Cuadratura do círculo

A cuadratura do círculo é un problema xeométrico proposto polos matemáticos da Grecia clásica. Consiste en facer a construción con regra e compás dun cadrado coa mesma área que un círculo dado usando só un número finito de pasos. 

En 1882 demostrouse que o problema era irresoluble, como consecuencia do teorema de Lindemann-Weierstrass que demostra que pi (π) é un número transcendente, no canto de ser un número alxébrico . É dicir, pi (π) non é a raíz de ningún polinomio con coeficientes racionais. Unhas décadas antes de 1882 demostrouse que se π é un número transcendente, sería imposible a construción con regra e compás . Non foi ata este ano que se demostrou que π transcendente. Polo tanto, non se poden facer construcións xeométricas exactas da cuadratura do círculo. Por outra banda, é posible deseñar unha boa aproximación nun número finito de pasos, como consecuencia de que hai números racionais tan preto de π como queiramos. 

Dun xeito máis abstracto este problema tamén se pode entender do seguinte xeito. Dados certos axiomas da xeometría euclidiana respecto da existencia de liñas e círculos, determinan estes axiomas a existencia deste cadrado? 
miniatura| Algunhas aproximacións parciais deron durante moito tempo falsas esperanzas sobre a resolubilidade do problema. Neste debuxo a área da figura sombreada é igual á área do triángulo ABC (atopada por Hipócrates de Quíos ). 
O termo cuadratura do círculo ás veces úsase para referirse á aproximación por métodos numéricos da área dun círculo. 

 Historia 
esquerda|miniatura| Oronce Finé, Quadratura circuli, 1544 
miniatura| JP de Faurè, Dissertation, découverte, et demonstrations de la quadrature mathematique du cercle, 1747 
Os matemáticos babilonios xa coñecían diferentes métodos para aproximar a área dun círculo cun cadrado. O papiro exipcio Rhind de 1800 a.C. establece a área dun círculo como (64/81)   d 2, onde d é o diámetro do círculo, e π é aproximadamente 256/81, un número que aparece no antigo papiro matemático de Moscova e usa aproximacións por volume (é dicir, hekat). Os matemáticos indios tamén atoparon un método aproximado, aínda que menos preciso, documentado no Sulba Sutra.O'Connor, John J. and Robertson, Edmund F. (2000). The Indian Sulbasutras , MacTutor History of Mathematics archive, St Andrews University Arquímedes demostrou que o valor de π está entre 3 + 1/7 (aproximadamente 3.1429) e 3 + 10/71 (aproximadamente 3.1408). 

Anaxágoras foi o primeiro grego en asociarse co problema, que traballou na prisión. Hipócrates de Quios cuadrou algunhas lúas, esperando que isto o levase a unha solución. Antifonte, o sofista, considera que inscribir polígonos regulares dentro dun círculo e duplicar o número de pezas encherá a área do círculo e, dado que un polígono pode ser cadrado, significa que o círculo pode ser cadrado. Con todo houbo escépticos; por exemplo, Eudemo (escritor dunha obra de astronomía) postulou que as magnitudes non se poden dividir indefinidamente, polo que a área do círculo nunca se alcanzará. O problema é mencionado incluso na obra de teatro de Aristofanes As aves. 

Crese que Oenopides foi o primeiro grego en esixir unha solución usando só unha regra e un compás. James Gregory intentou demostrar a súa imposibilidade na Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (a verdadeira cuadratura do círculo e a hipérbole) en 1667. Aínda que a súa proba é incorrecta, foi o primeiro documento que intentou resolver o problema empregando as propiedades alxébricas de π . Non foi ata 1882 cando Ferdinand von Lindemann demostrou rigorosamente a súa imposibilidade.

 Imposibilidade 
Unha extensión cuadrática dun conxunto A de números son os números que se poden obter coas operacións da extracción de raíces cadradas dos números de A e as operacións de suma, resta, multiplicación e división aplicadas a pares de números que, ou son de A, ou raíces cadradas de números de A. 

O conxunto de números que se poden construír con regra e compás (os números construíbles ) son os números que se poden obter como un número finito de extensións cuadráticas dos racionais. 

Unha xeneralización do conxunto de números construíbles son os números definidos por radicais, a definición é a mesma que antes, pero non só se permiten raíces cadradas senón que son raíces de calquera índice racional (de feito coas raíces con índices de números primos chegaría). 

O conxunto de números construíbles é un subconxunto propio de números definidos por radicais, é dicir, hai números definidos por radicais que non son construíbles, como , pero todos os números construíbles están definidos por radicais. 

Os números reais que son raíces de polinomios con coeficientes racionais chámanse números alxébricos . O teorema de Abel-Ruffini demostra que hai números alxébricos que non están definidos por radicais, pero todos os números definidos por radicais son alxébricos. 

Os números que non son alxébricos chámanse transcendentes . 

A solución do problema de cuadrar o círculo con regra e compás require a construción do número , e a imposibilidade desta construción dedúcese do feito de que π é un número transcendente ( non alxébrico e, polo tanto, non construíble ). Se o problema de cuadrar o círculo se resolvese usando só regra e compás chegariamos a un valor alxébrico de π, un absurdo. Johann Heinrich Lambert conxectura en 1768 que π é transcendente no mesmo documento que demostrou a súa irracionalidade . Non foi ata 1882 cando Ferdinand von Lindemann demostrou a súa transcendencia (como corolario do teorema de Lindemann-Weierstrass ). 

