Grupo abeliano

Un grupo abeliano é unha estrutura alxébrica determinada sobre un conxunto G que ten estrutura de grupo e no que a operación interna é conmutativa.

Os grupos abelianos reciben o seu nome en honra ao matemático noruegués Niels Henrik Abel, que os empregou no seu estudo das ecuacións alxébricas resolubles con radicais. Os grupos que non son conmutativos denomínanse “non abelianos” ou “non conmutativos”.

 Definición 
Dada unha estrutura alxébrica sobre un conxunto G e cunha operación interna binaria  "", dise que a estrutura  é un grupo abeliano con respecto á operación  se:
  ten a estrutura alxébrica de grupo.
  ten a propiedade conmutativa.

 Notación 
 Notación 

Existen dúas convencións principais de notación para os grupos abelianos: aditivo e multiplicativo.

 Convenio Operación Identidade Potencias Inverso Adición   0     Multiplicación  ou   1  
Xeralmente, a notación multiplicativa é a notación usual para os grupos, mentres que a notación aditiva é a notación usual para módulos e aneis. A notación aditiva tamén se pode empregar para salientar que un grupo particular é abeliano, sempre que se consideren tanto grupos abelianos como non abelianos, sendo algunhas excepcións notables os cuase-aneis e os grupos parcialmente ordenados, onde unha operación escríbese aditivamente aínda que non sexa abeliana.Auslander, M., & Buchsbaum, D., Grupos, aneis, módulos (Mineola, NY: Dover Publications, 1974), pp. 28–29.Stanojkovski, M., Automorfismos intensos de grupos finitos (Providence, RI: [ [Sociedade Americana de Matemáticas]], 2021) páxs. 9–14.

 Táboa de multiplicación 
Para verificar que un grupo finito é abeliano, pódese construír unha táboa (matriz), coñecida como táboa de Cayley, de forma similar a unha táboa de multiplicar.Isaev, A. P., & Rubakov, V. A., Theory of Groups and Symmetries: Finite Groups, Lie Groups, and Lie Algebras (Singapore: World Scientific, 2018). Se o grupo é  baixo a  a entrada  desta táboa contén o produto .

O grupo é abeliano se e só se esta táboa é simétrica sobre a diagonal principal. Isto é certo xa que o grupo é abeliano se e só se   para todo , que é se a entrada  da táboa é igual á entrada  para todos os , é dicir, a táboa é simétrica respecto da diagonal principal.

 Exemplos 
 Todo grupo cíclico G é abeliano, pois se x, y ∈ G = <a>, x = am; y = an para algúns m, n enteiros, co que xy = aman = am + n = an + m = anam = yx. En particular, o grupo Z de enteiros coa suma é abeliano, ao igual que o grupo de enteiros módulo n, Zn.
 Os números reais forman un grupo abeliano coa adición, ao igual que os reais non nulos coa multiplicación.
 Todo anel é un grupo abeliano con respecto á súa suma. Nun anel conmutativo, os elementos invertibles forman un grupo abeliano coa multiplicación.
 Todo subgrupo dun grupo abeliano é normal, e polo tanto, para todo subgrupo hai un grupo cociente. Subgrupos, grupos cocientes e sumas directas de grupos abelianos son tamén abelianos.

 Propiedades 
 Se n é un número natural e x un elemento dun grupo abeliano G, pódese definir nx = x + x +... + x (n sumandos), e (−n)x = −(nx), co que G se converte nun módulo sobre o anel Z dos enteiros. De feito, os módulos sobre Z non son outros cós grupos abelianos.
 Se f, g: G → H son dous homomorfismos entre grupos abelianos, a súa suma (definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x)) tamén é un homomorfismo; isto non se cumpre en xeral para os grupos non abelianos. Con esta operación, o conxunto de homomorfismos entre G e H vólvese, entón, un grupo abeliano en si mesmo.
 O centro  dun grupo  é o conxunto de elementos que conmutan con cada elemento de . Un grupo  é abeliano se e só se é igual ao seu centro . O centro dun grupo  é sempre un  subgrupo abeliano característico de . 
 Se o grupo cociente  dun grupo polo seu centro é cíclico, entón  é abeliano.Rose 2012,  p. 48.

