Teoría informal de conxuntos

A teoría informal de conxuntos é unha das diversas teorías que foron desenvolvidas arredor do debate dos fundamentos das matemáticas. Os conxuntos teñen unha importancia fundamental nas matemáticas; de feito, de maneira formal, a mecánica interna das matemáticas (números, relacións, funcións etc.) pode definirse en termos de conxuntos.

Sobre a orixe do vocábulo teoría informal de conxuntos, en inglés naive set theory, indica Jeff Miller que se empregou ocasionalmente na década de 1940 e converteuse nun termo establecido da década seguinte. O expresión foi popularizada máis tarde polo libro de Paul Halmos Naive Set Theory (1960).Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S)

 Introdución 
miniatura|Georg Cantor
A teoría informal de conxuntos é unha teoría "non formalizada", é dicir, que emprega a linguaxe cotiá para falar de conxuntos, polo que os conectores «e», «ou», «non», «se..., entón», «se e só se», non están suxeitos a definicións rigorosas.

Nos seus primeiros tempos, a teoría de conxuntos era informal e foi desenvolvida a fins do século XIX, principalmente por Georg Cantor e Gottlob Frege, co fin de permitir aos matemáticos traballar con conxuntos infinitos coherentes.

Con todo, esta teoría primixenia permitía definir un conxunto a partir de calquera propiedade sen ningunha restrición, o que levou a antinomias, ou paradoxos lóxicos, como o paradoxo de Russell, ou semánticas, como o paradoxo de Berry. Como solución a este conflito elaborouse a teoría axiomática de conxuntos, cuxo propósito era determinar con precisión que definicións de conxuntos podían ser empregadas. Actualmente, coñécese a teoría axiomática de conxuntos simplemente como teoría de conxuntos.

 Conxuntos, pertenza e igualdade 
Na teoría informal de conxuntos, un conxunto é descrito como unha colección de obxectos ben definida. Devanditos obxectos son chamados elementos ou membros do conxunto e poden ser de calquera natureza: números, persoas, outros conxuntos, etc. Por exemplo, o 4 é un elemento do conxunto de todos os números enteiros. Obviamente, o conxunto de todos os números é infinitamente grande; con todo, non é necesario que un conxunto sexa precisamente finito para que poida ser definido con precisión.

Se x é elemento de A, entón dise que x pertence a A, ou que x está en A. Neste caso, esta proposición escríbese ou represéntase formalmente así: x∈A. Mentres que usar o símbolo ∉ desta maneira: x∉A, quere dicir que x non pertence a A.O símbolo de perenza "∈" fue introducido en 1888 por Giuseppe Peano, inspirado na grafía da letra grega épsilon, "ε".

Dous conxuntos A e B son iguais cando teñen exactamente os mesmos elementos ou, noutras palabras, sono só se cada un dos elementos de A é á vez elemento de B e se cada elemento de B tamén pertence ou está incluído en A. Por exemplo, o conxunto de elementos 2, 3 e 5 é igual ao conxunto de todos os números primos menores de 6. Se os conxuntos A e B son iguais, represéntase comunmente como A=B.

Os elementos dun conxunto determinan este na súa totalidade e isto tamén é válido para un conxunto baleiro, que é aquel que non ten ningún elemento, o cal se representa a miúdo "Ø" e outras veces "{ }". Partindo do feito de que mesmo un conxunto baleiro está completamente determinado polos seus elementos, conclúese que só pode haber un conxunto baleiro.Cómpre lembrar que Ø≠{0}≠{Ø}.

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 Bourbaki, N., Elements of the History of Mathematics, John Meldrum (trans.), Springer-Verlag, Berlin, Germany, 1994.
 Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nova York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reimpreso por Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
 Outros artigos 
 Axioma da extensionalidade
 Ligazóns externas 
 Beginnings of set theory page at St. Andrews

Categoría:Teoría de conxuntos