Arco (xeometría)

Na xeometría, arco é calquera curva continua que une dous puntos.Mathworld: Arc. Existen arco de circunferencia, de elipse, de parábola e outras figuras xeométricas.

O arco circunferencia fica definido por tres puntos, ou dous puntos extremos e o raio ou a corda da circunferencia. A corda une os dous extremos do arco, estando a frecha unindo os puntos medios.

miniatura|Arco dun cuadrante (en vermello)

 Cálculo da lonxitude dun arco (rectificación dunha curva) 
 Métodos históricos 
 Antigüidade 
No longo da historia das matemáticas moitos grandes pensadores consideraron imposible calcular a lonxitude dun arco irregular. Arquimedes ideou un método por aproximación de rectángulos para calcular a área dun polígono curvilíneo mediante o método de exhaustión, aínda que poucos creron que era posible que unha curva tivese unha lonxitude medible como as da liñas rectas.

As primeiras medicións fixéronse a través de métodos de aproximación. Os matemáticos da época empezaron a trazar polígonos dentro da curva, e calculando a lonxitude dos lados destes, obtendo así a lonxitude aproximada da curva. Cantos máis segmentos se usasen, máis diminuía a lonxitude de cada segmento, e obtíñase unha aproximación cada vez mellor.

miniatura|400px|centro|Método de exhaustión: cálculo da lonxitude da circunferencia mediante a aproximación de polígonos inscritos e circunscritos.

 Século XVII 
Nesta época, o método de esgotamento levou á rectificación por métodos xeométricos de moitas curvas transcendentais: a espiral logarítmica por Torricelli en 1645 (algúns pensan que foi John Wallis en 1650); o cicloide por Christopher Wren en 1658, e a catenaria por Gottfried Leibniz en 1691.

Determinar a lonxitude dun arco dun segmento irregular, facer a rectificación dunha curva, historicamente foi difícil. Aínda que foron utilizados varios métodos para curvas específicas, a chegada do cálculo trouxo consigo fórmulas xerais que daban solucións concretas para algúns casos.

A lonxitude dun arco de circunferencia de radio r e ángulo θ (medido en radiáns), con centro na orixe, é igual a θr. Para un ángulo α, medido en graos, a lonxitude en radiáns é α/180° × π, sendo a lonxitude de arco igual a (α/180°)πr.

centro|350px

 Métodos modernos 
Ao considerar unha función  e a súa respectiva derivada , que son continuas nun intervalo [a, b], a lonxitude do arco delimitado por a e b vén dada pola fórmula:

Se a función está definida parametricamente, onde  e :

Se a función está en coordenadas polares, onde a coordenada radial e o ángulo están relacionados , a lonxitude dunha curva redúcese a:

Na maioría dos casos non hai unha solución dispoñible e será necesario usar métodos de integración. Por exemplo, aplicar esta fórmula a unha elipse levaría a unha integral elíptica de segunda orde.

Entre as curvas con solucións coñecidas están a circunferencia, catenaria, cicloide, espiral logarítmica e parábola.

 Lonxitude de arco 
A lonxitude de arco é unha medida da lonxitude dun arco dunha curva calquera, se vén dada en coordenadas cartesianas, a lonxitude de arco pode calcularse como:

Se a curva vén especificada en coordenadas polares, a lonxitude entre o ángulo  e  vén dada por:

Desta última dedúcese que para unha circunferencia, dado que  e , a lonxitude de arco pode expresarse simplemente como:

 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 


 Ligazóns externas 
 Arc, en mathworld

Categoría:Xeometría