Georg Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, nado en San Petersburgo (Rusia) o 3 de marzo de 1845 e finado en Halle o 6 de xaneiro de 1918, foi un matemático alemán.

 Traxectoria 
 Xuventude e formación 
Cantor naceu en 1845 na colonia de comerciantes occidentais de San Petersburgo, Rusia, e criouse nesta cidade ata os once anos. Georg, o maior de seis irmáns, destacaba como violinista, herdando os considerables talentos artísticos e musicais dos seus pais. O seu pai foi socio da Bolsa de San Petersburgo; en 1856 enfermou, e a familia mudouse a Alemaña, primeiro a Wiesbaden e despois a Frankfurt, na procura de invernos máis suaves cós de San Petersburgo. En 1860, Cantor obtivo o certificado de estudos (con matrícula de honra) na Realschule de Darmstadt; eran notorias as súas extraordinarias habilidades coas matemáticas, en particular coa trigonometría. En 1862, Cantor matriculouse na Escola Politécnica Federal de Zürich (hoxe ETH Zürich). En 1863 recibe unha herdanza considerable trala morte do seu pai, e continúa os seus estudos na Universidade de Berlín, recibindo clases de Kronecker, Karl Weierstrass e Ernst Kummer. Pasou o verán de 1866 na Universidade de Gotinga, xa daquela un moi importante centro de investigación matemática. En 1867, doutorouse en Berlín cunha tese en teoría de números titulada De aequationibus secundi gradus indeterminatis.

 Profesor e investigador 
Tras ser brevemente profesor nunha escola feminina de Berlín, Cantor asumiu un posto na Universidade de Halle, no que pasou toda a súa carreira profesional. Concedéuselle o requisito da habilitación pola súa tese en teoría de números.

En 1874, Cantor casou con Vally Guttmann. Tiveron seis fillos, o último en 1886. Cantor puido manter á familia a pesar do seu soldo modesto, grazas á herdanza do seu pai. Durante a súa lúa de mel nas montañas Harz, Cantor gastou moito tempo en discusións matemáticas con Richard Dedekind, con que fixera amizade dous anos antes nas súas vacacións en Suíza.

Cantor ascendeu a Profesor Extraordinario en 1872, facéndose finalmente Profesor en 1879. Chegar a esta última categoría aos 34 anos foi un éxito notable, mais Cantor desexaba unha cátedra nunha universidade máis prestixiosa, coma Berlín, entón a máis punteira universidade xermana. De tódolos xeitos, a súa obra atopou demasiada oposición como para acadar os seus propósitos.Dauben, 1979, p. 163. A Kronecker, quen liderou a matemática berlinesa até a súa morte en 1891, incomodáballe cada vez máis a posibilidade de ter a Cantor coma colega,Dauben, 1979, p. 34. percibíndoo coma un "corruptor da mocidade" por ensinar as súas ideas á xeración de novos matemáticos. Peor aínda, Kronecker, que era unha figura arraigada na comunidade matemática e fora profesor de Cantor, estaba en desacordo co fundamental da obra de Cantor. Kronecker, hoxe en día recoñecido coma un dos fundadores do construtivismo matemático, non gustaba moito da teoría de conxuntos de Cantor porque esta aseguraba a existencia de conxuntos satisfacendo certas propiedades, sen dar exemplos concretos de conxuntos cuxos elementos verificarán efectivamente ditas propiedades. Cantor chegou a crer que a postura de Kronecker faríalle imposible incluso deixar Halle.

En 1881 morre Eduard Heine, colega de Cantor en Halle, deixando unha cátedra libre. Acéptase en Halle a suxestión de Cantor de ofrecerlla a Dedekind, a Heinrich Weber e a Franz Mertens, por esa orde, mais todos declinan a oferta. Finalmente foi nomeado Friedrich Wangerin, con quen Cantor nunca tivo unha relación estreita.

