Endomorfismo

En matemáticas, un endomorfismo é un morfismo dun obxecto matemático en si mesmo. Cando un endomorfismo é tamén un isomorfismo entón é un automorfismo. Por exemplo, un endomorfismo dun espazo vectorial  é un mapa linear . Un endomorfismo dun grupo  é un homomorfismo de grupos . En xeral, podemos falar de endomorfismos en calquera categoría . Na categoría de conxuntos, os endomorfismos son funcións desde un conxunto S ata si mesmo.

En calquera categoría, a composición de dous endomorfismos de  é de novo un endomorfismo de . De aquí segue que o conxunto de todos os endomorfismos de  forma un monoide, o monoide de transformación completa, denotado  (ou  para destacar a categoría ).

 Automorfismos 
Un endomorfismo invertible de  chámase automorfismo. O conxunto de todos os automorfismos é un subconxunto de  cunha estrutura de grupo, chamado grupo de automorfismos de  e denotado . 

 Aneis de endomorfismos 
Dous endomorfismos calquera dun grupo abeliano, , pódense sumar pola regra . Baixo esta suma, e coa multiplicación definida como composición de funcións, os endomorfismos dun grupo abeliano forman un anel (o anel de endomorfismos). Por exemplo, o conxunto de endomorfismos de  é o anel de todas as matrices  con entradas nos números enteiros. Os endomorfismos dun espazo vectorial ou módulo tamén forman un anel, do mesmo xeito que os endomorfismos de calquera obxecto nunha categoría preaditiva. Os endomorfismos dun grupo non abeliano xeran unha estrutura alxébrica coñecida como un anel próximo.Jacobson (2009), p. 162, Theorem 3.2.

 Teoría de operadores 
En calquera categoría concreta, especialmente para espazos vectoriais, os endomorfismos son mapas dun conxunto en si mesmo, e poden interpretarse como operadores unarios sobre ese conxunto, que actúan sobre os elementos e permiten definir a noción de órbitas de elementos, etc.

Dependendo da estrutura adicional definida para a categoría en cuestión (topoloxía, métrica, ...), ditos operadores poden ter propiedades como continuidade, límites, etc.

 Endofuncións 
Unha endofunción é unha función cuxo dominio é igual ao seu codominio.

Sexa  un conxunto arbitrario. Entre as endofuncións en  atópanse as permutacións de  e as funcións constantes que asocian a cada  en  o mesmo elemento  en . Toda permutación de  ten o codominio igual ao seu dominio e é bixectiva e invertible. Se  ten máis dun elemento, unha función constante en  ten unha imaxe que é un subconxunto propio do seu codominio e, polo tanto, non é bixectiva (e, polo tanto, non é invertible). A función que asocia a cada número natural  a función chan de  ten a súa imaxe igual ao seu codominio e non é invertible.

Exemplos particulares de endofuncións bixectivas son as involucións; é dicir, as funcións coincidentes coas súas inversas.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
Endomorfismo adxunto
Epimorfismo (homomorfismo sobrexectivo)
Endomorfismo de Frobenius
Monomorfismo (homomorfismo inxectivo)
 Ligazóns externas 


Categoría:Álxebra abstracta
Categoría:Teoría das categorías
Categoría:Teoría de conxuntos