Brahmagupta

Brahmagupta (ब्रह्मगुप्त) (Bhinmal, Raxastán, 589 – 668) foi un matemático e astrónomo indio que escribiu dúas obras importantes de matemáticas e astronomía: o Brahmasphuṭasiddhanta (Tratado Extensivo de Brahma) (628), un tratado teórico, e o Khaṇḍakhadyaka, un texto máis práctico.

Hai razóns para crer que Brahmagupta era oriúndo de Bhillamala (actual Bhinmal) no imperio de Harsha. Debido a iso, Brahmagupta é frecuentemente denominado Bhillamalacarya, "o mestre de Bhillamala".

Foi o director do observatorio astronómico de Ujjain, o máis antigo e importante da India na súa época, e durante a súa estadía alí escribiu catro libros sobre matemática e astronomía: os dous anteriormente mencionados, o Cadamekela e o Durkeamynarda. Os textos de Brahmagupta teñen un certo aire poético pois están escritos en versos elípticos, práctica habitual entre os matemáticos indios daquel tempo.

Brahmagupta está considerado como o pai da aritmética, da álxebra e da análise numérica. A aritmética moderna usada actualmente espallouse pola India e por Arabia e, de alí, pasou a Europa. Inicialmente coñecíase como Al Hind (en árabe) e como Modus Indoram (en latín). Modus Indoram significa "método dos indios" e converteuse na aritmética usual, substituíndo aos numerais romanos e aos métodos baseados no ábaco. A adición, a subtracción, a división e outras operacións fundamentais usando numerais árabes apareceron na súa obra Brahmasputhasiddhanta (628).

O seu traballo tivo un impacto significativo nas construcións matemáticas. Brahmagupta popularizou o concepto do cero (na súa obra aparece por primeira vez esta noción), sendo o primeiro en dar regras para operar con el. Tamén definiu regras para a aritmética con números negativos en termos moi parecidos aos da matemática moderna. A maior diverxencia estriba en que Brahmagupta intentou definir a división por cero, considerada inexistente na matemática moderna. A súa definición de cero como un número era adecuada, agás o feito de considerar 0/0 igual a 0, en contra da opinión actual de que esa cantidade non pode definirse.

En 628, Brahmagupta proporcionou a primeira solución xeral para a ecuación de segundo grao.

Está considerado como o máis grande dos matemáticos da época, porén descoñécese as fontes das matemáticas de Brahmagupta.

 Vida e obra 
miniatura|250px|Reloxo de sol do observatorio de Ujjain, do que foi director Brahmagupta.
Nos versos 7 e 8 do capítulo XXIV do Brāhmasphuṭasiddhānta dise que Brahmagupta escribiu este texto á idade de 30 no ano 550 Śaka (que corresponde ao ano 628 d.C.), durante o reinado de Vyāghramukha. Dedúcese diso que naceu no ano 598. Os narradores refírense a el como un grande estudoso de Bhillamala, actual Bhinmal, unha cidade no estado de Rajasthan no noroeste da India, e naqueles tempos centro do poder dos Gurjars. Seu pai era Jisnugupta. Probabelmente viviu a maior parte da súa vida en Bhillamala durante o reinado, e posibelmente baixo o mecenado, do rei Vyaghramukha O Paitamahasiddhanta tamén inspirou directamente outro importante siddhanta, escrito por un contemporáneo de Bhaskara: O Brahmasphutasiddhanta (Tratado Corrixido de Brahma), completado por Brahmagupta en 628. Este astrónomo naceu en 598 e aparentemente traballou en Bhillamal (identificado co moderno Bhinmal en Rajasthan), durante o reinado (e posibelmente baixo o mecenado) do rei Vyaghramukha.Aínda que non se sabe se Brahmagupta coñeceu o traballo do seu contemporáneo Bhaskara, el certamente sabía dos escritos doutros membros da tradición do Aryabhatiya, dos cales non tiña nada bo que dicir. Este é case o primeiro indicio que temos das rivalidades, e ás veces antagonismos, entre as distintas "escolas" de astrónomos-matemáticos indios [...] foi na aplicación dos modelos matemáticos aos modelos físicos -neste caso, a elección dos parámetros astronómicos e as teorías- onde xurdiron desacordos [...]Tales críticas aos traballos rivais aparecen ocasionalmente ao longo dos primeiros dez capítulos astronómicos do Brahmasphutasiddhanta, e o capítulo undécimo está enteiramente dedicado a elas. Mais non aparecen nos capítulos matemáticos que Brahmagupta dedicou respectivamente a ganita (capítulo 12) e o pulverizador (capítulo 18). Esta división dos temas matemáticos reflicte unha clasificación dobre diferente da de "matemáticas dos campos" e "matemáticas das cantidades" feita por Bhaskara. No seu lugar, a primeira división concirne con operacións aritméticas, comezando pola adición, proporción, interese, series, fórmulas para calcular lonxitudes, áreas e volumes en figuras xeométricas, e varios procedementos con fraccións -en resumo, diversas regras para operar con cantidades coñecidas-. Por outra banda, a segunda trata do que Brahmagupta chama "o pulverizador, cero, negativos, positivos, incógnitas, eliminación do termo medio, redución a unha [variábel], bhavita [o produto de dúas incógnitas], e a natureza dos cadrados [ecuacións indeterminadas de segundo grao]" -isto é, técnicas para operar con cantidades descoñecidas-. Esta diferenciación preséntase máis explicitamente en posteriores traballos como as matemáticas do "evidente" e as do "oculto", respectivamente: é dicir, o que máis adiante será chamado manipulacións "aritméticas" de cantidades coñecidas e manipulacións "alxébricas" das chamadas "sementes" de cantidades descoñecidas. A última, por suposto, debe incluír problemas xeométricos e outros temas non cubertos pola definición moderna de "aritmética" (ao igual que Aryabhata, Brahmagupta relegou as súas táboas sinusoidais ao capítulo de astronomía, onde eran necesarias para os cálculos, no canto de incluílo con outros temas "matemáticos").. En consecuencia, refírese con frecuencia a Brahmagupta como o Bhillamalacharya, é dicir, o mestre de Bhillamala. Foi o director do observatorio astronómico de Ujjain, e durante o seu mandato escribiu catro textos de matemáticas e astronomía: o Cadamekela en 624, o Brahmasphutasiddhanta en 628, o Khandakhadyaka en 665, e o Durkeamynarda en 672. O Brahmasphutasiddhanta (Tratado Extensivo de Brahma) é para algúns a súa obra máis famosa. O historiador musulmán al Biruni (c. 1050), no seu libro Tariq al-Hind, afirma que o califa abbásida al-Ma'mun tiña unha embaixada na India que mercou e enviou a Bagdad un libro que foi traducido ao árabe co título Sindhind. Está xeralmente aceptado que Sindhind é a tradución do Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta "Polo ano 766 tivemos coñecemento de que o traballo matemático-astronómico, coñecido polos árabes por Sindhind, chegou a Bagdad desde a India. É crenza común que é o Brahmasphuta Siddhanta, aínda que debeu ser o Surya Siddhanata. Uns poucos anos máis tarde, quizais sobre o 775, este Siddhanata traduciuse ao árabe, e non foi ata algo máis tarde (ca. 780) que se traduciu ao árabe o Tetrabiblos de Tolomeo"..

Aínda que Brahmagupta esta familiarizado cos traballos astronómicos que seguían a tradición do Aryabhatiya, non se sabe se estaba familiarizado coas obras de Bhaskara I, contemporáneo seu. Brahmagupta fixo abundantes críticas dirixidas aos traballos dos astrónomos rivais, e no seu Brahmasphutasiddhanta áchase un dos primeiros cismas entre matemáticos indios. O primeiro motivo de división foi pola maneira de aplicar as matemáticas ao mundo físico, máis que polas propias matemáticas. No caso de Brahmagupta, os desacordos proviñan en gran medida pola elección dos parámetros astronómicos e as teorías. As críticas as teorías rivais aparecen ao longo dos primeiros dez capítulos de astronomía, e o capítulo undécimo está enteiramente dedicado ás críticas destas teorías, se ben non aparecen críticas nos capítulos 12 e 18.

 Álxebra 
Brahmagupta deu a solución da ecuación linear xeral no capítulo 18 do Brahmasphutasiddhanta:

a cal é a solución da ecuación  equivalente a , onde rupas refírese ás constantes c e e.

