Produto escalar

En matemática, na álxebra linear, o produto escalar, chamado tamén produto interno, interior ou punto, é unha función binaria definida entre dous vectores que fornece un número real como resultado. 
O produto vectorial, que é outra operación posíbel para vectores, fornece un novo vector, non só un número.

Alén de para o espazo euclidiano de dúas e tres dimensión, o produto escalar pode definirse tamén nos espazos euclidianos de dimensión maior a tres, e en xeral nos espazos vectoriais reais e complexos. Os espazos vectoriais dotados de produto escalar reciben o nome de espazos prehilbertianos.

 Definición 
miniatura|300px|dereita|Produto escalar de dous vectores
Dados dous vectores  e . o produto escalar pode ser calculado como:


Onde  é o ángulo formado polos vectores  e , e  e  son as súas lonxitudes. Da figura podemos ver que o produto  representa a proxección do vector  na dirección do vector  . Se  fose unha forza, o produto escalar indicaría entón canta da forza  se estaría a aplicar na dirección de .

Se o ángulo entre os vectores fose 90º ( e  perpendiculares entre si), o produto escalar sería cero, pois cos 90º = 0.

Note que non fai falla mencionar ningún Sistema de coordenadas para obter o valor do produto escalar. A fórmula de riba é válida independentemente do sistema de coordenadas.

Nun sistema de coordenadas cartesiano, onde se escriben os vectores en termos de compoñentes como:




O produto escalar pode escribirse como:



Note que a interpretación do produto escalar como a proxección dun vector na dirección doutro, neste caso, está lonxe de ser obvia. Porén a expresión de riba fornécenos unha forma de obter a lonxitude dun vector calquera en termos das súas compoñentes:



A expresión xeral inicial soamente contén unha definición da lonxitude dun vector como a raíz cadrada do seu produto escalar, mais non fornece medios de calculalo:



Exemplo de cálculo
O produto escalar dos dous vectores
  e  
calcúlase como
.
 Definición xeral 
O produto escalar de dous vectores nun espazo vectorial é unha forma bilinear, hermítica e definida positiva, polo que se pode considerar unha forma cadrática definida positiva.

Un produto escalar pódese expresar como unha aplicación  onde V é un espazo vectorial e  é o corpo sobre o que está definido V.  debe satisfacer as seguintes condicións:

 Linearidade pola esquerda: , e linearidade conxugada pola dereita: 
 Hermiticidade: ,
 Definida positiva: , y  se e só se x = 0,

onde  son vectores de V,  representan escalares do corpo  e  é o conxugado do complexo c.

Se o corpo ten parte imaxinaria nula (v.g., ), a propiedade de ser sesquilinear convértese en ser bilinear e o ser hermítica convértese en ser simétrica.

Tamén adoita representarse por  ou por .

Un espazo vectorial sobre o corpo  ou  dotado dun produto escalar denomínase espazo prehilbert ou espazo prehilbertiano. Se ademais é completo, dise que é un espazo de Hilbert, e se a dimensión é finita, dirase que é un espazo euclidiano.

Todo produto escalar induce unha norma sobre o espazo no que está definido, da seguinte maneira:

 Definición xeométrica do produto escalar nun espazo euclidiano real 
miniatura|150px|dereita|A • B = |A| |B| cos(θ). |A| cos(θ) é a proxección escalar de A en B.

O produto escalar de dous vectores nun espazo euclidiano defínese como o produto dos seus módulos polo coseno do ángulo  que forman.

Nos espazos euclídeos, a notación usual de produto escalar é <span style="vertical-align:3%;"> 

Esta definición de carácter xeométrico é independente do sistema de coordenadas elixido e polo tanto da base do espazo vectorial escollida.

 Proxección dun vector sobre outro 

Posto que |A| cos θ representa o módulo da proxección do vector A sobre a dirección do vector B, isto é |A| cos θ = proy AB, será 

de modo que o produto escalar de dois vectores tamén pode definirse como o produto do módulo dun deles pola proxección do outro sobre el.

 Ángulos entre dous vectores 

A expresión xeométrica do produto escalar permite calcular o coseno do ángulo existente entre os vectores:

 Vectores ortogonais 

Dous vectores son ortogonais ou perpendiculares cando forman ángulo recto entre si. 
Se o produto escalar de dous vectores é cero, ambos vectores son ortogonais.

xa que o .

