Corte de Dedekind

En matemáticas, un corte de Dedekind dun conxunto totalmente ordenado  é un par (, ) de subconxuntos de , que forman unha partición de , e onde todos os elementos de  son menores que calquera elemento de .

De certa maneira, este corte conceptualiza algo que estaría "entre"  e , pero que non ten por que ser un elemento de .

Richard Dedekind introduciu os cortes de Dedekind como un medio para construír o conxunto dos números reais (presentando formalmente o que hai "entre" números racionais).

 Definición 
Un corte de Dedekind dun conxunto totalmente ordenado  defínese por un par (, ), onde  e , tal que: 






Os puntos 1, 2 e 3 din que  e  constitúen unha partición de . Polo tanto, a definición de corte determina completamente unha partición.

O punto 4 establece a partición dos elementos de  nestas dúas partes. Pode demostrarse que este punto equivale a:

  e
 .

 Exemplos 

 Construción dos números reais 
Se , o conxunto de números racionais, pode considerarse o corte seguinte:




Este corte permite representar o número irracional  que aquí se define tanto polo conxunto de números racionais que teñen cadrado máis pequeno que 2 como polo dos que teñen cadrado maior que 2.

A consideración de todos os cortes de Dedekind sobre  permite unha construción do conxunto dos números reais .

 Orde dos cortes de Dedekind 
Sexan  e  dous cortes de Dedekind en . Defínese unha orde no conxunto de cortes de Dedekind de  establecendo:

 .

Pódese demostrar que o conxunto dos cortes de Dedekind  provisto desta orde posúe a propiedade do elemento principal, aínda que  non a posúa. Somerxendo  neste conxunto, esténdese a un conxunto do cal todo subconxunto limitado superiormente posúe un supremo.

 Véxase tamén 
Outros artigos
 Número real 
 Construción de números reais
 Sucesión de Cauchy 

Categoría:Teoría de conxuntos
Categoría:Teoría da orde