Teorema de Kummer

En matemáticas, o teorema de Kummer é unha fórmula para calcular o expoñente da maior potencia dun número primo p que divide un coeficiente binomial dado. Noutras palabras, dá a valoración p-ádica dun coeficiente binomial. O teorema recibe o nome de Ernst Kummer, quen o demostrou nun artigo .

 Teorema 
O teorema de Kummer afirma que para os números enteiros dados n ≥ m ≥ 0 e un número primo p, a valoración p-ádica  do coeficiente binomial  é igual ao número de carrexos cando se suma  a  en base p.

Unha forma equivalente do teorema é a seguinte:

Escribamos a expansión en base  do número enteiro  como , e definamos  como a suma dos díxitos en base  , entón



O teorema pódese demostrar escribindo  como  e usando a fórmula de Legendre.

 Exemplos 
Para calcular a maior potencia de 2 que divide o coeficiente binomial  escribimos  e  na base  como  e . Realizamos a suma  na base 2 require tres carretos:
{| cellpadding=5 style="border:none"
|   || 1 || 1 || 1 ||   ||   ||
|-
|   ||   ||   || 1 || 1 2
|- 
| + ||   || 1 || 1 || 1 2
|-
| style='border-top: 1px solid' |  
| style='border-top: 1px solid' | 1
| style='border-top: 1px solid' | 0
| style='border-top: 1px solid' | 1
| style='border-top: 1px solid' | 0 2
|}
Polo tanto a maior potencia de 2 que divide  é 3.

Alternativamente, pódese usar a forma que inclúe sumas de díxitos. As sumas dos díxitos de 3, 7 e 10 na base 2 son , , e  respectivamente, daquela



 Xeneralización para coeficientes multinomiais 
O teorema de Kummer pódese xeneralizar a coeficientes multinomiais  como segue:



 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 


Outros artigos
Teorema de Lucas

Categoría:Teoría de números
Kummer
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas