Cálculo infinitesimal

O cálculo infinitesimal (ou cálculo diferencial e integral) é unha rama da matemática que se desenvolveu a partir da xeometría analítica. As súas técnicas aplícanse de maneira xeneralizada tanto nas ciencias como na enxeñería, empregándose para resolver problemas extensos e complexos que non se poderían resolver soamente co emprego da álxebra.

Comporta dúas ideas principais que se complementan:
 O cálculo diferencial, que é a teoría que estuda as taxas de variación e que fai intervir os métodos de diferenciación. Permite por exemplo, describir a velocidade, a aceleración, e a pendente dunha curva nun punto baixo unha forma simbólica común, en termos de funcións matemáticas.
 O cálculo integral, teoría que desenvolve a idea de integración, facendo intervir o concepto de área encerrada baixo a gráfica dunha función ou outras nocións relacionadas coma a de volume.

As operacións de derivación e integración son operacións inversas no sentido que se expresa no Teorema Fundamental do Cálculo. Isto implica que conceptualmente teñen unha prioridade equivalente, podéndose aprender primeiro unha e logo a outra ou viceversa. Con todo, na orde pedagóxica habitual adóitase introducir primeiro o cálculo diferencial.

O cálculo infinitesimal axudou a comprender dun xeito máis preciso a natureza do espazo, o tempo e o movemento. Ao longo de moitos séculos os matemáticos e filósofos enfrontáronse a paradoxos que conducían a divisións por cero ou a sumas de infinitos números. Estas cuestións xurdían no estudo do movemento e no cálculo das áreas dalgunhas superficies. Zenón de Elea creou varios exemplos famosos de tales paradoxos. O cálculo infinitesimal axudou a resolvelos, especialmente co uso de ferramentas coma os límites e as series infinitas.

Aínda que algunhas das ideas do cálculo infinitesimal remóntanse á Grecia Antiga e á India, o seu uso moderno comeza en Europa, no século XVII, cando Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, baseándose no traballo de matemáticos anteriores, introduciron os principios básicos do cálculo. Os seus avances tiveron un forte impacto no desenvolvemento da física.

Historia
miniatura|200px|dereita|Isaac Newton foi un dos máis famosos contribuíntes ao cálculo infinitesimal, polas súas leis do movemento e outros conceptos da física matemática.

A historia do cálculo infinitesimal transcorreu por períodos moi diferentes, sendo os máis destacados os da Grecia Antiga, a India e a Europa da Idade Moderna.

Na Grecia Antiga aparecen algunhas ideas básicas do cálculo integral, mais non semella que ditas ideas desenvolvéranse dun xeito sistemático e rigoroso. Eudoxo de Cnido (c.-408 - c.-355) xa empregaba o método de converxencia (ás veces tamén chamado de exhaución, ou exhaustación), preludio da noción de límite, co fin de calcular áreas e volumes. Arquimedes (c.-287 - c.-212) desenvolveu esta idea en profundidade, ideando métodos que lembran ao cálculo integral.

A matemática hindú, enormemente descoñecida en Occidente ata o século XX, xerou varios traballos que contiñan algunhas das ideas do cálculo infinitesimal. No ano 499, o astrónomo e matemático Aryabhata empregaba a noción de infinitésimo e expresaba un problema de astronomía a través dunha sinxela ecuación diferencial. Manjula, no século X, expresou con maior detalle esta ecuación nun comentario. Finalmente esta ecuación conduciu no século XII a Bhaskara II a desenvolver unha protoderivada para representar o cambio infinitesimal, e a describir unha forma temperá do teorema de Rolle. No século XIV, Madhava, xunto con outros astrónomo-matemáticos da Escola de Kerala, describiu casos especiais de series de Taylor que se tratan no libro Yuktibhasa.

A segunda metade do século XVII foi unha época de grandes novidades en Europa. O cálculo infinitesimal proporcionou unha nova oportunidade á física matemática de resolver cuestións que viñan de lonxe. Varios matemáticos contribuíron a estes grandes adiantos, especialmente John Wallis e Isaac Barrow. James Gregory probou un caso especial do Teorema Fundamental do Cálculo en 1668.

Leibniz e Newton organizaron nun todo coherente coñecementos precedentes, e son recoñecidos normalmente coma os inventores independentes e case que simultáneos do cálculo infinitesimal. Newton foi o primeiro en aplicar o cálculo infinitesimal á física xeral, namentres que Leibniz desenvolveu a meirande parte da notación que se emprega hoxe; a miúdo gastou días en determinar símbolos axeitados para cada concepto. A idea básica que tiveran tanto Newton coma Leibniz foi a do Teorema Fundamental do Cálculo.

miniatura|200px|esquerda|Gottfried Wilhelm Leibniz foi inicialmente acusado de plaxiar  traballos non publicados de Isaac Newton, mais hoxe en día é recoñecido en igual medida coma inventor independente do cálculo infinitesimal.

Cando Newton e Leibniz publicaron os seus resultados por vez primeira, houbo unha grande polémica acerca de que matemático (e por tanto que país) merecía o recoñecemento. Newton obtivo os seus resultados primeiro, mais Leibniz publicounos antes, o que levou a Newton a acusar a Leibniz de roubarlle ideas dos seus apontamentos non publicados. Esta controversia dividiu aos matemáticos de fala inglesa dos matemáticos do continente por moitos anos, en prexuízo dos matemáticos ingleses. A notación de Newton era claramente menos flexible cá de Leibniz, o que provocou certo atraso no desenvolvemento da análise matemática (as matemáticas baseadas no cálculo infinitesimal) no Reino Unido. Os británicos conservaron a notación de Leibniz ata que a comezos do século XIX a chamada Analytical Society introduciu con éxito no Reino Unido o cálculo infinitesimal proposto por Leibniz.

De tódolos xeitos, do estudo coidadoso dos artigos de Leibniz e Newton dedúcese que chegaron independentemente aos seus resultados, empezando Leibniz coa integración e Newton coa diferenciación. Hoxe en día, tanto Newton coma Leibniz son recoñecidos por desenvolver o cálculo infinitesimal de forma independente. De tódolos xeitos, foi Leibniz quen deu á disciplina o seu nome. Newton chamou ao seu cálculo "a ciencia das fluxións".

Tras Leibniz e Newton, moitos matemáticos contribuíron ao continuo desenvolvemento do cálculo infinitesimal. No século XIX, matemáticos coma Cauchy, Riemann e Weierstrass dotaron ao cálculo duns fundamentos máis rigorosos. Foi tamén durante este período que as ideas do cálculo foron xeneralizadas ao espazo euclidiano e ao plano complexo. Lebesgue tamén xeneralizou a noción de integral.

Seki Kowa, un matemático xaponés contemporáneo de Leibniz e de Newton, enunciou tamén algunhas das propiedades fundamentais do cálculo integral. Con todo, o seu traballo non foi coñecido en Occidente por mor da escaseza de contactos co Extremo Oriente.

Hoxe en día, matemáticos de todo o mundo seguen a contribuír no desenvolvemento da disciplina.

Notas

Véxase tamén

 Outros artigos 
 Cálculo multivariábel

Categoría:Análise matemática