Momento de inercia

En Mecánica, o momento de inercia mide a distribución da masa dun corpo en torno dun eixo de rotación. Un momento de inercia elevado significa que é preciso aplicar unha forza elevada para que o corpo pare de xirar. Contribúe máis ao xiro a porción de masa que está afastada do eixo de xiro. Un eixo xirante fino e longo, coa mesma masa dun disco que xira en relación ao seu centro, terá un momento de inercia menor que este. A unidade de medida, no SI, é quilogramo metro ao cadrado (kg•m²).

 Momento de inercia dunha masa respecto dun eixo: 

 Momento de inercia polar (respecto dun punto):

 Momento de inercia planario (respecto dun plano):

 Cálculo 
Por definición, o momento de inercia  dunha partícula de masa  e que xira en torno dun eixo, a unha distancia  del, é

Se un corpo é constituído de  masas puntuais (partículas), o seu momento de inercia total é igual á suma dos momentos de inercia de cada masa elemental:

onde  é a masa de cada partícula, e  é a súa distancia ao eixo de rotación.

Para un corpo ríxido, podemos transformar esa sumatoria nunha integral, integrando para todo o volume  do corpo o produto da masa  en cada punto polo cadrado da distancia  até o eixo de rotación:

Hai varios valores coñecidos para o momento de inercia de certos tipos de corpos ríxidos. Algúns exemplos (asumindo distribución uniforme de masa):
 Para un cilindro macizo de masa  e raio da base , en torno dun eixo paralelo á xeratriz e pasando polo seu centro:

 Para unha esfera maciza de masa  e raio , en torno de seu centro:

 Para un anel cilíndrico de masa  e raio , en torno dun eixo paralelo á xeratriz e pasando polo seu centro:


 Teoremas fundamentais 
O momento de inercia respecto a un polo é a suma dos tres momentos de inercia planario respecto a tres planos perpendiculares entre si e que se cortan en dito polo (punto):

O momento de inercia axial é a suma dos momentos de inercia respecto a dous planos perpendiculares que se cortan en dito eixo:



A suma dos momentos de inercia planarios respecto a tres planos perpendiculares entre si é a semisuma dos momentos de inercia axiais, respecto a tres eixos perpendiculares obtidos en ditos planos:

 Teorema de Steiner ou teorema dos eixes paralelos 
O teorema de Steiner (denominado así en honor a Jakob Steiner) establece que o momento de inercia con respecto a calquera eixo paralelo a un eixo que pasa polo centro de masa, é igual ao momento de inercia con respecto ao eixo que pasa polo centro de masa máis o produto da masa polo cadrado da distancia entre os dous eixos:

onde: Ieixo é o momento de inercia respecto ao eixe que non pasa polo centro de masa;
I(CM)eixe é o momento de inercia para un eixo paralelo ao anterior que pasa polo centro de masa; M é a masa total; e h a Distancia entre os dous eixos paralelos considerados.

A demostración deste teorema resulta inmediata se se considera a descomposición de coordenadas relativa ao centro de masas C  inmediata:

onde o segundo termo é nulo posto que a distancia vectorial media de masa en torno ao centro de masas é nula, pola propia definición de centro de masa.

O centro de gravidade e o centro de masa poden non ser coincidentes, dado que o centro de masa só depende da xeometría do corpo, en cambio, o centro de gravidade depende do campo gravitacional no que se acha o corpo.

 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Momento de inercia de área
 Produto de inercia
 Cantidade de movemento angular
 Movemento circular uniforme
 Impulso

Categoría:Mecánica