Función inversa

En matemáticas, a función inversa dunha función   (ou simplemente inversa de  ) é unha función que desfai a operación de  . A inversa de  existe se e só se  é bixectiva, e se existe, denotase por 

Para unha función , a súa inversa  admite unha descrición explícita: envía cada elemento  ao elemento único  tal que .

Como exemplo, considere a función con valores reais dunha variable real dada por . Para desfacer isto, temos a inversa de   , que sería a función  definida por 

 Definicións 
dereita|miniatura|240x240px| Se  mapea  en , entón  mapea  de novo en .
Sexa  unha función cuxo dominio é o conxunto  e cuxo codominio é o conxunto  Entón  é invertible se existe unha función  de  a  tal que  para todos os  e  para todos os .

Se  é invertible, entón hai exactamente unha función  que satisfai esta propiedade.

A función  é invertible se e só se é bixectiva. Isto é porque a condición  para todos os  implica que  é Inxectiva e a condición  para todos os  implica que  é sobrexectiva.

 Inversas e composición 
Lembre que se  é unha función invertible con dominio  e codominio , entón

 , para cada  e  para cada .

Usando a composición de funcións, esta afirmación pódese reescribir coas seguintes ecuacións entre funcións:

  e 

onde  é a función de identidade no conxunto ; é dicir, a función que deixa o seu argumento sen mudar. Na teoría de categorías, esta afirmación úsase como definición dun morfismo inverso.

 Notación 
Hai que ter coidado coa confusión na notación entre a función inversa e o inverso multiplicativo. Moitas veces o recíproco ou inverso multiplicativo usa a mesma nomenclatura e temos que prestar atención á notación.

Un exemplo típico é  que denota a función inversa do seno que sería o arco cuxo seno é  que denotamos tamén como . Isto sería diferente ao recíproco do seno 

Para outras funcións debemos ter o mesmo coidado, como no exemplo da introdución temos 

.  

 Exemplos 

 Funcións do cadrado e da raíz cadrada 
A función  dada por  non é inxectiva porque  para tódolos . Polo tanto,    non é invertible se consideramos o dominio completo.

Se o dominio da función restrinxímolo aos reais non negativos, é dicir, tomamos a función  coa mesma regra que antes, entón a función é bixectiva e, polo tanto, invertible.  A función inversa aquí denomínase función raíz cadrada (positiva) e denotase por  .

 Funcións inversas estándar 
A seguinte táboa mostra varias funcións estándar e as súas inversas:
+Funcións aritméticas inversas Función  Inversa  Notas         (isto é, )  (isto é, )    (isto é, )  se  é par; enteiro     e     e  funcións trigonométricas funcións trigonométricas inversas varias restricións (ver táboa embaixo de inversas parciais) función hiperbólica funcións hiperbólicas inversas varias restricións 

 Propiedades 

 Unicidade 
Se existe unha función inversa para unha función  dada, entón é única. 

 Simetría 
Hai unha simetría entre unha función e a súa inversa. En concreto, se  é unha función invertible con dominio  e codominio , entón a súa inversa  ten dominio  e imaxe , e a inversa de  é a función orixinal  .

Esta afirmación é consecuencia da implicación de que para que  sexa invertible debe ser bixectiva. 



dereita|miniatura|240x240px| O inverso de  é  .
A inversa dunha composición de funcións vén dada por 



Observe que a orde de  e   foron invertidas; para desfacer  seguido de , primeiro debemos desfacer , e despois desfacer  .

Por exemplo, sexa  e sexa . Entón a composición  é a función que primeiro multiplica por tres e despois suma cinco,



Para inverter este proceso, primeiro debemos restar cinco e despois dividir entre tres,



Esta é a composición .

 Autoinversas 
Se  é un conxunto, entón a función de identidade en  é a súa propia inversa:



Máis xeralmente, unha función  é igual á súa propia inversa, se e só se a composición  é igual a  . Tal función chámase involución.

 Gráfica da inversa 
dereita|miniatura| As gráficas de  e . A liña de puntos é .
Se  é invertible, entón a gráfica da función



é a mesma que a gráfica da ecuación



 Inversas e derivadas 
O teorema da función inversa afirma que unha función continua  é invertible no seu rango (imaxe) se e só se é estritamente crecente ou decrecente (sen máximos ou mínimos locais). Por exemplo, a función



é invertible, xa que a derivada  é sempre positiva.

Se a función  é derivable nun intervalo  e  para cada , entón a inversa  é derivable en  . Se , a derivada da inversa vén dada polo teorema da función inversa,



Usando a notación de Leibniz a fórmula anterior pódese escribir como



Este resultado despréndese da regra da cadea da diferenciación.

O teorema da función inversa pódese xeneralizar a funcións de varias variables. En concreto, unha función multivariable diferenciable  é invertible nunha veciñanza dun punto  sempre que a matriz xacobiana de  en  sexa invertible. Neste caso, o xacobiano de  en  é a matriz inversa do xacobiano de  en .

