Teorema de Lucas

En teoría de números,o teorema de Lucas expresa o resto da división do coeficiente binomial  por un número primo p en función da expansión en base p dos enteiros m e n.

 Teorema 
Para os enteiros non negativos m e n e un primo p, cúmprese a seguinte relación de congruencia:



onde





son as expansións en base p de m e n respectivamente. Utilizando a convención  se m < n .

 Proba 


 Consecuencias 

 Un coeficiente binomial  é divisible por un primo p se e só se polo menos un dos díxitos en base p de n é maior que o correspondente de m.
 En particular,  é impar se e só se os díxitos binarios (bits) na expansión binaria de n son un subconxunto dos bits de m.

 Variacións e xeneralizacións 

 O teorema de Kummer afirma que o maior enteiro k tal que pk divide o coeficiente binomial  (ou noutras palabras, a valoración do coeficiente binomial con respecto ao primo p) é igual ao número de carrexos que se producen cando sumamos n e m − n en base p.

 Davis e Webb (1990)  e Granville (1997) ofrecen xeneralizacións do teorema de Lucas para o caso de que p sexa unha potencia prima. 
 O teorema de q-Lucas é unha xeneralización para os coeficientes q-binomiais, probado por primeira vez por J. Désarménien. 
Categoría:Teoría de números
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Lucas

 Notas 


 Véxase tamén 

 Outros artigos 
Teorema de Kummer.
 Ligazóns externas