Polinomios de Bernoulli

En matemáticas os polinomios de Bernoulli  son definidos mediante unha función xeradora exponencial, tal como se expón a continuación:

 .

Aparecen no estudo de moitas funcións especiais, en particular da función zeta de Riemann e da función zeta de Hurwitz. Os números de Bernoulli  (normalmente expresados como  e escritos aquí con minúscula para distinguilos dos polinomios) son os termos independentes dos polinomios correspondentes, .

A identidade  expón unha forma pechada da suma dos  primeiros números enteiros positivos elevados a unha potencia ,

 .

Un conxunto similar de polinomios, baseado nunha función xeradora, é a familia de polinomios de Euler. Neste artigo mencionaremos propiedades e fórmulas para ambas as dúas familias.

 Representacións 

 Funcións xeradoras exponenciais 
A funcións xeradora para os polinomios de Bernoulli é


E para os polinomios de Euler é

Fórmula explícita

Para os polinomios de Bernoulli  e mais Euler  respectivamente, temos,



para , onde os  son os números de Bernoulli, e os  son os números de Euler.

Dedúcese logo que  
 (numeradores  e denominadores )
e 
 (, tendo en conta que hai quen usa outro criterio usando só os números de índice par, ver números de Euler).

 Expresión de polinomios de menor grao 
Os primeiros polinomios de Bernoulli son:

.

Os primeiros polinomios de Euler son:

 Propiedades dos polinomios de Bernoulli 
 Diferenzas 
Os polinomios de Bernoulli e Euler obedecen a moitas relacións do cálculo sombra usado por Édouard Lucas, por exemplo.

 Derivadas 

 Translacións 

 Simetrías 

 Outras propiedades 

Esta última igualdade, deducida da fórmula de Faulhaber, provén da igualdade:  ou, máis sinxelamente, a serie telescópica
.

 Serie de Fourier 
A serie de Fourier dos polinomios de Bernoulli tamén é unha serie de Dirichlet, dada polo desenvolvemento. :
 ,
válido só para  cando  e para  cando .

Este é un caso especial da fórmula de Hurwitz.

Integrais e relacións coa función zeta de Riemann 
Dúas integrais definidas que relacionan os polinomios de Bernoulli e Euler cos números de Bernoulli e Euler son:

Outra integral dános 

e casos particulares sen a variábel  onde aparecen a función zeta de Riemann

.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 Zwillinger, D. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 2003. ISBN 1584882913.
 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York. (Ver  capítulo 23)
  (Ver  capítulo 12.11)


  (Reviews relationship to the Hurwitz zeta function and Lerch transcendent.)

 Outros artigos 
 Número de Bernoulli

 Ligazóns externas 
 Polinomios de Bernoulli no sitio Mathworld 

Bernoulli
Categoría:Teoría de números