Distribución lognormal

En probabilidade e estatística, a distribución log-normal é a distribución de probabilidade de calquera variable aleatoria con seu logaritmo normalmente distribuído (a base da función logarítmica non é importante xa que se loga X está distribuída normalmente se e só se logb X está distribuída normalmente).  Se X é unha variable aleatoria cunha distribución normal, entón exp(X) ten unha distribución log-normal.

"Log-normal" tamén se escribe "log normal" ou "lognormal".

Unha variable pode ser modelada como log-normal se pode ser considerada como o produto multiplicativo de moitos pequenos factores independentes. Un exemplo típico é o retorno a longo prazo dun investimento nunha acción: pódese considerar como o produto dos retornos diarios.

A distribución log-normal ten a función densidade de probabilidade

para , onde  e  son a media e o desvío estándar do logaritmo da variable. O valor esperado é

e a varianza é

.

Relación coa media e o desvío estándar xeométrico

A distribución log-normal, a media xeométrica, e o desvío estándar xeométrico están relacionadas.  Neste caso, a media xeométrica é igual a  e o desvío estándar xeométrico é igual a.

Se unha mostra de datos determinase que provén dunha poboación distribuída seguindo unha log-normal, a media xeométrica e o desvío estándar xeométrico pódense utilizar para estimar os intervalos de confianza tal como a media aritmética e o desvío estándar se usan para estimar os intervalos de confianza para un dato distribuído normalmente.

Límite do intervalo de confianzaespazo logxeométrica3σ límite inferior2σ límite inferior1σ límite inferior1σ límite superior2σ límite superior3σ límite superior

Onde a media xeométrica  e o desvío estándar xeométrico 

Momentos

Os primeiros momentos son:

ou de forma xeral:

Estimación de parámetros  Maximum likelihood 

Para determina-los estimadores que máis aproximan os parámetros μ e σ da distribución log-normal, podemos utilizar o mesmo procedemento que para a distribución normal. Para non repetilo, obsérvese que



onde por  denotamos a función de densidade de probabilidade da distribución log-normal, e por — a da distribución normal. Polo tanto, utilizando os memos índices para denotar as distribucións, podemos escribir que



Xa que o primeiro termo é constante respecto a μ e σ, ambas funcións logarítmicas,  e , obteñen o seu máximo co mesmo μ e σ. Polo tanto, utilizando as fórmulas para os estimadores dos parámetros da distribución normal, e a inigualdade de arriba, deducimos que para a distribución log-normal cúmprese



Distribución relacionadas

  é unha distribución normal se  e .
 Se  son variables independentes log-normalmente distribuídas co mesmo parámetro μ e permitindo que varie σ, e , entón Y é unha variable distribuída log-normalmente como: .

Véxase tamén

 Outros artigos 
 Media xeométrica
 Desvío estándar xeométrico
 Función error

Categoría:Estatística
Categoría:Distribucións continuas