Teorema da función inversa

Na rama da matemática denominada análise matemática, o teorema da función inversa proporciona as condicións suficientes para que unha aplicación sexa invertíbel localmente no contorno dun punto p en termos da súa derivada no punto. O teorema pódese enunciar para aplicacións en Rn ou xeneralizar a variedades diferenciábeis ou espazos de Banach.

O teorema estabelece que se o campo vectorial está definido entre dous conxuntos da mesma dimensión topolóxica, o campo ten as súas primeiras derivadas continuas e a xacobiana nun punto do dominio é invertíbel, entón o campo tamén é invertible localmente. Máis aínda, o xacobiano da inversa no punto imaxe é igual á inversa do xacobiano no punto.

 Enunciado 
A versión en  do teorema é a seguinte:

Sexa  unha función C1. Supoñendo que para , a diferencial  é invertible e que , entón existen abertos  de modo que ,  e  é unha función bixectiva, polo que a inversa  de  é C1 e polo tanto .

 Exemplo 
Considerando a función F de R2 en R2 definida por

O seu xacobiano é

e o seu determinante

Coma o determinante e2x é non nulo en todo punto, aplicando o teorema, para cada punto p de R2, existe unha contorna de p na que F é invertible.

 Variedades diferenzables 

Neste contexto, o teorema afirma que dada unha aplicación F : M → N entre dúas variedades diferenzables, se aa diferencial de F,

(dF)p : TpM → TF(p)N

é un isomorfismo linear (é dicir, isomorfismo entre espazos vectoriais) nun punto p de M, entón existe unha contorna aberta U de p tal que

F|U : U → F(U)

é un difeomorfismo.

Expresado doutra maneira, se a diferencial de F é un isomorfismo en tódolos puntos p de M, entón a aplicación F é un difeomorfismo local.

 Inversa global 
O teorema da función inversa só garante localmente a existencia dunha función inversa. Os requirimentos para a existencia dunha inversa global son algo máis complexos e non están garantidos polo cumprimento das condicións do teorema da función inversa.

Dada unha función diferenciable:

Pode demostrarse que existe unha constante  se cumpre:

De maneira que a función f admite inversa global, onde uf é o  vector de desprazamento asociado á función definido como a resta vectorial entre a imaxe dun punto e a súa posición inicial:

Pode demostrarse que  se o dominio  é convexo, mentres que un dominio non convexo require .

 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 Bombal, Marin & Vera: Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6. 
 Outros artigos 
 Teorema da función implícita
 Ligazóns externas 
 Alejandro Jofré, Patricio Felmer, Paul Bosch, Matías Bulnes, Arturo Prat, Luis Rademacher, José Zamora, y Mauricio Vargas. "Cálculo en Varias Variables - Apunte Completo" (2010) 

Funcion inversa

de:Satz von der impliziten Funktion#Satz von der Umkehrabbildung