Cadrado perfecto

Un número cadrado perfecto en matemáticas, ou un número cadrado, é un número enteiro que é o cadrado doutro; ou dito doutro xeito, é un número que ten como raíz cadrada un número natural.

Un número é un cadrado perfecto se se pode dispor nunha figura cadrada. Por exemplo, 9 é un número cadrado perfecto xa que pode ser escrito como 3 × 3, e pódese dispor do seguinte xeito:
3² = 9ligazón=Archivo:Square_number_9.png
Un número enteiro positivo que non ten divisores cadrados fóra do 1 denomínase número libre de cadrados.
miniatura|dereita|Elevar 5 ao cadrado dá a área dun cadrado de lado 5.
En álxebra, o cadrado dun número n exprésase como n², e equivale a n × n. A operación alxébrica de elevar ao cadrado un número n proporciónanos a área dun cadrado xeométrico cun lado que mide n. Por tal razón, esta operación coñécese como elevar ao cadrado.

Un número natural n elevado ao cadrado pódese linearizar por medio da seguinte expresión:



Así, por exemplo:



Que dá o mesmo resultado que a multiplicación:



 Propiedades 
A fórmula xeral para o n-ésimo número cadrado é n2. Esta expresión é igual á suma dos n primeiros números impares, demostrable por indución matemática, rexistrada na seguinte fórmula:




Un cadrado par pódese expresar como a suma de dous impares consecutivos. Se cumpre a condición cabe pois  e exponse a seguinte ecuación:



Un número primo da forma  pódese expresar como a suma de dous cadrados:




Os babilonios usaban táboas de cadrados para a multiplicaciónHofmann. Historia de la Matemática. ISBN 968-18-6286-4 aplicando a fórmula:




O teorema dos catro cadrados de Lagrange establece que calquera número enteiro positivo pode ser escrito como a suma de catro cadrados perfectos. Tres cadrados non son suficientes para ser representados como números da forma 4k(8m + 7). Un número positivo pode ser representado como unha suma de dous cadrados precisamente se a factorización en números primos non contén potencias impares da forma 4k + 3. Esta é unha xeneralización do problema de Waring.

Segundo o último díxito do número n do que se quere calcular o seu cadrado pódese comprobar que este cadrado terá as propiedades seguintes:

 Se o último díxito é 0, o seu cadrado acaba en 00 e os díxitos precedentes forman un cadrado.
 Se o último díxito é 1 ou 9, o seu cadrado termina en 1 e os díxitos precedentes forman un múltiplo de 4.
 Se o último díxito é 2 ou 8, o seu cadrado termina en 4 e os díxitos precedentes forman un número par.
 Se o último díxito é 3 ou 7, o seu cadrado termina en 9 e os díxitos precedentes forman un múltiplo de 4.
 Se o último díxito é 4 ou 6, o seu cadrado termina en 6 e os díxitos precedentes forman un número impar.
 Se o último díxito é 5, o seu cadrado termina en 25 e os díxitos precedentes forman un número par.
 Polo tanto, ningún cadrado perfecto enteiro acaba en 2, 3, 7 nin 8.

 Exemplos 
12 = 1ligazón=Archivo:Square_number_1.png22 = 4ligazón=Archivo:Square_number_4.png32 = 9ligazón=Archivo:Square_number_9.png42 = 16ligazón=Archivo:Square_number_16.png52 = 25ligazón=Archivo:Square_number_25.png

A cantidade de factores (divisores) dun número cadrado perfecto é sempre impar. Ou dito doutro xeito, cúmprese que para todo número natural que non é cadrado perfecto, a cantidade dos seus factores é un número par.Todo número natural pódese descompor en factores primos e os seus correspondentes expoñentes:  ,onde N é un número natural,  son números primos e a,b,c,... os seus correspondentes expoñentes. Dado que todos os posibles divisores de N son unha combinación deste produto desde a=0,1,2,..a, b=0,1,2,...b e c=0,1,2,...c, a cantidade de divisores de N é:n = (a+1).(b+1).(c+1)...   onde n é a cantidade de factores ou divisores de calquera número natural.Posto que nun número cadrado perfecto os expoñentes a, b, c, ... son números pares, todos os factores de n serán impares e polo tanto o produto tamén é un número impar. Isto pode comprobarse revisando unha táboa de divisores.Os primeiros 50 cadrados perfectos son:

