Topoloxía produto

Chámase topoloxía produto a unha topoloxía construída sobre o produto cartesiano de espazos topolóxicos a partir da topoloxía dos factores. Foi introducida en 1930 por Tychonoff, como a topoloxía menos fina que converte ás proxeccións sobre cada factor en aplicacións continuas.Tychonov, A. (1930). Über die topologische Erweiterung von Räume, Math. Ann. 102, 544-561.

Esta topoloxía coincide no caso de produto dun número finito de factores con outra quizais máis obvia, chamada topoloxía de caixas, introducida previamente por Tietzeen 1923. Tietze, H. (1923). Beitrage zur allgemeinen topologie I, Math. Ann. 88, 280-312. Pero a topoloxía de caixas presenta propiedades indesexables para un produto de infinitos factores: entre outras, o produto de espazos conexos non é necesariamente conexo, nin o de compactos necesariamente compacto, cousas que si suceden para a topoloxía produto.Rubiano, G. N. Topología general. Unibiblos. ISBN 958-701-108-2. (Capítulo 4)

Por todo iso, sobreenténdese que nun produto cartesiano, salvo que se especifique o contrario, úsase sempre a topoloxía produto,

 Definición formal 
Sexa  unha familia arbitraria (talvez infinita) de espazos topolóxicos. Chamemos X ao seu produto cartesiano, i.e.  e  á proxección sobre o factor correspondente.

Podemos dotar a X da topoloxía produto, que é aquela que ten como unha subbase aos conxuntos da forma  onde cada  é un aberto de  .

Isto é, a topoloxía produto é a topoloxía xerada polos conxuntos da forma  , onde B é algún subconxunto finito de A, e  é aberto en  para cada 

 Base da topoloxía 
A intersección finita de elementos da subbase dará lugar aos elementos da base, con distinto resultado segundo tratemos cun produto dun número finito ou infinito de espazos

 Produto dun número finito de factores 
Neste caso a topoloxía produto será a que ten por base as caixas abertas, é dicir, o produto cartesiano de abertos 

 Produto de infinitos factores 
Aquí os abertos básicos serán da forma:



Isto condicionará a forma dos abertos V da topoloxía produto: todo aberto debe verificar que  para todos os índices salvo para un conxunto finito, pois debe conter un aberto básico que se proxecta desta forma.

 Relación con outras propiedades topolóxicas 

 Separación
 Todo produto de espazos T0 é T0
 Todo produto de espazos T1 é T1
 Todo produto de espazos Hausdorff é Hausdorff.
 Compacidade
 Todo produto de compactos é compacto (Teorema de Tychonoff)
 Pero un produto de espazos localmente compactos non ten por que ser localmente compacto.
 Conexión
 Todo produto de espazos conexos é conexo.
 Todo produto de espazos arcoconexos é arcoconexo.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Ligazóns externas 
 Wikibooks ten un manual sobre Espazos Métricos, incluíndo un capítulo sobre topoloxía produto.
Categoría:Topoloxía