Distribución t de Student

A distribución t (de Student) é unha distribución de probabilidade que xorde do problema de estimar a media dunha poboación normalmente distribuída cando o tamaño da mostra é pequeno.

Aparece de xeito natural ao realizar a proba t de Student para a determinación das diferenzas entre dúas medias das mostras e para a construción do intervalo de confianza para a diferenza entre as medias de dúas poboacións cando se descoñece o desvío estándar dunha poboación e esta debe ser estimada a partir dos datos dunha mostra.

 Caracterización 
A distribución t de Student é a distribución de probabilidade do cociente

onde

 Z é unha variable aleatoria distribuída segundo unha normal típica (de media nula e varianza 1).
 V é unha variable aleatoria que segue unha distribución χ² con  graos de liberdade.
 Z e V son independentes

Se μ é unha constante non nula, o cociente  é unha variable aleatoria que segue a distribución t de Student non central con parámetro de non-centralidade .

 Aparición e especificacións da distribución t de Student 
Supóñase que X1,..., Xn son variables aleatorias independentes distribuídas normalmente, con media μ e varianza σ2

Sexa

a media da mostra. Entón

segue unha distribución normal de media 0 e varianza 1.

Non obstante, dado que o desvío estándar non sempre se coñece previamente, Gosset estudou un cociente relacionado,

é a varianza da mostra e demostrou que a función de densidade de T é

onde  é igual a  n − 1.

A distribución de T chámase agora a distribución-t de Student.

O parámetro  representa o número de graos de liberdade. A distribución depende de , pero non de  ou , o que é moi importante na práctica.

 Intervalos de confianza derivados da distribución t de Student 
O procedemento para o cálculo do intervalo de confianza baseado na t de Student consiste en estimar o desvío estándar dos datos S e calcular o erro estándar da media: , sendo entón o intervalo de confianza para a media:  .

Este resultado é o que se emprega no test de Student: posto que a diferenza das medias de mostras de dúas distribucións normais distribúese tamén normalmente, a distribución t pode empregarse para examinar se esa diferenza se pode supor razoablemente igual a cero.

Para efectos prácticos o valor esperado e a varianza son:

 e  para 
 e  para 
 e  para 
 e  para 

 Historia 
A distribución de Student foi descrita en 1908 por William Sealy Gosset. Gosset traballaba nunha fábrica de cervexa, Guinness, que prohibía aos seus empregados a publicación de artigos científicos debido a unha difusión previa de segredos industriais. Por ese motivo, Gosset publicou os seus resultados baixo o pseudónimo de Student (“estudante”).

 Distribución t de Student non estandarizada 
A distribución t pode xeralizarse a 3 parámetros, introducindo un parámero locacional  e outro de escala . O resultado é unha distribución t de Student non estandarizada cunha densidade que está definida por:

Equivalentemente, pode escribirse en termos de  (correspondente á varianza en vez de ao desvío estándar):

Outras propiedades desta versión da distribución t son:

 Notas 

 Véxase tamén 
 Ligazóns externas 
 Tabla de distribución de t de Student
 Prueba t de Student na UPTC de Colombia
 Distribución t-Student: Puntos porcentuais para probabilidade superior
 Cálculo da probabilidade dunha distribución t de Student con R (linguaxe de programación)

Categoría:Distribucións continuas