Teorema do índice de Atiyah-Singer

Na xeometría diferencial, o teorema do índice de Atiyah-Singer afirma que para un operador diferencial elíptico sobre unha variedade compacta, o índice analítico (relacionado coa dimensión do espazo de solucións) é igual ao índice topolóxico (definida en termos dalgúns datos topolóxicos). Inclúe moitos outros importantes teoremas (como o teorema de Riemann-Roch) como casos especiais, e ten aplicacións en física teórica.

Foi probado por Michael Atiyah e Isadore Singer en 1963.

 Historia 
O problema do índice para operadores diferenciais elípticos foi proposto por Israel Gelfand en 1960. Notou a invarianza por homotopía do índice e buscou unha fórmula para el mediante invariante topolóxicos. Algúns dos exemplo que o motivaron foron o teorema de Riemann–Roch, a súa xeneralización (teorema de Hirzebruch–Riemann–Roch e o teorema da sinatura de Hirzebruch. Hirzebruch e Borel probaran a integralidade do xénero Â dunha variedade, e Atiyah suxerira que esta integralidade podía explicarse se fose o índice do operador de Dirac, que fora redescuberto por Atiyah e Singer en 1961.

O teorema de Atiyah–Singer foi anunciado en 1963. A demostración esbozada no seu anuncio nunca foi publicada por eles, aínda que aparece no libro . Tamén se recolleu no "Séminaire Cartan-Schwartz 1963/64" que tivo lugar en París simultaneamente co seminario liderado por Palais en Princeton. O último relatorio en París fíxoo Aityah sobre variedades con fronteira. A súa primeira proba publicada substituíu a teoría do cobordo coa K-teoría.

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 

 Ligazóns externas 
 Rafe Mazzeo: The Atiyah–Singer Index Theorem: What it is and why you should care. Presentación en pdf .

 A. J. Wassermann, Lecture notes on the Atiyah–Singer Index Theorem

Categoría:Xeometría diferencial
Indice