Función de distribución

En teoría da probabilidade, a función de distribución ou función de distribución acumulada, é a función que describe completamente a distribución da probabilidade dunha variable aleatoria de valor real X. Para cada número real x, a función de distribución vén dada porDistribution and Quantile Functions na Universidade de Alabama en Huntsville:

é dicir, a función de nome "F" é igual á probabilidade de que a variable aleatoria X tome un valor inferior ou igual a un determinado x. Segundo esta definición, para cada x, a función F asumirá un valor diferente.

A probabilidade de que X se sitúe nun intervalo ]a, b] (aberto en a e pechado en b) é F(b) − F(a) se a ≤ b. Por convención emprégase un F maiúsculo para a función de distribución, en contraste co f minúsculo empregado para a función de densidade e a función masa de probabilidade.

A función de distribución pode ser facilmente obtida a partir da función de probabilidade respectiva. No caso dunha variable aleatoria discreta:

Para unha variable aleatoria continua:

Na definición, o signo "menor ou igual", '≤' podería ser substituído por "menor" '<'. Isto produciría unha función diferente, mais calquera das funcións pode ser deducida facilmente a partir da outra. Tamén se podería substituír por un sinal "maior" '>' e deducir as propiedades desta nova función. Porén, cómpre axustar a definición ao sinal pretendido.

 Exemplos 
Como exemplo, se a variable X é distribuída uniformemente no intervalo [0, 1] a función de distribución vén dada por:
F(x) = 0, se x < 0;
F(x) = x, se 0 ≤ x ≤ 1;
F(x) = 1, se x > 1.

Se X toma só os valores 0 e 1, con igual probabilidade, é dicir, se X segue a distribución de Bernoulli con p = 1/2, entón a función de distribución vén dada por:
F(x) = 0, se x < 0;
F(x) = 1/2, se 0 ≤ x < 1;
F(x) = 1, se x ≥ 1.

 Propiedades 
Se X é unha variable aleatoria discreta, entón toma os valores x1, x2, ... con probabilidade p1, p2 etc., a función de distribución de X é descontinua nos puntos xi e constante entre eles.

Se a función de distribución F de X é continua, entón X é unha variable aleatoria continua; se alén diso F é absolutamente continua, entón existe unha función integral de Lebesgue f(x) tal que

para todos os números reais a e b.  A primeira das dúas igualdades non sería xeral se a distribución non fose continua. A continuidade da distribución implica que P(X = a) = P(X = b) = 0, de modo que a diferenza entre "<" e "≤" deixa de ser importante neste contexto. A función f é igual á derivada de F (en case todos os puntos), e chámase función de densidade de probabilidade da distribución de X.

Para calquera función de distribución , tense:

 é non decrecente (crecente ou constante): 

 é continua pola dereita: 

, con , e  

As seguintes propiedades permiten ligar os diferentes tipos de desigualdades, e que se aplican as funcións de distribución de variables aleatorias discretas:

No caso das variables aleatorias continuas, cúmprense as seguintes propiedades:

 é continua en todos os puntos (no caso das v. a. discretas era só continua pola dereita)

O test de Kolmogorov-Smirnov baséase en funcións de distribución acumulada e pode empregarse para ver se dúas distribucións empíricas son diferentes ou se unha distribución empírica é diferente dunha distribución ideal. Relacionado con este está o test de Kuiper, que é útil se o dominio da distribución é cíclico como por exemplo nos días da semana. Por exemplo podemos usar o test de Kuiper para ver se o número de tornados varía durante o ano ou se as vendas dun produto varían día a día ou por día do mes.

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 
Concepto de variable aleatoria e de función de distribución 
Portal Action

Categoría:Estatística