É posible construír un cadrado cunha área arbitrariamente próxima á dun círculo dado. Se se usa un número racional como aproximación a π, é posible obter o cadrado do círculo en función dos valores escollidos. No entanto, isto só é unha aproximación e non cumpre as limitacións das antigas normas para resolver o problema. Varios matemáticos demostraron procedementos factibles baseados nunha variedade de enfoques. 

Ao flexibilizar as normas permitindo un número infinito de operacións con regra e compás ou realizando operacións en determinados espazos non euclidianos, tamén é posible cuadrar o círculo. Por exemplo, aínda que o círculo non pode ser cadrado no espazo euclídiano, é posible facelo no espazo Gauss-Bolyai-Lobachevsky (espazo da xeometría hiperbólica). 

Nótese que a transcendencia de π implica tanto a incapacidade de "redondear" exactamente o cadrado como a imposibilidade de cuadrar exactamente o círculo.

 Construcións aproximadas  

Aínda que a cuadratura do círculo é un problema imposible empregando só regra e compás, poden realizarse aproximacións á cuadratura mediante aproximacións a π. Só fai falta un mínimo de coñecemento da xeometría elemental para converter calquera aproximación racional de π nunha construción con regra e compás. A pesar disto, as construcións realizadas deste xeito adoitan ser moi longas en comparación coa precisión que se pode conseguir.  

Frei Martín Sarmiento achou dúas cuadraturas moi aproximadas. Para comprobarmos a súa precisión basta indicar que unha delas era equivalente a dar o número π con 6 cifras decimais exactas e a outra con 10. 

Despois de que se demostrou a irresolubilidade do problema, algúns matemáticos aplicaron o seu enxeño para atopar aproximacións elegantes á cuadratura do círculo.   

Entre as construcións aproximadas modernas, Ernest William Hobson en 1913 (ver o seu libro Hobson, Ernest William (1913). Squaring the Circle: A History of the Problem, Cambridge University Press. Reprinted by Merchant Books in 2007. ). Esta foi unha construción moi precisa que está baseada na construción do valor aproximado de 3.14164079 ..., que ten unha precisión de 4 decimais. 

O matemático indio Srinivasa Ramanujan en 1913, CD Olds en 1963, Martin Gardner en 1966 e Benjamin Bold en 1982 deron construcións xeométricas de 

que coincide en 6 decimais con π. 
miniatura| Construción aproximada de Kochański 
miniatura| Construción aproximada de Kochański 
Srinivasa Ramanujan en 1914 atopou unha construción de regra e compás que equivalía a tomar a seguinte aproximación de π 



dando a notable aproximación de 8 díxitos decimais correctos de π. 

En 1991, Robert Dixon presentou construcións para 

  e  

(Aproximación de Kochański), pero estas foron boas aproximacións ata o cuarto decimal de π. 

 O cuadratura ou integración 
O problema de atopar a área baixo unha curva, coñecida como integración no cálculo ou cuadratura de análise numérica, coñécese como cuadratura antes da invención do cálculo. Antes de que apareza o cálculo infinitesimal, suponse que unha cuadratura debe facerse mediante construcións xeométricas, é dicir, con regra e compás. Por exemplo, Newton escribiulle a Oldenberg en 1676 "Creo que ao señor Leibniz non lle gustará o teorema ao comezo da miña páxina páxina 4 para cuadrar xeométricamente liñas curvas ". (énfase engadido)  Despois de que Newton e Leibniz inventasen o cálculo, aínda se fai referencia aos problemas de integración como cuadratura ou rectificación dunha curva. 

 A cuadratura do círculo como metáfora 
A imposibilidade de resolver a cuadratura do círculo empregouse metaforicamente para describir a esperanza de resolver un problema que é ou semella imposible.

 Ver tamén 

 Os outros dous problemas xeométricos clásicos foron a duplicación do cubo e a " trisección do ángulo ", descritos no artigo "construcións con regra e compás". Ao contrario de cadrar o círculo, estes dous problemas pódense resolver empregando métodos de construción máis potentes como o origami, como se describe no artigo "Matemáticas da papiroflexia".
 Para atopar problemas relacionados máis modernos, visite o problema de cadrar o círculo de Tarski.
 O Proxecto de lei de Indiana sobre pi, en 1897, intentou nunha lexislatura estatal de Indiana fortalecer a procura dunha solución ao problema por decreto.

 Notas 

 Véxase tamén 


 Ligazóns externas 
 Cadrando o círculo ao cortar o nó 
 O círculo cadrado en MathWorld, inclúe información sobre procedementos baseados en varias aproximacións de π 
 Cadrar o círculo en converxencia 
 A cuadratura do círculo e as lunes de Hipócrates en converxencia 
 Como desenrolar un círculo  Pi preciso ata 8 decimais, empregando recta e compás. 
 Cadrado do círculo e outras imposibilidades , conferencia de Robin Wilson, no colexio Gresham, o 16 de xaneiro de 2008 (dispoñible para a súa descarga en ficheiro de texto, son ou vídeo). 
 Cuadratura 1 de Frei Martín Sarmiento, Paulo Porta. Xeometría e debuxo técnico 
 Cuadratura 2 de Frei Martín Sarmiento, Paulo Porta. Xeometría e debuxo técnico 

Categoría:Xeometría
Categoría:Teoría de corpos
Categoría:Problemas matemáticos