Teorema do seno

Se nun triángulo ABC, as medidas dos lados opostos aos ángulos A, B e C son respectivamente a, b, c, entón;

 Demostración 
A pesar de ser dos teoremas trigonométricos máis usados e de ter unha demostración particularmente simple, é pouco común que se presente.

miniatura|263px|dereita|O teorema dos senos establece que a/sin(A) é constante.
Dado o triángulo ABC, denotamos por O o seu circuncentro e debuxamos a súa circunferencia circunscrita. Prolongando o segmento BO até cortar a circunferencia, obtense un diámetro BP.

Agora, o triángulo PBC é recto, posto que BP é un diámetro, e ademais os ángulos A e P son iguais, porque ambos son ángulos inscritos que abren o segmento BC (Véxase definición de arco capaz). Por definición da función trigonométrica seno, tense

onde R é o radio da circunferencia. Despexando 2R obtemos:

Repetindo o procedemento cun diámetro que pase por A e outro que pase por C, chégase a que as tres fraccións teñen o mesmo valor 2R e polo tanto son iguais.

A conclusión que se obtén acostuma chamarse teorema dos senos xeneralizado e establece que para un triángulo ABC onde a, b, c son os lados opostos aos ángulos A, B, C  respectivamente, se R denota o radio da circunferencia circunscrita, entón:

Pode enunciarse o teorema dunha forma alternativa:
'Nun triángulo, o cociente entre cada lado e o seno do seu ángulo oposto é constante e igual ao diámetro da circunferencia circunscrita.

 Aplicación 
O teorema do seno é utilizado para resolver problemas nos que se coñecen dous ángulos do triángulo e un lado oposto a un deles.
Tamén se usa cando coñecemos dous lados do triángulo e un ángulo oposto a un deles.

 Relación coa área do triángulo 
miniatura|Dúas fórmulas para calcular a área dun triángulo

Para un triángulo ABC, a área calcúlase como ah/2 onde h é a medida da altura sobre a base a. Novamente, por definición de seno, tense sen C = h/b ou o que é o mesmo h = b sen C, de modo que se cumpre:
.

Mais, o teorema dos senos implica que c = 2R sen C'', polo que ao substituír na expresión anterior obtense un novo teorema:

 Véxase tamén 
Outros artigos
 Trigonometría
 Triangulación
 Trigonometría esférica
 Función trigonométrica
 Xeometría do triángulo
 Teorema do coseno
 Teorema de Pitágoras

Seno
Categoría:Xeometría