Funcións chan e teito

En matemáticas, a función chan (ou parte enteira cando son positivos) é a función que toma como entrada un número real , e dá como saída o maior enteiro menor ou igual a , denotado . Do mesmo xeito, a función teito mapea  co número enteiro máis pequeno maior ou igual que , denotado . Graham, Knuth, & Patashnik, Ch. 3.1

Por exemplo, para o chan: , , e para o teito:  e .
+Exemplos x Piso  Teito  Parte fraccional } 2 2 2 0 2.0001 2 3 0,0001 2.4 2 3 0,4 2.9 2 3 0,9 2.999 2 3 0,999 − 2.7 − 3 − 2 0,3 − 2 − 2 − 2 0

 Notación 
A parte enteira ou parte enteira dun número ( no orixinal) foi definido por primeira vez en 1798 por Adrien-Marie Legendre na súa proba da fórmula de Legendre.

A parte fracciónal denótase por } para  real e definida pola fórmula

 Graham, Knuth, & Patashnik, p. 70.

Para todo x,

 .

No sistema  LaTeX, estes símbolos pódense especificar coas palabras \lceil, \rceil, \lfloor e \rfloor.

 Definición e propiedades 
Dados os números reais x e y, os enteiros m e n e o conxunto de números enteiros , chan e teito poden ser definidos polas ecuacións





 Equivalencias 
Estas fórmulas pódense usar para simplificar expresións que inclúen chan e teito. Graham, Knuth, & Patashink, Ch. 3



Para  enteiros  temos:



Para  e  reais temos as seguintes desigualdades:



 Monótonas 
Tanto as funcións  chan como teito son funcións monótonamente non decrecentes:



 Relacións entre as funcións 

  con igualdade se e só se x é un número enteiro, é dicir


Ao negar o argumento muda o chan e o teito e mudao signo:



e:





A negación do argumento complementa a parte fraccional:



As funcións  chan, teito e parte fraccional son idempotentes:



O resultado das funcións aniñadas chan ou teito é a función máis interna:



 constante de Euler gamma () 
Existen fórmulas para a  constante de Euler  = 0,57721 56649... que inclúen o chan e o teito, por exemplo Estas fórmulas son do artigo da Wikipedia Euler's constant.





 Fórmulas para números primos 
A función chan aparece en varias fórmulas que caracterizan os números primos. Por exemplo, xa que  é igual a 1 se m divide n, e a 0 en caso contrario, dedúcese que un enteiro positivo n é primo se e só se Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46..



 Problemas resolvidos 
Ramanujan presentou estes problemas ao Journal of the Indian Mathematical Society. Ramanujan, Question 723, Papers p. 332

Se n é un número enteiro positivo, proba que





Probáronse tamén algunhas xeneralizacións das fórmulas anteriores. 

 Problema sen resolver 
O estudo do problema de Waring levou a un problema sen resolver:

Existe algún número enteiro positivo k ≥ 6 tal que Hardy & Wright, p. 337



Mahler demostrou que só pode haber un número finito deses k. De momento non se coñece ningún.
 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 

Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. , p. 25
ISO/IEC. ISO/IEC 9899::1999(E): Programming languages — C (2nd ed), 1999; Section 6.3.1.4, p. 43.

Michael Sullivan. Precalculus, 8th edition, p. 86

 Outros artigos 
 Función paso
 Operación Módulo
 Ligazóns externas 

 Štefan Porubský, "Integer rounding functions" , Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics, Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences, Prague, Czech Republic, retrieved 24 October 2008



Categoría:Aritmética
Categoría:Teoría de números
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas