Límite dunha sucesión

O límite dunha sucesión é un dos conceptos máis antigos da análise matemática. Este concepto está estreitamente ligado ao de converxencia; unha sucesión de elementos dun conxunto é converxente se e só se no mesmo conxunto existe un elemento (que se coñece como límite) ao que a sucesión se aproxima tanto como se desexe a partir dun momento dado. Se unha sucesión ten límite, dise que é unha sucesión converxente, e que a sucesión converxe ou tende ao límite. En caso contrario, a sucesión é diverxente.

A definición significa que eventualmente todos os elementos da sucesión se aproximan tanto como queiramos ao valor límite. A condición que impón que os elementos se atopen arbitrariamente próximos aos elementos subseguintes non implica, en xeral, que a sucesión teña un límite.

A idea de proximidade dá lugar a distintas definicións de límite dependendo do conxunto onde se definiu a sucesión.

 Límite dunha sucesión de números reais 
 Definición formal 
O termo xeral dunha sucesión  ten límite , cando  tende a , se para todo valor  por pequeno que sexa, existe un valor  a partir do cal se  temos que a distancia de  a  é menor que , é dicir:

.

 Notación 

ou


ou tamén

ou simplemente

 Exemplos 
 A sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converxe ao límite 0. 
 A sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... é oscilante.
 A sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converxe ao límite 1.
 Se a é un número real con valor absoluto |a| < 1, entón a sucesión an posúe límite 0. se 0 < a ≤ 1, entón a sucesión a1/n posúe límite 1.




 Propiedadees 
 Se unha sucesión  ten límite positivo, existe un termo a partir do cal todos os termos da sucesión son positivos.
 Se unha sucesión  ten límite negativo, existe un termo a partir do cal os termos da sucesión son negativos.
 Se unha sucesión  converxe a cero, non se pode asegurar nada acerca do signo de cada un dos termos da sucesión.
 Se unha sucesión  tende a menos infinito e  entón  tende a 0.

 Límite dunha sucesión complexa  
Dise que a sucesión converxe cara a un complexo  se e só se

É a mesma definición que para , con módulo en lugar do valor absoluto.

Pódese escribir 
 ou máis simplemente, se non hai ambigüidade 
As sucesións complexas converxentes posúen as mesmas propiedades que as sucesións reais, agás as de relación de orde: o límite é único, unha sucesión converxente ten módulo limitado, toda sucesión de Cauchy converxe (en efecto,  é tamén completo).

 Exemplos 
 Sucesións en  ou 
 Sucesións en 
 Sucesións no espazo 
 Sucesións no espazo 
 Sucesións no espazo das funcións continuas 

 Tipos de converxencia 
 Converxencia puntual 
O concepto de converxencia puntual é un dos varios sentidos nos que unha sucesión de funcións pode converxer a unha función particular.

Unha sucesión de funcións  definidas nun conxunto non baleiro   con valores nun espazo métrico  converxe puntualmente a unha función  se

para cada  fixo. Isto significa que

A sucesión de funcións  con  converxe puntualmente á función  posto que

para cada  fixo.

 Converxencia uniforme 
Unha sucesión de funcións  definidas nun conxunto non baleiro   con valores nun espazo métrico  converxe uniformemente a unha función  se para todo  existe un enteiro  (que depende de ) tal que

para todo  e todo . É dicir,

O concepto de converxencia uniforme é un concepto máis forte que o de converxencia puntual. En ,  pode depender de  e de  mentres que en ,  só pode depender de . Así, toda sucesión que converxe uniformemente, converxe puntualmente. O enunciado recíproco é falso, e un contraexemplo clásico constitúeno as sucesión de funcións  definidas por . Esta sucesión converxe puntualmente á función

xa que

mentres que  Non obstante esta sucesión non converxe uniformemente, pois para  non existe un  que satisfaga .

De especial interese é o espazo das funcións continuas  definidas sobre un compacto  Neste caso, unha sucesión de funcións  converxe uniformemente a unha función  se, e só se, converxe na norma do sup, é dicir,

 Sucesións noutros espazos matemáticos 
Unha sucesión de elementos  dun espazo métrico  converxe a un elemento  se para todo número  existe un enteiro positivo  (que depende de ) tal que

Intuitivamente, isto significa que os elementos  da sucesión se poden facer arbitrariamente próximos a  se  é suficientemente grande, xa que  determina a distancia entre  e . A partir da definición é posible demostrar que se unha sucesión converxe, o fai cara a un único límite.

A definición aplícase en particular aos  espazos vectoriais normados e aos  espazos con produto interno. No caso dun espazo normado  a norma  induce a métrica  para cada ; no caso dun espazo con produto interno  o produto interno  induce a norma  para cada 

 Converxencia uniforme sobre compactos 
 Converxencia débil 
Unha sucesión dise que converxe debilmente a x ou en sentido débil se para toda función linear f, f(Xn) converxe a f(X).

Por exemplo a serie  1/n dende n=1 ata infinito converxe debilmente a cero porque:
lim f(1/n) = lim n/n*f(1/n) = lim 1/n*f(n/n) = lim 1/n*f(1) = 0
por ser f linear.

 Límite nun espazo topolóxico 
Unha xeneralización desta relación, para unha sucesión de puntos  nun espazo topolóxico T:

Se  dise que L é un límite desta sucesión e escríbese

se e só se para todo veciñanza S de L existe un número natural N tal que  para todo 

De forma intuitiva, supoñendo que se ten unha sucesión de puntos (por exemplo un conxunto infinito de puntos numerados utilizando os números naturais) nalgún tipo de obxecto matemático (por exemplo os números reais ou un espazo vectorial) que admite o concepto de veciñanza (no sentido de "todos os puntos dentro dunha certa distancia dun dado punto fixo"). Un punto L é o límite da sucesión se para toda veciñanza que se defina, todos os puntos da sucesión (coa posible excepción dun número finito de puntos) están próximos a L. Isto pode ser interpretado como se houbese un conxunto de esferas de tamaños decrecentes ata cero, todas centradas en L, e para calquera destas esferas, só existise un número finito de números fóra dela.

Unha sucesión converxente posúe un único límite se T é un espazo de Hausdorff; por exemplo a recta real estendida, o plano complexo, os seus subconxuntos (ℝ, ℚ, ℤ...) e produtos cartesianos (ℝn...).

 Teoría da probabilidade 
En teoría da probabilidade existen diferentes nocións de converxencia: converxencia de funcións medibles, converxencia en distribución e límites de variables aleatorias.

 Véxase tamén 
 Outros artigos 
Sucesión matemática
Serie matemática
Serie converxente
Orde de converxencia
Límite dunha función
Límite matemático
Raio de converxencia
 Ligazóns externas 
 Convergent Sequence
 Exemplos de sucesións

Categoría:Análise matemática