Teorema de Sard

En matemáticas, o teorema de Sard, tamén coñecido como lema de Sard ou teorema de Morse-Sard, é un resultado da análise matemática que afirma que o conxunto de valores críticos (é dicir, a imaxe do conxunto de puntos críticos) dunha función suave f dun espazo ou variedade euclidiana a outro é un conxunto nulo, é dicir, ten unha medida de Lebesgue 0. Isto fai que o conxunto de valores críticos sexa "pequeno" no sentido dunha propiedade xenérica. O teorema recibe o nome de Anthony Morse e Arthur Sard.

 Enunciado 
Sexa, 



, (é dicir,  veces continuamente diferenciable), onde . Se  denota o conxunto crítico de  que é o conxunto de puntos  no que a matriz xacobiana de  ten rango , daquela a imaxe  ten unha medida de Lebesgue 0 en .

Falando intuitivamente, isto significa que aínda que  pode ser grande, a súa imaxe debe ser pequena no sentido da medida de Lebesgue: mentres  pode ter moitos puntos críticos no dominio , debe ter poucos valores críticos na imaxe .

De forma máis xeral, o resultado tamén vale para os mapas entre variedades diferenciábeis  e  de dimensións  e , respectivamente. O conxunto crítico  dunha función 



consiste naqueles puntos nos que o diferencial nos fibrados tanxentes



ten rango inferior a  como transformación lineal. Se , entón o teorema de Sard afirma que a imaxe de  ten medida de Lebesgue cero como subconxunto de . Esta formulación do resultado segue a partir da versión para espazos euclidianos tomando un conxunto numerábel de zonas de coordenadas. A conclusión do teorema é unha enunciado local, xa que unha unión numerábel de conxuntos de medida cero é un conxunto de medida cero, e a propiedade dun subconxunto dunha zona de coordenadas que ten medida cero é invariante baixo un difeomorfismo.

 Variantes 
Existen moitas variantes deste lema, que xoga un papel básico na teoría da singularidade entre outros campos. O caso  foi probado por Anthony P. Morse en 1939, e o caso xeral por Arthur Sard en 1942.

Stephen Smale probou unha versión para variedades de Banach de dimensións infinitas.

A afirmación é bastante potente e a proba implica análise. En topoloxía cítase a miúdo (como no teorema do punto fixo de Brouwer e algunhas aplicacións na teoría de Morse) para demostrar o corolario máis débil de que “un mapa suave non constante ten polo menos un valor regular”.

En 1965 Sard xeneralizou aínda máis o seu teorema para afirmar que se  é  para  e se  é o conxunto de puntos  tal que  ten un rango estritamente inferior a , entón a medida de Hausdorff r-dimensional de  é cero.  En particular, a dimensión de Hausdorff  é como máximo r. Advertencia: a dimensión de Hausdorff  pode estar arbitrariamente próxima a r.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 



Categoría:Topoloxía
Categoría:Teoremas