Media metálica

Media metálica (proporcións metálicas)NProporciónValorNome0111.618033989Ouro22.414213562Prata33.302775638Bronce44.23606797855.19258240466.16227766077.14005494588.12310562699.1097722291010.099019513  ⋮n
As medias metálicas, tamén coñecidas como números metálicos (ou ratios ou constantes) dos sucesivos números naturais son as fraccións continuas con coeficientes constantes:

A proporción áurea (1.618...) é a media metálica situada entre 1 e 2, mentres que a proporción de prata (2.414...) é a media metálica situada entre 2 e 3. O termo "proporción de bronce" (3.303...), e outros nomes de metais (como cobre ou níquel), empréganse ocasionalmente para denominar as medias metálicas posteriores. Vera W. de Spinadel (1999). The Family of Metallic Means, Vismath 1(3) from Mathematical Institute of Serbian Academy of Sciences and Arts.  Os valores das dez primeiras medias metálicas móstranse na táboa da dereita.  "An Introduction to Continued Fractions: The Silver Means", maths.surrey.ac.uk. Observe que cada media metálica é unha raíz da ecuación cadrática simple: , onde  é calquera número natural positivo.

A proporción áurea está conectada co pentágono (primeira diagonal/lado), a proporción de prata está conectada co octógono (segunda diagonal/lado).  A proporción áurea está conectada aos números de Fibonacci, a proporción de prata está conectada aos números de Pell, e a proporción de bronce está conectada a .

Así para cada  temos as recorrencias lineais de segunda orde:  

Fibonacci (ouro): 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ...

Pell (prata): 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70 ...

 (bronce): 0, 1, 3, 10, 33, 109 ... 

 Propiedades 
Estas propiedades só son válidas para números enteiros. Para os non enteiros as propiedades son lixeiramente diferentes.

Chamamos  á media metálica relacionada coa constante .

Sendo  os converxentes da fracción continua   temos que


A recorrencia asociada a cada  son os denominadores  (ou os numeradores  excluído o cero) dos converxentes da  fracción continua .

Sendo   a recorrencia asociada a  temos que


Unha relación para a inversa da media metálica 


por tanto os inversos das medias metálicas son a parte decimal do número correspondente.

Se descompomos  en para enteira  e parte fraccional , temos:

 ,  e resulta 



As medias metálicas de n en forma de integral,



En relación a funcións hiperbólicas,



 Expresións trigonométricas 

Expresión trigonométricaNFórmulaPolígono regular asociado1  pentágono2 octógono3 tridecágono4 

 Construción xeométrica 
A media metálica  para calquera número enteiro dado  pódese construír xeométricamente do seguinte xeito. Defínese un triángulo rectángulo con lados  e  tendo lonxitudes   e , respectivamente. A  media metálica  é simplemente a suma da lonxitude de  e a hipotenusa . 

Para  ,
alt=Triangle with "embedded" golden ratio|miniatura|100x100px| N = 1

e logo

 φ.

Con  dá a proporción de prata.
alt=Triangle with "embedded" silver ratio|miniatura|100x100px| N = 2

A proporción de bronce con ,
alt=Triangle with "embedded" bronze ratio|miniatura|100x100px| N = 3

Os argumentos non enteiros ás veces producen triángulos cunha media que é un número enteiro. Un exemplo con , temos
alt=Triangle with "embedded" with the number 2|dereita|miniatura|100x100px| N = 1,5

que é simplemente unha versión reducida do triángulo pitagórico 3–4–5.

 Denominación xeración 
Os números metálicos poden ser xerados por tres métodos diferentes:

 Ecuación cuadrática 
A solución xeral da ecuación de segundo grao vén dada por:

que para o rango inferior de n proporciona os valores que se mostran na Táboa 1.

 Fracción continua 
A ecuación xeral pode ser reordenada na forma:Substituíndo a expresión da variable no denominador:operación que pode continuarse até o infinito, resultando a expresión xeral da fracción continua.

 Límite dunha sucesión 
Denomínase sucesión de Fibonacci secundaria á sucesión infinita construída segundo o seguinte criterio:O límite no infinito da razón entre dous termos consecutivos:é, precisamente, o número áureo.

Xeneralizando o anterior resultado denominouse "sucesión de Fibonacci secundaria xeneralizada" á formada segundo a recurrencia:cuxos límites entre as razóns de dous termos consecutivos tenden aos correspondentes "números metálicos" con idéntico valor de n.

 Notas 

Véxase tamén
 Bibliografía 

 Stakhov, Alekseĭ Petrovich (2009). The Mathematics of Harmony: From Euclides to Contemporary Mathematics and Computer Science, p. 228, 231.World Scientific..

 Ligazóns externas 
 Cristina-Elena Hrețcanu and Mircea Crasmareanu (2013). "Metallic Structures on Riemannian Manifolds", Revista de la Unión Matemática Argentina.
 Rakočević, Miloje M. "Further Generalization of Golden Mean in Relation to Euler's 'Divine' Equation", Arxiv.org.

Categoría:Teoría de números