Produto vectorial

En matemática, o produto vectorial é unha operación binaria sobre vectores nun espazo vectorial. Pode ser denominado tamén como produto externo ou produto cruz.  O seu resultado difire do produto escalar por ser tamén un vector, ao contrario dun escalar. O seu principal uso baséase no feito de que o resultado dun produto vectorial é sempre perpendicular a ambos os vectores orixinais, así como que o módulo do vector resultante do produto é a área do paralelogramo que conformarían os vectores do produto.

 Definición 
A notación do produto vectorial entre dous vectores a e b é a × b (en manuscritos, algúns matemáticos escriben a ∧ b para evitar a confusión coa x).
Podemos definilo como:

onde θ é a medida do ángulo entre a e b (0° ≤ θ ≤ 180°) no plano definido polos dous vectores, e n é o vector unitario perpendicular a tanto a canto b.

O problema con esta definición é que existen dous vectores unitarios que son perpendiculares a a e b simultaneamente: se n é perpendicular, entón −n  tamén o é.

O resultado correcto depende da orientación do espazo vectorial, i.e. da quiralidade do sistema de coordenadas (i, j, k). O produto vectorial a × b é definido de tal forma que (a, b, a × b) se torna destro se (i, j, k) é "a dereitas"  ou zurdo se (i, j, k) é "a esquerdas".

Unha forma fácil de calcular a dirección do vector resultante é a "regra da man dereita". Se un sistema de coordenadas é destro, basta apuntar o indicador na dirección do primeiro operando e o dedo medio na dirección do segundo operando. Desta forma, o vector resultante é dado pola dirección do polgar.

dereita|miniatura
Sexan dous vectores  e  no espazo vectorial . O produto vectorial entre  e  dá como resultado un novo vector, . Para definir este novo vector é necesario especificar o seu módulo e dirección:

 O módulo de  está dado por

onde θ é o ángulo determinado polos vectores a e b.
 A dirección do vector c, que é ortogonal a a e ortogonal a b, está dada pola regra da man dereita.

 Computación 

 Notación de coordenadas 
Se  é unha base ortonormal orientada positivamente, os vectores da base cumpren as seguintes igualdades

Unha regra mnemotécnica para estas fórmulas é que se poden deducir de calquera outra delas mediante unha permutación cíclica dos vectores base. Esta mnemotécnica aplícase tamén a moitas fórmulas que se dan neste artigo.

A anticonmutatividade do produto vectorial implica que

A anticomutatividade do produto vectorial (e a evidente falta de independencia linear) tamén implica que
 (o vector cero).

Estas igualdades, xunto coa distributividade e a linearidade do produto vectorial (aínda que ningunha das dúas se deduce facilmente da definición anterior), son suficientes para determinar o produto vectorial de dous vectores calquera a e b. Cada vector pódese definir como a suma de tres compoñentes ortogonais paralelos aos vectores de base estándar:

O seu produto vectorial  pódese expandir usando a distributividade:

Isto pódese interpretar como a descomposición de  na suma de nove produtos vectoriais máis simples que involucran vectores aliñados con i, j ou k. Cada un destes nove produtos vecotriais opera en dous vectores que son fáciles de manexar xa que son paralelos ou ortogonais entre si. A partir desta descomposición, empregando as igualdades mencionada anteriormente e recompilando termos semellantes, obtemos:

o que significa que as tres compoñentes escalares do vector resultante s = s1i + s2j + s3k =  son

Usando vector columnas, podemos representar o mesmo resultado do seguinte xeito:

 Produto vectorial usando matrices 
Sexan  e  dous vectores concorrentes de , o espazo afín tridimensional segundo a base anterior.

Defínese o produto , e escríbese , como o vector:

No que
, é o determinante de orde 2.
Ou usando unha notación máis compacta, mediante o desenvolvemento pola primeira fila dun determinante simbólico de orde 3 (simbólico xa que os termos da primeira fila non son escalares):

Que dá orixe á chamada regra da man dereita ou regra do sacarrollas: xirando o primeiro vector cara ao segundo polo ángulo máis pequeno, a dirección de  é o dun sacarrollas que xire na mesma dirección.

 Exemplo 
O produto vectorial dos vectores  e  calcúlase do seguinte xeito: 

Expandindo o determinante:

Pode verificarse facilmente que  é ortogonal aos vectores  e  efectuando o produto escalar e verificando que este é nulo (condición de perpendicularidade de vectores).

 Usando os tensores de Levi-Civita 
 En calquera base, o produto vectorial  vén dado pola fórmula tensorial  onde  é o tensor covariante Levi-Civita (observamos a posición dos índices). Isto corresponde á fórmula intrínseca dada aquí.
 Nunha base ortonormal que ten a mesma orientación que o espazo,  vén dado pola fórmula pseudotensorial  onde  é o símbolo de Levi-Civita (que é un pseudotensor). Esa é a fórmula utilizada para a física cotiá, pero só funciona para esta elección especial de base.
 En calquera base ortonormal,  vén dado pola fórmula pseudotensorial  onde  indica se a base ten a mesma orientación que o espazo ou non.

A última fórmula evita ter que mudar a orientación do espazo cando invertimos unha base ortonormal.

 Como produto exterior 
O produto vectorial pódese definir en termos do produto exterior. Pódese xeneralizar a un produto exterior noutras dimensións que non sexan tres. Esta xeneralización permite unha interpretación xeométrica natural do produto vectorial. En álxebra exterior o produto exterior de dous vectores é un bivector. Un bivector é un elemento plano orientado, do mesmo xeito que un vector é un elemento de liña orientado. Dados dous vectores a e b, pódese ver o bivector  como o paralelogramo orientado abranguido por a e b. O produto vectorial obtense entón tomando a estrela de Hodge do bivector , mapeando 2-vectores a vectores:



Isto pódese considerar como o elemento multidimensional orientado "perpendicular" ao bivector. Nun espazo d-dimensional, a estrela de Hodge toma un k-vector a un (d–k)-vector; polo tanto, só en d = 3 dimensións o resultado é un elemento de dimensión un (3–2 = 1), é dicir, un vector. Por exemplo, en 4 dimensións, o produto vectorial de dous vectores ten a dimensión 4–2 = 2, o que dá lugar a un bivector. Polo tanto, só en tres dimensións o produto vectorial define unha estrutura alxébrica para multiplicar vectores.
 Notas 


 Véxase tamén 

 Outros artigos 
 Produto escalar
 Álxebra linear
 Produto

 Ligazóns externas 

 Unha dedución e interpretación xeométrica rápida dos produtos vectoriais
 Titorial Interactivo tutorial created at Syracuse University – (require Java)
 W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF).
 O produto vectorial, Mathcentre (UK), 2009

Categoría:Xeometría
Categoría:Álxebra lineal
Categoría:Física