Bixección, inxección e sobrexección

bixectivasenmarco|150x150px 
só inxectiva non-
inxectivasenmarco|150x150px 
só sobrexectivasenmarco|150x150px 
xeral
En matemáticas, as inxeccións, as sobrexeccións e as bixeccións son clases de funcións que se distinguen pola forma en que os argumentos (expresións de entrada do dominio) e as imaxes (expresións de saída do codominio) están relacionados ou mapeadas entre si.

Unha función mapea elementos do seu dominio a elementos do seu codominio. Dada unha función :

 A función é inxectiva, ou un a un, se cada elemento do codominio está asignado como moito a un elemento do dominio, ou de forma equivalente, se distintos elementos do dominio se asignan a distintos elementos do codominio. Unha función inxectiva tamén se denomina inxección.Notacionalmente:


 A función é sobrexectiva, ou onto, se cada elemento do codominio está asignado a polo menos un elemento do dominio. É dicir, a imaxe e o codominio da función son iguais. Unha función surxectiva é unha sobrexección.. Notacionalmente:



 A función é bixectiva (un-a-un e onto  ou invertible ) se cada elemento do codominio está mapeado por exactamente un elemento do dominio. É dicir, a función é tanto inxectiva como sobrexectiva. Unha función bixectiva tamén se denomina bixección. .  É dicir, combinando as definicións de inxectiva e sobrexectiva temos


 onde  significa " existe exactamente unha ".

 En calquera caso (para calquera función), vale o seguinte:



As catro combinacións posibles de características inxectivas e sobrexectivas están ilustradas nos diagramas superiores.

 Inxección 

miniatura|300x300px| Composición inxectiva: a segunda función non ten por que ser inxectiva.
Os seguintes son algúns feitos relacionados coas inxeccións:
 Unha función  é inxectiva se e só se  está baleiro ou  é invertible pola esquerda; é dicir, hai unha función  tal que  función de identidade en X. Aquí,  é a imaxe de .
 Dado que toda función é sobrexectiva cando o seu codominio está restrinxido á súa imaxe, cada inxección induce unha bixección na súa imaxe. Máis precisamente, cada inxección  pódese factorizar como unha bixección seguida dunha inclusión do seguinte modo: sexa  unha  con codominio restrinxido á súa imaxe, e sexa   o mapa de inclusión de  en . Daquela . Dáse a continuación unha factorización dual para as sobrexeccións.
 A composición de dúas inxeccións é de novo unha inxección, mais se  é inxectiva, entón só se pode concluír que  é inxectiva (ver figura).
 Toda inserción é inxectiva.

 Sobrexección 

miniatura|300x300px| Composición sobrexectiva: a primeira función non ten por que ser sobrexectiva.
Os seguintes son algúns feitos relacionados coas sobrexeccións:

 Unha función  é sobrexectiva se e só se é inversible pola dereita, é dicir, se e só se existe unha función  tal que  función de identidade en .
 Ao contraer todos os argumentos que se mapean cunha imaxe dada, cada sobrexección induce unha bixección dun conxunto cociente do seu dominio ao seu codominio. Máis precisamente, as preimaxes baixo f dos elementos da imaxe de  son as clases de equivalencia dunha relación de equivalencia no dominio de , tal que x e y son equivalentes se e só teñen a mesma imaxe baixo . Como todos os elementos de calquera destas clases de equivalencia están mapeados por  sobre o mesmo elemento do codominio, isto induce unha bixección entre o conxunto cociente  por esta relación de equivalencia (o conxunto das clases de equivalencia) e a imaxe de  (que é o seu codominio cando  é sobrexectiva). A maiores, f é a composición da proxección canónica de f ao conxunto cociente, e a bixección entre o conxunto cociente e o codominio de .
 A composición de dúas sobrexeccións volve ser unha sobrexección, mais se  é sobrexectiva, entón só se pode concluír que  é sobrexectiva (ver figura).

 Bixección 

miniatura|300x300px| Composición bixectiva: a primeira función non ten por que ser sobrexectiva e a segunda función non ten por que ser inxectiva.
Os seguintes son algúns feitos relacionados coas bixeccións:

 Unha función  é bixectiva se e só se é invertible, é dicir, hai unha función  tal que  función de identidade en X e  función de identidade en . Esta función asigna cada imaxe á súa preimaxe única.
 A composición de dúas bixeccións volve ser unha bixección,  mais se  é unha bixección, entón só se pode concluír que  é inxectiva e  é sobrexectiva (ver a figura anterior e as observacións anteriores sobre inxeccións e sobrexeccións).
 As bixeccións dun conxunto en si mesmo forman un grupo baixo composición, chamado grupo simétrico.

 Cardinalidade 
Pódese definir que dous conxuntos  "teñen o mesmo número de elementos" se hai unha bixección entre eles. Neste caso, dise que os dous conxuntos teñen a mesma cardinalidade.

 Exemplos 
É importante especificar o dominio e o codominio de cada función, xa que ao mudar estes, as funcións que parecen ser iguais poden ter propiedades diferentes.

 Inxectiva e sobrexectiva (bixectiva)
 A función de identidade idX para cada conxunto non baleiro X, e polo tanto especificamente
Para dominios positivos :
 , e así tamén a súa inversa 
 A función exponencial  (é dicir, a función exponencial co seu codominio restrinxido á súa imaxe), e así tamén o seu inverso o logaritmo natural ou neperiano 

 Inxectiva e non sobrexectiva
 A función exponencial 

 Non inxectiva e si sobrexectiva



 Non inxectiva e non sobrexectiva



 Propiedades 

 Para cada función , sexa  un subconxunto do dominio e  un subconxunto do codominio. Tense sempre  e , onde  é a imaxe de  e  é a preimaxe de  baixo  . Se  é inxectiva, entón , e se  é surxectiva, entón  .
 Para cada función , pódese definir unha sobrexección  e unha inxección  . Segue que . Esta descomposición como a composición dunha sobrexección e dunha inxección é única ata un isomorfismo, no sentido de que, dada tal descomposición, hai unha bixección única  tal que  e  para cada 

 Teoría de categorías 
Na categoría de conxuntos, inxeccións, sobrexeccións e bixeccións corresponden precisamente a monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos, respectivamente.

 Historia 
Cando o grupo francés Bourbaki acuñou a terminoloxía inxectiva, sobrexectiva e bixectiva (como substantivos e como adxectivos) foi o momento no que acadou unha ampla adopción.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Ligazóns externas 
Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.

Categoría:Funcións