Función eta de Dirichlet

Nas matemáticas, na área da teoría analítica de números, a función eta de Dirichlet defínese como



onde ζ é a función zeta de Riemann. Tamén pode ser usada para definir a función zeta. Ten unha expresión en serie de Dirichlet, válida para todo número complexo s con parte real positiva, dado por



Aínda que esta é converxente só para s con parte real positiva, é sumable Abel para todo número complexo, o que permite definir a función eta como unha función completa, e mostra que a función zeta de Riemann é meromórfica cun polo simple en s = 1.

En forma equivalente, pódese definir



na rexión de parte real positiva. Isto dá por resultado a función eta como unha transformada de Mellin.

Hardy deu unha demostración simple da ecuación funcional para a función eta, que é



A partir disto, pódese obter tamén en forma directa a ecuación funcional da función eta, como así mesmo atopar outro modo de estender a definición de eta a todo o campo dos números complexos.

 Método de Borwein 
Peter Borwein utilizou aproximacións baseadas nos polinomios de Chebyshov para desenvolver un método para avaliar en forma eficiente a función eta. Se



entón



onde o termo erro γn atópase acoutado por



onde .

 Valores particulares 
Véxase tamén constante zeta

 η(0) = 1⁄2, a suma de Abel da serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.
 η(−1) = 1⁄4, a suma de Abel de 1 - 2 + 3 - 4 + . . ..
 Para k enteiro > 1, se Bk é o k-esimo número de Bernoulli entón


Tamén:

 , esta é serie harmónica alternada







A forma xeral para enteiros positivos pares é:

 Notas 

 Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34.
 Xavier Gourdon e Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function, Numbers, constants and computation (2003)
 Borwein, P., http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/


Categoría:Funcións