Subgrupo

Na teoría de grupos, unha rama das matemáticas, dado un grupo  baixo unha operación binaria ∗, un subconxunto  de  chámase subgrupo de  se  tamén forma un grupo baixo a operación ∗. Máis precisamente,  é un subgrupo de  se a restrición de ∗ a  é unha operación de grupo en . Isto denótase tamén como , lido como " é un subgrupo de  ".

O subgrupo trivial de calquera grupo é o subgrupo {e} que consiste só no elemento identidade.

Un subgrupo propio dun grupo  é un subgrupo  que é un subconxunto propio de  (é dicir, ). Isto represéntase  por , lido como " é un subgrupo propio de ". Algúns autores tamén exclúen que o grupo trivial sexa propio (é dicir,  }).  

 Comprobación de subgrupos 
Temos que  é un grupo e  é un subconxunto de  e a operación de grupo de   escríbese multiplicativamente.

 Daquela  é un subgrupo de  se e só se  non é baleiro e é pechado baixo produtos e inversos. Pechado baixo produtos significa que para cada  e  en , o produto  está en . Pechado baixo inversos significa que para cada  en , o inverso  está en . Estas dúas condicións pódense combinar nunha soa, que para cada  e  en , o elemento  está en .
 Cando  é finito, a proba pódese simplificar:  é un subgrupo se e só se non é baleiro e é pechado baixo produtos. Estas condicións implican que cada elemento  de  xera un subgrupo cíclico finito de , digamos de orde , e entón o inverso de  é . 

miniatura| é o grupo  que son os enteiros mod 8 mediante adición. O subgrupo  contén só o 0 e o 4, e é isomorfo a  Hai catro clases de  á esquerda:  en si, ,  e  (escribindo con notación aditiva xa que este é un grupo aditivo). Entre todos dividen todo o grupo  en conxuntos de igual tamaño e non superpostos. O índice  é 4.

 Cosets e teorema de Lagrange 
Dado un subgrupo  e algún  en , definimos o coset (ou conxunto lateral, ou coclase) esquerdo  Como  é invertible, o mapa  dado por  é unha bixección. Alén diso, cada elemento de  está contido precisamente nun coset esquerdo de ; as clases secundarias da esquerda son as clases de equivalencia correspondentes á relación de equivalencia  se e só se  está en . O número de clases esquerdas de  chámase índice de  en  e o denotamos por  .

O teorema de Lagrange afirma que para un grupo finito  e un subgrupo ,



onde  e  denotan as ordes (ou cardinalidades, número de elementos) de  e , respectivamente. En particular, a orde de cada subgrupo de  (e a orde de cada elemento de ) debe ser un divisor de .Ver unha proba didáctica neste video. 

Os cosets pola dereita defínense de xeito análogo:  

Se  para cada  en , entón dise que  é un subgrupo normal.

 Exemplo: subgrupos de Z8 
Sexa  o grupo cíclico  cuxos elementos son



e cuxa operación de grupo é a suma módulo 8. A súa táboa de Cayley é
+04261537004261537440625173226403751662047315115372640551736204337514062773150426
Este grupo ten dous subgrupos non triviais:  e , onde  tamén é un subgrupo de . O grupo  é cíclico, e tamén o son os seus subgrupos. En xeral, os subgrupos de grupos cíclicos tamén son cíclicos.

 Exemplo: Subgrupos de S4 
 é o Grupo simétrico cuxos elementos corresponden ás permutacións de 4 elementos.
A continuación móstranse todos os seus subgrupos, ordenados por cardinalidades.
Cada grupo  (agás os de cardinalidade 1 e 2) está representado pola súa Táboa de Cayley.

 24 elementos 
Como en todos os grupo,  é un subgrupo de si mesmo (non é subgrupo propio).
esquerda|miniatura|595x595px| Grupo simétrico  

 12 elementos 
O grupo alternante  contén só as permutacións pares. É un dos dous subgrupos normais propios non triviais de . (O outro é o seu subgrupo de Klein). esquerda|miniatura|323x323px|Grupo alternante Subgrupos:70x70px60x60px60x60px60x60px60x60px

8 elementos
 miniatura|233x233px|Grupo diédrico de orde 8 Subgrupos:70x70px 70x70px 70x70px miniatura|233x233px| Grupo diédrico de orde 8 Subgrupos:70x70px 70x70px 70x70px miniatura|233x233px| Grupo diédrico de orde 8Subgrupos:70x70px70x70px70x70px

 6 elementos 
miniatura|187x187px|Grupo simétrico  Subgrupo:60x60pxminiatura|187x187px| Grupo simétrico  Subgrupo:60x60pxminiatura|187x187px| Grupo simétrico Subgrupo:60x60pxminiatura|187x187px| Grupo simétrico Subgrupo:60x60px

 4 elementos 
miniatura|142x142px| Grupo de Kleinminiatura|142x142px|Grupo de Kleinminiatura|142x142px| Grupo de Kleinminiatura|142x142px| Grupo de Klein (subgrupo normal)
miniatura|142x142px|Grupo cíclico miniatura|142x142px| Grupo cíclico miniatura|142x142px| Grupo cíclico 

 3 elementos 
miniatura|120x120px|Grupo cíclico miniatura|120x120px| Grupo cíclico miniatura|120x120px| Grupo cíclico miniatura|120x120px| Grupo cíclico 

 2 elementos 
Cada permutación  de orde 2 xera un subgrupo . Estas son as permutacións que só teñen 2 ciclos:

 Hai 6 transposicións cun 2 ciclos. (fondo verde)
 E 3 permutacións con dous ciclos. (fondo branco, números en grosa)

 1 elemento 
O subgrupo trivial é o único subgrupo de orde 1.

 Outros exemplos 

 Os enteiros pares forman un subgrupo  do anel dos enteiros  a suma de dous enteiros pares é par e o negativo dun enteiro par é par.
 Un ideal nun anel  é un subgrupo do grupo aditivo de .
 Un subespazo linear dun espazo vectorial é un subgrupo do grupo aditivo de vectores.
 Nun grupo abeliano, os elementos de orde finita forman un subgrupo chamado subgrupo de torsión.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 .
 .
 .




 Outros artigos 
Grupo (matemáticas).

Categoría:Álxebra abstracta
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Teoría de grupos