Integral múltiple

Unha integral múltiple é un tipo de integral definida aplicada a funcións de máis dunha variable real, por exemplo,  ou . As integrais dunha función en dúas variables nunha rexión en R2 chámanse integrais dobres e as integrais de funcións de tres variables sobre unha rexión de R3 chámanse integrais triplas.

 Introdución 
Da mesma maneira en que a integral dunha función positiva  dunha variable definida nun intervalo pode interpretarse como a área entre a gráfica da función e o eixe X nese intervalo, a dobre integral dunha función positiva  de dúas variables, definida nunha rexión do plano XY, pódese interpretar como o volume entre a superficie definida pola función e o plano XY nese intervalo. Ao realizar unha integral tripla dunha función  definida nunha rexión do espazo XYZ, o resultado é un hipervolume; con todo, é bo notar que se  o resultado pódese interpretar como o volume da rexión de integración. Para integrais de ordes superiores, o resultado xeométrico corresponde a hipervolumes de dimensións cada vez superiores.

A maneira máis usual de representar unha integral múltiple é aniñando signos de integración na orde inversa á orde de execución (o de máis á esquerda é o último en ser calculado), seguido da función e os diferenciais en orde de execución. O dominio de integración represéntase sobre cada signo de integral, ou a miúdo abréviase por unha letra no signo de integral de máis á dereita:

É importante salientar que non é posible calcular a función primitiva ou antiderivada dunha función de máis dunha variable polo que as integrais múltiples indefinidas non existen.

 Definición 
Unha forma sinxela de definir as integrais múliples é mediante a súa representación xeométrica como a magnitude do espazo entre o obxecto definido pola ecuación  e unha rexión  no espazo definido polos eixes das variables independentes da función  (se  é unha rexión pechada e limitada e  está definida nesta). Por exemplo, se , o volume situado entre a superficie definida por  e unha rexión  no plano  é igual a algunha integral dobre, se é que, como se mencionou,  está definida en .

 pode dividirse nunha partición interior  formada por  subrexións rectangulares sen solapamento que estean completamente contidas en . A norma  desta partición está dada pola diagonal máis longa nas  subrexións.

Se se toma un punto  que estea contido dentro da subrexión con dimensións  para cada unha das  subrexións da partición, pódese construír un espazo cunha magnitude aproximada á do espazo entre o obxecto definido por  e a subrexión i. Este espazo terá unha magnitude de:

Entón pódese aproximar a magnitude do espazo enteiro situado entre o obxecto definido pola ecuación  e a rexión  mediante a suma de Riemann das magnitudes dos  espazos correspondentes a cada unha das subrexións:

Esta aproximación mellora a medida que o número  de subrexións se fai maior. Isto suxire que se podería obter a magnitude exacta tomando o límite. Ao aumentar o número de subrexións diminuirá a norma da partición:

O significado rigoroso deste último límite é que o límite é igual a L se e só se para todo  existe un  tal que

para toda partición  da rexión (que satisfaga ), e para todas as eleccións posibles de  na i-ésima subrexión. Isto conduce á definición formal dunha integral múltiple:
Se  está definida nunha rexión pechada e limitada  do definido polos eixes das variables independentes de , a integral de  sobre  está dada por:

sempre que o límite exista. Se o límite existe dise que  é integrable con respecto a .

 Propiedades 
As integrais múltiples comparten moitas das propiedades das integrais simples. Se f e g son funcións continuas nunha rexión pechada e limitada D nun espazo Rn e c unha constante con respecto a todas as variables involucradas entón pódese demostrar que:

1. 

2.

3.
Se , entón:

4.
Se , entón: 

5.
Sexa D a unión entre dúas rexións, D1 e D2, que non solapan entre si, entón:


 Integrais múltiples e integrais iteradas 
As integrais múltiples están estreitamente relacionadas coas integrais iteradas, as cales son necesarias para resolver as integrais múltiples. A diferenza entre integrais múltiples e iteradas consiste en que unha se refire ao concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) e a outra ao procedemento polo cal se resolve a integral múltiple. Se a expresión

se refire a unha integral iterada, a parte externa

é a integral con respecto a x da función de x:

Unha integral dobre, en cambio está definida con respecto a unha área no plano XY. A integral dobre existe se e só se as dúas integrais iteradas existen e son iguais. É dicir, se a integral dobre existe, entón é igual á integral iterada, sen importar se a orde de integración é dydx ou dxdy, e polo xeral realízase calculando unha soa destas. Con todo, ás veces as dúas integrais iteradas existen sen ser iguais e neste caso non existe a integral dobre, xa que se ten:

Dunha maneira máis formal, o teorema de Fubini afirma que

Isto é, se a integral é absolutamente converxente, entón a integral dobre é igual á integral iterada.

