Dinámica de poboacións

O estudo da dinámica das poboacións naturais é importante para comprender o que acontece nos ecosistemas en equilibrio. Para avaliar o desenvolvemento dunha poboación é necesario coñecer certos atributos que lle son característicos: a natalidade (  ), taxa de mortalidade (), taxa de inmigración (), taxa de emigración ().
miniatura|300x300px| Gráfico da dinámica de poboación de Tatarstán.

Nunha poboación animal, os seguintes factores cambian o seu número:

taxa de natalidade  Número de persoas nacidas nun determinado intervalo de tempo.

taxa de mortalidade  Número de persoas que morren nun período de tempo determinado.

taxa de inmigración  Número de individuos que chegan a unha poboación.

taxa de emigración  Número de individuos que abandonan unha poboación.

densidade de poboación  é a relación entre o número de individuos que conforman unha determinada poboación e o espazo que ocupan. 

 .

Para unha poboación en equilibrio, temos: 

 Introdución 
Comprender os fenómenos da natureza e as súas leis foi unha procura constante para a humanidade, co obxectivo de favorecer a vida humana en sociedade. Neste sentido, a busca de alternativas que poidan mellorar o desenvolvemento social e da poboación foi retratada como cuestións de grande importancia.

Historicamente, estas cuestións foron tratadas principalmente no eido das ciencias humanas, no que se refire aos estudos xeográficos. Porén, a partir do século XVIII, o estatístico e economista Thomas Malthus desenvolveu un modelo matemático para estudar o crecemento da poboación mundial, sendo un dos precursores da demografía, ciencia que estuda a dinámica das poboacións. O modelo de Malthus foi creado en 1798 e xerou unha feroz polémica a principios do século XIX, xa que afirmaba que a poboación mundial crecía en progresión xeométrica, mentres que os medios de supervivencia creceron só en progresión aritmética. Polo tanto, a poboación estaría controlada pola fame, a miseria e moitas outras causas da natureza.

O modelo Verhulst, ou modelo loxístico, presentouse en 1837 e propón que o crecemento da poboación está limitado por un factor loxístico, que é a capacidade de sustentación do medio. Este modelo asume que unha poboación, que vive nun ambiente determinado, crecerá até un límite sustentable, é dicir, tenderá á estabilidade. A ecuación incorpora un descenso do crecemento da poboación que está suxeito a un factor inhibidor. 

 Historia 
esquerda|miniatura|226x226px| Tomas Robert Malthus
A teoría creada por Tomas Robert Malthus (1766-1834), economista e demógrafo inglés, e que gañou o nome de “malthusianismo” foi a primeira teoría da poboación que relacionou o crecemento da poboación coa fame, afirmando a tendencia do crecemento da poboación en progresión xeométrica, e o crecemento da oferta alimentaria en progresión aritmética.

Durante os séculos XVIII e XIX produciuse un forte crecemento demográfico debido á consolidación do capitalismo e á revolución industrial, que provocou un aumento da produción de alimentos nos países industrializados, reducindo a taxa de mortalidade (principalmente en Europa e EAU). Isto fixo que as taxas de crecemento da poboación aumentaran, desencadeando discusións que culminarían en varias teorías sobre o crecemento da poboación, destacando o malthusianismo.

Publicado baixo o título “Un ensaio sobre o principio de poboación e os seus efectos na mellora futura da sociedade, con observacións sobre as especulacións do Sr. Godwin, Sr. Condorcet e outros autores”, a teoría de Malthus caracterízase por un gran pesimismo en relación ao crecemento da poboación.

Malthus cría que o crecemento da poboación excedería a capacidade produtiva da terra, xerando fame e miseria. Segundo Malthus, o único xeito de evitar que isto suceda sería reducir a natalidade prohibindo que as parellas moi novas teñan fillos, controlando o número de fillos por familia nos países pobres, aumentando o prezo dos alimentos e reducindo os salarios para forzar poboacións máis pobres para ter menos fillos.

Porén, Malthus argumentou que a alta taxa de mortalidade e fertilidade sería practicamente imposible de reducir xa que eran consecuencias de factores fóra do alcance da intervención humana. Por iso, argumentou que desastres como a fame, as epidemias e a guerra eran beneficiosos no sentido de ser un freo ao crecemento da poboación.

