Lista de sumas de recíprocos

En matemáticas e especialmente na teoría de números, a suma de recíprocos xeralmente calcúlase para os recíprocos dalgúns ou todos os  positivos enteiros, é dicir, é a suma de fraccións unitarias. Se se suman infinitamente moitos recíprocos, xeralmente, os termos danse nunha determinada secuencia e súmanse os primeiros n elementos, daquela inclúese un máis para dar a suma dos primeiros n+1 elementos da sucesión, etc.

Se só se inclúen un número finito de números, a cuestión clave adoita ser atopar unha expresión sinxela para o valor da suma, ou esixir que a suma sexa menor que un determinado valor, ou determinar se a suma é algunha vez un número enteiro.

Para unha serie infinita de recíprocos, as cuestións son dobres: en primeiro lugar, diverxe a secuencia de sumas?  é dicir, supera algún número dado? ou é unha serie converxente, o que significa que hai algún número ao que se achega arbitrariamente sen superar nunca?. 
(Un conxunto de enteiros positivos dise que é grande se a suma dos seus recíprocos diverxe, e pequeno se converxe.) En segundo lugar, se converxe, cal é unha expresión simple para o valor ao que converxe?, ese valor é racional ou irracional?, e ese valor é alxébrico ou transcendente?
 A non ser que se indique aquí, as referencias están nos artigos ligados.

Número finito de termos

A media harmónica  dunha cantidade finita de números é igual ao recíproco, ou inverso, da media aritmética dos recíprocos de ditos números.
A ecuación óptica require a suma dos recíprocos de dous enteiros positivos a e b para igualar o recíproco dun terceiro número enteiro positivo c. Todas as solucións son dadas por . Esta ecuación aparece en varios contextos en xeometría elemental.
A conxectura de Fermat-Catalan refírese a unha determinada ecuación diofantiana,  é que  ten só un número finito de solucións cando  son enteiros coprimos positivos e  son enteiros positivos que satisfán ..
O enésimo número harmónico, que é a suma dos recíprocos dos primeiros n enteiros positivos, nunca é un número enteiro excepto o caso n = 1. A maiores, József Kürschák demostrou en 1918 que a suma dos recíprocos dos números naturais consecutivos (xa sexa a partir de 1 ou non) nunca é un número enteiro.
A suma dos recíprocos dos primeiros n primos non é un número enteiro para ningún n.
Hai 14 combinacións distintas de catro enteiros de tal xeito que a suma dos seus recíprocos é 1, desas combinacións seis usan catro enteiros distintos e oito repiten polo menos un número enteiro.
Unha fracción exipcia é a suma dun número finito de recíprocos de enteiros positivos. Segundo a proba do problema de Erdős-Graham, se o conxunto de enteiros maior que 1 está particionado nun número finito de subconxuntos, entón un dos subconxuntos pódese usar para formar unha representación en forma de fracción exipcia de 1.
A conxectura de Erdős-Straus afirma que para todos os enteiros n ≥ 2, o número racional 4/n pódese expresar como a suma de tres recíprocos de enteiros positivos.
O cociente de Fermat con base 2, que é  para un primo impar p, cando se expresa en mod p e multiplicado por –2, é igual á suma dos recíprocos mod p dos números que se atopan na primeira metade do rango {1, p - 1}.
En calquera triángulo, a suma dos recíprocos das alturas é igual ao recíproco do raio do círculo inscrito (independentemente de se son ou non enteiros).
Nun triángulo rectángulo, a suma dos recíprocos dos cadrados das alturas dos catetos (equivalentemente, dos cadrados dos propios catetos) é igual ao recíproco do cadrado da altura da hipotenusa (o teorema de Pitágoras inverso). Isto cúmprese se os números son enteiros ou non; hai unha fórmula (ver ternas pitagóricas) que xera todos os casos enteiros.
Un triángulo non necesariamente no plano euclidiano pódese especificar como con ángulos   e . Daquela o triángulo está no espazo euclidiano se a suma dos recíprocos de p, q e r é igual a 1, é un espazo esférico se esa suma é maior que 1, é un espazo hiperbólico se a suma é inferior a 1.
Un número divisor harmónico é un número enteiro positivo cuxos divisores teñen unha media harmónica que é un número enteiro. Os cinco primeiros deles son 1, 6, 28, 140 e 270. Non se sabe se algún número divisor harmónico (ademais de 1) é impar, pero non os hai impares inferiores a 1024.
 A suma dos recíprocos dos divisores dun número perfecto é 2.
Cando se distribúen oito puntos na superficie dunha esfera co obxectivo de maximizar a distancia entre eles nalgún sentido, a forma resultante corresponde a un antiprisma cadrado.  Os métodos específicos para distribuír os puntos inclúen, por exemplo, minimizar a suma de todos os recíprocos de cadrados de distancias entre puntos.

Infinitamente moitos termos

Series converxentes 

 Unha secuencia sen suma de números enteiros positivos crecentes é aquela para a que ningún número é a suma de ningún subconxunto dos anteriores. A suma dos recíprocos dos números en calquera secuencia sen suma é menor que .

 A suma dos recíprocos do número heptagonal converxe a un valor coñecido que non só é irracional senón tamén transcendente, e para o que existe unha fórmula complicada.

