Norma (matemáticas)

Nas Matemáticas, unha norma consiste nunha función que a cada elemento dun espazo vectorial lle asocia un número real non-negativo. O concepto de norma está relacionado intuitivamente coa noción xeométrica de lonxitude.

 Definición 
Dado un espazo vectorial  sobre o corpo  dos números reais ou complexos, unha función  é chamada de norma se, para calquera  e todo :SANTOS (2010), p.3, ex. 54.
. Se esta condición non for atendida, a función será como máximo unha seminorma.

 (desigualdade triangular)

Se o espazo vectorial  ten unha norma, pasa a coñecerse como espazo normado, e denótase por .

 Métrica  e topoloxía inducida 
Toda norma induce de forma natural unha métrica  en  que ten valores dados por:SANTOS (2010), p.60.

Tamén induce unha topoloxía localmente convexa que é xerada por todas as bólas:

 Normas equivalentes 
Dúas normas  e  sobre o mesmo espazo vectorial  chámanse equivalentes se existiren constantes reais positivas  e  tales que:

Cando dúas normas son equivalentes, inducen a mesma topoloxía.

 Normas en espazos de dimensión finita 
Sexa  a representación dun vector en  ou .

As normas canónicas definidas nestes espazos son as chamadas normas :

O caso particular no que  corresponde á norma euclidiana:

A norma euclidiana é a que mide a distancia entre dous puntos do plano usada habitualmente . 

Pódense definir tamén outras normas, mais pódese demostrar que serán equivalentes.

Norma matricial
Se o espazo vectorial considerado é o formado polas matrices reais ou complexas de orde , denotado por , unha norma sobre ese espazo é chamada de norma matricial.

Un exemplo de norma matricial é a norma 1, denotada  definida como o máximo da suma módulo dos elementos de cada liña, ou sexa se  entón a norma do máximo da matriz  é o número non negativo dado por

A norma do máximo da matriz , por exemplo, éBoldrini et. al, p. 342.

Normas en espazos de dimensión infinita 
 Espazos LP 

As normas  teñen análogos nalgúns espazos de dimensión infinita.

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 


 Outros artigos 
Produto interno
Espazo de Banach
Espazo euclidiano
Espazo métrico
Espazo topolóxico
Seminorma

Categoría:Análise matemática
Categoría:Topoloxía