Teorema fundamental da álxebra

O teorema fundamental da álxebra establece que todo polinomio con números complexos por coeficientes e grao distinto de cero ten polo menos unha raíz (que será, en xeral, un número complexo).William R. Derick: "Variable Compleja con aplicaciones". ISBN 968-7270-35-5

 Enunciado e equivalencias 

O enunciado máis utilizado do teorema é o seguinte:

{{teorema|título=Teorema de d'Alembert-Gauss|1=Todo polinomio nunha variable de grao n ≥ 1 con coeficientes reais ou complexos ten polo menos unha raíz complexa.}}

Por exemplo,  é unha raíz do polinomio . 

Nesta forma, o teorema afirma a existencia dunha raíz do polinomio  pero non explica como atopar esta raíz explicitamente. Esta afirmación existencial describe máis unha propiedade do corpo dos números complexos. Un corpo dise que é alxebricamente pechado se todo polinomio de grao estritamente positivo e con coeficientes neste corpo admite polo menos unha raíz neste corpo.

En ocasións emprégase tamén o seguinte enunciado: Un polinomio nunha variable, non constante e con coeficientes complexos, ten tantas raícesDise que o número  é unha raíz dun polinomio  se . como indica o seu grao (contando as súas multiplicidades.

Son equivalentes as afirmacións:
 O corpo dos números complexos é alxébricamente pechado para as operacións alxébricas
 Todo polinomio complexo de grao n ≥ 1 é expresable como produto de polinomios de grao 1

Estes resultados, extendendo o sumatorio anterior, indican que un polinomio con coeficientes complexos de grao n, que se pode escribir  tamén se pode escribir . Aquí, a familia , para  que varía de  a , é a das raíces. Algúns números  poden ser iguais; entón falamos de raíces múltiples.

 Usos 
 Análise 

Ás veces é necesario calcular unha función primitiva dunha función racional (función cociente de dúas funcións polinómicas). Podemos considerar a función  definida porEste exemplo está publicado en : Décomposition en éléments simples d'une fonction rationnelle  polo sitio Homéomath.:

Un corolario do teorema fundamental indica que o denominador factorízase en elementos de primeiro graoEn realidade, este método só permite obter primitivas directamente en ℂ; para as primitivas reais, a factorización tamén pode revelar trinomios de segundo grao con discriminante negativo, o que leva a elementos simples do segundo tipo, integrábeis mediante a función arcotanxente.; aquí atopamos:

Unha descomposición destes factores da función mostra a existencia de tres valores  e  tal  que:

Un cálculo rápido mostra que  e ; o cálculo da primitiva faise logo facilmente.

 Álxebra linear 

A redución do endomorfismo utiliza polinomios. Podemos escoller como caso especial un endomorfismo autoadxunto  dun espazo euclidiano  para ilustrar o uso do teorema. 

A súa matriz nunha base ortonormal é, polo tanto, simétrica e todos os seus valores propios son reais. O polinomio característico de  admite, segundo o teorema fundamental da álxebra, unha raíz . Este é un valor propio de . Observando que o espazo ortogonal  ao espazo propio con valor propio  é estábel por , entendemos que o endomorfismo é diagonalizábel. 

De feito, agora é suficiente aplicar a mesma redución á restrición de  en , que tamén é autoadxunto. Paso a paso o endomorfismo  vaise diagonalizando.

A diagonalización dun endomorfismo aparece a miúdo como consecuencia da existencia dunha raíz do polinomio característico ou mínimo.

 Aritmética 
Un dos obxectos da teoría alxébrica de números tradicional é o estudo dos corpos numéricos, é dicir, das extensións finitas do corpo  dos racionais. Todos estes corpos son alxébricos sobre  polo que se mergullan no seu peche alxébrico, o corpo  de números alxébricos. Segundo o teorema fundamental da álxebra,  mergúllase en .
 Notas 


Véxase tamén
 Bibliografía 
  (tr. Course on Analysis of the Royal Polytechnic Academy, part 1: Algebraic Analysis)
 . English translation: 


 Ligazóns externas 
 Fundamental Theorem of Algebra — a collection of proofs (en inglés)
 D. J. Velleman: The Fundamental Theorem of Algebra: A Visual Approach'', PDF (unpublished paper), visualisation of d'Alembert's, Gauss's and the winding number proofs (en inglés)

Fundamental
Categoría:Álxebra