Produto de Cauchy

En matemáticas, defídese o produto de Cauchy, así denominado en honra do matemático francés Augustin Louis Cauchy, como unha convolución discreta de dúas series estritamente formais, que se manipulan sen prestar atención a aspectos de converxencia, xeralmente, de números reais ou complexos, tales como



Sendo pois o produto de Cauchy:



para n = 0, 1, 2,...

Non é preciso que as series sexan converxentes. Véxase por exemplo Serie formal de potencias.

É de esperar, que por analoxía coas sumas finitas, no caso en que as dúas series fosen converxentes, a suma da serie infinita



sexa igual ao produto



do mesmo xeito que isto sería correcto se cada unha das dúas sumas que se multiplican posúe un número finito de termos.

En casos suficientemente ben comportados, cúmprese coa expresión anterior. Pero, e este é un punto importante, o produto de Cauchy de dúas sucesións existe aínda no caso de que unha ou ambas as dúas series infinitas correspondentes non fosen converxentes.

 Exemplos 

 Serie finita 
 para todo  e  para todo . Neste caso o produto de Cauchy de  e  é . Polo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), a multiplicación de Cauchy é directamente a multiplicación das series.

 Serie infinita 

 Primeiro exemplo. Sexan , sexa  e . Entón



 por definición e pola fórmula binomial. Dado que, formalmente,  e , demostrouse que . 
 Como o límite do produto de Cauchy de dúas series absolutamente converxentes é igual ao produto dos límites desas series (véxase abaixo), demostrouse polo tanto a fórmula  para todo .

 Segundo exemplo. Sexa  para todo , temos

 logo  para todo .  
 Entón o produto de Cauchy é  e así  non é converxente.

 Serie infinita como convolución discreta 
Podemos organizar cada sumando do produto en forma de matriz cos coeficientes da combinación de elementos todos por todos: 
 ,
desde o punto de vista desta matriz o produto de Cauchy é unha convolución discreta  formada pola suma das antidiagonais:



 Converxencia e teorema de Mertens 
Sexan x, y sucesións reais, Franz Mertens demostrou que se a serie  converxe a Y e a serie  converxe absolutamente a X entón o produto de Cauchy delas  converxe a XY. Non é suficiente con que ambas as series sexan condicionalmente converxentes. Por exemplo, a sucesión  xera unha serie condicionalmente converxente pero a sucesión  non converxe a 0.

 Demostración do teorema de Mertens 
Sexa ,  e .. Entón  se se reordena. Polo tanto . Fixando un . Dado que  é absolutamente converxente e  é converxente entón existe un enteiro N tal que para todo   e un enteiro M tal que para todo   (dado que a serie converxe, a sucesión debe converxer a 0). Tamén, existe un enteiro L tal que se  entón . Polo tanto, 



para todos os enteiros n maiores que N, M e L. Pola definición de converxencia dunha serie .

 Teorema de Cesàro 
Se x e y son sucesións reais e  e  entón 

 Xeneralizacións 
Todo o enunciado nas seccións precedentes é aplicable ás sucesións de números complexos . Pódese definir tamén o produto de Cauchy para series en espazos euclidianos  onde a multiplicación é o produto interno. Neste caso, verifícase que se dúas series converxen en forma absoluta entón o seu produto de Cauchy converxe en forma absoluta ao produto interno dos límites.

 Véxase tamén 
Bibliografía



Categoría:Análise matemática