Teorema chinés do resto

En matemáticas, o teorema teorema chinés do resto expón que se coñecemos os restos da división euclidiana  dun enteiro  por varios enteiros, daquela podemos determinar  o resto da división de  polo produto destes enteiros, baixo a condición de que os divisores sexan coprimos por pares (ningunha parella de divisores comparte un factor común  á parte do 1).

As palabras resto e residuo son equivalentes, e ambas as dúas pódense ver nos documentos existentes. 

Por exemplo, se sabemos que o resto de n dividido por 3 é 2, o resto de n dividido por 5 é 3, e o resto de n dividido por 7 é 2, daquela sen saber o valor de n, podemos determinar que o resto de n dividido por 105 (produto de 3, 5, e 7) é 23. Importante: isto dinos  que se n é un número natural menor de 105, entón 23 é o único valor posíbel de .

A redacción coñecida máis antiga do teorema foi feita polo matemático chinés Sunzi no Sunzi Suanjing entre os séculos III e V (d.C).

O teorema chinés  do resto úsase amplamente para computar enteiros grandes, pois permite traballar con números de tamaño limitado.

O teorema chinés  do resto (expresado como congruencias) é certo sobre todo dominio ideal principal. Está xeneralizado a calquera anel, cunha formulación que implica  ideais bilaterais.

 Historia 
A cita do matemático chinés Sunzi no Sunzi Suanjing foi:

O que ven sendo un algoritmo para resolver este problema foi descrito por Aryabhata (século VI). Tamén Brahmagupta (no século VII) trataba casos especiais do teorema chinés do resto e aparecen no Liber Abaci (1202) de Fibonacci. O resultado foi máis tarde xeneralizado cunha solución completa chamada Da-yan-shu () en Qin Jiushao  1247 Tratado Matemático  en Nove Seccións  que foi traducido a inglés no século XIX polo misioneiro británico Alexander Wylie.
miniatura|O teorema chinés do resto aparece no libro de  Gauss de Disquisitiones Arithmeticae.
A noción de congruencia foi introducida e utilizada por Carl Friedrich Gauss no seu Disquisitiones Arithmeticae de 1801. Gauss Ilustra o teorema chinés  do resto nun problema que implica calendarios, "atopar os anos que teñen un determinado número de período en relación ao ciclo solar e lunar e a indición romana (período de 15 anos)." Gauss Presenta un procedemento para solucionar o problema que xa era utilizado por Leonhard Euler.

 Enunciado 
Sexan  enteiros superiores a 1, chamados módulos. Denotamos por  o produto dos .

Enunciando o teorema chinés do resto podemos dicir que se os  son coprimos por pares, e se  son enteiros tal que  para cada , daquela hai  un e só un enteiro x, tal que  e o resto da  división euclidiana de x por  é para cada .

Isto pódese reformular do seguinte xeito en termos de congruencias: Se os  son coprimos por pares, e se 

  son enteiros calquera, daquela o sistema



ten solución, e dúas solucións calquera, digamos  e , son congruentes módulo N, é dicir, .

En álxebra abstracta, o teorema adoita ser reformulado como: se os son coprimos por pares, o mapa



Define un isomorfismo de aneis



entre o anel de enteiros módulo N e o produto directo dos aneis de enteiros módulo os . Isto significa que para facer unha secuencia de operacións aritméticas en  pódese facer o mesmo cálculo independentemente en cada   e despois obtér o resultado aplicando o isomorfismo (de dereita a esquerda). Isto será máis rápido que o cálculo directo se N e o número de operacións son grandes. Isto é amplamente usado, baixo o nome de computación multimodular, en álxebra linear sobre os números enteiros ou os números racionais.

O teorema tamén se pode reformular na linguaxe da combinatoria porque as infinitas progresións aritméticas de números enteiros teñen a propiedade de Helly.

 Proba 
A existencia e a unicidade da solución poden probarse independentemente. Con todo, a primeira proba de existencia, dada abaixo, utiliza a unicidade.

