Conxunto numerable

En matemáticas, un conxunto é contábel ou numerábel se é finito ou se pode facer unha correspondencia un a un co conxunto de números naturais.De forma equivalente, un conxunto é contábel se existe unha función inxectiva a partir dos números naturais; isto significa que cada elemento do conxunto pode estar asociado a un número natural único, ou que os elementos do conxunto poden ser contados un a un, aínda que o reconto pode nunca rematar debido a un número infinito de elementos.

Asumindo o axioma de escolla contábel, un conxunto é contábel se a súa cardinalidade (o número de elementos do conxunto) non é maior que a dos números naturais. Un conxunto numerábel que non é finito dise que é numerabelmente infinito ou contabelmente infinito .

O concepto atribúese a Georg Cantor, quen demostrou a existencia de conxuntos non numerábeis, é dicir, conxuntos que non son contábeis; por exemplo o conxunto dos números reais.

 Definición 
Un conxunto  é contábel se:

 A súa cardinalidade  é menor ou igual a  (aleph-cero, a cardinalidade do conxunto de números naturais .  
 Existe unha función inxectiva de  a .
  é baleiro ou existe unha función sobrexectiva de  a . 
 Existe un mapeo bixectivo entre  e un subconxunto de .
  é finito (  ) ou contabelmente infinito. 

Todas estas definicións son equivalentes.

Un conxunto  é contabelmente infinito se:

 A súa cardinalidade  é exactamente .
 Hai un mapeo inxectivo e sobrexectivo (e polo tanto bixectivo) entre  e .
  ten unha correspondencia un a un con .
 Os elementos de  pódense ordenar nunha secuencia infinita , onde  é distinto de  para  e cada elemento de  é listado.

Un conxunto é non numerábel se non é numerábel, é dicir, a súa cardinalidade é maior que .

 Introdución 
miniatura|125x125px| Mapa bixectivo de enteiros a números pares
Algúns conxuntos son infinitos; estes conxuntos teñen máis de  elementos onde  é calquera número enteiro que se poida especificar. Por exemplo, o conxunto de números naturais, que serían , ten infinitos elementos, e non podemos usar ningún número natural para dar o seu tamaño. Por exemplo, hai infinitos enteiros impares, infinitos enteiros pares e tamén infinitos enteiros en xeral. Podemos considerar que todos estes conxuntos teñen o mesmo "tamaño" porque podemos organizar as cousas de forma que, para cada número enteiro, haxa un número dese conxunto distinto, por exemplo para os pares podemos  estabelecer unha función bixectiva:ou, máis xenralmente,  (ver imaxe). Esta noción matemática de "tamaño", cardinalidade, é que dous conxuntos son do mesmo tamaño se e só se hai unha bixección entre eles. Chamamos infinitos a todos os conxuntos que están en correspondencia un a un cos números enteiros e dicimos que teñen cardinalidade .

Georg Cantor demostrou que non todos os conxuntos infinitos son contábeis. Por exemplo, os números reais non se poden poñer en correspondencia un a un cos números naturais (números enteiros non negativos). O conxunto de números reais ten unha cardinalidade maior que o conxunto de números naturais e dise que é non numerábel.

 Visión xeral formal 
Por definición, un conxunto  é contábel se existe unha bixección entre  e un subconxunto dos números naturais . 

No caso dos conxuntos infinitos, un conxunto  é contabelmente infinito se hai unha bixección entre  e todo  . Como exemplos, considere o conxunto , o conxunto de enteiros positivos, temos a bixección  e para o conxunto , os enteiros pares, temos a bixección  .

 Teorema:  Todo subconxunto dun conxunto contábel é contábel. 

O conxunto de todos os pares ordenados de números naturais, o produto cartesiano de dous conxuntos de números naturais,  é contabelmente infinito, como se pode ver seguindo un camiño como o da imaxe:
miniatura|300x300px| A función de emparellamento de Cantor asigna un número natural a cada par de números naturais
O mapeo resultante sería do seguinte xeito:

 Teorema: O produto cartesiano de finitamente moitos conxuntos contábeis é contábel.
O conxunto de todos os números enteiros  e o conxunto de todos os números racionais  intuitivamente poden parecer moito máis grandes que . Mais desde o punto de vista da cardinalidade isto non é así, se un par é tratado como o numerador e o   denominador dunha fracción ( onde  e  son enteiros), entón para cada fracción positiva, podemos chegar a un número natural distinto que lle corresponda.

 Teorema:   (conxunto de todos os enteiros) e  (conxunto de todos os números racionais) son contábeis.

De xeito semellante, o conxunto de números alxébricos é contábel.  

 Teorema:  Calquera unión finita de conxuntos countábeis é contábel.

 Teorema: (asumindo o axioma de escolla contábel) A unión de contabelmente moitos conxuntos contábeis forma un conxunto contábel. 

miniatura|300x300px| Enumeración dun número contábel de conxuntos contábeis
Necesitamos o axioma de escolla contábel para indexar todos os conxuntos  simultaneamente.

Teorema: O conxunto de todas as secuencias de números naturais é contábel.

 Teorema: O conxunto de todos os subconxuntos finitos dos números naturais é contábel.

 Teorema:  Sexan os conxuntos    e  .
 Se a función    é inxectiva e    é contábel, daquela    é contábel.
 Se a función    é sobrexectiva e    é contábel, daquela   é contábel.

 Isto segue das definicións de conxunto contábel como funcións inxectivas/sobrexectivas.

O teorema de Cantor afirma que se  é un conxunto e  é o seu conxunto de partes, é dicir, o conxunto de todos os subconxuntos de , entón non hai función sobrexectiva de  a . Unha demostración dáse no artigo Teorema de Cantor. Como consecuencia inmediata disto e do teorema básico anterior temos:
 Proposición: O conxunto  non é contábel; isto é, e non numerábel.

O conxunto dos números reais é non numerábel,  e tamén o é o conxunto de todas as secuencias infinitas de números naturais.

 Orde total 
Os conxuntos contábeis pódense ordenar totalmente de varias maneiras, por exemplo:

 Ben ordenado (ver tamén número ordinal):
 A orde habitual dos números naturais (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...)
 Os enteiros na orde (0, 1, 2, 3, ...; −1, −2, −3, ...)
 Outros (non ben ordenados):
 A orde habitual dos números enteiros (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...)
 A orde habitual dos números racionais (Non se pode escribir explicitamente como unha lista ordenada!)

Nos dous exemplos de ordes ben ordenadas, calquera subconxunto ten un elemento menor; mais en ambos os dous exemplos de non ben ordenados, algúns subconxuntos non teñen un elemento menor. Esta é a definición clave que determina se unha orde total tamén é unha orde ben ordenada.

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 





  Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974.  (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011.  (Paperback edition).





 Outros artigos 
 Número Aleph
 Paradoxo de Hilbert do Gran Hotel
 Conxunto non numerábel

Categoría:Teoría de conxuntos