Funcións trigonométricas inversas

En matemáticas, as funcións trigonométricas inversas (tamén chamadas funcións arco .) son as funcións inversas das funcións trigonométricas, baixo dominios debidamente restrinxidos. Concretamente, son as inversas das funcións seno, coseno, tanxente, cotanxente, secante e cosecante, e úsanse para obter un ángulo a partir de calquera das razóns trigonométricas do ángulo. As funcións trigonométricas inversas úsanse amplamente en enxeñaría, navegación, física e xeometría.

 Notación 
Para unha circunferencia de raio 1, arcsin e arccos son as lonxitudes dos arcos reais determinadas polas cantidades en cuestión.

Existen varias notacións para as funcións trigonométricas inversas. A convención máis común é nomear as funcións trigonométricas inversas mediante un prefixo de arco (arc): , , , etc.  (Esta convención úsase ao longo deste artigo).

Esta notación xorde das seguintes relacións xeométricas:
ao medir en radiáns, un ángulo de  radiáns corresponderá a un arco cuxa lonxitude é , onde  é o raio da circunferencia. Así, na función da circunferencia goniométrica, o coseno de x é tanto o arco como o ángulo, porque o arco dunha circunferencia de raio 1 é o mesmo que o ángulo. Ou, "o arco cuxo coseno é " é o mesmo que "o ángulo cuxo coseno é ", porque a lonxitude do arco da circunferencia en raios é a mesma que a medida do ángulo en radiáns. 

Nas linguaxes de programación de ordenadores, as funcións trigonométricas inversas denomínanse frecuentemente polas formas abreviadas .

As notacións , etc., introducidas por John Herschel en 1813,  utilízanse a miúdo, que é útil (por exemplo) para definir o multivalor de cada función trigonométrica: 

Isto pode parecer entrar en conflito loxicamente coa semántica común para expresións como  ou , que se refiren á potencia numérica e non á composición de funcións e, polo tanto, pode producir confusión entre a notación para o recíproco (inverso multiplicativo) e a función inversa.

Polo tanto, desde 2009, o estándar ISO 80000-2 especificou unicamente o prefixo "arc" para as funcións inversas.

Conceptos básicos

Valores principais
Dado que ningunha das seis funcións trigonométricas é un a un, deben estar restrinxidas para ter funcións inversas. Polo tanto, o rango de resultados das funcións inversas son subconxuntos dos dominios das funcións orixinais.

Por exemplo, empregando  no sentido de funcións multivaloradas, do mesmo xeito que a función raíz cadrada  podería definirse a partir de , a función  defínese de xeito que  

Para un número real dado  con  hai múltiples (de feito, infinitos numerábeis moitos) números  tal  que ; por exemplo,  mais tamén   etc. Cando só se desexa un valor, a función pode restrinxirse á súa rama principal. Con esta restrición, para cada  do dominio, a expresión  hase avaliar só a un único valor, chamado valor principal. Estas propiedades aplícanse a todas as funcións trigonométricas inversas.

As principais inversas están listadas na seguinte táboa.

 Nome Notación habitual Definición Dominio de  para un resultado real Intervalo do valor principal habitual (radiáns) Intervalo do valor principal habitual (graos) arco seno          arco coseno          arco tanxente     todos os números reais     arco cotanxente     todos os números reais     arco secante        ou    ou  arco cosecante       ou    ou 

Se se permite que  sexa un número complexo, entón o intervalo de  aplícase só á súa parte real.

 Solucións de ecuacións trigonométricas elementais 

Cada unha das funcións trigonométricas é periódica na parte real do seu argumento, percorrendo todos os seus valores dúas veces en cada intervalo de :

 O seno e a cosecante comezan o seu período en   (onde  é un número enteiro), rematan en  e teñen os opostos entre  a 
 O coseno e a secante comezan o seu período en  rematan en  E teñen os opostos en  ata 
 A tanxente comeza o seu período en  remata en  e despois repíteo  entre  ata 
 A cotanxente comeza o seu período en  remata en  e despois repíteo entre  e 

Esta periodicidade reflítese nos inversos en xeral, onde  é algún número enteiro.

A seguinte táboa mostra como se poden usar as funcións trigonométricas inversas para resolver igualdades que inclúen as seis funcións trigonométricas estándar.
Suponse que os valores dados     e  atópanse todos dentro de intervalos apropiados para que as expresións relevantes a continuación estean  ben definidas.
Teña en conta que "para algúns " é só outra forma de dicir "para algúns números enteiros ".

O símbolo  é a igualdade lógica e indica que se o lado esquerdo é verdadeiro, entón tamén o é o lado dereito e, pola contra, se o lado dereito é verdadeiro, o lado esquerdo tamén o é.

+  Ecuación  se e só se  Solución  for some  for some  for some  for some  for some  for some 

Por exemplo, se  entón  para algúns  Mentres que se  entón   para algúns  onde  será par se  e será impar se  As ecuacións   e  teñen as mesmas solucións que  e  respectivamente. 