En 1882 rematou a correspondencia matemática entre Cantor e Dedekind, aparentemente tralo rexeitamento de Dedekind da cátedra en Halle.Dauben, 1979, pp. 2–3; Grattan-Guinness, 1971, pp. 354–355. Cantor principiou entón outra correspondencia importante co sueco Gösta Mittag-Leffler, e pronto comezou a publicar na revista Acta Mathematica de Mittag-Leffler. Mais en 1885, Mittag-Leffler estaba preocupado pola natureza filosófica e a nova terminoloxía dun artigo que Cantor presentara a Acta.Dauben, 1979, p. 138. Pediulle a Cantor que renunciara á publicación na revista cando xa estaba en probas de imprenta, escribíndolle que era "… arredor de cen anos demasiado cedo." Cantor cedeu, mais escribiu a outra persoa:

Cantor cortou de súpeto a súa relación con Mittag-Leffler, amosando unha tendencia a interpretar as críticas ben intencionadas coma fondas ofensas á súa persoa.

Sufriu o seu primeiro ataque depresivo coñecido en 1884.Dauben, 1979, p. 282. Preocupábanlle as críticas ao seu traballo: cada unha das cincuenta e dúas cartas que lle escribiu a Gösta Mittag-Leffler en 1884 atacaban a Kronecker. Unha pasaxe dunha destas cartas é reveladora da súa perda de confianza en si mesmo:

Esta crise emocional levouno a solicitar dar clases de filosofía en vez de matemáticas. Comezou tamén a estudar intensamente literatura isabelina nun intento de probar que Francis Bacon escribira as obras atribuídas a Shakespeare; isto rematou na publicación de dous panfletos en 1896 e 1897.Dauben, 1979, pp. 281–283.

Cantor repúxose pronto, e fixo máis contribucións importantes, incluíndo o seu famoso argumento da diagonal e o teorema de Cantor. De tódolos xeitos, nunca recuperaría o alto nivel dos seus extraordinarios traballos do período 1874–1884. Finalmente intentou reconciliarse con Kronecker, quen xentilmente aceptou. Aínda así, subsistían os desacordos filosóficos e as dificultades que os dividían. Tense dito que os persistentes ataques depresivos de Cantor desencadeábanse pola oposición de Kronecker á súa obra. Aínda que as preocupacións matemáticas de Cantor e as súas dificultades para tratar con certas persoas foran enormemente ampliadas pola súa depresión, non hai dúbida de que nelas estaba a súa orixe. De tódolos xeitos, a súa póstuma diagnose de bipolaridade foi aceptada coma a causa do seu humor variable.

En 1890, Cantor contribuíu á fundación da Sociedade Matemática Alemá presidindo a súa primeira reunión en Halle en 1891; a súa reputación era suficientemente grande, malia a oposición de Kronecker á súa obra, como para asegurarlle a elección como primeiro presidente desta sociedade. Deixando os rancores a un lado, Cantor invitou a Kronecker á reunión, á cal non asistiu Kronecker polo grave estado de saúde da súa esposa.

 Últimos anos 
Trala hospitalización en 1884, non hai constancia de que Cantor estivera nun sanatorio até 1899.Dauben, 1979, p. 282. Pouco despois desta segunda hospitalización, morre o seu fillo máis novo de súpeto (mentres Cantor daba unha clase sobre as súas opinións acerca da teoría baconiana e William Shakespeare), esgotando esta traxedia moita da paixón de Cantor cara ás matemáticas.Dauben, 1979, p. 283. Cantor foi hospitalizado de novo en 1903. Un ano despois, Julius König presentou un traballo no terceiro Congreso Internacional de Matemáticos que enfureceu e perturbou a Cantor. O traballo intentaba demostrar que os principios básicos da teoría de conxuntos transfinita eran falsos. Ao ser lido diante das súas irmás e colegas, Cantor víase humillado publicamente.Para unha discusión acerca do traballo de König véxase Dauben, 1979, 248–250. Para a reacción de Cantor, ver Dauben, 1979, p. 248; 283. Aínda que Ernst Zermelo demostrou en menos dun día que a proba de König estaba errada, Cantor ficou conmocionado, cuestionando momentaneamente a Deus.Dauben, 1979, p. 248. Cantor sufriu depresión crónica o resto dos seus días, causa pola que se lle permitiu non dar clases en varias ocasións e foi confinado en varios sanatorios. Os acontecementos de 1904 precederon unha serie de hospitalizacións a intervalos de dous ou tres anos.Dauben, 1979, p. 283–284. De tódolos xeitos non abandonou completamente as matemáticas, ensinando os paradoxos da teoría de conxuntos (paradoxo de Burali-Forti, paradoxo de Cantor, e paradoxo de Russell) nunha reunión da Sociedade Matemática Alemá en 1903, e asistindo ao Congreso Internacional de Matemáticos de 1904 en Heidelberg.

En 1911, Cantor foi un dos distinguidos eruditos foráneos invitados a asistir ao 500 aniversario da fundación da Universidade de St Andrews en Escocia. Cantor asistiu, coa esperanza de atopar a Bertrand Russell, cuxo recentemente publicado Principia Mathematica citaba repetidamente os seus traballos, mais isto non aconteceu. Ao ano seguinte, a Universidade de St Andrews nomeou a Cantor doutor honoris causa, mais descartouse a súa asistencia ao acto por mor da súa enfermidade.

Cantor retirouse en 1913, sufrindo pobreza, incluso a escaseza de alimentos, durante a primeira guerra mundial.Dauben, 1979, p. 284. A celebración pública do seu 70 aniversario cancelouse por culpa da guerra. Morreu o 6 de xaneiro de 1918 no sanatorio onde pasou o seu último ano de vida.

 Obra matemática 
As investigacións de Cantor entre 1874 e 1884 son a orixe da teoría de conxuntos.Johnson, 1972, p. 55. Anteriormente, o concepto de conxunto era bastante elemental e usárase implicitamente dende os comezos da matemática, remontándose ás ideas de Aristóteles.Este parágrafo é un resumo moi abreviado do impacto da obra de Cantor. Máis adiante atoparanse detalles e referencias. Ninguén se decatara de que a teoría de conxuntos non tiña ningún contido trivial: antes de Cantor, había só conxuntos finitos (que son fáciles de comprender) e "o infinito" (que se consideraba un tema de discusión filosófica máis que matemática). Demostrando a existencia de (infinitos) máis tamaños de conxuntos infinitos, Cantor estableceu que a teoría de conxuntos non era trivial, e que requiría ser estudada. A teoría de conxuntos xoga hoxe o papel dunha teoría de fundamentos para a matemática moderna, no sentido de que interpreta proposicións acerca de obxectos matemáticos (por exemplo, números e funcións) de tódalas áreas tradicionais da matemática (tales coma a álxebra, a análise e a topoloxía) dentro dunha única teoría, e proporciona un conxunto de axiomas estándar para demostralas ou refutalas. Os conceptos básicos da teoría de conxuntos son hoxe usados ao longo de toda a matemática.

Nun dos seus primeiros traballos, Cantor probou que o conxunto dos números reais é "máis numeroso" que o dos números naturais; por vez primeira amosábase que existen infinitos conxuntos de diferentes tamaños. Tamén foi o primeiro en apreciar a importancia das correspondencias biunívocas na teoría de conxuntos. Empregou este concepto para definir conxuntos finitos e infinitos, subdividindo estes últimos en conxuntos numerables e conxuntos non numerables.

Cantor introduciu construcións fundamentais da teoría de conxuntos, coma a do conxunto de partes dun conxunto A, que é o conxunto que ten por elementos a tódolos posibles subconxuntos de A. Máis tarde demostrou que o tamaño do conxunto de partes dun conxunto A é estritamente maior có tamaño de A, aínda cando A sexa un conxunto infinito; este resultado non tardou en coñecerse coma teorema de Cantor. Cantor desenvolveu unha completa teoría e aritmética dos conxuntos infinitos, estendendo a aritmética dos números naturais. A súa notación para os números cardinais foi a letra hebrea  (aleph) cun número natural coma subíndice; para os ordinais empregou a letra grega ω (omega). Esta notación aínda está en uso.

A hipótese do continuo, introducida por Cantor, foi presentada por David Hilbert coma o primeiro dos seus vinte e tres problemas abertos no seu famoso discurso no Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 en París. A obra de Cantor chamou a atención positivamente máis aló desta famosa louvanza de Hilbert.Reid, 1996, p. 177. O filósofo estadounidense Charles Peirce eloxiou a teoría de conxuntos cantoriana, e, tralas conferencias pronunciadas por Cantor no primeiro Congreso Internacional de Matemáticos, celebrado en Zürich en 1897, Hurwitz e Hadamard tamén expresaron a súa admiración. Neste congreso, Cantor restaurou a súa amizade e correspondencia con Dedekind. Dende 1905, Cantor escribíase co seu admirador e tradutor británico Philip Jourdain acerca da historia da teoría de conxuntos e das ideas relixiosas de Cantor, cartas que foron publicadas con posterioridade.

 Teoría de números e teoría de funcións 
Os dez primeiros traballos de Cantor foron en teoría de números, o tema da súa tese. A instancia de Eduard Heine, o catedrático en Halle, Cantor pasouse á análise matemática. Heine propúxolle resolver un problema aberto que eludiran Dirichlet, Lipschitz, Bernhard Riemann, e o mesmo Heine: a unicidade da representación dunha función como serie trigonométrica. Cantor resolveu este difícil problema en 1869. Entre 1870 e 1872, publicou máis artigos acerca das series trigonométricas, entre eles un no que define os números irracionais coma sucesións converxentes de números racionais. Dedekind, de quen Cantor se fixo amigo en 1872, citou este traballo máis tarde aquel ano, no artigo no que expuxo por vez primeira a súa coñecida definición dos números reais mediante cortes de Dedekind.

 Teoría de conxuntos 
dereita|miniatura|250px|Ilustración do argumento da diagonal de Cantor sobre a existencia de conxuntos non numerables.A ilustración segue a notación do traballo de Cantor de 1891 . Para calquera lista infinita e ordenada de sucesións  de dous caracteres m e w sempre poderemos construír unha sucesión que non está na lista. No exemplo a sucesión  difire de tódalas anteriores no díxito da diagonal.
A miúdo establécese o comezo da teoría de conxuntos como rama da matemática a partir da publicación en 1874 do traballo de Cantor, Sobre unha propiedade inherente a tódolos números alxébricos reais (Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reelen algebraischen Zahlen). Este artigo, publicado no "Journal de Crelle" grazas ao apoio de Dedekind (e pese á oposición de Kronecker), foi o primeiro no que se formulou unha proba rigorosa de que hai máis dunha clase de infinito. Esta demostración é a peza central do seu legado matemático, axudando a levantar a base do cálculo infinitesimal e a análise do continuo dos números reais.Moore, 1995, pp. 112 e 114; Dauben, 2004, p. 1. Con anterioridade asumíase implicitamente que tódalas coleccións infinitas tiñan o mesmo número de elementos.Por exemplo, problemas xeométricos expostos por Galileo e John Duns Scotus suxerían que tódolos conxuntos infinitos tiñan o mesmo número de elementos — véxase Moore, 1995, p. 114. Despois probou que o conxunto dos números reais era non numerable, aínda que cunha demostración máis complexa que o famoso argumento da diagonal que publicou en 1891.Para a importancia do traballo de Cantor na teoría de conxuntos, véxase Suppes, 1972. Con anterioridade xa probara que o conxunto dos números racionais é numerable.

Joseph Liouville estableceu a existencia dos números transcendentes en 1851, e o traballo de Cantor demostraba que o conxunto dos números transcendentes era non numerable: probou que a unión de dous conxuntos numerables era numerable, e a recta real é igual á unión do conxunto dos números alxébricos co conxunto dos números transcendentes (é dicir, cada número real ou ben é alxébrico ou ben é transcendente). O seu traballo de 1874 amosaba que o conxunto dos números alxébricos (isto é, as raíces de ecuacións polinómicas con coeficientes enteiros) era numerable, polo tanto ao ser o conxunto dos números reais non numerable, tamén o sería o dos números transcendentes. En consecuencia "case tódolos" números reais son transcendentes. Cantor comentaba que de feito reprobara un teorema, debido a Liouville, referente á existencia de infinitos números transcendentes en cada intervalo.

Entre 1879 e 1884, Cantor publicou unha serie de seis artigos en Mathematische Annalen que xuntos forman unha introdución á súa teoría de conxuntos. Ao mesmo tempo, medraba a oposición ás ideas de Cantor, liderada por Kronecker, quen só admitía conceptos matemáticos que se puideran construír nun número finito de pasos a partir dos números naturais, que el tomaba coma intuitivamente dados. Para Kronecker, a xerarquía de infinitos de Cantor era inadmisible, xa que a aceptación da idea do infinito actual abriría as portas a paradoxos que cuestionarían a validez da matemática coma un todo.Dauben, 1977, p. 89. Durante este período Cantor tamén construíu o seu conxunto de Cantor.

O quinto artigo desta serie, Fundamentos dunha teoría xeral de agregados (Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre), publicado en 1883, foi o máis importante deles, sendo publicado tamén coma unha monografía por separado. Contiña a contestación de Cantor ás críticas. Amosaba os números transfinitos coma unha extensión sistemática dos números naturais. Comeza definindo a noción de conxunto ben ordenado, e introduce os números ordinais coma os tipos de orde de conxuntos ben ordenados. Cantor define entón a suma e multiplicación de números cardinais e ordinais. En 1885, Cantor estende a súa teoría de tipos de orde de xeito que os números ordinais pasan a ser simplemente un caso particular de tipos de orde.

En 1891, publicou un artigo que contiña o seu elegante "argumento da diagonal" para a existencia dun conxunto non numerable. Aplicou a mesma idea á demostración do teorema de Cantor: a cardinalidade do conxunto de partes dun conxunto A é estritamente maior que a cardinalidade de A. Isto establecía a riqueza da xerarquía de conxuntos infinitos, e da aritmética cardinal e ordinal que Cantor definira. O seu argumento é fundamental para solucionar o problema da parada e na demostración do primeiro teorema de incompletitude de Gödel.

En 1895 e 1897, Cantor publicou as dúas partes dun traballo en Mathematische Annalen sendo daquela editor Felix Klein; estes foron os seus últimos artigos de importancia na teoría de conxuntos.Pódese consultar unha tradución ao inglés en . O primeiro artigo comeza coas definicións de conxunto, subconxunto etc., dun xeito que sería bastante admisible hoxe en día. Revísanse a aritmética cardinal e a ordinal. Cantor quería que o segundo artigo contivera unha proba da hipótese co continuo, mais tivo que arranxalo para expor a súa teoría de conxuntos ben ordenados e números ordinais. Cantor intenta demostrar que se A e B son conxuntos con A equivalente a un subconxunto de B e B equivalente a un subconxunto de A, entón A e B son equivalentes. Ernst Schroeder expuxo este teorema pouco despois, máis a súa proba, así como a de Cantor, era defectuosa. Felix Bernstein sacou unha demostración correcta en 1898 na súa tese doutoral; de aí que o resultado se coñeza coma teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein.

 Bixeccións 
miniatura|Unha función bixectiva.
O traballo publicado por Cantor en 1874 no Journal de Crelle foi o primeiro en falar da noción de correspondencia biunívoca, aínda que sen empregar ese termo. Comeza coa procura dunha bixección entre os puntos dun cadrado de lado un e os puntos dun segmento de recta de lonxitude un. Nunha carta a Dedekind de 1877, Cantor demostrou un resultado bastante máis forte: para calquera número positivo n, existe unha correspondencia biunívoca entre os puntos do segmento unitario e os puntos dun espazo n-dimensional. É famosa a frase que Cantor lle escribiu a Dedekind acerca deste descubrimento: "Je le vois, mais je ne le crois pas!" ("Eu véxoo, mais non mo creo!")Wallace, 2003, p. 259. Este resultado que lle parecera incrible ten consecuencias cara á xeometría e á noción de dimensión.

En 1878, Cantor presentou outro artigo ao Journal de Crelle, no que precisamente definía o concepto de bixección, e introducía a noción de "potencia" (termo que tomou de Jakob Steiner) ou "equivalencia" de conxuntos: dous conxuntos son equivalentes (teñen a mesma potencia) se existe unha correspondencia biunívoca entre eles. Cantor definiu os conxuntos numerables como aqueles conxuntos que se poden poñer en bixección co conxunto dos números naturais, e probou que o conxunto dos números racionais é numerable. Tamén demostrou que o [[espazo euclidiano] n-dimensional Rn ten a mesma potencia que o conxunto dos números reais R, do mesmo xeito que tamén a ten un produto numerable de copias de R. Aínda que fixo un uso libre da noción de numerabilidade coma concepto, non escribiu a palabra "numerable" até 1883. Cantor tamén trataba sobre as súas ideas acerca da dimensión, facendo fincapé en que a súa bixección entre o intervalo unitario e o cadrado unitario non era unha función continua.

Este artigo, igual que o de 1874, enfadou a Kronecker, e Cantor quixo retiralo; aínda así, Dedekind convenceuno para que non o fixera e Weierstrass apoiou tamén a súa publicación.Dauben, 1979, p. 69; 324 63n. O traballo foi presentado en xullo de 1877. Dedekind admitiuno, mais retardouse a súa publicación por mor da oposición de Kronecker. Weierstrass apoiouno activamente. De tódolos xeitos, Cantor nunca volvería a presentar nada no Crelle.

