Aplicación linear

En matemáticas unha aplicación linear é unha aplicación entre dous espazos vectoriais, que preserva as operacións de adición de vectores e multiplicación por un escalar.

En álxebra abstracta e en álxebra linear unha aplicación linear é un homomorfismo entre espazos vectoriais ou na linguaxe da teoría de categorías un morfismo sobre a categoría dos espazos vectoriais sobre un corpo dado.

 Definición 
Denomínase aplicación linear, función linear ou transformación linear á aplicación en que os seus dominio e codominio sexan espazos vectoriais que cumpra a seguinte definición:
Sexan  e  espazos vectoriais sobre o mesmo corpo . Unha aplicación  de  en  é unha transformación linear se para todo par de vectores  e para todo escalar , se satisfai que:

 .

 Exemplos 
 A aplicación  que envía  en  (o seu conxugado) é unha transformación linear se se considera  como un -espazo vectorial. Non obstante, non o é se se pensa como -espazo vectorial, xa que .
 Dado un espazo vectorial calquera, pódese definir a función identidade  , que resulta unha transformación linear.
 As homotecias:  con . Se k > 1 denomínanse dilatacións e se k < 1 denomínanse contraccións.
 Dada unha matriz , a función  definida como  é unha transformación linear. Grazas á matriz asociada, pódese concluír que calquera transformación linear definida entre espazos vectoriais de dimensión finita pode verse como multiplicar por unha matriz.
 Sexa  o conxunto de funcións continuas en  e defínase  mediante , ocorre que:

 e
  para 
 Polo tanto, cúmprese que  e  para todo  e  en  e todo , así que  é unha aplicación linear de  en ."Álgebra lineal y matrices" (1989) Herstein y Winter ISBN 968-7270-52-7; pág. 331

 Propiedades das transformacións lineares 
Sexan  e  espazos vectoriais sobre  (onde  representa o corpo), satisfaise que:
Se  é linear, defínese o núcleo (ker) e a imaxe (Im) de  como:

É dicir, que o núcleo dunha transformación linear está formado polo conxunto de todos os vectores do dominio que teñen por imaxe o vector nulo do codominio.

O núcleo de toda transformación linear é un subespazo vectorial do dominio:
  dado que  (para probar isto, obsérvese que ).
 Dados 
 Dados 

Denomínase nulidade á dimensión do núcleo. 

A imaxe dunha transformación linear está formada polo conxunto de todos os vectores do codominio que son imaxe de polo menos algún vector do dominio.
 A imaxe de toda transformación linear é un subespazo do codominio.
 O rango dunha transformación linear é a dimensión da imaxe. 

 Obtención de novas transformacións lineares a partir doutras dadas 
Se f1:→ e f2:→ son lineares, entón tamén o é a súa suma f1+f2 (definida como (f1+f2)(x)=f1(x)+f2(x)).

Se f :→ é linear e a é un elemento do corpo K, entón a función af, definida como (af)(x) = a(f(x)), tamén é linear.

Grazas a estas dúas propiedades, e a que a función que envía todo ao elemento nulo é unha aplicación linear, é que o conxunto de transformacións lineares f:→ forma un subespazo das funcións de  en W. A este subespazo denótase L(,) ou Hom(,). A dimensión de L(,) é igual ao produto das dimensións de  e .

Se f:→ e g:→ son lineares entón a súa composición g∘f:→ tamén o é.

Dado un espazo vectorial , o espazo vectorial L(,), que adoita denotarse End(), forma unha álxebra asociativa sobre o corpo base, onde a multiplicación é a composición e a unidade é a transformación identidade.

Se f:→ é unha transformación linear bixectiva, entón a súa inversa tamén é transformación linear.

 Teoremas básicos das transformacións
 Sexa B = {vi: i ∈ J} base de  e C = {wi: i ∈ J} unha colección de vectores de  non necesariamente distintos, entón existe unha única transformación linear T: V → W que satisfai: 

 Sexa  unha transformación linear.
entón 

Como corolario básico deste teorema, obtense que unha transformación linear dun espazo vectorial de dimensión finita nel mesmo é un isomorfismo se e só se é un epimorfismo se e só se é un monomorfismo.

 Clasificación das transformacións lineares 
 Funcional linear: So as transformación lineares  (onde  é o corpo base de V).
 Monomorfismo: Se  é inxectiva; equivalentemente, se o único elemento do núcleo é o vector nulo. 
 Epimorfismo: Se  é sobrexectiva.
 Isomorfismo: Se  é bixectiva (inxectiva e sobrexectiva)
 Endomorfismo: Transformación linear en que dominio e codominio coinciden.
 Automorfismo: Endomorfismo bixectivo.

 Matriz asociada a unha transformación linear 
Se  e  teñen dimensión finita e se teñen escollidas bases en cada un dos espazos, entón toda transformación linear de  en  pode representarse por unha matriz. Reciprocamente, toda matriz representa unha transformación linear.

Sexan :→ unha transformación linear, B={v1, ..., vn} unha base de , C={w1, ..., wm} base de . Para calcular a matriz asociada a  bas bases B e C cómpre calcular (vi) para cada i=1,...,n e escribilo como combinación linear da base C:
(v1)=a11w1+ ...+am1 wm, ..., (vn)=a1nw1+ ...+amn wm.

A matriz asociada denótase C[T]B e é:
 .

Como un vector de  se escribe de forma única como combinación linear de elementos de C, a matriz é única.

Como dada calquera escolla de u1, ..., un existe e é única a transformación linear que envía vi en ui, entón, dada A calquera matriz m×n, existe e é única a transformación linear :→ tal que C [T] B=A.

Ademais, as matrices asociadas cumpren que C [aT+bS] B = a C [T] B + b C [S] B para calquera a,b∈ℝ, T,S∈ L(V,W). Por isto, a aplicación que fai corresponder cada transformación linear coa súa matriz asociada é un isomorfismo entre L(,) e Mn×mC (K).

De restrinxirse ao caso =, C=B, tense ademais que esta aplicación é un isomorfismo entre álxebras.

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 





 Outros artigos 
 Álxebra linear
 Teorema rango-nulidade
 Lista de funcións matemáticas
 Operador linear limitado
 Ligazóns externas 
 Universidad Politécnica de Madrid: Aplicaciones lineales
 Universidad Politécnica de Catalunya: Aplicaciones Lineales 
 Matemáticas para todos: Aplicaciones Lineales
 Universidad de Cantabria: Aplicaciones lineales

Categoría:Álxebra lineal
Categoría:Funcións