Teorema do binomio

En álxebra elemental, o teorema do binomio (ou expansión binomial) describe a expansión alxébrica das potencias dun binomio. Segundo o teorema, é posible expandir o polinomio  nunha suma que implique termos da forma , onde os expoñentes  e  son enteiros non negativos con  e o coeficiente  de cada termo é un número enteiro positivo específico que depende de  e  . Por exemplo, para ,O coeficiente  no termo de  coñécese como coeficiente binomial  ou  (os dous teñen o mesmo valor). Estes coeficientes para variar  e  pódense ordenar para formar o triángulo de Pascal. Estes números tamén aparecen en combinatoria, onde  dá o número de combinacións diferentes (é dicir, subconxuntos) de  elementos que se poden escoller entre un conxunto de  elementos, e de aí podemos ler " sobre " ou " en ". 

 Teorema 
Segundo o teorema, a expansión de calquera potencia enteira non negativa  do binomio  é unha suma da formaonde cada un  é un número enteiro positivo coñecido como coeficiente binomial, definido comoUsando o sumatorio, pódese escribir de forma máis concisa comoPara o binomio con resta temos alternancia no signo de cada termo:

Unha variante simple da fórmula binomial obtense substituíndo  por , de xeito que só implica unha única variábel:

 Exemplos 
Aquí vemos os primeiros casos do teorema binomial:

 os expoñentes de  nos termos son   (o último termo contén implicitamente  );
 os expoñentes de  nos termos son   (o primeiro termo contén implicitamente  );
 os coeficientes forman a  ésima fila do triángulo de Pascal;
 hai  termos, e os seus coeficientes suman  .

 Coeficientes binomiais 

Os coeficientes que aparecen na expansión binomial chámanse coeficientes binomiais . Estes adoitan escribirse  e pódese ler como " sobre ", combinacións de  elementos tomados en grupos de  elementos.

O coeficiente de  vén dado pola fórmula O coeficiente binomial  pódese interpretar como o número de formas de escoller  elementos dun conxunto de  elementos.

 Xeneralizacións 

 Teorema binomial xeneralizado de Newton 

Isaac Newton xeneralizou a fórmula para exponentes reais, considerando unha serie infinita:

onde  pode ser calquera número real e os coeficientes están dados polo produto:

Expresado co símbolo de Pochhammer:
.

Estas fórmulas converxen e a igualdade é certa sempre que os números reais ou complexos  e  sexan suficientemente próximos, no sentido de que  e o valor absoluto de  sexa menor que 1.

A expansión para a potencia recíproca é a seguinte:

Exemplos (lembrando que  ):



 Teorema Multinomial 

O teorema do binomio pode ser xeneralizado para incluír potencias de sumas de máis de dous termos. En xeral:

Nesta fórmula, a suma faise sobre tódolos valores enteiros naturais desde  ata  de tal modo que a suma de todos estes valores sexa igual a . Os coeficientes do sumatorio, calcúlanse segundo a fórmula:

Desde o punto de vista da combinatoria, o coeficiente multinomial conta o número de diferentes maneiras de dividir un conxunto de  elementos en subconxuntos disxuntos de tamaños 

 Teorema multi-binomial 
A miúdo é útil, cando se traballa en máis dunha dimensión, usar produtos de expresións binomiais: 

A fórmula anterior pode ser escrita usando a notación multi-índice como segue:

 Regra xeral de Leibniz 
A regra xeral de Leibniz dá a derivada -ésima dun produto de dúas funcións nunha forma similar á do teorema do binomio:  Aquí, o superíndice  indica a derivada -ésima dunha función, .

 Aplicacións 

 Identidades de ángulos múltiples 
Para os números complexos o teorema binomial pódese combinar coa fórmula de De Moivre para obter fórmulas de ángulos múltiples para o seno e o coseno. Segundo a fórmula de De Moivre,e nesa expresión podemos usar o teorema do binomio, por exemploMais a fórmula de De Moivre identifica o lado esquerdo con , asíque son as identidades habituais de ángulo duplo. Do mesmo xeito, xa queA fórmula de De Moivre resultaEn xeral,eTamén hai fórmulas similares usando os polinomios de Chebyshev.

 Serie para e 
O número  adoita definirse pola fórmulaAplicando o teorema binomial a esta expresión obtense a serie infinita usual para :O -ésimo termo desta suma éCando , a expresión racional da dereita achégase a , e polo tantoIsto indica que  pódese escribir como unha serie:

 Probabilidade 
O teorema binomial está intimamente relacionado coa función de masa de probabilidade da distribución binomial negativa. A probabilidade dunha colección (contábel) de ensaios Bernoulli independentes  con probabilidade de éxito  nos que  non aconteza ningún sería



Un límite superior para esta cantidade é  

 En álxebra abstracta 
O teorema binomial é válido de xeito máis xeral para dous elementos  e  nun anel, ou mesmo nun semianel, sempre que . Por exemplo, vale para dúas matrices , sempre que esas matrices conmuten; isto é útil para calcular as potencias dunha matriz. Artin, Algebra, 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 



 Outros artigos 
 Distribución binomial
 Teorema binomial inverso
 Aproximación de Stirling
 Teorema de Tannery
 Grupo simétrico
 Coeficeinte binomial de Gauss
 Ligazóns externas 


 Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007.

Categoría:Polinomios
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
binomio