Función característica

A función característica dunha variable aleatoria ou da súa distribución de probabilidade é unha función de variable real que toma valores complexos e que permite a aplicación de métodos analíticos (é dicir, da análise funcional) no estudo da probabilidade.

 Historia 
O método das funcións características foi introducido nas probabilidades por A. Lyapunov en 1904 para a demostración do teorema central do límite que hoxe leva o seu nome. A versión definitiva deste teorema foi obtida posteriormente por J. W. Lindeberg.

 Definición 
Dada unha variable aleatoria continua  a súa función característica, que se denota mediante  para  real, defínese como

onde se fai uso da función exponencial complexa e  denota a esperanza matemática. Usando as propiedades da función exponencial complexa, a función característica pode rescribirse en termos dunha parte real e unha imaxinaria:



 Momentos 
Cando os momentos dunha variable aleatoria existen, pódense calcular mediante as derivadas da función característica. Derivando formalmente ambos lados da definición e tomando , 

e derivando dúas veces e substituíndo  resulta

Desta maneira pódense obter expresións que permiten determinar a varianza e esperanza de  . Analogamente, se relacionan momentos e derivadas de ordes superiores:

 Probabilidade e análise funcional 
En análise funcional se se identifica a distribución da variable aleatoria considerada cunha medida positiva, a función característica denomínase transformada de Fourier da medida correspondente.

 Función xeradora de momentos 
Unha función relacionada coa función característica é a función xeradora de momentos, designada como   que se define mediante

Aínda que esta función é máis sinxela, non sempre existe, dado que a esperanza matemática que a define pode non existir, dependiendo da distribución da variable aleatoria e do valor de .

Categoría:Probabilidade
Categoría:Estatística