 Grupos abelianos finitos 
Os grupos cíclicos de números enteiros módulo , , estiveron entre os primeiros exemplos de grupos. Resulta que un grupo abeliano finito arbitrario é isomorfo a unha suma directa de grupos cíclicos finitos de orde potencia prima, e estas ordes están determinadas de forma única, formando un sistema completo de invariantes. O grupo de automorfismos dun grupo abeliano finito pódese describir directamente en termos destas invariantes. A teoría foi desenvolvida por primeira vez no artigo de 1879 de Georg Frobenius e Ludwig Stickelberger e máis tarde foi simplificada e xeneralizada a módulos xerados de forma finita sobre un dominio ideal principal, formando un importante capítulo da álxebra linear.

Calquera grupo de orde prima é isomorfo a un grupo cíclico e, polo tanto, abeliano. Calquera grupo cuxa orde sexa un cadrado dun número primo tamén é abeliano.Rose 2012, p. 79. De feito, para cada número primo  hai (ata isomorfismo) exactamente dous grupos de orde , a saber  e .

 Clasificación 
O teorema fundamental dos grupos abelianos finitos afirma que todo grupo abeliano finito  pode expresarse como a suma directa de subgrupos cíclicos de orde de potencia prima; tamén se coñece como teorema da base para grupos abelianos finitos. A maiores, os grupos de automorfismos de grupos cíclicos son exemplos de grupos abelianos.Kurzweil, H., & Stellmacher, B., The Theory of Finite Groups: An Introduction (Nova York, Berlín, Heidelberg: Springer Verlag, 2004), pp. 43–54]. Isto é xeneralizado polo teorema fundamental dos grupos abelianos xerados finitamente, sendo os grupos finitos o caso especial cando G ten rango cero; isto á súa vez admite numerosas xeneralizacións adicionais.

A clasificación foi probada por Leopold Kronecker en 1870, aínda que non foi declarada en termos modernos de teoría de grupos ata máis tarde, e foi precedida por unha clasificación similar de formas cadráticas de Carl Friedrich Gauss en 1801; ver historia para máis detalles.

O grupo cíclico  de orde  é isomorfo á suma directa de  e  se e só se  e  son coprimos. Dedúcese que calquera grupo abeliano finito  é isomorfo a unha suma directa da forma

de calquera das seguintes formas canónicas:
 os números  son potencias de números primos (non necesariamente distintos).
 ou  divide , que divide , e así sucesivamente ata .

Por exemplo,  pódese expresar como a suma directa de dous subgrupos cíclicos de orde 3 e 5: . O mesmo pódese dicir de calquera grupo abeliano de orde 15, o que leva á conclusión notable de que todos os grupos abelianos de orde 15 son isomorfos.

Para outro exemplo, cada grupo abeliano de orde 8 é isomorfo a  (os enteiros de 0 a 7 baixo a suma módulo 8),  (os enteiros impares do 1 ao 15 baixo a multiplicación módulo 16), ou .

Vexa tamén lista de grupos pequenos para grupos abelianos finitos de orde 30 ou menos.

 Automorfismos 
Pódese aplicar o teorema fundamental para contar (e ás veces determinar) os automorfismos dun grupo abeliano finito . Para iso, utilízase o feito de que se  se divide como unha suma directa  de subgrupos de orde coprima, entón

Dado isto, o teorema fundamental mostra que para calcular o grupo de automorfismos de  abonda con calcular os grupos de automorfismos dos subgrupos de Sylow  por separado, (é dicir, todas as sumas directas de subgrupos cíclicos, con cadansúa potencia de ). Fixamos un  primo e supomos que os expoñentes  dos factores cíclicos do subgrupo  de Sylow están dispostos en orde crecente:

para algúns . Hai que atopar os automorfismos de

Un caso especial é cando , de xeito que só hai un factor de potencia prima cíclica no subgrupo  de Sylow. Neste caso pódese utilizar a teoría dos automorfismos dun grupo cíclico finito. Outro caso especial é cando  é arbitrario pero  para . Aquí, estamos considerando que  é da forma

polo que os elementos deste subgrupo pódense ver como un espazo vectorial de dimensión  sobre o corpo finito de elementos  . Polo tanto, os automorfismos deste subgrupo veñen dados polas transformacións lineares invertíbeis, polo tanto

onde  é o grupo linear xeral. Móstrase facilmente que ten orde

No caso máis xeral, onde os  e  son arbitrarios, o grupo de automorfismos é máis difícil de determinar. Sábese, porén, que se un define

e

entón temos en particular ,  e

Pódese comprobar que isto produce as ordes dos exemplos anteriores como casos especiais (ver Hillar & Rhea).

