Hexágono

En xeometría, un hexágono (do grego ἕξ hex, "seis" e γωνία, gonía, "ángulos") é un polígono de seis lados.

 Propiedades 
Todo hexágono ten:

 6 vértices e lados.
 9 diagonais.
 Un conxunto de ángulos internos que suman 720 graos ou 4 radiáns. 

 Parhexágono 
De forma análoga a un paralelogramo, un parhexágono é aquel hexágono particular, no que un lado é igual e paralelo a un lado opuesto, pero cada par de lados pode ser de diferente tamaño.Kasner- Newman. Matemáticas e imaginación. Librería Hachete s.A., Buenos Aires (1944)

 Proposición 
Sexa ABCDEF un hexágono irregular calquera, únense A con C; B con D; C con E; D con F; E con A; F con B. Fórmanse os seis triángulos ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB. En cada un destes localízase o seu baricentro; que se denotan como A', B', C', D', E', F'. Únense sucesivamente eses puntos e obtemos o hexágono A'B'C'D'E'F' que é un parhexágono.Kasner-Newman. Op. cit.

 Hexágono regular 
O raio r da circunferencia inscrita coincide coa apotema.|300x300px
O hexágono regular é un hexágono convexo onde os seis lados e ángulos son iguais.

O hexágono regular cumpre as seguintes propiedades:
 Tódolos seus ángulos interiores miden 120º ou  radiáns.

 Está ligado aos triángulos equiláteros:
 Unindo cada vértice co seu oposto, o hexágono regular queda dividido en seis triángulos equiláteros.
 Unindo tres vértices que non compartan aresta formamos un triángulo equilátero.
 A súa superficie obtense da seguinte forma:
 Superficie = (Perímetro * Apotema) / 2.
Sendo a apotema o segmento que une perpendicularmente o centro cun lado. A apotema (chamada  neste artigo) coincide co inraio r que é o raio da circunferencia inscrita. 
 Son (despois dos cadrados e dos triángulos equiláteros) os poligonos congruentes (iguais) con menos lados que poden ser utilizados para realizar unha teselación regular ou teselación platónica.
 Situando un hexágono regular no centro do plano complexo atoparemos as raíces sextas complexas de 1 (é dicir, os números complexos que resolven ) nos vértices do polígono.
 Podemos inscribir ou circunscribir un hexágono regular nunha circunferencia. Se chamamos  ao raio da circunferencia inscrita,  ao raio da circunferencia circunscrita e  á lonxitude dun lado vemos as seguintes igualdades
 , é dicir, .
 , e por tanto, .
 R é igual ao lado porque o hexágono regular pode dividirse en 6 triángulos equilateros desde o centro.
 As perpendiculares trazadas polos puntos medios dos lados e as bisectrices dos ángulos internos son eixes de simetría do hexágono regular.

 Perímetro 
O perímetro do hexágono regular pode calcularse en función de distintos datos:

 En función do lado do hexágono ():

.

 En función da apotema ():

.

 En función do raio da circunferencia circunscrita ():

.

 Área 
A fórmula xeral para calcular a área é a seguinte:

.

En caso de coñecer soamente a apotema podemos utilizar:

.

E en caso de coñecer unicamente o lado utilizaremos:

.

 Construción 
Nesta imaxe animada pódese ver como se constrúe un hexágono regular dun determinado lado empregando unha regra e un compás.
centro|frame|Paso a paso no debuxo dun hexágono regular empregando compás e regra.Os pasos son os seguintes:

 Dado un punto O calquera, trazar unha circunferencia cuxo raio sexa igual ao lado do hexágono a construír.
 Elixir un punto A sobre a circunferencia e trazar un diámetro que corte O e A. Marcar o outro punto onde este diámetro interseca a circunferencia como D.
 Apoiando o compás no punto A, trazar un arco que corte O, cortando á circunferencia en dous puntos, marcados como B e F.
 Apoiando o compás no punto D, trazar un arco que corte O, cortando á circunferencia en dous puntos, marcados como C e E.

