Teorema de Weierstrass

En cálculo, o teorema de Weierstrass ou teorema do valor extremo indica que se unha función  é continua no intervalo pechado e limitado , entón  debe acadar un máximo e un mínimo, cada un deles polo menos unha vez. É dicir, existen números  e  en  tal que:

O teorema do valor extremo úsase para demostrar o teorema de Rolle. Nunha formulación debida a Karl Weierstrass, este teorema afirma que unha función continua desde un espazo compacto non baleiro ata un subconxunto dos números reais alcanza un máximo e un mínimo.

Comparación co teorema da limitación
O teorema de Weierstrass  é máis específico que o teorema da limitación, co que está relacionado, este último só indica que unha función continua  no intervalo pechado  está limitada nese intervalo; é dicir, existen números reais  e  tal que:


Isto non di que  e  sexan necesariamente os valores máximos e mínimos de  no intervalo  que é o que estipula o teorema de Weierstrass.

Historia
O teorema do valor extremo foi probado orixinalmente por Bernard Bolzano na década de 1830 nun traballo Teoría da función, pero o traballo permaneceu inédito ata 1930. A demostración de Bolzano consistiu en mostrar que unha función continua nun intervalo pechado estaba acotada, e despois mostrando que a función alcanzou un valor máximo e un valor mínimo. Ambas as dúas probas implicaron o que hoxe se coñece como Teorema de Bolzano-Weierstrass.

Funcións ás que non se aplica o teorema

Os seguintes exemplos mostran por que o dominio da función debe estar pechado e limitado para que se aplique o teorema. Cada un dos exemplos non alcanza un máximo no intervalo indicado.

  definido sobre  non está limitado superiormente.
  definido sobre  está limitado mais non alcanza o seu límite superior mínimo .
  definido sobre  non está limitado superiormente.
  definido sobre  está limitado mais nunca alcanza o seu límite superior mínimo .

Definir  nos dous últimos exemplos mostra que ambos os teoremas requiren continuidade en .

 Notas 


 Véxase tamén 


 Outros artigos 
 Teoremas de Weierstrass

Categoría:Análise matemática
Weierstrass

de:Stetigkeit#Satz vom Minimum und Maximum