En todas as ecuacións anteriores   as que se acaban de resolver (é dicir, agás / e /), o enteiro  na fórmula está unicamente determinado por  (para  e  fixos).

Transformando ecuacións

As ecuacións anteriores pódense transformar usando as identidades de reflexión e desprazamento:

+ Transforming equations by shifts and reflections Argument:                                

Estas fórmulas implican, en particular, que se cumpre o seguinte:

onde trocando  trocando  e trocando  dá as ecuacións análogas para  respectivamente.

Así, por exemplo, usando a igualdade  a ecuación  pódese transformar en  o que permite usar a solución da ecuación  (onde ); esa solución é:

que pasa a ser:

onde úsase o feito de que  e substituíndo  demostra que outra solución a  é:

A substitución  pódese usar expresando o lado dereito da fórmula anterior en termos de  en lugar de 

 Relacións entre funcións trigonométricas e funcións trigonométricas inversas 

As funcións trigonométricas das funcións trigonométricas inversas están tabuladas a continuación. Unha forma rápida de derivalas é considerando a xeometría dun triángulo rectángulo, cun lado de lonxitude 1 e outro lado de lonxitude , despois aplicando o Teorema de Pitágoras e as definicións das razóns trigonométricas. 

Paga a pena notar que para arco secante e arco cosecante, o diagrama asume que  é positivo e, polo tanto, o resultado ten que ser corrixido mediante o uso de valor absoluto e a operación signo (sgn).

Diagrama150px150px150px150px150px150px

Relacións entre as funcións trigonométricas inversas
168px|right|thumb|Os valores principais habituais das funcións arcsin(x) (vermello) e arccos(x) (azul) representados no plano cartesiano.
294px|right|thumb|Os valores principais habituais das funcións arctan(x) e arccot(x) representadas gráficamente no plano cartesiano.
294px|right|thumb|Valores principais  das funcións arcsec(x) e arccsc(x) representadas gráficamente no plano cartesiano.

Ángulos complementarios:

Argumentos negativos:

Argumentos recíprocos:

As identidades anteriores pódense usar polo feito de  e  seren recíprocas (é dicir, ), como o son  e  e  e .

Identidades útiles se só se ten un fragmento dunha táboa seno:

Sempre que aquí se usa a raíz cadrada dun número complexo, escollemos a raíz coa parte real positiva (ou a parte imaxinaria positiva se o cadrado fose real negativo).

Unha forma útil que se desprende directamente da táboa anterior é

.

Obtense ao recoñecer que .

Da fórmula do ángulo metade, , obtemos:
.

Fórmula de adición arctanxente

Isto derívase da fórmula da suma de ángulos da tanxente

sendo

En cálculo

Derivadas de funcións trigonométricas inversas

As derivadas para valores complexos de z son as seguintes:

Só para valores reais de x:

Só para valores reais de x:

Estas fórmulas pódense obter en función das derivadas das funcións trigonométricas. Por exemplo, se , logo  e por tanto

Expresión como integrais definidas
Integrando a derivada e fixando o valor nun punto dáse unha expresión para a función trigonométrica inversa como unha integral definida:

Cando x é igual a 1, as integrais con dominios non limitados son integrais impropias, mais aínda así están ben definidas.

Serie infinita
Similar ás funcións seno e coseno, as funcións trigonométricas inversas tamén se poden calcular usando series de potencias, como se indica a continuación. 

Para o arcoseno, a serie pódese obter expandindo a súa derivada, , como serie binomial, e integrando termo por termo (usando a definición integral como se indica arriba). A serie para arcotanxente pódese obter de xeito similar expandindo a súa derivada  nunha serie xeométrica, e aplicando a definición integral anterior (ver series de Leibniz).



As series para as outras funcións trigonométricas inversas pódense dar en función destas segundo as relacións indicadas anteriormente. Por exemplo, , , etc. Outra serie vén dada por:

Leonhard Euler atopou unha serie para o arcotanxente que converxe máis rápido que a súa Serie de Taylor:


(O termo da suma para n = 0 é o produto baleiro, polo que é 1).

Alternativamente, isto pódese expresar como

Outra serie para a función arcotanxente vén dada por

onde  é a unidade imaxinaria.

Fraccións continuadas para arcotanxente
Dúas alternativas á serie de potencias para arcotanxente son estas fraccións continuas xeneralizadas:



A segunda delas é válida no corte do plano complexo. Hai dous cortes, de −i ata o punto do infinito, baixando polo eixo imaxinario, e desde i ata o punto do infinito, subindo no mesmo eixo. Funciona mellor para números reais que van de −1 a 1. Os denominadores parciais son os números naturais impares e os numeradores parciais (despois do primeiro) son só (nz)2, e cada cadrado perfecto aparece unha vez. 

A primeira foi desenvolvida por Leonhard Euler; a segunda por  Carl Friedrich Gauss utilizando a serie hiperxeométrica de Gauss.

Integrais indefinidas de funcións trigonométricas inversas

Para valores reais e complexos de z:

Para x real ≥ 1:

Para todos os x reais non comprendidos entre -1 e 1:

O valor absoluto é necesario para compensar os valores tanto negativos como positivos das funcións arcosecante e arcocosecante. A función signo tamén é necesaria debido aos valores absolutos nas derivadas das dúas funcións, que crean dúas solucións diferentes para valores positivos e negativos de x. 

Estas poden simplificarse aínda máis usando as definicións logarítmicas das funcións hiperbólicas inversas:

O valor absoluto no argumento da función arcosh crea unha metade negativa da súa gráfica, facéndoa idéntica á función logarítmica con signo mostrada anteriormente.

Todas estas antiderivadas pódense derivar usando integración por partes e as formas derivadas simples mostradas arriba.

Exemplo
Usando   (é dicir, integración por partes), facemos

Daquela

que pola simple substitución  dá o resultado final:

.

 Extensión ao plano complexo 


Dado que as funcións trigonométricas inversas son funcións analíticas, pódense estender desde a recta real ata o plano complexo. Isto resulta en funcións con varias follas e puntos de ramificación. Unha forma posíbel  de definir a extensión é:

onde a parte do eixo imaxinario que non se atopa estritamente entre os puntos de ramificación (−i e +i) é o corte de rama entre a folla principal e outras follas. 

O camiño da integral non debe cruzar un corte de rama. Para un z que non está nun corte de rama, un camiño en liña recta de 0 a z é ese camiño. Para un z que esta nun corte de rama, o camiño debe achegarse desde  para o corte da rama superior e desde  para o corte da rama inferior.

A función arcoseno pódese definir como:

onde (a función de raíz cadrada ten o seu corte ao longo do eixo real negativo e) a parte do eixo real que non se atopa estritamente entre −1 e +1 é a rama de corte  entre a folla principal de  e outras follas;

que ten o mesmo corte que ;

que ten o mesmo corte que ;

onde a parte do eixo real entre −1 e +1 inclusive é o corte entre a folla principal de  e outras follas;

que ten o mesmo corte que .

Formas logarítmicas
Estas funcións tamén se poden expresar usando o logaritmo complexo. Isto estende o seu dominios ata o plano complexo dun xeito natural. As seguintes identidades para os valores principais das funcións cúmprense en todas as partes que se definen, mesmo nos seus cortes de rama.

Xeneralización

Dado que todas as funcións trigonométricas inversas producen un ángulo dun triángulo rectángulo, pódense xeneralizar usando a fórmula de Euler para formar un triángulo rectángulo no plano complexo. Alxebricamente, isto dános:

ou

onde  é o lado adxacente,  é o lado oposto e  é a hipotenusa. A partir de aquí, podemos resolver para .

ou

Proba exemplo

Usando a definición exponencial de seno e sendo 

(escóllese a rama positiva)

 + Gráficos de roda de cores de funcións trigonométricas inversas no plano complexo
  275x275px|Arcoseno de z no plano complexo.
  275x275px|Arcoseno de z no plano complexo.
  275x275px|Arctanxente de z no plano complexo.




 +
  275x275px|Arcosecante de z no plano complexo.
  275x275px|Arcosecante de z no plano complexo.
  275x275px|Arcotanxente de z no plano complexo.





 Aplicacións 

 Atopar o ángulo dun triángulo rectángulo 
As funcións trigonométricas inversas son útiles cando se intenta determinar os dous ángulos restantes dun triángulo rectángulo cando se coñecen as lonxitudes dos lados do triángulo. Lembrando as definicións de triángulo rectángulo de seno e coseno, despréndese que

Moitas veces, a hipotenusa é descoñecida e habería que calculala antes de usar o arcoseno ou arcocoseno usando o teorema de Pitágoras:  onde  é a lonxitude da hipotenusa. O arcotanxente é útil nesta situación, xa que non se precisa a lonxitude da hipotenusa.

.

Por exemplo, supoña que un tellado baixa 8 metros mentres avanza 20 metros. O tellado forma un ángulo θ coa horizontal, onde θ pódese calcular do seguinte xeito:

Función arcotanxente con parámetro de localización
En moitas aplicacións a solución  da ecuación  é aproximarse o máis posíbel  a un valor dado . A solución adecuada prodúcese pola función arcotanxente modificada por un parámetro

A función  redondea ao enteiro máis próximo.

 Notas 

 Véxase tamén 


 Bibliografía 


 Outros artigos 
Funcións hiperbólicas inversas
Lista de identidades trigonométricas
Función trigonométrica

 Ligazóns externas 

Categoría:Trigonometría