Matriz cadrada

En matemáticas, unha matriz cadrada é unha matriz co mesmo número de filas e columnas. Chamamos matriz n-por-n a unha matriz cadrada de orde  Pódense sumar e multiplicar dúas matrices cadradas calquera da mesma orde.

As matrices cadradas utilízanse a miúdo para representar transformacións lineares simples, como a rotación. Por exemplo, se  é unha matriz cadrada que representa unha rotación (matriz de rotación) e  é un vector columna que describe a posición dun punto no espazo, o produto  produce outro vector columna que describe a posición dese punto despois desa rotación. Se  é un vector fila, a mesma transformación pódese obter usando  onde  é a transposta de 

 Diagonal principal 
As entradas  (  ) forman a diagonal principal dunha matriz cadrada.  Por exemplo, a diagonal principal da matriz 4×4 da imaxe contén os elementos , , , .

A diagonal dunha matriz cadrada desde a esquina superior dereita ata a esquina inferior esquerda chámase antidiagonal ou contradiagonal.

 Tipos especiais 
 Matriz diagonal, triangular e identidade 
Nome Exemplo con n = 3 Matriz diagonal  Matriz triangular inferior  Matriz triangular superior  Matriz identidade 

O termo matriz identidade refírese á propiedade da multiplicación matricial quepara calquera matriz  de dimensións .

 Matriz invertible e a súa inversa 
Unha matriz cadrada  chámase invertible ou non singular se. existe unha matriz  tal que  Se  existe, é única e chámase matriz inversa de  denotado 

 Matriz simétrica ou antisimétrica 
Unha matriz cadrada  que é igual á súa transposición, é dicir,  é unha matriz simétrica. Se en cambio  entón  chámase matriz antisimétrica.

Para unha matriz cadrada complexa  moitas veces o análogo axeitado da transposición é a transposta conxugada  definido como a transposición do conxugado complexo de  Unha matriz cadrada complexa  que satisfai  chámase matriz hermitiana. Se temos  entón  chámase matriz antisimétrica hermitiana.

Segundo o teorema espectral, as matrices reais simétricas (ou complexas hermitianas) teñen unha base propia ortogonal (ou unitaria); é dicir, cada vector é expresable como unha combinación linear de vectores propios (eigenvectores). En ambos os casos, todos os valores propios (eigenvalores) son reais.

 Matriz ortogonal 
Unha matriz ortogonal é unha matriz cadrada onde a súa transposta é igual á súa inversa:que implicaonde I é a matriz identidade.

Unha matriz ortogonal  é necesariamente invertible (con inverso ), unitaria () e normal (). O determinante de calquera matriz ortogonal é +1 ou -1. O grupo ortogonal especial  consta das  matrices  ortogonais co determinante +1.

O análogo complexo dunha matriz ortogonal é unha matriz unitaria.

 Matriz normal 
Unha matriz cadrada real ou complexa  chámase normal se . Se unha matriz cadrada real é simétrica, antisimétrica ou ortogonal, entón é normal. Se unha matriz cadrada complexa é hermitiana, hermitiana antisimétrica ou unitaria, entón é normal.

 Operacións 

 Traza 
A traza, tr( A ) dunha matriz cadrada A é a suma das súas entradas diagonais. Aínda que a multiplicación de matrices non é conmutativa, a traza do produto de dúas matrices si é conmutativa:Ademais, a traza dunha matriz é igual ao da súa transposición, é dicir,

 Determinante 
dereita|miniatura|300x300px| Unha transformación linear  dada pola matriz que se mostra. O determinante desta matriz é −1,  o mapa inverte a orientación.
O determinante  ou  dunha matriz cadrada  é un número que contén certas propiedades da matriz. Unha matriz é invertible se e só se o seu determinante é distinto de cero. O seu valor absoluto é igual á área (en ) ou volume (en ) da imaxe do cadrado (ou cubo) da unidade, mentres que o seu signo corresponde á orientación do mapa linear correspondente: o determinante é positivo se e só se se conserva a orientación.

O determinante das matrices 2×2 vén dado porO determinante das matrices 3×3 implica 6 termos (regra de Sarrus). A fórmula de Leibniz xeneraliza estas dúas fórmulas a todas as dimensións.

O determinante dun produto de matrices cadradas é igual ao produto dos seus determinantes, temos: Finalmente, a expansión de Laplace expresa o determinante en termos de menores, é dicir, determinantes de matrices máis pequenas.  Os determinantes pódense usar para resolver sistemas lineares usando a regra de Cramer, onde a división dos determinantes de dúas matrices cadradas relacionadas equivale ao valor de cada unha das variables do sistema.

 Eigenvalores e eigenvectores 

Un número  e un vector distinto de cero  que satisfaichámanse eigenvalores e eigenvectores  de  respectivamente. Eigen significa "propio" en alemán e en holandés.  O número  é un eigenvalor dunha matriz   se e só se  non é invertible, o que é equivalente a 

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 



 Outros artigos 
Matriz (matemáticas)

Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Matrices