Relación de equivalencia

En teoría de conxuntos e álxebra a noción de relación de equivalencia sobre un conxunto, permite establecer unha relación entre os elementos do conxunto que comparten certa característica ou propiedade. Isto permite agrupar devanditos elementos en clases de equivalencia, é dicir, «paquetes» de elementos similares. Isto posibilita a construción de novos conxuntos engadindo todos os elementos dunha mesma clase como un só elemento que os representará e que define a noción de conxunto cociente.

miniatura|upright=1.5|Neste conxunto de 8 libros, a relación « … ten o mesmo ISBN que … » é unha relación de equivalencia.

 Definición 
Sexa  un conxunto dado non baleiro e  unha relación binaria definida sobre . Dise que  é unha relación de equivalencia se cumpre as seguintes propiedades:
 Reflexividade: Todo elemento de  está relacionado consigo mesmo. É dicir, 
 .
 Simetría: Se un elemento de  está relacionado con outro, entón esoutro elemento tamén se relaciona co primeiro. É dicir,
 .
 Transitividade: Se un elemento de  está relacionado con outro, e esoutro á súa vez relaciónase cun terceiro, entón o primeiro estará relacionado tamén con este último. É dicir,
 .

Notación:
 En aritmética modular a relación de equivalencia entre dous elementos x e y denótase x ≡ y (mod R) que se le "x é equivalente a y módulo R".

 Unha relación de equivalencia  sobre un corpo  pode denotarse co par .

 Clase de equivalencia ou Relación de equivalencia 
En lóxica de clases e análise matemática, a relación de equivalencia  define subconxuntos disxuntos en  chamados clases de equivalencia:

Dado un elemento , o conxunto dado por todos os elementos relacionados con  definen a clase 
,
que se chama a clase de equivalencia asociada ao elemento .

O elemento  chámase representante da clase.

Chámase orde ao número de clases que xera unha relación de equivalencia; se é finito, dise que a relación é de orde finito.

O concepto de clase de equivalencia ten importancia en ciencia; dado un conxunto de obxectos ou entidades abstractas (potencialmente infinitas), poden establecerse relacións de equivalencia sobre a base dalgún criterio, as clases resultantes son os "tipos" nos que se pode clasificar toda a gama de obxectos.

 Conxunto cociente 
Ao conxunto de todas as clases de equivalencia denomínase conxunto cociente e adóitase denotalo como 
 ou 

 Partición 
Unha relación de equivalencia sobre un conxunto induce unha partición do mesmo, é dicir, un conxunto no que se definiu unha relación de equivalencia pode ser dividido en varios subconxuntos de elementos equivalentes entre si e tales que a reunión deses subconxuntos coincide co conxunto enteiro. O seguinte teorema expresa en termos máis formais esa mesma idea:
 Proposición: Unha relación de equivalencia no conxunto non baleiro K determina unha partición deste, e toda partición de K determina unha relación de equivalencia neste.

A partición ten como elementos as clases de equivalencia. Estas son disxuntas dúas a dúas e a unión delas é igual ao conxunto .
 para calquera par  non relacionados tense: ; 
 a unión de todos integra o total: 

 Exemplos 
 Sexa N= {0,1,2, 3...}. Defínese unha relación de equivalencia en N×N, como segue:  se e só se . Esta é unha relación de equivalencia en N×N e cada clase de equivalencia é un número enteiro.  a  chámase representante canónico e denótase, simplificadamente, 2.
 A igualdade matemática.
 A relación de congruencia módulo M no conxunto dos números enteiros (i.e. ), onde se define:  se e só se  é múltiplo de M.
Esta relación é de equivalencia porque:
É reflexiva: , que é múltiplo de M.
É simétrica: se  é múltiplo de M, entón  tamén é múltiplo de M.
É transitiva: sexan  e  números enteiros tales que  e . Entón,  e polo tanto un múltiplo de M.

 Sexa H un subgrupo dun grupo de G. Definindo para elementos do grupo  se e só se , teremos a relación de equivalencia camada congruencia módulo H.
 Definindo, para elementos do grupo,  se e só se existe g en G tal que , chámase relación de conxugación e as súas clases de equivalencia reciben o nome de clase de conxugación.

 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 James R.Munkres, Topología, (2002), Prentice Hall.

 Outros artigos 
 Teoría da orde
 Topoloxía cociente
 Espazo vectorial cociente
 Equivalencia lóxica
 Ligazóns externas 
 Weisstein, Eric W. Relación de equivalencia.

Categoría:Álxebra
Categoría:Teoría de conxuntos