Raio de Einstein

O raio de Einstein é o raio dun anel de Einstein, e é unha característica xeral do ángulo dunha lente gravitacional, as distancias típicas entre as imaxes producidas polas lentes gravitacionais son da orde do raio de Einstein.

 Cálculo 
miniatura|dereita|400px|Xeometría de lente gravitacional
Para o cálculo do raio de Einstein, imos supor que toda a masa  da galaxia  concéntrase no centro da galaxia.

Para un punto de masa a deformación pode ser calculada e é unha das probas clásicas da relatividade xeral. Para ángulos pequenos  a deformación total para un punto de masa  é (ver métrica de Schwarzschild )

onde
 é o parámetro de impacto (a distancia de maior aproximación da luz emitida ao centro de masas da lente)
 é a constante gravitacional,
 é a velocidade da luz .

Tendo en conta que, para ángulos pequenos e co ángulo expresado en radiáns, o punto de maior aproximación b dende un ángulo  para a lente  sobre unha distancia   dada por , podemos reformular o ángulo de flexión  como
 (eq. 1)
Se colocarmos  como o ángulo en que se podería ver a fonte sen a lente (que xeralmente non é observable) e  como o ángulo observado da imaxe da fonte con respecto á lente, entón pódese ver a partir da xeometría das lentes (con distancias no mesmo plano da fonte), que medir a distancia vertical do ángulo  a unha distancia  é o mesmo que a suma das dúas distancias verticais  máis . Isto dá como ecuación obxectivo,
,
que se pode reformular para dar
 (eq. 2)
Por definición (Eq 1) igual a (Eq 2), e reformulando, obtense

Para unha fonte directamente detrás do obxectivo,   , a ecuación da lente a un punto de masa dá un valor característico para  que se denomina distancia de Einstein, denotada . Poñendo  e resolvendo a  resulta

O raio de Einstein para un punto de masa proporciona unha escala lineal conveniente para facer lentes variables adimensionais. En termos de raios de Einstein, a ecuación da lente a un punto de masa convértese en

Substituíndo as constantes resulta

Nesta última forma, a masa é expresada en masas solares é  e as distancias en Giga parsec (GPC). O raio de Einstein  máis destacado é unha lente normalmente a medio camiño entre a fonte e o observador.

Para un cúmulo estelar denso de masa  a unha distancia de 1 Gigaparsec (1 GPC), este raio pode ser tan grande como 100 segundos de arco (chamado macrolente). Para un evento de microlente gravitacional (con masas da orde ), buscado a distancias galácticas (digamos  ), o raio de Einstein  típico sería da orde mili-segundos de arco. En consecuencia, en imaxes separadas os eventos de microlente son imposibles de observar coas técnicas actuais.

O argumento anterior pode estenderse para as lentes que teñen unha masa distribuída, en vez de concentrada nun punto de masa, usando unha expresión distinta para a curva do ángulo . As posicións  das imaxes poden ser calculadas.  Para pequenas deflexions este mapeado "un a un" (foto a foto) está composto por distorsións das posicións observadas que son invertíveis. Isto chámase lente gravitacional débil. Para grandes deformacións pódese ter varias imaxes e un "mapa" non-inversível: iso chámase lente gravitacional forte. Teña en conta que, para que unha masa distribuída poida producir un anel de Einstein, debe ter simetria axial.

Categoría:Cosmoloxía física
Categoría:Relatividade