Teoría da aproximación

En matemáticas, a teoría da aproximación refírese a como as funcións poden ser mellor aproximadas con funcións máis simples, e coa caracterización cuantitativa dos erros introducidos polo mesmo. Tendo en conta que o que se entende por mellor e máis simple dependerá da aplicación.

Un tema estreitamente relacionado é a aproximación de funcións por series de Fourier xeneralizadas, é dicir, aproximacións baseadas na suma dunha serie de termos baseados en polinomios ortogonais.

Un problema de particular interese é o de aproximar unha función nunha biblioteca matemática de ordenador, utilizando operacións que poden realizarse na computadora ou calculadora (por exemplo, adición e multiplicación), de tal xeito que o resultado sexa o máis próximo posible á función real. Isto faise normalmente con aproximación polinómicas ou racionais (relación de polinomios).

O obxectivo é facer que a aproximación sexa o máis próxima posible á función real, normalmente cunha precisión próxima á da aritmética de punto flotante do ordenador subxacente. Isto se logra usando un polinomio de alto grao, e/ou estreitando o dominio sobre o cal o polinomio ten que aproximar a función.

O estreitamento do dominio a miúdo pode facerse mediante o uso de varias fórmulas de adición ou escalamento para a función que se está a aproximar. As bibliotecas matemáticas modernas a miúdo reducen o dominio en moitos pequenos segmentos e usan un polinomio de baixo grao para cada un deses segmentos.

 miniatura|300px|Erro entre polinomio óptimo e log(x) (vermello), e aproximación de Chebyshev e log(x) (azul) sobre o intervalo [2, 4].  As división verticais son 10−5. O erro máximo para o polinomio óptimo é 6.07 x 10−5. miniatura|300px|Erro entre polinomio óptimo e exp(x) (vermello), e aproximación de Chebyshev e exp(x) (azul) sobre o intervalo [-1, 1]. As divisións verticais son 10<sup>-4>/sup>. O erro máximo para o polinomio óptimo é 5.47 x 10−4.

 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 N. I. Achiezer (Akhiezer), Theory of approximation, Traducido por Charles J. Hyman Frederick Ungar Publishing Co., Nova York 1956 x+307 pp.
 A. F. Timan, Theory of approximation of functions of a real variable, 1963 ISBN 0-486-67830-X
 C. Hastings, Jr. Approximations for Digital Computers. Princeton University Press, 1955.
 J. F. Hart, E. W. Cheney, C. L. Lawson, H. J. Maehly, C. K. Mesztenyi, J. R. Rice, H. C. Thacher Jr., C. Witzgall, Computer Approximations. Wiley, 1968, Lib. Cong. 67-23326.
 L. Fox e I. B. Parker. "Chebyshev Polynomials in Numerical Analysis." Oxford University Press London, 1968.

 W. J. Cody Jr., W. Waite, Software Manual for the Elementary Functions. Prentice-Hall, 1980, ISBN 0-13-822064-6.
 E. Remes [Remez], "Sur le calcul effectif des polynomes d'approximation de Tschebyscheff". 1934 C. R. Acad. Sci., París, 199, 337-340.
 K.-G. Steffens, "The History of Approximation Theory: From Euler to Bernstein," Birkhauser, Boston 2006 ISBN 0-8176-4353-2.
 T. Erdélyi, "Extensions of the Bloch-Pólya theorem on the number of distinct real zeros of polynomials", Journal de théorie des nombres de Bordeaux 20 (2008), 281–287.
 T. Erdélyi, "The Remez inequality for linear combinations of shifted Gaussians", Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 146 (2009), 523–530.
 L. N. Trefethen, "Approximation theory and approximation practice", SIAM 2013. 

 Outros artigos 
 Polinomio de Chebyshev
 Teoría da estimación
 Series de Fourier xeneralizadas
 Polinomio ortogonal
 Base ortonormal
 Series de Fourier
 Base Schauder
 Padé aproximado
 Función de aproximación

 Ligazóns externas 
Historia da teoría da aproximación (HTA) 
Estudos da teoría da aproximación (ETA) 

Categoría:Matemáticas
Categoría:Análise matemática
Categoría:Algoritmos