Transformada de Fourier

A Transformada de Fourier, bautizada en homenaxe a Jean-Baptiste Joseph Fourier, é unha transformada integral que expresa unha función en termos de funcións de base sinusoidal, i.e., como suma ou integral de funcións sinusoidais multiplicadas por coeficientes ("amplitudes"). Existen diversas variacións directamente relacionadas desta transformada, dependendo do tipo de función a transformar.

Na análise, a transformada de Fourier é unha extensión, para funcións non periódicas, da expansión en serie de Fourier de funcións periódicas. A transformada de Fourier asóciase con calquera función integrábel definida en ℝ e con valores reais ou complexos, outra función en ℝ chamada transformada de Fourier cuxa variábel independente pode interpretarse en física como a frecuencia ou a pulsación.

 Aplicacións 
As transformadas de Fourier teñen moitas aplicacións en disciplinas científicas — en Física, Teoría dos números, Análise combinatoria, Procesamento de sinal, Teoría das probabilidades, Estatística, Criptografía, Acústica, Oceanografía, Óptica, Xeometría e outras áreas. Nos campos relacionados co procesamento de sinal, a transformada de Fourier é tipicamente utilizada para decompor un sinal nas súas compoñentes en frecuencia e as súas amplitudes.

 As transformadas son operadores lineares e, coa debida normalización, son tamén unarios (unha propiedade coñecida como o teorema de Parseval ou, máis xeralmente, como o teorema de Plancherel, e máis xeral aínda, a dualidade de Pontryagin).
 As transformadas son invertíbeis, e a transformada inversa ten case a mesma forma que a transformada.
 As funcións de base sinusoidal son funcións de diferenciación, o que implica que esta representación transforma ecuacións diferenciais lineares con coeficientes constantes en ecuacións alxebricas ordinarias. (Por exemplo, nun sistema lineal invariante no tempo, a frecuencia é unha cantidade conservada, logo o comportamento en cada frecuencia pode ser resolvido independentemente.)
 A través do teorema de convolución, as transformadas tornan a complicada operación de convolución en multiplicacións simple, o que as torna nun método eficiente de calcular operacións baseadas en convolución, como a multiplicación polinomial e multiplicación de números grandes.
 A versión discreta da transformada de Fourier pode calcularse axiña por computadores, utilizando algoritmos baseados na transformada rápida de Fourier.
 Definición 
A transformada de Fourier  é unha operación que transforma unha función integrábel en ℝ noutra función, describindo o espectro de frecuencias desta última. Se  é unha función integrábel en ℝ, a súa transformada de Fourier é a función  dada pola fórmula:
 .
 Convencións alternativas 
É posíbel escoller unha definición alternativa para a transformada de Fourier. Esta escolla é unha cuestión de convención cuxas consecuencias se manifestan (en xeral) só mediante factores multiplicativos constantes. Por exemplo, algúns científicos usan o seguinte xeito:

con  en segundos e  a frecuencia (en hercios).

Algúns empregan (por razóns de simetría coa transformada inversa de Fourier) a seguinte transformación :

con  en segundos e  a pulsación (en radiáns por segundo).

No entanto, esta definición non é axeitada para o tratamento de produtos de convolución: debido ao factor , temos , a menos que se introduza tal factor na definición do produto de convolución.
 Transformada continua de Fourier 
Xeralmente, a denominación "Transformada de Fourier" reférese á Transformada de Fourier para funcións continuas.

A transformada de Fourier dunha función integrábel (de Lebesgue) de valores complexos  na recta real é a función de valores complexos , definida pola integral

A avaliación da transformada de Fourier para todos os valores de  produce a función no "dominio da frecuencia", e esta converxe en todas as frecuencias a unha función continua que tende a cero no infinito. Se  decae con todas as derivadas, é dicir,

entón  converxe para todas as frecuencias e, polo lema de Riemann-Lebesgue,  tamén decae con todas as derivadas.

Introducido por primeira vez na "Teoría analítica da calor" de Joseph Fourier, demostra nas páxinas 216–226 o Teorema da integral de Fourier antes de estudar as series de Fourier. a fórmula de inversión correspondente para as funcións "suficientemente agradábeis" vén dada polo Teorema de inversión de Fourier, é dicir,

As funcións  e  denomínanse par de transformadas de Fourier..  Unha notación común para designar pares de transformacións é:

por exemplo   

 Transformada discreta de Fourier 

Para uso en computadores, sexa para aplicacións científicas ou en procesamento dixital de sinais, é preciso ter valores  discretos. 

A transformada discreta de Fourier (DFT) transforma unha secuencia de N números complexos  noutra secuencia de números complexos,  que se define por:

A transformación ás veces denótase co símbolo , como en  ou  ou .

A  pódese interpretar ou derivar de varias maneiras, por exemplo: 

A  tamén se pode avaliar fóra do dominio , e esa secuencia estendida é -periódica. En consecuencia, ás veces utilízanse outras secuencias de índices , como  (se  é par) e  (se  é impar), o que equivale a trocar as metades esquerda e dereita do resultado da transformación.

A transformación inversa (IDFT) vén dada por:

A . tamén é -periódica (no índice n). 

Na , todo  é un número complexo cuxas coordenadas polares son a amplitude e a fase dun compoñente sinusoidal complexo  da función  (véxase Serie discreta de Fourier) A frecuencia da sinusoide é de  ciclos por  mostras.

O factor de normalización que multiplica a DFT e a IDFT (aquí 1 e ) e os signos dos expoñentes son as convencións máis comúns. Os únicos requisitos reais destas convencións son que a DFT e a IDFT teñan expoñentes de signo oposto e que o produto dos seus factores de normalización sexa  

Un método largamente utilizado para o cálculo computacional desta versión é o algoritmo FFT (fast Fourier transform), cuxo desempeño é O(n log n) contra O(n2) para o mesmo cálculo usando a definición.

Exemplo de transformada discreta
Este exemplo demostra como aplicar a DFT a unha secuencia de lonxitude  e o vector de entrada

Calculando a DFT de  usando a 

con resultado

 Algunhas transformadas de Fourier 

 Notas 


 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Transformada de Laplace
 Serie de Fourier
 Análise harmónica

 Ligazóns externas 

 Determinación online da transformada ou da inversa da transformada, wims.unice.fr

Categoría:Transformadas
Categoría:Funcións