Teorema de Hasse-Minkowski

O teorema de Hasse-Minkowski é un resultado fundamental na teoría de números que afirma que dúas formas cadráticas sobre un corpo numérico son equivalentes se e só se son equivalentes localmente en todos os lugares, é dicir, equivalentes en cada completamento do corpo (que pode ser real, complexo ou p-ádico). Un resultado relacionado é que   unha forma cadrática sobre un corpo numérico representa a cero de forma non trivial se e só se isto vale para tódolos completamentos do corpo.  O teorema foi demostrado no caso do corpo dos números racionais por Hermann Minkowski e xeneralizado aos corpos numéricos por Helmut Hasse. A mesma afirmación é aínda máis xeral para todos os corpos globais .

 Importancia 
A importancia do teorema de Hasse-Minkowski reside no novo paradigma que representa para responder a preguntas aritméticas: para determinar se unha ecuación dun determinado tipo ten unha solución en números racionais, é suficiente probar se ten solucións sobre corpos completos de números reais e p-ádicos, onde se aplican consideracións analíticas, como o método de Newton e o seu análogo p-ádico, o lema de Hensel. Isto está encapsulado na idea dun principio local-global, que é unha das técnicas fundamentais da xeometría aritmética.

 Enunciado 
Sexa  unha forma cadrática sobre  e para  a forma considerada sobre  (o que ten sentido pois ). Daquela  representa  se e só se  representa  para todo .

 Exemplos 
Para demostrar que non existe solución para unha ecuación cadrática no corpo global  é abondo con probar que non existe solución nun corpo local (por exemplo un corpo p-ádico ). 

Porén, para demostrar que si existe solución para unha ecuación cadrática no corpo global  debemos probar que existe solución en todos os corpos locais . 

 Exemplo de solución existente  
Temos  e queremos saber se ten  solución .

Desglosamos varios casos:
 En   onde .
Sábese que en todo corpo finito existe solución para unha forma cadrática en polo menos 3 variábeis. Polo tanto temos unha solución non trivial de  onde algún de  é non divisíbel por , supomos que é , así fica  con valoración p-ádica .
Mentres que teríamos  posto que .
Logo, polo lema de Hensel podemos levantar a unha solución .
  En 
Para  temos  e .
Así   é unha solución de  con  e , por tanto polo lema de Hensel podemos levantar a solución a .

 Repetimos o proceso para   procurando solucións simples con valoracións maiores que 0 en 5, 7 e 13 (solución con eses valores como factor) e onde a derivada teña valoración 0:
, , que para  ten diferenza  e por tanto valoración 1.
, , que para  ten diferenza  e por tanto valoración 1.
, , que para  ten suma  e por tanto valoración 1.

Por todo isto temos solución en todos os  e ten solucións evidentes en  e por tanto existe solución en .

 Aplicación na clasificación de formas cadráticas 
O teorema de Hasse-Minkowski reduce o problema de clasificar formas cadráticas sobre un corpo numérico K até a equivalencia,  a resolver as mesmas cuestións dun modo moito máis simple sobre corpos locais. As invariantes básicas dunha forma cadrática non singular son a súa dimensión, que é un número enteiro positivo, e o seu discriminante módulo os cadrados en K, que é un elemento do grupo multiplicativo K* / K*2. Alén diso, para cada lugar v de K, hai unha invariante procedente do completamento de K v. Dependendo da elección de v, este completamento poden ser os números reais R, os números complexos C, ou un corpo de números p-ádicos, cada un deles ten diferentes tipos de invariantes:

 Caso de R. Pola lei de inercia de Sylvester, a sinatura (ou, alternativamente, o índice negativo de inercia) é unha invariante completa.
 Caso de C. Todas as formas cadráticas non singulares da mesma dimensión son equivalentes.
 Caso de Q p e as súas extensións alxébricas . As formas da mesma dimensión clasifícanse até a equivalencia pola súa invariante de Hasse.

Estas invariantes deben satisfacer algunhas condicións de compatibilidade: unha relación de paridade (o signo do discriminante debe coincidir co índice negativo de inercia) e unha fórmula do produto (unha relación local-global). Pola contra, para cada conxunto de invariantes que satisfán estas relacións, hai unha forma cadrática sobre K con estas invariantes.
 Notas 

Véxase tamén 
 Bibliografía 


 Outros artigos 
 Principio local-global.

Categoría:Teoría de números
Categoría:Álxebra
Hasse-Minkowski