Coeficiente binomial

Os coeficientes binomiais ou números combinatorios son os enteiros positivos que aparecen como coeficientes no teorema do binomio. Normalmente, un coeficiente binomial está representado por un par de números enteiros  e escríbese  Correspóndese co coeficiente do termo  na expansión polinómica da potencia binomial ; este coeficiente pódese calcular mediante a fórmula 



Imos ver un exemplo, a cuarta potencia de () é



e calculamos o coeficiente binomial  é o coeficiente do termo .

Se ordenamos os números  en filas sucesivas para  daquela temos unha matriz triangular chamada triángulo de Pascal, que satisfai a relación de recorrencia



En moitas áreas das matemáticas aparecen os coeficientes binomiais, e teñen especial incidencia na combinatoria. O símbolo  adoita lerse como " sobre ". Hai  formas de escoller un subconxunto (desordenado) de  elementos dun conxunto fixo de  elementos. Por exemplo, hai  formas de escoller  elementos entre , é dicir, , , , ,  e .

Agora podemos xeneralizar para que  poida usarse para calquera número complexo  e enteiro , e moitas das súas propiedades seguen a manterse nesta forma máis xeral.

As notacións alternativas máis frecuentes son ,   , e , en todas elas o  significa combinacións. 

 Definición e interpretacións 
Para os números naturais n e k, o coeficiente binomial  pódese definir como o coeficiente do monomio Xk na expansión de . O mesmo coeficiente tamén ocorre (se  ) na fórmula binomial(válida para calquera elemento x, y dun anel conmutativo), o que explica o nome de "coeficiente binomial".

Tamén aparece na combinatoria, onde dá  o número de subconxuntos de  elementos (ou -combinacións) dun conxunto de  elementos.

 Cálculo do valor dos coeficientes binomiais 

 Fórmula recursiva 
para todos os números enteiros  tal que 
con valores límite

para todos os números enteiros .

 Fórmula multiplicativa 
onde o numerador da primeira fracción  exprésase como o símbolo de Pochhammer do factorial descendente. 

 Fórmula factorial 
onde  denota o factorial de  . A fórmula presenta unha simetría 

 Xeneralización e conexión coa serie binomial 
A fórmula multiplicativa permítenos ampliar a definición dos coeficientes binomiais substituíndo  por un número arbitrario  (negativo, real, complexo) ou mesmo un elemento de calquera anel conmutativo no que todos os enteiros positivos sexan invertibles:Aproveitamos esta definición para ter unha xeneralización da fórmula binomial, cunha das variables posta a 1, :Esta fórmula é válida para todos os números complexos α e X con |X| < 1.

 Triángulo de Pascal 
A regra de Pascal é unha importante relación de recorrenciaque se pode utilizar para demostrar por indución matemática que  é un número natural para todos os enteiros n ≥ 0 e todos os enteiros k, un feito que non é inmediatamente obvio a partir da fórmula (1).

A regra de Pascal dá lugar ao triángulo de Pascal:
0:11:112:1213:13314:146415:151010516:16152015617:1 7 213535217 1 8:1 8 28567056288 1 
O número de fila  contén os números  para . Constrúese colocando primeiro 1 nas posicións máis externas e despois enchendo cada posición interna coa suma dos dous números directamente enriba. 

 Combinatoria e estatística 
Os coeficientes binomiais son de importancia en combinatoria, porque proporcionan fórmulas feitas para certos problemas frecuentes de contaxe:

 Hai  formas de escoller k elementos dun conxunto de n elementos. Consulte Combinacións.
 Hai  formas de escoller k elementos dun conxunto de n elementos se se permiten as repeticións. Consulte Multiconxunto.
 Hai  cadeas que conteñen k uns e n ceros.
 Hai  cadeas formadas por k uns e n ceros de xeito que non hai dous uns adxacentes.
 Os números de Catalan son 
 A distribución binomial en estatística é 

 Coeficientes binomiais como polinomios 
Dado calquera enteiro non negativo k, a expresión  pódese simplificar e definir como un polinomio dividido por :



isto presenta un polinomio en t con coeficientes racionais.

Os seus coeficientes poden expresarse en termos dos números de Stirling:



 Identidades que implican coeficientes binomiais 
Se k é un número enteiro positivo e n é arbitrario, entón







Para n constnte, temos a seguinte recorrencia:





 Sumas dos coeficientes binomiais 
A fórmulaexpresa que os elementos da fila -ésima do triángulo de Pascal sempre suman 2 elevados á potencia -ésima. 

Temos dúas fórmulas máis, 
 .
 .

Estas dúas fórmulas séguense do teorema do binomio despois de  diferenciar con respecto a  (dúas veces na segunda) e despois de substituír .

A identidade de Chu-Vandermonde, que se cumpre para calquera valores complexos m e n e calquera número enteiro non negativo k, é No caso especial , usando (1), a expansión (7) fica comoonde o termo do lado dereito é un coeficiente binomial central.

Imos ver outra forma da identidade de Chu-Vandermonde que se aplica a calquera número enteiro j, k e n que satisfaga , éCando , a ecuación (9) dá 



Sexa F (n) o n-ésimo número de Fibonacci, entón



 Sumas de multiseccións 
Para os enteiros s e t tales que  as series de multisección (con termos igualmente espazados) dás a seguinte identidade para a suma dos coeficientes binomiais:



Para  pequenos, estas series teñen formas particularmente feitucas; por exemplo, .






 Sumas parciais 



co caso especial 



para . Este último resultado é tamén un caso especial do resultado da teoría das diferenzas finitas que para calquera polinomio P(x) de grao menor que n, 



Cando P(x) é de grao menor ou igual a n,onde  é o coeficiente de grao n en P(x).

