Elemento maximal e minimal

En matemáticas, especialmente na teoría da orde, un elemento maximal dun subconxunto  dalgúns conxuntos preordenados é un elemento de  que non é menor que calquera outro elemento en . Un elemento minimal dun subconxunto  de algún conxunto preordenado está definido dualmente como un elemento de  que non é maior que calquera outro elemento en .

As nocións de elementos maximal e minimal son máis febles que as de elemento maior e menor que tamén se coñecen, respectivamente, como máximo e mínimo. O máximo dun subconxunto  dun conxunto preordenado é un elemento de  que é maior ou igual a calquera outro elemento de  e o mínimo de  volve a definirse de forma dual. No caso particular dun conxunto parcialmente ordenado, mentres que pode haber como moito un máximo e como moito un mínimo pode haber varios elementos maximais ou minimais. .  Nos conxuntos totalmente ordenados, coinciden as nocións de elemento maximal e máximo, e de elemento minimal e mínimo.

Como exemplo, na colecciónordenado por inclusión, o elemento {d, o} é mínimal xa que non contén conxuntos na colección, o elemento {g, o, a, d } é maximal xa que non hai conxuntos na colección que o conteñan, o elemento {d, o, g} non é ningún non é nin minimal nin maximal e o elemento {o, a, f } pola contra ten as dúas propiedades é minimal e maximal. En contraste, non existe nin un máximo nin un mínimo para 

O lema de Zorn afirma que todo conxunto parcialmente ordenado para o cal cada subconxunto totalmente ordenado ten un elemento maiorante contén polo menos un elemento maximal. Este lema é equivalente ao teorema da boa orde (ou de Zermelo) e ao axioma de escolla  e implica resultados importantes noutras áreas matemáticas como o teorema de Hahn-Banach, o teorema de Kirszbraun, o teorema de Tychonoff, a existencia dunha base de Hamel para cada espazo vectorial e a existencia dun pechamento alxébrico para todo corpo.

 Definición 
Sexa  un conxunto preordenado e sexa  

Un elemento maximal de S en relación a ≤ é un elemento  tal que

 se  satisfai  entón necesariamente 

Do mesmo xeito, un elemento minimal de S en relación a ≤ é un elemento  tal que 

 se  satisface  entón necesariamente 

De forma equivalente,  é un elemento minimal de  en relación a  se e só se  é un elemento máximo de  en relación a  onde por definición,  se e só se  (para todos os  ).

Se o subconxunto  non se especifica entón debe supoñerse que  

Se o conxunto preordenado  tamén é un conxunto parcialmente ordenado (ou, de xeito máis xeral, se a restrición  é un conxunto parcialmente ordenado) entón  é un elemento maximal de  se e só se  non contén ningún elemento estritamente maior que  explicitamente, isto significa que non existe ningún elemento  tal que  e  A caracterización de elementos minimais obtense mediante o uso de  en lugar de 

 Existencia e unicidade 
miniatura|200x200px| Un valado  
 consta só de elementos minimais e maximais (Exemplo 3).

Existencia: non ten por que existir un elemento maximal (nin minimal por dualidade).

 Exemplo 1: Sexa  onde  denota os números reais. Para tódolos  mais  (é dicir,  mais non ).
 Exemplo 2:Sexa  onde  denota os números racionais e onde  é irracional.

Unicidade: en xeral  é só unha orde parcial en  Se  é un elemento maximal e  entón pode ser posible que nin  nin  Isto deixa aberta a posibilidade de que existan máis dun elemento maximal (ou minimal por dualidade).

 Exemplo 3: No valado  todos os  son minimais e todos os  son maximais, como se mostra na imaxe.
 Exemplo 4: Sexa A un conxunto con polo menos dous elementos e sexa  o subconxunto do conxunto de partes  composto por subconxuntos unitarios, parcialmente ordenados por  Este sería un poset discreto onde non hai dous elementos comparables e, polo tanto, todos os elementos  son maximais (e neste caso tamén minimais); a maiores, para calquera distintos  nin  nin

 Elementos maiores 
Para un conxunto parcialmente ordenado  o núcleo irreflexivo de  denotase como  e defínese por  se  e  Para membros arbitrarios  aplícase exactamente un dos seguintes casos:

 ;
 ;
 ;
  e  son incomparables.

