Axioma de Pasch

Non confundir co teorema de Pasch respecto dos puntos dunha recta 

En xeometría, o axioma de Pasch é un resultado da  xeometría plana, foi utilizado implicitamente por Euclides, pois non pode ser derivado desde os postulados da xeometría euclidiana. O seu papel esencial foi descuberto por Moritz Pasch en 1882.

 Resultado 
miniatura|Dúas liñas (en negro) intersecan un lado dun triángulo internamente e cortando os outros lados interna e externamente
O axioma establece que,Tomado da tradución de Unger da 10ª edición de Foundations of Geometry de Hilbert, numerado II.4.

De feito os segmentos  e  non son ambos intersecados pola recta  foi probado no Suplemento I,1, escrito por P. Bernays., tradución de Unger.

Unha versión máis moderna deste axioma é a seguinte:

No caso de que o terceiro lado sexa paralelo á nosa liña, contamos unha "intersección no infinito" como externa. Unha versión máis informal do axioma é a seguinte:

 Historia 
Pasch publicou este axioma en 1882, e mostrou que os axiomas de Euclides eran incompletos. O axioma era parte do enfoque de Pasch introducindo o concepto de orde na xeometría plana.

 Equivalencias 
Noutros tratamentos da xeometría elemental, utilizando diferentes conxuntos de axiomas, o axioma de Pasch pode ser probado como teorema; isto é unha consecuencia do axioma de separación do plano cando este é un dos axiomas. Hilbert usa o axioma de Pasch no seu tratamento axiomático da xeometría euclidiana.axiom II.5 in Hilbert's Foundations of Geometry (Townsend translation referenced below), in the authorized English translation of the 10th edition translated by L. Unger (also published by Open Court) it is numbered II.4. There are several differences between these translations. Dados o resto de axiomas no sistema de Hilbert, pódese demostrar que o axioma de Pasch é loxicamente equivalente ao axioma de seperación do plano.Só se precisan os axiomas I.1,2,3 e II.1,2,3 de Hilbert para isto. A proba dáse en .

 O papel do axioma de Pasch en Hilbert  
David Hilbert utiliza o axioma de Pasch no seu libro Fundamentos da xeometría que proporciona un sistema axiomático para a xeometría euclidiana. Dependendo da edición, é numerado ben II.4 ou II.5.axiom II.5 in Hilbert's Foundations of Geometry (Townsend translation referenced below), in the authorized English translation of the 10th edition translated by L. Unger (also published by Open Court) it is numbered II.4. There are several differences between these translations. A súa redacción foi dada máis arriba.

No sistema de Hilbert  este axioma aparece na sección axiomas de orde e é etiquetado como un axioma de orde do plano. Como non se describe o axioma en termos de lados dun triángulo (considéranse rectas fronte a segmentos) non hai ningunha necesidade de falar de interseccións internas e externas da recta  cos lados do triángulo .

 Notas 

Véxase tamén
Bibliografía













 Weisstein, Eric W. "Pasch's Axiom". MathWorld.

Categoría:Lóxica matemática
Categoría:Xeometría