Distribución khi cadrado

A distribución khi cadrado (χ²), chamada tamén distribución de Pearson  é unha distribución de probabilidade continua cun parámetro  que representa os graos de liberdade da variable aleatoria:

Onde  son variables aleatorias normais independentes de media cero e varianza un. Se a variable aleatoria  segue esta distribución represéntase habitualmente .

 Propiedades 
 Función de densidade 
A súa función de densidade é:

onde  é a función gamma.

 Demostración 
A función densidade de  se Z é tipo N(0,1) vén dada por

Despexando e tendo en conta as contribucións positivas e negativas de z

A función distribución de  vén dada pola súa convolución

Aplicando a transformada de Laplace

Aplicando a antitransformada obtense f(x;k)

 Función de distribución 
A súa función de distribución é  

onde  é a función gamma incompleta.

O valor esperado e a varianza dunha variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k e 2k.

 Relación con outras distribucións 
A distribución χ² é un caso especial da distribución gamma. De feito, 
Como consecuencia, cando , a distribución χ² é unha distribución exponencial de media .

Se k é suficientemente grande, como consecuencia do teorema central do límite, pode aproximarse por unha  distribución normal:

 Aplicacións 
A distribución χ² ten moitas aplicacións en inferencia estatística. A máis coñecida é a denominada proba χ², empregada como proba de independencia e como proba da bondade do axuste e na estimación de varianzas. Tamén aparece no problema de estimar a media dunha poboación normalmente distribuída e no problema de estimar a pendente dunha recta de regresión linear, a través do seu papel na distribución t de Student.

Aparece tamén en todos os problemas da análise da varianza pola súa relación coa distribución F de Snedecor, que é a distribución do cociente de dúas variables aleatorias independentes con distribución χ².

 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Táboa de continxencia
 Coeficiente de continxencia
 Coeficiente fi
 Jean-Paul Benzécri
 Ligazóns externas 
 Cálculo da probabilidade dunha distribución khi cadrado con R (linguaxe de programación)

Categoría:Distribucións continuas