Entre os que se opuxeron á teoría de Malthus estaba Jean-Antonio Nicholas Caritat, o marqués de Condorcet (1743-1794). Cría que as altas taxas de mortalidade e fecundidade rexistradas naquel momento débense ao descoñecemento, ás supersticións e aos prexuízos e que só "as luces da razón" serían capaces de reverter esta situación. A súa teoría, publicada entre 1793 e 1794, levaba por título “Esquema dun cadro histórico do progreso do espírito humano” e, a diferenza de Malthus, presentaba unha visión bastante positiva do progreso humano.

Verhulst (1804-1849) foi un matemático belga que introduciu un modelo matemático para o crecemento da poboación humana en 1837. Refírese a este crecemento como crecemento loxístico; polo tanto, o modelo de Verhulst adoita chamarse modelo loxístico. Non puido probar a precisión do seu modelo debido aos datos do censo inadecuados e non recibiu moita atención até moitos anos despois. R. Pearl (1930) demostrou unha concordancia razoable do modelo con datos experimentais para poboacións de Drosophila melanogaster (mosca da froita) e GF Gause (1935) para poboacións de Paramecium e Tribolium (escaravello da fariña).ROCHA, Naiara Chierici; BOTTA, Vanessa. Dinâmica populacional aplicada à população de Adamantina. Omnia Exatas, v.2, n.2, p.56-65, 2009.

 Aportación teórica 
A modelización matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade en problemas matemáticos e resolvelos, interpretando as súas solucións na linguaxe do mundo real, segundo (BASSANEZI 2002, p. 98). A modelización presupón a multidisciplinariedade, neste sentido, atende ás novas tendencias que apuntan á supresión de fronteiras entre as distintas áreas de investigación. Nas súas diversas vertentes, é un proceso que combina teoría e práctica, motiva ao seu usuario na procura da comprensión da realidade que o rodea, e xoga un papel importante na procura de medios para actuar sobre ela e así transformala. A modelización matemática xorde da necesidade do home de comprender os fenómenos que o rodean para que poida interferir ou non no seu proceso construtivo. Son predicións de tendencias e aproximacións á realidade. Non se pode utilizar só para xustificar os contidos que se imparten, senón que se debe fundamentar, é dicir, para coñecer o motivo polo que o alumno debe aprender matemáticas e a importancia que isto supón na formación del como cidadán responsable e participativo no a túa sociedade.

Neste sentido, pódese dicir que a Modelización Matemática é o proceso que supón a obtención dun modelo que pretende describir matematicamente un fenómeno da nosa realidade para tentar comprendelo e estudalo, creando hipóteses e reflexións sobre tales fenómenos. Os modelos deben ser probados con datos empíricos, comparando as súas solucións e predicións cos valores obtidos no sistema real. Un modelo debe prever, polo menos, os feitos que os orixinaron e as razóns dos resultados obtidos, o que facilita avaliar as predicións ou mesmo suxerir unha mellora dos modelos. En calquera caso, a resolución dun problema normalmente cuantificado require unha formulación matemática detallada. Unha perspectiva, un conxunto de símbolos e relacións matemáticos que pretende traducir dalgún xeito un fenómeno en cuestión ou un problema nunha situación real denomínase “Modelo Matemático”. Na ciencia, a noción de modelo é fundamental. As matemáticas en particular coa súa arquitectura, permiten o desenvolvemento de Modelos Matemáticos que permiten unha mellor comprensión, simulación e predición do fenómeno probado.

A elaboración dun modelo depende dos coñecementos matemáticos que se teña. Se o coñecemento matemático se restrinxe ás matemáticas elementais, como a aritmética e/ou as medidas, o modelo pode limitarse a estes impases. Canto maior sexa o coñecemento matemático, maiores serán as posibilidades de resolución de cuestións que requiran unhas matemáticas máis sofisticadas. Porén, o valor dun modelo non se restrinxe á sofisticación matemática, senón á súa relevancia e importancia.

 Etapas típicas do desenvolvemento da poboación 
miniatura|404x404px| O gráfico mostra as etapas de desenvolvemento da poboación.
Para mostrar o desenvolvemento das poboacións, desenvolveuse un modelo de seis fases. Nunha poboación real, non adoitan ocorrer todas as fases. A poboación xa pode morrer na fase 1, ou ben perpetuarse máis aló da fase 6, e non morrer nesta, como se mostra no gráfico.

