Teorema central do límite

O teorema do límite central ou teorema central do límite indica que, en condicións moi xerais, se Sn é a suma de n variables aleatorias independentes e de varianza non nula pero finita, entón a función de distribución de Sn «aproxímase ben» a unha distribución normal (tamén chamada distribución gaussiana, curva de Gauss ou campá de Gauss). Así pois, o teorema asegura que isto ocorre cando a suma destas variables aleatorias independentes é o suficientemente grande.

 Definición 
Sexa  a función de densidade da distribución normal definida como

cunha media µ e unha varianza σ2. O caso no que a súa función de densidade sexa , a distribución coñécese como normal estándar.

Defínese Sn como a suma de n variables aleatorias, independentes, identicamente distribuídas, e con media µ e varianza σ2 finitas (σ2≠0):

de maneira que, a media de Sn é n•µ e a varianza  n•σ2, dado que son variables aleatorias independentes. Con tal de facer máis fácil a comprensión do teorema e o seu posterior uso, faise unha estandarización de Sn como

para que a media da nova variable sexa igual a 0 e o desvío estándar sexa igual a 1. Así, as variables Zn converxerán en distribución á distribución normal estándar N(0,1), cando n tende a infinito. Como consecuencia, se Φ(z) é a función de distribución de N(0,1), para cada número real z:

onde P( ) indica probabilidade e lim refírese ao límite matemático.

 Enunciado formal 
De maneira formal, normalizada e compacta o enunciado do teorema é:

É moi común atopalo coa variable estandarizada Zn en función da media da mostra ,

posto que son equivalentes, así como atopalo en versións non normalizadas como pode ser:

É importante sinalar que este teorema non informa nada acerca da distribución de , agás a existencia de media e varianza.

 Propiedades 
 O teorema central do límite garante unha distribución normal cando n é suficientemente grande.
 Existen diferentes versións do teorema, en función das condicións empregadas para asegurar a converxencia. Unha das máis simples establece que é suficiente que as variables que se suman sexan independentes, identicamente distribuídas, con valor esperado e varianza finitas.
 Este teorema, pertencente á teoría da probabilidade, atopa aplicacións en moitos campos relacionados, tales como a inferencia estatística ou a teoría de renovación.

 Varianza nula ou infinita 
No caso de n variables aleatorias Xi independentes e identicamente distribuídas, cada unha delas con varianza nula ou infinita, a distribución das variables:

non converxen en distribución cara a unha normal. A continuación preséntanse os dous casos por separado.

 Varianza infinita 
Considérese o caso de variables que seguen unha distribución de Cauchy:

Neste caso pode demostrarse que a distribución asintótica de Sn vén dada por outra distribución de Cauchy, con menor varianza:

Para outras distribucións de varianza infinita non é fácil dar unha expresión pechada para a súa distribución de probabilidade aínda que a súa función característica si ten unha forma sinxela, dada polo teorema de Lévy-Khintchine:P. Ibarrola, L. Pardo e V. Quesada: Teoría da Probabilidade, p. 521-522

onde  y:

As condicións anteriores equivalen a que unha distribución de probabilidade sexa unha distribución estable.

 Varianza nula 
Este caso corresponde trivialmente a unha función dexenerada tipo delta de Dirac cunha función de distribución que vén dada por:

Neste caso resulta que a variable  trivialmente ten a mesma distribución que cada unha das variables independentes.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Outros artigos 
 Lei dos grandes números
 Distribución normal
 Teorema de De Moivre-Laplace
 Ligazóns externas 



Categoría:Teoremas
Categoría:Probabilidade
Categoría:Estatística