Madhava de Sangamagrama

Iriññāttappiḷḷi Mādhavan Nampūtiri, coñecido como Mādhava de Sangamagrāma, nado no reino de Cochim arredor de 1340 e finado arredor de 1425, foi un matemático e astrónomo indio, posiblemnte da cidade de Kallettumkara, Aloor Panchayath, Irinjalakuda no distrito de Thrissur, Kerala. Está considerado o fundador da Escola de Astronomía e Matemáticas de Kerala. Un dos maiores matemáticos da Idade media, Madhava realizou contribucións pioneiras no estudo das series infinitas, a análise, a trigonometría, a xeometría e a álxebra. Foi o primeiro que empregou aproximacións mediante series para as funcións trigonométricas, o que se denominou "o paso adiante decisivo dende os procedementos finitos da matemática antiga cara ao paso ao límite no infinito".

Algúns estudosos suxeriron que a obra de Madhava, mediante os escritos da escola de Kerala, foi transmitida a Europa mediante misioneiros xesuítas e comerciantes activos no antigo porto de Muziris nesa época. Como resultado, puido ter influencia no desenvolvemento posterior en Europa da análise e o cálculo.

 Contribucións 
 Series infinitas 
Entre as súas moitas contribucións, descubriu as series infinitas para as funcións trigonométricas do seno, o coseno e o arcotanxente e moitos métodos de cálculo da circunferencia dun círculo. Unha das series de Madhava coñécese polo texto do Yuktibhāṣā, que contén a a derivación e a demostración da serie de potencias para as función trigonométricas inversas, descubertas por Madhava. No texto, Jyeṣṭhadeva describe a serie do seguinte xeito:

Isto dá:

ou equivalentemente:

Esta é a serie de Gregory (por James Gregory, que a redescubriu tres séculos despois de Madhava). Mesmo se consideramos esta serie particular como obra de Jyeṣṭhadeva, adiantouse a Gregory nun século e certamente outra serie infinita dunha natureza similar foi traballada por Madhava. Actualmente denomínase serie de Madhava-Gregory-Leibniz.

 Trigonometría 
Madhava compuxo unha táboa de senos ben axustada. Marcando un cuadrante con vinte e catro intervalos iguais, deu as lonxitudes das semicordas (senos) correspondentes a cada un deles. Crese que calculou estes valores baseándose nestas expansións en series:

 Valor de π 
A obra de Madhava sobre o valor da constante pi foi citada no Mahajyānayana prakāra ("Método para os grandes senos"). Mentres algúns estudosos como Sarma cren que este libro puido ser escrito polo propio Madhava, é máis probable que fose obra dun sucesor do século XVI. Este texto atribúe a maioría das expansións de Madhava, e dá a seguinte serie infinita para π, coñecida como serie de Madhava-Leibniz:



que obtivo da expansión dunha serie de potencias da función arcotanxente. Porén, o máis impresionante é que tamén deu o termo de corrección Rn para o erro tras calcular a suma ata n termos, namely:

 , ou
 , ou
 ,

onde a terceira corrección leva a cálculos máis exactos de π.

Especulouse como atopou Madhava estes termos.T. Hayashi, T. Kusuba and M. Yano. "The correction of the Madhava series for the circumference of a circle", Centaurus 33 (páxinas 149–174). 1990. Son os primeiros tres converxentes dunha fracción continua finita, o que, combinado coa serie orixinal de Madhava avaliada en n termos, dando arredor de 3n/2 díxitos de corrección:



O valor absoluto do termo de corrección na seguinte orde superior é

 .

Tamén deu unha serie que converxe máis rapidamente transformando a serie infinita orixinal de π, obtendo as series infinitas



Empregando os primeiros 21 termos para calcular unha aproximación de π, obtivo o valor correcto con 11 cifras dixitais (3,14159265359). Ás veces atribúese a Madhava o valor de 3,1415926535898, con trece cifras decimais,O valor exacto de π con trece cifras dixitais, 3,1415926535898, pode acadarse usando a expansión da serie infinita de π/4 (a primeira secuencia) chegando ata n=76. mais puido ser obra dun dos seus seguidores. Foron as mellores aproximacións de π dende o século V. O texto Sadratnamala parece dar un valor sorprendentemente exacto de π = 3,14159265358979324 (17 decimais). Segundo isto, R. Gupta suxeriu que este texto tamén puido ser escrito por Madhava.

Madhava tamén levou investigacións noutras series para lonxitudes de arco e aproximacións asociadas a fraccións racionais de π, atopou métodos de expansión polinómica, descubriu criterios de converxencia de series infinitas, e a análise de fraccións continuas infinitas.Ian G. Pearce (2002). Madhava of Sangamagramma. MacTutor History of Mathematics archive. Universidade de St Andrews Tamén descubriu as solucións das ecuacións transcendentes por iteración e atopou a aproximación de números transcendentes mediante fraccións continuas.

 Cálculo 
Madhava estableceu os fundamentos para o desenvolvemento do cálculo infinitesimal, posteriormente desenvolvidos polos seus sucesores na escola de Kerala. Madhava tamén estendeu algúns resultados atopados en traballos anteriores, como os de Bhāskara II. Porén, é dubidoso se algunha destas ideas foron transmitidas a occidente, onde o cálculo se desenvolveu de xeito independente por Isaac Newton e Leibniz.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Ligazóns externas 
 Biography on MacTutor 

Categoría:Nados na India
Categoría:Nados no século XIV
Categoría:Finados no século XV
Categoría:Matemáticos da India
Categoría:Astrónomos da India