Descomposición de matrices

En álxebra linear, unha descomposición de matrices ou factorización de matrices é unha factorización dunha matriz nun produto de matrices. Hai tipos diferentes de descomposicións de matriz, e cada un atopa o seu uso nunha clase particular de problemas.

 Exemplo 
En análise numérica, algunhas descomposicións empréganse para desenvolver algoritmos de matrices eficiente.

Por exemplo, ao solucionar un sistema de ecuacións lineais , a matriz  pode ser descomposta mediante da descomposición LU. A descomposición LU factoriza unha matriz nunha matriz triangular inferior  e unha matriz triangular superior A notación de matrices  e  para falar de matrices triangulares inferiores e superiores provén dos termos ingleses lower e upper, "inferior" e "superior" respectivamente, e que fan referencia á localización dos elementos da matriz que no son cero: por debaixo da diagonal principal no caso das inferiores, por riba no caso das superiores.. Deste xeito, de quixermos resolver os sistemas  e , precisaremos facer menos sumas e multiplicacións que ao resolver o sistema orixinal , malia que pode precisar máis cifras significativas nunha aritmética inexacta, como a de coma flotante.

De xeito semellante, a descomposición QR expresa  como o produto , onde  é unha matriz ortogonal e  unha matriz triangular superiorA notación de  provén do termos ingleses right, "dereita", e que fai referencia á localización dos elementos da matriz que no son cero: a dereita da diagonal principal..  O sistema  é solucionado por , e o sistema  é solucionado por substitución cara atrás.  O número de sumas e multiplicacións que son requiridas é ao redor do dobre que as de utilizar a descomposición LU, mais non precisa máis cifras significativas ao ser a descomposición QR numericamente estable.

 Descomposicións relacionadas con solucionar sistemas de ecuacións lineais 

 Descomposición LU 

 Aplicábel a: matriz cadrada .
 Descomposición: , onde  é triangular inferior e  é triangular superior.
 Relacionado: a descomposición LDU é da forma , onde  é triangular inferior con uns na diagonal,  é triangular superior con uns na diagonal, e  é unha matriz diagonal.
 Relacionado: a descomposición LUP é da forma , onde  é triangular inferior,  é triangular superior, e  é un matriz de permutación.
 Existencia: para calquera matriz cadrada  sempre existe unha descomposición . Cando  é a matriz identidade, a descomposición LUP redúcese á descomposición LU. Se existe a descomposición , entón tamén existe a descomposición LDU. Chapter 7.
 Comentarios: as descomposicións LUP e LU son útiles para solucionar un sistema de ecuacións lineais  n×n (con n ecuacións e n incógnitas). Estas descomposicións resumen o algoritmo de eliminación de Gauss en forma matricial, onde a matriz  representa calquera intercambio de filas que se levara. No caso de que o algoritmo rematase nunha forma de escada por filas sen ter precisado ningún intercambio de filas, entón , e logo existe a descomposición LU.

 Factorización de rango 

 Aplicábel a: matriz  m×n de rango r
 Descomposición: , onde  é unha matriz mxn de rango por columnas máximo e  é unha matriz r×n de rango por filas máximo.
Unicidade: non é unha descomposición única, porque se  é unha posíbel factorización, se escollemos  e , estas novas matrices forman outra factorización factíbel para calquera matriz  de dimensións compatíbeis.
 Comentario: a factorización de rango adóitase usar para computar a matriz pseudoinversa de Moore–Penrose de ,  que permite obter todas as solucións do sistema linear .

 Descomposición de Cholesky 

 Aplicábel a: matrices cadradas, hermíticas, definidas positivas.
 Descomposición:  onde  é triangular superior cuxa diagonal principal está formada por reais positivos.
 Comentario: se a matriz  é hermítica e semidefinida positiva, entón ten unha descomposición da forma  se a diagonal de  pode ter elementos nulos
 Unicidade: para matrices definitivas positivas, a descomposición de Cholesky é única. Con todo, no caso de semidefinida positiva non é única.
 Comentario: no caso particular de que  é unha matriz real simétrica, a descomposición é  e é un caso particular da descomposición LU, onde .
 Comentario: unha alternativa é a descomposición LDL, que pode evitar a obtención de raíces cadradas.

 Descomposición QR 

 Aplicábel a: matrices m×n
 Descomposición:  onde  é unha matriz unitaria (ortogonal se é unha matriz real) de orde m×m, e  é unha matriz triangular superior m×n.
 Unicidade: En xeral non é única, mais se  té rango máximo, entón existe unha única  con todos os elementos da diagonal positivos. Se  é cadrada,  tamén é única.
 Comentario: A descomposición QR é un xeito alternativo para solucionar o sistema de ecuacións  sen inverter a matriz . O feito de que  ao ser unha matriz unitaria, fai que  sexa equivalente a , que é máis doado de resolver ao ser  triangular.

 As descomposicións baseadas en autovalores e conceptos relacionados 

 Descomposición en autovalores 

 Tamén chamada descomposición espectral.
 Aplicábel a: matriz cadrada  con autovalores linearmente independentes (non necesariamente distintos).
 Descomposición: , onde  é unha matriz diagonal formada polos autovalores de , e as columnas de  é son os correspondentes autovectores de .
 Existencia: Unha matriz  de orde n×n sempre ten n autovalores (reais ou complexos), que se poden ordenar (de máis dunha maneira) para formar unha matriz  diagonal n×n e a súa correspondente matriz  de vectores non nulos en columnas que satisfai a ecuación dos autovalores .  será invertíbel se e soamente se os autovalores son linearmente independentes (é dicir, cada autovalor ten a multiplicidade xeométrica igual á súa multiplicidade alxebraica). Unha suficiente condición (mais non necesaria) para que sucedese é que todos os autovalores fosen diferentes, e neste caso as multiplicidades xeométricas e alxébricas serían iguais a 1.
 Comentario:  sempre pode normalizar o autovectores para teñan módulo 1.
 Comentario: Cada matriz normal  (matriz tal que , onde  e unha matriz conxugada) pode ser descomposta en autovalores. Para a matriz normal  (e só para unha matriz normal), os autovectores tamén se poden facer ortonormais () e a descomposición en autovalores leríase como . En particular, toda matriz unitaria, hermítica ou antihermítica (no caso real, toda matriz ortogonal, simétrica ou antisimétrica, respectivamente) é normal e polo tanto posúen a propiedade.
 Comentario: Para calquera matriz real simétrica , descomposición en autovalores se pode escrita como , onde ámbalas dúas matrices  e  son matrices reais.
 Comentario: A descomposición en autovalores é útil para entender a solución dun sistema de ecuacións diferenciais ordinarias ou ecuacións lineares en diferenzas. Por exemplo, a ecuación diferencial con condición inicial pódese resolver por , o que é equivalente a , onde  e  son as matrices formadas desde os autovalores e autovectores de . Xa que  é diagonal, para elevala á potencia chega con elevar cada elemento da diagonal. Isto é moito máis fácil de facer e entender que elevar  a unha potencia , xa que en xeral  non é diagonal.

 Descomposición de Jordan 
Forma canónica de Jordan e descomposición Jordan–Chevalley

 Aplicábel a: matriz cadrada 
 Comentario: a forma canónica de Jordan xeneraliza a descomposición en autovalores nos caso onde hai autovalores repetido e a matriz non diagonaliza. A descomposición Jordan–Chevalley faino sen ter que escoller unha base.

 Descomposición de Schur 

 Aplicábel a: matriz cadrada 
Comentario: hai a descomposición de Schur real e a complexa, coa diferenza de que unha matriz complexa sempre ten unha descomposición complexa, mais unha matriz real pode tela ou non. Unha matriz real só ten unha descomposición de Schur se soamente se todos os seus autovalores son reais.
 Descomposición (versión complexa): , onde  é unha matriz unitaria,  é a súa trasposta conxugada e  é unha matriz triangular superior, chamada forma complexa de Schur que ten os autovalores de  ao longo da diagonal. Se  é unha matriz normal, entón  é diagonal e a descomposición de Schur coincide coa descomposición en autovalores.
 Descomposición (versió real): , onde  é unha matriz real ortogonal,  é a trasposta de V, e  é unha matriz real triangular superior por bloques nomeada forma Schur real. Os bloques da diagonal de  son de tamaño 1×1 (no caso de representaren autovalores reais) ou 2×2 (no caso de seren derivados desde pares de autovalores complexos conxugados).

