Límite superior e límite inferior

O límite superior é o máis grande dos dous, e o límite inferior o máis pequeno. Os límites superior e inferior só coinciden cando a secuencia é converxente (i.e., cando o límite é común).
En matemática defínese límite superior e límite inferior dunha sucesión (xn) como o maior e menor límite converxente das subsucesións de (xn). Analogamente a este, o límite superior e límite inferior para funcións reais defínese do mesmo xeito. O límite superior e o límite inferior son un substituto parcial para o límite, se é que este non existe.

 Definición formal 

Formalmente o límite inferior dunha sucesión  defínese como

ou tamén como

e denótase como  ou como . Analogamente defínese .

Estas definicións son útiles nun conxunto parcialmente ordenado nun sentido cuantitativo, e proporcionan que o supremo e o ínfimo existan. Nunha rede reticular completa sempre existen estes valores, polo que nese caso, cada sucesión ten un límite inferior e límite superior asociado.

Se existe o límite inferior e o límite superior dunha sucesión , entón cúmprese que 

 Propiedades 
Sexan  e  sucesións de números reais, entón cúmprense as seguintes afirmacións:






 Límites superior e inferior dunha sucesión de conxuntos 
Nalgunhas situacións, sobre todo na teoría da medida, é conveniente definir os conceptos de límite superior e inferior para unha secuencia de conxuntos.

Se  é unha sucesión de conxuntos, entón defínese:
 O límite superior é o conxunto formado por todos os elementos que pertencen a unha infinidade de conxuntos .
 O límite inferior é o conxunto formado por todos os elementos que pertencen a cada un dos  excepto por un número finito deles.

Dito dun xeito formal:



Cúmprese sempre que . Cando estes conxuntos coinciden, dicimos que o límite existe:

Véxase tamén
Ínfimo e supremo

 Bibliografía 
 Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Editorial De Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Edición normal), ISBN 3-11-013625-2 (edición de bolsillo), p. 93 (en Sucesiones de conjuntos).

Categoría:Análise matemática
Categoría:Teoría da orde
Categoría:Teoría de conxuntos