Cálculo de variacións

O cálculo de variacións é un problema matemático consistente en buscar máximos e mínimos (ou máis xeralmente extremos relativos) de funcionais continuos definidos sobre algún espazo funcional.

Constitúen unha xeneralización do cálculo elemental de máximos e mínimos de funcións reais dunha variable

 Historia 
O cálculo de variacións desenvolveuse a partir do problema da curva braquistócrona, exposto inicialmente por Johann Bernoulli (1696). Inmediatamente este problema captou a atención de Jakob Bernoulli e o marqués de L'Hôpital, aínda que foi Leonhard Euler o primeiro que elaborou unha teoría do cálculo variacional. As contribucións de Euler iniciáronse en 1733 coa súa Elementa Calculi Variationum ("Elementos do cálculo de variacións") que deu nome á disciplina.

Lagrange contribuíu cumpridamente á teoría e Legendre (1786) asentou un método, non enteiramente satisfactorio para distinguir entre máximos e mínimos. Isaac Newton e Gottfried Leibniz tamén prestaron atención a este asunto. Outros traballos destacados foron os de Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Mikhail Ostrogradski (1834) e Carl Jacobi (1837). Un traballo xeral particularmente importante é o de Sarrus (1842) que foi resumido por Cauchy (1844). Outros traballos destacados posteriores son os de Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) e Carll (1885), aínda que quizais o máis importante dos traballos durante o século XIX é o de Weierstrass. Este importante traballo foi unha referencia estándar e é o primeiro que trata o cálculo de variacións sobre unha base firme e rigorosa. Os problemas 20 e 23 de Hilbert expostos en 1900 estimularon algúns desenvolvementos posteriores. Durante o século XX, David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue e Jacques Hadamard, entre outros, fixeron contribucións notables. Marston Morse aplicou o cálculo de variacións ao que actualmente se coñece como teoría de Morse. Lev Semenovich Pontryagin, Ralph Rockafellar e Clarke desenvolveron novas ferramentas matemáticas dentro da teoría do control óptimo, xeneralizando o cálculo de variacións.

 Problema isoperimétrico 
Cal é a área máxima A que pode rodearse cunha curva de lonxitude L dada? De non existiren restricións adicionais, a solución é:

que é o valor que se obtén para un círculo de raio .

Se se impoñen restricións adicionais a solución é diferente. Un exemplo é se se supón que L se considera sobre unha función  e os extremos da curva están sobre os puntos  onde a distancia entre eles está dada. É dicir . O problema de achar unha curva que maximice a área entre ela e o eixe X sería atopar unha función  de modo que:

coas restricións:

 Braquistócrona 
O problema da curva braquistócrona remóntase a Jakob Bernoulli (1696). Refírese a atopar unha curva no plano cartesiano que vaia do punto  á orixe de modo que un punto material que se desliza sen fricción sobre ela tarda o menor tempo posible en ir de  á orixe. Usando principios de mecánica clásica o problema pode formularse como, 

onde g é a gravidade e as restricións son, , . Hai que notar que en  existe unha singularidade.

 Formulación xeral 
Un dos problemas típicos en cálculo diferencial é o de atopar o valor de  para o cal a función  alcanza un valor extremo (máximo ou mínimo). No cálculo de variacións o problema é atopar unha función  para a cal un funcional  alcance un valor extremo. O funcional  está composto por unha integral que depende de , da función  e algunhas das súas derivadas.

Onde a función  pertence a algún espazo de funcións (espazo de Banach, espazo de Hilbert), e tanto ela como as súas derivadas poden ter restricións. Esta fórmula integral pode ser máis complicada permitindo a  ser un vector, e polo tanto incluíndo derivadas parciais para :

 Espazos funcionais 
A fundamentación rigorosa do cálculo de variacións require considerar variedades diferenciais lineares de dimensión infinita. De feito o punto de partida do cálculo de variacións é un teorema da análise funcional que proba que é posible considerar unha curva nun espazo funcional (p.ex. traxectoria no espazo fásico) simplemente como unha función cunha variable adicional, concretamente:A. Kriegl y P. Michor, 1989, p. 3
{{cita|A categoría formada por espazos vectoriais convenientes e funcións suaves entre eles é pechada polo produto cartesiano, de tal manera que se ten a seguinte bixección natural:onde  son espazos vectoriais convenientes e a bixección anterior é un difeomorfismo.}}

O teorema anterior pode aplicarse por exemplo ao principio de mínima acción onde trata de atoparse a traxectoria posible no espazo de fases que fai mínima a integral de acción. Dita traxectoria é unha curva suave no espazo de traxectorias E, considerando agora:

Tense que o problema de minimización pode reducirse a minimizar unha certa función real f de variable real:

 Extremos relativos débiles e fortes 
Un problema variacional require que o funcional  estea definido sobre un espazo de Banach  adecuado. A norma vectorial de devandito espazo é o que permite definir rigorosamente se unha solución é un mínimo ou un máximo relativo. Por exemplo unha función  é un mínimo relativo se existe un certo  tal que, para toda función  se cumpre que:

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 A. Kriegl y P. W. Michor: "Aspects of the theory of inifinite dimensional manifolds", Differential Geometry and its Applications, 1, 1991, pp. 159–176.
 Leonida Tonelli: Fondamenti di calcolo delle variazioni,  N. Zanichelli, 1921-23
 Todhunter, I. A history of the calculus of variations, Chelsea, 1861
 Carll, L. B. A Treatise On The Calculus Of Variations John Wiley & sons, 1881 
 Hancock, H. Lectures on the calculus of variations (the Weierstrassian theory) Cincinnati University Press, 1904
 Bolza, O Lectures on the calculus of variations, Chicago University Press, 1904
 Byerly, W. E. Introduction to the calculus of variations Harvard University Press, 1917
 Weinstock, R. Calculus Of Variations With Applications To Physics And Engineering, McGrawHill, 1952
 Hadamard J. e Fréchet, M. Leçons sur le calcul des variations (francese) Hermann, 1910
 Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000 
 Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1 – 98
 Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987
 Giuseppe Buttazzo, Gianni Dal Maso, Ennio De Giorgi. Variazioni, calcolo delle, Enciclopedia del Novecento, II Supplemento (1998), Istituto dell'Enciclopedia italiana Treccani
Gianni Dal Maso, Variazioni, calcolo delle, Enciclopedia della Scienza e della Tecnica, (2007), Istituto dell'Enciclopedia italiana Treccani
 Outros artigos 
 Charles-Augustin de Coulomb
 Ecuacións de Euler-Lagrange
 Derivada funcional
 Mecánica de chans
 Teoría de Mohr-Coulomb
 Torsión mecánica
 Ligazóns externas 
 Variational calculus. Encyclopedia of Mathematics.
 calculus of variations. PlanetMath.
 Calculus of Variations. MathWorld''.
 Calculus of variations. Example problems.
 Mathematics - Calculus of Variations and Integral Equations. Lectures on YouTube.
 Selected papers on Geodesic Fields. Part I, Part II.

Categoría:Análise matemática