Regra do produto (cálculo)

Na análise matemática, a regra do produto ou regra de Leibniz para a derivación dun produto, establece como derivar o produto de funcións derivables.

Pode declararse informalmente como: "A derivada dun produto de funcións é a derivada da primeira pola segunda sen derivar máis a derivada da segundo pola primeira sen derivar". Matematicamente:

Ou usando a notación de Leibniz:

Na resolución final de suma de produtos, a orde é indiferente, o importante é non confundir f(x), g(x), f'(x) e g'(x).

 Demostración 

Pode chegarse á regra usando as características do límite e a definición da derivada como o límite do cociente da diferenza.

Entón, temos:

supoñendo que g e h son diferenciables na variable x. Logo

Como

tense que

Como h é continua en x, tense que

e pola definición de derivada, e a diferenciabilidade de h e g en x, tense tamén que

 e 

Así, xustifícase a descomposición dos produtos dentro do límite, e reorganizando todo chégase á regra do produto.

 Exemplo 
Supoñendo que se quere derivar:


Usando a regra do produto, obtense a derivada:


xa que a derivada de  é 

e a derivada de  é .

Regra xeneralizada do produto
Esta regra pode ser xeneralizada para a obtención do termo dunha derivación sucesiva de produto.
Sexan f e g funcións n-veces diferenciables. A derivada enésima do produto  vén dada por:

onde  é chamado coeficiente binomial.

Isto próbase a través da regra do produto e a indución.

 Véxase tamén 
Ligazóns externas
 Product Rule, en Math World 

Categoría:Análise matemática
Categoría:Cálculo diferencial