Distribución de Cauchy

A distribución de Cauchy, coñecida tamén como distribución Cauchy-Lorentz en honor a Augustin Cauchy e Hendrik Lorentz, é unha distribución de probabilidade continua. No campo da Física coñécese como distribución de Lorentz, función Lorentziana ou distribución de Breit-Wigner. A súa importancia na física vén dada por ser a solución da ecuación diferencial que describe a resonancia forzada. En espectroscopia describe a forma das liñas espectrais que son ampliadas por diversos mecanismos, en particular, o mecanismo de alargamento por colisión.

 Características 
 A función de densidade dunha distribución de Cauchy é:
,
onde x0 é o parámetro que especifica a localización do pico da distribución, e γ é o parámetro de escala que especifica a largura media ao máximo medio (half-width at half-maximum, HWHM).

O caso especial no que x0 = 0 e γ = 1 denomínase distribución estándar de Cauchy, que ten a función de densidade de probabilidade:
.

 En xeral a distribución de Cauchy non ten esperanza matemática nin varianza.
 A función de distribución é  e a función inversa de distribución é 
 A función característica da distribución Cauchy está ben definida:

 Propiedades 
A distribución de Cauchy é un exemplo dunha distribución que non ten momentos definidos. A súa moda e a súa mediana están ben definidas e son ambas iguais a x0.

Cando U e V son dúas variables aleatorias independendentes e normalmente distribuídas con media igual a 0 e varianza igual a 1, entón a razón U/V segue a distribución estándar de Cauchy.

Se X1, …, Xn son variables aleatorias, independentes e identicamente distribuídas, cada unha cunha distribución de Cauchy, entón a media da mostra () ten a mesma distribución Cauchy estándar (a media da mostra, que non está afectada polos valores extremos, pode ser empregada como medida da tendencia central). Para comprobar que isto é certo calcúlase a función característica da media da mostra:

onde  é a media da mostra. Este exemplo serve para demostrar que a hipótese da varianza finita no teorema central do límite non pode ser eliminada, ao igual que a hipótese da esperanza finita na lei dos grandes números. É tamén un exemplo dunha versión máis xeneralizada do teorema central do límite que é característica de todas as distribucións asimétricas alpha-estables de Lévy, das que a distribución de Cauchy é un caso especial.

A distribución de Cauchy é unha función de distribución infinitamente divisible. É tamén unha distribución estritamente estable.

A distribución de Cauchy coincide coa distribución t de Student cun grao de liberdade.

Se  e  son dúas variables aleatorias uniformes entre -1 e 1 e , entón o cociente  segue a distribución de Cauchy.

 Notas 

 Véxase tamén 
 Ligazóns externas 
 GNU Scientific Library - Reference Manual
 Calculadora da distribución de Cauchy

Categoría:Distribucións continuas