 Fase I: fase de latencia ou de arranque 
O tamaño da poboación non presenta grandes cambios e está lonxe da súa plena capacidade. A taxa de natalidade e mortalidade está próxima. Non faltan recursos, factores dependentes da densidade e non hai competencia. A taxa de natalidade é baixa debido á baixa densidade de poboación, os encontros intraespecíficos son máis raros. A mortalidade dependente de depredadores externos tamén é baixa xa que hai suficientes agochos no hábitat, dada a baixa densidade de poboación da especie estudada. Mesmo as enfermidades son raras debido aos poucos encontros intraespecíficos.

 Poboación fundadora: Poboacións pequenas provocadas pola emigración de parte da poboación ou por catástrofes. As poboacións pequenas poden ser liquidadas nun novo hábitat, antes de que as novas fontes de alimento sexan totalmente utilizadas pola poboación, alterando as condicións de nutrición durante algún tempo.

 Axuste do substrato: para os microorganismos que poden utilizar varios substratos, normalmente leva algún tempo (minutos a horas) a conversión ao novo substrato (por exemplo, cambiar do metabolismo anaerobio a aeróbico nas células de lévedo). Case non se pode observar crecemento nesta fase de transición.

As flutuacións na densidade de poboación (oscilacións) poden ser xenéticas, por exemplo as flutuacións debidas ao azar. Se non se alcanza unha determinada densidade de poboación, a poboación pode extinguirse. Cando se supera un determinado valor, a poboación pode dar lugar a unha fase exponencial.

 Fase II a IV: fase de crecemento positivo 
A taxa de natalidade é superior á taxa de mortalidade.

Fase II : Crecemento exponencial (fase logarítmica). En primeiro lugar, o crecemento exponencial prodúcese porque a taxa de natalidade aumenta máis rápido que a taxa de mortalidade. Os recursos son tan abundantes que a competencia intraespecífica é irrelevante. A poboación de depredadores é inicialmente tan baixa ou os agochos son tan numerosos que a taxa de mortalidade segue sendo baixa. A medida que aumenta o tamaño da poboación, tamén aumenta a taxa de mortalidade.

Fase III : Crecemento lineal. A medida que as taxas de natalidade e mortalidade crecen á mesma velocidade, a poboación aumenta de forma lineal.

Fase IV : Atraso do crecemento. Coa crecente proximidade ao límite da capacidade de carga, as relacións intraespecíficas e a competencia interespecífica xogan un papel cada vez máis importante, polo que se atrasa o aumento da natalidade e aumenta a mortalidade. A medida que aumenta a densidade de poboación, tamén aumenta a densidade de poboación dos depredadores, ou os depredadores se especializan cada vez máis nesa presa. O crecemento faise así, cada vez máis atrasado.

 Fase V: transportador 
A elevada natalidade vese compensada por unha elevada mortalidade, debido ao aumento da densidade de poboación (competencia intraespecífica, estrés, epidemias, etc.). A ocupación do hábitat aínda non está no seu máximo, os recursos úsanse de forma eficiente sen esgotalos. A densidade de poboación varía arredor do valor K, a capacidade de carga ou o limiar de capacidade.

Factores externos, como as estacións, conducen a unha densidade flutuante ou, en hábitats flutuantes desfavorables, a un curso flutuante. Canto maior sexa a poboación, máis estable será a fase estacionaria. Un aumento da densidade nesta etapa leva a un aumento da taxa de mortalidade e/ou unha diminución da taxa de natalidade a curto prazo.

 Fase VI: fase de morte 
A taxa de natalidade é agora inferior á taxa de mortalidade. Para poboacións pequenas, as flutuacións aleatorias poden levar á extinción. Unha redución da capacidade, por exemplo por cambios no medio ou a inmigración de novos depredadores, pode provocar un novo equilibrio a niveis inferiores.

 Definición de ecuación diferencial ordinaria 
Unha ecuación que contén as derivadas ou diferenciais dunha ou máis variables dependentes, en relación con "unha ou máis" variables independentes, denomínase ecuación diferencial (DE) e clasifícase segundo o "tipo", a "orde" e a "linealidade".

