Teorema de Fermat sobre a suma de dous cadrados

En matemáticas, o teorema dos dous cadrados de Fermat enuncia as condicións para que un número enteiro sexa a suma de dous cadrados de enteiros, e precisa de cantos xeitos diferentes pode selo. Por exemplo, segundo este teorema, un número primo impar é a suma de dous cadrados de enteiros só se o residuo da súa división euclidiana entre 4 é 1; neste caso, os cadrados quedan determinados de xeito único, en termos de aritmética modular

Pódese verificar sobre  ou , que ámbolos dous se poden expresar dun único xeito como unha suma de dous cadrados  e ; tamén, que números primos, como  ou , non se poden expresar como a suma de dous cadrados. Este resultado tamén é chamado sinxelamente teorema dos dous cadrados.

Inscríbese na longa historia da representación de números como a suma de cadrados que se remonta até a antigüidade. Foi expresado de forma explícita por Pierre de Fermat (1601-1665) no século XVII, pero a primeira proba publicada coñecida é obra de Leonhard Euler, un século máis tarde. Malia isto, a súa demostración non pecha todos os interrogantes. No devir dos séculos posteriores propuxéronse novas probas e diversas xeneralizacións. Estas contribucións representaron un papel importante no desenvolvemento da póla das matemáticas chamada teoría alxébrica dos números.

A semellanza de moitas ecuacións diofantianas, é dicir, de ecuacións nas cales os coeficientes e as solucións buscadas son números enteiros ou racionais, a sinxeleza do enunciado agocha unha dificultade real na súa demostración. Algunhas das probas propostas axudaron á posta a punto de ferramentas por veces sofisficadas, como as curvas elípticas ou a xeometría dos números, relacionando así a teoría dos números elemental con outras pólas das matemáticas.

 Probas
Proba de Euler por descenso infinito
Euler logrou demostrar o teorema de Fermat sobre as sumas de dous cadrados en 1749, cando tiña corenta e dous anos. Comunicouno nunha carta a Goldbach de data 12 de abril de 1749.Euler à Goldbach, lettre CXXV A proba baséase só no descenso infinito esbozado na carta. A proba completa consta de cinco pasos e publícase en dous artigos. Os catro primeiros pasos son as proposicións 1 a 4 do primeiro traballoDe numeris qui sunt aggregata duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4 (1752/3), 1758, 3-40)  e non se corresponden exactamente cos catro pasos seguintes. O quinto paso a continuación é do segundo artigo.Demonstratio theorematis FERMATIANI omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, 3-13) O resumo baséase no libro de Edwards, páxinas 45-48.48.

Para evitar ambigüidades, cero sempre será un posíbel constituínte válido de "sumas de dous cadrados", polo que, por exemplo, cada cadrado dun número enteiro é trivialmente expresábel como a suma de dous cadrados configurando un deles como cero.

1. O produto de dous números onde cada un deles é unha suma de dous cadrados, é en si mesmo unha suma de dous cadrados.
Esta é unha propiedade coñecida, baseada na identidade

debida á Diofanto de Alexandría coñecida como identidade de Brahmagupta-Fibonacci ou identidade de Diofanto.

2. Se un número que é unha suma de dous cadrados é divisíbel por un primo que é unha suma de dous cadrados, entón o cociente é unha suma de dous cadrados.
(Esta é a primeira proposición de Euler).

De feito, supoña, por exemplo, que  é divisíbel por  e que este último é primo. Entón  divide

Como  é primo, divide un dos dous factores. Supoñamos que divide . Dadi que

(pola Identidade de Diofanto) dedúcese que  debe dividir . Polo tanto, a ecuación pódese dividir polo cadrado de . Dividindo a expresión entre  obtemos:

e así expresamos o cociente como unha suma de dous cadrados, como se afirmaba.

Por outro lado, se  divide , un argumento similar cúmprese se usamos a seguinte variante da identidade de Diofanto:

3. Se un número que se pode escribir como unha suma de dous cadrados é divisíbel por un número que non é unha suma de dous cadrados, entón o cociente ten un factor que non é unha suma de dous cadrados. (Esta é a segunda proposición de Euler).
Supoñamos que  é un número que non se pode expresar como unha suma de dous cadrados, que divide . Escribimos o cociente, factorizado nos seus factores primos (posíbelmente repetidos), como  e por tanto . Se todos os factores  poden escribirse como sumas de dous cadrados, entón podemos dividir  sucesivamente por , , etc., e aplicando o paso (2.) anterior deducimos que cada cociente sucesivo máis pequeno é unha suma de dous cadrados. Se chegamos ata , entón o propio  tería que ser igual á suma de dous cadrados, o que é unha contradición. Polo tanto, polo menos un dos números primos  non é a suma de dous cadrados.

4. Se  e  son números enteiros positivos relativamente primos, todo factor de  é unha suma de dous cadrados.
(Este é o paso que usa o paso (3.) para producir un "descenso infinito" e foi a Proposición 4 de Euler. A demostración que se esboza a continuación tamén inclúe a proba da súa Proposición 3).

Sexan  números enteiros positivos relativamente primos: sen perda de xeneralidade  non é primo en si mesmo, se non, non hai nada que demostrar. Sexa  polo tanto un factor propio de , non necesariamente primo: queremos mostrar que  é unha suma de dous cadrados. De novo, non perdemos nada ao supoñer  xa que o caso  é obvio.

Sexan  números enteiros non negativos tal que  son os múltiplos máis próximos de  (en valor absoluto) a  respectivamente. Nótese que as diferenzas  e  son números enteiros de valor absoluto estritamente inferiores a : de feito, cando  é par, mcd; se non, xa que mcd, tamén teríamos mcd.

Substituíndo e operando obtemos

definindo de forma única un enteiro non negativo . Dado que  divide os dous extremos desta secuencia de ecuacións, dedúcese que  tamén debe ser divisíbel por : digamos . Sexa  o mcd de  e  que, por seren coprimos   son relativamente primos a . Así,  divide , polo que escribindo ,  e , obtemos a expresión  para os primos relativos , e con , xa que

Agora, finalmente, o paso do descenso: se  non é a suma de dous cadrados, entón no paso (3.) debe haber un factor  digamos de  que non é a suma de dous cadrados. Pero  e así repetindo estes pasos (inicialmente con  en lugar de , e así sucesivamente ad infinitum) poderemos atopar unha secuencia infinita estritamente decrecente   de números enteiros positivos que non son en si mesmos a suma de dous cadrados senón que teñen un factor como suma de dous cadrados relativamente primos. Dado que tal descenso infinito é imposíbel, concluímos que  debe ser expresábel como unha suma de dous cadrados, como se afirmaba.

5. Todo número primo da forma  é unha suma de dous cadrados.
(Este é o principal resultado do segundo traballo de Euler).

Se , entón polo pequeno teorema de Fermat cada un dos números  é congruente con 1 módulo . Polo tanto, as diferenzas  son todas divisíbeis por . Cada unha destas diferenzas pódese factorizar como

Dado que  é primo, debe dividir un dos dous factores. Se nalgún dos casos  divide o primeiro factor, entón no paso anterior concluímos que  é en si mesma unha suma de dous cadrados (xa que  e  difiren en , son relativamente primos). Polo tanto, abonda con demostrar que  non sempre pode dividir o segundo factor. 
Se divide todas as  diferenzas  , entón dividiría todas as  diferenzas de termos sucesivos, todas as  diferenzas de termos sucesibo, etc. Dado que as -ésimas diferenzas da secuencia  son de cantidade un número igual a  (ver Diferenza finita), as -ésimas diferenzas serían todas constantes e igual a , que certamente non é divisíbel por . Polo tanto,  non pode dividir todos os segundos factores o que demostra que  é efectivamente a suma de dous cadrados.

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 
*Richard Dedekind, The theory of algebraic integers.
L. E. Dickson. History of the Theory of Numbers Vol. 2. Chelsea Publishing Co., New York 1920
Harold M. Edwards, Fermat's Last Theorem. A genetic introduction to algebraic number theory. Graduate Texts in Mathematics no. 50, Springer-Verlag, NY, 1977.
C. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (English Edition). Transl. by Arthur A. Clarke. Springer-Verlag, 1986.

D. R. Heath-Brown, Fermat's two squares theorem. Invariant, 11 (1984) pp. 3–5.
John Stillwell, Introduction to Theory of Algebraic Integers by Richard Dedekind. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 1996.  
Don Zagier, A one-sentence proof that every prime p ≡ 1 mod 4 is a sum of two squares. Amer. Math. Monthly 97 (1990), no. 2, 144, 
 Outros artigos 
 Teorema de Legendre dos tres cadrados
 Teorema de Lagrange dos catro cadrados
 Constante de Landau-Ramanujan
 Lema de Thue
 Teorema de Friedlander-Iwaniec
 Ligazóns externas 
 Somme de carrés  
 Sur les sommes de carrés 

Categoría:Teoría de números