Ínfimo e supremo

miniatura| Un conxunto  de números reais (círculos azuis), un conxunto de límites superiores de  (rombo vermello e círculos), e o máis pequeno de eses límites superiores, é dicir, o supremo de  (diamante vermello).
En matemáticas, o ínfimo (abreviado inf) dun subconxunto  dun conxunto parcialmente ordenado  é o maior elemento en  que é menor ou igual a cada elemento de  se tal elemento existe.  Se o ínfimo de  existe, é único, e se b é un límite inferior de , entón b é menor ou igual ao ínfimo de . En consecuencia, o termo límite inferior máximo (abreviado como GLB en inglés) tamén se usa habitualmente.  O supremo (abreviado sup) dun subconxunto  dun conxunto parcialmente ordenado  é o menor elemento  que é maior ou igual a cada elemento de  se tal elemento existe.  Se o supremo de  existe, é único, e se b é un límite superior de , entón o supremo de  é menor ou igual a b. O supremo tamén se refire como o límite superior mínimo (ou LUB en inglés). 

Os conceptos de ínfimo e supremo están relacionados con mínimo e máximo, mais son máis útiles na análise porque caracterizan mellor os conxuntos especiais que poden non ter mínimo ou máximo. Por exemplo, o conxunto de números reais positivos  (sen incluír ) non ten un mínimo, porque calquera elemento dado de  podería simplemente dividirse á metade, resultando un número menor que aínda está en  Non obstante, hai exactamente un ínfimo dos números reais positivos relativos aos números reais:  que é menor que todos os números reais positivos e maior que calquera outro número real que se poida usar como cota inferior.

 Definición formal 

Un límite inferior  de  chámase ínfimo (ou límite inferior máximo) de  se

  para todo 

 para todos os límites inferiores  de  en ,  ( é maior que calquera outro límite inferior).

Do mesmo xeito, un límite superior dun subconxunto  dun conxunto parcialmente ordenado  é un elemento  de  tal que

  para todo 

 para todos os límites superiores  de  en ,  ( é menor que calquera outro límite superior).

 Existencia e unicidade 
Ínfimo e supremo non necesariamente existen. A existencia dun ínfimo dun subconxunto  de  pode fallar se  non ten límite inferior, ou se o conxunto de límites inferiores non contén un elemento maior. (Un exemplo diso é o subconxunto  de ,  que ten límites superiores, como 1.5, mais non ten límites superiores en .)

Se o supremo dun subconxunto  existe, é único. Así mesmo, se o infimum existe, é único. 

 Relación cos elementos máximos e mínimos 
O ínfimo dun subconxunto  dun conxunto parcialmente ordenado  supoñendo que exista, non necesariamente pertence a  Se o fai, é un elemento mínimo ou mínimo de  Do mesmo xeito, se o supremo de  pertence a  é un elemento máximo de 

Por exemplo, considere o conxunto de números reais negativos (excluíndo o cero). Este conxunto non ten elemento maior, xa que para cada elemento do conxunto, hai outro elemento máis grande. Por exemplo, para calquera número real negativo  hai outro número real negativo  que é maior. Por outra banda, todo número real maior ou igual a cero é certamente un límite superior neste conxunto. Polo tanto,  é o límite superior mínimo dos reais negativos, polo que o supremo é 0. Este conxunto ten un supremo pero non un maior elemento.

No entanto, a definición de elementos máximais e mínimais é máis xeral. En particular, un conxunto pode ter moitos elementos máximais e mínimais, mentres que ínfimo e supremo son únicos.

Mentres que os máximos e mínimos deben ser membros do subconxunto que se está a considerar, o ínfimo e o supremo dun subconxunto non teñen por que ser membros dese subconxunto.que (por exemplo) garante  Dado que  é unha secuencia en  que converxe a  isto garante que  pertence ao pechamento de  que  é un punto adherente do conxunto  Se ademais do asumido, a función continua  é tamén unha función crecente ou non decrecente, entón incluso é posible concluír que  Isto pódese aplicar, por exemplo, para concluír que sempre que  é unha función de valor real (ou complexa ) con dominio  cuxa norma sup  é finita, entón para cada número real non negativo 

O produto dun número real  e un conxunto  dos números reais é o conxunto

 Ínfimo e supremo dos números reais 
Que o conxunto dos números reais sexa completo iimplica (e é equivalente a) que calquera subconxunto non baleiro limitado  dos números reais ten un ínfimo e un supremo. Se  non está limitado por baixo, adoita escribirse formalmente  Se  está baleiro, escríbese 

 Propiedades 
Se  é calquera conxunto de números reais entón  se e só se  e doutro xeito  

Se  son conxuntos de números reais entón  (a non ser que  ) e 

Identificando o ínfimo e o supremo

Se o ínfimo de  existe (é dicir,  é un número real) e se  é calquera número real entón  se e só se  é un límite inferior e para cada  hai un  con  Do mesmo xeito, se  é un número real e se  é calquera número real entón  se e só se  é un límite superior e se para cada  hai un  con 

Relación cos límites de secuencias

Se  é calquera conxunto non baleiro de números reais, entón sempre existe unha secuencia non decrecente  en  tal que  Do mesmo xeito, existirá unha secuencia non crecente (posiblemente diferente).  en  tal que 

Expresar o ínfimo e o supremo como límite dunha secuencia deste tipo permite aplicar teoremas de varias ramas das matemáticas. Considere por exemplo o feito ben coñecido en topoloxía que se  é unha función continua e  é unha secuencia de puntos do seu dominio que converxe a un punto  entón  converxe necesariamente a  Implica que se  é un número real (onde todos  están en  ) e se  é unha función continua cuxo dominio contén  e  entónposto que o mapa  definido por  é unha función continua non decrecente cuxo dominio  sempre contén  e Aínda que esta discusión centrouse en  pódese chegar a conclusións semellantes con  cos cambios adecuados (como esixir que  ser non crecente en lugar de non diminuír). Outras normas definidas en termos de  ou  inclúen as normas de  espazos febles (para  ), a norma no espazo de Lebesgue  e normas de operador. As secuencias monótonas en  que converxen a  (ou a ) tamén se pode usar para axudar a probar moitas das fórmulas que se indican a continuación, xa que a suma e a multiplicación de números reais son operacións continuas.

 Operacións aritméticas sobre conxuntos 
As seguintes fórmulas dependen dunha notación que xeneraliza convenientemente as operacións aritméticas sobre conxuntos. En todo o que segue,  son conxuntos de números reais.

Suma de conxuntos

A suma de Minkowski de dous conxuntos  e  dos números reais é o conxuntocomposto por todas as posibles sumas aritméticas de pares de números, un de cada conxunto. O ínfimo e o supremo da suma de Minkowski satisfaiA multiplicación de dous conxuntos  e  dos números reais defínese de forma similar á súa suma de Minkowski:Produto de conxuntosSe  e  son conxuntos non baleiros de números reais positivos daquela  e do mesmo xeito para o supremo  

Produto escalar dun conxuntoSe  daquelamentres que se  entónInverso multiplicativo dun conxunto

Para calquera conxunto  que non contén  sexaSe  non está baleiro entónonde esta ecuación tamén vale cando  se usamos a definición . A definición  úsase normalmente nos números reais estendidos; de feito, con esta definición a igualdade  tamén se cumpre para calquera subconxunto non baleiro  Porén, a notación  fica sen definir, e por tanto a igualdade  só se dá para cando  Esta igualdade pódese escribir alternativamente como  Alén diso,  se e só se  onde se   entón 

 Dualidade 
Se se denota por  o conxunto parcialmente ordenado  coa relación de orde oposta; é dicir, para todo  declaramos:entón o ínfimo dun subconxunto  en  é igual ao supremo de  en  e viceversa.

Para os subconxuntos dos números reais, cúmprese outro tipo de dualidade:  onde 

 Exemplos 

 Ínfimo 

 O ínfimo do conxunto dos números  é  O número  é un límite inferior, mais non o límite inferior maior e, polo tanto, non é o ínfimo. Para conxuntos finitos totalmente ordenados, o ínfimo e o mínimo son iguais.
 Máis xeralmente, se un conxunto ten un elemento máis pequeno, entón o elemento máis pequeno é o ínfimo para o conxunto. Neste caso, tamén se denomina mínimo do conxunto.



 Se  é unha secuencia decrecente con límite  entón 

 Supremo 

 O supremo do conxunto de números  é  O número  é un límite superior, mais non é o límite superior mínimo e, polo tanto, non é o supremo. Para conxuntos finitos totalmente ordenados, o supremo e o máximo son iguais.





No último exemplo, o supremo dun conxunto de racionais é irracional, o que significa que os racionais son incompletos.

Unha propiedade básica do supremo é
para calquera funcionais  e 

O supremo dun subconxunto  de  onde  denota " divide", é o mínimo común múltiplo dos elementos de 

 Notas 


 Véxase tamén 
Outros artigos
 Elemento maximal e minimal
 Límite superior e límite inferior
 Elemento maiorante e minorante

 Ligazóns externas 
 https://encyclopediaofmath.org/wiki/Upper_and_lower_bounds, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]


Categoría:Teoría da orde
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas