Área

Área é a extensión ou superficie comprendida dentro dunha figura (de dúas dimensións), expresada en unidades de medida denominadas superficiais. Para superficies planas o concepto é intuitivo. Calquera superficie plana de lados rectos pode triangularse e pódese calcular a súa área como suma de triángulos.

Con todo, para calcular a área de superficies curvas requírese introducir métodos de xeometría diferencial.

Para poder definir a área dunha superficie en xeral, que é un concepto métrico, tense que definir un tensor métrico sobre a superficie en cuestión: cando a superficie está dentro dun espazo euclidiano, a superficie herda unha estrutura métrica natural inducida pola métrica euclídea.

 Historia 
miniatura|300px|Os exipcios desenvolveron a xeometría pola necesidade que tiveron de medir as terras á beira do río Nilo.
A idea de que a área é a medida que proporciona o tamaño da rexión encerrada nunha figura xeométrica provén da antigüidade. No Antigo Exipto, tras a crecida anual do río Nilo inundando os campos, xorde a necesidade de calcular a área de cada parcela agrícola para restablecer os seus límites; para liquidar iso, os exipcios inventaron a xeometría, segundo Heródoto. Heródoto Historias, Libro II.

O modo de calcular a área dun polígono como a suma das áreas dos triángulos, é un método que foi proposto por primeira vez polo sabio grego Antifón cara ao ano 430 a. C. Achar a área dunha figura curva entraña máis dificultade. O método de esgotamento consiste en inscribir e circunscribir polígonos na figura xeométrica, aumentar o número de lados de devanditos polígonos e achar a área buscada. Con este sistema, que se coñece como método de exhaución de Eudoxo, conseguiu achar a fórmula para calcular a área dun círculo. Devandito sistema foi empregado tempo despois por Arquimedes para resolver outros problemas similares: o problema da área así como o cálculo aproximado do número π.

 Área de figuras planas 
 Área dun triángulo 
A área dun triángulo calcúlase mediante a seguinte fórmula:Spiegel y Abellanas, 1992, p.9

onde l é calquera dos lados e h é a altura correspondente a ese lado.

Se o triángulo é rectángulo, a altura coincide cun dos catetos, e a fórmula quedaría da seguinte forma: 

onde a e b son os catetos.

Se o que coñecemos é a lonxitude dos seus lados aplicamos a fórmula de Herón.

onde a, b , c son os valores das lonxitudes dos seus lados 
s = ½ (a + b + c) é o semiperímetro do triángulo.

Se o triángulo é equilátero, de lado a, a súa área está dada por

miniatura|200 px|Áreas

 Área dun cuadrilátero 

miniatura|200px|Trapezoide.
 O trapezoide ou cuadrilátero totalmente irregular que ten os seus catro ángulos diferentes e lados de lonxitudes desiguais. Neste caso a área pódese obter mediante triangulación sendo:

Sendo:
 o ángulo comprendido entre os lados  e .
 o ángulo comprendido entre os lados  e .

 O rectángulo é un paralelogramo cuxos ángulos son todos de 90º; a área sería a multiplicación de dúas dos seus lados contiguos a e b:

 O rombo, cuxos 4 lados son iguais, ten a súa área dada polo semiproduto das súas dúas diagonais:

 O cadrado é o polígono regular de catro lados, é á vez un rectángulo e un rombo, polo que a súa área pode ser calculada da mesma maneira que a destes dous. En particular, dado que os seus lados son iguais, úsase a fórmula:

 Os paralelogramos en xeral teñen a súa área dada polo produto un dos seus lados e a súa altura respectiva:

 O trapecio (que ten dous lados paralelos entre si e dous lados non paralelos) cuxa área vén dada pola media aritmética dos seus lados paralelos multiplicado pola distancia entre eles (altura):

 Área do círculo e a elipse 
A área dun círculo, ou a delimitada por unha circunferencia, calcúlase mediante a seguinte expresión matemática:

miniatura|200px|A área delimitada entre a gráfica de dúas curvas pode calcularse mediante a diferenza entre as integrais de ambas as funcións.

A área delimitada por unha elipse é similar e obtense como produto do semieixe maior polo semieixe menor multiplicados por π:

 Área delimitada entre dúas funcións 
Unha forma para achar a área delimitada entre dúas funcións, é utilizando o cálculo integral:

O resultado desta integral é a área comprendida entre as curvas:  e  no intervalo .

Exemplo
Se se quere achar a área delimitada entre o eixo x e a función f(x) = 4 - x^2 no intervalo [-2;2], utilízase a ecuación anterior, neste caso: g(x)=0 entón avaliando a integral, obtense:

Polo que se conclúe que a área delimitada é ..

O volume encerrado entre dúas funcións tamén pode ser reducido ao cálculo dunha integral, similar.

 Área de superficies curvas 
esquerda|miniatura|Dous exemplos de conos.
A área dunha superficie curva é máis complexo e en xeral supón realizar algún tipo de idealización ou límite para medilo.

 Cando a superficie é desenvolvíbel, como sucede coa área lateral dun cilindro ou dun cono a área da superficie pode calcularse a partir da área desenvolvida que sempre é unha figura plana. Unha condición matemática necesaria para que unha superficie sexa desenvolvíbel é que a súa curvatura gaussiana sexa nula.
 Cando a superficie non é desenvolvíbel, o cálculo da superficie ou a fórmula analítica para atopar devandito valor é máis traballoso. Un exemplo de superficie non desenvolvíbel é a esfera xa que a súa curvatura gaussiana coincide co inverso do seu radio ao cadrado, e por tanto non é cero. Con todo a esfera é unha superficie de revolución.

 Superficie de revolución 
miniatura|200px|Unha superficie de revolución xerada por un tramo da curva y=2+cos x rotada arredor do eixo x.

Cando unha superficie curva pode ser xerada facendo virar unha curva plana ao redor dun eixo directriz, a superficie resultante chámase superficie de revolución e a súa área pode ser calculada facilmente a partir da lonxitude da curva xeratriz que ao virar conforma a superficie. Se y=f(x) é a ecuación que define un tramo de curva, ao virar esta curva ao redor do eixo X xérase unha superficie de revolución cuxa área lateral vale:

 Cálculo xeral de áreas 
Mediante a xeometría diferencial de superficies ou máis xeralmente a xeometría riemanniana pode calcularse a área de calquera superficie curva finita. Se a superficie vén dada pola función explícita z = f(x, y) entón, dada unha rexión Ω contida nunha superficie a súa área resultar ser:

De maneira un pouco máis xeral se coñecemos a ecuación paramétrica da superficie en función de dúas coordenadas calquera o e v entón a área anterior pode escribirse como:

Onde E, F e G son as compoñentes do tensor métrico ou primeira forma fundamental da superficie nas coordenadas paramétricas u e v.

 Unidades de medida de superficies 

 Sistema métrico (SI) 
Múltiplos:
 Quilómetro cadrado: 106 metros cadrados
 Hectárea: 104 metros cadrados
 Área: 10² metros cadrados

Unidade básica:
 metro cadrado: Unidade derivada do SI

Submúltiplos:
 centímetro cadrado: 10−4 metros cadrados
 barn: 10−28 metros cadrados

 Sistema inglés de medidas 
 polgada cadrada
 pé cadrado
 iarda cadrada
 acre
 milla cadrada
 legua cadrada

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 

Categoría:Xeometría
Categoría:Artigos que toda Wikipedia debería ter (Ciencia)