Función divisor

dereita|miniatura| Función sigma σ1 (n) ata n = 250
En matemáticas, e concretamente na teoría de números, unha función divisor é unha función aritmética relacionada cos divisores dun número enteiro. Aparece en varias identidades notables, incluíndo relacións coa función zeta de Riemann e a serie de Eisenstein de formas modulares. As funcións divisor foron estudadas por Ramanujan, que deu unha serie de congruencias e identidades importantes; estas son tratados por separado no artigo Suma de Ramanujan (de momento en inglés).

Unha función relacionada é a función sumatorio da función divisor, .

 Definición 
A función suma de divisores positivos σz(n), para un número real ou complexo z, defínese como a suma das potencias z-ésimas dos divisores positivos de n. Pódese expresar como

 ,

onde  é a abreviatura de "d divide a n". O número de divisores é   e a suma de divisores é ,  moitas veces omitindo o subíndice polo que σ(n) é o mesmo que σ1(n) .

 Nomenclatura 
Hai que ter coidado coa nomenclatura desta función e outras relacionadas cos divisores, tendo en conta tamén os usos en varios idiomas.
Hai fundamentalmente 3 funcións relacionadas,
 : función número de divisores. Dá o número de divisores e coincide con . Fálase dela no artigo divisor.
 : función suma de divisores positivos.É a función tratada neste artigo. É a función que suma os valores das potencias  dos divisores.  escríbese moitas veces sen subíndice e representa a suma dos divisores.
 : función sumatorio da función divisor. Que dá como valor o sumatorio do número de divisores  para os  menores que .

Para a función suma de divisores positivos úsase frecuentemente o reducido función divisor,  en francés denomínase de xeito moi descritivo "Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs" e en italiano "funzione sigma", na maioría de resto de linguas denomínase "función divisor".

Para a función "número de divisores", úsase aproximadamente esa mesma nomenclatura mais as veces tamén a inclúen como función divisor, pola súa igualdade con .

En canto a función sumatorio da función divisor non atopamos moitas referencias sendo en inglés "Divisor summatory function" e en español "Función suma de divisores".

 Exemplos 
Por exemplo, σ0 (12) é o número dos divisores de 12:



mentres que σ1 (12) é a suma de todos os divisores:



e podemos ver tamén para a potencia 2



para a primeira potencia negativa temos


σ-1 ( n ) está relacionado co número abundante.

Para a función , función sumatorio da función divisor, , que é o sumatorio do número de divisores  para   de 0 ata un número determinado , temos por exemplo: .

 Táboa de valores 
Para , os casos z = 2 a 5 están listados desde a  ata a , para z = 6 a 24 están listados desde a  ata a .

 Propiedades 

 Fórmulas para potencias de primos 
Para un número primo p,


porque por definición, os factores dun número primo son 1 e el mesmo.
A maiores, se pn # denota o primorial (produto dos primeiros n primos), temos 
 .

A función divisor é multiplicativa (xa que cada divisor c do produto mn con  corresponde claramente cun divisor a de m e un divisor b de n), mais non completamente multiplicativa,



A consecuencia disto é que, se escribimos



onde r = ω(n) é o número de factores primos distintos de n, pi é o i-ésimo factor primo e ai é a potencia máxima de pi pola cal n é divisible, daquela temos: 



que, cando x ≠ 0, é equivalente á útil fórmula: 



Cando x = 0,  é: 



Por exemplo, se n é 24, hai dous factores primos (p1 é 2 e p2 é 3); tendo en conta que 24 é o produto de 23 × 31, a1 é 3 e a2 é 1. Así podemos calcular  do seguinte modo:



Os oito divisores contados por esta fórmula son 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 e 24.

 Outras propiedades e identidades 
Euler demostrou a notable recorrencia:  https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/175/, Découverte d'une loi tout extraordinaire des nombres par rapport à la somme de leurs diviseurs https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/542/, De mirabilis proprietatibus numerorum pentagonalium



onde  cando acontece, e  para , e  son pares consecutivos de números pentagonais xeneralizados (, comezando con desprazamento 1). De feito, Euler demostrou isto mediante a diferenciación logarítmica da identidade no seu teorema dos números pentagonais.

Tamén temos s (n) = σ (n) − n. Onde s(n) denota a suma dos divisores propios de n, é dicir, os divisores de n excluíndo o propio n . Esta función úsase para recoñecer números perfectos, que son os n tal que s(n) = n. Se s (n) > n, entón n é un número abundante, e se s (n) < n, entón n é un número deficiente.

Se  é unha potencia de 2, , entón  e , o que fai n case perfecto.

Como exemplo, para dous primos , e sexa

  .

Daquela




e




onde  é a función totiente de Euler.

Entón, as raíces de



e podemos expresar p e q só en termos de σ (n) e φ (n), sen necesidade de coñecemento de , como




En 1984, Roger Heath-Brown demostrou que a igualdade 

é certa para infinitos valores de , consulte .

 Relacións con series 
Dúas series de Dirichlet que inclúen a función divisor son: 



onde  é a función zeta de Riemann. 

A serie para d(n) = σ0 (n) dá: 



e unha identidade de Ramanujan 



que é un caso especial da convolución de Rankin-Selberg .

Unha serie de Lambert que inclúe a función divisor é: 



para dous complexos arbitrarios |q| ≤ 1 e a. Esta suma tamén aparece como a serie de Fourier da serie de Eisenstein e as invariantes das funcións elípticas de Weierstrass .

Para , hai unha representación explícita como serie coa suma de Ramanujan  como:  



O cálculo dos primeiros termos de  mostra as súas oscilacións arredor do "valor medio" :



 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 
.
 Bach, Eric; Shallit, Jeffrey, Algorithmic Number Theory, volume 1, 1996, MIT Press.  , see page 234 in section 8.8.












Outros artigos
 Función totiente de Euler
 Táboa de divisores

 Ligazóns externas 


 Elementary Evaluation of Certain Convolution Sums Involving Divisor Functions PDF of a paper by Huard, Ou, Spearman, and Williams. Contains elementary.

Categoría:Teoría de números
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas