Relación transitiva

En matemáticas, unha relación binaria  nun conxunto  é transitiva se, para todos os elementos , ,  en , sempre que  relaciona  con  e  con , entón  tamén relaciona  con .

Toda orde parcial e toda relación de equivalencia son transitivas. Por exemplo, a desigualdade e a igualdade entre os números reais son ambas as dúas transitivas: Se  e  entón ; e se  e  entón  .

 Definición 

Unha relación homoxénea  no conxunto  é unha relación transitiva se, 

 para todo , se  e , entón .

Ou en termos de lóxica de primeira orde:

 ,

onde  é a notación infixa para .

 Exemplos 
Como exemplo non matemático, a relación "é ascendente de" é transitiva. Por exemplo, se Paz é ascendente de Belén e Belén é ascendente de Nuno, daquela Paz tamén é ascendente de Nuno.

"É maior que", "é polo menos tan grande como" e "é igual a" son relacións transitivas en varios conxuntos, por exemplo, o conxunto de números reais ou o conxunto de números naturais:

 sempre que x > y e y > z, entón tamén x > z,
 sempre que x ≥ y e y ≥ z, entón tamén x ≥ z,
 sempre que x = y e y = z, entón tamén x = z.

Máis exemplos de relacións transitivas:

 "é un subconxunto de" (inclusión de conxuntos, unha relación entre conxuntos)
 "divide" (divisibilidade, unha relación entre números naturais)
 "implica" (implicación, simbolizada por "⇒", unha relación entre proposicións)

Exemplos de relacións non transitivas:

 "é o sucesor de" (unha relación sobre números naturais)
 "é perpendicular a" (unha relación en liñas en xeometría euclidiana)

A relación baleira en calquera conxunto  é transitiva  porque non hai elementos  tal que  e , e polo tanto a condición de transitividade é vacuamente verdadeira. Unha relación  que contén só un par ordenado tamén é transitiva: se o par ordenado é da forma  para algúns  os únicos elementos deste tipo  son , e de feito neste caso , mentres que se o par ordenado non é da forma  entón non hai tales elementos  e polo tanto  é vacuamente transitivo.

 Propiedades 

 Propiedades de pechamento 

 A inversa dunha relación transitiva é sempre transitiva. Por exemplo, sabendo que "é un subconxunto de" é transitiva e que "é un superconxunto de" é a súa inversa, pódese concluír que esta última tamén é transitiva.
 A intersección de dúas relacións transitivas é sempre transitiva.   Por exemplo, sabendo que "naceu antes" e "ten o mesmo nome que" son transitivas, pódese concluír que "naceu antes e tamén ten o mesmo nome que" tamén é transitiva.
 A unión de dúas relacións transitivas non ten por que ser transitiva. Por exemplo, "naceu antes ou ten o mesmo nome que" non é unha relación transitiva.
 O complemento dunha relación transitiva non ten por que ser transitiva. Por exemplo, mentres "igual a" é transitiva, "non igual a" só é transitiva en conxuntos cun elemento como máximo.

 Outras propiedades 
Unha relación transitiva é asimétrica se e só se é irreflexiva. Lemma 1.1 (iv). 

Unha relación transitiva non ten por que ser reflexiva. Cando o é, chámase preorde. Por exemplo, no conxunto X = {1,2,3}:

 R = { (1,1), (2,2), (3,3), (1,3), (3,2) } é reflexiva, pero non transitiva, xa que o par (1,2) está ausente,
 R = { (1,1), (2,2), (3,3), (1,3) } é reflexiva e transitiva, polo que é unha preorde,
 R = { (1,1), (2,2), (3,3) } é reflexiva e transitiva, tamén é unha preorde.

 Tipos de relación que requiren transitividade 

 Preorde: unha relación reflexiva e transitiva
 Orde parcial: unha preorde antisimétrica
 Preorde total: unha orde previo conectado (anteriormente chamado total).
 Relación de equivalencia: unha preorde simétrica
 Orde débil estrita: unha orde parcial estrita na que a incomparabilidade é unha relación de equivalencia
 Orde total: relación conexa (total), antisimétrica e transitiva

 Contando as relacións transitivas 
Non se coñece ningunha fórmula xeral que conte o número de relacións transitivas nun conxunto finito . No entanto, existe unha fórmula para atopar o número de relacións que son simultaneamente reflexivas, simétricas e transitivas, é dicir, relacións de equivalencia     , as simétricas e transitivas, as simétricas, transitivas., e antisimétricas, e as que son totais, transitivas e antisimétricas. Pfeiffer  fixo algúns progresos nesta dirección, expresando relacións con combinacións destas propiedades en termos entre si, mais aínda é difícil calcular calquera en si mesma. Véxase tamén Brinkmann e McKay (2005).

 Propiedades relacionadas 
Unha relación R chámase intransitiva se non é transitiva, é dicir, se xRy e yRz, pero non xRz, para algúns x, y, z. Pola contra, unha relación R chámase antitransitiva se xRy e yRz sempre implican que non se cumpre xRz. Por exemplo, a relación definida por xRy se xy é un número par é intransitiva,posto que, por exemplo, 3R4 e 4R5, mais non 3R5 mais non antitransitiva.posto que, por exemplo, 2R3 e 3R4 e 2R4 A relación definida por xRy se x é par e y é impar é transitiva e antitransitiva.posto que xRy eyRz nunca pode acontecer A relación definida por xRy se x é o número sucesor de y é tanto intransitiva posto que, por exemplo, 3R2 e 2R1, mais non 3R1 como antitransitiva.posto que, máis xeneralmente, xRy e yRz implica x=y+1=z+2≠z+1, isto é, non xRz, para todos os x, y, z

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 


Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, .

 Pfeiffer, G. (2004). Counting transitive relations. Journal of Integer Sequences, 7(2), 3.

 Outros artigos 
 Relación simétrica.
 Relación reflexiva.
 Ligazóns externas 

 Transitivity in Action at cut-the-knot

Categoría:Teoría de conxuntos
Categoría:Teoría da orde
Categoría:Álxebra
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas