Número alxébrico

Un número alxébrico é calquera número real ou complexo que é solución dunha ecuación polinómica da forma:

anxn + an-1xn-1 + ... + a1x1 + a0 = 0

onde n > 0 , cada ai é enteiro e an é distinto de cero.

Tódolos números racionais son alxébricos porque tódalas fraccións da forma a / b son solución de bx - a = 0. Algúns números irracionais como 21/2 (a raíz cadrada de 2) e 31/3/2 (a metade da raíz cúbica de 3) tamén son alxébricas porque son solucións de x2 - 2 = 0 e 8x3 - 3 = 0, respectivamente. Pero non tódolos números reais son alxébricos. Os exemplos máis coñecidos son π e e.
Se un número complexo non é alxébrico, dise que é un número transcendente.

Se un número alxébrico é solución dunha ecuación polinómica de grao n, pero non pode selo dunha ecuación polinómica de grao menor, entón dise que é un número alxébrico de grao n.

A suma, diferenza, produto ou cocente de dous números alxébricos volve a ser alxébrico, e polo tanto os números alxébricos constitúen un campo. Pode demostrarse que se os coeficientes ai son números alxébricos calquera, a solución da ecuación volverá ser un número alxébrico. Noutras palabras, o campo dos números alxébricos é alxebricamente cerrado. De feito, é o campo alxebricamente cerrado máis pequeno que conten os racionais.

Tódolos números que poden escribirse a partir dos racionais empregando soamente as operacións aritméticas +, -, *, /, potencias e raíces son alxébricos. Con todo, existen números alxébricos que non poden escribirse deste xeito, e son todos de grao >5. Esta é unha consecuencia da teoría de Galois.

Un número alxébrico que satisfai unha ecuación polinómica de grao n con an = 1 denomínase enteiro alxébrico. Algúns exemplos de enteiros alxébricos son 3×21/2 + 5 y 6i - 2. A suma, diferenza e produto de enteiros alxébricos volve a ser un enteiro alxébrico, o que significa que os enteiros alxébricos forman un anel. O nome de enteiro alxébrico provén do feito de que os únicos números racionais que son enteiros alxébricos son os propios enteiros.

Tanto a noción de número alxébrico como a de enteiro alxébrico poden ser xeneralizadas noutros campos, amais do campo dos complexos, véxase extensión alxébrica.

Categoría:Teoría de números