casos especiais da transformación de equivalencia son de enorme utilidade cando se analiza o problema xeral de converxencia.

 Nocións de converxencia 
A fracción continua



converxe se a secuencia de converxentes } tende a un límite finito. Esta noción de converxencia é moi natural. É útil introducir a noción de converxencia xeral dunha fracción continua. En liñas xerais, isto consiste en substituír a parte da fracción posterior a  ,  por , en lugar de por 0, para calcular os converxentes. Os converxentes así obtidos chámanse converxentes modificados. Dicimos que a fracción continua converxe xeralmente se existe unha secuencia  tal que a secuencia de converxentes modificados converxe para todos os  suficientemente distinto de . A secuencia  chámase entón unha secuencia excepcional para a fracción continua. Vexa o capítulo 2 de  para unha definición rigorosa.

Tamén existe unha noción de converxencia absoluta para fraccións continuas, baseada na noción de converxencia absoluta dunha serie: dise que unha fracción continua é absolutamente converxente cando a serie



onde  son os converxentes da fracción continua, converxe absolutamente.  O teorema de Śleszyński–Pringsheim proporciona unha condición suficiente para a converxencia absoluta.

Finalmente, unha fracción continua dunha ou máis variables complexas é uniformemente converxente nunha veciñanza aberta  cando os seus converxentes converxen uniformemente en ; é dicir, cando para cada  existe  tal que para todo , para todos  ,



 Condicións para a irracionalidade 
Se  e  son enteiros positivos con  para todos os  suficientemente grandes, daquela



converxe a un límite irracional. 

 Fórmulas fundamentais de recorrencia 
Os numeradores e denominadores parciais dos converxentes sucesivos da fracción están relacionados mediante as fórmulas fundamentais de recorrencia :



Os converxentes sucesivos da fracción continua son logo



Estas relacións de recorrencia débense a John Wallis (1616–1703) e Leonhard Euler (1707–1783).  Estas relacións de recorrencia son simplemente unha notación diferente para as relacións obtidas por Pietro Antonio Cataldi (1548-1626).

 Fórmula de fracción continua de Euler 
Euler demostrou a seguinte identidade: 



Disto pódense derivar moitos outros resultados, como



e



 Exemplos 

 Funcións e números transcendentais 
Aquí temos dúas fraccións continuas que se poden construír mediante a identidade de Euler.





Aquí temos fraccións continuas xeneralizadas adicionais:







Esta último baséase nun algoritmo derivado por Aleksei Nikolaevich Khovansky na década de 1970. An alternative way to calculate log(x)

Exemplo: o logaritmo neperiano de 2 (= 




Fórmula de Leibniz para  :



converxe demasiado lentamente, requirindo aproximadamente  termos para conseguir  cifras decimais correctas. A serie derivada por Nilakantha Somayaji:



aínda converxe bastante lentamente. Por outra banda:



converxe linearmente a , engadindo polo menos tres díxitos de precisión por catro termos.

 Raíces dos números positivos 
A raíz -ésima de calquera número positivo  pódese expresar reformulando , dando como resultado



que se pode simplificar, dobrando cada par de fraccións nunha fracción, a



A raíz cadrada de  é un caso especial con  e :



que se pode simplificar observando que :



A raíz cadrada tamén se pode expresar mediante unha fracción continua periódica, pero a forma anterior converxe máis rapidamente cos apropiados  e .

 Exemplo 1 
A raíz cúbica de dous (2 1/3 ou 3  ≈ 1,259921...) pódese calcular de dúas formas:

En primeiro lugar, a "notación estándar" de ,  e :



En segundo lugar, unha converxencia rápida con ,  e :



 Notas 


 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Fracción continua
 Fracción continua de Gauss
 Composicións infinitas de funcións analíticas
 Algoritmo de Lentz

 Bibliografía

 (Covers both analytic theory and history.)

 (Covers primarily analytic theory and some arithmetic theory.)

 (This reprint of the D. Van Nostrand edition of 1948 covers both history and analytic theory.)

Ligazóns externas 

 As vinte primeirs páxinas de  Steven R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge University Press, 2003, , contén fraccións continuas xeneralizadas para  e a razón áurea.
 "Exact" continued fraction for Pi}}

Categoría:Teoría de números