Teoría de aneis

En álxebra abstracta, a teoría de aneis é o estudo  de aneis (estruturas alxébricas nas cales a adición e a multiplicación están definidas e teñen propiedades similares a aquelas operacións definidas para os enteiros). A teoría de aneis estuda a estrutura de aneis, as súas representacións, ou, en linguaxe diferente, módulos, clases especiais de aneis (aneis de grupo, aneis de división, álxebras universais envolventes), así como unha variedade de propiedades que resultaron de interese tanto dentro da propia teoría  e para as súas aplicacións, como propiedades homolóxicas e identidades polinómicas.

Os aneis conmutativos enténdense moito mellor cós non conmutativos. A xeometría alxébrica e a teoría de números alxébricos, que proporcionan moitos exemplos naturais de aneis conmutativos, impulsaron moito o desenvolvemento da teoría de aneis conmutativos, que é, co nome de álxebra conmutativa, unha área importante da matemática moderna. Debido a que este tres campos (xeometría alxébrica, teoría de números alxébricos e álxebra conmutativa) están tan intimamente conectados, é normalmente difícil e sen sentido decidir a que campo pertence un resultado particular. Por exemplo, o teorema dos ceros de Hilbert é un teorema que é fundamental para a xeometría alxébrica, e está enunciado e probado en termos de álxebra conmutativa. Do mesmo xeito, o último teorema de Fermat está enunciado en termos de aritmética elemental, que é unha parte de álxebra conmutativa, pero a súa proba implica resultados profundos tanto da teoría de números alxébricos como da xeometría alxébrica.

Os aneis non conmutativos son bastante diferentes, xa que pode xurdir un comportamento máis estraño. Mentres a teoría se desenvolveu por dereito propio, unha tendencia bastante recente buscou facer paralelismos co desenvolvemento conmutativo construíndo a teoría de certas clases de aneis non conmutativos dunha maneira xeométrica coma se fosen aneis de funcións sobre (non existentes) "espazos non conmutativos". Esta tendencia iniciouse na década de 1980 co desenvolvemento da xeometría non conmutativa e co descubrimento dos grupos cuánticos. Isto levou a unha mellor comprensión dos aneis non conmutativos, especialmente os aneis noetherianos (Goodearl 1989).

 Aneis conmutativos 
Un anel é conmutativo se a súa multiplicación é conmutativa. Os aneis conmutativos parécense aos sistemas numéricos coñecidos, e varias definicións para os aneis conmutativos están deseñadas para formalizar as propiedades dos  enteiros. Os aneis conmutativos tamén son importantes na xeometría alxébrica. Na teoría de aneis conmutativos, os números adoitan ser substituídos por ideais, e a definición do ideal primo tenta capturar a esencia dos números primos. Os dominios de integridade, aneis conmutativos non triviais onde non hai dous elementos distintos de cero que multiplicados dean cero, xeneralizan outra propiedade dos enteiros e serven como o dominio apropiado para estudar a divisibilidade. Os dominios de ideais principais son dominios integrais nos cales cada ideal pode ser xerado por un só elemento, outra propiedade compartida polos enteiros. Os dominios euclidianos son dominios integrais nos que se pode levar a cabo o algoritmo de Euclides.

 Xeometría alxébrica 
A xeometría alxébrica é de moitas maneiras a imaxe de espello da álxebra conmutativa. Esta correspondencia comezou co teorema dos ceros de Hilbert que establece unha correspondencia un a un entre os puntos dunha variedade alxébrica, e os ideais maximais do seu anel de coordenadas. Esta correspondencia foi ampliada e sistematizada para traducir (e probar) as propiedades máis xeométricas das variedades alxébricas en propiedades alxébricas dos aneis conmutativos asociados. Alexander Grothendieck completou isto introducindo esquemas, unha xeneralización de variedades alxébricas, que poden construírse a partir de calquera anel conmutativo. Máis especificamente, o  espectro dun anel conmutativo é o espazo dos seus ideais principais equipados coa topoloxía de Zariski, e aumentado cun feixe de aneis. Estes obxectos son os "esquemas afíns" (xeneralización das variedades afíns), e un esquema xeral obtense "pegando" (por métodos puramente alxébricos) varios destes esquemas afíns, en analoxía ao xeito de construír un  colector "pegando" os gráficos dun atlas.

 Aneis non conmutativos 
Os aneis non conmutativos parécense aos aneis de matrices en moitos aspectos. Seguindo o modelo de xeometría alxébrica, tentáronse definir xeometrías non conmutativas baseadas en aneis non conmutativos. Os aneis non conmutativos e a álxebra asociativa (aneis que tamén son espazos vectoriais) son a miúdo estudados a través das súas categorías de módulos. Un módulo sobre un anel é un grupo abeliano no que o anel actúa como un anel de endomorfismos, moi semellantes aos campos (dominios integrais nos que cada elemento distinto de cero é invertible) de maneira que actúa sobre espazos vectorias. Exemplos de aneis non conmutativos son dados por aneis de matrices cadradas ou máis xeralmente por aneis de endomorfismos de grupos abelianos ou módulos, e por aneis monoides.

 Teoría de representación 
A teoría da representación é unha rama  de matemáticas que se basea en gran medida nos aneis non conmutativos. Estuda  estruturas alxébricas abstractas que representando os seus elementos como transformacións lineares de espazos vectoriales, e módulos sobre estas estruturas alxébricas abstractas. En esencia, unha representación fai un obxecto alxébrico abstracto máis concreto describindo os seus elementos mediante  matrices e as operacións alxébricas en termos de adición matricial e multiplicación matricial, que é non conmutativa. Os obxectos alxébricos susceptibles de tal descrición inclúen grupos, álxebras asociativas e álxebras de Lie. O máis prominente destes (e historicamente o primeiro) é a teoría de representación de grupos, na cal os elementos dun grupo se representan polas matrices invertibles de tal xeito que a operación do grupo é a multiplicación da matriz.

 Véxase tamén 

 Bibliografía 
Historia da teoría de aneis en MacTutor Archive 

 Atiyah M. F., Macdonald, I. G., Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969 ix+128 pp.

 Faith, Carl, Rings and things and a fine array of twentieth century associative algebra. Mathematical Surveys and Monographs, 65. American Mathematical Society, Providence, RI, 1999. xxxiv+422 pp. ISBN 0-8218-0993-8
 Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., An introduction to noncommutative Noetherian rings. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp. ISBN 0-521-36086-2
 Herstein, I. N., Noncommutative rings. Reprint of the 1968 original. With an afterword by Lance W. Small. Carus Mathematical Monographs, 15. Mathematical Association of America, Washington, D.C., 1994. xii+202 pp. ISBN 0-88385-015-X
 Jacobson, Nathan, Structure of rings. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 37. Revised edition American Mathematical Society, Providence, R.I. 1964 ix+299 pp.
 Jacobson, Nathan, The Theory of Rings. American Mathematical Society Mathematical Surveys, vol. I. American Mathematical Society, Nova York, 1943. vi+150 pp.

 Lam, T. Y., A first course in noncommutative rings. 2.ª edición. Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, Nova York, 2001. xx+385 pp. ISBN 0-387-95183-0
 Lam, T. Y., Exercises in classical ring theory. 2.ª edición. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag, Nova York, 2003. xx+359 pp. ISBN 0-387-00500-5
 Lam, T. Y., Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics, 189. Springer-Verlag, Nova York, 1999. xxiv+557 pp. ISBN 0-387-98428-3
 McConnell, J. C.; Robson, J. C. Noncommutative Noetherian rings. Edición revisada. Graduate Studies in Mathematics, 30. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xx+636 pp. ISBN 0-8218-2169-5
 Pierce, Richard S., Associative algebras. Graduate Texts in Mathematics, 88. Studies in the History of Modern Science, 9. Springer-Verlag, Nova York-Berlín, 1982. xii+436 pp. ISBN 0-387-90693-2
 Rowen, Louis H., Ring theory. Vol. I, II. Pure and Applied Mathematics, 127, 128. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. ISBN 0-12-599841-4, ISBN 0-12-599842-2


 Connell, Edwin, Free Online Textbook, http://www.math.miami.edu/~ec/book/