 Descomposición QZ 

 Tamén chamou: descomposición de Schur xeneralizada 
 Aplicábel a: matrices cadradas  e 
 Comentario: hai  dúas versións desta descomposición: complexa e real.
 Descomposición (versión complexa): e  onde  e  son matrices unitarias, e o superíndice * representa que a trasposta conxugada, e  e  son matrices triangulares superiores.
 Comentario: na descomposición QZ complexa, os cocientes dos elementos da diagonal de  entre os elementos correspondentes da diagonal de , , son os autovalores xeneralizados que solucionan o problema dos autovalores xeneralizados (onde  é un escalar descoñecido e é un vector non nulo descoñecido).
 Descomposición (versión real): e , onde , , , , , e  son matrices de só entradas reais. Neste caso  e  son matrices ortogonais, o superíndice  representa a transposición, e  e  son matrices triangulares superiores de bloques. Os bloques da diagonal de  e  son de tamaño 1×1 ou 2×2.

 Factorización de Takagi 

 Aplicábel a: matriz  cadrada, complexa, simétrica.
 Descomposición: , onde  é unha matriz real diagonal non negativa,  é unha matriz unitaria e denota a matriz trasposta de .
 Comentario: Os elementos de diagonal de  son as raíces non negativas dos autovalores de .
 Comentario:  pode ser complexo malia que  sexa real.
 Comenario: Isto non é un caso especial da descomposición en autovalores (ver arriba), que emprega  no canto de .

 Descomposición de valores singulares 

 Aplicábel a: matriz m×n.
 Descomposición: , onde  é un e matriz diagonal non negativa, e   e satisfán  e . é a conxugada trasposta de  (ou sinxelamente a trasposta no caso de conter  só números reais), e  denota a matriz identidade (dalgunha dimensión).
 Comentario: Aos elementos da diagonal de  chamaranse valores singulares de .
 Comentario: Como na descomposición en autovalores, a descomposición de valor singular implica atopar direccións base ao longo das cales a multiplicación matricial é equivalentes a multiplicación escalar, mais é un resultado máis xeral porque a matriz inicial  non necesita ser cadrada.
Comentario: esta descomposición tamén é coñecida como SVD (en inglés "singular value decomposition").
 Unicidade: os valores singulares de  determínanse sempre de maneira única, mais  e  non son únicas en xeral.

 Outras descomposicións 

 Descomposición polar 

 Aplicable a: matriz complexa cadrada .
 Descomposición:  (descomposición polar dereita) ou  (descomposición polar esquerda), onde  é unha matriz unitaria e  e  son matrices hermíticas semidefinidas positivas.
 Unicidade:  é sempre única e igual a  (que sempre é hermítica e semidefinida positiva). Se  é invertíbel, entón é única.
 Comentario: Como calquera matriz hermítica admite unha descomposición espectral cunha matriz unitaria,  pódese escribir como . Como  é semidefinida positiva, todos os elementos en  son non negativos. Xa que o produto de dúas matrices unitarias é unitario, tendo , pódese escribir  que é a descomposición do valor singular. Así, a existencia da descomposición polar vén dada pola existencia da descomposición do valor singular.

 Descomposición alxébrica polar 

 Aplicábel a: matriz cadrada, complexa, non singular A.
 Descomposición: , onde  é unha matriz ortogonal complexa e  é matriz simétrica complexa.
 Unicidade: Se  non ten autovalores reais negativos, entón a descomposición é única.
 Comentario: A existencia desta descomposición é equivalente a  sendo similar a .
 Comentario: Unha variante desta descomposición é , onde  é unha matriz real e  é unha matriz circular.

 Descomposición de Mostow 

 Aplicábel a: matriz cadrada, complexa,  non singular .
 Descomposición: , onde  é unha matriz unitaria, é real antisimétrica e  é real simétrica.
 Comentario: A matriz  tamén se pode  descompoñer como , onde  é unitario,  é real antisimétrica e  é real simétrica.

 Forma normal de Sinkhorn 

 Aplicábel a: matriz real cadrada A con elementos estritamente positivos.
 Descomposición: , onde  é dobremente estocástica (que os seus elementos son non negativos e que a suma dos elementos das filas e a suma dos elementos das columnas son iguais a 1) e  e son matrices diagonais reais con elementos estritamente positivos.

 Descomposición sectorial 

 Aplicábel a: matriz cadrada, complexa  co rango numérico contido no sector 
 Descomposición: , onde C é unha matriz complexa invertíbel e  para todo .

 Forma normal de Williamson  

 Aplicábel a: matriz cadrada, definida positiva, real 2nx2n.
 Descomposición: , onde  é unha matriz simétrica e  é unha matriz diagonal non negativa.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 











 Ligazóns externas 

 Online Matrix Calculator

Categoría:Matrices