Conxunto

O concepto de conxunto na Matemática é intuitivo e poderiamos definilo como unha colección de varios obxectos ou elementos, sen importar a súa orde e feita con calquera criterio. Un conxunto está ben definido se é sabido se un determinado elemento pertence ou non ao conxunto.

Os conxuntos represéntanse cunha letra maiúscula.

Dous conxuntos A e B son iguais cando posúen precisamente os mesmos elementos, isto é, se cada elemento de A é un elemento de B e cada elemento de B é un elemento de A.

 Notación 
Normalmente, úsanse letras maíusculas para representar os conxuntos e letras minúsculas para representar os elementos dun conxunto dado. Se  é un conxunto e  todos os seus elementos, é frecuente escribir:
  (1)

para definir tal conxunto . A notación empregada en (1) para definir o conxunto  chámase notación por extensión.

Para representar que un elemento  pertence a un conxunto , escríbese  (léase ben  no , ben  pertence ao ). A negación de  escríbese  (léase  non pertence ao ).

Se todos os elementos  dun conxunto  satisfán algunha propiedade —que pode representarse como unha proposición  coa indeterminada —, usamos a notación por comprensión, e pode definirse:

 A é o conxunto de elementos x, que cumpren p(x), onde o símbolo : lese "cúmprese que", e pode ser substituído por unha barra  "tal que".

Por exemplo, o conxunto  pode definirse por:
 .

O símbolo  representa o conxunto dos números naturais.

 Subconxuntos e superconxuntos 
dereita

Un conxunto  dise subconxunto doutro , se todos os elementos do  son tamén elementos do ; matematicamente:
 ,

sexa cal for o elemento . Así, escríbese .

Deberá ser sinalado que, por definición, non se exclúe a posibilidade de se , cumprirse . Se o  ten ao menos un elemento que non pertenza ao conxunto , mais se todos os elementos do  son elementos do , entón dicimos que  é un subconxunto propio do , o que se representa como .

Se o  é un subconxunto do , dicimos tamén que o  é un superconxunto do , o que se escribe . Logo

,

e tamén:
,

significando  que o  é superconxunto propio do .

Polo principio de indentidade, é sempre certo , para todos os elementos , polo que todo conxunto é subconxunto (e tamén superconxunto) de si mesmo.

Vemos que  é unha relación de orde sobre un conxunto  de conxuntos, pois
{|
| 
|
|
|  é reflexiva.
|-
| 
| 
| 
|  é antisimétrica
|-
| 
| 
| 
|  é transitiva
|}

 Conxunto baleiro 
O conxunto baleiro ou conxunto vacío é un conxunto que non posúe elementos. Represéntase por  ou .

Todo conxunto posúe como subconxunto o conxunto baleiro. Podemos mostrar isto supondo que se o conxunto baleiro non pertence ao conxunto en cuestión, entón o conxunto baleiro debe posuír un elemento ao menos que non pertenza a este conxunto. Como o conxunto baleiro non posúe elementos, isto non é posíbel. Como todos os conxuntos baleiros son iguais uns aos outros, é permisíbel falar dun único conxunto sen elementos.

 Operacións cos conxuntos 
Sexan  e  dous conxuntos.

 Unión 
miniatura| 
Os elementos que pertencen ao  ou ao  ou a ambos os dous  e , forman outro conxunto, chamado unión de  e , escrito . Matematicamente:
.

 Intersección 
miniatura| 
Os elementos comúns de  e mais de  forman un conxunto denominado intersección de  e , representado por :
.

Se dous conxuntos  e  son tales que , entón  e  dinse conxuntos disxuntos.

 Diferenza 
miniatura|

Os elementos dun conxunto  que non se atopan noutro conxunto , forman outro conxunto chamado diferenza de  e , representado por, :
 .

Operacións externas
En operacións básicas, todos os elementos de conxuntos producidos por operacións de conxunto pertencen a conxuntos previamente definidos. 

Neste apartado considéranse outras operacións de conxuntos, que producen conxuntos cuxos elementos poden estar fóra de todos os conxuntos considerados anteriormente. Estas operacións son o produto cartesiano,a unión disxunta e o conxunto potencia.

Produto cartesiano

O produto cartesiano de dous conxuntos xa se utilizou para definir funcións.

