Número primo de Mersenne

miniatura
Un número M é un número de Mersenne se é unha unidade menor que unha potencia de 2. Mn = 2n − 1. Un número primo de Mersenne é un número de Mersenne que ademais é primo, é dicir, Mn = 2n − 1, con n primo (non é unha condición suficiente que n sexa primo para que Mn o sexa).Mersenne prime. En Wolfram MathWorld. [En inglés] 

Denomínanse así en memoria do filósofo e matemático francés do século XVII Marin Mersenne, quen na súa Cognitata Physico-Mathematica realizou unha serie de postulados sobre eles que só puido refinarse tres séculos despois. Aínda que se coñece que estes números xa eran considerados por Euclides de Alexandría (360 a.C. a 295 a.C.), o eminente matemático platónico, creador da xeometría euclidiana, Marin Mersenne chegou a compilar unha listaxe de números primos de Mersenne con expoñentes menores ou iguais a 257, e conxecturou acerca de que eran os únicos números primos desa forma. A súa listaxe só resultou ser parcialmente correcta, xa que por erro incluíu M67 e M257, que son compostos, e omitiu M61, M89 e M107, que son primos; e a súa conxectura revelaríase falsa coa descuberta de números primos de Mersenne máis grandesRaymond Clare Archibald. "Mersenne's numbers". En Scripta Mathematica. Volume 3. 1935. Páxinas 112 a 119. [En inglés]. Non achegou indicación ningunha sobre como deu con esa listaxe, e a súa verificación rigorosa só se completou máis de dous séculos despois. 
 Forman a serie de números de Mersenne primos: M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31, M7 = 127,  M13 = 8.191, M17 = 131.071, M19 = 524.287... 
 Forman a serie de números de Mersenne non-primos: M0 = 0 (composto, par); M1 = 1 (singular, impar); M4 = 15, M6 = 63, M8 = 255, M9 = 511, M10 = 1.023, M11 = 2.047, M12 = 4.095...
 Propiedades 
Un resultado elemental sobre os números de Mersenne afirma que se 2n – 1 é un número primo, daquela n tamén é un número primo. Iso porque o polinomio xnm – 1 é divisible polo polinomio xn – 1:xnn – 1 = (xn – 1) * (xn(m–1) + xn(m–2) ... + x2n + xn + 1)e os dous factores para x = 2 son números maiores que 1.

Unha das cuestións en aberto na matemática é se existen finitos ou infinitos primos de Mersenne.

Outra propiedade é que, sabendo que xn – 1 é divisible polo polinomio x – 1, podemos admitir que só con x = 2 se poden obter números primos en expresións do tipo xn – 1.             
 Números primos de Mersenne coñecidos 
O número primo máis grande que se coñecía en calquera data case sempre era un número primo de Mersenne: desde que comezou a era electrónica en 1951, sempre foi así agás en 1951 e entre 1989 e 1992.

En xaneiro de 2016 só se coñecen 49 números primos de Mersenne, dos cales o maior é M74.207.281 = 274.207.281 − 1, un número de máis de vinte e dous millóns de cifras que foi descuberto polo Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), proxecto centralizado na Universidade de Central de Missouri.GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 274,207,281-1. [En inglés] 

