Constante de Khinchin

En teoría de números, Aleksandr Yakovlevich Khinchin demostrou que para case todos os números reais x, os coeficientes ai da fracción continua de x teñen unha media xeométrica finita que é independente do valor de x e que se coñece como constante de Khinchin.



case sempre é certo que



onde  é a constante de Khinchin



(onde  denota o produto en todos os termos da secuencia).

Entre os números cuxas expansións de fraccións continuas aparentemente teñen esta propiedade (baseada na evidencia numérica) están π, a constante de Euler-Mascheroni γ, a constante de Apéry ζ(3) e a propia constante de Khinchin. Non obstante, isto non está probado.

Entre os números x cuxas expansións de fraccións continuas se sabe que non teñen esta propiedade están os números racionais, as raíces das ecuacións de segundo grao (incluíndo a razón áurea Φ e as raíces cadradas de números enteiros) e a base do logaritmo natural e. Isto é consecuente con que estes números teñen ou fracción continua finita ou fracción continua períodica (ou cuase-períodica no caso de e).

Khinchin ás veces escríbese Khintchine (a transliteración francesa do ruso Хинчин) na literatura matemática máis antiga. 

 Esbozo da proba 
A proba aquí presentada foi presentada por Czesław Ryll-Nardzewski  e é moito máis sinxela que a proba orixinal de Khinchin que non utilizaba a teoría ergódica .

Dado que o primeiro coeficiente a0 da fracción continua de x non xoga ningún papel no teorema de Khinchin e dado que os números racionais teñen a medida de Lebesgue cero, redúcese ao estudo dos números irracionais no intervalo . Estes números están en bixección con fraccións continuas infinitas da forma [0; a1 , a2 , ...], que simplemente escribimos [a1, a2, ...], onde a1, a2, ... son enteiros positivos. Definamos unha transformación T : I → I  por



A transformación T chámase operador de Gauss–Kuzmin–Wirsing. Para cada subconxunto de Borel E de I, tamén definimos a medida de Gauss-Kuzmin de E



Entón μ é unha medida de probabilidade na σ-álxebra dos subconxuntos de Borel de I. A medida μ é equivalente á medida de Lebesgue en I, mais ten a propiedade adicional de que a transformación T conserva a medida μ. Ademais, pódese demostrar que T é unha transformación ergódica do espazo medible dotado coa medida de probabilidade μ (esta é a parte difícil da demostración). O teorema ergódico di entón que para calquera función f integrable μ en I, o valor medio de  é o mesmo para case todos os :



Aplicando isto á función definida por f ([a1, a2, ...]) = log(a1), obtemos que



para case todos [a1, a2, ...] en I cando n → .

Tomando a exponencial a ambos os dous lados, obtemos á esquerda a media xeométrica dos n primeiros coeficientes da fracción continua e á dereita a constante de Khinchin.

 Expresións en serie 
A constante de Khinchin pódese expresar como unha serie zeta racional na forma Bailey, Borwein & Crandall, 1997. In that paper, a slightly non-standard definition is used for the Hurwitz zeta function.



 Media de Hölder 
A constante de Khinchin pódese ver como a primeira dunha serie de medias de Hölder dos termos das fraccións continuas. Dada unha serie arbitraria {an}, a media de Hölder de orde p da serie vén dada por



Cando os {an} son os termos da expansión da fracción continua, as constantes veñen dadas por



Isto obtense tomando a p-ésima media en conxunto coa distribución de Gauss–Kuzmin. Isto é finito cando  .

A media aritmética diverxe: , e así os coeficientes medran arbitrariamente:  .

O valor de K 0 obtense no límite de p → 0.

A media harmónica ( p = − 1) é

  .

 Problemas abertos 

 Pénsase que π, a constante γ de Euler-Mascheroni e a propia constante de Khinchin, baseada en evidencias numéricas,     están entre os números cuxa media xeométrica dos coeficientes ai na súa expansión como fracción continua tende á constante de Khinchin. No entanto, ningún destes límites foi establecido con rigor.
 Non se sabe se a constante de Khinchin é un número racional, alxébrico irracional  ou transcendental. 

 Notas 


 Véxase tamén 

 Outros artigos 

 Teorema de Lochs
 A constante de Lévy
 Lista de constantes matemáticas

Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas
Categoría:Teoría de números
Categoría:Análise matemática