Determinante (matemáticas)

En matemáticas, o determinante é unha ferramenta moi potente en numerosos dominios (estudo de endomorfismos, busca de valores propios, cálculo diferencial). É así como se define o determinante dun sistema de ecuacións, o determinante dun endomorfismo, ou o determinante dun sistema de vectores. Foi introducido inicialmente na álxebra para resolver o problema de determinar o número de solucións dun sistema de ecuacións lineais.

Coma en moitas outras operacións, o determinante pode ser definido por unha colección de propiedades, axiomas que se resumen coa expresión «forma n-lineal alternada». Esta definición permite facer un estudo teórico completo e ampliar aínda máis os seus campos de aplicación. Mais o determinante tamén se pode concibir como unha xeneralización no espazo de dimensión n da noción de superficie ou de volume orientados. Este aspecto, a miúdo esquecido, é un enfoque práctico e luminoso das propiedades do determinante.

 Significado xeométrico 
miniatura|upright=0.9|esquerda|O determinante dos vectores X e X'  é a superficie azul.
Se temos un paralelogramo  que ten vértices en (0, 0), (x, y), (x + x', y + y') e (x', y'), como se mostra no diagrama que se acompaña, podémolo expresar matematicamente en forma de matriz e calcular o seu determinante, que dará por valor a súa área:

A expresión xeométrica equivalente:

onde  é o ángulo formado polos vectores  e .

O determinante dá o volume n-dimensional correspondente  do paralelótopo (paralelepípedo de n dimensións) con signo, 

 Definición 
Sexa A unha matriz cadrada con n filas e n columnas

As entradas  etc. son, para moitos propósitos, números reais ou complexos. O determinante tamén se define para matrices cuxas entradas están nun anel conmutativo.

O determinante de  denotado como , ou pódese denotar directamente en termos de entradas da matriz escribindo barras en lugar de corchetes:

 Fórmula de Leibniz 
O determinante dunha matriz  é

Categoría:Álxebra lineal

Por exemplo:



 Propiedades 
Os determinantes tamén se poden definir por algunhas das súas propiedades. É dicir, o determinante é a función única definida nas matrices  que ten as catro propiedades seguintes:
 O determinante da matriz identidade é .  ;
 O troco de dúas filas multiplica o determinante por .
 Ao multiplicar unha fila por un número multiplica o determinante por ese número (podemos comprobar para dimensión 2x2):  
 Engadir un múltiplo dunha fila a outra fila non modifica o determinante.

 Outras propiedades básicas 
O determinante ten varias propiedades clave que se poden probar mediante a avaliación directa da definición de matrices , e que seguen válido para os determinantes de matrices máis grandes. 
 o determinante é cero se dúas filas son iguais:

tamén para dúas columnas. 
 Se descompoñemos unha columna en sumas podemos descompoñer en suma de determinantes:

 O determinante dunha matriz é igual ao determinante da súa transposta:   ;
 Se unha matriz cadrada é invertíbel entón, o determinante da súa inversa é o inverso do seu determinante:    

Resulta desta propiedade que para matrices invertíbeis o determinante non pode ser nulo;
 O determinante do produto de matrices cadradas de mesma orde é o produto dos determinantes (teorema de Binet)Callioli 1990, p. 219:   
 O determinante da multiplicación dun escalar por unha matriz cadrada de orde  é igual a ese escalar, elevado a , multiplicado polo determinante da matriz:    onde  é a orde  da matriz 
 Se  é ortogonal, entón ;
 Se a matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Sexa  unha matriz triangular de orde  logo ;
 Se unha fila  ou columna da matriz  son todo  ceros, daquela ;
 Se for sumado, a unha fila (ou columna) de , un múltiplo doutra fila (ou columna), o determinante da nova matriz é igual ao de  (esta propiedade tamén  é coñecida como Teorema de Jacobi).

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 






 Outros artigos 
 Matriz inversa
 Valor propio, vector propio e espazo_propio 
 Ligazóns externas 



 Determinant Interactive Program and Tutorial
 Determinant Calculator  Calculadora, até orde 8.
 Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
   de curso de Álxebra linear.