Asíntota

miniatura|Tratado sobre cónicas, s. XVIII
En matemáticas, chámase asíntota da gráfica dunha función, a unha recta á que se aproxima continuamente a gráfica desa función,Maynard Kong: "Cálculo diferencial" ISBN 9972-42-194-5 é dicir, que a distancia entre as dúas tende a cero a a medida que se estenden indefinidamente.

 Historia 
A palabra asíntota deriva do grego: ἀσύμπτωτος asýmptōtos, «aquilo que non cae»; onde a- posúe un valor privativo (= non), mentres que sym-ptōtos indica aquilo que «cae» ou «cae xunto (a algo)». Adoita darse a definición de asíntota como curvas que «non se encontran nunca». Esta interpretación intuitiva foi plasmada por Apolonio de Perga no seu coñecido tratado Sobre as seccións cónicas, para referirse a unha recta que non interseca unha rama dunha hipérbole.Ao igual que no caso das cónicas, é posible que fose Apolonio o primeiro en empregar a palabra asíntota.

En xeometría, o comportamento asintótico refírese a unha eventual propiedade entre curvas, e máis precisamente, entre funcións ou partes de funcións: segmentos de recta, ramas de hipérbole ou de parábola etc. É neste sentido en que se fala de «recta asintótica» como tanxente ao infinito dunha rama parabólica, ou ben de curvas asintóticas.

O seu estudo máis profundo desborda o campo de aplicación da xeometría elemental e o trazado de curvas planas; co desenvolvemento da álxebra e do cálculo infinitesimal, as nocións intuitivas «tende a infinito» e «tende a cero» formalízanse co concepto de límite matemático, e con iso tamén o cálculo de asíntotas.

 Gráfica de asíntotas 

As asíntotas axudan á representación de curvas, proporcionan un soporte estrutural e indican o seu comportamento a longo prazo. En tanto que liñas rectas, a ecuación dunha asíntota é simplemente a dunha recta, e a súa expresión analítica dependerá da elección do sistema de referencia (y = m•x + b en coordenadas cartesianas).

Se ben adoitan representarse nun mesmo sistema de coordenadas, as asíntotas non forman parte da expresión analítica da función, polo que -en numerosos exemplos- non están incluídas explicitamente dentro da gráfica, ou ben indícanse cunha liña punteada.

En moitos casos, as asíntotas coinciden cos eixes de coordenadas, é dicir que as súas ecuacións en coordenadas cartesianas serán: x = 0, y = 0.

Distínguense tres tipos:
 Asíntotas verticais: rectas perpendiculares ao eixe das abscisas, de ecuación x = constante.
 Asíntotas horizontais: rectas perpendiculares ao eixe das ordenadas, de ecuación y = constante.
 Asíntotas oblicuas: se non son paralelas ou perpendiculares aos eixes, de ecuación y = m•x + b.


 Determinación analítica de asíntotas 
En análise, cálculo e xeometría analítica, o comportamento de funcións non triviais nas proximidades de puntos de «indefinición» (tales como a división por cero ou as formas indeterminadas) proporciona información valiosa sobre a súa gráfica, e neste contexto as asíntotas xorden naturalmente como «solucións» (ou direccións) nestes puntos. Neste sentido, unha función pode ter unha «asíntota pola dereita» pero non pola esquerda (ou viceversa); ou ben unha recta pode intersecar unha curva nun número finito (ou infinito) de puntos, e presentar aínda así un comportamento asintótico.
 Cálculo de asíntotas por medio de límites 

Asíntota vertical
Chámase asíntota vertical dunha rama dunha curva y = f(x), á recta paralela ao eixe e que fai que a rama desa función tenda a infinito. Se existe algún destes dous límites:

a recta x = a denomínase asíntota vertical.

Exemplos: logaritmo neperiano, tanxente

Asíntota horizontal
Chámase asíntota horizontal dunha rama dunha curva y = f(x) á recta paralela ao eixe x que fai que a rama desa función tenda a infinito.
Se existe o límite:
, sendo a un valor finito
a recta y = a é unha asíntota horizontal.

Exemplos: función exponencial, tanxente hiperbólica

Asíntota oblicua
A recta de ecuación  (m ≠ 0) será unha asíntota oblicua se:
.

Os valores de m e de b calcúlanse coas fórmulas:
;
.

 Asíntotas de funcións racionais 

Na representación gráfica dunha función racional ten un papel esencial, cando existen, as asíntotas. Se ben é posible aplicar o método por límites descrito anteriormente, no caso de funcións racionais, adoitan empregarse técnicas algorítmicas que non precisan da análise matemática.

Unha función racional pode ter máis dunha asíntota vertical, pero só unha que sexa horizontal ou oblicua (é dicir que se ten asíntota horizontal entón non pode ter asíntota oblicua, e viceversa).
 O dominio da función determina as asíntotas verticais.
 A división de polinomios proporciona as asíntotas horizontais u oblicuas.

Para maior claridade, sexa:

 Se , hai unha asíntota horizontal de ecuación: y = 0.
 Se , hai unha asíntota horizontal de ecuación: y = am/bn (ou cociente dos coeficientes principais).
 Se , non hai asíntota horizontal; se o grao do numerador é exactamente un máis có do denominador, hai unha asíntota oblicua, e a súa ecuación vén dada polo cociente da división dos polinomios.

As asíntotas verticais danse nos valores que anulan o denominador pero non o numerador. Se hai unha raíz común, compárase a multiplicidade das raíces.

Exemplos
 A función homográfica  ten dúas asíntotas, AV: x = -d/c, AH: y = a/c No caso particular  as asíntotas son os propios eixes cartesianos.

 Asíntotas de curvas polares 
As asíntotas a unha curva descrita por unha ecuación en coordenadas polares , son as curvas que se obteñen cando r ou θ tenden a infinito ou cara a un valor dado.

 Recta asintótica 
Unha curva polar terá unha dirección asintótica cando, para  dado,
.

A curva ten entón unha recta asintótica se existe un real λ tal que

e achégase á recta de ecuación
.
 Círculo asintótico 
Unha curva polar terá un círculo asintótico se existe un  dado, tal que 
.

A curva enrólase sobre o círculo de ecuación  se na veciñanza de θ  entón a curva enrólase ao interior do círculo asintótico; inversamente, se , entón enrólase ao exterior.

 Exemplos 
As máis variadas funcións posúen comportamento asintótico: dende a simple gráfica dunha curva plana en dúas dimensións, ata superficies tridimensionais máis complexas; tanto en funcións alxébricas (polinómicas, racionais) como transcendentes (trigonométricas, logarítmicas, exponenciais), xa sexa en coordenadas cartesianas, polares etc.

As asíntotas actúan como curvas guía'' para graficar outras curvas, ou funcións.

 Funcións transcendentes 

 Curvas polares 

 Curvas asintóticas 

 Superficies e estruturas 

 400px|right|miniatura|En tanto que soportes rectos, as liñas asintóticas proporcionan estabilidade, como se aprecia nas estruturas hiperboloides.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 







 Outros artigos 
 Sección cónica
 Infinito
 División por cero
 Derivada
 Clasificación de descontinuidades
 Análise de algoritmos
 Análise asintótica
 Ligazóns externas 

 Hyperboloid and Asymptotic Cone, string surface model, 1872  from the Science Museum

Categoría:Xeometría
Categoría:Análise matemática