Fórmula de Herón

En xeometría, a fórmula de Herón  dá a área dun triángulo en función das tres lonxitudes dos lados    Sexa  o semiperímetro do triángulo,  a área  é 



Leva o nome do enxeñeiro Herón de Alexandría do século I quen a demostrou na súa obra Metrica, aínda que probablemente se coñecía séculos antes.

 Exemplo 
Sexa  o triángulo con lados  e  O semiperímetro deste triángulo é , a área será logo



 Expresións alternativas 
A fórmula de Herón tamén se pode escribir en termos só das lonxitudes, sen usar o semiperímetro,



A mesma relación pódese expresar usando o determinante de Cayley-Menger, 



 Probas 

 Proba trigonométrica mediante a lei dos cosenos 
En primeiro lugar mostramos unha proba moderna, bastante diferente da proporcionada por Herón.  Sexan    os lados do triángulo e    os ángulos opostos a eses lados (figura inicial). Aplicando a lei dos cosenos obtemos



A partir deste coseno obtemos o seno,



A altura do triángulo con base  mide , e segue



 Proba alxébrica mediante o teorema de Pitágoras 
miniatura|270x270px|Triángulo coa altura  que corta a base  en 
A seguinte proba é moi semellante á dada por Raifaizen.  Polo teorema de Pitágoras temos  e  segundo a figura de enriba. Restando temos,  Esta ecuación permítenos expresar  en función dos lados do triángulo:



Para a altura do triángulo temos   Se substituímos  coa fórmula dada anteriormente e aplicando a diferenza de cadrados obtemos



E por último:



 Proba trigonométrica mediante a lei das cotanxentes 
dereita|miniatura|270x270px| Significado xeométrico de ,  e . Vexa a lei das cotanxentes para coñecer o razoamento detrás disto.
Se  é o raio do círculo inscrito do triángulo, entón o triángulo pódese dividir en tres triángulos de igual altitude  e bases   e  A súa área combinada é



onde  é o semiperímetro.

O triángulo pódese dividir alternativamente en seis triángulos (en pares congruentes) de altura  e bases   e  de área combinada (ver lei das cotanxentes)



O paso medio anterior é  a identidade cotanxente tripla, que aplica porque a suma dos semiángulos é 

Combinando as dúas, conseguimos



 Estabilidade numérica 
A fórmula de Herón, como se indica anteriormente, é numericamente inestable para triángulos cun ángulo moi pequeno cando se usa a aritmética de coma flotante. Unha alternativa estable consiste en organizar as lonxitudes dos lados de xeito que  e calcular 



Respectando os corchetes na avaliación.

 Fórmulas semellantes da área do triángulo 
En función das  medianas ,      e a súa semisuma,  daquela Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette 87, July 2003, 324–326.



En función das alturas,  , ,   e a semisuma dos seus recíprocos   daquelaMitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.



En función dos ángulos      e a semisuma dos seus senos  daquela



onde  é o diámetro do círculo circunscrito,  Esta última fórmula coincide coa fórmula estándar de Herón cando o círculo circunscrito ten un diámetro unitario.

 Xeneralizacións 
dereita|miniatura|192x192px| Cuadrilátero cíclico
A fórmula de Herón é un caso especial da fórmula de Brahmagupta para a área dun cuadrilátero cíclico. A fórmula de Herón e a fórmula de Brahmagupta son casos especiais da fórmula de Bretschneider para a área dun cuadrilátero. A fórmula de Herón pódese obter a partir da fórmula de Brahmagupta ou da fórmula de Bretschneider poñendo un dos lados do cuadrilátero a cero.

A fórmula de Brahmagupta para a área  dun cuadrilátero cíclico cuxos lados teñen lonxitudes     sería



onde  é o semiperímetro.

Outra xeneralización da fórmula de Herón para pentágonos e hexágonos inscritos nun círculo foi descuberta por David P. Robbins. D. P. Robbins, "Areas of Polygons Inscribed in a Circle", Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.

 Fórmula tipo Herón para o volume dun tetraedro 
Se       son lonxitudes de arestas do tetraedro (os tres primeiros forman un triángulo;  oposto a  e igual para o resto), daquela W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?",, pp. 16–17.


onde



 Fórmulas de Herón en xeometrías non euclidianas 
Tamén hai fórmulas para a área dun triángulo en función da lonxitude dos seus lados para os triángulos da esfera ou do plano hiperbólico.   Para un triángulo na esfera con lonxitudes de lados   e ,   semiperímetro  e área , temos

triángulo na esfera:



triángulo no plano hiperbólico:



 Notas 

 Véxase tamén 

 Outros artigos 
 Shoelace formula

 Ligazóns externas 
 A Proof of the Pythagorean Theorem From Heron's Formula at cut-the-knot
 Interactive applet and area calculator using Heron's Formula
 J. H. Conway discussion on Heron's Formula
 A Geometric Proof of Heron's Formula 
 An alternative proof of Heron's Formula without words
 Factoring Heron

Categoría:Xeometría
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas