Ecuación de Pell

Definimos a ecuación de Pell como calquera ecuación diofantiana da forma  onde n é un número enteiro non cadrado positivo e procuramos solucións enteiras para x e y. En coordenadas cartesianas, a ecuación represéntase por unha hipérbole, as solucións ocorren sempre que a curva pasa por un punto cuxas coordenadas x e y son ambas as dúas enteiras, como a solución trivial con x = 1 e y = 0. Joseph Louis Lagrange demostrou que, mentres n non sexa un cadrado perfecto, a ecuación de Pell ten infinitas solucións enteiras distintas. Estas solucións pódense usar para aproximar con precisión a raíz cadrada de n por números racionais da forma x/y.

 Historia 

Esta ecuación estudouse extensamente na India comezando por Brahmagupta, que atopou unha solución enteira para  no seu traballo Brāhmasphuṭasiddhānta arredor do ano 628.  Bhaskara II no século XII e Narayana Pandit no século XIV atoparon solucións xerais á ecuación de Pell e outras ecuacións cadráticas indeterminadas. Bhaskara A II é recoñecido como o autor do método chakravala, baseándose no traballo de Jayadeva e Brahmagupta. Desde a época de Pitágoras en Grecia eran coñecidas as solucións a exemplos específicos da ecuación de Pell, como os números de Pell derivados da ecuación con n = 2. William Brouncker foi o primeiro europeo en resolver a ecuación de Pell. O nome da ecuación de Pell xurdiu cando Leonhard Euler atribuíu erroneamente a solución da ecuación de Brouncker a John Pell.

 Solucións 

 Solución fundamental mediante fraccións continuas 
Sexa  a secuencia de converxentes da fracción continua regular para . Esta secuencia é única. Entón existe un i  que dá o valor da solución mínima  da ecuación de Pell en enteiros . Este par chámase solución fundamental. A secuencia de enteiros  na fracción continua regular de  é sempre periódica. Pódese escribir na forma , onde  é a parte periódica que se repite indefinidamente. Así a solución fundamental é 

 Solucións adicionais a partir da solución fundamental 
Unha vez atopada a solución fundamental, todas as solucións restantes pódense calcular  a partir da seguinte ecuación .



expandindo o lado dereito e igualando os coeficientes de  en ambos os dous lados. Isto produce as relacións de recorrencia


Existe outra recorrencia linear de segunda orde xa mostrada por Brouncker en 1657,


Esta recorrencia permite  obter un elemento  de forma explícita de varios xeitos, por exemplo usando as fórmulas de tipo Binet..
.

 Representación compacta e algoritmos máis rápidos 
Aínda que escribir a solución fundamental (x1, y1)  pode requirir un gran número de díxitos, en moitos casos pode representarse de forma máis compacta na forma



usando números enteiros moito máis pequenos ai, bi e ci.

Un exemplo o temos no problema do gando de Arquímedes, que é equivalente á ecuación de Pell , cuxa solución fundamental ten 206545 díxitos se se escribe explicitamente. Non obstante, a solución tamén é igual a

  onde



deste xeito  e  só teñen 45 e 41 díxitos decimais respectivamente fronte aos miles de díxitos da solución non compacta. 

Pódense empregar métodos relacionados co método da criba cadrática para a factorización de enteiros e así obter relacións entre números primos na extensión do corpo numérico xerado por . Combinando estas relacións atópase unha representación en produto do tipo mencionado anteriormente. O algoritmo resultante  é máis eficiente que o método de fracción continua, aínda que segue a ser máis lento que un tempo polinómico. Baixo o suposto da hipótese xeneralizada de Riemann, pódese demostrar que ese tempo é da orde de 



onde N = log n é o tamaño da entrada. Un tempo similar á criba cadrática. 

 Exemplo 
Como exemplo, considere a ecuación de Pell para n = 7, é dicir,



Para  temos a fracción continua . Ten un período ten lonxitude , que é un número par, por tanto o converxente que produce a solución fundamental obtense truncando a fracción continua xusto antes do final da primeira aparición do período: .

Mostramos a secuencia de converxentes para a raíz cadrada de 7
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
! p/q (converxentes)
! p2 − 7q2 (Aproximación tipo Pell)
|-
| 2/1
| −3
|-
| 3/1
| +2
|-
| 5/2
| −3
|-
| 8/3
| +1
|}

Se aplicamos a fórmula de recorrencia a esta solución xérase a secuencia infinita de solucións

 (1, 0); (8, 3); (127, 48); (2024, 765); (32257, 12192); (514088, 194307); (8193151, 3096720); (130576328, 49353213); ...   para x e  para y.

Para a ecuación de Pell



a fracción continua   ten un período de duración impar. A solución fundamental aparece logo antes da segunda repetición. Así, a solución fundamental é .

A solución máis pequena pode ser moi grande. Por exemplo, a solución máis pequena para  é (32188120829134849, 1819380158564160), sendo esta a ecuación que Frenicle desafiou a Wallis a resolver.

 Lista de solucións fundamentais das ecuacións de Pell 
Aquí seguido mostramos unha lista das solucións fundamentais  con n ≤ 96. Cando n é un cadrado enteiro, non hai solución agás a solución trivial (1, 0). Os valores de x son  e os de y son .
nxy1––2323214––5946527838319––101961110312721364918014154154116––173381817419170392092215512221974223245245125––26511027265281272429980118203011231152027332173
nxy3323434356356136––37731238376392544019341204932042132433482531441993045161244624335358847487487149––5099145150752649905366249910054485665589125615257151205819603257459530696031461176631904922615398062638638164––
nxy6512916666586748842596768334697775936702513071348041372172732281249267000743699430752637657799663077351407853679809809181––82163188382984556852857693099686104051122872838819721895000015300090192911574165921151120931215112609421432952210649539496495

 Conexións 

 Teoría alxébrica de números 
En primeiro lugar a ecuación de Pell está relacionada coa teoría dos números alxébricos, xa que a fórmula



é a norma para o anel  e para a extensión do corpo cadrático . Así, un par de números enteiros  resolve a ecuación de Pell se e só se  é unha unidade con norma 1 en   O teorema das unidades de Dirichlet, no que di que todas as unidades de  pódense expresar como potencias dunha única unidade fundamental (e multiplicación por un signo), é unha reformulación alxébrica do feito de que todas as solucións da ecuación de Pell poden xerarse a partir da solución fundamental. 

 Polinomios de Chebyshev 
Demeyer mostra unha conexión da ecuación de Pell cos polinomios de Chebyshev: Se  e  son os polinomios de Chebyshev do primeiro e do segundo tipo respectivamente, entón estes polinomios satisfan unha forma da ecuación de Pell en calquera anel polinómico  facendo  ,.



Así, estes polinomios poden ser xerados pola técnica estándar para as ecuacións de Pell, mediante potencias dunha solución fundamental,



Alén diso podemos ver que se  son as solucións de calquera ecuación de Pell enteira, entón as seguintes solucións son  e . .

 Fraccións continuas 

A relación coas fraccións continuas implica que as solucións da ecuación de Pell forman un subconxunto semigrupo do grupo modular. Así, por exemplo, se p e q satisfán a ecuación de Pell, entón



é unha matriz de determinante igual a 1. Os produtos desas matrices toman exactamente a mesma forma e, polo tanto, todos estes produtos dan solucións á ecuación de Pell.

 Números suaves 
O teorema de Størmer usa as ecuacións de Pell para atopar pares de número suaves consecutivos, que son enteiros positivos cuxos factores primos son todos menores que un valor dado. Como parte desta teoría, Størmer tamén investigou a divisibilidade entre as solucións da ecuación de Pell, en particular, mostrou que cada solución que non sexa a solución fundamental ten un factor primo que non divide n. 

 Ecuación de Pell negativa 
A ecuación de Pell negativa vén dada por

 .

Pódese resolver polo mesmo método de fraccións continuas e ten solucións se e só se o período da fracción continua ten lonxitude impar. Non obstante, non se sabe a priori que raíces cadradas teñen períodos impares e, polo tanto, non se sabe cando a ecuación de Pell negativa ten solución sen calcular a fracción continua. Unha condición necesaria (mais non suficiente) para ter solución é que  non sexa divisible por 4 ou por un primo da forma . Isto é porque a ecuación de Pell implica que −1 é un residuo cadrático modulo n. Así, por exemplo,  non ten solución, mais  pode tela. 

Os primeiros números  para os que  ten solución son

 1, 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37, 41, 50, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97, ... .

Se a ecuación de Pell negativa ten unha solución para un n particular, a solución fundamental da Pell positiva cálculase elevando ao cadrado a ecuación de Pell:

  implica



Posto que  , as seguintes solucións determínase coa ecuación  sempre que   é impar. A relación de recursividade resultante é 




que dá un conxunto infinito de solucións á ecuación de Pell negativa.

 Ecuación de Pell xeneralizada 
A ecuación 
Chámase ecuación de Pell xeneralizada. A ecuación 

é o correspondente resolvente de Pell.  Lagrange deu un algoritmo recursivo en 1768 para resolver a ecuación, reducindo o problema ao caso 
.

Esas solucións pódense derivar mediante o método das fraccións continuas como se indicaba anteriormente.

Se  é unha solución de  e  é unha solución de  daquela un  tal que  é a solución a , un principio chamado principio multiplicativo. A solución  chámase múltiplo de Pell da solución .

Existe un conxunto finito de solucións para 

tal que cada solución é un múltiplo de Pell dunha solución dese conxunto. En particular, se  é a solución fundamental de , daquela cada solución da ecuación é un múltiplo de Pell da solución  con  e , onde .

Se  e  son solucións enteiras positivas da ecuación de Pell con , entón  é un converxente da fracción continua de .

 Exemplo 
.

Aplicando aritmética modular, reducindo módulo 3, temos
, e por tanto temos , dando a nova ecuación,   equivalente a 
Se o vemos como un polinomio en  e calculamos o discriminate:
, que para ser solución enteira debe ser un cadrado perfecto, o que implica .

Posto que  2 <  xa podemos resolver a nova ecuación de Pell  cos converxentes de .

As primeiras solucións para (t,z) son 

Como 
as solucións (x, y) de  son

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía  



 Ligazóns externas 


 Pell equation solver (n has no upper limit)
 Pell equation solver (n < 1010, can also return the solution to x2 − ny2 = ±1, ±2, ±3, and ±4)

Categoría:Teoría de números