Matriz diagonal

En álxebra linear, unha matriz diagonal é unha matriz na que as entradas á parte da diagonal principal son todas cero; o termo refírese xeralmente a matrices cadradas. Os elementos da diagonal principal poden ser cero ou distintos de cero. Un exemplo de matriz diagonal 2×2 é , mentres que un exemplo dunha matriz diagonal 3×3 é . Unha matriz de identidade de calquera tamaño, ou calquera múltiplo dela é unha matriz diagonal chamada <i id="mwEQ">matriz escalar</i>, por exemplo, . 

 Definición 
Como se indicou anteriormente, unha matriz diagonal é unha matriz na que todas as entradas fóra da diagonal son cero. É dicir, a matriz  con  columnas e  filas é diagonal sePorén, as principais entradas diagonais non están restrinxidas.

A seguinte matriz é unha matriz diagonal cadrada:Se as entradas son números reais ou complexos, entón tamén é unha matriz normal.

 Operador diag de vector a matriz 
Unha matriz diagonal  pódese construír a partir dun vector  usando o operador :Isto pódese escribir de forma máis compacta como .

O operador  pode escribirse como:onde  representa o produto Hadamard e  é un vector constante cos elementos 1.

 Operador  diag de matriz a vector 
O operador inverso   de matriz a vector é ás veces denotado polo nome idéntico  onde o argumento é agora unha matriz e o resultado é un vector das súas entradas diagonais.

Mantén a seguinte propiedade:

 Matriz escalar 
Unha matriz diagonal con entradas diagonais iguais é unha matriz escalar; é dicir, un múltiplo escalar λ da matriz identidade . O seu efecto sobre un vector é a multiplicación escalar por λ . Por exemplo, unha matriz escalar 3×3 ten a forma:As matrices escalares son o centro da álxebra das matrices: é dicir, son precisamente as matrices que conmutan con todas as demais matrices cadradas do mesmo tamaño.  Pola contra, sobre un corpo (como os números reais), unha matriz diagonal con todos os elementos diagonais distintos só conmuta coas matrices diagonais (o seu centralizador é o conxunto de matrices diagonais). Isto é porque se unha matriz diagonal  ten  entón dada unha matriz  con  o termo  dos produtos é:  e  e  (xa que se pode dividir por ), polo que non conmutan a menos que os termos fóra da diagonal sexan cero. Sibre aneis máis xenéricos, isto non se cumpre, porque non sempre se pode dividir. As matrices diagonais onde as entradas diagonais non son todas iguais ou todas distintas teñen centralizadores intermedios entre todo o espazo e só matrices diagonais. 

Para un espazo vectorial abstracto V (en lugar do espazo vectorial concreto ), o análogo das matrices escalares son as transformacións escalares. Isto é así máis xenéricamente para un módulo M sobre un anel R, coa álxebra de endomorfismo End(M) (álxebra de operadores lineais en M) substituíndo a álxebra de matrices. Formalmente, a multiplicación escalar é un mapa linear, que induce un mapa  (dende un escalar λ á súa transformación escalar correspondente, multiplicación por λ) que presenta End( M) como unha R - álxebra. Para os espazos vectoriais, as transformadas escalares son exactamente o centro da álxebra do endomorfismo e, do mesmo xeito, as transformadas escalares invertibles son o centro do grupo linear xeral GL(V). O primeiro é máis xeralmente verdadeiro como módulos libres , para o cal a álxebra de endomorfismo é isomorfa a unha álxebra matricial.

 Operacións vectoriais 
Dada unha matriz diagonal  e un vector , o produto é:Isto pódese expresar de forma máis compacta usando un vector en lugar dunha matriz diagonal, , e tomando o produto de Hadamard dos vectores (produto de entrada), denotado  :Isto é matematicamente equivalente, mais evita almacenar todos os ceros desta matriz dispersa.

 Operacións matriciais 
Para a suma temose para a multiplicación,A matriz diagonal  é invertible se e só se as entradas   son todas distintos de cero. Neste caso, temosEn particular, as matrices diagonais forman un subanel do anel de todas as matrices .

 Matriz de operadores en eigenbase 
Hai unha base especial, , para a que a matriz  toma a forma diagonal. Polo tanto, na ecuación definitoria , todos os coeficientes  con  son cero, ficando só un termo por suma. Os elementos diagonais superviventes, , coñécense como eigenvalues (ou valor propio) e desígnanse con  na ecuación, que se reduce a . A ecuación resultante coñécese como ecuación de  valor propio e úsase para derivar o polinomio característico e, ademais, os valores propios e os vectores propios .

Noutras palabras, os valores propios de  son   con vectores propios asociados de   .

 Propiedades 

 O determinante de  é o produto  .
 A adxunta dunha matriz diagonal é diagonal.
 Cando todas as matrices son cadradas,
 Unha matriz é diagonal se e só se é triangular e normal.
 Unha matriz é diagonal se e só se é triangular superior e inferior.
 Unha matriz diagonal é simétrica.
 A matriz identidade  e a matriz cero son diagonais.
 Unha matriz 1×1 é sempre diagonal.
 O cadrado dunha matriz 2×2 con traza cero é sempre diagonal.

 Aplicacións 
Unha matriz  dada  é semellante a unha matriz diagonal (o que significa que hai unha matriz  tal que  é diagonal) se e só se ten  vectores propios linealmente independentes. Dise que tales matrices son diagonalizables.

 Notas 


 Véxase tamén 
Bibliografía

Outros artigos
 Matriz antidiagonal
 Matriz bidiagonal
 Matriz diagonalizable
 Forma normal de Jordan
 Matriz de Toeplitz

Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Matrices