Progresión xeométrica

En matemáticas, unha progresión xeométrica é unha sucesión de números onde cada termo despois do primeiro atópase multiplicando o anterior por un número fixo diferente de cero denominado razón. Por exemplo, a sucesión 2, 6, 18, 54, ... é unha progresión xeométrica de razón 3. Analogamente 10, 5, 2.5, 1.25, ... é unha progresión xeométrica de razón 1/2.

Exemplos de sucesións xeométricas son as potencias rk dun número determinado r, como 2k e 3k. A forma xeral dunha sucesión xeométrica é

onde r ≠ 0 é a razón e a é o factor de escala, igual ao primeiro valor da sucesión.

 Propiedades elementais 
O termo n-ésimo dunha progresión xeométrica con valor a e razón r vén dado por

Unha progresión xeométrica segue a relación recursiva
 for every integer 

En xeral, para comprobar se unha sucesión é xeométrica, abonda con comprobar se cada un dos termos consecutivos teñen a mesma razón.

A razón dunha progresión xeométrica pode ser negativa, dando lugar a unha sucesión alternada, con números positivos e negativos alternativamente. Por exemplo
1, −3, 9, −27, 81, −243, …
é unha progresión xeométrica de razón −3.

O comportamento dunha progresión xeométrica depende do valor da razón. Se esta é:
 Positiva, os termos terán o mesmo signo que o inicial.
 Negativa, os termos terán signos alternos.
 Maior que 1, terá crecemento exponencial cara a máis ou menos infinito, dependendo do signo do primeiro termo.
 1, a progresión será unha sucesión constante.
 Entre -1 e 1, pero non cero, sufrirá decrecemento exponencial cara ao cero.
 −1, a progresión será unha sucesión alternada.
 Menor que -1, os valores absolutos dos termos crecerán exponencialmente cara ao infinito.

As progresión xeométricas (con razón diferente a −1, 1 ou 0) amosan crecemento o decrecemento exponencial, en oposición ao crecemento ou decrecemento linear dunha progresión aritmética como 4, 15, 26, 37, 48, … (con diferenza  11). Este resultado foi tomado por T.R. Malthus como fundamento matemático da súa obra Principle of Population.

Un resultado interesante das progresións xeométricas é que para cada valor da razón común, tres termos consecutivos a, b e c satisfarán a ecuación

onde b se considera a media xeométrica entre a e c.

 Series xeométricas 
  2  +  10  +  50  +  250      =  312 − (       10  +  50  +  250  +  1250  =  5 × 312 )  2                −  1250  =  (1 − 5) × 312
Cálculo da suma 2 + 10 + 50 + 250. A sucesión consiste en multiplicar termo a termo por 5, e logo subtraer da sucesión orixinal. Permanencen dous termos: o primeiro termo, a, e o termo seguinte ao último, arm. O resultado desexado, 312, atópase subtraendo estes dous termos e dividindo por 1 − 5.
Unha serie xeométrica é a suma dos termos dunha progresión xeométrica. Por exemplo:

Se a é o primeiro termo (neste caso 2), n o número de termos (aquí 4) e r a constante pola que se multiplica cada termo para atopar o seguinte (aquí 5), a suma vén dada por:

No exemplo anterior, resulta:

A fórmula funciona para calquera números reais a e r (agás r = 1, que resulta nunha división entre cero). Por exemplo:

 Obtención da fórmula 
Para obter a fórmula escríbese primeiro unha serie xeométrica como:

Pódese atopar unha fórmula máis simple para a suma multiplicando ambos os membros da ecuación superior por 1 − r, e verase que

posto que todos os outros termos se cancelan. Se r ≠ 1, pódese reordenar a expresión superior para conseguir a fórmula conveniente dunha serie xeométrica que calcule a suma de n termos:

 Fórmulas relacionadas 
Se a suma non comezase en k=1, senón nun índice diferente m, entón

Derivando esta fórmula respecto de r pódese chegar ás fórmulas das dumas da forma

Por exemplo:

Para series xeométricas que conteñen só potencias de r multiplicadas por 1 − r2  :

Entón

Equivalentemente, tomando r2  como a razón e empregando a formulación estándar.

Para unha serie que só ten potencias impares de r

e

 Series xeométricas infinitas 
Unha serie xeométrica infinita é unha serie infinita con termos consecutivos que teñen unha razón común. Estas series converxen se e só se o valor absoluto da razón é menor que 1 ( < 1). O valor pode ser calculado coas fórmulas

miniatura|350px|Diagrama que amosa a serie xeométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converxe a 2.
Dado que:

Entón:

Para unha serie que contén só potencias pares de ,

e se só contén potencias impares,

Nos casos nos que a suma non comeza en k = 0,

As fórmulas dadas arriba só son válidas para  < 1. A última fórmula é válida en toda álxebra de Banach, cando a norma de r sexa menor ca 1, e tamén no corpo dos números p-ádicos p < 1. No caso dunha suma finita pódese diferenciar para calcular as fórmulas  das sumas relativas.
Por exemplo,

Esta fórmula só funciona para  < 1. De aquí séguese que, para  < 1,

Tamén a serie infinita 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ é un exemplo elemental dunha serie que converxe absolutamente.

É unha serie xeométrica con primeiro termo igual a 1/2 e razón 1/2, logo a súa suma é

A serie 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ é un exemplo sinxelo dunha serie alternada que converxe absolutamente.

É unha serie xeométrica con primeiro termo e razón −1/2, polo que a súa suma é

 Número complexos 
A fórmula da suma de series xeométricas é válida mesmo cando a razón é un número complexo. Neste caso a condición de que o valor absoluto de r sexa menor que 1 convértese en que o módulo de r sexa menor que 1. É posible calcular as sumas dalgunhas series xeométricas non obvias. Por exemplo, considérese a proposición


A demostración procede do feito de que

que é consecuencia da fórmula de Euler. Substituíndo na serie orixinal
 .

Esta é a diferenza entre dúas series xeométricas, e é unha aplicación directa da fórmula das series infinitas xeométricas que completa a demostración.

 Produto 
O produto dunha progresión xeométrica é o produto dos seus termos. Se todos os termos son positivos entón pode calcularse rapidamente tomando a media xeométrica do primeiro e do último termo da progresión e elevando o valor á potencia dada polo número de termos:
 (if ).

Demostración:

Sexa P o produto:
.

Realizando as multiplicacións, conclúese que
.

Aplicando a suma dunha serie aritmética, a expresión resultará
.
.

Elevando ao cadrado ambos os membros:
.

Consecuentemente,
, e por tanto,
,
que conclúe a demostración.

 Relación entre as progresións xeométricas e a obra de Euclides 
Os libros VIII e IX dos Elementos de Euclides analizan as progresións xeométricas e dan varios exemplos das súas propiedades.

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 Hall & Knight, Higher Algebra, p. 39, ISBN 81-8116-000-2
 Outros artigos 
 Progresión aritmética
 Ligazóns externas 
 Derivation of formulas for sum of finite and infinite geometric progression at Mathalino.com
 Geometric Progression Calculator
 Nice Proof of a Geometric Progression Sum at sputsoft.com

Categoría:Aritmética
Categoría:Serie matemática