Conxunto conexo

Un conxunto conexo é un subconxunto  dun espazo topolóxico  é a colección de conxuntos abertos do espazo topolóxico) que non pode ser descrito como unión disxunta de dous conxuntos abertos non baleiros da topoloxía.

Intuitivamente, un conxunto conexo é aquel formado por unha soa 'peza', que non se pode 'dividir'. Cando un conxunto non sexa conexo, dise que é disconexo.

Formalmente,  é un conxunto conexo se e só se:
 implica 

Cómpre notar que se , entón terase que  é conexo se e só se  implica . Neste caso,  chámase espazo topolóxico conexo.

Baixo estas definicións, tense que  é conexo se e só se é un espazo topolóxico conexo para a topoloxía traza.

 Exemplos 
miniatura|O espazo A é conexo.O espazo B non o é.
 Conxuntos conexos 
 As esferas  son conexas.
 Un punto  é conexo.
 Un nó é un conxunto conexo en 
 Un toro é un conxunto conexo en 
 En , un intervalo pechado pola dereita ou pola esquerda é un conxunto conexo; de igual modo un punto da recta. 
 O complementario dun punto en  é conexo.

 Subconxunto conexo na recta 
Sexa  provisto da topoloxía usual , ademais  un intervalo de  e  subconxuntos abertos de  tales que  é parte da unión de  e . Entón . Neste caso  é un subconxunto conexo da recta real.
 Un subconxunto  da recta é un subconxunto conexo da recta real cando, e só cando, é un intervalo. De calquera intervalo abonda retirar un punto, o que queda xa non é conexo, tampouco o é o conxunto Mansfiel: Topology

 Conxuntos non conexos 
 O complementario dun punto en 
 O conxunto formado pola unión de dúas esferas disxuntas en 
 Un enlace de  compoñentes (nós), 

 Propiedades dos conxuntos conexos 
Cúmprese que se  é un espazo topolóxico conexo, calquera espazo homeomorfo a el tamén o será. Esta propiedade dá unha caracterización moi útil dos conxuntos conexos:  é un conxunto conexo se e só se para toda función  continua se cumpre que  é unha función constante, onde se dota a  da topoloxía discreta.

Outra propiedade interesante dos conxuntos conexos é que se  é unha familia de espazos topóloxicos conexos (con  un conxunto de índices de calquera cardinalidade), entón  tamén é conexo, onde  é a topoloxía produto.

Por último, se  non é conexo, é dicir, se existen abertos , disxuntos non baleiros tales que a súa unión é , é fácil ver que cada aberto será o complemento do outro, logo serán complementos dun aberto e, polo tanto, serán pechados. É dicir, serán conxuntos clopen. Por isto, outra maneira de caracterizar a conexidade é dicir,  será conexo se e só se os únicos clopen son  e o baleiro (onde ambos os conxuntos son sempre clopen).

 Conexidade por camiños 
Dise que un conxunto  é conexo por camiños ou conexo por arcos se dados  existe un camiño continuo  tal que  e .

miniatura|Peite do topólogo
A conexidade por camiños implica conexidade, pero o recíproco non é certo en xeral. Un contraexemplo moi típico é o chamado peite do topólogo, , onde  e .  é conexo, pero non conexo por camiños.

Ser conexo por camiños non é unha propiedade hereditaria (isto é, se un conxunto é conexo por camiños, calquera subconxunto deste non é necesariamente conexo por camiños). Con todo, ser conexo por camiños é unha propiedade topolóxica (é dicir, a imaxe mediante unha aplicación continua dun conxunto conexo por camiños é conexa por camiños).

 Compoñentes conexas 
Dado un espazo topolóxico  chámase compoñente conexa a cada un dos conxuntos maximais conexos. É dicir un subconxunto  é un compoñente conexo se se cumpren estas dúas condicións:
  é conexo.
 Calquera conxunto  que contén propiamente  non é conexo.

Cúmprese que os compoñentes conexos de  forman unha partición de . Se  é conexo, tense que  é a súa única compoñente conexa.

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 

.

Categoría:Topoloxía