 Xeneralizacións 
Inversas parciais
[[Image:Inverse square graph.svg|thumb|dereita|A raíz cadrada de  é unha inversa parcial de {{math|1= f(x) = ' 'x2}}.]]
Aínda que unha función  non sexa un a un (inxectiva), pode ser posíbel definir unha inversa parcial de  mediante unha restricción do dominio. Por exemplo, a función



non é un a un, xa que . No entanto, a función pasa a ser un a un se restrinximos ao dominio , nese caso



(Se en troques restrinximos ao dominio , entón o inverso é o negativo da raíz cadrada de ). Alternativamente, non hai que restrinxir o dominio se nos conformamos con que a inversa sexa unha función multivalor:



Ás veces, este inverso multivalor chámase inverso completo de , e as porcións (como  e −) chámanse ramas. A rama máis importante dunha función multivalor (por exemplo, a raíz cadrada positiva) chámase rama principal, e o seu valor en  chámase valor principal de .

Para unha función continua na liña real, é necesaria unha rama entre cada par de extremos locais. Por exemplo, a inversa dunha función cúbica cun máximo local e un mínimo local ten tres ramas (ver a imaxe adxacente).

Estas consideracións son particularmente importantes para definir as inversas das funcións trigonométricas. Por exemplo, a función seno non é un a un, xa que



para cada  real (e máis xeralmente  para cada número enteiro ). Non obstante, o seno é un a un no intervalo
[, ], e a inversa parcial correspondente chámase arcoseno. Esta é considerada a rama principal do seno inverso, polo que o valor principal do seno inverso está sempre entre − e . A seguinte táboa describe a rama principal de cada función trigonométrica inversa:
funciónIntervalo do valor principal habitual arcsin   arccos   arctan   arcot   arcsec   arccsc  
Inversos pola esquerda e pola dereita
A composición de funcións pola esquerda e pola dereita poden non coincidir. En xeral, as condicións
 "Existe  tal que " e
 "Existe  tal que "
implica propiedades diferentes de . Por exemplo, denotamos  o mapa de cadrados, de tal xeito que  para todos os  en , e denotamos  → R como o mapa da raíz cadrada, tal que  para todos os . Entón  para todos os  en [ 0, ∞); é dicir,  é unha inversa pola dereita de . No entanto,  non é unha inversa pola esquerda de , xa que, por exemplo, .

Inversos pola esquerda
Se , temos que unha inversa pola esquerda para  (ou retracción de  ) é unha función  de tal xeito que compoñer  con  desde a esquerda dá a función identidade : Isto é, a función  cumpre a regra
 Se , entón .

A función  debe ser igual á inversa de  na imaxe de , mais pode tomar calquera valor para elementos de  que non sexan a imaxe.

Unha función  con dominio non baleiro é inxectiva se e só se ten unha inversa pola esquerda.

En matemáticas clásicas, toda función inxectiva  cun dominio non baleiro ten necesariamente unha inversa pola esquerda; porén, isto pode fallar nas matemáticas construtivas. 

Inversas pola dereita
Unha inversa pola dereita para  (ou sección de  ) é unha función  tal que



É dicir, a función  cumpre a regra

 Se , entón 

Así,  pode ser calquera dos elementos de  que se asigna a  baixo .

Unha función  ten unha inversa pola dereita se e só se é sobrexectiva (aínda que construír tal inversa en xeral require o axioma da escolla).

 Se  é a inversa pola dereita de , entón  é sobrexectiva. Para todo , hai  tal que .
 Se  é sobrexectiva,  ten unha inversa pola dereita , que se pode construír do seguinte xeito: para todo , hai polo menos un  tal que  (porque  é sobrexectiva), polo que escollemos un deles para ser o valor de .

Inversas bilaterais
Unha inversa que sexa á vez pola esquerda e pola dereita (unha inversa bilateral), se existe, debe ser única. De feito, se unha función ten unha inversa pola esquerda e outra pola dereita, ambas son a mesma inversa a dúas caras, polo que se pod chamar simplemente inversa.
 Se  é unha inversa pola esquerda e  unha inversa pola dereita de , para todo , .

Unha función ten unha inversabilateral se e só se é bixectiva.

Preimaxes
Se  é calquera función (non necesariamente invertíbel), a preimaxe (ou a imaxe inversa)  dun elemento  defínese como o conxunto de todos os elementos de  que se asignan a :



A preimaxe de  pódese pensar como a imaxe de  baixo o inverso completo (multivalor) da función .

Do mesmo xeito, se  é calquera subconxunto de , a preimaxe de , denotada como , é o conxunto de todos os elementos de  que se asignan a :



Por exemplo, tome a función . Esta función non é invertíbel xa que non é bixectiva, mais pódense definir preimaxes para subconxuntos do codominio, por exemplo.

 .

A preimaxe dun só elemento  (un conxunto unitario ), ás veces chámase fibra de . Cando  é o conxunto de números reais, é común referirse a  como un conxunto de nivel''.
 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 







 Outros artigos 
 Extremos dunha función.
 Derivada.
 Ligazóns externas 


Categoría:Álxebra
Categoría:Funcións
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas