Número transcendente

Un número transcendente, tamén  número transcendental, é un tipo de número irracional que non é raíz de ningún polinomio non nulo con coeficientes enteiros.

Neste sentido, número transcendente é antónimo de número alxébrico. A definición non provén dunha simple relación alxébrica, senón que se define como unha propiedade fundamental das matemáticas. Os números transcendentes máis coñecidos son π e e.

En xeral, se temos dous corpos  e  de forma que o segundo é extensión do primeiro, diremos que  é transcendente sobre  se non existe ningún polinomio  do que  sexa raíz ().

O conxunto de números alxébricos é numerable, mentres que o conxunto de números reais é non numerable; polo tanto, o conxunto de números transcendentes é tamén non numerable. Non obstante, existen moi poucos números transcendentes coñecidos, e demostrar que un número é transcendente pode ser extremadamente difícil. Por exemplo, aínda non se sabe se a constante de Euler-Mascheroni () o é, sendo 
 = 
,
cando . 
De feito, nin sequera se sabe se  é racional ou irracional.

A propiedade de normalidade dun número (a súa secuencia infinita de díxitos distribúese uniformemente) pode contribuír a demostrar se é transcendente ou non.

Números demostrados como transcendentais
Números demostrados como transcendentais:

  (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
  se  é alxébrico e distinto de cero (polo teorema de Lindemann–Weierstrass), en particular o número e.
  onde  é un enteiro positivo; en particular a constante de Gelfond  (polo teorema de Gelfond-Schneider).
 Combinacións alxébricas de  e  como  e  (deducido da súa independencia alxébrica).
  onde  é alxébrica pero non 0 nin 1, e  é alxébrica irracional, en particular a constante de Gelfond–Schneider  (polo Teorema de Gelfond-Schneider).
 O logaritmo natural  se  é alxébrica e non é igual a 0 ou 1, para calquera rama da función logarítmica (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
  se  e  son enteiros positivos non as dúas potencias do mesmo número enteiro, e  non é igual a 1 (polo teorema de Gelfond-Schneider).
 Todos os números da forma  son transcendentais, onde  son alxébricos para todos os  e  son alxébricos distintos de cero para todos os  (polo teorema de Baker).

As funcións trigonométricas  e os seus homólogos hiperbólicos, para calquera número alxébrico distinto de cero , expresado en radiáns (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
Resultados distintos de cero das funcións trigonométricas inversas  e as súas  contrapartes hiperbólicas, para calquera número alxébrico  (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
, para  racional tal que .
O  punto fixo  da función coseno (tamén coñecido como número de Dottie ), solución real única da ecuación , onde  está en radiáns (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
 se  é alxébrica e distinta de cero, para calquera rama da función W de Lambert (polo teorema de Lindemann-Weierstrass), en particular a constante omega .
  se tanto  como a orde  son alxébricas tal que , para calquera rama da función  W xeneralizada de Lambert
 , a super-raíz cadrada de calquera número natural é un número enteiro ou transcendental (polo Gelfond-Teorema de Schneider).
 Valores da función gamma dos números racionais que teñen a forma  ou ..
 Combinacións alxébricas de  e  ou de  e  como a constante lemniscata  (deducido a partir das súas respectivas independencias alxébricas).
 Os valores da función beta  se  e  son números racionais non enteiros.
 A función de Bessel do primeiro tipo , a súa primeira derivada e o cociente  son transcendentais cando  é racional e  é alxébrica e distinta de cero, e todas as raíces distintas de cero de  e  son transcendentais cando  é racional.
 O número , onde  e  son funcións de Bessel e  é o Constante de Euler-Mascheroni.
 Calquera número de Liouville, en particular: a constante de Liouville.
 Números cunha medida de irracionalidade grande, como a constante de Champernowne  (polo teorema de Roth).
 Números construídos artificialmente para non ser períodicos alxébricos.
 Calquera número non computábel, en particular: a constante de Chaitin.
 Números irracionais construídos que non son simplemente normal en ningunha base.
 Calquera número para o cal os díxitos con respecto a algunha base fixa formen unha palabra de Sturmian.
 A Constante de Prouhet-Thue-Morse; .
 A constante de Komornik-Loreti.
 Os valores da serie infinita cunha taxa de converxencia rápida, segundo a definición de Y. Gao e J. Gao, como .
 Os valores da Fracción continua de Rogers-Ramanujan  onde  é alxébrica e . Os valores da lemniscáta da función theta  (nas mesmas condicións para ) tamén son transcendentais 
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Aproximación diofantiana.
 Medida da irracionalidade.
 Número e
 Ligazóns externas 






Categoría:Álxebra