Corpo (álxebra)

Na álxebra abstracta, un corpo é unha estrutura alxébrica na cal se dan as operacións de adición e multiplicación que ademais cumpren as propiedades asociativa, conmutativa e distributiva, e posúen un inverso aditivo e un inverso multiplicativo, que permiten efectuar as operacións de resta e división (excepto a división por cero). Estas propiedades xa son familiares da aritmética de números ordinarios.

Os corpos son obxectos importantes de estudo na álxebra posto que proporcionan a xeneralización apropiada de dominios de números tales como os conxuntos de números racionais, dos números reais ou dos números complexos.

O concepto dun corpo emprégase tamén para definir o concepto de espazo vectorial e as transformacións nestes obxectos, dadas por matrices, obxectos que na álxebra linear os seus compoñentes poden ser elementos dun corpo arbitrario. A teoría de Galois estuda as relacións de simetría nas ecuacións alxébricas, desde a observación do comportamento das súas raíces e as extensións de corpos correspondentes e a súa relación cos automorfismos de corpos correspondentes.

 Definición 

Un corpo é un anel de división conmutativo, é dicir, un anel conmutativo e unitario no que todo elemento distinto de cero é invertible respecto do produto. Polo tanto, un corpo é un conxunto K no que se definiron dúas operacións, + e ·, chamadas suma e multiplicación respectivamente, que cumpren as seguintes propiedades:

K é cerrado para a suma e a multiplicación
 Para todo a, b en K, a + b e a * b pertencen a K (ou máis formalmente, + e * son operacións matemáticas en K);

Asociatividade da suma e a multiplicación
 Para todo a, b, c en K, a + (b + c) = (a + b) + c e a * (b * c) = (a * b) * c.

Conmutatividade da suma e a multiplicación
 Para todo a, b en K, a + b = b + a e a * b = b * a.

Existencia dun elemento neutro para a suma e a multiplicación
 Existe un elemento 0 en K, tal que para todo a en K, a + 0 = a. 
 Existe un elemento 1 en K diferente a 0, tal que para todo a en K, a * 1 = a.

Existencia de elemento oposto e de inversos:
 Para cada a en K, existe un elemento -a en K, tal que a + (- a) = 0. 
 Para cada a ≠ 0 en K, existe un elemento a -1 en K, tal que a * a-1 = 1.

Distributividade da multiplicación respecto da suma
 Para todo a, b, c, en K, a * (b + c) = (a * b) + (a * c).

O requisito a ≠ 0 asegura que o conxunto que contén só un cero non sexa un corpo, e de paso elimina a posibilidade de que no corpo existan divisores de cero distintos de 0, o que o converte tamén nun dominio de integridade. Directamente dos axiomas, pódese demostrar que (K, +) e (K - { 0 }, *) son grupos conmutativos e que polo tanto (véxase a teoría de grupos) o oposto -a e o inverso a−1 son determinados unicamente por a. Ademais, o inverso dun produto é igual ao produto dos inversos:

 (a*b)-1 = a-1 * b-1

con tal que a e b sexan diferentes de cero. Outras regras útiles son:

 -a = (-1) * a

e máis xeralmente

 - (a * b) = (-a) * b = a * (-b)

así como

 a * 0 = 0,

todas regras familiares da aritmética elemental.

 Exemplos de corpos 
 Racionais e alxébricos 

Os números racionais  onde está incluído o conxunto  dos números enteiros, forman un corpo.

Os números complexos conteñen o corpo de números alxébricos, a clausura alxébrica de Q.

 Números reais, complexos e p-ádicos 

Os números reais  coas operacións usuais forman un corpo.

Os números hiperreais forman un corpo que contén os reais máis os números infinitesimais e infinitos. Os números surreais forman un corpo que contén os reais, a excepción do feito de que son unha clase propia, non un conxunto. O conxunto de todos os números surreais coa condición de seren menor que un certo cardinal inaccesible é un corpo.

Os números reais conteñen varios subcorpos interesantes: os números reais alxébricos, os números computables, e os números definibles.

Os números complexos  consisten en expresións do tipo
a + bi
onde i é a unidade imaxinaria, i.e., un número (non real) que satisfai i2 = −1.
A adición e multiplicación dos números reais son definidos de tal maneira para que todos os axiomas do corpo se cumpren para C. Por exemplo, a lei distributiva cumpre

(a + bi)·(c + di) = ac + bci + adi + bdi2, que é igual a ac−bd + (bc + ad)i.
Os números racionais pódense ampliar aos corpos de números p-ádicos para cada número primo p.

 Corpos finitos 

O corpo máis pequeno ten só dous elementos: 0 e 1. É denotado por  o  e pode ás veces ser visto nas dúas táboas que seguen:

Ten aplicacións importantes na informática, especialmente na criptografía e na teoría da codificación.

Máis xeralmente, para un número primo , o conxunto dos números enteiros módulo  é un corpo finito cos  elementos: isto pode escribirse como  onde as operacións son definidas realizando a operación en , dividindo por  e tomando o resto, ver aritmética modular.

 Corpos de funcións 
Para un corpo dado K, o conxunto K(X) de funcións racionais na variable X con coeficientes en K é un corpo; isto defínese como o conxunto de cocientes de polinomios con coeficientes en K.

Se K é corpo, e p(X) é un polinomio irredutible nun anel de polinomios F[X], entón o cociente F[X]/<p(X)> é un corpo cun subcorpo isomorfo a K. Por exemplo, R[X]/(X2+1) é un corpo (de feito, é isomorfo con respecto ao corpo dos números complexos).

Cando K é un corpo, o conxunto K[[X]] de series formais de Laurent sobre K é un corpo.

Se V é unha variedade alxébrica sobre K, entón as funcións racionais V → K forman un corpo, o corpo de funcións V. Se S é unha superficie de Riemann, entón as funcións meromorfas de S → C forman un corpo.

 Ultrafiltros 

Se I é un conxunto de índices, U é un ultrafiltro sobre I, e Ki é un corpo para cada i en I, o ultraproduto de Ki (usando U) é un corpo.

 Subcorpos 

Sexan E e K dous corpos con E un subcorpo de K (é dicir, un subconxunto de K que contén 0 e 1, cerrado baixo as operacións + e * de K e coas súas propias operacións definidas por restrición). Sexa x un elemento de K non en E. Entón E(x) defínese como o subcorpo máis pequeno de K que contén a E e a x. Por exemplo, Q(i) é o subcorpo dos números complexos C que consisten en todos os números da forma a+bi onde a e b son números racionais.

 Algúns teoremas iniciais 

O conxunto de elementos diferentes de cero dun corpo K (denotado tipicamente por K×) é un grupo abeliano baixo multiplicación. Cada subgrupo finito de K× é cíclico.
A característica de calquera corpo é cero ou un número primo. A característica defínese como o número enteiro positivo máis pequeno n tal que n·1 = 0, ou cero se non existe tal n; aquí n·1 significa n sumandos 1 + 1 + 1 +... + 1).
Se  é unha potencia dun número primo, entón existe (salvo isomorfismo) exactamente un corpo finito con  elementos. Ademais, estes son os únicos corpos finitos posibles.
Como anel, un corpo non ten ningún ideal excepto {0} e el mesmo.
Todo anel de división finito é un corpo (teorema de Wedderburn).
Para cada corpo K, existe (salvo isomorfismo) un corpo único G que contén a K, é alxébrico sobre K, e é alxebricamente pechado. G denomínase clausura alxébrica de K.

 Construcións de corpos 

 Subcorpos e ideais 

Se un subconxunto E dun corpo (K,+,*) xunto coas operacións *, + restrinxido a E é en si mesmo un corpo, entón denominase subcorpo de K. Tal subcorpo ten os mesmos 0 e 1 que K.

Sexa  un corpo, e . Dise que  é subcorpo de  ou que  é extensión de  se se cumpre que  é un corpo cando as operacións  e  se restrinxen a . En particular,  será entón un subanel de . Tense logo que  e  son subgrupos respectivos dos grupos abelianos  e .

Como todo corpo é un anel, poderíamos preguntarnos pola forma que teñen os seus ideais. Para empezar, como todo corpo é anel conmutativo, todo ideal pola esquerda é ideal (bilátero) e todo ideal pola dereita é tamén ideal (bilátero). Así pois, só hai que estudar os ideais do corpo.

Se  é ideal do corpo , entón todo elemento non nulo  terá inverso, , logo  é unha unidade de  [isto é, ], e terase que , é dicir, . Desta forma, os únicos ideais dun corpo son o propio corpo e o ideal nulo.

Corpo de fraccións 

Dado un corpo K, o corpo polinómico K(X) é o corpo de fraccións de polinomios en X con coeficientes en K, é dicir, os seus elementos son funcións racionais con coeficientes en K.

 Extensión de corpos 
Unha extensión alxébrica dun corpo K é o corpo máis pequeno que contén a K e unha raíz dun polinomio irredutible p(X) en K [X]. Alternativamente, é idéntico ao anel factor (ou cociente) K [X]/(p(X)), onde (p(X)) é o ideal xerado por p(X).

 Véxase tamén 
Ligazóns externas
 Field, en Math World 

Categoría:Teoría de corpos
Categoría:Teoría de aneis