Grupos abelianos finitamente xerados

Un grupo abeliano  xérase finitamente se contén un conxunto finito de elementos (chamados xeradores)  tal que cada elemento do grupo é unha combinación linear con coeficientes enteiros de elementos de .

Sexa  un grupo abeliano libre con base 
Hai un único homomorfismo de grupos
 de tal xeito que

Este homomorfismo é sobrexectivo, e o seu kernel xérase de forma finita (xa que os enteiros forman un anel noetheriano). Considere a matriz  con entradas enteiras, de xeito que as entradas da súa columna -ésima son os coeficientes do -ésimo xerador do kernel. Entón, o grupo abeliano é isomorfo ao cokernel do mapa linear definido por . Pola contra, cada matriz enteira define un grupo abeliano finitamente xerado.

Dedúcese que o estudo de grupos abelianos xerados finitamente é totalmente equivalente ao estudo das matrices enteiras. En particular, mudar o conxunto xerador de  é equivalente a multiplicar  pola esquerda por unha matriz unimodular (é dicir, unha matriz enteira invertíbel cuxa inversa tamén é un matriz enteira). Mudar o conxunto xerador do kernel de  é equivalente a multiplicar  pola dereita por unha matriz unimodular.

A forma normal de Smith de  é unha matriz

onde  e  son unimodulares, e  é unha matriz tal que todas as entradas non diagonais son cero, as entradas diagonais non nulas  son os primeiros, e  é un divisor de  para . A existencia e a forma da forma normal de Smith demostra que o grupo abeliano finitamente xerado  é a suma directa

onde  é o número de filas cero na parte inferior de  (e tamén o rango do grupo). Este é o teorema fundamental dos grupos abelianos xerados finitamente.

A existencia de algoritmos para a forma normal de Smith mostra que o teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente xerados non é só un teorema de existencia abstracta, senón que proporciona unha forma de calcular a expresión de grupos abelianos finitamente xerados como sumas directas.Finkelstein, L., & Kantor, W. M., eds., Groups and Computation II: Workshop on Groups and Computation, June 7–10, 1995 (Providence: AMS, 1997), pp. 26–27].
 Grupos abelianos infinitos 
O grupo abeliano infinito máis sinxelo é o grupo cíclico infinito . Calquera grupo abeliano xerado finitamente  descomponse nunha suma directa dun número finito de grupos cíclicos de ordes potencia prima. Aínda que a descomposición non é única, o número , chamado rango de , e as potencias primas que dan as ordes dos sumandos cíclicos finitos están determinados de forma única.

Pola contra, a clasificación de grupos abelianos xerados infinitamente está lonxe de ser completa. Os grupos divisíbeis, é dicir, os grupos abelianos  nos que a ecuación  admite unha solución  para calquera número  e o elemento  de , constitúen unha clase importante de grupos abelianos infinitos que se poden caracterizar por completo. Todo grupo divisíbel é isomorfo a unha suma directa, con sumandos isomorfos a  e os grupos de Prüfer  para varios números primos . A cardinalidade do conxunto de sumandos de cada tipo está determinada de forma única.Por exemplo, . A maiores, se un grupo divisíbel  é un subgrupo dun grupo abeliano , entón  admite un complemento directo: un subgrupo  de  tal que . Así, os grupos divisíbeis son módulos inxectivos na categoría de grupos abelianos, e viceversa, todo grupo abeliano inxectivo é divisíbel (criterio de Baer). Un grupo abeliano sen subgrupos divisíbeis distintos de cero chámase reducido.

Dúas clases especiais importantes de grupos abelianos infinitos con propiedades diametralmente opostas son os "grupos de torsión" e os "grupos libres de torsión", exemplificados polos grupos  (periódico ou torsión) e  (sen torsión).