Posteriormente deu dúas solucións equivalentes para a ecuación cadrática xeral:

as cales son, respectivamente, solucións da ecuación  equivalentes a:

e

Continuaba resolvendo sistemas de ecuacións indeterminadas, establecendo que a variábel desexada debe ser despexada, e logo a ecuación debe ser dividida polo coeficiente da variábel desexada. En particular, recomendaba o uso do "pulverizador" para resolver ecuacións con moitas incógnitas:

A álxebra de Brahmagupta, como a de Diofanto, era sincopada. A suma indicábase colocando os números un ao lado doutro. A resta mediante un punto sobre o subtraendo, e a división colocando o divisor baixo o dividendo de modo semellante á nosa notación actual pero sen a raia. Multiplicación, evolución, e cantidades descoñecidas representábanse mediante abreviaturas ou termos axeitados "foi o primeiro en dar unha solución xeral da ecuación linear diofantiana , onde a, b e c son enteiros [...] É un gran mérito de Brahmagupta o ter dado todas as solucións da ecuación linear diofantiana, considerando que Diofanto se conformaba con dar unha solución particular dunha ecuación indeterminada. É máis aínda, como Brahmagupta usaba os mesmos exemplos que Diofanto, vemos de novo a máis que probábel influencia grega na India -ou a posibilidade de que ambos fixeran uso dunha fonte común, posibelmente Babilonia-. É interesante mencionar que tamén a álxebra de Brahmagupta, como a de Diofanto, era sincopada. A suma indicábase por xustaposición, a resta colocando un punto sobre o subtraendo, e a división colocando o divisor baixo o dividendo, como na nosa notación tradicional pero sen a raia. As operacións da multiplicación e da evolución (o cálculo de raíces), así como as cantidades descoñecidas, representábanse por abreviaturas de palabra axeitadas.". O alcance da influencia grega nesta sincopación, se a houbo, non é coñecida e é posíbel que tanto a sincopación grega como a india derivaran dunha fonte babilonia común.

 Aritmética 
As catro operacións básicas (suma, resta, multiplicación e división) eran coñecidas por moitas culturas anteriores a Brahmagupta. O sistema actual está baseado no sistema de numeración indo-arábico que apareceu por primeira vez no Brahmasphutasiddhanta. Brahmagupta describe a multiplicación así: "o multiplicando repítese como unha corda para o gando, tan a miúdo como hai partes integrantes do multiplicador e é repetidamente multiplicado por elas e os produtos engádense conxuntamente. Isto é multiplicación. Ou o multiplicador repítese tantas veces como hai partes compoñentes do multiplicador"Brahmasputha Siddhanta, Traducido ao inglés por H.T Colebrook, en 1.817. A aritmética india foi coñecida na Europa medieval como "Modus Indoram" que significa "Método dos indios". No Brahmasphutasiddhanta, noméase a multiplicación como Gomutrika. Ao comezo do capítulo 12 do Brahmasphutasiddhanta, titulado Cálculo, Brahmagupta detalla as operacións con fraccións. Está escrito para lectores que se supón coñecen as operacións aritméticas básicas incluído o cálculo da raíz cadrada, porén explica como calcular o cubo e a raíz cúbica dun enteiro e máis adiante dá regras que facilitan o cálculo de cadrados e raíces cadradas. Posteriormente proporciona regras para manexarse con cinco tipos de combinacións de fraccións Aparentemente agárdase que o lector esté familiarizado coas operacións aritméticas básicas incluída a raíz cadrada; Brahmagupta só indica algúns puntos acerca da aplicación ás fraccións. Porén, descríbense os procedementos para achar o cubo e a raíz cúbica dun enteiro (dun xeito moi similar a como o fixera Aryabhata). Seguen regras para cinco tipos de combinacións: [...]

, , , , e .

 Series 
Brahmagupta continúa logo a dar a suma dos cadrados e cubos dos primeiros n enteiros:

Aquí Brahmagupta achou o resultado en termos da suma dos primeiros n enteiros, no canto de facelo en termos de n como se fai na práctica moderna Aquí as sumas dos cadrados e cubos dos primeiros n enteiros defínense en termos da suma dos propios n enteiros;.

Brahmagupta deu a suma dos cadrados dos primeiros n números naturais como , e a suma dos cubos dos primeiros n números naturais como .

