Imaxe (matemáticas)

En matemáticas, para unha función , a imaxe dun valor de entrada  é o valor de saída producido por  cando se aplica a . A preimaxe dun valor de saída  é o conxunto de valores do dominio que producen .

Xeneralizando, avaliar  para cada elemento dun subconxunto dado  do seu dominio  produce un conxunto chamado "imaxe de  baixo ". De xeito semellante, a imaxe inversa (ou preimaxe) dun subconxunto dado  do codominio  é o conxunto de todos os elementos de  que producen un elemento de 

A imaxe da función  é o conxunto de todos os valores de saída que pode producir, é dicir, a imaxe de . A preimaxe de , é dicir, a preimaxe de  baixo , é igual a  (o dominio de ); por iso, este último concepto apenas se emprega.

A imaxe e a imaxe inversa poden definirse tamén para relacións binarias, non só para funcións.

miniatura|  é unha función do dominio  no codominio  O óvalo amarelo por dentro de  é a imaxe de 

 Definición 
A palabra "imaxe" úsase de tres formas relacionadas. Nestas definicións,  é unha función do conxunto  no conxunto .

 Imaxe dun elemento 
Se  é membro de  entón a imaxe de  baixo  denotado como  é o valor de  cando se aplica a   coñécese alternativamente como a saída de  para o argumento .

Dado  a función  dise que toma o valor  se existe algún  no dominio da función tal que .

 Imaxe dun subconxunto 
Sexa  unha función. A imaxe baixo  dun subconxunto  de  é o conxunto de tódolos  para  Desígnase por  ou por  cando non hai risco de confusión. Esta definición pódese escribir como  Sect.8

 Imaxe dunha función 
A imaxe dunha función é a imaxe de todo o seu dominio, tamén coñecida como o rango da función. Este último uso debería evitarse porque a palabra "rango" tamén se usa habitualmente para significar o codominio de .

 Xeneralización a relacións binarias 
Se  é unha relación binaria arbitraria en  entón o conxunto  para algún  chámase imaxe ou rango de  Dualmente, o conxunto  para algún  chámase dominio de 

 Preimaxe ou imaxe inversa 
Sexa  unha función de  en  A preimaxe ou imaxe inversa dun conxunto  baixo  denotado como  é o subconxunto de  definido porPor exemplo, para a función  a preimaxe  de  sería  Se non hai risco de confusión,  pode denotarse por . A notación  non se debe confundir coa de función inversa, aínda que coincide coa habitual das bixeccións en que a imaxe inversa de  baixo  é a imaxe de  baixo 

 Exemplos 

  definido por 
A imaxe do conxunto  baixo  é  A imaxe da función  é  A preimaxe de  é  A preimaxe de  é tamén  A preimaxe de  baixo  é o  conxunto baleiro 

  definido por 
A imaxe of  baixo  é  e a imaxe de  é  (o conxunto de todos os números reais positivos e cero). A preimaxe de  baixo  é  A preimaxe do conxunto  baixo  é o conxunto baleiro, porque os números negativos non teñen raíz cadrada nos reais.
  definido por 
As fibras  son circunferencias concéntricas aorredor da orixe, a propia orixe e o conxunto baleiro, dependdendo do valor de , se (respectively). (No caso de  daquela a fibra é o conxunto de todos os   que satisfán a ecuación  isto é, as circunferencias centradas na orixe con raio )
 Se  é unha variedade e  e a  proxección canónica desde fibrado tanxente  en  entón as fibras de  son os espazos tanxentes  isto é tamén un exemplo de fibrado tanxente.
 Un grupo cociente é unha imaxe homomorfa.

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 

 .




Categoría:Funcións