Fórmula de Stirling

En matemáticas, a fórmula de Stirling é unha aproximación para factoriais grandes. Leva o nome en honor de James Stirling.

A aproximación exprésase como

para n suficientemente grande, onde ln é o logaritmo natural.

Escrito coa notación O grande sería 
 .

E a forma máis utilizada é 

 Dedución 
En liñas xerais, a versión máis sinxela da fórmula de Stirling pódese obter rapidamente aproximando a suma

cunha integral:


A fórmula completa, xunto coas estimacións precisas do seu erro, pódese deducir do seguinte xeito. En lugar de aproximar , considérase o seu logaritmo natural, xa que esta é unha función que varía lentamente:

O lado dereito desta ecuación menos

é a aproximación pola regra do trapecio da integral

e o erro nesta aproximación vén dado pola fórmula de Euler–Maclaurin:

onde  é un número de Bernoulli, e  é o termo residual na fórmula de Euler-Maclaurin. 

Tomando límites para atopalo

Denotamos este límite como . Como o resto
 na fórmula de Euler–Maclaurin satisfai

onde se usa a notación O grande, combinando as ecuacións anteriores obtemos a fórmula de aproximación na súa forma logarítmica:

Tomando a exponencial en ambos os dous lados e escollendo calquera número enteiro positivo , obtense unha fórmula que inclúe unha cantidade descoñecida . Para , a fórmula é

A cantidade  pódese atopar tomando o límite en ambos os dous lados xa que  tende ao infinito e usando o Produto de Wallis, o que mostra que . Polo tanto, obtense a fórmula de Stirling:

 Dedución alternativa 
Unha fórmula alternativa para  usando a función gamma é

(como se pode ver pola integración repetida por partes). Reescribindo e mudadno as variábeis , obtense

Aplicando o método de Laplace tense

co que volvemos a obter a fórmula de Stirling:

 Serie de Stirling e límite do erro  
Como vimos na introdución a fórmula máis usada é 

que provén de 

que á súa vez provén 
máis exactamente da fórmula

onde o último termo (a exponencial) tende a 1 cando n tende a infinito.

A lista dos denominadores : 12, 360, 1260, 1680, 1188, 360360, 156, 122400, 244188, 125400, 5796, 1506960, 300, ...

Desenvolvendo este último termo tamén se pode reescribir a fórmula como (chamada serie de Striling

Que ten límites superior e inferior 

G. Nemes deu unha fórmula explícita para os coeficientes desta serie. Na OEIS aparecen outros termos e .

Podemos ver un exemplo calculado destes límites:

Fórmula de Stirling para a función Gamma
Para todos os números enteiros positivos,

onde  denota a función Gamma.

Porén, a función gamma, a diferenza do factorial, está definida de xeito máis amplo para todos os números complexos que non sexan os enteiros non positivos; así, a fórmula de Stirling aínda se pode aplicar. Se , temos

A integración por partes repetida dá

onde  é o -ésimo número de Bernoulli (nótese que o límite da suma cando  non é converxente , polo que esta fórmula é só unha expansión asintótica). A fórmula é válida para  o suficientemente grande en valor absoluto, cando , onde  é positivo, cun termo de erro de . Así pódese escribir a aproximación correspondente:

onde a expansión é idéntica á da serie de Stirling anterior para , excepto que  substitúese por .

Outra aplicación desta expansión asintótica é para argumentos complexos  con constante . Vexa por exemplo a fórmula de Stirling aplicada en  da función theta de Riemann–Siegel na liña recta .
 Usos 
A fórmula resulta útil en diversas áreas como a mecánica estatística, onde aparecen ecuacións que conteñen factoriais do número de partículas. Posto que na materia ordinaria os sistemas macroscópicos típicos teñen en torno a  partículas a fórmula de Stirling resulta moi aproximada. Ademais a fórmula é diferenciable, o cal permite o cálculo moi aproximado de máximos e mínimos en expresións con factoriais.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Aproximación de Lanczos
 Aproximación de Spouge
 Factorial
 Ligazóns externas 

 Peter Luschny, Approximation formulas for the factorial function n!



Categoría:Matemáticas