Función exponencial

dereita|miniatura|200x200px| Funcións exponenciais con bases 2 e 1/2
A función exponencial é unha función matemática denotada por  ou  (onde o argumento  escríbese coma un expoñente). A menos que se especifique o contrario, o termo refírese xeralmente á función con valores positivos dunha variábel real, aínda que se pode estender aos números complexos ou xeneralizarse a outros obxectos matemáticos como matrices ou álxebras de Lie. A función exponencial orixinouse da operación de tomar potencias dun número (multiplicación repetida), mais varias definicións modernas permiten estendela rigorosamente a todos os argumentos reais , incluíndo os números irracionais. 

As funcións  para números reais positivos  tamén se coñecen como funcións exponenciais e satisfán a identidade de exponenciación:

 para tódolos 
Isto implica que para os números enteiros positivos  temos 
 (con  factores), onde , relacionando as funcións exponenciais coa noción elemental de potenciación. A base natural  é unha constante matemática ubicua chamada número de Euler. Para distinguilo,  chámase función exponencial ou función exponencial natural: é a única función con valor real dunha variábel real cuxa derivada é ela mesma e cuxo valor en  é :
 para todos os , e 
A relación  para  e  real ou complexa, permite expresar funcións exponenciais xerais en termos da exponencial natural.

De xeito máis xeral, calquera función  definida por

tamén se coñece como función exponencial, xa que resolve o problema do valor inicial , é dicir, a súa taxa de cambio en cada punto é proporcional ao valor da función nese punto. Este comportamento modela diversos fenómenos nas ciencias biolóxicas, físicas e sociais, por exemplo, o crecemento sen restricións dunha poboación que se reproduce por si mesmo, a desintegración dun elemento radioactivo, o interese composto que se acumula nun fondo financeiro ou  a lei de Moore.

A función exponencial tamén se pode definir como unha serie de potencias, que se aplica facilmente a números reais, números complexos e mesmo matrices. A función exponencial complexa  toma todos os valores complexos agás 0 e está estreitamente relacionado coas funcións trigonométricas complexas pola fórmula de Euler: A función exponencial dos números reais é unha bixección de  no intervalo . A súa función inversa é o logaritmo natural, denotado ,  ou 

 Gráfica 
A gráfica de  ten pendente ascendente e aumenta máis rápido a medida que  aumenta. A gráfica atópase sempre por riba do eixo , mais atópase arbitrariamente preto del para un  negativo grande; así, o eixo  é unha asíntota horizontal. A ecuación  significa que a pendente da tanxente á gráfica en cada punto é igual á súa coordenada  nese punto.

 Definición formal 
dereita|miniatura| A función exponencial (en azul) e a suma dos primeiros  termos da súa serie de potencias (en vermello)
A función exponencial  pode caracterizarse de diversas formas equivalentes. Normalmente defínese pola seguinte serie de potencias: 

Dado que o raio de converxencia desta serie de potencias é infinito, esta definición é aplicábel a todos os números complexos; ver plano complexo.

Resolvendo a ecuación diferencial ordinaria  coa condición inicial  usando o método de Euler dá outra caracterización común, a fórmula do límite do produto:   

Pódese demostrar que toda solución continua e distinta de cero da ecuación funcional  para  é unha función exponencial no sentido máis xeral,  con 

 Derivadas e ecuacións diferenciais 
dereita|miniatura|391x391px| A derivada da función exponencial é igual ao valor da función. Desde calquera punto  da curva (azul), trázase unha recta tanxente (vermello) e unha vertical (verde) de altura , formando un triángulo rectángulo con base  no eixo . Dado que a pendente da recta tanxente vermella (a derivada) en  é igual á relación entre a altura do triángulo e a base do triángulo, e a derivada é igual ao valor da función,  debe ser igual á relación de  con . Polo tanto, a base  debe ser sempre 1.
A importancia da función exponencial en matemáticas e ciencias deriva principalmente da súa propiedade como función única que é igual á súa derivada e é igual a 1 cando  . É dicir, 

As funcións da forma  para a constante  son as únicas funcións que son iguais á súa derivada (polo teorema de Picard-Lindelöf). 

Tamén, para calquera función diferenciábel , atopamos, pola regra da cadea: 

 Fraccións continuas para  
Unha fracción continua para  pódese obter mediante unha identidade de Euler: 

A seguinte fracción continua xeneralizada para  converxe máis rapidamente:  

 Plano complexo 
alt=The exponential function e^z plotted in the complex plane from -2-2i to 2+2i|miniatura| A función exponencial e^z representada no plano complexo de -2-2i a 2+2i
Como no caso real, a función exponencial pódese definir no plano complexo de varios xeitos equivalentes.

A definición máis común da función exponencial complexa é paralela á definición da serie de potencias para argumentos reais, onde a variábel real é substituída por outra complexa: 

O mesmo pasa coa definición baseada no límite: 

Para a definición en serie de potencias, a multiplicación por termos de dúas copias desta serie de potencias no sentido de Cauchy, permitida polo teorema de Mertens, mostra que a propiedade multiplicativa definitoria das funcións exponenciais segue a ser válida para todos os argumentos complexos: 

A definición da función exponencial complexa leva á súa vez ás definicións adecuadas que estenden as funcións trigonométricas a argumentos complexos.

En particular, cando  (  real), a definición da serie produce a expansión 

Nesta expansión, a reordenación dos termos en partes reais e imaxinarias está xustificada pola converxencia absoluta da serie. As partes real e imaxinaria da expresión anterior corresponden de feito ás expansións en serie de  e , respectivamente.

Esta correspondencia proporciona un motivo para definir o coseno e o seno para todos os argumentos complexos en termos de  e a serie de potencias equivalentes:  

para todo 

Estas definicións para as funcións exponenciais e trigonométricas conducen trivialmente á fórmula de Euler: :

A función exponencial complexa é periódica con período  e  cúmprese para todo  .

Cando o seu dominio se estende desde a recta real ata o plano complexo, a función exponencial conserva as seguintes propiedades: 

para todos os 

A extensión do logaritmo natural a argumentos complexos obtemos o logaritmo complexo , que é unha función multivalorada.

 Cálculo de  onde tanto  como  son complexos 

A exponenciación complexa  pódese definir convertendo  en coordenadas polares e utilizando a identidade 


Cando  non é un número enteiro, esta función ten varios valores, porque  non é único.

 Álxebras de Lie 
Dado un grupo de Lie  e a súa álxebra de Lie asociada , o mapa exponencial é un mapa   que satisfai propiedades similares. De feito, dado que  é a álxebra de Lie do grupo de Lie de todos os números reais positivos baixo multiplicación, a función exponencial ordinaria para argumentos reais é un caso especial da álxebra de Lie. Do mesmo xeito, dado que o grupo de Lie  das matrices invertíbeis  ten como álxebra de Lie , o espazo de todas as matrices , a función exponencial para matrices cadradas é un caso especial do Mapa exponencial da álxebra de Lie.

A identidade  pode fallar para os elementos da álxebra de Lie  e  que non conmuten; a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff proporciona os termos de corrección necesarios.

 Transcendencia 
A función  non está no anel das funcións racionais : non é o cociente de dous polinomios con coeficientes complexos.

Se   son números complexos distintos, entón   son linearmente independentes sobre , e polo tanto  é transcendental en .
 Notas 


 Véxase tamén 


 Outros artigos 
 Lista de funcións matemáticas.
 Ligazóns externas 


Categoría:Funcións
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas