Función de densidade

En matemáticas e estatística, a función de densidade (en inglés, probability density function: pdf) serve para representar a distribución de probabilidade en termos de integrais.  Unha función de densidade de probabilidade é sempre non-negativa e a súa integral dende −∞ ata +∞ é igual a 1.  Se unha distribución de probabilidade ten densidade f(x), entón, intuitivamente o intervalo infinitesimal [x, x + dx] ten probabilidade f(x) dx. A función de densidade de probabilidade pode verse como unha versión "suavizada" dun histograma: se alguén mide empiricamente valores dunha variable aleatoria continua repetidamente e produce un histograma coas frecuencias relativas dos rangos de saída, entón este histograma dará lugar á densidade de probabilidade da variable aleatoria (asumindo que sobre a variable se escollen mostras suficientemente a miúdo e os rangos de saída son suficientemente pequenos).

Formalmente, unha distribución de probabilidade ten densidade f(x) se f(x) é unha función non-negativa Lebesgue-integrable R → R de xeito que a probabilidade do intervalo [a, b] vén dada por

para calquera dous números a e b. Isto implica que a integral total de f debe ser 1. Á inversa, calquera función non-negativa integrable por Lebesgue con integral total 1 é a densidade de probabilidade dunha distribución de probabilidade definida axeitadamente.

Explicación simplificada
A función de densidade de probabilidade é calquera función f(x) que describe a densidade de probabilidade en termos da variable de entrada x do seguinte xeito: 
 f(x) é maior ou igual a cero para tódolos valores de x 
 A área total baixo a gráfica é 1:

A probabilidade actual pode ser calculada mediante a integral da función f(x) no intervalo de integración da variable de entrada x.

Por exemplo: a variable x no intervalo 4.3 < x < 7.8  tería a probabilidade

Máis detalles
Por exemplo, a distribución uniforme continua no intervalo [0,1] ten densidade de probabilidade f(x) = 1 para 0 ≤ x ≤ 1 e cero no resto. A distribución normal estándar ten densidade de probabilidade

Dada unha variable aleatoria X, se a súa distribución admite a función de densidade de probabilidade f(x), entón o valor esperado de X (se existe) pode ser calculado como

Non todas as distribucións de probabilidade teñen función de densidade: as distribucións de variables aleatorias discretas non teñen, tampouco a distribución de Cantor aínda que non ten compoñente discreta e non asigna probabilidade positiva a ningún punto individual.

Unha distribución ten función de densidade se e só se a súa función de distribución de probabilidade F(x) é absolutamente continua. Nese caso, F é  diferenciable en todo o rango, e a súa derivada pode ser usada como densidade de probabilidade:

Se a distribución de probabilidade admite unha densidade, entón a probabilidade de cada conxunto dun só punto {a} é cero.

É un erro común pensar que f(a) é a probabilidade de {a}; de feito, f(a) será a miúdo maior que 1. Pódese considerar por exemplo unha variable aleatoria con distribución uniforme entre 0 e 1/2.

Dúas densidades de probabilidade f e g representan a mesma distribución de probabilidade se e só se se diferencian nun conxunto de medidas cero de Legesgue.

No campo da física estatística, unha reformulación non formal da relación entre a derivada da función de distribución de probabilidade e a función de densidade de probabilidade é usada como a definición da función de densidade de probabilidade. Esta definición alternativa é a seguinte:

Se dt é un número infinitamente pequeno, a probabilidade de que  estea incluído no intervalo [t, t + dt] é igual a , ou:

Relación entre distribucións continuas e discretas

A definición da función de densidade de probabilidade fai posible describir a variable asociada cunha distribución continua usando un conxunto de variables binarias discretas asociadas cos intervalos [a;b] (por exemplo, unha variable con valor 1 se X está en [a;b], e 0 se non).

É posible tamén representar certas variables aleatorias discretas usando unha densidade de probabilidade mediante a función delta de Dirac. Por exemplo, consideremos unha variable aleatoria discreta binaria que toma como valores -1 e 1, con probabilidade 1/2 cada un; a densidade de probabilidade asociada con esta variable é:

.

Máis xeralmente, se unha variable discreta pode tomar n valores diferentes entre os números reais, entón a función de densidade de probabilidade asociada é: 
, onde  son os valores discretos posibles da variable e  son as probabilidades asociadas con cada un destes valores.

Esta expresión permite determinar características estatísticas de dita variable discreta (como a súa media, varianza e curtose), mediante as fórmulas dadas para unha distribución continua.

Na física, esta descrición é tamén útil para caracterizar matematicamente a configuración inicial dun movemento Browniano.
 Notas 


 Véxase tamén 

 Bibliografía 


  Capítulos 7 a 9s.

 Outros artigos 
 Función de distribución.
 Ligazóns externas 



Categoría:Estatística