Número cardinal

Os números cardinais indican a cantidade de elementos dun conxunto e reflíctense nos conceptos de números naturais e de números enteiros. Por exemplo, considerando o conxunto de extremidades do corpo humano e chamándolle a este conxunto E, E = {brazo dereito, brazo esquerdo, perna dereita, perna esquerda}, o cardinal do conxunto é 4. Pódese dicir, xa que logo, que:

 |E| = 4
 card(E) = 4
 #E = 4

4 é un número natural e un número enteiro positivo.

 Concepción gramatical 
 Definición 
O númeral cardinal é a categoría gramatical que indica o número de elementos dun conxunto. O numeral cardinal diferénciase do ordinal, do múltiplo e do partitivo.

 Lista 
Os principais numerais cardinais son: cero, un/unha, dous/dúas, tres, catro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez, once, doce, trece, catorce, quince, dezaseis, dezasete, dezaoito, dezanove, vinte, vinte e un/unha, vinte e dous/dúas, trinta, trinta e un/unha, corenta, cincuenta, sesenta, setenta, oitenta, noventa, cen, cento un/unha, douscentos/duascentas, trescentos/as, catrocentos/as, cincocentos/as, quiñentos/as, seiscentos/as, setecentos/as, oitocentos/as, novecentos/as, mil.

 Función sintáctica 
O numeral cardinal adoita incluírse entre os determinantes. Pode ter función adxectiva ou pronominal:
 se acompaña a un nome (cinco libros) 
 Función pronominal: suple (devolvín dúas).

 Riscos morfolóxicos 
En galego, o numeral cardinal tén marca de xénero en: un/unha, dous/dúas, os centos (trescentas) e os seus derivados. Exemplos:
 un boi, unha vaca;
 dous cuxos, dúas becerras;
 trescentos libros, trescentas follas;
Diferénciese "tres centos de libros" de "trescentos libros".

 Substantivos equivalentes 
Existen algúns substantivos que equivalen a certos números cardinais e que algúns autores denominan colectivos (Carballo Calero, 1979, p. 202 e Álvarez e Xove, 2002, p. 526):
 un ≡ unidade
 dous ≡ par, parella
 tres ≡ trío, terna
 dez ≡ decena
 doce ≡ ducia
 cen ≡ centena

Nalgúns casos, son períodos de tempo:
 cinco anos ≡ lustro
 dez anos ≡ década
 cen anos ≡ século

Noutros casos, poden ter significados connotativos, por exemplo, do campo da música:
 un músico ≡ solo (non confundir con "só")
 dous músicos ≡ dúo
 tres músicos ≡ trío
 catro músicos ≡ cuarteto

Tamén sucede o mesmo en poesía cos nomes de estrofas e noutros campos.

 Concepción matemática 
 Historia 
O concepto de número cardinal foi proposto por Georg Cantor en 1874. A partir do concepto de cardinalidade, chegamos ao cardinal. A cardinalidade é a característica que define o número de elementos dun conxunto. Os seguintes conxuntos son diferentes pero ten a mesma cardinalidade:

E = {brazo dereito, brazo esquerdo, perna dereita, perna esquerda}
C = {norte, sur, leste, oeste}

Por tanto, |E| = |C|

Definindo unha correspondencia biunívoca entre dous conxuntos finitos, Cantor demostraba facilmente se tiñan a mesma cardinalidade cando había unha relación bixectiva entre os seus elementos. Esta correspondencia un a un tamén lle serviu para crear o concepto de conxunto infinito: todos os seus elementos están relacionados de forma bixectiva co conxunto de números naturais.

 Cardinais para particionar e ordenar os conxuntos 
Os conxuntos poden dividirse en clases de equivalencia definidas en función da relación de equivalencia que inclúa a un par de conxuntos se e só se entre estes existe unha bixección.
A cardinalidade dun conxunto sería a clase de equivalencia á que este pertence. Dous conxuntos  coa mesma cardinalidade (que pertencen ao mesmo cardinal) denótase:

A existencia dunha función inxectiva entre dous conxuntos tamén define unha relación de orde entre os seus cardinais; é dicir:

A relación  exclúe a posibilidade de que os cardinais sexan iguais.

É posíbel demostrar que si

O cardinal do conxunto baleiro denótase convencionalmente como 0 (cero) e contén ao único conxunto baleiro. E o coxunto baleiro desígnase ∅.

 Cardinais transfinitos 
Os números cardinais dalgúns conxuntos represéntanse con símbolos especiais:
 O cardinal dos números reais: ;
 O cardinal dos números naturais:  (Alef-0).
 O cardinal inmediatamente superior a : 

Usando os axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) pode comprobarse que os tres cardinais anteriores cumpren . A hipótese do continuo afirma que de feito . Gödel probou en 1938 que esta hipótese é consistente cos axiomas ZF e, por tanto, pode ser tomado como un axioma novo para a teoría de conxuntos. Porén, en 1963, Paul Cohen probou que a negación da hipótese do continuo tamén é consistente cos axiomas ZF, o que proba que esta hipótese é totalmente independente dos axiomas ZF. É dicir, poden construírse tanto "teorías de conxuntos cantorianas" nas que a hipótese do continuo é unha afirmación certa coma "teorías de conxuntos non cantorianas" nas que a hipótese do continuo sexa falsa. Esta situación é similar á das xeometrías non euclídeas.

 Véxase tamén 
Outros artigos
 Número ordinal

 Ligazóns externas 
 Vocabulario Ortográfico da Lingua Galega
 Normas Ortográficas e Morfolóxicas do Idioma Galego

 Bibliografía 
 Álvarez, R. e Xove, X. (2002) Gramática da lingua galega. Vigo: Ed. Galaxia. Acceso en Google books.
 Carballo Calero, R. (1979) Gramática elemental del gallego común. Vigo: Ed. Galaxia.  Acceso en Google Books

Categoría:Clase de palabra
Categoría:Números