David Hilbert

David Hilbert, nado en KönigsbergSegundo declaración propia. Porén é probábel que nacera preto de Königsberg, en Wehlau (coñecido como Znamensk desde 1946), pois na data do seu nacemento o seu pai traballaba alí o 23 de xaneiro de 1862 e finado en Gotinga o 14 de febreiro de 1943, foi un matemático alemán. Está recoñecido como un dos matemáticos máis influentes e universais de finais do século XIX e comezos do XX.

Descubriu e desenvolveu un amplo número de ideas fundamentais en moitas áreas, como a teoría de invariantes e a axiomatización da xeometría. Tamén formulou a teoría dos espazos de Hilbert, un dos fundamentos da análise funcional. Hilbert adoptou e defendeu vehementemente a teoría de conxuntos e os números transfinitos de Cantor. Un exemplo célebre do seu liderado nas matemáticas foi a presentación en 1900 no Congreso Internacional de Matemáticos de París dunha colección de 23 problemas que marcaron o curso de gran parte da investigación matemática do século XX.

Xunto cos seus discípulos, contribuíu significativamente a establecer rigor e desenvolver importantes ferramentas usadas na física matemática moderna. Hilbert é recoñecido como un dos fundadores da teoría da proba e a lóxica matemática, así como por ser un dos primeiros en distinguir entre matemáticas e metamatemáticas.

En pugna por demostrar correctamente algúns dos erros cometidos por Einstein, na teoría xeral da relatividade, David Hilbert adiantouse ás correccións de Einstein, con todo nunca quixo outorgarse o mérito. Minkowski, o mellor e máis sincero amigo de Hilbert morreu prematuramente dunha apendicite perforada en 1909. Pertencía ao selecto grupo de fellows da Royal Society.

 Traxectoria 
Hilbert, foi o primeiro dos dous fillos de Otto e Maria Therese (nada Erdtmann) Hilbert, naceu en Prusia Oriental -quizais en Königsberg (de acordo ao afirmado por el mesmo) ou Wehlau (actualmente Znamensk) ao lado de Königsberg onde traballaba o seu pai. Comezou os seus estudos no Friedrichskolleg Gymnasium (Collegium Fridericianum, a mesma escola onde estudou Immanuel Kant 140 anos antes), pero trasladouse ao Wilhelm Gymnasium, unha escola con máis orientación científica, onde se graduou en 1880. O mesmo ano ingresou na Universidade de Königsberg, a "Albertina". Aquí coñeceu a Hermann Minkowski (dous anos máis novo que el); esta amizade inclinouno definitivamente polas matemáticas en contra do parecer do seu pai. En 1884, chegou á Universidade, como profesor asociado, Adolf Hurwitz procedente de Gotinga e estableceuse un intenso e frutal intercambio entre os tres. Hilbert obtivo o seu doutoramento en 1885, cunha tese escrita baixo a supervisión de Ferdinand von Lindemann, titulada Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen ("Sobre as propiedades invariantes das fórmulas binarias especiais, en particular das funcións harmónicas esféricas").

Hilbert permaneceu na Universidade de Königsberg como profesor desde 1886 ata 1895. En 1892, casou con Käthe Jerosch (1864-1945), con quen tivo un fillo: Franz Hilbert (1893 ata 1969). En 1895, e grazas á intervención de Felix Klein no seu favor, obtivo a posición de catedrático de matemáticas na Universidade de Gotinga, o centro máis prestixioso de investigación en matemáticas da época, no que permaneceu ata a fin dos seus días.

O seu fillo Franz sufriu para sempre unha enfermidade mental sen diagnosticar: a súa inferioridade intelectual era unha decepción terrible para o seu pai e esta desgraza era un asunto de preocupación polos matemáticos e estudantes en Gotinga. Minkowski, o mellor e máis sincero amigo de Hilbert morreu prematuramente dunha apendicite perforada en 1909.

Entre os seus 69 estudantes de doutoramento en Gotinga hai moitos que despois se converteron en famosos matemáticos, por exemplo (coa data da súa tese): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911), ou Wilhelm Ackermann (1925). Entre os anos 1902 e 1939 Hilbert foi editor de Mathematische Annalen, a revista de matemáticas máis importante daqueles tempos.

En 1899 publicou Grundlagen der Geometrie (Fundamentos da xeometría), un estudo sistemático dos seus axiomas básicos que representou unha revolución, presentando a disciplina baseada única e exclusivamente en 21 axiomas e promovendo o enfoque axiomático das matemáticas. Esta obra pódese considerar das máis influentes nas matemáticas do século XX.

O ano seguinte, 1900, Hilbert presentou ao Congreso da Unión Matemática Internacional a súa conferencia na que presentou os retos da matemática do século XX: estes son os famosos 23 Problemas de Hilbert, entre os que se atopaba a demostración da Hipótese de Riemann, a día de hoxe aínda non resolta. Foi unha conferencia chea de optimismo no poder das matemáticas.

En 1928 publica con Wilhelm Ackermann os Principios de lóxica matemática no que se establece a distinción entre Matemáticas e Metamatemàtiques.

En 1930, Hilbert retirouse, sendo substituído na cátedra por Hermann Weyl. Non obstante permaneceu na cidade de Gotinga exercendo a súa influencia no departamento de Matemáticas da Universidade. En 1934 e 1939 publicáronse os dous volumes de Grundlagen der Mathematik (Fundamentos das Matemáticas) en colaboración con Paul Bernays e nos que intentaba establecer unha Teoría da demostración.

 Últimos anos 
Hilbert aínda vivía cando o nazismo vai podar moitos dos prominentes membros da Universidade de Gotinga en 1933. Esta persecución obrigou a exiliarse a Hermann Weyl (o seu sucesor), Emmy Noether, Otto Neugebauer, Richard Courant e outros. Outros colegas tiveron menos sorte: Edmund Landau morreu en 1938 e Otto Blumenthal foi deportado e morto no Campo de concentración de Theresienstadt.

En 1934, Hilbert foi invitado a un banquete no que estaba sentado a carón do novo ministro de educación, Bernhard Rust. Rust preguntoulle, Como están as matemáticas en Gotinga, agora que as liberamos da influencia xudía? Hilbert respondeu, 'Matemáticas en Gotinga? Xa non quedan!.
Cando Hilbert morría en 1943, en plena Guerra Mundial, os nazis cambiaran todo o persoal da Universidade, xa que a maior parte dos membros do departamento eran xudeus, estaban casados con xudeus ou tiñan simpatías esquerdistas. Ao funeral de Hilbert asistiron só unha ducia de persoas, das cales só dúas eran colegas académicos, entre eles Arnold Sommerfeld, un físico teórico tamén nativo de Königsberg. A noticia da súa morte só foi mundialmente coñecida logo de seis meses de morrer.

O epitafio gravado na súa tumba no cemiterio de Gotinga é o famoso epigrama que deu como conclusión no seu discurso de despedida ao retirarse en 1930. Estas palabras eran unha resposta á máxima latina: "Ignoramus che ignorabimus" ou "Non sabemos, non podemos saber":

Wir müssen wissen.
Wir werden wissen.

En galego: 
 Temos que saber.
 Imos saber.

 Solución de Hilbert ao problema de Gordan 
O primeiro traballo de Hilbert sobre as funcións invariantes levouno en 1888 á demostración do seu famoso teorema da finitude. Vinte anos antes, Paul Gordan (1837-1912) demostrara o teorema da finitude dos xeradores para as fórmulas binarias, utilizando unha aproximación computacional complexa. Os intentos de xeneralizar o seu método a funcións con máis de dúas variables fallaron debido á enorme dificultade que implicaban os cálculos. Para solucionar o que se coñecía nalgúns círculos como o Problema de Gordan, Hilbert deuse conta de que era necesario tomar un camiño completamente diferente. Como resultado, demostrou o teorema da base de Hilbert, demostrando a existencia dun conxunto finito de xeradores, os invariantes das fórmulas alxébricas con calquera número de variables, pero dun xeito abstracto. É dicir, demostrando a existencia do conxunto, pero sen construílo -non mostrou "un obxecto"- senón que simplemente demostrou a existencia, e baseábase no principio do terceiro excluído nunha extensión infinita.

Hilbert enviou os seus resultados o Mathematische Annalen. Gordan, o experto da teoría de invariantes do  Mathematische Annalen, non apreciou a natureza revolucionaria do teorema de Hilbert e rexeitou o artigo, criticando a exposición porque non era suficientemente comprensible. O seu comentario foi:

Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie.
(Isto non é Matemáticas. Isto é Teoloxía.)

Klein, por outra banda, recoñeceu a importancia do traballo, e garantiu que sería publicado sen ningunha alteración. Animado por Klein, Hilbert, nun segundo artigo, estendeu o seu método, proporcionando estimacións sobre o grao máximo do conxunto de xeradores máis pequeno, e enviouno de novo ao Annalen. Logo de ler o manuscrito, Klein escribiulle, dicindo:

 Sen dúbida isto é o traballo máis importante en álxebra xeral que o Annalen nunca publicou.

Máis tarde, despois de que a utilidade do método de Hilbert fose universalmente recoñecida, Gordan diríalle:

 Convencinme de que ata a teoloxía ten os seus méritos.

Polo seu éxito, a natureza da súa demostración levantou máis problemas dos que Hilbert podería imaxinar nese momento. Aínda que Kronecker admitiuno, Hilbert máis tarde respondeu a outras críticas similares afirmando que "moitas construcións diferentes están subsumidas baixo unha idea fundamental", noutras palabras, citando a Constance Reid: A través dunha proba de existencia , Hilbert fora capaz de obter unha construción: "a demostración" era o "obxecto". Non todos estaban convencidos. Mentres Kronecker morrería pouco tempo despois, a súa filosofía construtivista continuaría co mozo Brouwer e o seu desenvolvemento da escola intuicionista, para tormento de Hilbert nos anos seguintes. De feito Hilbert perdería o seu "alumno superdotado", Weyl, que se pasou ao intuicionismo -"Hilbert molestouse pola fascinación do seu antigo discípulo coas ideas de Brouwer, o cal espertaba dentro de Hilbert a memoria de Kronecker". Brouwer, o intuicionista, en particular, opúxose á utilización do Principio do Terceiro Excluído sobre conxuntos infinitos (mentres Hilbert o utilizara). Hilbert responderia:

 Coller o Principio do Terceiro Excluído das matemáticas ... É o mesmo que ... Prohibir ao boxeador o uso dos seus puños.

 Axiomatización de xeometría 

O texto Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de Xeometría) publicado por Hilbert en 1899 propón un conxunto formal, os Axiomas de Hilbert, substituíndo as tradicionais definicións, postulados e nocións comúns dos Elementos de Euclides. Evitan as debilidades identificadas nas definicións de Euclides, obra aínda vixente e libro de referencia para a xeometría da época. Pouco despois, en 1902, un mozo de 19 anos o estudante americano Robert Lee Moore demostrou que un dos axiomas de Hilbert (o coñecido teorema de Pasch) era innecesario por redundante.

A aproximación de Hilbert sinalaba o cambio ao moderno sistema axiomático. Nisto, o traballo de Peano en aritmética, anticipouse a Hilbert, en 1889. Os axiomas non se toman como verdades manifestas. A matemática pode tratar cousas, das que temos intuicións poderosas, pero non hai que asignar un significado explícito aos conceptos non definidos. Elementos, como punto, recta, plano, e outros, poderían ser substituídos, como Hilbert di, por mesas, cadeiras, xarras de cervexa e outros obxectos.

Hilbert, primeiro, enumera os conceptos non definidos: punto, recta, plano etc. Despois formaliza as súas relacións (Axiomas) de Incidencia, Orde, Continuidade e Congruencia máis unha relación especial de Paralelismo. Os axiomas unifican xeometría plana e a xeometría do espazo de Euclides nun único sistema.

 Os 23 problemas de Hilbert 

Hilbert propuxo no Congreso Internacional de Matemáticos de París de 1900, unha lista de 23 problemas matemáticos sen resolver, como un reto para os matemáticos do século XX. Recoñécese de forma xeral que esta é a recompilación de problemas abertos máis exitosa e de profunda consideración producida nunca por un único matemático. Esta lista é recoñecida como un completo programa de traballo para os matemáticos.

Tras reescribir os fundamentos da xeometría clásica, Hilbert podía habelo extrapolado ao resto das matemáticas. Este enfoque difiere, con todo, dos posteriores «loxicistas» Russel-Whitehead ou o «formalismo matemático» do seu contemporáneo Giuseppe Peano e máis recentemente do «conxunto de matemáticos» Nicolas Bourbaki . A comunidade matemática ao completo podería embarcarse en problemas que el identificou como aspectos cruciales nas áreas da matemática que el considerou como claves.

O conxunto de problemas explicouse nunha conferencia titulada Os problemas das matemáticas, presentado no transcurso do II Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París. Esta é a introdución do discurso que deu Hilbert:

Quen de nós non estaría contento de levantar o veo detrás do cal se esconde o futuro, para contemplar os próximos avances da nosa ciencia e os segredos do seu desenvolvemento nos séculos por vir? Cales serán os logros cara aos cales xirará o espírito das futuras xeracións de matemáticos? Que métodos, que novos feitos revelará o novo século no vasto e rico campo do pensamento matemático?

Algúns deles resolvéronse en pouco tempo. Outros discutironse ao longo do século XX. Uns poucos consideranse excesivamente vagos para chegar a unha conclusión. Algúns ata continúan hoxe en día sendo un desafío para os matemáticos.

 Hipótese do continuo
 Consistencia dos axiomas da aritmética
 Congruencia e espazo euclidiano
 Xeometría de Euclides e xeometrías similares
 Grupos de Lie.
 Axiomatización da Física.
 Números trascendentes.
 A hipótese de Riemann.
 Lei de reciprocidade.
 Ecuacións diofantianas.
 Formas cuadráticas.
 Campos abelianos.<li>Funcións de varias variables.

<li>Teoría das invariantes.
<li>Cálculo enumerativo de Schubert.
<li>Topoloxía de curvas e ciclos límite.
<li>Funcións positivas.
<li>Poliedros congruentes.
<li>Problema de Dirichlet.
<li>Condicións do contorno.
<li>Problema de Riemann-Hilbert.
<li>Uniformidade.
<li>Cálculo variacional.

 Formalismo 
Seguindo a tendencia que se converteu en estándar a metade de século, o conxunto de problemas de Hilbert tamén constituía unha especie de manifesto, que abriu a vía para o desenvolvemento da escola do Formalismo matemático, unha das tres escolas matemáticas máis importantes do século XX. De acordo co formalismo, a matemática é un xogo -carente de significado- no que un o practica con símbolos carentes de significado de acordo a unhas regras formais establecidas de antemán. Xa que logo é unha actividade de pensamento autónoma. Con todo, hai marxe para a dúbida respecto diso de se a propia visión de Hilbert era simplistamente formalista neste sentido.
 O programa de Hilbert 

En 1920 propuxo de forma explícita un proxecto de investigación (en metamatemática, como se chamou entón) que acabou sendo coñecido como programa de Hilbert. Quería que a matemática fose formulada sobre unhas bases sólidas e completamente lóxicas. Cría que, en principio, isto podía lograrse, mostrando que:

 toda a matemática siguese dun sistema finito de axiomas escolleitos correctamente; e
 que tal sistema axiomático pódese probar consistente.

Parecía ter razóns técnicas e filosóficas para formular esta proposta. Isto afirmaba o seu desgusto polo que se deu a coñecer como ignorabimus, que aínda era un problema activo no seu tempo dentro do pensamento alemán, e que podía rastrexarse nesa formulación ata Emil du Bois-Reymond.

O programa segue sendo recoñecíbel na filosofía da matemática máis popular, onde se lle chama normalmente formalismo. Por exemplo, o grupo Bourbaki adoptou unha versión selectiva e diluída como adecuada para os requisitos dos seus proxectos xemelgos de: (a) escribir traballos fundamentais enciclopédicos, e (b) dar soporte ao sistema axiomático como ferramenta de investigación. Este enfoque ha ter éxito e influencia en relación co traballo de Hilbert na álxebra e na análise funcional, pero non conseguiu callar igual cos seus intereses en física e lóxica.

Hilbert describía en 1919:

Hilbert publicou a súa visión dos fundamentos das matemáticas nun traballo de 2 volumes chamado Grundlagen der Mathematik , publicado conxuntamente con Paul Bernays en 1934 e 1939.
 O traballo de Gödel 
Hilbert e os matemáticos de talento que traballaron con el nesta empresa estaban dedicados ao proxecto. O seu intento de dar soporte á matemática axiomatizada con principios definidos, que eliminaría as incertezas teóricas, ía con todo a acabar en fracaso.

Gödel demostrou que non se podía demostrar a completude de ningún sistema formal non contraditorio que fose suficientemente amplo para incluír polo menos a aritmética, só mediante os seus propios axiomas. En 1931 o seu teorema da incompletude mostrou que o ambicioso plan de Hilbert era imposible tal como se suscitaba. O segundo requisito non podía combinarse co primeiro de forma razoable, mentres o sistema axiomático sexa xenuinamente finito.

Con todo, o teorema de completude non di nada respecto diso da demostración da completude da matemática mediante un sistema formal diferente. Os logros posteriores da teoría da demostración como mínimo clarificaron a relación da consistencia coas teorías de interese principal para os matemáticos. O traballo de Hilbert empezara lóxico no seu camiño á clarificación; a necesidade de entender o traballo de Gödel levou entón ao desenvolvemento da teoría da computabilidade e logo da lóxica matemática como disciplina autónoma na década de 1930-1940. Deste 'debate' naceu directamente a base para a informática teórica de Alonzo Church e Alan Turing.

 A escola de Gotinga 
Entre os alumnos de Hilbert atópanse Hermann Weyl, o campión mundial de xadrez Emanuel Lasker, Ernst Zermelo e Carl Gustav Hempel. John von Neumann foi asistente seu. Na Universidade de Gotinga, Hilbert atopouse rodeado por un círculo social constituído por algúns dos matemáticos máis importantes do século XX, como Emmy Noether e Alonzo Church, Richard Courant, Edmund Landau, Paul Bernays etc.

 Análise funcional 

Ao redor de 1909, Hilbert dedicouse ao estudo de ecuacións diferenciais e integrais; o seu traballo tivo consecuencias directas en partes importantes da análise funcional moderna. Para poder levar a cabo estes estudos, Hilbert introduciu o concepto dun espazo euclidiano de infinitas dimensións, chamado máis tarde espazo de Hilbert. O seu traballo nesta parte da análise proporcionou a base de importantes contribucións á física matemática nas dúas décadas seguintes, aínda que en direccións que por entón non se podían anticipar.
Máis tarde, Stefan Banach amplificou o concepto, definindo os espazos de Banach. O espazo de Hilbert é por si mesma a idea máis importante da análise funcional, que creceu o seu ao redor durante o século XX.

 Física 
Ata 1912, Hilbert foi de forma case exclusiva un matemático «puro». Cando planeaba facer unha visita a Bonn, onde estaba inmerso no estudo da física, o seu amigo e colega matemático Hermann Minkowski facía chistes dicindo que tiña que pasar 10 días en corentena antes de poder visitar a Hilbert. En realidade, Minkowski parece ser responsable da maioría de investigacións de Hilbert en física anteriores a 1912, incluído o seu seminario conxunto sobre o tema en 1905.

En 1912, tres anos tras a morte do seu amigo, cambiou o seu obxectivo cara a este tema de forma case exclusiva. Arranxou que se lle asignase un «titor en física». Empezó estudando a teoría cinética dos gases e pasou logo á teoría elemental de radiación e á teoría molecular da materia. Mesmo tras o estalido da guerra en 1914, continuou celebrando seminarios e clases onde se seguían de preto os traballos de Einstein entre outros.

Hilbert invitou a Einstein a Gotinga para que impartise unha semana de leccións entre xuño e xullo de 1915 sobre relatividade xeral e a súa teoría da gravidade en desenvolvemento . O intercambio de ideas levou á forma final das ecuacións de campo da Relatividade xeral, en concreto as ecuacións de campo de Einstein e a acción de Einstein-Hilbert. Aínda que Einstein e Hilbert non chegaron nunca a enlearse nunha disputa pública sobre prioridade, houbo algo de discusión sobre o descubrimento das ecuacións de campo.