 Punto no plano 
Para un punto arbitrario no plano dun hexágono regular con circunraio , cuxas distancias ao baricentro do hexágono regular e aos seus seis vértices son  e  respectivamente, temos





Se  son as distancias dende os vértices dun hexágono regular a calquera punto da súa circunferencia, entón



 Simetría 
O hexágono regular ten simetría D6. Hai 16 subgrupos. Hai 8 ata isomorfismo: el mesmo (D6), 2 diédricos: (D3, D2), 4 cíclicos: (Z6, Z3, Z2, Z1) e o trivial (e).

Estas simetrías expresan nove simetrías distintas dun hexágono regular. John Conway as etiqueta cunha letra e unha orde de grupo.John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things (As simetrías das cousas),  (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli xeneralizados, Tipos de simetría dun polígono pp. 275-278) r12 é simetría completa, e a1 non é simetría. p6,un hexágono isogonal construído por tres espellos pode alternar arestas longas e curtas, e d6, un hexágono isotoxal construído con lonxitudes de aresta iguais, pero vértices que alternan dous ángulos internos diferentes. Estas dúas formas son duais entre elas e teñen a metade de orde de simetría do hexágono regular. As formas i4 son hexágonos regulares aplanados ou estirados ao longo dunha dirección de simetría. Pode verse como un rombo elongado, mentres que d2 e p2 poden verse como deltoides alongadas horizontal e verticalmente. Os hexágonos g2, con lados opostos paralelos, tamén se denominan paralelógonos hexagonais.

Cada simetría de subgrupo permite un ou máis graos de liberdade para formas irregulares. Só o subgrupo g6 non ten graos de liberdade pero pode verse como un grafo orientado.

Os hexágonos de simetría g2, i4, e r12, como paralelógonos poden teselar o plano euclidiano por translación. Outros  hexágonos poden teselar o plano con diferentes orientacións.
p6m (*632)cmm (2*22)p2 (2222)p31m (3*3)pmg (22*)pg (××)senmarco|110x110px
r12senmarco|110x110px
i4senmarco|110x110px
g2senmarco|110x110px
d2senmarco|110x110px
d2senmarco|110x110px
p2senmarco|110x110px
a1Dih6Dih2Z2Dih1Z1

 Grupos A2 e G2 
senmarco|150x150px
A2 group rootssenmarco|150x150px
G2 group roots
As 6 raíces do grupo de Lie simple A2, representadas por un diagrama de Dynkin , están nun modelo hexagonal regular. As dúas raíces simples teñen un ángulo de 120° entre elas.

As 12 raíces do Grupo de Lie excepcional G2, representadas por un Diagrama de Dynkin tamén teñen forma hexagonal. As dúas raíces simples de dúas lonxitudes teñen un ángulo de 150° entre elas.

 Disección 
6-cube projectiondisección de 12 rombossenmarco|150x150pxsenmarco|150x150pxsenmarco|150x150px
Coxeter afirma que todo zonágono (un polígono de 2m lados no cal os opostos son paralelos e de igual lonxitude) pode diseccionarse en  paralelogramos.Coxeter, Recreacións e ensaios matemáticos, Décimo terceira edición, p.141 En particular, isto é certo para polígonos regulares con un número par de lados, en cuxo caso os paralelogramos son todos rombos. Esta descomposición dun hexágono regular basease nunha proxección dun polígono de Petrie dun cubo, con 3 de 6 caras cadradas. Outros paralelogramos e direccións proxectivas do cubo disecciónanse dentro de  cuboides rectangulares.
+Disección de hexágonos en tres rombos e paralelogramos2DRombosParalelogramossenmarco|173x173pxsenmarco|150x150pxsenmarco|150x150pxsenmarco|150x150pxRegular {6}Paralelógonos hexagonais3DCaras cadradasCaras rectangularessenmarco|150x150pxsenmarco|150x150pxsenmarco|150x150pxsenmarco|150x150pxCuboCuboide rectangular

 Galería de hexágonos naturais e artificiais 

 Notas 

 Véxase tamén 


 Outros artigos 
 Triángulo.
 Número hexagonal.
 Ligazóns externas 
Definición e propiedades dun hexágono con animación interactiva e construción con compás e regra.
An Introduction to Hexagonal Geometry en Hexnet un sitio web dedicado ás matemáticas de hexágonos.

Categoría:Polígonos