Fracción unitaria

Unha fracción unitaria é unha fracción positiva con un 1 como o seu numerator, 1/n. É o multiplicativo inverso (recíproco) do denominador da fracción, que debe ser un número natural positivo. Os exemplos son 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc. Cando un obxecto é dividido a partes iguais, cada parte é unha fracción unitaria da totalidade.

Multiplicando dúas fraccións de unidade produce outra fracción de unidade, mais outras operacións aritméticas non preservan as fraccións  unitarias. En aritmética modular, as  fraccións unitarias poden ser convertidas a números enteiros equivalentes, permitindo que a división modular poida ser transformada a unha multiplicación. Cada número racional pode ser representado como suma de fraccións unitarias distintas; estas representacións chámanse fraccións exipcias. Moitas sumas infinitas de fraccións unitarias son significativas matecamente, por exemplo a zeta de Riemann.

En xeometría, as fraccións unitarias poden caracterizar a curvatura de grupos de triángulos e os círculos de Ford tanxentes. As fraccións unitarias utilízanse na división xusta, e este método un paso previo na educación matemática cara a comprensión doutras fraccións. As  fraccións  unitarias son comúns en teoría de probabilidade debido ao principio de indiferenza. Tamén teñen aplicación en optimización combinatorial  e na análise do patrón de frecuencias na serie espectral do hidróxeno.

 Aritmética 
As fraccións unitarias son os números racionais que poden ser escritos na forma  Onde  pode ser calquera número natural positivo. Son por tanto o inverso multiplicativo dos enteiros positivos. Cando algo é dividido en    partes iguais, cada parte é un  fracción da totalidade.

 Aritmética elemental 
Multiplicando calquera dúas fraccións unitarias resulta outra fracción unitaria :
No entanto, a suma, resta ou división de dúas fraccións unitarias producen un resultado que normalmente non é  unha fracción unitaria:

 Aritmética Modular 
En aritmética modular, calquera fracción unitaria pódese converter a un número enteiro equivalente usando o algoritmo de Euclides estendido. Esta conversión pode usarse para realizar a división modular: dividir por un número  modulo , pode realizarse convertendo a fracción unitaria  a un número enteiro equivalente modulo , e daquela multiplicar por ese número.

En máis detalle, supón  coprimo a  (doutro xeito, a división modular non estaría definida). O algoritmo de Euclides estendido usado para obter o máximo común divisor, tamén se pode usar  para atopar os enteiros  e  que cumpran a  identidade de Bézout: En aritmética modular, o termo  pode ser eliminado pois é cero modulo . Isto deixaisto é,  é o inverso modular de ,  é o número que multiplicado por  dá 1. Equivalentemente,Daquela, a división por  (modulo )  pode realizarse multiplicando polo enteiro .

 As súas combinacións 
Son varias as construcións matemáticas que implican combinar múltiples fraccións unitarias, a miúdo as súas sumas.

 Sumas finitas 

Calquera número racional positivo pode ser escrito como a suma de fraccións unitarias distintas, de múltiples xeitos.  Por exemplo,



Chamamos a estas sumas  fraccións exipcias, porque as utilizaron nas antigas civilizacións exipcias.  Aínda é un tema vivo na teoría de números moderna; por exemplo, a  conxectura de Erdős-Graham  e a conxectura de Erdős-Straus, ambas as dúas referentes a sumas de fraccións unidatarias, tamén aparecen non números de Ore (número de divisores harmónicos).
miniatura|Un patrón de triángulos esféricos con simetría de reflexión a través de cada bordo de triángulo. Os patróns de reflexión esférica así coma este con triángulos , en cada vértice, (aquí ), só existen cando
En teoría xeométrica de grupos, os  grupos de triángulos son clasificados nos casos Euclideo, esférico e  hiperbólico segundo se unha suma asociada de fraccións unitarias é igual a 1, máis grande que 1, ou menor que 1, respectivamente.