 Cero 
O Brahmasphuṭasiddhanta de Brahmagupta é o primeiro libro que menciona o cero como número. De aí que Brahmagupta estea considerado como o primeiro en formular o concepto do cero. Deu regras para usar o cero con números negativos e positivos. Cero máis un número positivo é o número positivo e un número negatvo máis cero é o número negativo etc. O Brahmasphutasiddhanta é o texto máis antigo coñecido que trata ao cero como un número por dereito propio, e non como un simple díxito simbólico que representa outro número como facían os babilonios, ou como un símbolo para a ausencia de cantidade como fixo Tolomeo e os romanos. No capítulo 18 do Brahmasphutasiddhanta, Brahmagupta describe operacións con números negativos. Primeiramente describe a adición e a subtracción:

Continúa describindo a multiplicación:

Mais a súa descrición da división por cero difire do noso entendemento moderno:

Aquí Brahmagupta establece que , e para a cuestión  onde  non revelou o seu parecer "Porén, aquí Brahmagupta de novo estraga dalgunha maneira o seu traballo ao afirmar que , e deixar sen resposta a cuestión ".. As súas regras para a aritmética dos números negativos e o cero aseméllanse bastante co coñecemento moderno, agás a división por cero que non está definida na nosa moderna matemática.

 Análise Diofantiana 
miniatura|250px|Ternas pitagóricas formadas cos naturais máis pequenos.
 Ternas pitagóricas 
No capítulo 12 do seu Brahmasphutasiddhanta, Brahmagupta proporciona unha fórmula útil para xerar ternas pitagóricas:

Ou, noutras palabras, se d = mx/(x + 2), entón un viaxeiro que "salta" verticalmente unha distancia d  desde o cumio dunha montaña de altura m, e logo viaxa en liña recta a unha cidade a unha distancia horizontal mx desde a base da montaña, viaxa a mesma distancia que outro que descende verticalmente a montaña e logo viaxa horizontalmente á cidade. Dito xeométricamente, se un triángulo rectángulo ten de base un cateto de lonxitude  e de altura o outro cateto de lonxitude , entón a lonxitude c da hipotenusa vén dada por . E, de feito, un cálculo alxébrico elemental mostra que , para calquera valor d  elixido. Tamén, se m e x son racionais, entón tamén o son d, a, b e c; e pódese obter unha terna pitagórica a partir de a, b e c  multiplicando cada un deles polo mínimo común múltiplo dos seus denominadores.

 Ecuación de Pell 
Brahmagupta continúa dando unha relación recorrente para xerar solucións dalgunhas ecuacións diofantianas de segundo grao, como , chamada ecuación de Pell, usando un algoritmo euclidiano que el chamou o "pulverizador" pois descompón números noutros máis pequenos No século VII o matemático indio Brahmagupta deu unha relación recorrente para xerar solucións de , como se verá no capítulo 5. Os indios chamaraon a este algoritmo euclidiano o "pulverizador" porque rompe números en pezas máis pequenas. Para obter unha recorrencia débese saber que se repite eventualmente un rectángulo proporcional ao orixinal, un feito que foi rigorosamente probado por Lagrange en 1768.:

A chave desta solución foi a identidade:

a cal é unha xeneralización da identidade descuberta por Diofanto:

Usando esta identidade e o feito de que se   e   son solucións das ecuacións  e , respectivamente, entón  é unha solución de , foi quen de achar solucións integrais da ecuación de Pell a través de series de ecuacións da forma . Desafortunadamente, Brahmagupta non foi quen de aplicar a súa solución uniformemente para todos os posíbeis valores de N, só conseguiu mostrar que se  ten unha solución enteira para k = ±1, ±2, ou ±4, entón  ten unha solución. A solución para a ecuación xeral de Pell tivo que agardar por Bhaskara II contra o ano 1150.

