Número triangular

Un número triangular conta os obxectos colocados en forma de triángulo equilátero. O -ésimo número triangular é o número de puntos na disposición triangular con  puntos a cada lado (ver figura), e é igual á suma dos  números naturais de 1 a . A secuencia de números triangulares, comezando co número triangular 0, é

 Fórmula 
Os números triangulares veñen dados polas seguintes fórmulas explícitas:

O feito de que o  o número triangular é igual  pódese ilustrar mediante unha proba visual. O exemplo :

O número triangular  resolve o problema do aperta de mans de contar o número de apertas de mans se cada persoa nunha habitación con  persoas dá a man unha vez a cada persoa. Noutras palabras, a solución ao problema do apertas de mans de  persoas é . A función  é o análogo aditivo da función factorial, que son os produtos de números enteiros de 1 a .

 Relacións con outros números figurados 
Os números triangulares teñen unha gran variedade de relacións con outros números figurados (números que forman figuras).

Simplemente, a suma de dous números triangulares consecutivos é un número cadrado. Alxebraicamente,Hai infinitos números triangulares que tamén son números cadrados; por exemplo, 1, 36, 1225. Algúns deles pódense xerar mediante unha fórmula recursiva sinxela:con 

Todos os números triangulares cadrados atópanse a partir da recursividadecon  e 

Ademais, o cadrado do -ésimo número triangular é o mesmo que a suma dos cubos dos enteiros de 1 a . Isto tamén se pode expresar comoA suma dos  primeiros números triangulares é o  ésimo número tetraédrico:A diferenza positiva de dous números triangulares é un número trapezoidal.

 Outras propiedades 
Os números triangulares corresponden ao caso de primeiro grao da fórmula de Faulhaber.

Os números triangulares alternados (1, 6, 15, 28, ...) tamén son números hexagonais.

Todo número perfecto par é triangular (así como hexagonal), dado pola fórmulaonde  é un primo de Mersenne. Non se coñecen números perfectos impares; polo tanto, todos os números perfectos coñecidos son triangulares.

Por exemplo, o terceiro número triangular é (3 × 2 =) 6, o sétimo é (7 × 4 =) 28, o 31 é (31 × 16 =) 496 e o 127 é (127 × 64 =) 8128.

A suma dos recíprocos de todos os números triangulares distintos de cero éIsto pódese mostrar usando a suma básica dunha serie telescópica (serie onde se eliminan elementos consecutivos por pares, ficando só o primeiro):Outras dúas fórmulas relativas aos números triangulares soneEn 1796, Gauss descubriu que todo número enteiro positivo é representable como unha suma de tres números triangulares (posiblemente incluíndo  = 0), escribindo no seu diario as súas famosas palabras, " ΕΥΡΗΚΑ!  ". 

O maior número triangular da forma  é 4095 (ver a ecuación de Ramanujan–Nagell ).

Wacław Franciszek Sierpiński formulou a pregunta sobre a existencia de catro números triangulares distintos en progresión xeométrica. Foi conxecturado polo matemático polaco Kazimierz Szymiczek como imposible e máis tarde foi probado por Fang e Chen en 2007.Chen, Fang: Triangular numbers in geometric progression Fang: Nonexistence of a geometric progression that contains four triangular numbers

As fórmulas que implican expresar un número enteiro como suma de números triangulares están conectadas coas funcións theta, en particular á función theta de Ramanujan.

 Aplicacións 
Unha rede totalmente conectada de  dispositivos informáticos require a presenza de  cabos ou outras conexións.

Nun formato de torneo que utiliza unha fase de grupos round-robin, o número de partidos que hai que xogar entre  equipos é igual ao número triangular . Por exemplo, unha fase de grupos con 4 equipos require 6 partidos, e unha fase de grupos con 8 equipos require 28 partidos.

Usado tamén no problema bovino de Arquímedes.

 Raíces triangulares e probas de números triangulares 
Por analoxía coa raíz cadrada de , pódese definir a raíz triangular (positiva) de  como o número  tal que : que segue inmediatamente da fórmula cadrática. Polo tanto, un número enteiro  é triangular se e só se  é un cadrado. De forma equivalente, se a raíz triangular positiva  de  é un número enteiro, entón  é o -ésimo número triangular.

 Notas 


 Véxase tamén 



 Ligazóns externas 

 Triangular numbers at cut-the-knot
 There exist triangular numbers that are also square at cut-the-knot

 Hypertetrahedral Polytopic Roots by Rob Hubbard, 

Categoría:Teoría de números
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas