Teorema de Bolzano-Weierstrass

Na análise real, o teorema de Bolzano–Weierstrass é un importante teorema que caracteriza os conxuntos secuencialmente compactos.
 Enunciado 
Na análise real, o teorema de Bolzano-Weierstrass é un resultado fundamental referente á converxencia nun espazo euclidiano dimensionalmente finito Rn. O teorema establece que cada sucesión limitada en Rn ten unha subsucesión converxente. Unha formulación equivalente é que un subconxunto de Rn é secuencialmente compacto se e só se é pechado e limitado.

 Demostración 
Primeiro demostramos o teorema para  (conxunto de todos os números reais), nese caso podemos aproveitar a orde en . Así, temos o seguinte resultado:

Lema: Toda sucesión infinita  en  ten unha subsucesión monótona infinita (unha subsucesión que é non decrecente ou non crecente).

ProbaBartle and Sherbert 2000, pp. 78-79.: Chamemos "pico" da sucesión a un índice de valores enteiros positivos  dunha sucesión cando  para todo . Supoña primeiro que a sucesión ten infinitos picos, o que significa que hai unha subsucesión cos seguintes índices  e os seguintes termos . Entón, a sucesión infinita  en  ten unha subsucesión  monótona (non crecente), que é . Mais supoñamos agora que só hai un número finito de picos, sexa  o pico final se o existe (se non ) e coloquemos en  o primeiro índice dunha nova subsucesión  . Daquela  non é un pico, xa que  vén despois do pico final, o que implica a existencia de  con  e . De novo,  vén despois do pico final, polo que hai un  onde  con . A repetición deste proceso leva a unha subsucesión  infinita non decrecente , demostrando así que toda sucesión infinita  en  ten unha subsucesión monótona infinita.

Supoñamos agora que se ten unha sucesión limitada en ; polo lema demostrado anteriormente existe unha subsucesión  monótona, igualmente tamén limitada. Do teorema da converxencia monótona despréndese que esta subsucesión  converxe.

Finalmente, o caso xeral (), pódese reducir ao caso de  como segue: dada unha sucesión limitada en , a sucesión das primeiras coordenadas é unha sucesión de números reais limitada, polo que ten unha subsucesión  converxente. Pódese entón extraer unha sub-subsucesión  na que converxen as segundas coordenadas, e así sucesivamente, ata que ao final pasamos da sucesión orixinal a unha subsucesión  veces, que segue a ser unha subsucesión  do sucesión  orixinal, na que converxe cada sucesión de coordenadas, polo que a propia subsucesión  é converxente.

 Compactidade secuencial en espazos euclidianos 
Definición: Un conxunto  é secuencialmente compacto se toda sucesión  en  ten unha subsucesión  converxente que converxe a un elemento de .

Teorema:  é  secuencialmente compacto  se e só se   é pechado e limitado.

Proba: (A compactidade secuencial implica pechado e limitado)

Supoña que  é un subconxunto de  coa propiedade de que cada sucesión en  ten unha subsucesión  converxendo nun elemento de . daquela,  debe estar limitado, xa que, no caso contrario, pódese construír a sucesión sen límites , do seguinte modo. Para cada , defina  como un punto arbitrario tal que . Entón, cada subsucesión de  é ilimitada e, polo tanto, non é converxente. Ademais,  debe estar pechado, xa que calquera punto límite de , que ten unha sucesión de puntos en  que converxe a si mesmo, tamén debe estar en .

Proba: (pechado e limitado implica compactidade secuencial)

Dado que  está limitada, calquera sucesión  tamén está limitada. Do teorema de Bolzano-Weierstrass,  contén unha subsucesión que converxe nalgún punto . Xa que  é un  punto límite  de  e  é un conxunto pechado,  debe ser un elemento de .

Así, os subconxuntos  de  para os que cada sucesión en A ten unha subsucesión que converxe a un elemento de , é dicir, os subconxuntos que son  secuencialmente compactos  na topoloxía subespacial, son precisamente os subconxuntos pechados e limitados.

Esta forma do teorema deixa especialmente clara a analoxía co teorema de Heine–Borel, que afirma que un subconxunto de  é compacto se e só se está pechado e limitado. De feito, a topoloxía xeral dinos que un espazo metrizable é compacto se e só se é secuencialmente compacto, polo que os teoremas de Bolzano–Weierstrass e Heine–Borel son esencialmente iguais.

 Historia 
O teorema de Bolzano-Weierstrass leva o nome de matemáticos Bernard Bolzano e Karl Weierstrass. En realidade, foi demostrado por primeira vez por Bolzano en 1817 como un lema na demostración do teorema de valor intermedio. Uns cincuenta anos máis tarde, o resultado foi identificado como significativo por dereito propio, e demostrado unha vez máis por Weierstrass. Desde entón converteuse nun teorema fundamental da análise.

 Véxase tamén 
Outros artigos
 Teorema de Heine-Borel

 Bibliografía 

 Fitzpatrick, Patrick M. (2006) Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thompson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.
 Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Bolzano-Weierstrass theorem», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104
 Weisstein, Eric W. «Bolzano-Weierstrass Theorem».  En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Categoría:Análise matemática
Categoría:Teoremas