Número suave

En teoría de números, un número n-suave é un número enteiro cuxos factores primos son todos menores ou iguais a n. Por exemplo, un número  7-suave é un número cuxos factores primos son como máximo 7, polo que 49 = 7 2 e 15750 = 2 × 3 2 × 5 3 × 7 son ambos 7-suaves, mentres que 11 e 702 = 2 × 3 3 × 13 non son 7-suaves. O termo parece ser que foi acuñado por Leonard Adleman. Os números suaves son especialmente importantes na criptografía, que depende da factorización de números enteiros. Os números 2-suaves son só as potencias de 2, mentres que os números 5-suaves son coñecidos como números regulares.

 Definición 
Un número enteiro positivo chámase B-suave se ningún dos seus factores primos é maior que B . 

Por exemplo, 1620 ten factorización prima 22 × 34 × 5, polo tanto, 1620 é 5-suave porque ningún dos seus factores primos é maior que 5. Esta definición inclúe números que carecen dalgúns dos factores primos máis pequenos; por exemplo, tanto 10 como 12 son 5-suaves, aínda que perden os factores primos 3 e 5, respectivamente. Todos os números 5-suaves teñen a forma 2a × 3b × 5c, onde a, b e c son enteiros non negativos.

Aquí, teña en conta que B en si non está obrigado a aparecer entre os factores dun número B-suave. En moitos escenarios B é primo, mais tamén se permiten números compostos. Un número é B-suave se e só se é p-suave, onde p é o maior primo menor ou igual que B.

 Aplicación 
Unha aplicación práctica importante dos números suaves son os algoritmos da transformada rápida de Fourier (FFT) (como o algoritmo FFT de Cooley-Tukey ), que operan descompoñendo recursivamente un problema dun tamaño n dado en problemas do tamaño dos seus factores. Usando números B-suaves, asegúrase de que os casos base desta recursividade sexan números primos pequenos, para os que existen algoritmos eficientes. (Os tamaños primos grandes requiren algoritmos menos eficientes como o algoritmo FFT de Bluestein).

Os números n-suaves e n-potencia suave (ver abaixo) teñen aplicacións na teoría de números, como no  algoritmo p-1 de Pollard e no ECM (factorización de curvas elípticas de Lenstra). 

 Números potencia suave 
Temos tamén que m se chama  n-potencia suave  se todas as potencias primas  dividindo m satisfan:



Por exemplo, 720 (2 4 × 3 2 × 5 1) é 5-suave mais non 5-potencia suave (porque hai varias potencias primas superiores a 5, p. ex.  e  ).No entanto si que é 16-potencia suave xa que a súa maior potencia do factor primo é 24 = 16.

 Núemros suaves sobre un conxunto A 
Tamén se di que m é suave sobre un conxunto A se existe unha factorización de m onde os factores son potencias dos elementos en A. Por exemplo, xa que 12 = 4 × 3, temos que 12 é suave sobre os conxuntos A1 = {4, 3}, A2 = {2, 3}, no entanto, non sería suave sobre o conxunto A3 = {3, 5}, xa que 12 contén o factor 4 = 2 2, e nin 4 nin 2 están en A3.

Teña en conta que o conxunto A non ten que ser un conxunto de factores primos, pero normalmente é un subconxunto propio dos primos como se ve na base de factores do método de factorización de Dixon e na criba cadrática. Así mesmo, é o concepto que usa a criba xeral do corpo de números (GNFS), baixo o homomorfismo .

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 G. Tenenbaum, Introduction to analytic and probabilistic number theory, (AMS, 2015) 
 A. Granville, Smooth numbers: Computational number theory and beyond, Proc. of MSRI workshop, 2008

 Outros artigos 
 Teorema de Størmer.
 Ligazóns externas 

A OEIS, On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, 
lista números B-suaves para pequenos Bs:
 2-smooth numbers: A000079 (2i)
 3-smooth numbers: A003586 (2i3j)
 5-smooth numbers: A051037 (2i3j5k)
 7-smooth numbers: A002473 (2i3j5k7l)
 11-smooth numbers: A051038 (etc...)
 13-smooth numbers: A080197
 17-smooth numbers: A080681
 19-smooth numbers: A080682
 23-smooth numbers: A080683

Categoría:Teoría de números
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas