Lei dos grandes números

Na teoría da probabilidade, baixo o termo xenérico de lei dos grandes números englóbanse varios teoremas que describen o comportamento da media dunha sucesión de variables aleatorias segundo aumenta o número de ensaios.

Estes teoremas prescriben condicións suficientes para garantir que esa media converxe á media das esperanzas das variables aleatorias involucradas. As distintas formulacións da lei dos grandes números (e as súas condicións asociadas) especifican a converxencia de formas distintas.

As leis dos grandes números explican por que a media dunha mostra ao azar dunha poboación de gran tamaño tenderá a estar preto da media da poboación completa.

Cando as variables aleatorias teñen unha varianza finita, o teorema central do límite estende o noso entendemento da converxencia da súa media describindo a distribución de diferenzas estandarizadas entre a suma de variables aleatorias e o valor esperado desta suma: sen importar a distribución subxacente das variables aleatorias, esta diferenza estandarizada converxe a unha variable aleatoria normal estándar.

A frase "lei dos grandes números" emprégase tamén  ocasionalmente para referirse ao principio de que a probabilidade de que calquera evento posible (incluso un improbable) ocorra polo menos unha vez nunha serie, increméntase co número de repeticións na serie. Por exemplo, a probabilidade de que un individuo gañe a lotería é bastante baixa, pero a probabilidade de que alguén gañe a lotería é bastante alta, supoñendo que suficientes persoas compren billetes de lotería.

Historia
miniatura|dereita|250px|A difusión é un exemplo da lei dos grandes números, aplicada á química. Inicialmente, hai moléculas de soluto no lado esquerdo dunha barreira (liña púrpura) e ningún á dereita. Elimínase a barreira e o soluto difúndese para encher todo o recipiente.
Arriba: cunha soa molécula, o movemento parece ser bastante aleatorio.
Medio: con máis moléculas, existe unha clara tendencia na que o soluto encha o recipiente máis e máis uniformemente, pero tamén hai flutuacións.
Abaixo: cun número enorme de moléculas de soluto (demasiadas para verse), a aleatoriedade esencialmente desaparece: o soluto parece moverse suave e sistematicamente dende as zonas de alta concentración ás zonas de baixa concentración. En situacións reais, os químicos poden describir a difusión como un fenómeno macroscópico determinista (leis de Fick), a pesar do seu carácter aleatorio subxacente.
O matemático italiano Gerolamo Cardano (1501–1576) afirmou sen probas que a precisión das estatísticas empíricas tenden a mellorar co número de intentos.Mlodinow, L. The Drunkard's Walk. Nova York: Random House, 2008.  p. 50. Despois isto foi formalizado como unha lei dos grandes números; unha forma especial da lei (para unha variable aleatoria binaria) foi demostrada por primeira vez por Jacob Bernoulli.Jakob Bernoulli, Ars Conjectandi: Usum & Applicationem Praecedentis Doctrinae in Civilibus, Moralibus & Oeconomicis, 1713, Chapter 4 Levoulle máis de 20 anos desenvolver unha proba matemática suficientemente rigorosa que foi publicada en Ars Conjectandi en 1713. Bernouilli chamouno o seu “teorema dourado”, mais chgou a ser coñecido xeralmente como "teorema de Bernoulli". Este non debe confundirse co principio físico de igual nome, polo sobriño de Jacob, Daniel Bernoulli.  En 1837, S. D. Poisson  describiuno con máis detalle baixo o nome de «la loi des grands nomes» (a lei dos grandes números).Poisson noméao a "lei dos grandes números" (la loi des grands nomes) en:  S.D. Poisson, Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilitiés (París, Francia:  Bachelier, 1837), p. 7. Intentou una proba en dúas partes da lei nas páxinas. 139–143 e 277 ff.Hacking, Ian. (1983) "19th-century Cracks in the Concept of Determinism", Journal of the History of Ideas, 44 (3), 455-475 A partir de entón, coñécese con ambos os nomes, pero emprégase con maior frecuencia «lei dos grandes números».

Despois de que Bernoulli e Poisson publicasen os seus estudos, outros matemáticos tamén contribuíron ao refinamento da lei, como Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli e Kolmogorov e Khinchin, que finalmente proporcionou unha proba completa da lei dos grandes números para variables arbitrarias. Estes novos estudos deron lugar a dúas formas destacadas da lei dos grandes números: unha chámase lei "feble" e outra lei "forte", en referencia a dous modos diferentes de converxencia da mostra; en particular, a forma forte implica a feble.

 Lei feble 
A lei feble dos grandes números establece que se X1, X2, X3, ... é unha sucesión infinita de variables aleatorias independentes que teñen o mesmo valor esperado  e varianza , entón a media

converxe en probabilidade a μ. Noutras palabras, para calquera número positivo ε tense

 Lei forte 

A lei forte dos grandes números establece que se X1, X2, X3... é unha sucesión infinita de variables aleatorias independentes e identicamente distribuídas que cumpren E(|Xi|) < ∞   e teñen o valor esperado μ, entón

é dicir, a media das variables aleatorias converxe a μ case seguramente (nun conxunto de probabilidade 1).

Esta lei xustifica a interpretación intuitiva de que o valor esperado dunha variable aleatoria como a "media a longo prazo ao facer unha mostraxe repetitiva".

  Demostración (resultado preliminar)

  Demostrarase o seguinte resultado: sexa  unha sucesión de variables aleatorias independentes e integrables con  (esperanza 0) e ; entón, a media   case seguramente cando . Este teorema non asume que as variables aleatorias son identicamente distribuídas pero controla o crecemento das varianzas.

Para demostrar o teorema faise uso do seguinte lema:
Desigualdade Maximal. Sexan  variables aleatorias independentes e sexan  e  constantes positivas que cumpren  para cada i. Entón

Demostración do lema:  sexan  e . Defínese así mesmo a variable aleatoria

Tense entón: 

Agora ben, se  e  entón implica que 
 polo tanto:

co que se conclúe o lema. (Fin da demostración do lema)

Seguindo coa demostración do teorema defínese 

Tense entón que a serie  é converxente pois:

A converxencia en case todos os puntos que asegura o teorema é equivalente a:

Polo lema de Borel-Cantelli, é suficiente demostrar que, para todo 

Cada probabilidade na suma anterior pode ser limitada por: 

Agora aplícase a desigualdade maximal: 

A última desigualdade da liña anterior xustifícase pola desigualdade de Chebyshev. Unha nova aplicación desta mesma desigualdade permítenos limitar os :

É dicir, logrouse limitar cada sumando da  por unha constante polos termos dun sumatorio que sabemos que é converxente, demostrando a converxencia dese sumatorio e concluíndo por Borel-Cantelli a converxencia forte do teorema.

(Fin da demostración)


  Demostración da lei forte dos grandes números (Kolmogorov)Sexa  unha sucesión de variables aleatorias independentes, integrables e identicamente distribuídas con  (esperanza 0), entón, a media   case seguramente cando .

Se se define  e . Tense que . Ademais, usando a hipótese de distribucións idénticas, podemos en xeral substituír (non sempre) unha distribución  xenérica por un representante, por exemplo . Tense entón:

A última converxencia a cero vén dada pola converxencia puntual máis a converxencia dominada por  .
Tamén se ten que:

A terceira  igualdade vén de que para calquera variable aleatoria se cumpre que:

A  implica, por Borel-Canteli, que o conxunto  ten probabilidade cero. Polo tanto, nun conxunto de probabilidade 1 cúmprese:

Da  desigualdade  podemos deducir que:

Polo teorema anterior tense: 

case seguramente. Como ademais se ten que:

Das ecuacións ,  e  dedúcese que  en case todos os puntos, concluíndo o teorema.

(Fin da demostración) 

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 Pollard, David, A user´s guide to measure theoretic probability, Cambridge University Press (2003).
 Outros artigos 
 Teorema central do límite
 Teorema de Bernoulli
 Falacia do xogador
 Andrei Kolmogorov
 Lei dos números realmente grandes

Categoría:Estatística
Categoría:Probabilidade
Categoría:Teoremas