Regra de l'Hôpital

A regra de l'Hôpital ou regra de l'Hôpital-Bernoulli utilízase nas matemáticas, máis especificamente no cálculo infinitesimal, para determinar límites que doutro xeito sería complicado calcular. A regra di que, dadas dúas funcións f(x) e g(x) continuas e derivábeis en x = c, se f(x) e g(x) tenden ambas a cero ou a infinito cando x tende a c, entón o límite cando x tende a c do cociente de f(x) e g(x) é igual ao límite cando x tende a c do cociente das derivadas de f(x) e g(x), sempre que este límite exista (c pode ser finito ou infinito):

Esta regra recibe o seu nome na honra do matemático francés do século XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quen deu a coñecer a regra na súa obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes'' (1692), considerado o primeiro texto escrito sobre cálculo diferencial, aínda que actualmente se sabe que a regra se lle debe a Johann Bernoulli, que foi quen a desenvolveu e demostrou.

 Forma xeral 
A forma xeral da regra de L'Hôpital abrangue moitos casos. Sexan  e  números reais estendidos: números reais con infinito positivo ou negativo. Sexa  un intervalo aberto que contén  (para un límite polos dous lados) ou un intervalo aberto co punto final  (para un límite por un lado, ou un límite no infinito se  é infinito. En , as funcións con valores reais  e  asúmense diferenciábeis con . 
Finalmente temos que 
 é un límite finito ou infinito.

Tendo en conta o anterior, logo se 

ou

entón

Aínda que escribimos , os límites tamén poden ser límites por un lado ( ou ), cando  é un punto final finito do intervalo .

No segundo caso, a hipótese de que  diverxe ao infinito non é necesaria; de feito, é suficiente que 

A hipótese de que  aparece máis comunmente na literatura, mais algúns autores eluden esta hipótese engadindo outras que tamén implican . Por exemplo, pódese esixir na definición do límite  que a función  debe estar definida en todos os valores no intervalo . Outro método consiste en esixir que tanto  como  sexan diferenciábeis en tódalas partes nun intervalo que contén .

Exemplos
Nos seguintes cálculos, indicamos cada aplicación da regra de L'Hopital co símbolo . 
 Aquí temos un exemplo básico que inclúe a función exponencial, que implica a forma indeterminada  en : 

 Este é un exemplo máis elaborado que inclúe . Aplicar a regra de L'Hôpital unha soa vez aínda dá como resultado unha forma indeterminada. Neste caso, o límite pódese avaliar aplicando a regra tres veces: 

 Aquí temos un exemplo que inclúe : 

Aplicando repetidamente a regra de L'Hôpital ata que o expoñente sexa cero (se  é un número enteiro) ou negativo (se  é unha fracción) para concluír que o límite é cero.
 Aquí temos un exemplo que inclúe a forma indeterminada , que se reescribe como a forma : 

Aquí temos un exemplo que inclúe o fórmula do xuro composto e . Sexa  o principal (importe do préstamo),  o tipo de xuro por período e  o número de períodos. Cando  é cero, a cantidade de reembolso por período é  (xa que só se paga o principal); isto é consistente coa fórmula para tipos de xuro distintos de cero: 
 Tamén se pode usar a regra de L'Hôpital para demostrar o seguinte teorema. Se  é dúas veces diferenciábel nunha veciñanza de  e a súa segunda derivada é continua nesta veciñanza, entón 

Ás veces invócase a regra de L'Hôpital dun xeito complicado: supoñamos que  converxe cando  e que  converxe ao infinito positivo ou negativo. Daquela:
e así, existe  e  
(Este resultado segue sendo certo sen a hipótese engadida de que  converxe a un infinito positivo ou negativo, mais a xustificación é entón incompleta.)
 Notas 

 Véxase tamén 
 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Derivada.
 Análise matemática.

Categoría:Análise matemática