Automorfismo

En matemáticas, un automorfismo é un isomorfismo dun obxecto matemático en si mesmo. É, en certo sentido, unha simetría do obxecto e unha forma de mapear o obxecto en si mesmo conservando toda a súa estrutura. O conxunto de todos os automorfismos dun obxecto forma un grupo, chamado grupo de automorfismos.  

 Definición 
Nunha estrutura alxébrica como un grupo, un anel ou espazo vectorial, un automorfismo é simplemente un homomorfismo bixectivo dun obxecto en si mesmo.

Para un obxecto dalgunha categoría, un automorfismo é un morfismo do obxecto en si mesmo que ten un morfismo inverso; é dicir, un morfismo  é un automorfismo se hai un morfismo  tal que  onde  é o morfismo de identidade de . 

 Grupo de automorfismos 
Os automorfismos dun obxecto  forman un grupo baixo composición de morfismos, que se chama grupo de automorfismos de .

O grupo de automorfismos dun obxecto  nunha categoría  denomínase a miúdo , ou simplemente Aut (X) se a categoría esta clara no contexto.

 Exemplos 

 En teoría de conxuntos, unha permutación arbitraria dos elementos dun conxunto X é un automorfismo. O grupo de automorfismos de X tamén se chama o grupo simétrico en X.
 En aritmética elemental, o conxunto de enteiros, Z, considerado como un grupo baixo adición, ten un automorfismo non trivial único: a negación. Porén, considerado como un anel, só ten o automorfismo trivial. En xeral, a negación é un automorfismo de calquera grupo abeliano, pero non dun anel ou dun corpo.
 Un automorfismo de grupo é un isomorfismo de grupos dun grupo en si mesmo. Informalmente, é unha permutación dos elementos do grupo de tal xeito que a estrutura permanece inalterada. Para cada grupo G hai un homomorfismo de grupo natural G → Aut(G) cuxa imaxe é o grupo Inn(G) de automorfismos internos e cuxo kernel é o centro de G Así, se G ten un centro trivial pode ser inserido no seu propio grupo de automorfismos.
 En álxebra linear, un endomorfismo dun espazo vectorial V é un operador lineal V → V. Un automorfismo é un operador linear invertible en V. Cando o espazo vectorial é de dimensión finita, o grupo de automorfismos de V é o mesmo que o grupo linear xeral GL(V). 
 Un automorfismo de corpos é un  homomorfismo de anel bixectivo dun corpo en si mesmo. 
 O corpo  dos números racionais non ten outro automorfismo que a identidade, xa que un automorfismo debe fixar a identidade aditiva  e a identidade multiplicativa .
 O corpo  dos números reais non ten outro automorfismo que a identidade. 
 O corpo  dos números complexos, ten un único automorfismo non trivial, que envía  a  a conxugación complexa. Por outro lado, hai infinitamente moitos (incontables) automorfismos, se asumimos o axioma de escolla.
 O estudo dos automorfismos das extensións de campo alxébrico é o punto de partida e o principal obxecto da Teoría de Galois.
 O grupo de automorfismos dos cuaternións (H) como un anel son os automorfismos internos, polo teorema de Skolem-Noether son os mapas da forma . Este grupo é isomorfo a SO (3), o grupo de rotacións no espazo tridimensional.
 O grupo de automorfismos dos octonións (O) é o  grupo de Lie G2.
 En teoría de grafos un automorfismo dun grafo é unha permutación dos nodos que conserva arestas e non arestas. En particular, se dous nodos están unidos por unha aresta, tamén o están as súas imaxes baixo a permutación.
 En xeometría, un automorfismo pode ser chamado un movemento no espazo. Tamén se usa terminoloxía especializada:
 En espazo métrico un automorfismo é unha auto-isometría. O grupo de automorfismos tamén se chama o grupo de isometrías.
 Na categoría dsa superficies de Riemann, un automorfismo é un mapa biholomorfo  (tamén chamado a mapa conforme), dunha superficie en si mesma. Por exemplo, os automorfismos da esfera de Riemann son transformacións de Möbius.
 Un automorfismo dunha variedade M é un difeomorfismo de M en si mesmo. O grupo de automorfismos denótase Diff(M).
 En topoloxía, os morfísmos entre espazos topolóxicos son chamados mapas continuos, e un automorfismo dun espazo topolóxico é un homeomorfismo do espazo en si mesmo, ou auto-homeomorfismo (ver grupo de homeomorfismos). Neste exemplo non é abondo que un morfismo sexa bixectivo para ser un isomorfismo.

 Automorfismos internos e externos 
Nalgunhas categorías, en particular grupos, aneis e álxebras de Lie, é posible separar os automorfismos en dous tipos, chamados automorfismos "interiores" e "exteriores". Nalgunhas categorías, en particular grupos, aneis e álxebras de Lie, é posible separar os automorfismos en dous tipos, chamados automorfismos "interiores" e "exteriores".

No caso dos grupos, os automorfismos internos son as conxugacións polos elementos do propio grupo. Para cada elemento a dun grupo G, a conxugación por a é a operación  dada por  (ou a−1 ga). Pódese comprobar facilmente que a conxugación por a é un automorfismo de grupo. Os automorfismos internos forman un subgrupo normal de Aut( G ), denotado por Inn(G); isto chámase lema de Goursat.

Os outros automorfismos chámanse automorfismos externos. O grupo cociente  adoita denotarse por Out(G); os elementos non triviais son as coclases (cosets) que conteñen os automorfismos exteriores.

A mesma definición vale para calquera anel ou álxebra onde  é calquera elemento invertible. Para as álxebras de Lie a definición é lixeiramente diferente.
 Notas 

 Véxase tamén 

 Outros artigos 
 Anel de endomorfismos
 Automorfismo de Frobenius
 Morfismo
 Ligazóns externas 
 Automorphism at Encyclopaedia of Mathematics


Categoría:Simetría
Categoría:Álxebra abstracta