Número de osculación

En xeometría, o número de osculación é o máximo número de esferas de radio unidade que poden tocar simultaneamente a unha esfera unitaria nun espazo euclidiano de n dimensións.

 Números de osculación coñecidos 
miniatura|O número de osculación en dimensión 1 é 2.
miniatura|O número de osculación en dimensión 2 é 6.
En dimensión 1, o número de osculación é, obviamente, 2.
En dimensión 2, é fácil de ver e de probar que o número de osculación é 6.
En dimensión 3 a resposta xa non é sinxela. Podemos dispoñer facilmente 12 esferas de xeito que cada unha estea en contacto coa central, mais fica moito espazo libre entre unhas e outras, de modo que non é obvio que non haxa sitio para unha esfera número 13. Este foi un tema de controversia entre os matemáticos Isaac Newton e David Gregory. Newton calculaba que o límite era 12 e Gregory que era 13. A cuestión non se resolveu até 1874, e Newton tiña razón.
En dimensión 4, durante un tempo ignorouse se a solución era 24 ou 25. En 2003, Oleg Musin probou que a solución correcta era 24..
En dimensión n, con n > 4, ignórase a resposta excepto para  n = 8 (240), e n = 24 (196560).Levenshtein, V. I. Boundaries for packings in n-dimensional Euclidean space. (ruso) Dokl. Akad. Nauk SSSR  245  (1979), no. 6, 1299—1303Odlyzko, A. M., Sloane, N. J. A. New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in n dimensions.  J. Combin. Theory Ser. A  26  (1979), no. 2, 210—214

 Algúns límites coñecidos 
A seguinte táboa amosa algúns dos límites coñecidos dos números de osculación en varias dimensións. As dimensións nas que se coñece o número de osculación están listadas en negro.

DimensiónLímiteMínimoLímiteMáximo1  22 63 124   245  40 456  72 787  126 1358 240 9306 3661050056711582915128401.416131.1302.233141.5823.492152.5645.431164.3208.313175.34612.215187.39817.8771910.68825.9012017.40037.9742127.72056.8522249.89686.5372393.150128.09624 196.560

 Notas 

Categoría:Xeometría