 Identidade de Dixon 
A identidade de Dixon é



ou, máis xeralmente,



onde a, b e c son enteiros non negativos.

 Identidades continuas 
Existen certas integrais trigonométricas que teñen valores expresables en termos de coeficientes binomiais,  para calquera 





Estas integrais pódense demostrar usando a fórmula de Euler para converter funcións trigonométricas en exponenciais complexas, expandindo usando o teorema binomial e integrando termo por termo.

 Congruencias 
Se n é primo, entónpor cada k con 

De xeito máis xeral, isto segue sendo certo se n é calquera número e k é tal que todos os números entre 1 e k son coprimos con n.

Daquela temos



 Funcións xeradoras 

 Funcións xeradoras ordinarias 
Se temos un  fixo, a función xeradora ordinaria da secuencia  é



Agora, se facemos que  sexa fixo, a función xeradora ordinaria da secuencia  é



A función xeradora bivariada dos coeficientes binomiais é



 Función xeradora exponencial 
Para dúas variables, unha función xeradora  exponencial simétrica dos coeficientes binomiais é:



 Propiedades de divisibilidade 
En 1852, Kummer demostrou (Teorema de Kummer) que se m e n son enteiros non negativos e p é un número primo, entón a maior potencia de p que divide  é igual a pc, onde c é o número de carrexos cando m e n se suman na base p. Isto é valoración p-ádica dun coeficiente binomial. 

Os coeficientes binomiais teñen propiedades de divisibilidade relacionadas cos mínimos múltiplos comúns (lcm) de números enteiros consecutivos. Por exemplo:

 .

 .

un dato máis en relación á divisibilidade: un número enteiro  é primo se e só se todos os coeficientes binomiais intermedios



son divisibles por .

 Límites e fórmulas asintóticas 
Os seguintes límites para  cúmprense para todos os valores de n e k tal que :Das propiedades de divisibilidade podemos inferir que

 Tanto n como k grandes 
A aproximación de Stirling dá a seguinte aproximación, válida cando   tenden ao infinito:En particular, cando  é suficientemente grande, temos
.
.

Se n é grande e k é linear en n, existen varias estimacións asintóticas precisas para o coeficiente binomial . Por exemplo, se  entónonde d = n − 2k.

  moito maior que  
Se  é grande e  é  (é dicir, se ), entónonde de novo  é a notación o pequena. 

 Coeficientes binomiais xeneralizados 
Obtemos unha nova expresión para os coeficientes binomiais usando a fórmula do produto infinito para a función gammaque produce as fórmulas asintóticascando .

 Xeneralizacións 

 Xeneralización a multinomial 

Os coeficientes binomiais pódense xeneralizarse a coeficientes multinomiais definidos como o número:



onde


Lembrando o que representan os coeficientes binomiais  de , vemos que os coeficientes multinomiais representan os coeficientes do polinomio



O caso r = 2 dá os coeficientes binomiais:



A interpretación combinatoria dos coeficientes multinomiais sería que temos  n elementos distinguibles sobre r recipientes distinguibles, onde cada un contén exactamente ki elementos, onde i é o índice do recipiente.

 Serie de Taylor 
Usando os números de Stirling do primeiro tipo,, temos que a expansión en serie arredor de calquera punto escollido arbitrariamente  é



 Coeficiente binomial con  
Podemos estender a definición dos coeficientes binomiais ao caso en que  é real e  é enteiro.

En particular, a seguinte identidade cúmprese para calquera número enteiro non negativo :



Isto vese cando se expande  nunha serie de potencias utilizando a serie binomial de Newton:



 Descomposición de fracción parcial 
A descomposición en fraccións parciais do recíproco vén dada por




 Serie binomial de Newton 

A serie binomial de Newton, que recibe o nome de Isaac Newton, é unha xeneralización do teorema binomial a series infinitas:


A identidade pódese obter mostrando que ambos os dous lados satisfán a ecuación diferencial {{math|1=(1 + z) f'''(z) = α  f(z)}}.

O raio de converxencia desta serie é 1. Unha expresión alternativa é

onde se aplica a identidade
 .

 Coeficiente binomial multiconxunto (ascendente) 

Os coeficientes binomiais contan subconxuntos de tamaño prescrito dun conxunto dado. Un problema combinatorio relacionado é contar multiconxuntos  é dicir, contar o número de formas de seleccionar un determinado número de elementos dun conxunto dado incluíndo a posibilidade de seleccionar o mesmo elemento con repetición. Os números resultantes chámanse coeficientes multiconxuntos;. o número resultante dunha "multiescolla" (isto é, escolla con substitución) de k elementos de  un conxunto de n elementos denótase cun duplo paréntese .

O valor dos coeficientes multiconxunto é 

 Xeneralización a enteiros negativos  
Para calquera n,

En particular, os coeficientes binomiais para enteiros negativos n'' poden darse con coeficientes multiconxuntos negativos. 

Por exemplo, 


 Dous argumentos reais ou complexos 
Xeneralízase a dous argumentos reais ou complexos usando a función gamma ou a función beta vía

Esta definición herda as seguintes propiedades da :

e tamén,

A función resultante ten sido pouco estudada, ao parecer obtívose un gráfico dela por primeira vez en .

 Xeneralización a q-series 
O coeficiente binomial ten un q-análogo coñecido como coeficiente binomial gaussiano (ligazón en inglés).

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 















 Outros artigos 
 Transformación binomial
 Número de Delannoy
 Número euleriano
 Función hiperxeométrica
 Número de Motzkin
 Número de Narayana
 Ligazóns externas 



Categoría:Álxebra
Categoría:Teoría de números
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Combinatoria