Nó de trevo

O nó trevo, nó de trevo ou nó trifolio é o exemplo máis sinxelo dun nó non trivial. Pódese obter unindo os dous extremos, dando como resultado un lazo anoado. Do mesmo xeito que o nó simple, o nó trevo é fundamental para o estudo da teoría matemática de nós, onde ten diversas aplicacións en topoloxía e xeometría.

O nó chámase así polo seu parecido coas follas do trevo.

 Descrición 
O nó de trevo pódese definir coas seguintes ecuacións paramétricas:

 ·         



Calquera deformación continua da curva anterior tamén é  considerada un nó de trevo. En concreto, calquera curva isotópica nun nodo de trevo tamén se considera un nodo de trevo. Ademais, a imaxe especular (ou espellada) dun nó de trevo tamén se considera un trevo. En topoloxía e teoría de nós, o trevo normalmente defínese usando un diagrama de nós en lugar dunha ecuación paramétrica explícita.

Na xeometria alxébrica, o trevo tamén pode ser obtido como a intersección en C2 da esfera tridimensional unitaria S3 coa curva plana complexa de ceros do polinomio complexo z2 + w3 (unha parábola semicúbica).

Se un extremo dunha cinta ou faixa se xira tres veces e despois se pega ao outro, o bordo do papel forma un nó de folla de trevo.Shaw, George Russell (). Knots: Useful & Ornamental, p.11. ISBN 978-0-517-46000-9.

 Simetría 
O nó de trevo é quiral, no sentido de que se pode distinguir da súa propia imaxe especular. As dúas variantes resultantes coñécense como trevo zurdo e trevo destro. Non é posíbel deformar continuamente un trevo zurdo nun trevo destro, ou viceversa. (É dicir, os dous trevos non son isotópicos). Aínda que o nó trevo é quiral, tamén é invertíbel, o que significa que non hai distinción entre un trevo orientado no sentido antihorario e un trevo orientado no sentido horario. É dicir, a quiralidade dun trevo depende só da forma en que se producen os cruces, non da orientación da curva.
miniatura|220x220px| O nó da man convértese nun nó de trevo xuntando os extremos.

 Non trivialidade 
O nó de trevo non é trivial, o que significa que non é posible "desatar" un nó de trevo en tres dimensións sen cortalo. Desde un punto de vista matemático, isto significa que un nó trevo non é isotópico a un círculo, que é o nó trivial. En particular, non hai unha secuencia de movementos de Reidemeister que desata un trevo.

Probar isto require construír un nodo invariante que distinga o trevo do nodo trivial. O invariante máis sinxelo que fai isto é a propiedade de ser tricolorizábel ou non: o trevo é tricolorizábel, pero o nó trivial non. Ademais, practicamente todos os invariantes de nós polinómicos distinguen o trevo dun nodo trivial, como a maioría dos invariantes de nodos relevantes.

 Clasificación 
Na teoría dos nós, o nó de trevo é o primeiro nó non trivial, e é o único nó con tres cruces. É un nodo primo, e aparece como 3_1 en notación de Alexander-Briggs. A notación de Dowker para o trevo é 4 6 2, e a notación de Conway para o trevo é [3].

O trevo pódese describir como o nó toral (2,3). Tamén é o nó que se obtén ao pechar a trenza σ13.

O trevo é un nó alternado. Non obstante, non é un nó de corte, o que significa que non restrinxe un disco bidimensional suave á bola de catro dimensións; unha forma de probalo é notar que a súa sinatura non é cero. Outra proba é que o teu polinomio de Alexander non cumpre a condición de Fox-Milnor.

O trevo é un nó fibrado, o que significa que o seu complemento  é un feixe de fibras no círculo . No modelo trevo como o conxunto de pares  de números complexos tales que  e , este paquete de fibras ten o mapa de Milnor  como a súa fibración, e un toro cun burato como superficie da fibra.

 invariantes 
O polinomio de Alexander do nó de trevo éː



e o polinomio de Conway éː



O polinomio de Jones é ː



e o polinomio de Kauffman do trevo éː



O grupo do nó do trevo vén dado pola presentación



ou, equivalentemente,



Este grupo é isomorfo ao grupo de trenzas de tres cordas.

 Na relixión e na cultura 
Como o nó non trivial máis sinxelo, o nó trevo é un motivo común en iconografía e artes visuais. Por exemplo, a forma común do símbolo triquetra é un trevo, como algunhas versións do Valknut. Tamén é un símbolo usado empregado por San Patricio como metáfora da Trindade, debido a que xa era unha planta e un número (o tres) significativo para os nativos da illa. 

 Galería de fotos 

 Notas 

 Véxase tamén 

 Outros artigos 
 Nó  
 Teoría de nós
 Triquetra, símbolo orixinario da tradición celta e doutras tradicións que se relaciona co nó de trevo
 Cruz carolinxia
 Trevo
 Shamrock

 Ligazóns externas 
 Wolframalpha: nó (2,3)-toro

Categoría:Topoloxía