Distribución binomial

A distribución binomial é unha distribución de probabilidade discreta que conta o número de éxitos nunha secuencia de n ensaios de Bernoulli independentes entre si, cunha probabilidade fixa p de que ocorra un éxito no ensaio.

Un experimento de Bernoulli caracterízase por ser dicotómico, é dicir, só ten dous posibles resultados. Un destes resultados denomínase éxito e ten unha probabilidade de que suceda p e o outro denomínase fracaso, cunha probabilidade q = 1 - p. Na distribución binomial o experimento repítese n veces, de forma independente, e trátase de calcular a probabilidade dun número determinado de éxitos. Para n = 1, a binomial convértese nunha distribución de Bernoulli.

Para representar que unha variable aleatoria X segue unha distribución binomial de parámetros n e p, escríbese:

A distribución binomial é a base do test binomial de significación estatística.

 Experimento binomial 
Existen moitas situación nas que se presenta unha experiencia binomial. Cada un dos experimentos é independente dos demais (é dicir, a probabilidade do resultado dun experimento non depende do resultado do resto). O resultado de cada experimento só admite dúas categorías (“éxito” e “fracaso”) e as probabilidades deben de ser constantes en todos os experimentos (exprésanse como p e q ou p e 1-p).

Desígnase por X a variable que mide o número de éxitos que produciron nos n experimentos. Cando se dan estas circunstancias, dise que a variable X segue unha distribución de probabilidade binomial, e exprésase B(n,p).

Exemplos de experimentos que se poden modelizar con esta distribución son:
 Lánzase un dado dez veces e cóntase o número X de treses obtidos. Entón X ~ B(10, 1/6).
 Lánzase unha moeda dúas veces e cóntase o número X de caras obtidas. Entón X ~ B(2, 1/2)

 Características analíticas 
A súa función de probabilidade é

onde 

sendo  as combinacións de  en  ( elementos tomados de  en )

 Exemplo 
Se se lanza un dado (con 6 caras) 51 veces e queremos coñecer a probabilidade de que o número 3 saia vinte veces temos que X ~ B(51, 1/6) e a probabilidade sería P(X=20):

 Propiedades 

 Relación con outras variables aleatorias 
Se  tende a infinito e  é tal que o produto entre ambos os parámetros tende a , entón a distribución da variable aleatoria binomial tende a unha distribución de Poisson de parámetro .

Cando  =0.5 e n é moi grande (habitualmente esíxese que ) a distribución binomial pode aproximarse mediante a distribución normal.

 Propiedades reprodutivas 
Dadas n variables binomiales independentes de parámetros ni (i = 1,..., n) e , a súa suma é tamén unha variable binomial, de parámetros n1+... + nn, e , é dicir,

 Notas 

 Véxase tamén 
 Ligazóns externas 
 Calculadora (distribución binomial)
 Cálculo da probabilidade dunha  distribución binomial con linguaxe de programación R

Categoría:Distribucións de probabilidade