Contraposición

En lóxica e matemáticas, a contraposición refírese á inferencia de pasar dun enunciado condicional ao seu contrapositivo loxicamente equivalente, máis un método de demostración asociado coñecido como proba por contrapositiva. Na contrapositiva dun enunciado, o antecedente e o consecuente son invertidos e negados: a contrapositiva de    é, por tanto, . Por exemplo, a proposición "Todos os morcegos son mamíferos" pode ser reescrita na súa forma condicional "Se algo é morcego, entón é mamífero". No final, temos que a proposición pode avaliarse mediante a súa contrapositiva "Se algo non é mamífero, entón non é morcego."

A contrapositiva pode ser comparada con outras tres relacións entre enunciados condicionais:

 Inversión (a inversa): .

"Se algo non é morcego, entón nón é mamífero." Diferentemente da contrapositiva, o valor-verdade da inversa non depende de todo do valor-verdade do enunciado orixinal. A inversa, aqui, claramente non é verdadeira.

 Reciprocidade (a recíproca): .

"Se algo é mamífero, então é morcego." A recíproca é, na verdade, a contrapositiva da inversa, logo, sempre posúe o mesmo valor-verdade da inversa, logo, non é necesariamente o mesmo que o enunciado orixinal.

 Negación: .

"Existe un morcego que non é mamífero." Se a negação é verdadeira, a proposição orixinal (e, consecuentemente, a contrapositiva) é falsa. No exemplo mostrado, a negación é claramente falsa.

Note que se  é verdadeiro e somos informados de que Q é falsa, , pode ser loxicamente inferido que P debe ser falsa, . Iso é, normalmente, chamado principio da contrapositiva, ou  regra de inferencia modus tollens.

 Explicación intuitiva 
dereita|miniatura
No diagrama de Euler que se mostra, se algo está en A, tamén debe estar en B. Polo tanto, podemos interpretar "todo A está en B" como:



Tamén está claro que calquera cousa que non estea dentro de B (a rexión azul) tampouco non pode estar dentro de A. Esta afirmación, que se pode expresar como:



é a contrapositiva da afirmación anterior. Polo tanto, pódese dicir que



Na práctica, esta equivalencia pódese utilizar para facilitar a proba dunha afirmación.

 Probas 

 Proba simple por definición de condicional 
Na lóxica de primeira orde, o condicional defínese como:



que se pode facer equivalente ao seu contrapositivo, como segue:



 Proba simple por contradición 
Sexa:



Dáse que, se A é verdade, entón B é verdade, e tamén se dá que B non é verdade. Podemos logo demostrar por contradición que A non debe ser verdadeira. Pois se A fose verdadeira, entón B tería que ser tamén verdadeira (por Modus Ponens). Porén, dáse que B non é verdade, polo que temos unha contradición. Polo tanto, A non é verdadeira (supoñendo que estamos ante afirmacións bivalentes que son verdadeiras ou falsas):



Podemos aplicar o mesmo proceso ao revés, comezando cos supostos de que:



Aquí, tamén sabemos que B é verdadeira ou non. Se B non é verdade, entón A tampouco é verdade. Non obstante, dáse que A é verdade, polo que a suposición de que B non é verdade leva a unha contradición, o que significa que non é o caso de que B non sexa verdade. Polo tanto, B debe ser verdadeira:



Combinando os dous enunciados probados xuntos, obtemos a buscada equivalencia lóxica entre unha condición e a súa contrapositiva:



 Comparacións 
nome forma descrición implicación se P entón Q a primeira afirmación implica verdade da segunda inversa se non P non Q negación de ambas as afirmacións recíproca se Q entón P trocar a orde das afirmacións contrapositiva se non Q entón non P recíproca e negación de ambos os enunciados negación P e non Q contradí a implicación

 Exemplo 
Considere a afirmación "Todo obxecto vermello ten cor.'' Pode expresarse, de forma equivalente, como "Se un obxecto é vermello, daquela ese obxecto ten cor."

* A contrapositiva é "Se un obxecto non ten cor, entón ese obxecto non é vermello". Iso segue loxicamente de nosa afirmación inicial e, así como a orixinal, é, evidentemente, verdadeira.

* A inversa é "Se um objeto non é vermello, entón non ten cor.'' Novamente, un obxecto que é azul non é vermello, e aínda así ten cor. Logo, nese caso, a inversión torna a afirmación falsa.

* A recíproca é "Se un obxecto ten cor, entón é vermello.'' Os obxectos poden ter outras cores, obviamente, logo, a recíproca de nosa afirmación é falsa.

* A negación é "Existe algún obxecto vermello que non ten propiedade de cor''. Se iso fose verdade, entón tanto a recíproca como a inversa deberían ser verdadeiras só exactamente nese caso no que o vermello non sexa unha cor. Mais o vermello é unha cor e por tanto esa afirmación é falsa.

Noutras palabras, a contrapositiva é loxicamente equivalente a un dato condicional, aínda que non sexa válida para bicondicionais ("Se e somente se").

 Veracidade 

 Se unha afirmación é verdadeira, entón a súa contrapositiva é verdade (e viceversa).
 Se unha afirmación é falsa, entón a súacontrapositiva é falsa (e viceversa).
 Se a inversa dunha afirmación é verdadeira, entón a súa inversa é verdadeira (e viceversa).
 Se a inversa dunha afirmación é falsa, entón a súa inversa é falsa (e viceversa).
 Se a negación dunha afirmación é falsa, entón a afirmación é verdadeira (e viceversa).
 Se unha afirmación (ou a súa contrapositiva) e a inversa (ou a inversa) son verdadeiras ou falsas, entón coñécese como bicondicional lóxico.

 Proba por contrapositiva 
Dado que a contrapositiva dun enunciado sempre ten o mesmo valor de verdade (verdade ou falsidade) que o propio enunciado, pode ser unha poderosa ferramenta para demostrar teoremas matemáticos (especialmente se a verdade da contrapositiva é máis fácil de establecer que a verdade do enunciado en si). Unha proba por contrapositiva é unha proba directa da contrapositiva dunha afirmación. Porén, métodos indirectos como a proba por contradición tamén se poden usar con contraposición, como, por exemplo, na demostración da irracionalidade da raíz cadrada de 2. Pola definición dun número racional, pódese afirmar que "Se  é racional, entón pódese expresar como unha fracción irredutible". Esta afirmación é certa porque é unha reformulación dunha definición. O contrapositivo desta afirmación é "Se  non se pode expresar como unha fracción irredutible, entón non é racional". Esta contrapositiva, como a afirmación orixinal, tamén é certa. Polo tanto, se se pode demostrar que  non se pode expresar como unha fracción irredutible, logo debe ser o caso de que  non é un número racional. Isto último pódese probar por contradición.
p q  p  q p → q  q →  p T T F F T T T F F T F F F T T F T T F F T T T T

 Notas 


 Véxase tamén 


 Outros artigos 
 Equivalencia lóxica.
 Proba por contradición.

Categoría:Lóxica
Categoría:Lóxica matemática