Espazo topolóxico

O exemplo inferior esquerdo non é unha topoloxía, pois a unión {2} e {3}, igual a {2,3}, non é parte da colección.
O exemplo inferior dereito tampouco é unha topoloxía porque a intersección de {1,2} e {2,3}, igual a {2}, non é parte da colección.

Un espazo topolóxico é unha estrutura matemática que permite a definición formal de conceptos como converxencia, conectividade e continuidade. A rama das matemáticas que estuda os espazos topolóxicos é a topoloxía.

 Definición 
Un espazo topolóxico é un conxunto E de elementos, que xunto con T, unha colección de subconxuntos de E, chamados abertos de E, satisfán as seguintes propiedades:

1. O conxunto baleiro e E están en T.

2. A intersección de calquera colección finita de conxuntos de T está tamén en T.

3. A unión de toda colección de conxuntos de T está tamén en T.

Esta condición tamén pode escribir:

Os conxuntos en T son os conxuntos abertos, e os seus complementos en E, son chamados conxuntos cerrados.

A colección T é chamada topoloxía en E. Os elementos de E acostúmase chamarlles puntos, aínda que poden ser calquera obxecto matemático. Un espazo topolóxico no cal os puntos son funcións denomínase espazo funcional.

Ao conxunto E denomínase substrato do espazo topolóxico.

Un espazo topolóxico é un par  onde  é un conxunto e  é unha topoloxía en .

 Exemplos 
 Topoloxía trivial ou indiscreta: é a formada por  e .
 Topoloxía discreta: é a formada polo conxunto das partes de .
 Topoloxía dos complementos finitos: é a formada por  e os conxuntos de , cuxos complementarios son finitos.
 Topoloxía dos complementos numerables: é a formada por  e os conxuntos de , cuxos complementarios son numerables.
 R, conxunto dos reais, e T, o conxunto dos intervalos abertos no sentido usual, e das reunións de intervalos abertos.
 Recta de Sorgenfrey, a recta real, xunto coa topoloxía do límite inferior.

 Topoloxía usual 

Dise que está dotado coa topoloxía usual  se  é o espazo topolóxico xerado polas bólas abertas en , é dicir, pola unión de subconxuntos da forma , onde  e   é un real positivo. Ademais, esta topoloxía coincide coa topoloxía métrica inducida en  pola distancia usual  dada por , sendo  e  elementos de .

Categoría:Topoloxía