Divisor

En matemáticas, un divisor dun número enteiro  tamén chamado factor de  é un número enteiro  que se pode multiplicar por algún número enteiro para producir   Neste caso, tamén se di que  é múltiplo de  Un número enteiro  é divisible por outro número enteiro  se  é un divisor de ; isto implica que ao dividir  por  non temos un resto.

 Definición 
Un número enteiro  é divisible por un número enteiro distinto de cero  se existe un número enteiro  tal que  A nomenclatura habitual é



En latex sería "m \mid n".

Isto pódese ler así  divide a   é un divisor de  é un factor de  ou  é múltiplo de  Se  non divide a  daquela a notación é   

Que en latex sería "m \not\mid n".

 Xeral 
Os divisores poden ser tanto negativos como positivos, aínda que moitas veces o termo está restrinxido a divisores positivos. Por exemplo, hai seis divisores de 4, que son 1, 2, 4, −1, −2 e −4, pero só se mencionarían os positivos (1, 2 e 4).

1, -1,  e  coñécense como divisores triviais de  Un divisor de  que non é un divisor trivial coñécese como un divisor non trivial (ou divisor estrito ). Un número enteiro distinto de cero con polo menos un divisor non trivial coñécese como número composto, mentres que as unidades −1 e 1 e os números primos non teñen divisores non triviais.

Os divisores propios son todos menos o número en si e o seu negativo, para o exemplo de 4 e tendo en conta só os divisores positivos, o 1 e o 2 son os divisores propios. 

Existen regras de divisibilidade que permiten recoñecer certos divisores dun número a partir dos díxitos do número.

 Exemplos 

 7 é un divisor de 42 porque  así podemos dicir  Tamén se pode dicir que 42 é divisible por 7, 42 é múltiplo de 7, 7 divide 42 ou 7 é un factor de 42.
 Os divisores non triviais de 6 son 2, − 2, 3, − 3.
 Os divisores positivos de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
 Os divisores positivos propios de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21.
 O conxunto de todos os divisores positivos de 60,  parcialmente ordenado pola divisibilidade, ten o diagrama de Hasse:

centro|350x350px

 Outras nocións e feitos 
Algunhas regras elementais:

 Se   e   entón  é dicir, a divisibilidade é unha relación transitiva.
 Se   e   entón  ou 
 Se   e   entón cúmprese que  , igual para a resta  

Se  e  entón   Isto denómínase lema de Euclides.

Se  é un número primo e  entón  ou 

Un número enteiro  cuxo único divisor propio é 1 chámase número primo. 

Calquera divisor positivo de  é un produto de divisores primos de  elevado a algunha potencia. Esta é unha consecuencia do teorema fundamental da aritmética .

Un número  dise que é perfecto se é igual á suma dos seus divisores propios, deficiente se a suma dos seus divisores propios é menor que  e abundante se esta suma supera 

O número total de divisores positivos de  é unha función multiplicativa  no caso de  e  seren relativamente primos, entón  Por exemplo,  ; Os oito divisores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42. Esta función tamén se pode escribir como a número cero das funcións sigma  

A suma dos divisores positivos de  é outra función multiplicativa  (p. ex  ). Esta última coñécese como función divisor e cada subíndice de sigma representa a potencia dos divisores cos que se fai a suma, por iso , pois os divisores elevados a cero é igual que contalos.

Se a factorización de  está dada polos primos



daquela o número de divisores positivos de  é



e cada un dos divisores ten a forma



onde  para cada 

Para cada número natural  temos 

 En álxebra abstracta 

 Teoría de aneis 

 Retícula de división 

Nas definicións que permiten que o divisor sexa 0, a relación de divisibilidade converte o conxunto  de enteiros non negativos nun conxunto parcialmente ordenado que é unha retícula distributiva completa. O elemento maior desta retícula é 0 e o menor é 1. A operación de encontro ∧ ven dada polo máximo común divisor e a operación de unión ∨ polo mínimo común múltiplo. Esta retícula é isomorfa ao dual da retícula de subgrupos do grupo cíclico infinito Z.

 Notas 



 Véxase tamén 
 Bibliografía 


 ; section B



 Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).



 Outros artigos 
 Funcións aritméticas
 Algoritmo euclidiano
 Fracción (matemáticas)
 Factorización de enteiros
 Táboa de factores primos – unha táboa de factores primos de 1 a 1000
 Divisor unitario
 Regras de Divisibilidade

Categoría:Matemáticas
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas