Función hiperbólica

As funcións hiperbólicas son unhas funcións con definicións baseadas na función exponencial, ligada mediante operacións racionais e son análogas ás funcións trigonométricas.Cálculo de Granville Estas son:
dereita|miniatura|300x300px|Curvas das funcións hiperbólicas
sinh, cosh e tanh
dereita|miniatura|300x300px|Curvas das funcións hiperbólicas
csch, sech e coth
O seno hiperbólico

O coseno hiperbólico

A tanxente hiperbólica

e outras derivadas:

(cotanxente hiperbólica)

(secante hiperbólica)

(cosecante hiperbólica)

 Relación entre funcións hiperbólicas e funcións circulares 
As funcións trigonométricas  e  poden ser as coordenadas cartesianas  dun punto P sobre a circunferencia unitaria centrada na orixe, onde t é o ángulo, medido en radiáns, comprendido entre o semieixe positivo X, e o segmento OP, segundo as seguintes igualdades:

Tamén pode interpretarse o parámetro t como a lonxitude do arco de circunferencia unitaria comprendido entre o punto  e o punto P, ou como o dobre da área do sector circular determinado polo semieixe positivo X, o segmento OP e a circunferencia unitaria.
dereita|miniatura|300x300px|Animación da representación do seno hiperbólico.
De modo análogo, pódense definir as funcións hiperbólicas, como as coordenadas cartesianas  dun punto P da hipérbole equilátera, centrada na orixe, cuxa ecuación é

onde t é o dobre da área da rexión comprendida entre o semieixe positivo X, e o segmento OP e a hipérbole, segundo as seguintes igualdades:

Con todo, tamén pode demostrarse que é válida a seguinte descrición da hipérbole:

dado que

De modo que o coseno hiperbólico e o seno hiperbólico admiten unha representación en termos de funcións exponenciais de variable real:

 Relacións trigonométricas con argumentos complexos 

As funcións hiperbólicas tamén se poden deducir das función trigonométricas con argumentos complexos:

 Seno Hiperbólico: 
 Coseno Hiperbólico: 
 Tanxente Hiperbólica: 
 Cotanxente Hiperbólica: 
 Secante Hiperbólica: 
 Cosecante Hiperbólica:
onde  é a unidade imaxinaria con .

As definicións anteriores están relacionadas coas definicións exponenciais vía Fórmula de Euler

 Relacións 
 Ecuación fundamental 

 Duplicación do argumento 
Téñense as seguintes fórmulas moi semellantes ás súas correspondentes trigonométricas

o que leva á seguinte relación:

e por outra banda

que leva a:

tense estoutra relación

que permite ter

 Derivación e integración 

Ademais a integración ao ser a operación inversa da derivación é trivial neste caso.

A derivada de  está dada por  e a derivada de  é . O gráfico da función  denomínase catenaria.

 Inversas das funcións hiperbólicas e as súas derivadas 

As funcións inversas das funcións hiperbólicas e as súas derivadas son:

 Series de Taylor 
As series de Taylor das funcións inversas das funcións hiperbólicas veñen dadas por:

 Relación coa función exponencial 
Da relación do coseno e o seno hiperbólico pódense derivar as seguintes relacións:

e

Estas expresións son análogas ás que están en termos de senos e cosenos, baseadas na fórmula de Euler, como suma de exponenciais complexas.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Outros artigos 
 Trigonometría
 Funcións trigonométricas
 Logaritmo neperiano
 Número e
 Hipérbole

hiperbolica