 Vectores paralelos ou nunha mesma dirección 

Dous vectores son paralelos ou levan a mesma dirección se o ángulo que forman é de 0 radiáns (0 graos) ou de π radiáns (180 graos).

Cando dous vectores forman un ángulo cero, o valor do coseno é a unidade, polo tanto o produto dos módulos vale o mesmo que o produto escalar.

 Observación 

Unha importante variante do produto escalar estándar utilízase no espazo-tempo de Minkowski, é dicir,  dotado do produto escalar:

.

 Exemplo de cálculo do ángulo entre dous vectores 
Os vectores
  e  
teñen a lonxitude
 e 

O coseno do ángulo comprendido entre os dous vectores calcúlase como:

Así temos, 

 Propiedades do produto escalar 

1. Conmutativa:

2. Distributiva respecto á suma vectorial:

3. Asociativa respecto ao produto por un escalar m:

4. Obsérvese que en xeral


5. Se os vectores son ortogonais, o seu produto escalar é nulo (cos 90º = 0), e viceversa

Nótese que o produto escalar de dous vectores pode ser nulo sen que o sexan os dous correspondentes vectores.

 Expresión analítica do produto escalar 

Se os vectores A e B se expresan en función das súas compoñentes cartesianas rectangulares, tomando a base canónica en    formada polos vectores unitarios {i , j , k} temos:

O produto escalar realízase como un produto matricial da seguinte forma:

 Exemplo 

Un produto escalar é unha operación alxébrica que obedece á seguinte regra:

Sexan os vectores u e mais v,de tres dimensións,con compoñentes: u(a1, a2, a3) e v(b1, b2, b3). O produto escalar de u por v (u escalar v) é o número real:

uv = a1b1 + a2b2 + a3b3.

 Norma ou Módulo dun vector 
Defínese como a lonxitude do segmento orientado (vector) no espazo métrico considerado.

Calcúlase a través do produto interno do vector consigo mesmo. 


Efectuado o produto escalar, temos:

de modo que

Por compoñentes, tomando a base canónica en    formada polos vectores unitarios {i, j, k}

de modo que

 Produtos interiores definidos en espazos vectoriais usuais 

 No espazo vectorial    adóitase definir o produto interior (chamado, neste caso en concreto, produto punto) por:

 No espazo vectorial    adóitase definir o produto interior por:

Sendo  o número complexo conxugado de 

 No espazo vectorial das matrices de m x n , con elementos reais

onde tr(A) é a traza da matriz B e  é a matriz trasposta de A.

 No espazo vectorial das matrices de m x n , con elementos complexos

onde tr(A) é a traza da matriz B e  é a matriz trasposta conxugada de A.

 No espazo vectorial das funcións continuas sobre o intervalo C[a, b], acoutado por a e b:

 No espazo vectorial dos polinomios de grao menor ou igual a n:
Dado  tal que  :

 Xeneralizacións 
 Formas cuadráticas 
Dada unha forma bilinear simétrica  definida sobre un espazo vectorial  pode definirse un produto escalar diferente do produto escalar euclídeo mediante a fórmula:

Onde:

 é unha base do espazo vectorial 
Pode comprobarse que a operación anterior  satisfai todas as propiedades que debe satisfacer un produto escalar.

 Tensores métricos 
Pódense definir e manexar espazos non-euclídeos ou máis exactamente variedades de Riemann, é dicir, espazos non-planos cun tensor de curvatura diferente de cero, nos que tamén podemos definir lonxitudes, ángulos e volumes. Nestes espazos máis xerais adóptase o concepto de xeodésica en lugar do de segmento para definir as distancias máis curtas entre puntos e, tamén, se modifica lixeiramente a definición operativa do produto escalar habitual introducindo un tensor métrico , tal que a restrición do tensor a un punto da variedade de Riemann é unha forma bilinear .

Así, dados dous vectores campos vectoriais  e  do espazo tanxente á variedade de Riemann defínese o seu produto interno ou escalar como:

A lonxitude dunha curva rectificable C entre dous puntos A e B pódese definir a partir do seu vector tanxente  do seguinte xeito:

 Véxase tamén 
 Bibliografía 








 Ligazóns externas 
 Produto escalar de vectores con Excel 

Categoría:Álxebra lineal