 Hipótese do continuo 
Cantor foi o primeiro en formular o que posteriormente deuse en chamar hipótese do continuo (ou abreviando HC): non existe ningún conxunto cuxa potencia sexa maior que a dos naturais e menor que a dos reais (ou equivalentemente, a cardinalidade dos números reais é exactamente , en vez de ao menos ). Cantor cría certa a hipótese do continuo, e tentou en van durante moitos anos atoparlle unha proba. A súa incapacidade para demostrala causoulle unha ansiedade considerable.

A dificultade que Cantor tivera para probar a hipótese do continuo foi subliñada por desenvolvementos posteriores da matemática: un resultado de Gödel en 1940 xunto con outro de Paul Cohen en 1963 implican que a hipótese do continuo non se pode probar nin rexeitar co emprego da teoría de conxuntos estándar de Zermelo-Fraenkel xunto co axioma da escolla (combinación coñecida como "ZFC").Con estes resultados, algúns matemáticos dan o tema por concluído, e como moito permiten a posibilidade de examinar as consecuencias formais da HC ou da súa negación, ou de axiomas que impliquen unha delas. Outros continúan na procura de axiomas "naturais" ou "cribles" que ao seren engadidos á ZFC permitan, ou ben probar ou ben rexeitar HC, ou incluso procuran evidencias a prol ou en contra HC; entre estes destaca W. Hugh Woodin. Un dos últimos traballos de Gödel defende a falsidade da HC, e que a cardinalidade do continuo é .

 Paradoxos da teoría de conxuntos 
A consideración de paradoxos na teoría de conxuntos comezou a ter lugar contra o fin do século XIX. Algúns deles implicaban problemas cos fundamentos da formulación teórica da teoría de conxuntos cantoriana.Dauben, 1979, pp. 240–270; especialmente pp. 241 e 259. Nun traballo de 1897 acerca dun tema non relacionado, Cesare Burali-Forti expuxo o primeiro destes paradoxos, o paradoxo de Burali-Forti: o número ordinal do conxunto de tódolos ordinais ten que ser un ordinal, e iso leva á contradición. Cantor descubriu este paradoxo en 1895, e describiulla a Hilbert nunha carta de 1896. As críticas aumentaron até o punto de que en 1903 Cantor expuxo os seus contra-argumentos, coa intención de defender os principios básicos da súa teoría de conxuntos.Dauben, 1979, p. 248.

En 1899, Cantor descubriu o seu paradoxo epónimo: cal é o número cardinal do conxunto de tódolos conxuntos? Claramente ten que ser o maior cardinal posible. Mais para calquera conxunto A, o número cardinal do seu conxunto de partes é estritamente maior que o número cardinal de A (segundo o resultado hoxe coñecido como teorema de Cantor). Este paradoxo, xunto co de Burali-Forti, levou a Cantor a formular un concepto chamado limitación de tamaño,Hallett, 1986. de xeito que a colección formada por tódolos ordinais, ou tódolos conxuntos, era unha "multiplicidade contraditoria" que era "demasiado grande" para ser un conxunto. Máis tarde este tipo de coleccións déronse en chamar clases propias.

Un punto de vista usual entre os matemáticos é que estes paradoxos, xunto co de Russell, demostran a imposibilidade de achegarse á teoría de conxuntos dende un punto de vista "intuitivo", ou non axiomático, sen risco de atopar contradicións, sendo esta unha das motivacións de Zermelo e outros para construír axiomatizacións da teoría de conxuntos. De tódolos xeitos, outros apuntan que os paradoxos non se teñen dende un punto de vista non formal motivado na xerarquía iterativa, a cal pódese ver coma unha explicación da idea de limitación de tamaño. Algúns cuestionan tamén se a formulación de Gottlob Frege da teoría de conxuntos intuitiva (que foi o sistema directamente refutado co paradoxo de Russell) é realmente unha representación fiel da concepción cantoriana.Weir, 1998, p. 766: "…sería un erro enorme considerar como intuitiva a teoría de conxuntos de Cantor…"

 Filosofía, relixión e a matemática de Cantor 
A concepción da existencia dun infinito actual foi unha importante preocupación compartida entre os dominios da matemática, a filosofía e a relixión. Manter a ortodoxia da relación de Deus coa matemática, aínda que non do mesmo xeito en que a mantiñan os seus críticos, foi durante moito tempo unha preocupación para Cantor.Dauben, 1979, p. 295. Tratou directamente esta intersección de disciplinas na introdución ao seu Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, na que facía fincapé na conexión entre o seu punto de vista acerca do infinito, e o filosófico.Dauben, 1979, p. 120. Para el, a súa perspectiva matemática estaba ligada intrinsecamente coas súas implicacións filosóficas e teolóxicas—identificaba o Infinito Absoluto con Deus,Hallett, 1986, p. 13. Compárese cos escritos de Tomé de Aquino. considerando que o seu traballo en números transfinitos fóralle comunicado directamente por Deus, quen o escollera para revelalo ao mundo.Dauben, 2004, pp. 8, 11 e 12–13.

O debate entre os matemáticos tiña a súa orixe en visións opostas da filosofía da matemática con respecto á natureza do infinito actual. Algúns sostiñan que o infinito era unha abstracción que matematicamente non era lexítima, negando a súa existencia.Dauben, 1979, p. 225. Os matemáticos de tres importantes escolas de pensamento (o construtivismo mailas súas ramas, intuicionismo e finitismo) opúñanse ás teorías de Cantor nesta materia. Para construtivistas coma Kronecker, este rexeitamento do infinito actual proviña dunha discrepancia fundamental coa idea de que probas non construtivas tales coma o argumento da diagonal de Cantor foran suficientes para demostrar que algo existira, mantendo polo tanto o requirimento de probas construtivas. O intuicionismo rexeita tamén a idea de que o infinito actual sexa unha expresión de calquera tipo de realidade, máis chega a este rexeitamento por outro camiño. En primeiro lugar, o argumento da diagonal de Cantor apoiase na lóxica para probar a existencia de números transfinitos coma entidades matemáticas reais, mentres que os intuicionistas manteñen que os obxectos matemáticos non se poden reducir a proposicións da lóxica, senón que se orixinan nas intuicións da mente. En segundo lugar, a noción de infinito coma unha expresión da realidade non está en si mesma consentida no intuicionismo, xa que a mente humana non pode construír intuitivamente un conxunto infinito.Snapper, 1979, p. 3. Matemáticos coma Brouwer e en especial Poincaré adoptaron unha postura intuicionista contra o traballo de Cantor. Citando os paradoxos da teoría de conxuntos coma exemplo da súa natureza defectuosa fundamental, Poincaré mantivo que "a meirande parte das ideas da teoría de conxuntos cantoriana deberan desterrarse por sempre das matemáticas." Finalmente os ataques de Wittgenstein encadraríanse dentro do finitismo: el cría que o argumento da diagonal de Cantor combinaba a intensión dun conxunto de números cardinais ou reais coa súa extensión, confundindo polo tanto o concepto de regras para xerar un conxunto cun verdadeiro conxunto.Rodych, 2007.

 Recoñecemento 
É recoñecido como o creador da teoría de conxuntos, teoría encadrada dentro dos fundamentos da matemática. Cantor estableceu a importancia da correspondencia biunívoca entre conxuntos, definiu conxuntos infinitos e ben ordenados, e demostrou que os números reais son "máis numerosos" que os naturais. De feito, o teorema de Cantor implica a existencia dunha "infinidade de infinitos". Definiu os números cardinais e os ordinais, e a súa aritmética. O traballo de Cantor é dun grande interese filosófico, do cal era el ben consciente.A meirande parte da información biográfica deste artigo sacouse de Dauben 1979. Grattan-Guinness 1971, e Purkert e Ilgauds 1985 son tamén de utilidade.

Ao comezo, a teoría dos números transfinitos de Cantor considerábase tan pouco intuitiva, incluso chocante, que se topou coa resistencia de contemporáneos seus como Leopold Kronecker ou Henri PoincaréDauben, 2004, p. 1. e máis tarde coa de Hermann Weyl e L. E. J. Brouwer, mentres que Ludwig Wittgenstein expuxo obxeccións filosóficas. Algúns teólogos cristiáns (especialmente os da neoescolástica) viron o traballo de Cantor coma un desafío á unicidade do infinito absoluto da natureza de Deus,Dauben, 1977, p. 86; Dauben, 1979, pp. 120 e 143. equiparando nunha ocasión a teoría dos números transfinitos co panteísmo.Dauben, 1977, p. 102. Ás veces as obxeccións ao seu traballo foron virulentas: Poincaré referíase ás ideas de Cantor coma "enfermidade grave" que infectara as matemáticas,Dauben, 1979, p. 266. e a oposición pública de Kronecker e os ataques persoais incluían a descrición de Cantor coma un "científico charlatán", un "renegado" e un "corruptor da mocidade".Dauben, 2004, p. 1; Dauben 1977, p. 89.

Décadas despois da morte de Cantor, Wittgenstein lamentara que as matemáticas estiveran "completamente obsesionadas coa linguaxe perniciosa da teoría de conxuntos", cualificando esta situación coma "disparate total", "ridículo" e "trabucado".Rodych, 2007. Os continuos ataques depresivos que Cantor sufriu dende 1884 ata o final da súa vida puideran ter a súa causa na actitude hostil de moitos dos seus contemporáneos,Dauben, 1979, p. 280. mais estes episodios poderíanse ver hoxe en día coma posibles manifestacións dun trastorno bipolar.

As duras críticas contrastaban cos eloxios a nivel internacional. En 1904, a Royal Society de Londres galardoou a Cantor coa Medalla Sylvester, o premio máis importante que outorga.Dauben, 1979, p. 248. Hoxe en día, a gran maioría dos matemáticos que non sexan construtivistas nin finitistas aceptan a obra de Cantor sobre a aritmética e os conxuntos transfinitos, recoñecéndoa coma un importante cambio de paradigma. Cantor pensaba que Deus comunicáralle a súa teoría dos números transfinitos. En palabras de David Hilbert: "Ninguén nos expulsará do Paraíso que Cantor creou."Reid, 1996, p. 177.
 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 
 Dauben, J.W., Georg Cantor and Pope Leo XIII: Mathematics, Theology, and the Infinite, Journal of the History of Ideas, 38 (1), pp. 85–108, 1977. 
 Dauben, J.W., Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite, Harvard University Press, 1979. ISBN 978-0-691-02447-9 A día de hoxe é a súa biografía definitiva. 
 Dauben, J.W., Georg Cantor and the Battle for Transfinite Set Theory, Proceedings of the 9th ACMS Conference (Westmont College, Santa Barbara, CA), p. 1–22, 1993. A versión en liña publicouse no Journal of the ACMS no 2004. 
 Grattan-Guinness, I., Towards a Biography of Georg Cantor, Annals of Science, 27, p. 345–391, 1971. 
 Hallett, M., Cantorian Set Theory and Limitation of Size, Oxford University Press, 1986. ISBN 0-19-853283-0 
 Johnson, P.E., The Genesis and Development of Set Theory, The Two-Year College Mathematics Journal, 3 (1), pp. 55–62, 1972. 
 Purkert, W. e Ilgauds, H.J., Georg Cantor: 1845–1918, Birkhäuser, 1985. ISBN 0-8176-1770-1 
 Reid, C., Hilbert, Springer-Verlag, 1996. ISBN 0-387-04999-1 
 Rodych, V., Wittgenstein's Philosophy of Mathematics, en The Stanford Encyclopedia of Philosophy (editor: Edward N. Zalta), 2007. 
 Snapper, E., The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism and Formalism, Mathematics Magazine, 524, p. 207–216, 1979. 
 Suppes, P., Teoría axiomática de conjuntos, Norma, c1968. Aínda que o punto de vista é axiomático máis que intuitivo, Suppes trata e demostra moitos dos resultados de Cantor, o que demostra a duradeira importancia de Cantor para o edificio dos fundamentos da matemática. 
 Wallace, D.F., Everything and More: A Compact History of Infinity, W.W. Norton and Company, 2003. ISBN 0-393-00338-8 
 Weir, A., Naive Set Theory is Innocent!, Mind, 107 (428), pp. 763–798, 1998. 

Categoría:Matemáticos de Alemaña
Categoría:Filósofos de Alemaña
Categoría:Nados en 1845
Categoría:Finados en 1918
Categoría:Nados en San Petersburgo
Categoría:Alumnos da Universidade Humboldt de Berlín
Categoría:Alumnos da Universidade de Gotinga