Elemento maiorante e minorante

En matemáticas, particularmente na teoría da orde, un elemento maiorante  dun subconxunto  dalgún conxunto preordenado  é un elemento de  que é  maior ou igual que todos os elementos de .   Do mesmo modo un elemento minorante de  defínese como un elemento de  que é menor ou igual a todos os elementos de . Un conxunto cun maiorante (respectivamente, minorante) dise que está limitado superiormente ou maiorizado  (respectivamente limitado inferiormente  ou minorizado) por ese límite.  

Entre tódolos maiorantes do conxunto  que pertencen a , denominamos supremo de  ao menor de todos estes maiorantes. Se o supremo pertence tamén a  denominase máximo de . No diagrama de exemplo se o elemento verde pertenecese a  sería máximo, se  non pertence daquela é supremo.

Simetricamente para os minorantes distinguimos ínfimo de mínimo.

 Exemplos 
Por exemplo, 4 e  son minorantes para o conxunto  (como un subconxunto dos enteiros ou dos números reais, etc.). Por outra banda,  non é un elemento minorante para  xa que non é menor que todos os elementos de  .  e outros números x tales que  sería maiorantes para S .

O conxunto  ten o número  tanto coma maiorante coma minorante.

Cada subconxunto finito non baleiro dun conxunto totalmente ordenado ten elemento maiorantes e elemento minorante.

 Límites das funcións 
As definicións pódense xeneralizar a funcións e mesmo a conxuntos de funcións.

Dada unha función f co dominio  e un conxunto preordenado  como codominio, un elemento  de  é un límite superior de f se  para cada  en . O maiorante chámase óptimo se a igualdade cúmprese para polo menos un valor de .

Do mesmo xeito, unha función  definida no dominio  e que teña o mesmo codominio  é maiorante de f, se  para cada  en . Ademais, dise que a función  é  maiorante dun conxunto de funcións, se é maiorante de cada función dese conxunto.

A noción de límite inferior para (conxuntos de) funcións defínese de xeito análogo, substituíndo ≥ por ≤.

 Límites estritos 
Un maiorante dise que é un maiorante mínimo ou límite superior mínimo ou  supremo  se ningún valor menor é maiorante. Do mesmo xeito, dise que un minorante ou límite inferior ou  ínfimo, se ningún valor maior é un minorante.

 Notas 


 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Elemento maior e menor
 Ínfimo e supremo
 Elemento maximal e minimal

Categoría:Teoría da orde