Isto ocorre, cando  é unha función limitada e tanto A como B son rexións limitadas tamén. Isto enténdese facilmente pensando que se a función ou a rexión do dominio non están limitadas, a integral múltiple non pode existir.

A notación

pódese empregar se se desexa ser enfático ao referirse a unha integral dobre e non a unha iterada.

 Métodos de integración 

 Funcións constantes 
No caso das funcións constantes, o resultado é trivial: simplemente multiplícase o valor da función constante c pola medida do dominio de integración. Se c = 1, e é integrada a través dunha rexión de R2 isto dá a área da rexión, mentres que se é unha rexión de R3 dá o volume da rexión e así sucesivamente.

Por exemplo:

 y 

Integrando f sobre D:

 Uso de simetrías 
No caso dun dominio no que exista simetría polo menos respecto dun dos eixos, e onde a función para integrar conteña polo menos unha función impar con respecto a esa variable, a integral vólvese nula (xa que a suma de cantidades iguais con signo oposto é cero). Por exemplo
Dada  e que  é o dominio de integración do disco de raio 1 centrado na orixe.

Usando a propiedade linear das integrais, a integral descomponse en tres partes:

Xa que tanto 2 sen(x) como 3y3 son funcións impares, e existe simetría tanto con respecto ao eixe X como con respecto ao eixe Y, as primeiras dúas integrais fanse nulas, de tal xeito que a integral orixinal é igual unicamente á terceira.

 Cambio de variables 
En moitas ocasións, é útil para reducir a complexidade da integral cambiar unha variable por outra que resulte máis cómoda; con todo isto esixe o cambio da rexión de integración, ademais de engadir un factor de corrección ao diferencial coñecido como determinante jacobiano (en valor absoluto ou módulo). O cambio dunha variable por outra é nun sentido xeométrico, unha transformación dende un espazo até outro, e é esta transformación a que esixe estes axustes.

Se se emprega unha transformación que siga a relación:

Entón pódese utilizar o jacobiano da transformación para simplificar a integral

Integrando a función transformada no dominio de integración correspondente ás variables x, y multiplicando polo valor absoluto do determinante jacobiano e pola serie de diferenciais, obtense unha integral múltiple que é igual á integral orixinal, se é que esta existe.

A continuación danse algúns exemplos destas transformacións.

 Coordenadas polares 
miniatura|270px|Transformación de coordenadas rectangulares a polares. Pódese notar que a área da rexión polar é distinta da área da rexión rectangular, o que justifica a necesidade do jacobiano. Tamén se pode demostrar que se se considera  (o raio medio), a área da rexión polar é efectivamente .
Nun espazo R2, un dominio de integración que teña unha simetría circular é moitas veces susceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, o que significa que cada punto P (x, y) do dominio dunha integral dobre tomará o seu valor correspondente en coordenadas polares mediante a seguinte transformación:

Por exemplo:
Se a función é 
aplicando a transformación obtense a función facilmente integrable con respecto a  e a 

Pódense obter funcións mesmo máis simples:
 Se a función é 
Tense:

se se aplica a identidade trigonométrica pitagórica de senos e cosenos.

O determinante jacobiano da transformación é:

que se obtén inserindo as derivadas parciais de x = ρ cos(θ), e = ρ sen(θ) na primeira columna con respecto a ρ e na segunda con respecto a θ.

Polo tanto, unha vez transformada a función, e multiplicada polo seu determinante jacobiano, esta é igual á integral orixinal:

 Coordenadas esféricas 
dereita|miniatura|190x190px|Gráfica das coordenadas esféricas.
Cando existe simetría esférica nun dominio en R3, é posible empregar unha transformación en coordenadas esféricas para simplificar unha integral tripla. A función é transformada pola relación:


O determinante jacobiano da transformación é:

Tomando o valor absoluto do determinante obtense o factor que se debe engadir á integral.

Por tanto os diferenciais dx dy dz transfórmanse en ρ2 sen(φ) dρ dθ dφ.

Finalmente obtense a fórmula de integración:

 Coordenadas cilíndricas 
dereita|miniatura|190x190px|Gráfica das coordenadas cilíndricas (Móstrase o ángulo θ como φ).
O uso de coordenadas cilíndricas para transformar unha integral tripla, é conveniente especialmente cando o dominio de integración presenta simetría ao redor do eixe Z. A función transfórmase mediante a relación:


O determinate jacobiano da transformación é:

Polo tanto, pódese derivar a fórmula de integración

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Integral
 Teorema de Green
 Teorema de Stokes
 Teorema da diverxencia
 Teorema de Fubini
 Integral de Riemann

Categoría:Análise matemática