Homoloxía (matemáticas)

En matemáticas (especialmente en topoloxía alxébrica e en álxebra homolóxica), unha homoloxía (en grego homos = idéntico) é un procedemento xeral para asociar un obxecto matemático dado (por exemplo un espazo topolóxico ou un grupo) cunha sucesión  de grupos abelianos (ou en contextos máis xerais módulos ou calquera elemento sobre unha categoría abeliana), é dicir unha acción functorial.

Para un espazo topolóxico, os grupos de homoloxía son xeralmente moito máis fáciles de computar que os grupos de homotopía, e polo tanto, terase habitualmente un traballo máis simple con homoloxía para axudar na clasificación de espazos.

A motivación orixinal de homoloxía era definir e clasificar os buracos dun espazo topolóxico. Neste caso, os grupos de homoloxía describen buracos do espazo topolóxico. Cada xerador indica a existencia dun buraco e as propiedades do grupo indican a estrutura do espazo topolóxico como a dimensión e a orientabilidade.

 Definición 
Defínese o n-ésimo grupo de homoloxía asociado a un complexo de cadeas

onde 

como o grupo abeliano

Tamén se emprega a notación
, onde  é o complexo de cadeas respectivo.

Chámase  os ciclos en  e chámase  as fronteiras de .

Dise que a homoloxía mide a falta de exactitude dun complexo de cadeas en cada un dos seus elos. Por exemplo, de termos un complexo de cadeas curto

entón os seus correspondentes grupos de homoloxía son:

É obvio que se a sucesión fose exacta, entón estes grupos serían triviais (=0).

 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 Hatcher, Allen (2002) Algebraic Topology Cambridge University Press
 Outros artigos 
 Álxebra homolóxica
 Cohomoloxía
 Ligazóns externas 
 Weisstein, Eric W. Homology en MathWorld

Categoría:Topoloxía
Categoría:Álxebra