Produto interno

En matemática, chámase produto interno (ou interior) a unha función de dous vectores que satisfai determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na xeometría euclidiana, é un caso especial de produto interno.

Definicións

Sexa V un espazo vectorial sobre un corpo K. En V, podemos definir a función binaria  (denominada produto interno), que satisfai os seguintes axiomas:




 Se , entón > 

onde u, v e w son vectores de V, e λ é un elemento de K.

A partir deses axiomas, é posíbel probar as seguintes consecuencias:



 Se , entón 
 Se , entón 
Outra definición que resulta de utilidade é a de semi-produto interno, que se define substituíndo a condición 4 da definición do produto interno pola seguinte:
 Se   é un vector tal que , entón . 
Cando se cumpre tal condicón, dise que o produto é non dexenerado. Ademais, todo produto interno é un semi-produto interno, xa que a condición 4 implica que o produto é non dexenerado.

Exemplos

O produto escalar sobre o espazo vectorial  satisfai os axiomas do produto interno e é definido por:

Se f e g son dúas funcións, é posíbel definir o produto interno:

Aplicacións
A partir do produto interno, é posíbel definir os conceptos de ortogonalidade, norma e distancia entre vectores.

Véxase tamén
 Espazo de produto interno
 Produto escalar
 Álxebra
 Produto externo

Categoría:Matemáticas