 Modelos matemáticos 
Dende o século XVIII naturalistas e matemáticos tentan explicar a dinámica das poboacións. Así, propuxéronse dous modelos. O primeiro, concibido por Thomas Malthus, explica o crecemento da poboación sen axentes externos, considerados como limitadores da poboación. O segundo, proposto por Pierre Verhulst, explica o crecemento da poboación coa acción de axentes limitantes, como a competencia intraespecífica. Ademais, estes dous modelos pódense analizar en intervalos de tempo curtos, denominados discretos, onde se dá o número de individuos nos dous momentos, ou de forma continua, utilizando un intervalo de tempo máis longo, onde se dá a taxa de crecemento continuo da poboación. Seguindo os dous modelos

 Crecemento exponencial da poboación - Modelo Malthusiano 
miniatura| Crecemento exponencial da poboación. A poboación crece ata o infinito, sen limitacións.
O primeiro modelo de crecemento da poboación foi proposto por Thomas Malthus en 1798. Observou que, en ausencia de restricións ambientais, a poboación humana aumentaría a un ritmo fixo. En 1500, a poboación total estimada era de 500.000 persoas, e agora este número superou os 7.000 millóns. Thomas Malthus describiu tal crecemento da poboación e dixo que nalgún momento a poboación colapsaría, xa que o abastecemento de alimentos non sería compatible con este crecemento exponencial, xa que tal abastecemento tiña unha taxa de crecemento na progresión aritmética. Malthus non contaba que os avances tecnolóxicos provocarían que o abastecemento de alimentos medrase a un ritmo máis aló do aritmético, cubrindo así a demanda da poboación. Nos seus cálculos utilizouse unha taxa de crecemento da poboación per cápita constante, que tampouco coincide coa realidade, xa que as poboacións son sempre susceptibles a taxas de control da poboación, como enfermidades, escaseza de alimentos e guerras.

 Modelo exponencial de tempo discreto 
Este modelo utilízase en intervalos de tempo discretos e mide o crecemento ou diminución da poboación dos sistemas. Como os factores externos non se teñen en conta, a poboación crece sen límites. Este é un dos principios da ecoloxía. Entón temos que:

Onde N é o número de poboación no momento t, o tamaño da poboación no seguinte paso temporal e é a taxa de crecemento da poboación (diferenza entre a taxa de mortalidade e a taxa de natalidade). Se, temos unha poboación estable, sen crecemento nin diminución. Se, a poboación crece exponencialmente. Se, a poboación mostra unha diminución exponencial, e se, prodúcese a extinción da poboación.

 Crecemento exponencial no tempo continuo 
As bacterias, por exemplo, reprodúcense continuamente, é dicir, dado un instante de tempo, duplícanse. Polo tanto, a velocidade de crecemento é proporcional ao tamaño da poboación, xa que, ao aumentar a poboación, a súa velocidade aumenta no mesmo grao. Este tipo de situacións exprésase mediante unha ecuación diferencial, que mostra a velocidade instantánea de crecemento da poboación bacteriana. Entón temos que facelo

Onde representa a taxa de crecemento da poboación por unidade de tempo, r representa a taxa intrínseca de crecemento da poboación, ou canto contribúe cada individuo ao cambio no tamaño da poboación nun instante, e N é o tamaño da poboación.

 Crecemento loxístico da poboación - Modelo Verhulst 
miniatura| Crecemento loxístico da poboación. Nun primeiro momento, a poboación crece esponencialmente, pero despois se estabiliza cando a poboación alcanza un número determinado de individuos (N) e un número máximo de recursos no medio (K).
Por suposto, unha poboación non pode crecer indefinidamente: tarde ou cedo o esgotamento dos recursos dispoñibles impoñerá límites á expansión. O matemático Pierre Verhulst propuxo, en 1838, unha xeneralización do modelo de Malthus que teña en conta estas restricións “ambientais”.

O crecemento loxístico é un modelo de crecemento algo máis complexo que o crecemento exponencial, pero é o modelo que mellor reflicte a dinámica de poboacións, xa que inclúe o concepto de competencia intraespecífica. Inicialmente, a poboación crece exponencialmente, pero a medida que esta poboación se fai densa, a competencia intraespecífica faise maior e leva á poboación a un nivel de equilibrio, coñecido como homeostase, no que o número de defuncións e nacementos faise constante (representado graficamente por unha liña continua).

Un termo que complementa esta competencia intraespecífica e axuda a equilibrar a poboación chámase capacidade de carga, representada pola variable (k). Na natureza, é practicamente imposible que unha poboación medre exponencialmente durante un período indefinido, todo medio ten unha capacidade de soporte, que non é máis que un número limitado de individuos, é dicir, o número de individuos que o medio pode soportar, sen existindo grandes variacións nel, debido ás altas taxas de natalidade ou mortalidade. Esta capacidade de carga adoita ser estimada.