Dados dous conxuntos  e , o seu produto cartesiano, denotado  é o conxunto formado por todos os pares ordenados  tal que  e ; é dicir,

Esta definición non presupón que os dous conxuntos sexan diferentes. En particular,

Dado que esta definición implica un par de índices (1,2), xeneralízase directamente ao produto cartesiano ou produto directo de calquera familia indexada de conxuntos:

É dicir, os elementos do produto cartesiano dunha familia de conxuntos son todas as familias de elementos tal que cada un pertence ao conxunto do mesmo índice. O feito de que, para cada familia indexada de conxuntos non baleiros, o produto cartesiano sexa un conxunto non baleiro está asegurado polo axioma da escolla.

Conxunto potencia

O conxunto de potencias dun conxunto  é o conxunto que ten todos os subconxuntos de  como elementos, incluído o conxunto baleiro e o propio .

Adoita denotase . Por exemplo,

Unión disxunta

A unión disxunta de dous ou máis conxuntos é semellante á unión, mais, se dous conxuntos teñen elementos en común, estes elementos considéranse distintos na unión disxunta. Isto obtense etiquetando os elementos polos índices do conxunto do que proceden.

A unión disxunta de dous conxuntos  e  denomínase comunmente  e así defínese como

Se  é un conxunto con  elementos, entón  ten  elementos, mentres que  ten  elementos.

A unión disxunta de dous conxuntos é un caso particular da unión disxunta dunha familia indexada de conxuntos, que se define como

A unión disxunta é o coproduto na categoría de conxuntos. Polo tanto a notación

úsase habitualmente.

Cardinalidade

Informalmente, a cardinalidade dun conxunto , a miúdo denotada , é o número dos seus membros. 

Este número é o número natural  cando hai unha bixección entre o conxunto que se considera e o conxunto  dos  primeiros números naturais. A cardinalidade do conxunto baleiro é .En ambos os casos, dise que o conxunto é un conxunto finito. En caso contrario, temos un conxunto infinito.

Conxuntos infinitos e cardinalidade infinita
Algunhas cardinalidades infinitas son maiores que outras. Sen dúbida, un dos resultados máis significativos da teoría de conxuntos é que o conxunto de números reais ten maior cardinalidade que o conxunto de números naturais.

Os conxuntos con cardinalidade menor ou igual á de  chámanse conxuntos numerábeis. Os conxuntos cunha cardinalidade estritamente maior que a de  chámanse conxuntos non numerábeis.

A hipótese do continuo

A hipótese do continuo, formulada por Georg Cantor en 1878, é a afirmación de que non existe un conxunto con cardinalidade estritamente entre a cardinalidade dos números naturais e a cardinalidade dunha recta.

Funcións

Unha función dun conxunto , o dominio, a un conxunto , o codominio, é unha regra que asigna a cada elemento de  un elemento único de . Por exemplo, a función elevar ao cadrado asigna a cada número real  a . As funcións pódense definir formalmente en termos de conxuntos por medio da súa gráfica, que son subconxuntos do produto cartesiano do dominio e do codominio.

 Álxebra de conxuntos 
Sexan A, B, e C conxuntos calquera, logo:

 A ∩ A = A
 A ∪ A = A
 A - A = Ø
 A ∩ B = B ∩ A
 A ∪ B = B ∪ A
 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
 (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
 C - (A ∩ B) = (C - A) ∪ (C - B)
 C - (A ∪ B) = (C - A) ∩ (C - B)
 C - (B - A) = (A ∩ C) ∪ (C - B)
 (B - A) ∩ C = (B ∩ C) - A = B ∩ (C - A)
 (B - A) ∪ C = (B ∪ C) - (A - C)
 A ⊆ B ↔ A ∩ B = A
 A ⊆ B ↔ A ∪ B = B
 A ⊆ B ↔ A - B = Ø
 A ∩ B = Ø ↔ B - A = B
 A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B
 A ∩ Ø = Ø
 A ∪ Ø = A
 Ø - A = Ø
 A - Ø = A

Sexa U un conxunto tal que A, B, e C son subconxuntos do U (utilízase a notación A' := U - A). Entón:

 A'' = A
 B - A = A' ∩ B
 (B - A)' = A ∪ B'
 A ⊆ B ↔ B' ⊆ A'
 A ∩ U = A
 A ∪ U = U
 U - A = A'
 A - U = Ø

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Álxebra de conxuntos
 Categoría de conxuntos
 Relación binaria

 Ligazóns externas 

Categoría:Teoría de conxuntos