 Xeometría 
200px|miniatura|Cuadrilátero cíclico para explicar a fórmula de Brahmagupta.
 Fórmula de Brahmagupta 

O resultado xeométrico máis famoso de Brahmagupta é a súa fórmula para cuadriláteros cíclicos. Dadas as lonxitudes dos lados dun cuadrilátero cíclico calquera, Brahmagupta deu unha fórmula aproximada e outra exacta para a área da figura:

Polo tanto, dadas as lonxitudes p, q, r e s dun cuadrilátero cíclico, a área aproximada é , mentres que, sendo , a área exacta é:

Aínda que Brahmagupta non establece explicitamente que estes cuadriláteros son cíclicos, é evidente, a partir destas regras, que é o caso Brahmagupta non establece explicitamente que está discutindo só figuras inscritas en circunferencias, mais isto dedúcese destas regras de computar o seu circunraio.. A fórmula de Herón é un caso especial desta fórmula, supoñendo que un dos lados é igual a cero.

 Triángulos 
Brahmagupta dedicou unha parte substancial do seu traballo á xeometría. Un dos seus teoremas dá unha fórmula para calcular as lonxitudes dos segmentos nos que queda dividida a base cando se traza a altura correspondente:

Así, se b é a base do triángulo e a e c os outros dous lados () entón as lonxitudes dos dous segmentos son .

Posteriormente dá un teorema para triángulos racionais. Un triángulo con lados racionais a, b, c é área racional é da forma:

para algúns números racionais u, v, e w.

 Teorema de Brahmagupta 
miniatura|O teorema de Brahmagupta afirma que nun cuadrilátero cíclico ortodiagonal é AF=FD.

Continúa Brahmagupta:

Polo tanto, nun cuadrilátero cíclico "non-igual" (isto é, un trapecio isóscele), a lonxitude de cada diagonal é .

Despois dá fórmulas para as lonxitudes e áreas de figuras xeométricas, como os circunraios dun trapecio isóscele e dun cuadrilátero escaleno, e as lonxitudes das diagonais dun cuadrilátero cíclico escaleno. Todo isto conduce ao famoso Teorema de Brahmagupta:

É dicir, se un cuadrilátero cíclico é ortodiagonal (isto é, ten as diagonais perpendiculares), entón a perpendicular a un lado desde o punto de intersección das diagonais bisecciona ao lado oposto.

 Pi 
No verso 40, Brahmagupta dá valores para π:

Polo tanto, Brahmagupta usa para π o valor "práctico de 3, e  como o seu valor exacto.

 Medidas e construcións 
Nalgùns dos versos anteriores ao 40, Brahmagupta dá construcións de varias figuras con lados arbitrarios. Esencialmente manipula triángulos rectángulos para producir triángulos isósceles, triángulos escalenos, rectángulos, trapecios isósceles, trapecios isósceles con tres lados iguais, e un cuadrilátero cíclico escaleno.

Despois de dar o valor de pi, trata problemas da xeometría de figuras planas e sólidos xeométricos, como o cálculo de volumes e áreas de superficies (ou espazos baleiros con forma de sólido xeometrico). Achou o volume de prismas rectangulares, pirámides, e troncos piramidais rectángulos. Posteriormente atopou a profundidade media dunha serie de furados. Para o volume dun tronco de pirámide, deu o valor "pragmático" como o produto da altura polo cadrado da media das arestas que van da cara superior á inferior, e o volume "superficial" como o produto da altura pola área media Despois da xeometría de figuras planas, Brahmagupta discute o cálculo de volumes e áreas de superficies de sólidos xeométricos (ou espazos baleiros con forma de sólido xeométrico). As súas fórmulas directas e inmediatas para os volumes de prismas rectangulares e pirámides, van seguidas por outras máis ambigüas, que deben referirse ao cálculo da profundidade media dunha secuencia de furados con diferentes profundidades. A seguinte fórmula trata aparentemente do volume dun tronco de pirámide rectangulo, onde o volume "pragmático" é o produto da altura polo cadrado da media das arestas que van da superficie superior á inferior, mentres que o volume "superficial" e o produto da altura pola área media.

