Complementario (conxuntos)

Na teoría de conxuntos, o complementario ou complemento dun conxunto , denotado usualamente por  (ou ), é o conxunto de elementos que non están en .

Cando todos os elementos do universo, é dicir, todos os elementos en consideración, considéranse membros dun conxunto dado , o complemento absoluto de  é o conxunto de elementos en  que non están en .

O complemento relativo de  en relación a un conxunto , tamén denominado diferenza de conxuntos de  e , escrito  é o conxunto de elementos en  que non están en .

150px|thumb|O complemento absoluto do disco branco é a zona vermella
 Complemento absoluto 
Se  é un conxunto, entón o complemento absoluto de  (ou simplemente o complemento de ) é o conxunto de elementos que non están en  (dentro dun conxunto maior que está implicitamente definido): O conxunto no que se considera o complemento menciónase  implícitamente nun complemento absoluto, e explicitamente nun complemento relativo.Adoita denotarse por . Outras notacións son    .

 Exemplos 

 Supoña que o universo é o conxunto de números enteiros. Se  é o conxunto de números impares, entón o complemento de  é o conxunto de números pares. Se  é o conxunto de múltiplos de 3, entón o complemento de  é o conxunto de números congruentes con 1 ou 2 módulo 3 (ou, en termos máis sinxelos, os enteiros que non son múltiplos de 3).
 Supoña que o universo é a baralla de tute de 40 cartas. Se o conxunto  é o pau dos ouros, entón o complemento de  é a unión dos paus de espadas, bastos e copas.
 Cando o universo é o universo de conxuntos descrito na teoría de conxuntos, o complemento absoluto dun conxunto xeralmente non é un conxunto, senón unha clase propia. Para obter máis información, consulte conxunto universal.

 Propiedades 
Sexan  e  dous conxuntos nun universo . As seguintes identidades mostran propiedades importantes dos complementos absolutos:

Leis de De Morgan: .




Leis do complementario: .






 (isto despréndese da equivalencia dun condicional co seu contrapositivo).

Lei da involución ou do dobre complemento:



Relacións entre complementos relativos e absolutos:




Relación coa diferenza:



As dúas primeiras leis do complementario anteriores mostran que se  é un subconxunto propio non baleiro de , entón } é unha partición de .

 Complemento relativo 
 Definición 
Se  e  son conxuntos, entón o complemento relativo de  en  (expresado   ), . tamén denominado diferenza de conxuntos de  e  (por iso ás veces tamén se expresa como ), . é o conxunto de elementos que están en  pero non están en .

Formalmente:

 Exemplos 



 Se  é o conxunto dos números reais e  é o conxunto de números racionais, entón  é o conxunto de números irracionais.

 Propiedades 
Sexan ,  e  tres conxuntos. As seguintes identidades mostran propiedades importantes dos complementos relativos:




 co caso especial importante  demostrando que a intersección pode expresarse usando só a operación do complemento relativo.






 Se , entón  .
  é equivalente a  .

 Relación complementaria 
Unha relación binaria  defínese como un subconxunto dun produto de conxuntos  A relación complementaria  é o complemento do conxunto de  en  O complemento de relación  pódese escribirXunto coa composición de relacións e as relacións inversas, as relacións complementarias e a álxebra de conxuntos son as operacións elementais do cálculo de relacións.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 



 Outros artigos 
 Unión.
 Intersección .
 Álxebra de conxuntos.

 Ligazóns externas 



Categoría:Teoría de conxuntos
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas