Teorema do coseno

O teorema do coseno é unha xeneralización do teorema de Pitágoras para triángulos non rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

O teorema relaciona un lado dun triángulo cos outros dous e co coseno do ángulo formado por estes dous lados:

Dado un triángulo ABC, sendo α, β, γ, os ángulos, e a, b, c, os lados respectivamente opostos a estes ángulos, entón:

Na maioría dos idiomas, este teorema é coñecido co nome de teorema ou lei dos cosenos, denominación non obstante relativamente tardía. En francés leva o nome do matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificou os resultados dos seus predecesores.

miniatura|280px|dereita|Fig. 1 - Notación máis habitual dun triángulo.

 Historia 

Os Elementos de Euclides, que data do século III a. C., contén xa unha aproximación xeométrica da xeneralización do teorema de Pitágoras: as proposicións 12 e 13 do libro II, tratan separadamente o caso dun triángulo obtusángulo e o dun triángulo acutángulo.
A formulación da época é arcaica xa que a ausencia de funcións trigonométricas e da álxebra obrigou a razoar en termos de diferenzas de áreas. Por iso, a proposición 12 utiliza estes termos:

Sendo ABC o triángulo, co ángulo obtuso en C, e BH a altura respecto do vértice B (cf. Fig. 2 contigua), a notación moderna permite formular o enunciado así:

miniatura|Fig. 2 - Triángulo ABC con altura BH.

Faltaba esperar a trigonometría árabe-musulmá da Idade Media para ver o teorema evolucionar: o astrónomo e matemático al-Battani xeneralizou o resultado de Euclides na xeometría esférica a principios do século X, o que permitiu efectuar os cálculos da distancia angular entre o Sol e a Terra. Foi durante o mesmo período cando se estableceron as primeiras táboas trigonométricas, para as funcións seno e coseno. Iso permitiulle a Ghiyath al-Kashi, matemático da escola de Samarcanda, de poñer o teorema baixo unha forma utilizable para a triangulación durante o século XV. A propiedade foi popularizada en occidente por François Viète quen, ao parecer, redescubriuno independentemente.

Foi a finais do século XVII cando a notación alxébrica moderna, canda a notación moderna das funcións trigonométricas introducida por Euler no seu libro Introductio in analysin infinitorum, permitiron escribir o teorema baixo a súa forma actual, estendéndose o nome de teorema (ou lei) do coseno.

 O teorema e as súas aplicacións 
O teorema do coseno é tamén coñecido polo nome de teorema de Pitágoras xeneralizado, xa que o teorema de Pitágoras é un caso particular: cando o ángulo  é recto ou, dito doutro xeito, cando , o teorema do coseno redúcese a:

que é precisamente a formulación do teorema de Pitágoras.

miniatura|Fig. 3 - Utilización do teorema do coseno: ángulo ou lado descoñecido.
O teorema emprégase en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, e saber determinar
 o terceiro lado dun triángulo cando coñecemos un ángulo e os lados adxacentes:

 os ángulos dun triángulo cando coñecemos os tres lados:

Estas fórmulas son difíciles de aplicar no caso de medicións de triángulos moi agudos utilizando métodos simples, é dicir, cando o lado c é moi pequeno respecto os lados a e b —ou o seu equivalente, cando o ángulo γ é moi pequeno.

Existe un corolario do teorema do coseno para o caso de dous triángulos semellantes ABC e A'B'C'

 Demostracións 
 Por repartición de áreas 

miniatura|280px|Fig. 4a - Demostración do teorema do coseno por repartición de áreas, cando o ángulo é agudo.Un certo número das demostracións do teorema fan intervir un cálculo de áreas. Convén en efecto remarcar que 
 a², b², c² son as áreas dos cadrados de lados respectivos a, b, c.
 ab cos(γ) é a área dun paralelogramo de lados a e b que forman un ángulo de 90°-γ.

Dado que cos(γ) cambia de signo dependendo de se γ é maior ou menor a 90°, faise necesario dividir a proba en 2 casos

A figura 4a (contigua) divide un heptágono de dúas maneiras diferentes para demostrar o teorema do coseno no caso dun ángulo agudo. A división é a seguinte:
 En verde, as áreas a², b² á esquerda, e a área , c² á dereita.
 En vermello, o triángulo ABC en ambos diagramas e en amarelo triángulos congruentes ao ABC.
 En azul, paralelogramos de lados a e b con ángulo 90°-γ.

Igualando as áreas e cancelando as figuras iguais obtense que , equivalente ao Teorema do coseno.

miniatura|280px|Fig. 4b - Demostración do teorema do coseno por repartición de áreas, cando o ángulo é obtuso.
A figura 4b (contigua) divide un hexágono de dúas maneiras diferentes para demostrar o teorema do coseno no caso dun ángulo obtuso. A figura mostra
 En verde a², b² á esquerda e c² á dereita.
 En azul -2ab cos(γ), recordando que ao ser cos(γ) negativo, a expresión completa é positiva.
 En vermello, dúas veces o triángulo ABC para ambos lados da figura.

Igualando áreas e cancelando as zonas vermellas dá , como queríamos demostrar.

 Polo teorema de Pitágoras 
Notemos que o Teorema de Cosenos é equivalente ao Teorema de Pitágoras cando o ángulo  é recto. Polo tanto só é necesario considerar os casos cando c é adxacente a dous ángulos agudos e cando c é adxacente a un ángulo agudo e un obtuso.

Primeiro caso: c é adxacente a dous ángulos agudos. miniatura|Caso 1: c é adxacente a dous ángulos agudos

Consideremos a figura adxunta. Polo teorema de Pitágoras, a lonxitude c é calculada así:

Pero, a lonxitude h tamén se calcula así: 

Sumando ambas ecuacións e logo simplificando obtemos:

Pola definición de coseno, tense:

e polo tanto:

Substituímos o valor de u na ecuación para , concluíndo que:

co que conclúe a proba do primeiro caso.

Segundo caso: c é adxacente a un ángulo obtuso. miniatura|Caso 2: c é adxacente a un ángulo obtuso

Consideremos a figura adxunta. O teorema de Pitágoras establece novamente  pero neste caso . Combinando ambas ecuacións obtemos  e deste xeito:

Da definición de coseno, tense  e polo tanto:

Substituímos na expresión para c² e simplificamos c² = a²-b² -2b(a cos(γ)-b), concluíndo novamente

Isto conclúe a demostración.

É importante notar, que se se considera a u como un segmento dirixido, entón só hai un caso e as dúas demostracións convértense na mesma.

 Pola potencia dun punto con respecto a un círculo 
miniatura|Fig. 6 - Demostración do teorema do coseno utilizando a potencia dun punto con respecto a un círculo.
Consideremos un círculo con centro en B e radio BC, como na figura 6. Se AC é tanxente ao círculo, novamente tense o Teorema de Pitágoras. Cando AC non é tanxente, existe outro punto K de corte co círculo. A potencia do punto A con respecto a dito círculo é

Por outro lado, AL = c+a e AP = c-a de modo que

Ademais, CK= -2a cos(γ) polo que

Igualando as expresións obtidas chégase finalmente a:

Contrariamente ás precedentes, para esta demostración, non é necesario recorrer a un estudo por caso pois as relacións alxébricas son as mesmas para o caso do ángulo agudo.

 Polo cálculo vectorial 
Utilizando o cálculo vectorial, máis precisamente o produto escalar, é posible encontrar o teorema do coseno nalgunhas liñas:
{| border=0
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|}

 Xeneralización en xeometrías non euclidianas 
miniatura|200px|Fig. 7 - Triángulo esférico: dimensións reducidas a, b e c ; ángulos α, β e γ.
Para unha superficie non euclidiana de curvatura K, sinalamos con R o radio de curvatura. Este verifica
.
Definimos entón as dimensións reducidas do triángulo:
,
,
.
No caso dun triángulo esférico, a, b e c corresponden á medida angular dos segmentos de circunferencia maximalNa xeometría esférica o concepto de liña recta é substituído polo de xeodésica, que é a distancia máis curta entre dous puntos dados da mesma e esta é sempre unha liña que debe pertencer a unha circunferencia máxima (tamén chamada maximal). As circunferencias máximas son as liñas de intersección entre a superficie esférica e calquera plano que pase polo centro da mesma, con estas restricións pódese falar tamén de triángulos de lados xeodésicos. Os triángulos esféricos non cumpren con que a suma dos seus ángulos internos sexa 180°, mais a desigualdade triangular segue vixente na xeometría esférica. [BC], [AC] e [AB] (ver Fig. 7).

 Xeometría esférica 

Cando o radio de curvatura é moi grande comparado coas dimensións do triángulo, é dicir cando
, 
esta expresión simplifícase para dar a versión euclidiana do teorema do coseno. Para facelo, : etc.

Existe unha identidade similar que relaciona os tres ángulos:

 Xeometría hiperbólica 

Nun triángulo hiperbólico ABC, o teorema do coseno escríbese
.

Cando o radio de curvatura se volve moi grande fronte ás dimensións do triángulo, encontramos o teorema do coseno euclidiano a partir dos desenvolvementos limitados
 etc., 
 etc.

 Xeneralización no espazo euclidiano 
miniatura|260px|Fig. 8 - Tetraedro: vértices, caras e ángulos. 
Consideremos un tetraedro A1A2A3A4 do espazo euclidiano, sendo:

 a cara oposta ao vértice ; 
 a superficie de ; 
 o plano que contén a cara ; 
 o ángulo diedral .

(A figura 8, contigua, presenta a notación dos vértices, caras e ángulos do tetraedro).

Entón, as superficies e ángulos verifican:


. 

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 Los Elementos, tomo II, Euclides. 
 Law of cosines'', en Math World 


 Outros artigos 
 Trigonometría
 Triangulación
 Trigonometría esférica
 Función trigonométrica
 Xeometría do triángulo
 Teorema de Pitágoras
 Teorema do seno
 Matemáticos 
 Euclides
 al-Battani
 Ghiyath al-Kashi
 François Viète

Coseno
Categoría:Xeometría