Factorial

Nas matemáticas, a factorial dun número natural n é o produto de todos os enteiros positivos menores ou iguais a n. Iso é escrito como n! e lido como "factorial de n ". A notación n! foi introducida por Christian Kramp en 1808., mais di Krempe.

 Definición 

A función factorial é definida como o produtoque se pode escribir comoPor exemplo,
5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

A secuencia das factoriais  para  comeza con:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800,...

 Factorial de cero 
A factorial de 0, , é 1. Hai diversas razóns que xustifican esta definición:

 Para , a definición de  como produto precisa do produto de ningún número, é a convención estendida di que o produto de ningún factor é igual a identidade na multiplicación, 1.Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) Concrete Mathematics, Addison-Wesley, Reading MA. , p. 111
 Estende a relación de recorrencia  a .

 Factorial de non enteiros 
A definición de factorial tamén se pode definir para valores non enteiros a través da función gamma, detallado máis abaixo:



 Aplicacións 
Aínda que a función factorial ten os seus inicios na combinatoria, as súas aplicacións esténdense por moitas áreas da matemática.

 Existen n! camiños diferentes de arranxar n obxectos distintos nunha secuencia, chamados permutacións. 
 A miúdo aparece en contexto de contar cousas onde a orde non é importante. Por exemplo, no caso de contar o número de escoller k elementos dun conxunto de n é dado polo coeficiente binomial

 Os factoriais tamén aparecen en cálculo. Por exemplo, na serie de Taylor, que expresa a función f(x) como unha serie de serie de potencias en x. A razón principal é que o n derivativo de xn é n!.
 Os factoriais tamén son usados extensamente na teoría da probabilidade.
 Os factoriais tamén son frecuentemente utilizados como exemplos simplificados de recursividade, en ciencias da computación, porque satisfán as seguintes relacións recursivas: (se n ≥ 1):
n! = n (n − 1)!

 Como calcular factoriais 
O valor numérico de n! pode ser calculado por multiplicación repetida se n non for grande de máis. É iso o que as calculadoras fan. O maior factorial que a maioría das calculadoras aguantan é 69!, porque 70! > 10100.

Cando n é grande de máis , n! pode ser calculado cunha boa precisión usando a fórmula de Stirling:Dan Romik, Stirling’s Approximation for n!: The Ultimate Short Proof?, The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 6 (Jun. – Jul., 2000), 556–557.

Esa é unha versión simplificada que pode ser probada usando matemática básica de ensino secundario; a ferramenta esencial é a indución matemática. Ela é presentada aquí na forma dun exercicio:

 Logaritmo de factorial 

O logaritmo dun factorial pode ser usado para calcular o número de díxitos que a base dun factorial  irá ocupar. log n! pode ser facilmente calculado da seguinte maneira:

Nótese que esa función, demostrada graficamente, é case linear para valores baixos; mais o factor  crece de maneira arbitraria, aínda que vagarosa. Por exemplo, este é o gráfico os seus primeiros 20 mil valores:

Ficheiro:Log-factorial.PNG

Unha boa aproximación para log n! é facer o logaritmo da aproximación de Stirling.

 Factorial para valores non enteiros 

 A función gamma 

A función gamma Γ(z) é definida para todos os números complexos z excepto os enteiros non positivos (z = 0, −1, −2, −3, ...). Ela relaciónase cos factoriais polo feito de que satisfai unha relación recursiva semellante a aquela da función factorial:

Xunto coa definición Γ(1) = 1 iso xera a ecuación

Por causa desa relación, a función gamma é frecuentemente tida como unha xeneralización da función factorial para o dominio dos números complexos. Iso é xustificado polas seguintes racións:
 Significado compartido: A definición canónica da función factorial é a relación recursiva mencionada, compartida por ambos.
 Unicidade: A función gamma é a única función que satisfai a relación recursiva mencionada para o dominio dos números complexos e é holomórfica e cuxa restrición ao eixo positivo real é convexa no log. Ou sexa, é a única función que podería ser unha xeneralización da función factorial. 
 Contexto: A función gamma é xeralmente usada nun contexto similar ao dos factoriais (mais, é claro, onde un dominio máis xeral for de interese).

 Funcións semellantes á factorial 

 Multifactoriais 

Unha notación relacionada común é o uso de múltiplos puntos de exclamación para simboliar un multifactorial, o produto de enteiros en pasos de (n!!), tres (n!!!), ou máis.

n!! denota o factorial duplo de n e é definido recursivamente por

Por exemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 e 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. A secuencia de factoriais duplos para n = 0, 1, 2,... é :1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

Algunhas identidades que envolven factoriais duplos son:

Débese ser coidadoso para non interpretar n!! como a factorial de n!, que debería ser escrito (n!)! e é un número moito maior (para n>2).

A factorial dupla é a variante máis comumente usada, mais pódese definir a factorial tripla do mesmo modo (n!!!) e así por diante. En xeral, a k-ésima factorial, notado por n!(k), é definido recursivamente como

 Hiperfactoriais 

Ocasionalmente o hiperfactorial de n é considerado. É escrito como H(n) e definido por

Para n = 1, 2, 3, 4,... os valores de H(n) son 1, 4, 108, 27648,...

A función hiperfactorial é similar á factorial, mais produce números maiores. A taxa de crecemento desa función, con todo, non é moito maior que un factorial regular.

 Superfactoriais 

Neil Sloane e Simon Plouffe definiron o superfactorial en 1995 como o produto dos primeiros n factoriais.  Así, o superfactorial de 4 é 
sf(4)=1!*2!*3!*4!=288.
No xeral,

A secuencia de superfactoriais comeza (de n=0) como:
1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... 

Esa idea pode ser facilmente estendida para superduperfactorial como o produto dos primeiros n superfactoriais (iniciando con n=0), así
1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ... 
e aí en diante, recursivamente para todos os factoriais múltiplos, onde o m-factorial de n é o produtod dos primeiros n (m-1)-factorials, i.e.

onde  para  e .

 Superfactoriais (definición alternativa) 
Clifford Pickover, no seu libro Keys to Infinity, de 1995, definiu o superfactorial de n, escrito como n$ (o $ debería, na verdade, ser un sinal de factorial ! cun S sobreposto) como

onde a notación (4) denota o operador hyper4, ou usando a notación de frecha de Knuth,

Esa secuencia de superfactoriais comeza:

 Factoración prima de factoriais 
A potencia de p que ocorre na factoración prima de n! é

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 



 Ligazóns externas 
 Táboa de 2! - 256! (exacta)
 Factorial n!
 O dicionario dos números grandes
 Algoritmo factorial - Pascal

Categoría:Funcións
Categoría:Aritmética