Dado un subconxunto  e algúns 

 se o caso 1 nunca aplica a ningún  entón  é un elemento maximal de 
 se os casos 1 e 4 nunca aplican a ningún  entón chamamos a  elemento maior de 

Así, a definición de elemento maior é máis forte que a de elemento maximal.

Se  satisfai a condición de cadea ascendente, un subconxunto  de  ten un elemento maior se, e só se, ten un elemento maximal. 

Se as nocións de elemento maximal e elemento maior coinciden en cada subconxunto de dous elementos  de  entón  é unha orde total en  Se  son incomparables, daquela  tería dous elementos maximal, mais ningún elemento maior, contradicindo a coincidencia. 

 Conxuntos dirixidos 
Nun conxunto dirixido, cada par de elementos (particularmente pares de elementos incomparables) ten un elemento maiorante común dentro do conxunto. Se un conxunto dirixido ten un elemento maximal, tamén é o seu maior elemento, Sexa  maximal. Sexa un  arbitrario. Daquela o elemento maiorante común  de  e  satisfai , así  por maximalidade. Posto que  cúmprese por definición de , temos que . De aquí que  é o elemento maior.  e, polo tanto, o seu único elemento maximal. Para un conxunto dirixido sen elementos maximais ou maiores, consulte os exemplos 1 e 2 anteriores.

Temos conclusións semellantes  para elementos mínimos.

Atópase máis información introdutoria na teoría da orde. .

 Propiedades 

 Cada subconxunto finito non baleiro  ten elementos maximais e minimais. Un subconxunto infinito pode non ter ningún deles, por exemplo, os enteiros  coa orde habitual.
 O conxunto de elementos maximais dun subconxunto  é sempre unha anticadea, é dicir, non hai dous elementos maximais diferentes de  que sexan comparables. O mesmo aplícase aos elementos minimais.

 Exemplos 

 Na eficiencia de Pareto, un óptimo de Pareto é un elemento maximal en relación á orde parcial da mellora de Pareto, e o conxunto de elementos maximais chámase fronteira de Pareto.
 Na teoría da decisión, unha regra de decisión admisible é un elemento maximal en relación á orde parcial da regra de decisión dominante.
 Na teoría moderna de carteiras, o conxunto de elementos maximais en relación á orde do produto sobre risco e rendibilidade chámase fronteira eficiente.
 Na teoría de conxuntos, un conxunto é finito se e só se toda familia de subconxuntos non baleira ten un elemento minimal cando se ordena pola relación de inclusión.
 En álxebra abstracta, o concepto de máximo común divisor é necesario xeneralizalo  ao concepto de máximos comúns divisores cando temos sistemas numéricos nos que os divisores comúns dun conxunto de elementos poden ter máis dun elemento maximal.
 En xeometría computacional, os máximos dun conxunto de puntos son maximais en relación á orde parcial por dominación de coordenada.

 Nocións relacionadas 
Un subconxunto  dun conxunto parcialmente ordenado  dise que é cofinal se para cada  hai algún  tal que  Todo subconxunto cofinal dun conxunto parcialmente ordenado con elementos maximais debe conter todos os elementos maximais.

Un subconxunto  dun conxunto parcialmente ordenado  dise que é un conxunto inferior de  se está pechado embaixo: se  e  entón  Cada conxunto inferior  dun conxunto ordenado finito  é igual ao conxunto inferior máis pequeno que contén todos os elementos maximais de 

Notas


 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Elemento maior e menor 
 Ínfimo e supremo 
 Elemento maiorante e minorante

Categoría:Teoría de conxuntos
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Teoría da orde