Esfera de Riemann

En matemáticas, a esfera de Riemann (ou plano complexo estendido), chamada así en honor ao matemático do século XIX Bernhard Riemann, é unha esfera obtida do plano complexo mediante a adición dun punto do infinito. A esfera é a representación xeométrica dos números complexos estendidos, denotado como  ou ,Na esfera de Riemann o punto do infinito representa o horizonte infinito do plano complexo, é un infinito positivo  tal que permite que a proxección do plano complexo se peche sobre esa esfera. (véxase fig.1 e fig.2), que consiste nos números complexos ordinarios xunto co símbolo  para representar o infinito.

Os números complexos estendidos son comúns na análise complexa porque permiten a división por cero nalgunha circunstancias, no sentido de facer expresións ben definidas como:

Por exemplo, calquera función racional sobre o plano complexo pode estenderse como unha función continua sobre a esfera de Riemann, cos polos da función racional mapeados ao infinito. Máis xeralmente, calquera función meromorfa pode pensarse como unha función continua con contradominio a esfera de Riemann.

En xeometría, a esfera de Riemann é o exemplo típico dunha superficie de Riemann e unha das variedades complexas máis simples. En xeometría proxectiva, a esfera pode pensarse como a recta proxectiva complexa , o espazo proxectivo de todas as rectas complexas en . Como con calquera superficie de Riemann compacta, a esfera tamén pode verse como unha curva alxébrica proxectiva, sendo un exemplo fundamental da xeometría alxébrica. Tamén ten utilidade noutras disciplinas que dependen da análise e da xeometría, como pode ser a mecánica cuántica e outras ramas da física.
centro|miniatura|fig.1: Proxección estereográfica do plano complexo estendido sobre a "esfera de Riemann".

 Notas 

 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Álxebra de Witt
 Punto do infinito
 Bibliografía 




 Riemann Sphere

Categoría:Xeometría
Categoría:Análise matemática