Densidade natural

Na teoría dos números, a densidade natural, tamén coñecida como densidade asintótica ou densidade aritmética, é un método para medir o "grande" que é un subconxunto do conxunto de números naturais . Depende principalmente da probabilidade de atopar membros do subconxunto desexado ao pasar polo intervalo  a medida que  aumenta.

Intuitivamente, vemos que hai máis números enteiros positivos que cadrados perfectos. No entanto, o conxunto de enteiros positivos non é de feito maior que o conxunto de cadrados perfectos: ambos os dous conxuntos son infinitos e contables e, polo tanto, pódense poñer en correspondencia un a un. Con todo, se un pasa polos números naturais, os cadrados fanse cada vez máis escasos. 

Se seleccionamos un número enteiro aleatoriamente do intervalo , entón a probabilidade de que pertenza a  é a relación entre o número de elementos de  en  e o número total de elementos en  . Se esta probabilidade tende a algún límite mentres  tende ao infinito, entón este límite denomínase densidade asintótica de . Esta noción pódese entender como unha especie de probabilidade de escoller un número do conxunto . De feito, a densidade asintótica (así como outros tipos de densidades) estúdase na teoría probabilística dos números .

 Definición 
Un subconxunto  de enteiros positivos ten densidade natural  se a proporción de elementos de  entre todos os números naturais de 1 a  converxe a  mentres  tende ao infinito.

Máis explicitamente, se se define para calquera número natural  a función de contaxe  como o número de elementos de  menor ou igual a , entón a densidade natural de  sendo  significa exactamente que Tenenbaum (1995) p.261
 as .Da definición despréndese que se un conxunto  ten densidade natural  entón .

 Densidade asintótica superior e inferior 
Define a densidade asintótica superior  de  (tamén chamada "densidade superior") porDo mesmo xeito, define a densidade asintótica máis baixa  de  (tamén chamada "densidade inferior") porPódese dicir que  ten densidade asintótica  se , nese caso  é igual a este valor común se existe este límite. Nathanson (2000) pp.256–257

 Propiedades e exemplos 

 Para calquera conxunto finito F de enteiros positivos, d (F) = 0.

 Se d (A) existe para algún conxunto A e A c denota o seu conxunto complemento con respecto a , entón d (A c) = 1 − d ( A ).
 Corolario: Se  é finito (incluíndo o caso  ), 

 Se  e  existen, daquela

 Se  é o conxunto de todos os cadrados, entón d (A) = 0.

 Se  é o conxunto de todos os números pares, entón d (A) = 0,5. Do mesmo xeito, para calquera progresión aritmética  obtemos 

 Para o conxunto P de todos os primos obtemos do teorema dos números primos que d (P) = 0.

 O conxunto de todos os enteiros libres de cadrados ten densidade  De forma máis xeral, o conxunto de todos os números libres dunha potencia n para calquera n natural, ten densidade  onde  é a función zeta de Riemann .

 O conxunto de números abundantes ten unha densidade distinta de cero.  Marc Deléglise demostrou en 1998 que a densidade do conxunto de números abundantes está entre 0,2474 e 0,2480. 

 O conxunto

 de números cuxa expansión binaria contén un número impar de díxitos é un exemplo dun conxunto que non ten unha densidade asintótica, xa que a densidade superior deste conxunto é

 mentres que a súa menor densidade é


 Considera unha secuencia equidistribuída  en  e define unha familia monótona  de conxuntos:


 Daquela, por definición,  para todos os  .

 Se S é un conxunto de densidades superiores positivas, entón o teorema de Szemerédi afirma que S contén progresións aritméticas finitas arbitrariamente grandes, e o teorema de Furstenberg–Sárközy afirma que algúns dous membros de S difiren por un número cadrado.

Notas

 Véxase tamén 
Bibliografía





 Outros artigos 
 Densidade de Dirichlet
 Conxectura de Erdős sobre progresións aritméticas

Categoría:Teoría de números