 Serie infinita 

Moitas series infinitas famosas teñen termos que son fraccións unitarias. Estas inclúen:

 A serie harmónica, suma de todas as fraccións  unitarias positivas. Esta suma diverxe, e as súas sumas parciais   aproxímanse ao logaritmo neperiano de   máis a constante de Euler–Mascheroni ou número e. A suma alterna dá como resultado o logaritmo neperiano de 2: 
 A fórmula de Leibniz para π é 
 O problema de Basilea atende á suma das fraccións unitarias cadradas: De xeito semellante, a constante de Apéry  é un número irracional, que é a suma do cubo das fraccións unitarias.
 A serie xeométrica binaria é  

 Matrices 
Unha matriz de Hilbert é unha matriz cadrada na que todos os elementos na  antidiagonal -ésima son  fraccións unitarias . 
Por exemplo, a matriz

É unha matriz de Hilbert. Ten a propiedade infrecuente de que todos os elementos da súa matriz inversa  son enteiros. De xeito semellante,   definiu unha matriz cuxos elementos son fraccións unitarias cuxos denominadores son números de Fibonacci:

onde  denota o -ésimo número de Fibonacci. Chamou a esta matriz de Filbert e ten a mesma propiedade de ter a inversa con todos os seus elementos enteiros.

 Adxacentes e círculos de Ford 
miniatura|As fraccións dos  Círculos de Ford difiren por unha fracción unitaria.
Dúas fraccións  e  (nos seus valores simplificados) chámanse adxacentes se o que implica que difiren nunha fracción unitaria:Por exemplo,   e   son adxacentes:   e  . Con todo, a condición contraria non se cumpre sempre: por exemplo,  e   difiren por unha fracción  unitaria, mais non son adxacente, porque para elas .

Esta terminoloxía vén do estudo dos círculos de Ford. Son un sistema de círculos que son tanxentes á recta numérica nunha fracción dada, e teñen como diámetro o  denominador da fracción ao cadrado. As fraccións  e  son adxacentes se e só se os seus círculos de Ford son círculos tanxentes. 

 Aplicacións 

 Probabilidade e estatística 
miniatura|Un dado de seis caras ten probabilidade 1/6 de aterrar por cada lado.
Nunha distribución uniforme nun espazo diferenciado, todas as probabilidades son fraccións unitarias iguais. Debido ao principio de indiferenza, as probabilidades desta forma xorden frecuentemente en cálculos estatísticos.

As probabilidades desiguais relacionadas a fraccións unitarias xorden na lei de Zipf. Isto expón que, para moitos fenómenos observados implicando a selección de elementos dunha secuencia ordenada, a probabilidade de que o  elemento sexa seleccionado é proporcional á fracción unitaria .

 Optimización combinatorial 
No estudo de problemas de optimización combinatorial, o problema do  empaquetamento (bin packing)  implican unha secuencia de entrada de elementos con tamaños fraccionais, que deben colocarse en paquetes cuxa capacidade (o tamaño total de elementos colocados en cada paquete) sexa 1. A investigación destes problemas inclúen o estudo de paquetes coa restrición de que os tamaños dos elementos son fraccións unitarias.

Mesmo para problemas de empaquetado  con tamaños arbitrarios dos elemento, pode ser útil redondear superiormente cada tamaño até a fracción unidade máis próxima, e daquela aplicar un algoritmo especializado en fraccións unitarias. En particular, o método de  empaquetado harmónico fai exactamente isto.

 Física 
miniatura|A serie espectral do hidróxeno  nunha escala logarítmica. As frecuencias das liñas de emisión son proporcionais a diferenzas de pares de fraccións unitarias.
Os niveis de enerxía de fotóns que poden ser absorbido ou emitidos por un átomo de hidróxeno son, segundo a fórmula de Rydberg, proporcional ás diferenzas de dúas fraccións unitarias. Unha explicación para este fenómeno proporcionouno o modelo de Bohr, segundo o cal os niveis de enerxía dos electróns orbitais nun átomo de hidróxeno son inversamente proporcionais as fraccións unitarias cadradas, e a enerxía dun fotón cuantifícase na diferenza entre dous niveis.

Arthur Eddington argumentou que a constante de estrutura fina era unha fracción unitaria. Inicialmente pensou  que podía ser 1/136 e máis tarde mudou a 1/137. Isto resultou falso, dado que as estimacións actuais da constante de estrutura fina (a 6 díxitos significativos) é 1/137,036.

 Notas 

 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Conxectura de Erdős-Straus
 Crebacabezas das partillas de 17 animais

Categoría:Números enteiros
Categoría:Fraccións