Característica de Euler

En matemática, e en particular en topoloxía alxébrica, a característica de Euler ou característica de Euler-Poincaré é un invariante topolóxico, un número definido que serve para ampliar unha clase de espazos topolóxicos. Denótase xeralmente por  (a letra grega khi).

 Característica de Euler en poliedros 
A característica de Euler dun politopo de tres dimensións (poliedro) pode calcularse empregando a fórmula seguinte:

onde C, A e V son os números de caras, de arestas e de vértices respectivamente. En particular, para calquera poliedro homeomorfo a unha esfera tense

Por exemplo, para un cubo tense 6 - 12 + 8 = 2 e para un tetraedro tense 4 - 6 + 4 = 2. A fórmula anterior tamén se chama fórmula de Euler, que se pode demostrar por indución matemática.

Outros exemplos poden atoparse na seguinte táboa
NomeImaxeVérticesVArestasACarasCCaracterística de Euler:V − A + CTetraedro50px4642Cubo50px81262Octaedro50px61282Dodecaedro50px2030122Icosaedro50px1230202

Un poliedro que non sexa homeomorfo a unha esfera, como o poliedro toroidal da figura, que ten 48 caras, 22 vértices e 70 arestas obtense 22 - 70 + 48 = 0.

miniatura|Poliedro toroidal de 48 caras
Táboa coas característica de Euler doutros poliedros 
NomeImaxeVérticesVArestasACarasCCaracterística de Euler :V − A + CTetrahemihexaedro100px61271Octahemioctaedro100px1224120Cubohemioctaedro100px122410−2Grande icosaedro100px1230202

 Xeneralización ás superficies 
miniatura|Esfera triangulada a partir dun icosaedro.
Unha superficie compacta como a esfera, o toro, o bitoro, un disco con bordo etc. xorde de deformar de forma continua un poliedro. Por exemplo, se se deforma un icosaedro ata obter unha esfera as arestas transfórmanse en curvas sobre a esfera, as caras son "triángulos" e os vértices puntos sobre as mesmas. Así, a esfera quedará "triangulada". Para definir a característica dunha superficie empréganse estas triangulacións realizando a fórmula análoga χ(S) = Triángulos - Lados + Vértices. En realidade as triangulacións non deben facerse necesariamente con triángulos, senón con calquera polígono, tendo en conta que dous polígonos só compartan unha aresta como máximo, e que, se comparten un lado, só compartan os dous vértices dese lado. Así a xeneralización da característica de Euler para unha superficie cerrada S é

A característica de Euler de superficies orientadas pechadas relaciónase co seu xénero g, que é un número que describe a cantidade de «asas» que ten a superficie. A relación vén dada por:


Por exemplo: o toro ten unha asa e polo tanto .

 Definición xeral e propiedades 

Para un CW-complexo finito e en particular para un complexo simplicial finito, a característica de Euler pode definirse como a suma alternada

onde ki denota o número de células de dimensión i.

Entón, pode definirse a característica de Euler dunha variedade como a característica de Euler dun complexo simplicial homeomorfo a el. Por exemplo, o círculo e o toro teñen característica de Euler 0 e as bólas sólidas teñen característica de Euler 1.

A característica de Euler é independente da triangulación. A fórmula pode tamén empregarse para as descomposicións en polígonos arbitrarios.

Para as variedades pechadas, a característica de Euler coincide co número de Euler, é dicir, a clase de Euler do seu fibrado tanxente avaliado na clase fundamental da variedade.

Para as variedades de Riemann pechadas, a característica de Euler pode atoparse tamén integrando a curvatura. Un análogo discreto do teorema de Gauss-Bonnet é o teorema de Descartes que indica que o "defecto total" dun poliedro, medido en círculos completos, é a característica de Euler do poliedro.

Máis xeralmente aínda, para calquera espazo topolóxico, podemos definir o n-ésimo número de Betti bn como o rango do n-ésimo grupo de homoloxía. A característica de Euler pode definirse entón como a suma alternada

Esta definición ten sentido se os números de Betti son todos finitos e cero máis aló dun determinado índice n0.

Dous espazos topolóxicos que son equivalentes homotópicos teñen grupos isomorfos de homoloxía e polo tanto a mesma característica de Euler.

Desta definición e a dualidade de Poincaré, séguese que a característica de Euler de calquera variedade pechada de dimensión impar é cero.

Se M e N son espazos topolóxicos, entón a característica de Euler do seu produto M × N é

.

 Conxunto parcialmente ordenado 
O concepto de característica de Euler dun conxunto parcialmente ordenado finito limitado é outra xeneralización, importante en combinatoria. Un conxunto parcialmente ordenado é limitado se ten elementos mínimos e máximos, que podemos chamar 0 e 1. A característica de Euler dese conxunto é μ(0,1), onde μ é a función de Möbius na álxebra de incidencia do conxunto.

 Véxase tamén 
 Outros artigos 
Teorema de poliedros de Euler
Xénero
Teorema de Pick

 Ligazóns externas 
 Característica de Euler en Encyclopaedia of Mathematics 

Categoría:Topoloxía
Categoría:Xeometría