Serie de Taylor

Nas matemáticas, unha serie de Taylor dunha función f(x) infinitamente derivable (real ou complexa) definida nun intervalo aberto (a-r, a+r) defínese do seguinte xeito:

dereita|miniatura|A función exponencial (en azul), e a suma dos primeiros n+1 termos da súa serie de Taylor arredor de cero (en vermello).

Onde n! é o factorial de n e f (n)(a) indica a n-ésima derivada de f no punto a.

Se esta serie converxe para todo x pertencente ao intervalo (a-r, a+r) e a suma é igual a f(x), entón a función f(x) denomínase analítica. Para comprobar se a serie converxe en f(x), acostúmase empregar unha estimación do resto do teorema de Taylor. Unha función é analítica se e só se se pode representar cunha serie de potencias; os coeficientes desta serie son necesariamente os determinados na fórmula da serie de Taylor.

Se a = 0, a serie denomínase serie de Maclaurin.

Esta representación ten tres vantaxes importantes:

 A derivación e integración dunha destas series pódese realizar termo a termo, que resultan operacións triviais.
 Pódese utilizar para calcular valores aproximados da función.
 É posible demostrar que, se é viable a transformación dunha función nunha serie de Taylor, é a óptima aproximación posible.

Algunhas funcións non se poden escribir como serie de Taylor porque teñen algunha singularidade. Nestes casos normalmente pódese conseguir un desenvolvemento en serie utilizando potencias negativas de x. Por exemplo f(x) = exp(−1/x²) pódese desenvolver como serie de Laurent.

 Definición 
A serie de Taylor dunha función f de números reais ou complexos que é infinitamente diferenciable nunha contorna de números reais ou complexos a, é a serie de potencias:

que pode ser escrito dunha maneira máis compacta como

onde n! é o factorial de n e f (n)(a) denota a enésima derivada de f no punto a; a derivada cero de f é definida como a propia f e  e  son ambos definidos como un.

 Historia 
O filósofo eleata Zenón de Elea estudou o problema de sumar unha serie infinita para lograr un resultado finito, pero descartouno por consideralo imposible: o resultado foron os paradoxos de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuxo unha resolución filosófica ao paradoxo, aínda que o contido matemático deste ficou resolto cando retomaron a cuestión Demócrito e despois Arquimedes. Foi a través do método exhaustivo de Arquimedes que un número infinito de subdivisións xeométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito.Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. pp. 35-37. Independentemente, Liu Hui utilizou un método similar centos de anos despois.Boyer, C. and Merzbach, U. (1991) A History of Mathematics. John Wiley and Sons. pp. 202-203.

No século XIV, os primeiros exemplos do uso de series de Taylor e métodos similares foron dados por Madhava de Sangamagrama. A pesar de que ningún rexistro do seu traballo chegou aos nosos días, escritos de matemáticos hindús posteriores suxiren que el encontrou un número de casos especiais da serie de Taylor, incluídos aqueles para as funcións trigonométricas do seno, coseno, tanxente e arcotanxente.

No século XVII, James Gregory tamén traballou nesta área e publicou varias series de Maclaurin. Pero en 1715 presentouse unha forma xeral para construír estas series para calquera función e foi presentado por Brook Taylor, de quen recibe o seu nome.

As series de Maclaurin foron chamadas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edimburgo, quen publicou o caso especial das series de Taylor no século XVIII.

 Series de Maclaurin (Taylor arredor de 0) notables 
200px|miniatura|A función coseno.
200px|miniatura|Unha aproximación de oitava orde da función coseno no plano dos complexos.
200px|miniatura|As dúas imaxes de arriba postas xuntas.
A continuación enuméranse algunhas series de Taylor de funcións básicas. Todos os desenvolvementos son tamén válidos para valores complexos de x.

 Función exponencial e logaritmo natural 

.

.

 Serie xeométrica 

 Teorema do binomio 

 para 

 Funcións trigonométricas 

Bs son os Números de Bernoulli.

 Funcións hiperbólicas 

 Función W de Lambert 

Os números Bk que aparecen nas fórmulas de tan(x) e tanh(x) son Números de Bernoulli. Os valores C(α,n) da fórmula do binomio son os coeficientes binomiais. Os Ek da fórmula de sec(x) son Números de Euler.

 Varias variables 

A serie de Taylor pódese xeneralizar a funcións de  variables:

onde  é un coeficiente multinomial. Como exemplo, para unha función de dúas variables, x e y, a serie de Taylor de segunda orde nun contorno do punto (a, b) é:

Un polinomio de Taylor de segundo grao pode ser escrito de maneira compacta así:

onde  é o gradiente e  é a matriz hessiana. Outra forma:

 Aplicacións 

Ademais de para ter funcións polinómicas en lugar de funcións de maior complexidade e poder analizar facilmente o comportamento local dunha función, tamén se pode utilizar para resolver outros problemas como son: a análise de límites e estudos paramétricos dos mesmos, a estimación de números irracionais limitando o seu erro, o teorema de L'Hopital para a resolución de límites indeterminados, o estudo de puntos estacionarios de funcións (máximos ou mínimos relativos ou puntos cadeira de tendencia estritamente crecente ou decrecente), a estimación de integrais, determinación de converxencia e suma dalgunhas series importantes, o estudo da orde e parámetro principal de infinitésimos etc.

 Notas 

 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Serie matemática
 Serie de Laurent
 Ligazóns externas 
 Weisstein, Eric W., «Serie de Taylor» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research
 Madhava of Sangamagramma 
 Taylor Series Representation Module by John H. Mathews
 "Discussion of the Parker-Sochacki Method "
 Another Taylor visualisation - where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
 Taylor series revisited for numerical methods at Numerical Methods for the STEM Undergraduate
 Cinderella 2: Taylor expansion 
 Taylor series
 Inverse trigonometric functions Taylor series

Categoría:Análise matemática
Categoría:Serie matemática

pl:Wzór Taylora#Szereg Taylora