Monomorfismo

No contexto da álxebra abstracta, un monomorfismo é un homomorfismo inxectivo. Un monomorfismo de  a  adoita denotarse coa notación .

No marco máis xeral da teoría de categorías, un monomorfismo (tamén chamado morfismo mónico ou mono) é un morfismo cancelativo pola esquerda. É dicir, unha frecha  tal que para todos os obxectos  e todos os morfismos ,

 miniatura|225x225px| produto fibrado (pullback) do monomorfismo consigo mesmo

Os monomorfismos son unha xeneralización categórica das funcións inxectivas; nalgunhas categorías as nocións coinciden, mais os monomorfismos son máis xerais, como os mostrados na sección de exemplos.

No escenario dos posets, as interseccións son idempotentes: a intersección de calquera cousa consigo mesma é ela mesma. Os monomorfismos xeneralizan esta propiedade a categorías arbitrarias. Un morfismo é un monomorfismo se é idempotente con respecto aos  produtos fibrados (pullbacks).

O dual nas categorías dun monomorfismo é un epimorfismo, é dicir, un monomorfismo dunha categoría C é un epimorfismo da categoría dual Cop. Cada sección é un monomorfismo e toda retracción é un epimorfismo.

 Exemplos 
Todo morfismo nunha categoría concreta cuxa función subxacente é inxectiva é un monomorfismo. Na categoría de conxuntos  os monomorfismos son exactamente os morfismos inxectivos.  Tamén se aplica na maioría das categorías de álxebras que se producen na natureza debido á existencia dun obxecto libre nun xerador. En particular, é certo nas categorías de todos os grupos, de todos os aneis e en calquera categoría abeliana.

Non é certo en xeral, porén, que todos os monomorfismos deban ser inxectivos noutras categorías; pódese ter unha función que non sexa inxectiva e ser un monomorfismo no sentido categórico. Por exemplo, na categoría Div de grupos divisibles (abelianos) e homomorfismos de grupos entre eles hai monomorfismos que non son inxectivos: considere, por exemplo, o mapa cociente , onde Q son os racionais baixo adición, Z os números enteiros (tamén considerado un grupo baixo adición) e Q/Z é o grupo cociente correspondente. Este non é un mapa inxectivo, xa que, por exemplo, cada número enteiro está asignado a 0. Non obstante, é un monomorfismo nesta categoría. Isto segue da implicación , que agora demostraremos. Se , onde G é algún grupo divisible, e , entón . Agora fixamos algún . Sen perda de xeneralidade, podemos supoñer que  (en caso contrario escollemos −x). Entón, sendo , e posto que G é un grupo divisible, existe algún  tal que , polo que . A partir disto, e , despréndese que



Dado que , temos que , e polo tanto . Isto di que , como  desexábamos.

Para pasar desa implicación ao feito de que q é un monomorfismo, subpoña que  para algúns morfismos , onde G é algún grupo divisible. Entón , onde  . (Posto que  e , segue que ). Da implicación que se acaba de demostrar, . Polo tanto, q é un monomorfismo, como se afirmaba.

 Propiedades 

 Nun topos, cada monomorfismo é un igualador, e calquera mapa que sexa tanto monomorfismo como epimorfismo é un isomorfismo.
 Todo isomorfismo é mónico.

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 

 Outros artigos 
 epimorfismo
 Ligazóns externas 

Categoría:Álxebra abstracta
Categoría:Teoría das categorías
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas