Ecuación linear

Unha ecuación de primeiro grao ou ecuación linear significa que é unha ecuación que involucra unha ou máis variables elevadas á primeira potencia, que non contén produtos entre as variables, é dicir, que só inclúe sumas e restas de variables á primeira potencia. En todo anel conmutativo poden definirse ecuacións de primeiro grao.

 Cunha incógnita 
Unha ecuación dunha variable  definida sobre un corpo , é dicir, con  onde x é a variable, admite a seguinte solución:

Cando tanto a incógnita como os coeficientes son elementos dun anel que non é un corpo, o asunto é máis complicado xa que só existirán solucións cando m divide a n:

 Con dúas incógnitas 
No sistema cartesiano representan rectas. Unha forma común das ecuacións lineares de dúas variables é:

Onde  representa a pendente e o valor de  determina o punto onde a recta corta o eixe Y (a ordenada na orixe).

Algúns exemplos de ecuacións lineares:

 Formas alternativas 
Formas complexas como as anteriores poden reescribirse empregando as regras da álxebra elemental en formas máis simples. As letras maiúsculas representan constantes, mentres x e y son variables.

 Ecuación xeral

A e B non son ambos cero. Representa unha liña no plano cartesiano. É posible atopar os valores onde x e y se anulan.

 Ecuación segmentaria ou simétrica

 Nin E nin F poden ser cero. O gráfico desta ecuación corta o eixe X e o eixe Y en E e F respectivamente.

 Forma paramétrica


 Dúas ecuacións que deben cumprirse de xeito simultáneo, cada unha na variable t. Pode converterse á forma xeral despexando t en ambas as ecuacións e igualando. Nesta representación pode afirmarse que a recta pasa polo punto  e forma co eixe de abscisas un ángulo con tanxente: 

 Casos especiales:

 Un caso especial é a forma estándar onde  y  . O gráfico é unha liña horizontal sen intersección co eixe X ou (si F = 0) coincidente con ese eixe.



 Outro caso especial da forma xeral onde  e . O gráfico é unha liña vertical que interseca o eixe X en E.



 Neste caso, todas as variables foron canceladas, deixando unha ecuación que é verdadeira en todos os casos. A forma orixinal (non unha tan trivial como a do exemplo) chámase identidade. O gráfico é todo o plano cartesiano, xa que a satisfai todos os pares de números reais x e y.

Se a manipulación alxébrica leva a unha ecuación como 1 = 0 entón a orixinal chámase inconsistente, ou sexa que non se cumpre para ningún par de números x e y. Un exemplo podería ser: .

Adicionalmente podería haber máis de dúas variables, en ecuacións simultáneas.

 Ecuación linear no espazo n-dimensional 
As ecuacións lineares de varias variables admiten tamén interpretacións xeométricas, cando os coeficientes da ecuación pertencen a un corpo. Así, unha función linear de dúas variables da forma

representa unha recta nun plano. En varias variables asumendo que tanto as variables  e os coeficientes , onde  é un corpo entón unha ecuación linear como

representa un hiperplano de n-1 dimensións no espazo vectorial n-dimensional .

 Sistemas de ecuacións lineares 
Os sistemas de ecuacións lineares expresan varias ecuacións lineares simultaneamente e admiten un tratamento matricial. Para a súa resolución debe haber tantas ecuacións como incógnitas e o determinante da matriz ha de ser real e non nulo. Xeometricamente corresponden a interseccións de liñas nun único punto (sistema linear de dúas ecuacións con dúas incógnitas), planos nunha recta (dúas ecuacións lineares de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuacións lineares de tres incógnitas). Os casos nos que o determinante da matriz é nulo non posúen solución.

Se se consideran n ecuacións de primeiro grao linearmente independentes definidas sobre un corpo entón existe solución única para o sistema se se dan as condicións do teorema de Rouché-Frobenius, e pode ser calculada mediante a regra de Cramer que é aplicable a calquera corpo. Se as ecuacións non son linearmente independentes ou non se dan as condicións do teorema a situación é máis complicada. Se o sistema se formula sobre un anel conmutativo que non sexa un corpo, a existencia de solucións é tamén máis complexa.

 Linearidade 
Unha función definida sobre un espazo vectorial é linear se e só se cumpre a seguinte proposición:

onde α é calquera escalar. Tamén se chama a f operador linear

 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Función linear
 Ecuación de segundo grao
 Ligazóns externas 
 Exercicios de ecuacións de primeiro grao

Categoría:Álxebra