Función convexa

En matemática, unha función  é dita convexa se a rexión sobre o seu gráfico é un conxunto convexo. Ou, equivalentemente, de forma analítica, para calquera x e y pertencentes a  e para todo t en , tense

Unha función dise estritamente convexa se :
 para todo  en (0,1) e .

 Propiedades das funcións convexas 
 Unha función convexa en  é sempre continua en .
 Unha función continua nun intervalo C é convexa se e só se:
 para todo  ∈ .

 Unha función diferenciábel é convexa nun intervalo se e só se a súa derivada é monótona non decrecente nese intervalo.
 Unha función continuamente diferenciábel dunha variábel é convexa nun intervalo, se e só se: 
, para todos x e y no intervalo.

 Unha función dúas veces diferenciábel dunha variábel é convexa nun intervalo se e só se, a súa segunda derivada é maior ou igual a cero en todo o intervalo.
 Se a súa segunda derivada é estritamente positiva entón a función é estritamente convexa.
 Unha función convexa non posúe puntos de máximo.
 Se unha función convexa posúe un punto de mínimo local, el tamén será un punto de mínimo global.
 Unha función estritamente convexa posúe como moito un punto de mínimo.
 O máximo de funcións convexas tamén é unha función convexa.

 Exemplos 
 A función  é convexa.
 A función  é convexa.
 O valor absoluto é unha función convexa 

 Extensións 

Sexa  un espazo vectorial e  un conxunto convexo contido en , entón unha función  é dita convexa se:
 para todo  en [0,1].
E estritamente convexa se:
 para todo  en (0,1) e .

 Exemplos 
 Toda norma ou seminorma é convexa, pola desigualdade triangular
 Todo funcional lineal en  é convexo.

 Aplicacións 
 Funcións convexas son amplamente utilizadas para demostrar desigualdades tales como a desigualdade de Young.
 A convexidade desempeña un papel moi importante na aplicación de métodos variacionais para EDPs non lineais.

 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Desigualdade de Jensen

convexa