Polígono regular

En xeometría, denomínase polígono regular a un polígono con lados e ángulos interiores iguais entre si. Os polígonos regulares de tres e catro lados chámanse triángulo equilátero e cadrado, respectivamente. Para polígonos de máis lados, engádese o termo regular (pentágono regular, hexágono regular, octógono regular etc). Só algúns polígonos regulares poden ser construídos con regra e compás.RegularPolygon en MathWorld

 Elementos dun polígono regular 
 Lado, L: é cada un dos segmentos que forman o polígono.
 Vértice, V: o punto de unión de dous lados consecutivos.
 Centro, C: o punto central equidistante de todos os vértices.
 Raio, r: o segmento que une o centro do polígono cun dos seus vértices.
 Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, ata o centro do polígono.
 Diagonal, d: segmento que une dous vértices non contiguos.
 Perímetro, P: é a suma da medida da súa contorna.
 Semiperímetro, SP: é a semisuma do perímetro.
 Saxita, S: parte do raio comprendida entre o punto medio do lado e o arco de circunferencia. A suma do apotema: a máis a saxita: S, é igual ao raio: r.

 Propiedades dun polígono regular 
 os polígonos regulares son equiláteros, posto que todos os seus lados son da mesma medida.
 os polígonos regulares son equiangulares, posto que todos os seus ángulos interiores teñen a mesma medida.
 os polígonos regulares pódense inscribir nunha circunferencia.

 Ángulos dun polígono regular 
250px|miniatura|Ángulos dun polígono regular.
 Todos os ángulos centrais dun polígono regular son congruentes e a súa medida α pode obterse a partir do número de lados n do polígono como segue:
  en graos sexaxesimais
  en radiáns

 O ángulo interior, , dun polígono regular mide:
  en graos sexaxesimais
  en radiáns

 A suma dos ángulos interiores, , dun polígono regular é de:
  en graos sexaxesimais
  en radiáns

 O ángulo exterior, , dun polígono regular é de:
  en graos sexaxesimais
  en radiáns

 A suma dos ángulos exteriores, , dun polígono regular é:
  en graos sexaxesimais
  en radiáns

 Galería de polígonos regulares 

Observación: A medida que aumenta o número de lados dun polígono regular, aseméllase máis a unha circunferencia.

 Área dun polígono regular 
Existen diversas fórmulas para calcular a área dun polígono regular, dependendo dos elementos coñecidos.

 En función do perímetro e o apotema 
A área dun polígono regular, coñecendo o perímetro e o apotema é:



 En función do número de lados e o apotema 
Sabendo que:


Ademais , xa que é a metade dun ángulo central (considerado en radiáns).

Observando a imaxe, é posible deducir que:


Substituíndo o lado:


Finalmente:


Con esta fórmula pódese determinar a área co número de lados e o apotema, sen necesidade de recorrer ao perímetro.

 En función do número de lados e o raio 
Un polígono queda perfectamente definido polo seu número de lados n, e o raio r, polo tanto pódese determinar cal é a súa área; á vista da figura, tense que:



onde o ángulo central é:


sabendo que a área dun polígono é:


e substituíndo o valor do lado e o apotema calculados antes, tense:


ordenando:


sabendo que:


resulta:


ou o que é o mesmo:


Con esta expresión pódese calcular a área do polígono, coñecendo só o número de lados e o seu raio, o que resulta útil en moitos casos.

 En función da lonxitude e o número de lados 
Se se quere expresar a área en función do lado, pódese calculalo da seguinte maneira:


Sexa  o ángulo formado polo Lado "L" e o raio "r":


O valor do apotema en función do lado será, pola definición da tanxente:


Despexando o apotema tense:


Substituíndo o apotema polo seu valor:


Pódese ver no debuxo que  e a fórmula pode escribirse tamén como 
.

Co que coñecendo o número de lados do polígono regular e a lonxitude do lado pódese calcular a súa superficie.

 Diagonais dun polígono regular 
 Número de diagonais 
Para determinar o número de diagonais Nd, dun polígono de n vértices realízase o seguinte razoamento:

 Dun vértice calquera partirán (n – 3) diagonais, onde n é o número de vértices, dado que non hai ningún diagonal que o unha consigo mesmo nin con ningún dos dous vértices contiguos.
 Isto é válido para os n vértices do polígono.
 Unha diagonal une dous vértices, polo que aplicando o razoamento anterior teríanse o dobre de diagonais das existentes.

Segundo o razoamento tense que:


 Lonxitude da diagonal máis pequena 
A diagonal máis pequena dun polígono regular é a que une dous vértices alternos. Para determinar a súa lonxitude, pártese do ángulo central e do raio, o raio que pasa polo vértice intermedio, corta a diagonal no punto A; este raio e a diagonal son perpendiculares en A.

O triángulo VAC é rectángulo en A, polo tanto:


que resulta: 


de onde se deduce que:


Sabendo o valor do ángulo central:


A diagonal máis pequena dun polígono regular, só depende do raio e do número de lados, sendo maior canto maior sexa o raio e diminuíndo de lonxitude cando aumenta o número de lados do polígono.

 Lonxitude das diagonais 
En xeral a lonxitude das diagonais dun polígono regular vén dada pola relación de recorrencia














 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 



 Ligazóns externas 
 Polígono regular 

Categoría:Polígonos