 Sábese que a suma dos recíprocos dos primos xemelgos, dos que non está demostrado que haxa infinitos, aínda que se supón que os hai, é finita e chámase constante de Brun, aproximadamente . 

 Sábese que a suma dos recíprocos dos Primos de Proth (o número deles pode ser finitamente moitos ou infinitos) é finita, 

 Os primos cádruples son pares de primos xemelgos con só un número impar entre eles. A suma dos recíprocos dos números primos cádruples é 

 A suma dos recíprocos das potencias perfectas (incluíndo duplicados) 

 A suma dos recíprocos das potencias perfectas (excluíndo os duplicados) é aproximadamente .| publisher:MathWorld 

 A suma dos recíprocos das potencias  é aproximadamente igual a . A suma é exactamente igual á integral definida: 
 Esta identidade foi descuberta por Johann Bernoulli en 1697, e agora coñécese como unha das dúas identidades do soño do estudante de segundo ano (Sophomore's dream).

 O teorema de Goldbach-Euler afirma que a suma dos recíprocos dos números que son 1 menos que unha potencia perfecta (excluíndo os duplicados) é 1.
A suma dos recíprocos de todos os   números triangulares, sacado o cero, 

 A constante recíproca de Fibonacci é a suma dos recíprocos da  secuencia de Fibonacci, que se sabe que é finita e irracional e aproximadamente igual a 3,3599. Para outras sumas finitas de subconxuntos dos recíprocos dos números de Fibonacci, consulte Número de Fibonacci.

 Un factorial exponencial é unha operación  definida recursivamente como  Por exemplo,  onde os expoñentes son avaliados de arriba abaixo. A suma dos recíprocos dos factoriais exponenciais a partir de 1 é aproximadamente 1.6111 e é transcendental.

 Un "número potente" é un número enteiro positivo para o cal cada primo que aparece na súa factorización aparece polo menos dúas veces. A suma dos recíprocos dos números potentes é próxima a 1,9436.

 A suma dos recíprocos do factorial dá como suma o número  e (constante matemática).

 A suma dos recíprocos dos  números cadrados (o problema de Basilea), (Basel problem), é o número transcendente  sendo   a función zeta de Riemann.

 A suma dos recíprocos dos cubos de enteiros positivos chámase constante de Apéry  e é igual a aproximadamente 1,2021. Este número é irracional, pero non se sabe se é ou non transcendente.

 Os recíprocos dos números enteiros non negativos potencias de 2 suman   (tendo en conta tamén ).  Este é un caso particular da suma dos recíprocos de calquera serie xeométrica onde o primeiro termo e a razón común son enteiros positivos. 

 A serie de Kempner é a suma dos recíprocos de todos os enteiros positivos que non conteñen o díxito "9" en  A diferenza da serie harmónica, que non exclúe eses números, esta serie converxe, concretamente a aproximadamente .

 Un  número palindrómico é aquel que permanece igual cando se inverten os seus díxitos. A suma dos recíprocos dos números palindrómicos converxe a aproximadamente .

 Un número pentatópico é un número da quinta cela de calquera fila do triángulo de Pascal que comeza coa fila de cinco termos . A suma dos recíprocos dos números pentatópicos é .

 A secuencia de Sylvester é unha secuencia de enteiros na que cada membro da secuencia é o produto dos membros anteriores máis un. Os primeiros termos da secuencia son . A suma dos recíprocos dos números na secuencia de Sylvester 

 A función zeta de Riemann   é unha función dunha variábel complexa  que está definida, para valores complexos con parte real maior que , pola suma da serie infinita . Esta serie converxe se e só se a parte real de  é maior que .

 A suma dos recíprocos de todos os  números de Fermat (números da forma )  é irracional.

 A suma dos recíprocos do número oblongo (produtos de dous enteiros consecutivos ou duplo dos números triangulares) (excluíndo  ) é .

Series diverxentes
 A suma parcial de  termos da harmónica, que é a suma dos recíprocos dos primeiros enteiros positivos , diverxe a medida que  vai ao infinito, aínda que moi lentamente: A suma dos  primeiros termos, é menor que . A diferenza entre a suma acumulada e o logaritmo natural de  converxe á constante de Euler-Mascheroni, comunmente denotada como , que é aproximadamente .

 A suma dos recíprocos dos primos diverxe.

 A forma forte do teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas implica que a suma dos recíprocos dos primos da forma  é diverxente.
Do mesmo xeito, a suma dos recíprocos dos primos da forma  é diverxente. Polo teorema de Fermat sobre a suma de dous cadrados, dedúcese que a suma de recíprocos de números da forma , onde  e  son enteiros non negativos, non ambos os dous iguais a , diverxe, con ou sen repetición. 

 Se  é calquera serie ascendente de números enteiros positivos coa propiedade de que existe  tal que  para todos os , daquela a suma dos recíprocos   diverxe.

 A conxectura de Erdős sobre progresións aritméticas afirma que se a suma dos recíprocos dos membros dun conxunto  de enteiros positivos diverxe, entón  contén progresións aritméticas de calquera lonxitude, por grande que sexa. Ata o 2020 a conxectura segue sen estar probada.
 Notas 

 Véxase tamén 
 Outros artigos 
Conxunto grande
Suma de cadrados
Suma de potencias

Categoría:Listas de matemáticas
Categoría:Teoría de números
Categoría:Análise matemática