Transformada de Laplace

En matemáticas, e en particular na análise funcional, a transformada de Laplace dunha función f(t) definida para todo número real t ≥ 0 é a función F(s), definida por:



As propiedades desta transformada tórnanna útil para a análise de sistemas dinámicos lineares. A vantaxe máis interesante desta transformada é que a integración e a derivación tórnanse multiplicacións e divisións, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicación en adición. Ela permite levar a resolución de ecuacións diferenciais á resolución de ecuacións polinomiais, que son moito máis simples de resolver.

A transformada de Laplace ten o seu nome en homenaxe ao matemático francés Pierre Simon Laplace.

 Notación en Enxeñaría/Física 
Un abuso ás veces conveniente de notación, que acontece principalmente entre enxeñeiros e físicos, espreme iso da forma seguinte:



Cando se fala de transformada de Laplace, reférese xeralmente á versión unilateral. Existe tamén a transformada de Laplace bilateral, que se define como segue:



A transformada de Laplace F(s) existe tipicamente para todos os números reais s > a, onde a é unha constante que depende do comportamento de crecemento de f(t).

A transformada de Laplace tamén pode utilizarse na resolución de ecuacións diferenciais, e é extensamente utilizada en enxeñaría eléctrica.

Un aspecto interesante da transformada de Laplace é que os matemáticos, ata hoxe, non coñecen o seu dominio. En outras palabras, non existe ningún conxunto de regras co cal se pode verificar se a transformada de Laplace pode ou non se aplicar a unha función.

 Propiedades 

 Linearidade 


 Derivada 





 Integral 


 Composición 
  Amortización

  Atraso


Nota:  é a función de etapa de Heaviside.
 Valor Final 


 Convolución 


 Transformada de Laplace dunha función de período p 


 Algunhas transformadas usuais 

 Potencia n 

 Exponencial 

 Seno 

 Coseno 

 Seno hiperbólico 

 Coseno hiperbólico 

 Demostracción 

 Logaritmo natural 

 Raíz n 

 Función de Besel do primeiro tipo 

 Función de Besel modificada do primeiro tipo 

 Función erro 


 Outras transformadas comúns 
 Transformada de Laplace  Función no dominio Tempo  , impulso unitario   , paso unitario             

Categoría:Transformadas
Categoría:Funcións