Número irracional

Os números irracionais son aqueles elementos da recta real que non son expresables mediante fraccións usando as operacións internas deste conxunto. É dicir, un número irracional non pode expresarse da forma a/b sendo a e b enteiros.

Os números irracionais caracterízanse por posuír infinitas cifras decimais que non seguen ningún patrón repetitivo, e isto os diferenza dos números racionais. Os máis célebres números irracionais son identificados mediante símbolos. Algúns destes son:

 π (pi): relación entre o perímetro dunha circunferencia e o seu diámetro.
 e ( = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...): 

  (Número áureo):
 Algúns logaritmos:  

miniatura|290px|centro|Os números reais  están divididos nos números irracionais  e nos números racionais , estes últimos inclúen os enteiros , que á súa vez inclúen os números naturais .
 Demostración 
Un exemplo destes números irracionais é a raíz cadrada de 2. Para comprobalo podemos partir inicialmente de que a raíz cadrada de 2 si pode ser un número racional.

Iso significaría que m e n non teñen factores comúns, porque se non, poderiamos simplificar esa fracción ata atopar un factor común. Se elevamos os dous termos da ecuación ao cadrado temos

Aquí podemos deducir que m é un número par, porque dado que  , m sempre será par ao proceder dun produto de 2.

Polo tanto, se m é par podemos expresalo como m=2k. E se elevamos isto ao cadrado temos que

Ou o que é o mesmo

Co que chegamos á conclusión de que n tamén é par. Pero iso non é posible, porque levaría a que m e n tivesen un factor común, e iso descartámolo ao comezo. Esta reductio ad absurdum é a que nos indica que as nosas premisas eran erróneas e que  non pode ser racional.

Tipos
Un número irracional pode ser alxébrico, é dicir, unha raíz real dun polinomio con coeficientes enteiros. Os que non son alxébricos son transcendentais.

 Alxébrico 
Os números alxébricos reais son as solucións reais de ecuacións polinómicas

onde os coeficientes  son números enteiros e . Un exemplo de número alxébrico irracional é . É claramente alxébrico xa que é a raíz dun polinomio enteiro, , que é equivalente a . Este polinomio non ten raíces racionais, xa que o teorema das raíces racionais mostra que as únicas posibilidades son ±1, pero x0 é maior que 1. Así que x0 é un número alxébrico irracional. 

 Transcendental 
Os números transcendentais non poden ser solución de ningunha ecuación alxébrica. Por exemplo, o número áureo é unha das raíces da ecuación , polo que non é un número transcendente. Pola contra, pi e e si son transcendentes.

Case todos os números irracionais son transcendentais. Exemplos son  e mais  que son transcendentais para todos os  racionais distintos de cero.

Como os números alxébricos forman un subcorpo dos números reais, pódense construír moitos números reais irracionais combinando números transcendentais e alxébricos. Por exemplo, , son irracionais (e mesmo transcendentais).

Os números irracionais non son numerables ou contables, é dicir que entre dous irracionais calquera existen infinitos números irracionais. Por extensión os números reais tampouco son contables xa que inclúen o conxunto dos irracionais.

 Preguntas abertas 

 Varias combinacións de ,  e funcións elementais (como , , , , , ) non se sabe se son irracionais, en parte porque non se sabe que  e  sexan alxebricamente independentes. A  conxectura de Schanuel implicaría que todos os números anteriores son irracionais e mesmo transcendentes.
 A pregunta sobre a irracionalidade da constante de Euler-Mascheroni  é un problema aberto de longa data na teoría dos números.
 Outros números importantes que non se sabe que son irracionais son as constantes zeta impares  para  e a constante de Catalan .

 Notas 

 Véxase tamén 
 Outros artigos 
 Número.
 Matemáticas.
 Xerardo de Cremona.
 Medida da irracionalidade
 Proba da irracionalidade de π

Categoría:Álxebra