Derivada parcial

En matemáticas, unha derivada parcial dunha función de diversas variables, é a súa derivada respecto a unha desas variables mantendo as outras como constantes. As derivadas parciais son útiles no cálculo vectorial e na xeometría diferencial.

A derivada parcial dunha función f respecto á variable x represéntase con calquera das seguintes notacións equivalentes:

Onde  é a letra 'd' redondeada, coñecida como o 'd de Jacobi'.

Cando unha magnitude  é función de diversas variables (,,,), é dicir:

Ao realizar esta derivada obtemos a expresión que nos permite obter a pendente da recta tanxente a dita función  nun punto dado. Esta recta é paralela ao plano formado polo eixe da incógnita respecto á cal se fixo a derivada e o eixe z.

Analiticamente o gradiente dunha función é a máxima pendente de dita función na dirección que se elixa. Visto desde a álxebra linear, a dirección do gradiente indícanos cara a onde hai maior variación na función.

 Introdución 
Supoñamos que  é unha función de máis dunha variable, é dicir, unha función real de variable vectorial. Para o caso,

miniatura|300px|Un gráfico de z = x2 + xy + y2. Queremos encontrar a derivada parcial en (1, 1, 3) que deixa y constante; a correspondente liña tanxente é paralela ao eixe x.

É difícil describir a derivada de tal función, xa que existe un número infinito de liñas tanxentes en cada punto da súa superficie. A derivación parcial é o acto de elixir unha desas liñas e encontrar a súa pendente. Xeralmente, as liñas que máis interesan son aquelas que son paralelas ao eixe x, e aquelas que son paralelas ao eixe y.


no punto (1, 1, 3),

ou como "a derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) é 3."

 Exemplos 
miniatura|O volume dun cono depende da altura (h) e o radio (r)
 Considera o volume V dun cono, este depende da altura h do cono e o seu radio r de acordo coa fórmula

As derivadas parciais de V respecto a r e h son:

 Outro exemplo, dada a función  tal que:

a derivada parcial de   respecto de  é:

mentres que con respecto de  é:

 Definición formal 
Como as derivadas nunha variable, as derivadas parciais están definidas como o límite. Onde U é un subconxunto aberto de Rn e f : U → R unha función. Definimos derivada parcial de f no punto a = (a1,..., an) ∈ U con respecto á  i-ésima variable xi como:

Ou visto respecto á derivada direccional:

onde  é o vector unitario do eixe respecto ao que se deriva ().

Se todas as derivadas parciais existen no punto a, a función non necesariamente é continua nese punto. Mais, se todas as derivadas parciais existen arredor de a e son continuas, entón a función non só é continua senón ademais diferenciable onda a. Neste caso, f é unha función C1.

 Notación 
Para o seguinte exemplo, f será unha función de x e y.

 Derivadas parciais de primeira orde:

Derivadas parciais (dobres) de segunda orde:

Derivadas cruzadas de segunda orde:

 Termodinámica 
En termodinámica e outras áreas da física emprégase a seguinte notación:

Que significa que  e entón:

Esta notación úsase pois frecuentemente unha magnitude pode expresarse como función de diferentes variables polo que en xeral:

Xa que a forma precisa das funcións  e  é diferente, é dicir, trátanse de funcións diferentes.

 Derivadas parciais de orde superior 
Á súa vez, a derivada parcial  pode verse como outra función definida en U e derivarse parcialmente. Se todas as súas derivadas parciais existen e son continuas, chamamos a f unha función C2; neste caso, as derivadas parciais poden ser intercambiadas polo teorema de Clairaut tamén coñecido como teorema de Schwartz.

En R2, se se cumpre o xa dito, asegúrase que:

 Véxase tamén 
Outros artigos
 Derivada
 Derivada total
 Derivada de Lie
 Derivada covariante
 Jacobiano

Categoría:Análise matemática