Sólido de revolución

miniatura|280x280px|Revolución de poliedros (Matemateca Ime-Usp)
En matemáticas, enxeñería e na industria, un sólido de revolución é unha figura sólida que obtida pola rotación dun plano de curva arredor dunha recta (o eixo), que se atopa no mesmo plano.

Supondo que a curva non cruce o eixo, o volume do sólido será igual á lonxitude do círculo descrito polo centroide da figura, multiplicada pola área da figura (segundo o teorema do centroide de Papo-Guldino).

Un disco representativo é un elemento de volume tridimensional dun sólido de revolución. O elemento créase facendo xirar un segmento de liña (de lonxitude w ) arredor dalgún eixe (situado a r unidades de distancia), de xeito que se pecha un volume cilíndrico de  unidades.


 Achar o volume 
Dous métodos comúns para atopar o volume dun sólido de revolución son: o método de disco e o método de integración de capas. Para aplicar estes métodos, é máis doado debuxar a gráfica en cuestión; identificar a zona que se xira arredor do eixo de revolución; determinar o volume dun disco en forma de rebanda dun sólido, con espesor δx, ou unha capa cilíndrica de ancho δx ; e despois atopar o límite da suma destes volumes cando δx se achega a 0, un valor que pode ser encontrado escollendo unha integral adecuada.

 Método de disco 
dereita|miniatura| Disco de integración no eixo y
O método do disco utilízase cando a porción que foi debuxada é perpendicular ao eixe de revolución; é dicir, cando a integración é paralela ao eixe de revolución.

O volume do sólido formado pola rotación da área entre as curvas de  e  e as liñas de  e  arredor do eixo x vén dado por



Se  (por exemplo, xirando unha área entre a curva e o eixo x), redúcese a:



O método pódese visualizar considerando un rectángulo horizontal delgado entre y e  na parte superior e  na parte inferior, e tendo no eixe y a forma dun anel (ou disco no caso de que  ), con raio externo  e raio interior  . A área dun anel é , onde R é o raio exterior no (neste caso,  ) e r é o raio interno (neste caso,  ) . O volume de cada disco infinitesimal é polo tanto  . O límite de Riemann é a suma dos volumes do disco entre a e b que se fan integral (1).

 Método do cilindro 
dereita|miniatura| A integración de capas
O método da capa cilíndrica utilízase cando a porción que foi debuxada é paralela ao eixo de revolución; é dicir, cando a integración é perpendicular ao eixo de revolución.

O volume do sólido formado ao xirar a área comprendida entre as curvas de  e  e as liñas de  e  arredor do eixe y vén dado por:



Se  e g xirando unha área entre a curva e o eixo y, redúcese a:



miniatura| Sólidos en repouso
miniatura| Sólidos rotativos formando Sólidos de revolución
O método pódese visualizar considerando un rectángulo vertical delgado en x con altura , e tendo no eixe y, a forma dunha capa cilíndrica. A superficie lateral dun cilindro é , onde r é o raio (neste caso x) e h é a altura (neste caso ). Sumando todas as áreas de superficie ao longo do intervalo dáse o volume total.

 Forma paramétrica 
miniatura| Matemáticas e arte: estudo dun vaso como sólido de revolución por Paolo Uccello; século XV
Cando unha curva se define pola súa forma paramétrica  nalgún intervalo , os volumes dos sólidos xerados ao xirar a curva ao redor do eixo x ou do eixo y veñen dados por: 





Nas mesmas circunstancias, as áreas superficiais dos sólidos xerados ao xirar a curva ao redor do eixo x ou do eixo y veñen dadas por 





 Notas 

 Véxase tamén 

 Outros artigos 
 Matemáticas e arte
 Superficie de revolución
 Teoremas de Pappus-Guldinus
 Sólidos platónicos

 Ligazons externas 


  ()
 Weisstein, Eric W. «Solid of Revolution» (en inglés). MathWorld 

Categoría:Cálculo
Categoría:Xeometría
Categoría:Sólidos xeométricos
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas