Espiral dourada

miniatura|As espirais áureas son autosimilares. A forma repítese indefinidamente cando se amplía. (Fractais)
A espiral dourada (denominada tamén espiral áurea) é unha espiral logarítmica asociada ás propiedades xeométricas do rectángulo dourado.Steven L. Griffing, (2007), The Golden Section: An Ancient Egyptian and Grecian Proportion, Elsevier, New York, pág. 121-124 A razón de crecemento é Φ, é dicir a razón dourada ou número áureo. Aparece esta espiral representada en diversas figuras da natureza (plantas, galaxias espirais), así como na arte.

 Desenvolvemento matemático 
A ecuación polar que describe a espiral dourada é a mesma que calquera outra espiral logarítmica, pero co factor de crecemento () igual Φ, isto é:



ou, da mesma forma 



Sendo e a base do logaritmo natural,  é unha constante real positiva e  é tal que cando o ángulo θ é un ángulo recto:



Por tanto,  atópase determinado por



O valor numérico de  depende de se o ángulo θ é medido en graos ou radiáns; como  pode tomar valores positivos ou negativos segundo o signo de θ o máis sinxelo é indicar o seu valor absoluto:
dereita|miniatura|Unha espiral de Fibonacci aproxímase á espiral dourada cando se inscribe en cadrados cuxos lados responden á sucesión de Fibonacci:  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

   para θ en graos

 para θ en radiáns

Unha fórmula alternativa para a espiral dourada obtense en:



onde a constante  está determinada por:



para a espiral dourada os valores de  son:



se θ se mide en graos sexaxesimais, e



se θ se mide en radiáns.

miniatura|370px|Espirais douradas verdadeiras e aproximadas: a espiral verde está formada por cuartos de circunferencias inscritas en cadrados; a espiral vermella é unha espiral dourada, un tipo particular de espiral logarítmica. Ao solaparse as dúas espirais, obtense a espiral amarela

 Aproximacións á espiral dourada 

Existen aproximacións á espiral dourada, que non son iguais. Este tipo de espirais, a miúdo confúndense coa espiral dourada. Un exemplo é a espiral de Fibonacci que resulta ser unha aproximación á espiral dourada.

 Galería 

 Notas 

 Véxase tamén 

 Outros artigos 

 Número áureo

 Ligazóns externas 

 Método de construción a partir dun cadrado
 Vídeo que apoia o uso da espiral áurea nas artes 
 Vídeo que critica a espiral áurea como un mito no deseño gráfico 

Categoría:Matemáticas
Categoría:Xeometría