Serie de Fourier

En matemáticas, chámase serie de Fourier a unha forma de serie trigonométrica utilizada para representar funcións infinitas e  periódicas complexas dos procesos físicos, na forma de funcións trigonométricas simples de senos e cosenos. Isto resulta nunha simplificación da visualización e manipulación de funcións complexas. Foi creada en 1807 por Joseph Fourier (1768-1830).

A forma xeral da serie é:
 onde  e  denomínanse coeficientes de Fourier da serie de Fourier da función y(x).

Fourier foi o primeiro que estudou tales series sistematicamente, aplicándoas á solución da ecuación da calor e publicando os seus resultados iniciais en 1807 e 1811. Esta área de investigación chámase algunhas veces Análise harmónica.

Definición
A serie de Fourier dunha función periódica de valores complexos , integrábel sobre o intervalo  na recta real, defínese como unha serie trigonométrica da forma

tal que os coeficientes de Fourier  son números complexos definidos pola integral

A serie non converxe necesariamente (no sentido punto por punto) e, aínda que o faga, non é necesariamente igual a . 

Só cando se cumpren certas condicións (por exemplo, se  é continuamente diferenciábel) a serie de Fourier converxe a , é dicir,

O proceso de determinación dos coeficientes de Fourier dunha determinada función ou sinal chámase análise, mentres que a formación da serie trigonométrica asociada (ou as súas diversas aproximacións) chámase síntese.

 Síntese 
Unha serie de Fourier pódese escribir en varias formas equivalentes, mostradas aquí como  sumas parciais  da serie de Fourier de :

Os harmónicos están indexados por un número enteiro,  que tamén é o número de ciclos que realizan os sinusoides correspondentes no intervalo . Polo tanto, os sinusoides teñen :

 unha lonxitude de onda igual a  nas mesmas unidades que .
 unha frecuencia igual a  nas unidades recíprocas de .

Estas series poden representar funcións que son só unha suma dunha ou máis frecuencias no espectro harmónico (espectro que contién unicamente compoñentes de frecuencia cuxas frecuencias son múltiplos enteiros da frecuencia fundamental).

No límite , unha serie trigonométrica tamén pode representar as frecuencias intermedias e/ou funcións non sinusoidais debido ao número infinito de termos.

 Análise 
En xeral, os coeficientes están determinados pola análise dunha función dada  cuxo dominio de definición é un intervalo de lonxitude .

O factor de escala  dedúcese ao substituír a  por  e utilizar a ortogonalidade do sistema trigonométrico.

A equivalencia da  e a  dedúcese da Fórmula de Euler

resultando en:

con  sendo o valor medio de  no intervalo . 

De xeito recíproco:

 Exemplo 


Considere unha función de dente de serra:

Neste caso, os coeficientes de Fourier veñen dados por

Pódese demostrar que a serie de Fourier converxe a  en cada punto  onde  é diferenciábel, e polo tanto:

Cando , a serie de Fourier converxe a 0, que é a media  do límite esquerdo e dereito de  en . Este é un exemplo particular do Teorema de Dirichlet para as series de Fourier.

Este exemplo leva a unha solución do problema de Basilea.
 Aplicacións 

 Enxeñaría 
É común substituír a variábel x por ωt, resultando as compoñentes:

Polo tanto:

 Táboa das series de Fourier comúns 
Na seguinte táboa móstranse algúns pares comúns de funcións periódicas e os seus coeficientes da serie de Fourier.

  designa unha función periódica con período 
  designan os coeficientes da serie de Fourier (forma seno-coseno) da función periódica 

Dominio do TempoGráficaDominio da Frecuencia (forma seno-coseno) NotasReferenciacenter|250x250pxSeno onda completa rectificada center|250x250pxSeno media onda rectificadacenter|250x250pxcenter|250x250pxcenter|250x250pxcenter|250x250px

 Táboa de regras básicas de transformación

Esta táboa mostra algunhas operacións matemáticas no dominio do tempo e o efecto correspondente nos coeficientes da serie de Fourier. Notación:
 A conxugación complexa denotase cun asterisco.
 designan funcións periódicas  ou funcións definidas só para 
  designan os coeficientes da serie de Fourier (forma exponencial) de  e 

 Propeiedade Dominio Tempo Dominio Frecuencia (forma exponencial) Notas Referencia Linearidade    Oposto do tempo / Oposto en frecuencia    Conxugación do Tempo    Oposto & conxugación do Tempo   Parte real en Tempo    Parte imaxinaria en Tempo    Parte real en frecuencia   Parte imaxinaria en frecuencia   Desprazamento en tempo / Modulación  en frecuencia     Desprazamento en frecuencia / Modulación en Tempo    

 Propiedades 
 Relacións de simetría 
Cando as partes reais e imaxinarias dunha función complexa se descompoñen nas súas partes pares e impares, hai catro compoñentes, indicados a continuación polos subíndices RE, RO, IE e IO. E hai unha correspondencia un a un entre as catro compoñentes complexas dunha función no tempo e das catro compoñentes complexas da súa transformanda en frecuencia:



A partir diso, aparecen varias relacións, por exemplo :

 A transformada dunha función con valores reais  é a dunción conxugada simétrica]] . E o recíproco tamén se cumpre.
 A transformada dunha función con valores imaxinarios  é a función conxugada antisimétrica E o recíproco tamén se cumpre.

De forma similar interprétase o resto do diagrama.
 Lema de Riemann-Lebesgue 

Se  é integrábel, ,  e 

 Teorema de Parseval 

Se  pertence a  (periódica nun intervalo de lonxitude ), entón: 

 Teorema de Plancherel 

Se  son coeficientes e  entón hai unha función  única tal que  para todo  .

 Teoremas de convolución 

Dadas as funcións periódicas de período ,  e  cos coeficientes da serie de Fourier  e  

O produto punto por punto:  tamén é -periódico, e os seus coeficientes da serie de Fourier veñen dados pola convolución discreta  das secuencias  e  : 
A convolución periódica:  tamén é -periódica, co coeficientes da serie de Fourier:
Unha sucesión dobremente infinita  en  é a secuencia de coeficientes de Fourier dunha función en  se é só se é unha convolución de dúas secuencias en . Ver 

 Algunhas consecuencias positivas das propiedades de homomorfismo de exp 

Debido a que as "funcións base" eikx son homomorfismos da liña real (máis concretamente, do "grupo do círculo") temos certas identidades útiles:

 Se  daquela 
 A transformada de Fourier é un morfismo: —isto é, a transformada de Fourier dunha convolución é o produto das transformadas de Fourier.

 Formulación xeral 
As útiles propiedades das series de Fourier son debidas principalmente á ortogonalidade e á propiedade de homomorfismo das funcións ei n x.

Outras sucesións de funcións ortogonais teñen propiedades similares, aínda que algunhas identidades útiles, concernendo por exemplo ás convolucións, non seguirán cumpríndose se se perde a "propiedade de homomorfismo".

Algúns exemplos son as secuencias de funcións de Bessel e os polinomios ortogonais. Tales sucesións obtéñense normalmente como solucións dunha ecuación diferencial; unha gran clase de tales sucesións útiles son solucións dos chamados problemas de Sturm-Liouville.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 


 Outros artigos 
 Transformada de Fourier.
 Análise harmónica.
 Fenómeno de Gibbs.

 Ligazóns externas 
 Aplicações da Transformada de Fourier - Video Aula - CEFET/RJ
Análise de Fourier Usando o Matlab
 Análise de Fourier - Wolkartt Web Page

Categoría:Análise matemática
Categoría:Serie matemática