Categoría (matemáticas)

En teoría de categorías, unha categoría é unha estrutura alxébrica que consta dunha colección de obxectos, conectados uns con outros mediante frechas tales que se cumpren as seguintes propiedades básicas: as frechas pódense compor unhas con outras de maneira asociativa, e para cada obxecto existe unha frecha que se comporta como un elemento neutro baixo a composición.

Un exemplo clásico é a categoría de conxuntos, no que os obxectos son conxuntos e as frechas son as funcións, e onde a composición de frechas é a composición usual de funcións. En xeral, os obxectos e as frechas poden ser obxectos abstractos de calquera tipo, e a noción de categoría prové dunha maneira abstracta e fundamental para describir entidades matemáticas e as súas relacións. Esta é a idea central da teoría de categorías, unha rama das matemáticas que busca xeneralizar todas as demais teorías matemáticas en termos de obxectos e frechas. Practicamente calquera rama das matemáticas modernas pódese describir en termos de categorías, e mediante esta descrición é común que se revelen propiedades e similitudes moi profundas entre áreas aparentemente distintas.

Dúas categorías son iguais se teñen a mesma colección de obxectos, a mesma colección de frechas, e a mesma forma asociativa de compor frechas. Dúas categorías tamén se poden considerar equivalentes mesmo se non son precisamente a mesma. Moitas categorías moi cotiás denótanse comunmente cunha abreviación do tipo dos seus obxectos, por exemplo: Con refírese á categoría de conxuntos, Top refírese á categoría de espazos topolóxicos, Ab refírese á categoría de grupos abelianos etc.

 Definición 
Hai varias definicións equivalentes dunha categoría.Barr & Wells, Chapter 1. A máis habitual é a seguinte: unha categoría C consta de:
 unha clase ob(C) de obxectos
 para cada par de obxectos A, B en ob(C) un conxunto C(A,B) de frechas ou morfismos de A a B.
 para cada terna de obxectos A, B, C de C unha función ∘:C(A,B)×C(B,C)→C(A,C) onde ∘(f,g) se denota g ∘ f.
Ademais, os seguintes axiomas deben ser certos:
 Asociatividade: para calquera terna de frechas f, g, h cúmprese que h ∘ (g ∘ f)=(h ∘ g) ∘ f, se é que estas composicións están definidas.
 Identidade: para todo obxecto A en ob(C) existe unha frecha en C(A,A) comunmente denotada 1A tal que para toda frecha f en C(A;B) f=1B ∘ f e f=f ∘ 1A.
Destes axiomas pódese deducir facilmente que existe unha única frecha identidade para cada obxecto.

 Historia 
A noción de categoría, e en xeral, as primeiras nocións de teoría de categorías, apareceron por primeira vez en 1945 nun artigo de Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane chamado "General Theory of Natural Equivalences" (Teoría xeral das equivalencias naturais).S. Eilenberg and S. Mac Lane "General Theory of Natural Equivalences", Transactions of The American Mathematical Society 01/1945; 58(2):231-231. DOI: 10.2307/1990284

 Exemplos 
 A categoría Con é aquela que ten como obxectos todos os conxuntos e se A e B son conxuntos, entón Con(A,B) é o conxunto de funcións con dominio A e codominio B. Esta é a categoría máis comunmente empregada nas matemáticas.
 Calquera clase pode ser vista como unha categoría que so ten como morfismos os morfismos identidade. Chámanse categorías discretas e son o tipo máis simple de categoría.
 Carquer conxunto preordenado (P, ≤) forma unha categoría na que os obxectos son os elementos de P e os morfismos as frechas que van de x a y cando x ≤ y.
 Calquera monoide, grupo e grupoide poden considerarse categorías.
125px|miniatura|Grafo orientado
 Un grafo orientado xera unha categoría: os obxectos son os vértices do grafo e os morfismos os camiños do grafo. A composición dos morfismos é a concatenación de camiños.

 Construción de novas categorías 
 Categoría dual 
Calquera categoría C pode ser considerada unha nova categoría cunha forma diferente: os obxectos son os mesmos que na categoría orixinal pero as frechas son as que estaban na categoría orixinal invertidas. Chámase categoría dual ou oposta e denótase Cop.

 Categorías produto 
Se C e D son categorías, pódese construír a categoría produto C × D: os obxectos son pares que consisten nun obxecto de C e outro de D, e os morfismos son tamén pares que consisten nun morfismo de C e outro de D. Estes pares poden tamén comporse.

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 
  (now free on-line edition, GNU FDL).
 .
 .
 . 
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 Outros artigos 
 Categoría enriquecida
 Teoría de categorías de orde superior

Categoría:Matemáticas