Ecuación diferencial ordinaria

En matemática e en particular na análise, unha ecuación diferencial ordinaria (ou EDO) é unha ecuación que envolve as derivadas dunha función descoñecida dunha variable. Un exemplo simple dunha ecuación diferencial ordinaria é

onde f é unha función descoñecida, e f' a súa derivada.

 Definición 
Sexa y unha función de x e que

denote as súas derivadas
.

Unha ecuación diferencial ordinaria (EDO) é unha ecuación que envolve
.
A orde dunha ecuación diferencial é a orde  da maior derivada na ecuación.

Unha solución dunha EDO é unha función y(x) cuxas derivadas satisfán a ecuación. Non está garantido que tal función exista, e no caso de que exista, normalmente non é única.

Sobre a linearidade dunha ecuación diferencial ordinaria de orde n pode ser vista como unha función
, e dise que a ecuación diferencial é linear se  for linear en .Ecuacións Diferenciais Elementais e Problemas de Valores de Contorno oitava ed.  
No que se refire aos coeficientes, unha ecuación diferencial pode ter coeficientes constantes ou funcións da variable independente.

Cando unha ecuación diferencial de orde n ten a forma

denomínase ecuación diferencial implícita, mentres que a forma

denomínase ecuación diferencial explícita.

Unha ecuación diferencial é autónoma se non depende explicitamente de x, e homoxénea se todos os termos da ecuación diferencial dependen exclusivamente de x.

 Exemplos prácticos 
As ecuacións diferenciais empréganse frecuentemente para describir procesos nos que a mudanza dunha medida ou dimensión é causada polo propio proceso.

Historicamente, as primeiras ecuacións diferenciais foron as relativas á aceleración igual ou desigual, que Galileo Galilei puido medir, aínda que con métodos xeométricos.

Isaac Newton e Gottfried Leibniz introduciron o cálculo diferencial e, este último, as ecuacións diferenciais como as coñecemos hoxe.

Por exemplo na Física, a lei da vida media prevé que o número de átomos que se decompón por unidade de tempo nunha masa de átomos inestables dependen do total N dos átomos existentes (aquí é necesario considerar que, por ser N un número moi grande, pode tomarse a súa variación continua e determinista; no caso de N ser un número pequeno débese considerar a súa variación discreta e estocástica, e o método máis adecuado é outro).

Deste xeito, a diminución do número de átomos é proporcional ao total de átomos:


Polo cálculo da función  nesta ecuación diferencial, tórnase posible determinar o número total de átomos a cada momento no tempo.

Un outro exemplo simple é o oscilador inalterado harmónico coa ecuación diferencial

A función procurada aquí é a función , cuxa segunda derivada en relación ao tempo procede das leis do movemento.

 Ecuacións diferenciais específicas 

 Ecuacións diferenciais lineares 
Unha EDO é linear cando os termos que envolven a función que se precisa determinar aparecen só de forma linear, ou sexa, pódese escribir a EDO como

Esta ecuación é de grao n cando a función fn(x) non é identicamente nula.

 Solución dunha ecuación diferencial ordinaria 
Unha solución para unha ecuación diferencial é unha función que satisfai a identidade da ecuación. A solución máis xeral posible que admite unha ecuación diferencial denomínase solución xeral mentres que outra solución chámase solución particular.

Exemplo: 

Solución particular: 

Solución xeral:  (C constante)

As solucións clasifícanse en:
 Solución xeral - presenta n constantes independentes entre si (n=orde da EDO). Esas constantes, segundo a conveniencia, podem ser escritas 
 Solución particular - obtida da xeral, mediante condicións dadas (chamadas condicións iniciais ou condicións de contorno).«Ecuacións Diferenciais».

 Métodos para resolución de EDO 
A habilidade en encontrar solucións exactas en xeral depende da habilidade en recoñecer certos tipos de ecuacións diferenciais e da aplicación dun método específico. Noutras palabras, o que funciona para un tipo de ecuacións diferenciais non necesariamente se aplica a outro tipo.«Ecuacións Diferenciais de Variabades Separabades».

 Notas 

 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Ecuación diferencial
 Sistemas dinámicos

 Ligazóns externas 
 CEFET/RJ materia de E.D.O.
 EDO

Categoría:Cálculo diferencial