 Trigonometría 
 Táboa de senos 
No capítulo 2 do Brahmasphutasiddhanta, titulado "Lonxitudes planetarias verdadeiras", Brahmagupta presenta unha táboa de senos:

Aquí Brahmagupta usa nomes de obxectos para representar os díxitos numerais con valor posicional, como era común facer cos datos numéricos nos tratados sánscritos. Os Proxenitores representan aos 14 Proxenitores ("Manu") na cosmoloxía india ou 14, "xemelgos" significa 2, "Osa Maior" representa ás sete estrelas da Osa Maior ou 7, "Vedas" refírese aos 4 Vedas ou 4, dados representa o número de lados dun dado tradicional ou 6, e así sucesivamente. Esta información pode ser traducida como a lista dos senos, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263, e 3270, co raio comezando en 3270 A táboa de senos de Brahmagupta, como moitos outros tratados sánscritos sobre datos numéricos, está codificado principalmente en notación numérica concreta que usa nomes de obxectos para representar os díxitos numerais con valor posicional, comezando cos menos significantes. [...] Hai catorce Proxenitores ("Manu") na cosmoloxía india; "xemelgos" por suposto representa ao 2; as sete estrelas da Osa Maior (as "Sabias") para o 7, os catro "Vedas" é o catro, e os seis lados do dado tradicional usado no xogo para o 6, e así sucesivamente. Deste xeito Brahmagupta enumera os seus seis primeiros valores do seno como 214, 427, 638, 846, 1051 e 1251 (os seus restantes dezaoito senos son 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263, 3270). O Paitamahasiddhanta, porén, especifica un valor inicial do seno de 225 (mais perdeuse o resto da táboa), que implica un raio trigonométrico de R=3438 aprox= C(')/2π: unha tradición continuada, como temos visto, por Aryabhata. Ninguén sabe por que Brahmagupta elixiu este valor no canto de normalizar estes valores para R=3270..

 Fórmula de interpolación 

No 665 Brahmagupta deseñou e usou un caso especial da fórmula de interpolación de Newton-Stirling de segunda orde para interpolar novos valores da función seno a partir doutros valores xa tabulados. A fórmula dá unha estimación do valur dunha función f para un valor a + xh do seu dominio (con h > 0 e −1 ≤ x ≤ 1) cando o seu valor é xa coñecido para a − h,  a e a + h.

A fórmula para a estimación é:

onde Δ é o operador diferenza de primeira orde, é dicir:


 Astronomía 
Foi a través do Brahmasphutasiddhanta que os árabes aprenderon a astronomía india. Edward Saxhau afirma que "Brahmagupta foi o que ensinou astronomía aos árabes"Al Biruni, India traducido por Edward sachau.. O famoso califa abbásida Al-Mansur (712–775) fundou Bagdad, situada nos bancos do Tigris, e fixo dela o centro do saber. O califa invitou a un sabio de Ujjain de nome Kankah cara ao ano 770. Kankah utilizaba o Brahmasphutasiddhanta para explicar o sistema de astronomía aritmética hindú. Muhammad al-Fazari traduciu o traballo de Brahmagupta ao árabe por petición do califa.

No capítulo sete do Brahmasphutasiddhanta, titulado Luar Crecente, Brahmagupta refuta a idea, sostida nalgúns escritos, de que a Lúa está máis lonxe da Terra co Sol. Explícao mediante a iluminación da Lúa polo Sol:

Explica logo que, como a Lúa está máis preto da Terra co Sol, o nivel de brillo da parte iluminada depende das posicións relativas do Sol e da Lúa, e poden ser computadas a partir do tamaño do ángulo entre os dous corpos Brahmagupta discute a iluminación da lúa polo sol, refutando unha idea sostida en escritos: concretamente, que a lúa está máis lonxe da terra do que o está o sol. De feito, como el explica, porque a lúa está máis próxima, a extensión da porción iluminada da lúa depende das posicións relativas da lúa e do sol, e pode ser computada a partir do tamaño da separación angular α entre eles..

Algunhas das contribucións importantes feitas por Brahmagupta á astronomía son: métodos para calcular a posición de corpos celestes ao longo do tempo (efemérides), as súas elevación e posición, conxuncións, e o cálculo de eclipses solares e lunares. Brahmagupta criticaba o punto de vista puránico de que a Terra era plana ou oca. Pola contra, observou que a Terra e o ceo eran esféricos.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 





 Ligazóns externas 
 Brahma-sphuta-siddhanta de Brahmagupta Texto en sánscrito cunha introdución en inglés e comentarios en sánscrito e hindi (PDF).

Categoría:Matemáticos da India
Categoría:Artigos que toda Wikipedia debería ter (Biografías)
Categoría:Astrónomos da India
Categoría:Nados en 598
Categoría:Finados en 668