Estatística de Bose-Einstein

A estatística de Bose-Einstein é un tipo de mecánica estatística aplicable á determinación das propiedades estatísticas de grandes conxuntos de partículas indistinguibles capaces de coexistir no mesmo estado cuántico (bosóns) en equilibrio térmico. A baixas temperaturas, os bosóns tenden a ter un comportamento cuántico similar que pode chegar a ser idéntico a temperaturas próximas ao cero absoluto nun estado da materia coñecido como condensado de Bose-Einstein, producido por primeira vez en laboratorio no ano 1995. O condensador Bose-Einstein funciona a temperaturas próximas do cero absoluto, -273,16 °C (0 Kelvin).

A estatística de Bose-Einstein foi introducida para estudar as propiedades estatísticas dos fotóns en 1920 polo físico hindú Satyendra Nath Bose e xeneralizada para átomos e outros bosóns por Albert Einstein en 1924. Este tipo de estatística está intimamente relacionada coa estatística de Maxwell-Boltzmann (derivada inicialmente para gases) e as estadísticas de Fermi-Dirac (aplicables a partículas denominadas fermións sobre as que rexe o principio de exclusión de Pauli que impide que dous fermións compartan o mesmo estado cuántico).

A estatística de Bose-Einstein redúcese á estatística de Maxwell-Boltzmann para enerxías suficientemente elevadas.

 Formulación matemática 

O número de partículas nun estado de enerxía i é:

onde:
 é o número de partículas nun estado i.
 é a dexeneración cuántica do estado i ou número de funcións de onda diferentes que posúen dita enerxía.
 é a enerxía do estado i.
 é o potencial químico.
 é a constante de Boltzmann.
 é a temperatura.

A estatística de Bose-Einstein redúcese á estadística de Maxwell-Boltzmann para enerxías: 

Derivación
Dado que os sistemas bosónicos son sistemas de partículas indistinguibles, os estados cuxa única diferenza é a permutación de estados de dúas partículas son idénticos. Deste xeito, un estado do sistema estará univocamente definido polo número de partículas que se encontren nun determinado estado enerxético. Denotarase por  o estado enerxético r-ésimo, por  o número de partículas no estado r-ésimo e R cada unha das posibles combinacións de números de ocupación. A función de partición resulta:

A anterior expresión contén todas as combinacións posibles de  entre 0 e  (posto que nun sistema bosónico o número de partículas por estado cuántico non está limitado) de forma que pode ser reescrita do seguinte xeito:

Aplicando que:

Tense que:

De modo que:

Debido a que poden existir diferentes estados cuánticos cunha mesma enerxía, o número de partículas cunha determinada enerxía virá dado por:

sendo  a dexeneración de tal enerxía.

Na anterior expresión obsérvase que o potencial químico será menor que todas as enerxías, do contrario o número medio de partículas nun estado podería ser negativo.

 Aplicacións 
 A distribución de enerxía da radiación do corpo negro dedúcese da aplicación da estatística de Bose-Einstein aos fotóns que compoñen a radiación electromagnética.
 A capacidade calorífica dos sólidos tanto a altas como a baixas temperaturas pode ser deducida a partir da estatística de Bose-Einstein aplicada aos fonóns, cuasipartículas que dan conta das excitacións da rede cristalina. En particular a lei de Dulong-Petit pode ser deducida da estatística de Bose-Einstein.

Categoría:Mecánica cuántica