Subconxunto

En matemáticas, un conxunto A é un subconxunto dun conxunto B se todos os elementos de A son tamén elementos de B; B é daquela un superconxunto de A. É posíbel que A e B sexan iguais; se son desiguais, entón A é un subconxunto propio de B. A relación dun conxunto sendo un subconxunto doutro chámase inclusión. A é un subconxunto de B tamén se pode expresar como B inclúe (ou contén) A ou A está incluído (ou contido) en B. Un k-subconxunto é un subconxunto con k elementos.

A relación de subconxuntos define unha orde parcial en conxuntos. De feito, os subconxuntos dun conxunto dado forman unha álxebra de Boole baixo a relación de subconxuntos, coas operacións de intersección e unión, e a propia relación do subconxunto é a relación de inclusión booleana.

 Definición 
Se A e B son conxuntos e cada elemento de A tamén é un elemento de B, daquela:

 A é un subconxunto de B, denotado por , ou equivalentemente,
 B é un superconxunto de A, denotado por 

Se A é un subconxunto de B, pero A non é igual a B (é dicir, existe polo menos un elemento de B que non é un elemento de A ), daquela:

 A é un subconxunto propio de B, denotado por , ou equivalentemente,
 B é un superconxunto propio de A, denotado por 

O conxunto baleiro, escrito  ou  é un subconxunto de calquera conxunto X e un subconxunto propio de calquera conxunto agás el mesmo, a relación de inclusión  é unha orde parcial no conxunto  (o conxunto de partes de S, o conxunto de todos os subconxuntos de S ) definido por . 

Cando se cuantifica,  represéntase como 

 Propiedades 

 Un conxunto A é un subconxunto de B se e só se a súa intersección é igual a A.

 Formalmente:


 Un conxunto A é un subconxunto de B se e só se a súa unión é igual a B.

 Formalmente:


 Un conxunto finito A é un subconxunto de B, se e só se a cardinalidade da súa intersección é igual á cardinalidade de A.

 Formalmente:


 Exemplos de subconxuntos 
miniatura| Os polígonos regulares forman un subconxunto dos polígonos.

 O conxunto A = {1, 2} é un subconxunto propio de B = {1, 2, 3}, polo que ambas as expresións  e  son verdadeiras.
 Calquera conxunto é un subconxunto de si mesmo, pero non un subconxunto propio. (  é certo, e  é falso para calquera conxunto X.)
 O conxunto {x : x é un número primo maior que 10} é un subconxunto propio de {x : x é un número impar maior que 10}
 O conxunto de números racionais é un subconxunto propio do conxunto de números reais. Neste exemplo, ambos os conxuntos son infinitos, pero o último conxunto ten unha cardinalidade  maior que o conxunto anterior.

 Outras propiedades da inclusión 
miniatura|  e  implica 
A inclusión é a orde parcial canónica, no sentido de que todo conxunto parcialmente ordenado  é isomorfo a algunha colección de conxuntos ordenados por inclusión. Os números ordinais son un exemplo sinxelo: se cada n ordinal se identifica co conxunto  de todos os ordinais menores ou iguais a n, daquela  se e só se 

Para o conxunto das partes  dun conxunto S, a orde parcial de inclusión é, ata un isomorfismo de orde, o produto cartesiano de  (a cardinalidade de S) copias da orde parcial en  para o cal  Isto pódese ilustrar enumerando , e asociando a cada subconxunto  (é dicir, cada elemento de ) a k-tupla de  dos que a coordenada i é 1 se e só se  é membro de T.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 teoría de conxuntos.
 Ligazóns externas 

Categoría:Teoría de conxuntos