 Grupos de torsión 
Un grupo abeliano chámase periódico ou de torsión se cada elemento ten  orde finita. Unha suma directa de grupos cíclicos finitos é periódica. Aínda que a afirmación inversa non é certa en xeral, coñécense algúns casos especiais. O primeiro e o segundo teoremas de Prüfer afirman que se  é un grupo periódico, e ten un expoñente limitado, é dicir,  para algún número natural , ou é numerábel e as -alturas dos elementos de  son finitas para cada , entón  é isomorfo a unha suma directa de grupos cíclicos finitos.A suposición de numerabilidade no segundo teorema de Prüfer non se pode eliminar: o subgrupo de torsión do produto directo dos grupos cíclicos  para todos os  naturais non é unha suma directa de grupos cíclicos.
A cardinalidade do conxunto de sumandos directos isomorfos a  en tal descomposición é unha invariante de . Faith, C. C., Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra (Providence: AMS, 2004), páx. 6. Estes teoremas foron subsumidos máis tarde no criterio de Kulikov. Nunha dirección diferente, Helmut Ulm atopou unha extensión do segundo teorema de Prüfer a -grupos abelianos numerábeil con elementos de altura infinita: eses grupos están completamente clasificados mediante a súa invariante de Ulm.Gao, S., Invariant Descriptive Set Theory (Boca Raton, FL: CRC Press, 2008), p. 317.

 Grupos libres de torsión e mixtos 
Un grupo abeliano chámase libre de torsión se cada elemento distinto de cero ten orde infinita. Varias clases de grupos abelianos libres de torsión foron estudadas amplamente:

 Grupos abelianos libres, é dicir, sumas directas arbitrarias de 
 Grupo de cotorsión e grupos libres de torsióncompactos alxébricos como os enteiros -ádicos
 Os grupo de SlenderAlbrecht, U., "Products of Slender Abelian Groups", en Göbel, R., & Walker, E., eds., Abelian Group Theory: Proceedings of the Third Conference Celebrada sobre Abelian Group Theory en Oberwolfach, do 11 ao 17 de agosto de 1985 (Nova York: Gordon & Breach, 1987), páxs. 259–274.

Un grupo abeliano que non é nin de torsión nin libre de torsión chámase mixto. Se  é un grupo abeliano e  é o seu subgrupo de torsión, entón o grupo de factores  é libre de torsión. porén, en xeral o subgrupo de torsión non é un sumando directo de , polo que  non é isomorfo a . Así, a teoría dos grupos mixtos implica máis que simplemente combinar os resultados sobre grupos de torsión e libres de torsión. O grupo aditivo  de números enteiros é un módulo  sen torsión.Lal, R., Algebra 2: Linear Algebra, Galois Theory, Representation Theory, Group Extensions and Schur Multiplier (Berlin, Heidelberg: Springer, 2017), p. 206.

 Invariantes e clasificación 
Unha das invariantes máis básicas dun grupo abeliano infinito  é o seu rango: a cardinalidade do subconxunto linearmente independente máximo de . Os grupos abelianos de rango 0 son precisamente os grupos periódicos, mentres que os grupos abelianos libres de torsión de rango 1 son ​​necesariamente subgrupos de  e pódense describir completamente. De forma máis xeral, un grupo abeliano libre de  torsión de rango finito  é un subgrupo de . Por outra banda, o grupo de enteiros -adicos  é un grupo abeliano sen torsión de -rango infinito e os grupos  con diferentes  son non isomorfos, polo que este invariante nin sequera captura completamente as propiedades dalgúns grupos familiares.

Os teoremas de clasificación para grupos abelianos sen torsión, divisíbeis, periódicos numerábeis e de rango 1, explicados anteriormente, obtivéronse todos antes de 1950 e forman unha base para a clasificación de grupos abelianos infinitos máis xerais. As ferramentas técnicas importantes empregadas na clasificación de grupos abelianos infinitos son os sbugrupos puros e o subgrupo básico. A introdución de varias invariantes de grupos abelianos libres de torsión foi unha vía de avance. Vexa os libros de Irving Kaplansky, László Fuchs, Phillip Griffith e David Arnold, así como as actas das conferencias sobre Abelian Group Theory publicada en Lecture Notes in Mathematics para achados máis recentes.

 Grupos aditivos de aneis 
O grupo aditivo dun anel é un grupo abeliano, mais non todos os grupos abelianos son grupos aditivos de aneis (con multiplicación non trivial). Algúns temas importantes nesta área de estudo son:

 Produto tensorial
 A.L.S. Resultados de Corner en grupos numerábeis libres de torsión
 Traballo de Shelah para eliminar as restricións de cardinalidade
 Anel de Burnside

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 







  Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.


 Outros artigos 

, o grupo máis pequeno non abeliano

 Ligazóns externas 


Categoría:Álxebra