 Unicidade 
Se  e  son ambas as dúas solucións a todas as congruencias. Como  e  dan o mesmo resto, ao dividirse entre , temos que a súa diferenza  é múltiplo de cada . Como os  son coprimos por pares, o seu produto  tamén divide , polo que  e  son congruentes módulo . Se  e  se supón que non son negativos e son menores que  (como no primeiro enunciado do teorema), entón a súa diferenza só pode ser múltiplo de  se .

 Existencia (primeira proba) 
Temos



este mapa asigna clases de congruencia módulo  a múltiples clases de congruencia módulo  . A proba de unicidade mostra que este mapa é inxectivo. Como o dominio e o codominio deste mapa teñen o mesmo número de elementos, o mapa tamén é sobrexectivo, o que proba a existencia da solución.

Esta proba é moi sinxela mais non proporciona ningún xeito directo de calcular unha solución. Ademais, non se pode xeneralizar a outras situacións nas que a seguinte proba si.

 Existencia e solución 
A existencia pódese establecer mediante unha construción explícita de . Esta construción pódese dividir en dous pasos, primeiro resolvendo o problema no caso de dous módulos, e despois estendendo esta solución ao caso xeral por indución sobre o número de módulos.

 Caso de dous módulos 
Queremos solucionar o sistema:



onde  e  son coprimos.

Pola  identidade de Bézout sabemos da existencia de dous números enteiros  e  tal que



Os enteiros  e  pódense calcular mediante o algoritmo euclidiano estendido.

Unha solución vén dada por



Comprobamos,



iso implica que  A segunda congruencia próbase de xeito similar, trocando os subíndices 1 e 2.

O conxunto total de solucións será logo 
 para  enteiro. 

 Caso xeral 
Considere unha secuencia de ecuacións de congruencia:



imos ver unha proba por construción e un exemplo por un método moi rápido 



Sexa  o produto de todos os módulos menos un. Como os  son coprimos por pares,  e  son coprimos. Aplícamos a identidade de Bézout, e existen números enteiros  e  tal que



Unha solución do sistema de congruencias é



De feito, como  é múltiplo de  para  temos

para cada 

 Exemplos 
Para o caso de dúas congruencias imos ver dúas versións do problema dos piratas.

a) 17 piratas reparten un botín de máis de 100 moedas e sobra 1. Despois morre 1 pirata, reparten e segue a sobrar unha.

Aquí 




Por tanto, a primeira solución 

Cando a  identidade de Bézout non é evidente pódese calcular co algoritmo de Euclides estendido.

b) 17 piratas reparten un botín de máis de 100 moedas e sobra 1. Despois morre 1 pirata, reparten e sobran 7.

Aquí 




Por tanto, a primeira solución 

 Caso xeral 
Exemplo con catro congruencias,

Solución: o módulo da solución completa debe ser , por seren coprimos.

E comezamos os cálculos

.
.

 Como un sistema diofantiano linear 
O sistema de congruencias resolvido polo teorema chinés do resto pódese reescribir como un sistema de ecuacións diofantianas lineares:



Polo tanto, pódense usar todos os métodos xerais para resolver tales sistemas, como a redución da matriz do sistema á forma normal de Smith ou á forma normal de Hermite.

 Sobre dominios de ideais principais 
O teorema  enunciouse de tres formas diferentes: en termos de restos, de congruencias e dun isomorfismo de anel. A declaración en termos de restos non se aplica, en xeral, aos dominios de ideais principais, xa que os restos non se definen nestes aneis. Non obstante, as outras dúas versións teñen sentido sobre un dominio ideal principal : abonda con substituír "enteiro" por "elemento do dominio" e  por . Estas dúas versións do teorema son certas neste contexto, porque as demostracións (excepto a primeira proba de existencia), baséanse no lema de Euclides e na identidade de Bézout, que son certas en todos os dominios principais.

 Sobre aneis de polinomios dunha  variábel e dominios euclidianos 
Os polinomios univariados sobre un corpo son o exemplo típico dun dominio euclidiano que non son os enteiros. Polo tanto, enunciamos o teorema para o caso do anel  para un corpo  Para obter o teorema nun dominio euclidiano en xeral, abonda con substituír o grao pola función euclidiana do dominio euclidiano.

O teorema chinés do resto para polinomios é así: Sexan  (os módulos), para , polinomios coprimos por pares en  . Sexa  o grao de , e  a suma dos  Se  son polinomios tales que  ou  para cada , daquela, hai un e só un polinomio , tal que  e o resto da división euclidiana de  por  é  por cada .

Polo tanto, agora queremos atopar un polinomio , que satisfai as congruencias



para 

Considere os polinomios



A descomposición en fraccións parciais de  dá  polinomios  de grao  tal que



e así



Por tanto unha solución do sistema de congruencias simultáneas vén dada polo polinomio



De feito, temos



para 

A solución pode ter un grao superior a  Podemos deducir a única solución de grao menor que  se consideramos o resto  da división euclidiana de  por  Esta solución é



 Interpolación de Lagrange 
Un caso especial  para polinomios é a interpolación de Lagrange. Para isto, considere  polinomios mónicos de grao un:



Son coprimos por pares se os  son todos diferentes. O resto da división por  dun polinomio  é , polo teorema do resto.

Agora, sexan  constantes (polinomios de grao 0) en  Tanto a interpolación de Lagrange como o teorema chinés do resto  afirman a existencia dun polinomio único  de grao inferior a  tal que



para cada 

A fórmula de interpolación de Lagrange é exactamente o resultado, neste caso, da construción anterior da solución. Máis precisamente, se temos



A descomposición parcial da fracción   é



Agora, se reducimos o lado dereito a un denominador común obtemos



e o numerador é igual a 1, xa que é un polinomio de grao menor que  que toma o valor 1 para  diferentes valores de  Desta fórmula, podemos obter a fórmula de interpolación de Lagrange:



 Interpolación de Hermite 
A interpolación de Hermite é unha aplicación do teorema  para polinomios univariados, que admite módulos de graos arbitrarios (a interpolación de Lagrange só admite módulos de grao un).

Debemos conseguir un polinomio do menor grao posible, de xeito que o polinomio e as súas primeiras derivadas tomen valores dados nalgúns puntos fixos.

Sexan ,   elementos do corpo   e, para  sexan  os valores das primeiras derivadas   en  do polinomio buscado (incluída a derivada 0, que é o valor do propio polinomio). O problema consiste en atopar un polinomio  tal que a súa derivada j -ésima tome o valor  en   para  e 

Considere o polinomio



Este é o polinomio de Taylor de orde  en  do polinomio descoñecido  Polo tanto, debemos ter



Pola contra, calquera polinomio  que satisfai estas  congruencias, en particular verifica, para calquera 



polo tanto  é o seu polinomio de Taylor de orde  en , e con iso temos que  resolve o problema inicial da interpolación de Hermite. O teorema chinés do resto afirma que existe exactamente un polinomio de grao menor que a suma dos  que satisfai estas  congruencias.

 Xeneralización a módulos non coprimos 
O teorema chinés do resto pódese xeneralizar a módulos non coprimos. Sexa  ser calquera número enteiro, deixe  ; , e considere o sistema de congruencias:



Se , entón este sistema ten unha solución única módulo . En caso contrario, non ten solucións.

Se usamos a identidade de Bézout para escribir , daquela a solución vén dada por



Isto define un número enteiro, xa que  divide tanto  como . A demostración é moi semellante á dos módulos coprimos. 

 Xeneralización a aneis arbitrarios 
O teorema chinés do resto pódese xeneralizar a calquera anel, usando ideais coprimos (tamén chamados ideais comaximais). Dous ideais  e  son coprimos se hai elementos  e  tal que  Esta relación xoga o papel da identidade de Bézout nas probas relacionadas con esta xeneralización, que polo demais son moi semellantes. A xeneralización pódese expresar do seguinte xeito.  

Sexan   ideais bilaterais dun anel  e sexa  a súa intersección. Se os ideais son coprimos por pares, temos o isomorfismo:



entre o anel cociente  e o produto directo de  onde "  " denota a imaxe do elemento  no anel cociente definido polo ideal  Alén diso, se  é conmutativo, daquela, o ideal intersección  dos ideais coprimos par pares é igual ao seu produto; é dicir



se  e  son coprimos para todo .

