Teorema integral de Cauchy

Na matemática, o Teorema Integral de Cauchy (tamén coñecido como Teorema de Cauchy-Goursat) en análise complexa, nomeado logo de Augustin-Louis Cauchy, é unha igualdade notable acerca das integrais dun camiño para funcións holomorfas no plano complexo. De xeito sinxelo, a igualdade di que se dúas funcións son holomorfas en todo punto dos seus camiños de integración, e se estes camiños conectan dous puntos comúns, entón o resultado das integrais das funcións é o mesmo indo por calquera dos dous camiños.

 Formulación 
O teorema é polo común formulado para camiños pechados: Sexa  un subconxunto aberto e simplemente conexo do plano complexo . Sexa  unha función holomorfa e sexa  un camiño rectificable no subconxunto  no que o punto inicial e final son coincidentes. Entón:


A condición de camiño rectificábel pódese expresar como, sexa  unha curva pechada suave e  é homotópico a unha curva constante.

Tamén se poden expresar as condicións do seguinte xeito: Sexa  un conxunto aberto simplemente conexo, e sexa   unha función holomorfa e sexa  unha curva pechada suave.

 Teorema fundamental para integrais de liña no plano complexo 
Se  é unha función holomorfa nunha rexión  aberta e  é unha curva en  de  a , entón,

A maiores, cando  ten unha antiderivada dun só valor nunha rexión aberta , entón a integral de camiño  é independente do camiño para tódolos camiños en .

Unha consecuencia importante do teorema é que as integrais de camiño das funcións holomorfas en dominios simplemente conexos poden calcularse dun xeito igual ao do teorema fundamental do cálculo. Se temos na curva un punto inicial  e outro final ,  sería a fórmula coñecida de integral definida consistente en calcular a antiderivada e restar os valores no punto inicial e no final:

 Caso no que non aplica 
Como demostrou Édouard Goursat, o teorema integral de Cauchy pódese probar asumindo só que a derivada complexa  existe en todas as partes en . Isto é significativo porque entón pódese probar a fórmula integral de Cauchy para estas funcións, e a partir diso deducir que estas funcións son infinitamente diferenciábeis ou suaves.

A condición de que  sexa simplemente conexo significa que  non ten "buratos". A condición é crucial; consideremos

que traza o círculo unidade, e agora a integral de liña

é distinto de cero; o teorema integral de Cauchy non  aplica aquí xa que  non está definida (e certamente non é holomorfa) en .

O teorema integral de Cauchy é válido cunha hipótese máis feble que a dada anteriormente, por exemplo, dado '', un subconxunto aberto simplemente conexo de , podemos debilitar as suposicións de que  é holomorfa en  e continua en  para que   sexa un bucle sinxelo rectificábel en .

O teorema integral de Cauchy conduce á fórmula integral de Cauchy e ao teorema dos residuos.

Proba
Se se asume que as derivadas parciais dunha función holomorfa son continuas, o teorema integral de Cauchy pódese probar como consecuencia directa do teorema de Green e do feito de que as partes real e imaxinaria de  debe satisfacer as ecuacións de Cauchy-Riemann na rexión limitada por , e a maiores na veciñanza aberta  desta rexión. Cauchy proporcionou esta proba, pero máis tarde foi probada por Goursat sen requirir técnicas de cálculo vectorial ou a continuidade das derivadas parciais.

Podemos dividir o integrando  así como o diferencial  nas súas compoñentes reais e imaxinarias:

.
.

Neste caso temos
.

Polo teorema de Green, podemos entón substituír as integrais arredor do contorno pechado  cunha área integral en todo o dominio  que está choída por  do seguinte xeito:

.
.

Mais como as partes real e imaxinaria dunha función holomorfa no dominio   e  deben satisfacer as ecuacións de Cauchy-Riemann logo:
.
.

Polo tanto, atopamos que ambos os integrandos (e, polo tanto, as súas integrais) son cero

.
.

Isto dá o resultado desexado
.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 




 Outros artigos 
Teorema de Morera
Métodos de integración de contorno
 Ligazóns externas 


Jeremy Orloff, 18.04 Complex Variables with Applications Spring 2018 Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons.

Categoría:Análise matemática
Integral de Cauchy