A táboa seguinte amosa a listaxe dos números primos de Mersenne coñecidos, acompañados dos descubridores e da época.List of Known Mersenne Prime Numbers. No sitio web do GIMPS. [En inglés] 
 # n Mn Díxitos de Mn Data da descuberta Descubridor 1 2 3 1 Antigüidade Antigüidade 2 3 7 1 Antigüidade Antigüidade 3 5 31 2 Antigüidade Antigüidade 4 7 127 3Antigüidade Antigüidade 5 13 8.191 4 1456 Anónimo 6 17 131.071 6 1588 Cataldi 7 19 524.287 6 1588 Cataldi 8 31 2.147.483.647 10 1772 Euler 9 61 2.305.843.009.213.693.951 19 1883 Pervushin 10 89 618970019…449.562.111 27 1911 Powers 11 107 162259276…010.288.127 33 1914 Powers 12 127 170141183…884.105.727 39 1876 Lucas 13 521 686479766…115.057.151 157 30 de xaneiro de 1952 Robinson 14 607 531137992…031.728.127 183 30 de xaneiro de 1952 Robinson 15 1.279 104079321…168.729.087 386 25 de xuño de 1952 Robinson 16 2.203 147597991…697.771.007 664 7 de outubro de 1952 Robinson 17 2.281 446087557…132.836.351 687 9 de outubro de 1952 Robinson 18 3.217 259117086…909.315.071 969 8 de setembro de 1957 Riesel 19 4.253 190797007…350.484.991 1.281 3 de novembro de 1961 Hurwitz 20 4.423 285542542…608.580.607 1.332 3 de novembro de 1961 Hurwitz 21 9.689 478220278…225.754.111 2.917 11 de maio de 1963 Gillies 22 9.941 346088282…789.463.551 2.993 16 de maio de 1963 Gillies 23 11.213 281411201…696.392.191 3.376 2 de xuño de 1963 Gillies 24 19.937 431542479…968.041.471 6.002 4 de marzo de 1971 Tuckerman 25 21.701 448679166…511.882.751 6.533 30 de outubro de 1978 Noll e Nickel 26 23.209 402874115…779.264.511 6.987 9 de febreiro de 1979 Noll 27 44.497 854509824…011.228.671 13.395 8 de abril de 1979 Nelson e Slowinski 28 86.243 536927995…433.438.207 25.962 25 de setembro de 1982 Slowinski 29 110.503 521928313…465.515.007 33.265 25 de setembro de 1988 Colquitt e Welsh 30 132.049 512740276…730.061.311 39.751 20 de setembro de 1983 Slowinski 31 216.091 746093103…815.528.447 65.050 6 de setembro de 1985 Slowinski 32 756.839 174135906…544.677.887 227.832 19 de setembro de 1992 Slowinski e Gage 33 859.433 129498125…500.142.591 258.716 10 de xaneiro de 1994 Slowinski e Gage 34 1.257.787 412245773…089.366.527 378.632 3 de setembro de 1996 Slowinski e Gage 35 1.398.269 814717564…451.315.711 420.921 13 de novembro de 1996 GIMPS / Joel Armengaud 36 2.976.221 623340076…729.201.151 895.932 24 de agosto de 1997 GIMPS / Gordon Spence 37 3.021.377 127411683…024.694.271 909.526 27 de xaneiro de 1998 GIMPS / Roland Clarkson 38 6.972.593 437075744…924.193.791 2.098.960 1 de xuño de 1999 GIMPS / Nayan Hajratwala 39 13.466.917 924947738…256.259.071 4.053.946 14 de novembro de 2001 GIMPS / Michael Cameron 40 20.996.011 125976895…855.682.047 6.320.430 17 de novembro de 2003 GIMPS / Michael Shafer 41 24.036.583 299410429…733.969.407 7.235.733 15 de maio de 2004 GIMPS / Josh Findley 42* 25.964.951 122164630…577.077.247 7.816.230 18 de febreiro de 2005 GIMPS / Martin Nowak 43* 30.402.457 315416475…652.943.871 9.152.052 15 de decembro de 2005 GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone 44* 32.582.657 124575026…053.967.871 9.808.358 4 de setembro de 2006 GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone 45* 37.156.667 202254406…308.220.927 11.185.272 6 de setembro de 2008 GIMPS / Hans-Michael Elvenich 46* 42.643.801 169873516…562.314.751 12.837.064 12 de abril de 2009 GIMPS / Odd M. Strindmo 47* 43.112.609 316470269…697.152.511 12.978.189 23 de agosto de 2008 GIMPS / Edson Smith 48* 57.885.161 581887266…724.285.951 17.425.171 25 de xaneiro de 2013 GIMPS / Curtis Cooper
 Notas 

 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Número de Fermat

Categoría:Teoría de números
Categoría:Problemas non resoltos da Matemática