Teorema do valor medio de Cauchy

En análise matemática, e máis concretamente en cálculo diferencial, o teorema do valor medio de Cauchy é unha xeneralización do teorema do valor medio (de Lagrange). Así, Augustin Louis Cauchy dixo: sexan  e  continuas en  e derivábeis en . Se  e  non se anulan simultaneamente, entón existe  tal que:

 Demostración 
Sexa G(x) unha función definida como:

onde f(x) e g(x) son funcións continuas en [a,b], derivábeis en (a,b). Pódese observar por simple inspección que G(a)=0 e G(b)=0.

Polo Teorema de Rolle, existe un c, pertencente ao intervalo (a,b), tal que G'(c)=0. Así, derivando G(x) obtense:

e sabendo que G'(c) é 0

onde se deduce que

Se g(b)-g(a) e g'(c) son distintos de 0, a expresión anterior pode ser escrita como:

 Consecuencias 
O teorema de Cauchy emprégase para a demostración doutros teoremas. Permítenos, entre outros, demostrar a regra de L'Hôpital:

usada en análise matemática para o cálculo de límites da forma de  e .

 Véxase tamén 
Ligazóns externas



Categoría:Análise matemática

en:Mean value theorem#Cauchy's mean value theorem
fr:Théorème des accroissements finis#Théorème des accroissements finis généralisé