 02 = 0 ((sucesión   )) (REVISAR ISTO)

 12 = 1
 22 = 4
 32 = 9
 42 = 16
 52 = 25
 62 = 36
 72 = 49
 82 = 64
 92 = 81
 102 = 100 112 = 121
 122 = 144
 132 = 169
 142 = 196
 152 = 225
 162 = 256
 172 = 289
 182 = 324
 192 = 361
 202 = 400 212 = 441
 222 = 484
 232 = 529
 242 = 576
 252 = 625
 262 = 676
 272 = 729
 282 = 784
 292 = 841
 302 = 900 312 = 961
 322 = 1024
 332 = 1089
 342 = 1156
 352 = 1225
 362 = 1296
 372 = 1369
 382 = 1444
 392 = 1521
 402 = 1600 412 = 1681
 422 = 1764
 432 = 1849
 442 = 1936
 452 = 2025
 462 = 2116
 472 = 2209
 482 = 2304
 492 = 2401
 502 = 2500

 Cadrados seguintes e anteriores a outro 
Pode calcularse un cadrado a partir do anterior ou do anterior cadrado par/impar respecto doutro coñecido.

 A distancia entre un cadrado e o seguinte, resulta de sumar ao cadrado primeiro, 2 veces o lado do seguinte e restarlle 1: Se para 42 = 16, para 52 = 42 + (2 * 5) - 1 = 16 + 10 - 1 = 25.

Exemplos: cadrado 0, calcular cadrado 1: 0 + (2 * 1) - 1 = 00 + 02 -1 = 00 + 01 = 01
 cadrado 1, calcular cadrado 2: 1 + (2 * 2) - 1 = 01 + 04 -1 = 01 + 03 = 04
 cadrado 2, calcular cadrado 3: 4 + (2 * 3) - 1 = 04 + 06 -1 = 04 + 05 = 09
 cadrado 3, calcular cadrado 4: 9 + (2 * 4) - 1 = 09 + 08 -1 = 09 + 07 = 16
 cadrado 4, calcular cadrado 5: 16 + (2 * 5) - 1 = 16 + 10 -1 = 16 + 09 = 25
 cadrado 5, calcular cadrado 6: 25 + (2 * 6) - 1 = 25 + 12 -1 = 25 + 11 = 36
 cadrado 6, calcular cadrado 7: 36 + (2 * 7) - 1 = 36 + 14 -1 = 36 + 13 = 49Outra maneira de calcular a distancia é tendo en conta a seguinte propiedade:
A diferenza entre un número cadrado e o consecutivo (se se comeza co 0) son todos os números impares, en orde ascendente:

0 + 1 = 1

1 + 3 = 4

4 + 5 = 9

9 + 7 = 16

 A distancia entre un cadrado e o seguinte do seguinte, resulta de sumar ao cadrado primeiro, 4 veces o lado desexado -1: Se para 42 = 16, para 62 = 42 + (4 * (6-1)) = 16 + 20 = 36

Exemplos: cadrado 0, calcular cadrado 2: 0 + (4 * (2 - 1)) = 0 + 4 = 4
 cadrado 2, calcular cadrado 4: 4 + (4 * (4 - 1)) = 4 + 12 = 16
 cadrado 4, calcular cadrado 6: 16 + (4 * (6 - 1)) = 16 + 20 = 36
 cadrado 6, calcular cadrado 8: 36 + (4 * (8 - 1)) = 36 + 28 = 64

 cadrado 1, calcular cadrado 3: 1 + (4 * (3 - 1)) = 1 + 8 = 9
 cadrado 3, calcular cadrado 5: 9 + (4 * (5 - 1) = 9 + 16 = 25
 cadrado 5, calcular cadrado 7: 25 + (4 * (7 - 1) = 25 + 24 = 49Estes casos resultan de interese con números moi grandes, para achar en bucles o seguinte cadrado ou o seguinte cadrado de lado par/impar, especialmente en computación onde as sumas son moito menos custosas que as multiplicacións e as multiplicacións por potencias de 2 poden ser realizadas con instrucións de desprazamento de bits. Á súa vez as multiplicacións ('2 * x' ou por '4 * x' segundo o caso), dentro dun bucle pode manterse como unha suma se se garda o valor previo de suma. Nótese como en ambos os casos á dereita do todo, o seguinte cadrado, para ambos os casos resólvense con sumas.

A operación á inversa é facilmente deducible, é dicir, achar o cadrado anterior a outro dado.

 A distancia entre un cadrado e o anterior, resulta de restar ao cadrado primeiro, 2 veces o lado actual e sumarlle 1:  Se para 62 = 36, para 52 = 62 - (2 * 6) + 1 = 36 - 12 + 1 = 25

 A distancia entre un cadrado e o anterior do anterior, resulta de restar ao cadrado 4 veces o lado actual -1: Se para 62 = 36, para 42 = 62 - (4 * (6-1)) = 36 - 20 = 16

 Cadrados como sumas 
O n-ésimo número cadrado pode ser calculado do resultado obtido nas dúas anteriores posicións e ao que se lle engade o (n − 1)-ésimo cadrado de si mesmo, subtraendo o (n − 2)-enésimo cadrado, e engadindo 2 (). Por exemplo,
2×52 − 42 + 2 = 2×25 − 16 + 2 =
50 − 16 + 2 = 36 = 62.

É a miúdo útil notar que o cadrado de calquera número pode ser representado como a suma 1 + 1 + 2 + 2 +... + n − 1 + n − 1 + n. Por exemplo, o cadrado de 4 ou 42 é igual a 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. Este é o resultado de engadir unha columna de grosor un ao grafo cadrado de lado tres (como nun taboleiro de tres en raia). Pódese engadir tamén tres lados e catro á parte superior para obter un cadrado. Isto pode ser tamén útil para atopar o cadrado dun número grande de forma inmediata. Por exemplo, o cadrado de 52 = 502 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704. É máis fácil así:1572=1502 + 7 sumandos que buscamos a continuación: 150+151= 301. É o primeiro sumando e os demais son máis fáciles de atopar, 303, 305,307, 309, 311, 313. Conclusión 22500+ 301+ 303 + 305 +307 + 309 + 311 + 313 = 24649

Un número cadrado pode ser considerado tamén como a suma de dous números triangulares consecutivos. A suma de dous números cadrados consecutivos é un número cadrado centrado. Cada cadrado impar é ademais un número octogonal centrado.

 Números cadrados pares e impares 
O cadrado dun número par sempre é par (de feito é divisible por 4), xa que (2n)2 = 4n2.

O cadrado dun número impar é sempre impar, xa que (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.

Disto séguese que a raíz cadrada dun cadrado perfecto par sempre é par, e a raíz cadrada dun cadrado perfecto impar sempre é impar. Este feito emprégase moito nas demostracións (véxase raíz cadrada de 2).

 Suma dos primeiros n cadrados 
Para o primeiros cinco cadrados perfectos



Xeneralizando para os primeiros n cadrados perfectos resulta a suma

 Construción de cadrados perfectos 

 O produto de dous pares consecutivos sumánolle 1 é un cadrado perfecto

Exemplo: 52·54 + 1 = 2809, cadrado de 53.Compróbase multiplicando as súas formas típicas e ao produto súmaselle 1

 O produto de dous impares consecutivos máis 1 é un cadrado perfecto.

Por exemplo, 95·97 + 1 = 9216. Nos dous casos achamos o cadrado da media aritmética dos factores.

 O produto de catro enteiros consecutivos aumentado en 1 é un cadrado perfecto.

Róbinson Castro: Álgebra moderna e introducción a geometría algebraica (2013) Por exemplo 13·14·15·16 + 1 = 43681, cadrado de 209.

 O produto dun múltiplo dun número polo múltiplo transconsecutivo do mesmo máis o cadrado do xerador é cadrado perfecto.

Por exemplo, 7, 14, 21, 28, 35 son múltiplos de 7. Logo 21·35 + 49 = 784, cadrado de 28.Castro: Ibídem

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
 Weisstein, Eric W. «Square Number».  En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
 Outros artigos 
 Potenciación
 Raíz cadrada
 Ecuación de segundo grao
 Número triangular
 Función cadrática

 Ligazóns externas 
 Alpertron.com.ar Un applet XAVA que descompón un número natural na suma de catro cadrados.

Categoría:Aritmética
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas