Genus (matemáticas)

En matemáticas, o genus (ou xénero) ten varios significados diferentes, mais moi relacionados. Intuitivamente, o genus é o número de "buratos" dunha superficie. Unha esfera ten genus 0, mentres que un toro ten genus 1.

 Topoloxía 

 Superficies orientábeis 
miniatura| A cunca de café e a rosquilla que se mostran nesta animación teñen genus 1.
O genus dunha superficie conexa e orientábel é un número enteiro que representa o número máximo de cortes ao longo de curvas simples pechadas que non se intersecan sen que se desconecte a variedade resultante. É igual ao número de asas que hai. 

Alternativamente, pódese definir en termos da característica de Euler , a través da relación  para superficies pechadas, onde  é o genus. Para superficies con  compoñentes fronteira, a ecuación sería .

Por exemplo:

 A esfera  e un disco ambos os dous teñen genus cero.
 Un toro ten genus 1, así como a superficie dunha cunca de café con asa.

A construción explícita de superficies do genus g dáse no artigo sobre o polígono fundamental.

 Superficies non orientábeis 
O genus non orientábel, demigenus ou genus de Euler dunha superficie pechada non orientábel conexa é un número enteiro positivo que representa o número de casquetes cruzados unidos a unha esfera. Alternativamente, pódese definir para unha superficie pechada en termos da característica de Euler χ, mediante a relación χ = 2 − k, onde k é o genus non orientábel.

Por exemplo:

 Un plano proxectivo real ten un genus 1 non orientábel.
 Unha botella Klein ten o genus 2 non orientábel.

 Nó 
O genus dun nó K defínese como o genus mínimo de todas as superficies de Seifert para K. Unha superficie de Seifert dun nó é, porén, unha variedade con fronteira, sendo a fronteira o nó, é dicir, homeomorfo á circunferencia unitaria. O genus de tal superficie defínese como o genus da 2-variedade, que se obtén colando o disco unitario ao longo da fronteira.

 Corpo con asas 
O genus dun corpo con asas tridimensional é un número enteiro que representa o número máximo de cortes ao longo dos discos mergullados sen que sexa non conexa a variedade resultante. É igual ao número de asas que ten.

Por exemplo:

 Unha bóla ten genus 0.
 Un toro sólido D2 × S1 ten genus 1.

 Teoría de grafos 
O genus dun grafo é o número enteiro mínimo n tal que o grafo pode ser debuxado nunha esfera con n asas sen cruzarse (é dicir, unha superficie orientada de genus n). Así, un grafo plano ten o genus 0, porque se pode debuxar nunha esfera sen cruzarse.

Na teoría de grafos topolóxicos hai varias definicións do genus dun grupo. Arthur T. White introduciu o seguinte concepto: o genus dun grupo G é o genus mínimo dun grafo de Cayley (conexo, non orientado) para G.

 Xeometría alxébrica 
Hai dúas definicións relacionadas de genus de calquera esquema alxébrico proxectivo : o  genus aritmético e o  genus xeométrico.  Cando  é unha curva alxébrica con corpo de definición os números complexos, e se  non ten puntos singulares, entón estas definicións coinciden e coinciden coa definición topolóxica aplicada á superficie de Riemann de  (a súa variedade de puntos complexos). Por exemplo, a definición de curva elíptica a partir da xeometría alxébrica está ligada á curva proxectiva non singular de genus 1 cun punto racional dado sobre ela.

Polo teorema de Riemann-Roch, unha curva plana de grao irredutíbel  dada polo lugar de esvaecemento dunha sección  ten genus xeométrico



onde  é o número de singularidades cando se contan correctamente.

 Xeometría diferencial 
En xeometría diferencial, o genus dunha variedade orientada  pode definirse como un número complexo  suxeito ás condicións



  se  e  son cobordantes.

Noutras palabras,  é un homomorfismo de aneis , onde  é o anel de cobordismo orientado de Thom.

O genus  é multiplicativo para todos os fibrados de variedades de espinor cunha estrutura compacta conexa se  é unha integral elíptica como  para algúns  

Este genus chámase genus elíptico.

A característica de Euler  non é un genus neste sentido xa que non é invariante en relación aos cobordismos.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Grupo (matemáticas)
 Genus aritmético
 Genus xeométrico
 Genus dunha forma cadrática
 Espinor

Categoría:Topoloxía
Categoría:Xeometría
Categoría:Teoría de grafos