Límite matemático

Nas matemáticas, o límite é un concepto que describe a tendencia dunha sucesión ou unha función, cando os parámetros desa sucesión ou función se acercan a determinado valor. No cálculo (especialmente en análise real e matemática) este concepto utilízase para definir a converxencia, continuidade, derivación, integración etc.

 Límite dunha función 
miniatura|250px|Parámetros utilizados na definición de límite.

 Definición 
Informalmente, dise que o límite da función f(x) é L cando x tende a p, e escríbese:


se se pode encontrar para cada ocasión un x suficientemente próximo de p tal que o valor de f(x) sexa tan próximo a L como se desexe. Formalmente, utilizando termos lóxico-matemáticos:

Esta definición denomínase frecuentemente definición épsilon-delta de límite, e lese como segue:

 Límites dunha función de dúas ou máis variables 
Nas funcións de dúas ou máis variables a definición de límite é a mesma que en todas as funcións numéricas, mais nestas non sempre é fácil de calcular e moitas veces é mesmo difícil afirmar que exista ou non un límite.
Unha función de dúas variables sería:

A función de dúas variables ten dous graos de liberdade (nas funcións dunha variable só existe verdadeiramente un grao de liberdade que é a recta real, onde os valores poden ir cara a dereita, no sentido de maiores números reais, ou cara a esquerda, no sentido de menores números reais) por consecuencia é difícil achar o límite.

Ora, para que exista un valor de límite, é necesario que o independa do camiño tomado para que o(s) valor(es) da(s) variable(s) independentes sexan alcanzados. Iso pasa no caso unidimensional, cando os dous límites laterais coinciden. No caso contrario, o límite non existe.

De forma parecida, cando se ten unha función bidimensional como:

o límite pode comprobarse a través de varios camiños. Supoñamos que queremos verificar o límite L desta función cando tende a (0,0):

Podemos aproximarnos ao valor (0,0) a través de varias posibilidades:

Neste caso, o límite L é cero

Neste caso, o límite L é tamén cero

Poderíase ficar enumerando todas as posibilidades, mais sería ocioso. No caso desta función, o límite neste punto é sempre cero.

 Límite dunha sucesión 
dereita|250px|miniatura|

A definición do límite matemático no caso dunha sucesión é moi semellante á definición do límite dunha función cando  tende a . Dicimos que a sucesión  tende até o seu límite , ou que converxe ou é converxente (a ), o que denotamos como:

se podemos achar un número  tal que todos os termos da sucesión tenden a  cando  crece ilimitadamente. Formalmente:


 Propiedades dos límites 
Os límites cumpren as seguintes propiedades xerais, que son usadas moitas veces para simplificar o cálculo dos mesmos.


 Límite por escalar.
 onde k é un multiplicador escalar.

 Límite dunha suma.

 Límite dunha resta.

 Límite dunha multiplicación.

 Límite dunha división.


 Indeterminacións 

Hai límites que calculándoos directamente se obtén algunha das seguintes expresións:

Denomínanse indeterminacións a estas expresións, xa que non teñen solución coñecible. Nalgúns casos, simplificando as expresións iniciais ou obtendo expresións equivalentes ás iniciais pódese resolver a indeterminación e calcular o límite. Outros casos requiren do uso doutras ferramentas como poden ser desigualdades ou a regra de l'Hopital.

Un exemplo de indeterminación do tipo  é o que se dá nestes tres casos:



 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Regra de l'Hôpital

 Ligazóns externas 
 Límites de funcións. Introdución 
 Introdución do cálculo de límites (vídeo) 
 Mathwords: Limit 

Categoría:Análise matemática