 Interpretación en termos de idempotentes 
Sexan   ideais bilaterais coprimos por pares con  e sexa



o isomorfismo definido anteriormente. Sexa   o elemento de  cuxos compoñentes son todos  agás o elemento -ésimo que é  e 

Os  son idempotentes centrais que son ortogonais por pares; isto significa, en particular, que  e  para cada  e  . Máis aínda, un ten  e 

En resumo, esta xeneralización do teorema chinés do resto  é a equivalencia entre  ideais bilaterais coprimos por pares con intersección cero e idempotentes centrais e ortogonais  por pares que suman .

 Aplicacións 

 Numeración secuencial 
O teorema chinés do resto  utilizouse para construír unha numeración de Gödel para as secuencias, que forma parte da demostración dos teoremas de incompletitude de Gödel.

 Transformada de Fourier rápida (FFT) 
O algoritmo FFT de factor primo  usa o teorema chinés do resto para reducir o cálculo dunha transformada de Fourier rápida de tamaño  ao cálculo de dúas transformadas rápidas de Fourier de tamaños menores  e  (coa condición de  e  seren coprimos).

 Cifrado 
Na sinatura de certificados HTTPS e durante o descifrado utilízase habitualmete o algoritmo RSA que usa o teorema chinés do resto.

 Resolución de ambigüidade de rango 
As técnicas de resolución de ambigüidade de rango utilizadas co radar de frecuencia de repetición de pulso medio poden verse como un caso especial do teorema chinés do resto.

 Descomposición de funcións sobrexectivas de grupos abelianos finitos 
Dada unha función sobrexectiva  de grupos abelianos finitos, podemos usar o teorema chinés do resto para dar unha descrición completa de calquera mapa deste tipo. En primeiro lugar, o teorema dá isomorfismos



onde . Alén diso, para calquera mapa inducido



da sobrexección orixinal, temos  e  xa que para un par de primos , as únicas sobrexeccións diferentes de cero



poden definirse se  e .

Estas observacións son fundamentais para construír o anel de enteiros profinitos, que se dá como o límite inverso de todos estes mapas.

 Teorema de Dedekind 
Teorema de Dedekind sobre a independencia linear dos caracteres. Sexa  un monoide e  un dominio integral, visto como un monoide considerando a multiplicación en . Daquela calquera familia finita  de distintos homomorfismos monoides  é linearmente independente. Noutras palabras, toda familia  de elementos  que satisfai



debe ser igual á familia  .

Proba. Primeiro supoña que  é un corpo, se non, substitúa o dominio integral  polo seu corpo cociente, e nada mudará. Podemos estender linearmente os homomorfismos monoides a  homomorfismos de k-álxebra (álxebra de corpo ) , onde  é o anel monoide de  sobre . Así, por linearidade, a condición



produce



Proseguimos, para  os dous mapas  -lineais  e  non son proporcionais entre si. En caso contrarioetamén serían proporcionais e, polo tanto, iguais xa que como homomorfismos monoides satisfán:, o que contradí a suposición de que son distintos.

Polo tanto, os kernels  e  son distintos. Xa que  é un corpo,  é un ideal máximo de  para cada  en  . Como  os ideais  e  son distintos e máximos tamén son coprimos sempre que . O teorema chinés do resto (para aneis en xeral) produce un isomorfismo:



onde



En consecuencia, o mapa



é sobrexectivo. Baixo os isomorfismos  o mapa  corresponde a:



Agora,



produce



para cada vector  na imaxe do mapa . Dado que  é sobrexectivo, isto significa que



para cada vector



En consecuencia, . QED.

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 

. See in particular Section 2.5, "Helly Property", pp. 393–394.



. See Section 31.5: The Chinese remainder theorem, pp. 873–876.

. See Section 4.3.2 (pp. 286–291), exercise 4.6.2–3 (page 456).

Outros artigos
 Cobertura
 Principio de Hasse

 Ligazóns externas 
 Calculadora online dun sistema de congruencias
Calculadora online do algoritmo de Euclides estendido
 Texto completo de Sun-tzu Suan-ching (Chinés)

Categoría:Teoría de números
Categoría:Aritmética
Categoría:Álxebra
chinés do resto
Categoría:Matemáticos da China
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas