Derivación (matemática)

Para a derivación en cálculo, véxase Derivada.

 Para a técnica de análise numérica, véxase Derivación numérica.

dereita|300px|Derivación.

A derivación, matematicamente, é un concepto esencial para determinar os espazos tanxentes sobre variedades diferenciábeis, e as súas calidades, propiedades e consecuencias.

É unha peza fundamental, clave no desenvolvemento da teoría para a xeometría diferencial tal e como está estruturada actualmente.

Definición de derivación
Sexa  unha variedade diferenciábel e , chamaremos derivación no punto  a

 aplicación  lineal, é dicir:

, ,

,

.

e tal que , , é dicir, que cumpre a regra de Leibniz.

Observación

 é o conxunto de funcións diferenciábeis en , e é un  álxebra conmutativa, (é un espazo vectorial).

 é equivalente a , é dicir,  avaliado no punto .

Exemplos de derivación

A derivada parcial
Sexa  e , vexamos que a aplicación seguinte é derivación:

Demostración: 

Vexamos primeiro que é lineal, é dicir, que  e  vemos que:

,

.

Vexamos finalmente que é unha derivación:

.

Queda, así, demostrado que a derivada parcial é unha derivación.

A derivada direccional
Sexa ,  e , pódese ver, de igual modo que no exemplo anterior, que a aplicación seguinte é derivación:

.

Definicións
dereita|250px|Plano tanxente.

Sexa  unha variedade diferenciábel e , chamaremos espazo tanxente a  en  ao espazo vectorial das derivacións de  en , notado por , e os seus elementos chamaranse vectores tanxentes a  en .

Consecuencias

Propiedade da derivación dunha función localmente constante
Sexa  unha variedade diferenciábel, ,  e  tal que  contorno aberto en  onde , , entón temos que .

Demostración:

Por linealidade de  temos

,

aquí, aplicando a condición de derivación a  temos

,

de simplificar este último, resulta , aplicándoo ao anterior resulta que .

Exemplo
Interésanos que a función localmente constante sexa infinitamente diferenciábel en todas as partes, é dicir, de clase :

 a función meseta  asociada a , onde   compacto cuxo interior contén a .

Propiedade da derivación do produto coa función meseta
Sexa  unha variedade diferenciábel, , ,  e  unha función meseta asociada a , temos que:

.

Demostración:

Aplicando a regra de Leibniz temos que , pola propiedade anterior temos que 

Propiedade
Sexa  unha variedade diferenciábel,  e  tal que  contorno aberto en  onde , entón temos que:

.

Demostración:

Sexa  unha función meseta asociada a , temos así que  en todo  tamén  por tanto , e pola propiedade anterior temos que .

Véxase tamén
Bibliografía
 Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferenciables i varietats de Riemann, Ed:UB. 2003.

Categoría:Xeometría diferencial