Álxebra multilinear

Na matemática, a álxebra multilinear é unha área de estudo que xeneraliza os métodos da álxebra linear. Os obxectos de estudo son os produtos tensoriais de espazos vectoriais e as transformacións multilineares entre os espazos.

 Notación 
A álxebra multilinear fai un uso intensivo da notación multiíndice. Unha notación dese tipo representa as combinacións lineares por un conxunto de dous ou máis índices repetidos.

 No caso elemental (tensores de rango un contravariantes) tense, empregando a convención da suma de Einstein: . O que indica que o obxecto X, é a combinación linear:

sobre os vectores básicos , e os  chamados compoñentes de X. Aquí  é a dimensión alxébrica do espazo ao que pertence X. Por convención chámaselles 1-contra-tensores. 
 En rango un tamén están os 1-co tensores, é dicir aplicacións lineares dende o espazo escollido ata o corpo dos escalares. Escríbense como combinación linear dos funcionais lineares , transformacións lineares  que satisfán: , onde se está empregando o delta de Kronecker. Deste xeito, calquera covector  se escribe como , notación que se abrevia como .
 Tensores de rango dous:
 Un tensor de rango dous contravariante é .
 Un tensor de rango dous covariante é .
 E un tensor de rango dous mixto é . Isto indica unha combinación linear biindexada.
Por exemplo,

se a dimensión do espazo é dous.
 Xeneralizando o anterior escríbese  para representar os compoñentes dun tensor mixto  A, que é p-contravariante e q-covariante. Pero

representa unha combinación linear multiindexada.

Todo o anterior só foi considerando que o espazo vectorial é de dimensión finita igual a n.

 Produto tensorial 
Tendo dous espazos vectoriais V, W, con bases respectivas ,  defínese o seu produto tensorial

é dicir o espazo vectorial xerado polos novos símbolos 

Polo tanto se un obxecto X que pertence a  pode representarse como unha combinación linear

e que se abrevia como

os índices repetidos s  ou t, indican, cada un, a suma.

Esta definición é absolutamente abstracta, pero dende o punto de vista alxébrico non hai ningún problema en explorar todas as posibilidades do produto tensorial. Xorde unha gran cantidade de espazos simplemente ao considerar un espazo vectorial V e o seu dual , obténdose os espazos:

Todos eles de uso cotián en xeometría diferencial, xeometría alxébrica, relatividade e outros campos.

 Tensores e formas 
Sexa  xerado polos . Simbolizando con 
 a base do dual  calquera elemento de  escríbese da forma
. Esta mesma expresión pode ser vista como unha función bilinear

sabiendo que 
 - kronecker.

Outro de rango dous é . Os elementos de aquí vense como combinacións lineares biindexadas .

 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.

Categoría:Álxebra