Curva

Unha curva é unha liña continua, que cambia paulatinamente de dirección. Exemplos de curvas pechadas son a elipse ou a circunferencia, e de curvas abertas a parábola, a hipérbole ou a catenaria. A recta sería o caso límite dun círculo de raio de curvatura infinito. Todas as curvas teñen dimensión igual a 1.

Definicións

Curva elemental
Un conxunto  de puntos do espazo chámase curva elemental se é a imaxe obtida no espazo por unha aplicación continua dun segmento aberto de recta."Geometría diferencial" (1977) Pogorélov, sen ISBN páx.14

Sendo  unha curva elemental e sendo  o segmento aberto no que está definida a aplicación  que determina a curva, ao sistema de igualdades

chámanselle ecuacións paramétricas da curva .

 Curva plana 
Unha curva plana é aquela que reside nun só plano e pode ser aberta ou pechada. A representación gráfica dunha función real dunha variable real é unha curva plana.

 Curva diferenciable 
Unha curva é diferenzable cando a función  é diferenciable. Se ademais a función anterior é inxectiva no intervalo  entón a curva admite un vector tanxente único en cada punto i é rectificable, o que significa que a súa lonxitude de arco está ben definida i é posible calcular a súa lonxitude. A curva  :

é continua pero non diferenciable, polo que a súa lonxitude entre o punto (0,0) e calquera outro punto da mesma non pode calcularse.

 Curva pechada 
Unha curva diferenciable es pechada cando  cando . Se ademais, a función  é inxectiva no intervalo  entón dise que a curva é unha curva pechada simple. Unha curva pechada simple é homeomorfa ao círculo , é dicir, ten a mesma topoloxía dun anel. A curva  dada por:

é unha curva diferenciable pechada, que resulta ser unha elipse de semieixos a e b.

 Curva suave 
Chámase curva suave á curva que non posúe puntos angulosos, coma por exemplo o círculo, a elipse ou a parábola.

Formalmente, dada unha curva C representada pola ecuación paramétrica:

nun intervalo I calquera, é suave se as súas derivadas son continuas no intervalo I e non son simultaneamente nulas, excepto posiblemente nos puntos terminais do intervalo.

Notas

Véxase tamén

Categoría:Xeometría