Factorial descendente e ascendente

En matemáticas, o factorial descendente,  — A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing.  defínese como o polinomio,

O factorial ascendente (ás veces chamado función de Pochhammer  ) defínese como

En ambos os casos o valor é 1 cando . Estes símbolos chámanse colectivamente potencias factoriais.

O símbolo de Pochhammer, introducido por Leo August Pochhammer, é a notación , onde  é un número enteiro non negativo. Pode representar o factorial ascendente ou descendente, con diferentes artigos e autores usando convencións diferentes. O propio Pochhammer utilizou realmente  con outro significado, a saber, para denotar o coeficiente binomial   The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.

Neste artigo usaremos dous tipos de símbolos, o símbolo  úsase para representar o factorial descendente e o símbolo  para o factorial ascendente. Estas convencións úsanse en combinatoria,  aínda que as notacións de subliñado e sobreliñado de Knuth  e  son cada vez máis populares.

Son moi usados na función hiperxeométrica.

 Exemplos e interpretación combinatoria 
Os primeiros factoriais descendentes son os seguintes:

Os primeiros factoriais ascendentes son os seguintes:

Os coeficientes que aparecen nas expansións son os números de Stirling do primeiro tipo.

 Propiedades 
Os factoriais ascendentes e descendentes están relacionados entre si de xeito simple:

Os factoriais descendentes e ascendentes de números enteiros están directamente relacionados co factorial ordinario:

Os factoriais descendentes e ascendentes pódense usar para expresar un coeficiente binomial:

O factorial descendente pódese estender a valores reais de  usando a función gamma sempre que  e  sexan números reais que non son enteiros negativos:

e tamén pode o factorial ascendente:

O factorial ascendente tamén está na definición da función hiperxeométrica: A función hiperxeométrica defínese para  pola serie de potencias
sempre que  Teña en conta, porén, que a literatura sobre funcións hiperxeométricas normalmente usa a notación  para factoriais ascendentes.

 Notacións alternativas 
Unha notación alternativa para o factorial ascendente
e para o factorial descendente

 Notas 


 Véxase tamén 
 Outros artigos 
Pochhammer -symbol
Identidade de Vandermonde
 Ligazóns externas 

  — Elementary proofs

Categoría:Aritmética
Categoría:Álxebra