Lema de Euclides

En álxebra e teoría de números, o lema de Euclides recolle unha propiedade fundamental dos números primos, a saber: 

Vemos un exemplo, se , , , entón , e dado que isto é divisible por 19, o lema implica que un ou os dous de 133 ou 143 tamén son divisibles por 19. De feito, .

Se a premisa do lema non se cumpre, é dicir,  é un número composto, o seu resultado pode ser verdadeiro ou falso. Por exemplo, no caso de , , , o número composto 10 divide , pero 10 non divide nin 4 nin 15.

Esta propiedade é a clave na demostración do teorema fundamental da aritmética.  Utilízase para definir elementos primos, unha xeneralización de números primos a aneis conmutativos arbitrarios. O lema de Euclides mostra que nos números enteiros os  elementos irredutibles tamén son elementos primos. A proba usa a indución polo que non aplica a todos os dominios de integridade.

 Formulacións 
O lema de Euclides úsase habitualmente na seguinte forma equivalente:

O lema de Euclides pódese xeneralizar do seguinte xeito de números primos a calquera número enteiro.

 Historia 
O lema aparece primeiro como proposición 30 no Libro VII dos Elementos de Euclides. Está incluído en practicamente todos os libros que abranguen a teoría elemental de números.     

A xeneralización do lema a números enteiros apareceu no libro de texto de Jean Prestet Nouveaux Elémens de Mathématiques en 1681.

 Proba 

 Usando a identidade de Bézout 
Nas matemáticas modernas, unha demostración común implica a identidade de Bézout, que era descoñecida na época de Euclides. A identidade de Bézout afirma que se  e  son enteiros primos (é dicir, non comparten divisores comúns distintos de 1 e −1) existen números enteiros  e  tales que



Sexan  e  coprimos, e supoña que . Pola identidade de Bézout, existen  e  tal que



Multiplicanso os dous lados por :



O primeiro termo da esquerda é divisible por , e o segundo termo é divisible por , que por hipótese é divisible por . Polo tanto, a súa suma, , tamén é divisible por .

 Proba do tratado Elementos 
O lema de Euclides está demostrado na Proposición 30 do Libro VII dos Elementos de Euclides. A proba orixinal é difícil de entender tal como é, polo que podemos consultar o comentario de .

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
.

.

.
.
 Outros artigos 
Identidade de Bézout
Algoritmo de Euclides
Teorema fundamental da aritmética
Elemento primo
Número primo
Ideal primo
 Ligazóns externas 

Categoría:Teoría de números
Categoría:Álxebra
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas