Límite dunha función

O límite dunha función é un concepto fundamental do cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado ás funcións.

Informalmente, o feito de que unha función f teña un límite L nun punto c significa que o valor de f pode ser tan próximo a L como se desexe, tomando puntos suficientemente próximos a c, independentemente do que ocorra en c.

 Historia 

Aínda que implícita no desenvolvemento do cálculo dos séculos XVII e XVIII, a notación moderna do límite dunha función remóntase a Bolzano quen, en 1817, introduciu as bases da técnica épsilon-delta.MacTutor History of Bolzano Mais o seu traballo non foi coñecido mentres estivo vivo. Cauchy expuxo límites no seu Cours d'analyse (1821) e parece ter expresado a esencia da idea, pero non dunha maneira sistemática. A primeira presentación rigorosa da técnica feita pública foi dada por Weierstrass nos 1850 e 1860MacTutor History of Weierstrass. e desde entón converteuse no método estándar para traballar con límites.

A notación de escritura usando a abreviatura lim coa frecha debaixo é debida a Hardy, que a usou no seu libro A Course of Pure Mathematics en 1908.

 Definición formal 

 Funcións dunha variable real 
miniatura|250px|Visualización dos parámetros utilizados na definición de límite.

Se a función  ten límite  en  podemos dicir de maneira informal que a función  tende cara ao límite  próximo a  se se pode facer que  sexa tan próximo como queiramos de  dándolle valores a  para que sexa o suficientemente parecido a  mais sendo  distinto de .

Os conceptos próximo ou parecido son matematicamente pouco precisos. Por esta razón, dáse unha definición formal de límite que precisa estes conceptos que di:
O límite dunha función f(x), cando x tende a c é L se e só se para todo  existe un  tal que para todo número real x no dominio da función .

Isto, escrito en notación formal:



Esta notación dinos que se o límite existe, entón pódese estar tan preto del como queiramos. Se non se logra estar o suficientemente preto, entón a elección do δ non era a axeitada. A definición asegura que se o límite existe, entón é posible encontrar tal δ.

Non obstante, hai casos como por exemplo a función de Dirichlet  definida como:

onde non existe un número c para o cal exista . Polo tanto, para demostrar a anterior afirmación é necesario facer uso do feito de que cada intervalo contén tanto números racionais como irracionais.

 Límites laterais 
miniatura|O límite cando: x → x0+ ≠ x → x0-. Polo tanto, o límite cando x → x0 non existe.

x pode aproximarse a c tomando valores máis grandes que este (dereita):


ou tomando valores máis pequenos (esquerda):


Se os dous límites anteriores son iguais:


entón L pódese referir como o límite de f(x) en c. Dito doutro xeito, se estes non son iguais a L, entón o límite, como tal, non existe.

 Funcións en espazos métricos 
Existe outra maneira de definir o límite que ten que ver cos conceptos de bólas e veciñanzas:

Supóñase f : (M, dM) → (N, dN) unha función entre dous espazos métricos, p é un punto límite de M e L∈N. Dicimos que "o límite de f en c é L" e escribimos

se e só se para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, c) < δ, temos dN(f(x), L) < ε.

En termos de desigualdades, temos que o límite da función f(x) en x = c é L se se cumpre que para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x:

 , entón 

Da desigualdade 0 < |x - c| < δ obtense o seguinte:

 x pertence á veciñanza (c - δ, c) U (c, c + δ).
 x non é igual a c, pois 0 < |x - c| implica que x é distinto de c.
 A solución de |f(x) - L| < ε pertence ao intervalo (L - ε, L + ε).

Isto proporciona a clave de comprensión do concepto de límite, pois mentres que o valor de x está na veciñanza horizontal arredor do punto c e oca en c con radio delta e centro c, aínda cando nese punto c non estea definida, o valor de y está no intervalo vertical con centro en f(c) e radio épsilon.

 Unicidade do límite 

Se o límite dunha función existe, entón este é único.
Este teorema é válido en espazos topolóxicos Hausdorff.

Supoñamos que , vexamos que non pode ser que  tamén verifique a definición. Para isto tomamos unha veciñanza E de L e unha veciñanza E' de L' que non se interseccionen. Por definición de límite  para todo x nalgunha veciñanza oca de c, polo que non pode estar en E', evitando que o límite sexa L'.

 Propiedades dos límites 
 Propiedades xerais 
Se k é un escalar:

 Límite de  Expresión Unha constante   A función identidade   O produto dunha función e unha constante   Unha suma  Unha resta   Un produto   Un cociente   Unha potencia   Un logaritmo   O número e   Función f(x) acoutada e g(x) infinitesimal  .

 Indeterminacións 
Hai varios tipos de indeterminacións, entre elas as seguintes (considere  como o límite que tende a infinito e  o límite cando tende a 0; e non o número 0):
 Operación             Indeterminación Subtracción            Multiplicación         División               Elevación a potencia  

Exemplo.
0/0 é unha indeterminación, é dicir, non é posible, a priori, saber cal é o valor dun límite que tende a cero sobre outro que tamén tende a cero xa que o resultado non é sempre o mesmo. Por exemplo:

{| width="450px"
| 
| 
| 
|}

 Regra de l'Hôpital 

Esta regra fai uso da derivada e ten un uso condicional. Esta só pode usarse directamente en límites «equivalentes» a 0/0 ou a ±∞/±∞.
Outras indeterminacións requiren algunha manipulación alxébrica, polo xeral, establecer que o límite é igual a y, tomar o logaritmo natural en ambos membros, e entón aplicar a regra de l'Hôpital.



Por exemplo:

 Límites trigonométricos 






 Demostracións 
Nalgunhas demostracións, por exemplo, o segundo destes límites trigonométricos, utiliza a inecuación sin(x) < x < tan(x) no intervalo (0,π/2), que relaciona x coas funcións seno e tanxente. Logo dividimos por sin(x), obtendo:

Invertendo os termos da inecuación e cambiando os signos de desigualdade:

Calculando o límite cando x tende a 0:

O que é igual a:

Aplicando o teorema do sandwich, o límite necesariamente vale 1:

O terceiro dos límites demóstrase utilizando as propiedades dos límites e o valor obtido no límite anterior. É dicir:

 Notas 

 Véxase tamén 
 Límite matemático
 Límite superior e límite inferior
 Topoloxía de rede, unha xeneralización do concepto de límite.

 Ligazóns externas 
 Límites e continuidade de funcións  
 Límite en MathWorld 

Categoría:Funcións

nl:Limiet#Limiet van een functie