Operador de Laplace

En cálculo vectorial, o operador laplaciano é un operador diferencial elíptico de segunda orde, denotado como Δ, relacionado con certos problemas de minimización de certas magnitudes sobre un certo dominio. O operador ten ese nome en recoñecemento a Pierre Simon Laplace que estudou solucións de ecuacións diferenciais en derivadas parciais nas que aparecía dito operador.

Expresado en coordenadas cartesianas é igual á suma de todas as segundas derivadas parciais non mixtas dependentes dunha variable. Corresponde á div (grad φ), de onde sae o uso do símbolo delta (Δ) ou nabla cadrado () para representalo. Se  e  son un campo escalar e un campo vectorial respectivamente, o laplaciano de ambos pode escribirse en termos do operador nabla como:

 Problemas relacionados co operador laplaciano 
En física, o laplaciano aparece en múltiples contextos como a teoría do potencial, a propagación de ondas, a condución da calor, a distribución de tensións nun sólido deformable etc. Pero de todas estas situacións ocupa un lugar destacado na electrostática e na mecánica cuántica. Na electrostática, o operador laplaciano aparece na ecuación de Laplace e na ecuación de Poisson. Mentres que na mecánica cuántica o laplaciano da función de onda dunha partícula da enerxía cinética da mesma.
En matemáticas, as funcións tales que o seu laplaciano se anula nun determinado dominio, chámanse funcións harmónicas sobre o dominio. Estas funcións teñen unha excepcional importancia na teoría de funcións de variable complexa. Ademais o operador laplaciano é o ingrediente básico da teoría de Hodge e os resultados da cohomoloxía de Rham.

 Motivación da ubicuidade do operador laplaciano 
Unha das motivacións polas cales o laplaciano aparece en numerosas áreas da física é que as solucións da ecuación  nunha rexión U son funcións que minimizan o funcional de enerxía:

Para ver isto, supóñase que  é unha función, e 
 é unha función que se anula sobre a fronteira de U. Entón, 


onde a última igualdade séguese usando a primeira identidade de Green. Este cálculo mostra que se , entón o funcional de enerxía E é estacionario arredor de f. Reciprocamente, se E é estacionario arredor de f, entón  polo teorema fundamental do cálculo integral.

Outra razón da súa ubicuidade é que cando un escribe a ecuación de Laplace en forma diferenzas finitas apréciase que o laplaciano nun punto é a diferenza entre o valor da función no punto e o valor da función arredor do mesmo. É dicir, calquera magnitude que pode expresarse como unha magnitude fluxo que se conserva e satisfai a ecuación de Laplace.

 Propiedades do operador laplaciano 
O laplaciano é linear:

A seguinte afirmación tamén é certa:

 Operador laplaciano en diversos sistemas de coordenadas 
 Coordenadas cartesianas 
En coordenadas cartesianas (plano) bidimensionais, o laplaciano dunha función f é:

En coordenadas cartesianas tridimensionais:

En coordenadas cartesianas en :

 Coordenadas cilíndricas 
En coordenadas cilíndricas :

 Coordenadas esféricas 
En coordenadas esféricas : 

 Coordenadas curvilíneas ortogonais 
En coordenadas ortogonais xerais : 

Onde  son os factores de escala do sistema de coordenadas, que en xeral serán tres funcións dependentes das tres coordenadas curvilíneas.

 Función harmónica 
Unha función  dise que é harmónica en E se:

Exemplos de funcións harmónicas:

  sobre o plano euclídeo.
 O potencial gravitatorio dado por  é harmónico sobre o espazo euclídeo tridimensional.
 os harmónicos esféricos son funcións harmónicas sobre un dominio finito ou infinito, que aparecen na resolución de problemas con simetría esférica.

 Xeneralizacións do Laplaciano 
O laplaciano pode ser estendido a funcións definidas sobre superficies, ou en forma máis xeral, en variedades de Riemann e variedades seudoriemannianas.

 Operador de Laplace-Beltrami 
Unha extensión do laplaciano a funcións reais definidas sobre unha variedade é o operador de Laplace-Beltrami (denotado ). Defínese, en forma similar ao laplaciano, como a diverxencia do gradiente, onde o gradiente unha función f definida nunha variedade (seudo)riemaniana e a diverxencia dun campo vectorial X sobre a mesma veñen dados en compoñentes por:

Onde:
, é tensor 2-contravariante asociado ao tensor métrico.
, é a raíz cadrada do valor absoluto do determinante do tensor métrico.
O operador de Laplace-Beltrami dunha función escalar obtense como a diverxencia e o gradiente definidos como anteriormente, é dicir:

 Operador de Laplace-deRham 
En variedades riemannianas e seudoriemanninas existe outra xeneralización do laplaciano que o estende a k-formas, que é a base da cohomoloxía de Hodge-deRham. Esta extensión chamada operador de Laplace-deRham, e denotado como , defínese en termos da diferencial exterior (d) e a codiferencial exterior (δ) de k-formas ou alternativamente en termos da diferencial exterior e o operador dual de Hodge. Este operador de Laplace-deRham defínese como:

Onde a codiferencial pode reescribirse en termos da diferencial exterior e o operador dual de Hodge:

Onde n é a dimensión da variedade (seudo)riemanniana e k é a orde da k-forma α.

 Véxase tamén 
 Ligazóns externas 
 O operador laplaciano en MathWorld 

Categoría:Matemáticas