Progresión aritmética

En matemáticas, unha progresión aritmética é unha sucesión de números que cumpre que a diferenza entre dous termos consecutivos é constante. Por exemplo, a sucesión 5, 7, 9, 11, 13, 15. . . é unha progresión aritmética con diferenza 2.

Se o termo inicial dunha progresión aritmética é  e a diferenza é d, entón o termo n-ésimo da sucesión () vén dado por:
,
e en xeral
.

O comportamento dunha progresión aritmética depende da diferenza d:
Se é positiva os termos crecerán ata máis infinito.
Se é negativa, os termos irán cara ao menos infinito.

 Suma 
 2  +  5  +  8  +  11  +  14  =  40 14  +  11  +  8  +  5  +  2  =  40 16  +  16  +   16  +   16  +   16  =  80
Cálculo da suma 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Cando a sucesión se escribe ao revés e se suma termo a termo, a sucesión resultante ten un único valor repetido, igual á suma do primeiro e o último número (2 + 14 = 16). Así, 16 × 5 = 80 é o dobre da suma.
A suma dos membros dunha progresión aritmética chámase serie aritmética. Por exemplo, considera a suma:

Esta suma pode atoparse rapidamente tomando o número de termos que se queren sumar (no exemplo, 5), multiplicándoos pola suma do primeiro e do último número da progresión (aquí 2 + 14 = 16) e dividindo entre 2:

No caso superior dá a ecuación:

Esta fórmula funciona para calquera números reais  e . Por exemplo:

 Obtención da fórmula 
miniatura|Proba animada da fórmula que dá a suma dos primeiros enteiros 1+2+...+n.
Para obter a fórmula superior, comeza por expresar a serie aritmética de dúas formas diferentes:

Engadindo en ambos os membros as dúas ecuacións desaparecen todos os termos con d:

Dividindo ambos os membros entre 2 aparece a ecuación:

Unha forma alternativa aparece volvendo substituír: :

Ademais, o valor medio da serie pode calcularse como: :

No ano 499 o matemático e astrónomo indio Aryabhata publicou este método no Aryabhatiya (sección 2.18).

 Produto 
O produto dos termos dunha progresión aritmética finita que comeza con a1, ten diferenza d, e n elementos está determinado pola expresión

onde  denota o factorial crecente e  a función gamma. Porén, a fórmula non é válida se  é un enteiro negativo ou cero.

Isto é unha xeneralización do feito de que o produto da progresión  vén dado polo factorial  e que o produto

para enteiros positivos  e  vén dado por

No exemplo superior, o produto dos 50 primeiros termos da progresión aritmética dada por an = 3 + (n-1)(5) é

 Desviación típica 
A desviación típica dalgunha parte das progresións aritméticas pode calcularse mediante: 

onde  é o número de termos da progresión e  a diferenza entre os termos.

 Véxase tamén 
 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Progresión xeométrica

Categoría:Aritmética
Categoría:Serie matemática