Matriz (matemáticas)

En matemáticas, unha matriz é un conxunto de números ordenados en filas e columnas de forma rectangular, na que se pode definir un conxunto de operacións. As matrices teñen múltiples aplicacións, como na resolución de sistemas de ecuacións lineais, e son fundamentais na álxebra lineal.

 Definición 

LiñasMatrizFilas150px|matiz 4x4‎Columnas150px|‎

Unha matriz en R é unha colección dobremente indexada de elementos dun anel R, é dicir, que os elementos disporanse en filas e columnas e que os elementos teñen definidos operacións semellantes a suma e ao produto. A meirande parte deste artigo referirase as matrices de elementos nun corpo K, en particular, ás matrices reais ou complexas, é dicir, matrices cuxos elementos son números reais ou complexos, respectivamente. Un exemplo dunha matriz sería:

Os obxectos matemáticos que conforman a matriz son os seus elementos. As liñas horizontais chámanse filas, e as verticais, columnas.

 Orde 
Unha matriz de orde  ou, xeralmente, unha matriz  é unha matriz con m filas e n columnas, e m e n son as dimensións da matriz. Por exemplo, a matriz A anterior é unha matriz . A matriz  será unha matriz fila, e a matriz  será unha matriz columna. 

Para referirmos ao conxunto de matrices de orde , usaremos , onde  é o anel ao que pertencen os elementos. No caso do conxunto de matrices cadradas e , usaremos a notación de  

 Notación 
As matrices adoitan denotarse con letras maiúsculas, en tanto que os seus elementos son denotados por letras minúsculas con dous índices. Aquí, usaremos a notación de dobre subindexado para falar dos elementos dunha matriz A: o elemento de A na fila i e na columna j denótase por aij. Normalmente, unha matriz escribirase da seguinte forma:

.

Deste xeito, se:

entón a23 = 1 e a11 = 4. Ás veces, utilizarase Aij para representar aij e a notación de (aij) para referirse á matriz A cando a súa orde estea clara polo contexto. Hai que ter en conta que existen outra notación, na que se escribirá  para indicar o mesmo elemento. Ás veces, para traballar comodamente coas columnas dunha matriz, escribiremos  onde  é a columna i-ésima.

Diremos que dúas matrices  e  son iguais cando teñen a mesma orde m×n e todos os elementos correspondentes son iguais, é dicir, .

No estudo das matrices, adoitase chamar escalar aos elementos do anel, é dicir, os escalares serán os números reais se o noso anel son os reais.

 Operacións de matrices 

 Multiplicación por un escalar 
A multiplicación é unha das operacións máis sinxelas que poden ser feitas con matrices. Para multiplicar un número  calquera por unha matriz m×n , basta multiplicar cada elemento de  por . Así, a matriz resultante  será tamén m×n e . Con iso, pódese pensar tamén na noción de dividir unha matriz por un número: basta multiplicala polo inverso dese número. Mais esa noción pode ser perigosa: en canto a multiplicación entre un número e unha matriz pode ser dita "conmutativa", o mesmo non vale para a división, pois non se pode dividir un número por unha matriz.

Por exemplo:

 Adición de matrices 

Se  e  son dúas matrices da mesma orde m×n, entón a suma  é a matriz de orde  m×n que se obtén ao sumar os elementos de  cos elementos de  que lle corresponden, é dicir, dadas as matrices  e  da mesma orde,  e , entón a suma .

Por exemplo:
.

A matriz  escríbese , e entón podemos definir a diferenza de dúas matrices: dadas as matrices  e  da mesma orde,  e , entón a diferenza .

 Transposición 
Se  é unha matriz de orde m×n, entón a matriz trasposta de  é a matriz n×m  que se forma intercambiando as filas e as columnas de , isto é, 

Por exemplo:

 Produto de matrices 

O produto de dúas matrices é só posíbel se o número de columnas da matriz da esquerda é o mesmo número de liñas da matriz da dereita. Se  é unha matriz m×n e  é unha matriz n×p, entón o produto  é unha matriz m×p é .

Por exemplo:

 Potencia dunha matriz cadrada 

A potencia dunha matriz sería unha multiplicación repetida, o que pode realizarse cando a matriz é cadrada.

Cando unha matriz  cadrada é diagonalizábel
esta diagonalización , onde  é unha matriz diagonal, pódese usar para calcular eficientemente as potencias dunha matriz:



e isto último é doado de calcular xa que só implica as potencias dunha matriz diagonal (e finalmente dúas multiplicacións).

 Álxebra de matrices 

 Propiedades da adición de matrices e da multiplicación por escalares 
Dadas as matrices , ,  da mesma orde e ,  escalares, entón cúmprense as seguintes propiedades:

 Conmutativa: 
 Asociativa: 
 Elemento neutro da suma de matrices: Para todas as matrices da mesma orde, existe unha matriz  tal que  para calquera matriz 
 Elemento oposto da suma de matrices: Para toda matriz  existe unha matriz   tal que 
 Distributiva respecto á suma de matrices: 
 Distributiva respecto á suma de escalares:

  onde  é o elemento neutro do produto do anel R ao que pertence o escalar.

 Propiedades do produto de matrices 
Dadas as matrices , ,  das ordes axeitadas para que as operacións estean definidas, e  un escalar, entón cúmprense as seguintes propiedades:

 Asociativa: 
 Distributiva pola esquerda: 
 Distributiva pola dereita: 

 Se  ten orde m×n, 

En xeral, observamos que o produto de dúas matrices   e  é non conmutativo:

 Se as matrices non son cadradas, polo menos un dos dous produtos non estará definido.
 De seren dúas matrices cadradas, os produtos  e  estarán definidos, pero non teñen por que coincidir, como no seguinte exemplo:

 Exemplo:   e  as matrices non conmutan.
De coincidiren,  e diremos que as matrices  e  conmutan.

 Propiedades da transposición 
Dadas as matrices ,  das ordes axeitadas para que as operacións estean definidas, e  un escalar, entón cúmprense as seguintes propiedades:






 Matriz cadrada 

Unha matriz cadrada é unha matriz co mesmo número de filas que de columnas, é dicir, son as matrices de orde nxn ou, simplemente, de orde n. Chamaremos ao conxunto de elementos da forma  como diagonal principal.

 Principais tipos 

 Matrices diagonais e triangulares 

{| class="wikitable" style="float:right; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
|-
! Nome !! Exemplo con n=3
!Definición
|-
|Matriz diagonal|| style="text-align:center;" |
|
|-
|Matriz triangular inferior|| style="text-align:center;" |
|
|-
|matriz triangular superior|| style="text-align:center;" |
|
|}
Se todos os elementos da matriz  por debaixo da diagonal principal son nulos ,  é unha matriz triangular superior. Analogamente, se os elementos que están por riba da diagonal principal son cero, entón  é unha matriz diagonal inferior. Se todas os elementos que no estean na diagonal principal son nulos, diremos que  é unha matriz diagonal.

Se os elementos da diagonal son , defínese  como a matriz diagonal na que .

 Matriz identidade 

A matriz identidade de orde n é a matriz de orde nxn tal que todos os elementos da diagonal principal son iguais a 1, e o resto de elementos son iguais a 0, como:

Son un tipo especial de matrices cadradas, que toman o seu nome porque manteñen as matrices despois do produto:  para toda matriz de orde mxn.

 Matriz simétrica e antisimétrica 

Unha matriz cadrada  é unha matriz simétrica se , mais se , entón   é unha matriz antisimétrica.

Pódense construír matrices destes tipos a partir doutras que non pertence, por exemplo, se é unha matriz cadrada, é unha matriz simétrica e  é unha matriz antisimétrica,  e para calquera matriz , é unha matriz simétrica.

 Matriz invertible e matriz inversa 

Unha matriz cadrada  de orde n, é invertible o non singular se existe unha matriz  tal que , onde  é a matriz identidade nxn. Se  existe, entón denotarémola como a matriz inversa de  ou .  A matriz inversa ten as seguintes propiedades:

 Se  e todas son matrices cadradas e invertibles, entón .

 Se  é simétrica, entón tamén.
 Se existe a matriz inversa, entón esta ha de ser única.

 Matriz ortogonal 

Unha matriz cadrada  é unha matriz ortogonal con elementos reais  se a súa matriz trasposta é igual á súa matriz inversa: . Deste xeito, temos que .

 Matriz nilpotente 

Unha matriz nilpotente é unha  matriz cadrada  N tal que

para algún enteiro .  O menor deses  chámase índice de .

Por exemplo a matriz

é nilpotente con índice 2, pois .

 Operacións principais 

 Traza 
A traza, , dunha matriz cadrada  é a suma dos elementos da súa diagonal, é dicir, . Un exemplo sería

Pódese deducir pola definición de produto de matrices que:

Disto conclúese que a traza dun produto de máis de dúas matrices é independente dunha permutación cíclica de matrices, mais isto non se aplica en xeral a permutacións arbitrarias, por exemplo . Tamén temos que a traza dunha matriz ten a mesma traza que a súa transposta, isto é, .

 Determinante 


O determinante dunha matriz cadrada A (denominado det(A) ou |A|) é un número que codifica certas propiedades da matriz. Unha matriz é invertíbel se e só se o seu determinante é distinto de cero. 

O seu valor absoluto é igual á área (en R) ou volume (en R) da imaxe do cadrado (ou cubo), mentres que o seu signo corresponde á orientación do mapa linear correspondente: o determinante é positivo se e só se se conserva a orientación.

O determinante ou dunha matriz cadrada é a única función matricial que leva ao conxunto  a  que cumpre:






Ás propiedades 1 e 2 din que é unha función n-linear para as columnas e a propiedade 3 di que é alternada para as columnas.

O determinante ten diferentes propiedades, entre as que salientan:

 Unha matriz é invertíbel se e só se o seu determinante non é cero.
  , polo que temos as mesmas propiedades para as filas que para as columnas.

 O seu valor absoluto equivale á área (en ), ao volume (en ) ou ao volume xeneralizado (en ) do cubo que ten por costados aos vectores que corresponden coas columnas da matriz.
 Mediante a regra de Cramer, pódese usar para resolver sistemas de ecuacións lineais.

 Eigenvalores e eigenvectores 

Un número  e un vector distinto de cero v que satisfán

chámanse eigenvalor (ou valor propio) e eigenvector (ou vector propio) de A, respectivamente.Eigen significa "propio" en alemán e en Holandés. O número λ é un eigenvalor dunha matriz n×n-A se e só se A−λI non é invertíbel, o que é equivalente a

O polinomio  nunha  variable  indeterminada  dada pola avaliación do determinante  chámase polinomio característico de A. É un polinomio mónico de grao . Polo tanto, a ecuación polinómica  ten como máximo n solucións diferentes, é dicir, n eigenvalores da matriz. Poden ser complexos aínda que as entradas de A sexan reais. 

Segundo o teorema de Cayley-Hamilton, , é dicir, o resultado de substituír a propia matriz no seu polinomio característico obtén a matriz cero.

 Ecuacións lineais 
A álxebra de matrices é interesante para a representación de sistemas de ecuacións lineais. Por exemplo, supoñamos que queremos resolver o seguinte sistema:

Entón poderemos representalo pola ecuación de matrices , onde

Como neste caso temos que  é invertíbel, entón:

En xeral, se  é unha matriz mxn,  é unha matriz columna n×1 e  é outra matriz columna m×1, entón a ecuación é equivalente ao sistema de ecuacións

Como no caso anterior, se n = m e  é invertible (as ecuacións son independentes), podemos escribir  para resolver o sistema. En calquera outro caso, ou ben o sistema non té solucións ou ben té infinitas.

 Descomposición 

Hai diferentes métodos para traballar coas matrices  dun xeito máis sinxelo, para o cal unha posibilidade é o uso de técnicas coñecidas como "descomposición matricial" ou "factorización matricial". Debido a que estas transformacións manteñen certas propiedades da matriz orixinal, como o determinante, o rango ou os autovalores, estas propiedades poden ser calculadas a partir da descomposición no canto da matricial orixinal. Deste xeito son utilizadas na análise numérica para realizar certas operacións matriciais de maneira máis eficiente.

 Aplicacións 

 Teoría de grafos 
En teoría de grafos, usando as matrices pódense representar grafos, atopar caracterizacións e demostrar resultados con técnicas de álxebra lineal. Entre as matrices que se utilizan salientan:

 A matriz de adxacencia, que garda a información de que vértices están conectados por unha aresta. 
 A matriz de incidencia, que almacena en  un -1 se a aresta j sae do vértice i, 1 se entra e 0 no outros casos.
 A matriz laplaciana, que se define como a matriz diferenza entre a matriz de graos e a matriz de adxacencia.
 A matriz de distancias, que é a matriz que garda a distancia entre os vértices dun grafo.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Ligazóns externas 
 MIT Linear Algebra Video Lectures de Gilbert Strang 

Categoría:Matrices