Conxunto pechado

En topoloxía, un conxunto dise pechado nun espazo se o seu complementario for aberto.

 Propiedades 
 Un conxunto X é pechado se e só se coincide co seu pechamento, ou sexa, se LIMA, Elon lages. Curso de análise volume 1. Rio de Janeiro, 11ª edición, 2004. Páxina 170. ISBN 9788524401183
 Un conxunto é pechado se e só se contén a súa fronteira.
 A unión dun número finito de conxuntos pechados é un conxunto pechado.
 A intersección  dun número calquera de conxuntos pechados é un conxunto pechado.
 Calquera conxunto é pechado en si mesmo.
X é un conxunto pechado se, e só se, o conxunto dos puntos de acumulación de X, denotado por ,   chamado derivado, estiver contido no propio conxunto X, ou sexa:  (lese: o derivado está contido, é unha parte do conxunto X) LIMA, Elon lages. Curso de análise volume 1. Rio de Janeiro, 11ª edición, 2004. Páxina 177. ISBN 9788524401183.

 Exemplos 
 Calquera intervalo pechado é un conxunto pechado en  (coa topoloxía usual onde o conxunto dos intervalos abertos forman unha base de abertos para a topoloxía).
  e  son pechados en .
 Na topoloxía inducida en  pola inclusión en , o conxunto ]0,1], dos números reais maiores que cero e menores ou iguais a un, é pechado.
 Na topoloxía discreta, todo subconxunto é pechado.
 Se a topoloxía é Hausdorff, todo conxunto unitario (e, por indución, todo conxunto finito) é pechado.
O conxunto dos números reais  é o complementario do conxunto aberto , e  é o complementario do aberto . Entón, estes dous conxuntos son pechados e abertos ao mesmo tempo LIMA, Elon lages. Curso de análise volume 1. Rio de Janeiro, 11ª edición, 2004. Páxina 171. ISBN 9788524401183.
Existen conxuntos que non son pechados nin abertos, como o conxunto  dos números racionais, o conxunto  ou un intervalo do tipo [a,b) ou (a,b] LIMA, Elon lages. Curso de análise volume 1. Rio de Janeiro, 11ª edición, 2004. Páxina 172. ISBN 9788524401183.

 Definicións alternativas 
Os axiomas dunha topoloxía poden ser igualmente formulados a través dunha colección de abertos (a definición usual) ou a través dunha colección de pechados. Neste segundo caso, os abertos son definidos como complementos de pechados.

Outra definición, mais didáctica, é definir un aberto como un conxunto no que todo punto é interior, un pechado cun conxunto que contén todos os seus puntos de acumulación, e demostrar o teorema que abertos e pechados son complementos. 

 Notas 

 Véxase tamén 
 Outros artigos 
Conxunto perfecto

Categoría:Topoloxía