Ecuación de segundo grao

Unha ecuación de segundo graoEncyclopaedia of Mathematics ou ecuación cadrática dunha variable é unha ecuación que ten a forma dunha suma alxébrica de termos con grao máximo igual a dous, é dicir, unha ecuación cadrática pode ser representada por un polinomio de segundo grao ou polinomio cadrático. A expresión canónica xeral dunha ecuación cadrática dunha variable é:

onde x é a variable, e a, b e c son constantes; a é o coeficiente cadrático (distinto de 0), b o coeficiente linear e c é o termo independente. Este polinomio pode interpretarse mediante a gráfica dunha función cadrática, é dicir, por unha parábola. Esta representación gráfica é útil, porque as interseccións ou punto tanxencial desta gráfica, no caso de existir, co eixe X coinciden coas solucións reais da ecuación.

 Historia 
As ecuacións de segundo grao e a súa solución coñécense dende a antigüidade e xa en Babilonia se coñecían algoritmos para resolvela. En Grecia, o matemático Diofanto de Alexandría achegou un procedemento para resolver este tipo de ecuacións (aínda que o seu método só proporcionaba unha das solucións, mesmo no caso de que as dúas solucións sexan positivas). A primeira solución completa desenvolveuna o matemático Al-Khwarizmi no século IX na súa obra Compendio de cálculo por reintegración e comparación, pechando así un problema que se perseguira durante séculos.

Houbo que agardar a Évariste Galois para conseguir resolver en xeral as ecuacións polinómicas, ou saber cando son irresolubles por radicais, que vén ser unha xeneralización dos métodos de resolución das ecuacións de segundo grao.

A primeira gran dificultade que pode xurdir na solución de ecuacións cadráticas deuse coa ecuación  na época dos pitagóricos, ao calcularen a lonxitude da diagonal dun cadrado de lado 1 xa que non se podía expresar a raíz cadrada de dous como razón de dous números enteiros.Hoffmann. Historia de la matemática

No Renacemento ao resolver  requírese atopar un número real con cadrado igual a -1. Este feito superouse coa adopción dos números imaxinarios e a definición da unidade imaxinaria i que cumpre .Birkhoff- Mac Lane. Álxebra modernaOtto Bekken. Una breve historia del álgebra

 Ecuación completa de segundo grao 
Para unha ecuación cadrática con coeficientes reais ou complexos existen sempre dúas solucións, non necesariamente distintas, chamadas raíces, que poden ser reais ou complexas (se os coeficientes son reais e existen dúas solucións non reais, entón deben ser complexas conxugadas). A fórmula xeral para a obtención de raíces é:

Emprégase ± para indicar as dúas solucións:

{|
|-
|
| style="width:100px" align="center" | e
|
|}

A dedución da fórmula cadrática vén da fórmula de completar o cadrado:

A ecuación canónica de segundo grao pódese simplificar dividindo polo coeficiente principal, de xeito que

De empregárense outras letras para simplificalo de forma que  e  a demostración (que é algo máis sinxela) queda como segue:

A partir da ecuación


illando n


sumando  a ambos os termos


simplificando o primeiro termo a un binomio cadrado


extraendo a raíz cadrada aos dous membros


illando  e simplificando a fracción da raíz


reducindo a denominador común


desfacendo o cambio de variable, obtense o resultado


A demostración sen cambio de variables pódese ver aquí:

 Pártese da ecuación simplificada:


 Pásase ao outro termo : 


 Súmase  para obter un binomio desenvolvido: 


 O trinomio da esquerda é un cadrado perfecto; reducindo a denominador común o segundo membro:


 Extraendo as dúas posibles raíces cadradas, obtense:


 Movendo  e aplicando a raíz ao denominador:


 Simplificando a denominador común:


 Discriminante 
260px|miniatura|Exemplo do signo do discriminante:
■ : sen raíces reais, con dúas raíces complexas conxugadas.
■ : unha raíz real de  (multiplicidade 2)
■ : dúas raíces reais distintas.
Na fórmula anterior, a expresión dentro da raíz cadrada recibe o nome de discriminante da ecuación cuadrática. Adoita representarse coa letra D ou ben coa letra grega Δ (delta) maiúscula:

Unha ecuación cadrática con coeficientes reais ten ou ben dúas solucións reais distintas ou unha soa solución real de multiplicidade 2, ou ben dúas raíces complexas. O discriminante determina a natureza e o número de raíces.

 Se  hai dúas solucións reais diferentes (a parábola cruza dúas veces o eixe das abscisas):
 .

 Se  hai unha solución real dobre (a parábola só toca nun punto o eixe das abscisas):

 Se  hai dúas solucións complexas conxugadas (a parábola non corta o eixe das abscisas: X):

onde i é a unidade imaxinaria.

Forma reducida da ecuación completa
Cando o termo principal é 1 a expresión queda como , que ten como raíces:

 Ecuacións incompletas 
 Sen termo independente 
Son da forma:

 Sen termo linear 
Son da forma , que ten raíces reais opostas ou imaxinarias puras opostas.

Solo o termo de segundo grao

 Completa con coeficiente linear par 
Neste caso aparece como coeficiente do termo de primeiro grao un número par 2m e a ecuación é , sendo as raíces 

 Completa reducida con coeficiente linear par 
Neste caso o coeficiente principal é 1; o coeficiente linear é par e toma a forma  con raíces 

 Ecuación bicadrada 
Estas son un caso particular da ecuación de cuarto grao. Fáltanlles os termos elevados á terceira e á primeira potencia. A súa forma polinómica é:

Para resolver estas ecuacións tan só hai que facer o cambio de variable  
Co que queda: 
O resultado resulta ser unha ecuación de segundo grao que se pode resolver empregando a fórmula: 

Ao desfacer o cambio de variable aparecen as catro solucións:

Ecuación bicadrada simétrica
Que toma a forma <ref>Tsipkin: Manual de matemáticas</ref>

 Teorema de Cardano-Vieta 
Partindo de que se ten unha ecuación cadrática con raíces , pódese construír o binomio a partir delas con:





Do que se deduce:

Suma de raíces:Demostración a partir de Cardano-Vieta Partindo de igualar os termos do mesmo grao

 Despéxase a suma e divídese por x


Produto de raíces:Demostración a partir de Cardano-Vieta Partindo de igualar os termos do mesmo grao

 Despéxase o produto de raíces:


Observación:

Desenvolvendo os binomios:

 Onde finalmente queda:


 Notas 

 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Función cadrática
 Ecuación de terceiro grao
 Ecuación de cuarto grao
 Ecuación de quinto grao

 Ligazóns externas 

Ecuacións cuadráticas. Disfruta las matemáticas'', Pierce, Rod.
A ecuación de segundo grao, en descartes.cnice.mec.es
Calculadora. Ecuación de segundo grao

Categoría:Álxebra