Paralelismo (xeometría)

miniatura|right|250px|Planos paralelos.
En xeometría, o paralelismo é unha relación que se establece entre calquera variedade linear de dimensión maior ou igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos…). No plano cartesiano dúas rectas son paralelas se teñen a mesma pendente ou son perpendiculares a un dos eixes, por exemplo a función constante.

En xeometría afín, expresando unha variedade linear como V = p + E, con p punto e E espazo vectorial, dise que A = a + F é paralela a B = b + G se e só se F está contido en G ou G está contido en F, onde A e B son subvariedades lineares da mesma variedade linear V e F e G son subespazos vectoriales do mesmo espazo vectorial E. No plano (afín) (V = ), tradúcese do seguinte xeito: dúas rectas son paralelas se teñen un mesmo vector director.

Nun espazo afín tridimensional, unha recta e un plano poden ser paralelos, e a coincidencia de variedades lineares é un caso particular de paralelismo. Así, dúas rectas, contidas nun plano, son paralelas se son a mesma recta (rectas coincidentes) ou, polo contrario, non comparten ningún punto.

De xeito análogo, no espazo, dous planos son paralelos se son o mesmo plano ou se non comparten ningunha recta.

Rectas paralelas 
miniatura|250px|Construción dunha liña paralela por un punto dado, empregando só regra e compás
Dúas rectas son paralelas se os seus vectores directores son paralelos, é dicir, se son linearmente dependentes.

Tamén se denominan así aqueles pares de liñas que nunca se unen ou cruzan.

 Axioma de unicidadee 
O axioma que distingue a xeometría euclidiana doutras xeometrías é o seguinte: 
Nun plano, por un punto exterior a unha recta pasa unha e só unha paralela a esa recta.

 Propiedades 
Dado o conxunto P de rectas no plano, podemos definir a relación binaria:  que representamos do seguinte modo:


Sendo a, b, c rectas no plano P, cúmprese:
 Reflexiva: Toda recta é paralela a ela mesma:


 Simétrica: se unha recta é paralela a outra, aquela é paralela á primeira:


Estas dúas propiedades dedúcense da intersección de conxuntos e non dependen do axioma de unicidade.

 Transitiva: se unha recta é paralela a outra, e esta á súa vez é paralela a unha terceira, a primeira é paralela á terceira:


Polo tanto a relación de paralelismo entre rectas do plano é unha relación de equivalencia. Estas mesmas propiedades pódense comprobar no conxunto de planos paralelos no espazo.

 Teoremas 
Nun plano, dúas rectas perpendiculares a unha terceira son paralelas entre elas.
Nun plano, se unha recta corta outra recta, entón corta todas as paralelas desta.

As demostracións destes dous teoremas e da terceira propiedade empregan o axioma de unicidade.

 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Perpendicularidade
 Quinto postulado de Euclides
 Ángulos entre paralelas
 Rectas paralelas cortadas por unha secante

Bibliografía
 (1961): Introduction to Geometry. Nova York: Wiley.
 (1956): Nuevo tratado del paralelismo. Buenos Aires: Ed. Atlántida.
 (1958): Elementare Einführung in die Lobatschewskische Geometrie. Berlín: Deutscher Verlag der Wissenschaften.
 (1961): Geometrías no euclidianas. Buenos Aires: EUDEBA.

 Ligazóns externas 
 Paralelismo en MathWorld 

Categoría:Xeometría