Elemento maior e menor

En matemáticas, especialmente na teoría da orde, o elemento maior  dun subconxunto  dun conxunto parcialmente ordenado (poset) é un elemento de  que é maior que calquera outro elemento de . O termo elemento menor  defínese de xeito dual, é dicir, é un elemento de  que é máis pequeno que calquera outro elemento de 

 Definicións 
Ao mudar de lado a relación de   na definición anterior, obtemos a definición dun elemento menor de . 

  para tódolos 

Sexa  un conxunto preordenado e sexa  Un elemento maiorante de  é un elemento  tal que  e  para todo  Importante, un elemento maiorante de  en  non se require que sexa un elemento de 

Se  é tamén un conxunto parcialmente ordenado  pode ter como moito un elemento maior e pode ter como moito un elemento menor. 

 Relación cos elemento maiorantes e minorantes 
O elemento maior está intimamente relacionado cos elementos maiorantes.

Sexa  un conxunto preordenado e sexa  Un elemento  dise que é 

un elemento maior de  se  tamén satisfai:

Se  daquela  é un elemento maior de  se e só se  é un elemento maiorante de  en  e  En particular, calquera elemento maior de  é tamén un elemento maiorante de  (en ) mais un elemento maiorante de  en  é un elemento de  se e só se pertence a    

Aínda que un conxunto teña algúns elementos maiorantes, pode non ter un elemento maior, como mostra o exemplo dos números reais negativos. Este exemplo tamén demostra que a existencia dun elemento que sexa o menor dos elementos maiorantes (o número 0 neste caso) tampouco non implica a existencia dun elemento maior (neste caso porque o 0 non pertence ao conxunto dos reais negativos).

 Contraste co elemento maximal e cos máximos locais/absolutos 
miniatura| Na orde de divisibilidade do debuxo superior, o subconxunto vermello  ten dous elementos máximos, a saber, 3 e 4, ningún dos cales é maior. Ten un elemento minimal, o 1, que tamén é o seu elemento menor.
Non se debe confundir un elemento maior dun subconxunto dun conxunto preordenado cun elemento máximal do conxunto, que son elementos que non son estritamente máis pequenos que calquera outro elemento do conxunto.

Sexa  un conxunto preordenado e sexa  Un elemento  dise que é un 

elemento maximal de S se se cumpre a seguinte condición:

 sempre que  satisfai  entón necesariamente 

Se   é un conxunto parcialmente ordenado  é un elemento máximal de  se e só se non existe ningún  tal que  e  Un 

elemento maximal  de (P, ≤) defínese como un elemento maximal do subconxunto 

Un conxunto pode ter varios elementos maximais sen ter un elemento maior. Do mesmo xeito que os elementos maiorantes e os elementos maximais, os elementos maiores poden non existir.

Nun conxunto totalmente ordenado coinciden o elemento maximal e o elemento maior; e tamén se di máximo; no caso dos valores de función tamén se denomina máximo absoluto, para evitar confusións cun máximo local.  A noción de "localidade" demanda que o domínio da función sexa, polo menos, un espazo topolóxico. Os termos duais para elemento minimal son mínimo e mínimo absoluto. Xuntos chámanse extremos absolutos. 

 Papel da incomparabilidade na distinción dos elementos maiores e máximais.

Unha das diferenzas máis importantes entre un elemento maior  e un elemento maximal  dun conxunto preordenado  ten que ver cos elementos cos que se pode comparar. Dous elementos  dise que son comparables se  ou ; chámanse incomparables se non son comparables. Como as preordes  son reflexivas (o que significa que  é certo para todos os elementos ), cada elemento  sempre é comparable consigo mesma. En consecuencia, os únicos pares de elementos que posiblemente poderían ser incomparables son pares distintos. En xeral, porén, os conxuntos preordenados (e mesmo os conxuntos parcialmente ordenados dirixidos) poden ter elementos incomparables.

Por definición, un elemento  é un elemento maior de  se  para cada ; polo que pola súa propia definición, un elemento maior de  debe, en particular, ser comparable a todos os elementos en  Isto non se require para os elementos maximais. Os elementos maximais de  non están obrigados a ser comparables con todos os elementos de  Isto débese a que, a diferenza da definición de "elemento maior", a definición de "elemento maximal" inclúe unha condición "se" importante. A condición da definición para que  sexa un elemento maximal de  pódese reformular como:

 Para todo  SE  (así ignoramos os elementos que son incomparables a ) entón 

 Exemplo onde todos os elementos son maximal mais ningún é maior

Supoñamos que  é un conxunto que conténpolomenos dous (distintos) elementos e definir unha orde parcial  en  declarando que  se e só se  
Se  pertence a  entón nin   nin  cúmprese, o que mostra que todos os pares de elementos distintos (é dicir, non iguais) en  son incomparables. 
En consecuencia,  non pode ter un elemento maior (porque un elemento maior de  en particular, tería que ser comparable a todo elemento de  mais  non ten tal elemento). 
Aínda así, todo elemento  é un elemento maximal de  porque hai exactamente un elemento en  que cumpre ambas as características, é comparable a  e é  sendo ese elemento o propio  (que, por suposto, é ).Naturalmente, neste exemplo en particular, só existe un elemento en  que é comparable a  polo que é necesariamente  propio, por tanto a segunda condición "e " é  redundante.

En contraste, se un conxunto preordenado  ten un elemento maior  entón  será necesariamente un elemento máximo de  e, ademais, como consecuencia de que o maior elemento  é comparable a todo elemento de  se  tamén está parcialmente ordenado entón é posible concluír que  é o único elemento maximal de  
Con todo, a conclusión de unicidade xa non está garantida se o conxunto preordenado  tampouco non é parcialmente ordenado. 
Por exemplo, supoñamos que  é un conxunto non baleiro e definimos unha preorden  en  declarando que  sempre se cumpre para todos os  O conxunto dirixido preordenado  está parcialmente ordenado se e só se  ten exactamente un elemento. Todos os pares de elementos de  son comparables e todo elemento de  é un elemento maior (e, polo tanto, tamén un elemento maximal) de  En particular, se  ten polo menos dous elementos daquela  ten varios  elementos maiores distintos.

 Propiedades 

Condicións suficientes

 Unha cadea finita sempre ten un elemento maior e un elemento menor.

Superior (top) e inferior (bottom) (nomenclatura a maiores en inglés)
Os elementos menor e maior de todo conxunto parcialmente ordenado xoga un papel especial e tamén se chama inferior (⊥) e superior (⊤), ou cero (0) e un (1), respectivamente.
Se ambos os dous existen, o poset chámase un poset limitado.
A notación de 0 e 1 úsase preferiblemente cando o conxunto é unha retícula complementada.
A existencia de elementos menores e maiores é unha propiedade especial de completitude dunha orde parcial.

Máis información introdutoria pódese ver na Galipedia na  teoría da orde.

 Exemplos 
miniatura|Diagrama de Hasse do segundo exemplo.

 O subconxunto de enteiros non ten elemento maiorante no conxunto  de números reais.
 Sexa a relación  en  dada por     O conxunto  ten elementos maiorantes  e  mais non ten un un elemento minorante que sexa menor, nin ten  elemento maior (ver imaxe).
 Nos números racionais, o conxunto de números co seu cadrado menor que 2 ten elemento maiorante mais ningún elemento maior e ningún elemento menor dos elementos maiorantes.
 En  o conxunto de números menores que 1 ten un elemento maiorante mínimo, a saber 1, mais ningún elemento maior.
 En  o conxunto de números menores ou iguais a 1 ten un elemento maior, a saber 1, que tamén é o seu elemento maiorante máis baixo.
 En  coa orde do produto, o conxunto de pares  con  non ten elemento maiorante.
 En  coa orde lexicográfica, este conxunto ten elementos maiorantes, por exemplo,  Non ten un elemento maiorante que sexa o menor.

Notas


 Véxase tamén 
 Bibliografía 

 outros artigos 
 Ínfimo e supremo
 Supremo esencial e ínfimo esencial
 Elemento maximal e minimal
 Límite superior e límite inferior
 Elemento maiorante e minorante

Categoría:Teoría de conxuntos
Categoría:Teoría da orde