Serie (matemáticas)

En matemáticas, unha serie é a suma dos termos dunha sucesión. Represéntase unha serie con termos  como

onde os termos  son os membros dunha secuencia de númeross, funcións ou calquera outra cousa que se poida sumar.

Unha serie tamén se pode representar con notación sigma-maiúscularef name=":5" />
.
(ou tamén comezando desde ).

 Suma parcial dunha serie 
Dada unha serie , a súa suma parcial -ésima é 

Tanto a secuencia de sumas parciais como a secuencia de termos caracterizan completamente a serie, e a secuencia de termos pódese recuperar da secuencia de sumas parciais tomando as diferenzas entre elementos consecutivos

A transformación para recuperar unha secuencia das súas sumas parciais é a diferenza finita, sendo unha transformación de secuencia linear.

As sumas parciais de series ás veces teñen expresións de forma pechada máis sinxelas, por exemplo, unha serie aritmética ten sumas parciais

 Suma dunha serie 
A diferenza das sumas finitas, as series requiren ferramentas da análise matemática para ser entendidas e manipuladas correctamente. O estudo das series consiste en avaliar a suma dun número finito  de termos sucesivos, e mediante un paso ata o límite, identificar o comportamento da serie cando  medra indefinidamente (cando  tende a infinito):

As series poden converxer ou diverxer. Se o límite existe, sendo distinto de infinito (positivo ou negativo), a serie converxe e no caso contrario a serie diverxe. Ver abaixo criterios de converxencia.
 Operacións 

 Suma de series 
A suma de dúas series  e  vén dada pola suma termo a termo ou, en notación de suma,

Usando os símbolos  e  para as sumas parciais da serie sumada e  para as sumas parciais da serie resultante, esta definición implica que as sumas parciais da serie resultante serían  

Logo a suma da serie resultante, é dicir, o límite da secuencia de sumas parciais da serie resultante, satisfai

cando os límites existen.

 Multiplicación escalar 
O produto dunha serie  por un número constante , chamado escalar neste contexto, vén dado polo produto termo a termo, ou, en notación de sumatorio

 Multiplicación de series 

A multiplicación de dúas series  e  para xerar unha terceira serie , chamada produto Cauchy pódese escribir en notación de sumatorio como

con cada 

A multiplicación de series absolutamente converxentes de números reais e de números complexos é asociativa, conmutativa e distributiva sobre a suma. 

Xunto coa suma de series, a multiplicación de series dá aos conxuntos de series absolutamente converxentes de números reais ou complexos a estrutura dun anel conmutativo, e xunto coa multiplicación escalar tamén a estrutura dunha álxebra conmutativa; estas operacións tamén dan aos conxuntos de todas as series de números reais ou complexos a estrutura dunha álxebra asociativa.
 Algúns tipos de series 

 Unha serie xeométrica é unha serie onde cada termo sucesivo está producido multiplicando o termo previo por unha constante. Exemplo: 
Comezando por 1 e multiplicando cada novo sumando o anterior por .

En xeral, as series xeométricas

converxen se e soamente se |z| < 1.

 Unha serie harmónica é do tipo

(Diverxe, isto é, tende a infinito. Neste caso moi lentamente.)

 Unha serie alternada é unha serie onde os termos alternan o signo. Exemplos:

 Unha serie telescópica 
 converxe se a secuencia  converxe ata un límite  mentres  vai ao infinito. O valor da serie é entón .
 Unha serie aritmético-xeométrica é unha serie que ten termos que son cada un o produto dun elemento dunha progresión aritmética co elemento correspondente dunha progresión xeométrica. Exemplo: 

 A serie de Dirichlet 

converxe para  e diverxe para . Como función de , a suma desta serie é función zeta de Riemann.
 Serie hiperxeométrica: 
 e as súas xeneralizacións (como as series hiperxeométricas básicas e series hiperxeométricas elípticas) aparecen con frecuencia nos sistemas integrábeis e na física matemática.Gasper, G., Rahman, M. (2004). Serie hiperxeométrica básica. Cambridge University Press.
 Existen algunhas series elementais cuxa converxencia aínda non está coñecida/probada. Por exemplo, descoñécese se a serie Flint Hills, 
 converxe ou non. 

 Pi 

 Logaritmo natural de 2 

 Número  

 Criterios de converxencia 
Clasificar unha serie é determinar se converxe a un número real ou se diverxe ( ou oscilante). Para isto existen distintos criterios que, aplicados á serie en cuestión, mostrarán de que tipo é (converxente ou diverxente).

Se unha serie  é converxente, entón .

O recíproco non é certo. Por iso, o contra recíproco é:

Se  entón  é diverxente.
 Tres exemplos famosos 
 Serie harmónica, , diverxe (tende lentamente a infinito).
 Serie da función zeta de Riemann para o parámetro 2 (problema de Basilea), , converxe a  .
 Serie alternada , diverxe (tende a 1? tende a 0? tende a 1/2?). 

 Criterio de D'Alembert 

Sexa unha serie , tal que  (termos non negativos).

Se existe 

con , o Criterio de D'Alembert establece que:
 se l < 1, a serie converxe. 
 se l > 1, a serie diverxe. 
 se l = 1, non é posible dicir nada sobre o comportamento da serie.

Neste caso, é necesario probar outro criterio, coma o criterio de Raabe.

 Criterio de Cauchy (raíz enésima) 
Sexa unha serie , tal que  (termos non negativos). E supoñamos que existe
, sendo 
Entón, se l < 1, a serie é converxente. 
En cambio se l > 1 entón a serie é diverxente. 
Ó igual que o criterio de D'Alembert, se l=1, non podemos concluír nada a priori, debemos ver o criterio de Raabe, para ver se podemos concluír algo.

 Criterio de Raabe 
Normalmente utilizase despois de comprobrar os criterios de D'Alembert e da raíz. Nalgunhas series, pode ocorrer que o límite que nos de , sexa distinto usando os dous criterios. Cando isto ocorre, recorremos ó criterio de Raabe. Tamén debemos recorrer a el cando o límite de  que nos produce é igual a 1 (mediante os criterio de D'Alembert e da raíz).

Sexa unha serie , tal que  (termos non negativos). E supoñamos que existe
, sendo 
Polo tanto, se l > 1, entón a serie é converxente
e se l < 1, a serie é diverxente

Ter coidado aquí, pois as conclusións son ó contrario que nos criterios de D'Alembert e da raíz.

 Tipos de converxencia 
 Converxencia absoluta 
Unha serie  converxe absolutamente se

é converxente,  isto é, se a suma dos seus valores absolutos converxe.

As series utilízanse moito na análise complexa e a análise funcional, onde é relevante se unha serie converxe.

 Series de funcións 
En cálculo, unha serie de funcións é unha serie onde cada un dos seus termos é unha función, non só un real ou un número complexo.

Exemplos de series de funcións inclúen serie de potencias ordinaria,  serie de Fourier, serie de Liouville-Neumann, serie formal de potencias e serie de Puiseux.

Existen moitos tipos de converxencia para unha serie de funcións, como a converxencia uniforme, converxencia puntual e converxencia case en todas as partes. Cada tipo de converxencia corresponde a unha métrica diferente para o espazo de funcións que se suman na serie e, polo tanto, un tipo diferente de límite.

A proba M de Weierstrass é un resultado útil para estudar a converxencia de series de funcións.

Serie de potencias

Unha serie de potencias é unha serie da forma

A serie de Taylor nun punto  dunha función é unha serie de potencias que, en moitos casos, converxe á función nun contorno de . Por exemplo, a serie

é a serie de Taylor de  na orixe e converxe a ela para todo .

 Serie formal de potencias 

Aínda que moitos usos das series de potencias fan referencia ás súas sumas, tamén é posíbel tratar as series de potencias como sumas formais, o que significa que non se realiza ningunha operación de suma, e o símbolo "+" é un símbolo abstracto de conxunción que non se interpreta necesariamente como correspondente á suma. Neste escenario, a propia secuencia de coeficientes interesa máis que a converxencia da serie. 

As series de potencias formais utilízanse na combinatoria para describir e estudar sucesións que doutro xeito son difíciles de manexar, por exemplo, usando o método de funcións xeradoras. 

A serie de Hilbert-Poincaré é unha serie formal de potencias usada para estudar álxebras graduadas.

Serie de Laurent

As series de Laurent xeneralizan as series de potencias admitindo termos na serie con expoñentes negativos e positivos. Unha serie de Laurent é, polo tanto, calquera serie da forma

Se tal serie converxe, entón en xeral faino nunha coroa circular en vez de nun disco, e posibelmente nalgúns puntos límite. A serie converxe uniformemente en subconxuntos compactos do interior do anel de converxencia.

Series trigonométricas

Unha serie de funcións nas que os termos son función trigonométricas chámase serie trigonométrica:

O exemplo máis importante dunha serie trigonométrica é a serie de Fourier dunha función.

Serie de Dirichlet

Unha serie de Dirichlet é unha serie da forma

onde  é un número complexo. Por exemplo, se todos os  son iguais a , entón a serie de Dirichlet é a función zeta de Riemann

Do mesmo xeito que a función zeta, as series de Dirichlet en xeral xogan un papel importante na teoría analítica de números. 

Xeralmente unha serie de Dirichlet converxe se a parte real de  é maior que un número chamado abscisa de converxencia. En moitos casos, unha serie de Dirichlet pódese estender a unha función analítica fóra do dominio de converxencia mediante  continuación analítica. Por exemplo, a serie de Dirichlet para a función zeta converxe absolutamente cando , mais a función zeta pódese estender a unha función holomorfa definida en  cun polo simple en .

Esta serie pódese xeneralizar directamente na serie xeral de Dirichlet.

 Serie asintótica 

As series asintóticas, normalmente chamadas expansións asintóticas, son series infinitas cuxos termos son funcións dunha secuencia de diferentes ordes asintóticas e cuxas sumas parciais son aproximacións dalgunha outra función nun límite asintótico.

En xeral non converxen, pero seguen sendo útiles como secuencias de aproximacións, cada unha das cales proporciona un valor próximo á resposta desexada para un número finito de termos. Son ferramentas cruciais na teoría da perturbación e na análise de algoritmos.

 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 




 Outros artigos 
 Fracción continua
 Tests de converxencia
 Serie converxente
 Serie  diverxente
 Produto infinito
 Expansión en serie
 Serie de Taylor
 Fracción exipcia

 Ligazóns externas 

 Infinite Series Tutorial



Categoría:Análise matemática
Categoría:Serie matemática