Análise harmónica

En matemáticas, a análise harmónica estuda a representación de funcións ou sinais como superposición de ondas "básicas" ou harmónicos.

A análise harmónica investiga e xeneraliza as nocións de series de Fourier e transformadas de Fourier. Ao longo dos séculos XIX e XX converteuse nunha materia enorme con aplicacións en campos diversos como o procesamiento de sinais, a mecánica cuántica ou a neurociencia.

 Serie de Fourier 
As series de Fourier empréganse para descompor unha función, sinal ou onda periódica como suma infinita ou finita de funcións, sinais ou ondas harmónicas ou sinusoidais; é dicir, unha serie de Fourier é un tipo de serie trigonométrica.

 Transformada de Fourier 
A transformada clásica de Fourier en Rn aínda é unha área de investigación activa, sobre todo na transformación de Fourier sobre obxectos máis xerais, como as distribucións temperadas. Por exemplo, se se impoñen algúns requirimentos sobre unha distribución f, pódese tentar trasladalos a termos da súa transformada de Fourier. O teorema de Paley-Wiener é un exemplo diso, que implica inmediatamente que se f é unha distribución de soporte compacto (o que inclúe as funcións de soporte compacto), entón a súa transformada de Fourier non ten nunca o soporte compacto. Isto é un tipo moi elemental dun principio de incerteza en termos da análise harmónica.

As series de Fourier poden ser estudadas convenientemente no contexto dos espazos de Hilbert, o que nos dá unha conexión entre a análise harmónica e a análise funcional.

 Análise harmónica aplicada 
Moitas aplicacións da análise harmónica na ciencia e na enxeñaría comezan coa idea ou hipótese de que un fenómeno ou sinal se compón dunha suma de compoñentes oscilatorias individuais. As mareas e as cordas que vibran son exemplos comúns e sinxelos.

 Análise harmónica abstracta 
Unha das ramas máis modernas da análise harmónica, que ten as súas raíces a mediados do século XX, é a análise sobre grupos topolóxicos. O ideal central que o motiva é a das varias transformadas de Fourier, que poden ser xeneralizadas a unha transformación de funcións definidas sobre grupos localmente compactos.

A teoría para os grupos localmente compactos abelianos chámase dualidade de Pontryagin, que se considera unha proposición moi satisfactoria xa que explica as características envoltas na análise harmónica.

A análise harmónica estuda as propiedades desa dualidade e a transformada de Fourier; e pretende estender devanditas características a outros marcos, por exemplo no do caso dos grupos de Lie non abelianos.

Para grupos xerais non abelianos localmente compactos, a análise harmónica está moi relacionada coa teoría unitaria de representación de grupos unitarios. Para grupos compactos, o teorema de Peter-Weyl explica como se poden conseguir harmónicos extraendo  unha representación irreducible de cada clase de equivalencia de representacións. Esta elección de harmónicos goza dalgunhas das propiedades útiles da transformada de Fourier clásica de forma que leva convolucións a produtos escalares, ou por outra banda mostrando certa comprensión sobre a estrutura de grupo subxacente.

 Véxase tamén 
 Bibliografía 
Elias Stein and Guido Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971. ISBN 0-691-08078-X
Elias Stein with Timothy S. Murphy, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press, 1993.
Elias Stein, Topics in Harmonic Analysis Related to the Littlewood-Paley Theory, Princeton University Press, 1970.
Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Third edition. Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-83829-0; 0-521-54359-2
 Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Traducido da edición rusa de 1985 (Kharkov, Ucraína). Birkhäuser Verlag. 1988.
 Outros artigos 
 Análise de Fourier

Categoría:Análise matemática