 Crecemento loxístico en tempo discreto 
Este modelo expresa a evolución dunha determinada poboación en intervalos (xeralmente fixos) de tempo. Deste xeito é posible observar o número de individuos inicialmente e despois dun determinado período de tempo. A ecuación que representa este modelo vén dada por

Onde k representa a capacidade de carga.

 Crecemento loxístico en tempo continuo 
miniatura|356x356px| Pierre François Verhulst
Para ter en conta que a poboación y(t) ten un valor máximo sustentable, podemos supoñer que a taxa de crecemento, ademais de ser proporcional á poboación actual, tamén é proporcional á diferenza entre e á poboación actual y(t) . Neste caso, a poboación en función do tempo, y(t), é a solución ao problema do valor inicial.

onde y(t) representa o número de individuos no tempo t, r a taxa de crecemento intrínseco e K é a capacidade de carga, ou número máximo de individuos que soporta o medio. Este modelo foi redescuberto en 1920 por Raymond Pearl e Lowell Reed, que promoveron o seu uso xeneralizado e indiscriminado. A ecuación loxística pódese integrar exactamente e ten unha solución

onde  está determinada pola condición inicial  . É interesante notar que a solución pode

tamén se escribirá como a media ponderada harmónica da condición inicial e da capacidade de carga.

 Dinámicas na xestión pesqueira e da fauna 
Estas poboacións poden verse afectadas por tres variables, a saber:

 Natalidade, que significa alcanzar un determinado tamaño para a reprodución. Xeralmente refírese á idade dos peixes que se poden capturar e gardar nas redes

 Taxa de crecemento da poboación, que mide o crecemento dos individuos en tamaño e lonxitude. É moi utilizado na pesca, xa que a poboación adoita medirse en biomasa.

 Mortalidade, que inclúe a mortalidade debida á caza humana ou á morte natural. A morte natural inclúe a depredación non humana, as enfermidades e a vellez.

se  representa o número de individuos no tempo 1, entón:

Onde  é o número de individuos no tempo 0, B é o número de individuos nacidos, D é o número de mortos, I é o número de inmigrantes e E o número de emigrantes no intervalo de tempo 0 a 1. Se medimos estas taxas en varios intervalos de tempo, podemos determinar canto cambia a densidade de poboación co paso do tempo. A inmigración e a emigración están presentes pero normalmente non se miden.

Estes cálculos realízanse para determinar a cantidade de determinados animais que se poden cazar, é dicir, calcúlase o excedente para que a caza non afecte significativamente ao número de animais da poboación. A caza que se limita a este excedente denomínase “compensatoria”, na que as mortes por caza serían substituídas por mortes naturais. A caza por encima deste excedente chámase “aditiva”, e este tipo de caza supera o número de matanzas que se producirían de xeito natural. Estes termos non se refiren a bos ou malos tipos de caza, respectivamente. Por exemplo, unha axencia de pesca e caza pode querer reducir o número de poboacións de cervos mediante a mortalidade "aditiva". Os machos poden ser obxectivos para aumentar o nivel de competencia entre eles ou simplemente para diminuír a reprodución e así diminuír o número de poboación.

 Modelos multiespecie 

 depredador-presa 
Un caso relativamente sinxelo resultante das interaccións entre dúas especies que están nunha relación depredador-presa é descrito clasicamente polas regras de Lotka-Volterra, e dado por

onde N (t) é o número de presas en t, P (t) o número de ladróns en t, e a, b, c, d > 0 son coeficientes.

 Modelo de competición 
Dicimos que dúas especies están en competición se a presenza dunha é prexudicial para a outra, e viceversa. Este modelo vén dado polo seguinte sistema

onde R ( i ) son taxas de natalidade lineais, K ( i ) capacidade de carga e b (12) b (21) efectos da competencia de N 2 a N 1 ou de N 1 a N 2.

 Mutualismo 
O mutualismo prodúcese a través da asociación entre dous seres vivos, na que ambos se ven beneficiados. O modelo que describe esta asociación vén dado por

 Oscilación 
O tamaño da poboación en plantas experimenta unha oscilación significativa debido á oscilación ambiental anual de aves ou insectos. Cando se combina con perturbacións debido a doenzas da flora, adoita producirse en oscilación caóticas.

