Cálculo multivariábel

O cálculo multivariábel (ou cálculo en varias variábeis) é máis a extensión do cálculo infinitesimal a funcións escalares e vectoriais de varias variábeis.
miniatura|Campo escalar con dúas variábeis

 Cálculo diferencial en campos escalares e vectoriais 

 Funcións de Rn en Rm. Campos escalares e vectoriales 
Formularanse as definicións para campos vectoriais, que tamén son válidas para campos escalares. Sexa

un campo vectorial que fai corresponder a todo punto P definido biunivocamente polo seu vector posición un vector  onde o punto O é a orixe de coordenadas.
 con  e . Cando  tense un campo escalar. Para  tense un campo vectorial. Utilizarase a norma euclidiana para achar a magnitude dos vectores.

 Límites e continuidade 
Sexan  e . Escríbese:
,
ou ben,
 cando 
para expresar o seguinte:

onde  é a norma euclidiana de .
Expresándoo en función das compoñentes de 

ou, de forma equivalente,

 Derivadas direccionais 

 Derivada dun campo escalar respecto dun vector 
miniatura
Sexa . Sexa  un vector con orixe na orixe de coordenadas e con extremo  e  un vector arbitrario de . Defínese a derivada de f en  respecto a  como

 Derivadas parciais 

Se se deriva a expresión anterior respecto dunha segunda variábel, , tense . Na práctica, calcularase  derivando respecto a  e supondo  constante.

 A diferencial 

 Definición de campo escalar diferenciábel 
Dise que f é diferenciábel en 
.
 ten que ser unha aplicación linear, que se define como a diferencial de f en a.
A anterior ecuación é a  fórmula de Taylor de primeira orde para .

 Teorema de unicidade da diferencial 
 é diferenciábel en  con diferencial 
a) 
b) 

 Regra da cadea 
Sexa  un campo escalar e . Defínese a función composta  como , entón 

 Diferencial dun campo vectorial 
Sexa  un campo vectorial. Sexa  e  un vector calquera. Defínese a derivada
}}
Expresando  en función das súas compoñentes, tense 

Dise que  é diferenciábel , aplicación linear que verifica:
.}}
Esta é a fórmula de Taylor de primeira orde para .
A matriz de  é a súa matriz jacobiana.

 Diferenciabilidade implica continuidade 
Se un campo vectorial  é diferenciábel en  é continuo en .
Dedúcese facilmente da fórmula de Taylor de primeira orde xa vista.

 Regra da cadea para diferenciais de campos vectoriais 
Sexa  un campo vectorial definido e diferenciábel en . A súa diferencial  é
}}

 Condición suficiente para a igualdade das derivadas parciais mixtas 
 ambas as derivadas parciais existen e son continuas en .

 Aplicacións do cálculo diferencial 

 Cálculo de máximos, mínimos e puntos de sela para campos escalares 
miniatura|Función cun punto de sela
Defínense os seguintes conceptos:
 Un campo escalar ten un máximo en  existe unha n-bola 
 Un campo escalar ten un mínimo en  existe unha n-bola 
 Un campo escalar ten un punto de sela  

Para saber se é un dos casos anteriores:
 Obtense  
 Obtense a matriz hessiana de f. Sexa esta .
  é definida positiva  ten un mínimo relativo en .
  é definida negativa  ten un máximo relativo en .
  é indefinida  ten un punto de sela en .

No anterior supúxose que  é continua 

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 Apostol, Tom M., Calculus, volume 2, editorial Reverté, S. a., ISBN 84-291-5003-X

 Ligazóns externas 
 UC Berkeley video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2009, Professor Edward Frenkel
 MIT video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2007
 Multivariable Calculus: A free online textbook by George Cain and James Herod
 Multivariable Calculus Online: A free online textbook by Jeff Knisley
 Multivariable Calculus – A Very Quick Review , Prof Blair Perot, University of Massachusetts Amherst

Categoría:Análise matemática