Regra de Ruffini

En matemáticas, a regra de Ruffini facilita o cálculo rápido da división de calquera polinomio entre un binomio da forma . Descrita por Paolo Ruffini en 1809, é un caso especial de división sintética (unha división de polinomios en que o divisor é un factor linear).Synthetic Division  O algoritmo de Horner para a división de polinomios emprega a regra de Ruffini.Tamén se coñece como método de Horner ou algoritmo de Ruffini-Horner. A regra de Ruffini permite ademais localizar as raíces dun polinomio e factorizalo en binomios da forma  (sendo r un número enteiro) se é coherente.

 Historia 
O método de Ruffini-Horner para a procura dun valor aproximado da raíz dun polinomio foi publicado con algúns anos de diferenza por Paolo Ruffini (1804-1807-1813) e por William George Horner (1819-1845, postumamente); seica Horner non tiña coñecementos dos traballos de Ruffini.

O método de Ruffini-Horner é dificilmente explotable se o polinomio posúe dúas raíces moi próximas. Ruffini non considera este problema, mais Horner propuxo un procedemento especial para estes casos.Florian Cajori, Horner's method of approximation anticipated by Ruffini, American Mathematical Society, 21 de novembro de 1910. O método de Horner foi empregado polos matemáticos De Morgan e J.R. Young.

En tanto que técnica de cambio de variable, historicamente atópanse algoritmos semellantes, por exemplo na China, para a extracción da raíz n-ésimaJiuzhang Suanshu ("Os nove capítulos da arte matemática"), ChemlaShuchun, cap. 4 ou na obra de Al Samaw'al (século XII).Hélène Bellosta, À propos de l'histoire des sciences arabes , Gazette des mathématiciens, n°82, outubro de 1999. O matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi (século XII) foi un dos primeiros en aplicalo ao caso xeral dunha ecuación de terceiro grao.J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society  110 (2), p. 304-309.

 Algoritmo 
A regra de Ruffini establece un método para a división do polinomio

entre o binomio

para obter o cociente

e o resto:

 1. Trázanse dúas liñas como eixes e escríbense os coeficientes de P(x), ordenados e sen omitir termos nulos. Escríbese a raíz r do lado esquerdo e o primeiro coeficiente na ringleira inferior (an):

2. Multiplícase (an) por r e escríbese debaixo de an-1:


 3. Súmanse os dous valores obtidos na mesma columna:

4. Repítese o proceso:

Os valores b son os coeficientes do polinomio resultante  de grao un menos que o grao de  . O valor final obtido, , é o resto, que como amosa o teorema do resto, é igual a .

 Usos da regra 

 Atopar raíces 
Se  é un polinomio con coeficientes enteiros e con a0 e an distintos de cero, entón polo teorema das raíces racionais, todas as raíces racionais reais serán da forma p/q, onde p é un enteiro divisor de a0 e q é un enteiro divisor de an. Así por exemplo, se o polinomio é

entón as posibles raíces racionais son todos os enteiros divisores de a0 (−2):

Isto resulta útil para poder factorizar un polinomio (en caso de ser factorizable) de coeficientes enteiros, empregando os divisores do termo independente.

 Exemplos 

 Exemplo 1  
División de  entre  empregando a regra de Ruffini.

1. Escríbese  e o primeiro coeficiente (2) na primeira ringleira:

2. Multiplícase pola raíz r=(-1):

3. Sumase a columna:

4. O procedemento repítese ata obter o resto:

Se o polinomio orixinal = divisor×cociente+resto, entón
, onde

 e 

 Exemplo 2 
Cando o resto é igual a 0; permite factorizar, como no seguinte exemplo:

Tomando

Emprégase o método, e queda:

Entón F(x) factoriza como 

 Notas 

 Véxase tamén 

 Outros artigos 
Operacións con polinomios
Algoritmo de Horner
Paolo Ruffini

 Ligazóns externas 

Categoría:Álxebra
Categoría:Polinomios