Redes neuronais informadas fisicamente

As redes neuronais informadas fisicamente ou "Physics-informed neural networks" (PINNs) en inglés son un tipo de redes neuronais que actúan como aproximadores universais de funcións integrando o coñecemento de leis física descritas por ecuacións en derivadadas parciais (EDPs). Unha das súas principais vantaxes é o feito de non requirir unha gran cantidade de datos para o seu adestramento, problema especialmente urxente nalgúns sistemas de enxeñaría ou nalgúns modelos biolóxicos. O coñecemento previo de leis físicas xerais actúa no adestramento das redes neuronais como forma de regularización limitando o espazo de solucións admisíbeis. Deste xeito, integrar esta información previa na rede neuronal complementa a información que se pode extraer directamente do conxunto de datos dispoñíbeis, facilitando así que o algoritmo aprenda unha mellor aproximación da verdadeira función e cunha mellor xeneralización a partir dunha cantidade baixa de datos de adestramento.

 Modelaxe e computación 
Unha ecuación en derivas parciais xeral pode ser:

onde  denota a solución,  é un operador non-linear parametrizado por , e  é un subconxunto de . Esta forma xeral de describir as ecuacións resume unha gama ancha de problemas na física matemática, como as leis de conservación, os procesos de difusión, os sistemas de advección-difusión, e ecuacións cinéticas. Dados datos con ruído dun sistema dinámico xenérico descrito pola ecuación anterior, as PINNs poden ser deseñadas para solucionar dúas clases de problemas:

 resolución a partir de datos
 descubrimento a partir de datos

de ecuacións en derivadas parciais.

 Resolución a partir de datos de ecuacións en derivadas parciais 
A resolución a partir de datos das EDPs calcula o estado escondido do sistema,, dadas as condicións de fronteira, , e/ou os parámetros fixados do modelo, . O problema a resolver é:

.

Definindo o residuo  como

,

e aproximando  por unha rede neuronal profunda. Esta rede pode ser obtida utilizando diferenciación automática. Entón, os parámetros de  e  poden ser aprendidos para minimizar a seguinte función de perda:

,

onde  é o erro entre a aproximación de  feita pola PINN e o conxunto de condicións de fronteira e datos no conxunto de puntos  onde as condicións de fronteira están definidas, e  é o erro cadrático medio da función de residuos. Esta segunda compoñente estimula á rede neuronal a aprender a información estrutural expresada pola ecuación en derivadas parciais durante o proceso de adestramento.

Este método foi empregado para desenvolver modelos aproximados eficientes computacionalmente con aplicacións no prognóstico de procesos físicos, modelando a predición de control, a modelase multi-física e de escala múltiple, e en simulacións.

 Descubrimento a partir de datos de ecuacións en derivadas parciais 
Dadas medidas con ruído e/ou incompletas, , do estado do sistema, o descubrimento a partir de datos de EDPs consiste en calcular o estado descoñecido  e aprender os parámetros  do modelo  que mellor describen os datos observados e que pode ser descrito da seguinte maneira:

,

e definindo  como

.

e aproximando  por unha rede neuronal profunda. Esta rede pode ser obtida utilizando diferenciación automática. Os parámetros  e o estado descoñecido  poden ser aprendidos minimando a función de perda seguinte:

,

onde  é o erro entre a aproximación de  feita pola PINN nos datos contidos no conxunto  de condicións de fronteira e  é o erro cadrático medio da función de residuos

Esta estratexia permite obter os modelos dinámicos descritos pocas EDPs non-lineais cun custo computacional reducido, podendo atopar aplicación en prognóstico preditivo, control, e asimilación de datos.

 Notas 

 Véxase tamén 
 Ligazóns externas 
 PINN – repositorio para implementar redes neuronais informadas fisicamente en Python
 XPINN – repositorio para implementar redes neuronais informadas fisicamente e estendidas en Python
 PIPN [1]– repositorio para implementar redes neuronais informadas fisicamente de tipo PointNet en Python

Categoría:Aprendizaxe profunda
Categoría:Ecuacións diferenciais