Construción dun cuadrilátero por mediatrices

En xeometría, a construción dun cuadrilátero por mediatrices é un procedemento que produce un novo cuadrilátero a partir dun cuadrilátero dado usando as mediatrices trazadas polos lados do cuadrilátero inicial. Esta construción xorde naturalmente nun intento de atopar unha analoxía coa circunferencia circunscrita dun cuadrilátero no caso de que non ser cíclico.

 Definición da construción 
Supoñamos que os vértices do cuadrilátero  veñen dadas por . Sexan  as mediatrices dos lados  respectivamente. Así, as súas interseccións , cos subíndices considerados co módulo 4, forman o conseguinte cuadrilátero . A construción itérase en  para producir  etcétera.

Pódese obter unha construción equivalente facendo que os vértices de  sexan os circuncentros dos 4 triángulos formados ao seleccionar combinacións de 3 vértices de .

 Propiedades 
 Se  non é cíclico,   non está dexenerado.J. King, Quadrilaterals formed by perpendicular bisectors, in Geometry Turned On, (ed. J. King), MAA Notes 41, 1997, pp. 29–32.
 O cuadrilátero  nunca é cíclico.J. King, Quadrilaterals formed by perpendicular bisectors, in Geometry Turned On, (ed. J. King), MAA Notes 41, 1997, pp. 29–32. Combinando # 1 e # 2,  sempre é non dexenerado.
 Os cuadriláteros  e  son homotéticos e, en particular, semellantes.G. C. Shephard, The perpendicular bisector construction, Geom. Dedicata, 56 (1995) 75–84. e  tamén son homotéticos.
 A construción mediante as mediatrices pódese inverter a través do conxugado isogonal.O. Radko and E. Tsukerman, "The Perpendicular Bisector Construction, the Isoptic Point and the Simson Line of a Quadrilateral", Forum Geometricorum 12: 161–189 (2012). É dicir, dado  é posible construír .
 Sexan  os ángulos de . Para cada , a relación de áreas de  e  vén dada por .
 Se  é convexo, a secuencia de cuadriláteros  converxe ao punto isóptico de , que tamén é o punto isóptico para cada . Do mesmo xeito, se  é cóncavo, a secuencia  obtida ao inverter a construción converxe ao punto isóptico de .

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 

 J. Langr, Problema E1050,  Amer. Mates. Mensual , 60 (1953) 551.
 V. V. Prasolov, "Plane Geometry Problems", vol. 1 (en ruso), 1991; Problema 6.31.
 D. Bennett, a xeometría dinámica renova o interese nun vello problema, en Geometry  Turned On  (editor J. King), MAA Notes 41, 1997, pp. 25-28.
 J. King, Cuadriláteros formados por bisectrices perpendiculares, en Geometry  Turned On  (editor J. King), MAA Notes 41, 1997, pp. 29-32.
 G. C. Shephard, A construción bisectriz perpendicular,  Geom. Dedicata , 56 (1995) 75-84.
 A. Bogomolny, Cuadriláteros formados por bisectrices perpendiculares , Miscelánea interactiva de matemáticas y acertijos.
 B. Grünbaum, En cuadrángulos derivados de cuadrángulos-Parte 3,  Geombinatorics  7 (1998), 88-94.
 Ou. Radko e E. Tsukerman, The Perpendicular Bisector Construction, the Isoptic Point e Simson Line of a Quadrilateral, Forum Geometricorum '12': 161-189 (2012).

Categoría:Cuadriláteros
Categoría:Xeometría