Teorema da incompletude de Gödel

Os dous Teoremas da incompletude foron demostrados por Kurt Gödel en 1931.

 Primeiro teorema 
O primeiro teorema da incompletitude, un dos mais loubados resultados da lóxica matemática, afirma dunha forma simplificada:
En calquera formalismo matemático consistente suficientemente robusto para definir os conceptos de números naturais (da aritmética), existirá a posibilidade de formar unha afirmación indecidible, ou sexa, que non poida ser demostrada como verdadeira ou falsa.

Dun xeito mais formal, Gödel postulouno inicialmente como:
Para calquera teoría formal na que se poden demostrar uns feitos aritméticos básicos, é posible construír unha afirmación aritmética na que, se a teoría é omega-consistente, é verdade, mais non é demostrable ou refutable nesa teoría.

Aquí, "teoría" significa un conxunto de afirmacións pechadas baixo unhas certas regras de inferencia lóxica. A teoría é consistente se non contén contradicións.
Omega-consistente é un termo técnico, mais estrito do que "consistente" a secas.

 Segundo teorema 
O segundo teorema da incompletude de Gödel, é consecuencia do primeiro, é demostrado por formalización do propio primeiro teorema en si, e enunciase como:
Ningún sistema consistente se pode utilizar para demostrar a súa propia consistencia.

Dun xeito mais formal, Gödel demostra que:
Para calquera teoría formal T na que os feitos aritméticos básicos son demostrables, T demostra a súa propia consistencia se e soamente se T é inconsistente.

Hai unha sutileza técnica no segundo teorema: ata que punto de exactitude imos expresar a consistencia de T na propia linguaxe T. Hai moitos camiños para facelo, e non todos eles levan ao mesmo resultado. En particular, diferentes formalizacións da afirmación de que T é consistente pode ser inequivalente en T, e algúns poden incluso ser demostrables.

 Consecuencias 

A seguinte reescritura do segundo teorema é perturbadora para os fundamentos das matemáticas:
Se para un sistema axiomático se pode demostrar, baseándose nel mesmo, que é consistente e completo, entón é inconsistente.

O resultado xeral dos dous teoremas foi devastador para unha abordaxe filosófica da matemática coñecida como Programa de Hilbert. David Hilbert propuxo que a consistencia dos sistemas máis complexos, como análise real, poderían ser probados en termos de sistemas máis simples. Así, a consistencia de toda a matemática sería reducida á aritmética básica. O segundo teorema da incompletude de Gödel mostra que a aritmética básica non pode ser usada para probar a súa propia consistencia, e polo tanto non pode ser usada para probar a consistencia de nada máis forte.

 Interpretacións simples 

O teorema de Gödel é quizais o máis sorprendente e comentado resultado matemático do século XX. De seguro, é o máis incomprendido e un dos únicos teoremas que se presta a acaloradas discusións filosóficas.

 O ser humano nunca poderá chegar a comprenderse a si mesmo por unha vía racional (dedución discutible, proposta polo autor desta páxina).
 Unha explicación xamais chega a ser totalmente autoexplicativa.

 Véxase tamén 
 Bibliografía 
 Hofstadter, Douglas: Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid

Incompletude