Rectángulo dourado

O rectángulo dourado (denominado tamén rectángulo áureo ou rectángulo de ouro) é un rectángulo que posúe unha proporcionalidade  entre os seus lados igual á razón áurea. Ao dividir a base deste rectángulo pola súa altura, obtense o número áureo 1.618. Ao subtraer a imaxe dun cadrado igual ao do seu lado menor, o rectángulo resultante é igualmente un rectángulo dourado. A partir deste rectángulo pódese obter a espiral dourada, que é unha espiral logarítmica.

 Construción 
miniatura|Un método para construír un rectángulo dourado. O cadrado está punteado en vermello. As dimensións resultantes son a razón áurea.
Na matemática clásica constrúese mediante regra e compás seguindo os pasos:

 Constrúese un cadrado de lado unidade 
 Trázase unha liña desde a metade do lado do cadrado () até un dos vértices do lado oposto, dando un segmento 
 Empregando esta liña  como raio, colócase a punta do compás na metade do cadrado e abátese até cortar en .
 Complétase o rectángulo  así como o rectángulo .

 Desenvolvementos 
De acordo co divulgador científico Mario Greco, desde a publicación do libro de Bruno Miere titulado Divina Proportione en 1509, é cando a razón dourada aparece descrita nos tratados de arte e de arquitectura, facendo que moitos artistas e arquitectos a empregasen a súa cantidade no deseño por consideralo esteticamente agradable.Pacioli, Luca. De divina proportione, Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venecia.Van Mersbergen, Audrey M., Rhetorical Prototypes in Architecture: Measuring the Acropolis with a Philosophical Polemic, Communication Quarterly, Vol. 46, 1998 ("a 'Golden Rectangle' has a ratio of the length of its sides equal to 1:1.61803+. The Parthenon is of these dimensions.")

 Alxébrica 
Se a lonxitude do lado maior se denomina , tense  por definición:



Isto leva a resolver a ecuación de segundo grao:



Na que unha das dúas raíces é a proporción dourada.

 O rectángulo de Euclides 
Trátase dunha das demostracións máis coñecidas desde a antigüidade.

miniatura|esquerda|Euclides obtén o rectángulo áureo  a partir do cadrado . O rectángulo  é así mesmo áureo.

O rectángulo cuxos vértices se definen polos puntos  defínese como áureo debido a que o seu lado maior  e o seu lado curto  presentan a proporción do número áureo. O matemático grego Euclides, na súa obra Os elementos, obtén a súa construción. Sendo o triángulo  pitagórico, tense que  (a hipotenusa) ten como valor:



Con centro en , prolongando até a recta , obtense por intersección o punto , e por tanto:



con todo iso pódese ver que resulta evidente que os lados:



de onde:



Por outra banda, os rectángulos  e  son semellantes, de modo que este último é así mesmo un rectángulo áureo.

 Na arquitectura 
O rectángulo áureo foi cualificado polos gregos clásicos como unha das figuras xeométricas máis belamente estruturadas. Por un longo lapso de séculos, os arquitectos utilizaron este cuadrilátero para templos, rañaceos e edificacións de diversa índole, desde o Partenón de Atenas (s. V a.C.), cuxa fachada dianteira se inscribe nun rectángulo áureoClemens y coautores: «Geometría /con aplicaciones y solución de problemas» ISBN 0-201-64407-X até a sede das Nacións Unidas.

 Galería 

 O rectángulo dourado na industria 

 A norma DIN 476 é a que define a medida do DIN A4 e outros tamaños de papel. O DIN A4 e os seus derivados A3, A2... non manteñen as proporcións do rectángulo dourado, senón que manteñen a relación , casualmente a proporción que usaba Policleto para o seu canon.

 Investigacións psicolóxicas 
As pescudas e debates sobre o tema naceron no s. XIX cos experimentos de Fechner, que tentou confirmar a superioridade estética do rectángulo dourado a través de investigacións dirixidas a demostrar a súa preferencia polos humanos.

A enquisa realizouse segundo tres metodoloxías complementarias.

 De elección (Wahl): solicitude aos suxeitos para escolleren os rectángulos que preferían.
 De produción (Herstellung): os suxeitos debuxan o rectángulo que consideran máis agradábel.
 De uso (Verwendung): medindo obxectos de uso cotián para verificar a presenza da proporción áurea.

Nos resultados publicados en 1879 só a primeira enquisa deu un resultado positivo, segundo as súas conviccións, cunha preferencia do 35% polo rectángulo dourado. Porén, de inmediato xurdiron críticas ao método do experimento. Fechner amosara a 347 persoas unha disposición de 10 rectángulos de igual área coa relación entre os lados en orde crecente (de 1:1 a 1:2,5), na que o rectángulo dourado ocupaba a 7ª posición, preguntando cal era máis agradábel. As críticas xurdiron en tres ordes de observación: 
 Ter desatendido a influencia da orientación vertical ou horizontal na elección das persoas.
 A influencia da posición mediana. Os suxeitos puideron estar orientados a indicar o rectángulo dourado xa que representaba a figura coas proporcións medias entre os presentados.
 Os suxeitos non foron escollidos ao azar e sobre todo eran conscientes das crenzas do científico, o que supón todos os posibles problemas para os que hoxe se adopta o procedemento de dobre cego.

Os experimentos, aínda que só un deu o resultado esperado, abriron unha liña de investigacións nas que a preferencia pola sección dourada resultou cada vez máis unha quimera, até que finalmente tivo unha conclusión negativa na última década do século XX.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Outros artigos 
 Número áureo
 Ligazóns externas 
 The Golden Mean and the Physics of Aesthetics
 Golden rectangle demonstration With interactive animation
 From golden rectangle to golden quadrilaterals Explores some different possible golden quadrilaterals


Categoría:Cuadriláteros
Categoría:Xeometría
Categoría:Matemáticas