 Críticas 
A análise e interpretación da dinámica de poboacións, a caza, e os seus efectos na biodiversidade recibiron numerosas críticas desde diferentes perspectivas, en particular do ambientalismo, da xustiza social, e das dinámicas de poder, así como sobre a validez científica dos modelos utilizados.

 Ambientalismo e caza: Un dos principais focos de crítica é a caza "aditiva", que supera o número de mortes que ocorrerían naturalmente nunha poboación. Algunhas investigacións suxiren que esta práctica pode resultar en efectos ecolóxicos negativos a longo prazo. 
 Xustiza social e caza: A caza non recreativa pode ser vista, desde a perspectiva da xustiza social, como un dereito de subsistencia en certas comunidades. Esta perspectiva foi amplamente debatida na literatura, revelando un equilibrio delicado entre os dereitos humanos e a protección ambiental. No entanto, a caza excesiva, incentivada polo consumo descontrolado e as demandas de mercado promovidas polo capitalismo, tamén é fonte de grandes preocupacións. En particular, unha caza desmedida pode causar danos irreparables nos ecosistemas e levar a unha redución significativa da biodiversidade. Un exemplo disto é a caza de baleas, que resultou en decrecementos drásticos nas súas poboacións e levou a unha moratoria internacional sobre a súa caza comercial en 1986. Nótese que, aínda que a caza forma parte do modo de vida tradicional e sustentable de certas comunidades, isto non pode ser extrapolado a prácticas industriais a grande escala. As macrogranxas, por exemplo, non só teñen un impacto significativo na biodiversidade, senón que tamén presentan problemas éticos.
 Modelos depredador-presa e dinámicas de poder: A analoxía dos modelos depredador-presa coas dinámicas de poder na sociedade tamén foi obxecto de crítica. Dende a perspectiva da esquerda, o sistema capitalista pode ser visto como un sistema no que os poderosos (depredadores) explotan aos menos poderosos (presas).
 Modelos de competencia: O modelo de competencia ten sido criticado como un reflexo das dinámicas de competencia insalubres promovidas polo capitalismo, minusvalorando os modelos de cooperación e a solidariedade. O modelo de mutualismo ten sido proposto como unha metáfora da simbiose para a cooperación das sociedades e a solidariedade, propoñendo unha alternativa ao modelo de competencia.
 Teoría de poboación malthusiana: A teoría de poboación de Malthus recibiu críticas substanciais polo seu enfoque na sobrepoboación, especialmente nos países do sur global, como a principal causa da degradación ambiental, en lugar das prácticas insustentables dos países ricos.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Outros artigos 

 Área protexida
 Bioloxía pesqueira
 Biodiversidade
 Bromatoloxía
 Cambio climático
 Capitalismo
 Darwinismo social
 Desenvolvemento sustentable
 Densidade de poboación
 Dinámica de sistemas
 Ecoloxía
 Ecoloxía de ecosistemas
 Ecosistema
 Especies ameazadas
 Función sigmoide
 Materia prima
 Mutualismo
 Pirámide de poboación
 Poboación mundial
 Poboación (bioloxía)
 Recursos naturais
 Seguridade alimentaria
 Sociedade
 Xenética de poboacións

 Bibliografía 
 Nicolas Bacaër, José Paulo Viana, Paulo Doutor, Breve historia matemática da dinámica da poboación. París, 2021, çISBN 9791034371778. pdf .
 Sérgio Pereira Leite, Sérgio Leite, Asentamentos rurais: cambio social e dinámicas rexionais, Mauad Editora Ltda, 2004 ISBN 8-574-78140-1
 Sergio Sepúlveda, Desenvolvemento microrrexional sostible. Métodos de ordenación local, IICA, 2005 ISBN 8-598-34707-8
 ROCHA, Naiara Chierici; BOTTA, Vanessa. Dinámica poboacional aplicada á poboación de Adamantina. Omnia Exatas, v.2, n.2, p. 56-65, 2009.
 BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensinar aprendizaxe con modelado matemático. São Paulo: Editora Contexto, 2002.
 "A taxa intrínseca de aumento natural dunha poboación de insectos" LC Birch Vol. 17, núm. 1 (maio, 1948), pp. 15-26.
 Korotayev, A. et al. Introdución á Macrodinámica Social: Macromodelos Compactos do Crecemento do Sistema Mundial (2006)

Categoría:Ecoloxía
Categoría:Demografía