Ademais, o traballo de Hilbert anticipou e asistiu a varios avances na formulación matemática da mecánica cuántica. O seu traballo foi clave para o de Hermann Weyl e John von Neumann sobre a equivalencia matemática da mecánica de matrices de Werner Heisenberg e a ecuación de onda de Erwin Schrödinger, e o seu espazo de Hilbert xoga un papel importante na teoría cuántica. En 1926, von Neumann mostrou que se os estados atómicos se entendesen como vectores no espazo de Hilbert, entón se corresponderían tanto coa teoría de función de onda de Schrödinger coma coas matrices de Heisenberg.

Mediante esta inmersión na física, traballou en darlle rigor á matemática que a sostén. Aínda que é moi dependente da matemática avanzada, o físico tende a ser «descoidado» con ela. Para un matemático «puro» como Hilbert, isto era «feo» e difícil de entender. Ao empezar a comprender a física e o xeito en que os físicos usaban a matemática, desenvolveu unha teoría matematicamente coherente para o que encontrou, principalmente na área das ecuacións integrais. Cando o seu colega Richard Courant escribiu o clásico Métodos de física matemática incluíu algunhas ideas de Hilbert, e engadiu o seu nome como coautor mesmo aínda que Hilbert non chegou a contribuír ao escrito. Hilbert dixo que «a física é demasiado dura para os físicos», implicando que a matemática necesaria estaba lonxe do seu alcance polo xeral; o libro de Courant-Hilbert facilitoulles as cousas.

 Teoría de números 
Hilbert unificou o campo da teoría alxébrica de números co seu tratado de 1897 Zahlbericht (literalmente 'informe sobre números'). Abateu o problema de Waring no sentido amplo. Desde entón tivo pouco máis que dicir sobre o tema; pero a urxencia das formas modulares de Hilbert na disertación dun estudante implica que o seu nome está máis unido a unha área importante.

Propuxo unha serie de conxecturas sobre a teoría de corpos de clases. Os conceptos foron moi influentes, e a súa propia contribución queda patente nos nomes do corpo de clase de Hilbert e o símbolo de Hilbert da teoría local de corpos de clases. Os resultados sobre estas conxecturas quedaron probados na súa maioría sobre 1930, tralo importante traballo de Teiji Takagi que o estableceu como o primeiro matemático xaponés de nivel internacional.

Hilbert non traballou nas áreas principais da teoría analítica de números, pero o seu nome quedou unido á conxectura de Hilbert-Pólya, por razóns anecdóticas.
 Charlas, ensaios e contribucións misceláneas 
miniatura|170px|8 pasos da construción da curva fractal de Hilbert.
 O seu paradoxo do Grand Hotel, unha meditación sobre as estrañas propiedades do infinito, úsase a miúdo en textos populares sobre números cardinais infinitos.
 A curva de Hilbert é unha curva fractal continua que foi descrita por primeira vez por David Hilbert en 1891.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 1918. "Axiomatic thought," 1115-14.
 1922. "The new grounding of mathematics: First report," 1115-33.
 1923. "The logical foundations of mathematics," 1134-47.
 1930. "Logic and the knowledge of nature," 1157-65.
 1931. "The grounding of elementary number theory," 1148-56.
 1904. "On the foundations of logic and arithmetic," 129-38.
 1925. "On the infinite," 367-92.
 1927. "The foundations of mathematics," con comentarios de Weyl e un apéndice de Bernays, 464-89.





















 Ligazóns externas 
 Problemas matemáticos, de David Hilbert, tradución de Xosé Nicanor Alonso Álvarez.

 O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «David Hilbert» MacTutor History of Mathematics archive 

 Os 23 problemas de Hilbert 
 O programa de Hilbert 

Categoría:Matemáticos de Alemaña
Categoría:Nados en Kaliningrado
Categoría:Nados en 1862
Categoría:Finados en 1943
Categoría:Artigos que toda Wikipedia debería ter (Biografías)
Categoría:Membros da Royal Society
Categoría:Alumnos da Universidade de Königsberg
Categoría:Profesores da Universidade de Gotinga
Categoría:Profesores da Universidade de Königsberg