Teorema do resto

En álxebra, o teorema do resto ou pequeno teorema de Bézout é un resultado que provén da división euclidiana de polinomios, que expón que o resto da división dun polinomio  polo polinomio linear  é igual a . Deste xeito, pódese enunciar un resultado aínda máis en particular,  é un divisor de  se e só se , unha propiedade coñecida coma o teorema do factor.

 Proba 
Malia que é un resultado moi sinxelo, existen diferentes formas de probar a súa veracidade, entre as cales se atopan as seguintes.

 Proba 1 
O teorema do resto é deducido desde o teorema da división euclidiana, o cal, dados dous polinomios f(x) (o dividendo) e g(x) (o divisor), afirma a existencia e a unicidade dun cociente q(x) e un resto R(x) tal que:Escollendo o divisor como , o resto é  ou o seu grao é cero, mais en ámbolos dous casos,  é unha constante independente de ; isto é

Avaliando  nesta fórmula, obtense:

 Proba 2 
Unha proba lixeiramente diferente, que pode semellar máis elemental, comeza coa observación de que é unha combinación linear dos termos da forma  porque . Deste xeito, se  tense que:Tódolos termos da dereita teñen factor común , así que usando a propiedade distributiva:E substituíndo , obtense 

 Proba 3 
Esta proba baséase na idea de substituír a variábel  no polinomio inicialo binomio , observando que . Entón, tense que onde o que se fixo foi aplicar a expansión do binomio de Newton, observando que tódolos termos da expansión malia un son divisíbeis por , que é o termo da forma . Ao xuntar todos estes termos, tense o resto ao dividir por , e ao os sumar, tense que o resto é .

 Exemplos 
 Exemplo 1 
Sexa o polinomio . División polinómica de  por  ten como resultado o cociente  e o resto .

Por outro lado, , coincidindo co resto antes calculado.

 Exemplo 2 
Pódese observar que o teorema do resto é satisfeito para polinomios arbitrarios de segundo grao  usando manipulacións alxébricas semellantes ás da terceira proba, pero no caso particular de , podendo ser así máis doada de entender.

Multiplicando ámbolos dous lados por (x − r) resulta en

Xa que  é o resto, demostrouse que .

 Aplicacións 
Ademais da aplicación directa de calcular o resto da división entre o polinomio linear e un polinomio , o teorema do resto ten outras aplicacións.

 Teorema do factor 
Unha consecuencia directa do teorema do resto provén da seguinte observación: tense un polinomio  e divídese polo polinomio linear  e o resto é , entón . Ademais, se , entón a división de  por  ten o resto nulo. Este resultado é coñecido polo nome é o teorema do factor, que enuncia resumidamente que un polinomio  ten como factor  se e só se , é dicir  é unha raíz.

Dous problemas nos que se emprega a miúdo este teorema son os de factorizar un polinomio e atopar as raíces dunha ecuación polinomial, que como unha consecuencia directa do teorema tense que ámbolos dous problemas son esencialmente equivalentes. Ademais, o teorema do factor tamén se usa para eliminar raíces coñecidas dun polinomio, deixando o resto de raíces sen cambios e producindo así un polinomio de grao inferior cuxas raíces poden ser máis doadas de atopar, facilitando a factorización do polinomio. Os pasos a seguir neste método son os seguintes:

 "Adiviñar" unha raíz  do polinomio . En xeral, isto pode chegar a ser moi difícil, mais en certos casos pódense descubrir certas raíces. Por exemplo, se o polinomio só ten coeficientes enteiros, o resultado do teorema das raíces racionais sería de axuda.
 Usar o teorema do factor para concluír que  é un factor de .
 Calcular o polinomio , por exemplo, usando a regra de Ruffini.
 Concluír que calquera raíz  de  é raíz de . Xa que o grao polinomial de  é un menor que o de , suponse que é máis sinxelo atopar o resto de raíces de .

 Exemplo de atopar de raíces 
Atopar os factores de

Pódese actuar por proba e erro (ou co teorema das raíces racionais) para atopar o primeiro valor x que fai que a expresión sexa igual a cero. Para saber se  é un factor, substitúese  no polinomio anterior:

Isto é igual a 18 e non é  e, polo tanto  non é un factor. Así, téntase ver se  é factor e para iso, substitúese  no polinomio anterior:

Isto é . Por tanto , é dicir , é un factor, e  é unha raíz de .

As seguintes dúas raíces pódense atopar dividindo alxebricamente  por , para obter unha cadrática:

e, por tanto,  e  son factores de . Destes, o factor cadrático pode ser aínda factorizado resolvendo unha ecuación de segundo grao, que terá as raíces  Así, os tres factores irredutíbeis do polinomio orixinal son   e 

 Cálculo de valores dun polinomio 
O teorema do resto adóitase empregar para avaliar  calculando o resto . Malia que a división longa de polinomios é máis difícil que avaliar a función, a división sintética é computacionalmente máis doada. A aplicación da división sintética, neste caso usando a regra de Ruffini, e o teorema do resto para avaliar un polinomio é equivalente á aplicación do algoritmo de Horner.

É salientábel que o algoritmo de Horner só precisa n sumas e n produtos cando o grao do polinomio é n, sendo este o número mínimo de operacións de cada tipo que se precisa para avaliar un polinomio. Deste xeito, en canto ao número de operacións, o algoritmo de Horner, e polo tanto o algoritmo equivalente de usar a regra de Ruffini e o teorema do resto, é óptimo. As minimalidades de cada unha das operacións foi demostrada por separado: o número de sumas foi probado por Alexander Ostrowski en 1954., e o número de produtos por Victor Pan en 1966.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 





 .


Resto
Categoría:Polinomios