Conxectura da p-curvatura de Grothendieck-Katz

En matemáticas, a conxectura da p-curvatura de Grothendieck-Katz é un principio local-global para ecuacións diferenciais ordinarias lineares, relacionado coa teoría diferencial de Galois e, nun sentido laxo, análogo ao resultado do teorema da densidade de Chebotarev considerado como o caso polinómico. É unha conxectura de Alexander Grothendieck de finais da década de 1960, e aparentemente non publicada por el de ningunha forma.

O caso xeral segue sen resolverse, mália os últimos avances; está relacionado con investigacións xeométricas que implican foliacións alxébricas.

 Formulación 
No máis sinxelo enunciado posible a conxectura pódese enunciar esencialmente para un sistema vectorial escrito como



para un vector v de tamaño n e unha matriz A de dimensión n×n de funcións alxébricas con coeficientes de números alxébricos. A cuestión é dar un criterio para decidir cando hai un conxunto completo de solucións de funcións alxébricas, isto é, unha matriz fundamental (é dicir, n solucións vectoriais colocadas nunha matriz de bloques). Por exemplo, unha pregunta clásica perguntaba pola ecuación hiperxeométrica: cando ten un par de solucións alxébricas, en función dos seus parámetros? A resposta coñécese clásicamente como a lista de Schwarz. En termos de monodromía, a cuestión é identificar os casos do grupo monodrómico finito.

Ao reformular a cuestión e pasar a un sistema maior, o caso esencial é para as funcións racionais en A e os coeficientes de números racionais. Entón unha condición necesaria é que para case todos os números primos p, o sistema definido por redución módulo p tamén debería ter un conxunto completo de solucións alxébricas, sobre o corpo finito de p elementos.

A conxectura de Grothendieck é que estas condicións necesarias, para case todos os p, deberían ser suficientes. A conexión coa p-curvatura é que a condición mod p indicada é o mesmo que dicir que a p-curvatura, formada por unha operación de recorrencia en A,Daniel Bertrand, Bourbaki Seminar 750, 1991-2, section 5. é cero; polo que outra forma de dicilo é que a p-curvatura de 0 para case todos os p implica solucións alxébricas suficientes da ecuación orixinal.

 Formulación de Katz para o grupo de Galois 
Nicholas Katz aplicou técnicas de categoría tannakiana para demostrar que esta conxectura é esencialmente o mesmo que dicir que o grupo diferencial de Galois G (ou, en rigor, a álxebra de Lie g do grupo alxébrico G, que neste caso é o pechamento de Zariski do grupo monodrómico) pódese determinar mediante información mod p, para unha determinada clase ampla de ecuacións diferenciais. 

 Progreso 
Benson Farb e Mark Kisin demostraron unha ampla clase de casos;  estas ecuacións están nunha variedade X localmente simétrica suxeita a algunhas condicións teóricas de grupos. Este traballo baséase nos resultados anteriores de Katz para as ecuacións de Picard-Fuchs (no sentido contemporáneo da conexión Gauss-Manin), tal como amplificaba André na dirección de Tannaki. Tamén aplica unha versión de superrixidez particular dos grupos aritméticos. Outros avances foron feitos mediante métodos aritméticos.

 Historia 
Nicholas Katz relacionou algúns casos coa teoría da deformación en 1972, nun artigo onde se publicou a conxectura.  Desde entón publicáronse reformulacións. Existen propostas de q-análogo para ecuacións diferenciais. 

Grothendieck expuxo a conxectura en discusión pública na primavera de 1969, mais non escribiu nada sobre o tema. A idea veu a través da área da cohomoloxía cristalina, naquel momento desenvolvida polo seu alumno Pierre Berthelot. Dalgunha maneira desexando equiparar a noción de "nilpotencia" na teoría das conexións, coa técnica de estrutura de potencia dividida (ou PD-estrutura) que se converteu en estándar na teoría cristalina. Grothendieck produciu a conxectura como un subproduto.

 Notas 

Véxase tamén
 Bibliografía

 Nicholas M. Katz, Rigid Local Systems, capítulo 9.

Jean-Benoît Bost, Algebraic leaves of algebraic foliations over number fields, Publications Mathématiques de L'IHÉS, Volume 93, Number 1, September 2001
Yves André, Sur la conjecture des p-courbures de Grothendieck–Katz et un problème de Dwork, in Geometric Aspects of Dwork Theory (2004), editors Alan Adolphson, Francesco Baldassarri, Pierre Berthelot, Nicholas Katz, François Loeser
Anand Pillay (2006), Differential algebra and generalizations of Grothendieck's conjecture on the arithmetic of linear differential equations
Categoría:Cálculo diferencial